PERAMALAN DATA DERET BERKALA MENGGUNAKAN METODEPEMULUSAN EKSPONENSIAL TRIPLE

(Studi Kasus Data Penumpang Bandara Juanda 2008-2014)

(Skripsi)

Oleh

SELLA NOFRISKA SUDRIMO

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2016

ABSTRACT

FORECASTING PERIODIC DATA USING TRIPLE EXPONENTIALSMOOTHING METHOD

By

Sella Nofriska Sudrimo

The aim of this study is determined the best time series model to predict thenumber of passengers at Juanda Airport with a triple exponential smoothingmethod. The first step is to test the assuming stationer the data with graphs ACFand the unit root test, assuming trends with graphs time series and unit root testand then seasonal assumptions using time series charts and seasonal index. Thebest predicts of passengers at Juanda Airport is measured by the smallest value ofMean Absolute Percentage Error (MAPE) and Mean Absolute Deviation (MAD).

The results showed that the number of passengers at Juanda Airport is mostaffected by seasonal influences and less affected by the influence of the trend.

Keywords : Triple exponential smoothing method, MAPE ( Mean AbsolutePercentage Error ), MAD ( Mean Absolute Deviation ).

ABSTRAK

PERAMALAN DATA DERET BERKALA MENGGUNAKAN METODEPEMULUSAN EKSPONENSIAL TRIPLE

Oleh

SELLA NOFRISKA SUDRIMO

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan model deret waktu terbaik untukmeramalkan jumlah penumpang di Bandara Juanda dengan metode pemulusaneksponensial triple. Langkah pertama adalah menguji asumsi kestasioneran datadengan grafik ACF dan uji akar unit, asumsi trend dengan grafik deret waktu danuji akar unit dan asumsi musiman dengan menggunakan grafik deret waktu sertaindeks musiman. Model terbaik untuk meramalkan jumlah penumpang di BandaraJuanda adalah yang memiliki nilai Mean Absolute Persentage Error (MAPE) danMean Absolute Deviation (MAD) terkecil

Hasil penelitian menunjukkan bahwa jumlah penumpang di Bandara Juandasangat dipengaruhi oleh pengaruh musiman dan kurang dipengaruhi olehpengaruh trend.

Kata kunci: Metode pemulusan eksponensial triple, MAPE (Mean AbsolutePercentage Error), MAD (Mean Absolute Deviation)

PERAMALAN DATA DERET BERKALA MENGGUNAKAN METODEPEMULUSAN EKSPONENSIAL TRIPLE

(Studi Kasus Data Penumpang Bandara Juanda 2008-2014)

Oleh

SELLA NOFRISKA SUDRIMO

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2016

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tanjung Karang, Bandar Lampung pada tanggal 26

November 1994, merupakan anak kedua dari Bapak Ir. Sudrimo dan Ibu

Kamilawati.

Menempuh pendidikan di Taman Kanak-Kanak (TK) Xaverius Terbanggi Besar

pada tahun 1999-2000, Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SD Xaverius

Terbanggi Besar pada tahun 2000-2006, kemudian bersekolah di SMP Xaverius 4

Bandar Lampung pada tahun 2006-2009, kemudian bersekolah di SMA Al-Azhar

3 Bandar Lampung pada tahun 2009-2012.

Pada tahun 2012 penulis terdaftar sebagai mahasiswa S1 Matematika di Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui Jalur

SBMPTN tertulis. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah aktif di Himpunan

Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) FMIPA Unila 2013/2014 (sebagai

anggota Bidang Eksternal) dan HIMATIKA FMIPA Unila 2014/2015 (sebagai

anggota Biro Dana dan Usaha.

Pada bulan Februari tahun 2015 melakukan Kerja Praktik (KP) di Badan Pusat

Statistik (BPS) Provinsi Lampung dan pada bulan Agustus tahun 2016

melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Wonokerto, kec. Tulang

Bawang Tengah, kab. Tulang Bawang Barat, Lampung.

PERSEMBAHAN

Dengan segala rasa syukur kehadirat Allah SWT atas segala nikmat dalam

hidupku dan dengan segala kerendahan hati, kupesembahkan karya kecilku

untuk orang - orang yang telah memberi makna dalam hidupku.

Ayah dan Ibu tersayang yang telah menjadi motivasi terbesarku selama ini.

Kakakku Ridwan Benni Saputra yang menjadi penyemangatku untuk menjadi

adik yang bisa dibanggakan.

Orang yang selalu disampingku saat suka maupun duka Reno Bagus Saputra

Keluarga besar kutercinta yang selalu memberikan semangat dan dukungan.

Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa, seluruh sahabat-sahabatku

dan Almamaterku Universitas Lampung

KATA INSPIRASI

“Maka Nikmat Tuhanmu Yang Mana Lagi Yang Kamu Dustakan ?”

(Q.S. Ar-Rahman 55)

Jika ingin sukses bersiaplah untuk diposes dan diuji

(Anonim)

Saat muda ini habiskan lah waktu kegagalan kita sehingga saat tua kita dapatmenghabiskan waktu kesuksesan kita

(Anonim)

SANWACANA

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi

ini dapat diselesaikan. Skripsi dengan judul “Peramalan Data Deret Berkala

Menggunakan Pemulusan Eksponensial Triple” disusun sebagai salah satu syarat

memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) di Universitas Lampung.

Dengan ketulusan hati penulis ingin mengucapkan terimakasih banyak kepada :

1. Netti Herawati, Ph.D. selaku Dosen Pembimbing I, terimakasih untuk

bimbingan dan kesedian waktunya selama penyusunan skripsi ini.

2. Dr. Muslim Ansori selaku Dosen Pembimbing II dan Pembimbing Akademik,

terimakasih untuk bantuan dan masukannya selama penyusunan skripsi.

3. Nusyirwan, M.Si. selaku Dosen Penguji, terimakasih atas kesediannya untuk

menguji, memberikan saran dan kritik yang membangun dalam penyelesaian

skripsi ini.

4. Tiryono Ruby, P.hD. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

5. Seluruh dosen dan karyawan Jurusan Matematika.

6. Keluargaku tercinta, Ibu yang tak pernah berhenti melantunkan doanya untuk

kesuksesanku, Ayah yang selalu mendukung dan memberikan banyak

pembelajaran hidup serta kakakku Ridwan Benni S yang senantiasa memberi

semangat dan dukungan untuk menyelesaikan skripsi ini

7. Keluarga kecilku di kampus, RUSUH (Anisa, Grita, Naelu, Lina, Citra, Hana,

dan Merda) atas bantuannya dan motivasinya selama ini.

8. Reno Bagus S yang selalu memberi motivasi, ilmu, dan waktunya sehingga

terselesaikannya skripsi ini.

9. Sahabat-sahabat seperjuangan matematika 2012.

10. Semua pihak yang telah membantu saya dalam menyusun skripsi ini.

11. Almamterku tercinta Universitas Lampung.

Akhir kata, penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi banyak pihak

Bandar Lampung, 2016

Penulis

SELLA NOFRISKA S

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR........................................................................................... iii

DAFTAR TABEL ............................................................................................... iv

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang dan Masalah .................................................... 11.2. Tujuan Penelitian...................................................................... 21.3. Manfaat Penelitian.................................................................... 2

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisis Deret Waktu ............................................................... 32.2 Definisi Musiman..................................................................... 32.3 Definisi Trend .......................................................................... 42.4 Definisi Siklis .......................................................................... 42.5 Metode Peramalan ................................................................... 52.6 Definisi Kestasioneran............................................................. 52.7 Uji Akar Unit ........................................................................... 62.8 Autokorelasi............................................................................. 82.9 Indeks Musiman....................................................................... 102.10 Fungsi Eksponensial dan Bobot Pemulusan Eksponensial...... 112.11 Deret Pangkat........................................................................... 122.12 Metode Pemulusan................................................................... 13

2.12.1 Metode Perataan............................................................ 132.12.2 Metode Pemulusan Eksponensial................................. 13

2.13 Metode Pemulusan Eksponensial Triple ................................. 152.14 Nilai Awal................................................................................ 202.15 Kriteria Kabaikan Model ........................................................ 21

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 233.2 Data Penelitian ......................................................................... 233.3 Metode Penelitian..................................................................... 24

ii

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Uji Asumsi Data ......................................................................... 264.1.1 Uji Stasioner ...................................................................... 264.1.1 Uji Trend ........................................................................... 274.1.2 Uji Musiman ..................................................................... 28

4.2 Nilai Awal .................................................................................. 294.2.1 Nilai Awal Untuk Pemulusan Eksponensial..................... 294.2.1 Nilai Awal Untuk Pemulusan Trend ................................. 304.2.2 Nilai Awal Untuk Pemulusan Musiman ........................... 30

4.3 Peramalan dengan Pemulusan Eksponensial Triple ................... 314.3.1 Penentuan Nilai Pembobotan , , Dan ......................... 314.3.2 Perhitungan Peramalan Pemulusan Eksponensial Triple .. 32

4.4 Pemilihan Model Terbaik ........................................................... 334.5 Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juanda pada Bulan

Januari 2015 - Desember 2015 ................................................... 35

V. KESIMPULAN ................................................................................ 39

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Jumlah Penumpang Pesawat di Bandara Juanda Tahun 2008-2014. ..... 23

2. Nilai pengujian asumsi data memiliki akar unit dengan menggunakanE-Views................................................................................................... 27

3. Nilai pengujian asumsi data mengandung trend dengan menggunakanE-Views................................................................................................... 28

4. Perhitungan Indeks Musiman.................................................................. 29

5. Nilai MAPE dan MAD untuk mencari model terbaik ............................ 34

6. Nilai Pemulusan dan Peramalan Jumlah Penumpang Bandara Juandadengan Model Terbaik ............................................................................ 35

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Grafik Musiman. ..................................................................................... 3

2. Grafik Trend............................................................................................ 4

3. Grafik Siklus. .......................................................................................... 4

4. Grafik ACF Jumlah Penumpang Bandara Juanda Tahun 2008-2014 ..... 26

5. Grafik Deret Waktu Jumlah Penumpang Bandara Juanda Tahun2008-2014 ............................................................................................... 28

7. Grafik Deret Waktu Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juandapada Bulan Januari 2015 – Desember 2015............................................ 38

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Peramalan merupakan dugaan atau perkiraan yang menyatakan terjadinya sesuatu

kejadian atau peristiwa untuk waktu yang akan datang. Peramalan dapat bersifat

kualitatif artinya tidak berbentuk angka misalnya ramalan cuaca seperti minggu

depan akan turun hujan dan sebagainya. Namun, ada juga yang bersifat

kuantitatif yakni berbentuk angka yang dinyatakan dalam bentuk bilangan

(Santoso dan Hamdani, 2007).

Metode pemulusan eksponensial merupakan metode yang dapat digunakan dalam

berbagai macam variasi pola data. Sesuai dengan kreterianya, untuk data dengan

pola dasar stasioner atau konstan, metode pemulusan eksponensial tunggal sangat

cocok digunakan, untuk mengatasi fluktuasi data. Sedangkan untuk data dengan

pola dasar linear, metode pemulusan eksponensial ganda sangat cocok digunakan.

Untuk pola data yang lain seperti kuadratik dapat digunakan metode pemulusan

eksponensial triple dan sebagainya.

Pada peneliti terdahulu (Lestari, 2006) telah dibahas pemulusan eksponensial

tunggal dan ganda. Pada pemulusan eksponensial tunggal digunakan untuk data

yang stasioner dan pemulusan eksponensial ganda digunakan untuk data yang

2

mengandung trend, namun keduanya tidak dapat digunakan untuk data yang

mengandung unsur musiman (Makridakis, dkk., 1999).

Maka dari itu penulis akan membahas metode pemulusan eksponensial triple atau

biasa dikenal dengan Holt’s Winter Method. Metode ini dapat digunakan untuk

data yang mengandung musiman dan trend. Metode eksponensial triple

merupakan pendekatan yang sangat penting dalam peramalan.

Dalam penelitian ini, akan dibahas peramalan data deret berkala menggunakan

pemulusan eksponensial triple.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk meramalkan data deret berkala menggunakan

pemulusan eksponensial triple.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini yaitu dapat menjadi referensi bagi pembaca apabila ingin

melakukan penelitian mengenai peramalan dengan data yang mengandung trend

dan musiman.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisis Deret Waktu

Analisis deret waktu merupakan serangkaian observasi terhadap suatu variabel

yang diambil secara beruntun berdasarkan interval waktu yang tetap (Wei, 2006).

Biasanya jarak atau interval dari waktu ke waktu sama. Pada umumnya

pengamatan dan pencatatan itu dilakukan dalam jangka waktu tertentu, misalnya

akhir tahun, tiap permulaan tahun, tiap sepuluh tahun, dan sebagainya

(Hadi,1995).

2.2 Definisi Musiman

Musiman didefinisikan sebagai suatu pola yang berubah sendiri setelah selang

waktu yang tetaap. Pola musiman dapat berupa kwartal (4 bulan), semesteran (6

bulan), atau tahunan (12 bulan) (Makridakis, dkk., 1992).

Gambar 1. Grafik Musiman

4

2.3 Definisi Trend

Jika dalam suatu deret terdapat gerakan naik ataupun turun dalam jangka panjang,

maka deret tersebut dikatakan deret yang mengandung unsur trend (Makridakis,

dkk., 1992).

20142012201020082006200420022000

180000000

160000000

140000000

120000000

100000000

80000000

60000000

40000000

20000000

Tahun

PDRB

(jut

aRup

iah)

S catterplot of PDRB (jutaRupiah) vs Tahun

Gambar 2. Grafik Trend

2.4 Definisi Siklis

Suatu deret berkala dikatakan mengandung siklis jika data tersebut dipengaruhi

oleh fluktuasi jangka panjang yang bisa terjadi secara periodik ataupun tidak

(Makridakis, dkk., 1992 )

Gambar 3. Grafik Siklus

5

2.5 Metode Peramalan

Peramalan merupakan dugaan atau perkiraan yang menyatakan terjadinya sesuatu

kejadian atau peristiwa untuk waktu yang akan datang. Peramalan dapat bersifat

kualitatif artinya tidak berbentuk angka misalnya ramalan cuaca seperti minggu

depan akan turun hujan dan sebagainya. Namun, ada juga yang bersifat kuantitatif

yakni berbentuk angka yang dinyatakan dalam bentuk bilangan (Santoso dan

Hamdani, 2007).

2.6 Definisi Kestasioneran

Jika proses pembangkitan yang mendasari suatu deret berkala didasarkan pada

nilai tengah ( ) konstan dan ragam ( ) yang konstan, maka deret berkala berupa

stasioner (Makridakis, dkk., 1992).

Ciri-ciri data yang stasioner:

1. Apabila diplot maka akan sering melewati sumbu horizontal.

2. Autokorelasinya akan menurun mendekati nol setelah lag kedua atau ketiga.

Stasioneritas dibagi menjadi 2 yaitu :

1. Stasioner dalam rata-rata

Stasioner dalam rata-rata adalah fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-

rata yang konstan, tidak bergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi

tersebut. Dari bentuk plot data dapat diketahui bahwa data tersebut stasioner

atau tidak stasioner. Apabila data tidak stasioner dalam rata-rata maka dapat

6

dilakukan pengurangan antar data sehingga data tersebut stasioner dalam rata-

rata.

2. Stasioner dalam ragam

Sebuah data deret waktu dikatakan stasioner dalam ragam apabila struktur dari

waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan dan tidak

berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat dibantu dengan

menggunakan grafik deret waktu, yaitu dengan melihat fluktuasi data dari

waktu ke waktu. Apabila tidak stasioner dalam variansi maka perlu dilakukan

perhitungan dengan metode box-cox sehingga data tersebut stasioner dalam

variansi (Wei, 2006).

2.7 Uji Akar Unit

Uji Akar Unit dengan metode ADF (Augmented Dickey Fuller) dapat dilakukan

dengan melihat secara grafis sehingga dapat diketahui apakah pada variabel

mengandung trend atau tidak. Pada prinsipnya, uji ini dimaksudkan untuk

mengamati apakah koefisien tertentu dari model Autoregresif (AR) mempunyai

nilai satu atau tidak. Untuk mencari uji akar unit, pertama kita menghitung nilai

dari model persamaan berikut: = + (2.1)

Dimana adalah nilai galat dan merupakan nilai autoregresinya(−1 < < 1).Jika = 1, maka deret tersebut mengandung akar unit (mengandung trend).

Sedangkan apabila < 1, maka deret tersebut tidak mengandung akar unit

(stasioner).

7

Namun, kita tidak bisa memperkirakan persamaan 2.1 oleh Ordinary Least Square

(OLS) dan menguji hipotesis bahwa = 1 dengan uji t biasanya karena uji

tersebut sangat bias dalam kasus akar unit. Oleh karena itu kita memanipulasi

persamaan 2.1 dengan mengurangkan setiap sisi persamaan dengan , sehingga

persamaan menjadi:− = − + (2.2)∆ , = ( − 1) + (2.3)∆ , = + (2.4)

Dimana, ∆ adalah selisih antara Yt dan ∆ , = − serta = − 1.Selanjutnya, uji ADF dapat diterapkan dengan mengestimasi model berikut:∆ , = + + + ∆ + ∆ +⋯+ ∆ + (2.5)

Dimana , = + + + dengan ≠ 0, ≠ 0 dan = 0.merupakan persamaan untuk menentukan trend.

Dalam metode ADF, untuk menguji kestasioneran dapat dilakukan dengan

mengestimasi persamaaan 2.1 sebelumnya dan menguji apakah = 1 atau sama

dengan mengestimasi persamaan 2.4 dan menguji apakah = 0. Dickey fuller

menujukkan bahwa nilai koefisien akan mengikuti distribusi statistik (tau) dan

menyusun statistik sebagai titik kritis pengujian. Hal ini menyebabkan pengujian

dengan estimasi persamaan 2.4 dikenal sebagai uji Dickey Fuller. Distribusi

statistik kemudian dikembangkan lebih jauh oleh Mackinnon dan dikenal

sebagai distribusi statistik Mackinnon. Untuk pengujian augmented dickey fuller

dilakukan dengan menghitung nilai -statistik dengan rumus:= ( ) (2.6)

8

Hipotesis yang digunakan untuk menentukan apakah data deret mengandung akar

unit, yaitu:

H0 : = 0 (Mengandung akar unit atau tidak stasioner atau memiliki trend)

H1 : ≠ 0 (tidak mengandung akar unit atau stasioner)

Apabila | | < | |, maka H0 diterima, yang artinya data deret tidak

stasioner (Gujarati and Porter, 2009).

2.8 Autokorelasi

Autokorelasi merupakan suatu alat untuk menujukkan tingkat asosiasi atau

hubungan diantara variabel-variabel yang sama, tetapi waktu terjadinya berbeda.

Dengan mengetahui koefisien autokorelasi dapat diketahui ciri, pola dan jenis

data. Sehingga dapat mengidentifikasi model tentative yang disesuaikan dengan

data (Makridakis, dkk., 1992).

Dari proses stasioner suatu data deret waktu (Xt) diperoleh E(Xt) = µ dan variansi

Var (Xt) = E (Xt - µ)2 = σ2 , yang konstan dan kovarian Cov (Xt,Xt+k), yang

fungsinya hanya pada perbedaan waktu │t- (t-k)│. Maka dari itu, hasil tersebut

dapat ditulis sebagai kovariansi antara Xt dan Xt+k sebagai berikut := Cov (Xt,Xt+k) = E (Xt - µ)(Xt+k - µ) (2.7)

dan korelasi antara Xt dan Xt+kdidefinisikan sebagai= ( , )( ) ( ) = (2.8)

Dimana merupakan rata-rata data, merupakan autokovarians pada lag ke-k,

dan merupakan autokorelasi pada lag ke-k, serta t = waktu pengamatan ke t

untuk semua t adalah 1, 2, ..., dst.

9

Notasi ( ) ( )= . Sebagai fungsi dari k, disebut fungsi

autokovarian dan disebut fungsi autokorelasi (ACF). Dalam analisis deret

waktu, dan menggambarkan kovarian dan korelasi antara Xt dan Xt+k dari

proses yang sama, hanya dipisahkan oleh lag ke-k.

Fungsi autokovariansi dan fungsi autokorelasi memiliki sifat-sifat sebagai

berikut :

1. = Var ( ) ; = 1. (2.9)

2. │ │ ≤ ;│ │ ≤ 1. (2.10)

3. = dan = (2.11)

untuk semua k, dan adalah fungsi yang sama dan simetrik lag ke-k = 0. Sifat

tersebut diperoleh dari perbedaan waktu antara dan . Oleh sebab itu, fungsi

autokorelasi sering hanya diplotkan untuk lag non negatif. Plot tersebut kadang

disebut korrelogram.

Pengujian koefisien autokorelasi :

H0 : = 0 (Koefisien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan)

H1 : ≠ 0 (Koefisien autokorelasi berbeda secara signifikan)

Dimana jika terletak dalam selang persamaan 2.8, keputusannya belum cukup

bukti untuk menolak H0 sehingga dapat disimpulkan data stasioner. Sebaliknya,

jika terletak di luar selang persamaan 2.8, keputusannya belum cukup bukti

untuk terima H0 sehingga dapat disimpulkan data tidak stasioner (Wei, 2006).

Statistik uji : = (2.12)

10

dengan = ∑ ( ̅)( ̅)∑ ( ̅) (2.13)

SE ( ) = ∑ ≈ √ (2.14)

dimana:

= uji tSE ( ) = galat baku autokorelasi pada saat lag ke-k= autokorelasi pada saat lag ke-j

k = time lagT = banyak observasi dalam data deret waktu

Kriteria keputusan : tolak H0 jika nilai│t hitung│> tα/2,df dengan derajat bebas df =

t-1, t merupakan banyaknya data dan k adalah lag koefisien autokorelasi yang

diuji (Pankratz, 1991).

2.9 Indeks Musiman

Indeks musiman dapat digunakan untuk menguraikan perkiraan/ ramalan

penjualan tahunan menjadi perkiraan penjualan perbulan pada tahun mendatang.

Untuk mencari indeks musiman dapat menggunakan metode rata-rata sederhana,

yaitu dengan rumus

Indeks musiman = 100% 12 (2.15)

Dimana, merupakan rata-rata data bulan ke-i tiap tahun (i = 1,2,..,12) dan

merupakan rata-rata data tiap bulan pada tahun ke-j (j = 1,2,…,n).

Indeks musiman adalah suatu angka yang bervariasi terhadap nilai dasar 100. Jika

suatu periode musiman mempunyai nilai indeks 100 maka ini menujukkan bahwa

data tersebut tidak dipengaruhi oleh pengaruh musiman (Yulianto, 2012).

11

2.10 Fungsi Eksponensial dan Bobot Pemulusan Eksponensial

Fungsi eksponen diperkenalkan pertama kali oleh Leonhard Euler dengan

lambang . Fungsi eksponen didefinisikan bahwa huruf menyatakan bilangan

real positif unik sedemikian rupa sehingga ln = 1.

Fungsi eksponensial merupakan fungsi yang mempunyai satu konstanta baris dan

satu peubah eksponen, disebut fungsi eksponensial.== exp (ln )

= exp (x ln a)

= (2.16)

Persamaan 2.16 disebut fungsi eksponensial berbasis a dan x sebagai eksponen.

Definisi 2: untuk a>0 dan sebarang bilangan real x, maka

=(Purcell, dkk., 2004)

Bobot yang diberikan untuk setiap data pada model pemulusan eksponensial

menurun secara eksponensial, sebagaimana persamaan sebagai berikut:

Ft= + (1 − ) + (1 − ) +⋯+ (1 − ) (2.17)

Sehingga bobot pemulusan adalah (Y) = , (1 − ), (1 − )2, …, dst dan

membentuk suatu deret pangkat.

Secara umum persamaan 2.17 dituliskan sebagai berikut:

(Y) = (1 − )n (2.18)

yang menurun secara eksponensial (Makridakis, dkk., 1983).

12

2.11 Deret Pangkat

Teorema 1: Deret pangkat adalah konvergen seragam dan mutlak dalam sebarang

interval yang terletak seluruhnya di dalam interval konvergensinya.

Jika deret konvergen pada satu (atau kedua) titik ujung interval konvergensi, maka

kita dapat membuktikan suatu fungsi kontinu dan suku demi suku pada deret

dapat diintegrasikan sehingga menghasilkan integral.

Teorema 2: Teorema Abel. Ketika deret pangkat konvergen sampai dan termasuk

titik ujung dari interval konvergensinya, maka interval konvergensi seragam

tersebut juga diperluas hingga termasuk titik ujung ini.

Untuk penyederhanaan pembuktian, kita asumsikan deret pangkat sebagai∑ dengan titik ujung dari interval konvergensinya pada x =1, sehingga

deret tersebut sudah pasti konvergen untuk 0 ≤ ≤ 1. Dengan demikian, kita

harus memperlihatkan bahwa deret konvergen seragam dalam interval ini.

Misalkan ( ) = + + +⋯ (2.19)

Apabila − disubtitusikan pada , pada persamaan 2.19 dengan

demikian dapat ditulis sebagai berikut:( ) = ( − ) + ( − ) + ( − ) +⋯= + ( − ) + ( − ) +⋯= [ + (1 − ) + + +⋯ (2.20)

Dimana n > N dan N tidak tergantung pada x tertentu dalam interval 0 ≤ ≤ 1(Ayres and Medelson, 2012)

13

2.12 Metode Pemulusan

Metode pemulusan adalah metode peramalan yang dilakukan dengan cara

mengambil rata-rata dari nilai-nilai pada beberapa tahun untuk menaksir nilai

pada suatu tahun. Metode ini merupakan metode yang menghaluskan

gerak/pergerakan data, dari periode ke periode berikutnya. Metode ini dapat

dikelompokkan menjadi 2 kelompok: metode perataan dan metode pemulusan

eksponensial (Makridakis, dkk., 1992).

2.12.1 Metode Perataan

Metode perataan adalah metode yang memperlakukan data masa lalu yang

menjadi bagian dari perhitungan dengan bobot yang sama untuk nilai tengah dan

rata-rata bergerak tunggal dan bobot yang berbeda untuk rata-rata bergerak ganda

dan kombinasi rata-rata bergerak lainnya. Untuk semua kasus, tujuannya adalah

memanfaatkan data masa lalu untuk mengembangkan suatu peramalan

(Makridakis, dkk., 1992).

2.12.2 Metode Pemulusan Eksponensial

Metode pemulusan eksponensial merupakan metode yang dapat digunakan dalam

berbagai macam variasi pola data. Sesuai dengan kreterianya, untuk data dengan

pola dasar stasioner atau konstan, metode pemulusan eksponensial tunggal sangat

cocok digunakan, untuk mengatasi fluktuasi data. Sedangkan untuk data dengan

pola dasar linear, metode pemulusan eksponensial ganda sangat cocok digunakan.

14

Untuk pola data yang lain seperti kuadratik dapat digunakan metode pemulusan

eksponensial triple.

Metode pemulusan eksponensial yang mendasarkan, ramalan yang prinsip

perataan - perataan (penghalusan) galat masa lalu dengan menambahkan

persentase galat kepada persentase ramalan sebelumnya (Makridakis, dkk., 1992).

Persamaan berikut yang dapat digunakan untuk menghitung ramalan dengan

metode pemulusan eksponensial:= + [ − ] (2.21)

Dimana:

= dugaan baru atau nilai ramalan waktu t= dugaan atau nilai ramalan pada periode t-1 (periode waktu

terakhir)= data aktual pada periode sekarang.= konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < <1)− merupakan galat peramalan

Pada persamaan 2.18 dapat ditulis dalam bentuk:= + (1 − )[ ] (2.22)

Peramalan pada metode ini dapat ditulis sebagai berikut:

Ft = + (1 − ) (2.23)

Ft = + (1 − )[ + (1 − ) ] (2.24)

Ft = + (1 − ) + (1 − ) (2.25)

Ft = + (1 − ) + (1 − ) [ + (1 − ) ] (2.26)

Apabila proses pada persamaan 2.22 berulang, subtitusi dengan komponen

, dengan komponen dan seterusnya, maka hasilnya sebagai berikut:

Ft = + (1 − ) + (1 − ) + (1 − ) + (1 − ) +⋯+(1 − ) + (1 − ) (2.27)

Secara sederhana persamaan 2.23 dapat ditulis dalam notasi peramalan:

15

Ft = + (1 − ) (2.28)

dimana:

Ft = dugaan baru atau nilai ramalan untuk waktu t= data aktual pada periode sekarang= dugaan atau nilai ramalan pada periode t-1 (periode waktu

terakhir).

2.13 Metode Pemulusan Eksponensial Triple

Pada pemulusan eksponensial tunggal digunakan untuk data yang stasioner dan

pemulusan eksponensial ganda digunakan untuk data yang mengandung trend,

namun keduanya tidak dapat digunakan untuk data yang mengandung unsur

musiman (Makridakis, dkk., 1999).

Metode pemulusan eksponensial triple atau yang biasa dikenal dengan Holt’s

Winter Method merupakan metode peramalan yang dikemukakan oleh Holt

dengan menggunakan persamaan kuadrat. Metode ini lebih sesuai jika digunakan

untuk membuat peramalan dari suatu data yang berfluktuasi atau mengalami

gelombang pasang surut (Subagyo, 2002).

Metode ini dapat mengatasi masalah data dengan menggunakan pola komponen

data trend dan musiman yang tidak dapat diatasi oleh metode moving average dan

metode pemulusan eksponensial lainnya . Apabila identifikasi pada historis dari

data aktual permintaan menunjukkan adanya fluktuasi musiman, perlu dilakukan

penyesuaian terhadap pengaruh musiman itu melalui menghitung indeks

musiman. Sebagai contoh untuk menjelaskan pengaruh musiman menggunakan

angka indeks musiman (Triana, 2015).

16

Metode pemulusan eksponensial triple digunakan dalam peramalan data runtut

waktu yang mengikuti suatu pola musiman. Didasarkan pada 3 persamaan

pemulusan, yaitu: untuk unsur eksponensial, trend, dan musiman.

Persamaan metode pemulusan eksponensial secara umum ditulis sebagai berikut:= ( − ) += ( − ) += − += + (1 − ) (2.25)

Dimana

St = Pemulusan eksponensial pada tahun ke-txt = Data ke-t = konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1)

Persamaan 2.25 merupakan persamaan yang digunakan pada metode pemulusan

eksponensial tunggal dimana pada metode tersebut hanya menggunakan satu

konstanta pemulusan yaitu dengan nilai pembobotan 0 < < 1. Namun pada

metode pemulusan eksponensial tunggal tidak dapat digunakan untuk data yang

mengandung trend, sehingga Holt (1957) mengembangkan metode ini dengan

memasukkan unsur trend pada persamaan tersebut. Oleh karena itu, Holt

menambahkan unsur trend pada persamaan 2.25. Sehingga persamaan baru

tersebut dapat ditulis:= ( − − ) + += ( − − ) + += ( − − ) + += − + − += + (1 − ) + (1 − )= + ( − 1)( + ) (2.26)

Dimana:

17

St = Pemulusan eksponensial pada tahun ke-txt = Data ke-t

= pemulusan faktor musimanL = panjang musimanbt = pemulusan trend = konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1)

Persamaan 2.26 tersebut kemudian yang dikenal dengan metode pemulusan

eksponensial ganda. Metode ini juga biasa dikenal Holt’s Linear. Untuk

menghitung pemulusan trend nya digunakan persamaan sebagai berikut:= ( − ) + (1 − )= ( − ) + (1 − ).

.

.= ( − ) + (1 − ) (2.27)

Dimana:

= konstanta pembobot pemulusan untuk trend (0 < < 1)St = pemulusan eksponensial pada tahun ke-tbt = pemulusan trend− merupakan selisih antar pemulusan eksponensial

Karena menggunakan dua konstanta pemulusan yaitu dan , maka dari itu

metode tersebut dikenal metode pemulusan eksponensial ganda. Namun pada

metode pemulusan eksponensial ganda hanya dapat digunakan untuk data yang

mengandung trend tapi tidak dapat digunakan untuk data yang mengandung

musiman, sehingga Holt (1960) mengembangkan metode ini dengan memasukkan

unsur musiman pada data. Sehingga persamaan baru tersebut dapat ditulis:= ( − − )+ + −= + + ( − − − )= + + − − −= − + (1 − ) + (1 − )= ( − ) + (1 − )( + ) (2.28)

18

Dimana

St = Pemulusan eksponensial pada tahun ke-txt = Data ke-t

= pemulusan faktor musimanL = panjang musimanbt = pemulusan trend = konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1)

Persamaan 2.28 dikenal dengan metode pemulusan eksponensial triple. Metode

ini juga biasa dikenal Holt’s Winter. Karena pada metode ini menggunakan unsur

trend dan musiman maka perlu juga dilakukan perhitungan pemulusan trend dan

pemulusan musimannya. Persamaan untuk menghitung pemulusan trend ditulis

sebagai berikut: = ( − ) + (1 − ) (2.29)

Dimana:= konstanta pembobot pemulusan untuk trend (0 < < 1)

St = pemulusan eksponensial pada tahun ke-tbt = pemulusan trend− merupakan selisih antar pemulusan eksponensial

Selanjutnya persamaan untuk menghitung pemulusan musiman ditulis sebagai

berikut: = ( − ) + (1 − )= ( − ) + (1 − ).

.

.= ( − ) + (1 − ) (2.30)

Dimana:

= konstanta pembobot pemulusan untuk musiman (0 < < 1)= pemulusan faktor musiman

xt = Data ke-tL = panjang musiman (L=3, L=4, L=6, atau L=12)

19

Untuk menentukan konstanta pemulusan apabila data yang digunakan memiliki

pola historis yang tidak stabil maka nilai konstanta pemulusan memiliki nilai

yang mendekati 1, namun apabila data yang digunakan memiliki pola historis

yang tidak berfluktuasi atau relatif stabil maka nilai konstanta pemulusan

memiliki nilai yang mendekati 0.

Peramalan menggunakan metode pemulusan eksponensia triple yaitu dengan

menghitung pemulusan eksponensial, pemulusan trend, dan pemulusan musiman.

Setelah ketiga faktor ditemukan nilai pemulusannya, langkah terakhir adalah

peramalan data pada periode p yang akan datang dengan rumus:= + 1. += + 2. += + 3. +...= + +

(2.31)

Dimana:

= Nilai yang ingin diramalkan= pemulusan faktor musiman

L = panjang musimanSt = pemulusan eksponensial pada tahun ke-tbt = pemulusan trendp = periode waktu yang akan diramalkan

Metode ini menggunakan tiga konstanta pemulusan yaitu , , dan dengan nilai

pembobotannya berada antara 0 sampai 1 (Makridakis, dkk., 1999).

20

2.14 Nilai Awal

Nilai awal adalah nilai yang digunakan untuk menduga nilai awal pada koefisien, , … , . Jika data deret berkala tidak ada untuk memenuhi koefisien tersebut,

maka untuk menentukan nilai tersebut dapat dilakukan dengan menghitung nilai

prediksinya dengan menganalogikan dengan beberapa metode.

Berikut adalah metode yang digunakan untuk menentukan nilai awal :

1) Nilai awal untuk pemulusan eksponensial

Nilai awal untuk pemulusan total yaitu dengan menghitung rata-rata pada data

di tahun pertama. Jika ditulis dalam notasi adalah sebagai beriku:= ( + + +⋯+ )= ∑ (2.32)

Dimana,

atau = Nilai awal pemulusan eksponensialx = Data ke-tL = panjang periode musiman (L=3, L=4, L=6, atau L=12)

2) Nilai awal untuk pemulusan trend= + +⋯+= + +⋯+= + +⋯+= + +⋯+ (2.33)

Dimana,

atau = Nilai awal untuk faktor trendx = Data ke-tL = panjang periode musiman (L=3, L=4, L=6, atau L=12)

21

3) Nilai awal untuk pemulusan musiman= −= −= −..

.= − (2.34)

Dimana,

= Nilai awal untuk faktor musiman ke-kx = Data ke-tk = periode musiman, (k = 1,2,…,L)

(Makridakis, dkk., 1983).

2.15 Kriteria Kebaikan Model

Dalam melakukan permalan, ada beberapa metode yang digunakan untuk mencari

ramalannya. Dari beberapa metode tersebut akan dicari metode manakah yang

paling baik dan cocok untuk meramalkan data tertentu. Sebuah model dengan

galat peramalan terkecil tentunya akan dipilih untuk melakukan prediksi di masa

mendatang. Besarnya galat tersebut dapat dihitung melalui ukuran galat

peramalan, sebagai berikut :

a. Mean Absolute Precentage Error (MAPE)

Persentase galat rata – rata mutlak (MAPE) memberikan petunjuk seberapa

besar galat peramalan dibandingkan dengan nilai sebenarnya.

= ( ) + ( ) +⋯+ ( ) × 100= ∑ 100 (2.35)

22

Dimana :

n= banyaknya data yang diamati= peramalan ke-t

Yt = data ke-t

Dimana suatu model data akan memiliki kinerja yang sangat baik apabila nilai

MAPE dibawah 10%

b. Mean Absolute Deviation (MAD)

Simpangan rata-rata MAD mengukur akurasi peramalan dengan merata-

ratakan nilai absolut galat peramalan. Nilai galat diukur dalam unit yang sama

seperti pada data aslinya

= − + − + − +⋯+ −= ∑ − (2.36)

Dimana:n= banyaknya data yang diamati

= peramalan ke-tYt = data ke-t

(Makridakis, dkk., 1999).

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil dan semester ganjil Tahun Ajaran

2015/2016 bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.

3.2 Data Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data penumpang Bandara Juanda

pada tahun 2008-2014. Data tersebut merupakan data sekunder yang diperoleh

dari Badan Pusat Statistik (BPS). Data tersebut adalah sebagai berikut:

Tabel 1. Data Jumlah Penumpang di Bandara Juanda Tahun 2008-2014

TahunBulan 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

Jan 36783 37289 45980 48350 52029 75029 76063Feb 30831 34154 36094 44405 50785 59691 66733Mar 36016 38497 44646 54560 57386 61132 72501Apr 33293 35404 39799 45742 52720 60353 68315May 34617 37981 39363 50127 52604 64384 71341Jun 41212 44522 48620 58210 59982 71637 71210Jul 40251 41238 45032 52658 48206 55163 55537

Aug 37648 36308 38335 49643 57501 92622 80665Sep 34031 41741 55997 63390 69700 84801 69489Oct 46388 52822 50353 58000 64800 76940 98232Nov 42627 47911 55043 52940 65061 74757 74874Dec 46024 54584 61665 63347 68807 92658 83161

24

3.3 Metode Penelitian

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah

1. Menguji Asumsi

A. Stasioner

1) Mengidentifikasi dengan grafik fungsi autokorelasi (ACF).

2) Menggunakan uji akar unit dengan metode uji statistik Augmented

Dickey-Fuller.

a) Menentukan nilai thit ADF dengan uji statistik dengan

menggunakan software E-Views.

b) Menentukan nilai kritik untuk thit dengan rumus pada persamaan

2.6 dengan nilai taraf uji 1%, 5%, dan 10% menggunakan software

E-Views.

c) Menguji hipotesis untuk masing-masing .

B. Trend1) Menyajikan grafik deret waktu. Apabila grafik deret waktu

menunjukkan kecenderungan naik atau turun, maka data mengandung

trend.

2) Menggunakan uji akar unit dengan metode uji Augmented Dickey-

Fuller.

C. Musiman

1) Menyajikan grafik deret waktu

2) Uji data musiman menggunakan indeks musiman yang dapat dihitung

dengan metode rata-rata sederhana.

25

2. Nilai awal

A. Nilai awal untuk pemulusan eksponensial

= 1 ∑ =1 (2.32)

B. Nilai awal untuk pemulusan trend= + +⋯+ (2.33)

C. Nilai awal untuk pemulusan musiman= − (2.34)

3. Menghitung nilai pemulusan eksponensial triple sebagai berikut:

A. Pemulusan keseluruhan= ∙ ( − ) + (1 − ) ∙ ( + ) (2.28)

B. Penghalusan trend= ∙ ( − ) + (1 − ) ∙ (2.29)

C. Penghalusan musiman= ∙ ( − ) + (1 − ) ∙ (2.30)

4. Menghitung peramalan pemulusan eksponensial triple dengan := + + (2.31)

5. Memilih model pemulusan eksponensial tripel terbaik dengan melihat nilai

kesalahan (error) terkecil. = ∑ ( ) × 100 (2.35)= ∑ |( − )| (2.36)

V. KESIMPULAN

1. Data jumlah penumpang di bandara Juanda pada tahun 2008 sampai 2014

mengandung faktor trend dan faktor musiman sehingga dapat diramalkan

menggunakan metode pemulusan eksponensial triple.

2. Data jumlah penumpang di bandara Juanda pada bulan Januari 2008 sampai

Desember 2014 memiliki pola historis yang tidak berfluktuasi (relatif stabil)

sehingga konstanta pemulusan eksponensial ( ) yang baik digunakan adalah

yang memiliki nilai mendekati 0

3. Nilai galat terkecil pada MAPE dan MAD berturut-turut adalah 0.553261%

dan 273.7696 yaitu pada = 0.0000001, = 0.0001, dan = 0.9834

4. Banyaknya penumpang pada bandara tersebut sangat dipengaruhi oleh

pengaruh musiman namun kurang dipengaruhi oleh faktor trend sehingga nilai

peramalan yang dihasilkan tidak jauh berbeda dengan nilai pada data

sebelumnya.

DAFTAR PUSTAKA

Ayres, F. dan Medelson, E. 2012. Schaum’s Outline of Calculus. Edisi 6.McGraw-Hill, New York.

Gujarati, D. N. dan Porter, D. C. 2009. Basic Econometrics. McGraw-Hill, NewYork.

Hadi, S.1995. Statistik 2. Andi Offset, Yogyakarta.

Makridakis, S., Spyros, dan Wheelwright, S. C. 1983. Forecasting Methods andApplication. Jhon Wiley and son, New York.

Makridakis, S., Wheelwright, S. C., dan McGee, V. E. 1992. Metode dan AplikasiPeramalan. Edisi Kedua. Terjemahan Untung Sus Andriyanto. Erlangga, Jakarta.

Makridakis, S., Spyros, dan Wheelwright, S. C. 1999. Forecasting Methods andApplication. Erlangga, Jakarta.

Pankratz, A. 1991. Forecasting with Dynamic Regression Models.WilleyIntersciences Publication, Canada.

Santoso, P. B. dan Hamdani, M. 2007. Statistika Deskriptif dalam Bidang Ekonomidan Niaga. Erlangga, Jakarta.

Subagyo, P.1986. Forecasting Konsep dan Aplikasi. BPFE, Yogyakarta.

Triana, R. 2015. Aplikasi Permalan Penjualan Menggunakan Metode WinterPada Milkiwae. UPN Veteran, Yogyakarta.

Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate MethodsSecond Edition. Pearson Education Inc., Canada.

Yulianto, M. A. 2012. Analisa Time Series. 30 November 2015.https://digensia.wordpress.com/2012/08/24/analisa-time-series.