Motion in 2D

8/6/2019 Motion in 2D

1/50

C o n n e x i o n s m o d u l e : m 3 5 9 7 1 1

M o t i o n i n T w o D i m e n s i o n s - G r a d e 1 2

R o r y A d a m s

F r e e H i g h S c h o o l S c i e n c e T e x t s P r o j e c t

H e a t h e r W i l l i a m s

T h i s w o r k i s p r o d u c e d b y T h e C o n n e x i o n s P r o j e c t a n d l i c e n s e d u n d e r t h e

C r e a t i v e C o m m o n s A t t r i b u t i o n L i c e n s e

1 M o t i o n i n T w o D i m e n s i o n s - G r a d e 1 2

2 I n t r o d u c t i o n

I n G r a d e 1 0 , w e s t u d i e d m o t i o n i n o n e d i m e n s i o n a n d b r i e y l o o k e d a t v e r t i c a l m o t i o n . I n t h i s c h a p t e r

w e w i l l d i s c u s s v e r t i c a l m o t i o n a n d a l s o l o o k a t m o t i o n i n t w o d i m e n s i o n s . I n G r a d e 1 1 , w e s t u d i e d t h e

c o n s e r v a t i o n o f m o m e n t u m a n d l o o k e d a t a p p l i c a t i o n s i n o n e d i m e n s i o n . I n t h i s c h a p t e r w e w i l l l o o k a t

m o m e n t u m i n t w o d i m e n s i o n s .

3 V e r t i c a l P r o j e c t i l e M o t i o n

I n G r a d e 1 0 , w e s t u d i e d t h e m o t i o n o f o b j e c t s i n f r e e f a l l a n d w e s a w t h a t a n o b j e c t i n f r e e f a l l f a l l s w i t h

g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n g . N o w w e c a n c o n s i d e r t h e m o t i o n o f o b j e c t s t h a t a r e t h r o w n u p w a r d s a n d t h e n

f a l l b a c k t o t h e E a r t h . W e c a l l t h i s p r o j e c t i l e m o t i o n a n d w e w i l l o n l y c o n s i d e r t h e s i t u a t i o n w h e r e t h e

o b j e c t i s t h r o w n s t r a i g h t u p w a r d s a n d t h e n f a l l s s t r a i g h t d o w n w a r d s - t h i s m e a n s t h a t t h e r e i s n o h o r i z o n t a l

d i s p l a c e m e n t o f t h e o b j e c t , o n l y a v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t .

3 . 1 M o t i o n i n a G r a v i t a t i o n a l F i e l d

W h e n a n o b j e c t i s i n t h e e a r t h ' s g r a v i t a t i o n a l e l d , i t a l w a y s a c c e l e r a t e s d o w n w a r d s , t o w a r d s t h e c e n t r e o f

t h e e a r t h , w i t h a c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n g , n o m a t t e r w h e t h e r t h e o b j e c t i s m o v i n g u p w a r d s o r d o w n w a r d s .

T h i s i s s h o w n i n F i g u r e 1 .

t i p : P r o j e c t i l e s m o v i n g u p w a r d s o r d o w n w a r d s i n t h e e a r t h ' s g r a v i t a t i o n a l e l d a l w a y s a c c e l e r a t e

d o w n w a r d s w i t h a c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n g . N o t e : a c c e l e r a t i o n m e a n s t h a t t h e v e l o c i t y c h a n g e s ; i t

e i t h e r b e c o m e s g r e a t e r o r s m a l l e r .

V e r s i o n 1 . 1 : N o v 1 1 , 2 0 1 0 7 : 0 3 a m U S / C e n t r a l

h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 3 . 0 /

h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 3 5 9 7 1 / 1 . 1 /


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F i g u r e 1 : O b j e c t s m o v i n g u p w a r d s o r d o w n w a r d s , a l w a y s a c c e l e r a t e d o w n w a r d s .

T h i s m e a n s t h a t i f a n o b j e c t i s m o v i n g u p w a r d s , i t s v e l o c i t y d e c r e a s e s u n t i l i t s t o p s (

vf = 0m s

1) . T h i s i s

t h e m a x i m u m h e i g h t t h a t t h e o b j e c t r e a c h e s , b e c a u s e a f t e r t h i s , t h e o b j e c t s t a r t s t o f a l l .

t i p : P r o j e c t i l e s h a v e z e r o v e l o c i t y a t t h e i r g r e a t e s t h e i g h t .

C o n s i d e r a n o b j e c t t h r o w n u p w a r d s f r o m a v e r t i c a l h e i g h t ho . W e h a v e s e e n t h a t t h e o b j e c t w i l l t r a v e l

u p w a r d s w i t h d e c r e a s i n g v e l o c i t y u n t i l i t s t o p s , a t w h i c h p o i n t i t s t a r t s f a l l i n g . T h e t i m e t h a t i t t a k e s f o r

t h e o b j e c t t o f a l l d o w n t o h e i g h t ho i s t h e s a m e a s t h e t i m e t a k e n f o r t h e o b j e c t t o r e a c h i t s m a x i m u m h e i g h t

f r o m h e i g h t ho .

F i g u r e 2 : ( a ) A n o b j e c t i s t h r o w n u p w a r d s f r o m h e i g h t h0 . ( b ) A f t e r t i m e tm , t h e o b j e c t r e a c h e s i t s

m a x i m u m h e i g h t , a n d s t a r t s t o f a l l . ( c ) A f t e r a t i m e

2tm t h e o b j e c t r e t u r n s t o h e i g h t h0 .

t i p : P r o j e c t i l e s t a k e t h e s a m e t i m e t o g o f r o m t h e p o i n t o f l a u n c h t o t h e g r e a t e s t h e i g h t a s t h e

t i m e t h e y t a k e t o f a l l b a c k t o t h e p o i n t o f l a u n c h .



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3 . 2 E q u a t i o n s o f M o t i o n

T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n t h a t w e r e u s e d i n C h a p t e r t o d e s c r i b e f r e e f a l l c a n b e u s e d f o r p r o j e c t i l e m o t i o n .

T h e s e e q u a t i o n s a r e t h e s a m e a s t h o s e e q u a t i o n s t h a t w e r e d e r i v e d i n C h a p t e r , b u t w i t h a c c e l e r a t i o n f r o m

g r a v i t y : a = g . W e u s e g = 9, 8 m s2 f o r o u r c a l c u l a t i o n s . R e m e m b e r t h a t w h e n y o u u s e t h e s e e q u a t i o n s , y o u a r e d e a l i n g w i t h v e c t o r s w h i c h h a v e m a g n i t u d e a n d

d i r e c t i o n . T h e r e f o r e , y o u n e e d t o d e c i d e w h i c h d i r e c t i o n w i l l b e t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n s o t h a t y o u r v e c t o r s

h a v e t h e c o r r e c t s i g n s .

vi = initialvelocity

m s1 att = 0svf = finalvelocity

m s1 attimet

x = verticaldisplacement (m)

t = time (s)

t = timeinterval (s)

g = accelerationduetogravity

m s2

( 1 )

vf = vi + gt

x =(vi+vf )

2t

x = vit +12gt

2

v2f = v2i + 2gx

( 2 )

E x e r c i s e 1 : P r o j e c t i l e m o t i o n

( S o l u t i o n o n p . 3 2 . )

A b a l l i s t h r o w n u p w a r d s w i t h a n i n i t i a l v e l o c i t y o f 1 0 m s 1 .

1 . D e t e r m i n e t h e m a x i m u m h e i g h t r e a c h e d a b o v e t h e t h r o w e r ' s h a n d .

2 . D e t e r m i n e t h e t i m e i t t a k e s t h e b a l l t o r e a c h i t s m a x i m u m h e i g h t .

E x e r c i s e 2 : H e i g h t o f a p r o j e c t i l e

( S o l u t i o n o n p . 3 2 . )

A c r i c k e t e r h i t s a c r i c k e t b a l l f r o m t h e g r o u n d s o t h a t i t g o e s d i r e c t l y u p w a r d s . I f t h e b a l l t a k e s ,

1 0 s t o r e t u r n t o t h e g r o u n d , d e t e r m i n e i t s m a x i m u m h e i g h t .

3 . 2 . 1 E q u a t i o n s o f M o t i o n

1 . A c r i c k e t e r h i t s a c r i c k e t b a l l s t r a i g h t u p i n t o t h e a i r . T h e c r i c k e t b a l l h a s a n i n i t i a l v e l o c i t y o f 2 0

m s 1 .a . W h a t h e i g h t d o e s t h e b a l l r e a c h b e f o r e i t s t o p s t o f a l l b a c k t o t h e g r o u n d .

b . H o w l o n g h a s t h e b a l l b e e n i n t h e a i r f o r ?

2 . Z i n g i t h r o w s a t e n n i s b a l l s t r a i g h t u p i n t o t h e a i r . I t r e a c h e s a h e i g h t o f 8 0 c m .

a . D e t e r m i n e t h e i n i t i a l v e l o c i t y o f t h e t e n n i s b a l l .

b . H o w l o n g d o e s t h e b a l l t a k e t o r e a c h i t s m a x i m u m h e i g h t ?

3 . A t o u r i s t t a k e s a t r i p i n a h o t a i r b a l l o o n . T h e h o t a i r b a l l o o n i s a s c e n d i n g ( m o v i n g u p ) a t a v e l o c i t y

o f 4 m s 1 . H e a c c i d e n t a l l y d r o p s h i s c a m e r a o v e r t h e s i d e o f t h e b a l l o o n ' s b a s k e t , a t a h e i g h t o f 2 0 m . C a l c u l a t e t h e v e l o c i t y w i t h w h i c h t h e c a m e r a h i t s t h e g r o u n d .



4/50


4m s1

20 m

F i g u r e 3

3 . 3 G r a p h s o f V e r t i c a l P r o j e c t i l e M o t i o n

V e r t i c a l p r o j e c t i l e m o t i o n i s t h e s a m e a s m o t i o n a t c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n . I n G r a d e 1 0 y o u l e a r n e d a b o u t t h e

g r a p h s f o r m o t i o n a t c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n . T h e g r a p h s f o r v e r t i c a l p r o j e c t i l e m o t i o n a r e t h e r e f o r e i d e n t i c a l

t o t h e g r a p h s f o r m o t i o n u n d e r c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n .

W h e n w e d r a w t h e g r a p h s f o r v e r t i c a l p r o j e c t i l e m o t i o n , w e c o n s i d e r t w o m a i n s i t u a t i o n s : a n o b j e c t

m o v i n g u p w a r d s a n d a n o b j e c t m o v i n g d o w n w a r d s .

I f w e t a k e t h e u p w a r d s d i r e c t i o n a s p o s i t i v e t h e n f o r a n o b j e c t m o v i n g u p w a r d s w e g e t t h e g r a p h s s h o w n

i n F i g u r e 4 .



5/50


F i g u r e 4 : G r a p h s f o r a n o b j e c t t h r o w n u p w a r d s w i t h a n i n i t i a l v e l o c i t y

vi . T h e o b j e c t t a k e s tm s t o

r e a c h i t s m a x i m u m h e i g h t o f

hm m a f t e r w h i c h i t f a l l s b a c k t o t h e g r o u n d . ( a ) p o s i t i o n v s . t i m e g r a p h

( b ) v e l o c i t y v s . t i m e g r a p h ( c ) a c c e l e r a t i o n v s . t i m e g r a p h .

E x e r c i s e 3 : D r a w i n g G r a p h s o f P r o j e c t i l e M o t i o n

( S o l u t i o n o n p . 3 3 . )

S t a n l e y i s s t a n d i n g o n t h e a b a l c o n y 2 0 m a b o v e t h e g r o u n d . S t a n l e y t o s s e s u p a r u b b e r b a l l w i t h

a n i n i t i a l v e l o c i t y o f 4 , 9 m s 1 . T h e b a l l t r a v e l s u p w a r d s a n d t h e n f a l l s t o t h e g r o u n d . D r a w g r a p h s o f p o s i t i o n v s . t i m e , v e l o c i t y v s . t i m e a n d a c c e l e r a t i o n v s . t i m e . C h o o s e u p w a r d s a s t h e p o s i t i v e

d i r e c t i o n .

E x e r c i s e 4 : A n a l y s i n g G r a p h s o f P r o j e c t i l e M o t i o n

( S o l u t i o n o n p . 3 7 . )

T h e g r a p h b e l o w ( n o t d r a w n t o s c a l e ) s h o w s t h e m o t i o n o f t e n n i s b a l l t h a t w a s t h r o w n v e r t i c a l l y

u p w a r d s f r o m a n o p e n w i n d o w s o m e d i s t a n c e f r o m t h e g r o u n d . I t t a k e s t h e b a l l 0 , 2 s t o r e a c h i t s

h i g h e s t p o i n t b e f o r e f a l l i n g b a c k t o t h e g r o u n d . S t u d y t h e g r a p h g i v e n a n d c a l c u l a t e

1 . h o w h i g h t h e w i n d o w i s a b o v e t h e g r o u n d .

2 . t h e t i m e i t t a k e s t h e b a l l t o r e a c h t h e m a x i m u m h e i g h t .

3 . t h e i n i t i a l v e l o c i t y o f t h e b a l l .

4 . t h e m a x i m u m h e i g h t t h a t t h e b a l l r e a c h e s .

5 . t h e n a l v e l o c i t y o f t h e b a l l w h e n i t r e a c h e s t h e g r o u n d .



6/50


F i g u r e 5

E x e r c i s e 5 : D e s c r i b i n g P r o j e c t i l e M o t i o n

( S o l u t i o n o n p . 3 9 . )

A c r i c k e t b a l l i s h i t b y a c r i c k e t e r a n d t h e f o l l o w i n g g r a p h o f v e l o c i t y v s . t i m e w a s d r a w n :



7/50


19,6

-19,6

2 4time (s)

velocity(m

s1

)

F i g u r e 6

A c r i c k e t e r h i t s a c r i c k e t b a l l f r o m t h e g r o u n d a n d t h e f o l l o w i n g g r a p h o f v e l o c i t y v s . t i m e w a s

d r a w n . U p w a r d s w a s t a k e n a s p o s i t i v e . S t u d y t h e g r a p h a n d f o l l o w t h e i n s t r u c t i o n s b e l o w :

1 . D e s c r i b e t h e m o t i o n o f t h e b a l l a c c o r d i n g t o t h e g r a p h .

2 . D r a w a s k e t c h g r a p h o f t h e c o r r e s p o n d i n g d i s p l a c e m e n t - t i m e g r a p h . L a b e l t h e a x e s .

3 . D r a w a s k e t c h g r a p h o f t h e c o r r e s p o n d i n g a c c e l e r a t i o n - t i m e g r a p h . L a b e l t h e a x e s .

3 . 3 . 1 G r a p h s o f V e r t i c a l P r o j e c t i l e M o t i o n

1 . A m a n d a t h r o w s a t e n n i s b a l l f r o m a h e i g h t o f 1, 5 m s t r a i g h t u p i n t o t h e a i r a n d t h e n l e t s i t f a l l t o t h e g r o u n d . D r a w g r a p h s o f x v s t; v v s t a n d a v s t f o r t h e m o t i o n o f t h e b a l l . T h e i n i t i a l v e l o c i t y o f t h e t e n n i s b a l l i s 2 m s1 . C h o o s e u p w a r d s a s p o s i t i v e .

2 . A b u l l e t i s s h o t s t r a i g h t u p w a r d s f r o m a g u n . T h e f o l l o w i n g g r a p h i s d r a w n . D o w n w a r d s w a s c h o s e n

a s p o s i t i v e

a . D e s c r i b e t h e m o t i o n o f t h e b u l l e t .

b . D r a w a d i s p l a c e m e n t - t i m e g r a p h .

c . D r a w a n a c c e l e r a t i o n - t i m e g r a p h .



8/50


t(s)

v(m s1)

200

200

20,440,8

F i g u r e 7

F i g u r e 8

T h i s s e c t i o n d o e s n o t a p p e a r i n t h e c u r r e n t s y l l a b u s , b u t a p p e a r s i n t h e

4 C o n s e r v a t i o n o f M o m e n t u m i n T w o D i m e n s i o n s

W e h a v e s e e n i n G r a d e 1 1 t h a t t h e m o m e n t u m o f a s y s t e m i s c o n s e r v e d w h e n t h e r e a r e n o e x t e r n a l f o r c e s

a c t i n g o n t h e s y s t e m . C o n v e r s e l y , a n e x t e r n a l f o r c e c a u s e s a c h a n g e i n m o m e n t u m p, w i t h t h e i m p u l s e d e l i v e r e d b y t h e f o r c e , F a c t i n g f o r a t i m e t g i v e n b y :

p = F t ( 3 )T h e s a m e p r i n c i p l e s t h a t w e r e s t u d i e d i n a p p l y i n g t h e c o n s e r v a t i o n o f m o m e n t u m t o p r o b l e m s i n o n e

d i m e n s i o n , c a n b e a p p l i e d t o s o l v i n g p r o b l e m s i n t w o d i m e n s i o n s .

T h e c a l c u l a t i o n o f m o m e n t u m i s t h e s a m e i n t w o d i m e n s i o n s a s i n o n e d i m e n s i o n . T h e c a l c u l a t i o n o f

m o m e n t u m i n t w o d i m e n s i o n s i s b r o k e n d o w n i n t o d e t e r m i n i n g t h e x a n d y c o m p o n e n t s o f m o m e n t u m a n d

a p p l y i n g t h e c o n s e r v a t i o n o f m o m e n t u m t o e a c h s e t o f c o m p o n e n t s .

C o n s i d e r t w o o b j e c t s m o v i n g t o w a r d s e a c h o t h e r a s s h o w n i n F i g u r e 9 . W e a n a l y s e t h i s s i t u a t i o n b y

c a l c u l a t i n g t h e x a n d y c o m p o n e n t s o f t h e m o m e n t u m o f e a c h o b j e c t .



9/50


F i g u r e 9 : T w o b a l l s c o l l i d e a t p o i n t P .

4 . 1 B e f o r e t h e c o l l i s i o n

T o t a l m o m e n t u m :

pi1 = m1vi1

pi2 = m2vi2( 4 )

x- c o m p o n e n t o f m o m e n t u m :

pi1x = m1vi1x = m1vi1cos1

pi2x = m2ui2x = m2vi2cos2( 5 )

y - c o m p o n e n t o f m o m e n t u m :

pi1y = m1vi1y = m1vi1sin1

pi2y = m2vi2y = m2vi2sin2( 6 )

4 . 2 A f t e r t h e c o l l i s i o n

T o t a l m o m e n t u m :

pf1 = m1vf1

pf2 = m2vf2( 7 )

x- c o m p o n e n t o f m o m e n t u m :

pf1x = m1vf1x = m1vf1cos1

pf2x = m2vf2x = m2vf2cos2( 8 )



10/50

C o n n e x i o n s m o d u l e : m 3 5 9 7 1 1 0

y - c o m p o n e n t o f m o m e n t u m :

pf1y = m1vf1y = m1vf1sin1

pf2y = m2vf2y = m2vf2sin2( 9 )

4 . 3 C o n s e r v a t i o n o f m o m e n t u m

T h e i n i t i a l m o m e n t u m i s e q u a l t o t h e n a l m o m e n t u m :

pi = pf ( 1 0 )

pi = pi1 + pi2

pf = pf1 + pf2( 1 1 )

T h i s f o r m s t h e b a s i s o f a n a l y s i n g m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n p r o b l e m s i n t w o d i m e n s i o n s .

E x e r c i s e 6 : 2 D C o n s e r v a t i o n o f M o m e n t u m

( S o l u t i o n o n p . 4 0 . )

I n a r u g b y g a m e , P l a y e r 1 i s r u n n i n g w i t h t h e b a l l a t 5 m s 1 s t r a i g h t d o w n t h e e l d p a r a l l e l t o t h e e d g e o f t h e e l d . P l a y e r 2 r u n s a t 6 m s 1 a n a n g l e o f 60 t o t h e e d g e o f t h e e l d a n d t a c k l e s P l a y e r 1 . I n t h e t a c k l e , P l a y e r 2 s t o p s c o m p l e t e l y w h i l e P l a y e r 1 b o u n c e s o P l a y e r 2 . C a l c u l a t e

t h e v e l o c i t y ( m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n ) a t w h i c h P l a y e r 1 b o u n c e s o P l a y e r 2 . B o t h t h e p l a y e r s

h a v e a m a s s o f 9 0 k g .

E x e r c i s e 7 : 2 D C o n s e r v a t i o n o f M o m e n t u m : I I

( S o l u t i o n o n p . 4 2 . )

I n a s o c c e r g a m e , P l a y e r 1 i s r u n n i n g w i t h t h e b a l l a t 5 m s 1 a c r o s s t h e p i t c h a t a n a n g l e o f 75f r o m t h e h o r i z o n t a l . P l a y e r 2 r u n s t o w a r d s P l a y e r 1 a t 6 m s 1 a n a n g l e o f 60 t o t h e h o r i z o n t a l a n d t a c k l e s P l a y e r 1 . I n t h e t a c k l e , t h e t w o p l a y e r s b o u n c e o e a c h o t h e r . P l a y e r 2 m o v e s o w i t h a

v e l o c i t y i n t h e o p p o s i t e x- d i r e c t i o n o f 0 . 3 m s 1 a n d a v e l o c i t y i n t h e y - d i r e c t i o n o f 6 m s 1 . B o t h t h e p l a y e r s h a v e a m a s s o f 8 0 k g . W h a t i s t h e n a l t o t a l v e l o c i t y o f P l a y e r 1 ?

5 T y p e s o f C o l l i s i o n s

T w o t y p e s o f c o l l i s i o n s a r e o f i n t e r e s t :

e l a s t i c c o l l i s i o n s i n e l a s t i c c o l l i s i o n s

I n b o t h t y p e s o f c o l l i s i o n , t o t a l m o m e n t u m i s a l w a y s c o n s e r v e d . K i n e t i c e n e r g y i s c o n s e r v e d f o r e l a s t i c

c o l l i s i o n s , b u t n o t f o r i n e l a s t i c c o l l i s i o n s .

5 . 1 E l a s t i c C o l l i s i o n s

D e n i t i o n 1 : E l a s t i c C o l l i s i o n s

A n e l a s t i c c o l l i s i o n i s a c o l l i s i o n w h e r e t o t a l m o m e n t u m a n d t o t a l k i n e t i c e n e r g y a r e b o t h c o n s e r v e d .

T h i s m e a n s t h a t i n a n e l a s t i c c o l l i s i o n t h e t o t a l m o m e n t u m a n d t h e t o t a l k i n e t i c e n e r g y b e f o r e t h e

c o l l i s i o n i s t h e s a m e a s a f t e r t h e c o l l i s i o n . F o r t h e s e k i n d s o f c o l l i s i o n s , t h e k i n e t i c e n e r g y i s n o t c h a n g e d

i n t o a n o t h e r t y p e o f e n e r g y .



11/50


5 . 1 . 1 B e f o r e t h e C o l l i s i o n

F i g u r e 1 0 s h o w s t w o b a l l s r o l l i n g t o w a r d e a c h o t h e r , a b o u t t o c o l l i d e :

1

pi1, KEi1

2

pi2, KEi2

F i g u r e 1 0 : T w o b a l l s b e f o r e t h e y c o l l i d e .

B e f o r e t h e b a l l s c o l l i d e , t h e t o t a l m o m e n t u m o f t h e s y s t e m i s e q u a l t o a l l t h e i n d i v i d u a l m o m e n t a a d d e d

t o g e t h e r . B a l l 1 h a s a m o m e n t u m w h i c h w e c a l l pi1 a n d b a l l 2 h a s a m o m e n t u m w h i c h w e c a l l pi2 , i t m e a n s

t h e t o t a l m o m e n t u m b e f o r e t h e c o l l i s i o n i s :

pi = pi1 + pi2 ( 1 2 )

W e c a l c u l a t e t h e t o t a l k i n e t i c e n e r g y o f t h e s y s t e m i n t h e s a m e w a y . B a l l 1 h a s a k i n e t i c e n e r g y w h i c h w e

c a l l KEi1 a n d t h e b a l l 2 h a s a k i n e t i c e n e r g y w h i c h w e c a l l K E i2 , i t m e a n s t h a t t h e t o t a l k i n e t i c e n e r g y

b e f o r e t h e c o l l i s i o n i s :

KEi = KEi1 + KEi2 ( 1 3 )

5 . 1 . 2 A f t e r t h e C o l l i s i o n

F i g u r e 1 1 s h o w s t w o b a l l s a f t e r t h e y h a v e c o l l i d e d :

1

pf1, KEf1

2

pf2, KEf2

F i g u r e 1 1 : T w o b a l l s a f t e r t h e y c o l l i d e .

A f t e r t h e b a l l s c o l l i d e a n d b o u n c e o e a c h o t h e r , t h e y h a v e n e w m o m e n t a a n d n e w k i n e t i c e n e r g i e s . L i k e

b e f o r e , t h e t o t a l m o m e n t u m o f t h e s y s t e m i s e q u a l t o a l l t h e i n d i v i d u a l m o m e n t a a d d e d t o g e t h e r . B a l l 1

n o w h a s a m o m e n t u m w h i c h w e c a l l pf1 a n d b a l l 2 n o w h a s a m o m e n t u m w h i c h w e c a l l pf2 , i t m e a n s t h e

t o t a l m o m e n t u m a f t e r t h e c o l l i s i o n i s

pf = pf1 + pf2 ( 1 4 )

B a l l 1 n o w h a s a k i n e t i c e n e r g y w h i c h w e c a l l KEf1 a n d b a l l 2 n o w h a s a k i n e t i c e n e r g y w h i c h w e c a l l

KEf2 , i t m e a n s t h a t t h e t o t a l k i n e t i c e n e r g y a f t e r t h e c o l l i s i o n i s :

KEf = KEf1 + KEf2 ( 1 5 )



12/50


S i n c e t h i s i s a n e l a s t i c c o l l i s i o n , t h e t o t a l m o m e n t u m b e f o r e t h e c o l l i s i o n e q u a l s t h e t o t a l m o m e n t u m a f t e r

t h e c o l l i s i o n a n d t h e t o t a l k i n e t i c e n e r g y b e f o r e t h e c o l l i s i o n e q u a l s t h e t o t a l k i n e t i c e n e r g y a f t e r t h e c o l l i s i o n .

T h e r e f o r e :

Initial Final

pi = pf

pi1 + pi2 = pf1 + pf2

and

KEi = KEf

KEi1 + KEi2 = KEf1 + KEf2

( 1 6 )

E x e r c i s e 8 : A n E l a s t i c C o l l i s i o n ( S o l u t i o n o n p . 4 4 . )

C o n s i d e r a c o l l i s i o n b e t w e e n t w o p o o l b a l l s . B a l l 1 i s a t r e s t a n d b a l l 2 i s m o v i n g t o w a r d s i t w i t h

a s p e e d o f 2 m

s

1. T h e m a s s o f e a c h b a l l i s 0 . 3 k g . A f t e r t h e b a l l s c o l l i d e e l a s t i c a l l y , b a l l 2 c o m e s

t o a n i m m e d i a t e s t o p a n d b a l l 1 m o v e s o . W h a t i s t h e n a l v e l o c i t y o f b a l l 1 ?

E x e r c i s e 9 : A n o t h e r E l a s t i c C o l l i s i o n

( S o l u t i o n o n p . 4 4 . )

C o n s i d e r t w o 2 m a r b l e s . M a r b l e 1 h a s m a s s 5 0 g a n d m a r b l e 2 h a s m a s s 1 0 0 g . E d w a r d r o l l s

m a r b l e 2 a l o n g t h e g r o u n d t o w a r d s m a r b l e 1 i n t h e p o s i t i v e x- d i r e c t i o n . M a r b l e 1 i s i n i t i a l l y a t r e s t

a n d m a r b l e 2 h a s a v e l o c i t y o f 3 m s 1 i n t h e p o s i t i v e x- d i r e c t i o n . A f t e r t h e y c o l l i d e e l a s t i c a l l y ,b o t h m a r b l e s a r e m o v i n g . W h a t i s t h e n a l v e l o c i t y o f e a c h m a r b l e ?

E x e r c i s e 1 0 : C o l l i d i n g B i l l i a r d B a l l s

( S o l u t i o n o n p . 4 6 . )

T w o b i l l i a r d b a l l s e a c h w i t h a m a s s o f 150g c o l l i d e h e a d - o n i n a n e l a s t i c c o l l i s i o n . B a l l 1 w a s t r a v e l l i n g a t a s p e e d o f 2 m s1 a n d b a l l 2 a t a s p e e d o f 1, 5 m s1 . A f t e r t h e c o l l i s i o n , b a l l 1 t r a v e l s a w a y f r o m b a l l 2 a t a v e l o c i t y o f 1, 5 m s1 .

1 . C a l c u l a t e t h e v e l o c i t y o f b a l l 2 a f t e r t h e c o l l i s i o n .

2 . P r o v e t h a t t h e c o l l i s i o n w a s e l a s t i c . S h o w c a l c u l a t i o n s .

5 . 2 I n e l a s t i c C o l l i s i o n s

D e n i t i o n 2 : I n e l a s t i c C o l l i s i o n s

A n i n e l a s t i c c o l l i s i o n i s a c o l l i s i o n i n w h i c h t o t a l m o m e n t u m i s c o n s e r v e d b u t t o t a l k i n e t i c

e n e r g y i s n o t c o n s e r v e d . T h e k i n e t i c e n e r g y i s t r a n s f o r m e d i n t o o t h e r k i n d s o f e n e r g y .

S o t h e t o t a l m o m e n t u m b e f o r e a n i n e l a s t i c c o l l i s i o n s i s t h e s a m e a s a f t e r t h e c o l l i s i o n . B u t t h e t o t a l

k i n e t i c e n e r g y b e f o r e a n d a f t e r t h e i n e l a s t i c c o l l i s i o n i s d i e r e n t . O f c o u r s e t h i s d o e s n o t m e a n t h a t t o t a l

e n e r g y h a s n o t b e e n c o n s e r v e d , r a t h e r t h e e n e r g y h a s b e e n t r a n s f o r m e d i n t o a n o t h e r t y p e o f e n e r g y .

A s a r u l e o f t h u m b , i n e l a s t i c c o l l i s i o n s h a p p e n w h e n t h e c o l l i d i n g o b j e c t s a r e d i s t o r t e d i n s o m e w a y .

U s u a l l y t h e y c h a n g e t h e i r s h a p e . T h e m o d i c a t i o n o f t h e s h a p e o f a n o b j e c t r e q u i r e s e n e r g y a n d t h i s i s

w h e r e t h e m i s s i n g k i n e t i c e n e r g y g o e s . A c l a s s i c e x a m p l e o f a n i n e l a s t i c c o l l i s i o n i s a m o t o r c a r a c c i d e n t .

T h e c a r s c h a n g e s h a p e a n d t h e r e i s a n o t i c e a b l e c h a n g e i n t h e k i n e t i c e n e r g y o f t h e c a r s b e f o r e a n d a f t e r

t h e c o l l i s i o n . T h i s e n e r g y w a s u s e d t o b e n d t h e m e t a l a n d d e f o r m t h e c a r s . A n o t h e r e x a m p l e o f a n i n e l a s t i c

c o l l i s i o n i s s h o w n i n F i g u r e 1 2 .



13/50


pim, KEim pia, KEia

Before collision

pf, KEf

After collision

F i g u r e 1 2 : A s t e r o i d m o v i n g t o w a r d s t h e M o o n .

A n a s t e r o i d i s m o v i n g t h r o u g h s p a c e t o w a r d s t h e M o o n . B e f o r e t h e a s t e r o i d c r a s h e s i n t o t h e M o o n , t h e

t o t a l m o m e n t u m o f t h e s y s t e m i s :

pi = pim + pia ( 1 7 )

T h e t o t a l k i n e t i c e n e r g y o f t h e s y s t e m i s :

KEi = KEim + KEia ( 1 8 )

W h e n t h e a s t e r o i d c o l l i d e s i n e l a s t i c a l l y w i t h t h e M o o n , i t s k i n e t i c e n e r g y i s t r a n s f o r m e d m o s t l y i n t o h e a t

e n e r g y . I f t h i s h e a t e n e r g y i s l a r g e e n o u g h , i t c a n c a u s e t h e a s t e r o i d a n d t h e a r e a o f t h e M o o n ' s s u r f a c e t h a t

i t h i t s , t o m e l t i n t o l i q u i d r o c k ! F r o m t h e f o r c e o f i m p a c t o f t h e a s t e r o i d , t h e m o l t e n r o c k o w s o u t w a r d s t o

f o r m a c r a t e r o n t h e M o o n .

A f t e r t h e c o l l i s i o n , t h e t o t a l m o m e n t u m o f t h e s y s t e m w i l l b e t h e s a m e a s b e f o r e . B u t s i n c e t h i s c o l l i s i o n

i s i n e l a s t i c , ( a n d y o u c a n s e e t h a t a c h a n g e i n t h e s h a p e o f o b j e c t s h a s t a k e n p l a c e ! ) , t o t a l k i n e t i c e n e r g y i s

n o t t h e s a m e a s b e f o r e t h e c o l l i s i o n .

M o m e n t u m i s c o n s e r v e d :

pi = pf ( 1 9 )

B u t t h e t o t a l k i n e t i c e n e r g y o f t h e s y s t e m i s n o t c o n s e r v e d :

KEi = KEf ( 2 0 )

E x e r c i s e 1 1 : A n I n e l a s t i c C o l l i s i o n ( S o l u t i o n o n p . 4 7 . )

C o n s i d e r t h e c o l l i s i o n o f t w o c a r s . C a r 1 i s a t r e s t a n d C a r 2 i s m o v i n g a t a s p e e d o f 2 m s 1 t ot h e l e f t . B o t h c a r s e a c h h a v e a m a s s o f 5 0 0 k g . T h e c a r s c o l l i d e i n e l a s t i c a l l y a n d s t i c k t o g e t h e r .

W h a t i s t h e r e s u l t i n g v e l o c i t y o f t h e r e s u l t i n g m a s s o f m e t a l ?

E x e r c i s e 1 2 : C o l l i d i n g b a l l s o f c l a y

( S o l u t i o n o n p . 4 8 . )

T w o b a l l s o f c l a y , 200g e a c h , a r e t h r o w n t o w a r d s e a c h o t h e r a c c o r d i n g t o t h e f o l l o w i n g d i a g r a m . W h e n t h e y c o l l i d e , t h e y s t i c k t o g e t h e r a n d m o v e o t o g e t h e r . A l l m o t i o n i s t a k i n g p l a c e i n t h e

h o r i z o n t a l p l a n e . D e t e r m i n e t h e v e l o c i t y o f t h e c l a y a f t e r t h e c o l l i s i o n .



14/50


2200g

4m s1

1

200g

3m s1

1+2

N

?

F i g u r e 1 3

5 . 2 . 1 C o l l i s i o n s

1 . A t r u c k o f m a s s 4 5 0 0 k g t r a v e l l i n g a t 2 0 m s 1 h i t s a c a r f r o m b e h i n d . T h e c a r ( m a s s 1 0 0 0 k g ) w a s t r a v e l l i n g a t 1 5 m s 1 . T h e t w o v e h i c l e s , n o w c o n n e c t e d c a r r y o n m o v i n g i n t h e s a m e d i r e c t i o n .

a . C a l c u l a t e t h e n a l v e l o c i t y o f t h e t r u c k - c a r c o m b i n a t i o n a f t e r t h e c o l l i s i o n .

b . D e t e r m i n e t h e k i n e t i c e n e r g y o f t h e s y s t e m b e f o r e a n d a f t e r t h e c o l l i s i o n .

c . E x p l a i n t h e d i e r e n c e i n y o u r a n s w e r s f o r b ) .

d . W a s t h i s a n e x a m p l e o f a n e l a s t i c o r i n e l a s t i c c o l l i s i o n ? G i v e r e a s o n s f o r y o u r a n s w e r .

2 . T w o c a r s o f m a s s 9 0 0 k g e a c h c o l l i d e a n d s t i c k t o g e t h e r a t a n a n g l e o f 9 0

. D e t e r m i n e t h e n a l v e l o c i t y

o f t h e c a r s i f c a r 1 w a s t r a v e l l i n g a t 1 5 m s 1 a n d c a r 2 w a s t r a v e l l i n g a t 2 0 m s 1 .



15/50


2

20m s1

15m s1

1

?

1+2

F i g u r e 1 4

5 . 2 . 2 T i n y , V i o l e n t C o l l i s i o n s

A u t h o r : T h o m a s D . G u t i e r r e z

T o m G u t i e r r e z r e c e i v e d h i s B a c h e l o r o f S c i e n c e a n d M a s t e r d e g r e e s i n P h y s i c s f r o m S a n J o s e S t a t e U n i v e r -

s i t y i n h i s h o m e t o w n o f S a n J o s e , C a l i f o r n i a . A s a M a s t e r ' s s t u d e n t h e h e l p e d w o r k o n a l a s e r s p e c t r o m e t e r

a t N A S A A m e s R e s e a r c h C e n t r e . T h e i n s t r u m e n t m e a s u r e d t h e r a t i o o f d i e r e n t i s o t o p e s o f c a r b o n i n C O 2

g a s a n d c o u l d b e u s e d f o r s u c h d i v e r s e a p p l i c a t i o n s a s m e d i c a l d i a g n o s t i c s a n d s p a c e e x p l o r a t i o n . L a t e r , h e

r e c e i v e d h i s P h D i n p h y s i c s f r o m t h e U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , D a v i s w h e r e h e p e r f o r m e d c a l c u l a t i o n s f o r

v a r i o u s r e a c t i o n s i n h i g h e n e r g y p h y s i c s c o l l i s i o n s . H e c u r r e n t l y l i v e s i n B e r k e l e y , C a l i f o r n i a w h e r e h e s t u d i e s

p r o t o n - p r o t o n c o l l i s i o n s s e e n a t t h e S T A R e x p e r i m e n t a t B r o o k h a v e n N a t i o n a l L a b o r a t o r y o n L o n g I s l a n d ,

N e w Y o r k .

H i g h E n e r g y C o l l i s i o n s

T a k e a n o r a n g e a n d e x p a n d i t t o t h e s i z e o f t h e e a r t h . T h e a t o m s o f t h e e a r t h - s i z e d o r a n g e w o u l d

t h e m s e l v e s b e a b o u t t h e s i z e o f r e g u l a r o r a n g e s a n d w o u l d l l t h e e n t i r e e a r t h - o r a n g e . N o w , t a k e a n a t o m

a n d e x p a n d i t t o t h e s i z e o f a f o o t b a l l e l d . T h e n u c l e u s o f t h a t a t o m w o u l d b e a b o u t t h e s i z e o f a t i n y

s e e d i n t h e m i d d l e o f t h e e l d . F r o m t h i s a n a l o g y , y o u c a n s e e t h a t a t o m i c n u c l e i a r e v e r y s m a l l o b j e c t s b y

h u m a n s t a n d a r d s . T h e y a r e r o u g h l y

1015

m e t e r s i n d i a m e t e r o n e - h u n d r e d t h o u s a n d t i m e s s m a l l e r t h a n

a t y p i c a l a t o m . T h e s e n u c l e i c a n n o t b e s e e n o r s t u d i e d v i a a n y c o n v e n t i o n a l m e a n s s u c h a s t h e n a k e d e y e o r

m i c r o s c o p e s . S o h o w d o s c i e n t i s t s s t u d y t h e s t r u c t u r e o f v e r y s m a l l o b j e c t s l i k e a t o m i c n u c l e i ?

T h e s i m p l e s t n u c l e u s , t h a t o f h y d r o g e n , i s c a l l e d t h e p r o t o n . F a c e d w i t h t h e i n a b i l i t y t o i s o l a t e a s i n g l e

p r o t o n , o p e n i t u p , a n d d i r e c t l y e x a m i n e w h a t i s i n s i d e , s c i e n t i s t s m u s t r e s o r t t o a b r u t e - f o r c e a n d s o m e w h a t

i n d i r e c t m e a n s o f e x p l o r a t i o n : h i g h e n e r g y c o l l i s i o n s . B y c o l l i d i n g p r o t o n s w i t h o t h e r p a r t i c l e s ( s u c h a s o t h e r

p r o t o n s o r e l e c t r o n s ) a t v e r y h i g h e n e r g i e s , o n e h o p e s t o l e a r n a b o u t w h a t t h e y a r e m a d e o f a n d h o w t h e y

w o r k . T h e A m e r i c a n p h y s i c i s t R i c h a r d F e y n m a n o n c e c o m p a r e d t h i s p r o c e s s t o s l a m m i n g d e l i c a t e w a t c h e s

t o g e t h e r a n d g u r i n g o u t h o w t h e y w o r k b y o n l y e x a m i n i n g t h e b r o k e n d e b r i s . W h i l e t h i s a n a l o g y m a y s e e m

p e s s i m i s t i c , w i t h s u c i e n t m a t h e m a t i c a l m o d e l s a n d e x p e r i m e n t a l p r e c i s i o n , c o n s i d e r a b l e i n f o r m a t i o n c a n



16/50


b e e x t r a c t e d f r o m t h e d e b r i s o f s u c h h i g h e n e r g y s u b a t o m i c c o l l i s i o n s . O n e c a n l e a r n a b o u t b o t h t h e n a t u r e

o f t h e f o r c e s a t w o r k a n d a l s o a b o u t t h e s u b - s t r u c t u r e o f s u c h s y s t e m s .

T h e e x p e r i m e n t s a r e i n t h e c a t e g o r y o f h i g h e n e r g y p h y s i c s ( a l s o k n o w n a s s u b a t o m i c p h y s i c s ) . T h e

p r i m a r y t o o l o f s c i e n t i c e x p l o r a t i o n i n t h e s e e x p e r i m e n t s i s a n e x t r e m e l y v i o l e n t c o l l i s i o n b e t w e e n t w o v e r y ,

v e r y s m a l l s u b a t o m i c o b j e c t s s u c h a s n u c l e i . A s a g e n e r a l r u l e , t h e h i g h e r t h e e n e r g y o f t h e c o l l i s i o n s , t h e

m o r e d e t a i l o f t h e o r i g i n a l s y s t e m y o u a r e a b l e t o r e s o l v e . T h e s e e x p e r i m e n t s a r e o p e r a t e d a t l a b o r a t o r i e s

s u c h a s C E R N , S L A C , B N L , a n d F e r m i l a b , j u s t t o n a m e a f e w . T h e g i a n t m a c h i n e s t h a t p e r f o r m t h e

c o l l i s i o n s a r e r o u g h l y t h e s i z e o f t o w n s . F o r e x a m p l e , t h e R H I C c o l l i d e r a t B N L i s a r i n g a b o u t 1 k m i n

d i a m e t e r a n d c a n b e s e e n f r o m s p a c e . T h e n e w e s t m a c h i n e c u r r e n t l y b e i n g b u i l t , t h e L H C a t C E R N , i s a

r i n g 9 k m i n d i a m e t e r !

5 . 2 . 3 C a s e s t u d y : A t o m s a n d i t s C o n s t i t u e n t s

Q u e s t i o n s :

1 . W h a t a r e i s o t o p e s ? ( 2 )

2 . W h a t a r e a t o m s m a d e u p o f ? ( 3 )

3 . W h y d o y o u t h i n k p r o t o n s a r e u s e d i n t h e e x p e r i m e n t s a n d n o t a t o m s l i k e c a r b o n ? ( 2 )

4 . W h y d o y o u t h i n k i t i s n e c e s s a r y t o n d o u t w h a t a t o m s a r e m a d e u p o f a n d h o w t h e y b e h a v e d u r i n g

c o l l i s i o n s ? ( 2 )

5 . T w o p r o t o n s ( m a s s 1, 67 1027 k g ) c o l l i d e a n d s o m e h o w s t i c k t o g e t h e r a f t e r t h e c o l l i s i o n . I f e a c h p r o t o n t r a v e l l e d w i t h a n i n i t i a l v e l o c i t y o f 5, 00107 m s1 a n d t h e y c o l l i d e d a t a n a n g l e o f 9 0 , w h a t i s t h e v e l o c i t y o f t h e c o m b i n a t i o n a f t e r t h e c o l l i s i o n . ( 9 )

6 F r a m e s o f R e f e r e n c e

6 . 1 I n t r o d u c t i o n

A

B

As rightAs left

Bs leftBs right

F i g u r e 1 5 : T o p v i e w o f a r o a d w i t h t w o p e o p l e s t a n d i n g o n o p p o s i t e s i d e s . A c a r d r i v e s p a s t .

C o n s i d e r t w o p e o p l e s t a n d i n g , f a c i n g e a c h o t h e r o n e i t h e r s i d e o f a r o a d . A c a r d r i v e s p a s t t h e m , h e a d i n g

W e s t . F o r t h e p e r s o n f a c i n g S o u t h , t h e c a r w a s m o v i n g t o w a r d t h e r i g h t . H o w e v e r , f o r t h e p e r s o n f a c i n g

N o r t h , t h e c a r w a s m o v i n g t o w a r d t h e l e f t . T h i s d i s c r e p a n c y i s d u e t o t h e f a c t t h a t t h e t w o p e o p l e u s e d

t w o d i e r e n t f r a m e s o f r e f e r e n c e f r o m w h i c h t o i n v e s t i g a t e t h i s s y s t e m . I f e a c h p e r s o n w e r e a s k e d i n w h a t

d i r e c t i o n t h e c a r w e r e m o v i n g , t h e y w o u l d g i v e a d i e r e n t a n s w e r . T h e a n s w e r w o u l d b e r e l a t i v e t o t h e i r

f r a m e o f r e f e r e n c e .



17/50


6 . 2 W h a t i s a f r a m e o f r e f e r e n c e ?

D e n i t i o n 3 : F r a m e o f R e f e r e n c e

A f r a m e o f r e f e r e n c e i s t h e p o i n t o f v i e w f r o m w h i c h a s y s t e m i s o b s e r v e d .

I n p r a c t i c a l t e r m s , a f r a m e o f r e f e r e n c e i s a s e t o f a x e s ( s p e c i f y i n g d i r e c t i o n s ) w i t h a n o r i g i n . A n o b s e r v e r

c a n t h e n m e a s u r e t h e p o s i t i o n a n d m o t i o n o f a l l p o i n t s i n a s y s t e m , a s w e l l a s t h e o r i e n t a t i o n o f o b j e c t s i n

t h e s y s t e m r e l a t i v e t o t h e f r a m e o f r e f e r e n c e .

T h e r e a r e t w o t y p e s o f r e f e r e n c e f r a m e s : i n e r t i a l a n d n o n - i n e r t i a l . A n i n e r t i a l f r a m e o f r e f e r e n c e t r a v e l s

a t a c o n s t a n t v e l o c i t y , w h i c h m e a n s t h a t N e w t o n ' s r s t l a w ( i n e r t i a ) h o l d s t r u e . A n o n - i n e r t i a l f r a m e o f

r e f e r e n c e , s u c h a s a m o v i n g c a r o r a r o t a t i n g c a r o u s e l , a c c e l e r a t e s . T h e r e f o r e , N e w t o n ' s r s t l a w d o e s n o t

h o l d t r u e i n a n o n - i n e r t i a l r e f e r e n c e f r a m e , a s o b j e c t s a p p e a r t o a c c e l e r a t e w i t h o u t t h e a p p r o p r i a t e f o r c e s .

6 . 3 W h y a r e f r a m e s o f r e f e r e n c e i m p o r t a n t ?

F r a m e s o f r e f e r e n c e a r e i m p o r t a n t b e c a u s e ( a s w e h a v e s e e n i n t h e i n t r o d u c t o r y e x a m p l e ) t h e v e l o c i t y o f a

c a r c a n d i e r d e p e n d i n g o n w h i c h f r a m e o f r e f e r e n c e i s u s e d .

6 . 3 . 1 F r a m e s o f R e f e r e n c e a n d S p e c i a l R e l a t i v i t y

F r a m e s o f r e f e r e n c e a r e e s p e c i a l l y i m p o r t a n t i n s p e c i a l r e l a t i v i t y , b e c a u s e w h e n a f r a m e o f r e f e r e n c e i s m o v i n g

a t s o m e s i g n i c a n t f r a c t i o n o f t h e s p e e d o f l i g h t , t h e n t h e o w o f t i m e i n t h a t f r a m e d o e s n o t n e c e s s a r i l y

a p p l y i n a n o t h e r r e f e r e n c e f r a m e . T h e s p e e d o f l i g h t i s c o n s i d e r e d t o b e t h e o n l y t r u e c o n s t a n t b e t w e e n

m o v i n g f r a m e s o f r e f e r e n c e .

T h e n e x t w o r k e d e x a m p l e w i l l e x p l a i n t h i s .

6 . 4 R e l a t i v e V e l o c i t y

T h e v e l o c i t y o f a n o b j e c t i s f r a m e d e p e n d e n t . M o r e s p e c i c a l l y , t h e p e r c e i v e d v e l o c i t y o f a n o b j e c t d e p e n d s

o n t h e v e l o c i t y o f t h e o b s e r v e r . F o r e x a m p l e , a p e r s o n s t a n d i n g o n s h o r e w o u l d o b s e r v e t h e v e l o c i t y o f a

b o a t t o b e d i e r e n t t h a n a p a s s e n g e r o n t h e b o a t .

E x e r c i s e 1 3 : R e l a t i v e V e l o c i t y

( S o l u t i o n o n p . 4 9 . )

T h e s p e e d o m e t e r o f a m o t o r b o a t r e a d s 5 m s 1 . T h e b o a t i s m o v i n g E a s t a c r o s s a r i v e r w h i c h h a s a c u r r e n t t r a v e l i n g 3 m s 1 N o r t h . W h a t w o u l d t h e v e l o c i t y o f t h e m o t o r b o a t b e a c c o r d i n g t o a n o b s e r v e r o n t h e s h o r e ?

E x e r c i s e 1 4 : R e l a t i v e V e l o c i t y 2

( S o l u t i o n o n p . 5 0 . )

I t t a k e s a m a n 1 0 s e c o n d s t o r i d e d o w n a n e s c a l a t o r . I t t a k e s t h e s a m e m a n 1 5 s t o w a l k b a c k u p

t h e e s c a l a t o r a g a i n s t i t s m o t i o n . H o w l o n g w i l l i t t a k e t h e m a n t o w a l k d o w n t h e e s c a l a t o r a t t h e

s a m e r a t e h e w a s w a l k i n g b e f o r e ?

6 . 4 . 1 F r a m e s o f R e f e r e n c e

1 . A w o m a n w a l k s n o r t h a t 3 k m h r

1 o n a b o a t t h a t i s m o v i n g e a s t a t 4 k m h r

1 . T h i s s i t u a t i o n i s

i l l u s t r a t e d i n t h e d i a g r a m b e l o w .

a . H o w f a s t i s t h e w o m a n m o v i n g a c c o r d i n g t o h e r f r i e n d w h o i s a l s o o n t h e b o a t ?

b . W h a t i s t h e w o m a n ' s v e l o c i t y a c c o r d i n g t o a n o b s e r v e r w a t c h i n g f r o m t h e r i v e r b a n k ?



18/50


3kmhr1

4kmhr1

N

F i g u r e 1 6

2 . A b o y i s s t a n d i n g i n s i d e a t r a i n t h a t i s m o v i n g a t 1 0 m s 1 t o t h e l e f t . T h e b o y t h r o w s a b a l l i n t h e a i r w i t h a v e l o c i t y o f 4 m s 1 . W h a t i s t h e r e s u l t a n t v e l o c i t y o f t h e b a l l

a . a c c o r d i n g t o t h e b o y ?

b . a c c o r d i n g t o s o m e o n e o u t s i d e t h e t r a i n ?

7 S u m m a r y

1 . P r o j e c t i l e s a r e o b j e c t s t h a t m o v e t h r o u g h t h e a i r .

2 . O b j e c t s t h a t m o v e u p a n d d o w n ( v e r t i c a l p r o j e c t i l e s ) o n t h e e a r t h a c c e l e r a t e w i t h a c o n s t a n t a c c e l e r -

a t i o n g w h i c h i s a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o 9 , 8 m s2

d i r e c t e d d o w n w a r d s t o w a r d s t h e c e n t r e o f t h e e a r t h .

3 . T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n c a n b e u s e d t o s o l v e v e r t i c a l p r o j e c t i l e p r o b l e m s .

vf = vi + gt

x =(vi+vf )

2t

x = vit +12gt

2

v2f = v2i + 2gx

( 2 1 )

4 . G r a p h s c a n b e d r a w n f o r v e r t i c a l p r o j e c t i l e m o t i o n a n d a r e s i m i l a r t o t h e g r a p h s f o r m o t i o n a t c o n s t a n t

a c c e l e r a t i o n . I f u p w a r d s i s t a k e n a s p o s i t i v e t h e x v s t , v v s t a n s a v s t g r a p h s f o r a n o b j e c t b e i n g t h r o w n u p w a r d s l o o k l i k e t h i s :



19/50


F i g u r e 1 7

5 . M o m e n t u m i s c o n s e r v e d i n o n e a n d t w o d i m e n s i o n s .

p = mv

p = mv

p = Ft

( 2 2 )

6 . A n e l a s t i c c o l l i s i o n i s a c o l l i s i o n w h e r e b o t h m o m e n t u m a n d k i n e t i c e n e r g y i s c o n s e r v e d .

pbefore = pafterKEbefore = KEafter

( 2 3 )

7 . A n i n e l a s t i c c o l l i s i o n i s w h e r e m o m e n t u m i s c o n s e r v e d b u t k i n e t i c e n e r g y i s n o t c o n s e r v e d .

pbefore = pafter

KEbefore = KEafter( 2 4 )

8 . T h e f r a m e o f r e f e r e n c e i s t h e p o i n t o f v i e w f r o m w h i c h a s y s t e m i s o b s e r v e d .

8 E n d o f c h a p t e r e x e r c i s e s

B 2 0 0 5 / 1 1 H G T w o f r i e n d s , A n n a n d L i n d i w e d e c i d e t o r a c e e a c h o t h e r b y s w i m m i n g a c r o s s a r i v e r t o t h e o t h e r s i d e .

T h e y s w i m a t i d e n t i c a l s p e e d s r e l a t i v e t o t h e w a t e r . T h e r i v e r h a s a c u r r e n t o w i n g t o t h e e a s t .



20/50


start

nishAnn Lindiwe

current

F i g u r e 1 8

A n n h e a d s a l i t t l e w e s t o f n o r t h s o t h a t s h e r e a c h e s t h e o t h e r s i d e d i r e c t l y a c r o s s f r o m t h e s t a r t i n g

p o i n t . L i n d i w e h e a d s n o r t h b u t i s c a r r i e d d o w n s t r e a m , r e a c h i n g t h e o t h e r s i d e d o w n s t r e a m o f A n n .

W h o w i n s t h e r a c e ?

a . A n n

b . L i n d i w e

c . I t i s a d e a d h e a t

d . O n e c a n n o t d e c i d e w i t h o u t k n o w i n g t h e v e l o c i t y o f t h e c u r r e n t .

2 0 0 1 / 1 1 H G 1 A b u l l e t r e d v e r t i c a l l y u p w a r d s r e a c h e s a m a x i m u m h e i g h t a n d f a l l s b a c k t o t h e g r o u n d .

F i g u r e 1 9

W h i c h o n e o f t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s i s t r u e w i t h r e f e r e n c e t o t h e a c c e l e r a t i o n o f t h e b u l l e t d u r i n g



21/50


i t s m o t i o n , i f a i r r e s i s t a n c e i s i g n o r e d ? T h e a c c e l e r a t i o n :

a . i s a l w a y s d o w n w a r d s

b . i s r s t u p w a r d s a n d t h e n d o w n w a r d s

c . i s r s t d o w n w a r d s a n d t h e n u p w a r d s

d . d e c r e a s e s r s t a n d t h e n i n c r e a s e s

2 0 0 2 / 0 3 H G 1 T h a b o s u s p e n d s a b a g o f t o m a t o e s f r o m a s p r i n g b a l a n c e h e l d v e r t i c a l l y . T h e b a l a n c e i t s e l f w e i g h s

1 0 N a n d h e n o t e s t h a t t h e b a l a n c e r e a d s 5 0 N . H e t h e n l e t s g o o f t h e b a l a n c e a n d t h e b a l a n c e a n d

t o m a t o e s f a l l f r e e l y . W h a t w o u l d t h e r e a d i n g b e o n t h e b a l a n c e w h i l e f a l l i n g ?

falls freely

F i g u r e 2 0

a . 5 0 N

b . 4 0 N

c . 1 0 N

d . 0 N

2 0 0 2 / 1 1 H G 1 T w o b a l l s , P a n d Q , a r e s i m u l t a n e o u s l y t h r o w n i n t o t h e a i r f r o m t h e s a m e h e i g h t a b o v e t h e g r o u n d .

P i s t h r o w n v e r t i c a l l y u p w a r d s a n d Q v e r t i c a l l y d o w n w a r d s w i t h t h e s a m e i n i t i a l s p e e d . W h i c h o f

t h e f o l l o w i n g i s t r u e o f b o t h b a l l s j u s t b e f o r e t h e y h i t t h e g r o u n d ? ( I g n o r e a n y a i r r e s i s t a n c e . T a k e

d o w n w a r d s a s t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n . )

V e l o c i t y A c c e l e r a t i o n

A T h e s a m e T h e s a m e

B P h a s a g r e a t e r v e l o c i t y t h a n Q P h a s a n e g a t i v e a c c e l e r a t i o n ; Q h a s a p o s i t i v e a c c e l e r a t i o n

C P h a s a g r e a t e r v e l o c i t y t h a n Q T h e s a m e

D T h e s a m e P h a s a n e g a t i v e a c c e l e r a t i o n ; Q h a s a p o s i t i v e a c c e l e r a t i o n

T a b l e 1

2 0 0 2 / 1 1 H G 1 A n o b s e r v e r o n t h e g r o u n d l o o k s u p t o s e e a b i r d y i n g o v e r h e a d a l o n g a s t r a i g h t l i n e o n b e a r i n g 1 3 0

( 4 0

S o f E ) . T h e r e i s a s t e a d y w i n d b l o w i n g f r o m e a s t t o w e s t . I n t h e v e c t o r d i a g r a m s b e l o w , I , I I a n d

I I I r e p r e s e n t t h e f o l l o w i n g : I t h e v e l o c i t y o f t h e b i r d r e l a t i v e t o t h e a i r I I t h e v e l o c i t y o f t h e

a i r r e l a t i v e t o t h e g r o u n d I I I t h e r e s u l t a n t v e l o c i t y o f t h e b i r d r e l a t i v e t o t h e g r o u n d W h i c h d i a g r a m

c o r r e c t l y s h o w s t h e s e t h r e e v e l o c i t i e s ?



22/50


N

40

||

|

|||

N

40

|||

|

||

D

N

40

||

||||

N

130

||

||||

A B C

F i g u r e 2 1

S C 2 0 0 3 / 1 1 A b a l l X o f m a s s m i s p r o j e c t e d v e r t i c a l l y u p w a r d s a t a s p e e d ux f r o m a b r i d g e 2 0 m h i g h . A b a l l Y

o f m a s s 2m i s p r o j e c t e d v e r t i c a l l y d o w n w a r d s f r o m t h e s a m e b r i d g e a t a s p e e d o f uy . T h e t w o b a l l s r e a c h t h e w a t e r a t t h e s a m e s p e e d . A i r f r i c t i o n c a n b e i g n o r e d . W h i c h o f t h e f o l l o w i n g i s t r u e w i t h

r e f e r e n c e t o t h e s p e e d s w i t h w h i c h t h e b a l l s a r e p r o j e c t e d ?

a . ux =12uy

b . ux = uyc . ux = 2uy

d . ux = 4uy

2 0 0 2 / 0 3 H G 1 A s t o n e f a l l s f r e e l y f r o m r e s t f r o m a c e r t a i n h e i g h t . W h i c h o n e o f t h e f o l l o w i n g q u a n t i t i e s c o u l d b e

r e p r e s e n t e d o n t h e y - a x i s o f t h e g r a p h b e l o w ?

F i g u r e 2 2



23/50


a . v e l o c i t y

b . a c c e l e r a t i o n

c . m o m e n t u m

d . d i s p l a c e m e n t

1 . A m a n w a l k s t o w a r d s t h e b a c k o f a t r a i n a t 2 m s 1 w h i l e t h e t r a i n m o v e s f o r w a r d a t 1 0 m s 1 . T h e m a g n i t u d e o f t h e m a n ' s v e l o c i t y w i t h r e s p e c t t o t h e g r o u n d i s

a . 2 m s 1b . 8 m s 1

c . 1 0 m s 1d . 1 2 m s 1

2 . A s t o n e i s t h r o w n v e r t i c a l l y u p w a r d s a n d i t r e t u r n s t o t h e g r o u n d . I f f r i c t i o n i s i g n o r e d , i t s a c c e l e r a t i o n

a s i t r e a c h e s t h e h i g h e s t p o i n t o f i t s m o t i o n i s

a . g r e a t e r t h a n j u s t a f t e r i t l e f t t h e t h r o w e r s h a n d .

b . l e s s t h a n j u s t b e f o r e i t h i t s t h e g r o u n d .

c . t h e s a m e a s w h e n i t l e f t t h e t h r o w e r s h a n d .

d . l e s s t h a n i t w i l l b e w h e n i t s t r i k e s t h e g r o u n d .

3 . A n e x p l o d i n g d e v i c e i s t h r o w n v e r t i c a l l y u p w a r d s . A s i t r e a c h e s i t s h i g h e s t p o i n t , i t e x p l o d e s a n d

b r e a k s u p i n t o t h r e e p i e c e s o f e q u a l m a s s . W h i c h o n e o f t h e f o l l o w i n g c o m b i n a t i o n s i s p o s s i b l e f o r

t h e m o t i o n o f t h e t h r e e p i e c e s i f t h e y a l l m o v e i n a v e r t i c a l l i n e ?

M a s s 1 M a s s 2 M a s s 3

A v d o w n w a r d s v d o w n w a r d s v u p w a r d s

B v u p w a r d s 2 v d o w n w a r d s v u p w a r d s

C 2 v u p w a r d s v d o w n w a r d s v u p w a r d s

D v u p w a r d s 2 v d o w n w a r d s v d o w n w a r d s

T a b l e 2

2 0 0 4 / 1 1 H G 1 A s t o n e i s t h r o w n v e r t i c a l l y u p i n t o t h e a i r . W h i c h o f t h e f o l l o w i n g g r a p h s b e s t s h o w s t h e r e s u l t a n t

f o r c e e x e r t e d o n t h e s t o n e a g a i n s t t i m e w h i l e i t i s i n t h e a i r ? ( A i r r e s i s t a n c e i s n e g l i g i b l e . )

Fres

t

A

0

Fres

t0

B

Fres

t

C

0

F i g u r e 2 3



24/50


4 . W h a t i s t h e v e l o c i t y o f a b a l l j u s t a s i t h i t s t h e g r o u n d i f i t i s t h r o w n u p w a r d a t 1 0 m s 1 f r o m a h e i g h t 5 m e t e r s a b o v e t h e g r o u n d ?

2 0 0 5 / 1 1 H G 1 A b r e e z e o f 5 0 k m h r 1 b l o w s t o w a r d s t h e w e s t a s a p i l o t i e s h i s l i g h t p l a n e f r o m t o w n A t o v i l l a g e B . T h e t r i p f r o m A t o B t a k e s 1 h . H e t h e n t u r n s w e s t , y i n g f o r

12 h u n t i l h e r e a c h e s a d a m a t p o i n t C .

H e t u r n s o v e r t h e d a m a n d r e t u r n s t o t o w n A . T h e d i a g r a m s h o w s h i s i g h t p l a n . I t i s n o t t o s c a l e .

F i g u r e 2 4

T h e p i l o t i e s a t t h e s a m e a l t i t u d e a t a c o n s t a n t s p e e d o f 1 3 0 k m . h

1r e l a t i v e t o t h e a i r t h r o u g h o u t

t h i s i g h t .

a . D e t e r m i n e t h e m a g n i t u d e o f t h e p i l o t ' s r e s u l t a n t v e l o c i t y f r o m t h e t o w n A t o t h e v i l l a g e B .

b . H o w f a r i s v i l l a g e B f r o m t o w n A ?

c . W h a t i s t h e p l a n e ' s s p e e d r e l a t i v e t o t h e g r o u n d a s i t t r a v e l s f r o m v i l l a g e B t o t h e d a m a t C ?

d . D e t e r m i n e t h e f o l l o w i n g , b y c a l c u l a t i o n o r b y s c a l e d r a w i n g :

1 . T h e d i s t a n c e f r o m t h e v i l l a g e B t o t h e d a m C .

2 . T h e d i s p l a c e m e n t f r o m t h e d a m C b a c k h o m e t o t o w n A .

5 . A c a n n o n ( a s s u m e d t o b e a t g r o u n d l e v e l ) i s r e d o a a t s u r f a c e a t a n a n g l e , a b o v e t h e h o r i z o n t a l

w i t h a n i n i t i a l s p e e d o f v0 .

a . W h a t i s t h e i n i t i a l h o r i z o n t a l c o m p o n e n t o f t h e v e l o c i t y ?

b . W h a t i s t h e i n i t i a l v e r t i c a l c o m p o n e n t o f t h e v e l o c i t y ?

c . W h a t i s t h e h o r i z o n t a l c o m p o n e n t o f t h e v e l o c i t y a t t h e h i g h e s t p o i n t o f t h e t r a j e c t o r y ?

d . W h a t i s t h e v e r t i c a l c o m p o n e n t o f t h e v e l o c i t y a t t h a t p o i n t ?

e . W h a t i s t h e h o r i z o n t a l c o m p o n e n t o f t h e v e l o c i t y w h e n t h e p r o j e c t i l e l a n d s ?

f . W h a t i s t h e v e r t i c a l c o m p o n e n t o f t h e v e l o c i t y w h e n i t l a n d s ?

2 0 0 4 / 1 1 H G 1 H a i l s t o n e s f a l l v e r t i c a l l y o n t h e h o o d o f a c a r p a r k e d o n a h o r i z o n t a l s t r e t c h o f r o a d . T h e a v e r a g e

t e r m i n a l v e l o c i t y o f t h e h a i l s t o n e s a s t h e y d e s c e n d i s 8 , 0 m . s

1a n d e a c h h a s a m a s s o f 1 , 2 g .



25/50


a . C a l c u l a t e t h e m a g n i t u d e o f t h e m o m e n t u m o f a h a i l s t o n e j u s t b e f o r e i t s t r i k e s t h e h o o d o f t h e

c a r .

b . I f a h a i l s t o n e r e b o u n d s a t 6 , 0 m . s

1a f t e r h i t t i n g t h e c a r ' s h o o d , w h a t i s t h e m a g n i t u d e o f i t s

c h a n g e i n m o m e n t u m ?

c . T h e h a i l s t o n e i s i n c o n t a c t w i t h t h e c a r ' s h o o d f o r 0 , 0 0 2 s d u r i n g i t s c o l l i s i o n w i t h t h e h o o d o f t h e

c a r . W h a t i s t h e m a g n i t u d e o f t h e r e s u l t a n t f o r c e e x e r t e d o n t h e h o o d i f t h e h a i l s t o n e r e b o u n d s

a t 6 , 0 m . s

1?

d . A c a r ' s h o o d c a n w i t h s t a n d a m a x i m u m i m p u l s e o f 0 , 4 8 N s w i t h o u t l e a v i n g a p e r m a n e n t d e n t . C a l c u l a t e t h e m i n i m u m m a s s o f a h a i l s t o n e t h a t w i l l l e a v e a d e n t i n t h e h o o d o f t h e c a r , i f i t f a l l s

a t 8 , 0 m . s

1a n d r e b o u n d s a t 6 , 0 m . s

1a f t e r a c o l l i s i o n l a s t i n g 0 , 0 0 2 s .

H G 1 - B i a t h l o n A n d r e w t a k e s p a r t i n a b i a t h l o n r a c e i n w h i c h h e r s t s w i m s a c r o s s a r i v e r a n d t h e n c y c l e s . T h e

d i a g r a m b e l o w s h o w s h i s p o i n t s o f e n t r y a n d e x i t f r o m t h e r i v e r , A a n d P , r e s p e c t i v e l y .

30

A

Q

P

100 m

River

current

N

E

S

F i g u r e 2 5

D u r i n g t h e s w i m , A n d r e w m a i n t a i n s a c o n s t a n t v e l o c i t y o f 1 , 5 m . s

1E a s t r e l a t i v e t o t h e w a t e r . T h e

w a t e r i n t h e r i v e r o w s a t a c o n s t a n t v e l o c i t y o f 2 , 5 m . s

1i n a d i r e c t i o n 3 0

N o r t h o f E a s t . T h e w i d t h

o f t h e r i v e r i s 1 0 0 m . T h e d i a g r a m b e l o w i s a v e l o c i t y - v e c t o r d i a g r a m u s e d t o d e t e r m i n e t h e r e s u l t a n t

v e l o c i t y o f A n d r e w r e l a t i v e t o t h e r i v e r b e d .

A B

C

F i g u r e 2 6



26/50


a . W h i c h o f t h e v e c t o r s ( A B , B C a n d A C ) r e f e r t o e a c h o f t h e f o l l o w i n g ?

1 . T h e v e l o c i t y o f A n d r e w r e l a t i v e t o t h e w a t e r .

2 . T h e v e l o c i t y o f t h e w a t e r r e l a t i v e t o t h e w a t e r b e d .

3 . T h e r e s u l t a n t v e l o c i t y o f A n d r e w r e l a t i v e t o t h e r i v e r b e d .

b . D e t e r m i n e t h e m a g n i t u d e o f A n d r e w ' s v e l o c i t y r e l a t i v e t o t h e r i v e r b e d e i t h e r b y c a l c u l a t i o n s o r

b y s c a l e d r a w i n g , s h o w i n g y o u r m e t h o d c l e a r l y .

c . H o w l o n g ( i n s e c o n d s ) d i d i t t a k e A n d r e w t o c r o s s t h e r i v e r ?

d . A t w h a t d i s t a n c e a l o n g t h e r i v e r b a n k ( Q P ) s h o u l d P e t e r w a i t w i t h A n d r e w ' s b i c y c l e r e a d y f o r

t h e n e x t s t a g e o f t h e r a c e ?

- B o u n c i n g B a l l A b a l l b o u n c e s v e r t i c a l l y o n a h a r d s u r f a c e a f t e r b e i n g t h r o w n v e r t i c a l l y u p i n t o t h e a i r b y a b o y

s t a n d i n g o n t h e l e d g e o f a b u i l d i n g . J u s t b e f o r e t h e b a l l h i t s t h e g r o u n d f o r t h e r s t t i m e , i t h a s a

v e l o c i t y o f m a g n i t u d e 1 5 m . s

1. I m m e d i a t e l y , a f t e r b o u n c i n g , i t h a s a v e l o c i t y o f m a g n i t u d e 1 0 m . s

1.

T h e g r a p h b e l o w s h o w s t h e v e l o c i t y o f t h e b a l l a s a f u n c t i o n o f t i m e f r o m t h e m o m e n t i t i s t h r o w n

u p w a r d s i n t o t h e a i r u n t i l i t r e a c h e s i t s m a x i m u m h e i g h t a f t e r b o u n c i n g o n c e .

F i g u r e 2 7

a . A t w h a t v e l o c i t y d o e s t h e b o y t h r o w t h e b a l l i n t o t h e a i r ?

b . W h a t c a n b e d e t e r m i n e d b y c a l c u l a t i n g t h e g r a d i e n t o f t h e g r a p h d u r i n g t h e r s t t w o s e c o n d s ?

c . D e t e r m i n e t h e g r a d i e n t o f t h e g r a p h o v e r t h e r s t t w o s e c o n d s . S t a t e i t s u n i t s .

d . H o w f a r b e l o w t h e b o y ' s h a n d d o e s t h e b a l l h i t t h e g r o u n d ?

e . U s e a n e q u a t i o n o f m o t i o n t o c a l c u l a t e h o w l o n g i t t a k e s , f r o m t h e t i m e t h e b a l l w a s t h r o w n , f o r

t h e b a l l t o r e a c h i t s m a x i m u m h e i g h t a f t e r b o u n c i n g .



27/50


f . W h a t i s t h e p o s i t i o n o f t h e b a l l , m e a s u r e d f r o m t h e b o y ' s h a n d , w h e n i t r e a c h e s i t s m a x i m u m

h e i g h t a f t e r b o u n c i n g ?

2 0 0 1 / 1 1 H G 1 - F r e e F a l l i n g ? A p a r a c h u t i s t s t e p s o u t o f a n a i r c r a f t , y i n g h i g h a b o v e t h e g r o u n d . S h e f a l l s f o r t h e

r s t 8 s e c o n d s b e f o r e o p e n i n g h e r p a r a c h u t e . A g r a p h o f h e r v e l o c i t y i s s h o w n i n G r a p h A b e l o w .

time (s)

velocity (ms1)

Graph A40

5

04 8 9 15 16

F i g u r e 2 8

a . U s e t h e i n f o r m a t i o n f r o m t h e g r a p h t o c a l c u l a t e a n a p p r o x i m a t e h e i g h t o f t h e a i r c r a f t w h e n s h e

s t e p p e d o u t o f i t ( t o t h e n e a r e s t 1 0 m ) .

b . W h a t i s t h e m a g n i t u d e o f h e r v e l o c i t y d u r i n g h e r d e s c e n t w i t h t h e p a r a c h u t e f u l l y o p e n ? T h e

a i r r e s i s t a n c e a c t i n g o n t h e p a r a c h u t e i s r e l a t e d t o t h e s p e e d a t w h i c h t h e p a r a c h u t i s t d e s c e n d s .

G r a p h B s h o w s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a i r r e s i s t a n c e a n d v e l o c i t y o f t h e p a r a c h u t i s t d e s c e n d i n g

w i t h t h e p a r a c h u t e o p e n .



28/50


F i g u r e 2 9

c . U s e G r a p h B t o n d t h e m a g n i t u d e o f t h e a i r r e s i s t a n c e o n h e r p a r a c h u t e w h e n s h e w a s d e s c e n d i n g

w i t h t h e p a r a c h u t e o p e n .

d . A s s u m e t h a t t h e m a s s o f t h e p a r a c h u t e i s n e g l i g i b l e . C a l c u l a t e t h e m a s s o f t h e p a r a c h u t i s t s h o w i n g



29/50


y o u r r e a s o n i n g c l e a r l y .

6 . A n a e r o p l a n e t r a v e l s f r o m C a p e T o w n a n d t h e p i l o t m u s t r e a c h J o h a n n e s b u r g , w h i c h i s s i t u a t e d 1 3 0 0 k m

f r o m C a p e T o w n o n a b e a r i n g o f 5 0

i n 5 h o u r s . A t t h e h e i g h t a t w h i c h t h e p l a n e i e s , a w i n d i s b l o w i n g

a t 1 0 0 k m h r 1 o n a b e a r i n g o f 1 3 0 f o r t h e w h o l e t r i p .

F i g u r e 3 0

a . C a l c u l a t e t h e m a g n i t u d e o f t h e a v e r a g e r e s u l t a n t v e l o c i t y o f t h e a e r o p l a n e , i n k m h r 1 , i f i t i s t o r e a c h i t s d e s t i n a t i o n o n t i m e .

b . C a l c u l a t e t h e r a v e r a g e v e l o c i t y , i n k m h r 1 , i n w h i c h t h e a e r o p l a n e s h o u l d b e t r a v e l l i n g i n o r d e r t o r e a c h J o h a n n e s b u r g i n t h e p r e s c r i b e d 5 h o u r s . I n c l u d e a l a b e l l e d , r o u g h v e c t o r d i a g r a m i n y o u r

a n s w e r . ( I f a n a c c u r a t e s c a l e d r a w i n g i s u s e d , a s c a l e o f 2 5 k m

h r

1= 1 c m m u s t b e u s e d . )

7 . N i k o , i n t h e b a s k e t o f a h o t - a i r b a l l o o n , i s s t a t i o n a r y a t a h e i g h t o f 1 0 m a b o v e t h e l e v e l f r o m w h e r e

h i s f r i e n d , B o n g i , w i l l t h r o w a b a l l . B o n g i i n t e n d s t h r o w i n g t h e b a l l u p w a r d s a n d N i k o , i n t h e b a s k e t ,

n e e d s t o d e s c e n d ( m o v e d o w n w a r d s ) t o c a t c h t h e b a l l a t i t s m a x i m u m h e i g h t .



30/50


13m s1

10 m

F i g u r e 3 1

B o n g i t h r o w s t h e b a l l u p w a r d s w i t h a v e l o c i t y o f 1 3 m s 1 . N i k o s t a r t s h i s d e s c e n t a t t h e s a m e i n s t a n t t h e b a l l i s t h r o w n u p w a r d s , b y l e t t i n g a i r e s c a p e f r o m t h e b a l l o o n , c a u s i n g i t t o a c c e l e r a t e d o w n w a r d s .

I g n o r e t h e e e c t o f a i r f r i c t i o n o n t h e b a l l .

a . C a l c u l a t e t h e m a x i m u m h e i g h t r e a c h e d b y t h e b a l l .

b . C a l c u l a t e t h e m a g n i t u d e o f t h e m i n i m u m a v e r a g e a c c e l e r a t i o n t h e b a l l o o n m u s t h a v e i n o r d e r f o r

N i k o t o c a t c h t h e b a l l , i f i t t a k e s 1 , 3 s f o r t h e b a l l t o r a c h i t s m a x i m u m h e i g h t .

8 . L e s e d i ( m a s s 5 0 k g ) s i t s o n a m a s s l e s s t r o l l e y . T h e t r o l l e y i s t r a v e l l i n g a t a c o n s t a n t s p e e d o f 3 m s 1 .H i s f r i e n d Z o l a ( m a s s 6 0 k g ) j u m p s o n t h e t r o l l e y w i t h a v e l o c i t y o f 2 m s 1 . W h a t i s t h e n a l v e l o c i t y o f t h e c o m b i n a t i o n ( L e s e d i , Z o l a a n d t r o l l e y ) i f Z o l a j u m p s o n t h e t r o l l e y f r o m

a . t h e f r o n t

b . b e h i n d

c . t h e s i d e

( I g n o r e a l l k i n d s o f f r i c t i o n )



31/50


3m s1

Trolley + Lesedi (a)

(b)

(c)

F i g u r e 3 2



32/50


S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n t h i s M o d u l e

S o l u t i o n t o E x e r c i s e 1 ( p . 3 )

S t e p 1 . W e a r e r e q u i r e d t o d e t e r m i n e t h e m a x i m u m h e i g h t r e a c h e d b y t h e b a l l a n d h o w l o n g i t t a k e s t o r e a c h

t h i s h e i g h t . W e a r e g i v e n t h e i n i t i a l v e l o c i t y vi = 1 0 m s 1 a n d t h e a c c e l e r a t i o n d u e t o g r a v i t y g = 9 , 8 m s 2 .

S t e p 2 . C h o o s e d o w n a s p o s i t i v e . W e k n o w t h a t a t t h e m a x i m u m h e i g h t t h e v e l o c i t y o f t h e b a l l i s 0 m s 1 .W e t h e r e f o r e h a v e t h e f o l l o w i n g :

vi = 10 m s1 ( i t i s n e g a t i v e b e c a u s e w e c h o s e d o w n w a r d s a s p o s i t i v e ) vf = 0 m s1 g = +9, 8 m s2

S t e p 3 . W e c a n u s e :

v2f = v2i + 2gx ( 2 5 )

t o s o l v e f o r t h e h e i g h t .

S t e p 4 .

v2f = v2i + 2gx

(0)2

= (10)2 + (2) (9, 8)(x)100 = 19, 6x

x = 5, 102m

( 2 6 )

T h e v a l u e f o r t h e d i s p l a c e m e n t w i l l b e n e g a t i v e b e c a u s e t h e d i s p l a c e m e n t i s u p w a r d s a n d w e h a v e c h o s e n

d o w n w a r d a s p o s i t i v e ( a n d u p w a r d a s n e g a t i v e ) . T h e h e i g h t w i l l b e a p o s i t i v e n u m b e r , h = 5, 10m .S t e p 5 . W e c a n u s e :

vf = vi + gt ( 2 7 )

t o s o l v e f o r t h e t i m e .

S t e p 6 .

vf = vi + gt

0 = 10 + 9, 8t10 = 9, 8t

t = 1, 02s

( 2 8 )

S t e p 7 . T h e b a l l r e a c h e s a m a x i m u m h e i g h t o f 5 , 1 0 m .

T h e b a l l t a k e s 1 , 0 2 s t o r e a c h t h e t o p .


S t e p 1 . W e n e e d t o n d h o w h i g h t h e b a l l g o e s . W e k n o w t h a t i t t a k e s 1 0 s e c o n d s t o g o u p a n d d o w n . W e d o

n o t k n o w w h a t t h e i n i t i a l v e l o c i t y o f t h e b a l l ( vi ) i s .

S t e p 2 . A p r o b l e m l i k e t h i s o n e c a n b e l o o k e d a t a s i f t h e r e a r e t w o p a r t s t o t h e m o t i o n . T h e r s t i s t h e b a l l

g o i n g u p w i t h a n i n i t i a l v e l o c i t y a n d s t o p p i n g a t t h e t o p ( n a l v e l o c i t y i s z e r o ) . T h e s e c o n d m o t i o n i s

t h e b a l l f a l l i n g , i t s i n i t i a l v e l o c i t y i s z e r o a n d i t s n a l v e l o c i t y i s u n k n o w n .



33/50


vi = ?

vf = 0 ms1

vi = 0 ms1

vf = ?

g = 9,8 ms2

F i g u r e 3 3

C h o o s e d o w n a s p o s i t i v e . W e k n o w t h a t a t t h e m a x i m u m h e i g h t , t h e v e l o c i t y o f t h e b a l l i s 0 m s 1 .W e a l s o k n o w t h a t t h e b a l l t a k e s t h e s a m e t i m e t o r e a c h i t s m a x i m u m h e i g h t a s i t t a k e s t o t r a v e l f r o m

i t s m a x i m u m h e i g h t t o t h e g r o u n d . T h i s t i m e i s h a l f t h e t o t a l t i m e . W e t h e r e f o r e k n o w t h e f o l l o w i n g

f o r t h e s e c o n d m o t i o n o f t h e b a l l g o i n g d o w n :

t = 5 s , h a l f o f t h e t o t a l t i m e vtop = vi = 0 m s1 g = 9, 8 m s2 x = ?

S t e p 3 . W e d o n o t k n o w t h e n a l v e l o c i t y o f t h e b a l l c o m i n g d o w n . W e n e e d t o c h o o s e a n e q u a t i o n t h a t d o e s

n o t h a v e vf i n i t . W e c a n u s e t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n t o s o l v e f o r x:

x = vit +1

2gt2 ( 2 9 )

S t e p 4 .

x = (0)(5) + 12 (9, 8) (5)2

x = 0 + 122, 5m( 3 0 )

I n t h e s e c o n d m o t i o n , t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e b a l l i s 1 2 2 , 5 m d o w n w a r d s . T h i s m e a n s t h a t t h e h e i g h t

w a s 1 2 2 , 5 m , h = 1 2 2 , 5 m .

S t e p 5 . T h e b a l l r e a c h e s a m a x i m u m h e i g h t o f 1 2 2 , 5 m .


S t e p 1 . W e a r e r e q u i r e d t o d r a w g r a p h s o f

a . x v s . tb . v v s . t

c . a v s . t

S t e p 2 . T h e r e a r e t w o p a r t s t o t h e m o t i o n o f t h e b a l l :

a . b a l l t r a v e l l i n g u p w a r d s f r o m t h e b u i l d i n g

b . b a l l f a l l i n g t o t h e g r o u n d

W e e x a m i n e e a c h o f t h e s e p a r t s s e p a r a t e l y . T o b e a b l e t o d r a w t h e g r a p h s , w e n e e d t o d e t e r m i n e t h e

t i m e t a k e n a n d d i s p l a c e m e n t f o r e a c h o f t h e m o t i o n s .

S t e p 3 . F o r t h e r s t p a r t o f t h e m o t i o n w e h a v e :

vi = +4, 9 m s1 vf = 0 m s1 g = 9, 8 m s2



34/50


g = 9,8ms2

vi = 4,9ms1

vf = 0ms1

F i g u r e 3 4

T h e r e f o r e w e c a n u s e v2f = v2i + 2gx t o s o l v e f o r t h e h e i g h t a n d vf = vi + gt t o s o l v e f o r t h e t i m e .

v2f = v2i + 2gx

(0)2

= (4, 9)2

+ 2 (9, 8) x19, 6x = (4, 9)

2

x = 1, 225 m

( 3 1 )

vf = vi + gt

0 = 4, 9 + (9, 8) t

9, 8t = 4, 9t = 0, 5 s

( 3 2 )

t = 0,5s

x = 1,225m

F i g u r e 3 5

S t e p 4 . F o r t h e s e c o n d p a r t o f t h e m o t i o n w e h a v e :



35/50


vi = 0 m s1 x = (20 + 1, 225) m g = 9, 8 m s2

T h e r e f o r e w e c a n u s e x = vit + 12gt2 t o s o l v e f o r t h e t i m e .

x = vit +12

gt2

(20 + 1, 225) = (0) t + 12 (9, 8) t221, 225 = 0 4, 9t2

t2 = 4, 33163...

t = 2, 08125... s

( 3 3 )

20 mg = 9,8 ms2

vi = 0 ms1

x = 21,225 m

F i g u r e 3 6

S t e p 5 . T h e b a l l s t a r t s f r o m a p o s i t i o n o f 2 0 m ( a t t = 0 s ) f r o m t h e g r o u n d a n d m o v e s u p w a r d s u n t i l i t r e a c h e s

( 2 0 + 1 , 2 2 5 ) m ( a t t = 0 , 5 s ) . I t t h e n f a l l s b a c k t o 2 0 m ( a t t = 0 , 5 + 0 , 5 = 1 , 0 s ) a n d t h e n f a l l s t o

t h e g r o u n d , x = 0 m a t ( t = 0 , 5 + 2 , 0 8 = 2 , 5 8 s ) .



36/50


x [m]

t [s]0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

0

20

21,2

F i g u r e 3 7

S t e p 6 . T h e b a l l s t a r t s o w i t h a v e l o c i t y o f + 4 , 9 m s 1 a t t = 0 s , i t t h e n r e a c h e s a v e l o c i t y o f 0 m s 1 a t t= 0 , 5 s . I t s t o p s a n d f a l l s b a c k t o t h e E a r t h . A t t = 1 , 0 s ( i . e . a f t e r a f u r t h e r 0 , 5 s ) i t h a s a v e l o c i t y

o f - 4 , 9 m s 1 . T h i s i s t h e s a m e a s t h e i n i t i a l u p w a r d s v e l o c i t y b u t i t i s d o w n w a r d s . I t c a r r i e s o n a t c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n u n t i l t = 2 , 5 8 s . I n o t h e r w o r d s , t h e v e l o c i t y g r a p h w i l l b e a s t r a i g h t l i n e . T h e

n a l v e l o c i t y o f t h e b a l l c a n b e c a l c u l a t e d a s f o l l o w s :

vf = vi + gt

= 0 + (9, 8)(2, 08...)= 20, 396... m s1

( 3 4 )



37/50


t(s)

v(m s1)

4,9

4,9

20,40

0,51,0 2,58

F i g u r e 3 8

S t e p 7 . W e c h o s e u p w a r d s t o b e p o s i t i v e . T h e a c c e l e r a t i o n o f t h e b a l l i s d o w n w a r d . g = 9.8 m s2 . B e c a u s e t h e a c c e l e r a t i o n i s c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e m o t i o n , t h e g r a p h l o o k s l i k e t h i s :

t(s)

a(m s2)

2,58

9,8

F i g u r e 3 9




38/50


S t e p 1 . T h e i n i t i a l p o s i t i o n o f t h e b a l l w i l l t e l l u s h o w h i g h t h e w i n d o w i s . F r o m t h e y - a x i s o n t h e g r a p h w e

c a n s e e t h a t t h e b a l l i s 4 m f r o m t h e g r o u n d .

T h e w i n d o w i s t h e r e f o r e 4 m a b o v e t h e g r o u n d .

S t e p 2 . T h e m a x i m u m h e i g h t i s w h e r e t h e p o s i t i o n - t i m e g r a p h s h o w t h e m a x i m u m p o s i t i o n - t h e t o p o f t h e

c u r v e . T h i s i s w h e n t = 0 , 2 s .

I t t a k e s t h e b a l l 0 , 2 s t o r e a c h t h e m a x i m u m h e i g h t .

S t e p 3 . T o n d t h e i n i t i a l v e l o c i t y w e o n l y l o o k a t t h e r s t p a r t o f t h e m o t i o n o f t h e b a l l . T h a t i s f r o m w h e n

t h e b a l l i s r e l e a s e d u n t i l i t r e a c h e s i t s m a x i m u m h e i g h t . W e h a v e t h e f o l l o w i n g f o r t h i s : I n t h i s c a s e ,

l e t ' s c h o o s e u p w a r d s a s p o s i t i v e .

t = 0, 2 s

g = 9, 8 m s2vf = 0 m s1 (because the ball stops)

( 3 5 )

T o c a l c u l a t e t h e i n i t i a l v e l o c i t y o f t h e b a l l ( vi ) , w e u s e :

vf = vi + gt

0 = vi + (9, 8)(0, 2)vi = 1, 96 m s1

( 3 6 )

T h e i n i t i a l v e l o c i t y o f t h e b a l l i s 1 , 9 6 m s 1 u p w a r d s . S t e p 4 . T o n d t h e m a x i m u m h e i g h t w e l o o k a t t h e i n i t i a l m o t i o n o f t h e b a l l . W e h a v e t h e f o l l o w i n g :

t = 0, 2 s

g = 9, 8 m s2vf = 0 m s1 (because the ball stops)

vi = +1, 96 m s1

(calculated above)

( 3 7 )

T o c a l c u l a t e t h e d i s p l a c e m e n t f r o m t h e w i n d o w t o t h e m a x i m u m h e i g h t ( x) w e u s e :

x = vit +12gt

2

x = (1, 96) (0, 2) + 12 (9, 8)(0, 2)2

x = 0, 196m

( 3 8 )

T h e m a x i m u m h e i g h t o f t h e b a l l i s ( 4 + 0 , 1 9 6 ) = 4 , 1 9 6 m a b o v e t h e g r o u n d .

S t e p 5 . T o n d t h e n a l v e l o c i t y o f t h e b a l l w e l o o k a t t h e s e c o n d p a r t o f t h e m o t i o n . F o r t h i s w e h a v e :

x = 4, 196 m (because upwards is positive)g =

9, 8 m

s2

vi = 0 m s1( 3 9 )

W e c a n u s e (vf)2

= (vi)2

+ 2gx t o c a l c u l a t e t h e n a l v e l o c i t y o f t h e b a l l .

(vf)2

= (vi)2

+ 2gx

(vf)2

= (0)2

+ 2 (9, 8) (4, 196)(vf)

2= 82, 2416

vf = 9, 0687... m s1

( 4 0 )



39/50


T h e n a l v e l o c i t y o f t h e b a l l i s 9 , 0 7 m s 1 d o w n w a r d s .S o l u t i o n t o E x e r c i s e 5 ( p . 6 )

S t e p 1 . W e n e e d t o s t u d y t h e v e l o c i t y - t i m e g r a p h t o a n s w e r t h i s q u e s t i o n . W e w i l l b r e a k t h e m o t i o n o f t h e

b a l l u p i n t o t w o t i m e z o n e s : t = 0 s t o t = 2 s a n d t = 2 s t o t = 4 s .

F r o m t = 0 s t o t = 2 s t h e f o l l o w i n g h a p p e n s :

T h e b a l l s t a r t s t o m o v e a t a n i n i t i a l v e l o c i t y o f 1 9 , 6 m s 1 a n d d e c r e a s e s i t s v e l o c i t y t o 0 m s 1 a t t = 2 s . A t t = 2 s t h e v e l o c i t y o f t h e b a l l i s 0 m s 1 a n d t h e r e f o r e i t s t o p s . F r o m t = 2 s t o t = 4 s t h e f o l l o w i n g h a p p e n s :

T h e b a l l m o v e s f r o m a v e l o c i t y o f 0 m s 1 t o 1 9 , 6 m s 1 i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n t o t h e o r i g i n a l m o t i o n . I f w e a s s u m e t h a t t h e b a l l i s h i t s t r a i g h t u p i n t h e a i r ( a n d w e t a k e u p w a r d s a s p o s i t i v e ) , i t r e a c h e s i t s

m a x i m u m h e i g h t a t t = 2 s , s t o p s , t u r n s a r o u n d a n d f a l l s b a c k t o t h e E a r t h t o r e a c h t h e g r o u n d a t t

= 4 s .

S t e p 2 . T o d r a w t h i s g r a p h , w e n e e d t o d e t e r m i n e t h e d i s p l a c e m e n t s a t t = 2 s a n d t = 4 s .

A t t = 2 s :

T h e d i s p l a c e m e n t i s e q u a l t o t h e a r e a u n d e r t h e g r a p h :

A r e a u n d e r g r a p h = A r e a o f t r i a n g l e

A r e a =

12

b h

A r e a =

12 2 1 9 , 6

D i s p l a c e m e n t = 1 9 , 6 m

A t t = 4 s :

T h e d i s p l a c e m e n t i s e q u a l t o t h e a r e a u n d e r t h e w h o l e g r a p h ( t o p a n d b o t t o m ) . R e m e m b e r t h a t a n

a r e a u n d e r t h e t i m e l i n e m u s t b e s u b s t r a c t e d :

A r e a u n d e r g r a p h = A r e a o f t r i a n g l e 1 + A r e a o f t r i a n g l e 2

A r e a =

12 b h +

12 b h

A r e a = (

12 2 1 9 , 6 ) + ( 12 2 ( - 1 9 , 6 ) )

A r e a = 1 9 , 6 - 1 9 , 6

D i s p l a c e m e n t = 0 m

T h e d i s p l a c e m e n t - t i m e g r a p h f o r m o t i o n a t c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n i s a c u r v e . T h e g r a p h w i l l l o o k l i k e

t h i s :

19,6

2 4time (s)

displacement(m)

F i g u r e 4 0

S t e p 3 . T o d r a w t h e a c c e l e r a t i o n v s . t i m e g r a p h , w e n e e d t o k n o w w h a t t h e a c c e l e r a t i o n i s . T h e v e l o c i t y - t i m e

g r a p h i s a s t r a i g h t l i n e w h i c h m e a n s t h a t t h e a c c e l e r a t i o n i s c o n s t a n t . T h e g r a d i e n t o f t h e l i n e w i l l

g i v e t h e a c c e l e r a t i o n .

T h e l i n e h a s a n e g a t i v e s l o p e ( g o e s d o w n t o w a r d s t h e l e f t ) w h i c h m e a n s t h a t t h e a c c e l e r a t i o n h a s a

n e g a t i v e v a l u e .

C a l c u l a t e t h e g r a d i e n t o f t h e l i n e :

g r a d i e n t =

vt



40/50


g r a d i e n t =

019,620

g r a d i e n t =

19,62

g r a d i e n t = - 9 , 8

a c c e l e r a t i o n = 9 , 8 m s 2 d o w n w a r d s

-9,8

2 4time (s)

acceleration(m

s2

)

F i g u r e 4 1

S o l u t i o n t o E x e r c i s e 6 ( p . 1 0 )

S t e p 1 . T h e r s t s t e p i s t o d r a w t h e p i c t u r e t o w o r k o u t w h a t t h e s i t u a t i o n i s . M a r k t h e i n i t i a l v e l o c i t i e s o f

b o t h p l a y e r s i n t h e p i c t u r e .

60

v1

i

=5

ms

1

v2

i=8ms

1

v2xi

v2

yi

F i g u r e 4 2

W e a l s o k n o w t h a t m1 = m2 = 90 k g a n d vf2 = 0 m s 1

.

W e n e e d t o n d t h e n a l v e l o c i t y a n d a n g l e a t w h i c h P l a y e r 1 b o u n c e s o P l a y e r 2 .

S t e p 2 . T o t a l i n i t i a l m o m e n t u m = T o t a l n a l m o m e n t u m . B u t w e h a v e a t w o d i m e n s i o n a l p r o b l e m , a n d w e

n e e d t o b r e a k u p t h e i n i t i a l m o m e n t u m i n t o x a n d y c o m p o n e n t s .

pix = pfx

piy = pfy( 4 1 )



41/50


F o r P l a y e r 1 :

pix1 = m1vi1x = 90

0 = 0

piy1 = m1vi1y = 90 5( 4 2 )


pix2 = m2vi2x = 90 8 sin60piy2 = m2vi2y = 90 8 cos60

( 4 3 )

S t e p 3 . F o r P l a y e r 1 :

pfx1 = m1vfx1 = 90 vfx1pfy1 = m1vfy1 = 90 vfy1

( 4 4 )


pfx2 = m2vfx2 = 90 0 = 0pfy2 = m2vfy2 = 90 0 = 0

( 4 5 )

S t e p 4 . T h e i n i t i a l t o t a l m o m e n t u m i n t h e x d i r e c t i o n i s e q u a l t o t h e n a l t o t a l m o m e n t u m i n t h e x d i r e c t i o n .

T h e i n i t i a l t o t a l m o m e n t u m i n t h e y d i r e c t i o n i s e q u a l t o t h e n a l t o t a l m o m e n t u m i n t h e y d i r e c t i o n .

I f w e n d t h e n a l x a n d y c o m p o n e n t s , t h e n w e c a n n d t h e n a l total m o m e n t u m .

pix1 + pix2 = pfx1 + pfx2

0 + 90 8 sin60 = 90 vfx1 + 0vfx1 =

908sin60

90

vfx1 = 6.928ms1

( 4 6 )

piy1 + piy2 = pfy1 + pfy2

90 5 + 90 8 cos60 = 90 vfy1 + 0vfy1 =

905+908cos60

90

vfy1 = 9.0ms1

( 4 7 )

S t e p 5 . U s e P y t h a g o r a s ' s t h e o r e m t o n d t h e t o t a l n a l v e l o c i t y :

vfx1

vfy

1

vftot

F i g u r e 4 3



42/50


vftot =

v2fx1 + v2fy1

= 6.9282 + 92= 11.36

( 4 8 )

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