PENYELESAIAN MODEL MATEMATIS PENGEBORAN LASER …

PENYELESAIAN MODEL MATEMATIS PENGEBORAN LASER PADA

LOGAM MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Arnelya Yunita Namang

NIM: 163114016

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

PENYELESAIAN MODEL MATEMATIS PENGEBORAN LASER PADA

LOGAM MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:


NIM: 163114016

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020


ii

SOLUTION TO THE MATHEMATICAL MODEL OF LASER DRILLING

ON METALS USING THE PERTURBATION METHOD

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika

Mathematics Study Program

Written by:


Student ID: 163114016

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2020


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Kita tahu sekarang, bahwa Allah turut bekerja dalam segala sesuatu untuk

mendatangkan kebaikan bagi mereka yang mengasihi Dia, yaitu bagi mereka yang

terpanggil sesuai dengan rencana Allah.”

Roma 8:28

Skripsi ini ku persembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus yang senantiasa memberikan berkat dan penyertaan-Nya

disetiap langkah saya dan kedua orang tua tercinta, Arnoldus Dolu

Namang dan Rina Yunita, serta adek saya Gita dan Christo,

yang selalu mendoakan saya.


viii

ABSTRAK

Skripsi ini membahas tentang penyelesaian suatu masalah dalam pengeboran

laser. Secara khusus, skripsi ini memodelkan kecepatan pengeboran laser pada

beberapa bahan logam. Model matematika untuk masalah tersebut diselesaikan

dengan dua kasus. Pertama, jika konduksi panas diabaikan maka masalah akan

diselesaikan menggunakan hukum Fourier dari konduksi panas dengan 𝑘 = 0.

Kedua, jika konduksi panas diterapkan maka masalah akan diselesaikan

menggunakan metode perturbasi. Metode perturbasi adalah cara untuk

mendapatkan barisan pendekatan dimana setiap suku yang berurutan tersebut

merupakan koreksi kecil dari suku sebelumnya. Penyelesaian dari kedua model

matematika kemudian disimulasikan dalam MATLAB. Tujuan simulasi ini adalah

mencari tahu perbedaan kecepatan yang dihasilkan dan mencari model yang

terbaik.

Kata kunci: Pengeboran laser, persamaan panas, konduksi panas, metode

perturbasi.


ix

ABSTRACT

This thesis discusses the solution of a laser drilling problem. Specifically, this

thesis models the speed of laser drilling on some metals. The mathematical model

for the problem is solved in two cases. First, if heat conduction is neglected then

the problem will be solved using Fourier’s law of heat conduction with 𝑘 = 0.

Second, if heat conduction is applied, then the problem will be solved using a

perturbation method. The perturbation method is a procedure for obtaining a

sequence of approximations where each successive term is a small correction to the

previously obtained term. The solution of the both mathematical models is then

simulated in MATLAB. The purpose of the simulation is to figure out the difference

in speed and look for the best model.

Keywords: Laser drilling, heat equation, heat conduction, perturbation method.


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................................ ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

HALAMAN PERSEMBAHAN.............................................................................. v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................ vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI................................ vii

ABSTRAK ........................................................................................................... viii

ABSTRACT ........................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ............................................................................................ x

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

BAB I ...................................................................................................................... 1

PENDAHULUAN................................................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah .............................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ....................................................................................... 3

C. Batasan Masalah .......................................................................................... 4

D. Tujuan Pemulisan ........................................................................................ 4

E. Metode Penelitian ........................................................................................ 4

F. Manfaat Penulisan ....................................................................................... 4

G. Sistematika Penulisan .................................................................................. 4

BAB II ..................................................................................................................... 6

PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN HAL-HAL YANG TERKAIT .................. 6

A. Turunan ....................................................................................................... 6

B. Integral ...................................................................................................... 10

C. Klasifikasi Persamaan Diferensial............................................................. 12

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua ................................ 15

E. Persamaan Konduksi Panas ....................................................................... 16

F. Kondisi Batas ............................................................................................ 18

G. Persamaan Skala ........................................................................................ 21


xiii

H. Deret Taylor .............................................................................................. 25

I. Pemodelan Matematis ............................................................................... 29

BAB III.................................................................................................................. 31

MODEL UNTUK PENYELESAIAN PENGEBORAN LASER ......................... 31

A. Pengenalan Masalah .................................................................................. 31

B. Metode Perturbasi ..................................................................................... 39

C. Batas Perturbasi ......................................................................................... 44

D. Penyelesaian Studi Kasus Pengeboran Laser ............................................ 52

BAB IV ................................................................................................................. 58

HASIL SIMULASI ............................................................................................... 58

A. Perbedaan Antara 𝑣0 dan 𝑣1 ..................................................................... 58

B. Pembahasan Hasil Simulasi ...................................................................... 59

BAB V ................................................................................................................... 64

PENUTUP ............................................................................................................. 64

A. KESIMPULAN ......................................................................................... 64

B. SARAN ..................................................................................................... 65

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 66

LAMPIRAN .......................................................................................................... 67


1

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan

masalah, batasan masalah, tujuan masalah, metode penelitian, manfaat penulisan,

dan sistematika penulisan. Dalam menyusun Bab I buku acuan utama yang

digunakan adalah Industrial Mathematics (Fulford and Broadbridge, 2002).

A. Latar Belakang Masalah

Model matematis merupakan penyederhanaan kejadian dunia nyata dalam

bahasa matematis. Oleh sebab itu, model matematis sering digunakan untuk

mengambil keputusan. Di era modern ini, penggunaan dan keserbagunaan model

matematis telah diperkuat oleh kecanggihan komputer. Kemungkinan

kecenderungan ini akan berlanjut, karena dapat menghasilkan efisiensi dalam

memahami, menganalisis dan merancang suatu proses (Barnes and Fulford, 2009).

Banyak bidang yang telah menggunakan model matematis. Salah satu

contohnya adalah bidang industri. Bidang industri terus mengembangkan model

matematis untuk sistem operasional kerja. Jika terdapat masalah pada operasional

kerja di suatu industri, maka industri tersebut lebih memilih untuk mengganti model

matematisnya daripada memodifikasi peralatan yang berjumlah banyak. Oleh

karena itu, suatu industri menilai bahwa menggunakan model matematis akan lebih

mudah dan murah. Contoh konkret penerapan model matematis pada bidang

industri adalah pengeboran laser pada logam, seperti tampak dalam Gambar 1.1.


2

Gambar 1.1 Skematik diagram pada pengeboran laser

Pengeboran laser merupakan proses yang menggunakan laser berdaya tinggi

dan sinar elektron untuk memotong atau mengelas plat logam. Pengeboran laser ini

akan memfokuskan sejumlah energi yang besar ke area kecil permukaan logam.

Proses ini merupakan masalah konduksi panas dengan perubahan wujud dari padat

menjadi gas. Akibat dari pemanasan ini akan terbentuk lubang pada logam.

Konduksi panas adalah proses perpindahan panas yang mengalir dari tempat

yang bersuhu tinggi ke tempat yang bersuhu rendah dan media penghantar panasnya

tetap. Dengan menggunakan hukum Fourier dari persamaan konduksi panas,

Fulford and Broadbridge (2002) mengusulkan persamaan untuk kecepatan

pengeboran 𝑑𝑠/𝑑𝑡, yaitu

𝜌𝜆𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑄0

𝐴+ 𝑘

𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝑠(𝑡), 𝑡)

dengan 𝜌 adalah massa jenis bahan material yang digunakan, 𝜆 adalah panas laten,

𝑄0 adalah daya laser, 𝐴 adalah luas area yang di bor, 𝑘 adalah konstanta

konduktivitas, 𝑠(𝑡) adalah jarak lubang yang terbentuk pada saat 𝑡 (waktu) dan 𝑢

adalah suhu pada logam. Dimisalkan suhu pada logam memenuhi persamaan panas

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝛼

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2, untuk 𝑥 > 𝑠(𝑡)

plat baja

laser


3

dengan distribusi suhu awal 𝑢(𝑥, 0) = 0, kondisi batas 𝑢(𝑠(𝑡), 𝑡) = 𝑢𝑣 dan

𝑢(∞, 𝑡) → 0. Di sini 𝑢𝑣 diketahui, sedangkan 𝑠(𝑡) dan 𝑑𝑠/𝑑𝑡 akan ditentukan.

Kecepatan pengeboran akan mudah diselesaikan jika mengabaikan konduksi

panas pada logam. Jadi, dengan mudah didapat estimasi untuk kecepatan

pengeboran dengan 𝑘 = 0 , yaitu

𝑣0 =𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑄0

𝜌𝜆𝐴.

Namun demikian, untuk mencari kecepatan pengeboran laser dengan 𝑘 ≠ 0,

diperlukan pendekatan dengan menggunakan metode perturbasi sehingga

penyelesaiannya lebih mudah. Dengan demikian, didapat estimasi baru untuk

kecepatan pengeboran dengan 𝑘 ≠ 0, yaitu

𝑣1 =𝑑𝑠

𝑑𝑡= (1 −

𝑐𝑢𝑣

𝜆) 𝑣0 = (1 −

𝑐𝑢𝑣

𝜆)

𝑄0

𝜌𝜆𝐴

dimana c merupakan panas spesifik.

Pada skripsi ini, penulis akan membahas seberapa cepat lubang yang dibentuk

oleh daya laser yang diberikan sehingga menyinari per satuan luas pada logam.

Selama proses pengeboran, semakin besar energi laser yang diberikan, semakin

banyak logam yang akan diuapkan.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana model matematis kecepatan pengeboran laser pada logam?

2. Bagaimana penyelesaian model matematis kecepatan pengeboran laser pada

logam?

3. Bagaimana hasil pendekatan penyelesaian tersebut dengan metode

perturbasi?


4

C. Batasan Masalah

Dalam skripsi ini hanya akan dibahas tentang penentuan kecepatan pengeboran

laser pada logam yang berdimensi satu. Selain itu akan dibahas pendekatan

penyelesaian dengan metode perturbasi.

D. Tujuan Pemulisan

Tujuan penulisan ini adalah untuk menyelesaikan dan menganalisis kecepatan

pengeboran laser pada logam yang berdimensi satu menggunakan metode

perturbasi.

E. Metode Penelitian

Metode penulisan yang dipergunakan adalah metode pustaka, yaitu dengan

membaca dan mempelajari buku-buku dan jurnal-jurnal, serta praktik komputer

menggunakan MATLAB. Jenis-jenis sumber pustaka yang digunakan tercantum

dalam daftar pustaka.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah mengetahui cara

memodelkan dan menyelesaikan suatu permasalahan nyata yaitu pengeboran laser.

G. Sistematika Penulisan

Sistematika skripsi ini adalah sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Metode Penulisan

F. Manfaat Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN HAL-HAL TERKAIT


5

A. Turunan

B. Integral

C. Klasifikasi Persamaan Diferensial

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua

E. Persamaan Konduksi Panas

F. Kondisi Batas

G. Persamaan Skala

H. Deret Taylor

I. Pemodelan Matematis

BAB III MODEL UNTUK PENYELESAIAN PENGEBORAN LASER

A. Pengenalan Masalah

B. Metode Perturbasi

C. Batas Perturbasi

D. Penyelesaian Studi Kasus Pengeboran Laser

BAB IV HASIL SIMULASI

A. Perbedaan Antara 𝑣0 dan 𝑣1

B. Pembahasan Hasil Simulasi

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


6

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN HAL-HAL YANG TERKAIT

Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar-dasar teori yang digunakan pada

skripsi ini. Dasar-dasar teori yang digunakan adalah turunan, integral, klasifikasi

persamaan diferensial, klasifikasi persamaan diferensial parsial orde dua,

persamaan konduksi panas, kondisi batas, persamaan skala, deret Taylor dan

pemodelan matematis. Dalam menyusun Bab II buku acuan utama yang digunakan

adalah Calculus (Smith and Minton, 2006) dan Industrial Mathematics (Fulford

and Broadbridge, 2002).

A. Turunan

Dalam subbab ini akan dibahas mengenai turunan dengan menggunakan

referesi buku Calculus (Smith and Minton, 2006).

Definisi 2.1

Turunan dari fungsi 𝑓(𝑥) di 𝑥 = 𝑎 didefiniskan sebagai

𝑓′(𝑎) = limℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

dengan syarat limitnya ada. Jika limitnya ada, maka 𝑓 dapat diturunkan di 𝑥 = 𝑎.

Contoh 2.1

Hitunglah turunan dari 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥 − 1 di 𝑥 = 1.

Solusi:

𝑓′(1) = limℎ→0

𝑓(1 + ℎ) − 𝑓(1)

ℎ

= limℎ→0

[3(1 + ℎ)3 + 2(1 + ℎ) − 1] − (3 + 2 − 1)

ℎ

= limℎ→0

[3(1 + 3ℎ + 3ℎ2 + ℎ3) + (2 + 2ℎ) − 1] − 4

ℎ


7

= limℎ→0

11ℎ + 9ℎ2 + 3ℎ3

ℎ

= limℎ→0

11 + 9ℎ + 3ℎ2 = 11

Jadi, turunan dari 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥 − 1 di 𝑥 = 1 adalah 11.

Contoh 2.1 dapat dibuat secara umum. Jika perlu menemukan 𝑓′(2), 𝑓′(3) dan

seterusnya tidak perlu mengulangi perhitungan diatas. Hanya perlu mengganti 𝑎

menjadi 𝑥.

Contoh 2.2

Hitunglah turunan dari 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥 − 1 di 𝑥 yang tidak diketahui. Kemudian

hitunglah turunan di 𝑥 = 2 dan 𝑥 = 3.

Solusi:

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

[3(𝑥 + ℎ)3 + 2(𝑥 + ℎ) − 1] − (3𝑥3 + 2𝑥 − 1)

ℎ

= limℎ→0

[3(𝑥3 + 3𝑥2ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3) + (2𝑥 + 2ℎ) − 1] − 3𝑥3 − 2𝑥 + 1

ℎ

= limℎ→0

9𝑥2ℎ + 9𝑥ℎ2 + 3ℎ3 + ℎ3 + 2ℎ

ℎ

= limℎ→0

9𝑥2 + 9𝑥ℎ + 3ℎ2 + ℎ2 + 2

= 9𝑥2 + 2

Jadi, turunan di 𝑥 = 2 dan 𝑥 = 3 didapat dengan mensubstitusikannya ke

persamaan 𝑓′(𝑥) = 9𝑥2 + 2, sehingga 𝑓′(2) = 9(2)2 + 2 = 38 dan 𝑓′(3) =

9(3)2 + 2 = 83.

Teorema 2.1 (Aturan Pangkat)

Untuk bilangan bulat 𝑛,

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1.


8

Bukti:

Menggunakan definisi turunan, jika 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, maka

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ= lim

ℎ→0 (𝑥 + ℎ)𝑛 − 𝑥𝑛

ℎ.

Untuk menaksir limit diatas, akan disederhanakan terlebih dahulu bentuk dari

pembilangnya. Jika 𝑛 adalah bilangan bulat positif, maka (𝑥 + ℎ)𝑛 dapat

ditemukan, yaitu

(𝑥 + ℎ)𝑛 = 𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑛−1ℎ +𝑛(𝑛 − 1)

2𝑥𝑛−2ℎ2 + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛.

Dengan mensubstitusi bentuk (𝑥 + ℎ)𝑛 ke bentuk limit, didapat

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑛−1ℎ +

𝑛(𝑛 − 1)2 𝑥𝑛−2ℎ2 + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛 − 𝑥𝑛

ℎ

= limℎ→0

𝑛𝑥𝑛−1ℎ +

𝑛(𝑛 − 1)2 𝑥𝑛−2ℎ2 + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛

ℎ

= limℎ→0

ℎ [𝑛𝑥𝑛−1 +

𝑛(𝑛 − 1)2 𝑥𝑛−2ℎ + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−2 + ℎ𝑛−1]

ℎ

= limℎ→0

[𝑛𝑥𝑛−1 +𝑛(𝑛 − 1)

2𝑥𝑛−2ℎ + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−2 + ℎ𝑛−1]

= 𝑛𝑥𝑛−1

Terbukti.∎

Contoh 2.3

Carilah turunan dari 1/𝑥19, √𝑥23 dan 𝑥𝜋.

Solusi:

Pertama, akan dicari terlebih dahulu turunan dari 1/𝑥19, yaitu

𝑑

𝑑𝑥(

1

𝑥19) =

𝑑

𝑑𝑥𝑥−19 = −19𝑥−19−1 = −19𝑥−20 = −

19

𝑥20.

Dengan cara yang sama, akan dicari turunan dari √𝑥23, yaitu


9

𝑑

𝑑𝑥√𝑥23

=𝑑

𝑑𝑥𝑥2 3 ⁄ =

2

3𝑥2 3 ⁄ −1 =

2

3𝑥−1 3⁄ =

2

3√𝑥3 .

Kemudian, yang terakhir adalah turunan dari 𝑥𝜋, yaitu

𝑑

𝑑𝑥 𝑥𝜋 = 𝜋𝑥𝜋−1.

Teorema 2.2 (Aturan Rantai)

Jika 𝑔 dapat diturunkan terhadap 𝑥 dan 𝑓 dapat diturunkan terhadap 𝑔(𝑥), maka

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑔(𝑥))] = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥).

Bukti:

Misalkan 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) dimana 𝑔(𝑥) ≠ 0, maka

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑔(𝑥))] = 𝐹′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑔(𝑥 + ℎ)) − 𝑓(𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑔(𝑥 + ℎ)) − 𝑓(𝑔(𝑥))

ℎ 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

= lim𝑔(𝑥+ℎ)→𝑔(𝑥)

𝑓(𝑔(𝑥 + ℎ)) − 𝑓(𝑔(𝑥))

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) limℎ→0

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ

= 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)

Terbukti.∎

Notasi Leibniz untuk aturan rantai juga sering digunakan. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan

𝑢 = 𝑔(𝑥), maka aturan rantai 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) dapat dinyatakan sebagai

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥.

Contoh 2.4

Carilah turunan dari 𝑦 = (𝑥3 + 𝑥 − 1)5.


10

Solusi:

Misalkan 𝑢 = 𝑥3 + 𝑥 − 1 sehingga 𝑦 = 𝑢5.

Menurut notasi Leibniz,

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑢(𝑢5)

𝑑𝑢

𝑑𝑥

= 5𝑢4𝑑

𝑑𝑥(𝑥3 + 𝑥 − 1)

= 5(𝑥3 + 𝑥 − 1)4(3𝑥2 + 1)

Contoh 2.5

Carilah turunan dari 𝑓(𝑥) = sin(2𝑥).

Solusi:

Misalkan 𝑢 = 2𝑥 sehingga 𝑦 = sin 𝑢.

Menurut notasi Leibniz,

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥= cos 𝑢

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥)

= cos(2𝑥)𝑑

𝑑𝑥(2𝑥)

= 2 cos 2𝑥.

B. Integral

Pada subbab ini akan dibahas mengenai integral dengan menggunakan referesi

buku Calculus (Smith and Minton, 2006).

Definisi 2.2

Misalkan 𝐹 adalah anti turunan dari 𝑓. Integral tak tentu dari 𝑓(𝑥) (terhadap 𝑥),

didefinisikan sebagai

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐

dimana 𝑐 adalah sebarang konstanta (konstanta dari integral).

Contoh 2.6

Carilah ∫ 3𝑥2 𝑑𝑥.


11

Solusi:

Diketahui bahwa 3𝑥2 adalah turunan dari 𝑥3, jadi

∫ 3𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝑐.

Teorema 2.3 (Aturan Pangkat)

Untuk pangkat rasional 𝑟 ≠ −1,

∫ 𝑥𝑟 𝑑𝑥 =1

𝑟 + 1𝑥𝑟+1 + 𝑐

Bukti:

Diketahui

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑟+1 = (𝑟 + 1)𝑥𝑟,

sehingga

𝑑

𝑑𝑥

𝑥𝑟+1

𝑟 + 1= 𝑥𝑟.

Sehingga didapat anti turunan dari 𝑓(𝑥) yaitu

𝑥𝑟+1

𝑟 + 1.

Jadi, menurut definisi integral didapat

∫ 𝑥𝑟 𝑑𝑥 =1

𝑟 + 1𝑥𝑟+1 + 𝑐

dimana 𝑐 adalah sebarang konstanta.

Terbukti.∎

Contoh 2.7

Hitunglah ∫ 1/(3𝑥2) 𝑑𝑥.

Solusi:


12

∫1

3𝑥2 𝑑𝑥 = ∫

1

3𝑥−2 𝑑𝑥 =

1

3

1

−2 + 1𝑥−2+1 + 𝑐 =

1

3 (−1)𝑥−1 + 𝑐 = −

1

3𝑥+ 𝑐.

C. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Pada subbab ini akan dibahas mengenai klasifikasi persamaan diferensial

dengan menggunakan referesi buku A First Course in Differential Equation with

Modeling Applications (Zill, 2009).

Definisi 2.3

Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang memuat turunan dari satu

atau lebih variabel bergantung terhadap satu atau lebih variabel bebas.

Persamaan diferensial diklasifikasikan berdasarkan banyaknya variabel bebas,

tingkat (orde) dan linearitas. Berikut ini akan dijelaskan satu per satu.

1. Klasifikasi berdasarkan banyaknya variabel bebas

Berdasarkan banyaknya variabel bebas, persamaan diferensial dibagi

menjadi dua, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial

parsial.

Definisi 2.4

Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan yang hanya berisi

turunan biasa dari satu atau lebih variabel bergantung terhadap satu variabel

bebas.

Contoh 2.8

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 5𝑦 = 𝑒𝑥

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2−

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6𝑦 = 0

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 2𝑥 + 𝑦


13

Definisi 2.5

Persamaan diferensial parsial adalah sebuah persamaan yang melibatkan

turunan parsial dari satu atau lebih variabel bergantung terhadap dua atau lebih

variabel bebas.

Contoh 2.9

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝑑𝑦2= 0

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2=

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2− 2

𝜕𝑢

𝜕𝑡

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −

𝜕𝑣

𝜕𝑥

2. Klasifikasi berdasarkan orde

Pada subbab ini akan diklasifikasikan persamaan diferensial biasa maupun

parsial sesuai dengan orde turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan.

Untuk itu diberikan definisi berikut ini.

Definisi 2.6

Orde dari persamaan diferensial biasa maupun persamaan diferensial parsial

adalah orde dari turunan tertinggi yang terlibat di dalam persamaan diferensial

tersebut.

Contoh 2.10

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 5 (

𝑑𝑦

𝑑𝑥)

3

− 4𝑦 = 𝑒𝑥

Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa persamaan diferensial diatas memiliki

orde 2.

3. Klasifikasi berdasarkan linearitas

Berdasarkan linearitas, persamaan diferensial biasa dibagi menjadi dua

yaitu persamaan diferensial biasa linear dan persamaan diferensial biasa non

linear.


14

Definisi 2.7

Sebuah persamaan diferensial biasa berorde 𝑛 dikatakan linear dengan variabel

bergantung 𝑦 dan variabel bebas 𝑥, jika persamaan tersebut dapat dituliskan

dalam bentuk

𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1(𝑥)

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥).

Contoh 2.11

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 3𝑦 = 0

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 5𝑦 = 𝑒𝑥

Kedua persamaan diferensial berikut adalah linear. Kedua persamaan

diferensial berikut memiliki variabel bergantung 𝑦. Perhatikan bahwa 𝑦 dan

turunan-turunannya terjadi dengan pangkat satu saja dan tidak ada perkalian

dari 𝑦 dan/atau turunan dari 𝑦.

Definisi 2.8

Persamaan diferensial biasa dikatakan nonlinear jika persamaan diferensial

tersebut tidak linear.

Contoh 2.12

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 3𝑦2 = 0

Persamaan diatas nonlinear karena variabel bergantung 𝑦 muncul pada pangkat

kedua dalam bentuk 3𝑦2.

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3+ 𝑥 (

𝑑𝑦

𝑑𝑥)

4

− 5𝑦 = 𝑒𝑥

Persamaan ini nonlinear karena terdapat suku 𝑥(𝑑𝑦/𝑑𝑥)4, yang melibatkan

pangkat empat pada turunan pertama.


15

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua

Pada subbab ini akan dibahas mengenai klasifikasi persamaan diferensial

parsial orde dua dengan menggunakan referesi buku An Introduction to Partial

Differential Equations with MATLAB (Coleman, 2013). Bentuk umum persamaan

diferensial parsial linear orde dua ditulis sebagai berikut,

𝐴𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝐵

𝜕2𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝐶

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+ 𝐷

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝐹

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝐺𝑢(𝑥, 𝑦) = 0

(2.1)

dimana 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) dan 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐹 dan 𝐺 merupakan fungsi dari 𝑥 dan 𝑦.

Definisi 2.9

Persamaan (2.1) dikatakan

1. Hiperbolik jika 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0

2. Parabolik jika 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0

3. Eliptik jika 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0

Penjelasan singkat klasifikasi persamaan diferensial parsial diatas akan

dirangkum dalam Tabel 2.1.

Tabel 2.1 Klasifikasi persamaan diferensial parsial orde dua

No. 𝑩𝟐 − 𝟒𝑨𝑪 Kategori Contoh

1. > 0 Hiperbolik

Persamaan gelombang

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2− 𝑐2

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 0

2. = 0 Parabolik

Persamaan konduksi panas

𝜕𝑢

𝜕𝑡− 𝛼2

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 0

3. < 0 Eliptik

Persamaan Laplace

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2= 0


16

E. Persamaan Konduksi Panas

Pada subbab ini akan dibahas mengenai persamaan konduksi panas dengan

menggunakan referesi buku Industrial Mathematics (Fulford and Broadbridge,

2002). Persamaan yang menggambarkan konduksi panas adalah persamaan

konduksi panas atau biasa disingkat persamaan panas. Misalkan ada aliran panas

dalam batang padat dengan penampang melingkar 𝐴. Asumsikan bahwa permukaan

batang diisolasi dengan sempurna sehingga tidak ada panas yang lepas secara

radial. Dengan demikian arah aliran panas hanya dalam arah longitudinal

(sepanjang sumbu simetri batang). Misalkan suhu awal pada batang rendah dan

seragam, kemudian salah satu ujungnya tiba-tiba dinaikkan ke suhu yang lebih

tinggi, maka panas akan mengalir dalam arah 𝑥, dari panas ke dingin, seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 2.1.

Gambar 2.1 Konduksi panas pada batang

Misalkan 𝛿𝑥 adalah ketebalan penampang yang melalui batang pada titik 𝑥,

dimana 𝛿𝑥 dianggap lebih kecil dibandingkan dengan 𝑥. Saat panas mengalir di

sepanjang batang, sebagian dari panas akan diserap oleh batang sehingga

meningkatkan suhu batang. Sebagai akibat, ketika panas mengalir di penampang 𝑥

jumlah panas yang mengalir di 𝑥 + 𝛿𝑥 berbeda atau bisa ditulis dengan konservasi

energi

{laju perubahan

panas} = {

laju konduksi panas yang masuk dan keluar dari penampang

}. (2.2)

Hal ini mengasumsikan bahwa tidak ada panas yang diproduksi di dalam batang

atau tidak ada panas yang lepas dari permukaan batang.

panas dingin 𝑥

𝑥 𝑥 + 𝛿𝑥


17

1. Merumuskan persamaan

Misalkan 𝑢(𝑥, 𝑡) menunjukkan suhu batang pada posisi 𝑥 dan waktu 𝑡.

Karena tidak ada aliran radial maka suhu penampang akan konstan jika suhu

awalnya konstan pula. Misalkan fluks panas 𝐽(𝑥, 𝑡) didefinisikan sebagai laju

panas yang melewati penampang per satuan luas dan per satuan waktu.

Sehingga suku fluks panas dan suku pada sisi kanan persamaan (2.2) menjadi

{laju konduksi panas yang

masuk dan keluar dari penampang} = 𝐽(𝑥, 𝑡)𝐴 − 𝐽(𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑡)𝐴

(2.3)

Sekarang akan dihubungkan sisi kiri dari persamaan (2.2) dengan suhu.

Sebagian energi panas diserap oleh batang dan menyebabkan suhu batang

berubah. Dalam nilai waktu yang kecil 𝛿𝑡, suhu pada 𝑥 diubah sejumlah

𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑢(𝑥, 𝑡). Jumlah panas yang diperlukan untuk mengubah suhu

seluruh massa penampang sebanding dengan massa penampang dan perbedaan

suhu. Jadi,

{laju perubahan

panas} = 𝑐𝜌𝐴𝛿𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑡(𝑥1, 𝑡)

(2.4)

dimana 𝑥1 adalah interval antara titik 𝑥 < 𝑥1 < 𝑥 + 𝛿𝑥. Disini, 𝐴𝛿𝑥 adalah

volume penampang, 𝜌 adalah massa jenis dan 𝑐 adalah panas spesifik. Panas

spesifik sering dianggap konstan untuk bahan tertentu dengan variasi suhu

yang tidak terlalu besar.

Dengan mensubstitusi persamaan (2.3) dan (2.4) ke persamaan (2.2) dan

membagi dengan 𝛿𝑥, didapatkan

𝑐𝜌𝐴𝜕𝑢

𝜕𝑡= −

[𝐽(𝑥, 𝑡) − 𝐽(𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑡)]

𝛿𝑥𝐴.

(2.5)

Misalkan 𝛿𝑥 menuju nol sehingga didapat

𝑐𝜌𝜕𝑢

𝜕𝑡= −

𝜕𝐽

𝜕𝑥.

(2.6)

Persamaan (2.6) perlu dilengkapi dengan persamaan pokok yang

menghubungkan fluks panas 𝐽 dengan suhu 𝑢. Untuk konduksi panas akan

digunakan hukum Fourier.


18

2. Hukum Fourier

Akan dihubungkan suku kanan dari persamaan (2.6) dengan suhu. Untuk

pendekatan yang baik, fluks panas harus sebanding dengan gradien suhu. Hal

ini dikenal dengan hukum Fourier setelah matematikawan dan ilmuwan Prancis

menerbitkan buku matematika pertama tentang teori panas (dikenal juga

sebagai deret Fourier atau transformasi Fourier).

Hukum Fourier ditulis sebagai berikut

𝐽(𝑥, 𝑡) = −𝑘𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝑥, 𝑡)

(2.7)

dimana 𝑘 adalah konduktivitas termal. Dalam beberapa masalah aliran panas,

𝑘 bisa berupa fungsi 𝑢, 𝑥 atau 𝑡. Namun dalam model matematika, 𝑘 biasanya

diasumsikan lebih sederhana diawal dengan 𝑘 = konstanta. Kemudian, asumsi

ini bisa diturunkan kembali, jika diperlukan.

Dengan mensubstitusi hukum Fourier (2.7) dengan persamaan konservasi

energi (2.6) akan didapat

𝑐𝜌𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝑘

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

anggap konduktivitas 𝑘 sebagai konstanta. Persamaan ini sering ditulis dalam

bentuk berikut

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝛼

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2, 𝛼 =

𝑘

𝜌𝑐

(2.8)

yang dikenal sebagai persamaan panas. Di sini konstanta , 𝛼 = 𝑘/𝜌𝑐 disebut

difusi panas. Hal ini mencirikan kemampuan energi panas untuk berdifusi

melalui bahan yang diberikan. Persamaan panas (2.8) adalah persamaan

diferensial parsial dalam dua variabel bebas yaitu waktu 𝑡 dan posisi 𝑥.

F. Kondisi Batas

Pada subbab ini akan dibahas mengenai kondisi batas pada masalah konduksi

panas dengan menggunakan referensi buku Industrial Mathematics (Fulford and

Broadbridge, 2002). Sebagai contoh kondisi batas adalah masalah difusi.

Persamaan klasik difusi panas untuk aliran panas pada batang adalah


19

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝛼

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

(2.9)

yang merupakan persamaan diferensial orde dua untuk ruang dan persamaan

diferensial orde satu untuk waktu. Diperlukan satu kondisi awal (distribusi suhu

awal) dan dua kondisi batas, satu di setiap ujung batang.

Untuk persamaan panas tiga dimensi

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝛼∇2𝑢

diperlukan kondisi awal dan data yang ditentukan pada batas domain masalah. Ada

beberapa bentuk umum kondisi batas yang terjadi dalam masalah sederhana seperti

berikut ini,

1. Kondisi batas suhu yang ditentukan

Kondisi batas suhu yang ditentukan merupakan jenis kondisi batas yang

sederhana. Di sini, suhu pada sebuah batas ditentukan oleh fungsi dari waktu,

biasanya sebuah konstanta, meskipun mungkin fungsi waktu tertentu. Sebagai

contoh

𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑢1 (2.10)

dimana 𝑢1 adalah konstanta. Hal ini mungkin terjadi ketika salah satu ujung

pipa panas direndam dalam bak besar berisi air es pada suhu 0℃, jadi pada

persamaan (2.9) 𝑢1 = 0. Pada literatur matematika, hal ini disebut kondisi

batas Dirichlet.

2. Kondisi batas fluks panas yang ditentukan

Kondisi batas lainnya adalah laju aliran panas dengan batas yang

diketahui. Biasanya suku dari fluks panas ditentukan, misalnya

𝐽(𝐿, 𝑡) = −𝑘𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝐿, 𝑡) = 𝐽1

(2.11)

dimana 𝑘 adalah konduktivitas. Perhatikan bahwa 𝐽1 menjelaskan massa jenis

fluks panas yang ditentukan melalui penampang pada arah 𝑥. Sebagai contoh

pemanas air tenaga surya. Misalkan ada arus masuk 10 watt m2⁄ , (berlawanan

arah dengan sumbu 𝑥) maka kondisi batas pada 𝑥 = 𝐿 diberikan oleh


20

𝐽(𝐿, 𝑡) = −𝑘𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝐿, 𝑡) = −10 watt

dimana tanda negatif menandakan bahwa aliran panas ke arah 𝑥 negatif. Pada

literatur matematika, hal ini disebut kondisi batas Neumann.

Kasus khusus dari kondisi batas fluks yang ditentukan terjadi untuk isolasi

sempurna dimana tidak ada panas yang bisa melewati batas. Dengan demikian

persamaan (2.11) menjadi

𝐽(𝐿, 𝑡) = 0.

Dengan menggunakan hukum Fourier, 𝐽 = −𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑥⁄ , persamaan diatas dapat

ditulis sebagai

𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝐿, 𝑡) = 0

(2.12)

3. Kondisi batas pendinginan Newton

Kondisi batas lain yang menyebabkan isolasi tidak sempurna adalah

hukum pendinginan Newton atau disebut (pendinginan konvektif). Hukum

pendinginan Newton sebuah model empiris yang lebih dari sekedar hukum

yang menyatakan bahwa laju massa jenis fluks panas yang lepas sebanding

dengan perbedaan suhu bahan dan lingkungannya. Hal ini dinyatakan dengan

𝐽(𝐿, 𝑡) = ±ℎ[𝑢(𝐿, 𝑡) − 𝑢𝑠].

Dimana faktor proporsional ℎ disebut koefisien perpindahan panas dan 𝑢𝑠

adalah suhu lingkungan. Tanda yang sesuai dipilih untuk memberikan tanda 𝐽

yang benar dalam masalah apapun. Dengan menggunakan hukum Fourier,

−𝑘𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝐿, 𝑡) = ±ℎ[𝑢(𝐿, 𝑡) − 𝑢𝑠].

Pada literatur matematika, persamaan diatas disebut sebagai kondisi batas

Robin.

Nilai dari ℎ tergantung pada jenis bahan dan kecepatan fluida yang

mengalir melewati sekitarnya. Jadi, jika angin dingin kuat maka panas lepas

lebih cepat akibatnya nilai ℎ menjadi lebih tinggi. Hal ini disebut dengan faktor

angin dingin. Dalam kasus ℎ = 0 akan diperoleh kembali kondisi isolasi


21

sempurna (2.12). Begitu pula (1/ℎ) → 0 akan diperoleh kembali kondisi suhu

yang ditentukan (2.10).

4. Kondisi batas kontinuitas

Jenis lainnya dari kondisi batas yang terjadi pada masalah konduksi panas

adalah kontak termal antara dua media yang berbeda. Media-media tersebut

dikatakan berada dalam kontak sempurna jika media tersebut dilas dengan kuat

sehingga panas dapat mengalir dengan lancar. Asumsikan bahwa suhu 𝑢(𝑥, 𝑡)

dan massa jenis fluks panas 𝐽(𝑥, 𝑡) kontinu melintasi batas misalnya

𝑢1(𝐿, 𝑡) = 𝑢2(𝐿, 𝑡),

𝐽1(𝐿, 𝑡) = 𝐽2(𝐿, 𝑡),

dimana 𝑢1 dan 𝐽1 berkorespondensi dengan suhu dan fluks panas pada sisi batas

𝑥 = 𝐿 dan 𝑢2 dan 𝐽2 berkorespondensi dengan suhu dan fluks panas ujung

lainnya.

5. Batas bergerak

Batas bergerak terjadi dalam masalah yang melibatkan peleburan dan

pemadatan. Batas ini lebih rumit karena tidak diketahui lokasi sebenarnya dari

batas sebelum menyelesaikan masalah.

G. Persamaan Skala

Pada subbab ini akan dibahas mengenai persamaan skala dengan menggunakan

referensi buku Industrial Mathematics (Fulford and Broadbridge, 2002). Dalam

memodelkan sebuah sistem fisika yang rumit, tahap awal dalam pengembangan

model adalah mengabaikan faktor yang paling tidak berpengaruh.

1. Penggunaan penskalaan

Proses membuat persamaan diferensial dan kondisi batas tanpa dimensi

disebut penskalaan. Jadi jika nilai parameter tak berdimensi sangat kecil (atau

sangat besar) dimungkinkan untuk mengabaikan satu atau lebih suku dari

persamaan tersebut, dengan tujuan mendapatkan penyederhanaan masalah

yang signifikan.


22

Contoh masalah

Misalkan persamaan panas satu dimensi untuk batang dengan panjang ℓ. Suhu

pada salah satu ujung batang ditentukan sedangkan pada ujung batang lainnya

(𝑥 = ℓ) didinginkan oleh pendingin Newton sampai suhu nol.

Model matematika persamaan panas adalah

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝛼

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

(2.13)

dimana 𝛼 adalah difusi panas.

Pada ujung batang, kondisi batas suhu ditentukan dengan

𝑢(0, 𝑡) = 𝑢1 (2.14)

dan ujung batang lainnya, memiliki kondisi batas pendinginan Newton

−𝑘𝜕𝑢

𝜕𝑥= ℎ𝑢(ℓ , t)

(2.15)

dimana 𝑘 adalah konduktivitas dan ℎ adalah koefisien perpindahan panas.

2. Variabel tanpa dimensi

Ide dasar dalam penskalaan ini adalah memilih konstanta yang memiliki

dimensi yang sama dengan variabel pada persamaan (sebut skala). Setelah itu

akan didapat variabel tanpa dimensi dengan membagi variabel skala terhadap

variabel asli, kemudian substitusi model matematika ke kondisi batas dan

kondisi awal.

Parameter pada masalah diatas adalah ℓ, 𝛼, 𝑢1, 𝑘 dan ℎ. Parameter berikut

akan digunakan untuk mencari skala dari variabel 𝑢, 𝑥 dan 𝑡. Skala untuk 𝑥 dan

𝑢 mudah ditemukan karena ada konstanta yang memiliki dimensi yang sama

dengan variabel 𝑥 dan 𝑢 yaitu ℓ untuk 𝑥 dan 𝑢1 untuk 𝑢. Tidak ada parameter

tunggal dengan dimensi waktu untuk digunakan pada skala 𝑡, sehingga perlu

dibuat dari parameter-parameter yang tersedia. Kemungkinan pertama adalah

kombinasi ℓ2/𝛼 yang memiliki dimensi [ℓ2/𝛼] = 𝑇.

Akan diperkenalkan rasio tanpa dimensi sebuah variabel. Didefinisikan

panjang 𝑋 tanpa dimensi, waktu 𝑇 tanpa dimensi dan suhu 𝑈 tanpa dimensi

dengan


23

𝑋 =𝑥

ℓ, 𝑇 =

𝛼𝑡

ℓ2, 𝑈 =

𝑢

𝑢1

(2.16)

Contoh 2.13

Dengan menggunakan aturan rantai dan mengubah variabel (2.16), nyatakan

𝜕𝑢 𝜕𝑥⁄ dan 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2⁄ ke dalam suku tanpa dimensi dari variabel 𝑈 dan 𝑋.

Solusi:

Dari persamaan (2.16)

𝑥 = ℓ𝑋, 𝑡 =ℓ2

𝛼𝑇, 𝑢 = 𝑢1𝑈

(2.17)

dengan aturan rantai,

𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑋(𝑢1𝑈) ×

𝑑𝑋

𝑑𝑥= (

𝑢1

ℓ)

𝜕𝑈

𝜕𝑋

kemudian digunakan aturan rantai kembali

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2=

𝜕

𝜕𝑥(

𝜕𝑢

𝜕𝑥) =

𝜕

𝜕𝑋(

𝑢1

ℓ

𝜕𝑈

𝜕𝑋) ×

𝑑𝑋

𝑑𝑥= (

𝑢1

ℓ2)

𝜕2𝑈

𝜕𝑋2

Jika dilihat pola yang terjadi, efek pada variabel bergantung 𝑢 adalah

mengalikannya dengan skala 𝑢1. Efek pada variabel bebas 𝑥 adalah

membaginya dengan skala ℓ, untuk setiap orde dari diferensiasi. Secara umum,

jika

𝑢 = 𝑢0𝑈, 𝑥 = 𝑥0𝑋, 𝑡 = 𝑡0𝑇

maka

𝜕𝑚+𝑛𝑢

𝜕𝑥𝑚𝜕𝑡𝑛= (

𝑢0

𝑥0𝑚𝑡0

𝑛)𝜕𝑚+𝑛𝑈

𝜕𝑋𝑚𝜕𝑇𝑛.

(2.18)

Contoh 2.14

Gunakan rumus (2.18) untuk menyatakan turunan 𝜕𝑢 𝜕𝑡⁄ dan 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2⁄ pada

suku variabel tanpa dimensi 𝑈, 𝑋 dan 𝑇.

Solusi:


24

Misalkan 𝑡0 = ℓ2 𝛼⁄ , 𝑥0 = ℓ, 𝑢0 = 𝑢1 dan jika 𝜕𝑢 𝜕𝑡⁄ maka 𝑚 = 0, 𝑛 = 1,

𝜕𝑢

𝜕𝑡=

𝑢0

ℓ2 𝛼⁄ 𝜕𝑈

𝜕𝑇.

Jika 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2⁄ maka 𝑚 = 2, 𝑛 = 0 dan 𝑥0 = ℓ,

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2=

𝑢0

ℓ2 𝜕2𝑈

𝜕𝑋2.

Dengan menerapkan rumus (2.18) turunan persamaan diferensial tanpa dimensi

cepat ditemukan tanpa harus menggunakan aturan rantai pada turunan.

3. Penskalaan untuk persamaan diferensial parsial

Pada subbab ini, persamaan (2.17) akan digunakan untuk mengubah

variabel dimensi pada persamaan (2.13) menjadi tanpa dimensi. Pada

prinsipnya, digunakan kembali aturan rantai, namun pada praktiknya akan

digunakan rumus (2.18) karena hubungan antar variabel hanya mengalikan

dengan konstanta yang merupakan perubahan variabel sederhana.

Contoh 2.15

Dengan menggunakan skala (2.16), nyatakan persamaan (2.13) ke dalam

persamaan diferensial parsial tanpa dimensi dengan variabel 𝑈, 𝑋 dan 𝑇.

Solusi:

Dari Contoh 2.13 dan Contoh 2.14 persamaan diferensial partial (2.13) menjadi

(𝑢1

ℓ2 𝛼⁄)

𝜕𝑈

𝜕𝑇= 𝛼 (

𝑢1

ℓ2)

𝜕2𝑈

𝜕𝑋2

atau jika disederhanakan menjadi

𝜕𝑈

𝜕𝑇=

𝜕2𝑈

𝜕𝑋2.

4. Penskalaan untuk kondisi batas

Penskalaan kondisi batas berguna untuk menuliskan apa yang dimaksud

kondisi batas. Sebagai contoh, kondisi batas 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢1 bisa ditulis


25

𝑢 = 𝑢1 dimana 𝑥 = 0.

Kemudian, variabel huruf kecil cukup diganti dengan variabel huruf kapital

menggunakan (2.16)

Contoh 2.16

Ubah kedua skala kondisi batas berikut

𝑢(0, 𝑡) = 𝑢1, −𝑘𝜕𝑢

𝜕𝑥(ℓ, 𝑡) = ℎ𝑢(ℓ, 𝑡).

menggunakan perubahan variabel (2.17).

Solusi:

Kedua kondisi batas dapat ditulis sebagai

𝑢 = 𝑢1 jika 𝑥 = 0, −𝑘𝜕𝑢

𝜕𝑥(ℓ, 𝑡) = ℎ𝑢 jika 𝑥 = ℓ.

Dengan menggunakan persamaan (2.16), persamaan diatas menjadi

𝑢1𝑈 = 𝑢 jika ℓ𝑋 = 0,−𝑘𝑢1

ℓ

𝜕𝑈

𝜕𝑋= ℎ𝑢1𝑈 jika ℓ𝑋 = ℓ.

Persamaan diatas disederhanakan menjadi

𝑈 = 1 jika 𝑋 = 0, −𝜕𝑈

𝜕𝑋= 𝜖𝑈 jika 𝑋 = 1

dimana,

𝜖 =ℎℓ

𝑘.

Dikarenakan 𝑈 didefinisikan sebagai fungsi dari variabel tanpa dimensi 𝑋 dan

𝑇, maka kondisi batas berskala dapat ditulis

𝑈(0, 𝑇) = 1, −𝜕𝑈

𝜕𝑋(1, 𝑇) = 𝜖𝑈(1, 𝑇)

H. Deret Taylor

Pada subbab ini akan dibahas mengenai deret Taylor dengan menggunakan

referesi buku Introduction to the Foundations of Applied Mathematics (Holmes,

2009).


26

1. Deret Taylor satu variabel

Diberikan fungsi 𝑓(𝑥) kemudian asumsikan bahwa (𝑛 + 1) adalah

turunan dari 𝑓(𝑛+1)(𝑥) yang kontinu untuk 𝑥𝐿 < 𝑥 < 𝑥𝑅 . Pada kasus ini jika 𝑎

dan 𝑥 adalah titik pada interval (𝑥𝐿, 𝑥𝑅) maka

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + (𝑥 − 𝑎)𝑓′(𝑎) +1

2(𝑥 − 𝑎)2𝑓′′(𝑎) + ⋯

+1

𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛𝑓(𝑛)(𝑎) + 𝑅𝑛+1

(2.19)

dimana

𝑅𝑛+1 =1

(𝑛 + 1)!(𝑥 − 𝑎)𝑛+1𝑓(𝑛+1)(𝜂)

(2.20)

dan 𝜂 adalah titik antara 𝑎 dan 𝑥. Atau bisa pula ditulis sebagai

𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) + ℎ𝑓′(𝑥) + ⋯ +1

𝑛!ℎ𝑛𝑓(𝑛)(𝑥) + 𝑅𝑛+1.

(2.21)

Persamaan (2.21) terlihat berbeda dengan persamaan (2.19), namun pada

dasarnya kedua persamaan tersebut ekuivalen, dimana pada persamaan (2.21)

𝑥 dan 𝑥 + ℎ adalah titik yang berada pada interval (𝑥𝐿, 𝑥𝑅).

Misalkan diambil 𝑎 = 0 pada persamaan (2.19) maka akan didapat

perluasan,

𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑥𝑓′(0) +1

2(𝑥)2𝑓′′(0) + ⋯

1

𝑛!𝑥𝑛𝑓(𝑛)(0) + 𝑅𝑛+1

dimana

𝑅𝑛+1 =1

(𝑛 + 1)!𝑥𝑛+1𝑓(𝑛+1)(𝜂)

dan 𝜂 adalah titik antara 0 dan 𝑥. Untuk nilai-nilai dari 𝑥 dengan lim𝑛→∞

𝑅𝑛(𝑥) =

0, didapat rangkaian perluasan dari 𝑓 yang diketahui adalah deret Maclaurin

dari 𝑓,

𝑓(𝑥) = ∑𝑓(𝑛)(0)

𝑛!𝑥𝑛

∞

𝑛=0

disini 𝑓(0)(0) didefinisikan menjadi 𝑓(0).

Dasar-dasar deret Maclaurin yang sering digunakan adalah sebagai berikut:


27

𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2

2!+

𝑥3

3!+ ⋯ = ∑

𝑥𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

(𝑥 ∈ ℝ)

sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3!+

𝑥5

5!+ ⋯ = ∑

(−1)𝑛𝑥2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!

∞

𝑛=0

(𝑥 ∈ ℝ)

cos 𝑥 = 1 −𝑥2

2!+

𝑥4

4!− ⋯ = ∑

(−1)𝑛𝑥2𝑛

(2𝑛)!

∞

𝑛=0

(𝑥 ∈ ℝ)

(1 + 𝑥)𝑎 = 1 + 𝑎𝑥 +𝑎(𝑎 − 1)𝑥2

2!+ ⋯ = ∑ (

𝑎𝑛

)

∞

𝑛=0

𝑥𝑛 (|𝑥| ∈ ℝ)

dimana (𝑎𝑛

) = 𝑎(𝑎 − 1) … (𝑎 − (𝑛 − 1))/𝑛! (𝑎 ∈ ℝ)

log(1 + 𝑥) = 𝑥 −𝑥2

2+

𝑥3

3− ⋯ = ∑

(−1)𝑛+1𝑥𝑛

𝑛

∞

𝑛=0

(|𝑥| ∈ ℝ)

−log(1 − 𝑥) = 𝑥 +𝑥2

2+

𝑥3

3+ ⋯ = ∑

𝑥𝑛

𝑛

∞

𝑛=0

(|𝑥| ∈ ℝ)

Contoh 2.18

Untuk mencari deret Maclaurin dari fungsi sinus, akan dicari terlebih dahulu

turunan dari orde 𝑛.

𝑓(𝑥) = sin 𝑥

𝑓′(𝑥) = cos 𝑥

𝑓′′(𝑥) = −sin 𝑥

𝑓′′′(𝑥) = −cos 𝑥

𝑓(4)(𝑥) = sin 𝑥

𝑓(0) = 0

𝑓′(0) = 1

𝑓′′(0) = 0

𝑓′′′(0) = −1

𝑓(4)(0) = 0

Maka dari itu jika 𝑛 genap maka 𝑓(𝑛)(0) = 0 dan jika 𝑛 = 1,3,5,7, … maka

nilai 𝑓(𝑛)(0) bergantian seperti 1, −1,1, −1, …. Akibatnya perluasan deret

Maclaurin sinus menjadi

sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3!+

𝑥5

5!+ ⋯

atau


28

sin 𝑥 = ∑(−1)𝑛𝑥2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!

∞

𝑛=0

Untuk menemukan nilai 𝑥 yang valid, dibutuhkan pertimbangan suku akhirnya

(atau menggunakan uji rasio) yang diberikan oleh

𝑅𝑛+1 =1

(𝑛 + 1)!𝑥𝑛+1𝑓(𝑛+1)(𝜂).

Sekarang, untuk setiap 𝑛, 𝑓(𝑛+1)(𝜂) diberikan oleh ± sin 𝑐 atau ± cos 𝑐. Nilai

fungsi sinus dan cosinus selalu terletak di antara −1 dan 1. Jadi,

−𝑥𝑛+1

(𝑛 + 1)!≤ 𝑅𝑛(𝑥) ≤

𝑥𝑛+1

(𝑛 + 1)!

dan karena 𝑥𝑛+1/(𝑛 + 1)! → 0, didapatkan 𝑅𝑛+1 → 0 dengan aturan Squeeze.

Hal ini menunjukkan bahwa perluasan deret Maclaurin valid untuk setiap 𝑥 ∈

ℝ.

2. Deret Taylor dua variabel

Untuk dua variabel, persamaan deret Taylor didapatkan dari perluasan

(2.21), yaitu

𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑡 + 𝑘) = 𝑓(𝑥, 𝑡) + 𝐷𝑓(𝑥, 𝑡) +1

2𝐷2𝑓(𝑥, 𝑡)

+ ⋯ +1

𝑛!𝐷𝑛𝑓(𝑥, 𝑡) + 𝑅𝑛+1

(2.22)

dimana,

𝐷 = ℎ𝜕

𝜕𝑥+ 𝑘

𝜕

𝜕𝑡.

Dengan mensubstitusi 𝐷 ke persamaan (2.22), didapat suku kuadratik yang

berbentuk

𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑡 + 𝑘) = 𝑓(𝑥, 𝑡) + ℎ𝑓𝑥(𝑥, 𝑡) + 𝑘𝑓𝑡(𝑥, 𝑡) +1

2ℎ2𝑓𝑥𝑥(𝑥, 𝑡)

+ℎ𝑥𝑓𝑥𝑡(𝑥, 𝑡) +1

2𝑘2𝑓𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) + ⋯.

Subskrip yang digunakan pada persamaan diatas menunjukkan diferensial

parsial. Jadi, sebagai contoh


29

𝑓𝑥𝑡 =𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑡

Dimisalkan fungsi 𝑓 memiliki turunan parsial yang kontinu naik terhadap

orde 𝑛 + 1. Persamaan diatas dapat ditunjukkan dalam bentuk yang sama

dengan persamaan (2.19), yaitu

𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑎, 𝑏) + (𝑥 − 𝑎)𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) + (𝑡 − 𝑏)𝑓𝑡(𝑎, 𝑏) +1

2(𝑥 − 𝑎)2𝑓𝑥𝑥(𝑎, 𝑏)

+(𝑥 − 𝑎)(𝑡 − 𝑏)𝑓𝑥𝑡(𝑎, 𝑏) +1

2(𝑡 − 𝑏)2𝑓𝑡𝑡(𝑎, 𝑏) + ⋯.

I. Pemodelan Matematis

Pada subbab ini akan dibahas mengenai pemodelan matematis. Diketahui

sebuah masalah nyata yang akan dicari solusi penyelesaiannya. Namun demikian,

solusi yang benar-benar memenuhi masalah nyata tersebut sering kali sulit

ditemukan. Oleh sebab itu, diperlukan penyederhanaan masalah menggunakan

model matematika.

Model matematika merupakan sebuah penyederhanaan secara matematis dari

masalah nyata. Model matematika dapat berbentuk persamaan aljabar, persamaan

diferensial, persamaan integral, sistem persamaan, sistem pertidaksamaan dan lain

sebagainya. Langkah-langkah untuk pemodelan matematika, yaitu:

1. Diketahui suatu masalah nyata.

2. Dikumpulkan faktor-faktor yang mempengaruhi masalah nyata tersebut.

3. Dipilih faktor-faktor yang mempengaruhi masalah nyata tersebut secara

signifikan.

4. Dari aturan (hukum) bidang terkait (fisika/biologi/kimia/dll) dicari

hubungan matematisnya. Rumusan matematis yang diperoleh ini

merupakan model matematika dari masalah nyata tersebut.

5. Dicari solusi model matematika tersebut, kemudian selidiki sifat-sifat

solusi model matematika tersebut.

6. Dianalisis apakah solusi yang diperoleh bersifat realistis atau tidak.


30

7. Jika solusi sudah cukup realistis, maka langkah pemodelan matematika

dihentikan. Namun, jika solusi belum realistis, maka model matematika

harus diperbaiki dengan mengulang langkah 3 sampai dengan 7 sampai

diperoleh model dengan solusi realistis.


31

BAB III

MODEL UNTUK PENYELESAIAN PENGEBORAN LASER

Dalam bab ini akan dibahas mengenai proses pengeboran laser pada logam

dan metode perturbasi. Metode tersebut digunakan untuk menyelesaikan model

pada pengeboran laser. Dalam memodelkan kecepatan pengeboran laser terbagi

menjadi dua kasus, yaitu:

1. Jika konduksi panas pada logam diabaikan, maka rumus untuk kecepatan

pengeboran laser akan mudah ditemukan.

2. Jika konduksi panas diperhatikan, maka rumus untuk pengeboran laser akan

sulit ditentukan untuk itu perlu digunakan metode perturbasi.

Pada bab ini buku acuan utama yang digunakan adalah Industrial Mathematics

(Fulford and Broadbridge, 2002).

A. Pengenalan Masalah

Banyak industri yang tertarik menggunakan energi laser berdaya tinggi dan

sinar elektron untuk memotong atau mengelas plat logam. Proses pemotongan

logam ini dilakukan dengan memfokuskan sejumlah energi ke permukaan kecil

pada logam. Akibat dari proses tersebut, akan terjadi penguapan sehingga

membentuk lubang pada logam.

1. Masalah

Masalah yang harus diselesaikan pada kasus ini adalah menentukan

seberapa cepat lubang terbentuk dari daya yang ditentukan dan sinar yang

menyinari per satuan luas logam. Pada masalah ini akan dilibatkan perubahan

wujud padat menjadi gas dan perubahan batas gerak.


32

Gambar 3.1 Skematik diagram pengeboran laser. Sebuah laser berdaya 𝑄0

mengebor logam dengan menguapkan logam.

Pada saat energi laser diserap oleh permukaan logam, panas akan mengalir

pada logam sehingga suhu logam akan naik. Pada suhu tertentu (suhu

penguapan 𝑢𝑣) energi yang diserap mengakibatkan logam berubah wujud dari

padat menjadi uap (wujud cair diabaikan karena panas yang dihasilkan oleh

laser sangat kuat sehingga logam akan tampak mendidih sekaligus). Pada bab

ini efek hidrodinamik dan ekspansi termal pada logam diabaikan. Asumsikan

uap logam langsung menghilang sebelum menjadi cair kembali.

2. Model satu dimensi

Diasumsikan bahwa batas bergerak maju sebuah jarak 𝛿𝑠 adalah berada

pada interval waktu 𝑡 sampai 𝑡 + 𝛿𝑡 (lihat Gambar 3.2). Beberapa energi dari

laser digunakan untuk mengubah logam dari padat menjadi uap. Energi panas

apapun yang digunakan untuk menaikkan suhu massa logam 𝜌𝐴𝛿𝑠 ke suhu

penguapan akan diabaikan. Hal itu dilakukan supaya energi panas menjadi

lebih kecil jika dibandingkan dengan panas yang dibutuhkan untuk

menguapkan massa logam 𝜌𝐴𝛿𝑠. Dengan demikian energi panas yang tidak

menguapkan logam diasumsikan terkonduksi.

laser

plat baja 𝑥 = 0

𝑥 = 𝑠(𝑡)

𝑥 = 𝑥0


33

Gambar 3.2 Model satu dimensi, setengah tak hingga dari proses

pembentukan lubang.

Secara keseluruhan akan dilakukan penyeimbangan panas. Pada saat

waktu 𝛿𝑡 dibutuhkan konservasi energi

{

panas laten yang digunakan

untuk menguapkan logam

} + {

besar panas yang

terkonduksi

} = {

panas yang diberikan laser pada

permukaan

}

(3.1)

Misalkan λ adalah panas laten per satuan massa logam yang dibutuhkan untuk

menguapkan logam. Kemudian

{

panas laten yang digunakan untuk

menguapkan logam} ≃ 𝜆𝜌𝐴𝛿𝑠,

dimana 𝜌 adalah massa jenis logam dan 𝐴 adalah daerah yang difokuskan laser.

Besar panas yang terkonduksi akan diketahui dalam suku fluk panas J, yaitu

{besar panas

yang terkonduksi} = 𝐴𝐽(𝑠(𝑡 + 𝛿𝑡), 𝑡)𝛿𝑡.

Jika daya yang disediakan laser adalah 𝑄0 watt, maka

{

panas yang diberikan laser pada permukaan

} ≃ 𝑄0𝛿𝑡.

Jika disatukan akan menjadi

𝜆𝜌𝐴𝛿𝑠 + 𝐴𝐽(𝑠(𝑡 + 𝛿𝑡), 𝑡)𝛿𝑡 = 𝑄0𝛿𝑡.

𝑄0

𝑥 = 0 𝑥 = 𝑠(𝑡)

𝑥


34

Kedua ruas dibagi dengan 𝛿𝑡 dan 𝐴, dimisalkan 𝛿𝑡 → 0, sehingga didapat

𝜌𝜆𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑄0

𝐴− 𝐽(𝑠(𝑡), 𝑡).

Dengan menggunakan hukum Fourier dari konduksi panas, didapat

𝜌𝜆𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑄0

𝐴+ 𝑘

𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝑠(𝑡), 𝑡)

(3.2)

Persamaan diatas merupakan persamaan untuk kecepatan pengeboran 𝑑𝑠 𝑑𝑡⁄ .

Dibutuhkan persamaan untuk suhu 𝑢(𝑥, 𝑡) pada logam. Asumsikan bahwa

suhu logam memenuhi persamaan panas klasik

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝛼

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2, untuk 𝑥 > 𝑠(𝑡).

(3.3)

Diasumsikan suhu awal adalah nol tetapi permukaan dari batas sudah

dipanaskan terlebih dahulu ke suhu penguapan, atau suhu awal ditulis, sebagai

berikut

𝑢(𝑥, 0) = 0 (3.4)

dengan kondisi batas

𝑢(𝑠(𝑡), 𝑡) = 𝑢𝑣 (3.5)

dan

𝑢(∞, 𝑡) → 0. (3.6)

3. Pendekatan pertama untuk kecepatan pengeboran

Satu kemungkinan untuk menyederhanakan model yaitu mengabaikan

konduksi panas. Alasan untuk mencoba mengabaikan konduksi panas adalah

berharap sebagian besar panas digunakan untuk penguapan logam. Jika

konduksi panas pada logam diabaikan akan mudah untuk mendapatkan rumus

kecepatan pengeboran. Misalkan 𝑘 = 0 berikut pendekatan kecepatan

pengeboran 𝑣0,

𝑣0 =𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑄0

𝜌𝜆𝐴.

(3.7)


35

Ditinjau sebuah 1 kW laser difokuskan pada daerah 1 mm2, pengeboran

dilakukan pada lempengan aluminium. Untuk aluminium 𝜌 = 2.7 × 103 kg

m-3 , λ = 1.08 × 107 J kg-1. Pendekatan kecepatan pengeboran adalah

𝑣0 =𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑄0

𝜌𝜆𝐴=

1 kW

2.7 × 103 kg × 1.08 × 107 J kg−1 × 1 mm2

=1000 J/s

2.7 × 10−6 kg mm−3 × 1.08 × 107 J kg−1 × 1 mm2

= 34,3 mm/s

4. Persamaan skala

Akan dibuat model matematika untuk model konduksi satu dimensi

menjadi tanpa dimensi. Pertama perlu dipilih skala yang sesuai untuk variabel.

Variabel yang harus diskalakan adalah x, t, s dan u. Pada masalah ini, konstanta

yang diketahui adalah 𝑢𝑣, 𝑘, 𝛼, 𝜌, 𝜆, 𝑄0, dan 𝐴.

Jelas bahwa suhu u dapat diukur terhadap suhu penguapan 𝑢𝑣 . Namun,

tidak ada skala panjang yang jelas atau skala waktu, sehingga harus dibuat dari

variabel yang tersedia. Hal ini diperbolehkan jika menggunakan pendekatan

sebelumnya untuk kecepatan pengeboran 𝑣0.

Perkenalkan simbol 𝑥0 dan 𝑡0 untuk panjang dan skala waktu yang belum

ditentukan. Karena 𝑣0 adalah kecepatan, panjang skala yang diberikan oleh

𝑥0 = 𝑣0𝑡0. Skala waktu untuk konduksi panas adalah 𝑡0 = 𝑥02/𝛼. Substitusi

𝑡0 ke pernyataan 𝑥0, sehingga didapat

𝑥0 =𝛼

𝑣0 dan 𝑡0 =

𝛼

𝑣02

.

Perhatikan bahwa ini memiliki dimensi yang benar dari panjang dan waktu.

Didefinisikan variabel tanpa dimensi U, S, X dan T berkorespondensi

terhadap u, s, x dan t dengan

𝑈 =𝑢

𝑢𝑣, 𝑆 =

𝑠

𝑥0=

𝑣0

𝛼𝑠, 𝑋 =

𝑥

𝑥0=

𝑣0

𝛼𝑥 dan 𝑇 =

𝑡

𝑡0=

𝑣02

𝛼𝑡.


36

Substitusi persamaan diatas ke persamaan model matematika (3.2)-(3.6)

sehingga didapat persamaan penyeimbangan panas tanpa dimensi.

a. Pertama, akan diubah terlebih dahulu 𝑑𝑠 𝑑𝑡⁄ dan 𝜕𝑢 𝜕𝑥⁄ menjadi

persamaan diferensial tanpa dimensi.

𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑑 (𝛼𝑣0

𝑆)

𝑑𝑇

𝑑𝑇

𝑑𝑡=

𝑑 (𝛼𝑣0

𝑆)

𝑑𝑇

𝑑 (𝑣0

2

𝛼 𝑡)

𝑑𝑡=

𝛼

𝑣0

𝑑𝑆

𝑑𝑇 𝑣0

2

𝛼= 𝑣0

𝑑𝑆

𝑑𝑇

𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝜕𝑈𝑢𝑣

𝜕𝑋

𝜕𝑋

𝜕𝑥=

𝜕𝑈𝑢𝑣

𝜕𝑋

𝜕 (𝑣0𝛼 𝑥)

𝜕𝑥= 𝑢𝑣

𝜕𝑈

𝜕𝑋

𝑣0

𝛼=

𝑢𝑣𝑣0

𝛼

𝜕𝑈

𝜕𝑋

b. Setelah melakukan langkah (a), substitusikan persamaan tersebut

kedalam persamaan (3.2).

𝜌𝜆𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑄0

𝐴+ 𝑘

𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝑠(𝑡), 𝑡)

𝜌𝜆𝑣0

𝑑𝑆

𝑑𝑇=

𝑄0

𝐴+ 𝑘

𝑢𝑣𝑣0

𝛼

𝜕𝑈

𝜕𝑋

𝑣0

𝑑𝑆

𝑑𝑇=

𝑄0

𝜌𝜆𝐴+

𝑘𝑢𝑣𝑣0

𝜌𝜆𝛼

𝜕𝑈

𝜕𝑋

𝑣0

𝑑𝑆

𝑑𝑇= 𝑣0 +

𝑘𝑢𝑣

𝜌𝜆𝛼𝑣0

𝜕𝑈

𝜕𝑋

𝑑𝑆

𝑑𝑇= 1 + 𝜖

𝜕𝑈

𝜕𝑋.

Dengan demikian persamaan model matematika (3.2) yang berubah menjadi

persamaan tanpa dimensi

𝑑𝑆

𝑑𝑇= 1 + 𝜖

𝜕𝑈

𝜕𝑋 dengan 𝑋 = 𝑆(𝑇).

Begitu pula persamaan model matematika tanpa dimensi untuk suhu.

a. Pertama, akan diubah terlebih dahulu 𝜕𝑢/𝜕𝑡 dan 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2⁄ menjadi

persamaan diferensial tanpa dimensi.

𝜕𝑢

𝜕𝑡=

𝜕(𝑈𝑢𝑣)

𝜕𝑇

𝜕𝑇

𝜕𝑡=

𝜕(𝑈𝑢𝑣)

𝜕𝑇

𝜕 (𝑣0

2

𝛼𝑡)

𝜕𝑡= 𝑢𝑣

𝜕𝑈

𝜕𝑇

𝑣02

𝛼=

𝑢𝑣𝑣02

𝛼

𝜕𝑈

𝜕𝑇


37

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2=

𝜕 (𝜕𝑢𝜕𝑥

)

𝜕𝑥=

𝜕 (𝑢𝑣𝑣0

𝛼𝜕𝑈𝜕𝑋

)

𝜕𝑥=

𝜕 (𝑢𝑣𝑣0

𝛼𝜕𝑈𝜕𝑋

)

𝜕𝑋

𝜕𝑋

𝜕𝑥

=𝜕 (

𝑢𝑣𝑣0𝛼

𝜕𝑈𝜕𝑋

)

𝜕𝑋

𝜕 (𝑣0𝛼 𝑥)

𝜕𝑥=

𝑢𝑣𝑣0

𝛼

𝜕2𝑈

𝜕𝑋2

𝑣0

𝛼

=𝑢𝑣 𝑣0

2

𝛼2

𝜕2𝑈

𝜕𝑋2.

b. Setelah melakukan langkah (a), substitusikan persamaan tersebut

kedalam persamaan panas (3.3).

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝛼

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

𝑢𝑣𝑣02

𝛼

𝜕𝑈

𝜕𝑇= 𝛼

𝑢𝑣 𝑣02

𝛼2

𝜕2𝑈

𝜕𝑋2

𝜕𝑈

𝜕𝑇=

𝜕2𝑈

𝜕𝑋2

Jadi, didapatlah persamaan panas tanpa dimensi

𝜕𝑈

𝜕𝑇=

𝜕2𝑈

𝜕𝑋2

dan dengan kondisi awal dan kondisi batas

𝑈(𝑋, 0) = 0, 𝑈(𝑆(𝑇), 𝑇) = 1, 𝑈(∞, 𝑇) = 0

Parameter tanpa dimensi 𝜖 diberikan, yaitu

𝜖 =𝑘𝑢𝑣

𝜌𝛼𝜆=

𝑐𝑢𝑣

𝜆

(3.8)

Secara fisik parameter 𝜖 menyatakan rasio panas yang digunakan untuk

menaikkan suhu sehingga logam menguap. Dalam Tabel 3.1 kebanyakan

logam 𝜖 adalah parameter yang kecil.


38

Tabel 3.1 Sifat-sifat termal untuk bahan yang umum, dimana

𝜌 adalah massa jenis logam, c adalah panas spesifik, 𝑢𝑣 adalah suhu

penguapan, dan 𝜆 adalah panas laten spesifik pada saat penguapan

Bahan

Logam

𝜌

kg m−3

𝑢𝑣

°C

𝜆

J kg−1

𝑐

J kg−1℃ 𝜖

Aluminium 2700 2727 1,080

× 107 913 0,23

Tembaga 8900 2499 4,770

× 107 385 0,20

Emas 19300 2788 1,740

× 107 132 0,21

Besi 7900 12170 6,070

× 107 106 0,21

Timah 11300 1722 0,861

× 107 126 0,25

Nikel 8800 2739 6,361

× 107 460 0,20

Seng 7140 885 1,780

× 107 385 0,19

Dengan demikian, efek dari konduksi pada kecepatan pengeboran dapat

diinvestigasi. Namun demikian, diperlukan pengembangan solusi pendekatan

yang mendapatkan keuntungan dari parameter 𝜖 yang kecil. Untuk

mengerjakan hal ini, diperlukan untuk pengenalan metode perturbasi.

Karena {𝑇, 𝑋, 𝑈, 𝜖} adalah himpunan lengkap variabel tanpa dimensi dan

parameter untuk masalah ini, solusi 𝑈(𝑋, 𝑇) juga harus fungsi dari 𝜖. Pada

dasarnya sebuah solusi 𝑈(𝑋, 𝑇) dan 𝑆(𝑇) berbentuk

𝑈 = 𝑈0 + 𝜖𝑈1 + 𝜖2𝑈2 + ⋯ , 𝑆 = 𝑆0 + 𝜖𝑆1 + 𝜖2𝑆2 + ⋯


39

dimana 𝑈0 dan 𝑆0 berkorespondensi dengan solusi pendekatan ketika 𝜖 = 0.

Bentuk 𝑈1 dan 𝑆1 menyatakan koreksi solusi asli 𝑈0, 𝑆0. Bentuk 𝑈2, 𝑆2 koreksi

order tinggi.

B. Metode Perturbasi

Pada subbab ini, akan dikembangkan cara untuk mendapatkan urutan

pendekatan dimana setiap suku yang berurutan adalah koreksi kecil dari suku

sebelumnya. Istilah ini dikenal sebagai metode perturbasi. Berikut contoh

sederhana dari masalah yang menggambarkan metode perturbasi.

Contoh masalah

Persamaan tanpa dimensi untuk masalah ekuilibrium konduksi panas adalah

𝑑2𝑈

𝑑𝑋2− 𝜖𝑈4 = 0

(3.9)

dengan kondisi batas

𝑈(0) = 1 dan 𝑈(1) = 0 (3.10)

dimana 𝜖 < 1. Dalam masalah ini ada suku sumber panas yang muncul dari radiasi

(yang berkontribusi pada istilah 𝑈4).

Untuk 𝜖 yang kecil akan dikembangkan urutan solusi pendekatan untuk suhu

𝑈 tanpa dimensi dimana suku orde nol berkorespondensi dengan 𝜖 = 0 dan koreksi

orde satu berkorespondensi dengan 𝜖 = 1 dan seterusnya. Secara umum

diasumsikan dengan sebuah bentuk perluasan

𝑈 = 𝑈0 + 𝜖𝑈1 + 𝜖2𝑈2 + ⋯ (3.11)

dimana 𝑈 adalah variabel bergantung . Di sini 𝑈0, 𝑈1, 𝑈2 adalah fungsi yang

diketahui, dimana 𝑈0 adalah suku utama (atau suku orde nol), 𝑈1 adalah koreksi

untuk suku utama, dan 𝑈2 adalah koreksi lebih lanjut, dan begitu seterusnya.

1. Persamaan pendekatan

Substitusi bentuk perluasan (3.11) ke model matematika (3.9) tetapi hanya

sampai pada suku 𝜖2. Untuk lebih detail, akan ditunjukkan dengan contoh

berikut.


40

Contoh 3.1

Temukan persamaan diferensial untuk 𝑈0, 𝑈1, 𝑈2.

Solusi:

Substitusi (3.11) ke dalam persamaan diferensial (3.9) sehingga didapat

𝑑2𝑈0

𝑑𝑋2+ 𝜖

𝑑2𝑈1

𝑑𝑋2+ 𝜖2

𝑑2𝑈2

𝑑𝑋2= 𝜖(𝑈0 + 𝜖𝑈1 + ⋯ )4

karena hanya sampai dengan suku orde 𝜖2, maka pada suku 𝜖𝑈4 hanya

dibutuhkan suku 𝜖1 tanpa perluasan untuk 𝑈4. Dengan memperluas (𝑈0 +

𝜖𝑈1 + ⋯ )4 didapat,

𝜖(𝑈0 + 𝜖𝑈1 + ⋯ )4 = 𝜖(𝑈02 + 2𝜖𝑈0𝑈1 + ⋯ )2 = 𝜖𝑈0

4 + 4𝜖2𝑈03𝑈1 + ⋯

Persamaan diferensialnya sekarang menjadi

𝑑2𝑈0

𝑑𝑋2+ 𝜖

𝑑2𝑈1

𝑑𝑋2+ 𝜖2

𝑑2𝑈2

𝑑𝑋2= 𝜖𝑈0

4 + 4𝜖2𝑈03𝑈1 + ⋯

suku-suku yang melibatkan 𝜖3 atau yang terkecil diabaikan. Kemudian

persamaan dikelompokkan untuk masing-masing suku 𝑈0, 𝑈1, dan 𝑈2 dengan

menyamakan koefisien dari pangkat 𝜖 sehingga didapat,

𝑑2𝑈0

𝑑𝑋2= 0

(3.12)

untuk koefisien dari 𝜖1 didapat

𝑑2𝑈1

𝑑𝑋2= 𝑈0

4 (3.13)

dan untuk 𝜖2 didapat

𝑑2𝑈2

𝑑𝑋2= 4𝑈0

3𝑈1 (3.14)

Kondisi batas dari fungsi 𝑈0, 𝑈1, dan 𝑈2 juga bisa digunakan untuk

mencari aturan pendekatan. Berikut akan dijelaskan lewat contoh.

Contoh 3.2

Temukan kondisi batas untuk 𝑈0, 𝑈1, dan 𝑈2 .

Solusi:

Substitusi (3.11) ke kondisi batas (3.10), didapat

𝑈(0) = 𝑈0(0) + 𝜖𝑈1(0) + 𝜖2𝑈2(0) + ⋯ = 1


41

𝑈(1) = 𝑈0(1) + 𝜖𝑈1(1) + 𝜖2𝑈2(1) + ⋯ = 0

samakan koefisien dengan pangkat 𝜖. Dengan demikian, kondisi batas dari

orde nol, orde satu dan orde dua adalah

𝑈0(0) = 1, 𝑈1(0) = 0, 𝑈2(0) = 0

𝑈0(1) = 0, 𝑈1(1) = 0, 𝑈2(1) = 0 (3.15)

Perhatikan suku orde satu dan orde dua adalah nol karena tidak ada

orde 𝜖 atau orde 𝜖 2 pada suku di sisi kanan. Jika kondisi batas adalah linier

dan tidak memuat 𝜖 maka diharapkan pada bagian nonhomogen dari kondisi

batas muncul di suku 𝑈0 dimana suku orde tingkat tinggi akan homogen.

Jadi, solusi untuk berbagai pendekatan dapat diselesaikan. Persamaan orde

nol (3.12) dengan kondisi batas untuk 𝑈0 dari (3.15) adalah

𝑑2𝑈0

𝑑𝑋2= 0, 𝑈0(0) = 1, 𝑈(1) = 0. (3.16)

Solusinya akan diberikan dalam contoh berikut.

Contoh 3.3

Selesaikan masalah nilai batas (3.16).

Solusi:

Solusi persamaan diferensial yang sangat sederhana ini dapat diselesaikan

dengan mengintegralkan kedua sisi terhadap 𝑋 dua kali, sehingga

menghasilkan

𝑈0 = 𝑐1𝑋 + 𝑐2

di mana 𝑐1 dan 𝑐2 adalah dua sebarang konstanta. Dengan menerapkan dua

kondisi batas untuk 𝑈0 memberikan persamaan 1 = 𝑐2 dan 0 = 𝑐1 + 𝑐2 dan

karenanya 𝑐1 = −1 dan 𝑐2 = 1. Dengan demikian didapatkan solusinya

𝑈0 = 1 − 𝑋 (3.17)

untuk suku orde nol dari perturbasi.

Dengan menggunakan solusi 𝑈0 yang kemudian disubstitusikan ke

persamaan (3.13) untuk koreksi orde satu (dengan kondisi batas yang sesuai

(3.15)) didapat


42

𝑑2𝑈1

𝑑𝑋2= 𝑈0

4 = (1 − 𝑋)4, 𝑈1(0) = 0, 𝑈1(1) = 0 (3.18)

Perhatikan bahwa suku koreksi orde satu 𝑈1 bergantung pada solusi untuk orde

nol 𝑈0.

Contoh 3.4


Solusi:

Sama seperti Contoh 3.3, solusi persamaan diferensial yang sangat sederhana

ini dapat diselesaikan dengan mengintegralkan kedua sisi terhadap 𝑋 dua kali,

sehingga menghasilkan

𝑈1(𝑋) =1

30(1 − 𝑋)6 + 𝑐3𝑋 + 𝑐4


kondisi batas 𝑈1(0) = 0 dan 𝑈1(1) = 0 memberikan (1 30⁄ ) + 𝑐4 = 0 dan

𝑐3 + 𝑐4 = 0. Oleh karena itu 𝑐4 = −1 30⁄ dan 𝑐3 = 1 30⁄ . Jadi

𝑈1(𝑋) =1

30(1 − 𝑋)6 −

1

30(1 − 𝑋).

Pendekatan perturbasi orde pertama adalah

𝑈(𝑋) = 𝑈0(𝑋) + 𝜖𝑈1(𝑋) + 𝑂(𝜖2)

dapat disebut juga pendekatan perturbasi benar untuk 𝑂(𝜖2)1. Substitusi 𝑈0

dan 𝑈1 ke persamaan di atas, didapat

𝑈(𝑋) = (1 − 𝑋) + 𝜖 [1

30(1 − 𝑋)6 −

1

30(1 − 𝑋)] + 𝑂(𝜖2)

Grafik dari dua pendekatan perturbasi 𝑈0 dan 𝑈0 + 𝜖𝑈1 digambarkan pada

Gambar 3.3 untuk 𝜖 = 3. Tidak banyak perbedaan antara dua solusi tersebut.

Untuk nila-nilai yang lebih kecil dari 𝜖 solusinya akan lebih dekat

(biasanya 𝜖 < 1).

1 Sebuah notasi 𝑂(𝜖2) sering digunakan untuk mewakili semua suku yang

melibatkan 𝜖2 dan pangkat tertinggi diabaikan.


43

Gambar 3.3. Grafik dari dua pendekatan perturbasi, 𝑈0 dan 𝑈0 + 𝜖𝑈1 diplot

terhadap 𝑋 , untuk 𝜖 = 3.

2. Pendekatan tingkat tinggi

Proses ini dapat dilakukan untuk orde berapapun sesuai yang

diinginkan. Namun demikian, solusi penyelesaian biasanya menjadi lebih

besar dengan setiap urutan pendekatan. Dapat ditunjukkan bahwa suku orde

kedua memenuhi,

𝑑2𝑈2

𝑑𝑋2= 4𝑈0

3𝑈1 =2

15((1 − 𝑋)9 − (1 − 𝑋)4)

(3.19)

dengan kondisi batas 𝑈2(0) = 0 dan 𝑈2(1) = 0. Solusi dari (3.19) akan

diselesaikan lewat contoh berikut.

Contoh 3.5


Solusi:

Solusi persamaan diferensial ini dapat diselesaikan dengan mengintegralkan

kedua sisi terhadap 𝑋 dua kali, sehingga menghasilkan

𝑈2(𝑋) =1

15(

1

55(1 − 𝑥)11 −

1

15(1 − 𝑥)6) + 𝑐5𝑋 + 𝑐6


44


kondisi batas 𝑈2(0) = 0 dan 𝑈2(1) = 0 memberikan (−8 2475⁄ ) + 𝑐6 =

0 dan 𝑐5 + 𝑐6 = 0. Oleh karena itu 𝑐6 = 8 2475⁄ dan 𝑐5 = − 8 2475⁄ . Jadi

𝑈2(𝑋) =1

15(

1

55(1 − 𝑥)11 −

1

15(1 − 𝑥)6) +

8

2475(1 − 𝑋).

pendekatan perturbasi orde kedua adalah

𝑈(𝑋) = 𝑈0(𝑋) + 𝜖𝑈1(𝑋) + 𝜖2𝑈2(𝑋) + 𝑂(𝜖3).

Substitusi 𝑈0, 𝑈1 dan 𝑈2 ke persamaan di atas, didapat

𝑈(𝑋) = (1 − 𝑋) + 𝜖 [1

30(1 − 𝑋)6 +

1

30(1 − 𝑋)]

+𝜖21

15(

1

55(1 − 𝑥)11 −

1

15(1 − 𝑥)6) +

8

2475(1 − 𝑋) + 𝑂(𝜖3).

Untuk menjadi solusi orde tingkat tinggi, dapat dilakukan menggunakan

perangkat lunak seperti Maple.

Dalam beberapa masalah, terdapat kesulitan yang hampir tidak terlihat dalam

menemukan solusi pendekatan menggunakan pendekatan ini. Salah satu

kesulitannya adalah untuk masalah nilai awal, dimana variabel bebas (biasanya

waktu) berkisar dari 0 hingga ∞ . Ada kemungkinan suku yang dikalikan dengan

parameter kecil bisa menjadi besar sehingga tidak masuk akal untuk mengabaikan

suku tersebut dibandingkan dengan persamaan lainnya. Dengan demikian

pendekatan perturbasi hanya valid untuk waktu yang kecil.

Masalah lain muncul ketika parameter kecil mengalikan turunan tertinggi

dalam persamaan diferensial yang disebut perturbasi singular. Solusi orde nol tidak

bisa dijadikan solusi terbaik dalam semua kondisi batas karena orde dari persamaan

diferensial orde nol lebih kecil dibandingkan persamaan diferensial biasa. Dengan

demikian pendekatan perturbasi tidak akan valid atas seluruh domain masalah.

C. Batas Perturbasi

Pada subbab ini solusi pendekatan ditemukan untuk masalah dimana sebuah

batas terganggu dari batas yang lebih sederhana. Hal ini akan mengembangkan


45

keterampilan dalam menangani masalah studi kasus, karena disana batas bergerak

terganggu. Ide dasarnya adalah menggunakan ekspansi Taylor. Metode ini di

ilustrasikan pada contoh masalah.

Contoh masalah

Ketika arus listrik mengalir melalui logam, sebagian energi dari partikel yang

bermuatan dikonversikan menjadi energi panas. Untuk kawat penampang bundar

yang sempurna tidak sulit untuk mendapatkan ekspresi suhu di kawat. Suhu

maksimum pada kawat terjadi di pusat penampang. Tidak ada proses manufaktur

yang sempurna, jadi penampang mungkin tidak sempurna melingkar. Tujuan

pembahasan pada subbab ini adalah untuk menyelidiki efek dari penampang non-

lingkaran pada suhu di kawat. Pandang sebuah kawat dimana penampang kawat

mempunyai jari-jari sebagai berikut

𝑅 = 1 + 𝜖 𝑐𝑜𝑠(𝜃)

dimana 𝜖 < 1 adalah parameter kecil. Penampang ditunjukkan pada Gambar

3.4. Jika 𝜖 = 0 penampang akan menjadi lingkaran sempurna. Suku 𝜖 𝑐𝑜𝑠(𝜃)

mewakili variasi kecil dari penampang lingkaran.

Gambar 3.4. Penampang kawat listrik yang hampir bundar.

Misalkan suhu ekuilibrium tanpa dimensi dari kawat 𝑈(𝑅, 𝜃, 𝑡) memenuhi

persamaan Laplace dua dimensi dengan sumber panas

∇2𝑈 + 1 = 0.

Dalam koordinat kutub silinder (𝑅, 𝜃) ini berbentuk


46

1

𝑅

𝜕

𝜕𝑅(𝑅

𝜕𝑈

𝜕𝑅) +

1

𝑅2

𝜕2𝑈

𝜕𝜃2= −1.

(3.20)

Untuk kondisi batas, asumsikan suhu pada 𝑅 = 0 terbatas. Pada permukaan

kawat 𝑅 = 1 + 𝜖𝑐𝑜𝑠(𝜃), asumsikan bahwa suhu dijaga tetap pada suhu 1℃,

𝑈(1 + 𝜖 cos(𝜃) , 𝜃) = 1 (3.21)

adapula kondisi batas yang harus dipenuhi

𝑈 terbatas pada 𝑅 = 0. (3.22)

Masalah ini merupakan kondisi batas yang rumit sehingga perlu diselesaikan

menggunakan metode numerik. Namun demikian, untuk nilai kecil dari parameter ϵ

dapat ditemukan solusi pendekatannya menggunakan metode perturbasi.

1. Model matematika dari perturbasi

Akan dicari solusi pendekatan perturbasi untuk suhu yang melibatkan suku

orde nol dan koreksi orde satu yang berbentuk

𝑈 = 𝑈0 + 𝜖𝑈1 + ⋯. (3.23)

Suku orde nol 𝑈0 akan sesuai dengan masalah penampang bundar sempurna,

sesuai dengan 𝜖 = 0. Suku orde satu menunjukkan koreksi pertama terhadap

solusi pendekatan untuk memperhitungkan penampang tidak bundar.

Secara garis besar, cara pengerjaannya sebagai berikut:

a. Substitusikan (3.23) ke dalam model matematika (3.20).

b. Kelompokkan suku-suku koefisien 𝜖0 dan 𝜖1.

c. Selesaikan persamaan orde nol.

d. Gunakan solusi orde nol, untuk menyelesaikan koreksi orde satu.

Contoh berikut menunjukkan bagaimana melakukan dua langkah pertama.

Contoh 3.6

Substitusikan bentuk perturbasi (3.23) ke persamaan diferensial (3.20) untuk

mendapatkan orde nol dan persamaan orde satu.

Solusi:

Setelah disubstitusi akan di dapat


47

1

𝑅

𝜕

𝜕𝑅(𝑅

𝜕

𝜕𝑅(𝑈0 + 𝜖𝑈1 + ⋯ )) +

1

𝑅2

𝜕2

𝜕𝜃2(𝑈0 + 𝜖𝑈1 + ⋯ ) = −1

disederhanakan menjadi

1

𝑅

𝜕

𝜕𝑅(𝑅

𝜕𝑈0

𝜕𝑅) + 𝜖

1

𝑅

𝜕

𝜕𝑅(𝑅

𝜕𝑈1

𝜕𝑅) + ⋯ +

1

𝑅2

𝜕2𝑈0

𝜕𝜃2

+𝜖1

𝑅2

𝜕2𝑈1

𝜕𝜃2+ ⋯ = −1.

(3.24)

Kelompokkan semua koefisien dari bentuk 𝜖0

1

𝑅

𝜕

𝜕𝑅(𝑅

𝜕𝑈0

𝜕𝑅) +

1

𝑅2

𝜕2𝑈0

𝜕𝜃2= −1

(3.25)

demikian pula untuk koefisien dari bentuk 𝜖1

1

𝑅

𝜕

𝜕𝑅(𝑅

𝜕𝑈1

𝜕𝑅) +

1

𝑅2

𝜕2𝑈1

𝜕𝜃2= 0.

(3.26)

Akan disimpulkan batas orde nol dan orde satu dari (3.21). Parameter

perturbasi 𝜖 yang muncul didalam kondisi batas disebut batas perturbasi.

Jika 𝜖 = 0 nol, kondisi batas menjadi sederhana untuk diterapkan, 𝑈(1, 𝜃) =

1. Untuk menggunakan metode perturbasi, hal pertama yang harus dilakukan

adalah memperluas 𝑈 sebagai Deret Taylor dalam parameter perturbasi 𝜖.

Dengan begitu memungkinkan untuk menyatakan kondisi batas pada 𝑅 = 1

daripada 𝑅 = 1 + 𝜖cos (𝜃). Caranya akan ditunjukkan dalam contoh berikut.

Contoh 3.7

Dengan menggunakan perluasan Taylor, carilah kondisi batas orde nol dan

orde satu.

Solusi:

Pertama, akan diperluas kondisi batas deret Taylor. Ingat bahwa rumus dari

deret Taylor adalah

𝑈(𝑅 + ℎ, 𝜃) = 𝑈(𝑅, 𝜃) + ℎ𝜕𝑈

𝜕𝑅(𝑅, 𝜃) +

ℎ2

2!

𝜕2𝑈

𝜕𝑅2(𝑅, 𝜃) + 𝑂(ℎ3).

Substitusi 𝑅 = 1 dan ℎ = 𝜖cos (𝜃) dan hanya untuk suku dari 𝜖1 sehingga

didapat,


48

𝑈(1, 𝜃) + 𝜖 cos(𝜃)𝜕𝑈

𝜕𝑅(1, 𝜃) + ⋯ = 1.

(3.27)

Kemudian substitusikan bentuk dari perluasan perturbasi (3.23) ke dalam

bentuk (3.27), sehingga didapat

𝑈(1 + 𝜖 cos(𝜃) , 𝜃) = 𝑈0(1, 𝜃) + 𝜖𝑈1(1, 𝜃) + ⋯

+𝜖 cos(𝜃) (𝜕𝑈0

𝜕𝑅(1, 𝜃) +

𝜕𝑈1

𝜕𝑅(1, 𝜃) + ⋯ ) + ⋯ = 1

Sekarang, kelompokkan bentuk dari setiap pangkat dari 𝜖. Untuk 𝜖0 didapat

𝑈0(1, 𝜃) = 1 (3.28)

dan, untuk 𝜖1 didapat

𝑈1(1, 𝜃) = −cos (𝜃)𝜕𝑈0

𝜕𝑅(1, 𝜃)

(3.29)

2. Menyelesaikan persamaan orde nol

Model matematika orde nol untuk suku 𝑈0 didapat dari (3.25) dan (3.28),

1

𝑅

𝜕

𝜕𝑅(𝑅

𝜕𝑈0

𝜕𝑅) +

1

𝑅2

𝜕2𝑈0

𝜕𝜃2= −1, 𝑈0(1, 𝜃) = 1

diketahui pula kondisi batas 𝑈0 terbatas saat 𝑅 = 0. Masalah ini menunjukkan

bahwa 𝑈0 tidak bergantung 𝜃, sehingga mudah untuk menyelesaikan

persamaan diferensial biasa sederhana untuk 𝑈0.

Contoh 3.8

Dengan asumsi bentuk solusi 𝑈0(𝑅, 𝜃) = 𝐹(𝑅), dapatkan solusi orde nol.

Solusi:

Substitusi 𝑈0(𝑅, 𝜃) = 𝐹(𝑅) ke (6) sehingga didapat

1

𝑅

𝑑

𝑑𝑅(𝑅

𝑑𝐹

𝑑𝑅) = −1.

Kedua ruas dikalikan dengan 𝑅

𝑑

𝑑𝑅(𝑅

𝑑𝐹

𝑑𝑅) = −𝑅

kemudian kedua ruas diintegralkan

∫ 𝑑 (𝑅𝑑𝐹

𝑑𝑅) = ∫ −𝑅 𝑑𝑅


49

𝑅𝑑𝐹

𝑑𝑅= −

𝑅2

2+ 𝑐1.

Kedua ruas dibagi dengan 𝑅, kemudian dilakukan integral kembali. Sehingga

didapat

𝑑𝐹

𝑑𝑅= −

𝑅2

2𝑅+

𝑐1

𝑅

𝑑𝐹

𝑑𝑅= −

𝑅

2+

𝑐1

𝑅

∫ 𝑑𝐹 = ∫ −𝑅

2+

𝑐1

𝑅 𝑑𝑅

𝐹(𝑅) = −𝑅2

4+ 𝑐1 ln 𝑅 + 𝑐2

dimana 𝑐1 dan 𝑐2 sebarang konstanta. Jadi,

𝑈0(𝑅, 𝜃) = −𝑅2

4+ 𝑐1 log 𝑅 + 𝑐2.

Sekarang akan digunakan kondisi batasnya

a. Kondisi batas implisit pada 𝑅 = 0 yang menyatakan bahwa suhu

terbatas pada 𝑅 = 0. Dengan demikian dapat dilihat bahwa 𝑐1 = 0

karena log(𝑅) → ∞ dengan 𝑅 → 0.

b. Kondisi batas 𝑈0(1, 𝜃) = 1 memberikan −(1 4⁄ ) + 𝑐2 = 1, sehingga

𝑐2 = 5 4⁄ .

Solusi untuk 𝑈0(𝑅, 𝜃) adalah

𝑈0(𝑅, 𝜃) = −𝑅2

4+

5

4

(3.30)

3. Menyelesaikan persamaan orde satu

Persamaan orde satu adalah persamaan diferensial parsial (3.26) dan

kondisi batas (3.29). Substitusikan solusi orde nol (3.30) ke kondisi batas

(3.29), sehingga akan didapat

1

𝑅

𝜕

𝜕𝑅(𝑅

𝜕𝑈1

𝜕𝑅) +

1

𝑅2

𝜕2𝑈1

𝜕𝜃2= 0, 𝑈1(1, 𝜃) =

1

2cos(𝜃).

(3.31)


50

Diketahui pula kondisi implisit bahwa 𝑈1 terbatas saat 𝑅 = 0. Bentuk dari

kondisi batas menyarankan untuk mencari solusi dari bentuk 𝑈1(𝑅, 𝜃) =

𝐹(𝑅) cos 𝜃 terlebih dahulu, dimana F adalah fungsi yang terdiri dari satu

variabel. Substitusikan persamaan ini menjadi persamaan diferensial parsial

yang menghasilkan persamaan diferensial biasa untuk 𝐹(𝑅). Untuk lebih

detailnya akan digunakan contoh.

Contoh 3.9

Selesaikanlah persamaan diferensial parsial dan kondisi batas (3.31) dengan

mengasumsikan bentuk dari solusinya adalah 𝑈1(𝑅, 𝜃) = 𝐹(𝑅)cos (𝜃).

Solusi:

Substitusi 𝑈1(𝑅, 𝜃) = 𝐹(𝑅) cos (𝜃) ke dalam persamaan diferensial parsial

(3.31) sehingga akan didapat persamaan diferensial biasa untuk 𝐹(𝑅),

1

𝑅

𝑑

𝑑𝑅(𝑅

𝑑𝐹

𝑑𝑅) −

1

𝑅2𝐹 = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan diatas perlu perluasan dari turunan yaitu

menggunakan aturan perkalian untuk memperoleh

𝑅2𝑑2𝐹

𝑑𝑅2+ 𝑅

𝑑𝐹

𝑑𝑅− 𝐹 = 0.

Persamaan diatas adalah persamaan Cauchy-Euler.

Selanjutnya akan dicari solusi dari bentuk 𝐹(𝑅) = 𝑅𝜆, kemudian substitusi

persamaan tersebut ke persamaan Cauchy-Euler sehingga menjadi

𝑅2𝑑2𝑅𝜆

𝑑𝑅2+ 𝑅

𝑑𝑅𝜆

𝑑𝑅− 𝑅𝜆 = 0.

Langkah selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan diferensial diatas

sehingga didapat

𝑅2𝜆(𝜆 − 1)𝑅𝜆−2 + 𝑅𝜆𝑅𝜆−1 − 𝑅𝜆 = 0

𝜆(𝜆 − 1)𝑅𝜆 + 𝜆𝑅𝜆 − 𝑅𝜆 = 0

𝜆(𝜆 − 1) + 𝜆 − 1 = 0

𝜆2 − 1 = 0.


51

Dari perhitungan diatas didapat hasil persamaan diferensial 𝜆 = ±1. Oleh

karena itu solusi umum

𝐹(𝑅) = 𝑐3𝑅 + 𝑐4𝑅−1

dimana 𝑐3 dan 𝑐4 adalah sebarang konstanta. Karena 𝑈1(𝑅, 𝜃) = 𝐹(𝑅)cos (𝜃)

maka solusi umum untuk 𝑈1(𝑅, 𝜃) adalah

𝑈1(𝑅, 𝜃) = ( 𝑐3𝑅 +𝑐4

𝑅) cos(𝜃)

Dengan menerapkan kondisi batas bahwa 𝑈1 terbatas pada 𝑅 = 0 jelas

bahwa 𝑐4 = 0. Dengan menerapkan 𝑈1(1, 𝜃) = (1 2⁄ ) cos(𝜃), nilai 𝑐3 = 1 2⁄ .

Jadi, didapat

𝑈1(𝑅, 𝜃) =1

2𝑅 cos(𝜃).

(3.32)

Dengan menyusun solusi orde nol dan solusi orde satu didapat,

𝑈(𝑅, 𝜃) = −𝑅2

4+

5

4+ 𝜖

1

2𝑅 cos(𝜃).

(3.33)

Ada beberapa catatan bahwa perturbasi kecil dalam bentuk permukaan tidak

mengubah suhu pusat (𝑅 = 0). Pada Gambar 3.5 suhu pada permukaan 𝑅 =

1 + 𝜖 cos(𝜃) diplot, sebagai fungsi dari 𝜃.

Gambar 3.5 Pendekatan suhu pusat silinder yang agak elips yang diberikan

oleh persamaan (3.33).


52

D. Penyelesaian Studi Kasus Pengeboran Laser

Pada subbab ini akan diterapkan metode perturbasi untuk menemukan solusi

pendekatan dari masalah studi kasus dalam menentukan kecepatan pengeboran

laser melalui plat logam tebal.

1. Model matematika

Pada subbab ini diperoleh persamaan model matematika dan penskalaan

yang ditunjukkan dalam bentuk tanpa dimensi. Model matematika skala adalah

persamaan konduksi panas berskala adalah

𝜕𝑈

𝜕𝑇=

𝜕2𝑈

𝜕𝑋2

(3.34)

dengan kondisi awal dan kondisi batas

𝑈(𝑋, 0) = 0, 𝑈(𝑆(𝑇), 𝑇) = 1, 𝑈(∞, 𝑇) = 0 (3.35)

dan kondisi batas bergerak

𝑑𝑆

𝑑𝑇= 1 + 𝜖

𝜕𝑈

𝜕𝑋(𝑆(𝑇), 𝑇)

(3.36)

dimana parameter 𝜖 tanpa dimensi adalah

𝜖 =𝑘𝑢𝑣

𝜌𝛼𝜆=

𝑐𝑢𝑣

𝜆.

(3.37)

Ditemukan bahwa 𝜖 < 1, untuk logam biasa berada di kisaran

0,19 – 0,25. Nilai yang relatif kecil (tetapi tidak terlalu kecil) menunjukkan

bahwa konduksi panas bukan faktor utama dalam memodelkan kecepatan

pengeboran, tetapi keberadaannya mungkin masih berpengaruh pada

kecepatan.

2. Skema perturbasi

Asumsikan bahwa masing-masing variabel yang bergantung dengan

variabel lainnya dalam masalah, U dan S , dapat diperluas dalam urutan suku

yang melibatkan pangkat dari 𝜖 . Jadi, asumsikan bahwa

𝑈 = 𝑈0 + 𝜖𝑈1 + 𝜖2𝑈2 + ⋯, (3.38)

𝑆 = 𝑆0 + 𝜖𝑆1 + 𝜖2𝑆2 + ⋯, (3.39)

di mana fungsi 𝑈0, 𝑈1, 𝑆0, 𝑆1, dan seterusnya masih harus ditentukan.


53

Substitusi (3.38) dan (3.39) ke dalam model matematika (3.34), (3.35),

(3.36) dan memperhatikan suku 𝑂(𝜖). Satu kesulitan disini adalah batas

kondisi pada 𝑋 = 𝑆 harus diterapkan, tetapi 𝑆(𝑇) tidak diketahui. Oleh sebab

itu, diasumsikan bahwa 𝑆(𝑇) adalah bentuk orde nol dan koreksinya bisa

menggunakan deret Taylor dengan memperluas kondisi batas tentang solusi

orde nol untuk batas bergerak 𝑆0 .

Diketahui

𝑈0 + 𝜖𝑈1 + 𝜖𝑆1

𝜕𝑈0

𝜕𝑋+ ⋯ = 1 pada 𝑋 = 𝑆0(𝑇)

(3.40)

dan

𝑑𝑆0

𝑑𝑇+ 𝜖

𝑑𝑆1

𝑑𝑇= 1 + 𝜖

𝜕𝑈0

𝜕𝑋 pada 𝑋 = 𝑆0(𝑇)

(3.41)

3. Persamaan orde nol

Kelompokkan suku orde 𝜖0 sehingga menghasilkan persamaan panas

tanpa dimensi untuk suku orde nol, 𝑈0 dan 𝑆0,

𝜕𝑈0

𝜕𝑇=

𝜕2𝑈0

𝜕𝑋2

(3.42)

dengan kondisi awal

𝑈0(𝑋, 0) = 0, 𝑈0(∞, 𝑇) = 0. (3.43)

dan kondisi batas

𝑈0 = 1, 𝑋 = 𝑆0. (3.44)

serta

𝑑𝑆0

𝑑𝑇= 1.

(3.45)

4. Solusi kuasi ekuilibrium orde nol

Persamaan (3.45) dapat diintegralkan dengan mudah sehingga

didapatkan 𝑆0 = 𝑇 + 𝑐1 dimana 𝑐1 adalah sebarang konstanta. Karena batas

bergerak dimulai dari 𝑥 = 0 pada 𝑡 = 0 maka 𝑠(0) = 0 dan 𝑆0(0) = 0.

Akibatnya 𝑐1 = 0 dan karenanya

𝑆0 = 𝑇.


54

Dengan demikian, secara eksplisit posisi dari batas bergerak untuk orde nol.

Persamaan yang harus diselesaikan sekarang adalah suhu pada orde nol yaitu

persamaan diferensial parsial (3.42) dengan titik awal dan kondisi batas (3.43)

dan (3.44) serta 𝑆0 = 𝑇.

Masalah ini masih merupakan masalah batas bergerak, tetapi hanya

diketahui posisi batas bergerak pada setiap waktu. Jadi perlu diubah kerangka

acuan sehingga titik asal ditetapkan menjadi batas bergerak yang diketahui.

Dengan demikian, masalah diubah menjadi masalah batas tetap. Didefinisikan

koordinat baru 𝜉 dan 𝜏 dengan

𝜉 = 𝑋 − 𝑇, 𝜏 = 𝑇. (3..46)

Dengan menggunakan aturan rantai persamaan diferensial parsial (3.42)

ditransformasikan menjadi

𝜕𝑈0

𝜕𝜏−

𝜕𝑈0

𝜕𝜉=

𝜕2𝑈0

𝜕𝜉2.

(3.47)

Kondisi awal dan kondisi batas (3.43) dan (3.44) ditransformasikan menjadi

𝑈0(𝜉, 0) = 0, (3.48)

𝑈0(0, 𝜏) = 1, (3.49)

𝑈0(∞, 𝜏) → 0. (3.50)

Untuk mencari solusi kuasi ekuilibrium diperoleh dengan mengatur

turunan 𝑈0 terhadap 𝜏 di nol. Cara ini sesuai untuk solusi nilai waktu yang

besar dalam sistem koordinat bergerak (𝜉, 𝜏). Misalkan 𝜕𝑈0 𝜕𝜏⁄ = 0 pada

(3.47), memberikan koefisien sederhana pada persamaan diferensial dalam

menyelesaikannya, solusinya juga akan memenuhi kondisi batas (3.49) dan

(3.50) yaitu

𝑈0(𝜉) = 𝑒−𝜉 . (3.51)

Dengan mengembalikannya ke koordinat asli (𝑋, 𝑇) menggunakan (3.46),

solusi untuk orde nol dapat ditulis sebagai berikut

𝑈0 = 𝑒−(𝑋−𝑇). (3.52)


55

Solusi kuasi ekuilibrium ini mengabaikan batas bergerak untuk orde nol.

Solusinya memprediksi bahwa suhu tanpa dimensi akan kembali normal

dengan sangat cepat pada jarak yang pendek dari batas bergerak. Pernyataan

tersebut diharapkan karena sejumlah besar energi akan dipasok ke batas

bergerak dari laser, tetapi pada pendekatan orde nol, konduksi panas diabaikan

dari batas bergerak. Suhu kuasi ekuilibrium ditunjukkan pada Gambar 3.6,

untuk beberapa waktu yang berbeda. Suhu menunjukkan proses ekponensial

dari batas bergerak ke bahan logam. Perhatikan bahwa limit 𝜏 → ∞ sesuai

dengan solusi kuasi ekuilibrium.

Gambar 3.6 Grafik menunjukkan pada orde nol, suhu kuasi-ekuilibrium

sebagai fungsi dari jarak 𝑋 tanpa dimensi untuk beberapa nilai dari waktu 𝑇

tanpa dimensi; 𝑇 = 1, 𝑇 = 2, 𝑇 = 3, dan 𝑇 = 4.

5. Koreksi orde satu untuk batas bergerak

Persamaan untuk orde satu menggabungkan efek konduksi. Persamaan

diperoleh dari perluasan persamaan dan mengelompokkan suku dari orde 𝜖1.

Suku orde satu dari kondisi Stefan adalah

𝑑𝑆1

𝑑𝑇=

𝜕𝑈0

𝜕𝑋(𝑆0(𝑇), 𝑇).


56

Menggunakan solusi untuk 𝑈0 yang diperoleh pada persamaan (3.52) dan 𝑆0 =

𝑇, sehingga didapat

𝑑𝑆1

𝑑𝑇= −1.

Oleh karena itu

𝑆1 = −𝑇 + 𝑐2

dimana 𝑐2 adalah sebarang konstanta, tetapi 𝑆1(0) = 0 sehingga

𝑆1 = −𝑇.

Jadi, karena 𝑆 = 𝑆0 + 𝜖𝑆1, maka

𝑆(𝑇) = 𝑇 − 𝜖𝑇.

Selanjutnya akan diperoleh solusi pendekatan pada suku variabel dimensi asli

dengan mengembalikan persamaan skala ke variabel asli, menggunakan

𝑆 =𝑣0

𝛼𝑠, 𝑇 =

𝑣02

𝛼𝑡,

Sedangkan diketahui

𝑠(𝑡) = (1 − 𝜖)𝑣0𝑡

Pada variabel asli, posisi dari batas bergerak adalah

𝑠(𝑡) = (1 −𝑐𝑢𝑣

𝜆) 𝑣0𝑡 = (1 −

𝑐𝑢𝑣

𝜆)

𝑄0

𝜌𝜆𝐴𝑡.

Sehingga didapat rumus dari kecepatan pengeboran yaitu

𝑣1 =𝑑𝑠

𝑑𝑡= (1 −

𝑐𝑢𝑣

𝜆) 𝑣0 = (1 −

𝑐𝑢𝑣

𝜆)

𝑄0

𝜌𝜆𝐴

(20)

Suku orde nol dan koreksi orde pertama mengarah ke batas bergerak yang

sebanding dengan waktu, bukan ke akar kuadrat dari waktu. Pengaruh

peningkatan pada panas laten berarti bahwa batas bergerak, bergerak lebih

lambat yaitu lubang yang dibor terbentuk lebih lambat. Inilah yang diharapkan

secara fisik. Kecepatan lebih lambat berasal dari sejumlah kecil kekuatan laser

yang dilakukan jauh dari batas bergerak daripada menuju penguapan

logam. Dengan mengurangi kecepatan batas bergerak akan meningkatkan

konduktivitas.


57

Studi kasus ini dapat menghasilkan solusi yang lebih akurat untuk nilai

waktu yang kecil (menggunakan metode asimtotik yang cocok untuk perluasan

perturbasi singular). Namun pada skripsi ini, hanya dibahas secara lebih

singkat dan hanya sampai padai orde satu.


58

BAB IV

HASIL SIMULASI

Dalam Bab III telah dibahas mengenai model untuk mengetahui kecepatan

pengeboran laser dengan konduksi panas diabaikan (𝑣0) maupun kecepatan

pengeboran laser dengan konduksi panas diperhatikan (𝑣1). Pada bab ini akan

dibahas hasil simulasi antara 𝑣0 dan 𝑣1 untuk beberapa bahan logam. Simulasi

kecepatan pengeboran laser akan dilakukan menggunakan program MATLAB.

Dalam menghitung kecepatan pengeboran laser 𝑣0 dan 𝑣1 dihitung menggunakan

rumus

𝑣0 =𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑄0

𝜌𝜆𝐴

dan

𝑣1 =𝑑𝑆

𝑑𝑡= (1 −

𝑐𝑢𝑣

𝜆) 𝑣0 = (1 −

𝑐𝑢𝑣

𝜆)

𝑄0

𝜌𝜆𝐴

A. Perbedaan Antara 𝒗𝟎 dan 𝒗𝟏

Pada subbab ini akan dibahas mengenai perbedaaan antara 𝑣0 dan 𝑣1 yang akan

dituliskan menggunakan tabel seperti pada Tabel 4.1

Tabel 4.1 Perbedaaan antara 𝑣0 dan 𝑣1

No 𝒗𝟎 𝒗𝟏

1. Menyatakan kecepatan pengeboran

laser tanpa memperhatikan

konduksi panas

Menyatakan kecepatan pengeboran

laser dengan memperhatikan

konduksi panas

2. Kecepatan yang dihasilkan lebih

besar jika dibandingkan dengan 𝑣1

Kecepatan yang dihasilkan lebih kecil

jika dibandingkan dengan 𝑣0

3. Waktu yang dihasilkan lebih cepat


Waktu yang dihasilkan lebih lambat



59

4. Akibat dari kecepatan dan waktu

yang dihasilkan lebih cepat jika

dibandingkan dengan 𝑣1, lubang

pada logam juga lebih cepat

terbentuk

Akibat dari kecepatan dan waktu yang

dihasilkan lebih lambat jika

dibandingkan dengan 𝑣0, lubang pada

logam juga lebih lambat terbentuk

5. Model matematika untuk 𝑣0 tidak

realitis pada kehidupan sehari-hari.

Model matematika untuk 𝑣1 realitis

pada kehidupan sehari-hari.

B. Pembahasan Hasil Simulasi

Pada subbab ini akan dibahas mengenai hasil simulasi kecepatan pengeboran

laser menggunakan MATLAB. Simulasi ini dilakukan dengan beberapa nilai 𝑄0,

dengan 𝑄0 menyatakan daya laser dan luas daerah penampang 𝐴 = 1 mm2 =

1 × 10−6 m2. Berikut ini merupakan grafik hasil simulasi kecepatan pengeboran

laser 𝑣0 dan 𝑣1 untuk beberapa bahan logam.

Gambar 4.2 Grafik simulasi kecepatan laser pada bahan aluminium


60

Gambar 4.3 Grafik simulasi kecepatan laser pada bahan tembaga

Gambar 4.4 Grafik simulasi kecepatan laser pada bahan emas


61

Gambar 4.5 Grafik simulasi kecepatan laser pada bahan besi

Gambar 4.6 Grafik simulasi kecepatan laser pada bahan timah


62

Gambar 4.7 Grafik simulasi kecepatan laser pada bahan nikel

Gambar 4.8 Grafik simulasi kecepatan laser pada bahan seng


63

Gambar 4.2 sampai dengan Gambar 4.8 memperlihatkan secara geometris

simulasi model matematika untuk kecepatan pengeboran laser. Simulasi ini

menggunakan 𝑄0 = [0,100], dan 𝐴 = 1 × 10−6. Ketujuh grafik diatas

menunjukkan bahwa terdapat perbedaan kecepatan antara 𝑣0 dan 𝑣1. Berikut akan

ditunjukkan rata-rata selisih kecepatan antara 𝑣0 dan 𝑣1 dalam Tabel 4.2.

Tabel 4.2 Rata-rata selisih 𝑣0 dan 𝑣1

Bahan

Rata-rata selisih kecepatan

∑ |𝒗𝟎𝒊− 𝒗𝟏𝒊

|𝟏𝟎𝟎𝒊=𝟎

𝟏𝟎𝟎

Aluminium 3.95 × 10−4 m/s ≈ 0.4 mm/s

Tembaga 2.37 × 10−6 m/s ≈ 0.002 mm/s

Emas 3.15 × 10−6 m/s ≈ 0.003 mm/s

Besi 2.22 × 10−6 m/s ≈ 0.002 mm/s

Timah 1.3 × 10−5 m/s ≈ 0.01 mm/s

Nikel 1.77 × 10−6 m/s ≈ 0.001 mm/s

Seng 7.53 × 10−6 m/s ≈ 0.007 mm/s

Jika dilihat dari kehidupan sehari-hari, model yang realistis adalah 𝑣1 sebab

pada pengeboran laser konduksi panas akan diperhatikan. Namun demikian, jika

dilihat dari hasil simulasi, perbedaan antara 𝑣0 dan 𝑣1 tidak terlalu besar, kecuali

pada aluminium. Jadi dapat dikatakan bahwa untuk mengetahui kecepatan

pengeboran laser pada aluminium lebih baik digunakan model 𝑣1 karena model

tersebut lebih realistis dan memiliki perbedaan yang besar dengan 𝑣0 sehingga akan

didapatkan hasil pendekatan yang baik. Untuk mengetahui kecepatan pengeboran

laser pada tembaga, emas, besi, timah, nikel dan seng lebih baik digunakan model

𝑣0 karena perbedaan antara 𝑣0 dan 𝑣1 tidak terlalu besar. Sehingga lebih baik

memilih model yang lebih sederhana.


64

BAB V

PENUTUP

Dalam bab ini akan dibahas mengenai kesimpulan dari pembahasan dalam

skripsi ini dan saran yang diberikan untuk pembaca.

A. KESIMPULAN

Metode perturbasi adalah cara untuk mendapatkan barisan pendekatan dimana

setiap suku yang berurutan tersebut merupakan koreksi kecil dari suku sebelumnya.

Pada skripsi ini, penulis telah memodelkan secara matematis untuk kecepatan

pengeboran laser pada logam menggunakan metode perturbasi. Dalam

memodelkan kecepatan pengeboran laser terbagi menjadi dua kasus, yaitu:

1. Jika konduksi panas pada logam diabaikan, maka rumus untuk kecepatan

pengeboran laser akan mudah ditemukan, yaitu

𝑣0 =𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑄0

𝜌𝜆𝐴.

2. Jika konduksi panas diperhatikan, maka rumus untuk pengeboran laser

akan sulit ditentukan untuk itu perlu digunakan metode perturbasi, yaitu

𝑣1 =𝑑𝑆

𝑑𝑡= (1 −

𝑐𝑢𝑣

𝜆) 𝑣0 = (1 −

𝑐𝑢𝑣

𝜆)

𝑄0

𝜌𝜆𝐴.

Kedua model matematika diatas telah disimulasi pada Bab IV dalam bentuk

grafik. Grafik tersebut menjelaskan bahwa kecepatan 𝑣0 lebih besar dibandingkan

dengan 𝑣1. Dalam kehidupan sehari-hari logam yang dipanaskan menggunakan

laser berdaya tinggi akan melibatkan konduksi panas. Namun demikian, jika dilihat

dengan cermat hasil simulasinya, perbedaan antara 𝑣0 dan 𝑣1 tidak terlalu besar,

kecuali pada aluminium. Jadi dapat dikatakan bahwa untuk mengetahui kecepatan

pengeboran laser pada aluminium lebih baik digunakan model 𝑣1 karena model


65

tersebut lebih realistis dan memiliki perbedaan yang besar dengan 𝑣0 sehingga akan

didapatkan hasil pendekatan yang baik. Untuk mengetahui kecepatan pengeboran

laser pada tembaga, emas, besi, timah, nikel dan seng lebih baik digunakan model

𝑣0 karena perbedaan antara 𝑣0 dan 𝑣1 tidak terlalu besar. Sehingga lebih baik

memilih model yang lebih sederhana.

B. SARAN

Pada skripsi ini penulis membahas mengenai penyelesaian model matematika

untuk kecepatan pengeboran laser pada logam menggunakan metode perturbasi.

Penulis sadar bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak sekali kekurangan.

Oleh karena itu, penulis berharap kelak ada yang melanjutkan penelitian ini. Dalam

skripsi ini hanya membahas kecepatan pengeboran laser berdimensi satu dan faktor-

faktor yang mempengaruhi kecepatan pengeboran masih terbatas. Penulis berharap,

jika ada pembaca yang mampu melanjutkan penelitian ini dimensi yang lebih tinggi

dan faktor-faktor yang lebih berpengaruh dalam pengeboran laser. Jika

memungkinkan pula untuk menggunakan metode lainnya agar memberikan hasil

yang lebih akurat.


66

DAFTAR PUSTAKA

Barnes, B., and Fulford, G.R. (2009). Mathematical Modelling with Case Studies:

A Differential Equation Approach Using Maple and MATLAB (Second

Edition). London: CRC Press Taylor & Francis Group

Coleman, M.P. (2013). An Introduction Partial Differential Equations with

MATLAB (Second Edition). Boca Raton: CRC Press Taylor & Francis Group

Fulford, G.R., and Broadbridge, P. (2002). Industrial Mathematics. Cambridge:

Cambridge University Press

Holmes, M.H. (2009). Introduction to the Foundations of Applied Mathematics.

London: Springer

Ross, S.L. (2004). Differential Equations. Delhi: Wiley.

Smith, R.T., and Minton, R.B. (2006). Calculus: Early Transcendental Functions

(Third Edition). New York: Cengage Learning

Zill, D.G. (2009). A First Course in Differential Equation with Modeling

Applications (Ninth Edition). Los Angeles: Loyola Marymount University


67

LAMPIRAN

Berikut ini adalah kode program MATLAB untuk plot grafik dan mencari rata-

rata selisih kecepatan pengeboran laser.

A. Plot Grafik Pendekatan 𝑼𝟎 dan 𝑼𝟎 + 𝝐𝑼𝟏

>> X=0:0.1:1;

>> e=3;

>> U0=1-X;

>> U=(1-X)+(e*((1/30*(1-X).^6)-(1/30*(1-X))));

>> plot(X,U0,'*-b',X,U,'k')

B. Plot Grafik Pendekatan Suhu dengan jari-jari 𝑹 = 𝟏 + 𝝐𝐜𝐨𝐬(𝜽)

>> teta=0:0.1:6;

>> e1=0;

>> e2=0.2;

>> R1=1+(e1*cos(teta));

>> R2=1+(e2*cos(teta));

>> U1=(-R1.^2/4)+(5/4)+(e1.*R1.*cos(teta));

>> U2=(-R2.^2/4)+(5/4)+(e2.*R2.*cos(teta));

>> plot(teta,U1,'*-b',teta,U2,'k');


68

C. Plot Grafik Suhu Kuasi Ekuilibrium dengan 𝑻 = 𝟏, 𝑻 = 𝟐, 𝑻 =

𝟑 𝐝𝐚𝐧 𝑻 = 𝟒

>> X=1:0.1:10;

>> U0_1=exp(-(X-1));

>> U0_2=exp(-(X-2));

>> U0_3=exp(-(X-3));

>> U0_4=exp(-(X-4));

>> plot(X,U0_1,'k', X,U0_2,’’, X,U0_3,’’, X,U0_4,’’)

D. Plot Grafik dan Rata-Rata Selisih untuk Kecepatan Laser pada Bahan

Aluminium

>> Q_0=0:1:100;

>> A=10^-6;

>> rho_Al=2700;

>> uv_Al=2727;

>> lamda_Al=1.080*10^7;

>> c_Al=913;

>> e=0.23;

>> v0_Al=Q_0/(rho_Al*lamda_Al*A);

>> v1_Al=(1-((c_Al*uv_Al)/lamda_Al))*v0_Al;

>> plot(Q_0,v0_Al,'k',Q_0,v1_Al,'*-b')

>> rataselisih=sum(abs(v0_Al-v1_Al))/length(Q_0)

rataselisih =

3.9529e-004


69

>> rataselisih=sum(abs(v0_Al-v1_Al))/length(Q)*1000

rataselisih =

0.3953

E. Plot Grafik dan Rata-Rata Selisih untuk Kecepatan Laser pada Bahan

Tembaga

>> Q_0=0:1:100;

>> A=10^-6;

>> rho_Cu=8900;

>> uv_Cu=2499;

>> lamda_Cu=4.770*10^7;

>> c_Cu=385;

>> v0_Cu=Q_0/(rho_Cu*lamda_Cu*A);

>> v1_Cu=(1-((c_Cu*uv_Cu)/lamda_Cu))*v0_Cu;

>> plot(Q_0,v0_Cu,'k',Q_0,v1_Cu,'*-b')

>> rataselisih=sum(abs(v0_Cu-v1_Cu))/length(Q_0)

rataselisih =

2.3756e-006

>> rataselisih=sum(abs(v0_Cu-v1_Cu))/length(Q_0)*1000

rataselisih =

0.0024


70

F. Plot Grafik dan Rata-Rata Selisih untuk Kecepatan Laser pada Bahan

Emas

>> Q_0=0:1:100;

>> A=10^-6;

>> rho_Au=19300;

>> uv_Au=2788;

>> lamda_Au=1.740*10^7;

>> c_Au=132;

>> v0_Au=Q_0/(rho_Au*lamda_Au*A);

>> v1_Au=(1-((c_Au*uv_Au)/lamda_Au))*v0_Au;

>> plot(Q_0,v0_Au,'k',Q_0,v1_Au,'*-b')

>> rataselisih=sum(abs(v0_Au-v1_Au))/length(Q_0)

rataselisih =

3.1491e-006

>> rataselisih=sum(abs(v0_Au-v1_Au))/length(Q_0)*1000

rataselisih =

0.0031

G. Plot Grafik dan Rata-Rata Selisih untuk Kecepatan Laser pada Bahan

Besi

>> Q_0=0:1:100;

>> A=10^-6;

>> rho_Fe=7900;


71

>> uv_Fe=12170;

>> lamda_Fe=6.070*10^7;

>> c_Fe=106;

>> v0_Fe=Q_0/(rho_Fe*lamda_Fe*A);

>> v1_Fe=(1-((c_Fe*uv_Fe)/lamda_Fe))*v0_Fe;

>> plot(Q_0,v0_Fe,'k',Q_0,v1_Fe,'*-b')

>> rataselisih=sum(abs(v0_Fe-v1_Fe))/length(Q_0)

rataselisih =

2.2160e-006

>> rataselisih=sum(abs(v0_Fe-v1_Fe))/length(Q_0)*1000

rataselisih =

0.0022

H. Plot Grafik dan Rata-Rata Selisih untuk Kecepatan Laser pada Bahan

Timah

>> Q_0=0:1:100;

>> A=10^-6;

>> rho_Sn=11300;

>> uv_Sn=1722;

>> lamda_Sn=0.861*10^7;

>> c_Sn=126;

>> v0_Sn=Q_0/(rho_Sn*lamda_Sn*A);

>> v1_Sn=(1-((c_Sn*uv_Sn)/lamda_Sn))*v0_Sn;


72

>> plot(Q_0,v0_Sn,'k',Q_0,v1_Sn,'*-b')

>> rataselisih=sum(abs(v0_Sn-v1_Sn))/length(Q_0)

rataselisih =

1.2951e-005

>> rataselisih=sum(abs(v0_Sn-v1_Sn))/length(Q_0)*1000

rataselisih =

0.0130

I. Plot Grafik dan Rata-Rata Selisih untuk Kecepatan Laser pada Bahan

Nikel

>> Q_0=0:1:100;

>> A=10^-6;

>> rho_Ni=8800;

>> uv_Ni=2739;

>> lamda_Ni=6.361*10^7;

>> c_Ni=460;

>> v0_Ni=Q_0/(rho_Ni*lamda_Ni*A);

>> v1_Ni=(1-((c_Ni*uv_Ni)/lamda_Ni))*v0_Ni;

>> plot(Q_0,v0_Ni,'k',Q_0,v1_Ni,'*-b')

>> rataselisih=sum(abs(v0_Ni-v1_Ni))/length(Q_0)

rataselisih =

1.7692e-006

>> rataselisih=sum(abs(v0_Ni-v1_Ni))/length(Q_0)*1000

rataselisih =


73

0.0018

J. Plot Grafik dan Rata-Rata Selisih untuk Kecepatan Laser pada Bahan

Seng

>> Q_0=0:1:100;

>> A=10^-6;

>> rho_Zn=7140;

>> uv_Zn=885;

>> lamda_Zn=1.780*10^7;

>> c_Zn=385;

>> v0_Zn=Q_0/(rho_Zn*lamda_Zn*A);

>> v1_Zn=(1-((c_Zn*uv_Zn)/lamda_Zn))*v0_Zn;

>> plot(Q_0,v0_Zn,'k',Q_0,v1_Zn,'*-b')

>> rataselisih=sum(abs(v0_Zn-v1_Zn))/length(Q_0)

rataselisih =

7.5307e-006

>> rataselisih=sum(abs(v0_Zn-v1_Zn))/length(Q_0)*1000

rataselisih =

0.0075


PENYELESAIAN MODEL MATEMATIS PENGEBORAN LASER …

Documents

Transcript of PENYELESAIAN MODEL MATEMATIS PENGEBORAN LASER …