Métodos Numericos: Tema 6 - Transparencias

7/25/2019 Mtodos Numericos: Tema 6 - Transparencias

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Mtodos NumricosGrado en Informtica

Tema 6: Anlisis Numrico Matricial II

Luis Alvarez Len

Univ. de Las Palmas de G.C.

Luis Alvarez Len Mtodos Numricos Univ. de Las Palmas de G.C. 1 / 84
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Contenido

1 Nociones bsicas sobre matrices y vectores

2 Mtodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simtricas

3 Mtodo de la potencia para calcular el autovalor mximo

4 Mtodos iterativos de resolucin de sistemas de ecuaciones

5 Mtodo de Newton-Raphson para sistemas no-lineales

6 Condicionamiento de una matriz

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Contenido




4 Mtodos iterativos de resolucin de sistemas de ecuaciones



http://find/


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Contenido


distancia entre 2 puntos en el planoNorma de vectores

Norma de una matriz

Producto Escalar

Base ortonormal de vectoresautovalores de una matriz

http://find/http://goback/


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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano



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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano. La distancia Eucldea

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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano. La distancia L1

http://find/


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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano. La distancia L

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Consideremos los puntos(1, 2)y(3, 7)

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Distancia Eucldea = ?

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Distancia Eucldea =

(3 1)2 + (7 2)2

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Distancia Eucldea =

(3 1)2 + (7 2)2

DistanciaL1 = ?

http://find/


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Distancia Eucldea =

(3 1)2 + (7 2)2

DistanciaL1 =

|3

1

|+

|7

2

|

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Distancia Eucldea =

(3 1)2 + (7 2)2

DistanciaL1 =

|3

1

|+

|7

2

|DistanciaL = ?


A li i N i M i i l II
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Distancia Eucldea =

(3 1)2 + (7 2)2

DistanciaL1 =

|3

1

|+

|7

2

|DistanciaL = | 7 2 |


A li i N i M t i i l II
http://find/


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Distancia Eucldea =

(3 1)2 + (7 2)2

DistanciaL1 =

|3

1

|+

|7

2


Orden entre las distancias

? ? ?


A li i N i M t i i l II


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Distancia Eucldea =

(3 1)2 + (7 2)2

DistanciaL1 =

|3

1

|+

|7

2


Orden entre las distancias

distanciaL distancia Eucldea distanciaL1


C t id
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Contenido



Norma de una matriz

Producto Escalar

Base ortonormal de vectores

autovalores de una matriz


Anlisis Numrico Matricial II


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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia y normaLp

distanciaLp entre 2 puntos(x1, x2)y(x1, x

2)

distanciaLp =

| x1 x1|p + | x2 x2|p

1/p




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2)

distanciaLp =

| x1 x1|p + | x2 x2|p

1/p

NormaLp de un vectorx= (x1, x2, .....xN)y sus propiedades

xp=

Ni=1 |xi|p

1/p


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2)

distanciaLp =

| x1 x1|p + | x2 x2|p

1/p


xp=

Ni=1 |xi|p

1/pPropiedades

1 xp=0 si y slo six=0


http://find/


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2)

distanciaLp =

| x1 x1|p + | x2 x2|p

1/p


xp=

Ni=1 |xi|p

1/pPropiedades

1 xp=0 si y slo six=02 xp=| | xp para todo yx




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2)

distanciaLp =

| x1 x1|p + | x2 x2|p

1/p


xp=

Ni=1 |xi|p

1/pPropiedades

1 xp=0 si y slo six=02 xp=| | xp para todo yx3

x+y

p

x

p+

y

p para todox, y


http://find/


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Anlisis Numrico Matricial IILugar geomtrico de los puntos que verifican x21

Cual es el lugar geomtrico de los puntos que verifican

x2=

x21 +x22 1


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x2=

x21 +x22 1


http://find/


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x1=| x1| + | x2| 1


http://find/


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x1=| x1| + | x2| 1


http://find/


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x1=max{| x1|, | x2|} 1


http://goforward/http://find/http://goback/


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x1=max{| x1|, | x2|} 1




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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma Eucldea

template

class Array1D{. private:

. T* data_; // puntero al comienzo del array

. int n_; //dimensin de array

. ....




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template




. ....

. public:

. template

. double Array1D::norma_euclidea(){

. ......

. }


http://find/


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template




. ....

. public:

. template


. ?

. for(int k=0;k< ? ;k++){ norma+= ? }

. ?

. }


http://find/


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template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;

. for(int k=0;k< ? ;k++){ norma+= ? }

. ?

. }


http://find/


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template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;

. for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= ? }

. ?

. }


http://find/


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template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;

. for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= data_[k]*data_[k]; }

. ?

. }


http://find/


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template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;


. return sqrt(norma);

. }


http://find/


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template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;



. }

Si x es una instancia de la clase Array1D llamamos al mtodo

haciendo ?


http://find/


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template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;



. }


haciendo double norma=x.norma_euclidea();


http://find/


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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1

template




. ....


http://find/


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template




. ....

. public:

. template

. double Array1D::norma_1(){

. ......

. }


Anlisis Numrico Matricial IIC i d d l l A 1D l l l 1
http://find/


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template




. ....

. public:

. template


. ?

. for(int k=0;k< ? ;k++){ norma+= ? }

. ?

. }


Anlisis Numrico Matricial IIC i d t d l l A 1D l l l 1
http://find/


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template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;

. for(int k=0;k< ? ;k++){ norma+= ? }

. ?

. }


Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos en la clase Arra 1D para calc lar la norma 1
http://find/


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template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;

. for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= ? }

. ?

. }


Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1
http://find/


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template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;

. for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= mn_abs(data_[k]); }

. ?

. }


http://find/


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template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;


. return norma;

. }


http://find/


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template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;


. return norma;

. }


haciendo ?




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template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;


. return norma;

. }


haciendo double norma=x.norma_1();


Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma infinito
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma infinito

template




. ....




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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma infinito

template




. ....

. public:

. template

. double Array1D::norma_inf(){

. ......

. }




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C eac de todos e a c ase ay pa a ca cu a a o a to

template




. ....

. public:

. template


. ?

. for(int k=0;k< ? ;k++){

. ? }

. ?

. }


http://find/


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y p

template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;

. for(int k=0;k< ? ;k++){

. ? }

. ?

. }




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y p

template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;

. for(int k=0;k< n_;k++){

. ? }

. ?

. }


http://find/


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template




. ....

. public:

. template


. double norma=0.;


. if(norma


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template

class Array1D{

. private:



. ....

. public:

. template


. double norma=0.;


. if(norma


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template

class Array1D{

. private:



. ....

. public:

. template


. double norma=0.;


. if(norma


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template

class Array1D{

. private:



. ....

. public:

. template


. double norma=0.;


. if(norma


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Sopongamos que tenemos 2 instancias x1 y x2 de la clase Array1D,

es decir

Array1D x1;

Array1D x2;

Para calcular la distancia Eucldea entre x1 y x2 usando el mtodopara calcular la norma Eucldea que hemos creado podemos hacer :

real distancia_euclidea = ? ;


Anlisis Numrico Matricial IIUso de la norma para calcular distancias
http://find/


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Sopongamos que tenemos 2 instancias x1 y x2 de la clase Array1D,

es decir

Array1D x1;

Array1D x2;

Para calcular la distancia Eucldea entre x1 y x2 usando el mtodopara calcular la norma Eucldea que hemos creado podemos hacer :

real distancia_euclidea = (x1-x2).norma_euclidea();


Contenido
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Norma de una matriz

Producto Escalar




Anlisis Numrico Matricial IINorma de una matriz
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SeaAuna matriz y sea . una norma vectorial. Se define la normadeA, subordinada a la norma vectorial

.

como

A =supx=0 Axx


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SeaAuna matriz y sea . una norma vectorial. Se define la normadeA, subordinada a la norma vectorial

.

como

A =supx=0 AxxVamos, en primer lugar, a disear un cdigo en C++ bsico para

aproximar la norma Eucldea de una matriz a partir de esta definicin.Para ello necesitamos un procedimiento para crear vectores

aleatorios, lo cual haremos creando unconstructorespecial de la

claseArray1Dy despus implementaremos un procedimiento para

aproximar la norma de la matriz.


Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos para hacer un constructor de un array de tamao N y

coordenadas aleatorias en el intervalo [a b]
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coordenadas aleatorias en el intervalo [a,b].

template




. ....



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template




. ....

. public:

. template

. double Array1D::Array1D(int N,T a, T b){

. ......

. }



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65/295

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[ , ]

template




. ....

. public:

. template


. Array1D aux(N);

. *this=aux;

. for(int k=0;k< ? ;k++){

. data_[k]= ?

. }

. }



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[ , ]

template




. ....

. public:

. template


. Array1D aux(N);

. *this=aux;


. data_[k]= ?

. }

. }





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template




. ....

. public:

. template


. Array1D aux(N);

. *this=aux;


. data_[k]= a+ (b-a)*rand()/RAND_MAX;

. }

. }


Anlisis Numrico Matricial IICdigo C++ Clculo de la norma Eucldea de una matriz
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A =supx=0 Axx




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A =supx=0 Axxreal norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) {

. real norma=0.;

. for(int k=0;k


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. real norma=0.;

. for(int k=0;k


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. real norma=0.;

. for(int k=0;k


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. real norma=0.;

. for(int k=0;knorma){ ? }

. }

. ?}



Ax
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. real norma=0.;

. for(int k=0;knorma){ norma=temp; }

. }

. ?}



Ax
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. real norma=0.;


. }

. return norma;

}



A Ax
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. real norma=0.;


. }

. return norma;

}

Este procedimiento nos da una aproximacin (no el valor exacto).Adems, en la prctica, especialmente si la dimensin de la matriz es

grande, habra que hacer un nmero de iteraciones gigantesco para

estar seguros de que nos acercamos al valor real.



Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
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matemticamente sin necesidad de realizar un procedimiento

aleatorio.

A =supx=0 Axx



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aleatorio.

A =supx=0 AxxEjemplos 00 =supx=0 xx =supx=0 ||xx = ||





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aleatorio.

A =supx=0 AxxEjemplos 2 00 1

2

=supx=0

(2x1)2+x22x2

1+x2

2

= ?





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aleatorio.


2

=supx=0

(2x1)2+x22x2

1+x2

2

= (21)2+0212+02

=2





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aleatorio.


2

=supx=0

(2x1)2+x22x2

1+x2

2

= (21)2+0212+02

=2

2 0

0 1

1

=supx=0

|2x1|+|x2||x1|+|x2| = ?





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aleatorio.


2

=supx=0

(2x1)2+x22x2

1+x2

2

= (21)2+0212+02

=2

2 0

0 1

1

=supx=0

|2x1|+|x2||x1|+|x2| =

|21|+|0||1|+|0| =2





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aleatorio.


2

=supx=0

(2x1)2+x22x2

1+x2

2

= (21)2+0212+02

=2

2 0

0 1

1

=supx=0

|2x1|+|x2||x1|+|x2| =

|21|+|0||1|+|0| =2

2 00 1

=sup

x=0max{|2x1|,|x2|}max{|x1|,|x2|} = ?



http://find/


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aleatorio.


2

=supx=0

(2x1)2+x22x2

1+x2

2

= (21)2+0212+02

=2

2 0

0 1

1

=supx=0

|2x1|+|x2||x1|+|x2| =

|21|+|0||1|+|0| =2

2 00 1

=sup

x=0max{|2x1|,|x2|}max{|x1|,|x2|} =

max{|21|,|0|}max{|1|,|0|} =2



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p


aleatorio.


2

=supx=0

x21+(x1+x2)2x2

1+x2

2

= ?

Luis Alvarez Len Mtodos Numricos Univ de Las Palmas de G C 23 / 84


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p


aleatorio.


2

=supx=0

x21+(x1+x2)2x2

1+x2

2

= (1+5)2+(1+5+2)2(1+

5)2+(2)2

=1. 618

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p


aleatorio.


2

=supx=0

x21+(x1+x2)2x2

1+x2

2

= (1+5)2+(1+5+2)2(1+

5)2+(2)2

=1. 618

1 0

1 1

1

=supx=0

|x1|+|x1+x2||x1|+|x2| =

|1+|1+0||1|+|0| =2



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aleatorio.


2

=supx=0

x21+(x1+x2)2x2

1+x2

2

= (1+5)2+(1+5+2)2(1+

5)2+(2)2

=1. 618

1 0

1 1

1

=supx=0

|x1|+|x1+x2||x1|+|x2| =

|1+|1+0||1|+|0| =2

1 01 1

=sup

x=0max{|x1|,|x1+x2|}

max{|x1|,|x2|} = ?



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aleatorio.


2

=supx=0

x21+(x1+x2)2

x21+x2

2

= (1+5)2+(1+5+2)2(1+

5)2+(2)2

=1. 618

1 0

1 1

1

=supx=0

|x1|+|x1+x2||x1|+|x2| =

|1+|1+0||1|+|0| =2

1 01 1

=sup

x=0max{|x1|,|x1+x2|}

max{|x1|,|x2|} = max{|1|,|1+1|}

max{|1|,|1|} =2


Anlisis Numrico Matricial IIClculo de las normas de una matriz

Teorema
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Teorema

Sea A una matriz cualquiera, entonces

A 2=

mximo de los autovalores de tAA



Teorema
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Teorema


A 2=


A 1=maxj

i| aij|



Teorema
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Teorema


A 2=


A 1=maxj

i| aij|

A

=maxij| aij|


Ejemplo clculo normas matricesEjemplo: Calcular las normas 2,1 e infinito de la matriz

A1 0
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A= 1 0

1 2



A 1 0
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A= 1 2 Solucin:para calcular A 2, calculamos primero los autovalores dela matriz

1 1

0 2

1 0

1 2

=

2 2

2 4

que se calculan usando el polinomio caracterstico



A 1 0
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1 1

0 2

1 0

1 2

=

2 2

2 4

que se calculan usando el polinomio caracterstico 2 22 4 =2 6 +4

cuyas races son 3 5. Por tanto A 2= 3 +

5.



A 1 0
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1 1

0 2

1 0

1 2

=

2 2

2 4



5. Por otro lado



A = 1 0
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1 1

0 2

1 0

1 2

=

2 2

2 4



5. Por otro lado

A 1=maxj i| aij| = ?



A = 1 0
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1 1

0 2

1 0

1 2

=

2 2

2 4



5. Por otro lado

A 1=maxj i| aij| =2



A = 1 0
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99/295

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1 1

0 2

1 0

1 2

=

2 2

2 4



5. Por otro lado

A 1=maxj i| aij| =2 A =maxi

j| aij|

= ?



A = 1 0
http://find/


100/295

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1 1

0 2

1 0

1 2

=

2 2

2 4



5. Por otro lado

A 1=maxj i| aij| =2 A =maxi

j| aij|

=3


Contenido


distancia entre 2 puntos en el plano
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Norma de vectoresNorma de una matriz

Producto Escalar




Anlisis Numrico Matricial IIProducto escalar de 2 vectores

DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores
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(xi, xj) =N

k=1

(xi)k

xj

k

donde(xi)k indica la coordenadak-sima del vectorxi.



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103/295

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(xi, xj) =N

k=1

(xi)k

xj

k


Ejemplo: Seanx1 = (1, 2, 3)T yx2 = (9, 8, 5)T, entonces :

(x1, x2) = ?



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(xi, xj) =N

k=1

(xi)k

xj

k



(x1, x2) =1

9 +2

8

3

5=10

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106/295

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(xi, xj) =N

k=1

(xi)k

xj

k



(x1, x2) =1

9 +2

8

3

5=10

Propiedad importante: x2=

(x, x)


Anlisis Numrico Matricial IINormalizar vectores

Normalizar vectores


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Dado un vectorxnormalizarlo respecto a la norma . consiste en dividirel vector por su norma, es decir, hacer

x

xLa norma de un vector normalizado es 1.



Normalizar vectores
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x


Ejemplo:Seax= (1, 2, 3)T, normalizar el vector depende de la normaconsiderada y consiste en hacer :

x

x2 = ? x

x1 = ? x

x = ?



Normalizar vectores
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x



x x2 = 1/

14

2/143/

14

x x1 = ? x x = ?



Normalizar vectores
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x



x x2 = 1/

14

2/143/

14

x x1 = 1/62/63/6

x x = ?



Normalizar vectores


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x



x

x2 = 1/142/14

3/

14

x x1 =

1/62/63/6

x x =

1/32/33/3


Contenido


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Producto Escalar




Anlisis Numrico Matricial IIBase ortonormal de vectores

DEFINICION: Base ortonormal de vectores
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Una base ortornormal de vectores de RN sonNvectoresx1,....xNnormalizados y tal que el producto escalar entre todos ellos es 0 (es decir los

vectores son ? entre s).



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vectores son perpendiculares entre s).



http://find/


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vectores son perpendiculares entre s).

Ejemplo: los vectores columna de las siguientes matrices forman una base

ortonormal de vectores 1 0 00 1 0

0 0 1

1/

2 1/

3 1/6

0 1/

3 2/

6

1/

2 1/3 1/6

cos() sin() 0 sin() cos() 0

0 0 1


Contenido


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Producto Escalar




Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de una matriz

Definicin
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Un autovalor de A es un nmero real tal que existe un vector x,denominado autovector, tal que

Ax=x



Definicin
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Un autovalor de A es un nmero real tal que existe un vector x,denominado autovector, tal que

Ax=x

Definicin

Se denomina polinomio caracterstico P()de la matriz A,al polinomiodado por el determinante

P() =| A I|



Problema
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Calcular los autovectores de la matriz 1 1 01 1 0

0 0 2

y determinar una base ortonormal de R3 de autovectores de A.



Problema
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0 0 2


Solucin: tenemos que calcular los ceros del polinomio caracterstico ?



Problema
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0 0 2


Solucin: tenemos que calcular los ceros del polinomio caracterstico

|A iId| =0



Problema
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0 0 2



|A iId| =0

1 1 0

1 1 00 0 2 = ((1 )2

1)(2 ) =0



Problema

C l l l d l i
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0 0 2



|A iId| =0

1 1 0

1 1 00 0 2 = ((1 )2

1)(2 ) =0

de donde obtenemos1 =0, 2=2 y3=2



Calculamos los autovectores deA :
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1=0

1 1 0 0
http://find/


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1 1 01 1 00 0 2

x1x2x3

= 000

x1= x2

x3=0 x1= ?




1=0

1 1 0 0 1
http://find/


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1 1 01 1 00 0 2

x1x2x3

= 00

0

x1= x2

x3=0 x1=

1

212

0




1=0

1 1 0 0 1
http://find/


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1 1 01 1 00 0 2

x1x2x3

= 00

0

x1= x2

x3=0 x1=

1212

0

2, 3=2 1 1 01 1 0

0 0 0

x1x2x3

= 000

? x2= ?, x3= ?




1=01 1 0

x

0

x x 1
http://find/


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1 1 01 1 00 0 2

x1x2x3

= 00

0

x1= x2

x3=0 x1=

1212

0

2, 3=2 1 1 01 1 0

0 0 0

x1x2x3

= 000

x1=x2x3 libre

x2= ?, x3= ?




1=0 1 1 0 x 0 x x 1
http://find/


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1 1 01 1 00 0 2

x1x2x3

= 00

0

x1= x2

x3=0 x1=

1212

0

2, 3=2 1 1 01 1 0

0 0 0

x1x2x3

= 000

x1=x2

x3 libre

x2= 121

2

0

, x3= ?




1=0 1 1 0 x 0 x = x 1
http://find/


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1 1 01 1 00 0 2

x1x2x3

= 00

0

x1= x2

x3=0 x1=

1212

0

2, 3=2

1 1 01 1 00 0 0

x1x2x3

= 000

x1=x2

x3 libre

x2= 121

2

0

, x3= 001




1=0 1 1 0 x1 0 x1 = x2 1
http://find/


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1 1 01 1 00 0 2

x1x2x3

= 00

0

x1= x2

x3=0 x1=

1212

0

2, 3=2

1 1 01 1 00 0 0

x1x2x3

= 000

x1=x2

x3 libre

x2=

12

12

0

, x3= 001

La matriz,

B= 1

2

12

0

12

12

0

0 0 1

contiene los autovectores de A que forman una base ortonormal de R3.


Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de matrices simtricas

Teorema

Todas las matrices simtricas poseen una base ortonormal de
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Todas las matrices simtricas poseen una base ortonormal deautovectores.

Por tanto, poseen tantos autovalores como dimensin tenga la matriz

(aunque alguno de los autovalores puede salir repetido)



Teorema

http://find/


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No todas las matrices poseen una base de autovectores.

A=

1 0

1 1

tiene como autovalor = ?



Teorema

http://find/


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A=

1 0

1 1

tiene como autovalor =1



Teorema

http://find/


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A=

1 0

1 1


y tiene como autovector ?



Teorema

http://find/


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A=

1 0

1 1


y tiene como autovectorx= (0, 1)T


Contenido


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Mtodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simtricas


4

Mtodos iterativos de resolucin de sistemas de ecuaciones




Anlisis Numrico Matricial IIMtodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simtricas

Este mtodo se basa en que, dadas dos matricesAyR,se verificaque los autovalores deAson los mismos que los autovalores de

R

1AR.:
http://find/


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.

R1ARx=x




R

1AR.:
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R1ARx=x ARx=Rx




R

1AR.:
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R1ARx=x ARx=Rx

es autovalor deApara el autovectorRx




R

1AR.:


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R1ARx=x ARx=Rx


Las matricesRque se van a utilizar son matrices de rotacin :

R=

cos sin sin cos

R1 =?




R

1AR.:


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R1ARx=x ARx=Rx



R=

cos sin sin cos

R1 =

cos sin

sin cos




R

1AR.: l d A


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R1ARx=x ARx=Rx



R=

cos sin sin cos

R1 =

cos sin

sin cos

En 3 variables las matrices de rotacin respecto a cada eje son cos sin 0 sin cos 0

0 0 1

cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos

1 0 00 cos sin 0 sin cos



El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.


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R1AR=

cos sin

sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1

cos sin

sin cos
http://find/


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R1AR=

cos sin

sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1

cos sin

sin cos

=

a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2

12 a1,1 12 a0,0

sin2


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, , , ,

2 , 2 ,

a0,1 cos2

12 a1,1 12 a0,0

sin2 a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2




R1AR=

cos sin

sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1

cos sin

sin cos

=

a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2

12 a1,1 12 a0,0

sin2


147/295

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, , , ,

2 , 2 ,

a0,1 cos2

12 a1,1 12 a0,0

sin2 a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2

lo que nos lleva a la condicin : tan(2) = ?




R1AR=

cos sin

sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1

cos sin

sin cos

=

a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2

12 a1,1 12 a0,0

sin2

1 1 2
http://find/


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a0,1 cos2

12 a1,1 12 a0,0

sin2 a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2

lo que nos lleva a la condicin : tan(2) = 2a0,1

a1,1 a0,0




R1AR=

cos sin

sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1

cos sin

sin cos

=

a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2

12 a1,1 12 a0,0

sin2

1 1

2 2
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a0,1 cos2

12 a1,1 12 a0,0

sin2 a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2


a1,1 a0,0

Ejemplo

A=

1 1

1 1




R1AR=

cos sin

sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1

cos sin

sin cos

=

a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 1

2 a1,1 12 a0,0

sin21 1

2 2
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a0,1 cos2

12 a1,1 12 a0,0

sin2 a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2


a1,1 a0,0

Ejemplo

A=

1 1

1 1

tan(2) = ?




R1AR=

cos sin

sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1

cos sin

sin cos

=

a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 1

2 a1,1 12 a0,0

sin2

2

1 1

i 2 2 i 2 i 2
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a0,1 cos2

12 a1,1 12 a0,0

sin2 a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2


a1,1 a0,0

Ejemplo

A=

1 1

1 1

tan(2) = 20




R1AR=

cos sin

sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1

cos sin

sin cos

=

a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 1

2 a1,1 12 a0,0

sin2

2

1 1

i 2 2 i 2 i 2
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a0,1 cos2

12 a1,1 12 a0,0

sin2 a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2


a1,1 a0,0

Ejemplo

A=

1 1

1 1

tan(2) = 20 = ?




R1AR=

cos sin

sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1

cos sin

sin cos

=

a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 1

2 a1,1 12 a0,0

sin2

a cos2

1 a 1 a

sin2 a cos2 a sin2 + a sin2
http://find/


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a0,1 cos2

12 a1,1 12 a0,0

sin2 a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2


a1,1 a0,0

Ejemplo

A=

1 1

1 1

tan(2) = 20 = 4




R1AR=

cos sin sin cos

a0,0 a0,1a0,1 a1,1

cos sin

sin cos

=

a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 12 a1,1 12 a0,0 sin2a cos2

1 a 1 a

http://find/


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a0,1 cos2

12 a1,1 12 a0,0

sin2 a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2


a1,1 a0,0

Ejemplo

A=

1 1

1 1

tan(2) = 20 = 4 R1AR=

0 0

0 2




R1AR=

cos sin sin cos

a0,0 a0,1a0,1 a1,1

cos sin

sin cos

=

a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 12 a1,1 12 a0,0 sin2a cos2

1 a 1 a



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a0,1 cos2

2 a1,1 2 a0,0

sin2 a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin


a1,1 a0,0

Ejemplo

A=

1 1

1 1

tan(2) = 20 = 4 R1AR=

0 0

0 2

Por tanto los autovalores y autovectores deA son :

1=




R1AR=

cos sin sin cos

a0,0 a0,1a0,1 a1,1

cos sin sin cos

=

a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 12 a1,1 12 a0,0 sin2a0 1 cos2

1 a1 1

1 a0 0

sin2 a0 0 cos2 a0 1 sin2 + a1 1 sin

2
http://find/


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a0,1 cos2

2 a1,1 2 a0,0

sin2 a0,0 cos a0,1 sin2 +a1,1 sin


a1,1 a0,0

Ejemplo

A=

1 1

1 1

tan(2) = 20 = 4 R1AR=

0 0

0 2


1=0 x=R

1

0

=

2/2

2/2

2=




R1AR=

cos sin sin cos

a0,0 a0,1a0,1 a1,1

cos sin sin cos

=

a0,0 cos

2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 12 a1,1 12 a0,0 sin2a0 1 cos2

1 a1 1 1 a0 0

sin2 a0 0 cos

2 a0 1 sin2 + a1 1 sin2
http://find/


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a0,1 cos2

2 a1,1 2 a0,0

sin2 a0,0 cos a0,1 sin2 +a1,1 sin


a1,1 a0,0

Ejemplo

A=

1 1

1 1

tan(2) = 20 = 4 R1AR=

0 0

0 2


1=0 x=R

1

0

=

2/2

2/2

2=2 x=R

0

1

=

2/22/2



Ejemplo

1 1 2

1 2

1

2 1 5
http://find/


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Ejemplo

?1 1 2

1 2

1

2 1 5 ?
http://find/


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Ejemplo

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos 1 1 2

1 2

1

2 1 5 cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos
http://find/


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Ejemplo

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos 1 1 2

1 2

1

2 1 5 cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos
http://find/


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tan(2) =



Ejemplo

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos 1 1 2

1 2

1

2 1 5 cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos
http://find/


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tan(2) = 2a0,2

a2,2 a0,0=

4

4=1 =



Ejemplo

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos 1 1 2

1 2

1

2 1 5 cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos
http://find/


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tan(2) = 2a0,2

a2,2 a0,0=

4

4=1 =

8



Ejemplo

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos 1 1 2

1 2

1

2 1 5 cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos
http://find/


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tan(2) = 2a0,2

a2,2 a0,0=

4

4=1 =

8

cos 8 0 sin 80 1 0sin 8 0 cos

8

1 1 21 2 12 1 5

cos 8 0 sin 80 1 0 sin 8 0 cos 8

=

0,17 0,54 0

0,54 2,0

1,30

0,0 1. 30 5,82


Anlisis Numrico Matricial IIMtodo de Jacobi para

Métodos Numericos: Tema 6 - Transparencias

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