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課題

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課題

コンピュータモデルで観る金融市場

東京大学工学部・システム創成学科Bコース

システムデザイン＆マネジメントシ テ デザイン ネジ ン

陳昱 (Yu Chen)陳昱 (Yu Chen)

内容

金融市場の価格変動コンピュータモデルを使わないときに観た金融市コンピュ タモデルを使わないときに観た金融市場

金融市場のコンピュ タモデル 金融市場のコンピュータモデル確率過程モデルからエージェントベースモデルへの進化の進化

コンピュータモデルで観た金融市場格 変価格の変動のStylized Factsの再現とそのメカニ

ズムの解明

金融市場の価格変動

コンピュータモデルを使わないときに観た金融市場市場

金融市場への問い

価格 のゆらぎに関する問題：What? Why? How?

[ ]x t

Yahoo Japan Corporationの株価チャート(1997-2007)

市場をどう観測する

金融市場からのアウトプット価格 ； 取引量[ ]x t [ ]V t価格 ； 取引量

価格データ(Tick-Data) 価格変動

[ ]x t1 2 3[ ], [ ], [ ],x t x t x t

[ ]V t

価格変動

線形的価格変動 [ , ] [ ] [ ]x t t t x t x t tD -D = - -D リターン [ , ] [ ] [ ]

[ , ][ ] [ ]

x t t t x t x t tR t t t

x t t x t t

D -D - -D-D = =

-D -D

Logリターン

[ ] [ ]

[ , ] ln [ ] ln [ ]z t t t x t x t t-D = - -D

統計ツールおよびデータセット

市販の統計パッケージの限界

明白な低次相関関係しか調べない 明白な低次相関関係しか調べない

これらの相関関係に基づく取引の効果

デ タセ トの選び方 データセットの選び方価格変動における普遍的特性事象

NYSE総合指数の日足データ:1966-2000 上海証券取引所指数秒データ：2001-02 8ヶ月

S&P 500指数分足データ(1984-1990)

金融学の観点

効率市場仮定(The Efficient Market Hypothesis)Hypothesis)ニュースや材料は全て株価に織り込まれており、新しい材料に対しても市場が素早く反応することにより、株

価格変動の時系列に「型」(時間相関)が存在

価は常に適正価格になっているという考え方

( )しない→ランダムウォーク

価格変動の「幅」は大きくなく 大変動の発生 価格変動の「幅」は大きくなく、大変動の発生確率が小さい→正規分布(Gaussian)

目で確認できる価格変動の特性

Intermittency(間欠性) Self-Similarity

「上海総合指数」

S&P 500 Logリターン 円・ドルレートg

Stylized Factsに関する実証解析

線型および非線形自己相関2[{ [ ]},{ [ ]}] ( [ ] [ ])( [ ] [ ]) /z t z t t z t z t z t t z t tr s-D = - -D - -D[{ [ ]},{ [ ]}] ( [ ] [ ])( [ ] [ ]) /r

[ ] [ ] , [ ] [ ]z t z t z t t z t t -D -D

高次の時間相関は長い期間をわたって生きている

特性事象への補足：S&P500

価格変動の自己相関：もっと詳しく

Stylized Factsに関する実証解析

Volatility Clusteringと高次自己相関

[ ]ts

[ ]V t

NYSE指数 S&P 500

Stylized Factsに関する実証解析

価格変動PDFのLeptokurtic特性

特性事象への補足：S&P500

価格変動のPDF：Fat-Tailed Distribution

Gaussian分布 Levy分布

Stylized Factsに関する実証解析

Levy分布,

1[ ] cos( )t q

Lp z e qz dqag

a

¥- Dº ò

Fat-Tailが生ずる分布

の場合 安定L 分布 分散無限大

,0

[ ] ( )L a p ò(1 )

, [ ] , for Lp z z zaa

- + ¥

0 2 の場合：安定Levy分布；分散無限大

→Lorentzian分布； →Gaussian分布

0 2a< <

1a = 2a =

Truncated Levy分布

PDFの中心部分はLevy分布中 部分 y分布

外側の部分はexponential or power law 特徴：有限分散；Gaussian分布への収束 特徴：有限分散；Gaussian分布への収束

Stylized Factsに関する実証解析

Fat-Tailとは

Tailとリスクの緊密な関連： Tailとリスクの緊密な関連：

Volatilityでリスクを扱う時の問題点

均 揺 ぎ 述Fat Tails

平均周りの揺らぎの記述

Fat-TailによるVolatilityの発散 Lorentzian

1

2 2[ ]

( )

Cp x

x C pD =

D +

Gaussian

Lorentzian

2 2( ) /2

2

1[ ]

2

xp x e s

ps- DD =Gaussian

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15

特性事象への補足：S&P500

価格変動のPDFについて(Tail部分)

Truncation of Levy DistributionTruncation of Levy Distribution

Stylized Factsに関する実証解析

ゼロリターン確率におけるスケーリング則

Gaussian分布の傾き Gaussian分布の傾き2 2

1/2/(2 )

2

1[ ]

2z t

Gp z et

s

p s- Dé ù

= ê úê úDë û

log [0] 0.5 log const.Gp t= - D +

Levy分布

, 1/

[1/ ][0]

( )Lp ta a

apa g

Gº

D

l [0],log [0](1/ )log const.Lp

ta

a=

- D +1.44a 1.44a

Stylized Factsに関する実証解析

Levy Scalingと自己相似性

データのRe-Scale1//[( ) ]sz z t aº D データのRe-Scale

G i の

/[( ) ]s

1/ 1/ 1/, ,[ ] ( ) [ ] ( ) [( ) ]s s L L sp z t p z t p t za a aa a= D = D D

Gaussianの場合 2a =

[ ]

2 21/2

/(2 )2

[ ]

1s

s s

z

p z

e s-

=

é ùê úê ú

の場合

22psê úê úë û

1.44a =

特性事象への補足：S&P500

価格変動PDFのTail部分におけるScaling

Scaling and Loss of Scaling: Cross-Over to Gaussian

金融工学への挑戦

世界中のマーケットに共通する特性事象

価格変動のPDF：Fat-Tail; Scaling則 価格変動のPDF：Fat Tail; Scaling則

価格変動の絶対値における長時間自己相関

ボラティリティ クラスタリング Rel ted! ボラティリティー・クラスタリング

価格変動の自己相関は存在しない

Related!

EMHへの疑問

(高次相関)Arbitrageの機会は隠れている( ) g Arbitrageの機会の消えには時間が必要

トレーダの行動によるArbitrageの機会の注入 トレ ダの行動によるArbitrageの機会の注入

金融市場のコンピュータモデル

確率過程モデルからエージェントベースモデルへの進化デ 進化

価格のランダムウォークモデル

金融市場の基本モデル：コイン投げの価格モデル(2項モデル)デル(2項モデル)

( )x d HD = + ( )x d TD =-[ ]D

+1

+2

x[t]

D

[ ]p xD1

2

1

2

0-2

-1Pri

ce

xDd+d-

Probability Distribution Function (PDF)

1 2 3 Timestep t

Results of Coin-Toss: HHTH

, 1 1i i i i ix x x x- -D º D = -1 0.5p p= - =

価格のランダムウォークモデル

コイン投げ市場モデルに対するコメント

金融理論中の基礎モデル 金融理論中の基礎モデル

(相関に関して)代表性のあるモデル

はi i d 的な確率変数{ }D はi.i.d.的な確率変数Independent and Identically Distributed

効率市場仮説に一致するモデル

{ }ixD

効率市場仮説に 致するモデル過去の価格変動に基づいて、次の価格変動を予測することができない

拡張モデルについてランダム又はランダムに近い；i.i.d.仮定の緩和

価格のランダムウォークモデル

独立同一分布(i.i.d.)についてでの価格変動とそのPDF：stepi - , [ ]i i ix p xD Dでの価格変動とそのPDF：

確率変数 は独立であることの意味

同時確率

stepi , [ ]i i ix p xD D

{ }ixD[ ] [ ] [ ]p x x p x p xD D = D D 同時確率

任意関数の積の平均の計算

[ , ] [ ] [ ]i j i i j jp x x p x p xD D = D D

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]f x g x f x g x p x x f x p x g x p xì üì üï ïï ïï ïï ïD D = D D D D = D D D Dí ýí ýå å å

価格変動の無相関性

,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ , ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

i j i j

i j i j i j i i i j j jx x x x

i j

f x g x f x g x p x x f x p x g x p x

f x g x

D D D D

D D = D D D D = D D D Dí ýí ýï ïï ïï ïï ïî þî þ= D D

å å å

価格変動の無相関性when [ ] , [ ]i i j jf x x g x xD = D D = D

i j i jx x x xD D = D Di j i j

価格のランダムウォークモデル

自己相関関数(線形相関)の測定

( )( ) 0c x x x x= D - D D - D =

高次相関関数/非線形相関

( )( ) 0ij i i j ic x x x x= D D D D =

2 2[ ] ( ) [ ] ( )f x x x g x x xD = D = D D = D = D

[ ] ( ) , [ ] ( ) , with 1m mi i j jf x x g x x mD = D D = D >

[ ] ( ) , [ ] ( )i i i j j jf x x x g x x xD = D = D D = D = D

( [ ] [ ] )( [ ] [ ] ) 0ij i i j ic f x f x g x g x¢ = D - D D - D =( [ ] [ ] )( [ ] [ ] )ij i i j i

価格のランダムウォークモデル

PDFの関数形の導出( )2n =[ ] [ ] [ ]p x p x x p x x xD = D D = D D -Då å

2,0 1 2nx x x=D = D +D

i i d の場合 畳み込み

2,0 1 2 1

2,0 1 2 1 2,0 1

1 2,0 1

[ ] [ , ] [ , ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

n nx x x x

n

p x p x x p x x x

p x p x x p x p x

= =D =D +D D

=D

D = D D = D D D

= D D -D º D * D

å å

åi.i.d.の場合 畳み込み

Convolution畳み込みの「ボケ」効果

1xD

[ ]p xD

1

2

1

2

[ ]p xD

1

2

1

2

[ ]p xD

* =xD

d+d-

22

xDd+d-

22

xD2d+2d-

*

価格のランダムウォークモデル

中心極限原理(Central Limit Theorem) PDFのフーリエ変換 e e [ ]iqy iqyp y dy

+¥= ò

,0 1( )/ ( )/e en nik x n x n ik x x n x nD - D D + +D - D=

PDFのフ リエ変換 e e [ ]p y dy-¥ò

1([ ] [ ])/

( )/

e

e

nik x x x x n

nik x x n

D -D + + D -D

D -D

=

é ù= ê úë û

i.i.d.の場合

22

21 ( ) ( )

2

n

n

ik kx x x x

n n

ë û

= + D -D - D -D +

é ù

Taylor展開

( ) 1x xD -D

2 2

2 2

2

/2

1 02

e

n

k n

k

ns

s

-

é ùê ú= + - +ê úë û

»

[1 / ]limy nne y n¥= +

( )

価格のランダムウォークモデル

逆フーリエ変換でPDFを求める2 2 /21

[ ] e exp[ ( )]q np x x iq x x dqs+¥

-D D = D Dò /,0 ,0 ,0 ,0

21/2,0 ,0

[ ] e exp[ ( )]2

( )1exp

n n n n

n n

p x x iq x x dq

x x

p -¥D -D = - D -D

é ùD -Dé ù ê ú= -ê ú ê ú

ò

N t の価格変動のPDF

/q k n=2 2exp

2 2n np s s= ê ú ê úê úë û ê úë û

/q k n=,0nn x xD = D

N-stepの価格変動のPDF1/2 2

,0 ,0( )1[ ] exp n nx xp x

é ù é ùD -Dê ú ê úD =

1/2( [ ] )D の形によらず

,0 2 2,0 ,0

[ ] exp2 2n

n n

p xps s

ê ú ê úD = -ê ú ê úê ú ê úë û ë û1/2

0( , , any [ ])n n p xs s= ¥ D1/2,0( , , [ ] )n n n p xs s= ¥ D の形によらず,0( , , y [ ])n

p

価格のランダムウォークモデル成立条件 CLTの成立条件

は i.i.d.であること{ }ixD 1-step価格変動のボラティリティ は有限であること

時間間隔 は十分に大きいことt n tD = ´s

現実市場中のCLT条件の考察

1-step価格変動はi.i.d.ではない:高次相関の存在

や高次モーメントの発散する傾向(収束が遅い) 日足、週足の時間スケールは十分ではない

s

平均値付近でのGaussianへの収束(Taylor展開)正規分布はリスク計算に役に立たない

発展方程式で表すランダムウォークモデル

ウィーナー過程(ブラウン運動)の解析

Gaussian分布でランダムウォークをする Gaussian分布でランダムウォ クをする

マルコフ過程

1 , 1

[ ]

[ ( 1) ] [ ]

[ ( 1) ] [ ]

t

t t t

p x md

p x m d p x d

d d- -

== = + D =-

+ D0+

d+

2d

e x[

t]

1 , 1

1 1

[ ( 1) ] [ ]

1( [ ( 1) ] [ ( 1) ])

2

t t t

t t

p x m d p x d

p x m d p x m d

- -

- -

+ = - D =

= = + + = -

0-2

d-dP

rice

t-2 t-1 t Timestep t

tx md=1 ( 1)tx m d- = + t1 ( )t

発展方程式で表すランダムウォークモデル

Fokker-Plank方程式の導出1

( [ ] [ ])t t

p x md p x md-= - =

{ }21 1 1

2

[ ( 1) ] [ ( 1) 2 [ ]

2

t

t t tx

t x

p x m d p x m d p x md

d

dd d

- - -= + + = - - ==

2

2

( , ) ( , )p x t p x tD

t x

¶ ¶=

¶ ¶, 0t xd d 2 /2 finitex td d

1 ,t xdd d

拡散係数 価格分布の確率関数

t x¶ ¶2

2x

t

Ddd

º ( , )p x t

201 ( )

( , ) exp4 4

x xp x t

Dt Dtp

é ù-ê ú= -ê úë û

t

0x

1/2 1/2(2 )t D

価格の初期値

ボラティリティë û

確率微分方程式で表すランダムウォークモデル

価格変動における確率微分方程式の導出

コイン投げ市場の確率微分方程式 コイン投げ市場の確率微分方程式

i.i.d. 時間の連続化i ix X x X dx dXs s sD = D D = D =

1/2(0,( ) )dX N dtÎ

時間の連続化→ が小さい

はGaussian→ が十分に大きい(CLTの成立)

dt

dX dt はGaussian が十分に大きい(CLTの成立)

価格変動の確率微分方程式の導出

ドリフト項：マーケッ

dX dt

d dX dt+ ( ) (0) f

(0,1)Nf Î

ドリフト項：マーケット全体のトレンド

価格の正値性

dx dX dts m= + ( ) (0)x t x t tm fs= + +

dxdX dt

xs m= +

2

( ) (0)exp2

x t x t ts

m fsé ùæ ö÷çê ú= - +÷ç ÷÷ê úçè øë ûx è øë û

確率微分方程式で表すランダムウォークモデル

価格確率微分方程式の拡張形

平均再帰ランダムウォークモデル 平均再帰ランダムウォ クモデル

変動金利の確率過程モデル(Vasicekモデル)

( )dx dX x dts n m= + - 変動金利の確率過程モデル(Vasicekモデル) 現象論的に時間相関をモデリング

短期金利モデル 短期金利モデル

ll d デ

( )dx xdX x dts n m= + - Cox, Ingersoll and Rossモデル

価格変動の動力学に推測的仮定を導入

確率微分方程式で表すランダムウォーク確率微分方程式で表すランダ ウォ クモデル

GARCHモデル

t tdx dX dts m= +t t

m+

( )22 2

1 1( )

t L t tV dxs g a b s- -= + +

エージェントベースモデルの考え方

Bottom-Up的アプローチ

金融市場価格形成の仕組み

??

??

??

??

??

??

??

??

??

??

??

??[ ]x t [ 1]x t +

マーケットメイカーが新しい

投資者が入手できる情報に

買いと売り注文が形成され

投資者の注文がブローカー

投資者の注文が執行されが新しい

市場価格を提示する

る情報による次の投資決定をする

形成される。(灰色買い、黄色売り)

ロ カに届く

行され、市場清算が行われるるをする 色売り) る

金融市場の参加者

金融市場のエージェント（１）

金融サービスのプロバイダー

ブローカー(Broker) サービス：取引の仲介；情報の提供；金融資産の保管

利益 手数料 利益：手数料(Commission)

マーケットメイカー(Market Maker) サ ビス：売り気配(ask price)と買い気配(bid price)を提 サービス：売り気配(ask price)と買い気配(bid price)を提

示し、その気配にかかる数量に基づき注文に応じて売買する

利益：価格差(spread = ask – bid)

市場管理者市場行為の合法性を保証しながら、介入や、取引中止などの手段で市場の安定性を図る段で市場の安定性を図る

金融市場の参加者

金融市場のエージェント（２）

金融サービスの利用者 金融サ ビスの利用者

投機筋(Speculator)金融資産の未来価格を分析し、投資利益を得る金融資産の未来価格を分析し、投資利益を得る

ヘッジャー(Hedger)リスク回避のため市場参加、売買の利益に重視しない

アービトラージャー(Arbitrager)裁定取引; 最大利益同時に最小リスク

Arbitrageとは、市場のmis-pricingを利用し、リスク無しで利益を得ようとする行動である

金融市場のマルチエージェントモデル

モデルの選択

1+1 +1

+1 WIN

‐1 +1

+1oror‐1+1

WINVirtual traders Model G d C i l Mi it GVirtual traders Model Grand Canonical Minority Game

金融市場のマルチエージェントモデル

投資者のモデル

情報による意思決定 情報による意思決定

投資戦略の多様性

学習による戦略の進化 学習による戦略の進化

市場への入退場

その他 ……行動経済学、実験経済学、心理認知など学問からの知見の知見

金融市場のマルチエージェントモデル

市場(global)情報による意思決定

00 1

m 2 ai,s(t )

……

i S00 101 -110 1

S ( )

, ( )[ ]

i

ti i S tb t am=

10 -111 1

情報部 行動部

金融市場のマルチエージェントモデル

エージェント戦略の多様性 Speculator Producer

m

i22m

jsN PN

nFSS

( 2) 1S 1S

2/ 2m

SN

( 2) 1S 1S

金融市場のマルチエージェントモデル

エージェントの学習による戦略の進化

戦略の採点戦略 採点

1 2U ( )

, , ,( 1) ( ) ( )ti s i s i sU t U t a A t

0 h i i i

i 2 10U

5U

( ),

0 when is minority( )

0 when is majorityt

i s

ia A t

i

Minority = Positive Return? 使用戦略の選定

3 5U

4 2U

,( 1) arg max ( )i i sS

S t U t

金融市場のマルチエージェントモデル

市場参加の閾値

市場不参加戦略 2U 市場不参加戦略

市場不参加戦略への採点 i

1 2U

2 10U ( )

,00t

iam =

3 5U

2U ,0 ,0( 1) ( )i iU t U t

市場参加の条件4 2U

( 1) ( 1)U t U t

0 1U , 0 ,0( 1) ( 1)i s iU t U t

金融市場のマルチエージェントモデル

ブローカーのモデル省略；本質ではない省略；本質ではない

マーケットメイカ―のモデル

投資者 注文 投資者の注文

超過需要の計算

[ ] 1, or 0ib t =

[ ] [ ]N

At b t=å

価格変動(Log Return)の計算

1

[ ] [ ]i

i

A t b t=å

[ ]log [ 1] log [ ]

Atp t p t

l+ - =

コンピュータモデルで観た金融市場

価格の変動のStylized Factsの再現とそのメカニズムの解明解明

EMHの検証

EMHの成立と乖離EMH range

UnpredictableSmall Volatility

PredictableLarge Volatility

UnpredictableSmall or largeVolatility

/sN P / 1p pn N P

Volatility

EMHの成立条件の解析

/ 1p pn N P

Chance RichNo EMH

Chance CriticalEMH with small fluctuations

Chance DepletedEMH with large fluctuations

/sN P

Stylized Factsの再現

Fat Tailの再現

8.0,017.0,1,20,10 SNP pp

Stylized Factsの再現

Volatility Clustingの再現

8.0,017.0,1,20,10 SNP p

Stylized Factsのメカニズムの解明

マルチエージェントモデルの相図0.25

0

Probability for the emergence of Fat Tail

Probability for the emergence of Volatility Clusteringemergence of Fat Tail of Volatility Clustering

Stylized Factsのメカニズムの解明

Fat-Tailのメカニズム

→エージェントの戦略の相似度↑1 →エ ジェントの戦略の相似度↑

相似戦略を持つエージェントの行動→Herding 集団行動 価格変動の増幅

1

集団行動→価格変動の増幅

Volatility Clusteringのメカニズム

Volatility Clusteringの本質

Intermittency(間欠性)を持つ時系列

特定のサイズの価格変動に特徴時間を持たない

Stylized Factsのメカニズムの解明

Intermittencyの発現

市場参加のインセンティブのある時期市場参加 イ ティ ある時期

Stylized Factsのメカニズムの解明

市場参加のインセンティブのない時期

Stylized Factsのメカニズムの解明

市場参加に中立の時期

まとめ

統計解析で観た金融市場Stylized Factsが代表する古典金融学との乖離Stylized Factsが代表する古典金融学との乖離

確率微分方程式モデルで観た金融市場

St li d F t の再現は可能 Stylized Factsの再現は可能

Black Boxモデル

エージェントベースモデルで観た金融市場

Stylized Factsの再現は可能S y ed ac sの再現は可能

市場の構造・機構の解析も可能