Ondas Superficiales en El Mar

7/26/2019 Ondas Superficiales en El Mar

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Ondas Superficiales en el Mar (Review)

TECHNICAL REPORT JUNE 2014

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202

2 AUTHORS, INCLUDING:

Hugo Tinoco

University of Alicante

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Contenido

1. Teora lineal de ondas (Teora de Airy) .................................................................................................. 51.1 Celeridad, longitud y perodo .............................................................................................................. 7

1.2 Dispersin del oleaje ............................................................................................................................... 8

1.3 Desplazamientos de las partculas del agua ...................... ...................... ..................... ................. 9

2. Teoras no lineales ......................................................................................................................................... 11

2.1 Teora de Stokes ...................................................................................................................................... 12

2.2 Teora Cnoidal .......................................................................................................................................... 14

2.3 Teora onda solitaria ............................................................................................................................. 15

3. Aproximacin Estadstica ........................................................................................................................... 17

4. Anlisis espectral ........................................................................................................................................... 21

5. Comparativa y conclusiones .................... ...................... ...................... ...................... ..................... ........... 24

5.1 Descripcin matemtica y descripcin emprica ................... ...................... ...................... ....... 24

5.2 Descripcin estadstica y espectral ..................... ...................... ..................... ...................... ........... 24

5.3 Comparativa.............................................................................................................................................. 24

5.4 Utilidad prctica de los modelos de simulacin de oleaje junto con el estudio

estadstico o espectral de los estados del mar ..................... ...................... ..................... ................... 26

Bibliografa ............................................................................................................................................................ 28


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Las teoras que describen el oleaje son aproximaciones a la realidad. Estas teoras pueden

describir de manera adecuada aquellos fenmenos cuyas condiciones satisfagan las

suposiciones hechas a lo largo de su obtencin. Asimismo, pueden no describir otros

fenmenos que contradigan esas suposiciones. Al adoptar una teora, ha de asegurarse que

el fenmeno de inters est descrito razonablemente bien por la teora adoptada, por

ejemplo la proteccin del litoral, que se basa en el estudio del oleaje, depende de la

habilidad para predecir los oleajes y las corrientes, as como de la precisin de esas

aproximaciones.

Para garantizar el uso adecuado de las distintas teoras del oleaje se debe establecer un

rango de validez para cada una de ellas. Las teoras no lineales, describen mejor el

transporte de masa, la rotura de ola, reflexin, transmisin de energa y otras

caractersticas no lineales.

Dean [1974] present un anlisis en el que defina las regiones de validez de las distintas

teoras en funcin de los parmetros H/T2y d/T2 donde T2es proporcional a la longitud de

onda. Le Mhaut [1976] present un anlisis ligeramente diferente para ilustrar los

lmites aproximados de validez de varias teoras de ondas, incluyendo las teoras de tercer

y cuarto orden de Stokes. Tanto Le Mhaut como Dean recomiendan la teora cnoidal

para aguas poco profundas de baja pendiente, y las teoras de orden superior de Stokes

para aguas profundas. La teora lineal se recomienda para pequeas pendientes H/T2 y

valores pequeos de Ur, donde Ur es el nmero de Ursell y se define como Ur .Para ondas de escaso peralte en aguas profundas y de transicin la teora lineal es

adecuada, pero en esta regin se pueden utilizar otras teoras. La teora de Fenton,

particularizacin de la teora de 5 orden de Stokes, se ajusta para la mayor parte del

dominio, aunque no se observa en el grfico de Le Mhaut por ser posterior a la

confeccin del mismo.

Para valores conocidos de H, dy Tel grfico de Le Mhaut (figura 1) se puede emplearr

como gua para seleccionar la teora apropiada.

El valor del nmero de Ursell, Ur (a veces denominado nmero de Stokes), se puede

utilizar para establecer los lmites de las regiones de uso de cada teora. Una alternativa, es

el denominado parmetro Universal (Up) sugerido por Goda [1978] para la clasificacin de

las teoras de ondas.

Cokelet [1977] y Williams [1981] establecieron los valores para las regiones de validacin

de las teoras no lineales de rdenes superiores (figura 2). En la figura 2 tambin se

muestran las regiones donde son vlidas las teoras de Stokes (ondas cortas), la teoracnoidal y la de ondas solitarias (ondas largas). Tambin se puede observar el lmite de

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rotura para las olas solitarias (Hbw= 0,833) establecido por Williams y la limitacin de

altura (HbF) determinada por Cokelet.

Figura 1. Rango de validez de las teoras de ondas.Fuente: [Le Mhaut, 1976]

Figura 2. Agrupacin de las olas de viento en base al parmetro universal (L/d) y la limitacin de laaltura de ola.

Fuente: [CEM, 2002]


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En la figura 3, se puede comparar la forma de las diferentes ondas, en funcin de sus

teoras.

Figura 3. Comparacin de ondas en diferentes teorasFuente: Manual SMC.

1. Teora lineal de ondas (Teora de Airy)

La teora lineal es la teora de oleaje ms simple, tambin denominada teora de Airy. Esta

teora fue desarrollada por Airy en 1845, es fcil de aplicar, y da una aproximacin

razonable de las caractersticas de las olas para un amplio rango de los parmetros de las

mismas. Aunque hay limitaciones en su aplicacin, esta teora an puede ser til siempre

que no se infrinjan las hiptesis de partida.

Las hiptesis de partida son:

1. El agua es homognea e incompresible; lo que implica que la densidad, , esconstante.

2. La tensin superficial puede ser despreciada.3.

El efecto de Coriolis debido a la rotacin de la tierra puede ser asimismo

despreciado.4. La presin en la superficie libre del mar es uniforme y constante.

5. El agua del mar carece de viscosidad.6.

El flujo es irrotacional, no existe interaccin del oleaje con ningn otro movimiento

marino.7. El fondo marino constituye un lmite horizontal, fijo e impermeable, lo que implica

que la velocidad vertical en l es nula.


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8. La amplitud de onda es pequea y su forma es invariable en el tiempo y en el

espacio.9.

Las ondas son planas (de dos dimensiones).

Las tres primeras hiptesis pueden ser asumidas en la mayor parte de los problemas,

mientras que las tres ltimas han de asumirse necesariamente en la Ingeniera Costera.

De la primera hiptesis se extrae la conclusin de que las lneas de corriente de un fluido

incompresible son paralelas. Esto se puede justificar a partir de la ecuacin de

conservacin de la masa:

0 (1)dondees la densidad y el vector de velocidad.Ahora, si el fluido es incompresible, la densidad es constante y por lo tanto su derivada es

cero, entonces la ecuacin anterior se puede escribir: 0 (2)Lo que quiere decir que la diferencia de la velocidad es nula, o lo que es lo mismo, que las

lneas de flujo son paralelas, pero no significa que tengan que ser rectas.

La hiptesis de que el flujo es irrotacional implica que el campo correspondiente deriva de

un potencial, es decir, que puede escribirse, para la velocidad horizontal (u) y vertical (w)

las siguientes ecuaciones:

(3)

Las ecuaciones anteriores implican que si se conoce el potencial (x, z, t) en todo el mbito

de estudio, se pueden conocer tambin las velocidades de las partculas.

La formulacin de la teora lineal se desarrolla normalmente en trminos de funcin

potencial, . Segn Airy se corresponde con una perturbacin de primer orden, ,en la que las condiciones de contorno tienen que cumplirse enz= 0, obtenindose as:

a) El fondo es impermeable, no hay movimiento de agua a travs del mismo, por lo

tanto:

0 (4)Siendo dla profundidad mxima.

b)

El agua siempre est contenida dentro de su superficie, de tal forma que las

partculas se mueven a la misma velocidad con que cambia de forma la superficie

del mar (5)c) En la superficie, la presin (p) se obtiene a travs de la ecuacin de Bernoulli como

(6)


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d) Por ltimo se supone que la pendiente de la ola es pequea (H/L>1).

Las soluciones para este problema se asume que son armnicas en el tiempo y se obtiene

por separacin de variables. Las soluciones tienen la siguiente forma (p. ej. [Wehausen &

Laitone, 1960]):

,, + cos (7)La correspondiente elevacin de la superficie es

, cos (8)Donde la frecuencia est determinada por la relacin de dispersin:

tanh ; donde

(9)

Como vemos, la solucin de la superficie del agua puede representarse por sus variablesx

(espacial) y t (temporal) o por su combinacin (fase), definida como (kx - t). Como se

representa en la figura 4, una onda peridica de forma constante propagndose sobre un

fondo horizontal puede ser completamente descrita por su altura de ola (H), su longitud de

onda (L) y la profundidad (d).

Figura 4. Representacin de una onda de Airy .Fuente: [CEM, 2002]

1.1 Celeridad, longitud y perodo

La velocidad con que se propaga la ola se denomina celeridad, C. Tambin se denomina

velocidad de fase. Como la distancia recorrida por la onda durante un periodo es igual a la

longitud de onda, la celeridad se puede obtener como:

C = L/T (10)


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1.2 Dispersin del oleaje

La ecuacin de dispersin relaciona la celeridad con la profundidad y la longitud de onda.

El concepto de dispersin es importante para comprender fenmenos como el

agrupamiento del oleaje y los efectos que ste puede causar, principalmente la resonancia

en drsenas portuarias.

La relacin entre la celeridad, la longitud y la profundidad, se escribe como:

tanh (11)Combinando las ecuaciones 10 y 11, se puede escribir la celeridad como:

tanh (12)De la ecuacin anterior se observa que cuanto mayor es el perodo de una ola ms rpidoviaja. El concepto de dispersin implica que las olas se separan en su propagacin hacia la

costa, ordenndose por perodos. Comnmente, dentro de un mismo tren de ondas, las

olas de mayor perodo suelen tener tambin mayor altura, por lo cual al salir del rea de

generacin (fetch) el oleaje tiende a ordenarse en grupos de olas (figura 5).

Figura 5. Grupos de ondas.Fuente: Modificado de [Doering & Baryla, 2002]

En funcin del nmero de onda, k, la frecuencia angular, , y la ecuacin de dispersin,

puede escribirse la longitud de onda como:

L

tanh

tanhkd (13)

Esta ecuacin indica que la longitud de onda decrece con la profundidad, debido al

comportamiento de la funcin tanhkd, que se incrementa linealmente con valorespequeos de kd, pero tiende asintticamente a la unidad en profundidades indefinidas.En profundidades indefinidas, puede considerarse que la tangente hiperblica tiende a la

unidad, y por tanto, la longitud de onda es:

L 1,56T (14)Por lo general, la teora de Airy es adecuada para las olas de peralte Hok< 0,05.


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1.3 Desplazamientos de las partculas del agua

Un aspecto importante de la teora lineal est relacionado con el movimiento individual de

las partculas dentro del agua. Las olas de los ocanos estn constituidas por molculas de

agua que se mueven formando crculos. En la superficie del agua, en aguas profundas, los

movimientos son del mismo tamao que la altura de la ola, pero estos movimientosdisminuyen exponencialmente en tamao al descender debajo de la superficie.

El comportamiento de las olas depende en gran medida de la relacin que existe entre el

tamao de las olas y la profundidad del agua donde sta se est moviendo. El movimiento

de las molculas de agua cambia de forma circular a elipsoidal cuando una ola llega a la

costa y la profundidad del agua disminuye, siendo el movimiento ms horizontal (figura

6).

Figura 6. Desplazamientos de las partculas de agua desde la posicin de aguas profundas hasta aguaspoco profundas.

Fuente: The Comet Program

Esto se demuestra sustituyendo en la ecuacin 9, las ecuaciones del desplazamiento

horizontal y vertical de las partculas, que se obtienen integrando las ecuaciones de

velocidad (ec. 3), respecto al tiempo. As se llega a la siguiente expresin:

A2

B2 1 (15)

donde y son el desplazamiento horizontal y vertical respectivamente, + y + , ecuacin que representa una elipse, es decir, laspartculas se mueven en orbitas elpticas, que en aguas profundas (A = B) se transforman

en circunferencias.

Las rbitas elpticas con la profundidad y cerca del fondo cada vez son ms a largadas (por

la condicin de contorno (ec. 4) que supone que / ), y tienden a degenerar ensegmentos rectilneos (figura 7).


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Figura 7.Desplazamientos orbitales de las partculas en aguas profundas y poco profundas.Fuente: [Palomino Monzn & Almazn Grate, 200]

La tabla 1 resume los resultados de la teora lineal. El subndice 0 se refiere a aguasprofundas, y se asumen las siguientes simplificaciones:

Aguas profundas 0,5:coshkz d senhkz d ee (16)

coshkd senhkd e

(17) Aguas someras 0,04:coshkz d coshkd 1 (18)

senhkzd kzd (19)senhkd kd (20)

Los lmites indicados para la profundidad no deben tomarse como lmites exactos, sino

como valores a partir de los cuales la desviacin entre las expresiones indicadas y sus

lmites asintticos es despreciable.


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Fase Profundidad relativa d/L

Aguas profundas , Aguas intermedias,


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La teora de Stokes.

La teora cnoidal.

Teora de la onda solitaria.

Los mtodos de aproximacin mediante Fourier denominados como la

teora de Fenton.

La solucin matemtica para teoras de primer orden est basada en la solucin exacta de

la ecuaciones de Laplace mientras que las teoras no lineales se basan en un desarrollo

ms complejo, sin embargo este desarrollo parte de la teora lineal a la que se le van

sumando trminos.

En una primera aproximacin se puede establecer que la teora de Stokes se adeca mejor

a olas cuya longitud de onda no difiera en gran mediad de la profundidad a la que se

encuentra, mientras que la teora Cnoidal funciona mejor para longitudes de onda

mayores [Fenton, 1990].

2.1 Teora de StokesStokes fue pionero de este tipo de teoras, describiendo en 1847 los cambios que se

introducan en su teora en relacin a la teora lineal. Estos cambios se pueden apreciar en

la morfologa de la ondulacin, la cual presenta crestas ms pronunciadas y estrechas, y

depresiones ms someras y anchas en relacin a la teora lineal [USACE, 1942].

En la figura 8 se puede apreciar cmo la onda de Stokes de segundo orden puede ser

separada en dos ondas senoidales acopladas. Este mecanismo es el que siguen

representaciones ms complicadas que resultan de la superposicin de ondas bsicas

senoidales para obtener representaciones ms complejas pero que se ajustan mejor a los

fenmenos que ocurren en la naturaleza.

Figura 8. Composicin de una onda de Stokes de 2 orden a partir de dos componentes senoidales.

El desarrollo de Stokes se bas en un sumatorio de una serie de trminos dependientes del

parmetro de expansin de la perturbacin ( ), de tal modo que se modelaba unafuncin distinta en funcin del nmero de trminos, pudindose expresar el potencial de

velocidad segn la ecuacin 21.

(21)

Donde se corresponde con el termino de la teora lineal, con el termino de la teorade segundo orden de Stokes, y as sucesivamente.

- 2,5

- 2

- 1,5

- 1

- 0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 10 20 30 40 50 60

Stok es 2 Orden

1er Armn ic o

2 o A r mnico

S to k es 2 Orden


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13

La ecuacin de superficie de segundo orden de Stokes se corresponde con el sumatorio de

dos trminos senoidales como se aprecia en la ecuacin 22.

y cosx Kacos2x (22)Donde: (23)

+ + +

(24) (25)

Correspondiendose dcon la profundidad, Lcon la longitud de onda y h con la altura de laola.

Lo realmente complicado es realizar una correlacin entre los diferentes parmetros

medibles en la realidad, a fin de manejar matemticamente las variables introducidas en

ambos trminos del sumatorio senoidal. Y cuanto mayor es el nmero de trminos del

sumatorio senoidal, es decir, a mayor orden de la funcin de Stokes, mayor ser la

complejidad de los terminos que influyen en el clculo de la simulacin de la superficie del

mar.

La ecuacin de superficie de Stokes de tercer orden viene representada en la figura 9 y se

correponde con la ecucin 26.

y cos cos cos (26)

Figura 9. Composicin de la onda de 3er orden de Stokes a partir de 3 funciones fundamentales de tiposenoidal.

La ecuacin de superficie de Stokes de cuarto orden est representada en la figura 10.

cos

cos

cos

cos

(27)

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50 60

Stokes 3er Orden

1er Ar mn ic o

2 Ar mn ic o

3er Ar mn ic o

S to k es 3er O r d en


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Figura 10. Composicin de la onda de 4er orden de Stokes a partir de 4 funciones fundamentales detipo senoidal.

2.2 Teora Cnoidal

La teora cnoidal fue originalmente desarrollada por Korteweg and de Vries [1895]. Enesta teora se asume que la longitud de las ondas es muy superior a la profundidad de la

perturbacin al fondo [Le Mhaut & Hanes, 1990], por lo que ser aplicable a ondas de

una amplitud finta en aguas someras incluyendo los efectos de la no linealidad y la

dispersin [CEM, 2002].

La validez de la teora cnoidal se da para las siguientes relaciones:

<

> 20

La formulacin cnoidal responde a la ecuacin 28 [Wiegel, 1960].y y Cn 2Kt , k (28)L kKk (29)

Tg + (30)Dondeyses la superficie del agua medida desde el fondo, ytes la distancia entre el fondo

del mar y la depresin de la ola, Hes la altura de ola medida desde la depresin a la crestade la misma, Cn es la funcin elptica de tipo coseno de Jacobi, K(k) es la integral elptica

completa de primera especie y kes el mdulo de las integrales elpticas (excentricidad de

la elipse).

La teora cnoidal cuenta con dos limitaciones, la primera de ellas se da para k=1, cuando el

periodo de la funcin cenoidal tiende a infinito. Este hecho se corresponde con una

longitud de onda que tiende al infinito, viendose reducida la teora cnoidal a la de la onda

solitaria, establecindose as la relacin entre la teora cnoidal y la onda solitaria.

La otra limitacin de la teora se da para k=0, caso en el que la teora cnoidal se aproxima a

una onda sinusoidal, dndose este supuesto cuando la altura de ola es pequea encomparacin con la profundidad, reducindose la teora cnoidal a la lineal para este caso.

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 10 20 30 40 50 60

Stokes 4 Orden

1 e r A r mnic o

2 Ar mnic o

3 e r A r mnic o

4 Ar mnic o

S t o k es 4 Or de n


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La representacin grfica de estas dos asunciones puede comprenderse mediante el

estudio de las ecuaciones de una elipse, de tal modo que si se toma uno de sus ejes

normalizado, es decir asignndole el valor unidad, se tendra las ecuaciones 31 y 32.

1 b 1 y 1 (31)

x y r (32)

Figura 11. Notacin elipse.Fuente: [Schwalm, 2013]

La kde la frmulas de la teora cnoidal representa adems la excentricidad de la elipse, por

lo que es fcil asumir mediante una interpretacin directa de la formula 33 los dos

postulados descritos anteriormente.

k 1 b 1 k 1 (33) Si atiende a entonces k=1, por lo que se reduce el caso al de la onda solitaria en

la que la longitud de onda tiende a infinito, identificando acon la longitud de onda.

Si a=1, kse hace 0, por lo que se est en la teora lineal por haberse convertido la

elipse en un crculo.

2.3 Teora onda solitaria

Una ola solitaria ni es oscilatoria ni presenta una artesa. En el sentido ms puro, la forma

de onda solitaria se encuentra totalmente por encima del nivel del agua en calma. La ondasolitaria es una onda de traslacin porque las partculas de agua se desplazan una

distancia en la direccin de propagacin de la onda a medida que esta pasa.

Una onda solitaria es una ola que consiste en el desplazamiento del agua sobre el nivel

medio de la superficie. Russell [1838] fue el primero en informar sobre esta ola causada

por el transito de una barcaza en un canal. Esta ola tambin ha sido utilizada por Munk

como modelo de ondas en la zona de surf. Adems describe de una manera

razonablemente buena el comportamiento de la primera ola de un tsunami.

La forma de onda de una onda solitaria viene dada en funcin de la distancia, x, y del

tiempo, t, por la ecuacin 34.


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yx, t HsechkxCt (34)Donde Hes el mximo valor de la altura de ola (que ocurre en x=0 y t=0), Ces la celeridad

de onda (velocidad), sech es la secante hiperblica y el parmetro k se define en la

ecuacin 35.

k (35)La onda solitaria es un caso lmite de la onda cnoidal. Cuando 1, 1 , yel coseno elptico se reduce a la funcin de secante hiperblica en la superficie del agua.

La longitud de una onda solitaria es tericamente infinita. Sin embargo, en la prctica, se

observa que la elevacin de la superficie del agua disminuye rpidamente a cero con la

distancia x (ec. 34). As, de la misma manera que para otros tipos de ondas, podemos

definir una longitud de onda, L, de acuerdo con la ecaucin 36.

(36)A una distanciax = L/2 de la cresta de la ola, el desplazamiento de la superficie del agua se

reduce a un 0,74% de su valor mximo.

La velocidad de la ola solitaria se corresponde con la ecuacin 37.

(37)As, un perodo de onda aparente podra ser definido con la ecuacin 38.

/ (38)Las velocidades de las partculas del agua para una ola solitaria vienen representadas por

las ecuaciones 39 y 40 [Munk, 1949].

+M/M/M/+M/ (39)

M/M/M/+M/ (40)

Donde My Nson funciones de H/dmostradas en la figura 12, e yse mide desde el fondo.

La expresin de la velocidad horizontal use utiliza a menudo para predecir la fuerza del

oleaje sobre las estructuras marinas situadas en aguas someras. La velocidad mxima umax

se produce enx= 0 y t= 0, por lo que:

+M/ (41)


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17

Figura 12. Funciones M y N en una onda solitaria.Fuente: [Munk, 1949]

Cuando una ola solitaria se mueve en aguas poco profundas se hace inestable y rompe.

Una ola solitaria rompe cuando la velocidad de las partculas de agua en la superficie de lacresta es igual a la celeridad de la onda [Miles, 1979]. Segn Miles [1980] esto ocurre

cuando:

0,78 (42)3. Aproximacin Estadstica

Cuando observamos el oleaje en un punto determinado de la costa vemos como en lamayora de ocasiones se trata de un proceso irregular, es decir, las alturas de ola, periodos

y direcciones no son siempre los mismos, presentando una cierta variabilidad. Sin

embargo, cuando tratamos de caracterizar el fenmeno observado (mediante una estima

visual por ejemplo) simplificamos el proceso asumiendo un nico valor para cada una de

las variables mencionadas

Supongamos que somos capaces de determinar con una gran resolucin (boyas de oleaje)

las variaciones de la superficie libre, , durante un periodo de tiempo suficientemente

largo como para representar el oleaje que queremos analizar, en este caso obtendramos

un registro temporal tal como el de la figura 13, donde se observa como para ese periodo

de tiempo existe un gran variacin en alturas y periodos.


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Figura 13. Registro de la variacin de la superficie libre del mar obtenido por la boya de Cabo de Palos.

El problema que se plantea a continuacin es cmo definir de forma general el suceso

altura de ola, Hi, y periodo, Ti. En el primer caso, Hies definida como el mximo y mnimo

existente entre dos pasos descendentes por cero, siendo el tiempo transcurrido entre

ambos episodios (paso descendente) el periodo Ti (figura 14). Este criterio permite

caracterizar el registro mediante un conjunto de Nalturas de ola y periodos sobre el que

se puede realizar un anlisis estadstico de forma que el proceso quede caracterizado por

un nico valor. En este sentido los parmetros representativos del oleaje ms utilizados

seran:

A. Altura de ola significante Hso H1/3.B.

Altura de ola media cuadrtica Hrms.C. Altura de ola mxima Hmax.

D.

Periodo medio Tz.

E. Periodo significante Ts.

Altura de ola significante

Tradicionalmente, se ha definido la altura de ola significante como aquella que percibe un

observador habituado al mar.

Para calcularla, ha de hacerse una ordenacin de mayor a menor del registro del oleaje de

manera que la altura de ola significante, denotada como Hso H1/3, es la media aritmticadel tercio de olas ms altas del registro.

Es decir, si un registro de oleaje contiene las siguientes doce alturas de ola (en metros):

5,5; 5; 5; 4,5; 4; 3,5; 3; 3; 2,5; 2; 2; 1,5 el tercio de olas ms altas son las cuatro primeras

(12/3 = 4), y su media aritmtica, la altura de ola significante del temporal, es decir:

/ ,+++, 5 (43)Escrito matemticamente, si el registro de mayor a menor tiene N olas, la altura de ola

significante ser:

H/ N/N/= (44)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Superficielibr

e(m)

Das


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Figura 14. Definicin de altura de ola y periodo en un registro de una boya de oleaje.

Altura de ola media cuadrtica

La altura de ola cuadrtica segn algunos autores es la ola que mejor representa la energa

de un estado del mar. Su expresin es la siguiente:

HN HN= (45)Altura de ola media

La altura de ola media del registro es simplemente la media de las alturas de ola simples,

es decir:

= (46)Otras alturas de ola

Se pueden definir otras alturas de ola como son:

H1/10que se corresponde con la altura de ola que estima el ojo de un observador no

acostumbrado al mar.

Altura de ola, Hq, que es aquella altura sobrepasada por las qNolas ms altas, donde qes un nmero decimal menor que 1.

Altura de ola mxima, Hmax,, que coincide con la mxima altura de ola del registro (dato

de inters para el dimensionamiento de estructuras).

Periodo medio

El periodo medio, Tz, es el promedio de los periodos definidos como pasos ascendentes por

cero.

Periodo significante

El periodo significante, Ts, es la media aritmtica de los periodos asociados al tercio de olas

ms altas.

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 8 16 22 27

Superficielibre(m)

Minutos

Hi

Ti


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20

Conocidas las caractersticas del fenmeno en los trminos estadsticos mencionados

puede resultar interesante definir cualquier altura de ola (dentro del conjunto de Nolas)

en trminos de probabilidad, es decir, la probabilidad existente en que un cierto valor de H

sea superado dentro del conjunto registrado. Para ello es necesario conocer el modelo de

distribucin de probabilidad del suceso Hi. En este sentido Longuet-Higgins [1952] asume

que el oleaje es un proceso aleatorio y que las alturas de ola pueden ser explicadas

mediante una distribucin gausiana, demostrando que una funcin de tipo Rayleigh es la

que mejor representa el fenmeno (originalmente definido en estados de alta energa).

La funcin de tipo Rayleigh o funcin de densidad queda definida segn la ecuacin 47.

(47)Siendo p(H) la probabilidad de aparicin del suceso H. La integracin de la funcin resultaen la funcin de distribucin de probabilidad P(H), es decir, el porcentaje de olas que

presentan una altura de ola menor o igual a Hy viene dada por la expresin 48.

2HHrms HHrms 1 HHrms (48)Sin embargo, desde un punto de vista ingenieril resulta ms conveniente hablar en

trminos de probabilidad de excedencia (porcentaje de olas que tienen una altura de ola

mayor que un cierto valor H) es decir:

1 HHrms (49)o bien

ln q/ lnn/ (50)siendo Hel valor de altura de ola con una probabilidad de excedencia qcomo se puede ver

en el sombreado figura 15, donde se representa la funcin de densidad de Rayleigh.

Figura 15. Funcin de densidad de tipo Rayleigh sobre las alturas de ola.


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En este caso los valores de Hqrepresentan valores a partir de los cuales la altura de ola es

excedida con una cierta probabilidad q, y no valores promedio como podra ser el caso de

H1/3. As, la altura de ola media de cualquier probabilidad queda expresada por la relacin

51.

/ (51)Obtenindose que para la altura de ola significante se cumple la expresin 52.

/2Hrms 1,41Hrms (52)Una de las grandes ventajas de esta aproximacin al problema es el hecho de poder

determinar cualquier valor de Hq a partir de un valor conocido de Hrms. As, se puede

obtener operando con las expresiones analizadas las relaciones de la tabla 2. As por

ejemplo, el valor promedio del 1% de las olas ms altas resulta 1,67 veces la altura de ola

significante (el valor de n=100 representa la media de la poblacin).

Longuet-Higgins [1952] obtiene adems la siguiente expresin para la altura de ola

mxima de un registro de Nolas

H 0,707Hln (53)siendo H33la altura de ola significante.

n Hn/ Hs

1 1,672 1,56

5 1,40

10 1,2720 1,12

33 1,0050 0,89

100 0,63Tabla 2. Relaciones entre Hny Hspara una distribucin de tipo Rayleigh

4. Anlisis espectral

Los mtodos del estudio de oleaje basados en el anlisis espectral sirven para determinar

la distribucin de energa de oleaje y sus parmetros estadsticos medios para cada

frecuencia mediante la transformacin de una serie de datos medidos en espectros de

oleajes [CEM, 2002].

El anlisis espectral es otra forma de describir un estado de mar, este anlisis puede

diferenciarse en dos reas; la descripcin espectral terica y la emprica. La primera de

estas se basa en descomponer la superficie del mar mediante la transformada de Fourier.

Esto considera la variacin de la superficie libre en un punto determinado, permitiendouna descripcin de la distribucin de la varianza respecto a la frecuencia de la seal en el


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punto. Esta distribucin se anota como E(f) y se supone continua en el espacio de la

frecuencia a pesar de que en la prctica las seales son discretas. Este E(f) tambin es

llamado espectro de energa ya que utilizando la teora lineal la energa del oleaje puede

ser estimada mediante la multiplicacin de E(f) por g.

Las ventajas de una representacin espectral del oleaje son que entrega directamente la

frecuencia asociada a un pico de energa, lo que es muy prctico para aplicaciones de

ingeniera.

El espectro de oleaje puede ser obtenido a partir de una serie de tiempo continua de la

superficie(t) y el anlisis de Fourier. A partir del anlisis de Fourier, el perfil del oleaje

puede ser representado por una serie infinita de funciones trigonomtricas de amplitud

An, frecuencia ny fase relativa n.

t A

cos

t

=

A

cosnt B

sennt= (54)

DondeAny Bnpueden ser determinados de forma explcita a travs de las propiedades de

ortogonalidad de las funciones trigonomtricas.

Luego el espectro de energa del oleaje queda dado por:

E = (55)Un parmetro muy til del anlisis espectral es el parmetro espectral escalar mo, que

corresponde al momento cero del espectro y se define como:

E (56)

Este valor se corresponde al rea bajo el espectro y permite estimar . De esta manera se

puede relacionar el rea del espectro con la altura significativa Hs, y por lo tanto se verifica

la expresin 57.

228 4 (57)A partir de la frecuencia asociada al pico de energa fp, es posible obtener el perodo pico

Tp, donde 1/.Otro aspecto de inters dentro del anlisis espectral del oleaje es relacionar densidadesespectrales de la evolucin temporal de las elevaciones del mar con funciones terico-

empricas. En este sentido dos de las funciones ms utilizadas son:

Espectro PiersonMoscowitz (PM) de 1964, que se elabor a partir de mediciones

tomadas en buques oceanogrficos en el atlntico norte. Este corresponde a un

mar completamente desarrollado en aguas profundas y est basado en la teora de

similitud de Kitaigorodskii. Este espectro posee la forma de la expresin 58.

exp 0,74 (58)


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Con = 0,0081, g es la aceleracin de gravedad (m/s2), vla velocidad del viento

(m/s) a 19,5 m sobre el NMM (nivel medio de marea) y f la frecuencia en Hz. La

energa del espectro SPM, tiene unidades de m2s.

Espectro JONSWAP (Join North Sea Wave Project) de 1969: A partir del espectro

PM se realiz una campaa para estimar un espectro para un mar no desarrollado

completamente (limitado por fetch). Dicho espectro fue desarrollado durante los

aos 1968 y 1969. Est dado por la expresin 59.

S exp1.25( )

(59)

Donde:

3,5 / 0,076 ,U10es la velocidad del viento a 10 m sobre NMM y el factor de amplificacin delpico. Las unidades deg, f, U10y Fson m/s2, Hz, m/s y m respectivamente. S(f) tiene

unidades de m2s.

En la figura 16 se ilustra una comparacin entre ambos espectros, aprecindose el aspecto

que estos presentan.

Figura 16. Comparacin espectro de energa del oleaje.


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5. Comparativa y conclusiones

5.1 Descripcin matemtica y descripcin emprica

La descripcin matemtica del oleaje, es decir, el empleo directo de modelos ondulatorios

que representan la superficie del mar, por si slo no le resulta til al ingeniero. La cantidad

de incertidumbres en los datos de partida y las simplificaciones necesarias para el

planteamiento y resolucin de los sistemas de ecuaciones que se han expuesto a lo largo

del presente trabajo hacen que no se pueda obtener una cuantificacin fiable del

fenmeno.

Esta aproximacin terica del comportamiento de la superficie del mar es ampliamente

empleada en investigacin y docencia, sin embargo para su adecuacin a los problemas

ingenieriles, sta descripcin ha de ir obligatoriamente ligada a un estudio emprico de los

fenmenos martimos ondulatorios a fin de proporcionar a los modelos matemticos una

fuente representativa de las variables a introducir.

Las descripciones empricas existentes del oleaje se corresponden con estudios

estadsticos o estudios espectrales.

5.2 Descripcin estadstica y espectral

Para obtener una descripcin espectral o estadstica del oleaje es necesario disponer de

una serie temporal de oleajes, la cual se corresponde con las redes de medida

proporcionadas por la red de boyas instalada por Puertos de Estado.

En general, se suele emplear el anlisis espectral en problemas relacionados con la

agitacin y resonancia portuaria, as como tambin en el estudio de fenmenos cuyo factor

gobernante es la reflexin. Una situacin gobernada por la reflexin del oleaje puede

coincidir por ejemplo con el clculo del rebase de un dique vertical.

Los problemas relacionados con la evaluacin de la dinmica litoral se suelen acometer

con una descripcin estadstica direccional, siendo suficiente la caracterizacin de las

direcciones (usualmente 16 sectores de 22,5) y de las alturas (normalmente se emplean

escalones de 0,50 m) y sus frecuencias asociadas.

En trminos generales, se suele emplear la distribucin estadstica cuando se debe

analizar un periodo de tiempo largo, del orden de aos, y la descripcin espectral para elanlisis de estados del mar concretos del orden de horas o das.

5.3 Comparativa

Supongamos un estado del mar definido por un espectro de JONSWAP determinado. Es

sabido que cada espectro define un estado energtico concreto, pero no reproduce

exactamente la serie temporal que lo gener. En cualquier caso, en la mayora de las

aplicaciones de Ingeniera Martima, es la energa del oleaje o altura de ola la que

preocupa, por lo que esta descripcin es muy razonable.

Obviamente, los parmetros estadsticos deberan ser muy similares para cualquier

espectro que conserve el rea bajo l, o lo que es lo mismo, su energa.


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A continuacin, se realizar una comprobacin con un espectro de JONSWAP. Las

caractersticas del espectro son:

Hmo= 3,10 m

Tp= 10 s

= 3,3

a= 0,07

b = 0,09

El espectro caracterizado se muestra en la siguiente figura:

Figura 17. Parmetros estadsticos par aun mismo espectro de energa.

A partir de este espectro se generan varias series de oleaje (o semillas). Todas tienen un

denominador comn: la misma energa y Hmo= 3,10 m.

En la siguiente figura se muestra la variacin de los parmetros estadsticos para un

mismo espectro de energa. Se observa que se puede cometer un gran error en funcin del

parmetro que se escoja para describir un estado del mar.

Figura 18.Parmetros estadsticos par aun mismo espectro de energa.

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

0 200 400 600 800 1000

Alturadeola(m)

Series temporales

Hmo

Hmax

H1/3

H1/10

H1/100

Hrms


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26

26

Segn los resultados, lo ms razonable para caracterizar un cierto oleaje es escoger las

alturas por el siguiente orden: la altura de ola significante espectral, Hmo, la significante

estadstica, H1/3, o la media cuadrtica, Hrms.

A continuacin se muestran los errores cometidos al escoger uno u otro parmetro.

Figura 19. Error cometido en la estimacin de cada parmetro.

5.4 Utilidad prctica de los modelos de simulacin de oleaje junto con elestudio estadstico o espectral de los estados del mar

El propsito de la ejecucin de un estudio estadstico o espectral de los estados del mar

mediante mediciones tomadas en campo, empleando por ejemplo elementos de

instrumentacin como son las boyas, es el de obtener una serie de valores representativos

con un significado adecuado para la ingeniera martima y costera.

Por ejemplo, la obtencin de las alturas de ola mxima en regmenes extremales para el

clculo de diques para la construccin de puertos, o el clculo de parmetros medios

anuales significantes para la modelizacin de los aspectos de la dinmica litoral costera a

fin de disear regeneraciones.

El nexo entre los estudios estadsticos o espectrales y los modelos de simulacin de los

oleajes pasa por el empleo de programas informticos. En estos programas las variables a

introducir derivan del anlisis estadstico o espectral de los datos instrumentales

disponibles, sin embargo los resultados obtenidos se derivan de la transformacin de

estos datos estadsticos o espectrales mediante la aplicabilidad de los modelos de

simulacin que estn implementados dentro de los susodichos programas.

La necesidad del empleo de ambas herramientas de manera conjunta radica en la

variabilidad de los principales parmetros que afectan en la incidencia de los oleajes sobre

la costa. Esta variabilidad se da tanto en la forma de las olas, como en sus variables


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principales, altura y longitud de onda. El nico parmetro que se considera invariante es el

periodo.

Como las caractersticas de los oleajes nicamente se pueden considerar constantes a

ciertas distancias de la costa, donde el fondo no afecta a las ondas superficiales. Los

instrumentos de medida son emplazados en estas localizaciones conocidas con el nombre

de aguas profundas. Estas estaciones de medida brindan los datos que son susceptibles del

anlisis estadstico o espectral. Para poder trasladar los datos obtenidos que caracterizan

el oleaje en aguas profundas a los diferentes puntos de la costa se emplean los diferentes

modelos de simulacin de ondas.

Los modelos tricos, como se ha visto a lo largo de la presente revisin, se adecan a un

cierto rango de aplicacin, por lo que el xito de un buen uso de los mismos ser delimitar

de manera correcta el uso de cada modelo en funcin de la variabilidad de los parmetros

que inciden en los mismos. La diferenciacin clsica empleada para saber qu modelo es el

adecuado se basa en la obtencin del nmero de Ursell.

Figura 20. Relacin entre el tratamiento de datos estadsticos y la simulacin de oleajes medianteteoras ondulatorias.

Dentro del mundo de la ingeniera martima los programas comnmente empleados han

sido recogidos en la siguiente figura.

Figura 21. Principales programas de modelado costero.

Programa informtico. Resultados

DatosInstrumentales

Modelos desimulacinde oleajes.

Alturas deOla

Direcciones

Periodos Viento

DatosPropagados

Medicionesinstrumentales.

MIKE 21 REF/DIF

SMC


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Bibliografa

CEM. (2002). Coastal Engineering Manual. Washington, D.C.: U.S. Army Corps of

Engineers.

Cokelet, E. D. (1977). Steep Gravity Waves in Water of Arbitrary Uniform Depth.Phil. Trans. Roy. Soc., 286(Series A), 183-230.

Dean, R. G. (1974). Evaluation and Development of Water Wave Theories for

Engineering Applications. Coastal Engineering Research Center, U.S. Army

Engineer Waterways Experiment Station(Special Report No.1.).

Doering, J. C., & Baryla, A. J. (2002). An investigation of the velocity field under

regular and irregular waves over a sand beach. Coastal Engineering, 44(4),

275-300. doi: 10.1016/s0378-3839(01)00037-0

Fenton, J. D. (1990). Nonlinear Wave Theories. The Sea, Ocean Engineering Science.,

9, 1-18.

Goda, Y. (1978). The Observed Joint Distribution of Periods and Heights of SeaWaves.Paper presented at the 16th Coastal Engr. Conf.

Hennig, J. (2005). Generation and Analysis of Harsh Wave Environments.

Korteweg, D. J., & de Vries, G. (1895). On the change of form of long waves

advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary

waves. Philosophical Magazine, 5(39), 422-443.

Le Mhaut, B. (1976). Introduction to Hydrodynamics and Water Waves. New York:

Springer-Verlag.

Le Mhaut, B., & Hanes, D. M. (1990). The Sea: Ocean Engineering Science(Vol. 9):

Harvard University Press.

Longuet-Higgins, M. S. (1952). ON THE STATISTICAL DISTRIBUTION OF THE

HEIGHTS OF SEA WAVES.Journal of Marine Research, 11(3), 245-266.Miles, J. W. (1979). On the Korteweg de Vries Equation for Gradually Varying

Channel.Journal of Fluid Mechanics, 91, 181-190.

Miles, J. W. (1980). Solitary Waves.Annual Revision of Fluid Mechanics, 12, 11-43.

Munk, W. H. (1949). The Solitary Wave Theory and Its Application to Surf

Problems.Annals New York Acad. Sci., 51, 376-423.

Palomino Monzn, M. C., & Almazn Grate, J. L. (200). Descripcin, medida y

anlisis del oleaje.: E.T.S. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos.

Russell, J. S. (1838). Report of the Committee on Waves.Paper presented at the 7th

Rep. Meet. British Assoc. Adv. Sci., Liverpool.

Schwalm, W. (2013). Elliptic Functions sn, cn, dn, as Trigonometry. Educational

Notes. Physics. Univ. N. Dakota. USA.

USACE. (1942). A summary of the theory of oscillatory waves. Beach Erosion Board

Office of the Chief of Engineers.Washington.

Wehausen, J. V., & Laitone, E. V. (1960). Surface Waves. Handbuch der Physik, 9,

446-778.

Wiegel, R. L. (1960). A PRESENTATION OF CNOIDAL WAVE THEORY FOR

PRACTICAL APPLICATION. Journal of Fluid Mechanics, 7(2), 273-286. doi:

10.1017/s0022112060001481

Williams, J. M. (1981). Limiting Gravity Waves in Water of Finite Depth. Phil. Trans.

Roy. Soc., 302(Series A), 139-188.

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