Mosaici, simmetrie impossibili e quasi-cristalli · Bibliografia essenziale (1.2) Testi e Immagini:...
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Mosaici, simmetrie impossibili e quasi-cristalli
Pavia, 13 giugno 2012
( Una quasi-lezione )
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Esagoni e pentagoni (1.1)
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Bibliografia essenziale (1.2)
Testi e Immagini: Marjorie Senechal Crystalline Symmetries: an informal mathematical introduction Adam Hilger 1990 [avanzato] Ian Steward Che forma ha un fiocco di neve? Numeri magici in natura Bollati Boringhieri 2003 • Wikipedia: Mosaic, Penrose tiling, Polygons • http://www.its.caltech.edu/˜atomic/snowcrystals/
• http://KVA.se (Accademia Svedese delle Scienze),
The discovery of quasicrystals (Premio Nobel per la Chimica 2011) • http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/2011/#
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Kepler (1.3)
1611
1619
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Kepler De nive sexangula (2.1)
Simmetria esagonale
Strutture stellate variamente ornate
(curve frattali)
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Spiegazioni di Keplero: I) Il fiocco di neve nell’ aria è tridimensionale -con sei punte dirette come i vertici di un ottaedro- ma cadendo al suolo si appiattisce in un esagono (realistico?)
(2.2)
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Spiegazioni di Keplero: II) Le gocce d’acqua (sferiche) si ‘impacchettano’ il più strettamente possibile, dando origine di preferenza a configurazioni esagonali
(2.3)
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Struttura cristallina del ghiaccio (2.4)
- Atomi di ossigeno (in rosso)
-2 atomi di idrogeno per ciascun
ossigeno
si dispongono in reticoli esagonali
H2O (diagramma di fase)
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Simmetria e Complessità (2.5)
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Il fascino dei fiocchi (2.6) scienza, filosofia, letteratura:
→→ la passeggiata di Castorp
(T Mann, La Montagna Incantata)
Hooke Micrographia (1665) _________________________
_________________________ Cartesio Discorso sul metodo…,
le meteore e la geometria (1637) (ovvero:
cose che accadono nel cielo)
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Mosaici: tessere a forma di poligoni regolari • di uno stesso tipo • di tipi diversi pavimentano una superficie piana senza lasciare vuoti e senza sovrapporsi
Tessellazioni del piano (3.1)
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Poligoni regolari di uno stesso tipo (n lati) (3.2) simmetrie per opportune rotazioni delle tessere e traslazioni
lungo certe direzioni di una singola tessera del mosaico tessellazioni (pavimentazioni) periodiche dell’intero piano
esagono n=6
triangolo n=3
quadrato n=4
Generazione dei mosaici dalla singola tessera
Rotazioni di 2π/n di ciascuna tessera intorno all’ asse passante per il centro e ortogonale al piano Traslazioni della tessera lungo opportune direzioni
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(3.3)
Poligoni regolari di tipi diversi:
rotazioni e traslazioni di un insieme di ‘poche’ tessere
(dominio fondamentale) possono comunque produrre
tessellazioni periodiche dell’intero piano
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Il pentagono (3.4)
Non può pavimentare il piano senza lasciare vuoti
NB Dodici pentagoni regolari combinati nel dodecaedro rappresentano una tessellazione della superficie bidimensionale di una sfera nello spazio euclideo tridimensionale
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La restrizione cristallografica (Haüi 1882) (*): La simmetria rotazionale pentagonale (5-fold) è incompatibile con l’ invarianza traslazionale propria dei reticoli periodici (tessellazioni riproducibili a partire da una singola tessera o da un ‘piccolo’ gruppo di tessere chiamato dominio fondamentale). Il teorema vale sia nel piano che nello spazio e inoltre esclude anche le simmetrie rotazionali di ordine più alto (ettagonali, ottagonali, decagonali ecc.)
(*) M Senechal (Cap 1, Teor 1.2)
(3.5)
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Il mostro di Kepler (3.6)
Inserzione di pentagoni ↓
rottura della simmetria roto-traslazionale ↓
tessellazioni non periodiche
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Tiling non periodici (4.1)
Tiling 1 (Penrose 1974) 6 proto-tessere
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Diversi insiemi di proto-tessere per uno stesso tiling (4.2)
4 proto-tessere
3 proto-tessere
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Evoluzione dei tiling: Kite e dart (4.3)
2 proto-tessere decorate:
Aquilone (kite) Freccia (dart)
Decorate con linee curve in modo da incollarsi tra loro solo rispettando i colori →
e la continuità delle lineee
In ogni vertice sono ammesse
solo 7 configurazioni
(vietato il rombo!)
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Varietà dei Penrose tiling (4.4)
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Le ‘quasi-simmetrie’ delle tessellazioni piane non periodiche derivano da ‘vere’ simmetrie di tessellazioni periodiche in spazi di
dimensione maggiore di tre (4.5)
Proiezione sul piano dell’ ipercubo 4-dimensionale
Proiezione dell’ottaedro sul piano (Kepler)
M. Senechal (Cap. 7)
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(5.1)
Esperimento condotto da Dan Shechtman nel 1982 Diffrazione a raggi X su campione di Al con 10-14% Mn
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(5.2) Pentagono regolare:
D = L x φ D: diagonale L: lato
φ : sezione aurea = 1,6180339...
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Simmetria pentagonale (5.3)