Macroeconometria Manual PUCP

Macroeconometría Aplicada con E-Views 5 Expositor: José Carlos Tello

Macroeconometría con EViews 5.0 1

Macroeconometría Aplicada con EViews 5.1

Expositor: José Carlos Tello



Sesión 1 Econometría teórica y aplicada1

Tanto la econometría teórica como la aplicada presentan dos aproximaciones la clásica y la Bayesiana. En el curso nos concentraremos en la econometría clásica, salvo que hagamos explícito el uso de la tradición Bayesiana. La econometría teórica está vinculada al desarrollo de métodos apropiados para la medición de relaciones económicas especificadas por modelos econométricos, dicha área de estudio nos indica el método de estimación, sus propiedades y sus desventajas cuando uno o más supuestos no se cumplen.

En el caso de la econometría aplicada, usamos las herramientas que nos provee la econometría teórica para estudiar algún área específica de la economía o de las finanzas. En el curso ha dictarse pretendemos mostrar con diversos ejemplos campos de la economía las cuáles hemos divido en dos grupos: Macroeconometría y Microeconometría. Esta clasificación depende obviamente de los campos de la economía ha tratarse, y no de los métodos de estimación. Como veremos en el desarrollo de los cursos varios métodos de estimación pueden ser aplicados tanto para la Macroeconomía como para la Microeconomía. Modelo de Regresión Lineal Clásica

111 xnxkkxnxn Xy εβ +=

También podemos representarlo haciendo explícitas las matrices, observa las dimensiones de los vectores y el número de columnas de la matriz X.

+

=

nkknnn

k

k

n xxx

xxxxxx

y

yy

ε

εε

β

ββ

MM

L

MOOM

L

L

M2

1

2

1

21

222

12

121

11

2

1

El vector β contiene los efectos marginales de cada variable independiente sobre la variable dependiente.

1111

1

n

n

xy

xy

∂∂

==∂∂

β

1 Tomado del libro Basic Econometrics de Damodar Gujarati (2003).

Variable dependiente

Variables independientes

Errores no controlados



Como podemos observar dichos efectos marginales son constantes, no varía entre los datos de la muestra. Esto es obvio porque se trata de un modelo lineal (lineal con respecto a los parámetros).

Repasemos las características de este modelo, el orden de ellas está relacionado a su importancia en la econometría práctica.

1. Ortogonalidad entre las variables explicativas y los errores. Las variables explicativas o independientes no pueden tener correlación alguna con los errores. Matemáticamente esta idea tiene la siguiente notación:

[ ] 0=ε'XE

Si en un modelo econométrico las variables explicativas o alguna de ellas tienen correlación con los errores, en ese caso será una muestra que los errores contienen información útil para la estimación. Por ello, es necesario especificar bien el modelo para extraer toda la información posible2.

2. Los errores se caracterizan por poseer una varianza constante (homocedasticidad). La idea es que los errores no pueden presentar ningún comportamiento definido, solo deben estar alrededor de cero y con una variabilidad que se pueda controlar (varianza constante).

[ ]

==

2

2

2

2

0

0000

σσ

σ

σεε

LL

MOM

LO

L

nI'E

3. La no multicolinealidad de las variables explicativas. En la matriz de

información X no podemos tener dos o más variables que posean el mismo comportamiento, de ser ese el caso estaríamos incrementado el número de variables explicativas sin sentido. Matemáticamente, decimos que el rango de la matriz X es igual a k.

4. La distribución de los errores (ε ) condicional a X es conjuntamente normal. Matemáticamente podemos expresar esta idea de la siguiente manera:

( )nI,N~X| 20 σε

5. El modelo es lineal con respecto a los parámetros.

Sobre el tamaño de la muestra

En esta sección haremos mención tanto a una variable de corte transversal como a una serie de tiempo. En econometría y meteorología lamentablemente el investigador no puede realizar experimentos controlados. De ahí que nuestras variables explicativas no sean variables de control como sucede en la física, microbiología, economía experimental, entre otras disciplinas. Debido a esto, el tema

2 En el contexto de series de tiempo, la idea será que las variables explicativas son ortogonales a los errores en el pasado, presente y futuro.



sobre el tamaño de la muestra es importante antes de realizar cualquier tipo de estimación. En el caso que nuestra investigación solo considere un grupo de individuos, empresas o países sin importar el periodo de tiempo, la muestra debe ser de buena calidad, es decir, representativa de la población, las características deben ser similares a la muestra para una encuesta. La muestra debe considerar las principales características de la población. Por ejemplo, si queremos estimar la función de costos de una industria, debemos recopilar información de empresas grandes, medianas y pequeñas, en una proporción similar a la población; también deberíamos considerar otras características como la evaluación crediticia, la percepción del mercado en cuanto a su desempeño futuro, entre otros. A modo de resumen, la muestra debe ser reflejo en una escala más pequeña de la población.

En el caso que la base de datos sea series de tiempo, la muestra debe ser de

buena calidad, tanto en su tamaño como el periodo que contiene. Por ejemplo, si la base de datos es de frecuencia mensual durante 5 años, el tamaño de la muestra es importante (60) pero esto no es suficiente. En el caso que durante esos 5 años la economía estuvo bajo un contexto de recesión entonces no podemos utilizar dicha muestra para inferir sobre futuros escenarios de expansión, de igual manera en el caso contrario. Por otro lado, si nuestra muestra captura escenarios de expansión, recesión y contracción pero solo contamos con 10 datos anuales, entonces tendríamos una muestra pequeña pero representativa de la situación que queremos evaluar. Las limitaciones en este caso son de carácter operacional como el tener pocos grados de libertad, funciones de distribución no específicas al realizar las hipótesis de trabajo, entre otras.

Posibles errores en la elección de la muestra

-18

-13

-8

-3

2

7

12

17

1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002

Periodos de expansiónCambios estructurales en el sistema económico

Muestra de 60 datos mensuales en periodo de recesión y recuperación

Muestra de 10 datos anuales en periodo de expansión y

contracción

Muestra de 24 datos en periodo con cambios estructurales%

PBI



Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

El método de Mínimos Cuadrados Ordinarios es el más utilizado para la estimación de modelos lineales como el presentado anteriormente. El método consiste en minimizar la suma de los residuos al cuadrado, matricialmente sería:

( )( )'ˆXyˆXy'eemin ββ −−=

Observa que la función a minimizar considera los residuos estimados (e) pues el vector que minimiza la función es β , el vector de parámetros estimados.

( ) y'XX'Xˆ 1−=β

El R2, el coeficiente de determinación:

( )

( )∑

∑

=

=

−

−

n

ii

n

ii

yy

yy

1

2

1

2

Aplicación 1: Abrir el programa ols_matrices.prg

Propiedades del estimador de MCO

Muestra pequeña: la idea de esta sección es mostrar las características de la distribución del estimador de MCO para una muestra de tamaño n.

• El Teorema Gauss-Markov nos dice que el estimador de MCO es eficiente (su varianza es la más pequeña que cualquier otro estimador).

• El estimador de MCO es una función de la muestra (y,X) si dichas variables son aleatorias entonces el estimador también lo será. Si fijamos X y tenemos todas las posibles realizaciones de y tomamos el promedio de los MCOβ y dicho promedio será igual al verdadero valor β .

• Eficiencia del estimador MCO. Si calculamos el MCOβ para las diferentes muestras, el promedio de dichos estimadores coincidirá con el valor verdadero.

Aplicación 2: abrir el workfile demo.wf1 y el programa demo.prg

En el workfile demo tenemos 4 variables (series): (i) M1 son los saldos monetarios nominales, (ii) GDP es el producto interno bruto, (iii) RS es la tasa de interés nominal y (iv) PR es el índice de precios. Esta base de datos es trimestral y no presenta problemas de estacionalidad3.

3 En la sesión 2 trataremos este concepto y su tratamiento.



Observemos que existen dos objetos que aparecen por defecto en el workfile.

El objeto de nombre “c” y el de nombre “resid”. Cada uno posee un icono diferente, el primero se trata de un vector de coeficientes (diferente a un vector común) y el segundo se trata de una variable (serie). Toda estimación que se realice, los parámetros estimados serán almacenados en dicho objeto “c”. Si logramos estimar otro modelo los parámetros almacenados serán modificados. En el caso del objeto resid, éste almacena momentáneamente los residuos de la última regresión.

El modelo que vamos a estimar es la curva LM donde incluiremos el rezago del índice de precio (darle dinámica al modelo).

ttttt PRRSGDPM εββββ +∆+++= )ln()ln()1ln( 4321

Como podemos observar, podemos utilizar el comando log(.) para indicar la

transformación de las variables directamente en la ventana de estimación.

Hacemos clic en el botom aceptar y obtenemos nuestra regresión por MCO.



Dependent Variable: LOG(M1) Method: Least Squares Sample (adjusted): 1952Q2 1996Q4 Included observations: 179 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

LOG(GDP) 0.794201 0.005350 148.4401 0.0000 RS -0.025599 0.002423 -10.56536 0.0000

DLOG(PR) -2.833614 0.978736 -2.895176 0.0043 C 1.217897 0.028462 42.79084 0.0000

R-squared 0.994104 Mean dependent var 5.816642 Adjusted R-squared 0.994003 S.D. dependent var 0.753241 S.E. of regression 0.058333 Akaike info criterion -2.823192 Sum squared resid 0.595487 Schwarz criterion -2.751965 Log likelihood 256.6757 F-statistic 9834.776 Durbin-Watson stat 0.156263 Prob(F-statistic) 0.000000

Observamos que los parámetros estimados son significativos al 5%, es decir, no existe evidencia suficiente para afirmar que los coeficientes son iguales a cero. También podemos ver que el modelo en su conjunto es distinto a un modelo en el cual solo se incluya la constante. Para esto debemos ver la probabilidad de aceptar la Hipótesis Nula (estadístico F), éste al ser menor que 0.05 entonces rechazamos la Hipótesis que el modelo estimado es similar al modelo con una sola constante.

A continuación resumimos los pasos para analizar la validez de una estimación por MCO.

a) Analizar los impactos marginales, es decir, que el signo de los parámetros coincida con la hipótesis de trabajo (teoría económica).

b) Contrastar el grado de significancia de los parámetros estimados. Regla práctica: la probabilidad debe ser menor a 0.05. Esto significa que la probabilidad de equivocarse al rechazar la hipótesis nula es muy baja. El límite de 0.05 es fijado por consenso, en otros experimentos controlados el límite fijado es 0.01.

c) Una vez que los pasos a) y b) fueron exitosamente evaluados, el siguiente paso es verificar el poder de explicación del modelo. El modelo debe pasar con éxito la prueba F y poseer un R2 alto según nuestros objetivos.

d) Evaluar si el modelo cumple con los supuestos principales del modelo de regresión lineal clásico. Ortogonalidad de las explicativas y los errores, homocedasticidad de los errores, linealidad del modelo con respecto a las variables explicativas (parámetros constantes).

Cumplimiento de los supuestos a) Homocedasticidad de los errores Identificación



Para ello es necesario realizar el contraste de Heterocedasticidad de White. En la ventana equation demo nos dirigimos al menú view/residual test/white heterocedasticity y obtenemos lo siguiente:

White Heteroskedasticity Test:

F-statistic 4.856650 Probability 0.000009 Obs*R-squared 36.78279 Probability 0.000029

Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Sample: 1952Q2 1996Q4 Included observations: 179


C -0.001512 0.024550 -0.061581 0.9510 LOG(GDP) 0.004432 0.008837 0.501530 0.6167

(LOG(GDP))^2 -0.000469 0.000735 -0.638033 0.5243 (LOG(GDP))*RS 0.000463 0.000277 1.667973 0.0972

(LOG(GDP))*(DLOG(PR)) -0.079382 0.123765 -0.641395 0.5221 RS -0.004765 0.001752 -2.719960 0.0072

RS^2 8.38E-05 5.27E-05 1.590174 0.1137 RS*(DLOG(PR)) 0.011808 0.042215 0.279710 0.7800

DLOG(PR) 0.773604 0.617379 1.253045 0.2119 (DLOG(PR))^2 -7.693573 8.655845 -0.888830 0.3754


La idea del contraste es muy simple, la hipótesis es si la varianza de los errores (estimados mediante los residuos al cuadrado) es variable y depende de las variables explicativas. Para ello, se estima un modelo lineal cuya variable dependiente es el residuo al cuadrado y las explicativas son las variables independientes en niveles y al cuadrado. Si la varianza es constante entonces todos los parámetros salvo la constante no son significativos y para evaluar esta hipótesis basta realizar la prueba F.

De acuerdo a la prueba F calculada, se rechaza la hipótesis nula. ¿Cuál es la hipótesis nula? La nula es que la relación estimada ofrece la misma información que una regresión donde solo considera la constante, es decir, la varianza es constante a lo largo de la muestra (homocedasticidad). Viendo el contraste calculado observamos



que muchos parámetros son significativos, es decir, ayudan a explicar el componente de la varianza que no es constante. Problemas

El problema de no corregir la heterocedasticidad en un modelo lineal es que las pruebas de inferencia sobre los parámetros estarían distorsionadas. En la práctica la prueba de significancia de los parámetros, la prueba F, y otros contrastes específicos sobre los parámetros no están garantizados que se comporten como en la teoría. Sin embargo, los parámetros estimados son los mismos corrigiendo o no la heterocedasticidad. Solución

La solución es estimar el modelo mediante MCGF (Mínimos cuadrados generalizados factibles). Para la corrección del problema solo basta ir a la ventana de la ecuación estimada y hacer clic en el botón: options. A continuación se muestra la siguiente ventana:

Dado que nuestra base de datos es de corte transversal, la opción a utilizarse es “White” esta opción corrige la heterocedasticidad de los residuos. b) Autocorrelación de los residuos Identificación Tenemos dos formas para identificar la probable autocorrelación. La primera es observar el estadístico Durban Watson, si éste es diferente de 2 entonces estamos antes la presencia de residuos con autocorrelación de orden uno. En nuestro modelo el D-W es 0.52, entonces podemos afirmar que existen autocorrelación de orden uno en los residuos. ¿Existirá correlación de orden 2 o superior? Utilizaremos el correlograma calculado para los residuos y tenemos lo siguiente:



Observemos con cuidado la correlación parcial. El primer valor (0.90) es significativo (cae fuera de la banda de confianza). Los posteriores rezagos caen dentro de la banda de confianza y pueden considerarse estadísticamente igual a cero (el quinto valor -0.28 cae fuera de la banda de confianza pero es probable que esto sea un valor no importante). Problemas

Al igual que la heterocedasticidad, el problema de la autocorrelación tiene un impacto sobre la eficiencia de los parámetros estimados. Es decir, es probable que los estadísticos muestren resultados que no serían los apropiados y rechazar la hipótesis nula cuando no debería. Solución En este caso, la solución práctica es volver a estimar el modelo con la opción Newey-West para corregir la autocorrelación y heterocedasticidad de los residuos.



c) Linealidad del modelo (efectos marginales constantes) Identificación

La linealidad del modelo implica que los parámetros estimados deben ser constantes en todo el periodo de estimación. Uno de los test para evaluar dicha linealidad es el de coeficientes recursivos. Para ello, en la ventana de la ecuación estimada nos dirigimos al menú view/stability test/recursive estimation

Elegimos la opción recursive coefficients. Aclaremos que c(1) corresponde al primer parámetro estimado, en nuestro ejemplo, corresponde a la elasticidad producto – costo total. El método de estimación recursiva, es una idea muy simple, consiste en estimar el modelo utilizando la muestra más pequeña posible y observar los parámetros estimados, luego se agrega un dato a la muestra y se vuelve a estimar, y este es el método recursivo y podemos ver como se comporta los parámetros cuando ampliamos la muestra.

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

Recursive C(1) Estimates ± 2 S.E.

-.04

-.03

-.02

-.01

.00

.01

.02

.03

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995


-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995


1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995




Parece que los parámetros 1 y 4 son los más inestables del modelo. Para

verificar si esto pone en riesgo la estabilidad del modelo en su conjunto, realicemos el test CUSUM Square que está en la misma ventana.

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

55 60 65 70 75 80 85 90 95

CUSUM of Squares 5% Significance

Efectivamente, el estadístico CUSUM of Squares sale de la banda de

confianza. Por lo tanto, el modelo no es estable en sus parámetros entre 1960 - 1987. Problemas

Si la linealidad del modelo no se cumple, esto llevaría a problemas en la simulación o proyección de variables. Recordemos que los parámetros o efectos marginales se asumen constantes, por lo tanto son efectos promedio dada la muestra. Si esos efectos son muy variables entorno a esa muestra entonces sus valores esperados o promedios (valores esperados condicionados a la muestra) no coincidirán con el verdadero valor del efecto marginal. El error de predicción sería extremadamente alto y el modelo tendría poco valor en la práctica. Solución Las soluciones son variadas y esto depende de la fuente de inestabilidad. Examinemos las fuentes de inestabilidad y las soluciones a seguir.

a) Mala especificación del modelo. Esto puede ser originado por variables omitidas, mala especificación de la función a estimar y restricciones en los parámetros.

b) Quiebre estructural. En el caso de muestras de corte transversal, este quiebre estructural se debe a cambios en los efectos marginales por grupos o sub-muestras. En nuestro ejemplo, esta inestabilidad se debería a que ¿la elasticidad ingreso-demanda es diferente por periodos de tiempo? La solución de este problema es el empleo de variables dummy para controlar el cambio de los efectos marginales por periodos.

Modifiquemos la especificación de la ecuación y agreguemos los primeros rezagos de las variables analizadas.



Dependent Variable: LOG(M1) Method: Least Squares Sample (adjusted): 1952Q2 1996Q4 Included observations: 179 after adjustments Newey-West HAC Standard Errors & Covariance (lag truncation=4)


LOG(GDP) 0.296637 0.084828 3.496908 0.0006 RS -0.005248 0.000906 -5.789039 0.0000

DLOG(PR) 0.028147 0.236140 0.119198 0.9053 C 0.094934 0.023433 4.051279 0.0001

LOG(M1(-1)) 0.913770 0.018346 49.80830 0.0000 LOG(GDP(-1)) -0.225113 0.087918 -2.560474 0.0113

RS(-1) 0.002462 0.000911 2.703267 0.0076


Podemos observar que sucede con el test CUSUM os Squares.

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

CUSUM of Squares 5% Significance

La estimación mejora considerablemente a la anterior. Sin embargo, el parámetro asociado a la variable inflación no es significativo. Ante esto surge la pregunta ¿Cuál de los dos modelos es mejor? El segundo está mejor especificado y eso lo mostramos con la prueba de estabilidad. Además, al incluir nuevas variables el modelo es considerablemente mejor (parsimonía y ajuste). Basta con observar y comparar el estadístico Schwarz. El segundo modelo tiene un menor Schwarz.



c) Ortogonalidad entre variables explicativas y los errores Identificación

En este caso, el incumplimiento de este supuesto nace por consideraciones teóricas. Por ejemplo, en la aplicación anterior podría afirmarse que el modelo está incompleto pues se omite la relación que existe entre la variable explicativa ln(GDP) y ln(M1) pues el nivel de producción también depende de la política monetaria aplicada en ese periodo. Así tendríamos el siguiente sistema de ecuaciones:

ttttt PRRSGDPM εββββ +∆+++= )ln()ln()1ln( 4321

( )tt MfGDP 1ln(,)ln( α= ¿Donde estaría la no ortogonalidad? Examinemos que sucede si hay un shock en la demanda de dinero ( tε ) esto lleva a un incremento en ( )tM1ln y como la función ln es estrictamente monótona y continua entonces la variable )ln( tGDP también responde ante el choque original. Problema Si estamos frente a un problema de no ortogonalidad de las variables explicativas y errores entonces los parámetros estimados serán sesgados. Dada la insesgadez no es posible realizar pruebas de simulación o proyección pues los efectos marginales se encuentran distorsionados. Solución

La solución para este tipo de problema es el uso de variables instrumentales. Si las variables explicativas X están correlacionadas a los errores, entonces busquemos una variable que esté relacionada con X pero no con los errores. En otras palabras, busquemos una variable instrumental que servirá como sustituto de la variable explicativa X. Esta solución nos lleva a la sesión 3: Método de Mínimos Cuadrados de 2 Etapas y GMM.



Sesión 2 Análisis de series de tiempo: Parte 1 El análisis clásico de las series de tiempo es determinar cuál es su proceso generador de datos. En el caso de conocerlo o aproximarlo podemos hacer inferencia en cuanto a su comportamiento en el futuro o estimar el impacto de algún movimiento de la variable de política. El principal indicador de un posible efecto dinámico es la función de autocorrelación. Función de autocorrelación muestral (identificación de AR, MA)

∑

∑

=

−+=

−

−−−= T

tt

kt

T

ktt

k

TYY

KTYYYY

1

2

1

/)(

)/())((ρ

Bandas de confianza: amplitud aproximada de dos desviaciones estándar ( T/2± ) La idea básica de esta función es cuantificar el efecto dinámico de la serie consigo misma en intervalo de un periodo, dos periodos,…, “n” periodos. Analicemos la serie Tipo de Cambio Real en logaritmos (LTCR).

4.52

4.56

4.60

4.64

4.68

4.72

97 98 99 00 01 02 03 04 05

LNTCR

Ahora observemos el correlograma simple de la serie LNTCR.



La función de autocorrelación simple nos indica una fuerte persistencia de la serie a lo largo del tiempo. Lo obvio es que existe dinámica en la serie pero no podemos afirmar nada aún sobre el carácter específico del proceso generador de datos. El problema radica en que la correlación parcial muestra la dependencia temporal de la serie sin excluir o filtrar los efectos dinámicos adicionales. Por ejemplo, la correlación entre la serie con su tercer rezago es de 0.78, sin embargo, este valor también incluye la correlación entre la variable y su primer rezago, entre el segundo rezago y el tercer rezago (ambas son medidas por la correlación de orden uno). Para solucionar este problema es necesario obtener la correlación parcial, esta nos ofrece una versión limpia (filtrada) de la dinámica de la serie. De esta manera, podemos observar que la serie solo presenta el efecto dinámico de su primer rezago. Además, el parámetro de dicha correlación es alto (0.93) que podría ser un indicio de la presencia de raíz unitaria. Esto podría confirmarse con las pruebas de raíz unitaria que veremos a continuación. Series No estacionarias: Contrastes de Raíz Unitaria Los procesos no estacionarios (media y varianza dependen del tiempo) pueden poseer alguno de los modelos teóricos propuestos: a) La serie posee un proceso trend-stationary tt Lty εψδα )(++= b) La serie posee una raíz unitaria (random walk with or without drift):

tt LyL εδ )()1( Ψ+=− El Eviews 5.0 provee seis contrastes de raíz unitaria: Dickey- Fuller Aumentado(ADF), DF-GLS, el Phillips-Perron (PP), el KPSS, entre otros. Existen diferencias importantes entre series estacionarias y no estacionarias. Los shocks que afectan a una serie estacionaria son temporales (es decir, a través del tiempo los efectos se disiparán y la serie retornará a su valor medio de largo plazo); mientras que los “shocks” que afectan a una serie no estacionaria (random walk) tienen componentes permanentes. Como indicios para identificar una serie no estacionaria tenemos:

• No hay un valor medio de largo plazo al cual retorne la serie



• La varianza depende del tiempo • Las funciones de autocorrelación no convergen pero, en muestras finitas, el

correlograma converge lentamente. Dickey – Fuller El modelo más simple para evaluar la presencia de raíz unitaria es el desarrollado por Dickey – Fuller es:

ttt yy εγα ++= −1

Restando ambos lados 1−ty tenemos:

ttt yy εγα +−+=∆ −1)1(

ttt yy εδα ++=∆ −1

Ahora el contraste es el siguiente:

0:10:0

<=

δδ

HH

Por ello los contrastes DF, ADF, DF-GLS y PP son a una cola (izquierda) pues no nos interesa el caso en que gamma es mayor que uno pues el proceso sería explosivo4. Dickey – Fuller Aumentado (ADF) Esta prueba incluye también la regresión por MCO. El usuario puede excluir la constante e incluir una tendencia lineal, también existe la opción de pedir utilizar los rezagos de la variable diferenciada ( ity −∆ ) de acuerdo a algún criterio de información. En este caso recomendamos el criterio Bayesiano de Schwartz.

Null Hypothesis: LNTCR has a unit root Exogenous: None Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic 0.586528 0.8415 Test critical values: 1% level -2.586960

5% level -1.943882 10% level -1.614731

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LNTCR) Method: Least Squares Date: 01/19/06 Time: 17:07 Sample(adjusted): 1997:03 2005:12

4 Si γ=0, es claro que yt es una serie estacionaria, ya que tendrá las mismas propiedades del ruido blanco. Por el contrario, si γ = 1 se dice que yt tiene raìz unitaria y adicionalmente, la serie es integrada de orden 1.



Included observations: 106 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

LNTCR(-1) 0.000153 0.000261 0.586528 0.5588 D(LNTCR(-1)) 0.260417 0.094922 2.743488 0.0072

R-squared 0.067335 Mean dependent var 0.000916 Adjusted R-squared 0.058367 S.D. dependent var 0.012787 S.E. of regression 0.012408 Akaike info criterion -5.922207 Sum squared resid 0.016013 Schwarz criterion -5.871953 Log likelihood 315.8769 Durbin-Watson stat 1.934445

La probabilidad mayor a 0.05 nos permite afirmar que no existe evidencia suficiente en la muestra para rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria. DF- GLS o contraste Elliot, Rothenberg y Stock (ERS) Antes de aplicar la regresión propuesta por Dickey – Fuller, se debe primero extraer la tendencia de la serie original. Pero se trata de una cuasidiferencia ( 1−− tt ayy ), donde “ a ” toma el valor uno en el caso anterior (ADF). Aquí el valor “a ” representa el punto específico contra el cual contrastamos la hipótesis nula (valor menor a uno).

Null Hypothesis: LNIPC has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12)

t-Statistic Elliott-Rothenberg-Stock DF-GLS test statistic -1.077667 Test critical values: 1% level -3.572800

5% level -3.024000 10% level -2.734000

*Elliott-Rothenberg-Stock (1996, Table 1)

DF-GLS Test Equation on GLS Detrended Residuals Dependent Variable: D(GLSRESID) Method: Least Squares Date: 01/19/06 Time: 17:15 Sample(adjusted): 1997:03 2005:12 Included observations: 106 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. GLSRESID(-1) -0.013622 0.012640 -1.077667 0.2837

D(GLSRESID(-1)) 0.429017 0.088867 4.827621 0.0000 R-squared 0.185321 Mean dependent var -6.52E-05 Adjusted R-squared 0.177488 S.D. dependent var 0.003860 S.E. of regression 0.003500 Akaike info criterion -8.453214 Sum squared resid 0.001274 Schwarz criterion -8.402960 Log likelihood 450.0203 Durbin-Watson stat 1.899892

La prueba nos muestra la presencia de una raíz unitaria a pesar que la serie presenta una tendencia lineal determinística.



PP (Phillips-Perron) Este contraste estadístico estima una regresión haciendo una corrección sobre la matriz de varianza y covarianzas de los residuos. La corrección es mediante un método no paramétrico.

Null Hypothesis: LNTCR has a unit root Exogenous: None Bandwidth: 5 (Newey-West using Bartlett kernel)

Adj. t-Stat Prob.* Phillips-Perron test statistic 0.535573 0.8301 Test critical values: 1% level -2.586753

5% level -1.943853 10% level -1.614749


Residual variance (no correction) 0.000161 HAC corrected variance (Bartlett kernel) 0.000245

Phillips-Perron Test Equation Dependent Variable: D(LNTCR) Method: Least Squares Date: 01/19/06 Time: 17:14 Sample(adjusted): 1997:02 2005:12 Included observations: 107 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. LNTCR(-1) 0.000178 0.000266 0.667176 0.5061

R-squared -0.000145 Mean dependent var 0.000837 Adjusted R-squared -0.000145 S.D. dependent var 0.012753 S.E. of regression 0.012754 Akaike info criterion -5.876654 Sum squared resid 0.017242 Schwarz criterion -5.851674 Log likelihood 315.4010 Durbin-Watson stat 1.471194

Nuevamente, la serie LNTCR presenta raíz unitaria (random wlak without drift) KPSS (Kwiatkowski, Phillips, Smichdt y Shin) Proponen contrastar como nula la hipótesis de estacionariedad en tendencias, ésta es la principal diferencia de los otros test de raíz unitaria. KPSS es frecuentemente utilizado con las otras pruebas de raíz unitaria para investigar si la serie es fraccionalmente integrada.

Null Hypothesis: LNIPC is stationary Exogenous: Constant, Linear Trend Bandwidth: 8 (Newey-West using Bartlett kernel)

LM-Stat. Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test statistic 0.235547 Asymptotic critical values*: 1% level 0.216000

5% level 0.146000 10% level 0.119000

*Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (1992, Table 1)

Residual variance (no correction) 0.000366 HAC corrected variance (Bartlett kernel) 0.002587



KPSS Test Equation Dependent Variable: LNIPC Method: Least Squares Date: 01/19/06 Time: 20:04 Sample: 1997:01 2005:12 Included observations: 108

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 4.474315 0.003692 1211.861 0.0000

@TREND(1997:01) 0.002203 5.96E-05 36.94227 0.0000 R-squared 0.927927 Mean dependent var 4.592161 Adjusted R-squared 0.927247 S.D. dependent var 0.071621 S.E. of regression 0.019318 Akaike info criterion -5.037203 Sum squared resid 0.039558 Schwarz criterion -4.987534 Log likelihood 274.0090 F-statistic 1364.731 Durbin-Watson stat 0.040017 Prob(F-statistic) 0.000000

Siendo el estadístico mayor al valor crítico entonces existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula que el WPI sigue un proceso trend –stationary.

Ajuste estacional Las series de frecuencia mensual o trimestral presentan un comportamiento estacional, es decir, un patrón que se repite año tras año. Por ejemplo, el producto interno bruto mensual exhibe un patrón muy claro, todos los meses de febrero el producto registrado es el menor en todo el año. El motivo principal son los menores días de producción y otro motivo de menor importancia es el factor climático que afecta los sectores agrícola y de pesca. Census X12 El Eviews es el único programa que incluye el programa de desestacionalización X12 (U.S. Census Bureau) en la instalación estándar. En otros programas es necesario adquirir por separado el módulo correspondiente. Como ejemplo de la aplicación tomaremos la serie LNPIB (producto interno bruto en logaritmos) y en el menú del objeto serie seleccionamos Proc/Seasonal Adjustment/Census X12… Dado que la serie exhibe un componente estacional que estrechamente ligado al nivel de producción, es decir, es mayor cuando se produce más y es menor cuando el producto es pequeño entonces elegimos la opción Multiplicative. En el caso del filtro para extraer la tendencia dejamos en la opción automática.



Finalmente, elegimos que componentes de la serie serán guardadas. Escogemos la serie desestacionalizada (seasonal adjustment series), la tendencia más el ciclo (trend-cycle) y el componente irregular (irregular component).

4.6

4.7

4.8

4.9

5.0

5.1

97 98 99 00 01 02 03 04 05

LNPIB LNPIB_SA LNPIB_TC

Extracción de tendencia no lineal Filtro Hodrick Prescott Este filtro es un método de suavizamiento estrictamente matemático sin referencia alguna al proceso generador de datos o a la dependencia a variables exógenas. El



método consiste en calcular una serie ts que minimice la varianza de la serie original alrededor de ts , sujeto a un parámetro de suavizamiento (λ ) que penaliza la segunda

diferencia de ts ( ts2∆ ).

( ) ( ) ( )( )∑ ∑=

−

=−+ −−−+−=

T

t

T

ttttttt sssssy

1

1

2

211

2min λ

En la casilla lambda se especifica el parámetro de suavización por defecto es 1600 (datos trimestrales). Sin embargo, Ravn y Uhlig (2002) han mostrado que el parámetro de suavizamiento debería ser 6.25 (datos anuales). Ver el siguiente cuadro:

Hodrick-Prescott Ravn-UhligAnual 100 6.25Trimestral 1600 1600Mensual 14400 129600

Valores del parámetro de suavizamiento

-.08

-.04

.00

.04

.08

4.7

4.8

4.9

5.0

5.1

97 98 99 00 01 02 03 04 05

Final seasonally adjusted seriesTrendCycle

Hodrick-Prescott Filter (lambda=14400)



Band – Pass Filter Estos filtros son usados para aislar el componente cíclico de la serie especificando un rango para su duración. El filtro tiene la característica de ser lineal y toma el promedio móvil ponderado de la serie en ambos lados donde los ciclos caen en una banda, dicha banda está dada por un límite superior e inferior. Estos límites dependen de la frecuencia temporal de la serie. Por ejemplo, si la serie es anual los ciclos económicos el rango de duración (periodicidad) va de 1.5 a 8 años, si la serie tiene frecuencia trimestral el rango podría estar entre 6 y 32 trimestres. Lo novedoso de este filtro es que dichos límites son expresados en términos de frecuencia que describe el número de ciclos en un periodo dado (periodicidad y frecuencia están inversamente relacionados).

La diferencia entre los filtros proporcionados por el EViews es la forma de calcular el promedio móvil. El Baxter – King emplea una amplitud de rezagos y adelantos fija, de ahí el carácter simétrico del filtro. En el caso del Christiano – Fitzgerald, también es de amplitud fija solo que su función objetivo es diferente al Baxter – King. El caso del full simple asymetric, los pesos del promedio móvil varía de acuerdo a los datos y al cambio para cada observación.

-.02

-.01

.00

.01

.02

.03

4.7

4.8

4.9

5.0

5.1

97 98 99 00 01 02 03 04 05

Final seasonally adjusted seriesNon-cyclicalCycle

Fixed length symmetric (Baxter-King) filter

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

.0 .1 .2 .3 .4 .5

Actual Ideal

Frequency Response Function

cycles/period

En el ejemplo, elegimos 12 como el valor de la amplitud del promedio móvil ponderado. Así el filtro no podrá estimar los últimos doce meses y los primeros doce. Si elegimos el filtro asimétrico podemos corregir esta desventaja.



Sesión 3 Variables instrumentales Mínimo Cuadrados de 2 Etapas (MC2E) El objetivo del método es estimar los parámetros que cumplan con las propiedades de grandes muestras. Por ejemplo, en una regresión lineal la condición de ortogonalidad [ ] 0' =eXE es indispensable para garantizar la insesgadez asintótica del parámetro estimado. Este método es empleado en varios estudios microeconómicos y macroeconómicos.

Los ejemplos clásicos de este tipo de problemas ocurren cuando la variable dependiente ( y ) determina o explica el comportamiento de alguna o todas las variables explicativas del modelo ( X ). Otro ejemplo es cuando las variables explicativas son medidas con error. En este punto es preciso mencionar que aquellas variables explicativas que están correlacionadas con los errores son denominadas en la literatura como variables endógenas y aquellas que no están correlacionadas con los errores son denominadas variables exógenas. Relevancia y Validez de los instrumentos

Las variables instrumentales Z deben cumplir dos requisitos: a) [ ] 0≠X'ZE b) [ ] 0=ε'ZE

Tenemos nuestro modelo lineal: εβ += Xy

pero las variables explicativas están correlacionadas con los residuos, a raíz de este problema es necesario elegir las variables instrumentales Z que deben cumplir con los criterios de validez y relevancia ya expuestos. La idea básica es que dichas variables instrumentales extraigan el componente subyacente de las variables endógenas X , la forma de hacerlo es realizando una regresión lineal entre cada variable explicativa y Z . Primera etapa5

ηγ +=ZX i

iX'Z)Z'Z(ˆ 1−=γ

ii X'Z)Z'Z(ZX~ 1−=

5 Se simplifica la notación debido al diseño del curso.



La variable X~ es una variable estimada en la primera etapa, digamos coloquialmente que es una variable “limpia” de toda correlación con los residuos ε . Una vez que tenemos la variable explicativa corregida realizamos la estimación del modelo original. Segunda etapa

νβ += X~y

( ) ( )( ) ( ) y'ZZ'ZZ'XX'ZZ'ZZ'Xy'X~X~'X~ˆEMC

1111

2−−−−

==β

Sin embargo, en macroeconomía es muy común el uso del Método de Momentos Generalizado. Cabe mencionar que MC2E es un caso particular del Método de Momentos Generalizado. La idea es estimar una esperanza poblacional a partir de la esperanza muestral. Por ejemplo, el primer momento de una variable estocástica podemos estimarla con la media muestral (primer momento muestral). Los modelos macroeconómicos vigentes se caracterizan por el uso de la optimización intertemporal para derivar las relaciones óptimas entre variables explicativas y dependientes. Dicha aproximación no toma interés en la estimación de parámetros, sólo mantiene la forma funcional en el que los parámetros subyacentes (aquellos que representan preferencias y tecnología) mantienen con los parámetros que dependen del régimen específico de política.

Existe una limitación empírica al estimar ecuaciones de Euler con MMG. El problema está relacionado a la estimación de los parámetros subyacentes pues tales parámetros describen preferencias y tecnología que por su naturaleza son constantes en diferentes periodos de la muestra. Sin embargo, dichos parámetros no parecen ser constantes. Hay varias posibles interpretaciones de la inestabilidad: i) puede ser una señal de la mala especificación del modelo, ii) al derivarse la ecuación de Euler de un agente representativo de la economía existe una pérdida de información en la agregación. Por estas razones, surge otro campo de evaluación empírica, en el cual se estima los parámetros subyacentes a partir de estudios microeconométricos de datos desagregados. El uso de estos parámetros permite simular y comparar los resultados con las variables macroeconómicas. Este método es conocido en economía como “calibración”. Aplicación6: abrir el workfile clarida_gali.wf1 y el programa clarida_gali.prg

El método para estimar estas relaciones óptimas es el MMG. El ejemplo de aplicación será la estimación de la regla de política monetaria de la FED (o función de reacción del FED). Clarida, Galí y Gertler (2000) estiman la función de reacción de la FED, y hacen hincapié en la división de la muestra en octubre de 1979 para mostrar el cambio de la postura de la política monetaria. La etapa pre-octubre 1979 podría denominarse como política monetaria acomodaticia y la etapa post-octubre 1979 sería caracterizada como política monetaria activa y eficiente.

En el ejercicio mostrado estimaremos para el periodo post – octubre 1979,

específicamente entre octubre 1982 y diciembre 1997. El modelo empírico es especificado de la siguiente forma:

6 Como referencia del ejemplo a desarrollarse puede verse: Clarida, Galí y Gertler (2000) Monetary Policy Rules and Macroeconomic Stability: Evidence and some theory. The Quarterly Journal of Economics, Feb. 2000.



[ ] [ ]**

12*

tttttt yyEErr −+−+= + γππβ

( ) tttt rrr υρρ ++−= −1*1

Donde *r es la tasa de interés objetivo. El mecanismo de ajuste parcial de la tasa de interés es mostrado en la segunda ecuación. Si vinculamos ambas ecuaciones obtenemos la siguiente relación:

( )( ) ( ) ( ) ( ) tttttt ryyrr εργρβπρβπρ ++−−+−+−−= −+ 1*

12* 111

Donde: ( )( ) ( )( )tttttttt yEyE −−−−−−= ++ ργππρβυε 11 1212

Si definimos a tu al conjunto de variables que forma parte del conjunto de información de la FED al momento de definir el valor de la tasa de interés. Entonces definimos la siguiente condición de ortogonalidad: [ ] 0| =ttt uE ε la cual será estimada de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0|111 *121 =−−−−−−−− +− tttttt uyyrrE γρβπραρρ

Donde: ( )*βπα −= r .

ependent Variable: USFF Method: Generalized Method of Moments Sample(adjusted): 1982:10 1996:12 Included observations: 171 after adjusting endpoints No prewhitening Bandwidth: Fixed (12) Kernel: Bartlett Convergence achieved after: 68 weight matricies, 69 total coef iterations USFF= C(2)*USFF(-1) +(1-C(2))*(C(1)+C(3)*USINFL(+12) +C(4) *USGAP1) Instrument list: C USGAP1(-1 TO -6) USGAP1(-9) USGAP1(-12) USINFL(-1 TO -6) USINFL(-9) USINFL(-12) USFF(-1) USFF(-6) USFF(-9) USFF(-12) DLPCM(-1 TO -6) DLPCM(-9) DLPCM(-12)

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C(2) 0.929643 0.012593 73.82465 0.0000 C(1) 2.874855 0.991106 2.900652 0.0042 C(3) 1.730954 0.251894 6.871759 0.0000 C(4) 0.664998 0.100678 6.605183 0.0000

R-squared 0.983168 Mean dependent var 6.713957 Adjusted R-squared 0.982865 S.D. dependent var 2.191514 S.E. of regression 0.286868 Sum squared resid 13.74300 Durbin-Watson stat 1.065675 J-statistic 0.061171



El J-stat es 10.45 pues el valor calculado por EViews está dividido por el

tamaño de la muestra, así J-stat = 10.45/171 = 0.06. Tenemos 25 grados de libertad (29 instrumentos para 4 parámetros). Con este valor, no se puede rechazar la hipótesis nula de validez de los instrumentos. Siguiendo el método para derivar el nivel de la inflación objetivo ( *π ) propuesto por Clarida, Gali y Gertler, este sería 0.5 con un intervalo de confianza muy amplio.

1*

−−

=β

απ rr

Siendo rr la tasa de interés real promedio de la muestra.

-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

2

4

6

8

10

12

83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

Residual Actual Fitted

Como podemos observar en el gráfico, la regla derivada y estimada cumple con explicar el comportamiento de la FED. Además, podemos calcular el correlograma de los residuos para ver si estos están autocorrelacionados.



Claramente, los residuos de la estimación siguen un proceso AR(1). El

correlograma parcial lo confirma al registrar un coeficiente de 0.458 que es mayor a la banda de confianza mostrada en el gráfico. Dicha banda de confianza se construye de

la siguiente manera:1−

± T . Podemos modificar el método de cálculo de la matriz de ponderadores W . La

opción Bandwith Selección permite la manera como elegir el orden de autocorrelación a corregirse. En el siguiente cuadro, observamos que elegimos un valor fijo igual a 12, es decir, la matriz de ponderadores corregirá toda autocorrelación hasta de orden 12. Las otras opciones como Andrews y Variable Newey West permiten corregir las autocorrelaciones que se presentan en cada iteración. Sin embargo, al ser un método de corrección más potente consume más recursos del programa.

La matriz de covarianzas de las restricciones o condiciones de ortogonalidad

de los instrumentos es estimado por la siguiente expresión:

( ) ( ) ( ) ( )( )1

1T

1jj'ΓjΓqj,k0Γ1

HACΩW

−

∑−

=++=−=

Donde: ( )

−

=Γ ∑+=

−− t

T

jtjttjt ZuuZ

kTj

1

''1ˆ es la matriz de autocovarianzas de orden j. Lo

que faltaría especificar es el kernel k y el orden de autocorrelación a ser corregida (bandwidth). El kernel es usado para ponderar las covarianzas y conseguir que la matriz Ω sea positiva semidefinida. La elección de Bartlett es la más recomendada pues no demanda muchos recursos en su estimación.

El siguiente paso es verificar si existe el problema de variables omitidas en la

regla de política. Como vimos anteriormente, si existe tal problema, la condición de ortogonalidad no se cumpliría y la prueba de validez de los instrumentos (prueba de Hansen) no sería aceptada. En la literatura económica sobre la regla de política monetaria se da mucha importancia a las tasas de interés de largo plazo (bonos) como



determinante en la toma de decisiones de la FED. Dicha variable contiene información sobre la formación de expectativas inflacionarias de parte de los agentes. El siguiente paso es re-estimar el modelo base e incluir el nivel de tasas de interés de largo plazo en el conjunto de instrumentos (matriz Z).

Dependent Variable: USFF srMethod: Generalized Method of Moments Sample(adjusted): 1982:10 1996:12 Included observations: 171 after adjusting endpoints No prewhitening Bandwidth: Fixed (12) Kernel: Bartlett Convergence achieved after: 49 weight matricies, 50 total coef iterations USFF= C(2)*USFF(-1) +(1-C(2))*(C(1)+C(3)*USINFL(+12) +C(4) *USGAP1) Instrument list: C USGAP1(-1 TO -6) USGAP1(-9) USGAP1(-12) USINFL(-1 TO -6) USINFL(-9) USINFL(-12) USFF(-1) USFF(-6) USFF(-9) USFF(-12) DLPCM(-1 TO -6) DLPCM(-9) DLPCM(-12) US10Y US10Y(-1)

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C(2) 0.949171 0.007868 120.6351 0.0000 C(1) 4.237480 1.101947 3.845447 0.0002 C(3) 1.487264 0.276588 5.377180 0.0000 C(4) 0.868331 0.116234 7.470531 0.0000

R-squared 0.984451 Mean dependent var 6.713957 Adjusted R-squared 0.984172 S.D. dependent var 2.191514 S.E. of regression 0.275716 Sum squared resid 12.69519 Durbin-Watson stat 1.172223 J-statistic 0.067136

El valor de J-stat es 11.45 = 0.067*171, con dicho valor no se rechaza la hipótesis de nula de validez del conjunto de los instrumentos. Por lo tanto, podemos concluir que la tasa de interés de largo plazo afecta el comportamiento de la FED como un indicador líder de la inflación futura pero no como una variable independiente de la política monetaria.



Sesión 4 Análisis multivariado de series de tiempo Vectores Autoregresivos Estructurales

El análisis de los Vectores Autoregresivos (VAR) es muy utilizado desde la década de los noventas para evaluar las relaciones dinámicas macroeconómicas. Dicho análisis tiene la característica de ser multivariado, es decir, se evalúa el comportamiento de las series y su interrelación en el periodo de tiempo analizado en forma simultánea.

Sea tY un vector de k dimensiones y asumamos que sigue un proceso

autoregresivo de orden 1. ttt YAAY ε++= −110

Dicho proceso será estable si los valores de z de la siguiente ecuación son mayores a uno en valor absoluto.

01 =− zAI k De verificarse el caso, siendo el VAR un proceso estable entonces podemos invertir el proceso y expresarlo como un VMA (vector de medias móviles) de orden infinito.

...110 +Φ+Φ+Α= −tttY εε Donde: i

i A1=Φ De este proceso VMA podemos extraer la función impulso-respuesta, la cual captura la respuesta de alguna variable incluida en el vector tY ante el shock de algún componente de tε .

i

t

itY φε

=∂∂ +

Sin embargo, el vector tε contiene shock no identificados, no es posible afirmar si el primer componente corresponde exclusivamente a la primera variable del vector tY . A fin de lograr identificar los shocks estructurales es necesario incluir restricciones en los parámetros. Ésta es la razón de utilizar VAR estructural en este tipo de evaluación de las relaciones dinámicas entre variables macroeconómicas. Modelo AB (Corto Plazo) El modelo VAR podemos reescribirlo incluyendo las matrices de restricciones.

( ) tttk BuAYLAIA ==− ε1



Donde: ( )Σ,0~ Ntε y [ ] kstE 0| =εε para todo ts ≠

( )kt INu ,0~ y [ ] kstuuE 0| = para todo ts ≠

Para poder identificar los shocks estructurales es necesario estimar las matrices A y B una vez obtenidas dichas matrices el vector de error del VAR puede expresarse en términos de los shocks estructurales de la siguiente manera:

tt uBA ˆˆ 1−=ε

Una vez identificados los errores podemos calcular la nueva función impulso-respuesta que vincula los shocks estructurales con las variables dependientes. Aplicación7: abrir workfile blanch_perotti.wf1 y el programa bp.prg Blanchard y Perotti evalúan el impacto de cambios en el gasto público y en los ingresos del Gobierno sobre el nivel de producción. Antes de mostrar las restricciones de largo plazo considerados en el documento de trabajo estimemos el VAR con los residuos no identificados.

Vector Autoregression Estimates Sample(adjusted): 1961:1 1997:4 Included observations: 148 after adjusting endpoints Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ]

TT GG XX TT(-1) 0.905903 -0.007683 0.008364

(0.08099) (0.03222) (0.02761) [ 11.1855] [-0.23845] [ 0.30296]

TT(-2) 0.007161 -0.020966 -0.015489 (0.07343) (0.02921) (0.02503) [ 0.09752] [-0.71769] [-0.61875]

TT(-3) -0.020112 0.013493 -0.044622 (0.06696) (0.02664) (0.02283) [-0.30036] [ 0.50650] [-1.95484]

TT(-4) -0.021351 -0.002277 0.015042 (0.05734) (0.02281) (0.01955) [-0.37238] [-0.09981] [ 0.76957]

GG(-1) 0.242101 1.093169 -0.062955 (0.22678) (0.09022) (0.07731) [ 1.06756] [ 12.1163] [-0.81431]

GG(-2) -0.658010 -0.185527 0.055999 (0.33936) (0.13501) (0.11569) [-1.93900] [-1.37418] [ 0.48406]

GG(-3) 0.490165 0.235710 -0.043960 (0.33600) (0.13367) (0.11454) [ 1.45884] [ 1.76333] [-0.38379]

7 Como referencia de la aplicación puede revisarse: Blanchard y Perotti (1999): An empirical characterization of the dynamic effects of changes in government spending and taxes on output. Working paper 7269. NBER. Julio 1999.



GG(-4) -0.073232 -0.210589 0.079361

(0.22105) (0.08794) (0.07536) [-0.33129] [-2.39464] [ 1.05314]

XX(-1) 0.682109 0.079015 1.154420 (0.27762) (0.11045) (0.09464) [ 2.45700] [ 0.71541] [ 12.1979]

XX(-2) 0.051769 -0.022188 -0.083399 (0.40497) (0.16111) (0.13805) [ 0.12784] [-0.13772] [-0.60410]

XX(-3) -0.287142 -0.027750 0.026153 (0.40038) (0.15929) (0.13649) [-0.71717] [-0.17421] [ 0.19161]

XX(-4) -0.301573 0.067840 -0.090232 (0.28091) (0.11176) (0.09576) [-1.07356] [ 0.60703] [-0.94224]

@TREND -0.000760 -0.000195 -0.000311 (0.00037) (0.00015) (0.00013) [-2.05475] [-1.32591] [-2.46899]

(@TREND)^2 1.48E-06 -9.64E-08 8.86E-07 (1.3E-06) (5.2E-07) (4.4E-07) [ 1.13542] [-0.18630] [ 1.99671]

S2 -0.001149 0.000740 -0.002241 (0.00616) (0.00245) (0.00210) [-0.18641] [ 0.30190] [-1.06692]

S3 -0.013362 -0.003290 -0.003724 (0.00615) (0.00245) (0.00210) [-2.17228] [-1.34426] [-1.77613]

S4 -0.003448 -0.001238 -0.003772 (0.00604) (0.00240) (0.00206) [-0.57038] [-0.51498] [-1.83030]

DUM752 -0.312538 -0.007777 0.008229 (0.02682) (0.01067) (0.00914) [-11.6540] [-0.72886] [ 0.90013]

DUM753 0.238582 -0.003792 0.015580 (0.03793) (0.01509) (0.01293) [ 6.29044] [-0.25129] [ 1.20494]

R-squared 0.975656 0.997205 0.998716 Adj. R-squared 0.972259 0.996815 0.998537 Sum sq. resids 0.083068 0.013148 0.009654 S.E. equation 0.025376 0.010096 0.008651 F-statistic 287.2245 2557.187 5573.597 Log likelihood 343.9101 480.3223 503.1810 Akaike AIC -4.390678 -6.234085 -6.542986 Schwarz SC -4.005900 -5.849308 -6.158209 Mean dependent -10.18118 -9.985406 -8.422381 S.D. dependent 0.152357 0.178895 0.226140 Determinant Residual Covariance 3.99E-12 Log Likelihood (d.f. adjusted) 1312.318 Akaike Information Criteria -16.96375 Schwarz Criteria -15.80942



En el documento Blanchard y Perotti utiliza un modelo VAR(4), es decir, el vector de variables tY depende sus cuatro primeros rezagos. La elección de este número de rezagos no es mencionada explícitamente en el documento. Sin embargo, si hacemos la prueba de elección del orden de rezagos óptimos vemos que el número de rezagos a ser utilizados es 2 y no 4. Por tanto, el modelo presentado por Blanchard está sobre parametrizado con el alto costo de reducir los grados de libertad de la estimación. VAR Lag Order Selection Criteria Endogenous variables: TT GG XX Exogenous variables: @TREND (@TREND)^2 S2 S3 S4 DUM752 DUM753 Date: 08/04/05 Time: 03:34 Sample: 1960:1 1997:4 Included observations: 148

Lag LogL LR FPE AIC SC HQ 0 323.5128 NA 3.37E-06 -4.088011 -3.662731 -3.915221 1 1313.836 1846.819 5.86E-12 -17.34914 -16.74160* -17.10230* 2 1326.306 22.74831* 5.60E-12* -17.39602 -16.60622 -17.07513 3 1335.383 16.19261 5.60E-12 -17.39707* -16.42500 -17.00212 4 1342.821 12.96485 5.73E-12 -17.37595 -16.22162 -16.90695

* indicates lag order selected by the criterion LR: sequential modified LR test statistic (each test at 5% level) FPE: Final prediction error AIC: Akaike information criterion SC: Schwarz information criterion HQ: Hannan-Quinn information criterion Para mostrar que el modelo está bien especificado los residuos de la estimación no deberían estar autocorrelacionados. Para esto utilizamos la prueba Ljung-Box-Q multivariado o la prueba de autocorrelación de Portmanteau. Como podemos observar para el orden de autocorrelación 5 la prueba Portmanteau rechaza la hipótesis nula de no autocorrelación. Por tanto, la especificación del modelo debería ser mejorada para capturar esa persistencia que se observa en los residuos.

VAR Residual Portmanteau Tests for Autocorrelations H0: no residual autocorrelations up to lag h Sample: 1960:1 1997:4 Included observations: 148

Lags Q-Stat Prob. Adj Q-Stat Prob. df 1 0.232336 NA* 0.233916 NA* NA* 2 2.084921 NA* 2.111880 NA* NA* 3 7.848071 NA* 7.994267 NA* NA* 4 17.24343 NA* 17.65060 NA* NA* 5 35.01541 0.0001 36.04399 0.0000 9 6 50.96076 0.0001 52.66308 0.0000 18 7 61.68671 0.0002 63.92153 0.0001 27

*The test is valid only for lags larger than the VAR lag order. df is degrees of freedom for (approximate) chi-square distribution

El siguiente paso es incorporar las restricciones entre shocks del VAR tε y los shocks estructurales tu , de acuerdo al documento de trabajo dichas relaciones pueden expresarse de la siguiente manera:



tt

gt

xt

tt uduaa 121 ++= εε

gt

tt

xt

gt udubb 221 ++= εε

xt

gt

tt

xt udcc 321 ++= εεε

Como primer paso de la investigación se asume que no existe reacción en el gasto público ante movimientos en el producto, por tanto, b1=0. En el caso del parámetro a1, éste es considerado como la elasticidad producto – ingresos tributarios, dicha elasticidad fue estimada y toma el valor de 2.08. Luego se cuestiona la forma de estimar las correlaciones entre t

tε y gtε . Cuando se incrementan los ingresos y los

gastos del gobierno al mismo tiempo, ¿son los impuestos los que responden al incremento del gasto o al revés? Por ello, se crean dos escenarios uno en el cual b2=0 y a2≠0 y el otro a2=0 y b2≠0. Tenemos dos formas para incluir estas restricciones en el objeto VAR del EViews. La primera es la más simple y es expresar las restricciones tal cual se presentan en el documento de trabajo y que podemos observar en el siguiente cuadro:



Structural VAR Estimates Sample(adjusted): 1961:1 1997:4 Included observations: 148 after adjusting endpoints Estimation method: method of scoring (analytic derivatives) Convergence achieved after 91 iterations Structural VAR is just-identified Model: Ae = Bu where E[uu']=I Restriction Type: short-run text form @E1=2.08*@E3+C(4)*@U1+C(1)*@U2 @E2=C(5)*@U2 @E3=C(2)*@E1+C(3)*@E2+C(6)*@U3 where @e1 represents TT residuals @e2 represents GG residuals @e3 represents XX residuals

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C(2) -0.155907 0.042003 -3.711787 0.0002 C(3) 0.318559 0.082645 3.854538 0.0001 C(1) -0.003077 0.002149 -1.431504 0.1523 C(4) 0.026056 0.001514 17.20465 0.0000 C(5) 0.010096 0.000587 17.20465 0.0000 C(6) 0.010054 0.000884 11.37334 0.0000

Log likelihood 1312.318 Estimated A matrix:

1.000000 0.000000 -2.080000 0.000000 1.000000 0.000000 0.155907 -0.318559 1.000000

Estimated B matrix: 0.026056 -0.003077 0.000000 0.000000 0.010096 0.000000 0.000000 0.000000 0.010054

La segunda forma es crear las matrices A y B que de acuerdo a las restricciones derivadas anteriormente las matrices tienen la siguiente forma:

=

−−

−

xt

gt

tt

xt

gt

tt

uuu

ddad

cc )3(000)2(00)2()1(

1)2()1(010

08.201

εεε

Funciones Impulso - Respuesta La opción se encuentra en el menú del objeto VAR “impulse”. Nos presenta el siguiente cuadro de dialogo en el cual debemos especificar si queremos la función impulso respuesta como tabla o gráfico. Luego, indicaremos que necesitamos las respuestas de tt, gg, xx ante shocks estructurales en el gasto.



Efectos dinámicos del gasto del gobierno

-.008

-.004

.000

.004

.008

.012

.016

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Response of TT to Shock2

.000

.004

.008

.012

.016

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Response of GG to Shock2

-.004

-.002

.000

.002

.004

.006

.008

.010

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Response of XX to Shock2

Response to Structural One S.D. Innovations ± 2 S.E.

Efectos dinámicos de los ingresos tributarios

-.02

-.01

.00

.01

.02

.03

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Response of TT to Shock1

-.016

-.012

-.008

-.004

.000

.004

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Response of GG to Shock1

-.014

-.012

-.010

-.008

-.006

-.004

-.002

.000

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Response of XX to Shock1

Response to Structural One S.D. Innovations ± 2 S.E.

Las principales conclusiones son las siguientes:

• Los shock del gasto son más grandes que los shock de los ingresos tributarios.

• El PIB inicialmente se incrementa ante el impacto del gasto del gobierno, luego tiende a reducirse para tomar un nuevo impulso y llegar a su efecto máximo después de 4 años.



• Los impuestos también responden positivamente antes un shock en el gasto, al igual que el PIB (ambas funciones se parecen).

Descomposición de la varianza Con esta opción podemos observar el impacto de los shocks estructurales en la varianza de las variables dependientes. Observando el siguiente gráfico podemos esbozar algunas ideas:

• La variabilidad de los ingresos tributarios es explicada inicialmente por sus propios shocks, pero no transcurre ni año y medio y el shock del PIB tiene una amplia participación en la varianza de los ingresos tributarios.

• En cuanto a la varianza del gasto público, ésta no se ve afectada por los otros

shocks. Confirmando el carácter de variable exógena en la muestra.

• La varianza del PIB sólo se ve afectada por los shocks en la recaudación hasta llegar a una participación del 40% en un horizonte de 10 trimestres.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Percent TT variance due to Shock1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Percent GG variance due to Shock1

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Percent XX variance due to Shock1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Variance Decomposition



Sesión 5 Análisis multivariado de series de tiempo no estacionarias Cointegración

Ejemplo tomado de Johansen, S (1996)8. El objetivo es estimar una relación entre dinero, ingresos y tasas de interés. El workfile johansen.wk1 contiene datos trimestrales para el periodo 1974:1 a 1987:3. lrm: logaritmo del dinero en términos reales (M2) lry: logaritmos del ingreso en términos reales Ide: tasa de interés de corto plazo (depósitos bancarios) Ibo: tasa de interés de largo plazo (bonos)

Observemos las 4 series en niveles y diferencias, aparentemente se tratan de series no estacionarias pero integradas de orden 1, es decir, series con diferencia estacionaria. Para verificar esta hipótesis de trabajo, utilicemos las pruebas de raíz unitaria univariada.

Null Hypothesis: LRY has a unit root Exogenous: Constant Bandwidth: 2 (Newey-West using Bartlett kernel)

Adj. t-Stat Prob.*

Phillips-Perron test statistic -1.209594 0.6640 Test critical values: 1% level -3.557472

5% level -2.916566 10% level -2.596116


Null Hypothesis: D(LRY) has a unit root Exogenous: None Bandwidth: 1 (Newey-West using Bartlett kernel)

Adj. t-Stat Prob.* Phillips-Perron test statistic -6.028330 0.0000 Test critical values: 1% level -2.609324

5% level -1.947119 10% level -1.612867


Null Hypothesis: LRM is stationary Exogenous: Constant, Linear Trend Bandwidth: 6 (Newey-West using Bartlett kernel)


5% level 0.146000 8 Johansen, Soren (1996) Likelihood based inference in cointegrated vector autoregressive models. Oxford University Press.



10% level 0.119000 *Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (1992, Table 1)

Null Hypothesis: D(LRM) is stationary Exogenous: Constant Bandwidth: 3 (Newey-West using Bartlett kernel)


5% level 0.463000 10% level 0.347000

*Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (1992, Table 1)

Null Hypothesis: IDE has a unit root Exogenous: None Bandwidth: 0 (Newey-West using Bartlett kernel)

Adj. t-Stat Prob.* Phillips-Perron test statistic Test critical values: 1% level -2.608490

5% level -1.946996 10% level -1.612934


Null Hypothesis: D(IDE) has a unit root Exogenous: None Bandwidth: 3 (Newey-West using Bartlett kernel)

Adj. t-Stat Prob.* Phillips-Perron test statistic Test critical values: 1% level -2.609324

5% level -1.947119 10% level -1.612867


Como observamos las series presentan diferencia estacionaria (integradas de orden 1). Luego para estimar el VAR elijamos el número de rezagos óptimos incluyendo las variables dummies estacionales. Como vemos, 3 de 5 criterios de elección nos indican que el VAR con 2 rezagos es el que mejor captura la dinámica entre las variables. El criterio LR, el más robusto, también indica el mismo número de rezagos. VAR Lag Order Selection Criteria Endogenous variables: LRM LRY IBO IDE Exogenous variables: C D1 D2 D3 Date: 08/02/05 Time: 12:14 Sample: 1974:1 1987:3 Included observations: 51

Lag LogL LR FPE AIC SC HQ 0 439.7089 NA 7.15E-13 -16.61604 -16.00997 -16.38444 1 634.9467 329.2245 6.39E-16 -23.64497 -22.43284* -23.18178* 2 654.9724 30.62755* 5.60E-16* -23.80284* -21.98465 -23.10806 3 667.0563 16.58575 6.88E-16 -23.64927 -21.22502 -22.72289 4 679.6257 15.28041 8.61E-16 -23.51473 -20.48442 -22.35676

* indicates lag order selected by the criterion LR: sequential modified LR test statistic (each test at 5% level) FPE: Final prediction error AIC: Akaike information criterion SC: Schwarz information criterion HQ: Hannan-Quinn information criterion



El siguiente paso es estimar el modelo de corrección del error (VEC). Como lo determinamos el número de rezagos para el VAR (en niveles) es 2, por lo tanto, el número de rezagos a incluirse en el VEC (var en diferencias + ec. cointegración) es 1.

Vector Error Correction Estimates Date: Sample(adjusted): 1974:3 1987:3 Included observations: 53 after adjusting endpoints Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ]

Cointegrating Eq: CointEq1 LRM(-1) 1.000000

LRY(-1) -1.945142

(0.06519) [-29.8390]

IBO(-1) 14.17273 (3.42218) [ 4.14143]

IDE(-1) -27.31275 (7.32952) [-3.72641]

Error Correction: D(LRM) D(LRY) D(IBO) D(IDE) CointEq1 -0.021907 0.022747 0.006187 0.009607

(0.01528) (0.01476) (0.00552) (0.00358) [-1.43336] [ 1.54111] [ 1.12059] [ 2.68124]

D(LRM(-1)) 0.394412 0.562321 0.053738 0.061705 (0.16660) (0.16089) (0.06019) (0.03906) [ 2.36737] [ 3.49498] [ 0.89283] [ 1.57983]

D(LRY(-1)) -0.114377 -0.174966 0.135397 0.003966 (0.15744) (0.15204) (0.05688) (0.03691) [-0.72648] [-1.15076] [ 2.38047] [ 0.10744]

D(IBO(-1)) -0.483031 -0.178269 0.314650 0.249593 (0.42240) (0.40792) (0.15260) (0.09902) [-1.14355] [-0.43702] [ 2.06194] [ 2.52052]

D(IDE(-1)) -0.558433 -0.089524 0.245100 0.289172 (0.61353) (0.59251) (0.22165) (0.14383) [-0.91019] [-0.15109] [ 1.10578] [ 2.01046]

D1 -0.066067 -0.023250 0.000178 -0.004252 (0.01075) (0.01038) (0.00388) (0.00252) [-6.14516] [-2.23932] [ 0.04592] [-1.68692]

D2 -0.012047 0.006856 0.007616 -0.000974 (0.00992) (0.00958) (0.00358) (0.00233) [-1.21471] [ 0.71582] [ 2.12565] [-0.41884]

D3 -0.042893 -0.011955 0.004858 -0.002586 (0.00954) (0.00921) (0.00345) (0.00224) [-4.49693] [-1.29782] [ 1.40982] [-1.15653]

R-squared 0.572703 0.315186 0.364638 0.459498 Adj. R-squared 0.506234 0.208659 0.265804 0.375420 Sum sq. resids 0.024323 0.022684 0.003175 0.001337 S.E. equation 0.023249 0.022452 0.008399 0.005450 F-statistic 8.616150 2.958752 3.689396 5.465127 Log likelihood 128.4920 130.3402 182.4528 205.3725



Akaike AIC -4.546869 -4.616611 -6.583125 -7.448020 Schwarz SC -4.249466 -4.319209 -6.285722 -7.150617 Mean dependent 0.007757 0.003340 -0.001114 -0.000384 S.D. dependent 0.033086 0.025239 0.009802 0.006897 Determinant Residual Covariance 3.18E-16 Log Likelihood 662.1482 Log Likelihood (d.f. adjusted) 644.8035 Akaike Information Criteria -22.97372 Schwarz Criteria -21.63540

Para mostrar que el modelo está bien especificado, primero, debemos mostrar

que los errores son homocedásticos y no están autocorrelacionados. Por último mostraremos que un modelo VEC con 2 rezagos no añade información relevante al modelo, y que el modelo actual está bien especificado. En la opción view del menú del objeto VAR, tenemos el campo “residual test”

Como observamos en el siguiente cuadro de resultados, se acepta la hipótesis nula de no autocorrelación de los residuos. Además, nos indica que la prueba es sólo válida para rezagos mayores al VAR. La pregunta que surge es porqué sólo se estima con rezago 2 y no con 1. Recuerda que al estimar el VAR implícitamente estamos usando las variables en niveles y cuando estimamos el VEC es un VAR pero en diferencias, por lo tanto, los errores del VEC son las primeras diferencias de los errores del VAR y por construcción presentan autocorrelación de primer orden.

VEC Residual Portmanteau Tests for Autocorrelations H0: no residual autocorrelations up to lag h Date: 08/02/05 Time: 12:47 Sample: 1974:1 1987:3 Included observations: 53

Lags Q-Stat Prob. Adj Q-Stat Prob. df 1 8.332612 NA* 8.492855 NA* NA* 2 16.79291 0.3991 17.28493 0.3674 16

*The test is valid only for lags larger than the VAR lag order. df is degrees of freedom for (approximate) chi-square distribution



En la misma opción encontramos la prueba de heterocedasticidad de White,

sólo que esta vez se trata del caso multivariado. La lectura de la prueba es similar al visto previamente en la sesión 1. No existe evidencia para rechazar la hipótesis nula de homocedasticidad. VEC Residual Heteroskedasticity Tests: No Cross Terms (only levels and squares) Date: 08/02/05 Time: 13:23 Sample: 1974Q1 1987Q3 Included observations: 53

Joint test:

Chi-sq df Prob.

142.7201 130 0.2103

Luego, analizaremos está relación de dinero, ingresos y tasas de interés pero usando el modelo ( )rH *

1 , en el cual se asume que las series no tienen tendencia determinística, esto significa que el término constante del VEC debería ser restringido a cero e incluir en la ecuación de cointegración una constante (para ello añadimos el vector de unos en la matriz de datos).

( ) ( )011

*1 ' ρβα +=+Π= −− ttt yBxyrH

En primer lugar, realicemos la prueba de cointegración de Johansen. Para

acceder a tal prueba elegimos la opción en el objeto VAR: “view/cointegration test…”



Sample (adjusted): 1974Q3 1987Q3 Included observations: 53 after adjustments Trend assumption: No deterministic trend (restricted constant) Series: LRM LRY IBO IDE Exogenous series: D1 D2 D3 Warning: Critical values assume no exogenous series Lags interval (in first differences): 1 to 1

Unrestricted Cointegration Rank Test (Trace)

Hypothesized Trace 0.05 No. of CE(s) Eigenvalue Statistic Critical Value Prob.**

None 0.433165 49.14436 54.07904 0.1282 At most 1 0.177584 19.05691 35.19275 0.7836 At most 2 0.112791 8.694964 20.26184 0.7644 At most 3 0.043411 2.352233 9.164546 0.7071

Trace test indicates no cointegration at the 0.05 level * denotes rejection of the hypothesis at the 0.05 level **MacKinnon-Haug-Michelis (1999) p-values

Unrestricted Cointegration Rank Test (Maximum Eigenvalue)

Hypothesized Max-Eigen 0.05 No. of CE(s) Eigenvalue Statistic Critical Value Prob.**

None * 0.433165 30.08745 28.58808 0.0319 At most 1 0.177584 10.36195 22.29962 0.8059 At most 2 0.112791 6.342731 15.89210 0.7486 At most 3 0.043411 2.352233 9.164546 0.7071

Max-eigenvalue test indicates 1 cointegrating eqn(s) at the 0.05 level * denotes rejection of the hypothesis at the 0.05 level **MacKinnon-Haug-Michelis (1999) p-values

Unrestricted Cointegrating Coefficients (normalized by b'*S11*b=I):

LRM LRY IBO IDE C -21.97409 22.69811 -114.4173 92.64010 133.1615 14.65598 -20.05089 3.561148 100.2632 -62.59345 7.946552 -25.64080 4.277513 -44.87727 62.74888 1.024493 -1.929761 24.99712 -14.64825 -2.318655

Unrestricted Adjustment Coefficients (alpha):



D(LRM) 0.009691 -0.000329 0.004406 0.001980 D(LRY) -0.005234 0.001348 0.006284 0.001082 D(IBO) -0.001055 -0.000723 0.000438 -0.001536 D(IDE) -0.001338 -0.002063 -0.000354 -4.65E-05

1 Cointegrating Equation(s): Log likelihood 669.1154

Normalized cointegrating coefficients (standard error in parentheses) LRM LRY IBO IDE C

1.000000 -1.032949 5.206919 -4.215880 -6.059932 (0.13897) (0.55060) (1.09082) (0.86239)

Adjustment coefficients (standard error in parentheses) D(LRM) -0.212955

(0.06435) D(LRY) 0.115022

(0.06739) D(IBO) 0.023177

(0.02547) D(IDE) 0.029411

(0.01717)

Podemos observar que de acuerdo a la prueba maximum eigenvalue existe sólo un vector de cointegración al rechazar la hipótesis nula de la no existencia de vectores de cointegración con una probabilidad de 0.03 y no poder rechazar la hipótesis nula de la existencia de un solo vector de cointegración con una probabilidad de 0.80.

El vector de cointegración está normalizado por defecto en la primera variable

del vector 1−ty .

[ ]06.6,22.4,21.5,03.1,00.1'ˆ * −−−=β

Este vector permite medir la demanda de dinero (relación de equilibrio en el largo plazo) que es parte del mecanismo de corrección del error de la evolución en el corto plazo de las variables analizadas.

Una vez que confirmamos la existencia de por lo menos un vector de

cointegración, procedemos a estimar el VEC. En la opción estimate del objeto VAR podemos especificar el modelo requerido ( )rH *

1 .



Con la opción view/cointegration graph podemos observar la relación de cointegración entre el dinero y los determinantes de su demanda en el largo plazo.

-.20

-.15

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87

COINTEQ01

Continuando con el ejemplo de aplicación de Johansen (1995), realizamos la

prueba de exogeneidad débil. La primera prueba es que los coeficientes de largo plazo del dinero y del ingreso son iguales pero con el signo puesto.

210 : ββ −=H

Para incluir las restricciones basta ir a la opción estimate/vec restrictions y

especificar el elemento de la matriz B que contiene los posibles vectores de cointegración.



Restrictions:

B(1,1) + B(1,2) = 0

Tests of cointegration restrictions:

Hypothesized Restricted LR egrees of No. Of CE(s) Log-likehood Statistic Freedom Probability

1 669.0938 0.043171 1 0.835404 2 674.2964 NA NA NA 3 677.4677 NA NA NA

NA indicates restriction not binding.

1 Cointegrating Equation(s): Convergence achieved after 7 iterations.

Restricted cointegrating coefficients (not all coefficients are identified) LRM LRY IBO IDE C

-21.53286 21.53286 -114.1333 92.38458 134.8917

Adjustment coefficients (standard error in parentheses) D(LRM) 0.009845

(0.00292) D(LRY) -0.004993

(0.00308) D(IBO) -0.001051

(0.00116) D(IDE) -0.001379

(0.00078)

La prueba es el ratio de verosimilitud, que compara el modelo VEC sin restricciones y el modelo VEC con la restricción incluida, es la siguiente:

( )[ ]( ) ( )( ) ( ).#*~ˆ1

1ln|ln2 2

1

*

0 restricrTrHHQLRr

i i

i χλλ∑

=

−−=−=

Donde 0H es el modelo con restricciones y r es el número de vectores de cointegración.

El resultado es que no existe evidencia para rechazar la hipótesis nula (modelo con restricción) pues la probabilidad de equivocarse y rechazar la restricción es 0.83.



La segunda hipótesis de trabajo es que los coeficientes de la tasa de interés de corto plazo y de corto plazo son iguales pero con el signo opuesto. Esta hipótesis implica que el costo de la tenencia de dinero puede ser medido como la diferencia entre el rendimiento del bono y el rendimiento de mantener dinero en un depósito bancario. Ahora la hipótesis nula será:

43

210 :ββββ

−=−=H

Si queremos obtener el vector normalizado, entonces incluiremos una restricción adicional ( 11 =β ).

Restrictions:

B(1,1) + B(1,2) = 0 B(1,3) + B(1,4) = 0 B(1,1) = 1.0


Hypothesized Restricted LR Degrees of No. of CE(s) Log-likehood Statistic Freedom Probability

1 668.6510 0.928790 2 0.628515 2 670.3442 * * * 3 675.4732 NA NA NA

* indicates convergence not achieved. NA indicates restriction not binding.


Restricted cointegrating coefficients (standard error in parentheses) LRM LRY IBO IDE C

1.000000 -1.000000 5.883815 -5.883815 -6.213670 (0.00000) (0.00000) (0.52343) (0.52343) (0.03766)

Adjustment coefficients (standard error in parentheses)

D(LRM) -0.177303 (0.05589)

D(LRY) 0.094523 (0.05823)

D(IBO) 0.022819 (0.02188)

D(IDE) 0.032339 (0.01448)

Nuevamente, no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula

pues la probabilidad de equivocarse y rechazarla es muy alta (0.63).



Por último, queremos probar que las velocidades de ajuste correspondientes a

la tercera y cuarta ecuación son iguales a cero. Con esta restricción queremos probar la exogeneidad débil de las dos tasas de interés. Para llevar a cabo esta restricción añadimos una restricción adicional: 043 == αα .

Restrictions:

B(1,1) + B(1,2) = 0 B(1,3) + B(1,4) = 0 B(1,1) = 1.0 A(3,1) = 0 A(4,1) = 0


Hypothesized Restricted LR Degrees of No. of CE(s) Log-likehood Statistic Freedom Probability

1 665.7437 6.743448 4 0.150083 2 669.2337 * * * 3 675.4731 NA NA NA

* indicates convergence not achieved. NA indicates restriction not binding.


Restricted cointegrating coefficients (standard error in parentheses) LRM LRY IBO IDE C

1.000000 -1.000000 5.810577 -5.810577 -6.207373 (0.00000) (0.00000) (0.56003) (0.56003) (0.04029)

Adjustment coefficients (standard error in parentheses)

D(LRM) -0.136960 (0.05101)

D(LRY) 0.133470 (0.05704)

D(IBO) 0.000000 (0.00000)

D(IDE) 0.000000 (0.00000)

Nuevamente, el ratio de verosimilitud nos indica que la probabilidad de equivocarnos y rechazar la hipótesis nula es 0.15, valor alto si trabajamos con un nivel de significancia de 95%. Sin embargo, recordemos que estamos comparando un modelo VEC con restricciones con un modelo VEC sin restricciones, esa probabilidad de 0.15 está considerando las restricciones sobre el vector de cointegración que fueron válidas. La



hipótesis que queremos contrastar no es esa, sino es verificar si la restricción sobre los parámetros de ajuste son válidas o no. Para ello, comparamos el modelo anterior con el que incluye las restricciones sobre los parámetros de ajuste.

Weak exogeneity test (a3=a4=0) conditional on b1+b2=b3+b4=0 LR statistic = 5.814657 p-value = 0.054621

La probabilidad de esta prueba es 0.05, es que una probabilidad aceptable para trabajar y con ello rechazar la hipótesis de trabajo: la exogeneidad débil de las tasas de interés con relación a la dinámica de largo plazo (ecuación de cointegración).



Sesión 6 Modelos de Espacio de Estado El sistema de ecuaciones considerado en el programa EViews es el siguiente:

ttttt Zcy εα ++=

ttttt Td υαα ++=+1

Donde: ty es un vector n x 1 que representa la variable dependiente u observada.

tα es un vector m x1 de variables de estado (no observadas), se asume que se comportan como un VAR(1). tc es un vector n x 1 que representa variables observadas exógenas

tZ es una matriz n x m que representa los coeficientes asociados a las variables de estado td es un vector m x 1 que contiene variables observadas exógenas (puede

considerarse la constante) tT es una matriz m x m que contiene los coeficientes asociados a las variables de

estado rezagadas. tε y tυ son perturbaciones gausianas, serialmente independientes y con una

estructura de varianza como la siguiente:

=

=Ω

tt

tt

t

tt QG

GH|var

υε

Donde tH es una matriz de varianzas simétrica n x n, tQ es una matriz de varianza simétrica m x m y tG es una matriz de covarianzas n x m. Filtro de Kalman Definimos la media y varianza de las variables no observadas tα según la distribución condicional al conjunto de información al periodo “s”:

)(| tsst Ea α=

( )( )[ ]|||| sttsttsst aaEP −−= αα



Un caso especial es si el subíndice que señala el tiempo es 1−= ts , de esta forma

1| −tta es la media condicional un periodo hacia delante (one step ahead mean). Ahora

podemos definir el estimado un periodo hacia delante de la variable observada ty :

( ) 1|1|1| |ˆ −−− +=== ttttttttttt aZcayEyy Y el error de predicción un periodo hacia delante es:

1|1| ˆˆ −− −== ttttt yyεε

El filtro de Kalman es un algoritmo recursivo que consiste en la estimación secuencial de las variables involucradas. Para esto es necesario contar con valores iniciales de la media y varianza de las variables de estado, los valores de las matrices y de la variable dependiente ty con esta información es posible estimar el valor un periodo hacia delante de la media y varianza de la variable de estado ( 1| −tta , 1| −ttP ), también la media y varianza filtrada de la variable de estado y la predicción un periodo hacia delante de la variable dependiente, del error de predicción y la varianza de predicción ( 1|1|1| ,, −−− tttttt Fy ε ). Suavizamiento de intervalo fijo La diferencia con el anterior enfoque es que ahora utilizamos toda la información disponible para un periodo fijo T. El objetivo es usar toda la información disponible hasta el periodo T para formar la expectación de las variables involucradas para cualquier tiempo dentro del periodo T. Con este método es posible obtener el estimado suavizado de la variable de estado (smoothed estimates of the states), )(~

| tTTtt Ea αα == , el estimado suavizado de la

varianza de estado, )(var tTtV α= . Con estos estimados también se pueden construir los estimados suavizados de la variable dependiente y su respectiva varianza suavizada.

( ) ttttt ZcyEy αα ~~|~ +==

( ) ||

~tttTtT ZVZyVarS ==

Condiciones iniciales Para llevar a cabo la estimación recursiva (filtro de Kalman), el suavizamiento de las variables y las proyecciones de estas es necesario contar con los valores un periodo hacia delante de la variable de estado 0|1α y su respectiva matriz de varianza 0|1P . Si el modelo utilizado es estacionario entonces podemos utilizar sin problemas los valores iniciales comentados. En otro caso, es preferible estimar los valores de la variable de estado con alguna medida de incertidumbre.



El objeto SSPACE Para crear el objeto Sspace seleccionamos Objetc/New Object… / Sspace.

Existen dos formas para crear el sistema de ecuaciones, una es ingresar el modelo de manera explícita y la otra es utilizar la opción “auto-specification” para facilitar al usuario la creación del modelo.

Antes de mostrar la aplicación de la opción “auto-specification” es útil mostrar la sintaxis empleada en el objeto Sspace. La ventaja de esto es poder modificar y mejorar la especificación del sistema de ecuaciones a estimar.

Ecuaciones de Estado (@state) Al especificar estas ecuaciones, el investigador debe considerar los siguientes comentarios:

Cada ecuación debe tener una sola variable dependiente.



La ecuación de estado no puede tener una variable dependiente de la ecuación de observación (@signal) así sean rezagos o adelantos de la misma.

Cada ecuación de estado debe ser lineal respecto a su primer rezago. En

el caso de tener mas de un rezago en la expresión original ésta pueden escribirse como nuevas ecuaciones de estado.

La ecuación de estado puede contener variables exógenas y coeficientes

desconocidos, y pueden ser no lineales. Ejemplo: @state sv1 = c(2)*sv1(-1) + c(3)*sv2(-1) + [var = exp(c(5))] @state sv2 = sv1(-1) Se trata de un proceso AR(2) no observado. Como vemos no se agrega directamente el segundo rezago de la variable de estado (sv1), la solución es agregar una segunda variable de estado que corresponde al segundo rezago.

@state sv1 = c(1) + sv1(-1) + [var = exp(c(3))] En este caso se trata de un proceso random walk with drift no observado. Sin embargo las siguientes expresiones no son validadas, no cumplen con las condiciones comentadas anteriormente. @state exp(sv1) = sv1(-1) + [var = exp(c(3))] @state sv2 = log(sv2(-1)) + [var = exp(c(3))] @state sv3 = c(1) + c(2)*sv3(-2) + var = exp(c(3))] Ecuaciones de Observación (@signal) Al especificar estas ecuaciones, el investigador debe considerar los siguientes comentarios:

La variable dependiente puede involucrar expresiones matemáticas. Estas ecuaciones no contienen valores actuales o adelantos de las

variables de observación (@sigmal). Además, los valores rezagados de la variable de observación son tomadas como predeterminadas.

Estas ecuaciones deben ser lineales respecto al estado contemporáneo. La

restricción que no hay rezago de la variable de estado no es restrictivo pues estados adicionales pueden ser creados para representar valores rezagados de dicha variable de estado.

La ecuación de observación puede contener variables exógenas y

coeficientes desconocidos, y pueden ser no lineales.



Ejemplos: @signal log(passanger) = c(1) + c(2)*x + sv1 + c(4)*sv2 @signal y = sv1 + sv2*x1 + sv3*x2 + sv4*y(-1) + [var =exp(c(1))] Sin embargo, las siguientes expresiones son inválidas: @signal log(passanger) = c(1) + c(2)*x + sv1(-1) + c(4)*sv2(1) @signal y = sv1*sv2*x1 + [var =exp(c(1))] Errores y varianzas En el objeto Sspace, el término de perturbación o error debe incluirse en la especificación de manera explícita. Existen varias formas para denotar las perturbaciones pero la más simple es indicando el valor de su varianza. Dicha varianza puede ser conocida o no conocida (por estimarse en el sistema). @signal y = c(1) + c(2)*sv1 + c(3)*sv2 + [var=1] @state sv1 = sv1(-1) + [var=exp(c(4))] Sin embargo, con esta manera no es posible considerar la correlación entre las perturbaciones. En este caso, será necesario identificar cada perturbación y posteriormente indicar su varianzas y posibles covarianzas. Para nombrar las perturbaciones utilizamos “@ename”. @ename e1 @ename e2 También puede hacerse directamente en la especificación de las ecuaciones de estado (@state) o de observación (@signal). Con la expresión @evar podemos indicar los valores conocidos o desconocidos (por estimar) de las perturbaciones anteriormente nombradas, por ejemplo: y = c(1) + sv1*x1 + [ename = e1] @state sv1 = sv1(-1) + [ename = e2] @evar cov(e1,e2) = c(2) @evar var(e1) =exp(c(3)) @evar var(e2) = exp(c(4)) Aplicación: abrir statespace.wks y statespace.prg Definiremos un proceso ARMAX(2,2) con un coeficiente aleatorio para la variable explicativa exógena. En este caso, definimos de manera textual las ecuaciones como podemos observar:



Por ejemplo, la variable de estado 1 (SV1) es la parte del proceso AR, y las variables de estado 2 y 3 (SV2 y SV3) son parte del proceso MA (moving average). Además, se indica que el coeficiente asociado a la variable exógena sigue un proceso random walk without drift cuya varianza de la perturbación es restringida a 3. Estimamos el modelo, si no especificamos los valores iniciales para los parámetros con la expresión @param, EViews tomará el valor cero para cada uno de ellos.

También podemos especificar los valores iniciales para las variables de estado. En el caso que no es especifique, Eviews tomará como valores iniciales el cero (diffuse priors). Como vemos en el cuadro de salida, las cuatro variables de estado utilizan como valores iniciales el cero con una varianza arbitrariamente alta para reflejar la incertidumbre sobre sus valores.

En el menú del objeto Sspace podemos pedir el gráfico de la variable dependiente y el valor de la variable dependiente estimada un periodo hacia delante (one sep ahead estimate). Para esto seleccionamos View/Actual, Predicted, Residual Graph.



-3

-2

-1

0

1

2

3

-.04

-.02

.00

.02

.04

.06

.08

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

Std. Residuals Actual Predicted

One-step-ahead DLY

Por otro lado, podemos analizar el desempeño de las variables estimadas mediante los gráficos propuestos tanto en signal graphs y state graphs. Las opciones de las series como one step ahead, smoothed y filtered fueron explicadas anteriormente.

La opción forecast nos permite obtener las proyecciones de las variables observadas dependientes, las de estado, y los errores estándar utilizando métodos alternativos y enfoques para dar valores iniciales.



Otro resultado importante es observar los parámetros estimados por el modelo así como su matriz de varianzas. La forma de obtenerla se muestra en la imagen siguiente:



Sesión 7 Modelos de Datos de Panel Datos en panel estático Modelo de efectos fijos El modelo básico es:

itiitit xy εµβα +++= ' Donde i = 1,2,….,N y t = 1,…..T. El vector xit tiene K elementos (variables explicativas sin considerar el intercepto). Este modelo se puede estimar por MCO si los siguientes supuestos se cumplen: a) Ortogonalidad entre los errores y regresores: E[xit ,εit] = 0 b) Homocedasticidad: var(εit) = σε

2, para todo i c) No hay correlación entre los errores: Cov (εit, εis) = 0, para s ≠ t d) La matriz X = [xit] tiene rango completo = K (no hay multicolinealidad) Sin embargo, el analista puede aprovechar la información disponible y construir modelos de comportamiento más complejos. El analista podría capturar efectos que no son detectados en un modelo cross-section o de serie de tiempo. Por ejemplo, es posible separar economías de escala del cambio tecnológico a partir de una función de costos de una industria determinada. Otra opción es considerar efectos individuales (αi) específicos para cada unidad de sección cruzada pero que son constantes a lo largo del tiempo (time-invariant regresor). En el caso que los αi sean iguales para todas las unidades o ecuaciones de cross-section entonces los estimadores de α y β por MCO serán consistentes y eficientes (Pooled estimation). Este efecto individual puede interpretarse como la habilidad del individuo que no es observada pero que si afecta la variable dependiente. Este modelo de efectos individuales es estimado según los supuestos establecidos sobre la correlación del error con los regresores. De esta manera sigue dos tratamientos distintos: el enfoque de efectos fijos y el de efectos aleatorios. Ventajas y desventajas del modelo de Datos de Panel9 Ventajas:

• Controlar la heterogeneidad individual. • Provee más información, más variabilidad de los regresores, menos

colinealidad, más grados de libertad y eficiencia del estimador MCO. • Es posible estudiar la dinámica del ajuste con mayor precisión.

9 Tomado de Baltagi, Badi “Econometric Analysis of Panel Data”. Wiley Ed. 1995.



• Identificar y medir los efectos que no son detectados en cross section y series de tiempo.

• Elaboración de modelos de comportamiento más complejos. • Elimina el sesgo de la agregación sobre las firmas o individuos.

Desventajas:

• Problemas en el diseño y en la recolección de los datos. • Distorsiones originadas por errores de medición. • Problemas de selección: auto selección, no respuesta; y • Baja frecuencia temporal.

Modelo de Efectos Fijos Un manera de captar las diferencias entre unidades (o individuos) es considerando una variable dummy Di que indica la unidad i. En este modelo se asume que los componentes no observados (habilidad por ejemplo) están correlacionados con algunos regresores (educación) y por tanto se viola el supuesto de ortogonalidad (a). Este tipo de problema también es llamado sesgo de heterogeneidad no observada. Esta dificultad se presenta cuando entidades de naturaleza no observada diferentes son agrupadas para la estimación. Por ejemplo, individuos muy hábiles y los poco hábiles.

Este problema se plantea usualmente como un modelo de efectos fijos. La utilidad se da por dos razones. Primero se ataca el problema de inconsistencia que es más serio que el de ineficiencia. Segundo, la solución en modelos lineales es directa, pues un modelo con efectos fijos es equivalente a incluir variables dummy para cada entidad. Además, si se tienen T observaciones para cada entidad, se pueden sustraer los promedios de cada entidad y obtener:

••• −+−=− iitiitiit )xx('yy εεβ

O el modelo de efectos fijos puede verse desde un enfoque matricial:

Más hábiles

Menos hábiles

X

Y



εβ MMXMy += ; donde ')'( 1DDDDIM −−=

MyXMXXFE ')'(ˆ 1−=β Donde •iy es el promedio de la i-ésima unidad o individuo. De esta forma, se eliminan los componentes no observados que generaban inconsistencia. El estimador de efectos fijos, también es llamado within estimator o estimador intra-grupos pues solo toma en cuenta las variaciones al interior de la unidad o individuo y no las variaciones entre entidades diferentes. Este procedimiento es equivalente al incluir una dummy para cada entidad en la regresión por lo que también es conocido como el Estimador de Mínimos Cuadrados con Variables Dummy (LSDV). Aplicación10: abrir el workfile baltagi_griffin.wf1 y el programa baltagi_griffin.prg Baltagi y Griffin estiman la siguiente demanda de gasolina:

itGDP

MG

NCarln

PP

lnNYln

CarGasln εβββα ++++= 321

Donde Gas/Car es el consumo de gasolina por auto, PMG/PGDP es el precio del motor a gasolina y Car/N registra el stock de autos per cápita. Este panel consiste de observaciones anuales en 18 países de la OECD ente los años 1960 – 1978.

Para crear un workfile con datos en panel, elegimos la opción balanced panel y el rango del periodo y el tamaño de la muestra (individuos).

10 Ejemplo tomado de Baltagi, Badi H. “Econometrics Análisis of Panel Data”. Wiley Ed. 1995.



En la ventana del objeto “equation” podemos elegir estimar el modelo de efectos fijos individuales como temporales. Además, es posible elegir el método de Mínimos Cuadrados Generalizados, para corregir la heterocedasticidad al interior de las ecuaciones como la correlación contemporánea entre los términos de error de las ecuaciones.

Dependent Variable: LGASPCAR Method: Panel Least Squares Date: 08/07/05 Time: 17:12 Sample: 1960 1978 Cross-sections included: 18 Total panel (balanced) observations: 342


LCARPCAP -0.640483 0.029679 -21.58045 0.0000 LINCOMEP 0.662250 0.073386 9.024198 0.0000

LRPMG -0.321702 0.044099 -7.294957 0.0000 C 2.402671 0.225309 10.66388 0.0000

Effects Specification

Cross-section fixed (dummy variables)




Los parámetros del modelo guardan relación con los valores esperados en la teoría, además, todos los coeficientes son significativos al 5%.

-.4

-.2

.0

.2

.43

4

5

6

7

50 100 150 200 250 300


Por otro lado, es posible recuperar los efectos individuales estimados. El procedimiento es ir al menú del objeto “equation” y elegimos fiex/random effects/cross.section effects debido que los efectos fijos son para los diversos individuos.

Modelo de Efectos Aleatorios El enfoque de efectos fijos parece apropiado si creemos que dichos efectos corresponden únicamente a las unidades analizadas y que no pueden establecerse para unidades adicionales fuera de ella. ¿Cuál es la solución si las unidades de la sección cruzada son extracciones muestrales de una población? La respuesta es tratar esos efectos individuales como un proceso estocástico que forma parte del término µit. Además se asume que dichos componentes no están correlacionados con los regresores (la principal diferencia con los efectos fijos). ω it = µi + εit Nota: no consideramos los efectos temporales dado que las observaciones de panel se caracterizan por tener una pequeña amplitud en el tiempo. E(µi )= E(εit) = 0 E(µi

2) = σµ2



E(εit2) = σε

2 E(ωit

2) = σµ2 + σε

2 E(ωitωis) = σµ

2 , t ≠ s La matriz de covarianzas de los errores para la i-ésima unidad es:

'22

2222

2222

2222

iiI µε

µεµµ

µµεµ

µµµε

σσ

σσσσ

σσσσσσσσ

+=

+

+

+

=Ω

L

MM

L

L

Finalmente la matriz de covarianzas de los errores será:

Ω

ΩΩ

=Γ

L

MM

L

L

00

0000

Bajo el supuesto de ortogonalidad, el estimador de MCG es el más eficiente pues incorpora la información existente en la matriz de varianza de los errores. Este estimador se construye como bMCG = (X’Γ-1X)-1X’Γ-1y. Empíricamente, esto implica construir la matriz estimada a partir de las varianzas de los componentes del error. A manera de resumen, el uso de datos de panel permite ganar en eficiencia al explotar la información contenida en los componentes no observados (efecto individual). La estimación por MCG implica el uso de ponderadores que transforman las variables involucradas en la estimación. Dicho ponderador es el siguiente: 2/12/1 −− Ω⊗=Γ I .

Siendo '2/1 iiT

I θ−=Ω− .

Nótese las similitudes de este procedimiento con los cálculos en el modelo de efectos fijos, donde θ = 1. Se puede demostrar que el estimador de MCG, como el estimador de MCO, es una media ponderada matricial de los estimadores intra y entre grupos. Aplicación: El modelo de demanda de gasolina entre naciones propuesto y estimado por Baltagi y Griffin (1983) es el siguiente:

itiGDP

MGNCAR

PP

NY

CARGAS εµβββα +++++= lnlnlnln 321



A diferencia del modelo de efectos fijos, el término no observado pero que indica la diferencia entre individuos no estaría correlacionado con los regresores. Por ejemplo, iµ puede ser una medida del nivel tecnológico del país, un nivel por encima del

promedio indicaría un bajo nivel de la tecnología disponible en el país lo que lleva a un mayor consumo de gasolina. Este nivel de tecnología podría ser independiente del stock per cápita, o de los precios reales de la gasolina, bajo esta sospecha el estimador de efectos aleatorios será el modelo apropiado. Aunque, debemos mencionar que existen pruebas estadísticas para contrastar esta sospecha como el contraste de Hausman y el de Breusch – Pagan.

Dependent Variable: LGASPCAR Method: Panel EGLS (Cross-section random effects) Sample: 1960 1978 Cross-sections included: 18 Total panel (balanced) observations: 342 Swamy and Arora estimator of component variances


LCARPCAP -0.606840 0.024672 -24.59635 0.0000 LINCOMEP 0.554986 0.057174 9.706894 0.0000

LRPMG -0.420389 0.038657 -10.87481 0.0000 C 1.996699 0.178235 11.20260 0.0000


Cross-section random S.D. / Rho 0.195545 0.8177 Idiosyncratic random S.D. / Rho 0.092330 0.1823

Weighted Statistics

R-squared 0.829310 Mean dependent var 0.462676 Adjusted R-squared 0.827795 S.D. dependent var 0.230099 S.E. of regression 0.095485 Sum squared resid 3.081707 F-statistic 547.3993 Durbin-Watson stat 0.304481 Prob(F-statistic) 0.000000

Unweighted Statistics

R-squared 0.730918 Mean dependent var 4.296242 Sum squared resid 27.64628 Durbin-Watson stat 0.033940



-.8

-.4

.0

.4

.8

3

4

5

6

7

50 100 150 200 250 300


Contraste de efectos aleatorios (Breush – Pagan) Contraste del multiplicador de Lagrange para el modelo de efectos aleatorios. El análisis se basa en los residuos de MCO. Ho: σν

2 = 0 H1: σν

2 ≠ 0

LM =

2

11 1

2

1

2

1 1)1(2

−

− ∑∑

∑ ∑

= =

= =n T

iit

n

i

T

tit

e

e

TnT

~ X2 (1)

Prueba LM: Var(u) = 0 chi2(1) = 1465.55

Prob > chi2 = 0.0000

Se rechaza la hipótesis nula, por tanto hay evidencia a favor del modelo de componentes del error. Contraste de Hausman - ¿efectos fijos o aleatorios? Consiste en probar la ortogonalidad de los efectos aleatorios y los regresores. Bajo la hipótesis de no correlación, los estimadores de MCO en el modelo de efectos fijos y el estimador de MCG son consistentes pero el de MCO es ineficiente. Por lo tanto, bajo la hipótesis nula la diferencia no debería ser sistemática.

21 ~)ˆˆ()()'ˆˆ( kFEREREFEFERE VVH χββββ −−−= −



Ho: Diferencia entre los coeficientes no es sistematicab_fijos: consistente bajo Ho y Ha

b_aleatorios: inconsistente bajo Ha, eficiente bajo Ho

chi2(3)=302.8Pr>chi2=0.0000

Con una probabilidad menor a 0.05 no existe evidencia para aceptar la hipótesis nula. Por lo tanto, existe una diferencia sistemática entre el estimador de MCO (efectos fijos) y el de MCG (efectos aleatorios). Siendo el estimador de efectos aleatorios inconsistente. Por tanto, el modelo de efectos fijos es el indicado para el modelo de demanda de gasolina por auto, en otras palabras, existiría una correlación entre las explicativas y el efecto individual no observable debido probablemente al indicador de ingresos per cápita.



Datos en panel dinámico Variables Instrumentales (MC2E) Papke(1994) utiliza diversos modelos de datos en panel para determinar el efecto de la designación de la zona de empuje sobre la producción en 22 comunidades en Indiana. Uno de los modelos utilizados es el siguiente11:

itiitt,itit ezyy εµδρθ ++++= − 111

donde: ity es el logaritmo del seguro de desempleo. El coeficiente de interés es el efecto marginal asociado al indicador binario itez , dicha variable toma el valor 1 si la comunidad “i” en el año “t” fue designada como una zona de empuje. El modelo fue aplicado para el periodo 1981-1988, con 0iy que corresponde a 1980. Al tomar las primeras diferencias al modelo obtenemos:

itittitit ezyy εδρζ ∆+∆+∆+=∆ − 11,1

El modelo diferenciado tiene un nuevo intercepto temporal. Papke estima esta ecuación con MC2E, para ello usa como instrumento 2, −∆ tiy para la variable endógena

1, −∆ tiy . El caso de la variable itez∆ es considerado como exógeno pues la designación como zona de empuje no depende de su desempeño pasado.

Dependent Variable: D(LUCLMS) Method: Panel Two-Stage Least Squares Sample (adjusted): 1983 1988 Cross-sections included: 22 Total panel (balanced) observations: 132 Instrument list: C D(LUCLMS(-2)) D(EZ)


C -0.201653 0.040473 -4.982367 0.0000 D(LUCLMS(-1)) 0.164710 0.288447 0.571023 0.5690

D(EZ) -0.218703 0.106141 -2.060488 0.0414


Period fixed (dummy variables)

R-squared 0.280529 Mean dependent var -0.235098 Adjusted R-squared 0.239914 S.D. dependent var 0.267204 S.E. of regression 0.232956 Sum squared resid 6.729311 Durbin-Watson stat 2.857782 J-statistic 2.15E-30 Instrument rank 8.000000

11 Ejemplo tomado de Papke (1994) Tax policy and urban development: evidence from an enterprise zone program. Working paper 3945. NBER. Diciembre 1991.



Como observamos la elección de los instrumentos cumplen con la condición de ortogonalidad pues el estadístico toma un valor muy pequeño. Sin embargo, el parámetro 1ρ no es

significativo mientras que 1δ si lo es a un nivel del 5%. Si iε no está correlacionado entonces

por construcción itε∆ deberá estar correlacionado. Papke no encuentra diferencias importantes cuando los errores estándar de los parámetros son ajustados por correlación serial y heterocedasticidad.

Dependent Variable: D(LUCLMS) Method: Panel Two-Stage EGLS (Period weights) Sample (adjusted): 1983 1988 Cross-sections included: 22 Total panel (balanced) observations: 132 Linear estimation after one-step weighting matrix White cross-section standard errors & covariance (d.f. corrected) Instrument list: C D(LUCLMS(-2)) D(EZ)


C -0.187904 0.059523 -3.156810 0.0020 D(LUCLMS(-1)) 0.282591 0.495746 0.570033 0.5697

D(EZ) -0.240758 0.137309 -1.753400 0.0820


Period fixed (dummy variables)

Weighted Statistics

R-squared 0.373986 Mean dependent var -0.268053 Adjusted R-squared 0.338646 S.D. dependent var 0.295912 S.E. of regression 0.240646 Sum squared resid 7.180908 Durbin-Watson stat 2.667505 J-statistic 7.11E-30 Instrument rank 8.000000

Unweighted Statistics

R-squared 0.215806 Mean dependent var -0.235098 Sum squared resid 7.334674 Durbin-Watson stat 3.017004



Debemos notar que el rango de instrumentos es 8, desde que las dummies para los periodos sirven como instrumentos, así tenemos 3 instrumentos explícitamente especificados más 5 variables dummies no colineales.

Estimador Arellano – Bond (MMG) Sea el modelo:

iti|ititit xyy εµβα +++= −1

Sea ),( |

1 ititit xyX −= Tenemos el modelo en primeras diferencias:

itititit xyy εβα ∆+∆+∆=∆ −|

1 Aquí las primeras dos observaciones se pierden por los rezagos y las diferencias dinámicas aplicadas a las series. Como |

itx contiene solo variables exógenas entonces |itx∆ pueden utilizarse como instrumentos de dichas variables. Asumiendo que los

errores itε no están autocorrelacionados para cada ecuación individual y si T=3 entonces 1iy es el único instrumento válido para la variable rezagada. Si T=5, entonces

321 ,, iii yyy son los únicos instrumentos válidos. La estimación eficiente MMG utiliza un número diferente de instrumentos para cada periodo, los instrumentos corresponden a los diferentes rezagos de la variable dependiente y variables predeterminadas dadas en cada periodo. Considerando las variables estrictamente exógenas, uno puede usar un conjunto específico de instrumentos correspondientes a los valores rezagados y otras variables predeterminadas. Aplicación12: abrir el workfile abond.wf1 y el programa abond.prg En el artículo de Arellano y Bond (1991) se aplica el estimador propuesto para modelos de datos en panel dinámico. El modelo es sobre la demanda laboral dinámica que fue previamente estudiada por Layard y Nickell (1986). El modelo a estimar es el siguiente:

ititiitittiittitiit yykwwnnn εµγγφδδββα +++++++++= −−−− 1,2111,212,21,1 donde: itn : logaritmo del empleo en la firma “i” en el periodo “t”

12 Aplicación tomada del artículo de Arellano, Bond (1991). Some tests of specification for panel data: monte carlo evidence and an application of employment equations. The Review Economics Studies, Vol. 58 N°2 . Abril 1991.



itw : logaritmo del salario real

itk : logaritmo del stock de capital

ity : logaritmo del producto de la industria

Dependent Variable: N Method: Panel Generalized Method of Moments Transformation: First Differences Sample (adjusted): 1979 1984 Cross-sections included: 140 Total panel (unbalanced) observations: 611 Difference specification instrument weighting matrix White period standard errors & covariance (d.f. corrected) Instrument list: @DYN(N,-2) W W(-1) K YS YS(-1) @LEV(@SYSPER)


N(-1) 0.534614 0.167909 3.183950 0.0015 N(-2) -0.075069 0.068575 -1.094702 0.2741

W -0.591574 0.169356 -3.493076 0.0005 W(-1) 0.291511 0.142295 2.048634 0.0409

K 0.358503 0.054300 6.602205 0.0000 YS 0.597199 0.173440 3.443249 0.0006

YS(-1) -0.611703 0.213653 -2.863068 0.0043 @LEV(@ISPERIOD("1979")) 0.005427 0.009799 0.553834 0.5799 @LEV(@ISPERIOD("1980")) 0.011035 0.012726 0.867133 0.3862 @LEV(@ISPERIOD("1981")) -0.032878 0.015995 -2.055443 0.0403 @LEV(@ISPERIOD("1982")) -0.022358 0.014221 -1.572202 0.1164 @LEV(@ISPERIOD("1983")) -0.001423 0.018844 -0.075503 0.9398 @LEV(@ISPERIOD("1984")) 0.011741 0.018574 0.632115 0.5276


Cross-section fixed (first differences) Period fixed (dummy variables)

R-squared 0.288724 Mean dependent var -0.063168 Adjusted R-squared 0.274451 S.D. dependent var 0.137637 S.E. of regression 0.117238 Sum squared resid 8.219387 J-statistic 73.85798 Instrument rank 38.00000

Sample: 1976 1984 Included observations: 611

Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob



**|. | **|. | 1 -0.193 -0.193 22.856 0.000 .|. | .|. | 2 -0.012 -0.051 22.940 0.000 .|. | .|. | 3 0.000 -0.013 22.940 0.000 .|. | .|. | 4 -0.001 -0.004 22.940 0.000

De acuerdo al estadístico de Sargan existe evidencia para rechazar la hipótesis nula que la sobre identificación es válida. Cabe mencionar que dicha prueba tiende a sobre-rechazar en presencia de heterocedasticidad. Por tanto, estimemos el modelo dinámico mediante el estimador de dos pasos.

Dependent Variable: N Method: Panel Generalized Method of Moments Transformation: First Differences Sample (adjusted): 1979 1984 Cross-sections included: 140 Total panel (unbalanced) observations: 611 White period instrument weighting matrix White period standard errors & covariance (d.f. corrected) Instrument list: @DYN(N,-2) W W(-1) K YS YS(-1) @LEV(@SYSPER)


N(-1) 0.474151 0.089492 5.298257 0.0000 N(-2) -0.052968 0.026956 -1.964992 0.0499

W -0.513205 0.057826 -8.875003 0.0000 W(-1) 0.224640 0.081321 2.762398 0.0059

K 0.292723 0.042613 6.869307 0.0000 YS 0.609774 0.112002 5.444293 0.0000

YS(-1) -0.446371 0.126700 -3.523065 0.0005 @LEV(@ISPERIOD("1979")) 0.010509 0.006891 1.525097 0.1278 @LEV(@ISPERIOD("1980")) 0.014142 0.010011 1.412639 0.1583 @LEV(@ISPERIOD("1981")) -0.040453 0.012304 -3.287801 0.0011 @LEV(@ISPERIOD("1982")) -0.021640 0.011452 -1.889553 0.0593 @LEV(@ISPERIOD("1983")) -0.001846 0.010902 -0.169365 0.8656 @LEV(@ISPERIOD("1984")) -0.010220 0.010641 -0.960497 0.3372


Cross-section fixed (first differences) Period fixed (dummy variables)

R-squared 0.300748 Mean dependent var -0.063168 Adjusted R-squared 0.286716 S.D. dependent var 0.137637 S.E. of regression 0.116243 Sum squared resid 8.080443 J-statistic 30.11242 Instrument rank 38.00000

Date: 08/08/05 Time: 04:57



Sample: 1976 1984

Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

*|. | *|. | 1 -0.171 -0.171 17.978 0.000 .|. | .|. | 2 -0.015 -0.046 18.115 0.000 .|. | .|. | 3 0.000 -0.011 18.115 0.000 .|. | .|. | 4 -0.001 -0.004 18.116 0.001

A pesar que Arellano y Bond recomiendan no usar este modelo para hacer inferencia, si es útil para hacer una aproximación sobre la prueba de Sargan bajo homocedasticidad. Existe evidencia para aceptar la hipótesis nula de validez de los instrumentos. Tanto como en el primer modelo que asume homocedasticidad como en el actual rechazan la hipótesis nula de carencia de autocorrelación de primer orden en los residuos diferenciados. Pero no implica que los estimadores sean inconsistentes, si existiera correlación de segundo orden en los residuos diferenciados eso implicaría que los estimadores son inconsistentes que de acuerdo a la prueba no puede afirmarse la inconsistencia.

Macroeconometria Manual PUCP

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