METODOS NUMERICOS

Alumno: DANIEL ARTURO PASTRANA AVILA

METODOS NUMERICOS DE LA BISECCION Y

NEWTON-RAPSON

Carrera: ING. CIVIL

Semestre: 4TO

Grupo: 541

METODO DE LA BISECCION La llamada a la rutina de bisección será

como sigue:[it,inter]=bisect(a,b,funci,eps);donde [a,b] es el intervalo donde se busca el cero de f(x) = 0 (debiéndose cumplir que f(a)f(b) < 0) y eps es la precisión absoluta que le vamos a pedir a nuestro resultado numérico.

Recordemos el algoritmo:Algoritmo de bisección en un intervalo [a,b], tal que f(a)f(b) < 0 (1) Sea c = (b + a)/2

(2) Si b − c ≤ ?, aceptar c como

la ra´ ız y parar

(3) Si f(b)f(c) ≤ 0, tomar a = c, por

el contrario hacer b = c.

(4) Volver a (1)

METODO DE NEWTON-RAPSON

El método de Newton-Raphson es un

método de optimización iterativo que se

basa en aproximar la función a optimizar

por medio de la serie de Taylor hasta

orden 2. Tiene la ventaja sobre el método

de ascenso más rápido que no requiere

un proceso iterativo para determinar

hasta donde moverse.

METODO DE NEWTON-RAPSON

Suponga que se desea minimizar la función f(x) con n variables y que ésta se aproxima utilizando el desarrollo de Taylor hasta orden. Así

f(x) ≈ φ(x) = f(xo) + (x − xo)′∇f(xo) +12(x − xo)′Hf(xo)(x − xo)

Si la aproximación de f(x) por φ(x) es buena, un mínimo relativo f(x) se podría aproximar por un mínimo

relativo de por φ(x). Supongamos que x1es un mínimo relativo de φ(x), entonces x1es un punto estacionario

para φ(x), as´ ı ∇φ(x1) = 0.

METODO DE NEWTON-RAPSON

Desarrollando el gradiente de φ(x),

sustituyendo x1por x e igualando a 0 tenemos:

∇f(xo) + Hf(xo)(x1− x0) = 0

Si la matriz hessiana Hf(xo) es invertible

tenemos que

x1= xo− Hf−1(xo)∇f(xo)

Resultados de bisección

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Método de Newton-Rapson

Problema 1

Problema 1

Problema 2

Tabla

Problema 3

Problema 4

Método de bisección

Método de newton-rapson

Conclusión FUE DE GRAN UTILIDAD REALIZAR ESTOS

METODOS, SON DE GRAN IMPORTANCIA

PARA LA INGENIERIA, EL METODO DE

NEWTON FUE EL MAS COMPLETO SOLO

QUE FUE UN POCO LABORIOSO, A

DIFERENCIA DE NEW TON RAPSHON NO

SIEMPRE.