Movimiento armnico simple

Movimiento armnico simple, mostrado en el espacio real y en el espacio fsico. Las rbita es peridica.El movimiento armnico simple (m.a.s.), tambin denominado movimiento vibratorio armnico simple (m.v.a.s.), es un movimiento peridico, y vibratorio en ausencia de friccin, producido por la accin de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posicin. Y que queda descrito en funcin del tiempo por una funcin senoidal (seno o coseno). Si la descripcin de un movimiento requiriese ms de una funcin armnica, en general sera un movimiento armnico, pero no un m.a.s.

En el caso de que la trayectoria sea rectilnea, la partcula que realiza un m.a.s. oscila alejndose y acercndose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posicin en funcin del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que acta sobre la partcula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia ste.

ndice [ocultar] 1 Mecnica clsica1.1 Cinemtica del movimiento armnico simple1.2 Velocidad1.3 Aceleracin1.4 Amplitud y fase inicial1.5 Dinmica del movimiento armnico simple1.6 Energa del movimiento armnico simple2 Ejemplos2.1 Medicin de masa en ingravidez3 Mecnica relativista y mecnica cuntica3.1 Mecnica relativista3.2 Mecnica cuntica4 Vase tambin5 Referencias5.1 Bibliografa6 Enlaces externosMecnica clsica[editar]Cinemtica del movimiento armnico simple[editar]

Pndulo simple en movimiento armnico simple con oscilaciones pequeas.

Evolucin en el tiempo del desplazamiento, la velocidad y la aceleracin en un movimiento circular uniforme.El movimiento armnico simple es un movimiento peridico de vaivn, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posicin de equilibrio, en una direccin determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posicin de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Es tambin, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibracin; pero, pongamos atencin, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultneo de todos los puntos de la cuerda.

Posicin (negro), velocidad (verde) y aceleracin (rojo) de un oscilador armnico simple.Respecto a su posicin de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posicin de equilibrio, esta fuerza es tal que F_{x} = - kx\, donde k\, es una constante positiva y x\, es la elongacin. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que acta sobre la partcula est dirigida haca la posicin de equilibrio; esto es, en direccin contraria a su elongacin (la "atrae" hacia la posicin de equilibrio).

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armnico simple se define entonces en una dimensin mediante la ecuacin diferencial

Siendo m\, la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo \scriptstyle \omega^{2} = k/m se obtiene la siguiente ecuacin donde \omega es la frecuencia angular del movimiento:

(2) \frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -\omega^2x

La solucin de la ecuacin diferencial (2) puede escribirse en la forma

(3) x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,

donde:

x\, es la elongacin o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.A\, es la amplitud del movimiento (elongacin mxima).\omega\, es la frecuencia angulart\, es el tiempo.\phi\, es la fase inicial e indica el estado de oscilacin o vibracin (o fase) en el instante t = 0 de la partcula que oscila.Adems, la frecuencia de oscilacin puede escribirse como esto:

(4)f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}, y por lo tanto el periodo como T = \frac{1}{f} = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}

La velocidad y aceleracin de la partcula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresin x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,.

Velocidad[editar]La velocidad instantnea de un punto material que ejecuta un movimiento armnico simple se obtiene por lo tanto derivando la posicin respecto al tiempo:

(5) v = \frac{dx}{dt} = -\omega A \sin(\omega t + \phi)

Aceleracin[editar]La aceleracin es la variacin de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera y se obtiene por lo tanto derivado la ecuacin de la velocidad respecto al tiempo de encuentro:

(6) a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -\omega^2 A \, \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)\,

Amplitud y fase inicial[editar]La amplitud A y la fase inicial \phi\, se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongacin x_{0} y de la velocidad v_{0} iniciales.

(7)x_{0} = A \cos\phi \qquad\Rightarrow\qquadx_{0}^2 = A^{2} \cos^{2} \phi

(8)v_{0} = -\omega A \sin\phi \qquad\Rightarrow\qquadv_{0}^{2} = \omega^{2} A^{2} \sin^{2}\phi \qquad\Rightarrow\qquad \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} = A^{2}\sin^{2} \phi

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(9)x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} = A^{2} (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi) = A^{2}\qquad\Rightarrow\qquad A = \sqrt{x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(10)\frac{v_0}{x_0}= \frac{-\omega A\sin\phi}{A\cos\phi}=\omega\tan\phi \qquad \Rightarrow \qquad\phi =\arctan\left(\frac{-v_0}{\omega x_0}\right)

Dinmica del movimiento armnico simple[editar]En el movimiento armnico simple la fuerza que acta sobre el mvil es directamente proporcional:

(11)F=-k\, x

Un ejemplo sera el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sera la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de newton tendramos:

(12) F=-k\, x=m\, a\qquad\Rightarrow\qquad a=-\frac{k}{m}x

Comparando esta ecuacin y la que tenamos para la aceleracin (6) se deduce:

(13)\omega^{2}=\frac{k}{m}

Esta ecuacin nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armnico simple en funcin de la masa de la partcula y de la constante elstica de la fuerza que acta sobre ella:

(14)T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}

Energa del movimiento armnico simple[editar]

Energas cintica (Ec), potencial (Ep) y mecnica (Em) en el movimiento armnico en funcin de la la elongacin.Las fuerzas involucradas en un movimiento armnico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energa potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresin de la energa potencial, basta con integrar la expresin de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obtenindose:

(15) E_p = \frac{1}{2} kx^2

La energa potencial alcanza su mximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio.

La energa cintica cambiar a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

(16) E_{c}=\frac{1}{2}m\, v^{2}

La energa cintica es nula en -A o +A (v=0) y el valor mximo se alcanza en el punto de equilibrio (mxima velocidad A).

(17) E_{c}^{max}=\frac{1}{2}m\,\omega^{2}A^{2}

Como slo actan fuerzas conservativas, la energa mecnica (suma de la energa cintica y potencial) permanece constante.

(18) E_p + E_c = E_m \,

Finalmente, al ser la energa mecnica constante, puede calculMovimiento Armnico Simple

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Oscilaciones

Movimiento ArmnicoSimple. M.A.S.marca.gif (847 bytes)Movimiento Armnico SimpleM.A.S y movimientocircular uniformeComposicin de dosM.A.S. de la mismadireccin y frecuenciaComposicin de dosM.A.S. de la mismadireccin y distintafrecuenciaComposicin de dosM.A.S. de direccionesperpendicularesMedida del desfasey la frecuenciaCinemtica de un M.A.S.

Dinmica de un M.A.S.

Curva de energa potencial

java.gif (886 bytes)Actividades

El estudio del oscilador armnico constituye en Fsica un captulo muy importante, ya que son muchos los sistemas fsicos oscilantes que se dan en la naturaleza y que han sido producidos por el hombre.

Definicin

Una partcula describe un Movimiento Armnico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posicin x dada en funcin del tiempo t por la ecuacin

x=Asen(t+)

donde

A es la amplitud.w la frecuencia angular.w t+j la fase.j la fase inicial.Las caractersticas de un M.A.S. son:

Como los valores mximo y mnimo de la funcin seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una regin del eje X comprendida entre -A y +A.La funcin seno es peridica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la funcin seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que w(t+P)+j=w t+j+2p .P=2/

Cinemtica de un M.A.S.

En un movimiento rectilneo, dada la posicin de un mvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleracin derivando la expresin de la velocidad.

La posicin del mvil que describe un M.A.S. en funcin del tiempo viene dada por la ecuacin

x=Asen(t+)

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del mvil

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleracin del mvil

Este resultado se suele expresar en forma de ecuacin diferencial

Esta es la ecuacin diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.

Puede comprobarse que la solucin de esta ecuacin diferencial es

x=A sen(w t+j )

Condiciones iniciales

Conociendo la posicin inicial x0 y la velocidad inicial v0 en el instante t=0.

x0=Asenj v0=Awcosj

se determinan la amplitud A y la fase inicial

Dinmica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresin de la fuerza necesaria para que un mvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a ste.

Como la fuerza F es conservativa. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de la energa potencial Ep.

La expresin de la energa potencial es

Donde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energa potencial Ep=0 cuando el mvil est en el origen, x=0, por lo que c=0

La energa total E, es la suma de la energa cintica Ek y de la energa potencial Ep que es constante.

Curva de energa potencial

La funcin Ep=m2x2/2 representa una parbola cuyo vrtice est en el origen, que tiene un mnimo en x=0 cuyo valor es Ep=0.

Las regin donde se puede mover la partcula est determinada por la condicin de que la energa cintica ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0. En otras palabras, que la energa total sea mayor o igual que la energa potencial E>=Ep. Si la partcula tiene una energa total E, la partcula solamente se podr mover en la rMovimiento Armnico Simple

El estudio del oscilador armnico constituye en Fsica un captulo muy importante, ya que son muchos los sistemas fsicos oscilantes que se dan en la naturaleza y tambin muchos han sido producidos por el hombre.

Definicin

Una partcula describe un Movimiento Armnico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posicin x dada en funcin del tiempo t por la ecuacin

x = A sen (wt + j)

donde

A es la amplitud.w la frecuencia angular o pulsacin.w t + j la fase.j o jo la fase inicial.Caractersticas de un M.A.S. son:

Como los valores mximo y mnimo de la funcin seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una regin del eje X comprendida entre +A y -A.La funcin seno es peridica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la funcin seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo T tal que w(t+T)+j=w t+j+2p .T = 2p/w

Cinemtica de un M.A.S.

En un movimiento rectilneo, dada la posicin de un mvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleracin derivando la expresin de la velocidad.

La posicin del mvil que describe un M.A.S. en funcin del tiempo viene dada por la ecuacin

x = A sen (w t + j)

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del mvil

v = A w cos (w t + j)

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleracin del mvil

a = - A w2 sen (w t + j ) = - w2x

Condiciones iniciales

Conociendo la pulsacin w, la posicin inicial x0 y la velocidad inicial v0 (en el instante t=0).

x0=Asenjv0=Awcosj

se puede determinar la amplitud A y la fase inicial

Dinmica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresin de la fuerza necesaria para que un mvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a ste.

F = m a = - m w2 x

En la ecuacin anterior vemos que la fuerza que origina un movimiento armnico simple es una fuerza del tipo:

F = -K x

es decir una fuerza como la que hace un muelle, directamente proporcional a la elongacin pero de signo contrario. K es la constante recuperadora o constante de elasticidad y se puede observar, en las dos ecuaciones anteriores, que est relacionada con la pulsacin:

K = m w2

Teniendo en cuenta que w = 2p / T podemos deducir el periodo del movimiento armnico simple:

Como se origina un m.a.s.

Oscila_1.gif (2308 bytes)Siempre que sobre una partcula, desplazada una longitud x de su posicin de equilibrio, acte una fuerza que es proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a ste, tal como se muestra en el ejemplo de la figuraEnerga de un M.A.S.

En el m.a.s. la energa se transforma continuamente de potencial en cintica y viceversa.En los extremos solo hay energa potencial puesto que la velocidad es cero y en el punto de equilibrio solo hay energa cintica. En cualquier otro punto, la energa correspondiente a la partcula que realiza el m.a.s. es la suma de su energa potencial ms su energa cintica.

Toda partcula sometida a un movimiento armnico simple posee una energa mecnica que podemos descomponer en: Energa Cintica (debida a que la partcula est en movimiento) y Energa Potencial (debida a que el movimiento armnico es producido por una fuerza conservativa).

Si tenemos en cuenta el valor de la energa cintica

Ec = 1/2 m v2

y el valor de la velocidad del m.a.s.

v = dx / dt = A w cos (w t + jo)

sustituyendo obtenemos

Ec = 1/2 m v2 = 1/2 m A2 w2cos2 (w t + jo)

Ec = 1/2 k A2 cos 2(w t + jo)

a partir de la ecuacin fundamental de la trigonometra:

sen2 + cos2 = 1

Ec = 1/2 k A2 [ 1 - sen 2(w t + jo)]

Ec = 1/2 k[ A2 - A2sen 2(w t + jo)]

de donde la energa cintica de una partcula sometida a un m.a.s. queda

Ec = 1/2 k [ A2 - x2]

Observamos que tiene un valor peridico, obtenindose su valor mximo cuando la partcula se encuentra en la posicin de equilibrio, y obtenindose su valor mnimo en el extremo de la trayectoria.

La energa potencial en una posicin y vendr dada por el trabajo necesario para llevar la partcula desde la posicin de equilibrio hasta el punto de elongacin y.

Por ello el valor de la energa potencial en una posicin x vendr dado por la expresin

Ep = 1/2 k x2

Teniendo en cuenta que la energa mecnica es la suma de la energa potencial ms la energa cintica, nos encontramos que la energa mecnica de una partcula que describe un m.a.s. ser:

Etotal = 1/2 K x2 + 1/2 K (A2-x2) = 1/2 KA2

E = 1/2 k A2

En la naturaleza hay muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales de tiempo, estos son llamados movimientos peridicos. En Fsica se ha idealizado un tipo de movimiento oscilatorio, en el que se considera que sobre el sistema no existe la accin de las fuerzas de rozamiento, es decir, no existe disipacin de energa y el movimiento se mantiene invariable, sin necesidad de comunicarle energa exterior a este. Este movimiento se llama MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE (MAS)El movimiento Armnico Simple, un movimiento que se explica en el movimiento armnico de una partcula tiene como aplicaciones a los pndulos, es as que podemos estudiar el movimiento de este tipo de sistemas tan especiales, adems de estudiar las expresiones de la Energa dentro del Movimiento Armnico Simple.EL MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLEDefinicin: es un movimiento vibratorio bajo la accin de una fuerza recuperadora elstica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical se representa grficamente por la funcin seno. sta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armnico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento.Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia.Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su proyeccin (Q) sobre cualquiera de los dimetros de esta, realiza un tipo de movimiento armnico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se trazar una perpendicular desde el punto a un dimetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto proyectado en el dimetro, realizar un movimiento oscilatorio rectilneo.Para representar grficamente (en una funcin) el movimiento armnico simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del perodo (T/12, T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante es una sinusoide, ya que la variacin del tiempo t, se traduce como una variacin del sin x, donde x es el ngulo que forma el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo).

Elementos:1. Oscilacin o vibracin: es el movimiento realizado desde cualquier posicin hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.2. Elongacin: es el desplazamiento de la partcula que oscila desde la posicin de equilibrio hasta cualquier posicin en un instante dado.3. Amplitud: es la mxima elongacin, es decir, el desplazamiento mximo a partir de la posicin de equilibrio.4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilacin o vibracin completa. Se designa con la letra "t".5. Frecuencia: es el nmero de oscilacin o vibracin realizadas en la unidad de tiempo.6. Posicin de equilibrio: es la posicin en la cual no acta ninguna fuerza neta sobre la partcula oscilante.Relacin entre el M.A.S. y el Movimiento Circular UniformeEl M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la "proyeccin" (sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme (M.C.U.) de radio igual a la amplitud A y velocidad angular , sobre el dimetro vertical de la circunferencia que recorre.En lo siguiente podrs visualizar dicha relacin.Vamos a establecer una relacin entre un movimiento vobratorio armnico simple y el movimiento circular uniforme. Esto nos va a permitir dos cosas:- Hallar la ecuacin del MAS sin tener que recurrir a clculos matemticos complejos.- Conocer de donde vienen algunos de los conceptos que usamos en el MAS, como frecuencia angular o el desfase.Observando el applet que viene a continuacin. Tememos inicialmente el resorte azul, que oscila verticalmente. En la circunferencia tienes un punto negro que gira con movimiento circular uniforme, ocupando en cada instante una posicin en la circunferencia. Traza mentalmente la proyeccin de esa posicin sobre el dimetro vertical de la circunferencia. En cada momento, la masa que cuelga del resorte ocupa una posicin determinada. Observa que la posicin de la masa del resorte coincide exactamente con la proyeccin de la posicin del objeto sobre el dimetro, que vers en forma de lnea azul en el dimetro vertical.Es decir, como resumen, cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme en una trayectoria circular, el movimiento de la proyeccin del objeto sobre el dimetro es un movimiento armnico simple.

Lo mismo podramos decir del resorte amarillo y la proyeccin sobre el dimetro horizontal, que vers como un trazo amarillo sobre dicho dimetro.Los vectores azul y amarillo, que varan en el applet, corresponden al valor de la velocidad del resorte, azul para dimetro vertical y amarillo para el horizontal. Observa su variacin y comprobars que la velocidad es mxima en el centro de equilibrio del resorte y mnima en los extremos, en los puntos de mnima y mxima elongacin. Observa tambin como el vector rojo de la grfica de la derecha, la velocidad del MAS, coincide con el vector azul, la velocidad de la proyeccin sobre el dimetro vertical, lo que supone una prueba ms de lo que hemos afirmado anteriormente.Ecuaciones del Movimiento Armnico SimpleFrmulas:x = A . cos . w . tx = elongacinr = A = radiot = tiempow = velocidad angularVx = - V . sen V = w . rh = w . tw . t = V = Vector representativo de la velocidad lineal.Vx = proyeccin de "Y" sobre el eje "X"h = nguloVx = -2 . F . A . sen (2 . )Vx = + w " A2 - x2Ax = - w2 . A . cos. w . tAx = - Ac . cos Ac = proyeccin de aceleracin sobre el eje horizontalAc = w2 . xAc = aceleracin centrpetat = 2 " mkT = periodoPndulo simpleDefinicin: es llamado as porque consta de un cuerpo de masa m, suspendido de un hilo largo de longitud l, que cumple las condiciones siguientes:el hilo es inextensiblesu masa es despreciable comparada con la masa del cuerpoel ngulo de desplazamiento que llamaremos 0 debe ser pequeoComo funciona: con un hilo inextensible su masa es despreciada comparada con la masa del cuerpo el ngulo de desplazamiento debe ser pequeo.Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo Hooke, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El pndulo simple, es decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio constante, es uno de ellos.Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce una oscilacin peridica. Para estudiar esta oscilacin es necesario proyectar las fuerzas que se ejercen sobre el peso en todo momento, y ver que componentes nos interesan y cuales no. Esto se puede observar en la figura 13.1.

Vemos pues que, considerando nicamente el desplazamiento tangente a

Leer ms: http://www.monografias.com/trabajos30/movimiento-armonico-simple/movimiento-armonico-simple.shtml#ixzz3Wa8Kdpc8