Metodo de Marcus

7/22/2019 Metodo de Marcus

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Facultad de Ingeniera

Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS IIIPara alumnos de la carrera de Ingeniera Aeronutica y Mecnica de la UNLP

METODO DE MARCUSpara la resolucin de placas planas rectangulares

Autores:

Ing. Alejandro J. PatanellaIng. Marcos D. ActisIng. Juan P. Durruty

-2008-


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Estructuras III

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METODO DE MARCUS PARA LA RESOLUCION DE

PLACAS PLANAS

CALCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

Este mtodo se basa en el clculo del Laplaciano doble por el mtodo de diferencias

finitas. Para ellos se toma a la expresin,

D

q

yx

w

y

w

x

w=++

22

4

4

4

4

4

2

como el producto de dos Laplacianos, es decir,

Dq

yw

xw

yxw =

+

+=

2

2

2

2

2

2

2

222

El mtodo resuelve por separado cada uno de estos Laplacianos utilizando una variable

llamado operador de Marcus (M), de forma tal que,

( )

+=

+

y

w

x

wD

y

22

1+

MM=M

x

entonces

+y

w

x

w

D

22=

M

y

+

yxq

MM=

22

Primeramente se resuelve con un operador simple

kilkkk MMMMMSq 4112

+++= +

l

k-1

i

k+1kS

S


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Estructuras III

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Para ver ms claramente el mtodo se calcular los desplazamientos w, los

momentosMx yMy, y los esfuerzos de corte Qxy Qyde la siguiente placa;

Para simplificar el clculo solo se considerar un cuarto de la placa debido a que el

resultado obtenido en la misma se puede llevar a la totalidad de la placa debido a las

condiciones de simetra existentes:

a/4a/4

b

b

b/3

b/3

aa

espesorh

cteq

baS

a

b

=

=

==

=

=

64

3.0

5.1

1

5

9

13

17

21

2

6

10

14

18

22

3

7

11

15

19

23

4

8

12

16

20

24


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Estructuras III

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Planteando las ecuaciones del operador de Marcus para cada nodo se obtiene un

sistema de 24ecuaciones con 24incgnitas.

1.- 2M2+ M5- 4M1= -q S2

2.- M3+ M1+ M6- 4M2= -q S2

3.- M2+ M4+ M7- 4M3= -q S

2

4.- M3+ M8- 4M4= -q S2

5.- 2 M6+ M1+ M9- 4M5= -q S2

6.- M2+ M10+ M5 M7- 4M6= -q S2

7.- M6+ M8+ M3 M11- 4M7= -q S2

8.- M7+ M4+ M12 - 4M8= -q S2

9.- 2M10+ M5+ M13- 4M9= -q S2

10.- M9+ M11+ M6 M14- 4M10= -q S2

11.- M10+ M12+ M7 M15- 4M11= -q S2

12.- M11+ M8+ M16 - 4M12= -q S2

13.- M9+ M17+ 2 M14 - 4M13= - q S

2

14.- M10+ M18+ M13 M15- 4M14= - q S2

15.- M14+ M16+ M11 M19- 4M15= -q S2

16.- M15+ M12+ M 20 - 4M16= -q S2

17.- 2 M18 + M13+ M21 - 4M17= 0

18.- M17+ M19+ M14 M22- 4M18= - q S2

19.- M18+ M20+ M15 M23- 4M19= -q S2

20.- M16+ M24+ M19 - 4M20= -q S2

21.- 2 M22 + 2 M17- 4M21= 0

22.-M

21+M

23+ 2M

18 - 4M

22= - q S

2

23.- 2 M19+ M22+ M24 - 4M23= -q S2

24.- M23+ 2 M19- 4M24= -q S2

Escribiendo el sistema en forma matricial { [A] [x] = [B] }.


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Estructuras III

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-4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 3,6421404

1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 3,59713185

0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2,68060333

0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1,54816687

1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 6,37429791

0 1 0 4 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 7,06578365

0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 4,5771146

0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2,51206414

0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 6,72348393

0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 6,52192278

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 = 5,05000729

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2,92297509

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -0,5 6,47579225

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -0,75 6,24841626

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 5,17801668

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 3,12982894

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 6,18285257

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 -0,5 6,06793332

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 -1 5,28381421

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 -1 3,41832399

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 -4 2 0 0 0 6,1197514

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 -4 1 0 -0,5 6,05665023

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 -4 1 -1 5,47098287

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 -4 -1 4,25965282

Siendo el valor del operador deMarcusen cada nodo,

M1= 3.642 q S2 M9= 6.723q S

2 M17= 6.182q S2

M2= 3.597 q S2 M10= 6.521q S

2 M18= 6.067q S2

M3= 2.680 q S2 M11= 5.05q S

2 M19= 5.283q S2

M4= 1.548q S2 M12= 2.922q S

2 M20= 3.418q S2

M5= 6.374q S2 M13= 6.475q S

2 M21= 6.119q S

2

M6= 7.065q S2 M14= 6.248q S

2 M22= 6.056q S

2

M7= 4.577q S2 M15= 5.178q S

2 M23= 5.470q S

2

M8= 2.512q S2 M16= 3.129q S

2 M24= 4.259q S2

Ahora resolviendo la ecuacin,

+

y

w

x

w

D

22=

M

siendo,

( )2

3

112

=hE

D


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Estructuras III

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Resolviendo a travs de

-MkS2/ D= w k+1 + w k-1 + w l + w i - 4 w k

Planteando las ecuaciones para cada nodo se obtiene un sistema de 24ecuaciones

con 24incgnitas.

1.- 2w2+ w5- 4w1= -3.642 q S4/D

2.- w3+ w1+ w6- 4w2= -3.597 q S4/D

3.- w2+ w4+ w7- 4w3= -2.680 q S4/D

4.- w3+ w8- 4w4= -1.548 q S4/D

5.- 2 w6+ w1+ w9- 4w5= -6.374 q S4/D

6.- w2+ w10+ w5 w7- 4w6= -7.065 q S4/D

7.- w6+ w8+ w3 w11- 4w7= -4.577 q S4/D

8.- w7+ w4+ w12 - 4w8= -2.512 q S4/D

9.- 2w10+ w5+ w13- 4w9= -6.723 q S4/D

10.- w9+ w11+ w6 w14- 4w10= -6.521 q S4/D

11.- w10+ w12+ w7 w15- 4w11= -5.050 q S4/D

12.- w11+ w8+ w16 - 4w12= -2.922 q S4/D

13.- w9+ w17+ 2 w14 - 4w13= -6.475 q S4/D14.- w10+ w18+ w13 w15- 4w14= -6.248 q S

4/D

15.- w14+ w16+ w11 w19- 4w15= -5.178 q S4/D

16.- w15+ w12+ w 20 - 4w16= -3.129 q S4/D

17.- 2 w18 + w13+ w21 - 4w17= - 6.182 q S4/D

18.- w17+ w19+ w14 w22- 4w18= -6.067 q S4/D

19.- w18+ w20+ w15 w23- 4w19= -5.283 q S4/D

20.- w16+ w24+ w19 - 4w20= -3.418 q S4/D

21.- 2 w22 + 2 w17- 4w21= -6.119 q S4/D

22.- w21+ w23+ 2 w18 - 4w22= -6.056 q S4/D

23.- 2 w19+ w22+ w24 - 4w23= -5.470 q S4/D24.- w23+ 2 w19- 4w24= -4.259 q S

4/D

Escribiendo el sistema en forma matricial { [A] [x] = [B] }.

m

lk-1

i

k+1kS

S

n


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Estructuras III

Pagina 6 de 16

-4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3,64 18.2488325

1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3,6 17.6386756

0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2,68 12.4837155

0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,55 6.44356101

1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6,37 34.0758385

0 1 0 4 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -7,07 36.2250224

0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4,58 23.1720222

0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2,51 11.7423617

0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6,72 39.2301788

0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6,52 37.1735255

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -5,05 = 27.6598746

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -2,92 14.8417993

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -3,24 41.774342

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -4,69 39.0571034

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 -5,18 30.4021441

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 -3,13 17.0419858

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 -6,18 43.2771899

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 -3,03 40.6299859

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 -5,28 32.6715959

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 -3,42 19.794171

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 -4 2 0 0 -6,12 43.8915932

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 -4 1 0 -3,03 41.4461209

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 -4 1 -5,47 34.5762685

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 -4 -4,26 26.0447783

Siendo el valor de la deflexin en cada nodo,

w1= 18.248 q S4/D w9= 39.230q S

4/D w17= 43.277q S

4/D

w2= 17.639 q S4/D w10= 37.173q S

4/D w18= 40.629q S

4/D

w3= 12.483 q S4/D w11= 27.659q S

4/D w19= 32.671q S

4/D

w4= 6.443q S4/D w12= 14.841q S

4/D w20= 19.794q S

4/D

w5= 34.075q S4/D w13= 41.774q S

4/D w21= 43.891q S

4/D

w6= 36.225q S4/D w14= 39.057q S

4/D w22= 41.446q S

4/D

w7

= 23.172q S4/D w

15= 30.402q S

4/D w

23= 34.576q S

4/D

w8= 11.74q S4/D w16= 17.041q S

4/D w24= 26.044q S

4/D

Graficando para la placa entera


8/17

Estructuras III

Pagina 7 de 16

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 -5.86640165 -11.3879762 -16.118084 -16.6835545 -16.118084 -11.3879762 -5.86640165 0

0 -10.568087 -20.9585733 -32.9016525 -30.9560714 -32.9016525 -20.9585733 -10.568087 0

0 -13.0180456 -24.54989 -33.2624883 -35.1678168 -33.2624883 -24.54989 -13.0180456 0

0 -14.1731265 -26.1376623 -34.181071 -36.745334 -34.181071 -26.1376623 -14.1731265 0

0 -14.6645997 -26.8126897 -34.6941697 -37.3404918 -34.6941697 -26.8126897 -14.6645997 0

0 -14.7987399 -26.9984579 -34.8481878 -37.4988966 -34.8481878 -26.9984579 -14.7987399 0

0 -14.6645997 -26.8126897 -34.6941697 -37.3404918 -34.6941697 -26.8126897 -14.6645997 0

0 -14.1731265 -26.1376623 -34.181071 -36.745334 -34.181071 -26.1376623 -14.1731265 0

0 -13.0180456 -24.54989 -33.2624883 -35.1678168 -33.2624883 -24.54989 -13.0180456 0

0 -10.568087 -20.9585733 -32.9016525 -30.9560714 -32.9016525 -20.9585733 -10.568087 0

0 -5.86640165 -11.3879762 -16.118084 -16.6835545 -16.118084 -11.3879762 -5.86640165 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Curvas de nivel de losdesplazamientos en z

de la placa

Deformada de la

placa

Nota:

A los valores ledos de los grficos y tablas hay que multiplicarlos por q


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Estructuras III

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CALCULO DE LOS MOMENTOS FLECTORES

Para el clculo de los momentos enxdebemos utilizar la siguiente expresin,

M Dw

x

w

yx = +

2

2

2

2

que expresado en diferencias finitas queda,

( )[ ]iklkkkkx wwwwwwS

DM +++= + 22 112

Resolviendo a lo largo de la placa se tiene,

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.69424196 1.33668053 3.96499191 1.85425231 3.96499191 1.33668053 0.69424196 0

0 0.85311876 0.24119125 18.8154801 -0.87293085 18.8154801 0.24119125 0.85311876 0

0 1.87466463 3.42030933 6.63994575 4.6009254 6.63994575 3.42030933 1.87466463 0

0 2.40767301 4.19495055 5.60079087 5.42323387 5.60079087 4.19495055 2.40767301 0

0 2.62370949 4.41338789 5.34288197 5.42367024 5.34288197 4.41338789 2.62370949 0

0 2.67950606 4.4614491 5.29143183 5.39646058 5.29143183 4.4614491 2.67950606 0

0 2.62370949 4.41338789 5.34288197 5.42367024 5.34288197 4.41338789 2.62370949 0

0 2.40767301 4.19495055 5.60079087 5.42323387 5.60079087 4.19495055 2.40767301 0

0 1.87466463 3.42030933 6.63994575 4.6009254 6.63994575 3.42030933 1.87466463 0

0 0.85311876 0.24119125 18.8154801 -0.87293085 18.8154801 0.24119125 0.85311876 0

0 0.69424196 1.33668053 3.96499191 1.85425231 3.96499191 1.33668053 0.69424196 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Momentos flectoresrespecto al eje x

(Mx)


10/17

Estructuras III

Pagina 9 de 16

Grafico de Mx en y= b/2

0.691.34

3.96

1.85

3.96

1.34

0.690 0

x

Grafico de Mx en y= 0

2.68

0 04.46

2.68

4.46 5.29 5.405.29 x

Grafico de Mx en x= a/2

0

0.690.85

1.872.41

2.62

2.68

2.62

2.411.87

0.850.69

0 y

Grafico de Mx en x= 0

1.85

-0.87

0

4.605.425.42

5.40

5.42

5.42

4.60

-0.87

1.850 y

Para el calculo de los momentos eny debemos utilizar la siguiente expresin,

M D

w

y

w

xy = +

2

2

2

2


kxkky MM += )1( M


x2

Sq


11/17

Estructuras III

Pagina 10 de 16

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.38947485 0.5397418 -1.44699962 0.69524597 -1.44699962 0.5397418 0.38947485 0

0 0.90532614 2.96278898 -13.8694316 5.33493938 -13.8694316 2.96278898 0.90532614 0

0 0.17141793 0.11469577 -2.0745998 0.10551335 -2.0745998 0.11469577 0.17141793 0

0 -0.21679275 -0.57033887 -1.22689949 -0.89017929 -1.22689949 -0.57033887 -0.21679275 0

0 -0.2308827 -0.71471794 -1.09532864 -1.09567344 -1.09532864 -0.71471794 -0.2308827 0

0 0.30225091 -0.63176109 -1.05177668 -1.1126346 -1.05177668 -0.63176109 0.30225091 0

0 -0.2308827 -0.71471794 -1.09532864 -1.09567344 -1.09532864 -0.71471794 -0.2308827 0

0 -0.21679275 -0.57033887 -1.22689949 -0.89017929 -1.22689949 -0.57033887 -0.21679275 0

0 0.17141793 0.11469577 -2.0745998 0.10551335 -2.0745998 0.11469577 0.17141793 0

0 0.90532614 2.96278898 -13.8694316 5.33493938 -13.8694316 2.96278898 0.90532614 0

0 0.38947485 0.5397418 -1.44699962 0.69524597 -1.44699962 0.5397418 0.38947485 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Grafico de My en y= b/2

0.390.54

-1.450.70

-1.45

0.540.390 0

x

Grafico de My en y= 0

0.300 0

-0.63

0.30

-0.63-1.05 -1.11

-1.05

x

Nota:

A los valores ledos del grfico y de la tabla hay que multiplicarlos por q S2

x2Sq

Momentos flectoresrespecto al eje y

(My)


12/17

Estructuras III

Pagina 11 de 16

Grafico de My en x= a/2

0

0.39

0.91

0.17

-0.22-0.23

0.30

-0.23-0.22

0.17

0.91

0.39

0

y

Grafico de My en x= 0

0.70

5.33

00.11

-0.89-1.10-1.11-1.10-0.89

0.11

5.33

0.700 y

CALCULO DE ESFUERZOS DE CORTE

Para el calculo de los esfuerzo de corte enxdebemos utilizar la siguiente expresin,

Q Dw

x

w

x yx = +

3

3

3

2


[ ]111121123 442 +++++ +++= iillkkkkkx wwwwwwww

S

DQ


x2

Sq

Esfuerzos de Corterespecto al eje x

(Qx)


13/17

Estructuras III

Pagina 12 de 16

0 0 0 0 0 0 0 0 0

-3.0190867 -2.6088459 -1.9896094 -0.9331328 0 0.933133 1.989609 2.608846 3.019087

-4.8586550 -4.4266876 -27.8820655 -1.7429216 0 1.742922 27.882066 4.426688 4.858655

-5.5621581 -4.8227904 -3.4684438 -1.6220947 0 1.622095 3.468444 4.822790 5.562158

-5.7443968 -4.8338719 -3.0124313 -1.2770135 0 1.277014 3.012431 4.833872 5.744397

-5.7476851 -4.7558694 -2.7203959 -0.9735280 0 0.973528 2.720396 4.755869 5.747685

-5.7346048 -4.7215246 -2.6397547 -0.8967027 0 0.896703 2.639755 4.721525 5.734605

-5.7476851 -4.7558694 -2.7203959 -0.9735280 0 0.973528 2.720396 4.755869 5.747685

-5.7443968 -4.8338719 -3.0124313 -1.2770135 0 1.277014 3.012431 4.833872 5.744397

-5.5621581 -4.8227904 -3.4684438 -1.6220947 0 1.622095 3.468444 4.822790 5.562158

-4.8586550 -4.4266876 -27.8820655 -1.7429216 0 1.742922 27.882066 4.426688 4.858655

-3.0190867 -2.6088459 -1.9896094 -0.9331328 0 0.933133 1.989609 2.608846 3.019087

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Grafico de Qxen y=b/2

2.611.990.93

0-0.93-1.99-2.61-3

3

x

Grafico de Qxen y=0

6

-6 -4.72 -2.64-0.90 0

0.90 2.644.72

x

Grafico de Qxen x= a/2

-3.02

-5.75-5.73-5.75-6-5.56-4.86

-3.02

0

-6 -5.56-4.86

0

y

Grafico de Qxen x= 0

000 0 0 0 0 0 0 0 00 0

y

x Sq

Nota:A los valores ledos del grfico y de la tabla hay que multiplicarlos por q S


14/17

Estructuras III

Pagina 13 de 16

De la misma forma queda,

+=

2

3

3

3

xy

w

y

wDQy


[ ]11113 442 ++ +++= ililnilmky wwwwwwww

S

DQ


0 -3.019087 -5.217692 -6.998306 -7.083957 -6.998306 -5.217692 -3.019087 0

0 -2.429327 -4.426688 -30.311393 -6.169609 -30.311393 -4.426688 -2.429327 0

0 -1.271536 -2.213944 -2.750370 -2.902906 -2.750370 -2.213944 -1.271536 0

0 -0.442871 -0.407184 24.426763 0.058724 24.426763 -0.407184 -0.442871 0

0 -0.092763 0.066921 0.655285 0.715488 0.655285 0.066921 -0.092763 0

0 0.004896 0.112347 0.377573 0.492658 0.377573 0.112347 0.004896 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 -0.0048960 -0.1123474 -0.3775725 -0.4926582 -0.3775725 -0.1123474 -0.0048960 0

0 0.0927635 -0.0669210 -0.6552845 -0.7154877 -0.6552845 -0.0669210 0.0927635 0

0 0.4428709 0.4071844 -24.4267634 -0.0587237 -24.4267634 0.4071844 0.4428709 0

0 1.2715357 2.2139444 2.7503701 2.9029064 2.7503701 2.2139444 1.2715357 0

0 2.4293275 4.4266876 30.3113930 6.1696092 30.3113930 4.4266876 2.4293275 0

0 3.0190867 5.2176918 6.9983055 7.0839573 6.9983055 5.2176918 3.0190867 0

Esfuerzos de Corterespecto al eje y

(Qy)

Nota:

A los valores ledos del grfico y de la tabla hay que multiplicarlos por q S


15/17

Estructuras III

Pagina 14 de 16

CALCULO DE LAS REACCIONES

Para el clculo de las reacciones de los apoyos se parte de la expresin que vincula

al equilibrio de fuerzas, es decir,

+=

y

MQR

xy

xx

+=

x

MQR

xy

yy

Recordando que:

yx

wDMxy

=

2

)1(


x qS

Grafico de Qyen y= b/2

-3.02

-5.22

-7-7-7

-5.22-3.02

0

0

x

Grafico de Qyen y= 0

00 0 0 0 0 0 0 0

x

Grafico de Qyen x= a/2

0000

-0.44

-1.27-2.43-3

0 0.44

1.27 32.43 y

Grafico de Qy en x= 0

2.90

-0.72-7.08 -6.17

-2.90

0 0.72 0.49 0

-0.49

7.08

0

6.17

y


16/17

Estructuras III

Pagina 15 de 16

( )111124)1(

++ +

= ililk

xy wwwwS

DM

siendo:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )1111111134

1++++ +

=

nkkmnkkm

k

xywwwwwwww

S

D

y

M

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2212234

1++ +

=

iillilm

k

xywwwwwwww

S

D

x

M

Resolviendo se tiene

Ry Rx0 0

5.30966636 2.27852623

8.34017876 2.17149287

8.3147031 1.87246435

7.2341098 1.78837906

6.5709621 1.87246435

6.36021826 2.17149287

6.5709621 2.27852623

7.2341098 0

8.31470318.34017876

5.30966636

0

Y grficamente,

Reacc in Ry sobre el Borde de la Placa

5.31

8.31 8.34

6.36 6.576.57

7.23 7.23

8.318.34

5.31

00x


17/17

Estructuras III

Pagina 16 de 16

Reacc in Rx sobre el Borde de la

Placa

0

2.17

0

1.79 1.87

2.28

2.17

2.28

1.87

y

Nota:

A los valores ledos del grfico y de la tabla hay que multiplicarlos por q S

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