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siguen muertos para el lector, y tal vezpara el autor también. Sus ángeles sonmenos distantes y de un significado me­nos ferozmente precisos que los de Rilke:

Tt would be peace to lieStill in the still hours at the angel's fe~t,L'Fon a star hung in a slarry sky ... e,

Pero estas fallas 10 son únicamente an­te las normas que la pmpia Kathleen Hai­ne se impone, y ante la descripción decómo llegar a un verdadero poema:

Let my body sweatlet snakes torment my breast111)' eyes be blind, ears cleaf, hands distranglltn10ulh ¡;arched, uterus cut out,hell)' slashed, back lashecl,iOl"'gue slivered into thongs oE leatherrain stones inserted in my hreasts,I!ead severed,i f onl)' the lips may speaki f onl)' lIle god will COI11C. <;

j Qué suerte que ni Safo. ni Sor Juana,ni la propia Kathleen Raine tienen querealmente sufrir tales tormentos I Sin em­bargo la intensidad del deseo debe seralg~ I;arecido a los dolores que el ansiade saber le causaban a Sor Juana, y quela hacieron enfermar físicamente, cuando~e le quitaron los Iibms.

En este último poema hay cierto encan­tamiento. A veces Kathleen Raine se con­"ierte en una hechicera en todo el antiguosentido de la palabra. una hechicera queconjura con la palabra. una genuina des­cendiente de Merlín y los drúidas. Algu­nos de sus poemas son verdaderos con­juros:

Earth take awayMake away sorrow,Bury the ¡a rk's bonesUnder the tudBury my grief.Black crow tear awayr~end away sorrow.Talan ami beakPluck out the heartAncl ..he nerves of pain.Tear away grief. 7

El agudo entendimiento cito una inteli­gencia cultivada le permite hablar conclarielad )' exactitud ante cierta ciase deexperiencias místicas que. por lo general,se expresan cie~artiru]adamente:

T saw on abare hillsick an ash-tree standAmi all its int1'incate brallches suddenl"Faikd, as ] gazed. to be a tree. 'Ami road amI hillside failed to make

[a \l"orld.H ili, tree. sky. distance. only seenwd

[lo beAmi r saw nothing ., coulri give a ll;\me,Not an)' nan1(' knowll to the l1("art. "

Al parecer. es un;l expcrJellCla cie estetipo el centro del cual irraciia su idealis­mo neoplatónico. Y por tratarse ele unal'xperil'ncia auténtica e:, qUl' nos l11uevemás honclal11enk que la ,illlple teoría ola ginmasia intelectual. K"thlecn R"inejamás ha mirado el munrlo a través deJjos ajenos. sino que lo ha visto tocio elenuevo con los propios. Ha mirado porigual la naturaleza y la psicologia rlelhombre y en este sentirlo es que dedicasu libr~'a "Ga"in MaX\\TIi. con quiencomparto el recuerdo de ..

An Tsland Salt and bareThe haunt of Seales and Orcs. amI

[Seme\,'s cíang. JO

1\OTA: Do,' la versiúJI castellal1a de las citas(11 ec·ta nola' aparte, pues la riqueza del sOJlido(11 la prollullciaciúll inglesa, y el ritlllo, 110 ti~~­

I1C11 i raslaci"ll1 posible de \11l ielioma a otro. LalradJlcci')11 es casi literal. (1. N.)

"Fll 111i :.allgrc, en 111i~ huesos, la tnell10riade la tierra es como Jll1a carga de 01.-"

IY de islas.

La pe~;¡da sustaJlcia ele mi encarnaciónm<'ls poderosa ·~s que mi deseo de soledad,me quiehra, me destruye, y me llama al

1hogar.

2 Tras el árbol, la casa }' las estrellas,exisle la pr~sencia que yo 110 pueelo versa!yo como casa, como árbol, como estrellas.

3 Pero estos frági les muros al graal le S011

aím más tenues que U11 sueño vaporoso.

'1 '" La \'irgen }' Afrodita,la doliente Jsis, y la Diosa del Maíz.

:> Paz sería yacertraJlquila eJl las tranquilas horas, a los

1pies tlel ángel,sohre una estrella eJl UII ciclo estrellado ...

6 Que me suele el cuerpo,quc me atormenlen las sierpes ell el pecho,que me ciegueJl los ojos. cIlsordezcaJl mi

loído, me aturdan las manos,que me sequeJl la boca, I11C corten cl ÍJtero.que me desgarren el vielli re, me hieran

Ilos lomos.que me cortell la lellgu:¡ eJl IOJljas de ruero.que mc IleneJl los pec!Jos ele I1lla Iltlvla

Ide jlledras,que me corteJl Ja cabeza,con tal que los lahios h:lblen,COI1 tal que me vellga el dios.

7 Tierra, quita,deshaz el pesa 1',

entierra los huesos de la alondra.Rajo el cés:'C'd entierra mi penar.

Cuervo }Icgro, arranca.arr:1llca el pe~ar;

garr;l y pico,arranca el roraz('1I1,. las fibras del dolor.~lrrallca el penar.

R Las palabras dicen, el agua rorre,las piedras soportan, el helecho marchi la,

Iel viento sopla, el tiempo pasa.Escriho cl amor del Sol, de las estrellas,

11\0.

l) En tilla "erla colina vi un <'u' ha 1 ceniciento,de nroll[o sus compl;cadas ramasdejaron de ser, mielotras miraha yo, 1111

. fárhol;y el camillo ,. la loma ya 110 flleron el

fl11undo.Cerro. árhol. cielo, elistancia, eran ul1a

Iapariencia,. nada vi que pudiera 110m hrar~on UlI nomhrc ·que lo nomhrase el corazc'>n.

10 l'na isla salobre y desiertamo";"h de focas y ele orcas, y del golpe

ele planchones.

ACERCANSE

Por Eli de GORTARI

HAC:r; YA 130 años que la consiclera­clon ele la onsfcra -superfICielímite a la ,'ual ticnde la esfera

cuando su radio se hacc infinito- y delas C!síntotos -rectas paralelas quc, e11

\'t'z de ser equidistante. se aCCTcan C011­

t:ilualllente sin lleg"r .'l cncontrarse J1lJ11­

ca-- permitió ,,1 gcnio matemático (1<'1j"¡¡SO N icolai 1vanovich Lohachevski ('sla­bkc~T la r¡eol11etría llo-('ltcli1cf1llo. Estaco:¡strucción teórica funelall1l'ntal no sólo,.i;·\'i/¡ para formular una gecll1l'tría 'il:tSr-; T,·;";¡J que la ordinaria. ,ino quc pro:lll­'() 1'11:1 ¡;;"oft:l1da tr;I11SforIlI;1Ción de .1;]

;":' ~ ')1]";tic" enter" y. dt'spllé~, dcsbordo')~O~ dOj;lln:os de }a~ c¡en,:i<~s ·,'xé-lclas ,; c:ti () p(:r de~ata]' ul;a de las 1'I'\·0]uc;0l1'.':;('¡.. i":\"o- :¡]cance en el pl'nsamil'nto cicll­ri fíe:)'\ filosdico. Por ell·:;. :11 conmelllo­. ""se el "·r:n1°r centenario ele su muertl:.l"~' ;l11pOr~al;t"('\acer a Lob;1.chevski el. h~­menaje de destacar qI'; r('~l11tados PI'lI1CI-

QUEORISFERAS y ASINTOTAS

:\. r. T.ohachcl'ski, "rl .r¡rnio liIatrllláti.ro·'

PARALELAS

En pleno siglO" veinte regresa a las raí­ces mismas de la poesía anglosajona. almisterio, al con.íuro. al sonido (takea,,·ay. make away) y al ritual (bury thela rk' s bones) que iJevan l"Il sí mismosuna fuerza poderosa.

Si tiene algo de lo primitivo, el hechoen forma alguna implica que haya unacualidad azansa en su técnica: Antesbien. esto se debe a que entiende Jo me­jor de la poesía primitiva inglesa que es­tudia, a fin de evitar el elemento perso­nal. individual. Este es un aspecto de suclaridad. El otro es el resultado de uncuidadoso ordenamiento de las palabras.N o hay sílaba ni sonido que desentone.'Csa a menudo los semi ritmos y las aso­nancias; a menudo también explota confranqueza un difícil problema técnicohasta tenerlo enteramente de su lado,corno ocurre con la perfección con querinde el último verso en " Jight in Mar­tindale", tan finamente equilibrado alborde de lo torpe, que la última palabr;,se hace obvia en su sonido, y tan inespe­rada y a la vez tan extra¡:arnente cier!:)cn su . entido:

\\'orels sayo waters flo",".rocks "'eather, ferns wither, winels blo,,',

[times go.l '~Tite the Sun's Lave, anrl the stars'. ~

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la paraleladerecha

d esa la

• IÁ

analítica como lo es la geometría euc1i­deana. En particular, las ecuaciones loba­chevskianas ele la trigonometría no-euc1i­deana constituyen la prueba de la inde­pendencia lógica del postulado de las pa­ralelas respecto a los otros y, por lo tanto,del carácter indemostrable que tiene es­ta proposición. En este sentido, los traba­jos matemáticos de Lobachevski represen­tan el desenlace de la crisis iniciada des­de la antigüedad y manten'ida por mile­nios, que se había provocado en tornoa las rectas paralelas. Al mismo tiempo,la geometría no-euclideana incitó, a suvez, una crisis de gran envergadura en laciencia y en la filosofía.

Sin embargo, Lobachevski no se con­tentó con desarrollar las consecuenciasde su concepción, mostrando que no sur­gía en ellas contradicción alguna. Tam­bién se planteó el problema de recurrir alcriterio de la experiencia para decidir endefinitiva si el espacio físico es euclidea­no o no-euclideano. Concretamente, pro­puso la medición precisa de los ángulosde triángulos que tuvieran lados de di­mensiones enormes, para verificar si susuma era igual o menor que dos ángulosrectos; ya que en la pangeometría existedependencia recíproca entre las dimen­siones de los lados y las de los ángulosque estos forman en un triángulo. Paraeste efecto, señaló la indagación de lasparalajes -ángulo formado en el cen­tro de un astro, entre la visual del obser­vador y la línea que une el centro de latierra con el del astro- de estrellas le­janas. na vez realizadas di~has med.i~ciones con esmero, Lobachevskl reconoclOhonestamente que los resultados obteni­dos llevaban a la conclusión de que, en elnivel ele los conocimientos de su época,el espacio físico se mos!rab~ ,como eu~li­deano con una aproxnnaclOn supenora la precisión de los instrumento~ ~ásperfectos. Con tocio, no queclaba .ell11;1I~a­da la posibilidad ele que el espacIo flstcofuera no-euclideano, es decir, de que lasrelaciones espaciales observadas entre losobjetos elel universo se manifiesten con­formes con las propiedades euclideanas,pero, sin contradecir los postúlados de laD'eometría no-euclideana. Por lo tanto,~ueeló planteada la posibilida?, .por lo me­nos teórica, de efectuar medICIones toda­vía más precisas sobre triángulos sufi­cientemente grandes, para comprobar lamayor generalidad elel sistem.a no-eucli­eleano. En todo caso, se adVierte clara­mente en esto la concepción ele la geome­tría que tenía Lobachevski, al caracteri-

Á es la paralelaa la. izquierda

LAS DOS PARALELAS DC LOBACWE:VSKI.Q. es la. paralela de Luclide.s

tancia va decreciendo hacia un lado demanera asintótica; o sea, que cada vezse aproximan más sin toca¡1~e jamás,como sucede con la imágen en perspecti­va de una larga avenida. En realidad, laparalela euclideana única viene a ser, sim~

plemente, el caso particular en que las dosparalelas no-euclideanas coinciden y seconfunden.

Por otra parte, Lobachevski pudo de­mostrar un gran número de teoremas geo­métricos, prescindiendo de la considera­ción del paralelismo. Además, demostróque la suma de los tres ángulos ele untriángulo rectilíneo nunca puede ser ma­yor que dos ángulos rectos y que, por Jotanto, puede ser -cuando más- iguala dos rectos o, también, menor que dosángulos rectos. Luego, introduciendo lasnociones de oriciclo -ci rcunferencia lí­mite a la cual tiende el círculo cuandosu radio se hace infinito- y de orisfera,Lobachevski consiguió demostrar que lageometría euclieleana está contenida en lapangeometría como un caso particular.En efecto, sobre la orisfera resulta 'válidala geometría euclídea y, al mismo tiempo,se cumple la trigonometría plana ordina­ria. A más de esto, Lobachev~ki compro­bó que la trigonometría esférica se man­tiene invariable, ya sea que se adopte lasuposición ele que la suma de los tresángulos de un triángulo rectilíneo es siem­pre igual a dos ángulos rectos -geome­tría euclieleana-, o bien, que se considerea esta suma siempre menor que dos án­gulos rectos .-geometría no-euclideana-.Dicho ele otro modo, existen triángulosrectilíneos cuyos ángulos suman dos rec­tos y triángulos curvilíneos cuyos ángulossuman menos de elos rectos; entonces sidamos a los laelos ele los primeros' elnombre ele rectas, trabajamos con la geo­metría euclieleana; mientras que, si de­nominamos rectas a los lados de los tri­ángulos curvilíneos, nos encontramos den­tro de la geometría no-euclideana dcT.obachevski.

Con los elementos anteriormente :lpun­lados, Lobachevski logró elesarrollar ri­gurosamente una teoria geométrica nuevay ele mayor generalidad, construída sobrela negación elel postulado euclídeo de lasparalelas y conservanelo los otros 4 pos­tulados y las 23 definiciones de Euclides.Así, puso dc manifiesto cómo la substi­tución ele una proposición geométricafundamental por su opuesta no conducea contradicciones, sino a una geometríacuya estructu ra lógica es tan correcta,cOllsrcuente y susceptible de formulación

A.x.------------.....:~:-,-.~=------------,.Q.

pales y de señalar las magnas consecuen­cias que han provocado.

Lobachevski nació el 19 de diciembrede 1792 en Jijni- ovgorod, ubicada enla confluencia del Oka y el Valga y cele­bérrima por su feria anual. Realizó susestudios medios y superiores en la ciudadde Kazán, actualmente capital de la Re­pública Soviética Tártara. En 1814, a po- o

ca de recibir su grado de maestro enciencias en la Universidad de Kazán, ob­tuvo por oposición el nombramiento deprofesor en la Facultad de Física y Ma­temáticas de la. misma, ligando así el restode su vida con la historia de esa Univer­sidad. En ella fué, además de catedráticoeminente, decano de la Facultad de Fí­sica y Matemáticas, presidente del Co­mité de Construcciones, director de laBiblioteca Científica, director del Obser­vatorio Astronómico y, finalmente, rec­tor por más de 20 años. Los profesoresde la Universidad de Kazán conocieronel desarrollo primordial de la nueva geo­metría, contenido en la Exposición com­pendiada de los principios de la geome­troía., con una demostración j'ig1wosa delteorenw de las paralelas, * cuando Loba­chevski la presentó en la memorable re­unión del 23 ele febrero ele 1826. Losúltimos diez años ele su vida los empleóLobachevski, liberado ya ele las tareasmagisteriales y administrativas, en pre­parar la reelacción final de sus obras geo­métricas completas, que aparecieron si­multáneamente en ruso v en francés, en1886. Su muerte ocurrió' en Kazán, el 24de febrero de 1856.

La pangeMnetda -nombre dado - porLobachevski a su teoría geométria no­euclideana- en lugar de empezar con elplano y la recta de la geometría ordina­ria, parte de la esfera y el círculo, cuyasdefiniciones son dinámicas. De este modo,rl plano resulta definido como "el lugargeométrico de las intersrcciones de lasparejas de esferas iguales descritas to­mando como centro, respectivamente. ados puntos fijos". A Sil vez. la Jíne<1recta es definida como "el lugar geomé­trico de las intersecciones de las parejasde círculos iguales, situados todos ellosen el mismo plano y trazados tomandocomo centro a dos puntos fijos, respec­tivamente, de dicho plano"'. Con base enrstas drfiniciones, Lobachevski pudo ex­plicar y demostrar toda la teoría de losplanos y las rectas. de manera muchomás simple y breve que la acostumbrada.

Ahora, tomando una línea recta y unpun.to ,en el mismo plano, LobachevskidefmlO como paralela a dicha recta porese punto. a la línea límite entre las rec­Ias que cortan a la línea dada y las queno la cortan -ele todo el haz de rectastrazado por el punto en cuestión- cuandose prolongan hacia un mismo lado de laperpendicular bajada desde el punto a larecta. Así, ~ cada lado de esta perpen­chcular se tiene una paralela a la rectaconsiderada. Por consiguiente, el teoremaele Euclides queela substituído por esteotro: Por un punto dado pasan dos rectasparalelas a otra recta dada. Como se ad­vierte, las paralelas lobachevskianas no secortan entre sí y están contenida en elmismo plano, tal como ocurre con las eu­clideanas. Pero, en cambio, las paralelasele Lob~chevski no se mantienen equidis­tantes Sl110 que, por el contrario, su dis-

* Publicada por la Universidad NacionalAutónoma de México, con el título de Pan­geometría, Suplemento NQ 10 del Seminariode Prohlem;¡~ Científicos y Filosóficos, 1956.

J

UNIVERSIDAD DE MEXICO27

ANGULOS y LADOS SONINTERDEPENDIENTfS

e - ~

A

EUCLIDES;la. suma de los tres

án~ulos de un tríán~/oes i~ual a dos redos

zarla como una ciencia racional y, a lavez, tan objetiva como las ciencias natu­rales, Y, por lo demás, ya en nuestro si­glo se vino a dilucidar -con la teoría dela relatividad- que el espacio físico ensus dimensiones astronómicas tiene pro­piedades distintas a las que mU'~stra di­rectamente en los objetos a nuestro al­cance y, entre ellas, se encuentran laspropiedades no-euclideanas. De este mo­do, tal como la mecánica newtoniana esel {'aso particular de la mecánica relati­vista a la escala de las dimensiones huma­nas, así también lo es la geometría euc1i­cleana respecto a la no-euclideana él lamisma escala.

Como es sabido, a través de la conside­ración de la geometría euc1ideana comoun esquema inmutable, subjeti\'o e ideal,fué como Kant postuló al espacio euclí­deo como una representación necesaria aj'1'iori, que sirviera como condición de po­sibilidad de los fenómenos y fuese su fun­damento ineludible. Frente él esta concep­ción kantiana, arbitraria e irracional, losresultados de Lobachevski y sus continua­dores enseñaron de un modo irrefutableque la geometría euclideana no es la úni­ca representación del espacio, sino que,por lo contrario, son posibles muchas geo­me[ rías diferentes. Además, el estableci­miento de la geometría no-euclideana vi­no a mostrar que los distintos sistemasgeométricos reflejan, de cierta manera,propiedades definidas del espacio real yde las configuraciones espaciales entrelos objetos; y, por eso mismo,. que la con­cepción humana del espacio es la que de­pende de las cualidades existentes <:>n losobjetos, y no al revés como Jo pretendíaKant. Por otra parte, la pangeometríapuso también de manifiesto que la validezde los teoremas geométricos es relativa,que varían con el avance de los descu­brimientos científicos y que expresan a/Josteriori los conocimientos conquistadospor el hombre. Con esta demolición de ]a

. filosofía kantiana. la inteligencia geomé­trica, decididamente liberada de la supers­ti~ión del a' priori, pudo recuperar la li­bertad y la fecundidad de su propio di­namismo y, luego, estas característicasse propagaron al resto de las matemáti­cas, a las otras disciplinas científicas ya la filosofía. Esta renovación radicaldel espíritu científico ha hecho surgirserios problemas en el seno de la filoso­fía, pero, al mismo tiempo, la ha enri­quecido grandemente y ha multiplicadosus frutos.

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LOBAC l-I EV5K 1:la. suma de los tres

ángulos de un trián~uJoes menDf qve dos rec ~os

La obra eh.: Lobachevski, como todoslos descubrimientos científicos, fué elresultado de muchos esfuerzos tenacesy tuvo antecesores, coetáneos y conti­nuadores muy notables. El más inme­diato de sus predecesores. el italianoGerónimo Saccheri, fracasó en lo que fuéel máximo intento de demostrar que elsistema <:uclideano era el único posible.Pero, su brillante fracaso llevó a la geo­metría clásica a un ca1Jej ón sin salidaque solamente podía ser superado conla negación de aquella. Asi lo advirtiócon nitidez Lobachevski, cuando escri­bió: " .. , lo infructuoso de las tentati­vas hechas por espacio de dos milenios,desde la época de Euclides, despertó enmí la sospecha de que en los mismos da­tos no estuviese contenida la verdad quese había querido demostrar, y que parasu confirmación pudieran servir, comoen el caso de otras leyes naturales, lasexperiencias, a ejemplo de las observa­'ciones astronómicas." La madurez enque se encontraban las investigacionesmatemáticas en esa época para llegar aestablecer la nueva geometría, lo revcIael hecho de que en 1829 -apenas tresaños después de la Memoria de Loba­chevski- el húngaro János Bolyai ha­ya terminado su opúsculo en el cual die­ra a conocer su construcción indepen­diente de una geometría no-eucIideanacuyas características son extraordinaria­mente semejantes a las de la teoria delmatemático ruso. Es más, cuando el ilus­tre investigador alemán Carl Gauss su­po del trabajo de Bolyai, comunicó alpadre de éste que " ... todo el contenidode la obra, el camino trazado por tu hi­jo, los resultados a que llegó. coincidencasi enteramente con mis meditaciones,que han ocupado en parte mi mente detreinta a treinta y cinco años a esta par­te ... así, es para mí una agradable sor­presa. .. (y estoy sumamente contentode que sea precisamente el hijo de miviejo amigo quien me haya precedidode un modo tan notable". Más tarde. ensu Disertación de 1854 -Veber' dieHypothesen welche del' Geometrie ZIt

Grunde liegen- el también matemáticoalemán Bernhard Riemann generalizóla geometría no-euc1ideana y estableciósu interpretación concreta sobre una su­perficie de curvatura constante, que pue­de ser positiva o negativa; en esta in­terpretación, la geometría euclídea re­presenta el caso particular en que esacurvatura es nula. Después, desarrolladaen otro sentido, la geometría no-eucli­deana suscitó la idea de recusar, uno

tras otro, cada uno de los prinCIpIOS dela geometría clásica, a fin de iluminarl~ estructura lógica del sistema y deci­d.n· sobre la dependencia o independen­cIa de sus postulados. De aquí surgió laaxiomática, elaborada principalmente porDavid Hilbert en 1899 -Grundlagendel' GeolJ1elrie-, que ha permitido acla­rar y hacer más rigurosa la estructura'istemática de la ciencia; independien­temente de sus vanos y extraños inten­tos de substituir a la ciencia mi ·ma. To­davía en otro sentido, la geometría no­<:ucIideana dio lugar a la elaboración de­cidida de las filosofías logísticas de lasmatemáticas, que han traído consigo lahechura de amplias alteraciones en lalógica formal tradicional. EII fin, comogeometría riemanniana, la teoría no-eu­cIideana del espacio tuvo un papel suma­mente importante en la formulación dela teoría de la relatividad y, sin eluda.comparte la veri ficación experimentallograda ulteriormente para la física deEinstein, .

Las ideas matemáticas de Lobach<:v­ski no se pueden comprenei<:r correcta­mente si se elude su concepción delmun­do. Esta concepción se basa en su pro­funda convicción de que las teorías cien­tíficas constituyen un reflejo del cono­cimiento del mundo objetivo. Dentro dela geometría, su posición principal con­siste en reconocer una relación orgánical11Sel~arable entre el espacio y las otraspropiedades de la materia. El espacio noes siquiera comprensible sin la materia,aunque sea posible investigar su formaconsiderándola relativamente aislada desus otras características. El cuerpo geo­métrico es el cuerpo físico del cual seabstraen, por medio de la razón, todassus propiedades menos un grupo de ellas:las cualidades espaciales. Todos los cuer­pos geométricos forman en su conjuntoun cuerpo geométrico único, al cual de­nominamos espacio. "Al unirse dos cuer­pos -decía textualmente Lobachevski­se forma con ellos un cuerpo; por consi­guiente, podemos imaginar que todos loscuerpos juntos forman uno solo: el es­pacio." Entonces, de la misma manerac?mo el cuerpo geométrico no existe porSI solo en la naturaleza, aparte o sincuerpo físico, tampoco existe el espaciopor sí solo, separado, aparte o sin cuer­pos físicos. Por es[o, las propiedadesgeométricas de los objetos existentes de­penden de sus propiedades físicas; y en­tre las leyes que si n'en de fundamentoa la geometría se encuentran, desde lue­go, las leyes que estudian la física. Deaquí que, como otro lw[abi<: descubri­miento anticipado de lo que iba a serpuesto completamente en claro por la fí­sica de nuestro siglo. Lobachevski hayaestablecido una dependencia mutua entrelas magnitudes angulares y las linealesde los cuerpos. Por otro lado, como ya10 di ji mas an tes, en la geometría de Lo­bachevski se encuentra implicada la cur­vatura cunstante y Il<:gativa del espacio,Pues bien, las investigaciones contem­poráneas permiten considerar que el es­pacio físico tiene efectivamente una cur­vatura constante que no es nula, perono hacen posible todavía que se puedadecidir si dicha cun'atura es negativa opositiva, Cuando se logre hacer esta de­cisión, si la curvatura es positiva, el uni­verso resultará ser cerrado y finito, con­forme a la geometría de Riemann; mien­tras que, si dicha curvatura es negativa,el universo será abierto e infinito, de

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Secretos de llJujeres, "tcndencia. i'lnprcsiol1ista"

tal' pues la novela terminé[ en el prin­cipio y las páginas interiores son las evo­luciones que un buen mozo l'Ogra hacersaltando de un trapecio al aire. Sobreesta nadería y sobre las morbideces dela Lollobrigida ej ercita Reed su cono­cimiento y sabiduría cinematográficos,pero ni el mejor cocinero logra un buenplato con sólo un trozo de carne podrida.Reee! quiso probar que dentro elel comer­cialis1110 que invade al cine pueden ha­cerse buenos films si se conoce el' oficio.El fracaso de su intento no demuestranada, pero quizá la experiencia le enseñeque es mejor regresar al camino de ElParia de las Islas que intentar hacerun lluevo paria de! trapecio.

Cómicos, de Barden, el director deLa muerte de un ciclista, sin tener ladeleznable calidad de Trapecio tiene va­rios puntos ele contado pues como enésta, la historia falla por su base y el

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vacio tuvo que llenarse con la técnica.U na técnica curiosa pues a través de no­venta minutos de proyección, el directorestá lanzando a las narices del espec­tador las más complicadas formas de na­rración que ha concebido el cine en se­senta años de historia. Barden utilizadesde el ralenti más primitivo hasta lamás inecesaria sobreimpresión y la cá­mara juega desde el principio hasta elfin el papel de bomba inyectora de plas­ticidad en un ambiente anémico y pobre.Este ejercicio mecánico y pendante deun director que parece estar convencidode que ha redescubierto eL cine, podríatener justificación si la imagen bastarapara narrar; es decir, si la técnica fuerasu ficiente para crear un mundo. Peroésta se convierte en un sobreañadido alos diálogos incesantes de los persona­jes, que necesitan, además, ser subraya­dos y fortalecidos con la intervenciónde un narrador. Cómicos en un ejerciciode técnica, pero de técnica inútil; unagigantesca catedral barroca tan llena dehierba que los visitantes no' pueden apre­ciar uno solo de sus detalles.

Barden parece haber eliminado unabuena parte de estos errores en La m'Ue1'­te de un ciclista, obra sin lugar a dudamucho más lograda que la "que ocupahoy estos comentarios. Sin embargoaquella peca también de un afán de no­vedad que entorpece la visión generaldel asunto. Pero el avance, el afinamien­to que allí se nota, obliga a esperar mu­cho del nuevo director español, cuya prin­cipal falla es el haber abusado de un des­cubrimiento o redescubrimiento para serexacto, de la técnica de encuadre. La re­volución que inicia Barden dentro delcine comercial europeo vale por sí sola,pero es menester que ésta pierda su cali­dad de revolucionaria, dej e de ser unabofetada en el aire)' cumpla una funciónrealmente cinematográfica. En otras pala­bras: deje de ser un modo, una manera,para convertirse en una necesidad.

Akiro Kurosawa asombró a los ci­neastas de occidente mostrándoles que elcine oriental había sobrepasado, pese asu relativa juventud, a una industriamás preocupada por el tamaño de laspantallas y la dirección del sonido quepor la calidad de sus productos. RashoJi;[oon, la primera de sus películas ganópremio en todos' los festivales cinemato­gráficos europeos y los ojos aburridos delos cinéfilos, se volvieron esperanzadoshacia el Japón. Después de tres años,el nombre de Akiro Kurosawa regresacon una película Clue, lejos de ser infe­rior a Rasho M oon, la supera en muchosaspectos: Los siete samumis. La historiano puede ser más sencilla: una luchaentre ladrones y guerreros profesionales.La batalla dura sesenta minutos, un ver­dadero tour de force, una prueba defuego para el director. Pero el escolloparece haberle importado bien poco aljaponés para quien el cine no tiene sólouna intención plástica o literaria. sinose ,constituyen un mundo sobre el cualse va levantando una posibilidad por piede filmación. La técnica (ésta sí real­mente revolucionaria) ha sido puesta alservicio del tema; hace parte de él puesse limita a seguir las incidencias y amostrarlas dentro de su peculiar maneraele presentación. No ocurre aquí. comoen las dos películas anteriormente comen­tadas, un divorcio entre la técnica y laexpresión, pues esta es en sí expresivay se justifi,ca por si misma. En rigor nopuede hablarse de técnicas si se comprende

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formulación constituyó un salto cualita­ti va de enorme importancia, con el cualculminó un prolongado período evolu­ti\'o y se inauguró una nueva época deprogresos grandiosos en la ciencia. Elsentido más hondo e intrinseco de lageometría de Lobachevski es el de habercambiado la consideración de la teoriadel conocimiento científico, a la vez queha destruído los fundamentos mismos dela filosofía idealista construída con ma­yor rigor crítico. Y, todo esto, para abrirun call1inonuevo y mejor para la cien­cia v la filosofía. Además de rescatar alas ;natemáticas de las "manos muertas"ele ]a tradición y del kantismo, la geo­metría no-euc1ideana coadyuvó eficaz­mente a producir la revolución científi­ca y filosófica dentro de la cual vivimosaún. Para encontrar otra revolución delpensamiento que se pueda comparar enimportancia a la actual, es nt'cesario re­montarnos hasta Copérnico; y, aún así,habríamos de guardar las proporcionesde esta comparación. Y, C01110 punto fi­nal. tenemos que señalar cómo el de­rrumbe de la doctrina (le las verdadesmatemáticas absolutas y eternas -de in­eludable y vetusta filiación platónica-,que fue iniciado e incitado por la obrade Lobachevski, representa el principiode la humanizacÍón de las matemáticas.

eLPor Antonio MONTAÑA

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acuerdo COIl la geometría de Lobachev­ski.

No obstante que con la geometría no­euc1ideana vinieron a culminar muchossiglos de preparación lenta y continua,cuando se formuló fueron muy pocoslos matemáticos que le prestaron aten­ción en un principio. Al parecer, hubodesconfianza e incredulidad acerca deella sin faltar quienes pensaran que noera' "verdadera" o que jamás llegaría atener algún valor científico. Esta situa­ción se mantuvo hasta 1868, cuando elitaliano Eugenio Beltrami disipó las du­das sobre el carácter estrictamente ma­temático de la geometría no-euc1ideana.Por lo demás, no debemos extrañarnosmucho de tal acogida, ya que la histor~ade la ciencia nos enseña que todo cambIOradical no derrumba de un golpe, ni me­nos con rapidez, las conviccioncs y laspreocupaciones sobre las cua~es se hanedificado las doctrinas <lntenores, san­cionadas por ]a tradición e interpreta­das por el "sentido común'" petrificado.Más aún, no hay que olvidar que el cles­l'ubrimiento de la pangeometría 110 hu­biese sido posible sin separar la teoríageométrica del espacio concebido meta­físicamente. Por lo tanto, la geometríano-euc1ideana surgió con esa condicióny como superación de esa condición. Su

EN l\!I L:Y COJ\iTADAS ocasiones al ;¡fi·cionado al cine se le había presen­tado la posibilidad de ver y compa­

rar cuatro modalidades de la técnicacinematográfica, encerradas en igual nú­mero de películas de tendencia similar.La exhibición de Cómicos, Trapecio, Lossiete samurais y El globo rojo, cintasrealizadas por directores del que puedellamarse dentro de] cine comercial génerogrande, dio oportunidad al cinéf~lo deestablecer un paralelo entre dos modosde enfrentarse, con medios iguales, alproblema de narrar con imágenes unahistoria. Estas dos formas pudieran de­finirse de una plumada. Pero tal vezsea más conveniente intentar el plantea­miento de situaciones y extraer de allíuna síntesis apropiada.

Cómicos, de Barden y Trapecio deCarol Reed pertenecen ;¡] grupo de latécnica pura que en esta ocasión se con­vierte en una especie de lujoso abrigode pieles que cubre los defectos de untema débil y ejerce el oficio de morfinasobre el espt'ctador c¡ue, c!eshlmbraelo porla cohetería se olvida de que el cincno sólo está constituido de forma. Bar­den y Heed son vi rtuosos y su a fan eJeperfección técnica los conduce a pre­ferir el sonido ele] instrumento, a la ca­lidad de la música ejecutada. Trapeciotiene el encanto de un zapateado ele Sa­razate ejecutado por Heifetz, pero DO

pertenece al tipo ele películas que, comoEl tercer hombre bastan para inc1'ui run nombre en la historia elel cine. Latécnica ha sido puesta al servicio de untema inútil, de una historia digna de fi­gurar en los magazine" que inundande lágrimas los ojos de las muchachitascucis. En realidad, nada había que COI1-