Modelación matemática de fluidos newtonianos

Mathematical modeling of Newtonian fluids

Carlos A. Pachón Zambrano1, Lina X. Parrado Muñoz2, Paola A. Roa Osorio3

Y Francisco J. Polanía Barragán4

Resumen

A diario se ve expresada la necesidad de constituir estudios y aproximaciones del comportamiento de fluidos, pues son parte fundamental del desarrollo humano, y están de manera continua involucrados con procesos y máquinas industriales, siendo estas sustancias la base de la mecánica de fluidos. A consecuencia de ello, el área más involucrada con el modelamiento de los fluidos es la ingeniería, pues es misión del ingeniero brindar soluciones factibles a problemas ingenieriles que se le presentan a diario. Cada problema presenta su complejidad, que hace necesaria una investigación a fondo sobre el tema; que arroja una técnica física o matemática para su estudio. A este proceso de abstracción se le conoce como modelación, que implica simular un fenómeno real, conceptualizándolo y simplificándolo en mayor o menor medida, para luego describirlo y cuantificarlo. Se recopiló información sobre la modelación matemática de los fluidos newtonianos, donde la relación entre esfuerzo o tensión de corte contra su gradiente de velocidad o velocidad de deformación es lineal, y la constante de proporcionalidad entre estos factores recibe el nombre de viscosidad; sustentada bibliográficamente, buscando vislumbrar la actualidad de aquellos modelamiento ya establecidos, bajo qué condiciones se han postulado, hacia donde se dirige la investigación y que se esperara de ello.

Palabras claves: Modelamiento matemático; mecánica de fluidos; fluidos newtonianos; ley de la viscosidad de newton; esfuerzo; tensión de corte; gradiente de velocidad.

Abstract

The need to create studies and approximations of the behavior of fluids is expressed on a daily basis, considering that they are a fundamental part of human development and are continuously involved in industrial processes, being these substances the base of fluid mechanics. As a consequence, the area that is mostly involved with the modeling of the fluids is engineering, since the mission of an engineer is to provide practical solutions to the engineering problems that might arise in everyday life. Each problem has its complexity, making it necessary to do a thorough investigation on the subject that concludes in the generation of a new physical or mathematical technique of study. This process is known as modeling and it implies the simulation of a real phenomenon, conceptualizing and simplifying it to be able to describe it and quantify it. Information and data of mathematical modeling of Newtonian Fluids was gathered, where the relation between strain or shear stress against the velocity gradient is linear and the constant of proportionality intervening in these factors is called viscosity. Bibliographically supported, seeking to

1 Estudiante Ingeniería de Petróleos. Universidad Surcolombiana - Neiva. Av. Pastrana – Carrera 1. U20131116269@usco.edu.co2 Estudiante Ingeniería Agrícola. Universidad Surcolombiana - Neiva. Av. Pastrana – Carrera 1. U20142131808@usco.edu.co3 Estudiante Ingeniería de Petróleos. Universidad Surcolombiana - Neiva. Av. Pastrana – Carrera 1. U20131115573@usco.edu.co4 Estudiante Ingeniería de Petróleos. Universidad Surcolombiana - Neiva. Av. Pastrana – Carrera 1. U20131115656@usco.edu.co

catch a glimpse of the contemporaneity of those already established modelings, under what conditions they have been postulated, the direction of the research and what is to expect from it.

Keywords: mathematical modeling; fluid mechanics; Newtonian fluids; viscosity law of Newton; strain; shear stress; velocity gradient.

1. Introducción:

El estudio de la mecánica de fluidos, conocida como la física del medio continuo, cuando el fluido presenta una variación pequeña o suave de sus propiedades, está enfocado en dos ejes centrales, en dos teorías: La primera es la elasticidad, siendo esta la propiedad que posee un cuerpo de cambiar de forma cuando se ejerce una fuerza deformadora sobre él y de regresar a su forma original; la segunda corresponde a la hidrodinámica, que estudia a los fluidos ya sean líquidos o gases cuando tienen un desplazamiento; siendo un poco más concisos, estas dos postulaciones son una extensión de las Leyes de Newton.

La ingeniería de mecánica de fluidos se ha desarrollado mediante entendimiento de las propiedades de los fluidos, la aplicación de las leyes básicas de la mecánica y termodinámica y por experimentación ordenada. Se destacan propiedades como la densidad y viscosidad que intervienen en el flujo en canal abierto y cerrado y en el flujo a través de objetos sumergidos. De igual forma, la tensión superficial es importante en el flujo de pequeños chorros y en situaciones donde ocurren interfaces de líquido-gas-sólido o líquido-líquido-sólido, y la presión de vapor, a la que se le atribuyen los cambios de fase de líquido a gas, es importante cuando se trata de presiones reducidas.

Al centralizarse en los fluidos, es decir, sustancias que se adaptan a la forma de los recipientes que los contienen, encontramos diversas clasificaciones por sus características y propiedades, empezando con la diferencia entre los gases y líquidos, pues lo primeros son comprensibles y los líquidos no lo son, los líquidos ocupan un volumen definido y tienen superficies libres, mientras tanto un gas al poseer bajas fuerzas de atracción intermolecular se dispersa o expande y ocupa todas las partes del recipiente que lo contenga.

Es latente la necesidad de predecir comportamientos de los distintos fluidos que a diario hacen parte de nuestra vida y que han sido por largos años objeto de estudio inminente y muy profundo. Es posible establecer un análisis bibliográfico y de gran magnitud, que permita vislumbrar la actualidad de aquellos modelamientos, que se han establecido y bajo qué condiciones, hacia dónde se dirige la investigación y qué se esperará de ello, este proceso, fundamentalmente para Fluidos Newtonianos se desarrollará a continuación. Los principios en que se basa este procedimiento de modelación para los fluidos incluyen las teorías de similitud hidráulica, el análisis de las relaciones básicas de las diversas cantidades físicas incluidas en el movimiento y la acción dinámica del fluido denominada análisis dimensional, es decir; que la modelación hidráulica, son métodos que se dan como resultado de experimentos realizados en modelos a escala reducida, permitiendo la predicción de la conducta de una estructura o prototipo.

2. Desarrollo

PROPIEDADES FÍSICAS DE LOS FLUIDOS

La solución de cualquier problema de flujo de fluidos requiere un conocimiento previo de las propiedades físicas del fluido en cuestión. Valores exactos de las propiedades de los fluidos que afectan a su flujo, principalmente la viscosidad y el peso específico, han sido establecidos por muchas autoridades en la materia para todos los fluidos utilizados normalmente y muchos de estos datos por modelación y generalización se encuentran estipulados en distintas tablas, encontradas en la literatura especifica. Seguidamente son mencionadas algunas de las principales propiedades.

Viscosidad

Expresa la facilidad que tiene un fluido para fluir cuando se le aplica una fuerza externa. El coeficiente de viscosidad absoluta, o simplemente la viscosidad absoluta de un fluido, es una medida de su resistencia al deslizamiento o a sufrir deformaciones internas. La melaza es un fluido muy viscoso en comparación con el agua; a su vez, los gases son menos viscosos en comparación con el agua. Se puede predecir la viscosidad de la mayor parte de los fluidos; en algunos la viscosidad depende del trabajo que se haya realizado sobre ellos.

Densidad

La densidad de una sustancia es su masa por unidad de volumen. La unidad de densidad en el SI es el kilogramo por metro cúbico y se denota por ρ (Rho) (libras por pie cúbico).

Peso específico (o densidad relativa) Es una medida relativa de la densidad. Como la presión tiene un efecto insignificante sobre la densidad de los líquidos, la temperatura es la única variable que debe ser tenida en cuenta al sentar las bases para el peso específico. La densidad relativa de un líquido es la relación de su densidad a cierta temperatura, con respecto al agua a una temperatura normalizada.

Isotropía por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones. La movilidad, por cuanto carecen de forma propia, por lo que se amoldan a la del recipiente que los contiene; a un esfuerzo infinitamente pequeño le corresponde una deformación infinitamente grande.

Compresibilidad

Según la cual, para cualquier esfuerzo a que se someta al fluido, su volumen prácticamente no varía. Así, para el caso del agua, por cada Kg/cm2 que aumente su presión, se comprime 1/20.000 de su volumen. Para los fluidos compresibles, el volumen específico será función de la presión y de la temperatura, siendo complicadas las expresiones que ligan estas variables.

FLUIDOS NEWTONIANOS Y NO NEWTONIANOS

El estudio de la deformación y las características del flujo de las sustancias se denomina reología, que es el campo que estudia la viscosidad de los fluidos. Es importante saber si un fluido es newtoniano o no newtoniano. A cualquier fluido que se comporte de acuerdo con la ecuación:

τ=η( ∆ v∆ y )

Dónde:τ= Esfuerzo cortante.η= Viscosidad dinámica del fluido o absoluta.∆ v∆ y =Gradiente de velocidad, tasa cortante.

Se le llama fluido newtoniano. La viscosidad η solo es función de la condición del fluido, en particular de su temperatura. La magnitud del gradiente de velocidad ∆v/∆y no tiene ningún efecto sobre la magnitud. A los fluidos más comunes como el agua, aceite, gasolina, alcohol, keroseno, benceno y glicerina, se les clasifica como newtoniano. A la inversa, a un fluido que no se comporte de acuerdo con la ecuación anterior se le denomina fluido no newtoniano. En la figura 2. Se muestra la diferencia entre ambos. La viscosidad del fluido no newtoniano depende del gradiente de velocidad, además de la condición del fluido. La viscosidad de diferentes fluidos se define más a fondo de la siguiente forma: una capa delgada de fluido se coloca entre dos placas planas. Una placa es estacionaria y la otra está hecha para moverse. El fluido directamente en contacto con cada placa se mantiene en la superficie mediante la fuerza adhesiva entre las moléculas del líquido y las de la placa. En consecuencia, la superficie superior del fluido se mueve con la misma rapidez v que la placa superior, mientras que el fluido en contacto con la placa estacionaria permanece estacionario. La capa de fluido estacionaria retarda el flujo de la capa justo sobre ella, lo que a su vez retarda el flujo de la capa siguiente, y así sucesivamente. En consecuencia, la velocidad, dividida por la distancia sobre la que se realiza este cambio se llama gradiente de velocidad. Para un fluido determinado, se encuentra que la fuerza requerida, F, es proporcional al área de fluido en contacto con cada placa, A, y a la rapidez, v, y es inversamente proporcional a la separación ∆y de las placas.

τ= FA

Figura 1. Determinación de la viscosidad.

∆y

F

Gradiente de velocidadFluido

Placa estacionaria

Placa en movimiento v

La pendiente de la curva del esfuerzo cortante versus el gradiente de velocidad es una medida de la viscosidad aparente del fluido. Entre más pronunciada es la pendiente, mayor es la viscosidad aparente. Debido a que los fluidos newtonianos tienen una relación lineal entre el esfuerzo cortante y el gradiente de velocidad, la pendiente es constante y, por tanto, la viscosidad es constante también.En un fluido newtoniano la relación entre esfuerzo o tensión de corte contra su gradiente de velocidad o velocidad de deformación es lineal, y la constante de proporcionalidad entre estos factores recibe el nombre de viscosidad, pero en un fluido viscoso la viscosidad puede considerarse constante en el tiempo y por lo tanto solo dependerá de la temperatura. Se identifica en la figura 2. La forma de estos fluidos y la diferencia.

Lo anterior se demuestra mediante la relación de Arrhenius, que es una expresión matemática que se utiliza para comprobar la dependencia de la viscosidad con respecto a la temperatura, es decir, que la

Figura 3. Comportamiento de algunos fluidos.

Figura 2. Comparación de algunos fluidos.

viscosidad es inversamente proporcional al aumento de la temperatura. La relación de Arrhenius es empírica y está definida como:

Dónde:

µ: es la viscosidad del fluido µo: viscosidad estándar a temperatura ambiente Ea: es energía de activación, expresada en J/mol. R: constante universal de los gases. Su valor es 8,3143 J·K-1·mol-1

T: temperatura absoluta [K]

Ya después de saber la dependencia de la viscosidad, se facilita abordar y profundizar este tema con La ley de viscosidad de newton, ya que rige el comportamiento de los fluidos newtonianos.

LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON

La ley establece que para ciertos fluidos el esfuerzo cortante sobre una interfaz tangente a la dirección de flujo, es proporcional a la tasa de cambio de la velocidad con respecto a la distancia, donde la diferenciación se toma en una dirección normal a la interfaz.

Esto viene expresado por:

σ yx= lim∆ S→0

∆ F x

∆ S y=

dFx

dS y

(Donde ΔSy es el área del elemento de fluido que está en contacto con la lámina móvil.)

La ley de la viscosidad de Newton puede expresarse como

FA

=η Vd

Cuando deseamos calcular el esfuerzo cortante en un fluido, resulta ciertamente deseable formular una expresión de la velocidad de deformación dα/dt en función de magnitudes más fácilmente medibles. Para

eso, consideraremos el desplazamiento lineal Δξ experimentado por la lámina móvil durante el intervalo de tiempo Δt, que vendrá dado por

Δξ=∆ vx ∆ t

Δt es el mismo que habrá experimentado la superficie del elemento de fluido que está en contacto con dicha lámina móvil. Puesto que el ángulo Δα es muy pequeño, también podemos escribir

Δξ=∆ y ∆ α

De modo que igualando ambas expresiones se obtiene

∆ y ∆ α=∆ v x ∆ t −¿⇒ ∆ α

∆t=

∆ vx

∆ y¿

Y tomando límites en ambos miembros de esta igualdad resulta

lim∆t →0

∆ α∆ t

= lim∆ y→ 0

¿∆ v x

∆ y−¿

⇒ dαd t

=d vx

d y¿¿

De modo que la velocidad de deformación del elemento fluido es igual al gradiente transversal de velocidad en el mismo. De acuerdo con este resultado, la ley de viscosidad de Newton se escribe en la forma

σ yx ∞d vx

d y

Ahora con consideraremos una situación algo más general, en la que un fluido viscoso fluye en régimen laminar, de modo que las partículas fluidas se mueven con trayectorias rectilíneas y paralelas.

Los esfuerzos cortantes sobre las caras superior e inferior vendrán expresados por:

σ yx ∞d vx

d y

Esta final es la expresión matemática que pone de manifiesto la ley de newton de la viscosidad.

ECUACION CONSTITUTIVA

Una ecuación constitutiva es una relación entre las variables termodinámicas o mecánicas de un sistema físico: presión, volumen, tensión, deformación, temperatura, densidad, entropía, etc. Cada material o substancia tiene una ecuación constitutiva específica, dicha relación sólo depende de la organización molecular interna.

En esta parte se presentan las relaciones que existen entre los esfuerzos aplicados a una masa de fluido y las deformaciones que sufre.

Los fluidos newtonianos Son aquellos en los que el esfuerzo cortante aplicado es directamente proporcional a la deformación.

Matemáticamente, el rozamiento en un flujo unidimensional de un fluido newtoniano se puede representar por la relación:

τ xy=μ dvdy

Dónde: τ xy Es la tensión tangencial ejercida en un punto del fluido o sobre una superficie sólida en contacto

con el mismo, tiene unidades de tensión o presión ([Pa]). μ es el coeficiente de viscosidad (dinámico), para un fluido newtoniano depende solo de la

temperatura, puede medirse en [Pa·s] o [kp·s/cm2].

dvdy

es el gradiente de velocidad perpendicular al plano en el que estamos calculando la tensión

tangencial [s−1].

Las ecuaciones constitutivas son:

Ecuación de estado que determina la presión termodinámica en función de la densidad (caso puramente mecánico) y la temperatura (θ).

p=p (ρ ,θ)

Por ejemplo aplicada a los gases ideales según la ley:

p=ρRθ

En función del tensor velocidad de deformación:

σ=−p 1+C :d=−p 1+λtr ( d )1+2 μd

Para el caso general del flujo en tres dimensiones:

τ xx=2 μ ∂u∂ x

; τ yy=2 μ ∂v∂ y

; τ zz=2μ ∂ w∂ z

τ xy=τ yx=μ ( ∂u∂ y

+ ∂ v∂ x );τ yz=τ zy=μ( ∂ v

∂ z+ ∂w

∂ y ); τ xz=τ zx=μ( ∂ w∂ x

+ ∂u∂ z )

Utilizando la ecuación tensorial, esta ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

σ ij=−p δij+λ δ ij

∂ uk

∂ xk+μ ( ∂ui

∂ x j+

∂ u j

∂ x i)

σ ij=−p δij+λδ ij Dkk+2 μD ij

Dónde:

p : presión termodinámica . λ :constante de unidades de viscosidad dinámica. μ :viscosidad dinámica . δ ij :delta de kronecker .

FLUIDOS NEWTONIANOS INCOMPRESIBLES

Para el caso de un fluido newtoniano incompresible, el estado de esfuerzos se expresa como:

σ ij=−p δij+2 μ Dij

por lo que :

σ kk=−3 p+2 μ Dkk

Dkk=0

Por lo tanto:σ kk=−3 p

σ H=−p

Dónde:

Dkk :Representa la rapidez del cambio del volumen.

σ ij : tensor de esfuerzos.

Es por tanto que en un fluido viscoso incompresible la presión hidrostática no depende de ninguna cantidad cinemática, y es indeterminada con relación al comportamiento mecánico de éste; por otra parte, para un fluido viscoso incompresible se podrá superponer cualquier presión al fluido sin que esto afecte su comportamiento mecánico. Por consecuencia, la presión resulta indeterminada desde el punto de vista de las ecuaciones constitutivas que caracterizan a un fluido viscoso incompresible. Retomando la ecuación constitutiva

σ ij=−p δij+λ δ ij Dkk+2 μD ij

Y considerando:

Dij=12 ( ∂ v i

∂ xj+

∂ v j

∂ xi)

Se tiene entonces que:

σ ij=−p δij+μ( ∂ v i

∂ xj+

∂ v j

∂ x i)

σ 11=−p+μ( ∂ v1

∂ x1)

σ 22=−p+μ( ∂ v2

∂ x2)

σ 33=−p+μ( ∂ v3

∂ x3)

σ 12=μ (∂ v1

∂ x2+

∂v2

∂ x1)

σ 23=μ ( ∂ v2

∂ x3+

∂ v3

∂ x2)

σ 31=μ (∂ v3

∂ x1+

∂v1

∂ x3)

FLUJO EN TUBOS: ECUACIÓN DE POISEUILLE

Si un fluido no tiene viscosidad puede fluir a través de un tubo o tubería nivelada sin que se le aplique ninguna fuerza. Sin embargo en fluidos reales la viscosidad actúa como una especie de fuerza de fricción, así que es necesaria una diferencia de presión entre los extremos de un tubo a nivel para el flujo estacionario, por lo tanto la tasa de flujo de un fluido en un tubo redondo depende de la viscosidad del fluido, la diferencia de presión y las dimensiones del tubo. El científico inglés J.L. Poiseuille, determinó cómo las variables afectan la tasa de flujo de un fluido incompresible que experimenta flujo laminar en un tubo cilíndrico.

Se supone un cilindro de radio r contenido en otro cilindro de radio R y longitud L.  Sobre el cilindro considerado actúan las siguientes fuerzas:

PresiónF=π rr ∆ P

Viscosidad F=−η dvdr

2 πrL

Igualando las fuerzas se obtiene:

π r2 ∆ P=−η dvdr

2πrL → dvdr

=−∆ P2ηL

r

La diferencia de presiones es lo que hace mover el fluido. Despejando se tiene el perfil parabolico de velocidades

v (r )= ∆ P4 ηL

( R2−r2 )

Para calcular el caudal se utilizó la expresión conocida como Ecuación de Poiseuille

Q=∫0

R

v (r ) dA=∫0

R

v (r ) 2 πr dr= π R4

8ηL∆ P

La ecuación de Poiseuille dice que la tasa de flujo, Q, es directamente proporcional al gradiente de presión ∆P/L y es inversamente proporcional a la viscosidad del fluido. El caudal también depende de la cuarta potencia del radio del tubo, en consecuencia, la tasa de flujo o, alternativamente, la presión requerida para mantener una tasa de flujo dada es afectada de manera considerable por un pequeño cambio en el radio del tubo.

Un ejemplo de la dependencia del flujo volumétrico con el radio es el flujo sanguíneo en el cuerpo humano. La ecuación de Poiseuille solo es válida para el flujo laminar de un fluido incompresible con viscosidad constante 𝜂. Así que no puede ser muy preciso para la sangre cuyo flujo tiene turbulencia, por tanto 𝜂 depende en cierta medida de la rapidez del flujo sanguíneo v. No obstante la ecuación de Poiseuille si brinda una aproximación razonable. El cuerpo controla el flujo de sangre mediante delgadas bandas de musculo que rodean las arterias. La contracción de estos músculos reduce el diámetro de la arteria y, por el término R4 la tasa de flujo se reduce enormemente con un pequeño cambio en el radio. En consecuencia, acciones muy pequeñas de estos músculos pueden controlar de manera precisa el flujo de la sangre hacia diferentes partes del cuerpo.

Esta relacion con el radio y la presión tambien permite estudiar enfermedades como arterioesclerosis y la acumulacion de colesterol, cuando esto ocurre se debe aumentar el gradiente de presión para mantener la misma tasa de flujo. De esta manera, la presion arterial alta es un indicador de que el corazon esta trabajando mas duro y que la tasa de flujo es mas reducida debido a que ni siquiera el aumento de la presion permite mantener la tasa de flujo original bajo esas condiciones.

3. Conclusiones

Los fluidos reales como los líquidos y gases tienen una fuerza de fricción interna entre capas adyacentes de fluido conforme las capas se mueven una sobre otra, dicha fuerza de fricción se llama viscosidad. En los líquidos la viscosidad se debe a las fuerzas eléctricas cohesivas entre las moléculas. En los gases surge de la colisión entre las moléculas.

La viscosidad de un fluido newtoniano depende solo de la temperatura, siendo su relación de tipo inversamente proporcional, lo que se expresa a través de la ecuación de Arrhenius.

Un fluido newtoniano es un líquido cuya viscosidad puede considerarse constante en el tiempo. Estos fluidos son aquellos donde el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la rapidez de deformación. El fluido newtoniano carece de propiedades elásticas, es incompresible y presenta siempre el mismo comportamiento independientemente de su dirección.

Los fluidos newtonianos tienden a deformarse con el escuerzo aplicado sobre ellos, lo que no ocurre con los fluidos no newtonianos que conservan su forma debido a que varían su viscosidad con el esfuerzo.

El estudio y modelación de fluidos newtonianos ha permitido encontrar diversas aplicaciones en el campo de la ingeniería, como lo son: corte de materiales de gran dureza por chorro a presión, sistemas hidráulicos y el transporte de solidos por canales y tuberías.

La ecuación de Poiseuille que establece la relación del radio y la presión con el flujo volumétrico hace posible el estudio en el área de la medicina del flujo sanguíneo, sirviendo así para la detección y tratamiento de enfermedades coronarias. Esta es una de las aplicaciones más importantes en el mundo actual y permite observar cómo ayuda la ingeniería y los modelamientos matemáticos y físicos al desarrollo de la ciencia.

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