Libro de Metodos Numericos
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Decana de América)FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS
CURSO METODOS NUMERICOS I - II
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ.
--2012—
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 1
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
I N D I C E
INDICE………………………………………………………………………………..…2
INTRODUCCIÓN…………………………………………..……………………...…... 4
ERROR ABSOLUTO…………………………………………..………..………………5
Teorema de Bolzano…………………………………………………….……….….……6
MÉTODO DE BISECCIÓN………………………………………………………….….7
MÉTODO DE REGULA FALSI O MÉTODO DE FALSA POSICIÓN……………….10
MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVA…..12
MÉTODO DE LA SECANTE…………………………………………………………...15
MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON…………………………………..….…………17
MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON EN DOS VARIABLES…………………..…..24
INTERPOLACIÓN………………………………………………………………..…….27
INTERPOLACIÓN DIRECTA DE NEWTON -PROGRESIVO………………..…….28
INTERPOLACIÓN DE NEWTON REGRESIVO (NR)…………………………..……31
INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL……………………………………….……32
INTERPOLACIÓN PARA EL CASO DE DATOS NO EQUIDISTANTES…….….…35
INTERPOLACION Y APROXIMACION DE LAGRANGE………………….………38
PROBLEMAS RESUELTOS…………………………………………………….……..42
METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES……..…….48
Método Crout-Doolitle…………………………………………………………………..50
Método de Cholesquy……………………………………………..…………………….52
Método Tridiagonal para sistemas de ecuaciones lineales………………………………59
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 2
Pág.
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Método Pentadiagonal para sistemas de ecuaciones lineales…………………………..65
NORMA DE UNA MATRIZ………………………………………………………......73
SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES………...75
Método de Jacobi……………………………………………………………………….75
Método de Gauss- Seidel……………………………………………………………….85
DIFERENCIA NUMERICA…………………………………………………………..99
INTEGRACIÓN NUMERICA…………………………………………….………….105
EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R)……………………………………..113
INTEGRACION DE ROMBERG…………………………………………………….123
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE E. D.O. CON VALOR INICIAL…………………….130
Método de Euler……………………………………………………………………….130
Método de Taylor de orden K…………………………………………………………133
Predictor – corrector…………………………………………………………………...138
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR………………………140
CONCLUSIONES……………………………………………………..……………...143
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
INTRODUCCIÓN
En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente.
Para una mejor organización y búsqueda rápida de cada tema se ha implementados con un índice al principio del trabajo para su fácil ubicación de los temas ya que el texto completo se encuentra enumerada de principio a fin, además en el final se ha considerado incluir problemas resueltos de los diferentes temas estudiados.
Como los algoritmos de los métodos ya están disponibles en la mayoría de los libros de texto sobre la materia, se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementación (personales) de los métodos directos (que son mas difíciles de programar). El lenguaje de programación idóneo para tal fin será matlab 6.0
Damos desde ya los agradecimientos a todas aquellas personas que dieron su apoyo para completar el trabajo tanto en ideas, criticas para su mejoramiento sin importar la magnitud de la ayuda han sido de gran ayuda y esperando aun recibir su aportes para la continua superación en los próximos trabajos que se han de mostrar.
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
ERROR ABSOLUTO
Es la diferencia entre un valor de exacto y una de sus aproximaciones. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
DEFINICION DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS EXACTAS:Se define por la siguiente relación:ε a=0.5 ×10m−n+1; Donde:m=es la descomposición polinómica.n= numero de cifras significativas exactas.DEFINICION DE CIFRAS DECIMALES EXACTAS:Se define por la siguiente relación:ε a=0.5 ×10−t; Donde:t=numero de cifras decimales exactas.Ahora sea:P = ln(5)Entonces:P= ln(5) = 1.609437912
Y sea sus siguientes aproximaciones:
P1 = 1.60123456P2 = 1.609413131P3 = 1.6094372
Donde: m = 0
Ahora hallamos sus Ea de cada uno.
Ea1 = | p – p₁ | = 0.008203 = 0.008 = 0.8x10¯³ = 0.001 = 0.1x10¯² Ea₂ = |p - p₁ | = 0.000025 = 0.00003 = 0.3x10¯⁴Ea₃ = |p - p₃ | = 0.0000012 = 0.00001 = 0.1x10¯⁵
Ahora hallaremos el número de cifras significativas exactas:Para p₁: 0.1x10¯² ≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹ -2 = -n+1 n = 3 ---> p₁ tiene 3 cifras significativas exactas.
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Para p₂: 0.3x10¯⁴ ≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹ -4 = -n+1 n = 5 ---> p₂ tiene 5 cifras significativas exactas.
Para p₃: 0.1x10¯⁵ ≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹ -5 = -n+1 n = 6 ---> p₃ tiene 6 cifras significativas exactas.
Ahora hallaremos el número de cifras decimales exactos:Para p₁: 0.1x10¯² ≤ 0.5x10¯™ K = 2 Entonces p₁ tiene 2 cifras decimales exactas.
Para p₂: 0.3x10¯⁴ ≤ 0.5x10¯™ K = 4 Entonces p₂ tiene 4 cifras decimales exactas.
Para p₃: 0.1x10¯⁵ ≤ 0.5x10¯™ K = 5 Entonces p₃ tiene 5 cifras decimales exactas.
TEOREMA DE BOLZANO (TB)Sea la ecuación no lineal f(x) =0;Donde f(x) es función no trascendente (trigonométrica, exponencial, logarítmica o polinomial), x∈[a , b ]Si f (a ) f (b )<0 , entonces existe la raiz o solucion x¿∈<a ,b>¿ . f (x¿)≡0
Aplicación del Teorema de Bolzano:Sea f(x) = x.cos(x) – 1
Como f(1).f(2) < 0 ---> existe x* que pertenece a [1,2] PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 6
x f(x)
-2 -
-1 -
0 -
1 -
2 +
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MÉTODO DE BISECCIÓN
Dado la ecuación no lineal f(x) = 0 /. Existe la raíz X* ∈ [a, b] por T.B.El método de bisección consiste en hallar el promedio simple de cada intervalo [a i , bi] −→ X*.
Algoritmo de bisección:P-1.- Dado la ecuación f(x) = 0 /. Existe la raíz X* ∈ [a, b] por T.B.P-2.- Generar la sucesión {xi} x* mediante la siguiente relación
Xi=ai+b i
2 ; i = 0, 1, 2,3…….
P-3. – Hallar ¿0−→ ai+1=X i ,b i+1=b i F (ai) F ( xi )=¿ ¿0−→ ai+1=ai ,b i+1=X i
¿0−→ X i=X∗¿
P-4. - Dejar de iterarse ε=0.5 ×10m−n+1
Parar si |X i−X i−1|≤ E
ε=0.5 ×10−t
Caso contrario ir al paso numero 2.
Ejemplo 01.
F ( x )=x3−2 x X* [-1,2]
Obtener una solución con 2 cifras ex
Se deja de iterar si |x i−x i−1|≤0.5∗10−1
i=0 [a0 , b0 ]=[−1,2]
x0=0.5
f (−1 ) f (0.5 )<0−→ a1=−1 b1=0.5
i=1 [a1 , b1 ]=[−1 ,0.5 ]
x1=−0.25
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
|x1−x0|≤ 0.5∗10−1−→falso
f (−1 ) f (−0.25 )>0a2=−0.25 b2=0.5
i=2[a2 , b2 ]=[−0.25 , 0.5]
x2=0.125
|x2−x1|≤0.5∗10−1−→ falso
f (−0.25 ) f (0.125 )<0−→ a3=−0.25 b3=0.125
i=3[a3 , b3 ]=[−0.25 , 0.125]
x3=−0.0625
|x3−x2|≤ 0.5∗10−1−→falso
f (−0.25 ) f (−0.0625 )>0−→ a4=−0.0625 b4=0.125
i=4[a4 , b4 ]=[−0.0 .625 , 0.125]
x4=−0.03125
|x4−x3|≤ 0.5∗10−1−→ verdadero x lo tan¿ aca termina
X* = -0.03125
Ejemplo 02.
F ( x )=3 x2−2 X* [-2,1]
Obtener una solución con 2 cifras ex
Se deja de iterar si ,|x i−x i−1|≤ 0.5∗10−1
i=0 ; [a0 , b0 ]=[−2,1]
x0=−0.5
f (−2 ) f (−0.5 )<0−→ a1=−2b1=−0.5
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
i=1 ; [a1 , b1 ]=[−2 ,−0.5]
x1=−1.25
|x1−x0|≤ 0.5∗10−1−→falso
f (−2 ) f (−1.25 )<0a2=−2b2=−1.25
i=2[a2 , b2 ]=[−2 ,−1.25]
x2=−1.625
|x2−x1|≤0.5∗10−1−→ falso
f (−2 ) f (−1.625 )<0−→ a3=−2 b3=−1.625
i=3[a3 , b3 ]=[−2 ,−1.625]
x3=−1.8125
|x3−x2|≤ 0.5∗10−1−→falso
f (−2 ) f (−1.8125 )<0−→ a4=−2b4=−1.8125
i=4[a4 , b4 ]=[−2 ,−1.8125]
x4=−1.90625
|x4−x3|≤ 0.5∗10−1−→ falso
f (−2 ) f (−1.90625 )<0−→ a4=−2b4=−1.90625
i=5 [a5 , b5 ]=[−2 ,−1.90625]
x5=−1.953125
|x5−x4|≤ 0.5∗10−1−→ verdadero x lo tanto aca termina
X* = -1.953125
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MÉTODO DE REGULA FALSI O MÉTODO DE FALSA POSICIÓN
Es un método similar al método de bisección en la que en vez de hallar el promedio simple de dos intervalos [ai , bi] --> X*. El método de R.F. determina el promedio ponderado
de los intervalos [ai , bi] --> X*.
Algoritmo del método de R.F.
Paso 1: Dada la ecuación f ( x )=0
Paso 2: Generar la sucesión: {xn} x* mediante la relación:
Xi=F (bi )ai−F (ai )bi
f (bi )−f (ai)
Paso 3: Hallar
¿0−→ ai+1=X i ,b i+1=b i
F (ai) F ( xi )=¿ ¿0−→ ai+1=ai ,b i+1=X i
¿0−→ X i=X∗¿
Paso 4: Parar si |X i−X i−1|≤ E
Ejercicio 1:
F ( x )=logx−x3 , Con X* [1,3]
Obtener una solución con 2 cifras ex
Se deja de iterar si |x i−x i−1|≤0.5∗10−1
i=0 [a0 , b0 ]=[1,3]
X 0=f (b0) a0− f (a0 )b0
f (b0 )−f (a0)=0.9216
f (a0 ) f (x0 )=0.8182>0−→ a1=x0=0.9216 ,b1=b0=3
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
i=1 [a1 , b1 ]=[0.92,3]
X1=f (b1 )a1−f (a1 )b1
f (b1 )−f (a1)=0.853
|X1−X0|≤ 0.5∗10−1−→ falso , por lotanto secontinua
f (a1 ) f (x1 )=0.497>0−→a2=x1=0.853 , b2=b1=3
i=2 [a2 , b2 ]=[0.853,3]
X2=f (b2 )a2−f (a2 )b2
f (b2 )− f (a2)=0.804
|X2−X1|≤ 0.5∗10−1−→verdadero x lo tanto concluye aqui
X*=0.804
Ejercicio 2
F ( x )=x4−3 x+1 ; Con X* [-2,2]
Obtener una solución con 2 cifras ex
Se deja de iterar si |x i−x i−1|≤0.5∗10−1
i=0 [a0 , b0 ]=[−2,2]
X 0=f (b0) a0− f (a0 )b0
f (b0 )−f (a0)=−0.2
f (a0 ) f (x0 )<0−→ a1=a0=−2, b1=x0=−0.2
i=1 [a1 , b1 ]=[−2 ,−0.2]
X1=f (b1 )a1−f (a1 )b1
f (b1 )− f (a1)=−0.20713
|X1−X0|≤ 0.5∗10−1−→verdadero x lo tanto concluye aqui
X*=-0.20713
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MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE APROXIMACIONESSUCESIVAS
Algoritmo:
Paso 1: Dado la ecuación f ( x )=0 / exista la raíz X* ∈ [a, b] por el T.B.
De f ( x )=0 despejar x de diferentes formas y obtener una ecuación de la siguiente forma:
x = g (x)……….. (2)
Donde g(x) es llamado función de iteración.
Si x = x* es raíz o solución de (2) también lo será de f ( x )=0, X* que satisface (2) es llamado punto fijo.
Paso 2: Generar la sucesión:
{xn} x*
Mediante la siguiente relación:
Xn+1 = g (Xn) ; Donde n= 0,1,2,3,…
Tomando como valor X 0 arbitrario / X 0 ∈ [a, b]Paso 3: Dejar de iterar si: |Xn−X n−1|≤ E
Caso contrario ir al paso 2.Condición de convergencia:Existe {xn} x* Si se cumple lo siguiente:
a) g (x) ∈ [a, b] PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 12
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b) ∃ g´(x) tal que | g´(x)| ≤ L < 1; ∀ x <a, b>L es llamado constante de LipschitzL = Max {| g´ (a) |, | g´ (b) |}
Donde también consideramos obvio f ( x ) es continua y diferenciable en [a, b].L ∈ [a, b]Ejemplos:
Por el método del punto fijo obtener una solución con dos cifras significativas exactas.
F(x) = 10.sen(x).e− x -1Primero hallaremos el intervalo donde exístela raíz.
x F(x)
-1 -23.87
-0.5 -8.90
0 -1
0.5 1.91
1.5 1.23
Verificamos su condición de convergencia, veremos si cumple 1° condición.
F(x) = 10.sen(x).e− x -1 = 0 ---> x = arcsen (e− x /10) = g₁(x)
Análisis para g₁(x) = arcsen(e− x /10)
1° condición:g₁(x) ∈ I = [a,b] = [0,1]g₁(0) = 0.10g₁(1) = 0.28
Por lo tanto g₁(x) cumple la 1° condición
2° Condición:
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∃ g´ tal que | g´ (x)| ≤ L < 1₁ ₁∀ x ∈ <0,1> ≊ [0.1 , 0.9]
Si g (x) = ₁ arcsen(e− x /10) ---> g´ (x) =( ₁ e− x / √64−e2 x)| g´ (0.1) ₁ | = 0.11 < 0.9 ∀ x ∈ <0.1>| g´ (0.9) ₁ | = 0.25 < 0.9 ∀ x ∈ <0.1>L = max{| g´ (0.1) ₁ | , | g´ (0.9) ₁ | }L = 0.28, L ∈ [0,1> ---> g´ (x) , cumple 2° condición₁
Siendo su relación de recurrencia lo siguiente:Xn+1 = g₁(Xn) = arcsen(e− x n /10) ; n = 0,1,2,……
Obtener una solución con 2 cifras significativas exactas.
OBSERVACIÓN: x0 puede tomar cualquier valor /.x0∈[a, b]Sea x0=0.5
X₀ arbitrario; Donde: X₀ = 0.5
n = 0X₁ = arcsen(e− x o /10)X₁ = 0.1656
n =1X₂ = arcsen(e− x 1/10)X₂= 0.1183
n =2X₃ = arcsen(e− x 2/10)X₃ = 0.1128
| X₃ - X₂| = 0.05 = 0.5x10¯¹ ≤ 0.5x10¯¹
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Por lo tanto x₃ = X* con 2 cifras significativas exactas.
MÉTODO DE LA SECANTE
Algoritmo:
Paso 1: Dado la ecuación f ( x ) =0. / ∃ x* ∈ [a, b].Paso 2: Generar la {xi} x* Mediante:
x i = f (x i−1 )(x i−2)−f (x i−2 ) (xi−1)
f (x i−1 )−f (x i−2 ) ; Donde i =2, 3,4,…
Paso 3: Dejar de iterar si: |X i−X i−1|≤ E
Caso contrario ir al paso 2.
Ejemplos:
Por el método de la secante obtener una solución con dos cifras significativas exactas.
F(x) = 10.sen(x).e− x -1
Primero hallaremos el intervalo donde exístela raíz.
x F(x)
-1 -23.87
-0.5 -8.90
0 -1
0.5 1.91
1.5 1.23
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Se observa que: f (0).f (0.5) <0 ---> Existe x* ∈ [0,0.5]Entonces ahora:Sea x₀ = 0 y x₁ = 0.5
Para i = 2:
x₂ = f(0.5).0 - f(0).0.5 = 0.551 f(0.5) - f(0)
Para i = 3:
x₃ = f(0.551).0.5 - f(0.5).0.551 = 0.022 f (0.551) - f(0.5)
Vemos que |x₃ - x₂| = 0.0529 = 0.5x10¯¹Como: 0.5x10¯¹ ≤ 0.5x10¯¹ Donde m = 0 y n = 2 Entonces x* = x₃Por lo tanto x₃ = 0.022 es la raíz con 2 cifras significativas exactas.
F(x) = 0.91X³ - 4.9X² + 11.9X – 5
x F(x)
-1 -22.71
-0.5 -12.29
0 -5.00
0.5 -0.16
1.5 4.89
Se observa que: f(0.5).f(1.5)<0 ---> Existe x* ∈ [0.5,1.5]Entonces ahora:Sea x₀ = 0.5 y x₁ = 1.5
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Para i = 2: x₂ = f(1.5).0.5 - f(0.5).1.5 = 0.89 f(1.5) - f(0.5)
Para i = 3:
x₃ = f(0.596).1.5 - f(1.5).0.596 = 1.20 f(0.596) - f(1.5)
Vemos que |x₃ - x₂| =0.031 = 0.3x10¯¹Como: 0.3x10¯¹ ≤ 0.5x10¯¹ Donde m = 0 y n = 2 Entonces x* = x₃Por lo tanto x₃ = 1.20 es la raíz con 2 cifras significativas exactas.
MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON
El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0, ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial muy cercana a la raíz.
Se requiere que f(x) sea doblemente continua y diferenciable en [a, b].
Algoritmo:
Paso 1: Dado la ecuación f(x) = 0 / Existe la raíz X* ∈ [a, b] por T.B.Paso 2: Generar la sucesión {xn} x* mediante la siguiente relación de recurrencia.
X n+1 =X n- f (X n )
f ´ (X n) ; n=0, 1, 2,…
Paso 3: Dejar de iterar si:
|Xn−X n−1|≤ E
Caso contrario ir al paso 2.
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Convergencia de N-R.
Existe {xn} x*
Si: | f ( x ) . f ´ ´ (x)( f ´ ( x )) ² | < 1
Ejemplo:
Sea f(x)=ex-3x; donde x* ∈ [0,1]Primero analizamos su convergencia:
| f ( x ) . f ´ ´ (x)( f ´ ( x )) ²
| X₀ = 0 < 1 0.8052∗1.1052
3.5904 = 0.2479 <1
Si:
f ( x )=ex-3x
f ´ ( x )= ex-3
f ´ ´ ( x )=ex
| f ( x₀ ) . f ´ ´ (x ₀)( f ´ (x ₀ )) ² | x₀ = 1 < 1 Existe {xn} x* Por el método de N-R con x₀ =0.1
Obtendremos una solución con 4 cifras significativas exactas.
n=4
Se deja de iterar si |Xn−X n−1|≤ E =0.5*10¯⁴
n=0
X n+1 =X n- f (X n )
f ´ (X n)
Entonces:
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
X1 =X 0- eX 0−3 X 0
eX0−3
= 0.52493063
Observación: Si X 0 =0.5, estaría más cercano a la raíz.
n=1
X2 =X1- eX 1−3 X1
eX1−3
=0.61315951
n =2
X3 =X2- eX 2−3 X2
eX2−3
= 0.619033363
n =3
X 4 =X3- eX 3−3 X3
eX3−3
= 0.69001281
|X4−X3| = 0.000027923 = 0.3*10¯⁴
Entonces:
x* = X 4 con 4 cifras significativas exactas.
METODO DE PUNTO FIJO O METODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN
DOS VARIABLES
Dado el Sistema:
F(x, y) = 0…… (1)
G(x, y) = 0…… (2)
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
De (1) y (2), despejamos de alguna forma x e y para obtener un sistema de la siguiente forma:
x = f(x, y) = f…… (3)
y = g(x, y) = g…… (4)
La solución de (3) es solución de (1).La solución de (4) es solución de (2).
* Algoritmo del Punto Fijo:1º Paso:
Dado el sistema: F(x, y) = 0G(x, y) = 0
Despejar x ^ y, y obtener el siguiente sistema.x = f(x, y) = fy = g(x, y) = g
2º Paso:Generar la sucesión:
{Xn} xk
^{yn} Yk
Mediante la siguiente relación de recurrencia:
n = 0, 1, 2,…
3º Paso:
Dejar de iterar si:
ε=0.5 ×10m−n+1
; C.C. ir al 2º Paso.Condición de convergencia del punto fijo:
∃ {Xn} xk
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|X n−Xn−1| ≤ ℰ ó|Y n−Y n−1| ≤ ℰ
yn+1 = g(xn, yn) ^Xn+1 = f(xn, yn)
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
^∃ {yn} Yk
Si se cumple lo siguiente:
|f x|(x0 , y0 )+|f y|( x0 , y0 )≤ L<1
^
|gx|( x0 , y0 )+|g y|(x0 , y0 )≤ L<1
Ejemplo: Sea el sistema.
y=x+ 1
x2 … (1)
y23+x
23=4 … (2)
Localizar el intervalo inicial (x0, y0) por el T.B.
De (1) y (2) se tiene:
F ( x )=x23+(x+x−2)
23−4=0
Con intervalo de longitud = l = 1
x F ( x )-2-10123
--∄--+
Con intervalo de longitud = l = 0.1
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f (2 ) . f (3 )<0 → ∃ x❑¿ ∈ [2,3 ]
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
x f ( x )2
2.12.22.32.42.52.62.72.82.93
--------+++
x0=2.7 , en (1 ) : y0=x0+1
x02
→ y 0=2.8 ;m=0
Verificar su condición de convergencia
De: y=x+ 1
x2=g ( x , y )=g
De: x23+ y
23=4→ x=(4− y )
32=f ( x , y )=f
Se requiere que se cumpla: X=(4− y23)
32
|f x|(x0 , y0 )+|f y|( x0 , y0 )≤ L<1
0 + 1 = 1 < 1f x=0 y
f=32(4− y
23)
12−2
3y−13
|f y|=−(4− y
23)
12
y13
|f y|(2.7 , 2.8 )=1.006=1
Como L = 1 ∢ 1 → la solución puede converger o no
^ |gx|( x0 , y0 )+|g y|(x0 , y0 )≤ L<1
0.9 + 0 = 0.9 < 1
gx=1−2 x y¿=0
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 22
f (2.7 ) . f (2.8 )<0 → ∃ x¿ ∈ [2.7 , 2.8 ]
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
|gx|(2.7 ,2.8 )=0.9
Obtener una solución con dos cifras significativas exactas (m = 2) Se deja de iterar si:|X n−Xn−1| ≤ 0.5*10m-n+1 /m=0, n=2
0.5*10-1 ó|Y n−Y n−1| ≤ 0.5*10-1
Sus relaciones de recurrencia son:
De : xn+1=f (xn , yn )→ xn+1=(4− yn
23)
32, n=0 ,1, 2 , ...
^
De : yn+1=g (xn , yn )→ yn+1=xn+ xn−2 , n=0 , 1, 2 ,.. .
Iterando:n = 0; ITERACION INICIAL; con X0 = 2.7 ^ Y0 = 2.8
x1=(4− y0
23)
32=2.85695
y1=x0+x0−2=2.83717
n = 1; PRMERA ITERACION; con X1 = 2.85695^ Y1 = 2.83717
x2=(4− y1
23)
32=2.81969
y2=x1+x1−2=2.97947
n = 2; SEGUNDA ITERACION; con X2 = 2.81969^ Y2 = 2.97947
x3=(4− y2
23)
32=2.68003
y3=x2+x2−2=2.94547
n = 3; TERCERA ITERACION; con X3 = 2.68003^ Y3 = 2.94547
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 23
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
x4=(4− y3
23 )
32=2.71298
y4=x3+ x3−2=2.81926
n = 4; CUARTA ITERACION; con X4 = 2.71298^ Y4 = 2.81926
x5=(4− y4
23)
32=2.83761
y5=x4+ x4−2=2.84885
n = 5; QUINTA ITERACION; con X5 = 2.83761^ Y5 = 2.84885
x6=(4− y5
23)
32=2.80806
y6=x5+x5−2=2.96180
n = 6; SEXTA ITERACION; con X6 = 2.80806^ Y6 = 2.96180
x7=(4− y6
23)
32=2.69712
y7=x6+x6−2=2.93488
n = 7; SEPTIMA ITERACION; con X7 = 2.69712^ Y7 = 2.93488
x8=(4− y7
23)
32=2.7233
y8=x7+x7−2=2.83459
Si:|X 8−X7| = 0.02 = 0.2*10-1 ≤ 0.5*10-1 ^|Y 8−Y 7| = 0.1*10-1 ≤ 0.5*10-1
Cumple con las condiciones dadas, por tanto deja de iterar.
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
METODO DE NEWTON – RAPSON (N.R)
El sistema debe de estar en la forma:F = F(x, y) = 0
G = G(x, y) = 0
Para que tenga solución su Jacobiano = J(x, y) = J ≠ 0
* Algoritmo de N.R.1º Paso:
Dado el sistema: F(x, y) = 0
G(x, y) = 0
2º Paso:Generar la sucesión:
{Xn} xk
^{yn} Yk
Mediante la siguiente relación de recurrencia:
^
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J=|Fx F y
Gx G y|≠ 0
X n+1=X n−|F F y
G G y|(xn , yn)
J (x , y)(xn , yn );n=0 , 1 ,2 , …
Y n+1=Y n−|F x FG x G|(xn , yn )
J (x , y)(xn , yn );n=0 ,1 , 2 , …
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Parar si:
C.C. ir al 2º Paso.
Ejemplo:
y=x+ 1
x2
y23+x
23=4
J (x , y)=|Fx Fy
Gx G y|
F=F ( x , y )= y−x−x−2=0 G=G ( x , y )=x23+ y
23−4=0
F= y−x− x−2→ F x=−1+2 x y¿=1
G=x23+ y
23−4 →G x=
23
xx¿=2
3y−13
J=−23
y−13 + 4
3x−3 y
−13 −2
3x−1
3
*Obtener una solución con dos cifras significativas exactas (m = 2).
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 26
J ( x , y )=2(2 x−3 y
−13 − y
−13 −x
−13 )
3
|X n−Xn−1| ≤ ℰ ó|Y n−Y n−1| ≤ ℰ
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Iterando:
n = 0; ITERACION INICIAL; con X0 = 2.7 ^ Y0 = 2.8
x1=x0−|y0−x0−x0
−2 1
x0
23+ y0
23−4
23
y0
−13 |
23(2 x0
−3 y0
−13 − y0
−13 −x0
−13 )
x1=2.7629
y1= y0−|−1+2x0
−3 y0−x0−x0−2
23
x0
−13 x0
23+ y0
23−4 |
23(2 x0
−3 y0
−13 − y0
−13 −x0
−13 )
y1=2.8937
n = 1; PRIMERA ITERACION; con X1 = 2.7629 ^ Y1 = 2.8937
x2=x1−|y1−x1−x1
−2 1
x1
23+ y1
23−4
23
y1
−13 |
23(2 x1
−3 y1
−13 − y1
−13 −x1
−13 )
x2=2.7632
y2= y1−|−1+2 x1
−3 y1−x1−x1−2
23
x1
−13 x1
23+ y1
23−4 |
23(2 x1
−3 y1
−13 − y1
−13 −x1
−13 )
y2=2.8942
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(X1,f1)
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Si:|X2−X1| = 0.0003 = 0.3*10-3 ≤ 0.5*10-3 ^|Y 2−Y 1| = 0.0005 = 0.5*10-3 ≤ 0.5*10-3
Cumple con las condiciones dadas, por tanto deja de iterar.INTERPOLACIÓN
Supongamos que se conoce f0 , f1, f2, …….fn valores correspondientes a X0, X1, X2, ….., Xn valores independientes de una variable independiente X.( X0<X1<…<Xn) entonces tenemos dos tipos de interpolación.
a) Interpolación directa.- consiste en que dado un valor XP diferente de los Xi pero correspondido entre X0 y Xn, se desea hallar el valor de su imagen fP
b) Interpolación inversa.- consiste en que dado el valor de la imagen fP se desea hallar el valor XP que genera dicha imagen.
1.- INTERPOLACIÓN DIRECTA LINEAL
XP = valor a interpretar f
FP = f (XP) imagen de XP
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 28
F(X)
(
(XP,fP)
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Xo XP X1 X
n
INTERPOLACIÓN DIRECTA DENEWTON -PROGRESIVO Y NEWTON – REGRESIVO.
Para un conjunto de (n+1) puntos igualmente espaciados Interpolación consiste, en dado un valor no considerado x p , en la tabla, se debe hallar su imagen f p. Hay dos tipos de Interpolación.
A) Interpolación Directa. Consiste en que dado x p se debe hallar su imagen f p.
B) Interpolación Inversa. Consiste en que dado el valor de la imagen f p, se debe hallar el valor x p.
1) Interpolación Directa de Newton Progresivo (IDNP)
Se utiliza cuando se desea interpolar un valor x p dado al principio de la tabla o 1er sector de la tabla.Utiliza la siguiente fórmula.
Donde P=x p−x0
h , x p∈ [ x0 , x1 ] , P∈<0,1>¿
Utiliza la siguiente Tabla de omisión de Términos (T.0.T)
∆2 ∆3 ∆4 ∆5
Newton ProgresivoNewton Regresivo
4 8 12 16
Observación:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 29
f p=f 0+P ∆ f 0+P(P−1)
2!∆2 f 0+
P (P−1 )(P−2)3 !
∆3 f 0+…+P¿¿
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Si |∆2 f i|<4 Se tiene Inter. Directa Lineal y se utiliza la fórmula de N.P. hasta la 1ra Diferencia, o sea;
f p¿ f 0+P ∆ f 0.
Si |∆3 f i|<8 Se tiene Inter. Directa No Lineal (IDNL) y se utiliza la fórmula de N.P. hasta la 2da
Diferencia, o sea; f p¿ f 0+P ∆ f 0+P(P−1)
2!∆2 f 0 .
Si |∆4 f i|<12 Se utiliza IDNL y en la formula de NP se utiliza hasta la 3radiferencia, osea
f p¿ f 0+P ∆ f 0+P(P−1)
2!∆2 f 0+
P (P−1 )(P−2)3 !
∆3 f 0.
(4) Tanto en (1),(2) y (3) solo se considera las cifras significativas.
Ejemplo 1: En la Sgte. Tabla si x p =1.05, hallar f p
x 1 1.1 1.2 1.3
f ( x) 4 4.3 4.6 4.9
Sol:
Como|∆2 f i|<4 se aplica IDL y se
utiliza f p de NP hasta la Diferencia anterior o sea hasta
la 1radiferencia
|∆2 f i
|=0<4
P=x p−x0
h=1.05−1
0.1=0.5 → P=0.5 ∈<0,1>
f p¿ f 0+P ∆ f 0 → f p=4+0.5 (0.3 )=4.15
Ejemplo 2: Si x p=6.36
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 30
x f ( x ) ∆ ∆2
1xp=1.051.1
1.2
1.3
4 f p =? 3=∆ f 0
4.3 0=∆2 f 0
34.6 0 34.9
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Hallar f p en la Sgte. Tabla
x f ( x)=log (x) ∆ ∆2 ∆3
6.2 0.79239=f 0
Xp=6.36
fp=? 1279=∆ f 0
6.4 0.30618=f 1 -43=∆2 f 0
1336=∆ f 1 46.6 0.8195 =f 2 -39=∆2 f 1
1297=∆ f 2 16.8 0.83251=f 3 -38=∆2 f 2
1259=∆ f 3 27 0.84510=f 4 -36=∆2 f 3
1223=∆ f 4
7.2 0.85733=f 5
P=x p−x0
h=6.36−6.2
0.2=0.8
f p¿ f 0+P ∆ f 0+P(P−1)
2!∆2 f 0
f p=0.79239+0.8 (0.01379 )+0.8 (0.8−1 )(−0.00043)
2 !=0.803458
Si f ( x)=log(x )
f (6.36 )=0.80345711
2) Interpolación de Newton Regresivo (NR)
Se utiliza cuando se quiere interpolar un valor en la parte final de la tabla. Su fórmula es
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 31f p=f 0+P∇ f 0+P(P+1)
2!∇2 f 0+
P (P+1 )(P+2)3 !
∇3 f 0+…+P ¿¿
x 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2
f ( x)=log (x) 0.79239 0.30618 0.81954 0.83251
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Donde P∈←1,0> y x p=[ x−1, x0]
Ejemplo Si x p=3.9 hallar f p
x f ( x)=ex ∇ ∇2 ∇3 ∇4
3 20.084.45
3.2 24.53 0.985.43 .22
3.4 29.96 1.20 66.63 .28
3.6 36.59 1.48 28.11 .30
3.8 49.7 1.789.89
4.0 54.59 |∇2 f i|<12 Se aplica f pde NR hasta la 3radiferencia
f p=f 0+P∇ f 0+P(P+1)
2!∇2 f 0+
P (P+1 )(P+2)3 !
∇3 f 0
f p=54.59+(−0.5 )(9.89)+−0.5 (−0.5+1 )(1.78)
2 !+−0.5 (−0.5+1 ) (−0.5+2 )(0.30)
3 !f p=49.40375
INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Se utiliza cuando se quiere interpolar un valor en la parte central de la tabla.Se tienen las siguientes formulas:
a) Interpolación de Stirling:
Se aplica si p ∈ ⟨0 , 1/2 ⟩
Su formula es:
f p = f 0 + S1 (δf -1/2 + δf 1/2) + S2δ 2 f 0 + S3 (δ 3 f -1/2 + δ 3 f 1/2) + S4δ 4 f 0 + …
Donde:
S1=12
p ; S2=12
p2 ; S3=
p ( p2−1)2∗3 !
; S4=p2(p2−1)
4 ! ; S5=
p ( p2−1 )( p3−4)2∗5 !
; …
b) Interpolación de Bessel:
Se aplica si p ∈ ⟨1/2 ,1 ⟩
Su formula es:
f p = f 0 + β1δf 1/2 + β2(δ 2 f 0 + δ 2 f 1) + β5δ 3 f 1/2 +…
Donde:
β1= p ; β2=p ( p−1)
2∗2! ; β3=
p ( p−1 )( p−12)
3 ! ; β4=
p ( p−1 ) ( p−2 )( p−12)
2∗4 ! ; …
p=x p−x0
h
c) Interpolación de Everett:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 33
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Se aplica si p ∈ ⟨0 , 1 ⟩
Su formula es:
f p= f 0 E0+ f 1 F0+E2δ 2 f 0+F2δ 2 f 1+E4 δ 4 f 0+F4 δ4 f 1+¿…
Donde:
E0=1−p ; E2=p ( p−1 )(2−p)
3 ! ; E4=
−p (p+1 ) ( p−1 )(p−2)( p−3)5 !
; …
F0=p ; F2=p ( p+1 )( p−1)
3 ! ; F4=
( p+2 ) (p+1 ) p( p−1)(p−2)5 !
; …
*Tabla de Omisión de Términos (T.O.T):
Bessel o Stirling 4 60 20 500 100
Everett 4 no existe 20 no existe 100
Ejemplos resueltos:
En la siguiente tabla se tiene:
X f(x)=x3+ x2+ x +1 δ δ2 δ 3
x0=¿0 1 0.111 0.026 0.006 0
0.1 1.111 0.137 0.032 0.006 0
0.2 1.248 0.169 0.038 0.006 0
0.3 1.417 0.207 0.044
0.4 1.624 0.251
0.5 1.875
Como:
δ 2 ; No cumple
δ 3 ; cumple con la T.O.T, según P se aplica Bessel, Stirling o Everett.
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Entonces hallar: fp
a) Si x p=0.224 ; f p=?
Solución a):
Se sabe que:
x0=0.2
x1=0.3
Entonces:
p=x p−x0
h=0.224−0.2
0.1=0.24∈ ⟨0,1/2 ⟩
Como:
p∈ ⟨0,1/2 ⟩ y|δ 3 f i|<60
→ Se aplica Stirling y Everett porque p∈ ⟨0,1 ⟩
Para Stirling su f p es hasta su 2ºdiferencia, como p∈ ⟨0,1 ⟩ y |δ4 f i|<20 se aplica Everett o hasta su
anterior pero como no existe la 3º diferencia; el f p de Everett es hasta la 2º diferencia.
*Solución según Stirling:
f p = f 0 + S1 (δf -1/2 + δf 1/2) + S2δ 2 f 0
f p = 1.248 + 0.12 (0.137 + 0.169) + 0.0288*0.032
f p = 1.2856416 valor aproximado
Con calculadora:
f p = 1.285415424
*Solución según Everett:
f p= f 0 E0+ f 1 F0+E2δ 2 f 0+F2δ 2 f 1
f p =0.76*1.248+0.24*1417-(0.053504*0.032)-(0.037606*0.038)
f p =1.285415424
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
INTERPOLACIÓN PARA EL CASO DE DATOS NO EQUIDISTANTES
POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE
Sean (X0, f0), (X1, f1),…, (Xn, fn) (n+1) ptos
Entonces existe un polinomio de grado≤ n que para por dichos puntos
(X0<X1<X2<………………………. <Xn)
F(X) = a0(X-X1) (X-X2)…..(X-Xn)+a1(X-X0)(X-X2)….(X-Xn)+……+an(X-X0)(X-X1)(X-X2)...(X-Xn-1)
OBS: en el primer termino falta (X-X0), en el 2º termino (X-X1), y así sucesivamente en el ultimo termino falta (X-Xn) esto es una cualidad de dicho polinomio.
Como f(x) debe contener a los puntos dados
Si X = X0 ; f(X0)= a0(X0-X1) (X0-X2)……..(X0-Xn)
a 0=f(o)(X0-X1 ) (X0-X2) (X0-X3 )………(X0-Xn)
Si X = X1 ; f(X1)= a1(X1-X0) (X1-X2)……..(X1-Xn)
a 1=f(1)(X1-X0 ) (X1-X2) (X1-X3 )………(X1-Xn)
.
.
.
Si X = Xn ; f(Xn)= an(Xn-X0)(Xn-X1)(Xn-X2)……..(Xn-Xn-1)
a n=f (n)(Xn-X1) (Xn-X2 ) (Xn-X3)………(Xn-Xn-1)
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Remplazando los así en el polinomio P(X)
f (X )= (X-X1) (X-X2 )…(X-Xn)(X0-X1) (X0-X2 )…(X0-Xn)
f0+(X1 - X 0 ) ( X1- X2 )…(X1-Xn)
(X1-X0 ) (X1-X2)…(X1-Xn)f1+…+
(X-X0) (X-X1 )…(X-Xn-1) (Xn-X0 ) (Xn-X1 )…(Xn-Xn-1)
fn
L0(X) L1(X) Ln(X)
F(X) = L0(X)fo + L1(X)f1 + ……………. + Ln(X)fn
Polinomio de Lagrange
Donde:
Li (X )= (X-X0 )….. (X-Xi-1 ) (X-Xi+1)…(X-Xn)(Xi-X0 )….. (Xi-Xi-1 ) (Xi-Xi+1)…(Xi-Xn)
Función multiplicadora de Lagrange
TEOREMA.- Sean (X0, f0), (X1, f1),…, (Xn,fn) para los puntos (n+1) y además (X0<X1<X2<……<Xn)
Entonces existe un único polinomio de grado ≤ n que pasa por dichos puntos.
DEMOSTRACIÓN
i). La existencia del polinomio está generalizada por el `polinomio de aproximación de Lagrange.
ii). La unicidad: supongamos que existen dos polinomios P(X) y Q(X) de grado ≤ nque pasan por los puntos dados.Probaremos que P(X) =Q(X) , ∀ x ∈ (X0,Xn )
Consideremos
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
R(X)= P(X) - Q(X)
R(X) es de grado ≤ n (ya que el grado de P(X) y Q(X) es ≤ n)
Además:
R(X0)= P(X0) - Q(X0)= f0-f0 =0
R(X1)= P(X1) - Q(X1)= f1-f1 =0
En general
R (Xi) = 0 ∀ i= 0, 1, 2, 3,……n
Entonces.
X0, X1, X2,…., Xn son las raíces de R(X)
R(X) tiene (n+1) raíces (pero el grado de R(X) es menor o igual a n)
Entonces R(X) debe ser el polinomio nulo (el único que tiene más raíces que su grado)
R(X)= P(X) - Q(X)= 0
P(X) =Q(X) , ∀ x ∈ ( X0 , Xn)
Ahora consideremos
X -1 0 2
Fx 2 1 5
El polinomio P(X) = X2 +1 pasa por estos puntos, también pasa por estos puntos el polinomio Q(X) = X3-2X + 1
¿Contradice el teorema?
No contradice el teorema, ya que el teorema establece que son iguales para aquellos que tengan grado ≤ n=2 , luego pueden muchos otros de grado >n que sean diferentes al del grado grado ≤ n .
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
INTERPOLACION Y APROXIMACION DE LAGRANGE
Polinomio de Lagrange: Dado un conjunto de (n+1) puntos de la forma (x i,f i); i=0, 1, 2,…, n.
Se puede aproximar a un polinomio de grado ≤n.
Sea el siguiente polinomio P ( x )=f (x) a determinar:
Observación:
El polinomio P ( x ) se caracteriza por:
En el 1º término falta el factor (x−x0 ), en el 2º término falta el factor (x−x1 ) , en el 3º termino falta
el factor (x−x2 ) y así sucesivamente, en el n-ésimo termino falta el factor (x−xn ) .
En el polinomio de Lagrange los puntos (x i,f i) no necesariamente son igualmente espaciados, es decir h no es constante.
Para hallar el polinomio de Lagrange se debe hallar los a i; i=0,1,2 , …, n; de la siguiente manera:
Si x=x0
P (x0 )=a0 ( x0−x1) (x0−x2 ) (x0−x3 )… (x0−xn )+a1 (x0−x0 ) (x0−x2 ) (x0−x3 )… (x0−xn )+…+an (x0−x0 ) ( x0−x1) (x0−x2 )… (x0−xn−1 )
f (x0 )=f 0=a0 (x0−x1 ) (x0−x2 ) (x0−x3 )… (x0−xn )
a
0=f (x0)
a0 (x0− x1) (x0−x2) (x0−x3 )…(x0−xn )
Si x=x1
P (x1)=a0 (x1−x1 ) (x1−x2) (x1−x3 )… (x1−xn )+a1 (x1−x0 ) (x1−x2) (x1−x3 )… (x1−xn )+…+an ( x1−x0 ) (x1−x1 ) (x1−x2)… (x1−xn−1 )
f (x1 )=f 1=a0 (x1−x0 ) ( x1−x2 ) (x1−x3 )… (x1−xn )
a
1=f (x1)
a0 (x1− x0 ) (x1− x2 ) (x1−x3)… (x1− xn )
⋮
Si x=xn
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P ( x )=a0 (x−x1 ) (x−x2 ) ( x−x3 )…(x−xn)+a1 (x−x0 ) ( x−x2) (x−x3 )… (x−xn )+…+an (x−x0 ) (x−x1 ) (x−x2 )…(x−xn−1 ).
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
P (xn )=a0 (xn−x1 ) (xn−x2 ) (xn−x3 )… (xn−xn )+a1 (xn−x0 ) (xn−x2 ) ( xn−x3 )…(xn−xn)+…+an (xn−x0 ) (xn−x1 ) (xn−x2 )… (xn−xn−1)
f (xn )=f n=a0 (xn−x0 ) (xn−x1 ) (xn−x2 )…( xn−xn−1)
a
n=f (xn)
a0 (xn− x0) (xn−x1) (xn−x2 )…(xn−xn−1)
Remplazando los coeficientes en P ( x ) ,tenemos:
P ( x )=(x−x1) (x−x2 ) (x−x3 )… (x−xn )
( x0−x1) (x0−x2 ) (x0−x3 )… (x0−xn )f 0+
(x−x0 ) (x−x2 ) (x−x3 )… (x−xn )(x1−x0 ) (x1−x2 ) (x1−x3 )… (x1−xn)
f1+¿+…+
(x−x0) (x− x1 )(x− x2 )…(x− xn−1 )(xn−x0) (xn− x1 )(xn− x2 )…(xn− xn−1 )
f n¿
El polinomio de Lagrange, también se puede expresar como:
P ( x )=∑ Li (x ) f i , i=0 ,1 ,2 , 3 , …, n
Ó
P ( x )=L1 ( x ) f 1+L2 (x ) f 2+…+Ln ( x ) f n
Ejemplo: 1
En la siguiente tabla:
a) Aproximar a un polinomio de Lagrange.
b) Si x p=1.1. Determinar f p por Lagrange.
Tenemos:
X f (x)
x0=¿0¿ 2
x1=¿1¿ 1
x2=¿2¿ 2
x3=¿4 10=nemos : range.un polinomio delagrange . behallar los punton igualmente espaciados ,esdecir hnoes constante .¿
x4=¿ 6¿ 26
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a) Solución:
El polinomio de Lagrange P ( x )=Li ( x ) f i , i=0 , 1, 2 , 3 , …,n , será:
P ( x )=(x−x1) (x−x2 ) (x−x3 ) (x−x4 )
( x0−x1) (x0−x2 ) (x0−x3 ) (x0−x4 )f 0+
(x−x0 ) ( x−x2) (x−x3 ) (x−x4 )(x1−x0 ) (x1−x2) (x1−x3 ) (x1−x4 )
f 1+(x−x0 ) (x−x1 ) ( x−x2) (x−x 4 )
(x2−x0 ) (x2−x1 ranomio de Lagrange ) (x2−x3 ) (x2−x4 )f 2+
(x−x0 ) (x−x2 ) (x−x3 ) (x−x4 )( x3−x0 ) (x3−x1 ) (x3−x23 ) (x3−x4 )
f 3+(x−x0 ) (x−x1 ) (x−x2 ) (x−x3 )
(x 4−x0 ) (x4−x1 ) (x4−x2 ) (x4−x3 )f 4
P ( x )= (x−1 ) ( x−2 ) ( x−4 ) ( x−6 )(0−1 ) (0−2 ) (0−4 ) (0−6 )
∗2+( x−0 ) ( x−2 ) ( x−4 ) ( x−6 )(1−0 ) (1−2 ) (1−4 ) (1−6 )
∗1+( x−0 ) ( x−1 ) ( x−2 ) ( x−6 )(2−0 ) (2−1 ) (2−4 ) (2−6 )
∗2+( x−0 ) (x−2 ) ( x−4 ) ( x−6 )(4−0 ) (4−1 ) (4−2 ) (4−6 )
∗10+(x−0 ) ( x−1 ) (x−2 ) ( x−4 )(6−0 ) (6−1 ) (6−2 ) (6−4 )
∗26
Luego, resolviendo tenemos:
P ( x )=2x3+1
b) Solución:
Como: P ( x )=2x3+1
→ P ( x )=f (x p=1.1 )=2(1.1)3+1=3.662
→ f (1.1 )=2 (1.1 )3+1=3.662
→ f (x p )=3.662
Aprox. E interpolación de un polinomio de newton.
P ( x )=f 0+(x−x0)
(1 )∆ f 0
1 !h+(x−x0)
(2)∆2 f 0
2 !h2 +(x−x0)
(3)∆3 f 0
3! h3 +…+(x−x0)
(n)∆n f 0
n!hn
Donde:
(x−x0)(1)=(x−x0)
(x−x0)(2)=(x−x0)(x−h−x0)
(x−x0)(3)=(x−x0)(x−h−x0)(x−2 h−x0)
(x−x0)(4 )=(x−x0)(x−h−x0)(x−2h−x0)(x−3h−x0)
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(x−x0)(1)¿h=1=( x−1 ) ( x−h−1 )=(x−1)( x−1−1)(x−2)
(x−x0 )(3) ¿h=2=( x−3 ) ( x−h−3 ) ( x−3−2h )=( x−1 ) ( x−3−2 ) ( x−3−4 ) ¿ ( x−3 ) ( x−5 ) ( x−7 )
Ejemplo: 2
Aproximar la siguiente tabla a un polinomio de newton
x f ( x) ∆ ∆2 ∆3
1.1 1.04 =f 0
0.041.2 1.08=f 1 -0.02
0.03 0.021.3 1.11=f 2 -0.01
0.041.4 1.15=f 3
Donde: h=1.4-1.3=0.1
(x−1.1)(1)=(x−1.1)
(x−1.1)(2)= ( x−1.1 ) ( x−0.1−1.1 )=x2−2.3 x+1.32
(x−1.1)(3)=( x−1.1 ) (x−0.1−1.1 ) (x−(2 ) (0.1 )−1.1 )=x3−3.6 x2+2.99 x−1.716
P ( x )=1.04−( x−1.1 )0.04
(1 )(1.1)+(x2−2.3 x+1.32 )(−0.01)
(2 )(1.1)+(x3−3.6 x2+2.99 x−1.716 )(0.02)
(6 )(1.1)
P ( x )= x3
330−0.0165 x2−0.0164 x+1.0684
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PROBLEMAS RESUELTOS
(Método de Newton – Raphson)
F(x)=xex−1 / e¿∈ [0,1]
Cuantas cifras significativas exactas tiene la solución en la 2da iteración.
Solución:
F(x)=xex−1F’(x)=ex+xex
F’’(x)=ex+e x+xex =ex (2+x )
1ro Analizar el pto inicial xₒ optimo / xₒ∈ [0,1]Para xₒ :F(xₒ).F‘’(xₒ)<0 ->xₒ no es valido.Para x₁ =1: F(1).F‘’(1)>0 ->x₁ =1 es valido para iterar.
-> |F (1) .F ‘ (1)
F '(1)2|=0.47 = 0.5 < 1 ->∃ {xn} ->x¿
n=0 Xn+₁=Xn-F (xn)
F ’ (xn) => Xn+1 = Xn –
Xn. ex
ex (xn+1)
Con X₀=1
X₁ = X₀ – X ₀.. e X0−1e x₀(x ₀+1)
X₁=0.683939
1ra Iteración.
X₂ = X₁ – X ₁. eX ₁−1e x₁(x ₁+1)
X₂=0.5774544772
2da Iteración.
X₃ = X₂ – X ₂. e X ₂−1ex ₂(x₂+1)
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n=1
n=2
1
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|X₃ - X₂|=0.01=0.01*10−1 ≤ 0.5∗10−n
n=1 -> X₃=X ¿ con 1 cifra significativa.
(Método del Punto fijo)
Resolver por el método por el punto fijo con 1 cifra decimal exacta.
Solución:{}
X=e y de (1)Remplazando en (2)F (y)=e2 y+4 y2−4
Y F (y)0 -1 +2 +
Y F (y)0 -0.5 -0.6 +1
Según (*)Sea Y₀=0.5 -> X₀=e yₒ=0.6Se tiene el punto inicial X₀=1.6 y Y₀=1.5 muy cercano a la raiz.X= 2√1− y2 -> fY= LnX -> g
fx=0 fy=−2 y
√1− y2
gx=1x
gy=0
fx(1.6;1.5)=0 fy(1.6;1.5)=0.5773502642gx(1.6;1.5)=0.625 gy(1.6;1.5)=0
|fx(1.6;1.5)+fy(1.6;1.5)|=0.57785026 < 1 |gx(1.6;1.5)+gy(1.6;1.5)|=0.625 < 1
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Xe− y-1 =0 (1)X2+4 y2− y=0 (2)
F (0).F(1)<0 ->∃y¿∈ [0,1]
F (0.5).F(0.6)<0 ->∃y¿∈ [0.5,0.6]……(*)1er intervalo para F(y)=e2 y+4 y2−4
2
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->∃{Xn} ->x¿∃{Yn} -> y¿ Mediante la Sgte. Relación.
Xn+₁=2√1−Yn2 n=0, 1, 2Yn+₁ =Ln(Xn) n=0, 1, 2
Dejar de iterar |Xn+₁-Xn|≤0.5*10−k
Iterando como punto inicial [Xₒ,Yₒ]=[1.6;1.5X₁=2√1− yₒ2=1.732050Y₁=0.4700036292
X₂=1.765328965Y₂=0.5493061446
X₃=1.671242364Y₃=0.5683370555
X₄=1.645591676Y₄=0.5135672804
X₅=1.716098655Y₅=0.49810001
X₆=1.734239187Y₆=0.5400534907
|X₆-X₅|=0.018 = 0.02 = 0.2*10−1≤0.5*10−1
|Y₆-Y₅|=0.04 = 0.4*10−1≤0.5*10−1
->-> X₀=X ¿ y Y₀=X ¿ son raices con una cifra significativa.
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n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
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(Método del Punto fijo)
Por el método de N-R, resolver el sistema:{}
a) Localizar el intervalo donde existe la raízb) Verificar su condición de convergenciac) Hallar una solución con 4 cifras decimales exactas.
Solución:
a) Y=Lnx de (1)Remplazando en (2) x2+4 y2−4=0
x2+4 ln2 x−4=0-> F(x)=x2 4 ln2 x−4
Utilizando el T.B. localizamos el intervalo donde existe la raiz.
x F(x)1 -2 +
x F(x)1.6 -1.7 +Sea X₀=1.6 ; Y₀?De (1) -> Y=Lnx = Ln(1.6)=0.47 -> Y₀=0.47
Entonces: {
b) Sea F(x,y)=Xe− y-1
G(x,y)= X2+4 y2− y
Fx(x,y)= e− yFy(x,y)=-X.e− y
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Xe− y-1 =0 (1)X2+4 y2− y=0 (2)
F (1).F(2)<0 ->∃y¿∈ [1,2]F(1.6).F(1.7)<0 ->∃y¿∈
X₀=¿1.6Y₀=¿0.47
Pto más cercano de la raíz.
3
Fx FGx G
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Gx(x,y)=2X Gy(x,y)=8y
J(x,y)=| |=| |
= 5.550020142 ≠ 0
Y como (X₀ ,Y₀) es muy cercano:->->∃ {xn} ->x¿ y ->∃ {yn} -> y¿
c) Dejamos de iterar si:|Xn-Xn+₁|≤0.5*10−k=0.5*10−4
|Yn-Yn+₁|≤0.5*10−k=0.5*10−4
Ahora:
| |=| |
8Y [Xe− y-1]+ X.e− y [X2+4 y2− y ]
| |=| |= e− y[X2+4 y2−4]-2x [-X.e− y]
Veamos que la formula de recurrencia asi:
Xn+₁=Xn - 8 Yn[X ne− yn−1]+Xn.e− yn [X 2n+4 y2 n−4]
8Yn e− y+2 X2n . e− yn ;
n=0, 1, 2,..
Yn+₁=Yn - e−Yn [X2 n+4Y 2n−4 ]−2 X2 n[Xn . e−Yn−1]
8Yn. . e−Yn+2 X2 n .. e−Yn
n=0, 1, 2,…Siendo Pₒ inicial: (1.6;0.47)=(Xₒ;Yₒ)
X₁=1.6 – (−0.55639349)
5.550020142=1.700250715
Y₁=0.47- (−0.347762875)
5.550020142= 0.53265975
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e− y X.e− y
2x 8y
F FyG Gy
Xe− y-1 -X.e− y
X2+4 y2− y8y
e− y-X.e− y
2 x X 2+4 y2−4
n=0
Fx(x,y) Fy(x,y)Gx(x,y) Gy(x,y)
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X₂=1.700250715 – (1.700250715)5.895647875
=1.697250462
Y₂=0.53265975- (0.021521708)5.895647875
= 0.52900931
X₃=1.697250462– (0.0006361619225)
5.887990917=1.6972239658
Y₂=0.53265975- (0.00003597217252)
5.887990917= 0.5290032
Luego|X₃ - X₂|= 0.000026=0.00003=0.3*10−4≤0.5*10−4
->X ¿=X 3 con 4 cifras significativas decimales exactas.
|Y₃ - Y₂|= 0.0000061=0.00001=0.1*10−4≤0.5*10−4
->Y ¿=Y 3 con 4 cifras significativas decimales exactas.
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n=1
n=2
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METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES
La factorización matricial consiste en expresar una matriz cuadrada en el producto de otras dos matrices.
FACTORIZACIÓN MATRICIAL “LU”
(Método de Crout – Doolitle)
Consiste en factorizar una matriz cuadrada “A” en un producto “LU”. Esto es:
Donde:
A: es la matriz a factorizar
L : es una matriz triangular inferior, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Se llama “L” porque viene de la palabra inglesa “low”, que significa “bajo”.
U : es una matriz triangular superior, cuyos elementos se hallan por el método de la eliminación gaussiana. Se llama “U” porque viene de la palabra inglesa “up”, que significa “arriba”.
NOTAS:
. Este tipo y todos los tipos de factorización matricial se basan en el “método de eliminación gaussiana”.
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A=L. U
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. Aunque no todas las matrices admiten este tipo de representación, muchas de las que aparecen frecuentemente en las aplicaciones de las técnicas numéricas sí la tienen.
. La factorización “LU” es especialmente útil cuando hay que resolver varios sistemas lineales con la misma matriz de coeficientes “A”, puesto que el proceso de las operaciones se realiza solamente una vez.
. Desde un punto de vista práctico, esta factorización sólo será útil cuando los intercambios de filas no sean necesarios para controlar los errores que aparecen por utilizar aritmética con un número finito de cifras.
. También se podría decir que la factorización “LU” solamente es aplicable cuando los determinantes de las submatrices de “A” son todos distintos de cero.
Ejemplo
Sea la matriz A=(2 0 −14 3 41 2 5 ) =(
l11 0 0l21 l22 0l31 l32 l33
)=(u11 u12 u13
0 u22 u21
0 0 u33)
El sistema tiene nueve ecuaciones con doce incógnitas, entonces existen infinitas soluciones. Para que tenga solución debemos fijar tres variables libres, puede ser lii=1 o uii=1
Sea uii=1 → u11= u22= u33=1,
A=(2 0 −14 3 41 2 5 ) = (l11 0 0
l21 l22 0l31 l32 l33
)(1 u12 u13
0 1 u21
0 0 1)
L U
Resolviendo la ecuación matricial se tiene los siguientes resultados:
l11=2, l21=4, l31=1
u12=0, l22=3, l32=2
u13=−12
, u23=2, l33=32
A=(2 0 −14 3 41 2 5 ) = (2 0 -1
4 3 41 2 5 )(1 0
−12
0 1 20 0 1
) PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 50
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
L U
Observación.- El método Crout – Doolitle sirve para resolver un sistema de ecuaciones usando la factorización L U mediante las siguientes igualdades:
A.x = B L.y = B
L.U.x = B U.x = y
PRIMER METODO DIRECTO:
MÉTODO CROUT-DOOLITLE.
Para un sistema lineal de la forma:
Donde A se factoriza de la forma:
L: Matriz Triangular InferiorU: Matriz Triangular Superior
Sea:A . X=BL .U . X=B
L .Y=B Y U . X=Y
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A . X=B
A=L. U
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo:
Sea la matriz A . X=B
(2 0 −14 3 41 2 5 )(
x1
x2
x3)=(542)
Para L .Y=B
(2 0 04 3 0
1 232)( y1
y2
y3)=(542)
Para U . X=Y
(1 0−12
0 1 20 0 1
)(x1
x2
x3)=(
52−273)
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y1=52
, y2=−2 , y3=73
x1=113
, x2=−20
3, x3=
73
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SEGUNDO METODO DIRECTO
METODO DE CHOLESKY
También para resolver el sistema Ax = b para aplicar cholesky se debe cumplir lo siguiente:
Simetrico
1° que XtAX>0 / X=|X 1X 2X 3| → Xt = (X1 X2 X3)
“A” definida Positiva 2° cada sub determinante sea positiva es decir: A33
|a11|>0|a 11 a 12a21 a 22|>0|a 11 a12 a 13
a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33|>0
1º versión de cholesky
Ejemplo: 1
Aplicar cholesky al sistema siguiente:
|4 1 21 2 02 0 5||
X 1X 2X 3|=|
124|
A es simétrico
¿A es definida positiva?
Se debe de cumplir que XtAX>0
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[X 1 X 2 X 3 ]|4 1 21 2 02 0 5||
X 1X 2X 3|
(4 X 1+X 2+2 X 2 )X 1+(X 1+2 X 2 ) X 2+ (2 X 1+5 X 3 ) X 3
4 X12+X1 X2+2 X1 X3+X1 X2+2 X2
2+2 X1 X3+5 X32
4 X12+2 X1 X2+2 X2
2+2 X1 X3+5 X 32
Se puede aplicar cholesky
Ax = b
A = L*Lt
A=|4 1 21 2 02 0 5|=|
l11 0 0l 21 l 22 0l 31 l 32 l 33||
l11 l 21 l 310 l 22 l 320 0 l 33|
l11=2
l21 = ½
l31 = 1
l22 = √72
l32 = −√77
l33 =√ 277
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L*LtX = b Y = LtX
L*Y = bLt*X = Y
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
L*Lt = A=|2 0 0
1/2 √72
0
1−√7
2 √ 277||
2 1/2 1
0 √72
−√72
0 0 √ 277|
Ax = b
L*LtX = b
Para L*Y = b
|2 0 0
1/2 √72
0
1−√7
2 √ 277||Y 1
Y 2Y 3|=|
124|
Y1 = ½
Y2 = √72
Y3 = 4*√ 277
Para Lt*X = Y
|2 1/2 1
0 √72
−√72
0 0 √ 277||X 1
X 2X 3|=|
1/2√72
4∗√ 277|
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Lt*X = YL*Y = b
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
X1 = 28/27 X2 = 35/27 X3 = -16/27
Ejemplo: 2
(Métodos de Cholesky para hallar el sistema Ax=B)
Resolver el siguiente sistemas por Cholesky.
(4 2 02 5 20 2 6 ) ¿ (x1
x2
x3) ¿ (235 )
Solución:
• A=A t
, entonces A
es simétrica.
• x t Ax >0
, luego A
es definida positiva.
Factorizamos la matriz A=LLT
A=(4 2 02 5 20 2 6 )=(
l11 0 0l21 l22 0
l31 l32 l33)×( l11 l21 l31
0 l22 l32
0 0 u33)
Para la 1ra
columna tenemos:
l112 =4→ l11=2
l21 l11=2→ l21=1l31 l11=0→ l31=0
Para la 2da
columna tenemos:
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
l11 l21=2
l212 + l22
2 =5→ l22=2l31 l21+l32 l22=2→ l32=1
Para la 3ra
columna tenemos:
l11 l31=0l21 l31+l22 l32=2
l312 + l32
2 +l332 =6→ l33=2
L=(2 0 01 2 00 1 2 ) , Lt=(2 1 0
0 2 10 0 2 )
Del sistema Ax=b→LLt x=b
, luego Ly=b
y Lt x= y
Para Ly=b
(2 0 01 2 00 1 2 )×(
y1
y2
y3)=(235 )⇒ y=(112)
Para Lt x= y
(2 1 00 2 10 0 2 )×(
x1
x2
x3)=(112)⇒ x=(
1201)
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
2. Segunda versión de cholesky
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
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TERCER METODO DIRECTO:
MÉTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Sea el sistema de ecuaciones de la forma:
a11 x1+a12 x2+………………+0=b1 ………. (1)
a21 x1+a22 x2+a23 x3+……………+0=b2 ………. (2)
0+a32 x2+a33 x3+a34 x4+……+0=b3 ………. (3)
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(a1 … 0⋮ ⋱ ⋮0 … an
)(x1
⋮xn)=(b1
⋮bn)
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
……………………………………………………… 0+…+an−1 , n−2 xn−2+an−1 , n−1 xn−1+an−1 ,n xn=bn−1 ………. (n-1) 0+………………+an ,n−1 xn−1+an ,n xn=bn ………. (n)
ALGORITMO TRIDIAGONAL:
P-1: Del sistema A . X=B , expresarlo como A . X=B
P-2: Sea x1=C, C es constante arbitraria / C ϵ Z∪ {0 }
De la Ec. (1) despejar x2
De la Ec. (2) despejar x3
De la Ec. (3) despejar x4
………….De la Ec. (n-1) despejar xn
De la Ec. (n) despejar xn+1
Pero como no existe xn+1 se hace lo siguiente:
Tal que: R=(0,0 , …, r )t donde R: vector residual
Se tiene x1=(x1 , x2 , …, xn )t
Si r=0→ x1 es solución de A . X=BSi r ≠ 0 → x1 es solución de A . X1=B+R
P-3: Del sistema A . X=B expresarlo como A . X=θ y sea x1=C , se procede como P-2, llegando a lo siguiente:
Tal que: S= (0,0 , …, s )t donde S: vector residual
Se tiene x2=(x1 , x2 , …, xn )t
Si r=0→ x2 es solución de A . X=θSi r ≠ 0 → x1 es solución de A . X2=θ+S
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 61
an ,n−1 xn−1+an ,n xn=bn+R
an ,n−1 xn−1+an ,n xn=0+S
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
∴ Se tiene: A . X1=B+R …….. ( i ) A . X2=θ+S …….. ( i )
( i )−α . ( ii ): A (x1−α . x2 )=B+(r−α . s )
0
Se busca una relación: x=x1−α . x2
Tal que: (r−α . s )=0 → α= rs
Ejemplo:
Resolver:
x1+ x2=12x1+ x2−x3=−92x2+2 x3−x4=3
x3+2 x4=7
Del sistema A . X=B → A . X=B
x1+ x2=1 ……… (1)
2x1+ x2−x3=−9 ….….. (2)
2x2+2 x3−x4=3 ……… (3)
x3+2 x4=7 ……… (4)
Sea x1=C, C ϵ Z∪ {0 }→ x1=0
De (1): x2=1De (2): x3=10De (3): x4=19
De la ec. (4) despejo x5 , pero como no existe x5
x4+2 x4=7+r →
x1=(x1 , x2 , …, xn )t
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r=41
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
x1=(0,1,10,19 )t
Del sistema A . X=B → A . X=θ
Sea x1=C , C arbitrario → x1=4 , luego se procede como P-2
x1+ x2=0
x2=−4 , en 2 x1+ x2− x3=0 x3=4 , en 2 x2+2 x3− x4=0 x4=0 , en x3+2 x4=0+s
→
Observación: Si s=0→ cambiar el valor inicial de x1
x2=(x1 , x2 , x3 , x 4 )
t
x2=(4 ,−4,4,0 )t
Se busca una solución x=x1−α . x2
Tal que: α=rs
→
Verificando: 2x1+ x2−x3=−9
2(−41 )+ (42 )− (−31 )=−9
−9=−9
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x1=−41, x2=42 , x3=−31 , x 4=19
s=4
α=414
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 2
(Solución de sistemas lineales en Tribanda)
Sea Ax=Ben Tribanda.
(1 ) X1+X2+0 X3+0 X4=1
(2 )2 X1+X2−X 3+0 X4=−9
(3 )0 X1+2 X2+2 X3−X4=15
(4 )0 X1+0 X2+X3+2 X 4=1
Algoritmo del sistema Tridiagonal
Solución:
Del sistema Ax=B → A x=B
(1 ) x1+x2+0 x3+0x4=1
(2 )2 x1+x2−x3+0 x4=−9
(3 )0 x1+2 x2+2x3−x4=15
(4 )0 x1+0 x2+x3+2x4=1
Sea x1=C, C vector arbitrario talque Cϵ Z∪ {0 }
Entonces:
De (1) despejo x2:
(1 ) x1+x2=1
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x1=1
x2=0
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
De (2) despejo x3:
(2 )2 x1+x2−x3=−9
De (3) despejo x4:
(3 )2 x2+2 x3−x4=15
De (4) despejar x5; pero∄ x5:
(4 ) x3+2 x4=1+r
11+14=1+r
Y se tiene que:
x1=(x1 , x2 , x3 , x4)
x1=(1,0,11,7)
Ahora expresarlo como A x=0 , 0es un vector nulo.
(1 ) x1+ x2=0
(2 )2 x1+ x2− x3=0
(3 )2 x2+2 x3− x4=0
(4 ) x3+2 x4=0
Sea x1=c , cϵZ− {0 }
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r=24
x3=11
x4=7
x1=1
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
De (1) despejar x2 :
(1 ) x1+ x2=0
De (2) despejar x3 :
(2 )2 x1+ x2− x3=0
De (3) despejar x4:
(3 )2 x2+2 x3− x4=0
x2=( x1 , x2 , x3 , x 4 )
x2=(1 ,−1,1,0 )
De (4) despejar x5 , pero∃ x5entonces:
(4 ) x3+2 x4=0+s
α= rs=24 → α=24
Entonces:
x=x1−αx 2
x=(x1
x2
x3
x4
)=( 10117)−24 (
1−110)
(x1
x2
x3
x4
)=(−2324−13
7)
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x2=−1
x3=1
x4=0
s=1
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Comprobación:
2 X1+X2−X3=−9
-46+24+13
-22+13=-9
CUARTO METODO DIRECTO
MÉTODO PENTADIAGONAL PARASISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
(⋯ 0⋮ ¿
⋮ ¿0¿⋯¿¿)(x1
x2
⋮⋮xn
)=(x1
x2
⋮⋮xn
) A x bAlgoritmo PentadiagonalP-1 Dado el sistema Ax=b , expresarlo en la forma Ax=b y definir x1=C ∧ x2=DDonde C ∧ D son constantes arbitrarias.P-2 De Ec (1) despejar x3
De Ec (2) despejar x4 ⋮ PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 67
Ec (1)Ec (2)⋮Ec (n)
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
De Ec (n-2) despejar xnDe Ec (n-1) despejar xn+1De Ec (n) despejar xn+2Como no existe xn+1 se hace lo siguiente :an−1, n−2 xn−2+an−1 , n−1 xn−1=bn−1+R1 Como no existe xn+2 se hace lo siguiente :an ,n−1 xn−1+an ,n xn=bn+R2 Donde R=(R1
R2) es un vector residual.
Si R=0 → x1=(x1 , x2 , …, xn )t es solución del sistema A.x = b
Si R ≠ 0⟶x1 es solucióndel sistema A . x1=b+R
P-3 : La primera solución homogénea del sistema A.x = b se debe expresar como A x=θ , dondeθ es el vector nulo;luego definir x1=C y x2=Den la cual se considera C y D como constantes arbitrarias, finalmente se procede similar al paso anterior (P-2) llegando a la siguiente soluciónan−1, n−2 ´xn−2+an−1 , n−1 ´xn−1=θ+s1 an ,n−1 ´xn−1+an ,n xn=θ+s2 en donde S=(s1
s2) es un vector residual.
Si S=0→ x2=( x1 , x2 , …, xn )t es solución del sistema A.x = b
Si S ≠ 0⟶x2 es solucióndel sistema A . x2=θ+S P-4 : La segunda solución homogénea del sistema A.x = b se debe expresar como A x=θ , dondeθ es el vector nulo;luego definir x1=C y x2=Den la cual se considera C y D como constantes arbitrarias, finalmente se procede similar al paso P-2 llegando a la siguiente solución.
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
an−1, n−2 ´xn−2+an−1 , n−1 ´xn−1=θ+T 1 an ,n−1 ´xn−1+an ,n xn=θ+T 2 en donde T=(T1
T2) es un vector residual.
Si T=0 → x3=( x1 , x2 ,…, xn )t es solución del sistema A.x = b
Si T ≠ 0⟶ x3es solución del sistema A . x3=θ+T P-5 : Finalmente se llegará al siguiente sistema
A . x1=b+R ………(1) A . x2=θ+S ………(2) A . x3=θ+T ……….(3)Luego hacemos (1) – α (2 )−β (3) y se llega a lo siguienteA (x1−α (2 )−β (3 )¿=b+(R−αS−βT )
X θSe busca luego una solución en donde R −αS−βT = θ / X=x1−α x2−β x3 Entonces la solución del sistema A.x = b estará dado por
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X=x1−¿ α x2−β x3
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema pentadiagonal2X1+ 3X2+ X3 = 8 Ec(1)3X1+ 2X2 + 4X3 + X 4 = 15 Ec(2)X1+ 4X2 + X3 + 4X 4 + 2X5 = 13 Ec(2) X2 + 4X3 + 2X 4 + X5 = 19 EC(4) 2X3 + X 4 + 7 X5 = 15 EC(5)PASO DEL ALGORITMOP-1: Expresar el sistema como A. X= b2X1 + 3X2 + X3 = 8 Ec(1)3X1 + 2X2 + 4X3 + X 4 = 15 Ec(2) X1 + 4X2 + X3 + 4X 4 + 2X5 = 13 Ec(3) X2 + 4X3 + 2X 4 + X5 = 19 Ec(4) 2X3 + X 4 + 7X5 = 15 Ec(5)Sea X1 = 0 ⋀ X2 = 1 cte arbitrarioP-2: DE Ec(1) despejar X3 → X3 = 5 pues 0 + 3(1) + X3 = 8DE Ec(2) despejar X 4 → X4 = −¿7 pues 0 + 2(1) +4(8) + X 4 = 15DE Ec(3) despejar X5 → X5 = 16
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
pues 0 + 4(1) + 5 + 4(−¿7) + 2X5 = 13DE Ec(4) despejar X 6; como ∄ X 6, hacemos lo sgte. :X2 + 4X3+ 2X 4 + X5 = 19 + R11 + 4(5) + 2(−¿7) + 16 = 19 + R1 → R1= −¿45 De la Ec(5) despejar X7 ; como X7 ∄ hacemos2X3+ X 4+ 7X5= 15 + R22(5) + (−¿7) +7(16) = 15 + R2 → R2 = 100R = (−45
100 ) , como R ≠ 0; A. x1= b + RSe tiene: x1 = ¿= ¿ ó X1=( X1 , X2 , X3 , X4 , X5 )
t
P-3:Primera solución homogénea del sistema A.x = b, expresarlo Como A.x= θ2X1+ 3X2+ X3 = 0 Ec(1)3X1+ 2X2+ 4X3+ X 4 = 0 Ec(2) X1+ 4X2+ X3+ 4X 4+ 2X5 = 0 Ec(3) X2+ 4X3+ 2X 4+ X5 = 0 Ec(4) 2X3+ X 4+ 7X5 = 0 Ec(5) Sea X1= 10 ⋀ X2= 20 De Ec(1) despejar X3; → X3 = −¿80 pues 2(10) + 3(29) + X3 = 0De Ec(2) despejar X 4;→ X4= 250 x2=¿ ¿
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
pues 3(10) +2(20) + 4(−¿8) + X 4= 0 De Ec(3) despejar X5;→ X5= −505
pues 10 + 4(20) + (−¿80) + 4(250) + 2X5 =0De Ec(3) despejar X6; como ∄ X6 hacemosX2+ 4X3+ 2X 4+ X5= 0 + S120 + 4(−¿80) + 2(250) + (−¿505) = 0 + S1; → S1= 1445De Ec(5) despejar X7; como ∄ X7 hacemos 2X3+ X 4+ 7X5= 0 + S2 ;→ S2=−3445 S = ( 1445
−3445) 2(−80¿+ (250) + 7(−505¿= 0 + S2 = 0 P-4: Segunda solución homogénea del sistema A.x = bexpresar A.x= 02X1+ 3X2+ X3 = 0 Ec(1) 3X1+ 2X2+ 4X3+ X 4 = 0 Ec(2) X1+ 4X2+ X3+4 X 4+ 2X5 = 0 Ec(3) X2+ 4X3+2X 4+ X5 = 0 Ec(4) 2X3+ X 4+ 7X5 = 0 Ec(5)Sea X1= 20 ⋀ X2= 10 De Ec(1) despejar X3; → X3= −70
pues 2(20) + 3(10) + X3= 0 De Ec(2) despejar X 4 → X4= 200
3X1+ 2X2+ 4X3+ X 4= 03(20) + 2(10) + 4(−70) + X 4= 0
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
De Ec(3) despejar X5 → X5= 395X1+ 4X2+X3+ 4X 4+ 2X5= 020 + 4(10) + (−70¿+ 4(200) + 2X5= 0De Ec(4) despejar X 6 como ∄ X 6, hacemos X2+ 4X3+2X 4+ X5= 0 + T 1 → T1= 192510 + 4(−70¿+¿2(200) + 395 = 0 + T 1
De Ec(5) despejar X7; como ∄ X7 hacemos
2X3+ X 4+7X5= 0 + T 2
T = (T 1
T 2)= ( 1995−2705) ; X3= (
X1
X2
X3
X4
X5
)=( 2010−70200395)
A.x3 = θ + TP-5: Y se llega a lo siguiente A.x1= b + RA.x2= 0 + SA.x3= 0 + T R – αS – βT = 0 R= (−45
100 ) PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 73
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
αS + βT = R S = ( 1445−3445)
α ( 1445−3445)+ β ( 1445
−3445)= (−45100 ) T = ( 1925
−2705) 1445α+ 1925β = −45 ; α = −¿0.025992507 −3445 α −¿2705β = 100 ; β = −¿0.003865364X = X1−¿ α X2−¿ βX3 X = ¿= ¿ + 0.025992507 ¿+ 0.003865364 ¿ X = ¿Comprobación : Ec(1) 2X1+ 3X2+ X3= 80.6744647 + 4.67551134 + 2.65002396 = 8 8 = 8 Cumple!!!Y tambien cumple todas las ecuaciones…
NORMA DE UNA MATRIZ
La Norma de una matriz An× n es un número real tal que satisface las siguientes condiciones
Principales Normas
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( i )‖A‖>0 y‖A‖=0 , si A=0( ii ) ‖τA‖=|τ|‖A‖, en particular‖−A‖=‖A‖, donde|−1|=1(iii ) ‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖( iv )‖AB‖≤‖A‖‖B‖
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 1:
Sea A=−1 −2 34 5 67 8 9
‖A‖m=max {|−1|+|−2|+3,4+5+6,7+8+9 }=max {6,15,24 }=24
‖A‖l=max {|−1|+4+7 ,|−2|+5+8,3+6+9 }=max {12,15,18 }=18
‖A‖k=√(−1)2+(−2)2+32+..+82+92=√285=16.9
Para el vector X =
x1
x2
:.
xn
→ ‖X‖m=max {x }
‖X‖l=|x1|+|x2|+..+¿xn∨¿
‖X‖k=√¿ x1∨¿2+¿x2∨¿
2+¿x3∨¿2¿¿¿
Ejemplo 2:
Sea X = (−2 30 1−4)t
‖X‖m=max {|−2|, 3 , 0 ,1,|−4|}=4
‖X‖l=|−2|+3+0+1+|−4|=10
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-Norma “m” o Norma ∞ → ‖A‖=max i∑j
¿ aij∨¿¿
-Norma “l”, ‖A‖l=max j∑i
¿a ij∨¿¿
-Norma “k”, ‖A‖k=√∑i , j|aij|
2
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
‖X‖k=√(−2)2+32+02+12+(−4 )2=30
SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PRIMER METODO:
METODO DE JACOBI
Dado el sistema AX=b………… (1)Despejamos X de la ecuación 1 obteniendo un sistema equivalente de la forma: X = β + αX……… (2)De la siguiente manera.
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Ec.(1) a11X1+a12X2+ …………………………………………………….. +a1mXm = b1
Ec.(1) a21X1+a22X2+ …………………………………………………….. +a2mXm = b2
Ec.(1) a31X1+a32X2+ …………………………………………………….. +a3mXm = b3
Ec.(1) am1X1+am2X2+ …………………………………………………….. +ammXm = b1
Donde:
Despejamos X; de la Ec. (i); i=1,2,3, …. , m
X = β + αi-1X
X1 = b 1a 11−a 12
a 11X 2−a 13
a 11X 3−… ………−a 1m
a 11X m
X2 = b2a 22−a21
a22X 1−a23
a22X 3−…………−a 2m
a 22X m
Donde:
β = bi/aii ; aii ≠ 0 ; β = (β1,β2, … … … ,βm)t
α = αij = -aij/aii α =
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 77
.
.
.
.
.
.
………. (2)
[ 0 α 12α 21 0
⋯ α 1mα 2m
⋮ ⋱ ⋮α m1 α m2 ⋯ 0
]
X =|X 1⋮
X m|
A = [ a 11 ⋯ a1m⋮ ⋱ ⋮
am1 ⋯ amm] b = |b1⋮
b m| y si aii ≠ 0
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
El sistema (2) anterior se puede expresar en la siguiente forma X = β + αX
X = β + αX
|X 1⋮
X m|=|X 1⋮
X m|+[ 0 α 12α 21 0
⋯ α 1mα 2m
⋮ ⋱ ⋮α m1 α m2 ⋯ 0
]∗| X 1⋮
X m| … (2)
El Sistema (2) sugiere Jacobi la siguiente relación de recurrencia
X (k+1) = β + αX (k), k=0, 1, 2, … … …
Ó …………………….. (3)
X (k) = β + αX (k-1), k=1 , 2, … … …
De la relación (3) se obtiene la sucesión {Xk} ∞k=0 tomando como valor inicial X (0) arbitrario, que
generalmente X (0)=0 ó X (0)=β ó β=1
Obs. X (k+1) = (X1(k+1),X2
(k+1), … … … … … … … … … … … … … , Xm(k+1))t
X (0) = (X1(0), X2(0),… … … … … … … … … … … … … …, Xm
(0)) t
ALGORITMO DE JACOBI:
P-1 Dado el Sistema Ax = b………………………… (1)
Expresarlo en el sistema equivalente X = β + αx…………………… (2)
P-2 Tomando como solución inicial X (0) arbitrario generar la sucesión {X (k)} → X (*) mediante la relación de recurrencia:
X (k+1) = β + αx (k) , k=0, 1, 2,… ….….…
Ó
X (k) = β + αX (k-1) , k=1,2,… … …
P-3 Dejar de iterar si PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 78
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
(|| X (k) – X (k-1) ||)/ || X (k) || <= ε = 10-m
C.C. ir al P-2
NOTACION MATRICIAL DEL METODO DE JACOBI
Sea el sistema Ax = b
Donde:
La matriz A se le puede descomponer en la forma A = D +L + U, donde
Matriz Diagonal Matriz Triangular inferior Matriz Triangular superior
Así el sistema Ax = b se le puede expresar como:
(D + L + U)X = b
DX + (L + U) X = b
DX = b – (L + U) X
X = D-1b – D-1(L + U) X
X = D-1b + [-D-1(L + U)] X → β = D-1b ^ α = -D-1(L + U)
Si el método de Jacobi es X = β + αX
Matricialmente es: → X = D-1b – D-1(L + U) X
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D=[a11 00 a 22
⋯ 00
⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ amm
]L=[ 0 0α 21 0
⋯ 00
⋮ ⋱ ⋮α m1 … a m(m-1) 0
]U=[0 α 120 0
⋯ α 1mα 2m
⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ 0
]
A =
a 11 a 12 … a 1ma 21 a 22 … a 2m⋮
a m1⋮
a m2⋱ ⋮… a mm
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Su relación de recurrencia es X (k+1)= D-1b – D-1 (L + U) X (k) , k=0, 1, 2 …
Ejemplo. 1
Sea el sistema siguiente:
10 X 1+X 2+X 3=12X 1+10 X 2+X 3=12X 1+X 2+10 X 3=12
Con un ε = 10-1
Verificar su convergenciaƎ {X (k)} → X (+) Si ||α | |∞ < 1
Obs. Para que se cumpla ||α | | < 1 es necesario que del sistema Ax = b, A sea diagonalmente dominante.
De (1) → X1: X1 = 12/10 ó (-1/10) X2-(1/10)X3
(2) → X2: X2 = 12/10 – (1/10)X1 ó (-1/10)X3
(3) → X3: X3 = 12/10 – (1/10)X1 – (1/10)X2
||α | |∞ = ||α | |m = Max {0 + |-0.1| + |-0.1|, |-0.1| + 0 + |-0.1|, |-0.1| + |-0.1| + 0}
= Max {0.2, 0.2, 0.2} → ||α | | = 0.2 <= 1 → Ǝ {X (k)} → X (+)
POR EL MÉTODO DE JACOBI
Obs. Se toma como valor inicial X(0) arbitrario
X (0)
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X (0) = 0X (0) = βX (0) = 1
β=(1.21.21.2) , α=(
0 −0.1 −0.1−0.1 0 −0.1−0.1 −0.1 0 )
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
K=0 Iteración Inicial:
X (k+1) = β + αX (k)
X (1) = β + αX (0)
Donde β=(1.21.21.2) y sea X(0) = β = ( X(0)
1 X(0)2 X(0)
3 )t
X (1) = |X 1(1)X 2(1)X 3(1)|=|
1.21.21.2|+[
0 −0.1 −0.1−0.1 0 −0.1−0.1 −0.1 0 ]∗|1.2
1.21.2|=|
1.21.21.2|
Donde
X1(1) = 1.2 + (0 -0.1-0.1)(1.2
1.21.2)=1.2+(−0.1 ) (1.2 )+(−0.1 ) (1.2 )=0.96
X2(1) = 1.2 + ( -0.1 0 -0.1)(1.2
1.21.2)
K=1 1° Iteración:
X (2) = β + αX (1)
X (2) = |X 1(2)X 2(2)X 3(2)|=|
1.21.21.2|+[
0 −0.1 −0.1−0.1 0 −0.1−0.1 −0.1 0 ]∗|0.96
0.960.96|=|
1.0081.0081.008|
Donde:
X2(2) = 1.2 + (0 -0.1 -0.1)(0.96
0.960.96) = 1.008
K=2 2° iteración:
X (3) = β + αX(2)
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
X (3)=|X1(3)
X2(3)
X3(3)|=|1.2
1.21.2|+[
0 −0.1 −0.1−0.1 0 −0.1−0.1 −0.1 0 ]∗|1.008
1.0081.008|=|
0.99840.99840.9984|
Donde:
X (3) = 1.2 + (0 -0.1 -0.1)(1.0081.0081.008) = 0.9984
Veremos si ya se consiguió la solución:
¿|X (3 )−X (2 )|∨ ¿
¿|X (3)|∨¿=
max {|0.9984−1.0080.9984−1.0080.9984−1.008|}
max {|0.99840.99840.9984|}
¿
¿
max {|0.9984
0.99840.9984|}
0.9984=0.009615=0.01 ≤
10-1 = ε → X (3) = X (*) con ε=10-1
Ejemplo 2:
Sea el siguiente sistema
Ec (1) 20x1 + 5x3 =2Ec (2) x1 + 20x2 + 2x3 = 4Ec (3) x1 + 9x2 + 20x3 = 6
Por Jacobi verificar su convergencia
CONVERGENCIA DE JACOBI
{x( x) } X* Si ||α|| < = 1 …………….. (i)
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Observación
Para que se cumpla (i)
Es necesario que A del sistema original Ax = b sea diagonalmente dominante, es decir
aii >= ∑ |aij| de su fila y de su columna
Así: a11 = 20 > = 0 + 5 de su fila
a11 = 20 > = 1 +1 de su columna
a22 = 20 > = 1 + 2 de su fila
a22 = 20 > = 0 + 9 de su columna
Igual para a33
x1 = 2
20 + 0 + 0 -
520
x3
x2 = 4
20 -
120
x1 + 0 - 2
20x3
x3 = 6
20 -
120
x1 - 9
20x 2 + 0
… …. . ………………….
x = β + αx
α = | 0 0− 520
−120
0− 220
−120− 9
200| =| 0 0−0.2
−0.05 0−0.1−0.05−0.45 0|
|| α ||∞ = máx.{ 0 + 0 + | −520
| , | −120
| + 0 + | −120
| , | −120
| + | −920
| + 0 }
|| α ||∞ = máx.{0.25, 0.15, 0.5 }
|| α ||∞ = 0.5 < = 1
{ } X* por jacobi
Por jacobi obtener una solución con € =
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Si la relación de jacobi es = β + α , k = 0, 1,2…
Para k = 0
Interacción inicial
= β + α
Observación es arbitraria
Sea =
= = +
….. ……………………. …
β + α =
= β =
Para k = 1
Primera iteración = β + α
= = +
Donde
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
= 0.1 +
= 0.1 + (0)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.25)(0.3) = 0.025\
= 0.2 +
= 0.2 + (-0.05)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.1)(0.3) = 0.165
= 0.205
Para k = 2
Segunda iteración = β + α
= = + =
….. ………………….... ……… …………
β α
k =3
Tercera iteración = β + α
= = + =
….. ………………….... ……… …………
β α
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Verificamos si se llego a la solución
=
=
= = 0.03289625 < =
= x* con € <
SOLUCION MATRICIAL DE JACOBI
Del sistema Ax = b
Sea A = D + L + U
( D + L + U )x = b
Dx + ( L + U)x = b
Dx = b + [-( L + U)x]
x = b + [- ( L + U )]x
…… ………………..
x = β + α x
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la relación matricial de jacobi
= b + [- ( L + U )]k = 0, 1, 2…
Observación
α = - ( L + U ) es igual al despejarxi de la ecuación (i), i = 1, 2, 3…
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
SEGUNDO METODO:
METODO DE GAUSS- SEIDEL
También determina la solución del sistema Ax=b iterativamente.
De la relación matricial del sistema Ax=b :
(D+L+U ) x=b → Dx+Lx+Ux=b
Dx=b−Lx−Ux → x=D−1b+ (−D−1 L )x+(−D−1U ) x …(θ)
De (θ) se obtiene la relación matricial de G-S , siguiente:
Observación:
*Si α=−D−1 (L+U )
→ {−D−1 L es la MatrizTriangular Inferior deα−D−1U es la Matriz Triangular Superiro deα
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x(k +1)=D−1 b+(−D−1 L ) x(k +1)+(−D−1 U ) x(k)
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
*La relación (θ) se puede obtener al igual que Jacobi del sistema Ax=b , de la ecuación idespejar la variable x i, para obtener la Matriz α .
Algoritmo del método de Gauss-Seidel:
Paso1: Dado el sistema Ax=b obtener su sistema X=β+αx.
Paso 2: Para un punto inicial arbitrario x(0) generar la sucesión {x(k )}→ x(¿) mediante la siguiente relación:
x(k +1)=D−1 b+(−D−1 L ) x(k +1)+(−D−1 U ) x(k) ; K=0 ,1 , 2 , …
Paso 3: Dejar de iterar si ‖x (k )−x (k−1)
x(k) ‖≤ ε=10−n ; caso contrario ir al paso 2.
Observación:
En la convergencia del método de Gauss-Seidel también se cumple que:
‖α‖<1
→ {x8 k ¿¿}→ x(¿)
Ejercicios resueltos:
1) Dados:
A=(10 3 12 −10 31 3 10) , b=( 14
−514 ) , x(0)=(
000)
Resuelva el sistema Ax = b por el método de Gauss-Seidel.
Solución:
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Utilizando Gauss-Seidel:
x (k +1)=D−1b+ (−D−1 L )x ( k )+(−D−1 U ) x (k )
Operando obtenemos la secuencia:
x (1 )=( 7 /539 /50
513 /500) , x (2)=( 1.06341.020480.987516)
x (3 )=(0.9951040.9952761.00191 ) , x (4)=( 1.00123
1.000820.999632)
x(5)=(0.9997920.9998481.00007 ) , x(0)=( 1.00004
1.000030.999988)
Claramente converge a la solución exacta (1 , 1, 1)T.
La tasa de convergencia del método de Gauss-Seidel viene dada por la norma de:
S=(L+D)−1U=(0 3/10 1/100 3/50 −7 /250 −6/125 37 /500)
Cuyas normas son: ‖J‖1= 227/500 = 0.454 y ‖J‖∝ = 2/5 = 0.4.
2) Considere el siguiente sistema de ecuaciones:
A=(3 2 12 3 11 1 3) , b=(123)
¿Puede resolver este sistema por el método de Gauss-Seidel? ¿Por qué? Si lo puede hacer, haga solo dos iteraciones a partir de la solución nula y determine la tasa numérica de convergencia. Además calcula la tasa exacta de convergencia. ¿Cuántas iteraciones necesitará para alcanzar un error absoluto de 10−5.
Solución:
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
El método de Gauss-Seidel es aplicable porque por que la matriz es simétrica definida positiva. Dos iteraciones conducen a:
x (0 )=(0 0 0 )T x (1 )=(1/3 4/9 20/27 )T
x (2 )=(−17/81 136/246 644 /729 )T
Y la tasa de convergencia numérica la podemos calcular como (en norma infinito)
‖x(2)−xx(1)−x‖= 46
189=0.24
Que se parece poco a la tasa de convergencia exacta:
ρ ¿
NOTA: Calculando con más iteraciones nos acercamos a la tasa teórica, por ejemplo:
‖x(10)−xx(9 )−x ‖=0.413
Para alcanzar (en norma infinito) un error absoluto menor que 10−5se requieren 13 iteraciones.
Ejemplo 1
Sea el sistema:
20 x1+9x2+9 x3=2
2 x1+20 x2+9 x3=4
5 x1+9 x2+20 x3=6
Por el método de Gauss-Seidel
Analizar su divergenciaHallar su solución con ε=10−1
Solución:
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Analizar su divergencia
D=[20 0 00 20 00 0 20]
L+U=[0 9 92 0 95 9 0]
Luego:
α=−D−1(L+U )
α=[−1/20 0 00 −1/20 00 0 −1/20] [
0 9 92 0 95 9 0]=[
0 −9 /20 −9 /20−2/20 0 −9 /20−5/20 −9 /20 0 ]
α=[ 0 −0.45 −0.45−0.10 0 −0.45−0.25 −0.45 0 ]
‖α‖=max {0.9 , 0.55 , 0.7 }=0.9<1
→∃ {X (k)} → X*
Hallar su solución con ε=10−1
β=D−1b=[0.05 0 00 0.05 00 0 0.05][
246 ]=[
0.10.20.3]
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 91
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
De x (k +1)=D−1b+ [−D−1 L ] [ x(k+1)]+ [−D−1U ] x(k)
k=0
Sea x(0)=[ x1
(1)
x2(1)
x3(1)]=[000]
→ x(1)=D−1b+ [−D−1 L ] [ x(1)]+[−D−1 U ] x(0)
x(1)=[ x1(1)
x2(1)
x3(1)]=[0.1
0.20.3]+[
0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1
(1)
x2(1)
x3(1)]+[0 −0.45 −0.45
0 0 −0.450 0 0 ][000]
x1(1)=0.10
x2(1)=0.2−0.1 x1
(1)=0.2−0.1 (0.1 )
→ x2(1)=0.19
→ x3(1)=0.1895
x(1)=[ x1(1)
x2(1)
x3(1)]=[ 0.1
0.190.1895]
k=1 : 1era Iteración
→ x(2)=D−1b+ [−D−1 L ] [ x(2)]+[−D−1 U ] x(1)
x(2)=[ x1(2)
x2(2)
x3(2)]=[0.1
0.20.3]+[
0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1
(2)
x2(2)
x3(2)]+[0 −0.45 −0.45
0 0 −0.450 0 0 ][ 0.1
0.190.1895]
x1(2)=−0.070775
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
→ x2(2)=0.114725−0.1 (−0.0707755 )=0.1218025
→ x3(1)=0.262882625
x(2)=[ x1(2)
x2(2)
x3(2)]=[ −0.070775
0.12180250.262882625]
k=2: 2da Iteración
→ x(3)=D−1b+ [−D−1 L ] [ x(3)]+[−D−1U ] x(2)
x(3)=[ x1(3)
x2(3)
x3(3)]=[0.1
0.20.3]+[
0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1
(3)
x2(3)
x3(3)]+[0 −0.45 −0.45
0 0 −0.450 0 0 ][ −0.070775
0.12180250.262882625]
x(3)=[ −0.0731083060.081702819−0.1 x1
(3 )
0.3−0.25 x1(3)−0.45 x2
(3 )]→ x1
(3)=−0.073108306
→ x2(3)=0.089013649
→ x3(3)=0.278220934
x(3)=[−0.0731083060.0890136490.278220934 ]
k=3: 3era Iteración
→ x(4 )=D−1 b+[−D−1 L ] [x(4)]+[−D−1U ] x(3)
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
x(4 )=[x1(4)
x2(4)
x3(4)]=[0.1
0.20.3]+[
0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1
(4 )
x2(4 )
x3(4 )]+[0 −0.45 −0.45
0 0 −0.450 0 0 ] [−0.073108306
0.0890136490.278220934 ]
→ x1(4)=−0.065255562
→ x2(3)=0.081326136
→ x3(3)=0.279717129
x(4 )=[−0.0652555620.0813261360.279717129 ]
‖x(4)−¿x(3 )‖‖x(4)‖
=
max|0.0078527440.007687513
0.0014 |max|0.065255562
0.0813261360.279717129|
=0.028<0.1
→ x(4)=x¿conε=10−1
Ejemplo 2
Sea el sistema:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 94
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
15 x1+0x2+0 x3=2
7 x1+15 x2+1 x3=4
0 x1+9 x2+15 x3=6
Por el método de Gauss-Seidel
Analizar su divergenciaHallar su solución con ε=10−1
Solución:
Analizar su divergencia
D=[15 0 00 15 00 0 15]
L+U=[0 0 07 0 10 9 0]
Luego:
α=−D−1(L+U )
α=[−1/5 0 00 −1/5 00 0 −1/5][
0 0 07 0 10 9 0]=[
0 0 0−7/15 0 −1/15
0 −9/15 0 ]‖α‖=max {0 , 8/19 , 9/15 }= 9
15<1
→∃ {X (k)} → X*
Hallar su solución con ε=10−1
β=D−1b=[1/15 0 00 1/15 00 0 1/15] [
246]=[
2/154 /156/15]
De x (k +1)=D−1b+ [−D−1 L ] [ x(k+1)]+ [−D−1U ] x(k)
k=0 PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 95
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Sea x(0)=[ x1
(1)
x2(1)
x3(1)]=[000]
→ x(1)=D−1b+ [−D−1 L ] [ x(1)]+[−D−1 U ] x(0)
x(1)=[ x1(1)
x2(1)
x3(1)]=[2 /15
4 /156 /15 ]+[
0 0 0−7/15 0 0
0 −9/15 0][ x1(1)
x2(1)
x3(1)]+[0 0 0
0 0 −1/150 0 0 ] [000]
x1(1)=2
5+0= 2
15
x2(1)= 4
15− 7
15x
215=0.204444
→ x2(1)=0.2044444444
→ x3(1)= 6
15− 9
15x0.2044444444=0.277333334
x(1)=[ 0.133330.204
0.277333334 ]k=1 : 1 era Iteración → x(2)=D−1b+ [−D−1 L ] [ x(2)]+[−D−1 U ] x(1)
x(2)=[ x1(2)
x2(2)
x3(2)]=[2 /15
4 /156 /15]+[
0 0 0−7/15 0 0
0 −9/15 0][ x1(2)
x2(2)
x3(2)]+[0 0 0
0 0 −1/150 0 0 ] [ 0.13
0.2040.2773]
x1(2)=2
5+0= 2
15=0.1333
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
→ x2(2)= 4
15− 7
15x
215− 1
15x 0.2773=0.1862209
x3(2)= 6
15− 9
15x 0.1862209=0.28826746
→ x3(2)=0.28826746
x(2)=[ 0.18622090.288267460.28826746]
k=2: 2da Iteración
→ x(3)=D−1b+ [−D−1 L ] [ x(3)]+[−D−1U ] x(2)
x(3)=[ x1(3)
x2(3)
x3(3)]=[ 2/15
4 /156 /15]+[
0 0 0−7/15 0 0
0 −9/15 0][ x1(3)
x2(3)
x3(3)]+[0 0 0
0 0 −1 /150 0 0 ][ 0.133
0.18622090.28826746]
→ x1(3)= 2
15=0.1333
→ x2(3)= 4
15− 7
15x
215− 1
15x 0.28826746=0.185216089
→ x3(3)= 4
15− 9
15x 0.185216089=0.288570347
x(3)=[ 1.3330.1852160890.288570347]
‖x(3 )−¿ x(2)‖‖x(3)‖
=0.0025026510
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
→ x(3)=x¿con ε=10−1
Ejemplo 3Sea el sistema:20 x1+9x2+9 x3=2
2 x1+20 x2+9 x3=4
5 x1+9 x2+20 x3=6
Por el método de Gauss-Seidel
Analizar su divergenciaHallar su solución con ε=10−1
Solución:
Analizar su divergencia
D=[20 0 00 20 00 0 20]
L+U=[0 9 92 0 95 9 0]
Luego:
α=−D−1(L+U )
α=[−1/20 0 00 −1/20 00 0 −1/20] [
0 9 92 0 95 9 0]=[
0 −9 /20 −9 /20−2/20 0 −9 /20−5/20 −9 /20 0 ]
α=[ 0 −0.45 −0.45−0.10 0 −0.45−0.25 −0.45 0 ]
‖α‖=max {0.9 , 0.55 , 0.7 }=0.9<1→∃ {X (k)} → X*
Hallar su solución con ε=10−1
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 98
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
β=D−1b=[0.05 0 00 0.05 00 0 0.05][
246 ]=[
0.10.20.3]
De x (k +1)=D−1b+ [−D−1 L ] [ x(k+1)]+ [−D−1U ] x(k)
k=0
Sea x(0)=[ x1
(1)
x2(1)
x3(1)]=[000]
→ x(1)=D−1b+ [−D−1 L ] [ x(1)]+[−D−1 U ] x(0)
x(1)=[ x1(1)
x2(1)
x3(1)]=[0.1
0.20.3]+[
0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1
(1)
x2(1)
x3(1)]+[0 −0.45 −0.45
0 0 −0.450 0 0 ][000]
x1(1)=0.10
x2(1)=0.2−0.1 x1
(1)=0.2−0.1 (0.1 )
→ x2(1)=0.19
→ x3(1)=0.1895
x(1)=[ x1(1)
x2(1)
x3(1)]=[ 0.1
0.190.1895]
k=1 : 1 era Iteración → x(2)=D−1b+ [−D−1 L ] [ x(2)]+[−D−1 U ] x(1)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 99
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
x(2)=[ x1(2)
x2(2)
x3(2)]=[0.1
0.20.3]+[
0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1
(2)
x2(2)
x3(2)]+[0 −0.45 −0.45
0 0 −0.450 0 0 ][ 0.1
0.190.1895]
x1(2)=−0.070775
→ x2(2)=0.114725−0.1 (−0.0707755 )=0.1218025
→ x3(1)=0.262882625
x(2)=[ x1(2)
x2(2)
x3(2)]=[ −0.070775
0.12180250.262882625]
k=2: 2 da Iteración
→ x(3)=D−1b+ [−D−1 L ] [ x(3)]+[−D−1U ] x(2)
x(3)=[ x1(3)
x2(3)
x3(3)]=[0.1
0.20.3]+[
0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1
(3)
x2(3)
x3(3)]+[0 −0.45 −0.45
0 0 −0.450 0 0 ][ −0.070775
0.12180250.262882625]
x(3)=[ −0.0731083060.081702819−0.1 x1
(3 )
0.3−0.25 x1(3)−0.45 x2
(3 )]→ x1
(3)=−0.073108306
→ x2(3)=0.089013649
→ x3(3)=0.278220934
x(3)=[−0.0731083060.0890136490.278220934 ]
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 100
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
k=2: 3 era Iteración
→ x(4 )=D−1 b+[−D−1 L ] [x(4)]+[−D−1U ] x(3)
x(4 )=[x1(4)
x2(4)
x3(4)]=[0.1
0.20.3]+[
0 0 0−0.10 0 0−0.25 −0.45 0][ x1
(4 )
x2(4 )
x3(4 )]+[0 −0.45 −0.45
0 0 −0.450 0 0 ] [−0.073108306
0.0890136490.278220934 ]
→ x1(4)=−0.065255562
→ x2(3)=0.081326136
→ x3(3)=0.279717129
x(4 )=[−0.0652555620.0813261360.279717129 ]
‖x(4)−¿x(3 )‖‖x(4)‖
=
max|0.0078527440.007687513
0.0014 |max|0.065255562
0.0813261360.279717129|
=0.028<0.1
→ x(4)=x¿conε=10−1
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 101
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
DIFERENCIA NUMERICA
Aproximaciones a la Derivada
Generación de Formulas de Diferenciación Numérica
Primera y Segunda Derivada Aplicando los Métodos de Newton Progresivo y Regresivo y Métodos Centrales.
Diferenciación numérica Dado una tabla de (n+1) puntos igualmente espaciados de la forma: (X0, f0), (X1, f1),… (Xn, fn) continua y diferenciable en [X0, Xn]. El problema de la Diferenciación Numérica es que dado un valor Xp ∈ [X0, Xn] se desea hallar el valor f p
' tal que f '(X p)=f p
' , donde:
P=X p−X0
h…(i)
X p=X0+Ph
f ( X p )=f p−f (X 0+Ph )
f ' (X p )=d f p
d X p
=
d f p
dp∗dp
d X p
=
d f p
dp∗1
h
→ f ¿p
'
1h∗d f p
dp….(ii)
Fórmula de Newton Progresivo (N P): Si Xp = X0 en (i) P = 0 →fórmula de NP es:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 102
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
f p= f 0+P ∆ f 0+P(P−1)∆2 f 0
2 !+
P (P−1 )(P−2)∆3 f 0
3 !+
P (P−1 ) (P−2 )(P−3)∆4 f 0
4 !+. .
Según (ii)
f p' =1
h [∆ f 0+(P2−P)' ∆2 f 0
2 !+(P3−3 P2+2 P)' ∆3 f 0
3 !+(P4−6 P3+11 P2+6 P)' ∆4 f 0
4 !+..]
f p' =1
h¿
Si XP=X0 en (i) → P=0 en (iii)
f X0' =f 0
' =1h[∆ f 0−
∆2 f 0
2+
∆3 f 0
3−
∆4 f 0
4+…]
DIFERENCIACION DE ORDEN SUPERIOR
Se desea hallar f ' ' (X p ) , f ' ' ' ( X p ) ,en forma aproximada
f ' ' (X p )=f p' ' . Además P=
X p−X0
h
f ' ' (X p )=d (f ' (X p))
d X p
=
d f p'
d p
∗d p
d x p
, Si se sabe f p
' '=1h
d f p
h d p
f p' '=1
h1h
d2 f p
d p
f p' '= 1
h2
d2 f p
d p
En general se tiene f n p= 1hn
dn f p
dp
f p' 'Para Newton Progresivo - hacia adelante
f p' '= 1
h2 [∆2 f 0+ (P−1 )∆3 f 0+( 6 P2−18 P+1112 )∆4 f 0…]
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 103
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Si XP=X0 → P=0
f p' '= 1
h2 [∆2 f 0+∆3 f 0+( 1112 )∆4 f 0 …]
Formula de Newton Regresivo (NR). Su formula de interpolación es:
f p=f 0+P∇ f 0+P(P+1)∇2 f 0
2 !+
P (P+1 )(P+2)∇3 f 0
3 !+
P (P+1 ) (P+2 )(P+3)∇4 f 0
4 !+. .
Según (ii)
f p' =1
h¿(P4−6 P3+11 P2−6 P)'∇4 f 0
4 !+.. .
¿ 1h¿
Si XP=0 → P=0
f X0' =f 0
' =1h [∇ f 0+
∇2 f 0
2+∇3 f 0
3+∇4 f 0
4+…]
Nota: Para determinar la 1ra derivada se debe tomar una diferencia más que la que indica la T O T en el caso de interpolación.
DIFERENCIACION DE ORDEN SUPERIOR f ' ' PARA NEWTON REGRESIVO
f P' '= 1
h2 [∇2 f 0+(P+1 )∇3 f 0+( 6 P2+18 P+1112 )∇4 f 0… ]
P=0→ f 0' '= 1
h2 [∇2 f 0+∇3 f 0+( 11
12 )∇4 f 0 …] Ejemplo: En la siguiente tabla determinar (a)f 0
' y (b)f 1(0.055) por NP
X f(X) ∆ ∆2 ∆3
0.00 1.0000 513 26 10.05 1.0513 539 27 30.10 1.1052 566 30 00.15 1.1618 596 30
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 104
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
0.20 1.2214 6260.25 1.2840
Solución(a):
f 0'=1
h [∆ f 0−∆2 f 0
2+
∆3 f 0
3 ] h=X i−X i−1=0.25−0.20=0.05
¿ 1h [0.0513−0.00026
2+ 0.0001
3 ] f 0
'=1.0006667≅ 1.0007
Solución (b)
f (0.055)' es una derivada que esta al principio de la tabla → se emplea la formula de Newton
Progresivo, como XP=0.055 es un punto intermedio → XP ∈ [0.05,0.10], → X0=0.05. Se halla
su valor de P de:P=X P−X0
h .
H=0.05 → P=0.055−0.05
0.05=0.1
X0 f0 ∆f0 ∆2f0 ∆3f0 0.05 1.0513 539 27 3
Si f P' =1
h [∆ f 0+(2 P−1)∆2 f 0
2!+(3 P2−6 P+2)∆2 f 0
3 ! ] f (0.055 )
' =1
0.05 [0.0539+(0.2−1 ) (0.0027 )
2+[ 3 (0.1 )2−6 (0.1 )
6+2] (0.0003 )]
¿1.05783
Ejemplo de la Fórmula Newton Regresivo
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Hallar(a) f ' (0.025 )y (b) f '(0.225)
Solución (a)
Para P=0 y |∇3 f i|<8 , se utiliza → X 0 f 0∇1 f 0∇
2 f 0∇3 f 0
0.25 1.289 0.626 0.030 0
f P=0' =1
h [∇ f 0+∇2 f 0
2+∇3 f 0
3 ] , f 0'=f P=0
' =f (0.25 )' , porque X0=0.25 en la tabla de NR
f (0.25)' =f 0
' = 10.05 [0.0626+ 0.0030
2+ 0.0000
3 ]→ f 0'=1.282
Solucion(b)
X P=0.025→ P=X P−X0
h=0.025−0.25
0.05=−0.5→ P=−0.5
en f P' =1
h [∇ f 0+(2P+1)∇2 f 0
2 !+(3 P2+6 P+2)∇3 f 0
3 ! ]→
X 0 f 0∇1 f 0∇
2 f 0∇3 f 0
0.25 1.289 0.626 0.030 0
f (0.225 )' =
10.05 [0.626+[ 2 (−0.5 )
2+1] (0.0030 )+[ 3 (−0.5 )2+6 (−0.5 )
2+2] (0.0000 )]
f (0.225)' =1.252
FÓRMULA DE DIFERENCIACIÓN DE BESSEL
f P=f 0+β1 δ f 1/2+β2 (δ 2 f 0+δ 2 f 1 )+β3 δ3 f 1 /2+…
f P' =1
h
d f P
dP=1
h[β1
' δ f 1 /2+β2' (δ2 f 0+δ2 f 1 )+ β3
' δ 3 f 1/2+…]
Si β1=P → β1'
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
β2=P (P−1)
4=P2−P
4→ β2
'=2 P−14
β3=P (P−1 )(P−1 /2)
6=2 P3−3 P2+P
6→ β3
'=6 P2−6 P+16
Si XP es un punto tabulado XP=X0 → P=0
f 0'=1
h [δ f 1/2−(δ 2 f 0+δ 2 f 1)
4+
δ3 f 1 /2
4+…]
FÓRMULA DE DIFERENCIACIÓN DE STIRLING
f p=f 0+s1 (δ f −1/2+δ f 1/2 )+s2 δ2 f 0+s3 (δ3 f −1/2+δ3 f 1 /2 )+…
f P' =1
h [ s1' (δ f−1 /2+δ f 1 /2 )+s2
' δ2 f 0+s3' (δ3 f−1/2+δ3 f 1/2)+…]
Si s1=¿
P2
→ s1'=
12
, Si s3=P (P−1 )(P+2)
2(3!)→s3
' =3 P2
12¿
Si s2=P2
2→ s2
'=P ,Si s4=P2 (P+1 )(P−1)
4 !→ s4
'=2 P3−P12
f P' =1
h [ δ f−1 /2+δ f 1/2
2 ]+P δ 2 f 0+(3 P2−1 )
12(δ3 f −1/2+δ3 f 1/2)+…
En XP=X0 → P=0
f 0'=1
h [ (δ f−1 /2+δ f 1/2)2
−(δ3 f −1/2+δ3 f 1 /2)
12+… ]
Ejemplo 3: Hallar(a) f '(0.10), (b) f '(0 .125)
Solución(a)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 107
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
f '(0.10)=f '(X0)=f 0
Como 0.10 ∈ [0.10, 0.15] → X 0=0.10∧X p=0.10
P=X p−X0
h=0.10−0.10
0.05=0∧P=0∈<0,1/2¿ seaplica f 0
' de Stirling hasta su3 ra
diferencia porque segunT OT |∆3 f 0|<60 → f 0' de Stirling hasta su3 ra diferenciaes :
f P' =1
h [β1' δ f 1 /2+β2
' (δ 2 f 0+δ 2 f 1)+β2' δ 3 f 1 /2 ]…(i)
Como P=0→en (i ) se tienes3'=3 P2−1
12, s1
'=12
, s2'=P
f 0'=1
h [δ f 1/2−(δ 2 f 0+δ 2 f 1)
4+
δ3 f 1 /2
6 ]
En la tabla se tiene:
X 0=0.10
X1=0.15
1.1052 f 0 0.0027(δ2 f 0)0.0 566 δ f 1 /2 0.0003(δ 3 f 1/2)
1.1618 f 10.0030 (δ 3 f 1 )
∧h=0.05
→ f 0' = 1
0.05 [0.0566−0.0027+0.00304
+ 0.00036 ]=1.1095
Solución (b)
f ' (0.125 )→ XP=0.125∈[0.10,0.15 ]
P=X P−X0
h=0.125−0.10
0.05=0.5∈ ¿
|∆3 f 0|<60 conP=0.5 en (i ) , donde :
β1'=1 , β2
'=2 P−14=
2 (0.5 )−14
=0 , β3'=6 P2−6 P+1
6=−0.0833333 en ( i ) se tiene
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
f ' (0.125 )= 10.05
[ (1 ) (0.0566 )+0 (0.0027+0.0030 )+(−0.083 ) (0.0003 ) ]=1.1315
INTEGRACIÓN NUMERICA
Para intervalos Simples
Método del trapecio
h=X0−X 1
1=b−a
1
∫a
b
f (X )dx=h2( f 0+ f 1 )+ℇ
ℇ=−h3
12f (m)
' ' , m є [X0, X1]
Donde f (m )' '
= max {|f (a)' ' |,|f (b )
' ' |}
Método de Simpson de 1/3
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
h=b−a2
∫a
b
f x dx=h3(f 0+4 f 1+ f 2 )+ℇ
ℇ=−h5
90f (m)
IV , m є [X0, X1]
Donde f (m)IV =max {|f (a)IV|,|f (b)IV|}
Método de Simpson de 3/8
h=b−a3
∫X 0
X 3
f (x)dx=38
h [ f 0+3 f 1+3 f 2+ f 3 ]+ℇ
ℇ=−380
h5 f (m)IV
donde f (m)IV =max {|f (a)IV|,|f (b )IV|}
Ejemplo:
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UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
∫1
2
X sin X dx=h2( f 0+f 1)+ℇ
Por el trapecio Simple
Solución:
h=b−a1=2−1
1=1
X f(x)
X0=1 f0=0.841471
X0+h=X1=2 f1=1.818595
Obs: Los puntos Xi son dela forma Xi=X0+hi
Determinación del ℇ Si f ( x)=X sin X
f ( x)' =sin X+X cos X
f ( x)' ' =2 cos X−X sin X
f (m )' ' =max {|f (1)' ' |,|f (2)' ' |}
f (m )' ' =max {|0.23|,|2.65|}
ℇ=−h3
12f (m)
' ' =−13
12(2.65 )=−0.220907377
Entonces
∫1
2
X sin X dx=h2( f 0+f 1)+ℇ=1.109125
Solución por el método Simpson de 1/3 para intervalo simpleSol:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 111
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
h=b−a2=2−1
2=1
2=0.5
X f(x)
X0=1 f0=0.841471
X0+h=1.5 f1=1.496242
X0+2h=2 f2=1.818595
Determinación del ℇ
Si f ( x )' ' =2 cos X−X sin X
f ( x )IV=−4cos X+X sin X
f (m)IV =max {|f (1)IV|,|f (2)IV|}
f (m)IV =max {3.4831}
ℇ=−h5
90f (m)
IV =−0.55
90(3.4831 )=−0.0012094
Entonces:
∫a
b
f (x)dx=h3( f 0+4 f 1+ f 2 )+ℇ=1.442048
Por Simpson 3/8 para intervalo SimpleSol:
∫1
2
X sin X dx=38
h ( f 0+3 f 1+3 f 2+ f 3 )+ℇ
h=2−13=1
3 ℇ, es igual al ejemplo anterior
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 112
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
X f(X)
X0=1 f0=0.841471
X1=4/3 f1=1.295917
X2=5/3 f2=1.659013
X3=2 f3=1.818595
f (m)IV =max {3.4831}
ℇ=−380
h5 f (m)IV =−3
800.335 (3.4831 )=−0.0005117
∫1
2
X sin X dx=38
h ( f 0+3 f 1+3 f 2+ f 3 )+ℇ=1.42568923
Integración Numérica para intervalos compuestos
Método del trapecio compuesto
m veces h
h=b−am
Demostración:
∫X 0
X 1
f (X )dx=h2( f 0+ f 1 )+ℇ1
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 113
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
∫X 1
X 2
f (X )dx=h2( f 1+ f 2 )+ℇ 2
∫X 2
X 3
f (X )dx=h2( f 2+ f 3 )+ℇ 3
∫X m−1
Xm
f (X )dx=h2(f m−1+ f m )+ℇm
Entonces la suma todas las integrales seria:
∫X 0
Xm
f (X )dx=h2 [ ( f 0+f m )+2 ( f 1+ f 2… …+f m−1) ]+ℇ
Determinación del ℇ del trapecio
ℇ=−(b−a)3
12 m2 f (m )' '
Método de Simpson de 1/3 compuesta.
h=b−a2m
Demostración:
∫X 0
X 2
f x dx=h3(f 0+4 f 1+ f 2 )+ℇ 1
∫X 2
X 4
f x dx=h3(f 0+4 f 1+ f 2 )+ℇ 2
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 114
……
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
∫X 4
X 6
f x dx=h3(f 0+4 f 1+ f 2 )+ℇ 3
∫X m−2
Xm
f x dx=h3( f 0+4 f 1+f 2)+ℇm
Entonces la suma de todas las integrales seria:
∫X 0
Xm
f (X )dx=h3 [ ( f 0+f m )+4 ( f 1+ f 3+ f 5+…+ f m−1 )+2 (f 2+ f 4+…+f m−2)]+ℇ
Determinación del ℇ de Simpson de 1/3 compuesta
ℇ1=−h5
90f (m)
IV
ℇ2=−h5
90f (m )
IV
ℇ m=−h5
90f (m)
IV =(b−a)5
2880 m4 f (m)IV
Ejemplo:
∫1
2
Xsin X dx
Por trapecio compuesto con m=5Sol:
h=b−am=2−1
5=1
5=0.2
X f(X)
X0=1 f0
X1=1.2 f1
X2=1.4 f2
X3=1.6 f3
X4=1.8 f4
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 115
…
……
Es igual al ejemplo del trapecio simple
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
X5=2 f5
ℇ=−(b−a)3
12 m2 f (m )' ' =−(2−1)3
12∗52 f (m )' '
∫1
2
f (X )dx=h2 [ ( f 0+ f 5 )+2 ( f 1+ f 2+f 3+ f 4 ) ]+ℇ = 1.436070589 +ℇ
Simpson de 1/3 compuesto con m=3
h=b−a2 m=2−1
2∗3=1
6
X f(X)
X0=1 f0
X1=7/5 f1
X2=8/6 f2
X3=9/6 f3
X4=10/6 f4
X5=11/6 f5
X6=2 f6=fm
ℇ m=(b−a)5
2880 m4 f (m)IV =−(2−1)5
2880∗34 f (m)IV
∫1
2
X sin X dx=h3 [ ( f 0+ f 6 )+4 (f 1+ f 3+f 5 )+2(f 2+ f 4)]+ℇ=¿¿ 2.493614005 +ℇ
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 116
Es igual al ejemplo de Simpson de 1/3
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R)
Definición ER: Consiste en que a partir de dos estimación (o aproximaciones) de una integral, obtener una tercera aproximación (muchas veces la mejor).
Se tiene los siguientes casos:
Para intervalos simples:
ER entre la Regla del trapecio y la 1º formula abierta (Integración abierta) “ambas de precisión uno” porque f ' ' (ç )=0→ E=0
Sea I ¿=∫a
b
f (x )dx por dos métodos anteriores se tiene:
Regla Trapecio (RT):
I ¿=I 1+E1 donde :
1º Regla Abierta de Newton – Cotes:I ¿=I 2+E2 donde :
El valor de la integral I* (generalmente es el mejor).
Que se cumple:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 117
E2=−h3
3f ii (ç2 ) , ç2 ∊ (x0 , x2 )ó E1=−( b−a
2 )3 f ii
3(ç2 ) , ç2 ∊ (a ,b )
E1=−h3
12f ii (ç1 ) , ç1 ∊ (x0 , x1 )ó E1=
−(b−a)3
12f ii (ç 1 ) , ç 1∊ (a , b )
I ¿=13
I 1+23
I 2
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
I ¿=I 1+E1=I 2+E2 ……….(1)
Tomando el cociente de errores
E1
E2
=
−(b−a )12
3
f ii ( ç1 )
(b−a )3
24f ii ( ç2 )
ç 1 , ç2 ∊ (a , b)
Supongamos que:
f ii (ç1 )=f ii (ç2 )→ E 1E 2=24
12→ E1=−2 E2……….(2)
(2) en (1)
I 1+E1=I 2+E2
I 1−2 E2=I 2+E2
I 1−I 2=E2+2 E2
I 1−I 2=3E2→ 3 E2=13( I 1−I 2 )
(3) en (1)
I ¿=I 2+E2
I ¿=I 2+13( I 1−I 2)=I 2+
13
I 1−13
I 2
I ¿=13
I2
+ 13
I 2 ó ………… …. (4)
E.R. entre la R. trapecio Simple y la primera formula abierta h=b−a
2
FORMULA EXTRAPOLACION -(ER) ENTRE TRAPECIO SIMPLE Y 1RA FORMULA ABIERTA.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 118
I ¿=13
I1
+ 23
I2
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo:
Calcular ∫1
3
(x3−2 x2+7 x−5 )dx=203
→ F ( x )=x3−2 x2+7 x−5
Aplicando: 4 es decir: I¿=1
3I 1+
23
I 2
x i=x0+1 h i=1 x1=x0+1h
= 1 + 1(1)= 2
i=2 x2=x0+2h
= 1 + 2(1)= 3
I ¿=I 1+E1=h2(f 0+ f 1 )+E1=
22(1+25 )=26=I1
h=b−a=3−1=2 X f (x)
X 0=1 1=f 0
X1=3 25=f 1
I=I 2+E2=2 hf 1
h=b−a2=3−1
2=1
I=2 (1 )(9)
I 2=18
Aplicando (4)
I ¿=13
I 1+23
I 2
I ¿=13(26 )+ 2
3(18 )=62
3=20
23
X f (x)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 119
f1
f(X)
x0 x2x1
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
X 0=1 1=f 0
X1=2 9=f 1
X2=3 25=f 2
E.R. ENTRE LAS FORMULAS DE SIMPSON DE 1/3 Y 3/8 SIMPLE
Se sabe que para Simpson de 1/3 para intervalo simple es:
I ¿=I 1+E1=∫x0
x2
f (x )dx=h3(f 0+4 f 1+f 2 )−
h5
90f IV (£ 1 ) , £ 1 ∊ (x0 , x2 )
→ E1=−( b−a2 )
5 190
f IV (£ 1 ) , £ 1∊ (a , b )→ E1=−(b−a )5
2880f IV (£1 )
Y que para Simpson de 3/8 es:
I ¿=I 2+E2=∫x0
x3
f (x )dx=3 h8
(f 0+3 f 1+3 f 2+ f 3 )−3 h5
80f IV (£ 2 ) , £ 2 ∊ (x0 , x3 )
→ E2=−3
80 ( b−a3 )
5 190
f IV (£2 )=− (b−a )5
6480f IV (£ 2 ) , £ 2 ∊ (a ,b)
∴ I ¿=I1+E1=I 2+E2 …… (1 )
Sea el siguiente cociente de errores:
E1
E2
=
−(b−a )5
2880f IV (£ 1 )
−(b−a )5
6480f IV (£ 2 )
, £1 ≠ £2 y £ 1£ 2 ∊ (a ,b)
Si f IV (£ 1 )=f IV (£ 2 )→E1
E2
=64802880
→ E1=94
E2 … .. (2 )
(2)’ en (1)’: I 1+94
E2=I2+E2→ I 2−I 1=94
E2−E2
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 120
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
→54
E2=I 2−I1 → E2=45( I 2−I 1 )…… (3 )
(3)’ en (1)’:
I ¿=I 2+E2=I 2+45( I 2−I 1 )
… (4)`
Ejemplo:
Aplicando la fórmula I¿=9
5I
2
− 45
I 1para hallar:
∫0
0.8
(0.2+25 x−200 x2+675 x3−900 x4+400 x5 )dx
Solución:
Para I1 :h=0.8−102
=0.4
X i=X0+ih
X1=X0+i(0.4)
F (x)=0.2+25 x−200 x2+675 x3−900 x4+400 x5
I 1=∫x0
x2
f (x)dx=h3( f 0+4 f 1+ f 2 )
I 1=0.43
(0.2+4∗(2.456 )+0.232 )
I 1=1.36746667
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 121
I ¿=95
I2
− 45
I 1
Formula De Extrapolación entre Simpson de 1/3 y Simpson de 3/8
para Intervalo Simple
X f (x) X 00.2 f 0
X0+1h = X1 0.4 2.456 f 1
X2 0.8 0.232 f 2
X f (x)X 00 0.2 f 0
X1 0.2667 1.43272438 f 1
X2 05333 3.48717696 f 2
X3 0.8 0.232 f 3
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
X i=X0+ih
X1=X0+i(0.4)
I 2=∫x0
x3
f (x)dx=3 h8( f 0+3 f 1+3 f 2+ f 3 )
h=0.8−03=0.8
3=0.2667
I 2=∫x0
x3
f (x)dx=38
0.2667 (0.2+3 (1.43272428 )+3 (3.48717696 )+0.232 )
I 2=1.51917037 →{ I ¿=95
I 2−45
I 1
I ¿=95(1.51917037 )−4
5(1.36746667 )
I ¿=164053333}
(E.R) PARA EL TRAPECIO COMPUESTO
Sea:
I ¿=I n1+En1=I n2
+En2…….(1)' '
Para n1 aplicaciones de la Regla Del Trapecio Compuesto, análogamente: I¿=I n2
+En2
Para n2 aplicaciones de la Regla Del Trapecio Compuesto tomando el cociente de errores:
E1
E2
=
−(b−a )12 n2
2
3
f IV (£ 1 )
−(b−a )3
12 n12 f IV (£ 2 )
; Para £ 1≠ £ 2 y £ 1£ 2 ∊ (a ,b)
Si:
f IV (£2 )=f IV (£1 )→En2
En1
=( n1
n2)
2
→ En2=( n1
n2)
2
En1…….(2)' '
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 122
X f (x)X 00 0.2 f 0
X1 0.2667 1.43272438 f 1
X2 05333 3.48717696 f 2
X3 0.8 0.232 f 3
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
(2)” en (1)”:
I n1+En1
=I n2+( n1
n2)
2
En1
I n2−I n1=En1
−( n1
n2)
2
En1
En1[1−( n1
n2)
2]=I n2−I n1
En1=
I n2−I n1
1−( n1
n2)
2 ……. (3)' '
(3)” en (1)”:
Para n2=2n , en (3)”. Se tiene:
En1=
In2−I n1
1−( n1
2n1)
2 → En1=
I n2−I n1
34
En1=4
3I n2−I n1
…….(4 )' '
(4)” en (1)”
I ¿=I n1+En1=I n1
+ 43(I ¿¿n2−I ¿¿n1)=
43
I n2−1
3I
n1
¿¿
Ejemplo 1:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 123
I ¿=43
In2
−13
I n1
Extrapolación de Richardson (E.R.) para el Trapecio Compuesto para n1 y
n2.
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Calcular ∫1
3
(x3−2 x2+7 x−5 )dx usando “1º dos aplicaciones” (n1=2 ) y despues “cuatro
aplicaciones” (n2=4 ) de la regla del Trapecio compuesto y despues aplicar E.R. para encontrar una 3º
aproximacion (que es la mejor).
Solución:
I n=h2¿
Se tiene:
n1=2 y n2=4
Para:
I n=h2 (f 0+ f n+2∑
i=1
n−1
f i)Como
n1=2 → h=b−an1
=3−12=1
I n1=1
2(1+25+2(9))
I n1=44
2=22
Para:
I n=h2 (f 0+ f n+2∑
i=1
n−1
f i)Como
n2=4 → h=b−an2
=3−14=0.5
x i=x0+ih
x1=1+1(0.5)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 124
X f (x)
1 1f 0
2 9 f 1
3 2.5 f 2
X f (x)
1 1f 0
1.5 4 f 1
2 9 f 2
2.5 15f 3
3 25f 4
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
x1=x0+1h
I n2=0.5
2 (1+25+2(4 38+9+15
58))
I n2=0.25(26+2( 35
8+ 125
8))
I n2=21
Aplicando:
I ¿=43
In2
−13
I n1
I ¿=43(21 )−1
3(22 )=62
3
I ¿=2023
Ejemplo 2:
Evaluar ∫1
31x
dx igual a la pregunta anterior.
Solución:
Para:
n1=2 → h=b−an1
=3−12=1
I n1=∫ f ( x )dx=h
2 (f 0+ f n+∑i=1
n−1
f i)¿
12 (1+ 1
3+2( 12 ))
I n1=7
6=1.166666667
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 125
X f (x)
1 1f 0
2 1/2f 1
3 1/3 f 2
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Para:
n2=4 → h=b−an2
=3−14=0.5
I n2=∫ f ( x )dx=h
2 (f 0+ f n+∑i=1
n−1
f i)¿
0.52 (1+1
3+2( 13 +1
2+
25 ))
I n2=67
66=1.116666667
I ¿=43
In2
−13
I n1=4
3 ( 6760 )−1
3 (76 )=6745− 7
18
I ¿=1.100000001
E.R. PARA LAS REGLAS DE SIMPSON DE 1/3 COMPUESTO
Sea
I ¿=I n1+En1=I n2
+En2…….(1)IV
I n=h3¿
Donde I n1 ^ I n2
son aproximaciones de I ¿ .
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 126
X f (x)
1 1f 0
1.5 2/3f 1
2 1/2f 2
2.5 2.5f 3
3 1/3f 4
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Aplicando n1 ^ n2 aplicaciones de la R. de Simpson de 1/3 compuesto y su cociente de errores, donde:
En2
En1
=
−(b−a )2880 n2
4
5
f IV (£ 2 )
−(b−a )5
2880 n14 f IV (£ 1 )
; Para £ 1≠ £2 y £ 1❑❑£ 2 ∊ (a , b )…… (2)IV
Si f IV (£1 )=f IV (£ 2 )→En2
En1
=( n1
n2)
4
→En2=( n1
n2)
4
En1…… (2)IV
(2)iv en(1)iv :
I n1+En1
=I n2+( n1
n2)
4
En1
→ I n2−I n1=En1
−( n1
n2)
4
En1→ En1
=I n2−I n1
1−( n1
n2)
4 ……(3)iv
Para: n2=2n1
en (3)iv → En1
=I n2−I n1
1−( n1
n2)
4 → En1=
I n2−I n1
1516
→ En1=16
15 ( I n2−I n1 )…….(4)iv
(4)iv en(1)iv :
I ¿=I n1+En1=I n1
+ 1615 ( I n2
−I n1 )
… … (5)iv
Ejemplo (1):
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 127
I ¿=43
In2
−13
I n1
Extrapolación de Richardson (E.R.) entre las reglas de Simpson de 1/3
compuesto para n1 y n2 aplicaciones.
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
∫1
2
sin X dx por formula E . R .
Para I 1:h=2−1=1
I 1=h2( f 0+f 1)=
12(0.8414709+0.9092974 )=0.8753841
Para I 2:
h=b−a2=2−1
2=0.5
X f(X)X0=1 f0
X1=1.5 f1
X2=2 f2
I 2=2 h f 1=2 (0.5 ) (0.99749498 )=0.99749498
Entonces:
I ¿=13
I 1+23
I 2=13
0.8753841+ 23
0.99749498=0.95679135
I ¿=0.95679135
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 128
X f(X)X0=1 f0
X1=2 f1
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
INTEGRACION DE ROMBERG
Es un método que combina la convergencia de las reglas del Trapecio o Simpson con las técnicas de extrapolación de Richardson para retener una sucesión que converge hacia el verdadero valor de la integral.
Descripción de la técnica de integración de Romberg
Vamos a introducir la RK, la aproximacion de la integral I=∫a
b
f (x)dx utilizando la regla del Trapecio
Compuesto para nK=2k−1 y hK=b−a
nk
=b−a
2k−2 .
Para: nK=2k−1 y hK=b−a
nk
=b−a
2k−2 ; se sugiere la siguiente tabla:
K 1 2 3 4 … n
nK=2K−1 1 2 4 8
hK=b−a
nk
b−a1
b−a2
b−a4
b−a8
La integración de Romberg da su respuesta en forma matricial:
R11
R21 R22
R31 R32 R33
R41 R42 R43 R44
R51 R52 R53 R54 R55
Rn 1 Rn 2 Rn 3 Rn 4 Rn 5 Rnn
Se sugiere hallar R11 con la siguiente formula.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 129
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
R1 K=hK
2 [ f (a )+ f (b )+2 ∑i=1
2(k−1)−1
f (a+i hK)]
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Nos generamos las siguientes sucesiones R11 , R21 , R31 , …RK 1
k=1∫x0
x1
f ( x )dx=¿R11=h1
2(f (a )− f (b))¿
Obs: Para las demás filas y columnas se sugiere hallar con la siguiente formula
De la segunda columna hacia adelante se calculara con la siguiente fórmula:
Para la segunda columna se utilizara:
Para la tercera columna k=3 será:
Para la cuarta columna k=4 será:
Para la quinta columna k=5 será:
Para la sexta columna k=6 será:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 130
RK 1=12 [R (K−1) ,1+hK−1∑
i=1
2K−2
f (a+(i−12)hK−1)]
i = 2, 3, 4,…nj = 2, 3, 4,…n
k = 2,3,…
Rij=4 j−1 R i , j−1−Ri−1 , j−1
4 j−1−1
Rk 2=4 Rk 1−Rk−1 , 1
3
Rk 3=16 Rk 2−Rk−1 ,2
15k = 3,4,…
Rk 4=64 Rk 3−Rk−1 ,3
63k = 4,5,…
k = 5,6,…Rk 5=256 Rk 4−Rk−1 , 4
255
k = 6,7,…Rk 6=1024 Rk 5−Rk−1 ,5
1023
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejercicio 1
Hallar ∫0
0.8
xex dx ; con n=6 por Romberg
Solución:
Tenemos de datos:a=0b=0.8n=6
f ( x )=xe x
Realizando la tabla
K 1 2 3 4 5 6
nK=2K−1 1 2 4 8 16 32
hK=b−a
nk 0.8 0.4 0.2 0.1 0.05 0.025
Hallamos la primera fila y columna
R1 K=hK
2 [ f (a )+ f (b )+2∑i=1
2k−1
f (a+i hK)]Cuando K = 1
R11=h1
2 [ f (0 )+ f (0.8 )+2∑i=1
21−1
f (a+ ih1)]R11=
h1
2[ f (0 )+ f (0.8 ) ]
f ( x )=xe x
f (0 )=0e0=0
f (0.8 )=0.8 e0.8=1.780432743
R11=0.82
[0+1.780432743 ]=0.7121730971
R11=0.7121730971
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 131
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Calculando la primera columna y demás filas.
RK 1=12 [R (K−1) ,1+hK−1∑
i=1
2K−2
f (a+(i−12)hK−1)]
Cuando K = 2
R21=12 [R (2−1) ,1+h2−1∑
i=1
22−2
f (a+(i−12)h2−1)]=0.594777
Cuando K = 3
R31=12 [R (3−1) ,1+h3−1∑
i=1
23−2
f (a+(i−12)h3−1)]=0.564899
Cuando K = 4
R41=12 [R (4−1 ) ,1+h4−1∑
i=1
24−2
f (a+(i−12)h4−1)]=0.557395
Cuando K = 5
R51=12 [R (5−1) ,1+h5−1∑
i=1
25−2
f (a+(i−12)h5−1)]=0.555517
Cuando K = 6
R61=12 [R (6−1) ,1+h6−1∑
i=1
26−2
f (a+(i−12)h6−1)]=0.555047
PARA LOS VALORES DE LA SEGUNDA COLUMNA:
Rk 2=4 Rk 1−Rk−1 , 1
3
Cuando K = 2
R22=4 R21−R2−1 ,1
3=0.555545
Cuando K = 3
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 132
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
R32=4 R31−R3−1 ,1
3=0.554939
Cuando K = 4
R42=4 R41−R4−1 ,1
3=0.554893
Cuando K = 5
R52=4 R51−R5−1 ,1
3=0.554891
Cuando K = 6
R62=4 R61−R6−1 ,1
3=0.554890
PARA LOS VALORES DE LA TERCERA COLUMNA:
Rk 3=16 Rk 2−Rk−1 ,2
15
Cuando K = 3
R33=16 R32−R3−1 ,2
15=0.554891
Cuando K = 4
R43=16 R42−R4−1 ,2
15=0.554889
Cuando K = 5
R53=16 R52−R5−1 ,2
15=0.554890
Cuando K = 6
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 133
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
R63=16 R62−R6−1 , 2
15=0.554889
PARA LOS VALORES DE LA CUARTA COLUMNA:
Rk 4=64 Rk 3−Rk−1 ,3
63
Cuando K = 4
R44=64 R43−R4−1 ,3
63=0.554888
Cuando K = 5
R54=64 R53−R5−1 ,3
63=0.554890
Cuando K = 6
R64=64 R63−R6−1 ,3
63=0.554889
PARA LOS VALORES DE LA QUINTA COLUMNA:
Rk 5=256 Rk 4−Rk−1 , 4
255
Cuando K = 5
R55=256 R54−R5−1 , 4
255=0.554890
Cuando K = 6
R65=256 R64−R6−1 ,4
255=0.554889
PARA LOS VALORES DE LA SEXTA COLUMNA:
Rk 6=1024 Rk 5−Rk−1 ,5
1023
Cuando K = 6 PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 134
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
R66=1024 R65−R6−1 ,5
1023=0.554889
LA MATRIZ FINAL SERÁ:
0.712173
0.594777 0.55545
0.564899 0.554939 0.554891
0.557395 0.554889 0.554889 0.554888
0.555517 0.554890 0.554890 0.554890 0.554890
0.555047 0.554890 0.554889 0.554889 0.554889 0.554889
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 135
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VALOR INICIAL.
I) De un solo paso:
Dada la Ecuación Diferencial Ordinaria:
Con la condición inicial:
a) Método de Euler:
Es de la forma:
O
Observación:
Euler es un caso particular de Taylor de orden 1.
Ejemplos resueltos:
1º forma de pregunta
1) Dado:
y ´=2 x y2
Con:
y (1 )=1
Hallar: y (1.1 )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 136
y ´=f ( x , y ) / y ´=dydx
y (x0 )= y0
y i+1= y i+hf (x , y )
y i+1= y i+h y´ i
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Solución:
Como: x0=1 , y0=1
Entonces:
Para i=0 , y1= y0+h y ´0
Donde:
y1=¿ y (1.1 )= y (x1 )
→ x1=1.1
→ h=x1−x0=1.1−1=0.1
h=0.1
Luego:
y1= y0+h y ´0 … (∝)
Donde:
y ´0=2 x0 y02
Reemplazando en (∝):
y1= y0+h2 x0 y02
y1=1+(0.1 ) (2 ) (1 )¿
y1=1.2
y (1.1 )=1.2
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 137
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
2º forma de pregunta
2) Dado:
y ´=2 x y2
Con:
y (1 )=1
Hallar: y (1.1 ) para x∈[1 , 2] , con n=4
Solución:
Como: h=b−a
n=2−1
4=0.25
i 0 1 2 3 4
x i x0 x1 x2 x3 x4
1 1.25 1.5 1.75 2
x1=x0+1 (0.25 )=1.25
x2=x0+2 (0.25 )=1.5
x3=x0+3 (0.25 )=1.75
x4=x0+4 (0.25 )=2
Para i=0, con (x0 , y0 ¿=(1 , 1)
y1= y0+h y ´0
y1= y0+h2 x0 y02
y1=1.2
Para i=1, con (x1 , y1 ¿=(1.25 ,1.2)
y2= y1+h2 x1 y12
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 138
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
y2=2.1
Para i=2, con (x2 , y2 ¿=(1.5 , 2.1)
y3= y2+h2 x2 y22
y3=5.4075
Para i=3, con (x3 , y3 ¿=(1.75 , 5.4075)
y4= y3+h 2x3 y32
y4=30.99342422
Para i=4, con (x4 , y4 ¿=(2 , 30.99342422)
y5= y4+h 2x 4 y 42
y5=991.5857691
b) Método de Taylor de orden K:
Es de la siguiente forma:
y i+1= y i+h y ´i
1 !+
h2 y i´ ´
2 !+
h3 y i´ ´´
3 !+…+
hk y i(k )
k !+ε
O
y (x i+1)= y (x i)+h y´ (x i)
1!+
h2 y´ ´ (x i)2 !
+h3 y´´ ´ (x i)
3 !+…+
hk y(k )(x i)k !
+ε
Donde:
El error local es de la forma:
ε=hk+1 y(k +1)(x i)
k+1!
Ejemplos resueltos:
1º forma de pregunta
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 139
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Dado:
y´=x2+ y2 …(∝)
Con:
y (1 )=0
Por Taylor de orden 3 hallar: y (1.5)
Solución:
Como: x0=1 y y0=0
Y de y (1.5) se sabe que: x1=1.5
→ h=x1−x0=1.5−1=0.5
Luego, Taylor de orden 3 es de la forma:
y i+1= y i+h y ´i
1 !+
h2 y i´ ´
2 !+
h3 y i´ ´´
3 !
Para i=0 con (x¿¿0 , y0)=(1 , 0)¿
y1= y0+h y ´0
1 !+
h2 y0´ ´
2 !+
h3 y0´´ ´
3 !
Se requiere hallar:
y ´0 , y0´ ´ , y0
´ ´ ´
De(∝):
y´=x2+ y2 …(β)
y0´=x0
2+ y02
y0´=12+02
y0´=1
Derivando (β ) :
y´ ´=2 x+2 y y´ …(θ)
y0´ ´=2 x0+2 y0 y0
´
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 140
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
y0´ ´=2(1)+2(0)(1)
y0´ ´=2
Derivando (θ ) :
y´ ´ ´=2+2( y y´ ´+ y´ y´)
y0´ ´ ´=2+2( y0 y0
´ ´+ y0´ y0
´ )
y0´ ´ ´=2+2((0 ) (2 )+(1 ) (1 ))
y0´ ´ ´=4
Por último, reemplazando:
y1=0+80.5¿(0) ¿1 !+(0.5)2(2)
2 !+(0.5 )3(4)
3!
y1=0.8333333 …
y (1.5 )=0.8333333 …
2º forma de pregunta
Dado:
y´=x2+ y2 …(∝)
Con:
y (1 )=0
Por Taylor de orden 3 en el segmento x∈[1 , 2] , con n=2, hallar: y (1.5)
Solución:
Como: h=b−a
n=2−1
2=0.5
Determinamos los puntos: x i=x0+ih / x i∈ [1 , 2 ]
i=0 → x0=x0+0 h=1
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 141
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
i=1 → x1=x0+1 h=1.5
i=2 → x2=x0+2 h=2
Para i=0 con (x0 , y0 ¿=(1 , 0)
y1= y0+h y ´0
1 !+
h2 y0´ ´
2 !+
h3 y0´´ ´
3 !
y1=0.8333333 …(Resuelto anteriormente)
Para i=1 con (x1 , y1 ¿=(1.5 , 0.8333333)
y2= y1+h y ´ 1
1!+
h2 y1´´
2 !+
h3 y1´ ´ ´
3 !
Se requiere hallar: y ´1 , y1´ ´ , y1
´ ´ ´
De (∝ ¿:
y´=x2+ y2…(β ¿
y1´=x1
2+ y12
y1´=1.52+0.8333333 …2
y1´=2.9444444 …
Derivando (β ¿:
y´ ´=2 x+2 y y´ …(θ)
y1´ ´=2 x1+2 y1 y1
´
y1´ ´=2(1.5)+2(0.8333333 …)(2.9444444 …)
y1´ ´=7.907407405
Derivando (θ ) :
y´ ´ ´=2+2( y y´ ´+ y´ y´)
y1´ ´ ´=2+2( y1 y1
´´+ y1´ y1
´ )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 142
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
y1´ ´ ´=2+2((0.8333333 … ) (7.907407405 )+(2.9444444 …) (2.9444444 … ))
y1´ ´ ´=32.5185185
Luego, reemplazando:
y2= y1+h y ´ 1
1!+
h2 y1´´
2 !+
h3 y1´ ´ ´
3 !
y2=0.8333333 …+(0.5 )(2.9444444…)
1!+(0.5 )2(7.907407405)
2!+(0.5 )3(32.5185185)
3 !
y2=3.235339504
Para i=2 con (x2 , y2 ¿=(2 ,3.235339504 )
y3= y2+h y ´ 2
1!+
h2 y2´ ´
2 !+
h3 y2´ ´ ´
3 !
Se requiere hallar: y ´2 , y2´ ´ , y2
´ ´ ´
De (∝ ¿:
y´=x2+ y2…(β ¿
y2´=x2
2+ y22
y2´=22+3.2353395042
y2´=14.46742171
Derivando (β ¿:
y´ ´=2 x+2 y y´ …(θ)
y2´ ´=2 x2+2 y2 y2
´
y2´ ´=2(2)+2(3.235339504)(14.46742171)
y2´ ´=97.61404193
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 143
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Derivando (θ ) :
y´ ´ ´=2+2( y y´ ´+ y´ y´)
y2´ ´ ´=2+2( y2 y2
´´+ y2´ y2
´ )
y2´ ´ ´=2+2((3.235339504 ) (97.61404193 )+(14.46742171 ) (14.46742171 ))
y2´ ´ ´=1052.241714
Luego, reemplazando:
y3= y2+h y ´ 2
1!+
h2 y2´ ´
2 !+
h3 y2´ ´ ´
3 !
y3=3.235339504+(0.5 )(14.46742171)
1!+(0.5 )2(97.61404193)
2!+(0.5 )3(1052.241714)
3 !
y3=44.59250797
PREDICTOR – CORRECTOR
Como su nombre lo indica 1rose predice un valor ym+1, después se usa una formula diferente para corregir este valor.Los métodos Predictor-Corrector hallar el valor del pto(xm+ 1 , ym+ 1) utiliza información del pto
(x¿¿m , ym)¿ y sus precedentes donde cada pto precedente indica un paso, de aquí su nombre como método de múltiples pasos. A diferencia de los métodos de Runge-Kuta, Taylor, Euler, que son métodos de un solo paso (Para y i+1utiliza la información de y i )
Ejemplo: Usando el método predictor – corrector
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 144
Predictor: y i+1= y i−1+2 h y i'
Corrector: y i+1= y i+h2( y i
'+ y i+1' )
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
Con h=0.5, hallar y(1 ) sabiendo que y satisface: y '=x y2+3 x , y0=−0.5
Solución:
y '=f ( x, y)=x y2+3 xy; y0=−0.5 Y h=0.5
Por condición del problema.y i−1= y0=−0.5
y i= y(0.5)
y i+1= y(1)
Para aplicar el predictor corrector, se necesita hallar y1 por un método no menor de 2doorden (puede ser Taylor, o RK), Sea RK-4.
y1= y0+hb(k1+2k 2+2 k 3+k4)
k 1=f (x0 , y0 )= y0
'= y(0)' =0
en y '=x y2+3xy
y0'=x0 y0
2+3 x0 y0=0 (−0.5 )2+3 (0 )(−0.5)
y0'=0
k 2=¿ f( x0+
h2 , y0 +
12 k1)=f (0.25,00 .5+0.25 (0))¿
k 2=f (0.25 ,−0.5 )=(0.25 ) (−0.5 )2+3 (0.25 ) (−0.5 )=−0.3125
k 3=f(x0+
h2
, y0+12
k2)=f (0.25 ,−0.5+(0.25)(−0.3125))
k 3=f (0.25 ,−0.578125 )
k 3=0.25 (−0.578125 )2+3 (0.25 ) (−0.578125 )=−0.3500366
k 4=f(x0+
h2
, y0+12
k3)
k 4=f (0.5 ,−0.5+0.5 (−0.350066))
k 4=f (0.5 ,−0.67533)
k 4=0.5 (−0.67533 )2+3 (0.5 ) (−0.67533 )=−0.7847026
Si y1= y0+h6(k 1+2 k 2+2 k 3+k4)
y1=−0.5+0.56(…)
y i= y1=−0.6758146
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 145
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
y i'=(0.5 )(−0.6758146)2−3 (0.5 )(−0.6758146)
y i'=−0.7853592
Aplicando el predictor:
y i+1= y i−1+2 h y i'
y (1 )=−0.5+2 (0.5 )(−0.7853592)y (1 )=−1.2853592
y i+ 1' = y(1)
' =1 (−1.2853592 )2+3 (1 )(−1.2853592)
y i+1' =−2.2039293
Aplicando el corrector:
y i+1= y i+h2( y¿¿ i'+ y i+1
' )¿
y (1 )=−0.6758146+ 0.52(−0.7853592± 2.2039293)
y (1 )=−1.423167 → este es el corrector
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 146
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se puede transformar en un sistema de EDO de orden 1.Así se tiene una EDO de orden n:
con las condiciones iniciales y(x0)δ = y0
(δ)n condiciones iniciales
Sea las sgtes transformacionesy1= y
y2= y '
y3= y' '
.
yn= y(n−1)
Se tiene
y1'= y '= y2
y2'= y ' '= y3
.
yn'= yn=f (x , y , y ' , y ' ' , y ' ' ' , …, y (n−1))
Sea y i= y(x i)= → y i'= y(x¿¿ i)'=¿ ¿
Ejemplo 1: La Sgte. EDO de 3erorden y ' ' '+t y ' '−t y '=t
Con y(0 )= y(0)' ' =0 , y(0 )
' =1
Como un conjunto de ecuaciones de 1er orden
Solución: De y ' ' '+t y ' '−t y '−2 y=t → y ' ' '=t+2 y+t y '−t y ' '
Sea y= y1 y1(0)= y(0 )=0
y1'= y '= y2 y2 (0 )= y(0 )
' =1
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 147
y(n )=f ( x, y , y ' , y ' ' , y' ' ' , …, y (n−1) )
y1( xi)'
y2 (xi)'
…yn (x i)
'
y1( xi)
y2 (xi)
…yn (x i)
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
y2'= y ' '= y3 y3 (0 )= y(0 )
' ' =0
y3'= y' ' '
La EDO de3er orden se expresa como un conjunto de 3 ecuaciones de 1erorden sgte:
y1'= y2
y2'= y3
y3'=t+2 y1+ t y2−t y3
Matricialmente se tiene:
y '=¿ =
Con las Sgts. condiciones iniciales
y(0 )=¿ =
Ejemplo 2:
Dado x ' '=x2− y+et con x(0)=x(0)' =0
y ' '=x− y2−e t y(0 )=1 , y(0)' =−2
Expresar como un sistema de EDO de 1erorden
SoluciónSea y1=x y1
'=x ' y1'= y2
y2=x ' y2'=x ' ' y2
'=x ' '
y3= y y3'= y' y3
'= y4
y4= y ' y4' = y ' ' y4
' = y ' '
El sistema de EDO de 1er orden es:
y1'= y2
y2'=x2− y+et= y1
2− y3+e t
y3'= y4
y4' =x− y2−et= y1− y3
2−et
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 148
y2
y3
t+2 y1+t y2−t y3
y1'
y2'
y3'
010
y1(0)
y2 (0 )
y3 (0 )
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
y1 (0 )=0 , y2 (0 )=0 , y3 (0 )=1 , y4 (0 )=−2
Matricialmentey= = ,i=0,1,2
Sea t 0=0
y0= y(t0 )= y(0 )=¿ =
y '=¿ =
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 149
y1(ti)
y2 (ti)
y3 (ti)
y4 (ti)
y1
y2
y3
y4
001−2
y1(0)
y2 (0 )
y3 (0 )
y4 (0)
y2
y12− y3+et
y4
y1− y32−e2
y1'
y2'
y3'
y4'
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 150
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
CONCLUSIONES
Ventajas y desventajas de los métodos iterativos comparados con los métodos directos Ventajas: Probablemente son más eficientes que los métodos directos para sistemas de orden
muy alto.
Más simples de programar.
Pueden aprovecharse una aproximación a la solución, si tal aproximación existe.
Se obtiene fácilmente bajo aproximaciones burdas de la solución.
Son menos sensibles a los errores de redondeo (valiosos en sistemas mal
condicionados).
Se requiere menos memoria de maquina. Generalmente, las necesidades de
memoria son proporcionales al orden de la matriz.
Desventajas:
Si se tiene varios sistemas que comparten la matriz coeficiente, esto no representara
ahorro de cálculos ni tiempo de maquina, ya que por cada vector a la derecha de A
tendrá que aplicarse el método seleccionado.
Aun cuando la convergencia este asegurada, puede ser lenta y, por; lo tanto, los
cálculos requeridos para obtener una solución particular no son predecibles.
El tiempo de maquina y la exactitud del resultado dependen del criterio de
convergencia.
Si la convergencia es lenta, los resultados deben interpretarse con cautela.
No se tiene ventaja particular alguna (tiempo de maquina por iteración) si la matriz
coeficiente es simétrica.
No se obtiene la inversa de A ni el determinante de A.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 151
UNMSM MÉTODOS NUMÉRICOS
INTEGRANTES
1. ALARCON MONRROY, ALEXANDER…………….. 08190032
2. ALVARADO LACMA, MARCIAL…………………………09190023
3. CORREA GALLUFFE, BORIS……………………………..08190144
4. CESPEDES BURGOS, JUAN……………………………….04190205
5. CAQUI PINTADO, GABRIEL……………………………...09190107
6. CASTILLO VELASQUEZ, JUAN………………………….09190026
7. CALDERON HUAMAN, DAVID JESUS………………..10190264
8. DELGADO ARPITA, MIGUEL…………………………….07190020
9. GOMERO GOMERO, CARLOS J………………………….09100168
10. HUAMANI QUISPE, JUAN PABLO…………………….03190038
11. LOPEZ PORRAS, JUAN JOSE……………………………..09190116
12. MARIANO CABELLO, ISIDRO…………………………...09190118
13. MENDOZA GUZMAN, JORGE……………………………07190151
14. MEJIA SANCHEZ, JOSE EDUARDO……………………08190173
15. ROSALES LEON, FERNANDO JESUS…………………09190171
16. RODRIGUEZ ALVARADO, JORGE……………………...08190051
17. RIVERA YANAC, VLADIMIR……………………………..09190139
18. SUEROS ZARATE, JONATHAN………………………….08190094
19. TUÑOQUE MEZA, JOB JOSUE……………………………05190041
20. VILLA FLORES, DANIEL…………………………………..06190148
21. ZAMORA MONTENEGRO, RONEL…………………….09190020
22. ZELADA LOPEZ, ROYBHER FRANK………………….09190153
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ Pág. 152