Numerical Analysis MTH603 VU

Copyright Virtual University of Pakistan 1

SShhiifftt ooppeerraattoorr,, EE LLeett yy == ff ((xx)) bbee aa ffuunnccttiioonn ooff xx,, aanndd lleett xx ttaakkeess tthhee ccoonnsseeccuuttiivvee vvaalluueess xx,, xx ++ hh,, xx ++ 22hh,, eettcc.. WWee tthheenn ddeeffiinnee aann ooppeerraattoorr hhaavviinngg tthhee pprrooppeerrttyy ( ) ( )E f x f x h= + TThhuuss,, wwhheenn EE ooppeerraatteess oonn ff ((xx)),, tthhee rreessuulltt iiss tthhee nneexxtt vvaalluuee ooff tthhee ffuunnccttiioonn.. HHeerree,, EE iiss ccaalllleedd tthhee sshhiifftt ooppeerraattoorr.. IIff wwee aappppllyy tthhee ooppeerraattoorr EE ttwwiiccee oonn ff ((xx)),, wwee ggeett

2 ( ) [ ( )]

[ ( )] ( 2 )E f x E E f x

E f x h f x h=

= + = + TThhuuss,, iinn ggeenneerraall,, iiff wwee aappppllyy tthhee ooppeerraattoorr EE nn ttiimmeess oonn ff ((xx)),, wwee ggeett ( ) ( )nE f x f x nh= + OR n x x nhE y y += 2 4 20 1 0 2 0 4 2 4, , , ,Ey y E y y E y y E y y= = = = TThhee iinnvveerrssee ooppeerraattoorr EE

--11 iiss ddeeffiinneedd aass

1 ( ) ( )E f x f x h = SSiimmiillaarrllyy ( ) ( )nE f x f x nh = AAvveerraaggee OOppeerraattoorr,, ;; iitt iiss ddeeffiinneedd aass

( / 2) ( / 2)

1( )2 2 2

12 x h x h

h hf x f x f x

y y

+

= + + = +

DDiiffffeerreennttiiaall OOppeerraattoorr,, DD iitt iiss ddeeffiinneedd aass

22

2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

dDf x f x f xdx

dD f x f x f xdx

= = = =

IImmppoorrttaanntt RReessuullttss UUssiinngg {{ , , , ,E }}

( 1)

x x h x x x

x

y y y Ey yE y

+ = = =

1E = Also

1

1(1 )x x x h x x

x

y y y y E yE y

= =

=

Numerical Analysis MTH603 VU

Copyright Virtual University of Pakistan 2

1 11 EEE

= = And

( / 2) ( / 2)

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2( )

x x h x h

x x

x

y y y

E y E yE E y

+

= = =

1/ 2 1/ 2E E = TThhee ddeeffiinniittiioonn ooff aanndd EE ssiimmiillaarrllyy yyiieellddss

( / 2) ( / 2)

1/ 2 1/ 2

12

1 ( )2

x x h x h

x

y y y

E E y

+

= + = +

1/ 2 1/ 21 ( )2

E E = + We know that ( )x x hEy y f x h+= = +

2

( ) ( ) ( )2!xhEy f x hf x f x = + + +"

2

2( ) ( ) ( )2!hf x hDf x D f x= + + +"

2 2

1 ( )1! 2!

hDx

hD h D f x e y = + + + =

"

Thus loghD E= EExxaammppllee:: PPrroovvee tthhaatt

1

log(1 )log(1 )

sinh ( )

hD

= + = =

SSoolluuttiioonn:: UUssiinngg tthhee ssttaannddaarrdd rreellaattiioonnss wwee hhaavvee

1

loglog(1 )

log

log(1 )

hD E

E

== + = =

Numerical Analysis MTH603 VU

Copyright Virtual University of Pakistan 3

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

1

1

1 ( )( )21 ( )21 ( )2sinh( )

sinh

hD hD

E E E E

E E

e e

hDhD

= +

=

= =

=

Example Prove that

1) 22

2 21 12 + = +

2) 1/ 22

E = +

3) 2

21 ( / 4)2 = + +

4) 1

2 2E

= +

5) 2

+= SSoolluuttiioonn FFrroomm tthhee ddeeffiinniittiioonn,, wwee hhaavvee::

(1) 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 11 1( )( ) ( )2 2

E E E E E E = + = 2 2 2 2 1 21 11 1 ( 2 ) ( )

4 4E E E E + = + + = +

2

1/ 2 1/ 2 2 1 21 11 1 ( ) ( )2 2 2

E E E E + = + = + (2)

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2( / 2)

1 ( )2

E E E E E

+= + + =

((33))

Numerical Analysis MTH603 VU

Copyright Virtual University of Pakistan 4

( ) ( ) ( )21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 221/ 2 1/ 22 2 11 41 ( / 4)2 2 1

E E E EE E + + + = +

1

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 22 1 ( )( )2 2

E E E E E E

+= + +

1 12

2 2E E E E + = +

1E= = (4)

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 11 1( )( ) ( )2 2

E E E E E E = + = 1 11 1(1 ) (1 )

2 2 2E E = + = +

1 12 2 2 2

EE E

= + = + (5)

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

1

1 ( )( )21 ( )2

E E E E

E E

= +

=

1 1(1 1 ) ( )2 2

= + + = +