OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN … · be determined by making the maximum value...

i

OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN

PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP DENGAN

MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

ALJABAR MAX-PLUS

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

LUCIA WINDA CESARI

NIM : 121414131

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKANMATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2016

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

SKRIPSI




ALJABAR MAX-PLUS


iii

SKRIPSI




ALJABAR MAX-PLUS


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Ia membuat segala sesuatu indah pada waktunya, bahkan Ia

memberikan kekekalan dalam hati mereka...”

(Pengkhotbah, 3 : 11)

Karya ini kupersembahkan untuk :

Tuhan Yesus yang senantiasa membimbing dan menyertaiku.

Bapakku Valentinus Susanto dan Ibuku Veronika Jumiyem.

Kakak pertamaku, Felix Santi Wedanti.

Kakak keduaku, drh. Bibiana Krisanti dan suami.

Keponakanku Cyrilla Diandra Kinarian Putri Nugraha.

My Best Partner Ever David Hantoro.

Rohkat-kris SMA N 1 Yogyakarta : Silvi, Winda, Ndari, Kiky, dan

semua rohkat-kris yang selalu memberi dukungan dan semangat.

Kawan, saudara, serta sahabat seperjuangan di Pendidikan

Matematika Edith, Riris, Grace, Dennis, Dedy, Anton.

Almamaterku, Universitas Sanata Dharma.


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.


vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Lucia Winda Cesari

Nomor Mahasiswa : 121414131

Demi perkembangan ilmu pengetahuan saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:




ALJABAR MAX-PLUS

Dengan demikian, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata

Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,

mengolahnya dalam pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan

mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis

tanpa perlu meminta izin kepada saya atau memberikan royalti pada saya selama

masih tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Yogyakarta, 31 Agustus 2016

Yang menyatakan


vii

ABSTRAK

Lucia Winda Cesari, 2016. Optimasi Waktu Produksi dan Analisis

Keperiodikan pada Graf Sistem Produksi Ber-Loop dengan Menggunakan

Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-plus. Skripsi. Program Studi

Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas

Sanata Dharma.

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji persamaan pada graf sistem

produksi ber-loop serta analisis keperiodikannya dengan menggunakan sistem

persamaan linear aljabar max-plus. Penelitian diawali dengan membuat graf

sistem produksi modifikasi sesuai dengan banyaknya loop yang ada pada graf

produksi. Selanjutnya disusun aturan sinkronisasi yang sesuai dengan graf

modifikasi serta pemodelan sistem persamaan linear sesuai dengan aturan

sinkronisasi yang ada. Langkah berikutnya adalah membahas penjadwalan

periodik dari barisan keadaan sistem dan output berdasarkan pada sistem

persamaan linear aljabar max-plus.

Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa graf sistem produksi ber-loop

dapat disajikan dalam suatu graf modifikasi dengan penambahan unit pemrosesan

sesuai banyaknya loop. Dari perhitungan barisan keadaan sistem dan output pada

graf sistem produksi ber-loop, barisan input paling lambat dapat ditentukan

dengan menjadikan nilai maksimum waktu pemrosesan pada unit-unit pemrosesan

yang memulai pemrosesan secara langsung tanpa menunggu unit pemrosesan lain

sebagai input pertama. Barisan input selanjutnya ditentukan secara periodik

dengan periode sebesar yang merupakan nilai eigen maksimum matriks A. Hal

ini membuat barisan keadaan sistem dan output yang terbentuk menjadi periodik.

Kata Kunci : Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-plus, Loop, Sistem Produksi,

Optimasi, Periodik


viii

ABSTRACT

Lucia Winda Cesari, 2016. Optimization of Production Time and Periodicity

Analysis in a Production System Graph with Loop Using Linear Equation

System in Max-Plus Algebra. Thesis. Mathematic Education Study

Program, Mathematic and Science Education Department, Faculty of

Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

This research aims to study about the equation of production system

graph with loop and periodicity analysis using linear equations system in max-

plus algebra. This research is started by making modification production system

graphs based on the number of loops that exist in the production graph. Then,

arranging the synchronization rules based on graph modification and making the

mathematic model of linear equations system based on the existing

synchronization. The next step is discussing the periodic schedule of the state and

output of the system based on a linear equations system in max-plus algebra.

The results of this research indicate that graph with loop in production

system can be presented in a modification graph by the addition of the processing

unit according to the number of the loops. From the calculation of the state and

outputs on a production system graph with loop, the slowest input sequence can

be determined by making the maximum value of processing time on the

processing units as the first input. The maximum value of processing time on the

processing units are based on the process that start immediately without waiting

for another processing unit. The following input rows are determined periodically

with a period of λ which is the maximum eigen value of A. This makes the state

and output of the system rows formed to be periodic.

Keywords: Linear Equations System in Max-plus Algebra, Loop, Production

Systems, Optimization, Periodic


ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena

atas berkat dan rahmatNya penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul

“Optimasi Waktu Produksi dan Analisis Keperiodikan pada Graf Sistem Produksi

Ber-Loop dengan Menggunakan Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus”

dengan baik. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat memperoleh gelar

sarjana pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan

Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan

Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.

Berbagai hambatan dan rintangan telah penulis hadapi selama penulisan

skripsi ini, namun berkat bantuan doa, dukungan, serta motivasi dari semua pihak,

penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis ingin

mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Rohandi, Ph.D selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan.

2. Dr. Hongki Julie, M.Si selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika.

3. Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd selaku dosen pembimbing skripsi yang telah

berkenan meluangkan waktu, tenaga, serta pikiran untuk membimbing

penulis dengan penuh kesabaran selama penulisan skripsi.

4. Prof. Dr. St. Suwarsono selaku dosen pembimbing akademik yang telah

membantu dan membimbing penulis terutama berkaitan dengan hal akademis

selama penulis menempuh kuliah di Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma.


x

5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah

membimbing dan mendidik penulis selama menuntut ilmu di Program Studi

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.

6. Ibu Wasilah selaku pemilik pabrik kue yang telah memberikan izin dan

kesempatan kepada penulis untuk melakukan observasi.

7. Kedua orang tuaku, Bapak Valentinus Susanto dan Veronika Jumiyem yang

senantiasa memberikan kasih sayang yang tak ternilai serta dukungan baik

moral maupun finansial.

8. Kakak-kakakku, Felix Santi Wedanti, drh. Bibiana Krisanti beserta suami,

Bonaventura Jiwantara Adhi N serta keponakanku Cyrilla Diandra Kinarian

Putri Nugraha yang selalu memberikan dorongan, motivasi dan penghiburan

kepada penulis.

9. Mas David Hantoro yang senantiasa memberikan perhatian, dukungan,

kesabaran, serta motivasi yang begitu besar sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini.

10. Kakak-kakak serta sahabat-sahabatku di Rohkat-kris SMA N 1 Yogyakarta,

Silvia Rina Primasari, Rosaliani Windawati, Monica Kuswandari HP, Rizky

Cynthia Putri, serta rohkaters semua yang telah memberikan semangat yang

luar biasa besar kepada penulis.

11. Sahabat-sahabatku Edith Avendita Asa, Grace Nindita, Riris Ayu, Dennis

Meilky La’lang, Dedy Lucky, Antonius Doni yang telah memberikan

dukungan, motivasi, serta menemani dalam suka duka selama menempuh

kuliah di Program Studi Pendidikan Matematika.


xi

12. Teman – teman seperjuangan di Program Studi Pendidikan Matematika 2012,

khususnya kelas C yang telah berbagi pengalaman selama penulis kuliah di

Universitas Sanata Dharma.

13. Rekan-rekan di UKM Pengabdian Masyarakat khususnya pengurus UKM

Pengabdian Masyarakat periode 2013-2014 yang telah berbagi pengalaman

yang tak ternilai melalui dinamika kepanitiaan serta pelaksanaan program-

program UKM selama penulis kuliah di Universitas Sanata Dharma.

14. Semua pihak yang telah membantu penulis menyelesaikan tugas akhir ini

baik secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis

sebutkan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan

skripsi ini. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang

membangun demi kesempurnaan tulisan ini. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat

dan memberikan wawasan bagi setiap pembaca.

Yogyakarta, 31 Agustus 2016

Penulis


xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN ................................................................................ ii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .. vi

ABSTRAK ............................................................................................................ vii

ABSTRACT ......................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiv

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xv

DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xvi

DAFTAR SIMBOL ............................................................................................. xvii

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................. 1

B. Kajian Pustaka .............................................................................................. 4

C. Rumusan Masalah ........................................................................................ 5

D. Pembatasan Masalah .................................................................................... 5

E. Batasan Istilah .............................................................................................. 6

F. Tujuan Penelitian ......................................................................................... 7

G. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 7

H. Metode Penelitian......................................................................................... 8

I. Sistematika Penulisan .................................................................................. 9


xiii

BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................... 12

A. Optimasi ..................................................................................................... 12

B. Definisi dan Sifat-sifat Aljabar Max-plus .................................................. 12

C. Matriks dan Vektor dalam Aljabar Max-plus............................................. 16

D. Teori Graf dalam Aljabar Max-plus ........................................................... 26

E. Sistem Persamaan Linear dalam Aljabar Max-plus ................................... 27

F. Penerapan Aljabar Max-plus dalam Sistem Linear Max-plus Waktu

Invarian dan Sistem Produksi Sederhana .......................................................... 37

BAB III PEMODELAN WAKTU PRODUKSI DENGAN MENGGUNAKAN

SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS PADA GRAF

SISTEM PRODUKSI BER-LOOP ....................................................................... 57

A. Loop Tunggal ............................................................................................. 58

B. Loop Berganda (Multi Loop) ...................................................................... 66

C. Loop Berganda dengan Banyak Titik (Multi Loop Multi Vertex) .............. 76

D. Analisis Model ......................................................................................... 113

BAB IV ANALISIS WAKTU OPTIMUM DAN PENJADWALAN PRODUKSI

SECARA PERIODIK ......................................................................................... 119

A. Analisis Barisan Keadaan Sistem dan Output .......................................... 119

B. Penjadwalan Produksi Secara Periodik .................................................... 129

C. Keterbatasan Penelitian ............................................................................ 131

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .............................................................. 132

A. KESIMPULAN ........................................................................................ 132

B. SARAN .................................................................................................... 133

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 135

LAMPIRAN ........................................................................................................ 136


xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Waktu Transfer Graf Sistem Produksi Loop Tunggal........................ 60

Tabel 3.2 Waktu Pemrosesan Graf Sistem Produksi Loop Tunggal.................. 60

Tabel 3.3 Waktu Transfer Graf Sistem Produksi Loop Berganda...................... 68

Tabel 3.4 Waktu Pemrosesan Graf Sistem Produksi Loop Berganda................ 68

Tabel 3.5 Waktu Transfer Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex........ 81

Tabel 3.6 Waktu Pemrosesan Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex.. 81

Tabel 3.7 Matriks A Graf Multi Loop Multi Vertex Kolom 1-13....................... 110

Tabel 3.8 Matriks A Graf Multi Loop Multi Vertex Kolom 14-27..................... 111

Tabel 3.9 Matriks B Graf Multi Loop Multi Vertex............................................ 112

Tabel 3.10 Matriks C Graf Multi Loop Multi Vertex............................................ 112

Tabel 4.1 Barisan Keadaan Sistem dan Output Graf Sistem Produksi Loop

Tunggal...............................................................................................

120

Tabel 4.2 Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Graf Sistem Produksi

Loop Tunggal dengan Input Paling Lambat ......................................

121


Multi Loop dengan Input Paling Lambat ..........................................

121


Multi Loop Multi Vertex dengan Input Paling Lambat.......................

122

Tabel 4.5 Jadwal Produksi Kue Secara Periodik ............................................... 129


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Contoh Sistem Produksi Sederhana................................................. 38

Gambar 2.2 List Program MATLAB Input-Output SLMI.................................... 48

Gambar 2.3 List Program MATLAB Optimasi Input-Output SLMI..................... 50

Gambar 2.4 List Program MATLAB Nilai Eigen Maksimum.............................. 54

Gambar 3.1 Graf Sistem Produksi Loop Tunggal................................................ 58

Gambar 3.2 Graf Sistem Produksi Modifikasi Loop Tunggal ............................ 59

Gambar 3.3 Graf Sistem Produksi Loop Berganda ............................................. 66

Gambar 3.4 Graf Sistem Produksi Modifikasi Loop Berganda .......................... 67

Gambar 3.5 Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex............................... 76

Gambar 3.6 Graf Sistem Produksi Modifikasi Multi Loop Multi Vertex............. 78

Gambar 3.7 Graf Sistem Produksi dengan n Loop............................................... 117

Gambar 3.8 Graf Sistem Produksi Modifikasi dengan n Loop pada Loop

Pertama ............................................................................................

117


xvi

DAFTAR LAMPIRAN

1. Hasil Perhitungan MATLAB untuk Contoh 1............................................... L.1



4. Foto Penelitian ............................................................................................ L.4


xvii

DAFTAR SIMBOL

: himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua operasi biner

dan

: himpunan semua bilangan real

:

:

: operasi max

: operasi plus

:

: { [ ]|

: [ |

: relasi “lebih kecil atau sama dengan” dalam aljabar max-plus

: nilai eigen maksimum

: tanda akhir pembuktian


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep

atau prinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah dengan menggunakan

simbol atau huruf tertentu. Salah satu ruang lingkup dalam aljabar yang

dinilai baru adalah aljabar max-plus. Aljabar max-plus muncul sekitar tahun

1950 dan berkembang dengan pesat pada tahun 90’an.

Aljabar max-plus merupakan suatu struktur aljabar yang semesta

pembicaraannya merupakan gabungan dari himpunan bilangan real dan

negatif tak terhingga . Aljabar max-plus dilengkapi dengan

operasi maksimum yang dinotasikan dengan , dan operasi penjumlahan

dinotasikan dengan . dapat dinotasikan sebagai , dengan

merupakan Elemen merupakan elemen netral pada operasi dan 0

merupakan elemen identitas pada operasi . Selanjutnya,

dinotasikan dengan

Aljabar max-plus ( merupakan semiring komutatif yang

sekaligus idempoten sebab untuk setiap berlaku

dan (Subiono, 2013).

Selain itu, aljabar max-plus juga merupakan semifield sebab untuk setiap

memiliki invers yaitu – , sehingga berlaku


2

Dalam penerapannya, aljabar max-plus dapat membantu memodelkan

ataupun menyelesaikan suatu permasalahan dalam jaringan (teori graf) yang

berkaitan dengan masalah sinkronisasi. Aplikasi aljabar max-plus dapat

dijumpai dalam penjadwalan penerbangan pesawat di bandara, penjadwalan

keberangkatan kereta api, menentukan jalur tercepat, model sistem antrian,

maupun dalam sistem produksi sederhana.

Secara khusus dalam penelitian ini, penulis menggunakan sistem

persamaan linear dalam aljabar max-plus untuk menghitung waktu optimum

dalam sistem produksi sederhana. Dalam masalah pemodelan dan optimasi

suatu sistem produksi, terdapat waktu aktivitas yang belum diketahui. Hal ini

misalkan karena sistem produksi masih pada tahap perancangan, data-data

mengenai waktu aktivitas belum diketahui secara pasti maupun distribusinya.

Waktu aktivitas ini dapat diperkirakan berdasarkan pengalaman, pendapat

para ahli maupun operator sistem produksi tersebut. Untuk itu waktu aktivitas

sistem produksi dimodelkan dalam suatu waktu, yang disebut waktu aktivitas

(Rudhito, 2003).

Aljabar max-plus dapat digunakan untuk menggambarkan secara

linear dinamika waktu dari suatu sistem non-linear dalam aljabar

konvensional, sehingga pembahasan menjadi lebih mudah (Kasie G. Farlow,

2009:11). Pendekatan aljabar max-plus berguna untuk menentukan dan

menganalisis berbagai sifat sistem, tetapi pendekatan hanya dapat diterapkan

pada sebagian sistem kejadian diskrit (SKD). Sistem kejadian diskrit selalu

dipengaruhi oleh waktu. Setiap waktu bertambah pasti keadaan sistem akan


3

berubah pula. Tujuan dari sistem kejadian diskrit (SKD) dapat dijabarkan

menggunakan model Sistem Linear Max-plus Invarian sebagai berikut.

Optimasi waktu dalam sistem produksi sederhana akan memberikan

dampak positif bagi produsen dan konsumen. Produsen memiliki pedoman

waktu yang optimal untuk memproduksi barang sehingga proses produksi

barang akan menjadi lebih efektif. Di sisi lain, konsumen akan diuntungkan

dengan mengetahui waktu pengambilan barang jadi, sehingga tidak perlu

direpotkan dengan keterlambatan.

Pada penelitian ini akan dihitung waktu optimum produksi dari suatu

graf sistem produksi ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear

aljabar max-plus waktu invarian, serta dibuat penjadwalan aktivitas produksi

secara periodik. Pemilihan graf sistem produksi ber-loop terinspirasi dari

pengamatan yang dilakukan penulis ke sebuah pabrik pembuatan kue. Proses

pembuatan kue yang dialami membutuhkan beberapa kali pemrosesan untuk

beberapa mesin dalam satu kali produksi. Dengan kata lain dalam satu

periode produksi, satu mesin dapat bekerja lebih dari satu pemrosesan. Hal ini

berkaitan dengan kapasitas mesin dalam mengolah bahan. Proses produksi

yang mengharuskan beberapa mesin bekerja lebih dari satu kali untuk setiap

satu kali produksi membuat graf yang terbentuk memiliki beberapa loop pada

beberapa mesin. Selain itu, berdasarkan hasil observasi yang dilakukan masih

ditemui beberapa masalah terkait penjadwalan produksi. Proses produksi


4

belum terjadwal secara periodik sehingga waktu produksi menjadi kurang

efektif. Permasalahan nyata dalam produksi kue yang ditemui ini membuat

penulis tertarik untuk membuat penjadwalan yang relevan dengan kondisi

produksi.

B. Kajian Pustaka

Dalam penelitian ini penulis memaparkan dua penelitian terdahulu

yang relevan dengan optimasi waktu produksi pada graf ber-loop dan

penjadwalan produksi secara periodik dalam aljabar max-plus.

Mustofa Arifin (2012) memaparkan tentang optimasi waktu produksi

Bakpia Pathok Jaya “25” dengan menggunakan sistem persamaan linear max-

plus waktu invarian dan penjadwalan produksinya. Proses produksi dengan

15 unit pemrosesan disajikans dalam suatu graf produksi tanpa loop.

Perhitungan dilakukan dengan bantuan aplikasi MATLAB program

maxio untuk menentukan barisan output dari sistem produksi dan maxioopt

untuk menentukan waktu minimum dan maksimum memulai produksi.

Barisan output yang merupakan hasil dari program maxio digunakan sebagai

acuan pembuatan jadwal produksi, sedangkan hasil dari program maxioopt

sebagai acuan penentuan batas mulai produksi dan pengambilan barang jadi.

Produsen dapat menentukan waktu mulai produksi dengan memilih diantara

atau sehingga waktu penyelesaian produk atau mendekati waktu

pengambilan pemesanan yang telah ditentukan oleh konsumen. Produsen

dapat memilih atau (subpenyelesaian terbesar SLMI pada sistem produksi

ini) agar dapat mengoptimalkan waktu produksi Bakpia Pathok Jaya “25”


5

sehingga hasil produksi dapat memenuhi permintaan konsumen dan pesanan

bakpia juga dapat dilayani tepat waktu.

Subiono dan Nur Sofianah (2009) memaparkan tentang penjadwalan

suatu produksi secara periodik dengan menggunakan aljabar max-plus. Nilai

eigen matriks A dari persamaan awal dijadikan sebagai acuan untuk membuat

persamaan baru yang membuat jadwal produksi menjadi periodik. Pada jurnal

tersebut persamaan baru dibuat berdasarkan informasi waktu produksi pada

dua mesin.

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas, maka penulis dapat merumuskan masalah

dalam penelitian ini sebagai berikut.

1. Bagaimana sifat-sifat model matematika waktu produksi pada graf sistem

produksi ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar

max-plus?

2. Bagaimana menentukan waktu input paling lambat dengan menggunakan

aljabar max-plus pada graf sistem produksi ber-loop yang menyebabkan

keadaan sistem menjadi periodik?

D. Pembatasan Masalah

Pembatasan masalah dalam skripsi ini dilakukan pada graf sistem

produksi ber-loop satu input satu output dengan asumsi kapasitas buffer

(penyangga) input maupun internal cukup besar untuk menjamin tidak ada

penyangga yang overflow (meluap). Waktu untuk mempersiapkan bahan-


6

bahan dalam penelitian ini tidak diperhatikan atau dianggap nol, serta waktu

produksi dibatasi sampai barang jadi siap untuk dipasarkan.

E. Batasan Istilah

Berdasarkan latar belakang, untuk menghindari kesalahpahaman

dalam memahami hasil penelitian ini, maka diperlukan batasan istilah sebagai

berikut.

1. Waktu Pemrosesan adalah waktu yang diperlukan unit pemrosesan untuk

menyelesaikan pekerjaan (pemrosesan) dalam satu periode produksi.

2. Waktu Produksi adalah waktu yang diperlukan oleh sistem produksi

untuk menyelesaikan pekerjaannya dari mulai bahan baku dimasukkan ke

sistem hingga menjadi suatu produk dan keluar dari sistem dalam satu

periode produksi.

3. Waktu Transfer adalah waktu perpindahan bahan dari suatu unit

pemrosesan ke unit pemrosesan yang lain.

4. Waktu Input adalah waktu yang diperlukan saat bahan mentah memasuki

unit pemrosesan yang pertama.

5. Graf adalah pasangan dengan adalah himpunan berhingga tak

kosong yang beranggotakan titik (vertices) dan adalah himpunan

pasangan (tak terurut) titik-titik. Anggota disebut rusuk (edges).

6. Loop adalah rusuk pada graf yang hanya memiliki satu titik ujung.

7. Periodik adalah suatu kejadian yang memiliki selang waktu tetap.


7

F. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian yang ingin dicapai adalah sebagai berikut.

1. Mengetahui sifat-sifat model matematika waktu produksi pada graf

sistem produksi ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear

aljabar max-plus.

2. Menentukan waktu input paling lambat dengan menggunakan aljabar

max-plus pada graf sistem produksi ber-loop yang menyebabkan keadaan

sistem menjadi periodik.

G. Manfaat Penelitian

1. Bagi Penulis

Penulis mendapatkan pengetahuan baru terkait aljabar max-plus

yang belum diperoleh ketika perkuliahan. Melalui penelitian yang

dilakukan, penulis memperoleh pengalaman untuk menemukan suatu

teori baru terkait aljabar max-plus khususnya pada graf ber-loop yang

mampu meningkatkan kemampuan penulis dalam mengaitkan berbagai

hal dan belajar membaca pola-pola yang terbentuk dari hail perhitungan

barisan keadaan sistem dan output.

2. Bagi Pembaca

Penelitian yang dilakukan bermanfaat untuk menambah

pengetahuan pembaca mengenai sistem persamaan linear aljabar max-

plus serta aplikasinya dalam optimasi waktu produksi pada graf sistem

produksi ber-loop. Selain itu, hasil dari penelitian ini dapat dijadikan


8

sebagai tambahan informasi dan pustaka bagi lembaga terkait untuk

rujukan penelitian atau sebagai bahan perkuliahan tentang aljabar max-

plus. Selain itu pembaca juga mendapatkan pengetahuan untuk

menentukan waktu optimum suatu produksi, sehingga mampu

menerapkannya untuk permasalahan lain yang relevan.

3. Bagi Produsen

Hasil dari penelitian ini dapat dijadikan sebagai rujukan dalam

pembuatan jadwal produksi secara periodik. Keperiodikan jadwal dapat

mempermudah produsen dalam proses produksi dikarenakan waktu

produksi yang dapat diprediksi sebelumnya.

H. Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka.

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Menentukan tema dan judul penelitian.

2. Mengumpulkan serta membaca jurnal, tesis, maupun buku terkait sistem

persamaan linear aljabar max-plus khususnya sistem persamaan linear

aljabar max-plus waktu invarian yang akan digunakan untuk menyusun

landasan teori dalam penelitian.

3. Melakukan observasi lapangan untuk mempertajam latar belakang dan

menemukan masalah-masalah dalam sistem produksi terkait.

4. Menyusun graf sistem produksi ber-loop.

5. Membuat graf modifikasi dari graf sistem produksi ber-loop.


9

6. Membuat aturan sinkronisasi berdasarkan graf sistem produksi

modifikasi yang telah dibuat.

7. Menyusun sistem persamaan linear aljabar max-plus berdasarkan aturan

sinkronisasi sebelumnya.

8. Merepresentasikan sistem persamaan linear aljabar max-plus kedalam

bentuk matriks.

9. Menghitung nilai eigen yang bersesuaian dengan matriks A.

10. Menghitung barisan keadaan sistem dan output.

11. Membuat analisis penjadwalan periodik berdasarkan waktu input paling

lambat.

12. Menyusun jadwal produksi kue berdasarkan barisan keadaan sistem dan

output dengan menggunakan waktu input paling lambat.

I. Sistematika Penulisan

Penulisan skripsi ini akan mengkaji lebih mendalam terkait aplikasi

sistem persamaan linear aljabar max-plus dalam Sistem Produksi Sederhana

terkait waktu optimum produksi. Skripsi ini terdiri atas lima bab. Bab I

merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang, kajian pustaka, rumusan

masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode

penelitian serta sistematika penulisan.

Bab II berisi penjelasan tentang optimasi serta aljabar max-plus yang

meliputi definisi dan sifat-sifat aljabar max-plus, vektor dan matriks atas

aljabar max-plus, teori graf dalam aljabar max-plus serta sistem persamaan

linear pada aljabar max-plus dan aplikasinya dalam sistem produksi sederhana


10

sebagai landasan teori. Selain itu diberikan pula algoritma MATLAB untuk

mempermudah perhitungan waktu optimum produksi.

Bab III berisi pembahasan lebih lanjut mengenai pemodelan optimasi

waktu produksi pada graf sistem produksi ber-loop dengan menggunakan

sistem persamaan linear aljabar max-plus. Pada bab ini akan dibuat graf

sistem produksi ber-loop beserta graf modifikasinya yang sesuai dan

dilanjutkan dengan membuat aturan sinkronisasi yang sesuai dengan graf

sistem produksi modifikasi. Graf sistem produksi yang disajikan

menampilkan beberapa contoh sistem produksi. Pada contoh ketiga graf

sistem produksi yang digunakan merupakan graf sistem produksi tahapan

pembuatan kue dari hasil pengamatan yang telah dilakukan. Berdasarkan

aturan sinkronisasi kemudian disusun sistem persamaan linearnya. Sistem

persamaan linear yang telah disusun selanjutnya direpresentasikan dalam

bentuk matriks. Kemudian, dihitung nilai eigen pada matriks .

Bab IV berisi analisis waktu optimum produksi berdasarkan

perhitungan dengan menggunakan aplikasi MATLAB. Pada bab ini akan dicari

keterhubungan nilai eigen matriks terhadap keperiodikan barisan keadaan

sistem dan output, serta akan dijelaskan cara menentukan waktu input paling

lambat. Berdasarkan barisan keadaan sistem dan output yang diperoleh, akan

dijelaskan mengenai penjadwalan pada produksi kue yang telah diamati

sebelumnya.


11

Bagian terakhir dalam penulisan skripsi ini berisikan kesimpulan hasil

penelitian dan saran-saran yang dapat digunakan dalam penelitian

selanjutnya. Bagian terakhir ini termuat dalam Bab V.


12

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Optimasi

Menurut Berlianty & Arifin (2010:9), optimasi adalah proses

pencarian satu atau lebih penyelesaian yang berhubungan dengan nilai-nilai

dari satu atau lebih fungsi objektif pada suatu masalah sehingga diperoleh

satu nilai optimal. Optimasi bertujuan untuk meningkatkan kinerja mesin

produksi sehingga mempunyai kualitas yang baik dan hasil kerja yang tinggi.

Tujuan tersebut digunakan untuk beberapa perusahaan seperti perusahaan

yang bergerak di bidang manufaktur dalam proses produksi.

Optimasi banyak memberikan manfaat dalam mengambil keputusan

dan dapat diterapkan dalam berbagai bidang diantaranya adalah dalam bidang

industri seperti untuk konstruksi sipil atau mesin, pemeliharaan jaringan, dan

pengoperasian mesin. Pengoperasian mesin membutuhkan pengambilan

keputusan yang tepat agar diperoleh waktu optimal.

B. Definisi dan Sifat-sifat Aljabar Max-plus

Pembahasan akan diawali dengan definisi semiring.

Definisi 2.1

Suatu semiring adalah suatu himpunan tak kosong S disertai dengan

dua operasi biner dan yang memenuhi aksioma berikut.


13

i) merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral 0, yaitu

memenuhi

,

ii) adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu memenuhi

iii)Sifat penyerapan elemen netral 0 terhadap operasi yaitu memenuhi

iv) Operasi distributif terhadap yaitu berlaku

.

Contoh 2.1

Diberikan dengan adalah himpunan semua bilangan real

dan . Pada didefinisikan operasi dan , sehingga

berlaku :

.

Selanjutnya akan ditunjukkan merupakan semiring dengan elemen

netral dan elemen satuan .


14

Bukti :

merupakan semiring karena untuk setiap berlaku :

1. komutatif, asosiatif, dan memiliki elemen netral

a.

b.

c.

2. asosiatif dan memiliki elemen identitas

a.

b.


15

3. Sifat penyerapan elemen netral terhadap operasi

4. Operasi distributif terhadap

a.

b.

Definisi 2.2

Suatu semiring dikatakan komutatif jika operasi bersifat komutatif,

yaitu berlaku .

Definisi 2.3

Suatu semiring dikatakan idempoten jika operasi bersifat

idempoten, yaitu berlaku .

Menurut Baccelli, et.al (2001) dalam Rudhito (2016:14) istilah semiring

idempoten disebut dioid.


16

Contoh 2.2

Semiring merupakan semiring komutatif yang sekaligus

idempoten.

Bukti :

berlaku :

dan

Definisi 2.4

Suatu semiring komutatif disebut semifield jika setiap elemen tak

netralnya mempunyai invers terhadap operasi yaitu

Contoh 2.3

Semiring komutatif merupakan semifield.

Bukti :

terdapat – sehingga berlaku

Dari contoh 2.2 dan 2.3 dapat disimpulkan bahwa merupakan

semifield idempoten. Struktur aljabar disebut aljabar max-plus,

yang selanjutnya cukup ditulis . Elemen-elemen dari disebut juga

skalar. (Rudhito, 2016)

C. Matriks dan Vektor dalam Aljabar Max-plus

Himpunan matriks berukuran dalam aljabar max-plus

dinotasikan dengan untuk . Elemen

pada baris ke-


17

dan kolom ke- dinotasikan oleh atau [ dengan dan .

Matriks A dapat direpresentasikan sebagai berikut.

[

]

Penjumlahan matriks, perkalian skalar dengan matriks, perkalian antar

matriks, serta transpose matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.5

Diberikan matriks . Elemen ke- dari adalah :

[

Dengan dan .

Definisi 2.6

Diberikan matriks dan . Elemen ke- dari ⨂

adalah :

[ ⨂ ⨂

Dengan dan

Definisi 2.7

Diketahui

,

, elemen ke- dari ⨂ adalah :

[ ⨂

⨂

Dengan dan


18

Definisi 2.8

Diberikan matriks , Elemen ke- dari adalah :

[

Dengan dan

Contoh 2.4

Diberikan matriks *

+, *

+ maka :

1. *

+ *

+ [

] *

+

2. ⨂ ⨂*

+ * ⨂ ⨂ ⨂ ⨂

+ *

+

3. ⨂ *

+⨂ *

+

[

]

*

+

4. *

+

*

+


19

Teorema 2.1 (Rudhito, 2016)

Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar dan dan

sebarang matriks dan asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi.

1.

2. A

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Selanjutnya akan dibuktikan teorema nomor 4, sedangkan bukti yang lain

langsung mengikuti definisi operasi dan sifat-sifat operasi dalam .

Bukti :

Diambil sebarang

. Unsur ke- matriks

adalah

[

( )


20

( )

(

) (

)

[ [

Definisi 2.9 (Rudhito, 2016)

Didefinisikan matriks dengan {


Didefinisikan matriks dengan , untuk setiap dan .


Untuk sebarang didefinisikan

.

Definisi 2.12 (Schutter, 1996 dalam Rudhito, 2016)

Diberikan suatu matriks . Skalar disebut nilai eigen

max-plus matriks A jika terdapat suatu vektor dengan

sehingga . Vektor tersebut disebut vektor eigen max-plus

matriks yang bersesuaian dengan .

Teorema 2.2

Diberikan suatu matriks . Jika adalah nilai eigen matriks di

, maka merupakan bobot rata-rata suatu sirkuit dalam


21

Bukti :

Misalkan adalah nilai eigen matriks di , maka untuk setiap

berlaku dengan . Akibatnya

terdapat suatu indeks sehingga dengan .

Karena dan maka dan . Karena

maka terdapat suatu indeks sedemikian rupa sehingga

. Karena dan maka dan . Demikian

seterusnya dengan cara yang sama seperti di atas, maka diperoleh suatu

barisan sehingga

dengan

dan

untuk Karena banyak titik dalam graf

berhingga, maka terdapat suatu dan sehingga Akibatnya diperoleh

suatu sirkuit . Misalkan adalah , , , sehingga

diperoleh (

) (

) ( )

( ). Karena operasi di bersifat komutatif maka diperoleh

( ) (

) (

) atau (

) atau

. Hal ini berarti merupakan bobot rata-rata sirkuit .

Selanjutnya akan dibahas semimodul atas dan relasi urutan di

dalamnya. Dalam Rudhito, 2016 , semimodul atas didefinisikan sebagai

berikut.


22

Definisi 2.13

Misalkan adalah semiring komutatif dengan elemen netral 0 dan

elemen identitas1. Semimodul M atas S adalah semigrup komutatif

bersama operasi perkalian skalar • : , dituliskan sebagai

yang memenuhi aksioma berikut. , berlaku :

i) ,

ii) ,

iii) ,

iv)

v)

Elemen dalam semimodul disebut vektor.

Contoh 2.5

Diberikan [ | . Untuk

setiap dan untuk setiap didefinisikan operasi

dengan [ dan operasi perkalian

skalar • dengan [ . Dari

teorema 2.1 1 dan 2 terlihat bahwa merupakan semigrup komutatif

dengan elemen netral [ . Selanjutnya dengan memperhatikan

teorema 2.1 10, 9, dan 7 dapat disimpulkan bahwa merupakan

semimodul atas .


23

Definisi 2.14 (Wohlgemuth,1990 dalam Rudhito 2016)

Relasi pada himpunan disebut urutan parsial pada jika untuk semua

berlaku :

i) Sifat refleksif, yaitu

ii) Sifat antisimetris, yaitu : jika dan , maka .

iii) Sifat transitif, yaitu : jika dan , maka .

Elemen dan dikatakan komparabel (comparable) jika atau .

Penulisan dapat ditulis juga dengan . Jika dan akan

dituliskan dengan .

Definisi 2.15 (Wohlgemuth 1990 dalam Rudhito, 2016)

Urutan parsial pada himpunan disebut urutan total pada jika setiap

dua elemen dalam komparabel.

Teorema 2.3 (Rudhito, 2016)

Jika semigrup komutatif idempoten maka relasi yang

didefinisikan pada dengan merupakan urutan parsial

pada .

Bukti :

Diambil sebarang .

i) Karena berlaku sifat idempoten maka .

ii) Jika dan maka dan . Karena berlaku

sifat komutatif maka diperoleh .


24

iii) Jika dan maka dan . Dari sini karena

berlaku sifat asosiatif maka

. Dengan demikian .

Akibat 2.1

Relasi yang didefinisikan pada dengan

merupakan urutan parsial pada . Lebih lanjut relasi ini merupakan urutan

total pada .

Bukti :

Karena merupakan semigrup komutatif idempoten, maka menurut

teorema 2.2 relasi yang didefinisikan pada di atas merupakan

urutan parsial pada . Selanjutnya diambil maka berlaku

atau .

Akibat 2.2


untuk setiap dan , merupakan urutan parsial pada .

Bukti :

Dengan menggunakan teorema 2.1 1, 2, dan 11 dapat dilihat bahwa

merupakan semigrup komutatif idempoten, sehingga menurut teorema 2.2 relasi

yang didefinisikan pada di atas merupakan urutan parsial.


25

Akibat 2.3


untuk setiap , merupakan relasi urutan parsial pada .

Bukti :

Karena merupakan semigrup komutatif idempoten maka relasi

yang didefinisikan pada merupakan urutan parsial pada

Relasi yang didefinisikan pada bukan merupakan urutan total,

karena terdapat *

+ dan *

+ dengan

*

+ *

+ *

+. Sehingga dan .

Demikian juga dengan relasi yang didefinisikan pada bukan

merupakan urutan total, karena terdapat vektor [ dan

[ dengan [ [

[ . Dengan demikian dan .

Teorema 2.4

Diberikan matriks . Jika

dengan maka

.

Bukti :

Diambil sebarang dengan maka

.


26

D. Teori Graf dalam Aljabar Max-plus

Graf didefinisikan sebagai suatu pasangan (V, E) dengan V adalah

suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik (vertices)

dan E adalah suatu himpunan pasangan (takterurut) titik-titik. Anggota E

disebut rusuk (edges). Suatu graf berarah didefinisikan sebagai suatu pasangan

(V, A) dengan V adalah suatu himpunan titik-titik dan A adalah suatu

himpunan pasangan terurut titik-titik. Anggota A disebut busur (arc). Untuk

busur disebut titik awal busur dan w disebut titik akhir busur.

Suatu loop adalah busur .

Jika suatu graf disajikan dalam gambar, titik digambarkan sebagai

noktah yang diberi label dengan nama titik yang diwakilinya. Rusuk

digambarkan sebagai kurva atau ruas garis yang menghubungkan noktah-

noktah yang bersesuaian pada rusuk atau loop. Busur digambarkan sebagai

kurva atau ruas garis berarah yang menghubungkan noktah-noktah yang

bersesuaian dengan titik awal dan titik akhir busur, dengan tanda panah pada

ujungnya yang menandakan arah busur.

Diberikan adalah graf berarah dengan

. Suatu lintasan dalam G adalah suatu barisan berhingga busur

dengan ( ) A untuk suatu l N dan

k = 1, 2, ... , l 1 (Wilson,1972). Lintasan ini direpresentasikan dengan

... . Titik disebut titik awal lintasan dan titik disebut titik

akhir lintasan. Untuk suatu lintasan , panjang lintasan didefinisikan

sebagai banyak busur yang menyusun dan dinotasikan dengan | | .


27

Diberikan graf berarah G = (V, A) dengan V = {1, 2, ... , p}. Graf

berarah G dikatakan berbobot jika setiap busur (j, i) A dikawankan dengan

suatu bilangan real . Bilangan real disebut bobot busur (j, i),

dinotasikan dengan w(j, i). Dalam penyajiannya dengan gambar untuk graf

berarah berbobot, busur diberi label dengan bobotnya. Dari pengertian graf

berbobot ini, setiap matriks A bersesuaian dengan suatu graf berarah

berbobot seperti diberikan dalam definisi berikut.

Definisi 2.16 (Graf bobot, Schutter 1996)

Diberikan . Graf bobot dari A adalah graf berarah berbobot

dengan dan |

Contoh 2.6

Diberikan [

].

Graf bobot dari A adalah graf berarah berbobot dengan

dan }. Perhatikan

sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot selalu

dapat didefinisikan suatu matriks dengan :

{

E. Sistem Persamaan Linear dalam Aljabar Max-plus

Menurut Rudhito, 2016, secara umum terdapat dua bentuk sistem

persamaan linear (SPL) max-plus yaitu SPL max-plus input output dan SPL


28

max-plus iteratif. Pada bagian ini hanya akan dibahas terkait SPL max-plus

input-output. Bentuk umum dari sistem persamaan linear max-plus input

output adalah : dimana

, dan .

Untuk mencari solusi dari persamaan tersebut terlebih dulu dapat dicari sub

penyelesaiannya.


Diberikan dan

. Vektor disebut suatu sub

penyelesaian sistem persamaan linear jika vektor tersebut

memenuhi .

Sub penyelesaian selalu ada, karena untuk [ selalu

berlaku :

Definisi 2.18

Sub penyelesaian dari sistem disebut sub penyelesaian terbesar

sistem jika untuk setiap subpenyelesaian dari sistem

.

Teorema 2.5

Diberikan dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya

sama dengan dan . Sub penyelesaian terbesar ada dan

diberikan oleh dengan

untuk setiap dan .


29

Bukti : Perhatikan bahwa:

( A x m b ) {

⨂ ⨂ ⨂

⨂ ⨂ ⨂

⨂ ⨂ ⨂

( ( ⨂ ) +

⨂

Karena unsur setiap kolom matriks A tidak semuanya sama dengan , maka

untuk

setiap j selalu ada i sehingga yang berarti ada. Mengingat untuk

setiap berlaku dan maka koefisien-

koefisien tidak akan berpengaruh pada nilai A x. Sehingga berlaku:

( )

( )

( )

(

( ) *

(

( ) *

Jadi subpenyelesaian sistem di atas adalah setiap vektor yang

komponen-komponennya memenuhi

( )


30

Jika vektor [ didefinisikan dengan

( ) untuk setiap maka diperoleh :

(

( ) *

(

( ) *

( )

(⨁

( ) ,

Jadi vektor tersebut merupakan subpenyelesaian sistem . Karena

–

( ) maka . Akibatnya .

Jadi vektor tersebut merupakan subpenyelesaian terbesar sistem

Dengan demikian untuk menyelesaikan sistem persamaan

pertama-tama dihitung subpenyelesaian terbesar kemudian diperiksa apakah

subpenyelesaian terbesar itu memenuhi sistem persamaan atau tidak. Untuk

mempermudah perhitungan subpenyelesaian terbesar dapat

digunakan cara berikut ini :

[

]

[

]

[

]


31

[

]

Jadi untuk menghitung subpenyelesaian terbesar dari sistem persamaan

terlebih dulu dapat dicari

Jika sistem persamaan linear max-plus mempunyai

subpenyelesaian terbesar yang bukan merupakan penyelesaian, maka sistem

persamaan linear max-plus tersebut tidak memiliki penyelesaian. Hal ini

ditunjukkan sebagai berikut.

Andaikan adalah penyelesaian sistem linear max-plus yang

berarti untuk setiap . Misal sistem persamaan

linear max-plus mempunyai subpenyelesaian terbesar yang

bukan merupakan penyelesaian, yang berarti terdapat

sehingga . Karena juga merupakan subpenyelesaian, maka

. Akibatnya menurut teorema 2.3 berlaku yang

berarti untuk setiap . Hal ini berakibat

terdapat sehingga yang

kontradiksi dengan pengandaian di atas. (Rudhito, 2016).

Teorema 2.6 (Zimmermann dalam Rudhito, 2016)

Andaikan adalah subpenyelesaian terbesar sistem vektor

merupakan subpenyelesaian sistem jika dan hanya jika .

Bukti :

i. Andaikan adalah subpenyelesaian terbesar sistem


32

Jika vektor merupakan subpenyelesaian sistem maka

. Hal ini terbukti benar sesuai dengan definisi subpenyelesaian

terbesar.

ii. Andaikan . Mengingat operasi pada matriks konsisten

terhadap urutan dan adalah subpenyelesaian terbesar sistem

, maka berlaku . Jadi

yang berarti merupakan subpenyelesaian sistem

iii. Karena i dan ii benar, maka teorema tersebut terbukti benar.

Teorema 2.7 (Zimmermann dalam Rudhito, 2016)

Sistem mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika

dimana vektor adalah subpenyelesaian terbesar dari sistem .

Bukti :

i. Akan dibuktikan jika dimana vektor adalah

subpenyelesaian terbesar dari sistem maka sistem

mempunyai penyelesaian. Andaikan . Karena adalah

subpenyelesaian terbesar dari sistem maka berlaku

Mengingat berlaku dan maka

sehingga merupakan penyelesaian . Jadi

terbukti benar mempunyai penyelesaian.

ii. Akan dibuktikan jika mempunyai penyelesaian maka

dimana vektor adalah subpenyelesaian terbesar dari

sistem . Andaikan mempunyai penyelesaian

yaitu vektor , maka atau dan .


33

Terlihat bahwa merupakan subpenyelesaian sistem .

Dikarenakan adalah subpenyelesaian terbesar sistem

maka berlaku . Mengingat operasi pada matriks konsisten

terhadap urutan maka berlaku . Jadi

iii. Karena i dan ii benar maka teorema tersebut terbukti benar.

Akibat 2.4 (Schutter dan Boom dalam Rudhito,2016)

Diberikan dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya

sama dengan , dan . Jika adalah subpenyelesaian terbesar sistem

persamaan linear max-plus maka untuk setiap indeks

terdapat suatu indeks sedemikian hingga

.

Bukti :

Karena adalah subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus

maka menurut teorema 2.4

untuk setiap

dengan . Hal ini berarti untuk setiap indeks

terdapat suatu indeks sedemikian hingga

atau .

Definisi 2.19

Diberikan [ . Didefinisikan ‖ ‖

| | untuk


34

Teorema 2.8 (Schutter dan Boom dalam Rudhito, 2016)

Diberikan dengan komponen setiap kolomnya tidak semuanya

sama dengan dan . Vektor

dengan subpenyelesaian

terbesar sistem dan ‖ ‖ , merupakan vektor yang

meminimalkan ‖ ‖ . Selanjutnya ‖ ‖

.

Bukti :

Misalkan subpenyelesaian terbesar sistem .

i. Jika merupakan penyelesaian sistem , maka ‖

‖

| | Akibatnya, meminimalkan ‖

‖ .

ii. Jika bukan penyelesaian sistem maka ‖ ‖

| | . Karena maka

| |

. Himpunan indeks yaitu

dapat dipartisi menjadi tiga himpunan dan sedemikian

hingga :

untuk semua

untuk semua

untuk semua , dengan

Karena adalah subpenyelesaian terbesar sistem maka

menurut akibat 2.4 untuk setiap indeks terdapat suatu

indeks sedemikian sehingga


35

Akibatnya tidak kosong. Karena bukan merupakan penyelesaian sistem

, maka terdapat suatu indeks sehingga

| |

. Akibatnya himpunan juga tidak kosong. Sementara himpunan dapat

kosong ataupun tidak kosong. Menurut teorema 2.3 untuk setiap

berlaku yang berakibat

| |

| | untuk setiap . Dengan memperhatikan

teorema 2.1 6 dan 8 diperoleh bahwa untuk sebarang berlaku

. Jika , maka , yang

berakibat

| |

( ) untuk

skalar positif . Didefinisikan , dengan

. Karena ( )

, maka diperoleh :

,

Karena dan tidak kosong dan untuk semua , maka

‖ ‖

| |

| | | | yang

mempunyai nilai minimum untuk

. Jadi (

)

merupakan vektor yang meminimumkan ‖ ‖ . Selanjutnya

diperoleh


36

‖ ‖

(|

| |(

* |*

Kemudian akan ditunjukkan bahwa tidak ada vektor yang memenuhi

‖ ‖

Misalkan terdapat vektor sedemikian hingga

‖ ‖

(3.1)

Didefinisikan maka . Karena

merupakan subpenyelesaian terbesar sistem maka menurut

Akibat 2.4 untuk setiap terdapat suatu indeks

sedemikian hingga . Karena

( ) , maka diperoleh

. Karena ketaksamaan (3.1) maka

. (3.2)

untuk setiap

Karena merupakan subpenyelesaian terbesar sistem

maka terdapat suatu indeks sehingga

atau .

Karena

Maka untuk setiap (3.3)

Akibatnya :

( )

( )

Karena ketaksamaan (3.2) maka :


37

Jadi terdapat suatu indeks sedemikian hingga

atau

. Hal ini berakibat bahwa ‖

‖

yang bertentangan dengan pemisalan bahwa ‖

‖

.

F. Penerapan Aljabar Max-plus dalam Sistem Linear Max-plus Waktu

Invarian dan Sistem Produksi Sederhana

Sistem linear max-plus waktu invarian merupakan sistem kejadian

diskrit yang mempunyai waktu aktifitas dan barisan kejadian yang

deterministik. Matriks dalam persamaan sistemnya merupakan matriks

konstan, yaitu tidak tergantung pada parameter . (Rudhito, 2016).

Definisi 2.20 (Sistem Linear Max-plus Waktu Invarian (SLMI), Schutter

1996)

Sistem Linear Max-plus Waktu Invarian adalah Sistem Kejadian Diskrit

(SKD) yang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut.

untuk dengan kondisi awal

. Vektor menyatakan keadaan atau state,

adalah vektor input, dan

adalah vektor output

sistem saat waktu ke- .


38

SLMI seperti dalam definisi diatas secara singkat dituliskan dengan SLMI

dan dituliskan SLMI jika kondisi awal diberikan.

Contoh 2.7

Diperhatikan suatu sistem produksi sederhana yang disajikan dalam

gambar di atas. Sistem ini terdiri dari 3 unit pemrosesan , , . Bahan

baku dimasukkan ke dan , diproses dan dikirimkan ke . Waktu

pemrosesan untuk , , dan berturut-turut adalah dan

satuan waktu. Diasumsikan bahwa bahan baku memerlukan

satuan waktu untuk dapat masuk dari input ke dan memerlukan

satuan waktu dari produk yang telah diselesaikan di untuk sampai di ,

sedangkan waktu transportasi yang lain diabaikan. Pada input sistem dan

antara unit pemrosesan terdapat penyangga (buffer), yang berturut-turut

disebut buffer input dan buffer internal, dengan kapasitas yang cukup besar

untuk menjamin tidak ada penyangga yang meluap (overflow). Suatu unit

pemrosesan hanya dapat mulai bekerja untuk suatu produk baru jika ia telah

menyelesaikan pemrosesan produk sebelumnya.

Gambar 2.1 Contoh Sistem Produksi Sederhana


39

Diasumsikan bahwa setiap unit pemrosesan mulai bekerja segera

setelah bahan tersedia. Didefinisikan (Rudhito, 2010):

i) : waktu saat bahan baku dimasukkan ke sistem untuk

pemrosesan ke- ,

ii) : waktu saat unit pemrosesan ke-i mulai bekerja untuk

pemrosesan ke- ,

iii) : waktu saat produk ke-k yang diselesaikan meninggalkan sistem.

Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat

ditentukan sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk

pemrosesan ke- , maka bahan mentah ini tersedia pada input unit

pemrosesan pada waktu . hanya dapat mulai

bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesaikan

pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke- .

Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk

setengah jadi ke-k akan meninggalkan pada saat . Hal ini

dapat dituliskan dengan :

untuk

Dengan alasan yang sama untuk , dan waktu saat produk ke-k yang

diselesaikan meninggalkan sistem, diperoleh:


40

untuk

Menggunakan operasi Aljabar Max-plus, persamaan-persamaan dalam

model sistem produksi sederhana di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

Jika dituliskan dalam bentuk matriks persamaan di atas menjadi :

[

] [ ]

[ untuk dan

[ . Hasil di atas dapat juga dituliskan dengan:


41

untuk , dengan

[ , keadaan awal ,

[

] [

]

, dan [ .

Analisis Input-Output Sistem Linear Max-plus Waktu-Invariant

Jika kondisi awal dan suatu barisan input diberikan untuk suatu SLMI

, maka secara rekursif dapat ditentukan suatu barisan vektor

keadaan sistem dan barisan output sistem.

Diperhatikan sistem produksi sederhana (Gambar 2.1), misalkan

kondisi awal sistem [ yang berarti unit pemrosesan dan

berturut-turut memulai aktifitasnya saat waktu dan sementara unit

pemrosesan masih kosong dan harus menunggu datangnya input dari

dan . Bahan mentah dimasukkan sistem saat waktu dan

seterusnya yang berarti diberikan barisan input

, dan seterusnya, dengan untuk

setiap Secara rekursif dapat ditentukan barisan vektor

keadaan berikut.

[

] [ ] [

]

[

] [ ] [

]

[

] [

] [ ]


42

[

] [

] [

]

[

] [

] [ ]

[

] [

] [

]

[

] [

] [ ]

[

] [

] [

] dan seterusnya.

Kemudian diperoleh barisan output sistem sebagai berikut dengan

menggunakan 3 :

dan seterusnya. Hal ini

berarti bahwa produk dapat diambil saat 16, 22, 28, 35, dan seterusnya.

Teorema 2.9 (Input-Output SLMI

Diberikan suatu bilangan bulat positif Jika vektor output

[ dan vektor input [ pada

SLMI maka :

dengan

[

] dan [

]


43

Bukti :

Jika diberikan kondisi awal dan barisan input dengan

induksi matematika akan dibuktikan berlaku

( ) (

(

)) untuk

Diperhatikan bahwa

( ) (

(

))

Jadi benar untuk .

Andaikan benar untuk

( ) (

(

))

Maka

(( ) (

(

*),

( ) (

(

*)

( ) (

(

*)

Jadi benar untuk .


44

Akibatnya diperoleh

(

* (

) untuk

Diberikan suatu bilangan bulat positif . Jika didefinisikan

[ dan [ maka dari

persamaan diperoleh :

Atau dalam persamaan matriks dapat dituliskan sebagai :

[

]

[

] [

] [

]

atau

dengan

[

] dan [

]


45

Contoh 2.8

Diberikan suatu sistem produksi seperti pada Gambar 2.1. Didefinisikan

[ . Jika diberikan [ dan

[ , maka diperoleh dengan

*

+ dan *

+

Diperhatikan bahwa

*

+ *

+ *

+

Hal ini berarti bahwa jika kondisi awal [ dan bahan baku

dimasukkan ke dalam sistem pada saat waktu

maka produk akan meninggalkan sistem pada saat waktu

Berikut akan dibahas masalah input paling lambat pada SLMI

Masalah input paling lambat pada SLMI adalah sebagai berikut:

Diberikan suatu bilangan bulat positip . Diketahui vektor output

[ . Misalkan vektor [ adalah

vektor input. Permasalahannya adalah menentukan vektor input u terbesar

(waktu paling lambat) sehingga memenuhi ,

dengan K dan H seperti dalam Teorema 2.9.


46

Teorema 2.10

Diberikan SLMI dengan Jika maka

penyelesaian masalah input paling lambat pada SLMI diberikan

oleh [ dengan ( )

.

Bukti : Karena , maka .

Akibatnya masalah input paling lambat pada SLMI menjadi

masalah menentukan vektor input terbesar (waktu paling lambat) yang

memenuhi . Masalah ini merupakan masalah menentukan

subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus .

Karena maka komponen setiap kolom matriks tidak semuanya

sama dengan . Menurut Teorema 2.5 subpenyelesaian terbesar sistem

persamaan linear max-plus diberikan oleh vektor

[ dengan ( )

.

Teorema 2.11

Diberikan SLMI dengan Jika maka

penyelesaian masalah minimisasi simpangan ouput pada SLMI

diberikan oleh ⁄ , dengan merupakansubpenyelesaian terbesar

sistem dan | |.

Bukti : Karena , maka .

Akibatnya masalah minimisasi simpangan maksimum output ini menjadi

menentukan masalah vektor input sedemikian hingga | |


47

minimal. Karena maka komponen setiap kolom matriks tidak

semuanya sama dengan . Seperti masalah optimisasi yang berkaitan dengan

persamaan linear max-plus , menurut Teorema 2.8 suatu

penyelesaian untuk masalah di atas diberikan oleh ⁄ dengan

merupakansubpenyelesaian terbesar sistem dan

| |.


48

Untuk mempermudah dalam perhitungan sistem, berikut diberikan list program

MATLAB untuk perhitungan masalah-masalah di atas.

% Program MATLAB Menghitung INPUT-OUTPUT Sistem Linear Max-

plus Waktu-Invariant

% Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma

% input: A = matriks max-plus Anxn

% B = matriks nx1

% C = matriks 1xn

% x0 = kondisi awal

% u = barisan input

% output: x(k) = barisan keadaan sistem

% y(k) = barisan output sistem

function io_SLMI = maxio

% Memasukkan input

disp(' ')

disp(' INPUT-OUTPUT SLMI(A, B, C, x0) ')

disp(' --------------------------------')

disp(' ')

A = input(' Masukkan matriks A(nxn) = ');

disp(' ')

B = input(' Masukkan matriks B(nx1) = ');

disp(' ')

C = input(' Masukkan matriks C(1xn) = ');

disp(' ')

x0 = input(' Masukkan kondisi awal x0(nx1) = ');

disp(' ')

u = input(' Masukkan barisan input sp kej ke-k u(kx1) = ');

disp(' ')

q = length(u);

[a1, a2] = size(A);

L = zeros(a1,q);

M = zeros(1,q);

L(:,1)= x0;

% Menghitung x(1) = Ax(0) + Bu(1)

[x01, x02] = size(x0);

for i = 1 : a1

for j = 1 : x02

Ax0(i, j) = -Inf;

for p = 1: a2

Ax0(i, j) = max(Ax0(i, j) , A(i, p) + x0(p, j));

end;

end;

end;

x = max(Ax0, B+u(1));


49

% Menghitung y(1) = Cx(1)

[c1, c2] = size(C);

[x1, x2] = size(x);

for i = 1 : c1

for j = 1 : x2

Cx(i, j) = -Inf;

for p = 1: c2

Cx(i, j) = max(Cx(i, j) , C(i, p) + x(p, j));

end;

end;

end;

L(:,2)= x;

M(1,1)= Cx;

% Menghitung x(k+1) = Ax(k) + Bu(k+1) dan Menghitung y(k) =

Cx(k) utk k=1,2,...,p

% Menghitung x(k+1) = Ax(k) + Bu(k+1)

[a1, a2] = size(A);

[x1, x2] = size(x);

for r = 1 : q-1;

for i = 1 : a1

for j = 1 : x2

Ax(i, j) = -Inf;

for p = 1: a2

Ax(i, j) = max(Ax(i, j) , A(i, p) + x(p, j));

end;

end;

end;

x = max(Ax, B+u(r+1));

% Menghitung y(k) = Cx(k)

[c1, c2] = size(C);

[x1, x2] = size(x);

for i = 1 : c1

for j = 1 : x2

Cx(i, j) = -Inf;

for p = 1: c2

Cx(i, j) = max(Cx(i, j) , C(i, p) + x(p, j));

end;

end;

end;

L(:,r+2)= x; M(1,r+1)= Cx;

end;

% Menampilkan hasil perhitungan

disp(' HASIL PERHITUNGAN :')

disp(' ===================')

disp(' Matriks A = '),disp(A)

disp(' Matriks B = '),disp(B)

disp(' Matriks C = '),disp(C)

disp(' Kondisi awal x0 = '),disp(x0)

disp(' Barisan input u = '),disp(u')

disp(' Barisan vektor keadaan sistem x(k) utk k = 0,1, 2, ...

: '), disp(L)

disp(' Barisan output sistem y(k) utk k = 1, 2, ... : '),

disp(M)

Gambar 2.2 List Program MATLAB Input-Output SLMI


50

% Program MATLAB Menghitung OPTIMISASI INPUT-OUTPUT Sistem

Linear Max-plus Waktu-Invariant

% Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma

% input: A = matriks max-plus Anxn

% B = matriks nx1

% C = matriks 1xn

% x0 = kondisi awal

% y = barisan output

% output:u_topi = barisan input paling lambat

% y_topi = barisan outpout untuk u_topi

% u_tilde = barisan input minimum simpangan

% y_tilde = barisan output untuk u_tilde

function opt_input_output = optio

% Memasukkan input

disp(' ')

disp(' OPTIMISASI INPUT-OUTPUT Sistem Linear Max-plus Waktu-

Invariant')

disp(' ----------------------------------------------------')

disp(' ')

A = input(' Masukkan matriks A = ');

disp(' ')

B = input(' Masukkan matriks B = ');

disp(' ')

C = input(' Masukkan matriks C = ');

disp(' ')

x0 = input(' Masukkan kondisi awal x0 = ');

disp(' ')

y = input(' Masukkan barisan output (dalam vektor kolom) y =

');

disp(' ')

q = length(y);

% Menghitung C*B = CB

[c1, c2] = size(C);

[b1, b2] = size(B);

for i = 1 : c1

for j = 1 : b2

CB(i, j) = -Inf;

for p = 1: c2

CB(i, j) = max(CB(i, j) , C(i, p) + B(p, j));

end;

end;

end;

% Menghitung C*A = CA

[c1, c2] = size(C);

[a1, a2] = size(A);

for i = 1:c1

for j = 1: a2

CA(i, j) = -Inf;

for p = 1: c2

CA(i, j) = max(CA(i, j) , C(i, p) + A(p, j));

end;

end;

end;

L = zeros(q,a2); L(1,:)= CA;


51

% Menghitung (C*A)*B

[ca1, ca2] = size(CA);

[b1, b2] = size(B);

for i = 1:ca1

for j = 1: b2

CAB(i, j) = -Inf;

for p = 1: ca2

CAB(i, j) = max(CAB(i, j) , CA(i, p) + B(p, j));

end;

end;

end;

% Menghitung A^k = Ak

[a1, a2]= size(A);

D = A;

for r = 1 : q-1

r+1;

for i = 1 : a1

for j = 1 : a2

Ak(i, j) = -Inf;

for p = 1: a2

Ak(i, j) = max(Ak(i, j) , A(i, p) + D(p, j));

end;

end;

end;

% Menghitung C*A^k = CAk

[c1, c2] = size(C);

[ak1, ak2] = size(Ak);

for i = 1 : c1

for j = 1: ak2

CAk(i, j) = -Inf;

for p = 1: c2

CAk(i, j) = max(CAk(i, j) , C(i, p) + Ak(p, j));

end;

end;

end;

L(r+1,:)=CAk;

% Menghitung CAkB

[cak1, cak2] = size(CAk);

[b1, b2] = size(B);

for i = 1:cak1

for j = 1: b2

CAkB(i, j) = -Inf;

for p = 1: cak2

CAkB(i, j) = max(CAkB(i, j) , CAk(i, p) + B(p, j));

end;

end;

end;


52

% Menyusun matriks H

for i = 1 : q

for j = 1 : q

if i < j

H(i,j) = -Inf;

end;

if i == j

H(i,j) = CB;

end;

if (i-j) ==1

H(i,j)= CAB;

end;

if (i-j) == r+1

H(i,j)= CAkB;

end;

if (i-j) > q

H(i,j)=[];

end;

end;

end;

D = Ak;

end;

% Menghitung K*x0

[l1, l2] = size(L);

[x01, x02] = size(x0);

for i = 1 : l1

for j = 1 : x02

Kx0(i, j) = -Inf;

for p = 1: l2

Kx0(i, j) = max(Kx0(i, j) , L(i, p) + x0(p, j));

end;

end;

end;

if max(Kx0 - y)<=0

% Menghitung input paling lambat u1 (H*(-y))

Ht=H';

my = -y;

[ht1, ht2] = size(Ht);

[my1, my2] = size(my);

for i = 1 : ht1

for j = 1 : my2

Htmy(i, j) = -Inf;

for p = 1: ht2

Htmy(i, j) = max(Htmy(i, j) , Ht(i, p) + my(p, j));

end;

end;

end;

u_topi = -Htmy;


53

Gambar 2.3 List Program MATLAB Optimasi Input-Output SLMI

% Mengitung H*u_topi

[h1, h2] = size(H);

[utp1, utp2] = size(u_topi);

for i = 1 : h1

for j = 1 : utp2

Hutp(i, j) = -Inf;

for p = 1: h2

Hutp(i, j) = max(Hutp(i, j) , H(i, p) + u_topi(p, j));

end;

end;

end;

Hutp;

% Menghitung barisan output y untuk u_topi

y_topi = max(Kx0, Hutp);

% Menghitung input minimum simpangan

delta = max(abs(y - y_topi));

u_tilde = u_topi + delta/2;

% Mengitung H*u_tilde

[h1, h2] = size(H);

[utd1, utd2] = size(u_tilde);

for i = 1 : h1

for j = 1 : utd2

Hutd(i, j) = -Inf;

for p = 1: h2

Hutd(i, j) = max(Hutd(i, j) , H(i, p) + u_tilde(p, j));

end;

end;

end;

Hutd;

% Menampilkan hasil perhitungan

disp(' HASIL PERHITUNGAN :')

disp(' ===================')

disp('Matriks A = '),disp(A)

disp('Matriks B = '),disp(B)

disp('Matriks C = '),disp(C)

disp('Kondisi awal x0 = '),disp(x0)

disp('Barisan output y = '),disp(y)

disp('Barisan input paling lambat u_topi = '),

disp((u_topi)')

disp('Barisan output y untuk u_topi = '), disp((y_topi)')

disp('Barisan input minimum simpangan u_tilde = '),

disp((u_tilde)')

disp('Barisan output y untuk u_tilde = '), disp((Hutd)')

else

disp('Input Minimum Simpangan tidak dapat dikerjakan (Kx0 >

y)')

end;


54

% Program Matlab Menghitung NILAI EIGEN MAX-PLUS Maksimum

dan VEKTOR EIGEN % yang bersesuaian untuk suatu Matriks max-plus A % Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma % input: matriks max-plus Anxn % output: irredusibel/ tak irredusibel matriks A % nilai eigen max-plus maximum % vektor eigen yang bersesuaian function hasilkali = eigmax disp(' ') disp(' NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MAX-PLUS MATRIKS') disp(' ----------------------------------------------') disp(' ') A = input(' Matriks yang dihitung A = '); disp(' ') disp(' HASIL PERHITUNGAN :') disp(' ===================') disp(' Matriks A = '), disp(A) % Menghitung A pangkat , trace/pangkat dan nilai eigen

maksimum [m, n]= size(A); if m==n if n==2 for i = 1: n for j=1: n if i==j A(i,j) = 0; end; end; end; A0 = min(A); A00 = min(A0); if A00 == -Inf disp(' Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL') else disp(' Matriks A IRREDUSIBEL') end; end; trace = max(diag(A)); D=A; for r=1:n-1 r+1; for i = 1: m for j = 1: n C(i, j) = -Inf; for p = 1: n C(i, j) = max( C(i, j) , A(i, p) + D(p, j) ); end; end; end;


55

A_plus = max(D, C); D=C; trace_perpk(r) = max(diag(D)./(r+1)); lambmax = max(trace_perpk); end; lambmaxmat = max(trace, lambmax); for r=1:n-2 r+1; for i = 1: m for j = 1: n C(i, j) = -Inf; for p = 1: n C(i, j) = max( C(i, j) , A(i, p) + D(p, j) ); end; end; end; A_plus1 = max(D, C); D=C; end; if n>2 for i = 1 : n for j = 1 : n if i==j A_plus1(i,j) = 0; end; end; end; A0_plus1 = min(A_plus1); A00_plus1 = min(A0_plus1); if A00_plus1 == -Inf disp(' Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL') else disp(' Matriks A IRREDUSIBEL') end; end; disp('NILAI EIGEN max-plus maksimum matriks A =') disp(lambmaxmat); % Menghitung matriks normal B, B pangkat dan B+ B = A-lambmaxmat; disp(' ') G=B; for s=1:n-1 s+1; for i = 1: m for j = 1: n F(i, j) = -Inf; for p = 1: n F(i, j) = max( F(i, j) , B(i, p) + G(p, j) ); end; end; end;


56

Gambar 2.4 List Program MATLAB Nilai Eigen Maksimum

B_plus = max(G, F); G = F; end; % Menghitung matriks E dan B* for i = 1 : n for j = 1 : n if i ~= j E(i,j) = -Inf; end; end; end; B_star= max(E, B_plus); % Menentukan vektor eigen yang bersesuaian disp(' VEKTOR EIGEN max-plus yang bersesuaian =') x= diag(B_plus); for t = 1 : n if x(t)>=0 VE = B_star(:,t); disp(VE) end; end; % Perhatian jika yang diinputkan bukan matriks nxn else disp(' ') disp(' P E R H A T I A N ! ! !') disp('BUKAN matriks bujursangkar, nilai eigen tidak

didefinisikan') end;


57

BAB III

PEMODELAN WAKTU PRODUKSI DENGAN MENGGUNAKAN

SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS PADA GRAF

SISTEM PRODUKSI BER-LOOP

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai cara membuat model matematika

pada graf ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar max-

plus. Penjelasan dilakukan dengan mengelompokkan graf ke dalam 3 sub-bab

sesuai jenisnya yaitu loop tunggal, loop berganda (multi loop), dan loop berganda

dengan banyak titik (multi loop multi vertex). Masing-masing sub-bab akan

diawali dengan penyajian graf sistem produksi ber-loop. Selanjutnya akan dibuat

graf modifikasi dari graf yang telah tersedia sesuai dengan kondisi awal.

Berdasarkan graf modifikasi yang telah dibuat kemudian dibuat aturan

sinkronisasi yang sesuai dan selanjutnya akan disusun model matematika dan

representasi bentuk matriks yang sesuai dengan menggunakan sistem persamaan

linear aljabar max-plus.

Pada bab ini untuk masing-masing sub-bab akan diberikan dua graf. Graf

yang pertama merupakan graf flowshop ber-loop, sedangkan graf yang kedua

merupakan modifikasi dari graf flowshop ber-loop. Graf flowshop ber-loop

dimodifikasi dengan penambahan unit pemrosesan sehingga graf berubah menjadi

flowshop tanpa loop.


58

Dalam kasus ini, pekerjaan yang direpresentasikan dengan loop

merupakan pekerjaan yang identik, dilihat dari segi bahan yang dimasukkan

maupun waktu pemrosesan. Untuk suatu mesin yang melakukan beberapa kali

pekerjaan tetapi dengan bahan dan waktu pemrosesan yang berbeda untuk

masing-masing pekerjaan, graf yang tersaji bukan mengandung loop.

A. Loop Tunggal

Pada bagian ini akan disajikan graf suatu produksi dengan loop

tunggal. Graf dengan loop tunggal menandakan bahwa mesin yang

mengandung loop tersebut melakukan dua kali pekerjaan (job) dalam satu

kali periode produksi. Dengan mengandaikan bentuk segiempat sebagai

pemrosesan serta anak panah menunjukkan jalur produksi, graf tersebut dapat

tersaji sebagai berikut.

Pada Gambar 3.1 di atas, anak panah merah menunjukkan alur

produksi untuk pekerjaan (job) kedua pada mesin . melakukan pekerjaan

(job) pertama dan mendistribusikannya pada . yang telah menyelesaikan

pekerjaan pertamanya kemudian memulai lagi pekerjaan keduanya dan

mendistribusikannya ke . Dengan kata lain untuk setiap satu kali produksi

Gambar 3.1 Graf Sistem Produksi Loop Tunggal


59

hingga output tersedia, unit pemrosesan harus melakukan 2 kali pekerjaan

(job) sedangkan unit pemrosesan yang lain hanya melakukan 1 kali pekerjaan.

Dalam aljabar max-plus, untuk mempermudah dalam perhitungan waktu

optimum produksi dan penjadwalan secara periodik dapat dibuat graf

modifikasi dari graf ber-loop dengan menambahkan unit pemrosesan

bayangan, sehingga pola aliran berubah menjadi flowshop tanpa loop. Unit

pemrosesan bayangan ini merupakan pemrosesan yang terjadi pada loop.

Pada Gambar 3.1 unit pemrosesan bayangan akan ditambahkan untuk

merepresentasikan pekerjaan kedua pada unit pemrosesan . Graf tersebut

adalah sebagai berikut.

Pada Gambar 3.2 terlihat bahwa unit pemrosesan bayangan yang

ditambahkan untuk merepresentasikan pekerjaan kedua pada adalah .

Pekerjaan pertama yang telah diselesaikan pada yang direpresentasikan

dengan kemudian dilanjutkan ke unit pemrosesan , sementara itu unit

pemrosesan dapat memulai pekerjaannya segera setelah

menyelesaikan pekerjaannya.

Gambar 3.2 Graf Sistem Produksi Modifikasi Loop Tunggal


60

Setelah melakukan modifikasi graf, diperlukan penyusunan aturan

sinkronisasi sebelum membuat sistem persamaan linear aljabar max-plus.

Pembuatan aturan sinkronisasi terlebih dulu diawali dengan pemberian nilai

untuk masing-masing waktu transfer dan waktu pemrosesan pada yang sesuai

dengan Gambar 3.2. Waktu transfer dan waktu pemrosesan tersaji pada tabel

di bawah ini

Transfer Waktu (satuan waktu)

Pemrosesan Waktu (satuan waktu)

1 10

2 8

2 10

2 15

2 10

3 12

3

0

0

Berdasarkan pada Tabel 3.1 dan Tabel 3.2 kemudian disusun aturan

sinkronisasi yang sesuai. Pada Gambar 3.2 terlihat bahwa sistem produksi

modifikasi yang ada terdiri dari 6 unit pemrosesan

Proses produksi tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut.


pemrosesan ke

ii) : waktu saat bahan dilakukan pemrosesan ke- dan mulai

bekerja untuk pemrosesan ke- dengan waktu pemrosesan sebesar .

iii) : waktu saat produk ke- yang diselesaikan meninggalkan

sistem.

Tabel 3.1 Waktu Transfer Graf

Sistem Produksi Loop Tunggal Tabel 3.2 Waktu Pemrosesan Graf

Sistem Produksi Loop Tunggal


61

1) Aturan sinkronisasi pada unit pemrosesan



pemrosesan ke- , maka bahan mentah ini akan tersedia pada input

pemrosesan pada waktu . Akan tetapi, unit

pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru

segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah

bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah

satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan

meninggalkan pada saat . Selain itu pemrosesan

dan dilakukan dengan menggunakan mesin yang sama, maka

hanya dapat memulai pemrosesan ke- segera setelah selesai

mengerjakan pemrosesan sebelumnya yaitu pemrosesan ke- . Sehingga

waktu yang diperlukan adalah .




pemrosesan ke- , maka bahan mentah ini akan tersedia pada input

pemrosesan pada waktu . Akan tetapi, unit

pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru

segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah

bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah


62

satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan

pada saat .



ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan dapat mulai bekerja

setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke-

. Bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu

. Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai

bekerja pada sejumlah bahan segera setelah menyelesaikan pemrosesan

sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu

pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah

jadi ke- akan meninggalkan pada saat .







bekerja pada sejumlah bahan segera setelah menyelesaikan pemrosesan

sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu


63






setelah bahan setengah jadi dari dan selesai diproses untuk

pemrosesan ke- . Bahan setengah jadi akan tersedia dari pada

waktu . Bahan setengah jadi akan tersedia dari

pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan

hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan segera setelah

menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk

pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan

waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat

.








64



menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk



.

7) Aturan Sinkronisasi pada

Waktu saat produk jadi ke- keluar dari sistem adalah saat pemrosesan

pada telah selesai dan meninggalkan , sehingga waktu yang

diperlukan saat produk jadi selesai adalah .

Berdasarkan aturan sinkronisasi model matematika yang dapat

disusun adalah sebagai berikut.


65

Sistem persamaan di atas dapat dituliskan sebagai :

,

dengan matriks dan yang didefinisikan sebagai berikut.


66

[

]

,

[ ]

,

[

Berdasarkan matriks yang telah tersusun, kemudian akan dicari nilai

eigen maksimum dari matriks dengan bantuan MATLAB. Nilai eigen

maksimum yang bersesuaian dengan matriks pada sistem di atas adalah 22.

B. Loop Berganda (Multi Loop)

Suatu unit pemrosesan dalam sistem produksi dapat memuat beberapa

loop (tidak hanya satu). Misal untuk suatu unit pemrosesan untuk setiap

satu kali produksi dapat memuat n loop. Hal ini menandakan bahwa unit

pemrosesan melakukan pekerjaan sebanyak kali untuk satu produksi

hingga output tersedia. Berikut ini tersaji graf sistem produksi yang memuat

beberapa loop pada satu unit pemrosesan :

Gambar 3.3 menunjukkan bahwa pada unit pemrosesan terdapat 2

loop yang menandakan bahwa melakukan pekerjaan sebanyak 3 kali dalam

satu kali periode produksi hingga output tersedia. Garis ungu menunjukkan

Gambar 3.3 Graf Sistem Produksi Loop Berganda


67

alur produksi untuk pekerjaan kedua, sedangkan garis hijau menunjukkan alur

produksi untuk pekerjaan ketiga. melakukan pekerjaan pertama dan

mendistribusikannya ke , sementara itu kembali melakukan pekerjaan

keduanya dan mendistribusikannya ke . Pekerjaan ketiga pada yang

telah diselesaikan kemudian didistribusikan ke .

Berdasarkan pada Gambar 3.3 kemudian dapat dibuat graf modifikasi

dengan menambahkan unit pemrosesan bayangan sesuai dengan banyaknya

loop yang ada. Graf sistem produksi loop berganda yang dimodifikasi adalah

sebagai berikut.

Gambar 3.4 menunjukkan bahwa unit pemrosesan bayangan dan

ditambahkan untuk merepresentasikan pekerjaan kedua dan ketiga pada

untuk satu kali periode produksi.



Pembuatan aturan sinkronisasi terlebih dulu diawali dengan pemberian nilai

untuk masing-masing waktu transfer dan waktu pemrosesan pada yang sesuai

Gambar 3.4 Graf Sistem Produksi Modifikasi Loop Berganda


68

dengan Gambar 3.4. Waktu transfer dan waktu pemrosesan tersaji pada tabel

di bawah ini:

Transfer Waktu (satuan waktu)

Pemrosesan Waktu (satuan waktu)

0 5

1 10

1 10

2 8

2 10

2 12

2 10

5 10

3

3

2

0


sinkronisasi yang sesuai dengan Gambar 3.4. Pada Gambar 3.4 terlihat bahwa

sistem produksi modifikasi yang ada terdiri dari 8 unit pemrosesan

. Proses produksi tersebut dapat didefinisikan

sebagai berikut.


pemrosesan ke

ii) : waktu saat bahan dilakukan pemrosesan ke- dan mulai

bekerja untuk pemrosesan ke- dengan waktu pemrosesan sebesar .

iii) : waktu saat produk ke- yang diselesaikan meninggalkan

sistem.

Tabel 3.3 Waktu Transfer Graf

Sistem Produksi Loop Berganda

Tabel 3.4 Waktu Pemrosesan Graf

Sistem Produksi Loop Berganda


69



ditentukan sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem

untuk pemrosesan ke- , maka bahan mentah ini akan tersedia pada

input pemrosesan pada waktu . Akan tetapi, unit

pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku

baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu

sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan

meninggalkan pada saat .



ditentukan sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem

untuk pemrosesan ke- , maka bahan mentah ini akan tersedia pada

input pemrosesan pada waktu . Akan tetapi, unit

pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku

baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu

sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan

meninggalkan pada saat .


70






. Selain itu unit pemrosesan dan

bekerja pada

mesin yang sama, sehingga dapat mulai bekerja untuk pemrosesan

ke- setelah menyelesaikan pemrosesan yakni

. Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada

sejumlah bahan segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya,

yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan

pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke-

akan meninggalkan pada saat .










71

menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku

untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan


.




setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan

ke- . Bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu

. Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat

mulai bekerja pada sejumlah bahan segera setelah menyelesaikan

pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan

ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka

produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat

.







72





untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah


pada saat .




setelah bahan setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan

ke- . Bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu


mulai bekerja pada sejumlah bahan segera setelah menyelesaikan

pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan

ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka

produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat

.





73









pada saat .


Waktu saat produk jadi ke- keluar dari sistem adalah saat pemrosesan

pada telah selesai dan meninggalkan , sehingga waktu yang

diperlukan saat produk jadi selesai adalah .

Berdasarkan aturan sinkronisasi model matematika yang dapat

disusun adalah sebagai berikut.


74


75

Sistem persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai :

,


76


[

]

,

[ ]

,

[

Berdasarkan matriks yang telah tersusun, kemudian dicari nilai eigen

maksimum dari matriks dengan bantuan MATLAB. Nilai eigen maksimum

yang bersesuaian dengan matriks pada sistem di atas adalah 34.

C. Loop Berganda dengan Banyak Titik (Multi Loop Multi Vertex)

Pada bagian ini akan dibahas mengenai graf sistem produksi yang

memiliki beberapa loop pada beberapa titik. Titik pada bahasan ini berarti

unit pemrosesan yang nantinya pada graf akan direpresentasikan dengan

bangun segiempat. Contoh yang akan disajikan merupakan kasus nyata yang

ditemui dalam suatu produksi kue yang telah diamati sebelumnya. Graf yang

terbentuk adalah sebagai berikut.

Gambar 3.5 Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex


77

Keterangan :

: waktu proses pemindahan bahan yang akan diproses, i = 1,2,…,34

: waktu saat pencampuran tepung terigu, air, dan butter pada 1

: waktu saat pemisahan kuning telur dan putih telur

: waktu saat pencampuran tepung terigu, air, dan butter pada 2

: waktu saat pencampuran adonan 1 dengan kuning telur

: waktu saat pencampuran putih telur dengan gula pasir

: waktu saat pencampuran 2 adonan dengan kuning telur

: waktu saat pencampuran adonan 1 dengan campuran putih telur


: waktu saat pemanggangan pada oven

: waktu saat pemanggangan pada oven

: waktu saat proses pendinginan

: waktu saat proses pengepakan

: pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada 1

: pemisahan kuning telur dan putih telur


: pencampuran adonan 1 dengan kuning telur

: pencampuran putih telur dengan gula pasir

: pencampuran 2 adonan dengan kuning telur

: pencampuran adonan 1 dengan campuran putih telur

: pencampuran adonan 2 dengan campuran putih telur 2

: pemanggangan lapisan pada oven

: pemanggangan lapisan pada oven


78

: proses pendinginan

: proses pengepakan

Gambar 3.5 menunjukkan bahwa pada unit pemrosesan dan

masing-masing memuat 1 loop. Hal ini berarti bahwa dan masing-

masing melakukan 2 pekerjaan untuk setiap satu kali periode produksi. Unit

pemrosesan dan yang memuat masing-masing 5 loop dan 8 loop

melakukan 6 kali pekerjaan dan 9 kali pekerjaan untuk setiap satu kali

periode produksi. Dengan kata lain untuk satu kali produksi kue terjadi proses

pemisahan putih telur dengan kuning telur ( ) sebanyak 2 kali, proses

pencampuran putih telur dengan gula pasir ( ) sebanyak 2 kali, proses

pemanggangan lapisan terjadi sebanyak 15 kali pelapisan (6 kali pada dan

9 kali pada ). Pada sistem produksi di atas, unit pemrosesan dan

bekerja pada mesin yang sama tetapi memiliki bahan dan waktu pemrosesan

yang berbeda sehingga tidak memungkinkan untuk membuat loop pada .

Hal ini membuat dan dipisahkan oleh unit pemrosesan yang berbeda.

Dengan alasan yang sama, hal ini berlaku juga untuk dan . Graf

modifikasi yang dapat dibentuk dari Gambar 3.5 adalah sebagai berikut.

Gambar 3.6 Graf Sistem Produksi Modifikasi Multi Loop Multi Vertex


79

Keterangan :

: waktu proses pemindahan bahan yang akan diproses, i = 1,2,…,34

: waktu saat pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada 1

: waktu saat pemisahan kuning telur dan putih telur tahap 1

: waktu saat pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada 2

: waktu saat pemisahan kuning telur dan putih telur tahap 2



: waktu saat pencampuran putih telur dengan gula pasir tahap 1


: waktu saat pencampuran putih telur dengan gula pasir tahap 2


: waktu saat pemanggangan lapisan pertama pada oven

: waktu saat pemanggangan lapisan kedua pada oven

: waktu saat pemanggangan lapisan ketiga pada oven

: waktu saat pemanggangan lapisan keempat pada oven

: waktu saat pemanggangan lapisan kelima pada oven

: waktu saat pemanggangan lapisan keenam pada oven

: waktu saat pemanggangan lapisan ketujuh pada oven

: waktu saat pemanggangan lapisan kedelapan pada oven

: waktu saat pemanggangan lapisan kesembilan pada oven

: waktu saat pemanggangan lapisan kesepuluh pada oven

: waktu saat pemanggangan lapisan kesebelas pada oven

: waktu saat pemanggangan lapisan kedua belas pada oven


80

: waktu saat pemanggangan lapisan ketiga belas pada oven

: waktu saat pemanggangan lapisan keempat belas pada oven

: waktu saat pemanggangan lapisan kelima belas pada oven

: waktu saat proses pendinginan

: waktu saat proses pengepakan


: pemisahan kuning telur dan putih telur tahap 1

: pemisahan kuning telur dan putih telur tahap 2



: pencampuran putih telur dengan gula pasir tahap 1

: pencampuran putih telur dengan gula pasir tahap 2




: pemanggangan lapisan pertama pada oven

: pemanggangan lapisan kedua pada oven

: pemanggangan lapisan ketiga pada oven

: pemanggangan lapisan keempat pada oven

: pemanggangan lapisan kelima pada oven

: pemanggangan lapisan keenam pada oven

: pemanggangan lapisan ketujuh pada oven

: pemanggangan lapisan kedelapan pada oven

: pemanggangan lapisan kesembilan pada oven


81

: pemanggangan lapisan kesepuluh pada oven

: pemanggangan lapisan kesebelas pada oven

: pemanggangan lapisan kedua belas pada oven

: pemanggangan lapisan ketiga belas pada oven

: pemanggangan lapisan keempat belas pada oven

pemanggangan lapisan kelima belas pada oven

: proses pendinginan

: proses pengepakan

Berdasarkan Gambar 3.6, unit pemrosesan bayangan ( ) ditambahkan

untuk merepresentasikan unit pemrosesan yang memuat loop pada . Hal yang

sama juga dilakukan untuk semua unit pemrosesan yang mengandung loop.

Banyaknya unit pemrosesan bayangan yang ditambahkan sesuai dengan

banyaknya loop yang ada pada unit pemrosesan tersebut.



Pembuatan aturan sinkronisasi terlebih dulu diawali dengan pemberian nilai untuk

masing-masing waktu transfer dan waktu pemrosesan pada yang sesuai dengan

Gambar 3.6. Waktu transfer dan waktu pemrosesan tersaji pada tabel di bawah ini

Transfer Waktu (detik) Pemrosesan Waktu (detik)

10 934

5 435

10 934

5 435

Tabel 3.6 Waktu Pemrosesan Graf

Sistem Produksi Multi Loop Multi

Vertex

Tabel 3.5 Waktu Transfer Graf Sistem

Produksi Multi Loop Multi Vertex


82

0 295

5 295

5 365

5 295

5 365

0 295

13 212

15 212

13 212

15 212

15 212

85 212

85 212

58 212

48 212

41 212

66 212

41 212

55 212

68 212

66 212

68 2217

80 848

72

86

87

149

82

156

0


sinkronisasi yang sesuai dengan Gambar 3.6. Pada Gambar 3.6 terlihat bahwa

sistem produksi modifikasi yang ada terdiri dari 27 unit pemrosesan

dan . Proses produksi tersebut dapat

didefinisikan sebagai berikut.


pemrosesan ke


83

ii) : waktu saat bahan dilakukan pemrosesan ke- dan mulai bekerja

untuk pemrosesan ke- dengan waktu pemrosesan sebesar .

iii) : waktu saat produk kue ke- yang diselesaikan meninggalkan

sistem.

1) Aturan sinkronisasi pada

Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan

sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan

ke- , maka bahan mentah ini akan tersedia pada input pemrosesan

pada waktu . Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat

mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesaikan

pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k.


setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . Selain

itu pemrosesan dan dilakukan dengan menggunakan mesin yang sama,

maka hanya dapat memulai pemrosesan ke- segera setelah

selesai mengerjakan pemrosesan sebelumnya yaitu pemrosesan ke- .

Sehingga waktu yang diperlukan adalah .







84





itu pemrosesan dan

menggunakan mesin yang sama, sehingga

dapat memulai pemrosesan ke- segera setelah menyelesaikan

pemrosesan sebelumnya yakni pemrosesan ke- . Sehingga waktu yang

diperlukan adalah



sebagai berikut. Unit pemrosesan akan mulai bekerja setelah bahan

setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Bahan

setengah jadi akan tersedia dari pada waktu .

Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah

bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya,

yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu




85










itu, pemrosesan dan menggunakan mesin yang sama, maka hanya

dapat memulai pemrosesan ke- segera setelah selesai mengerjakan

pemrosesan sebelumnya yaitu pemrosesan ke- . Sehingga waktu yang

diperlukan adalah .




setengah jadi dari dan selesai diproses untuk pemrosesan ke- .

Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu

dan tersedia dari pada waktu


sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan

sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k.


86


setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat .




setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- .


. Unit pemrosesan dan

menggunakan mesin

yang sama sehingga dapat memulai pemrosesan kepada waktu

Akan tetapi, unit pemrosesan hanya dapat mulai

bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan

pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk



.




setengah jadi dari dan

selesai diproses untuk pemrosesan ke- .



87

serta akan tersedia dari pada waktu




pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu,

maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat

.






dan akan tersedia dari pada waktu










88







pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu,

maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat

.












.


89




setengah jadi dari selesai diproses untuk pemrosesan ke- . Sehingga

bahan setengah jadi akan tersedia dari pada waktu






Selain itu, pemrosesan pada sampai

menggunakan mesin yang sama

sehingga dapat memulai proses ke- setelah

menyelesaikan

pemrosesan ke- . Produk setengah jadi ke- meninggalkan pada waktu

.









90




.











.







91






.











.





92








.








mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah

menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi


satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada

saat .


93











saat .











94


saat .











saat .









95




saat .











saat .







96






saat .











saat .





97








saat .











.


98











saat .


Waktu saat produk jadi ke- keluar dari sistem adalah saat pemrosesan pada

telah selesai dan meninggalkan , sehingga waktu yang diperlukan saat

produk jadi selesai adalah .

Berdasarkan aturan sinkronisasi model matematika yang dapat disusun



99


100


101

,


102


103


104


105


106


107


108


109

Sistem persamaan di atas dapat dituliskan sebagai :

,

dengan matriks dan yang didefinisikan pada tabel-tabel selanjutnya.


110

Matriks adalah sebagai berikut.

KOLOM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

BARIS

1 934 -inf -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

2 -inf 435 -inf 435 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

3 -inf -inf 934 -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

4 -inf 875 -inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

5 1868 875 -inf 875 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

6 -inf 1315 1868 1315 -inf 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

7 -inf 875 -inf 875 -inf -inf 365 -inf 365 -inf -inf -inf -inf

8 2176 1255 -inf 1255 1537 -inf 745 295 745 -inf -inf -inf -inf

9 -inf 1315 -inf 1315 -inf -inf 745 -inf 745 -inf -inf -inf -inf

10 -inf 1695 2176 1695 -inf 1537 1125 -inf 1125 295 -inf -inf -inf

11 2556 1635 -inf 1635 1917 -inf 1125 675 1125 -inf 212 -inf -inf

12 2826 1905 -inf 1905 2187 -inf 1395 945 1395 -inf 482 212 -inf

13 3086 2165 -inf 2165 2447 -inf 1655 1205 1655 -inf 742 472 212

14 3339 2418 -inf 2418 2700 -inf 1908 1458 1908 -inf 995 725 465

15 3617 2696 -inf 2696 2978 -inf 2186 1736 2186 -inf 1273 1003 743

16 3870 2949 -inf 2949 3231 -inf 2439 1989 2439 -inf 1526 1256 996

17 4137 3216 2556 3216 3498 1917 2706 2256 2706 675 1793 1523 1263

18 4417 3496 2836 3496 3778 2197 2986 2536 2986 955 2073 1803 1543

19 4695 3774 3114 3774 4056 2475 3264 2814 3264 1233 2351 2081 1821

20 4975 4054 3394 4054 4336 2755 3544 3094 3544 1513 2631 2361 2101

21 5267 4346 3686 4346 4628 3047 3836 3386 3836 1805 2923 2653 2393

22 5551 4630 3970 4630 4912 3331 4120 3670 4120 2089 3207 2937 2677

23 5849 4928 4268 4928 5210 3629 4418 3968 4418 2387 3505 3235 2975

24 6148 5227 4567 5227 5509 3928 4717 4267 4717 2686 3804 3534 3274

25 6509 5588 4928 5588 5870 4289 5078 4628 5078 3047 4165 3895 3635

26 6803 5882 5222 5882 6164 4583 5372 4922 5372 3341 4459 4189 3929

27 9176 8255 7595 8255 8537 6956 7745 7295 7745 5714 6832 6562 6302

Tabel 3.7 Matriks A Graf Multi Loop Multi Vertex Kolom 1-13


111

KOLOM

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

BARIS

1 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf










11 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 212 -inf -inf



14 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 995 -inf -inf

15 490 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1273 -inf -inf

16 743 465 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1526 -inf -inf

17 1010 732 479 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1793 -inf -inf

18 1290 1012 759 492 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf 2073 -inf -inf

19 1568 1290 1037 770 490 212 -inf -inf -inf -inf -inf 2351 -inf -inf

20 1848 1570 1317 1050 770 492 212 -inf -inf -inf -inf 2631 -inf -inf

21 2140 1862 1609 1342 1062 784 504 212 -inf -inf -inf 2923 -inf -inf

22 2424 2146 1893 1626 1346 1068 788 496 212 -inf -inf 3207 -inf -inf

23 2722 2444 2191 1924 1644 1366 1086 794 510 212 -inf 3505 -inf -inf

24 3021 2743 2490 2223 1943 1665 1385 1093 809 511 212 3804 -inf -inf

25 3382 3104 2851 2584 2304 2026 1746 1454 1170 872 573 4165 -inf -inf

26 3676 3398 3145 2878 2598 2320 2040 1748 1464 1166 867 4459 2217 -inf

27 6049 5771 5518 5251 4971 4693 4413 4121 3837 3539 3240 6832 4590 848

Tabel 3.8 Tabel Matriks A Graf Multi Loop Multi Vertex Kolom 14-27


112

Matriks :

KOLOM

1

BARIS

1 10

2 5

3 10

4 445

5 944

6 944

7 445

8 1252

9 885

10 1265

11 1632

12 1902

13 2162

14 2415

15 2693

16 2946

17 3213

18 3493

19 3771

20 4051

21 4343

22 4627

23 4925

24 5224

25 5585

26 5879

27 8252

Matriks :

KOLOM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

BARIS 1 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

BARIS 1 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 848

Tabel 3.9 Matriks B Graf Multi Loop

Multi Vertex

Tabel 3.10 Matriks C Graf Multi Loop Multi Vertex


113

Berdasarkan matriks yang telah tersusun, kemudian akan dicari nilai

eigen maksimum dari matriks dengan bantuan MATLAB. Nilai eigen

maksimum yang bersesuaian dengan matriks pada sistem di atas adalah

4165.

D. Analisis Model

Selanjutnya akan dilakukan analisis berdasarkan pengamatan yang

dilakukan terhadap beberapa graf yang disajikan. Pengamatan pertama

dilakukan pada graf sistem produksi ber-loop tunggal. Loop tunggal yang

disajikan merupakan graf sistem produksi yang hanya memiliki satu loop.

Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.1 (graf sistem produksi loop

tunggal) sebanyak 5 unit. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.2 (graf

sistem produksi modifikasi loop tunggal) sebanyak 6 unit.Unit pemrosesan

yang awalnya sebanyak 5 unit bertambah menjadi 6 unit karena terdapat satu

loop.

Entry matriks pada diagonal utama menunjukkan lama waktu yang

dibutuhkan dari suatu unit pemrosesan untuk menyelesaikan pekerjaannya.

Dapat dilihat bahwa pada diagonal utama , entry dan

berturut-turut menunjukkan lama waktu

untuk

menyelesaikan pekerjaannya. Nilai dan secara berturut-

turut merupakan dan . Perbedaan terjadi pada yang

merepresentasikan waktu menyelesaikan pekerjaannya.

merupakan

unit pemrosesan bayangan yang digunakan untuk menunjukkan pekerjaan


114

kedua dari , sehingga waktu untuk menyelesaikan pekerjaan hingga dapat

memulai pekerjaan selanjutnya harus menunggu selesai. Nilai 22 pada

diperoleh dari waktu proses ( ditambah waktu transfer untuk

memastikan mesin sudah kosong dan siap dimulai pekerjaan selanjutnya ,

dan ditambah waktu proses ( . Nilai 22 pada juga merupakan nilai

eigen maksimum dari matriks . Dengan kata lain waktu pemrosesan terlama

yang dibutuhkan suatu mesin pada contoh tersebut untuk menyelesaikan

pekerjaannya adalah 22 satuan waktu yang dalam kasus ini merupakan

pemrosesan pada .

Pengamatan selanjutnya dilakukan pada graf sistem produksi ber-loop

ganda. Multi loop yang disajikan merupakan graf sistem produksi yang

memiliki lebih dari satu loop. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.3

(graf sistem produksi loop ganda) sebanyak 6 unit. Unit pemrosesan yang ada

pada Gambar 3.4 (graf sistem produksi modifikasi loop ganda) sebanyak 8

unit. Unit pemrosesan yang awalnya sebanyak 6 unit bertambah menjadi 8

unit karena terdapat dua loop.

Sama seperti pada loop tunggal, entry matriks pada diagonal utama

menunjukkan lama waktu yang dibutuhkan dari suatu unit pemrosesan untuk

menyelesaikan pekerjaannya. Pada diagonal utama matriks , entry terbesar

terlihat pada yang merupakan waktu menyelesaikan pekerjaannya.

merepresentasikan pekerjaan ketiga pada unit pemrosesan

. Sehingga

dapat menyelesaikan pekerjaannya pada waktu

, dan

selesai


115

bekerja. Nilai 34 yang merupakan entry memiliki nilai yang sama dengan

nilai eigen maksimum matriks . Dengan kata lain waktu pemrosesan terlama

yang dibutuhkan suatu mesin pada contoh tersebut untuk menyelesaikan


pemrosesan pada .

Pengamatan yang terakhit dilakukan pada graf sistem produksi ber-

loop ganda dengan beberapa titik (Multi loop multi vertex). Multi loop multi

vertex yang disajikan merupakan graf sistem produksi yang memiliki lebih

dari satu loop pada beberapa mesin. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar

3.5 (graf sistem produksi multi loop multi vertex) sebanyak 12 unit. Unit

pemrosesan yang ada pada Gambar 3.6 (graf sistem produksi modifikasi multi

loop multi vertex) sebanyak 27 unit.Unit pemrosesan yang awalnya sebanyak

12 unit bertambah menjadi 27 unit karena berdasarkan Gambar 3.5 terdapat

15 loop yang terdiri dari 1 loop pada dan , 5 loop pada , dan 8 loop

pada .

Sama seperti pada loop tunggal dan loop ganda, entry matriks pada

diagonal utama menunjukkan lama waktu yang dibutuhkan dari suatu unit

pemrosesan untuk menyelesaikan pekerjaannya. Pada diagonal utama matriks

, entry terbesar terlihat pada yang merupakan waktu

menyelesaikan pekerjaannya. merepresentasikan pekerjaan kesembilan

pada unit pemrosesan . Selain itu karena mesin yang digunakan pada unit

pemrosesan sama dengan

maka dapat menyelesaikan


116

pekerjaannya pada waktu ,

, hingga selesai bekerja. Nilai 4165

yang merupakan entry memiliki nilai yang sama dengan nilai eigen

maksimum matriks . Dengan kata lain waktu pemrosesan terlama yang

dibutuhkan suatu mesin pada contoh tersebut untuk menyelesaikan


pemrosesan pada .

Berdasarkan pengamatan yang dilakukan dapat dilihat bahwa

banyaknya unit pemrosesan modifikasi setara dengan jumlahan unit

pemrosesan ber-loop ditambah dengan banyaknya loop. Hal ini dapat

dirumuskan sebagai berikut:

Teorema 3.1

Jika suatu graf ber-loop memiliki unit pemrosesan dan memiliki total loop

sebanyak , maka banyaknya unit pemrosesan modifikasi yang terjadi

sebanyak .

Bukti :

Diberikan suatu graf dengan unit pemrosesan tak identik dan .

menandakan terdapat pemrosesan identik yang terjadi sehingga terdapat

unit pemrosesan. Banyaknya unit pemrosesan yang terjadi atau .

Selain itu terdapat perbedaan pada entry matriks diagonal utama yang

menunjukkan waktu proses unit pemrosesan bayangan. Entry yang

menunjukkan unit pemrosesan bayangan merupakan hasil penjumlahan dari


117

waktu proses unit pemrosesan asal dan waktu transfernya, sehingga dapat

dirumuskan sebagai berikut.

Teorema 3.2

Jika menunjukkan suatu unit pemrosesan dengan loop sebanyak dan

menunjukkan unit pemrosesan bayangan ke- maka pada matriks sama

dengan , dengan menunjukkan waktu pemrosesan pada

unit pemrosesan dan menunjukkan total waktu transfer dari hingga .

Bukti : Diberikan suatu graf seperti berikut.

Diambil : ⨂

Untuk

Karena dan bekerja pada mesin yang sama, waktu pemrosesan yang

dibutuhkan sampai selesai harus menunggu selesai. Waktu yang

diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan pada adalah

1 mesin

Gambar 3.7 Graf Sistem Produksi dengan n loop

Gambar 3.8 Graf Sistem Produksi Modifikasi n loop pada loop pertama


118

Untuk

Dengan prinsip yang sama, waktu pemrosesan sampai selesai harus

menunggu pemrosesan selesai pemrosesan. Sehingga waktu yang

diperlukan untuk mesin tersebut hingga menyelesaikan pekerjaan sama

dengan waktu proses untuk menyelesaikan ditambah dengan waktu

transfer ditambah dengan waktu pemrosesan pada sehingga dapat

dituliskan :

⨂

Dengan menggunakan prinsip yang sama, pada

Waktu pemrosesan hingga dapat ditulistkan :

⨂ ⨂

⨂

Karena waktu merosesan menunjukkan lama waktu

dapat memulai pekerjaan ke- setelah menyelesaikan pekerjaan ke-

dengan maka menurut Definisi 2.16, lama waktu pemrosesan

pada unit pemrosesan jika disajikan ke dalam bentuk matriksnya akan

bersesuaian dengan . Hal ini mengakibatkan, .


119

BAB IV

ANALISIS WAKTU OPTIMUM DAN PENJADWALAN PRODUKSI

SECARA PERIODIK

A. Analisis Barisan Keadaan Sistem dan Output

Pada bagian ini dibuat analisis atas persamaan yang telah diperoleh

dari graf sistem produksi modifikasi. Analisis ini dilakukan dengan cara

menghitung barisan keadaan sistem dan barisan output sistem dengan bantuan

program MATLAB. Berdasarkan hasil yang diperoleh, dapat ditentukan waktu

optimum serta dapat dibuat jadwal produksi yang periodik.

Perhitungan barisan keadaan sistem dan barisan output sistem pada

Gambar 3.2 dimulai dengan memberikan kondisi awal ( sebagai berikut.

[ – – – –

Selain dengan memberikan input kondisi awal diberikan pula input

berupa matriks dan seperti yang telah dijelaskan pada Bab III. Hasil

dari perhitungan barisan keadaan sistem dan barisan output pada Gambar 3.2

dengan menggunakan program MATLAB untuk dengan

barisan input [ akan tersaji dalam Tabel 4.1.


120

0 1 2 3 4 5 6

1 11 33 55 77 99 121

2 10 18 26 37 50 62

-inf 23 45 67 89 111 133

-inf 23 45 67 89 111 133

-inf 35 57 79 101 123 145

-inf 48 70 92 114 136 158

60 82 104 126 148 170

Berdasarkan Tabel 4.1 terlihat bahwa selisih waktu mulai produksi

antara produksi ke- dengan produksi kepada masing-masing unit

pemrosesan tidak sama. Dengan kata lain sistem belum periodik. Untuk itu

diperlukan suatu perhitungan yang membuat sistem menjadi periodik.

Berdasarkan pada barisan keadaan output pada Tabel 4.1 akan dihitung waktu

mulai paling lambat( . Waktu mulai paling lambat membuat keadaan sistem

menjadi periodik serta mampu mempertahankan kualitas barang yang diolah.

Perhitungan waktu paling lambat dilakukan dengan bantuan program

MATLAB. Hasil dari perhitungan waktu paling lambat ( adalah sebagai

berikut.

Barisan input paling lambat ( = [

Barisan output y untuk = [

Barisan input minimum simpangan = [

Barisan output y untuk =[

Dari hasil perhitungan tersebut, input paling lambat akan digunakan lagi

untuk mencari barisan keadaan sistem dengan bantuan program MATLAB.

Tabel 4.1 Barisan Keadaan Sistem dan Output Graf Sistem Produksi

Loop Tunggal


121

Hasil dari perhitungan barisan keadaan sistem dengan input paling lambat


0 1 2 3 4 5 6

1 11 33 55 77 99 121

2 12 34 56 78 100 122

-inf 23 45 67 89 111 133

-inf 23 45 67 89 111 133

-inf 35 57 79 101 123 145

-inf 48 70 92 114 136 158

60 82 104 126 148 170

Pada Tabel 4.2 terlihat bahwa barisan keadaan sistem dan output telah

periodik pada saat mulai produksi ke-1. Keperiodikan barisan keadaan sistem

dan output tercermin dari kesamaan selisih waktu mulai produksi ke-

dengan waktu mulai produksi kepada setiap unit pemrosesan. Selisih

waktu mulai produksi untuk setiap unit pemrosesan pada Gambar 3.2 adalah

22 satuan waktu.

Dengan menggunakan cara yang sama dihitung pula barisan keadaan

sistem dan output pada Gambar 3.4 dan 3.6. Hasil akhir barisan keadaan

sistem dan output pada Gambar 3.4 dengan barisan input paling lambat

( [ adalah sebagai berikut.

0 1 2 3 4 5

0 10 44 78 112 146

1 11 45 79 113 147

-Inf 16 50 84 118 152

-Inf 28 62 96 130 164

-Inf 28 62 96 130 164

-Inf 43 77 111 145 179

-Inf 40 74 108 142 176

Tabel 4.2 Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Graf Loop

Tunggal dengan Input Paling Lambat

Tabel 4.3 Barisan Keadaan Sistem dan Ouput pada Graf Multi

Loop dengan Input Paling Lambat


122

-Inf 57 91 125 159 193

67 101 135 169 203

Tabel 4.3 menunjukkan bahwa barisan keadaan sistem mulai periodik

setelah produksi ke-1. Barisan keadaan sistem dan output pada Gambar 3.4

periodik dengan periode 34 satuan waktu. Selanjutnya dengan menggunakan

cara yang sama ditentukan barisan keadaan sistem dan ouput pada Gambar

3.6 dengan input paling lambat. Barisan keadaan sistem dan output pada

Gambar 3.6 dengan menggunakan input paling lambat

( [ adalah sebagai berikut.

0 1 2 3 4 5

10 944 5109 9274 13439 17604

5 939 5104 9269 13434 17599

10 944 5109 9274 13439 17604

-inf 1379 5544 9709 13874 18039

-inf 1878 6043 10208 14373 18538

-inf 1878 6043 10208 14373 18538

-inf 1379 5544 9709 13874 18039

-inf 2186 6351 10516 14681 18846

-inf 1819 5984 10149 14314 18479

-inf 2199 6364 10529 14694 18859

-inf 2566 6731 10896 15061 19226

-inf 2836 7001 11166 15331 19496

-inf 3096 7261 11426 15591 19756

-inf 3349 7514 11679 15844 20009

-inf 3627 7792 11957 16122 20287

-inf 3880 8045 12210 16375 20540

-inf 4147 8312 12477 16642 20807

-inf 4427 8592 12757 16922 21087

-inf 4705 8870 13035 17200 21365

Tabel 4.4 Barisan Keadaan Sistem dan Ouput pada Graf Multi Loop Multi

Vertex dengan Input Paling Lambat


123

-inf 4985 9150 13315 17480 21645

-inf 5277 9442 13607 17772 21937

-inf 5561 9726 13891 18056 22221

-inf 5859 10024 14189 18354 22519

-inf 6158 10323 14488 18653 22818

-inf 6519 10684 14849 19014 23179

-inf 6813 10978 15143 19308 23473

-inf 9186 13351 17516 21681 25846

10034 14199 18364 22529 26694

Pada Tabel 4.4 terlihat bahwa barisan keadaan sistem dan output telah

periodik pada saat mulai produksi ke-1. Keperiodikan barisan keadaan sistem

dan output tercermin dari kesamaan selisih waktu mulai produksi ke-

dengan waktu mulai produksi kepada setiap unit pemrosesan. Selisih

waktu mulai produksi untuk setiap unit pemrosesan pada Gambar 3.6 adalah

4165 satuan waktu.

Berikut ini akan dianalisis keterhubungan antara entry dan nilai eigen

matriks A pada sistem persamaan linear aljabar max-plus terhadap waktu

input paling lambat dan keperiodikan barisan keadaan sistem dan output

sistem produksi berdasarkan pada contoh-contoh yang telah dipaparkan

sebelumnya.

Pengamatan yang pertama dilakukan pada barisan keadaan sistem

pada sistem produksi loop tunggal. Barisan keadaan sistem pada graf sistem

produksi loop tunggal dengan persamaan

,



124

[

]

,

[ ]

,

[

dan memiliki nilai eigen yang bersesuaian dengan matriks = 22

,menunjukkan keperiodikannya pada produksi pertama untuk waktu input

paling lambat [ dengan periode 22 satuan waktu.

Waktu input paling lambat pada produksi pertama untuk graf loop tunggal

mempunyai nilai yang sama dengan entry matriks A yang terletak pada baris

pertama dan kolom pertama yaitu 10 yang juga merupakan nilai maksimum

waktu pemrosesan untuk unit-unit pemrosesan yang dapat memulai pekerjaan

tanpa menunggu unit pemrosesan yang lain. Dalam kasus ini dan .

Selain itu, periode barisan keadaan sistem dan ouput memiliki nilai yang

sama dengan nilai eigen matriks A. Hal yang sama juga berlaku pada periode

waktu input paling lambat yaitu 22 satuan waktu yang merupakan nilai eigen

dari matriks A.

Pengamatan selanjutnya dilakukan pada barisan keadaan sistem pada

sistem produksi loop ganda (Multi loop). Barisan keadaan sistem pada graf

sistem produksi multi loop dengan persamaan

,


125


[

]

,

[ ]

,

[

dan memiliki nilai eigen yang bersesuaian dengan matriks = 34,

menunjukkan keperiodikannya pada produksi pertama untuk waktu input

paling lambat [ dengan periode 34 satuan waktu.

Waktu input paling lambat pada produksi pertama untuk graf sistem produksi

multi loop mempunyai nilai yang sama dengan entry matriks yang terletak

pada baris kedua dan kolom kedua yaitu 10 yang merupakan nilai maksimum

waktu pemrosesan pada unit pemrosesan yang dapat memulai produksi secara

langsung tanpa harus bergantung pada unit pemrosesan lainnya. Selain itu,

periode barisan keadaan sistem dan ouput memiliki nilai yang sama dengan

nilai eigen matriks . Hal yang sama juga berlaku pada periode waktu input

paling lambat yaitu 34 satuan waktu yang merupakan nilai eigen dari matriks

.

Pengamatan yang dilakukan pada barisan keadaan sistem pada sistem

produksi ber-loop ganda dengan beberapa titik (Multi loop multi vertex).

Barisan keadaan sistem pada graf multi loop multi vertex dengan persamaan

,


126

dengan matriks dan yang didefinisikan pada Tabel 3.7, Tabel 3.8, dan

Tabel 3,9 dan memiliki nilai eigen yang bersesuaian dengan matriks =

4165, menunjukkan keperiodikannya pada produksi pertama untuk waktu

input paling lambat [ dengan periode

4165 satuan waktu. Waktu input paling lambat pada produksi pertama untuk

graf multi loop multi vertex mempunyai nilai yang sama dengan entry matriks

yang terletak pada baris pertama dan kolom pertama yaitu 934 yang

merupakan nilai maksimum waktu pemrosesan pada unit pemrosesan yang

dapat memulai produksi secara langsung tanpa harus bergantung pada unit

pemrosesan lainnya. Selain itu, periode barisan keadaan sistem dan ouput

memiliki nilai yang sama dengan nilai eigen matriks . Hal yang sama juga

berlaku pada periode waktu input paling lambat yaitu 4165 satuan waktu yang

merupakan nilai eigen dari matriks .

Berdasarkan pada pengamatan di atas dapat disimpulkan suatu teorema

berikut.

Teorema 4.1

Jika terdapat suatu persamaan

,

dengan matriks [

], merupakan nilai eigen

maksimum dari matriks , dan input bersesuaian dengan matriks ,

serta diketahui hingga merupakan unit pemrosesan yang memulai


127

pemrosesan tanpa bergantung pada pemrosesan lainnya maka barisan input

paling lambat agar barisan keadaan sistem periodik adalah [

dengan .

Bukti :

Misal diberikan nilai , maka .

merupakan unit pemrosesan yang bekerja secara langsung tanpa

bergantung pada unit pemrosesan lainnya, sehingga waktu pemrosesan untuk

tiap-tiap unit pemrosesannya sama dengan . merupakan nilai

eigen maksimum dari matriks , sehingga merupakan waktu terlama yang

dimiliki suatu unit pemrosesan dalam sistem produksi untuk menyelesaikan

pekerjaannya dalam satu periode.

Selanjutnya akan diambil input paling lambat untuk produksi pertama.

Karena merupakan unit pemrosesan yang bekerja secara

langsung maka unit-unit pemrosesan tersebut bergantung pada waktu input

yang diberikan. Semakin cepat waktu inputnya, semakin cepat pula unit

pemrosesan tersebut memulai pekerjaannya, begitupun sebaliknya. Dalam

kasus ini akan dicari input yang paling lambat yang memenuhi . Jika

maka ada yang memenuhi Jadi,

bukan input paling lambat. Jika maka waktu produksi yang diambil

menjadi tidak optimum karena semua unit pemrosesan dari hingga

seharusnya telah dapat menyelesaikan proses pertamanya. Hal ini membuat

barang akan keluar dari sistem melebihi dari waktu yang diharapkan.

Sehingga diambil yang membuat tetap.


128

Jika diambil periode , maka ada unit pemrosesan yang belum

menyelesaikan pemrosesan sebelumnya saat unit pemrosesan yang lain telah

melakukan pemrosesan periode selanjutnya. Hal ini membuat keadaan tidak

periodik untuk semua sistem. Selanjutnya diambil sebagai periode yang

merupakan waktu terlama yang dimiliki suatu unit pemrosesan dalam sistem

produksi untuk menyelesaikan pekerjaannya dalam satu periode.

Pengambilan sebagai periode membuat semua unit pemrosesan telah selesai

melakukan pemrosesan dan siap melakukan pemrosesan selanjutnya. Begitu

pun untuk unit pemrosesan dengan waktu pemrosesan sebesar , unit

pemrosesan tersebut akan segera melakukan pemrosesan selanjutnya tanpa

harus menunggu terlalu lama.

Jika diambil periode , maka akan terjadi waktu tunggu pada unit

pemrosesan dengan waktu proses terpanjang sehingga waktu pemrosesan

menjadi tidak optimum.

Sehingga, periode yang diambil untuk membuat barisan keadaan

sistem menjadi periodik adalah . Seperti dijelaskan diatas, bahwa unit

pemrosesan yang bekerja secara langsung dapat memulai produksi sesuai

dengan barisan input yang dimasukkan. Sehingga, agar barisan keadaan

sistem optimum dan periodik, barisan input yang dipilih adalah [

dengan .

Dengan barisan input paling lambat tersebut akan diperoleh barisan

keadaan sistem dan ouput yang periodik dengan periode sebesar . Pada

sistem tersebut, menjadi periode dari barisan keadaan sistem dan output


129

dikarenakan yang berupa nilai eigen maksimum dari matriks merupakan

waktu proses terlama suatu unit pemrosesan dapat menyelesaikan

pekerjaannya.

B. Penjadwalan Produksi Secara Periodik

Berdasarkan hasil pada bagian A, akan dibuat penjadwalan secara

periodik. Penjadwalan akan dilakukan pada graf multi loop multi vertex yang

merepresentasikan proses produksi kue secara nyata. Penjadwalan yang dapat

dilakukan adalah sebagai berikut.

Proses Kegiatan

Produksi

Waktu memulai produksi (WIB)

Produksi Ke-

1 2 3 4 5

Pencampuran adonan

tepung terigu, air, dan

butter pada 1

07.00.05 08.09.30 09.18.55 10.28.20 11.37.45

Pemisahan kuning telur

dan putih telur tahap 1 07.00.00 08.09.25 09.18.50 10.28.15 11.37.40

Pencampuran adonan

tepung terigu, air, dan

butter pada 2

07.00.05 08.09.30 09.18.55 10.28.20 11.37.45

Pemisahan kuning telur

dan putih telur tahap 2 07.07.20 08.16.45 09.26.10 10.35.35 11.45.00

Pencampuran adonan 1

dengan kuning telur

tahap 1

07.15.39 08.25.04 09.34.29 10.43.54 11.53.19


dengan kuning telur

tahap 2

07.15.39 08.25.04 09.34.29 10.43.54 11.53.19

Pencampuran putih telur

dengan gula pasir tahap

1

07.07.20 08.16.45 09.26.10 10.35.35 11.45.00


dengan campuran putih

telur 1

07.20.47 08.30.12 09.39.37 10.49.02 11.58.27

Pencampuran putih telur

dengan gula pasir tahap 07.14.40 08.24.05 09.33.30 10.42.55 11.52.20

Tabel 4.5 Jadwal Produksi Kue Secara Periodik


130

2


dengan campuran putih

telur 2

07.21.00 08.30.25 09.39.50 10.49.15 11.58.40

Pemanggangan lapisan

pertama pada oven 07.27.07 08.36.32 09.45.57 10.55.22 12.04.47


kedua pada oven 07.31.37 08.41.02 09.50.27 10.59.52 12.09.17


ketiga pada oven 07.35.57 08.45.22 09.54.47 11.04.12 12.13.37


keempat pada oven 07.40.10 08.49.35 09.59.00 11.08.25 12.17.50


kelima pada oven 07.44.48 08.54.13 10.03.38 11.13.03 12.22.28


keenam pada oven 07.49.01 08.58.26 10.07.51 11.17.16 12.26.41


ketujuh pada oven 07.53.28 09.02.53 10.12.18 11.21.43 12.31.08


kedelapan pada oven 07.58.08 09.07.33 10.16.58 11.26.23 12.35.48


kesembilan pada oven 08.02.46 09.12.11 10.21.36 11.31.01 12.40.26


kesepuluh pada oven 08.07.26 09.16.51 10.26.16 11.35.41 12.45.06


kesebelas pada oven 08.12.18 09.21.43 10.31.08 11.40.33 12.49.58


kedua belas pada oven 08.17.02 09.26.27 10.35.52 11.45.17 12.54.42


ketiga belas pada oven 08.22.00 09.31.25 10.40.50 11.50.15 12.59.40


keempat belas pada

oven

08.26.59 09.36.24 10.45.49 11.55.14 13.04.39


kelima belas pada oven 08.33.00 09.42.25 10.51.50 12.01.15 13.10.40

Pendinginan 08.37.54 09.47.19 10.56.44 12.06.09 13.15.34

Pengepakan 09.17.27 10.26.52 11.36.17 12.45.42 13.55.07

Barang jadi siap

didistribusikan 09.31.35 10.41.00 11.50.25 12.59.50 14.09.15

Penjadwalan yang dilakukan pada Tabel 4.5 disusun berdasarkan

barisan keadaan sistem dan output dengan menggunakan input paling lambat.

Penjadwalan dilakukan dengan menggunakan detik sebagai satuan waktu dan

pukul 07.00.00 sebagai waktu memulai produksi. Proses kegiatan produksi


131

yang dituliskan sesuai dengan proses kegiatan produksi sebenarnya. Dengan

menjadwalkan secara periodik dan menggunakan input paling lambat,

produsen dapat melakukan pekerjaan dengan lebih terjadwal dan kualitas

barang setengah jadi menjadi lebih terjaga karena meminimalkan waktu

tunggu antar unit pemrosesan. Proses menunggu terjadi pada tahap awal

produksi pada saat barang mentah belum mulai diproses.

C. Keterbatasan Penelitian

Keterbatasan yang dialami penulis dalam pelaksanaan penelitian

adalah proses produksi yang dilakukan secara manual untuk beberapa unit

pemrosesan. Proses produksi secara manual menyebabkan perhitungan waktu

transfer menjadi kurang akurat. Perhitungan waktu transfer dilakukan dengan

menghitung waktu rata-rata untuk setiap proses transfer. Perhitungan waktu

transfer yang kurang akurat akan mempengaruhi waktu produksi.


132

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. KESIMPULAN

Berdasarkan pada pembahasan-pembahasan sebelumnya dapat

diambil kesimpulan sebagai berikut.

1. Sifat-sifat model matematika waktu produksi pada graf sistem

produksi ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear

aljabar max-plus adalah sebagai berikut.

a. Jika suatu graf ber-loop memiliki unit pemrosesan dan memiliki

total loop sebanyak , maka banyaknya unit pemrosesan

modifikasi yang terjadi sebanyak .

b. Jika menunjukkan suatu unit pemrosesan dengan loop sebanyak

dan menunjukkan unit pemrosesan bayangan ke- maka

pada matriks sama dengan , dengan

menunjukkan waktu pemrosesan pada unit pemrosesan dan

menunjukkan total waktu transfer dari hingga .

2. Jika terdapat suatu persamaan

,


133

dengan matriks [

], merupakan nilai

eigen maksimum dari matriks , dan input bersesuaian

dengan matriks , serta diketahui hingga merupakan unit

pemrosesan yang memulai pemrosesan tanpa bergantung pada

pemrosesan lainnya maka barisan input paling lambat agar barisan

keadaan sistem periodik adalah [

dengan .

B. SARAN

Adapun saran-saran yang dapat penulis berikan bagi penelitian

selanjutnya adalah sebagai berikut.

1. Sistem produksi yang dibahas dalam penelitian ini dibatasi pada

sistem produksi pada graf ber-loop dengan satu input satu output.

Penelitian selanjutnya dapat membahas tentang sistem produksi pada

graf ber-loop dengan multi input multi output.

2. Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan proses produksi kue

secara manual pada beberapa unit pemrosesan sebagai contoh nyata.

Hal ini menyebabkan perhitungan waktu transfer menjadi kurang

akurat. Penelitian selanjutnya dapat menggunakan contoh pada suatu

produksi dengan semua unit pemrosesan berupa mesin.

3. Pemodelan graf sistem produksi ber-loop pada penelitian ini dibuat

dengan memodifikasi graf melalui penambahan unit pemrosesan.


134

Penelitian selanjutnya dapat membuat pemodelan tanpa menambahkan

unit pemrosesan bayangan.


135

DAFTAR PUSTAKA

Arifin, Mustofa dan Mustofa. 2012. Aplikasi Sistem Persamaan Linear Aljabar

Max-Plus dalam Mengoptimalisasi Waktu Produksi Bakpia Pathok Jaya

“25” Daerah Istimewa Yogyakarta. Skripsi diajukan kepada Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.

Berlianty, Arifin. (2002). Teknik-Teknik Optimasi Heuristik. ISBN : 987-979-756-

625-8.

De Schutter, B. 1996. Max-Algebraic System Theory for Discrete Event Systems.

PhD Thesis. Leuven: Department of Electrical Engineering, Katholieke

Universiteit.

De Schutter, B and T. Van den Boom. 2008. Max-plus algebra and max-plus

linear discrete event system : An Introduction, “Proceedings of the 9th

International Workshop on Discrete Event System”. Goteborg, Sweden.

Farlow, Kasie G. (2009). Max-Plus Algebra. Thesis submitted to the Faculty of

the Virginia Polytechnic Institute and State University.

Rudhito, Andy. 2016. Aljabar Max-Plus dan Penerapannya. Yogyakarta :

Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP-Universitas Sanata Dharma,

Yogyakarta.

Subiono and Nur Shofianah. 2009. Using Max-Plus Algebra in The Flow Shop

Scheduling. The Journal of Technology and Science, Vol. 20, No. 3.

Subiono. 2015. Aljabar Min-Max Plus dan Terapannya. Surabaya : Jurusan

Matematika, FMIPA-ITS, Surabaya.


136

LAMPIRAN


137

LAMPIRAN

1. Hasil Perhitungan MATLAB untuk Contoh 1



4. Foto Penelitian


138

LAMPIRAN I

1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Max-Plus Matriks Pada Contoh 1

Matriks yang dihitung A = [10 -inf 10 -inf -inf -inf;-inf 8 -inf -inf -inf -inf;22 -inf 22 -inf -inf -inf;22 19 22 15 -inf -inf;34 31 34 -inf 10 -inf;47 44

47 30 23 12]

HASIL PERHITUNGAN :

===================

Matriks A =

10 -Inf 10 -Inf -Inf -Inf

-Inf 8 -Inf -Inf -Inf -Inf


22 19 22 15 -Inf -Inf

34 31 34 -Inf 10 -Inf

47 44 47 30 23 12

Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL

NILAI EIGEN max-plus maksimum matriks A = 22

VEKTOR EIGEN max-plus yang bersesuaian =

-12

-Inf

0

0

12

25


139

2. Perhitungan Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Contoh 1

INPUT-OUTPUT SLMI(A, B, C, x0)

Masukkan matriks A(nxn) = [10 -inf 10 -inf -inf -inf;-inf 8 -inf -inf -inf -inf;22 -inf 22 -inf -inf -inf;22 19 22 15 -inf -inf;34 31 34 -inf 10 -inf;47

44 47 30 23 12]

Masukkan matriks B(nx1) = [1;2;13;13;25;38]

Masukkan matriks C(1xn) = [-inf -inf -inf -inf -inf 12]

Masukkan kondisi awal x0(nx1) = [1;2;-inf;-inf;-inf;-inf]

Masukkan barisan input sp kej ke-k u(kx1) = [0;13;20;35;48;60]

HASIL PERHITUNGAN :

===================

Matriks A =




22 19 22 15 -Inf -Inf

34 31 34 -Inf 10 -Inf

47 44 47 30 23 12

Matriks B =

1

2

13

13

25

38


140

Matriks C =

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 12

Kondisi awal x0 =

1

2

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

Barisan input u =

0 13 20 35 48 60

Barisan vektor keadaan sistem x(k) utk k = 0,1, 2, ... :

1 11 33 55 77 99 121

2 10 18 26 37 50 62

-Inf 23 45 67 89 111 133

-Inf 23 45 67 89 111 133

-Inf 35 57 79 101 123 145

-Inf 48 70 92 114 136 158

Barisan output sistem y(k) utk k = 1, 2, ... :

60 82 104 126 148 170


141

OPTIMISASI INPUT-OUTPUT Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant

----------------------------------------------------

Masukkan matriks A = [10 -inf 10 -inf -inf -inf;-inf 8 -inf -inf -inf -inf;22 -inf 22 -inf -inf -inf;22 19 22 15 -inf -inf;34 31 34 -inf 10 -inf;47 44 47

30 23 12]

Masukkan matriks B = [1;2;13;13;25;38]

Masukkan matriks C = [-inf -inf -inf -inf -inf 12]

Masukkan kondisi awal x0 = [1;2;-inf;-inf;-inf;-inf]

Masukkan barisan output (dalam vektor kolom) y = [60;82;104;126;148;170]

HASIL PERHITUNGAN :

===================

Matriks A =




22 19 22 15 -Inf -Inf

34 31 34 -Inf 10 -Inf

47 44 47 30 23 12

Matriks B =

1

2

13

13

25

38


142

Matriks C =

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 12

Kondisi awal x0 =

1

2

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

Barisan output y =

60

82

104

126

148

170

Barisan input paling lambat u_topi =

10 32 54 76 98 120

Barisan output y untuk u_topi =

60 82 104 126 148 170

Barisan input minimum simpangan u_tilde =

10 32 54 76 98 120

Barisan output y untuk u_tilde =

60 82 104 126 148 170


143

>> hitung

ans =



--------------------------------

Masukkan matriks A(nxn) = [10 -inf 10 -inf -inf -inf;-inf 8 -inf -inf -inf -inf;22 -inf 22 -inf -inf -inf;22 19 22 15 -inf -inf;34 31 34 -inf 10 -inf;47

44 47 30 23 12]

Masukkan matriks B(nx1) = [1;2;13;13;25;38]

Masukkan matriks C(1xn) = [-inf -inf -inf -inf -inf 12]

Masukkan kondisi awal x0(nx1) = [1;2;-inf;-inf;-inf;-inf]


HASIL PERHITUNGAN :

===================

Matriks A =




22 19 22 15 -Inf -Inf

34 31 34 -Inf 10 -Inf

47 44 47 30 23 12


144

Matriks B =

1

2

13

13

25

38

Matriks C = -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 12

Kondisi awal x0 =

1

2

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

Barisan input u =

10 32 54 76 98 120


1 11 33 55 77 99 121

2 12 34 56 78 100 122

-Inf 23 45 67 89 111 133

-Inf 23 45 67 89 111 133

-Inf 35 57 79 101 123 145

-Inf 48 70 92 114 136 158


60 82 104 126 148 170


145

LAMPIRAN II


Matriks yang dihitung A = [5 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 10 -inf -inf -inf -inf -inf -inf;11

-inf 10 -inf -inf -inf 10 -inf;23 22 22 8 -inf -inf 22 -inf;23 -inf 22 -inf

10 -inf 22 -inf;38 33 37 19 25 12 37 -inf;35 -inf 34 -inf 22 -inf 34

-inf;52 47 51 33 39 26 51 10]

HASIL PERHITUNGAN :

===================

Matriks A =

5 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

-Inf 10 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

11 -Inf 10 -Inf -Inf -Inf 10 -Inf

23 22 22 8 -Inf -Inf 22 -Inf

23 -Inf 22 -Inf 10 -Inf 22 -Inf

38 33 37 19 25 12 37 -Inf

35 -Inf 34 -Inf 22 -Inf 34 -Inf

52 47 51 33 39 26 51 10


NILAI EIGEN max-plus maksimum matriks A = 34


-Inf

-Inf

-24

-12

-12

3

0

17


146



--------------------------------

Masukkan matriks A(nxn) = [5 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 10 -inf -inf -inf -inf -inf

-inf;11 -inf 10 -inf -inf -inf 10 -inf;23 22 22 8 -inf -inf 22 -inf;23 -inf 22

-inf 10 -inf 22 -inf;38 33 37 19 25 12 37 -inf;35 -inf 34 -inf 22 -inf

34 -inf;52 47 51 33 39 26 51 10]

Masukkan matriks B(nx1) = [0;1;6;18;18;33;30;47]

Masukkan matriks C(1xn) = [-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 10]

Masukkan kondisi awal x0(nx1) = [0;1;-inf;-inf;-inf;-inf;-inf;-inf]

Masukkan barisan input sp kej ke-k u(kx1) = [10;20;30;40;50]

HASIL PERHITUNGAN :

===================

Matriks A =




23 22 22 8 -Inf -Inf 22 -Inf

23 -Inf 22 -Inf 10 -Inf 22 -Inf

38 33 37 19 25 12 37 -Inf

35 -Inf 34 -Inf 22 -Inf 34 -Inf

52 47 51 33 39 26 51 10


147

Matriks B =

0

1

6

18

18

33

30

47

Matriks C = -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 10

Kondisi awal x0 =

0

1

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

Barisan input u = 10 20 30 40 50


0 10 20 30 40 50

1 11 21 31 41 51

-Inf 16 50 84 118 152

-Inf 28 62 96 130 164

-Inf 28 62 96 130 164

-Inf 43 77 111 145 179


148

-Inf 40 74 108 142 176

-Inf 57 91 125 159 193


67 101 135 169 203


----------------------------------------------------

Masukkan matriks A = [5 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;

-inf 10 -inf -inf -inf -inf -inf -inf;

11 -inf 10 -inf -inf -inf 10 -inf;

23 22 22 8 -inf -inf 22 -inf;

23 -inf 22 -inf 10 -inf 22 -inf;

38 33 37 19 25 12 37 -inf;

35 -inf 34 -inf 22 -inf 34 -inf;

52 47 51 33 39 26 51 10]

Masukkan matriks B = [0;1;6;18;18;33;30;47]

Masukkan matriks C = [-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 10]

Masukkan kondisi awal x0 = [0;1;-inf;-inf;-inf;-inf;-inf;-inf]

Masukkan barisan output (dalam vektor kolom) y = [67;101;135;169;203]


149

HASIL PERHITUNGAN :

===================

Matriks A =




23 22 22 8 -Inf -Inf 22 -Inf

23 -Inf 22 -Inf 10 -Inf 22 -Inf

38 33 37 19 25 12 37 -Inf

35 -Inf 34 -Inf 22 -Inf 34 -Inf

52 47 51 33 39 26 51 10

Matriks B =

0

1

6

18

18

33

30

47

Matriks C =

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 10

Kondisi awal x0 =

0

1

-Inf

-Inf

-Inf


150

-Inf

-Inf

-Inf

Barisan output y =

67

101

135

169

203


10 44 78 112 146


67 101 135 169 203


10 44 78 112 146


67 101 135 169 203

>>


151


--------------------------------

Masukkan matriks A(nxn) = [5 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;

-inf 10 -inf -inf -inf -inf -inf -inf;

11 -inf 10 -inf -inf -inf 10 -inf;

23 22 22 8 -inf -inf 22 -inf;

23 -inf 22 -inf 10 -inf 22 -inf;

38 33 37 19 25 12 37 -inf;

35 -inf 34 -inf 22 -inf 34 -inf;

52 47 51 33 39 26 51 10]

Masukkan matriks B(nx1) = [0;1;6;18;18;33;30;47]

Masukkan matriks C(1xn) = [-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 10]

Masukkan kondisi awal x0(nx1) = [0;1;-inf;-inf;-inf;-inf;-inf;-inf]


HASIL PERHITUNGAN :

===================

Matriks A =




23 22 22 8 -Inf -Inf 22 -Inf

23 -Inf 22 -Inf 10 -Inf 22 -Inf

38 33 37 19 25 12 37 -Inf

35 -Inf 34 -Inf 22 -Inf 34 -Inf

52 47 51 33 39 26 51 10


152

Matriks B =

0

1

6

18

18

33

30

47

Matriks C =

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 10

Kondisi awal x0 =

0

1

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

Barisan input u =

10 44 78 112 146


0 10 44 78 112 146

1 11 45 79 113 147

-Inf 16 50 84 118 152


153

-Inf 28 62 96 130 164

-Inf 28 62 96 130 164

-Inf 43 77 111 145 179

-Inf 40 74 108 142 176

-Inf 57 91 125 159 193


67 101 135 169 203


154

LAMPIRAN III


NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MAX-PLUS MATRIKS

----------------------------------------------

Matriks yang dihitung A = [934 -inf -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 435 -inf 435 -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf -inf -inf -inf;-inf -inf 934 -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 875 -inf 875


-inf -inf -inf -inf -inf -inf;1868 875 -inf 875 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 1315

1868 1315 -inf 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 875 -inf 875 -inf -inf 365 -inf 365 -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;

2176 1255 -inf 1255 1537 -inf 745 295 745 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 1315 -inf 1315 -inf -inf 745 -inf

745 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf;-inf 1695 2176 1695 -inf 1537 1125 -inf 1125 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;2556 1635 -inf 1635 1917 -inf

1125 675 1125 -inf 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf 212 -inf -inf;2826 1905 -inf 1905 2187 -inf 1395 945 1395 -inf 482 212 -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 482 -inf -inf;3086 2165 -inf

2165 2447 -inf 1655 1205 1655 -inf 742 472 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf -inf -inf 742 -inf -inf;3339 2418 -inf 2418 2700 -inf 1908 1458 1908 -inf

995 725 465 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 995 -inf -inf;

3617 2696 -inf 2696 2978 -inf 2186 1736 2186 -inf 1273 1003 743 490 212 -inf -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1273 -inf -inf;3870 2949 -inf 2949 3231 -inf 2439

1989 2439 -inf 1526 1256 996 743 465 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf


155

1526 -inf -inf;4137 3216 2556 3216 3498 1917 2706 2256 2706 675 1793 1523 1263 1010

732 479 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1793 -inf -inf;4417 3496 2836 3496

3778 2197 2986 2536 2986 955 2073 1803 1543 1290 1012 759 492 212 -inf -inf -inf

-inf -inf -inf 2073 -inf -inf;4695 3774 3114 3774 4056 2475 3264 2814 3264 1233 2351

2081 1821 1568 1290 1037 770 490 212 -inf -inf -inf -inf -inf 2351 -inf -inf;4975

4054 3394 4054 4336 2755 3544 3094 3544 1513 2631 2361 2101 1848 1570 1317 1050 770

492 212 -inf -inf -inf -inf 2631 -inf -inf;5267 4346 3686 4346 4628 3047 3836 3386

3836 1805 2923 2653 2393 2140 1862 1609 1342 1062 784 504 212 -inf -inf -inf 2923

-inf -inf;5551 4630 3970 4630 4912 3331 4120 3670 4120 2089 3207 2937 2677 2424 2146

1893 1626 1346 1068 788 496 212 -inf -inf 3207 -inf -inf;5849 4928 4268 4928 5210

3629 4418 3968 4418 2387 3505 3235 2975 2722 2444 2191 1924 1644 1366 1086 794 510

212 -inf 3505 -inf -inf;6148 5227 4567 5227 5509 3928 4717 4267 4717 2686 3804 3534

3274 3021 2743 2490 2223 1943 1665 1385 1093 809 511 212 3804 -inf -inf;6509 5588

4928 5588 5870 4289 5078 4628 5078 3047 4165 3895 3635 3382 3104 2851 2584 2304 2026

1746 1454 1170 872 573 4165 -inf -inf;6803 5882 5222 5882 6164 4583 5372 4922 5372

3341 4459 4189 3929 3676 3398 3145 2878 2598 2320 2040 1748 1464 1166 867 4459 2217

-inf;9176 8255 7595 8255 8537 6956 7745 7295 7745 5714 6832 6562 6302 6049 5771 5518

5251 4971 4693 4413 4121 3837 3539 3240 6832 4590 848]


156

HASIL PERHITUNGAN :

===================

Matriks A =

Columns 1 through 16

934 -Inf -Inf -Inf 295 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

-Inf 435 -Inf 435 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

-Inf -Inf 934 -Inf -Inf 295 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf


1868 875 -Inf 875 1229 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

-Inf 1315 1868 1315 -Inf 1229 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

-Inf 875 -Inf 875 -Inf -Inf 365 -Inf 365 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

2176 1255 -Inf 1255 1537 -Inf 745 295 745 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf


-Inf 1695 2176 1695 -Inf 1537 1125 -Inf 1125 295 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

2556 1635 -Inf 1635 1917 -Inf 1125 675 1125 -Inf 212 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

2826 1905 -Inf 1905 2187 -Inf 1395 945 1395 -Inf 482 212 -Inf -Inf -Inf -Inf

3086 2165 -Inf 2165 2447 -Inf 1655 1205 1655 -Inf 742 472 212 -Inf -Inf -Inf

3339 2418 -Inf 2418 2700 -Inf 1908 1458 1908 -Inf 995 725 465 212 -Inf -Inf

3617 2696 -Inf 2696 2978 -Inf 2186 1736 2186 -Inf 1273 1003 743 490 212 -Inf

3870 2949 -Inf 2949 3231 -Inf 2439 1989 2439 -Inf 1526 1256 996 743 465 212

4137 3216 2556 3216 3498 1917 2706 2256 2706 675 1793 1523 1263 1010 732 479

4417 3496 2836 3496 3778 2197 2986 2536 2986 955 2073 1803 1543 1290 1012 759

4695 3774 3114 3774 4056 2475 3264 2814 3264 1233 2351 2081 1821 1568 1290 1037

4975 4054 3394 4054 4336 2755 3544 3094 3544 1513 2631 2361 2101 1848 1570 1317

5267 4346 3686 4346 4628 3047 3836 3386 3836 1805 2923 2653 2393 2140 1862 1609

5551 4630 3970 4630 4912 3331 4120 3670 4120 2089 3207 2937 2677 2424 2146 1893

5849 4928 4268 4928 5210 3629 4418 3968 4418 2387 3505 3235 2975 2722 2444 2191

6148 5227 4567 5227 5509 3928 4717 4267 4717 2686 3804 3534 3274 3021 2743 2490

6509 5588 4928 5588 5870 4289 5078 4628 5078 3047 4165 3895 3635 3382 3104 2851

6803 5882 5222 5882 6164 4583 5372 4922 5372 3341 4459 4189 3929 3676 3398 3145

9176 8255 7595 8255 8537 6956 7745 7295 7745 5714 6832 6562 6302 6049 5771 5518


157



-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf










-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 -Inf -Inf






212 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 1793 -Inf -Inf

492 212 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 2073 -Inf -Inf

770 490 212 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 2351 -Inf -Inf

1050 770 492 212 -Inf -Inf -Inf -Inf 2631 -Inf -Inf

1342 1062 784 504 212 -Inf -Inf -Inf 2923 -Inf -Inf

1626 1346 1068 788 496 212 -Inf -Inf 3207 -Inf -Inf

1924 1644 1366 1086 794 510 212 -Inf 3505 -Inf -Inf

2223 1943 1665 1385 1093 809 511 212 3804 -Inf -Inf

2584 2304 2026 1746 1454 1170 872 573 4165 -Inf -Inf

2878 2598 2320 2040 1748 1464 1166 867 4459 2217 -Inf

5251 4971 4693 4413 4121 3837 3539 3240 6832 4590 848


158

NILAI EIGEN max-plus maksimum matriks A =

4165


-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-3953

-3683

-3423

-3170

-2892

-2639

-2372

-2092

-1814

-1534

-1242

-958

-660

-361

0

294

2667


159


>> hitung

ans =



--------------------------------

Masukkan matriks A(nxn) = [934 -inf -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf




















160







1526 -inf -inf;4137 3216 2556 3216 3498 1917 2706 2256 2706 675 1793 1523 1263 1010


3778 2197 2986 2536 2986 955 2073 1803 1543 1290 1012 759 492 212 -inf -inf -inf



4054 3394 4054 4336 2755 3544 3094 3544 1513 2631 2361 2101 1848 1570 1317 1050 770


3836 1805 2923 2653 2393 2140 1862 1609 1342 1062 784 504 212 -inf -inf -inf 2923

-inf -inf;5551 4630 3970 4630 4912 3331 4120 3670 4120 2089 3207 2937 2677 2424 2146

1893 1626 1346 1068 788 496 212 -inf -inf 3207 -inf -inf;5849 4928 4268 4928 5210

3629 4418 3968 4418 2387 3505 3235 2975 2722 2444 2191 1924 1644 1366 1086 794 510

212 -inf 3505 -inf -inf;6148 5227 4567 5227 5509 3928 4717 4267 4717 2686 3804 3534

3274 3021 2743 2490 2223 1943 1665 1385 1093 809 511 212 3804 -inf -inf;6509 5588

4928 5588 5870 4289 5078 4628 5078 3047 4165 3895 3635 3382 3104 2851 2584 2304 2026

1746 1454 1170 872 573 4165 -inf -inf;6803 5882 5222 5882 6164 4583 5372 4922 5372

3341 4459 4189 3929 3676 3398 3145 2878 2598 2320 2040 1748 1464 1166 867 4459 2217

-inf;9176 8255 7595 8255 8537 6956 7745 7295 7745 5714 6832 6562 6302 6049 5771 5518

5251 4971 4693 4413 4121 3837 3539 3240 6832 4590 848]


161

Masukkan matriks B(nx1) = [10;

5;

10;

445;

944;

944;

445;

1252;

885;

1265;

1632;

1902;

2162;

2415;

2693;

2946;

3213;

3493;

3771;

4051;

4343;

4627;

4925;

5224;

5585;

5879;

8252]

Masukkan matriks C(1xn) = [-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 848]


162

Masukkan kondisi awal x0(nx1) = [10;

5;

10;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf]



163

HASIL PERHITUNGAN :

===================

Matriks A =
















3617 2696 -Inf 2696 2978 -Inf 2186 1736 2186 -Inf 1273 1003 743 490 212 -Inf

3870 2949 -Inf 2949 3231 -Inf 2439 1989 2439 -Inf 1526 1256 996 743 465 212

4137 3216 2556 3216 3498 1917 2706 2256 2706 675 1793 1523 1263 1010 732 479

4417 3496 2836 3496 3778 2197 2986 2536 2986 955 2073 1803 1543 1290 1012 759

4695 3774 3114 3774 4056 2475 3264 2814 3264 1233 2351 2081 1821 1568 1290 1037

4975 4054 3394 4054 4336 2755 3544 3094 3544 1513 2631 2361 2101 1848 1570 1317

5267 4346 3686 4346 4628 3047 3836 3386 3836 1805 2923 2653 2393 2140 1862 1609

5551 4630 3970 4630 4912 3331 4120 3670 4120 2089 3207 2937 2677 2424 2146 1893

5849 4928 4268 4928 5210 3629 4418 3968 4418 2387 3505 3235 2975 2722 2444 2191

6148 5227 4567 5227 5509 3928 4717 4267 4717 2686 3804 3534 3274 3021 2743 2490

6509 5588 4928 5588 5870 4289 5078 4628 5078 3047 4165 3895 3635 3382 3104 2851

6803 5882 5222 5882 6164 4583 5372 4922 5372 3341 4459 4189 3929 3676 3398 3145

9176 8255 7595 8255 8537 6956 7745 7295 7745 5714 6832 6562 6302 6049 5771 5518


164























1626 1346 1068 788 496 212 -Inf -Inf 3207 -Inf -Inf

1924 1644 1366 1086 794 510 212 -Inf 3505 -Inf -Inf

2223 1943 1665 1385 1093 809 511 212 3804 -Inf -Inf

2584 2304 2026 1746 1454 1170 872 573 4165 -Inf -Inf

2878 2598 2320 2040 1748 1464 1166 867 4459 2217 -Inf

5251 4971 4693 4413 4121 3837 3539 3240 6832 4590 848


165

Matriks B =

10

5

10

445

944

944

445

1252

885

1265

1632

1902

2162

2415

2693

2946

3213

3493

3771

4051

4343

4627

4925

5224

5585

5879

8252


166

Matriks C =

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 848

Kondisi awal x0 =

10

5

10

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf


167

Barisan input u = 0 600 1800 2400 3000 3600


10 944 2173 3402 4631 5860 7089

5 440 1315 2190 3065 3940 4815

10 944 2173 3402 4631 5860 7089

-Inf 880 1755 2630 3505 4380 5255

-Inf 1878 3107 4336 5565 6794 8023

-Inf 1878 3107 4336 5565 6794 8023

-Inf 880 1755 2630 3505 4380 5255

-Inf 2186 3415 4644 5873 7102 8331

-Inf 1320 2195 3070 3945 4820 5695

-Inf 2186 3415 4644 5873 7102 8331

-Inf 2566 6731 10896 15061 19226 23391

-Inf 2836 7001 11166 15331 19496 23661

-Inf 3096 7261 11426 15591 19756 23921

-Inf 3349 7514 11679 15844 20009 24174

-Inf 3627 7792 11957 16122 20287 24452

-Inf 3880 8045 12210 16375 20540 24705

-Inf 4147 8312 12477 16642 20807 24972

-Inf 4427 8592 12757 16922 21087 25252

-Inf 4705 8870 13035 17200 21365 25530

-Inf 4985 9150 13315 17480 21645 25810

-Inf 5277 9442 13607 17772 21937 26102

-Inf 5561 9726 13891 18056 22221 26386

-Inf 5859 10024 14189 18354 22519 26684

-Inf 6158 10323 14488 18653 22818 26983

-Inf 6519 10684 14849 19014 23179 27344

-Inf 6813 10978 15143 19308 23473 27638

-Inf 9186 13351 17516 21681 25846 30011


168


10034 14199 18364 22529 26694 30859

>> optio


----------------------------------------------------

Masukkan matriks A [934 -inf -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 435 -inf 435 -inf -inf


-inf -inf -inf -inf;-inf -inf 934 -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf



-inf -inf -inf -inf -inf;1868 875 -inf 875 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 1315 1868

1315 -inf 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 875 -inf 875 -inf -inf 365 -inf 365 -inf -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;













169




1526 -inf -inf;4137 3216 2556 3216 3498 1917 2706 2256 2706 675 1793 1523 1263 1010


3778 2197 2986 2536 2986 955 2073 1803 1543 1290 1012 759 492 212 -inf -inf -inf



4054 3394 4054 4336 2755 3544 3094 3544 1513 2631 2361 2101 1848 1570 1317 1050 770


3836 1805 2923 2653 2393 2140 1862 1609 1342 1062 784 504 212 -inf -inf -inf 2923

-inf -inf;5551 4630 3970 4630 4912 3331 4120 3670 4120 2089 3207 2937 2677 2424 2146

1893 1626 1346 1068 788 496 212 -inf -inf 3207 -inf -inf;5849 4928 4268 4928 5210

3629 4418 3968 4418 2387 3505 3235 2975 2722 2444 2191 1924 1644 1366 1086 794 510

212 -inf 3505 -inf -inf;6148 5227 4567 5227 5509 3928 4717 4267 4717 2686 3804 3534

3274 3021 2743 2490 2223 1943 1665 1385 1093 809 511 212 3804 -inf -inf;6509 5588

4928 5588 5870 4289 5078 4628 5078 3047 4165 3895 3635 3382 3104 2851 2584 2304 2026

1746 1454 1170 872 573 4165 -inf -inf;6803 5882 5222 5882 6164 4583 5372 4922 5372

3341 4459 4189 3929 3676 3398 3145 2878 2598 2320 2040 1748 1464 1166 867 4459 2217

-inf;9176 8255 7595 8255 8537 6956 7745 7295 7745 5714 6832 6562 6302 6049 5771 5518

5251 4971 4693 4413 4121 3837 3539 3240 6832 4590 848]


170

Masukkan matriks B = [10;

5;

10;

445;

944;

944;

445;

1252;

885;

1265;

1632;

1902;

2162;

2415;

2693;

2946;

3213;

3493;

3771;

4051;

4343;

4627;

4925;

5224;

5585;

5879;

8252]

Masukkan matriks C = [-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf



171

Masukkan kondisi awal x0 = [10;

5;

10;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf]

Masukkan barisan output (dalam vektor kolom) y = [10034;14199;18364;22529;26694;30859]


172

HASIL PERHITUNGAN :

===================

Matriks A =
















3617 2696 -Inf 2696 2978 -Inf 2186 1736 2186 -Inf 1273 1003 743 490 212 -Inf

3870 2949 -Inf 2949 3231 -Inf 2439 1989 2439 -Inf 1526 1256 996 743 465 212

4137 3216 2556 3216 3498 1917 2706 2256 2706 675 1793 1523 1263 1010 732 479

4417 3496 2836 3496 3778 2197 2986 2536 2986 955 2073 1803 1543 1290 1012 759

4695 3774 3114 3774 4056 2475 3264 2814 3264 1233 2351 2081 1821 1568 1290 1037

4975 4054 3394 4054 4336 2755 3544 3094 3544 1513 2631 2361 2101 1848 1570 1317

5267 4346 3686 4346 4628 3047 3836 3386 3836 1805 2923 2653 2393 2140 1862 1609

5551 4630 3970 4630 4912 3331 4120 3670 4120 2089 3207 2937 2677 2424 2146 1893

5849 4928 4268 4928 5210 3629 4418 3968 4418 2387 3505 3235 2975 2722 2444 2191

6148 5227 4567 5227 5509 3928 4717 4267 4717 2686 3804 3534 3274 3021 2743 2490

6509 5588 4928 5588 5870 4289 5078 4628 5078 3047 4165 3895 3635 3382 3104 2851

6803 5882 5222 5882 6164 4583 5372 4922 5372 3341 4459 4189 3929 3676 3398 3145

9176 8255 7595 8255 8537 6956 7745 7295 7745 5714 6832 6562 6302 6049 5771 5518


173























1626 1346 1068 788 496 212 -Inf -Inf 3207 -Inf -Inf

1924 1644 1366 1086 794 510 212 -Inf 3505 -Inf -Inf

2223 1943 1665 1385 1093 809 511 212 3804 -Inf -Inf

2584 2304 2026 1746 1454 1170 872 573 4165 -Inf -Inf

2878 2598 2320 2040 1748 1464 1166 867 4459 2217 -Inf

5251 4971 4693 4413 4121 3837 3539 3240 6832 4590 848


174

Matriks B =

10

5

10

445

944

944

445

1252

885

1265

1632

1902

2162

2415

2693

2946

3213

3493

3771

4051

4343

4627

4925

5224

5585

5879

8252

Matriks C = -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

-Inf 848


175

Kondisi awal x0 =

10

5

10

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf


176

Barisan output y =

10034

14199

18364

22529

26694

30859


934 5099 9264 13429 17594 21759


10034 14199 18364 22529 26694 30859


934 5099 9264 13429 17594 21759


10034 14199 18364 22529 26694 30859


177


--------------------------------

Masukkan matriks A(nxn) = [934 -inf -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

























1526 -inf -inf;4137 3216 2556 3216 3498 1917 2706 2256 2706 675 1793 1523 1263 1010


3778 2197 2986 2536 2986 955 2073 1803 1543 1290 1012 759 492 212 -inf -inf -inf


178



4054 3394 4054 4336 2755 3544 3094 3544 1513 2631 2361 2101 1848 1570 1317 1050 770


3836 1805 2923 2653 2393 2140 1862 1609 1342 1062 784 504 212 -inf -inf -inf 2923

-inf -inf;5551 4630 3970 4630 4912 3331 4120 3670 4120 2089 3207 2937 2677 2424 2146

1893 1626 1346 1068 788 496 212 -inf -inf 3207 -inf -inf;5849 4928 4268 4928 5210

3629 4418 3968 4418 2387 3505 3235 2975 2722 2444 2191 1924 1644 1366 1086 794 510

212 -inf 3505 -inf -inf;6148 5227 4567 5227 5509 3928 4717 4267 4717 2686 3804 3534

3274 3021 2743 2490 2223 1943 1665 1385 1093 809 511 212 3804 -inf -inf;6509 5588

4928 5588 5870 4289 5078 4628 5078 3047 4165 3895 3635 3382 3104 2851 2584 2304 2026

1746 1454 1170 872 573 4165 -inf -inf;6803 5882 5222 5882 6164 4583 5372 4922 5372

3341 4459 4189 3929 3676 3398 3145 2878 2598 2320 2040 1748 1464 1166 867 4459 2217

-inf;9176 8255 7595 8255 8537 6956 7745 7295 7745 5714 6832 6562 6302 6049 5771 5518

5251 4971 4693 4413 4121 3837 3539 3240 6832 4590 848]

Masukkan matriks B(nx1) = [10;

5;

10;

445;

944;

944;

445;

1252;

885;

1265;

1632;

1902;

2162;

2415;

2693;


179

2946;

3213;

3493;

3771;

4051;

4343;

4627;

4925;

5224;

5585;

5879;

8252]

Masukkan matriks C(1xn) = [-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf


Masukkan kondisi awal x0(nx1) = [10;

5;

10;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;


180

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf;

-inf]


HASIL PERHITUNGAN :

===================

Matriks A =















181



3617 2696 -Inf 2696 2978 -Inf 2186 1736 2186 -Inf 1273 1003 743 490 212 -Inf

3870 2949 -Inf 2949 3231 -Inf 2439 1989 2439 -Inf 1526 1256 996 743 465 212

4137 3216 2556 3216 3498 1917 2706 2256 2706 675 1793 1523 1263 1010 732 479

4417 3496 2836 3496 3778 2197 2986 2536 2986 955 2073 1803 1543 1290 1012 759

4695 3774 3114 3774 4056 2475 3264 2814 3264 1233 2351 2081 1821 1568 1290 1037

4975 4054 3394 4054 4336 2755 3544 3094 3544 1513 2631 2361 2101 1848 1570 1317

5267 4346 3686 4346 4628 3047 3836 3386 3836 1805 2923 2653 2393 2140 1862 1609

5551 4630 3970 4630 4912 3331 4120 3670 4120 2089 3207 2937 2677 2424 2146 1893

5849 4928 4268 4928 5210 3629 4418 3968 4418 2387 3505 3235 2975 2722 2444 2191

6148 5227 4567 5227 5509 3928 4717 4267 4717 2686 3804 3534 3274 3021 2743 2490

6509 5588 4928 5588 5870 4289 5078 4628 5078 3047 4165 3895 3635 3382 3104 2851

6803 5882 5222 5882 6164 4583 5372 4922 5372 3341 4459 4189 3929 3676 3398 3145

9176 8255 7595 8255 8537 6956 7745 7295 7745 5714 6832 6562 6302 6049 5771 5518

















182

Matriks B =

10

5

10

445

944

944

445

1252

885

1265

1632

1902

2162

2415

2693

2946








1626 1346 1068 788 496 212 -Inf -Inf 3207 -Inf -Inf

1924 1644 1366 1086 794 510 212 -Inf 3505 -Inf -Inf

2223 1943 1665 1385 1093 809 511 212 3804 -Inf -Inf

2584 2304 2026 1746 1454 1170 872 573 4165 -Inf -Inf

2878 2598 2320 2040 1748 1464 1166 867 4459 2217 -Inf

5251 4971 4693 4413 4121 3837 3539 3240 6832 4590 848


183

3213

3493

3771

4051

4343

4627

4925

5224

5585

5879

8252

Matriks C =

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 848

Kondisi awal x0 =

10

5

10

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf


184

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

-Inf

Barisan input u =

934 5099 9264 13429 17594


10 944 5109 9274 13439 17604

5 939 5104 9269 13434 17599

10 944 5109 9274 13439 17604

-Inf 1379 5544 9709 13874 18039

-Inf 1878 6043 10208 14373 18538

-Inf 1878 6043 10208 14373 18538

-Inf 1379 5544 9709 13874 18039

-Inf 2186 6351 10516 14681 18846

-Inf 1819 5984 10149 14314 18479

-Inf 2199 6364 10529 14694 18859

-Inf 2566 6731 10896 15061 19226

-Inf 2836 7001 11166 15331 19496

-Inf 3096 7261 11426 15591 19756


185

-Inf 3349 7514 11679 15844 20009

-Inf 3627 7792 11957 16122 20287

-Inf 3880 8045 12210 16375 20540

-Inf 4147 8312 12477 16642 20807

-Inf 4427 8592 12757 16922 21087

-Inf 4705 8870 13035 17200 21365

-Inf 4985 9150 13315 17480 21645

-Inf 5277 9442 13607 17772 21937

-Inf 5561 9726 13891 18056 22221

-Inf 5859 10024 14189 18354 22519

-Inf 6158 10323 14488 18653 22818

-Inf 6519 10684 14849 19014 23179

-Inf 6813 10978 15143 19308 23473

-Inf 9186 13351 17516 21681 25846


10034 14199 18364 22529 26694


186

LAMPIRAN IV


187


OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN … · be determined by making the maximum value...

Documents

Transcript of OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN … · be determined by making the maximum value...