mon cour automatique

8/2/2019 mon cour automatique

1/112

Asservissement et RegulationAU2 - GM 207

Genie Mecanique, Novembre , 2005ABDELKADER CHAARI


2/112


3/112

Chapter 1

Notions generales

1.1 Introduction

De nos jours, differentes raisons economiques, securitaires et sociales, on a souvent ten-dance a reduire ou a supprimer lintervention de lhomme dans des procedes industriels.Par une telle action, nous obtenons ce que lon appelle dans la litterature de la commandedes systemes un systeme automatique.Un systeme est dit automatique lorsquil accomplit une tache determinee sans necessiterlintervention humaine. La variete et la complexite des systemes ne cessent devoluer.Nous vivons dans un monde ou lautomatisation prend une place tellement importanteque notre mode de vie doit sy adapter continuellement. Nous subissons cette evolutionde lautomatisation quotidiennement, que ce soit dans le milieu professionnel ou domes-tique. Il est par consequent naturel daccorder une attention particuliere aux sytemes

automatiques.

1.2 Terminologie de lautomatique

Les principes dautomatique sont souvent utilises dans nos taches quotidiennes. A titredexemple,citons le cas de la conduite dun vehicule automobile. En effet, en conduisantun vehicule, on cherche souvent a lui assurer une vitesse et une direction determinees.De telles grandeurs sont imposees par les conditions de circulation sur la route. En cequi concerne le reglage de la vitesse du vehicule, le conducteur se fixe une vitesse, soit atitre dexemple 100 Km/h. La comparaison a tout instant de cette vitesse de referenceavec celle lue sur le cadran genere une difference appele erreur, qui indique de combienla vitesse du vehicule differe de la vitesse desiree. A partir de cet ecart, le conducteur

prend une decision, la plus simple se resumant a:

appuyer sur la pedale dacceleration lorsque lecart est positif: En effet, en ap-puyant sur la pedale, le conducteur augmente le debit dessence, ce qui entranelaugmentation de la vitesse de deplacement lineaire du vehicule. Le conducteur serend compte de ce changement en lisant de facon permanente le cadran.

3


4/112

retirer le pied de la pedale lorsque lecart est negatif: Le retrait du pied de la pedaleproduit un effet inverse a celui obtenu lorsquon appuie sur la pedale.

Ainsi, par des actions appropriees sur la pedale, le conducteur est capable de regler lavitesse du vehicule a la valeur desiree.Des phenomenes incontrolables, tels que les changements des conditions de route ( pentes,virages, etc..) obligent souvent le conducteur a reajuster le reglage de la vitesse de sonvehicule. Ces actions exterieures sont souvent appelees des perturbations ou parasitesdu systeme.Le reglage de la direction du vehicule est assure par le reglage de la position angulaire duvolant. Ainsi, si le conducteur decide de tourner a gauche , il doit tourner son volant versla gauche, et le vehicule va suivre cette direction a condition quil possede une vitesse nonnulle. Apres un certain temps, le conducteur doit tourner progressivement son volant versla droite pour aligner les roues et ainsi faire suivre au vehicule la direction desiree. Il fautnoter quil existe un certain couplage entre le reglage de la vitesse et celui de la direction.

Cet exemple nest pas un systeme automatique, mais il illustre le principe doperation dessystemes automatiques. Dans cet exemple, on retrouve:

Figure 1.1: Schema fonctionnel dun systeme automatique


5/112

Le systeme a commander ( vehicule ), ses grandeurs dentree ( position de la pedale,position angulaire du volant), ses grandeurs de sortie ( vitesse du vehicule, orien-

tation du vehicule ); et ses grandeurs parasites (condition de la route, vent, etc..);

lorgane de mesure ou capteur ( cadran de vitesse et vision humaine ) necessaire ala mesure de la vitesse et de la direction du vehicule;

le correcteur ( represente par lhumain dans cet exemple) qui est lorgane dintelligencede la structure de commande employee. Sa fonction consiste dabord a determiner

lerreur entre la grandeur a commander et la grandeur de reference, puis a agir enconsequence pour minimiser sette erreur. La premiere etape est faite a laide dunorgane portant le nom de comparateur.

En general, en automatique, un tel systeme est souvent represente par le schema fonc-

tionnel de la figure 1.1. En supprimant lintervention humaine, on obtient un systemeasservi .

1.3 Notion de systeme

Un systeme, aggregation delements interconnectes, est constitue naturellement ou artifi-ciellement afin daccomplir une tache predefinie. Son etat est affecte par une ou plusieursvariables, les entrees du systeme. Le resultat de laction des entrees est la reponse dusysteme qui peut etre caracterisee par le comportement dune ou plusieurs variables desorties. Le systeme complet ou un des elements le composant est generalement representeschematiquement par un schema fonctionnel consistant en un rectangle auquel les signauxdentree representes par des fleches entrantes sont appliques. Laction des entrees produit

de maniere causale des effets mesures par les signaux de sortie representes par des flechessortantes. Notons ainsi que la notion de systeme est indissociable de celle de signal.

Figure 1.2: Schema fonctionnel

Les entrees affectant un systeme peuvent etre de nature differente. Les unes ont pourbut dexercer des actions entrainant le fonctionnement souhaite du systeme; ce sont les


6/112

commandes. Les autres entrees troublent le fonctionnement desire et sont definies commedes perturbations.

Figure 1.3: Commandes e(t) et perturbations d(t)

Chaque element constitutif de lensemble systeme peut etre caracterise par un nombrefini de variables et linterdependance des variables caracterisant chaque element peutetre exprimee sous la forme dune loi mathematique. Ainsi la relation entre les entreeset les sorties du systeme est lexpression des lois de la physique associees au systeme,cest a dire la combinaison des lois mathematiques precedentes. Lensemble des loismathematiques regissant la causalite entre les entrees et les sorties du systeme constituele modele mathematique du systeme. La modelisation, etape preliminaire de lanalysedun systeme quelconque, independamment de sa nature physique, de sa composition etde son degre de complexite comporte donc les etapes suivantes:

identification des variables pertinentes pour la caracterisation de chaque elementconstituant le systeme,

caracterisation des relations entre ces variables,

representation mathematique des interactions entre les elements a travers la representationmathematique des interactions entre les variables,

formation dun systeme de relations entre les variables caracterisant le systemecomme un tout,

formation dun systeme de relations entre les variables dentree et les variables desortie.

Il est important de remarquer que tous ces aspects de lanalyse des systemes ainsi queceux developpes par la suite sont abordes en theorie des systemes dun point de vueabstrait plutot que dun point de vue physique. Cela signifie quen theorie des systemes,lidentite physique des variables associees a un systeme importe moins que les relationsmathematiques entre ces memes variables.


7/112

1.3.1 Systemes lineaires

IntroductionUne classe particuliere dont limportance pratique est remarquable est celle des systemesdecrits par des equations differentielles lineaires. On parle alors de systemes lineaires. Sielle nest strictement que rarement verifiee en pratique, cette hypothese de linearite peutetre acceptee pour de nombreux systemes evoluant autour dune position dequilibre souslhypothese des faibles deviations. Un processus de linearisation est alors necessaire.

Definition

Un systeme est dit lineaire, tout systeme regi par une equation differentielle lineaire acoefficients constants:

any(n)(t) + ... + a1y

(1)(t) + a0y(t) = bme(m)(t) + ... + b1e

(1)(t) + b0e(t) (1.1)

Avec:

y(n)(t) =dny(t)

dtn

Dun point de vue purement technique, les systemes lineaires verifient le principe desuperposition et le principe dhomogeneite.Principe de superposition :

La reponse s(t) dun systeme lineaire a une entree e(t) composee de la combinaisonlineaire de plusieurs entrees

e(t) =

nk=1

kek(t)

est la somme des reponses elementaires sk(t) a chacune des entrees individuelles

s(t) =n

k=1

ksk(t).

Principe dhomogeneite : Un systeme verifie le principe dhomogeneite si pour uneentree ae(t), la sortie est donnee par as(t).

Contre-exemple:Le systeme decrit par lequation entree-sortie s = e3 nest paslineaire car ne verifiant pas le principe de superposition alors que le systeme decrit parlequation entree-sortie s = me + b ne verifie par le principe dhomogeneite.Ainsi lhypothese de linearite va permettre lutilisation doutils (analytiques, graphiques)tres simples et puissants tels que les transformees de Laplace.

Toutefois, lhypothese de linearite est valide dans un domaine precis et ne tient pascompte dun certain nombre de phenomenes purement non lineaires. En effet, la plu-part des systemes physiques sont en realite non lineaires (bras de robot, phenomeneselectrostatiques) ou font apparatre des phenomenes non lineaires (hysteresis, seuil, zonemorte, frottement sec). Il conviendra donc de toujours justifier en pratique lhypothese delinearite et didentifier son domaine de validite.


8/112

1.3.2 Transforme de Laplace

DefinitionLa transformation de Laplace fournit un procede de calcul commode pour determiner lasolution complete dun systeme dequations differentielles lineaires en le transformant enun systeme dequations algebriques. A la fonction reelle causale f(t)( cest a dire nullepour t < 0) de la variable t, on associe une fonction F(p) de la variable complexe p telleque :

L[f(t)] = F(p) =0+

f(t)eptdt (1.2)

Avec p = +j appele loperateur de Laplace.f(t) est appele originale de F(p).N.B.: Dans la majorite de la documentation loperateur de Laplace p est note par s. (donc F(p) = F(s))On peut remarquer que si t est un temps, p doit etre de dimension [T]1;ceci peut etre

tres utile lors de verification des calculs. La presence de dt montre aussi que la dimensionde F(p) est celle de f(t) multipliuee par un temps.Une fonction quelconque peut etre rendu causale par multiplication par la fonction dHeavisideu(t).Exemple:f(t) = eatu(t) avec a complexe.On applique la definition:

F(p) = L[f(t)] =0+

eateptdt =0+

e((a+p)t)dt

F(p) =

e

((a+p)t)

a +p

+0

Lintegral converge vers

F(p) =

1

a +p

si Re(p + a) > 0.Cas particulier:Si a = 0, f(t) = e0u(t) = u(t),

H(p) = L[u(t)] = 1p

Proprietes

1. Linearite :

L[af(t) + bg(t)] = a

L[f(t)] + b

L[g(t)] = aF(p) + bG(p) (1.3)

Ou a et b sont des nombres complexes.

2. Derivation :

L[ df(t)dt

] = pF(p) f(0+) (1.4)


9/112

A titre dexercice, on pourra demontrer cette relation en utilisant la definition et

en integrant par partie. Cette relation se reduit a

L[ df(t)dt ] = pF(p)] si la condition

initiale est nulle.Dans ce cas, on constate que la derivation dune fonction du temps se traduit par lamultiplication parp .La relation precedente se generalise aux derivees dordre n:

L[ d(n)f(t)

dt(n)] = p(n)F(p) p(n1)f(0+) p(n2)f(1)(0+) ... f(n1)(0+) (1.5)

3. Integration:

L[

t

0

f(t)dt] =F(p)

p

(1.6)

Dans ce cas, on constate que lintegration dune fonction du temps se traduit par ladivision par p

4. Theoremes des valeurs initiale et finale

limt0+

= limp

pF(p) (1.7)

limt

= limp0

pF(p) (1.8)

5. Theoreme du retardCertains systemes entranent naturellement un retard. Cest le cas par exemple,

dune canalisation; il faut un certain temps pour quun fluide la traverse. Il entraneun retard pur. Sur le schema qui suit, ce retard se traduit par un decalage desdeux courbes. La courbe 2 est en retard de = 2 sur la courbe 1.

L[f(t )] = epF(p) (1.9)

6. Translation dans le domaine complexe

L1[F(p + a)] = eatf(t) (1.10)

Recherche des fonctions originales

1. Introduction

On a jusqua present cherche la transformee de Laplace dune fonction. Ce typede calcul est une premiere etape dans la recherche de la solution. Letape finaleconsistera souvent a revenir dans le domaine du temps en cherchant la transformeeinverse dune fonction de p. Dans la totalite des cas que nous rencontrerons, on aura

juste a decomposer la fonction F(p) en une somme de fonctions elementaires donton connat les fonctions originales et a utiliser la propriete de linearite.


10/112

Figure 1.4: Fonction retardee

2. Methode generale de decompositionSoit la fraction rationnelle F(p), donnee par lexpression suivante:

F(p) =bmp

m + bm1pm1 + ... + b1p + b0anpn + an1pn1 + ... + a1p + a0

=N(p)

D(p)(1.11)

Avec n > mOn commence par chercher les poles de F(p), cest a dire les zeros de D(p). Donc,F(p) peut etre mise sous (N(p) et D(p) sont premiers entre eux) :

F(p) =bmp

m + bm1pm1 + ... + b1p + b0

i=ni=1 (p pi)

(1.12)

Les pi, sont les poles de F(p).Dou, dans le cas particulier ou les poles de F(p) sont simples, on aura:

F(p) =

i=ni=1

Ai(p pi) (1.13)


11/112

En fin,loriginale de F(p) est donne par lexpression suivante:

f(t) =i=ni=1

Aiepit (1.14)

Exemple:Soit la fonction F(p):

F(p) =2(p2 + 3p + 1)

p(p2 + 3p + 2)

Les poles de F(p)] sont p = 0, p = 1 et p = 2.On peut donc lecrire:

F(p) =A

p+

B

p + 1+

C

p + 2

Dou:F(p) =

1

p+

2

p + 1+

1p + 2

Qui a pour originale:

f(t) =

1 + 2e(t) e(2t)

.u(t)

N.B.: On verra dans les exercices les cas ou F(p) les poles sont multiples ou com-plexes.

3. Resolution dequations differentiellesPratiquement, la transformee de Laplace permet la resolution dequations differentielles

lineaires a coefficients constants.Exemple: Soit a resoudre :

d2y

dt2+ 5

dy

dt+ 6y = 3t.u(t)

avec les conditions initiales y(0) = 2 et dydt t=0 = 1On prend la transformee de Laplace des deux membres de lequation:

(p2Y(p) 2p + 1) + 5(pY(p) 2) + 6Y(p) = 3p2

Soit :

Y(p) =2p3 + 9p2 + 3

p2(p2 + 5p + 6) = 5

12p +1

2p2 10

3(p + 3) +23

4(p + 2)

La solution est:

y(t) =

5

12+

t

2 10

3e(3t) +

23

4e(2t)

.u(t)


12/112

1.3.3 Fonction de Transfert

Soit un systeme LTI mono-entree, u(t), mono-sortie, y(t). Il peut alors etre decrit parlequation differentielle a coefficients constants de lequation (1.1) . Si les conditionsinitiales sur le signal dentree et de sortie sont nulles :

e(0) = e(0) = .... = e(m1)(0) = 0

y(0) = y(0) = .... = y(n1)(0) = 0 (1.15)

et si la transformee de Laplace est appliquee aux signaux dentree et de sortie, on obtient,anp

n + an1pn1+ ...+ a1p + a0

Y(p) =

bmp

m + bm1pm1+ ...+ b1p + b0

E(p) (1.16)

Definition

Sous lhypothese des conditions initiales nulles, le rapport entre la transformee de Laplacedu signal de sortie et la transformee de Laplace du signal dentree dun systeme est lafonction de transfert de ce systeme.

H(p) =Y(p)

E(p)=

bmpm + bm1pm1 + ... + b1p + b0

anpn + an1pn1 + ... + a1p + a0(1.17)

Exemple:(systeme masse-ressort-amortisseur)Soit le systeme mecanique masse-ressort-amortisseur de la figure . Par application duprincipe fondamental de la dynamique, lequation differentielle decrivant le comportementde la masse M soumise a une force e(t) est donnee par :

Md2y(t)

dt2 + fdy(t)

dt + Ky = e(t)

En appliquant la transformee de Laplace a cette equation et en choisissant la positionde la masse y(t) comme sortie, on obtient la fonction de transfert du systeme comme lerapport de Y(p) sur E(p) :

Gm(p) =Y(p)

E(p)=

1

Mp2 + f p + K

Fonction de transfert et reponse impulsionnelle

Soit un systeme SISO (Single Input Single Output) soumis a une entree u(t) et donne parsa fonction de transfert H(p). Un systeme ayant pour fonction de transfert H(p), a pour

reponse impulsionnelle la fonction :

y(t) = h(t) = L1[H(p)] (1.18)

La reponse du systeme a une entree quelconque e(t) peut alors etre calculee en utilisantle theoreme de convolution.


13/112

K

f

e(t)

y(t)

M

Figure 1.5: Systeme masse-ressort-amortisseur

La reponse dun systeme de fonction de transfert H(p) est donnee par lintegrale deconvolution suivante :

y(t) =

t0

h()e(t )d =t0

e()h(t )d (1.19)

Le produit de convolution est generalement note y(t) = h(t) u(t) = u(t) h(t).

Remarques:

1. Une definition alternative pour la fonction de transfert est la transformee de Laplacede la reponse impulsionnelle.

H(p) = L[h(t)] (1.20)

2. h(t) et H(p) contiennent la meme information.

y(t) = h(t) e(t) Y(p) = H(p).E(p) (1.21)


14/112

H(p)

Figure 1.6: Systeme lineaire

3. La fonction de transfert peut secrire dans le corps des nombres complexes sous laforme :

H(p) = K(p z1)(p z2)...(p zm)(p p1)(p p2)...(p pn) (1.22)

Les zi sont les zeros de la FT, et les pi sont les ples de la FT. En isolant les zeros etles poles nuls de la FT, on obtient une autre ecriture :

H(p) =K

p

mi=1

1 pzi

n

j=1

1 ppj

(1.23)K est appele le gain de la fonction de transfert (gain statique pour = 0) est laclasse de la FT.

4. Dans le cas ou les conditions initiales (CI) ne sont pas toutes nulles, on peut dfinirun polynme en p, N0(p), dependant des CI, tel que :

S(p) = H(p).E(p) +N0(p)

D(p)(1.24)


15/112

1.4 Classification des structures de commande

Le processus preliminaire de modelisation acheve, les performances, au sens large, dunsysteme peuvent etre analysees et des methodes de correction via laction dun systeme decommande peuventetre proposees. Le but dun systeme de commande est donc dexercerdes actions entrainant une amelioration du comportement du systeme et de ses perfor-mances. Lensemble des methodes permettant lanalyse du comportement dun systemedonne et la synthese dun systeme de commande satisfaisant des specifications de perfor-mance precises definit la theorie de la commande. La theorie de la commande, branchede la theorie des systemes, est par nature un domaine interdisciplinaire developpe a par-tir de solides fondements mathematiques avec un objectif tres concret : developper descorrecteurs/regulateurs pouvant etre mis en oeuvre sur des systemes technologiques reels.Empruntant ses outils et ses bases theoriques aux mathematiques, la theorie de la com-mande permet la conception de systemes de commande pour des domaines aussi varies quelaeronautique, le spatial, lindustrie chimique, lautomobile, le genie electrique... Ainsi,

afin de mettre en pratique la theorie de la commande, un lien doit etre cree entre la realiteet la theorie mathematique. Le processus de developpement dun modele mathematiqueconstitue ce lien. Le modele ne doit pas etre trop simpliste au risque de ne pas representerla realite mais doit etre suffisamment simple pour ne pas rendre inutilement complexesles etapes danalyse des proprietes du systeme et de synthese des regulateurs. Quelle quesoit la nature du systeme a commander, il est toujours possible de classer les differentesstructures de commande en deux grandes familles. Les structures de commande en boucleouverte et les structures de commande a contre-reaction appelees egalement structures decommande en boucle fermee.

1.4.1 Commande en boucle ouverte

En labsence dentrees perturbatrices et en supposant que le modele mathematique dusysteme est parfait, il est imaginable de generer un signal de commande produisant lesignal de sortie souhaite. Cela constitue le principe de la commande en boucle ouverte.Les signaux dentree e(t) ne sont pas influences par la connaissance des signaux de sorties(t). Lexemple typique de ce type de structure est constitue par la machine a laver fonc-tionnant sur la base de cycles pre-programmes ne possedant pas dinformations mesureesconcernant le degre de proprete du linge. Toutefois, si le systeme a commander nest pasparfaitement connu ou si des perturbations laffectent, les signaux de sortie ne seront pasceux souhaites.

1.4.2 Commande en boucle fermee

Lintroduction dun retour dinformation sur les sorties mesurees savere alors necessaire.

Le principe de commande en boucle fermee est illustre sur la figure suivante et definitla structure de commande a contre-reaction (feedback en anglais). On parle alors desysteme boucle, par opposition aux systemes en boucle ouverte. Un systeme boucle verifieen quelque sorte que la reponse du systeme correspond a lentree de reference tandisquun systeme en boucle ouverte commande sans controler leffet de son action. Lessystemes de commande en boucle fermee sont ainsi preferables quand des perturbations


16/112

Figure 1.7: Commande en boucle ouverte

non modelisables et/ou des variations imprevisibles des parametres sont presentes. Cettestructure de commande permet ainsi dameliorer les performances dynamiques du systemecommande (rapidite, rejet de perturbation, meilleur suivi de consignes, moindre sensibiliteaux variations parametriques du modele, stabilisation de systemes instables en boucleouverte). Il est toutefois important de remarquer que cette structure de commande ne

presente pas que des avantages. Elle necessite lemploi de capteurs qui augmentent lecout dune installation. Dautre part, le probleme de la stabilite et de la precision dessystemes a contre-reaction se pose de maniere plus complexe. Le concept de retro-actionest toutefois a la base de tous les developpements theoriques de lAutomatique moderneet constituera donc le pivot central autour duquel les notions developpees dans ce courstourneront.


17/112

Figure 1.8: Commande en boucle fermee

1.5 Techniques danalyse et de synthese des systemes

asservis

Dun point de vue pratique, il est toujours important de connatre les performancesdun systme asservi. Les performances sont des caracteristiques essentielles qui fontquun systeme asservi est acceptable ou non. Les performances dun systeme donnesont generalement determinees en effectuant une analyse approfondie. Les techniquesdanalyse que lon peut utiliser sont nombreuses, et sont presentees un peu plus loin dansce document.En general, le resultat dune analyse approfondie dun systeme donne se traduit par unverdict sur les specifications quil possede a son etat actuel. Ces specifications peuvent

etre satisfaites ou non.Dans le cas dun systeme ou les performances ne sont pas satisfaites, on peut recourira la phase de synthese. En general, cette phase a pour objectif de trouver le moyendameliorer les performances du systeme considere sans changer le procede, lactionneur etlamplificateur de puissance, mais en ajoutant un organe appele correcteur qui representelintelligence du systeme asservi.


18/112

En general, lanalyse concerne letude des proprietes dun systeme existant, tandis que laconception consiste a choisir et a agencer les organes du systeme asservi afin quil puisse

effectuer une tache determinee.Le cahier des charges dun systeme asservi impose en general un certain nombre de con-traintes sur le comportement du systeme. Ces contraintes portent sur :

* StabilitePour la grande majorite des systemes, il est hors de question qua consigne constanteet en absence de toute perturbation la grandeur de sortie ne converge pas vers unevaleur constante comme ciapres. Le comportement que lon souhaite obtenir est

0 10 20 30-40

-20

0

20

40

60

Rponse d'un systme instable

Temps (sec)

Amplitude

Non oscillant

oscillant

Figure 1.9: Reponse dun systeme instable

semblable a ceux cidessous.

* Precision

La precision est laptitude dun systeme atteindre la valeur visee. Elle est car-acterisee par lecart entre la valeur attendue et la valeur effectivement atteinte parla grandeur de sortie.

* RapiditeLa rapidite caracterise la vitesse avec laquelle le systeme peut passer dune position


19/112

Rponse d'un systme stable

Temps (sec)

Amplitude

0 10 20 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Oscillant amorti

Hypre-amorti

Figure 1.10: Reponse dun systeme stable

a une autre. Toutefois, il faut constater que lors du passage dune valeur a uneautre de la grandeur de sortie, la valeur finale est souvent atteinte de maniereasymptotique. Pour caracteriser la rapidite, on ne peut donc pas utiliser directementle temps mis pour passer dune position a une autre qui en toute rigueur est infini.La rapidite dun systeme asservi peut etre evaluer a laide des criteres suivants:

- Temps de pic: cest le temps correspondant a la valeur maximale de la sortietp;

- Temps de montee tm: cest le temps mis pour que la sortie s(t) passe det1,(correspondant a 0, 1s()), a t2,(correspondant a 0, 9s()); donc,tm = t2t1;

- Temps de stabilisation (ou de reponse) ts: cest le temps de reponse a x%, cestadire le temps que met la reponse pour que la valeur absolue de lecart entre lavaleur finale (valeur atteinte asymptotiquement) et la valeur instantanee resteinferieure a x En pratique, cest le temps de reponse a 5% qui est utilise.

* Amortissement:Lors du passage dune valeur a une autre de la grandeur de sortie,


20/112

Figure 1.11: Erreur dun systeme asservi

le comportement du systeme peut etre tel que la reponse presente des oscillations.Pour caracteriser la qualite de lamortissement, on peut sappuyer sur le temps dereponse x% qui correspond alors au temps de stabilisation du systeme.Il faut completer cette information par le depassement qui caracterise lamplitudedes oscillations qui, pour certaines applications doit imperativement etre nul. Il estevalue par:

D(%) = 100smax s()

s()


21/112

Oscillant amorti

Hypre-amorti

Rponse d'un systme

Temps (sec)

Amplitude

0 10 20 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

ts 5%

Temps de pic t

t1 t2

Dpassement D Valeur finale s()

Valeur maximale smax

Figure 1.12: Rapidite dun systeme asservi


22/112


23/112

Chapter 2

Les modeles graphiques

2.1 Introduction

Un systeme peut etre constitue dun grand nombre de composants elementaires dont lafonction est donnee. Afin de rendre claire et lisible la fonction de chaque composant dunensemble complexe, des outils graphiques de modelisation peuvent etre utilises. Chaquetype de representation graphique a son vocabulaire et ses regles de construction et desimplification. Nous presentons maintenant deux types les plus couramment utilises parmiles modeles graphiques.

2.2 Schema fonctionnel

Ce type de representation graphique est particulierement adapte a la modelisation dessystemes LTI monovariables. Bien que ceci ne soit pas exclusif, il nen reste pas moinsque les schemas fonctionnels sont etroitement relies aux modeles de type fonction detransfert.

2.2.1 Definition

Le schema fonctionnel dun systeme est une representation graphique des fonctions dechaque composant elementaire constituant le systeme ainsi que le flux des signaux utiles.Un schema fonctionnel est compose :

darcs orientes.(figure 1.1)Larc oriente represente le flux de signaux donnes regroupes dans un vecteur.

de blocs fonctionnels.(figure 1.2)Le bloc fonctionnel est le symbole representant loperation mathematique appliqueea lentree du bloc et produisant sa sortie. Cette operation mathematique est tressouvent mais pas exclusivement representee par une fonction de transfert. La figurerepresente a gauche un bloc fonctionnel associe a une fonction de transfert Y (p)= F(p)U(p) alors que celui de droite est associe a loperation de multiplication de

23


24/112

U(p) ou u(t)

Figure 2.1: Arc oriente du signal U(p)

lentree par une matrice y(t) = A(t)u(t).

Figure 2.2: Blocs fonctionnels

de blocs sommateurs.(figure 1.3)Le bloc sommateur traduit une relation purement algebrique entre les signauxdentree et de sortie.

Remarques:

Un schema fonctionnel nest pas unique.

Il est independant de la nature physique du systeme modelise.

2.2.2 Schema fonctionnel et fonctions de transfert

Comme il a ete mentionne precedemment, le schema fonctionnel est tres etroitementassocie aux fonctions de transfert. Dans ce cas, une procedure systematique de trace du


25/112

Figure 2.3: Blocs sommateurs

schema fonctionnel dun systeme donne peut etre proposee. Principes de construction:

1. Ecrire les equations de la physique associees a chaque element constituant le systeme.

2. En appliquant la transformee de Laplace, calculer la fonction de transfert associeea chaque element en supposant les conditions initiales nulles.

3. Identifier les relations inter-signaux et les relations signaux-blocs pour tracer leschema fonctionnel.

Exemple:Soit le circuit electrique RC de la figure 1.4:

Figure 2.4: Circuit RC


26/112

1. Les equations electriques donnent :

e(t) s(t) = Ri(t)

s(t) =1

C

t0

i()d

2. Application de la transformee de Laplace et determination des fonctions de transfertelementaires :

VR(p) = E(p) S(p) = RI(p)

S(p) =1

CpI(p)

3. Trace du schema fonctionnel (figure 1.5):

Figure 2.5: Schema fonctionnel

Fonction de transfert en boucle ouverte et en b oucle fermee:Lexemple precedent fait apparatre un bouclage de la tension de sortie s(t) sur la tensiondentree e(t), realisant ainsi un systeme a contre-reaction tel quil a ete defini dans lepremier chapitre. Nous donnons maintenant un certain nombre de definitions concernantles systemes a contre-reaction ou systemes boucles du type de la figure figure 1.6. Ondefinit E(p) comme lentree de consigne, Y(p) comme la sortie mesuree et (p) commelerreur. Fonction de transfert en boucle ouverte :La fonction de transfert en boucle ouverte ou gain de boucle est definie comme :

Y(p)

E(p)= G(p)H(p) (2.1)

Elle correspond au transfert si la boucle est ouverte en A. Fonction de transfert enboucle fermee :


27/112

La fonction de transfert en boucle fermee est definie comme :

S(p)E(p)

= G(p)1 + G(p)H(p)

(2.2)

Elle correspond au transfert global de la boucle dasservissement.

Figure 2.6: Asservissement a contre-reaction

Un cas particulier que lon rencontre frequemment est celui des systemes boucles a retourunitaire.

Figure 2.7: Systeme boucle a retour unitaire

systeme boucle a retour unitaire :Un systeme boucle est dit a retour unitaire si le transfert de la chaine de retour est egala un. La fonction de transfert en boucle ouverte est alors egale au transfert de la chainedirecte G(p) et la fonction de transfert en boucle fermee est donnee par :

S(p)

E(p)=

G(p)

1 + G(p)(2.3)


28/112

2.2.3 Regles dalgebre dans les schemas fonctionnels

Quand le systeme est complexe, le schema fonctionnel peut comporter un nombre impor-tant de blocs et de boucles. On dispose alors dun certain nombre de regles permettantde le simplifier en agregeant les blocs et en reduisant les boucles.

Figure 2.8: Algebre des schemas fonctionnels

2.3 Graphe de fluence

2.3.1 Definition

Ce mode de description, tres proche de la representation par schema fonctionnel, est unedescription graphique utilisant des nuds et des branches orientees. Une variable estrepresentee par un nud. La branche est larc qui fait la liaison entre les variables. La


29/112

branche est accampagnee par son gain (ou sa transmittance).

nuds

x1 A x2

brancheGain ou tranmittance de

la branche

Figure 2.9: Nuds et branches

2.3.2 Terminologie

1. nud source: Il nadmet que des branches divergentes. Cest le dentree du graphe.

2. nud puits: Il nadmet que des branches convergentes. Cest le de sortie dugraphe.

3. Chemin ou parcourt direct: est une liaison entre le nud dentree et le nud desortie en suivant le sens des fleches et ne passant pas deux fois par le meme nud.

4. Parcourt ferme ou boucle: cest un parcourt suivant les fleches qui, partant dunnud, revient au meme nud sans passer plus quune par un meme nud.

5. Gain dun parcourt: Cest le produits des gains ou transmittances des branchesrecontrees.

6. Boucles non touchantes: Ce sont des boucles qui nont pas de nuds en commun.

2.3.3 Construction du graphe

La construction dun graphe peut seffectuer soit a partir des equations regssant le fonc-tionnement du systeme, soit a partir du schema fonctionnel.

La construction a partir des equations seffectue suivant les regles suivantes:

1. Expliciter les diverses relations lineaires liant les variables du systeme en evitanttoute omission ou redondance. Pour un systeme ayant l entrees et comportantglobalement n variables, on doit avoir n l relations.


30/112

2. Mettre en evidence dans chaque relation une variable, qui sera definie par cetterelation ( une variable dentree na pas a etre definie). Chaque variable, autre

quune entree doit etre definie une fois et une seule. Le choix a ce niveau nestpas unique, il existe plusieurs graphes possibles pour la description du systemedonne.

3. Representer par des nuds les differentes variables du syseme, de preferenceen respectant la topologie du systeme et en isolant a gauche le nud dentreeet nud de sortie.

4. Construire le graphe a partir des relations servant a definir chaque variable.

5. Verifier que chaque nud qui ne represente pas une entree a au moins unefleche qui arrive et quil est possible datteindre chaque sortie en partant duneentree et en suivant le sens des fleches.

exempleConsiderant le systeme decrit par les equations suivantes:

V1 = R1I1 + V2

V1 = I2C1p

+ V2

I3 = I1 + I2V2 = R2I3

La variable definie pour chaque relation est en gras.Apres avoir dispose les divers nuds et explicite les diverses variables:

I1 = V1 V2R1

I2 = (V2 V1)C1pI3 = I1 + I2V2 = R2I3

il vient le graphe de la figure 1.11

A partir dun schema fonctionnelOn traite le schema fonctionnel du circuit RC de la figure 1.12 (a). On a joute lesvariables qui manquent ((p)) figure 1.12 (b). Le graphe de fluence correspondant

est donne a la figure 1.13.


31/112

I2

-C1p +1 C1p

-R2

V1 I3 V2

1/R1 -1 -1/R1

I1

Figure 2.10: Exemple de graphe de fluence

2.3.4 Regle de Mason

Cette regle permet de deduire simplement dun graphe de fluence, la relation entree-sortie(Fonction de transfert) liant une variable dentree associee a un nud source, au nudassocie a une variable consideree comme variable de sortie.Enonce de la regle de MasonOn considere le systeme dentree e(t) et de sortie s(t). La fonction de transfert H(p) estdonnee par lexpression suivante:

H(p) =

Ni=1 Mii

(2.4)

Ou :

etant le determinant du graphe decrit par lexpression suivante: = 1

Pj +

PiPj

PiPjPk + ... (2.5)

Avec:


32/112

(p)

(a)

(b)

Figure 2.11: Schema fonctionnel du circuit RC

E(p) 1 (p) 1/R I(p) 1/Cp S(p)

-1

Figure 2.12: Graphe de fluence

. Pj :les gains de toutes les boucles individuelles;

. PiPj : les produits des gains des paires de boucles non touchantes;

. PiPjPk: les produits des gains des triplets de boucles non touchantes;

Mi: cest la transmittance du ieme parcourt (chemin) direct. N: nombre total des chemins directs.

i: Cest le determinat correspondant au chemin ieme parcourt (chemin) direct. Ilest obtenu a laide de la meme expression de en supprimant toutes les bouclesqui touchent ce ieme parcourt (chemin) direct.


33/112

Chapter 3

Analyse temporelle des

systemes continus elementaires

3.1 Introduction

Une fois le modele mathematique dun systeme (fonction de transfert) obtenu, letapesuivante consiste a analyser les performances du systeme. Cette etape peut etre meneesuivant de nombreuses methodes. Toutefois, il est necessaire de disposer dune base com-mune danalyse pour des systemes differents. Un moyen de comparer efficacement lesdifferents types de systemes et leurs performances respectives est de les soumettre a dessignaux dentree types et danalyser les reponses temporelles produites. Lutilisation designaux types est justifiable par la correlation qui existe entre les caracteristiques desreponses a des entrees types et la capacite du systeme a faire face a des signaux dentree

reels.

3.2 Signaux dentree types

Les signaux dentree types sont en general des signaux de type polynomial :

u(t) = tn (3.1)

dont la transformee de Laplace est donnee par :

U(p) =n

pn+1(3.2)

Ces signaux dentree sont plus particulierement utilises du fait de la simplicite de leurrepresentation mathematique. Ce type de signal a la carateristique de soumettre lesysteme a des sollicitations plus ou moins brusques et progressives. Ils permettent ainsidetudier les performances transitoires de la reponse des systemes. Dans la pratique, onse limite souvent aux signaux polynomiaux jusqua lordre 2 dentree caracteristiques telsque :

33


34/112

les signaux echelon (fonction de Heaviside)La fonction echelon est definie de la maniere suivante :

t

a

e(t)

e(t) = u(t) = a pour t > 0e(t) = u(t) = 0 pour t < 0

Figure 3.1: Signal echelon

Si a = 1, lechelon est dit unitaire. Cest lintegrale de limpulsion de Dirac.La transformee de Laplace de la fonction echelon est :

L[e(t)] =+0

a.eptdt =a

p(3.3)

les signaux de type impulsionnel (impulsion de Dirac)Ce signal nest pas une fonction au sens mathematique mais une distribution (objetmathematique qui depasse le cadre de ce cours). En automatique continue, on se

contentera de lassimiler a une fonction (au grand dame des mathematiciens pourlesquels, il sagit dune absurdite) ; en voici alors la definition admise :On appelle impulsion de Dirac, la limite dune famille de fonctions ft0 telles que:On note :

(t) = limt00

ft0(t)


35/112

Figure 3.2: Impulsion de Dirac

limpulsion unitaire de Dirac.On verifie la propriete suivante:

(t) =

+

(t)dt = 1

Un calcul montre que la transformee de Laplace de limpulsion est :

L[(t)] = 1 (3.4)

les signaux rampeLa rampe est definie de la maniere suivante :

Si a = 1, la rampe est dite unitaire. Cest lintegrale de lechelon.

La transformee de Laplace de la fonction echelon est :

L[e(t)] =+0

a.t.eptdt =a

p2(3.5)

les signaux acceleration


36/112

t

a

e(t)

e(t) = a.t pour t 0e(t) = 0 pourt < 0

Figure 3.3: Signal rampe

Le choix effectue dans cet ensemble est fonction des conditions dutilisation du systemeetudie. Par exemple, si les entrees reelles dun systeme sont supposees varier graduelle-ment, une entree de type rampe est adaptee alors que la reponse impulsionnelle modeliseracorrectement un choc.Remarques:Les signaux sinusodaux constituent une autre famille interessante de signaux types ser-vant essentiellement a letude du regime permanent de la reponse temporelle et qui seraetudiee dans un prochain chapitre.

3.3 Les systemes du premier ordre

3.3.1 Definition et exemples

On appelle systeme du premier ordre, les systemes decrits par une equation differentielledu premier ordre.

Ty(t) + y(t) = Ku(t) (3.6)


37/112

La fonction de transfert associee est :

H(p) = K1 + T p

(3.7)

Figure 3.4: Exemples de systemes du premier ordre

T et K sont respectivement la constante de temps du systeme et le gain statique dusysteme .Des exemples electriques et mecaniques de systemes du premier ordre sont donnes a lafigure 1.1.

3.3.2 Reponse a des entrees types

La reponse transitoire dun systeme du premier ordre est,

yt(t) = et/T (3.8)


38/112

La reponse impulsionnelle

On rappelle que la transformee de Laplace de limpulsion de Dirac est L[(t)] = 1. Celaconduit a ecrire,Y(p) =

K

1 + T p(3.9)

dou la reponse impulsionnelle,

y(t) =K

Te

tT u(t) (3.10)

qui est representee a la figure 3.5.

Figure 3.5: Reponse impulsionnelle

En calculant la derivee, on obtient la pente de la tangente pour t = 0.

dy(t)

dt = K

T2 et

T = K

T2 (3.11)

3.3.3 La reponse indicielle

DEFINITION (reponse indicielle)On appelle reponse indicielle, la reponse a une entree de type echelon de position (fonction


39/112

de Heaviside) dont la transformee de Laplace est:

L[u(t)] = 1p

(3.12)

Cela conduit a ecrire,

Y(p) =K

p(1 + T p=

K

p KT

1 + T p(3.13)

dou la reponse indicielle,y(t) = K(1 e tT )u(t) (3.14)

qui est representee figure 3.6. En calculant la derivee, on obtient la pente de la tangentepour t = 0.

dy(t)

dt=

K

Te

tT =

K

T(3.15)

Figure 3.6: Reponse indicielle

Le temps de stabilisation a 5% tel que s(ts) = 0.95y() est ts 3TRemarque: Plus la constante de temps du systeme T est faible, plus le systeme estrapide.


40/112

3.3.4 Reponse a une rampe unitaire

DEFINITION signal rampe Un signal rampe est un signal de la forme e(t) = at.Si a = 1, on parle alors de rampe unitaire. Le signal rampe unitaire a pour transformeede Laplace :

L[e(t)] = 1p2

(3.16)

Cela conduit a ecrire,

Y(p) =K

p2(1 + T p)=

K

p2 KT

p KT

2

1 + T p(3.17)

dou la reponse, y(t) = K(t - T + Te-t/T) t = 0

y(t) = K(t T + T etT

)u(t) (3.18)

qui est representee figure 3.7. En calculant le signal derreur (t) = u(t) y(t), pour K =1, on obtient,

(t) = T(1 e tT ) limt

(t) = T (3.19)

Figure 3.7: Reponse a une rampe


41/112

3.4 Les systemes du second ordre

3.4.1 Definition et exemples

Les systemes du second ordre sont les systemes decrits par une equation differentiellelineaire a coefficients constants du second ordre.

a2 y(t) + a1 y(t) + a0y(t) = b0e(t) (3.20)

La fonction de transfert est alors :

H(p) =b0

a2p2 + a1p + a0(3.21)

La fonction de transfert dun systeme du second ordre peut egalement etre factorisee enfaisant apparatre des parametres particuliers.

H(p) =K

( pn )2 + 2 pn + 1

=K2n

p2 + 2np + 2n(3.22)

Ou :

K = b0a0 est le gain statique du systeme.

n =

a0a2

est la pulsation propre non amortie.

= a1a0a2 est le coefficient damortissement.

Des exemples electriques et mecaniques de systemes du second ordre sont donnes figure

On choisit de conserver la forme normalisee de la fonction de transfert du deuxieme ordre.

H(p) =K2n

p2 + 2np + 2n(3.23)

Afin de determiner la nature des poles associes a ce systeme du second ordre, on etudieson equation caracteristique,

p2 + 2np + 2n = 0 (3.24)

dont le discriminant est

= (2 1)2n. Le signe du discriminant et par consequent lanature des poles, sont determines par le facteur damortissement .DEFINITIONLe parametre0 1est appele facteur damortissement.

i =

Re(pi)pi = i2i + 2pi (3.25)

pour pi = i +jpiAmortissement > 1: systeme hyper-amorti


42/112

(1)

(2)

(3)

(4)

Figure 3.8: Exemples de systemes du second ordre

Les racines du polynome caracteristique sont reelles et lon dit que le systeme est hyper-amorti.

p1 = n(+

2 1)p2 = n(

2 1) (3.26)

En posant,

1T1

= n(+

2 1)

1T2

= n(

2 1) (3.27)


43/112

La fonction de transfert secrit alors,

H(p) = K(1 + T1p)(1 + T2p)

(3.28)

La reponse transitoire est alors donnee par,

yt(t) = 1e t

T1 + 2e t

T2 (3.29)

Amortissement = 1:systemes a amortissement critiqueLe polynome caracteristique a une racine reelle double et le systeme est dit a amortisse-ment critique.

p = n = n = 1T1

(3.30)

La fonction de transfert secrit alors,

H(p) =K

(1 + T1p)2(3.31)

La reponse transitoire est alors donnee par,

yt(t) = ( + 1t)e t

T1 (3.32)

Amortissement 0 < 1:systemes oscillant amortiLes racines du polynome caracteristique sont complexes conjuguees et lon dit que lesysteme est oscillant amorti.

p1 = n(+j

1 2) = 1

+jp = +jp

p2 = n(j

1 2) = 1

jp = jp (3.33)

ou lon a pose,

=1

n=

1

p = n

1 2 (3.34)

La reponse transitoire est alors donnee par loscillation de pseudo-periodeT = 2p amortie

par une exponentielle de constante de temps .

yt(t) = e t

[1ejpt + 2e

jpt] = Asin(pt + ) (3.35)


44/112

Figure 3.9: Paire de poles complexes

3.4.2 Etude de la reponse indicielle

Amortissement > 1: systeme hyper-amortiLa reponse indicielle du systeme est donnee par :

y(t) = K

1 T1

T1 T2 e t

T1 T2T2 T1 e

tT2

u(t) (3.36)

Dans le cas critique ( = 1) la reponse indicielle est :

y(t) = K

1 (1 + t

T1)e t

T1

u(t) (3.37)

Lallure des reponses des systemes hyper-amortis pour differentes valeurs des poles estrepresentee figure 3.10. Amortissement 0 < 1: systemes oscillant amortiLa reponse indicielle du systeme oscillant amorti est :

y(t) = K

1 e

nt1 2

sin(pt + )

u(t)

= cos1 (3.38)

Lallure de telles reponses est representee figure 1.8 et figure 1.9.

On dit que Le comportement du systeme est oscillant et amorti. La pseudo-periode desoscillations est caracterisee par la pseudo-pulsation p .Notonsque lexpression n, de lexponentielle est la partie reelle des poles de la FT.La courbe de la reponse indicielle dun systeme du second ordre possede un certain nombrede caracteristiques remarquables.


45/112

Rponse indicielle

Temps (sec)

Figure 3.10: Systemes du second ordre hyper-amortis

Rponse indicielle

Temps (sec)

Figure 3.11: Systemes du second ordre oscillant amortis pour n = 1

On constate que plus le coefficient damortissement est faible, plus la reponse est oscillante,donc moins lamortissement est bon. Les depassements successifs sont definis par :

Dk =y(kTp y()

y() = (D1)k

D1 = e12

Tp

=

p(3.39)

ou D1 est le premier depassement balistique qui est uniquement dependant de lamortissement.

= (1 +2

ln2(D1))1/2 (3.40)


46/112

Rponse indicielle

Temps (sec)

Figure 3.12: Systemes du second ordre oscillant amortis pour n = 0.1

Rponse indicielle

Temps (sec)

Amplitude

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

D1

D2

t1 t2 Tp

Ts (5%)

Figure 3.13: Systemes du second ordre oscillant amortis

La figure cicontre represente levolution du depassement en fonction du coefficient damortissemen

Remarque : Lorsque le premier depassement est superieur 5%, ce qui correspond aucas ou 0 < < 0, 7, le temps de reponse 5% est approche par la relation :

tr 3, 2n

(3.41)

Lorsque > 0, 7, le temps de reponse augmente rapidement avec. Dans ces conditions,le temps de reponse 5% passe par un minimum pour = 2/2.Le temps de reponse 5% est donne sous sa forme reduite tr.0 ( avec 0 = n)


47/112

Figure 3.14: Depassement en fonction de lamortissement

Figure 3.15: tr.0 en fonction de lamortissement


48/112


49/112

Chapter 4

Reponse frequentielle des

systemes lineaires

4.1 Introduction

La reponse frequentielle dun systeme LTI est un outil particulierement important pourlanalyse et la synthese des systemes de commande. Historiquement, les premieres methodesde conception de systemes de commande a contre-reaction ont ete fondees sur lutilisationdes reponses frequentielles et des outils associes. De nombreux outils mathematiquesanalytiques et graphiques ont ainsi ete definis et developpes dans ce cadre. Cela ex-plique en partie la persistance de ces methodes dans les bureaux detudes et parmi lesingenieurs. Une autre raison repose sur les possibilites experimentales nombreuses et

peu complexes necessaires pour reconstituer la reponse frequentielle dun systeme donnea partir de donnees experimentales entrees-sorties (generateurs de signaux sinusodaux etequipements de mesure adequats). Toutefois, les avantages presentes ici ne doivent pasfaire oublier que ces methodes ont ete principalement definies pour les systemes mono-variables. Meme si comme nous le verrons dans ce chapitre, la plupart des outils peu-vent etre etendus au cas multivariable, leur utilisation dans des procedures de synthesesystematiques est plus delicate. De plus, ces methodes necessitent une culture frequentiellesuffisament poussee pour pallier la faible correlation entre les caracteristiques temporellesdes reponses transitoires et les caracteristiques des reponses reponses frequentielles.

4.2 Definition

La reponse frequentielle dun systeme est definie comme lensemble des reponses en regimepermanent du systeme a des entrees sinusodales parametrees par la pulsation.Nous presentons maintenant le resultat fondamental de lanalyse frequentielle des systemes.TheoremeLa reponse frequentielle dun systeme LTI stable a une sinusode e(t) = Esin(t) damplitudedonnee E et de pulsation est une sinusode y(t) = Y sin(t + ) de meme pulsation

49


50/112

et dont lamplitude Y et le dephasage dependent de la pulsation .Ceci peut etre aisement montre en considerant un systeme stable defini par sa fonction

de transfert :

G(p) =N(p)

D(p)=

N(p)

(p +p1)...(p +pn)(4.1)

On suppose ici que tous les poles de cette fonction de transfert sont distincts. La trans-formee de Laplace de lentree sinusodale e(t) = Esin(t) est:

E(p) =E

p2 + 2(4.2)

dou:

y(t) = L1[Y(p)] = L1[G(p)E(p)] = ae(jt) + ae(jt) + b1e(p1t + ... + bne(pnt) (4.3)Pour un systeme stable,(tous les poles de G(p) sont a partie reelle negative (

pi = 0), les

termes e(pit tendent vers 0 en regime permanent (quand t ). La reponse en regimepermanent est donc donnee par,

y(t) = ae(jt) + ae(jt) (4.4)

ou,

a =

G(p)

E

p2 + 2(p +j)

|p=j

= EG(j)2j

a =

G(p)

E

p2 + 2(p j)

|p=j

= EG(j)2j

(4.5)

De plus,

G(j) =

G(jej

G(j) =G(j

ej (4.6)dou,

a = E

G(jej

2j

a =

EG(jej

2j (4.7)

On obtient ainsi,

y(t) = E

G(je(j(t+) e(jt+)2j = Y sin(t + ) (4.8)


51/112

4.3 Transmittance harmonique

La fonction de transfert G(p) est representative dun systme lineaire, quelques soient lessignaux utilises. Dans le cas particulier des regimes sinusodaux alternatifs permanents,on montre quelle se reduit a la transmittance G(j). Donc, pour passer de fonction detransfert G(p) a la transmittance harmonique, il suffit de faire p = j .La fonction de transfert sinusodale est caracterisee par:

. son gain,

G(j =

Y(jE(j

(4.9)

. sa phase,

() = Argument[G(j)] (4.10)

Pour fixee, G(j) est un nombre complexe caracterise par son amplitude (le gain dusysteme) et son argument (la phase du systeme) qui seront donc des fonctions de lapulsation de la sinusode dentree. Quand varie, lensemble des gains et des argumentsconstitue la reponse frequentielle qui peut alors etre representee graphiquement dansdifferents types de plans.

4.4 Representation graphique de la reponse frequentielle

4.4.1 Lieu de transfert

On appelle lieu de transfert, le lieu des points G(j) quand la pulsation varie de 0 alinfini.G(j) est donc un nombre complexe dont les caracteristiques ( partie reelle et imaginaire,module et argument) sont des fonctions de la pulsation .

G(j) = Re[G(j)] +jIm[G(j)] = R() +jI()

ou,

G(j) = |G(j)|ej() |G(j)|2 = R2() + I2() () = tan1 I()R()

Il existe trois representations graphiques usuelles du lieu de transfert dun systeme quandla pulsation varie.

4.4.2 Le lieu de Nyquist

Le lieu de Nyquist est une courbe polaire parametree par la pulsation .DefinitonLe lieu de Nyquist correspond au trace du lieu de transfert dans le plan complexe dont


52/112

Figure 4.1: Plan de Nyquist

les coordonnees cartesiennes sont (R(), I(). On obtient donc une courbe parametreeen la pulsation et que lon doit graduer en consequence. Elle est donc toujours orienteedans le sens des croisants.RemarqueLe gain du systeme a une pulsation donnee est mesure par la longueur du rayon vecteurcorrespondant alors que la phase est langle mesure positivement dans le sens trigonometrique entre laxe ox et le rayon vecteur.

4.4.3 Le lieu de Bode

DefinitonLe lieu de Bode comprend deux traces distincts. Le premier represente levolution du

module de la reponse frequentielle en decibels 20Log10|G(j)| en fonction de la pul-

sation en rad/s. Le deuxieme represente la phase () en degres en fonction de lapulsation en rad/s.Du fait de lutilisation de lechelle logarithmique pour laxe des pulsations, les plages depulsations sont usuellement exprimees en termes doctave et de decade. Une octave est


53/112

une bande de pulsations comprises entre 1 et 21 alors quune decade est une bande depulsations entre 1 et 101 pour 1 pulsation quelconque.

Les courbes sont tracees sur du papier semi-logarithmique en utilisant lechelle logarith-mique pour les pulsations et lechelle lineaire pour lamplitude en decibels et la phase endegres.

Figure 4.2: Plan de Bode

4.4.4 Le lieu de Nichols-Black

DefinitonLe lieu de Nichols-Black represente le lieu de transfert dans un plan dont labscisse est

largument de la reponse frequentielle en degres ()deg) dont lordonnee est le modulede la reponse frequentielle en decibels 20Log10

|G(j)|

. La courbe du lieu de transfert

dans le plan de Nichols-Black est egalement une courbe parametree en la pulsation etdoit donc etre graduee de maniere adequate. Elle est donc toujours orientee dans le sens des croissants.


54/112

Lavantage majeur dune telle representation est lie a la propriete dadditivite de lamplitudeexprimee en decibels et de la phase. Cela permet une representation graphique aisee des

produits de fonctions de transfert.

20Log10(|G1(j)||G2(j)|) = 20Log10(|G1(j)|) + 20Log10(|G2(j)|) (4.11)

La multiplication par une constante (un gain) se traduit donc par une translation verticaledans le plan de Nichols-Black.

Figure 4.3: Plan de Nichols-Black

4.5 Etude frequentielle dun systeme de premier ordre

Soit la fonction de transfert harmonique dun systeme de premier ordre:

G(j) =K

1 +jT(4.12)


55/112

On rappelle que le module et la phase dune telle fonction de transfert sont donnes par :

|G(j)| = K1 + 2T2

|G(j)|dB = 20Log10(K) 20Log10(|G1(j)|)() = tan1(T) (4.13)

4.5.1 Caracteristiques dun premier ordre dans le plan de Bode

La pulsation c = 1/T est appelee pulsation de coupure. Cette pulsation est partic-ulierement importante puisquelle separe lespace des pulsations en deux domaines, do-maine basses frequences > c.Letude asymptotique peut etre menee alors de la facon suivante ( Pour K=1 ):

Pour les basses frequences > c, lamplitude en dB peut etre approximee par,

20Log10(

1 + 2T2) 20Log10(T) (4.15)

Dans cette plage de pulsations, la courbe est donc une droite de pente 20dB/decou 6dB/octave.

Dans le plan de Bode, le trace asymptotique dun premier ordre est donc determine parles deux droites ainsi definies et qui se coupent en la pulsation de cassure c = 1/T. Pourcette pulsation, la phase est /4 et le module |G|dB = |G0|dB 3dB.

Figure 4.4: Trace dans le plan de Bode de 1/(p + 2)


56/112

4.5.2 Caracteristiques dun premier ordre dans le plan de Nyquist

Un premier ordre de fonction de transfert sinusodale est caracterise par:

X = Re(G(j)) =1

1 + 2T2

Y = Im(G(j)) =T

1 + 2T2(4.16)

Letude de permet de montrer que la courbe est un demi-cercle de centre (0.5, 0) et derayon 0.5.(Si K = 1 cest un cerle de centre (K/2, 0) et de rayon K/2). En effet, on verifie(K=1):

(X

1/2)2 + Y2 = 1/4 (4.17)

Figure 4.5: Premier ordre dans le plan de Nyquist

4.5.3 Caracteristiques dun premier ordre dans le plan de Black

Lanalyse du module et de largument est en tout point identique a celle faite pour le tracedans le plan de Bode. On considere les expressions de (4.13) (toujours pour K = 1).Lanalyse asymptotique conduit immediatement a identifier une asymptote verticale a90deg en hautes frequences.


57/112

Figure 4.6: Lieu de transfert de 1/(1 + p) dans le plan de Nichols-Black

4.6 Etude frequentielle dun systeme de deuxieme or-

dre

La trasmittance harmonique dun systeme de second ordre est (on traitera le cas 0 < n

20Log10( 22n

) = 40Log10( n

) (4.23)

La courbe de gain a donc une asymptote de pente -40 dB/decade en hautes frequences.

Les deux asymptotes ont une intersection commune en la pulsation de cassure c =n.Pres de la pulsation de cassure, a la pulsation de resonance r, il peut exister unpic de resonance, Mr, si < 0, 707. Son amplitude depend de lamortissement .

Figure 4.7: Courbe de gain dans le plan de Bode dun deuxieme ordre avec resonnance

La pulsation de resonance verifie la relation suivante:

d|H(j)|d

r

= 0 (4.24)

r = n

1 22

Mr =1

2

1 2 (4.25)


59/112

Etude de la phase :La phase est une fonction des deux parametres pulsation propre et amortissement.

Toutefois, la phase vaut,

= 0 = 0deg

= n = tan1

2

0

= 90deg

= = 180deg (4.26)

Figure 4.8: Deuxieme ordre dans le plan de Bode pour variant

Definitions:La pulsation c pour laquelle lamplitude de la fonction de transfert sinusodale estinferieure de dB a lamplitude de la fonction de transfert sinusodale a la pulsation 0 estla pulsation de coupure a dB.

|H(jc)|dB = |H(j0)|dB dB (4.27)

On introduit aussi le facteur de resonance (ou coefficient de resonance ou pic de resonance) Mp:

Mp = 20Log10|H(jr)|

H(j0) Mp =

1

2

1 2 (4.28)

Ces caracteristiques sont definies sur la figure suivante:


60/112

Diagramme de bode

Frquences (rad/sec)

10-1

100

101

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

2530

Amplitude(dB)

c

Mp

-3dB

Figure 4.9: Bande passante et pic de resonance

4.6.2 Caracteristiques dun second ordre dans le plan de Nyquist

La partie reelle est definie par :

R() =1 22n

1 22n2

+

2 n

2 (4.29)

alors que la partie imaginaire est :

I() =2 n

1 22n2

+

2 n

2 (4.30)

Pour > 0, la partie imaginaire est toujours negative alors que la partie reelle changede signe et devient negative pour c = n. Cette pulsation est la pulsation de cassureassociee au second ordre.La courbe appartient donc au demi-plan inferieur. Aux hautes frequences, lanalyseasymptotique montre que la phase tend vers . Pour differentes valeurs de lamortissemen et pour n = 1, les traces dans le plan de Nyquist sont representes a la figure . Il esta remarquer que MATLAB donne le diagramme de Nyquist complet avec le symetrique

par rapport a laxe ox pour les pulsations negatives.Lavantage dune telle representation est quelle decrit de maniere graphique les caracteristiques frequentielles du systeme sur lensemble du domaine de variation des pulsationsdentree.Linconvenient est quelle nest pas adaptee a la representation de lieux de transfert formespar des produits de lieux elementaires connus G(j) = G1(j)G2(j).


61/112

Figure 4.10: Deuxieme ordre dans le plan de Nyquist pour variant et n = 1

4.6.3 Caracteristiques dun second ordre dans le plan de Nichols-

Black

Nous retrouvons des caracteristiques identiques que pour le trace dans le plan de Bode.La courbe dun ordre 2 dans le plan de Nichols-Black admet donc toujours une asymptoteverticale en -180 deg. aux hautes frequences.

Figure 4.11: Lieux de transfert de 1/(1 + 0.02p +p2)


62/112

Figure 4.12: Lieux de transfert pour variant et n = 1


63/112

Chapter 5

Stabilite des systemes continus

lineaires

5.1 Introduction

La notion de stabilite est fondamentale dans le developpement des systemes de commandeet particulierement pour les architectures de commande a contre-reaction comme il seravu dans les chapitres suivants. En effet, en labsence de cette propriete qualitative, au-cun systeme nest utilisable en pratique. Ce concept dont chacun a une comprehensionintuitive savere delicat a definir de maniere uniforme dans sa generalite. Toutefois, il estpossible de definir la notion de stabilite comme la necessite pour le systeme de produireune reponse bornee a des entrees bornees ou a des etats initiaux non nuls.

5.2 Definition

Lutilisation de la description entree-sortie des systemes dynamiques permet de posernaturellement le probleme de la definition de la stabilite en les memes termes. Cela conduita definir la notion de stabilite entree-sortie bornees, plus communement denommee stabilite BIBO (Bounded Input Bounded Output) suivant lacronyme anglais.Definition:Un systeme au repos (conditions initiales nulles) est stable au sens BIBO si et seulementsi pour toute entree u bornee la sortie y est bornee.

5.3 Critere de stabiliteLa fonction de transfert dun systeme peut etre factorisee sous la forme:

G(p) =KM

i=1(p zi)pN

Qk=1(p pk)

Rj=1(p

2 2jp + (2j + 2j ))(5.1)

63


64/112

ou N est le nombre dintegrations, Q le nombre de poles reels et R le nombre de paires depoles complexes conjugues. En supposant que N = 0 alors dans la reponse impulsionnelle,

apres decomposition en elements simples, on trouve les termes suivants:

Chaque racine reelle pi de multiplicite mi donne une reponse :

y1 =

mii=1

iti1epit

chaque paire complexe conjuguee (pj , pj de multiplicite mj donne une reponse :

y2 =

mjj=1

jtj1ejt cos(jt) + jtj1ejt sin(jt)

ou:j = (pj) et j = (pj)

La reponse impulsionnelle du systeme est donc:

y(t) = y1 + y2

Il est donc aise de voir que cette reponse sera bornee si tous les poles sont a partie reellenegative.Theoreme:Un systeme de fonction de transfert G(p) est stable si et seulement si tous les poles deG(p) appartiennent au demi-plan complexe gauche, i.e. tous les poles sont a partiereelle negative. Le demi-plan gauche est appele la region de stabilite.

5.4 Critere algebrique de Routh-Hurwitz

On suppose que le systeme est represente par un modele de fonction de transfert G(p) =N(p)D(p) . Les polynomes N(p) et D(p) sont premiers entre eux. Il nont donc pas de de poles

et de zeros en communs.Le critere de Routh-Hurwitz est un algorithme permettant de decider si un polynomedordre quelconque a des racines a partie reelle positive. La methode consiste a construireun tableau forme a partir des coefficients de lequation caracteristique D(p) = 0.

D(p) = anpn + an1pn1 + ... + a1p + a0 = 0 (5.2)

Procedure

1. Ecrire le polynome D(p) sous la forme precedente (hypothese a0 = 0).2. Si un des coefficients est nul ou negatif alors quun autre coefficient au moins est

positif, il existe une racine ou des racines imaginaires ou nulle ou a partie reellepositive.


65/112

Figure 5.1: Table de Routh

3. Si tous les coefficients sont positifs (ou de meme signe), on calcule le tableau deRouth suivant,

4. Appliquer le critere de Routh-Hurwitz.Theoreme:Le nombre de racines du polynome dont la partie reelle est positive est egal au nombrede changements de signes des coefficients de la premiere colonne du tableau de Routh.Le systeme est donc stable si et seulement si tous les coefficients de la premiere colonnesont positifs.Remarques:

1. Le nombre de racines du polynome caracteristique a partie reelle negative est egalau nombre de changement de signes dans la premiere colonne.

2. Un zero dans la premiere colonne indique une racine imaginaire purej . Afin decompleter le tableau, on le remplace alors par > 0 0 et on continue la construction

du tableau. Si lelement au dessous de est positif, il existe une racine a partiereelle nulle. Si lelement au dessous de est negatif, il y a changement de signe etdonc il existe une racine a partie reelle positive.

3. Une ligne complete de zeros indique que le polynome caracteristique peut etre fac-toris e de telle maniere a faire apparatre un facteur dordre pair dont les racines


66/112

sont symetriques par rapport a 0. La ligne au dessus de cette ligne nulle contientles coefficients du polynome alors que les lignes au dessous testent ce polynome.

Exemple:Soit le polynome caracteristique,

D(p) = a3p3 + a2p

2 + a1p + a0 = 0

Le tableau de Routh est construit comme,

Figure 5.2: Table de Routh dun trosieme ordre

Une condition necessaire et suffisante de stabilite devient alors,a2a1 > a3a0Exemple:

Soit le polynome caracteristique,D(p) = p5 + 2p4 + 3p3 + 6p2 + 5p + 3 = 0

Le tableau de Routh est construit comme,Le nombre de changements de signe dans la premiere colonne est 2 quel que soit le signede . Il y a donc deux racines a partie reelle positive.Exemple:Soit le polynome caracteristique,

D(p) = p5 + 7p4 + 6p3 + 42p2 + 8p + 56 = 0

Le tableau de Routh secrit :La troisieme ligne indique que le polynome caracteristique est divisible par le polynome7p4+

42p2 + 56 = (p2 +2)(p2 + 4). Il ya donc 4 racines a partie reelle nulle 2 et 2. Margede stabilite absolueCette notion trouve son intetret essentiellement dans la mise en uvre du critere de Routh.On forme le polynome caracteristique D(p) = D(p ) = 0:

D(p) = an(p )n + an1(p )n1 + ... + a1(p ) + a0 = 0


67/112

Figure 5.3: Table de Routh dun systeme dordre 5

Figure 5.4: Table de Routh comportant une ligne de zeros

avec > 0, la condition, parties reelles des racines de D(p) = 0 negatives, impliquera lacondition, parties reelles des racines de D(p) = 0 inferieures a (). La plus grande valeurde satisfaisant cette condition sappelle Marge de stabilite absolue, la verificationdu critere de Routh par D(p) implique alors:

i, D(i) = 0 (i) < (5.3)

5.5 Critere graphique frequentiel de stabilite

5.5.1 Introduction

Soit le systeme asservi a retour unitaire suivant:On rappelle que:

T(p) =G(p)K(p)

1 + G(p)K(p)(5.4)


68/112

Figure 5.5: Schema bloc classique

Lequation caracteristique regissant la stabilite en boucle fermee secrit,

1 + G(p)K(p) = 0 (5.5)

Nous rappelons que le systeme est stable asymptotiquement en boucle fermee si et seule-ment si ce polynome caracteristique a des racines a partie reelle strictement negative. Onsouhaite toutefois decider de la stabilite de la boucle fermee sans avoir a calculer explicite-ment le polynome caracteristique en boucle fermee et ses racines. Le critere de Nyquistest un critere graphique qui permet de conclure quant a la stabilite de la boucle fermeepar la seule connaissance de la boucle ouverte.

5.5.2 Le critere de Nyquist

Le critere de stabilite de Nyquist est un critere graphique frequentiel de stabilite fondesur le trace du lieu de transfert en boucle ouverte dans le plan de Nyquist.Critere du reversSi le systeme en boucle ouverte est stable et a minimum de phase (poles et zeros a partiereelle strictement negative) alors le systeme en boucle fermee est stable asymptotique-ment si et seulement si le point critique (-1,0) est laisse a gauche quand on parcourt lelieu de transfert de la boucle ouverte dans le plan de Nyquist dans le sens des croissants.

5.5.3 Critere du revers dans Nichols-Black

Critere du revers dans BlackSi le systeme en boucle ouverte est stable et a minimum de phase (poles et zeros a partiereelle strictement negative) alors le systeme en boucle fermee est stable asymptotiquementsi et seulement si le point critique (180, 0) est laisse a droite quand on parcourt le lieude transfert de la boucle ouverte dans le plan de Nyquist dans le sens des croissants.


69/112

Stable Instable

Figure 5.6: Critere du revers dans Nyquist : systemes stable et instable

StableInstable

Figure 5.7: Critere du revers dans Nichols-Black : systemes stable et instable

5.5.4 Analyse frequentielle des systemes boucles a partir de la

boucle ouverte

Stabilite relative

Dans lanalyse qualitative que lon peut faire dun systeme boucle, la stabilite absoluetelle quelle peut etre attestee par le critere de Nyquist nest pas lunique indice pertinent.La maniere dont un systeme est stable est egalement primordiale et conduit a letude de

la stabilite relative du systeme boucle. Dans le domaine temporel, cette notion est relieeaux parametres tels que le depassement maximal et lamortissement. Dans le domainefrequentiel, le pic de resonance Mr peut egalement servir a cet effet. Un autre moyen demesurer le degre de stabilite relative dans le domaine frequentiel consiste a mesurer ladistance du lieu de transfert en boucle ouverte au point critique defini comme le pointdaffixe (-1, j0) dans le plan de Nyquist. Cette distance peut etre mesuree dans deux di-


70/112

rections differentes donnant lieu a la definition de la marge de phase et de la marge de gain.

Marge de phase et marge de gain

Definition: marge de phaseLa marge de phase est definie par :

M = Arg[G(jc0)K(jc0)] + (5.6)

ou omegac0 est la pulsation de coupure a 0dB de la fonction de transfert en boucle ouverte:

G(jc0)K(jc0)dB = 0 (5.7)

Definition: marge de phaseLa marge de gain est definie par :

Kg = Mg = 20log10|G(j)K(j)| (5.8)

ou omega est la pulsation pour laquelle la phase de la boucle ouverte vaut :

Arg[G(j)K(j)] = (5.9)

Ces indicateurs sont representes graphiquement dans les differents plans.

Figure 5.8: Marges de gain et de phase dans les plans de Nyquist et de Nichols-Black

=

180.

Pulsation de resonance et pic de resonance


71/112

Figure 5.9: Marges de gain et de phase dans le plan de Bode

Ces deux parametres caracterisent la fonction de transfert du systeme en boucle fermee:

T(p) =G(p)K(p)

1 + G(p)K(p)

Definition: Pulsation de resonanceLa pulsation de resonance est la pulsation r telle que:

20Log10|T(jr| = Tmax (5.10)

est maximal.

Definition: Pic de resonanceIl est defini par:

Mp = 20Log10|T(jr||T(j0| (5.11)

Ce coefficient est egalement appele coefficient de resonance ou coefficient de surtension.


72/112


73/112

Chapter 6

Precision des systemes asservis

6.1 Introduction

Considerons le systeme dont le schema bloc fait apparatre une entre et une perturbation.

P(p)

-Ec(p) (p) + S(p)

+

-Sm(p)

G1(p)

G3(p)

G2(p)

Figure 6.1: Mise en evidence de lerreur

Par definition, le systeme sera dautant plus precis que son signal decart ou derreur (p)est faible.

73


74/112

Le calcul montre que lecart est donne par:

(p) = 11 + G1(p)G2(p)G3(p)

Ec(p) G2(p)G3(p)1 + G1(p)G2(p)G3(p)

P(p) (6.1)

Nous supposerons dans letude qui suit que les systemes asservis etudies sont stables.Cest a dire les racines de lequation caracteristique 1 + G1(p)G2(p)G3(p) = 0 sont aparties relle negative.

6.2 Definitions

Nous distinguerons:

1. La precision dynamique qui tient compte des caracteristiques devolution du pro-cessus en regime transitoire.

(t) = ec(t) sm(t) (6.2)2. La precision statique qui cracterise la limite de lerreur au bout dun temps infini

pour une entree donnee, cest a dire le regime permanent.

() = limt (t) = limp0

p(p) (6.3)

Dans la suite, on sinteresse a lecart statique du a la consigne.(p(t) = 0)

6.3 Classe dun systeme

La fonction de transfert en boucle ouverte, G(p) = G1(p)G2(p)G3(p), peut etre mise sous

la forme:G(p) =

Kp

1 + b1p + ... + bmpm

1 + a1p + ... + anpn(6.4)

est le nombre dintegrations dans la fonction de transfert en boucle ouverte. Cest laclasse du systeme.

= 1: le systeme est de classe 1 = 2: le systeme est de classe 2

Lexpression de lerreur devient,

(p) =1

1 + Kp1+b1p+...+bmpm

1+a1p+...+anpn

Ec(p) (6.5)

Donc, lerreur statique est equvalente a:

() = limp0

p(p) = limp0

pEc(p)

1 + Kp(6.6)

Elle ne depend que de la classe du systeme et de la consigne .


75/112

6.4 Precision statique

En pratique, on sinteresse essentiellement aux erreurs en position, en vitesse ou enacceleration, il vient:

. Echelon de position,Ec(p) =1p

= 0, () = 11+K

1, () = 0

. Echelon de vitesse,Ec(p) =1p2

= 0, () =

= 1, () = 1K

2, () = 0

. Echelon dcceleration,Ec(p) =1p3

= 0, () =

= 1, () =

= 2, () = 1K

3, () = 0

Les resultats obtenus sont resumes dans le tableau suivant:On constate plus generalement que si le systeme en boucle ouverte possede poles alorigine, lerreur permanente pour une erreur fonction polynomiale de degre 1 dutemps est nulle et lerreur pour une entree polynomiale de degre decrot si le gain

statique du systeme en boucle ouverte crot (sans destabiliser le processus).


76/112

Classe

Consigne

0 1 2 3

Position

Ec(p)=1 /p 1/(1+K) 0 0 0

Vitesse

Ec(p)=1 /p2

1/K 0 0

Acclration

Ec(p)=1 /p3 1/K 0

Figure 6.2: Erreurs statiques pour un systeme continu


77/112

Chapter 7

Analyse par le lieu des racines

des systemes boucles

7.1 Introduction

Les caracteristisques fondamentales de la reponse transitoire dun systeme boucle dependentessentiellement de la localisation des poles en boucle fermee dans le demi-plan complexegauche, cest-a-dire des racines du polynome caracteristique en boucle fermee. Si lon con-sidere lasservissement classique monovariable suivant:

Figure 7.1: Schema bloc classique

Les fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermee secrivent :

HBO(p) = KG(p)

HBF(p) =KG(p)

1 + KG(p)(7.1)

77


78/112

Lequation caracteristique en boucle fermee est donnee par :

1 + KG(p) = 0 (7.2)

dont les racines sont les poles en boucle fermee. Quand le gain de la boucle varie, lalocalisation des poles en boucle fermee varie egalement. Il est donc important de connatrela variation de ces racines (poles en boucle fermee) en fonction de la variation de K. Ilest en effet generalement difficile de calculer explicitement les racines en boucle fermeepour des polynomes caracteristiques de degre eleve. Du point de vue de la synthese dunsysteme de commande a action correctrice, il est egalement interessant de savoir commentselectionner le gain de boucle afin dimposer une localisation des poles en boucle fermeesatisfaisante et par consequent une dynamique adequate pour le regime transitoire. W.R.Evans a developpe une methode graphique en 1948, permettant devaluer la localisationdes poles en boucle fermee dans le plan complexe quand K varie de 0 a + a partir dela connaissance des poles et des zeros en boucle ouverte : cest la methode du lieu des

racines ou du lieu dEvans.

7.2 Definition

A partir de lequation caracteristique, on exprime une egalite complexe,

KG(p) = 1 (7.3)qui peut etre scindee en deux egalites reelles.

Condition des angles :

Arg[KG(p)] = 180(2 + 1) ( = 0, 1, 2,....) (7.4) Condition damplitude

|KG(p)| = 1 (7.5)

RemarqueLes valeurs de p telles que les deux conditions sont verifiees, sont les racines de lequationcaracteristique donc les poles en boucle fermee.DefinitionLe lieu des racines ou lieu dEvans est le lieu constitue par les poles en boucle fermeequand le gain de boucle K varie.On rappelle que la fonction G(p) peut etre factorisee de la facon suivante:

G(p) =(p + z1)(p + z2)...(p + zm)

(p +p1)(p +p2)...(p +pn) (7.6)

On rappelle que pour une fonction de transfert :

G(p) =(p + z1)

(p +p1)(p +p2)(p +p3)(p +p4)(7.7)


79/112

alors:

Arg[KG(p)] = 1 + 1 + 2 + 3 + 4

|KG(p)| = KB1A1A2A3A4

(7.8)

Figure 7.2: Mesure des angles et des amplitudes

7.3 Regles generales de construction

Les regles generales de construction du lieu des racines sont donnees sous forme generalepuis sont illustrees a laide de deux exemples. Pour cela, nous reprenons le schemadasservissement initial.

Etape 1: factorisation de lequation caracteristique.

Lequation caracteristique est toujours factorisee sous la forme :

1 + KG(p) = 1 + K(p + z1)(p + z2)...(p + zm)

(p +p1)(p +p2)...(p +pn)= 0 (7.9)

Etape 2: localisation des poles et des zeros de la boucle ouverte dans le plan com-plexe.

Les poles et les zeros de la boucle ouverte sont representes dans le plan complexe parune croix et un cercle respectivement. Les poles sont les points de depart (K 0)alors que les zeros sont les points darrivee du lieu (K ).

limK0

K[(p + z1)(p + z2)...(p + zm)] + [(p +p1)(p +p2)...(p +pn)] (7.10)


80/112

Les points de depart du lieu des racines en boucle fermee sont donc bien les polesen boucle ouverte.

limK

K[(p + z1)(p + z2)...(p + zm)] + [(p +p1)(p +p2)...(p +pn)] (7.11)

Les points darrivee du lieu des racines en boucle fermee sont donc bien les zeros enboucle ouverte.

Etape 3: Nomres de branches.

il y a autant de branches au lieu des racines quil y a de p oles en boucle fermee.Si ce nombre est egal au nombre de poles en boucle ouverte, n (ce qui est le cas engeneral) et que le nombre de zeros en boucle ouverte est egal a m alors le lieu estconstitue de n m branches infinies et de m branches finies.Exemples:

Ex. 1:

G1(p) =1

p(p + 1)(p + 2)(7.12)

3 poles en boucle ouverte et en boucle fermee, 0, 1, 2 et pas de zeros. Lepolynome caracteristique est de degre 3. Il y aura donc trois branches infinies.

Ex. 1:

G2(p) =(p + 2

p2 + 2p + 3(7.13)

En factorisant:

G2(p) =(p + 2

(p + 1

j

2)(p + 1 +j

2)(7.14)

Il y a deux poles en boucle ouverte, 1j2. Il y a un zero, 2. Le polynomecaracteristique est de degre 2. Il y aura donc 1 branche finie et une brancheinfinie.

Etape 4: determiner le lieu des racines appartenant a laxe reel.

Les portions du lieu des racines appartenant a laxe reel sont entierement determineespar les poles et zeros appartenant a laxe reel.Pour chaque portion de laxe reel a tester, prendre un point test. Si le nombre totalde poles et de zeros reels a droite de ce point test est impair alors ce point appar-tient au lieu des racines. Les poles et zeros reels doivent etre comptabilises avec leurmultiplicite.

Exemple 1 : les segments ]-8 , - 2] et [-1 , 0] appartiennent au lieu des racines.Exemple 2 : le segment ]-8 , - 2] appartient au lieu des racines.

Etape 5: determiner les asymptotes au lieu des racines.

Si le lieu des racines a des asymptotes alors,


81/112

toutes les asymptotes ont un point dintersection commun situe sur laxe reelen :

a =

ni=1 poles

mj=1 zeros

n m (7.15)

Les poles et zeros sont calcules en boucle ouverte.

Langle des asymptotes avec laxe reel est donne par:

a180(2 + 1)

n m ( = 0, 1, 2,....) (7.16)

Remarques:

Les asymptotes indiquent le comportement pour p 1. Une branche du lieu peut ou non traverser lasymptote correspondante.

Exemple 1 : puisque n m = 3, il y a necessairement 3 branches infinies. Leurpoint dintersection sur laxe reel est donne par:

a =

ni=1 poles

n m = 1

alors que langle avec laxe reel est donne par:

a = 60(2 + 1)

Exemple 1 : on a n m = 1, dou lon a une seule direction infinie qui fait un angleavec laxe reel donne par:a = 180

Etape 6: determiner les points de depart et darrivee sur laxe reel ainsi que lespoints de rencontre et declatement.

Ces points specifiques appartiennent a laxe reel ou existent sous la forme dunepaire de poles complexes conjugues. Si le segment entre deux poles (respectivementdeux zeros) appartient au lieu des racines, il existe au moins un point declatement(respectivement de rencontre).La determination de ces points se fait par la resolution de lequation polynomialesuivante. On suppose que le polynome caracteristique secrit,

B(p) + KA(p) = 0 (7.17)

alors, on recherche les racines de lequation :

dK

dp= B

(p)A(p) A(p)B(p)A2(p)

= 0 (7.18)


82/112

Remarques:

Les points declatement ou de rencontre sont des racines multiples de lequationcaracteristique en boucle fermee et sont donc a tangente verticale sur laxe reel.

Tous ces points verifient la condition precedente mais toutes les solutions decette equation ne sont pas necessairement des points de rencontre ou declatement.

La methode consiste donc a suivre les etapes suivantes :

1. Calculer lequation algebrique

2. Determiner les racines reelles et complexes de cette equation.

3. Verifier que les solutions precedentes appartiennent au lieu des racines. Siles racines sont reelles, cette verification est simplement graphique. Dans lecas complexe, on determine la valeur de K correspondante par resolution delequation caracteristique. Si K > 0, ce point appartient au lieu des racines.

Exemple 1 : lequation caracteristique secrit,

1 +K

p(p + 1)(p + 2)

dou K = p3 3p2 2p, on obtient donc,dK

dp= 3p2 6p 2 = 0

Les deux racines de ce trinome du second degre sont reelles et valent -1.5774 et-0.4226. La premiere nappartient pas au lieu alors que la seconde est un point dulieu.Exemple 2 : lequation caracteristique secrit,

K =p2 + 2p + 3

p + 2

dou,dK

dp= 2(p + 1)(p + 2) (p

2 + 2p + 3

(p + 2)2= 0

On a donc encore deux solutions -0.2679 et -3.7321 telles que la premiere nappartientpas alors que la seconde appartient au lieu des racines.

Etape 7: determiner les points dintersection avec laxe imaginaire.

Il suffit de resoudre lequation caracteristique en boucle fermee avec p = j:

1 + KG(j) = 0 (7.19)


83/112

Les solutions possibles sont donnees pour > 0 et K > 0.Exemple 1 : on a

Kj3 32 + 2j = 0Cette equation complexe se decompose en deux equations reelles,

K 32 = 0 K = 6(2 2) = 0 = 0 ou =

2 (7.20)

On a donc une intersection pour ( = 0, K = 0) et( =

2, K = 6).Exemple 2 : on a

K(2 +j) + (2 + 2j + 3) = 0 (7.21)Cela resulte en,

2K 3 2

= 0 K =

2

3

2(2 + K) = 0 = 0 ou =

2 (7.22)

Les solutions de ces equations algebriques ne sont pas admissibles puisque le gainK est negatif. Il ny a donc pas dintersection avec laxe imaginaire.

Etape 8: determiner les angles de depart dun pole complexe et darrivee dun zerocomplexe

Langle de depart dun pole complexe est calcule par,

= 180 i

i +j

j (7.23)

Langle darrivee dun zero complexe est calcule par,

= 180 i

i +j

j (7.24)

ou les angles et sont calcules comme a la figure suivante:

Etape 9: Exemple 1 :

Exemple 1 :


84/112

Figure 7.3: calcul des angles de depart

Lieu des racines

Axe des rels

Axedesimaginaires

-4 -2 0 2-4

-2

0

2

4

Figure 7.4: Lieu des rcines de1

p3+3p2+2p


85/112

Lieu des racines

Axe des rels

Axedesimaginaires

-4 -3 -2 -1 0-2

-1

mon cour automatique

Documents

Transcript of mon cour automatique