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8/19/2019 pc pucp
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
CÁLCULO 1
Primera Práctica
Ciclo Verano 2015-0
1. Hallar el dominio, rango y gráfica de la siguiente función,
() =| + 1| | 1|
(4 ptos.)
2. Dadas las funciones y
() = 2+1 , ≥ 12 y () = −1Halle ∘ , indicando su dominio. (4 ptos.)
3. Usando la definición de límite, demuestre que
lim→1 �5 3
√ = 2
(4 ptos.)
4. Analice la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a. Si lim→ () existe y lim→[ () + ()] no existe, entonces
lim
→ (
) no existe. (1 pto.)
b. Si lim→ () existe, entonces () existe. (1 pto.)
5. Calcule los siguientes límites, (2 puntos cada uno)
a. lim→4 (), sabiendo que |() + 5| ≤ 3(4 )2.
b. lim→0 √ 1+sin−√ 1−sintan
c. lim
→0 1−sec
San Miguel, 23 de enero del 2015
Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones
que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
CÁLCULO 1
Segunda Práctica
Ciclo Verano 2015-0
1.
Dada la función
() =
√ 22 1
, < 1/2
( 1)22 + 1
, > 1/2
Halle las asíntotas de la gráfica de y esboce la gráfica indicando los puntos de
intersección con los ejes coordenados. (6 ptos.)
2.
Dada la función
() =
5 + + 2 sin( 1/) , < 0
0 = 0
+ 5 2 cos(1/) , > 0
Halle los valores de y para que la función sea continua en = 0. (4 ptos)
3.
a.
Proporcione un ejemplo de una función tal que lim→
|
(
)| exista pero
lim→ () no exista. (2 ptos.)
b.
Sea : → una función continua. Demuestre que
lim→0 ( ) = ().
(2 ptos.)
4.
Demuestre que la ecuación sin = tiene al menos una raíz positiva. (3 ptos.)
5.
Dada las funciones
() =
( 1)2 + 1, < 4
10 = 4
3 2, > 4
y () = (−1)−4
−2 . Halle (3 ptos.)
lim→5( ∘ ) ()
San Miguel, 30 de enero del 2015
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CÁLCULO 1
Tercera Práctica
Ciclo Verano 2015-0
1.
El límite de velocidad en una autopista recta es de 65 km/h. Suponga que en un
punto un policía de caminos midió la velocidad del conductor y 1/2 hora
después, 35 km. de , un segundo policía también midió la velocidad del
conductor. Aunque los dos policías determinaron que el conductor se mantuvo
balo el límite de velocidad en los dos puntos y , el segundo policía detuvo al
conductor por alta velocidad. Usando el Teorema de Valor medio, verifique que
en realidad el conductor rebasó el límite de velocidad en algún punto entre y .
(Suponga que la ecuación de movimiento del conductor es () y que esdiferenciable).
(4 ptos.)
2.
Un embudo de forma cónica tiene un diámetro de 10 en su parte superior y
8 de altura. El agua entra al embudo a una velocidad de 12 3/ y sale de él
a una velocidad de 4 3/. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando éste
tiene una altura de 5 .? (4 ptos.)
3.
a.
Sea () = 2 cos
Usando el teorema de Rolle, demuestre que existe un ∈ ]0,/2[ tal que
tan = 2/. (2 ptos.)
b.
Calcule aproximadamente √ 10
(2 ptos.)
4.
La rigidez de una viga rectangular es proporcional a su ancho y al cubo de su
espesor. Determine las dimensiones de la viga de mayor rigidez que pueda
cortarse de un tronco con forma de cilindro circular recto cuyo radio es de 50 cm.
(4 ptos.)
Continúa…
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5.
Dos partículas y se mueven hacia la derecha sobre una recta horizontal. Ellas
inician su movimiento en el punto . Las leyes de movimientos son
= 42 + 5 ( ) = 72 + 3 ( )
Si en = 0 están en el inicio, ¿para qué valores de la velocidad de la partícula excederá la velocidad de la partícula de ? (4 ptos.)
San Miguel, 13 de febrero del 2015
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CÁLCULO 1
Cuarta Práctica
2015-0
1.
Grafique la siguiente función indicando sus asíntotas, intervalos de monotonía,
extremos, intervalos de concavidad y puntos de inflexión. (7 ptos.)
() = � 2
( 1)2 , < 1
−/2 , ≥ 1
2.
Halle la ecuación de la recta
que pasa por el punto
(12 , 2) de modo que el área
del triángulo que forma con los semiejes positivos sea mínimo. (4 ptos)
3.
Sea : → una función derivable tal que (0) = 0 y ′′() > 0, ∀ ∈ .
a.
Demuestre que ′() () > 0,∀ ∈]0,∞[. (2 ptos.)
b.
Usando la parte a), demuestre que () = ()/ es una función creciente
en ]0,∞[. (2 ptos.)
4.
Calcule los siguientes límites
a. lim→ sin/2+cos1+sin +cos (3 ptos.)
b. lim→0 −1sin (2 ptos.)
San Miguel, 20 de febrero del 2015
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PRIMER EXAMEN DE CÁLCULO 1
Ciclo Verano 2015-0
Indicaciones:
Resuelva cinco (5) de los siguientes seis (6) problemas.
Al finalizar la prueba, marque en la parte posterior del cuadernillo la pregunta que no
contestó. Si resuelve todas las preguntas y no indica cuál debe eliminarse, no se le
considerará aquella en la que haya obtenido el mayor puntaje.
Resuelva las preguntas de acuerdo a la siguiente distribución:
Pregunta 1 2 3 4 5 6
Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10 11 y 12
No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras.
1.
Sea : → la función definida por
() =
⎩|6 + 9|√ 42 − 9
< −3/2
83(2 + 3)2 > −3/2
Calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de la gráfica de y bosqueje lagráfica de . (4 ptos.)
2.
Sean ,: → dos funciones derivables en = tal que () ≠ 0. Demuestre que
′ () = ′()()− ()′()
[()]2
(4 ptos.)
3.
a.
Sea
: [
,
]
→ [
,
] una función continua. Demuestre que existe un
∈ [
,
] tal
que () = . (2 ptos)
b.
Calcule el siguiente límite:
lim→1 1
1− − 3
1− 3 (2 ptos.)
1 de 2
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4.
Dada la función
() = � 2 sin(1/) + > 0
0 = 0
3 cos(1/) + + < 0
Halle los valores de y para que () sea derivable en = 0. (4 ptos.)
5.
a.
Sea () = (cos )√ 1 + sin2 ,
halle ′(). (2 ptos.)
b.
Sea ′() = 1/ . Si () es una función derivable tal que ∘ () = ,
demuestre que
′(
) =
(
) (2 ptos.)
6.
a.
Halle la derivada de orden de la función () = sin2
(2 ptos.)
b.
Halle la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función () definida
implícitamente por la ecuación + =
en el punto de abscisa = 0 . (2 ptos)
San Miguel, 6 de febrero del 2015
2 de 2
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SEGUNDO EXAMEN DE CÁLCULO 1
Ciclo Verano 2015-0
Indicaciones:
Resuelva cinco (5) de los siguientes seis (6) problemas.
Al finalizar la prueba, marque en la parte posterior del cuadernillo la pregunta que no
contestó. Si resuelve todas las preguntas y no indica cuál debe eliminarse, no se le
considerará aquella en la que haya obtenido el mayor puntaje.
Resuelva las preguntas de acuerdo a la siguiente distribución:
Pregunta 1 2 3 4 5 6
Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10 11 y 12
No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras.
1.
Sea : → la función definida por
() =
⎩
> 0
5
2/3
5/3
≤ 0
Halle las asíntotas horizontales, verticales, intervalos de monotonía y de concavidad,
puntos extremos, puntos de inflexión y bosqueje la gráfica de .
(4 ptos.)
2. Si la longitud de una de los catetos de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es
constante e igual a 30 cm, está aumentando a razón de 1/ cm/seg. ¿A qué razón está
variando el volumen del cono generado por la rotación de dicho triángulo alrededor del
otro cateto cuando el radio del cono mide 5 cm?
(4 ptos.)
….continúa
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que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
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3.
a.
Demuestre que, para todo > 0
( + 1) ln( + 1) >
(2 ptos)
b.
Sea : → una función tal que ´() > 0,∀ ∈ . Demuestre que ( −1)´() es
una función creciente. (2 ptos.)
4.
Calcule las siguientes integrales indefinidas.
a. ∫
cos (2+tan )
b. ∫ √
√
5.
a.
Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria con condición inicial:
� ( + 2)´ = 1 + 2´(0) = 2
(3 ptos.)
b.
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la solución hallada en la
parte a) en el punto (0,2). (1 pto.)
6.
a.
Demuestre que existe una única solución de la ecuación = 2
en el intervalo ]0,1[.
(3 ptos.)
b.
Calcule el siguiente límite
lim→02()
3
(1 ptos)
San Miguel, 27 de febrero del 2015
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