cap3-METODO DE CROSS
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CAPÍTULO 3
PÓRTICOS PLANOS
RESUMEN
Se presenta la teoría para resolver pórticos planos con los siguientes tipos de carga: uniforme, triangular y trapezoidal. Las acciones de empotramiento perfecto se obtienen mediante el uso de las funciones de forma y la respuesta cada cuarto de la luz se halla empleando diferencias finitas para la flexión y corte; para la carga axial se resuelve la ecuación diferencial. Finalmente se indica el uso del programa denominado PLANO, mediante la realización de varios ejercicios.
3.1 ACCIONES DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
En la figura 3.1 se muestran los tres tipos de carga que pueden actuar sobre las vigas de un marco y que considera el programa PLANO, a la izquierda se tiene una carga uniforme distribuida de
magnitud oP , al centro una carga triangular cuya máxima magnitud vale oP en la mitad de la luz y a
la derecha una carga trapezoidal la misma que primero es lineal en una distancia a y posteriormente
es constante con un valor de oP .
Figura 3.1 Tipos de carga que considera el programa PLANO.
En el libro de Análisis Matricial de Estructuras, Aguiar (2004) se encuentran deducidas las acciones de empotramiento perfecto las mismas que se resumen a continuación, con la convención de signos y nomenclatura de figura 3.1.
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( 3.1 )
( 3.2 )
Carga Uniforme
'2
'
12
2
MLP
M
LPVV
o
o
Carga Triangular
'2
'
96
5
4
MLP
M
LPVV
o
o
Carga Trapezoidal
'
322
'
2112
12
ML
a
L
aLPM
L
aLPVV
o
o
Para encontrar las acciones de empotramiento perfecto se utilizan las siguientes funciones de
forma o de interpolación.
L
x
L
xx
L
x
L
xx
L
xxx
L
x
L
xx
1)(
23)(
1)(
231)(
2
6
3
3
2
2
5
2
3
3
3
2
2
2
Para el cálculo de las acciones de empotramiento perfecto, primero se debe deducir la
ecuación o ecuaciones que definen la variación de la carga y aplicar el siguiente formulario, para el caso de carga uniforme distribuida.
dxL
x
L
xPxPM
dxL
x
L
xPxPV
dxL
xxPxPM
dxL
x
L
xPdxxPV
L
o
L
o
L
o
L
o
L
o
L
o
L
o
L
o
0
2
6
0
'
0
3
3
2
2
5
0
'
0
2
3
0
0
3
3
2
2
2
0
1)(
23)(
1)(
231)(
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( 3.3 )
( 3.4 )
En el formulario indicado en las ecuaciones ( 3.2 ) la carga oP sale de la integral por ser
constante y las integrales van desde 0 hasta la L, por el mismo motivo. Para el caso de carga triangular, para cada caso se tendrán dos integrales la una que va de 0 hasta L/2 y la otra desde L/2 hasta L., ya que se tienen dos ecuaciones que definen la variación de la carga. A continuación se indican las integrales que se deben resolver para el caso de carga triangular.
dxxL
xPPdxx
L
xPM
dxxL
xPPdxx
L
xPV
dxxL
xPPdxx
L
xPM
dxxL
xPPdxx
L
xPV
L
L
oo
L
o
L
L
oo
L
o
L
L
oo
L
o
L
L
oo
L
o
)(22)(2
)(22)(2
)(22)(2
)(22)(2
6
2/
6
2/
0
'
5
2/
5
2/
0
'
3
2/
3
2/
0
2
2/
2
2/
0
Para el caso de carga trapezoidal, para cada caso se debe resolver tres integrales cuyos
límites de integración van de 0 –a, de a-(L-a) y de (L-a)-L.. Las integrales en este caso son:
L
aL
o
aL
a
o
a
o
L
aL
o
aL
a
o
a
o
L
aL
o
aL
a
o
a
o
L
aL
o
aL
a
o
a
o
dxxLxa
PdxxPdxx
a
xPM
dxxLxa
PdxxPdxx
a
xPV
dxxLxa
PdxxPdxx
a
xPM
dxxLxa
PdxxPdxx
a
xPV
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
666
0
'
555
0
'
333
0
222
0
Con la función de forma )(2 x se calcula el cortante en el nudo inicial, con )(3 x el
momento en el nudo inicial, con )(5 x el cortante en el nudo final y con )(6 x el momento en el
nudo final.
3.2 VECTOR DE CARGAS GENERALIZADAS
Cuando las cargas actúan en las juntas el cálculo del vector de cargas generalizadas Q es
directo, únicamente se debe identificar la coordenada en la cual gravita la carga pero cuando las cargas actúan en los elementos, el procedimiento de cálculo, orientado al uso del computador, es el siguiente.
i. Se determina el vector de cargas de empotramiento perfecto en coordenadas locales 2Q .En
la figura 3.2 se observa a la izquierda el sistema de coordenadas locales con el cual trabaja el
programa PLANO. Para los casos de carga analizados, el vector transpuesto de 2Q será:
tQ2 ''' MVNMVN
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( 3.5 )
( 3.6)
Donde ', NN son las fuerzas axiales de empotramiento perfecto en el nudo inicial y final,
respectivamente, para los casos analizados y para elementos horizontales vale cero.
ii. Se halla la matriz de paso T de coordenadas locales a coordenadas globales. En la figura 3.2 a la derecha se aprecian estos dos sistemas de coordenadas.
Figura 3.2 Sistemas de coordenadas: locales y globales que considera programa PLANO.
T
100000
0cos000
0cos000
000100
0000cos
0000cos
sen
sen
sen
sen
Donde es el ángulo que forma el eje del elemento con el eje de las X. Para el caso de
vigas horizontales 0 .
iii. Se encuentra el vector de empotramiento perfecto en coordenadas globales 3Q con la
siguiente ecuación.
23 QTQt
En la ecuación ( 3.6 ) se ha cambiado de signo ya que son acciones en los elementos y cuando van a las juntas, pasan con sentido contrario.
iv. Una vez que se tiene el vector 3Q cambiado de signo con la ayuda del vector de colocación
se obtiene el vector de cargas generalizadas .Q
El procedimiento descrito para el cálculo de Q se aplica a cualquier tipo de estructura y está
orientado a la elaboración de un programa de ordenador. En el siguiente capítulo se obtiene el vector de cargas de una estructura por medio del Problema Primario y Complementario, ese procedimiento es para cuando se obtiene manualmente y tiene por objetivo ilustrar la aplicación de principios de la física. Una sistematización de ese procedimiento es el que se ha presentado en este apartado.
En el capítulo anterior se presentó, entre otras cosas, el cálculo de pórticos planos, razón por
la cual se da por terminado la explicación que conduce a la obtención de las acciones finales de fuerzas y momentos en los extremos del elemento. Ahora lo que interesa ilustrar es como se obtiene
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el desplazamiento axial, vertical, giro, momento a flexión, corte y fuerza axial en un punto interior del elemento.
Una forma de resolver el problema planteado en el párrafo anterior es analíticamente para lo
cual se sebe resolver la ecuación diferencial que gobierna la flexión. Para el caso de carga uniforme distribuida la solución de ésta ecuación diferencial es relativamente sencilla pero para el caso en que se tiene carga triangular o carga trapezoidal, encontrar una solución analítica es bastante complejo por lo que es preferible encontrar una solución aproximada empleando cualquiera de los métodos numéricos que existen.
Aquí se va a resolver el problema utilizando Diferencias Finitas, razón por la cual en el
siguiente apartado se presentan las ideas fundamentales del método y los operadores que se van a utilizar en la solución del problema de flexión.
3.3 DIFERENCIAS FINITAS
El Método de las Diferencias Finitas sirve para resolver ecuaciones diferenciales, de cualquier orden, sean estas ordinarias (en una sola variable) o en derivadas parciales ( varias variables). Para el efecto la solución de la ecuación diferencial se cambia a la solución de un sistema de ecuaciones lineales.
La ecuación diferencial se cumple en cierto dominio continuo, para resolver con diferencias
finitas el problema se discretiza el dominio de tal manera que la ecuación diferencial se cumple en los puntos discretos. En consecuencia para tener una mayor exactitud del problema que se resuelve conviene considerar la mayor cantidad de puntos discretos. A manera de ejemplo en la figura 3.3 se presenta una viga apoyada – apoyada y en ella se indican los puntos discretos; se considera un paso h, el mismo que es constante en toda la viga.
Figura 3.3 Puntos discretos en una viga.
El paso h es igual a la longitud del elemento dividido para el número de divisiones, N que
se considera en la discretización del dominio. En la figura 3.3 se ha notado con i a un punto
cualquiera, el que está a la derecha será el punto 1i y el que está a la izquierda será 1i .
N
Lh
La ecuación diferencial que gobierna la flexión en elementos de sección constante es:
EI
xP
dx
wd )(4
4
Donde w es el desplazamiento vertical, positivo si va hacia abajo, EI es la rigidez a flexión, )(xP
es la carga vertical que gravita sobre el elemento. Otra forma de escribir la ecuación ( 3.7 ) es:
EI
xPWXXXX
)(
( 3.7 )
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( 3.8 )
En diferencias finitas se aproximan las derivadas a partir de la expansión de la serie de
Taylor. Es así como para cada derivada se tienen varias fórmulas denominadas: Progresiva, Regresiva y Simétrica. Cada una de ellas tiene un error asociado las que menos error tienen son las simétricas. En el libro Diferencias Finitas en el Análisis Estático de Estructuras, Aguiar (1987) se presenta con detalle la obtención de estas fórmulas.
La fórmula simétrica para la cuarta derivada es:
4
2112 464
h
wwwwwW iiiii
XXXX
Al reemplazar la aproximación de la cuarta derivada en la ecuación diferencial ( 3.7 ) se halla
la ecuación en diferencias. Esta resulta:
4
2112
)(464 h
EI
xPwwwww iiiii
La ecuación diferencial ( 3.7 ) se cumple en todo el dominio del elemento, en cambio que la
ecuación ( 3.8 ) se cumplirá únicamente en los puntos discretos. Al aplicar la ecuación ( 3.8 ) a cada punto del elemento se pasa a tener un sistema de ecuaciones lineales.
3.4 CONDICIONES DE BORDE
En la solución matricial de una estructura se obtienen los desplazamientos y giros de cada una de las juntas. Por lo tanto para cada elemento se conoce el desplazamiento vertical y giro en el nudo inicial y en el nudo final.
El primer punto discreto de un elemento se tiene en el nudo inicial y a este se lo identifica con
el número 0 y el último punto discreto se lo tiene en el nudo final identificando este punto como n. Por consiguiente de la solución matricial de la estructura se conoce el desplazamiento vertical y giro en el
punto 0 y en el punto n. Luego son datos: nnww ,,, 00
La ecuación ( 3.8 ) se aplica desde el punto 1 hasta el punto n-1. No se aplica en el punto 0 ni
en el punto n ya que son conocidos los desplazamientos en dichos puntos. Aplicar la ecuación ( 3.8 )
en el punto 1 significa que 1i luego se ve claramente que se requiere un punto auxiliar a la
izquierda del punto 0, punto que no existe pero se necesita para poder aplicar la ecuación ( 3.8 ). En la figura 3.4 se presenta el nudo inicial de un elemento identificado por el punto 0, el punto auxiliar que está a la izquierda identificado por -1 y varios puntos del elemento.
Figura 3.4 Identificación de varios puntos discretos cercanos al nudo inicial.
Mientras menos puntos auxiliares se consideren en la solución del problema, se tendrá mayor exactitud. Estos puntos discretos deben expresarse en función de los puntos reales utilizando para el efecto las condiciones de borde. En el ejemplo se conoce el giro en el punto 0, pero el giro es igual a la primera derivada del desplazamiento con respecto a X. La fórmula simétrica de la primera derivada es la siguiente:
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( 3.9 )
( 3.10 )
( 3.11 )
( 3.13 )
( 3.14 )
h
ww
dx
dw
h
wwW
iiX
iiX
2
2
11
11
Para el punto 0 se tiene:
01111
0 22
hwwh
ww
Al proceder en forma similar con el punto n se tiene que el punto auxiliar que en este caso
será el punto n+1 se expresa en función de los puntos reales por medio del giro en el punto n.
011
11 22
hwwh
wwnn
nnn
3.5 MATRIZ DE DIFERENCIAS Y VECTOR DE CARGAS
Al aplicar la ecuación ( 3.8 ) en el punto 1 y reemplazar la ecuación ( 3.10 ) se tiene:
00
41321
0
4132101
4132101
4247
2464
464
whhEI
Pwww
hhEI
Pwwwww
hEI
Pwwwww
Para el punto 2 la ecuación ( 3.8 ) reporta:
0
424321
4243210
464
464
whEI
Pwwww
hEI
Pwwwww
Para el punto 3, se tiene:
43
54321 464 hEI
Pwwwww
Las restantes ecuaciones se obtienen aplicando la ecuación ( 3.8 ) en los puntos 4, 5, 6,….,
hasta el punto n-1. En las ecuaciones ( 3.12 ), ( 3.13 ), (3.14) se tiene que 321 ,, PPP son los valores
de las cargas discretas en los puntos 2, 3, 4.
A la matriz de coeficientes se denomina matriz de diferencias S y al término independiente
vector de cargas en diferencias
Q . Estas resultan.
( 3.12 )
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58
741
4641
14641
14641
1464
147
S
Q
Donde nn PPPPP ,,,,, 1321 son las cargas verticales en los puntos discretos 1, 2, 3, ….,
n-1, n. Las mismas que se obtienen de acuerdo a la distribución de carga. Para carga uniforme
distribuida todas son iguales y valdrá 0P pero para los otros dos tipos de carga se debe encontrar las
ecuaciones de las rectas primero y luego evaluar en los puntos seleccionados. Para encontrar los desplazamientos w se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
QwS
3.6 GIRO, MOMENTO Y CORTE
Una vez que se halla los desplazamientos, en los puntos discretos de cada elemento, se
procede al cálculo del giro , del momento m , del cortante v , en cualquier punto. El programa
PLANO, únicamente reporta cada cuarto de la luz, pero el formulario de cálculo es general y es el siguiente:
nnn
nn
whhEI
P
whEI
P
hEI
P
hEI
P
whEI
P
whhEI
P
42
42
4
41
44
43
0
42
00
41
( 3.15 )
( 3.16 )
( 3.17 )
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59
h
mm
dx
dmv
h
wwwEI
dx
wdEIm
h
ww
dx
dw
ii
iii
ii
2
2
2
11
2
11
2
2
11
El cálculo del giro y del momento se lo ha realizado en función del desplazamiento vertical
pero el cálculo del corte se lo ha efectuado en base al momento. Se destaca que en los tres casos se ha trabajado con las diferencias simétricas.
3.7 RESUMEN DE CÁLCULO
Antes de presentar el análisis axial, conviene hacer un repaso general del procedimiento de cálculo. El mismo que se resume a continuación.
i. Se determina la matriz de rigidez de cada uno de los elementos en coordenadas globales.
ii. Se encuentra la matriz de rigidez de la estructura K .
iii. Se halla el vector de cargas generalizadas Q .
iv. Se obtiene el vector de coordenadas generalizadas q , que contiene los desplazamientos y
giros en cada una de las juntas para el efecto se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
qKQ
v. Una vez determinado el vector q para cada elemento se obtienen las condiciones de borde y
se determina el giro y el desplazamiento en el nudo inicial y final.
vi. Se encuentra la matriz de diferencias S y el vector de cargas
Q .
vii. Se halla los desplazamientos w en los puntos discretos.
viii. Se encuentra el giro, momento y corte en puntos discretos. ix. Finalmente se determina la deformación axial en puntos discretos y la fuerza axial. La forma
de evaluación de este último punto se indica a continuación.
3.8 ANÁLISIS AXIAL
Cuando se determinó nnww ,,, 00 en base al vector q y el vector de colocación se
encuentra también los desplazamientos axiales en el nudo inicial y final que se denominarán nuu ,0 .
Para hallar el desplazamiento axial )(xu en cualquier punto interior del elemento se aplica la
siguiente ecuación que está deducida en Aguiar (2004).
)()()( 41 xuxuxu no
Donde )(),( 41 xx son las funciones de forma que valen:
L
xx
L
xx
)(
1)(
4
1
( 3.18 )
( 3.19 )
( 3.20 ) ( 3.21 )
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60
Para encontrar la fuerza axial N se tiene:
h
uuAE
dx
duAEN ii
2
11
En la ecuación ( 3.22 ) se ha utilizado la fórmula simétrica de la primera derivada. Como se
podrá apreciar primero se deben calcular los desplazamientos axiales y luego las fuerzas axiales.
3.9 CASO PRÁCTICO 1
En la figura 3.5 se presenta la planta de una construcción de dos pisos la misma que tiene dos vanos en sentido X, de 4.0 m., el primero y de 5.0 m., el segundo. En sentido transversal se tiene un vano de 4 m., de luz. Todas las columnas son de 20/30 cm., en los dos pisos, la dimensión menor es perpendicular al sentido X. Las vigas en los dos sentidos y en los dos pisos son de 25/25.
Figura 3.5 Distribución en planta de estructura de dos pisos.
Figura 3.6 Repartición de la carga vertical a los pórticos.
La distribución de la carga vertical, a los pórticos se considera a 45 grados, como se aprecia en la figura 3.6. El primer vano es cuadrado razón por la cual en los pórticos gravita una carga triangular; en cambio el segundo vano es rectangular por lo que en sentido largo la carga es trapezoidal y en el sentido corto es triangular. Es dato del problema que la carga vertical vale 600 kg/m
2.
( 3.22 )
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61
El ancho cooperante para el pórtico en sentido X es de 2m., por lo que tanto la carga triangular como trapezoidal tienen un valor máximo de 0.6 T/m
2 por 2 m., que da 1.2 T/m. Estas
cargas se indican en la figura 3.7.
Figura 3.7 Análisis de un pórtico longitudinal
Antes de utilizar el programa PLANO se deben numerar los elementos y los nudos, lo cual se indica en la figura 3.8 Los resultados que se obtienen para las vigas 7 y 8 se indican en la tabla 3.1 y para las elementos 1, 2 y 3 en la tabla 3.2. Por otra parte en la figura 3.9 se indica el diagrama de momentos, en la figura 3.10 el diagrama de corte y en la figura 3.11 el diagrama de fuerza axial. Por ser carga triangular y trapezoidal la que actúa en las vigas el diagrama de corte no es lineal, es lineal cuando la carga es uniforme.
Figura 3.8 Numeración de elementos y nudos.
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62
Tabla 3.1 Ordenadas de la elástica y acciones cada cuarto de luz para vigas 7 y 8
Elem. Dist. (m.)
Des. Ver (m.)
Giro Flex. (rad.)
Mom. Flex (Tm.)
Corte (T.)
Des. Axi (m.)
Fuer Ax. (T.)
7 0.00 0.000050 0.00016 -0.8629 1.1335 -0.000100 0.2754
1.00 0.000567 0.00062 0.1722 0.8335 -0.000098 0.2754
2.00 0.000911 -0.00004 0.6073 -0.0665 -0.000096 0.2754
3.00 0.000522 -0.00060 0.0393 -0.9665 -0.000094 0.2754
4.00 0.000147 0.00014 -1.1287 -1.2665 -0.000092 0.2754
8 0.00 0.000147 0.00014 -1.9061 1.8518 -0.000092 0.5452
1.25 0.001602 0.00154 0.2164 1.3831 -0.000087 0.5452
2.50 0.002791 0.00006 1.1789 0.0530 -0.000082 0.5452
3.75 0.001714 -0.00153 0.3489 -1.2771 -0.000077 0.5452
5.00 0.000079 -0.00048 -1.6411 -1.7458 -0.000072 0.5452
Tabla 3.2 Ordenadas de la elástica y acciones cada cuarto de luz para columnas 1, 2 y 3
Elem. Dist. (m.)
Des. Ver (m.)
Giro Flex. (rad.)
Mom. Flex (Tm.)
Corte (T.)
Des. Axi (m.)
Fuer Ax. (T.)
1 0.00 0.000000 0.00000 0.1716 -0.1500 0.000000 -2.1829
0.75 -0.000039 -0.00009 0.0591 -0.1500 -0.000013 -2.1829
1.50 -0.000111 -0.00009 -0.0534 -0.1500 -0.000025 -2.1829
2.25 -0.000153 -0.00001 -0.1659 -0.1500 -0.000038 -2.1829
3.00 -0.000100 0.00016 -0.2784 -0.1500 -0.000050 -2.1829
2 0.00 0.000000 0.00000 0.1480 -0.1281 0.000000 -6.3793
0.75 -0.000033 -0.00008 0.0519 -0.1281 -0.000037 -6.3793
1.50 -0.000097 -0.00008 -0.0442 -0.1281 -0.000073 -6.3793
2.25 -0.000135 -0.00001 -0.1402 -0.1281 -0.000110 -6.3793
3.00 -0.000092 0.00014 -0.2363 -0.1281 -0.000147 -6.3793
3 0.00 0.000000 0.00000 -0.2622 0.2781 0.000000 -3.4378
0.75 0.000056 0.00012 -0.0536 0.2781 -0.000020 -3.4378
1.50 0.000142 0.00008 0.1550 0.2781 -0.000040 -3.4378
2.25 0.000140 -0.00012 0.3635 0.2781 -0.000059 -3.4378
3.00 -0.000072 -0.00048 0.5721 0.2781 -0.000079 -3.4378
Figura 3.9 Diagrama de Momentos
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63
Figura 3.10 Diagrama de corte.
Figura 3.11 Diagrama de Fuerza Axial.
3.10 MANUAL DE PROGRAMA PLANO
Antes de cada grupo de datos se debe dar una línea con comentarios, si no se especifica esta línea el programa no se ejecuta. De igual manera por ningún motivo se deben dejar línea o líneas en blanco. El archivo de datos para usar el programa PLANO son los siguientes.
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Número total de nudos, número de nudos restringidos, número de elementos y módulo de
elasticidad. Número del nudo restringido, restricción en X, restricción en Y, restricción al giro. Si el nudo
tiene una de esas restricciones se colocará 1, caso contrario se coloca 0. Por lo tanto para definir un empotramiento perfecto se deberá colocar tres unos, el primero significa que no puede desplazarse en X, el segundo significa que no puede desplazarse en Y, finalmente el tercer dígito significa que no puede rotar.
Identificación del elemento, del nudo inicial y del nudo final. Por cada elemento una fila de datos.
Identificación del nudo, la coordenada en X, y la coordenada en Y. De igual manera en cada fila se especifica las coordenadas de un nudo.
Número del elemento, la base y la altura de la sección transversal. Número de Juntas Cargadas. Si existen juntas cargadas se deberá especificar la junta cargada, la fuerza horizontal,
positiva si va a la derecha, la fuerza vertical, positiva si va hacia arriba y el momento, positivo si es antihorario. Si no hay juntas cargadas se omite este grupo de datos.
Número de elementos cargados. Si no hay elementos cargados, finaliza la entrada de datos. Pero si existen miembros
cargados se debe especificar el número del elemento cargado, el código de la carga, el valor de la carga. El valor de la carga se coloca siempre positivo.
El código de las cargas es: 1 para carga uniforme distribuida, 2 para carga triangular y 3 para carga trapezoidal. Si se tiene una carga trapezoidal en una línea adicional se debe especificar la distancia a, que es aquella donde termina la carga triangular.
EJEMPLO 1 Presentar el archivo de datos, para el programa PLANO, para resolver el pórtico plano
indicado en la figura 3.7, es decir del ejemplo que se empezó a desarrollar en el apartado anterior.
ARCHIVO DE DATOS DATOS: NUMERO DE NUDOS, NUDOS RESTRINGIDOS, ELEMENTOS, ELASTICIDAD 9 3 10 2173706.51
NUMERO DE NUDO RESTRINGIDO, REST. EN X, REST EN Y, REST AL GIRO 1 1 1 1
2 1 1 1
3 1 1 1
NUMERO DE ELEMENTO, NUDO INICIAL, NUDO FINAL 1 1 4
2 2 5
3 3 6
4 4 7
5 5 8
6 6 9
7 4 5
8 5 6
9 7 8
10 8 9
NUMERO DE NUDO, COORDENADA EN X, COORDENADA EN Y 1 0.0 0.0
2 4.0 0.0
3 9.0 0.0
4 0.0 3.0
5 4.0 3.0
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65
6 9.0 3.0
7 0.0 6.0
8 4.0 6.0
9 9.0 6.0
NUMERO DE ELEMENTO, BASE Y ALTURA 1 0.2 0.3
2 0.2 0.3
3 0.2 0.3
4 0.2 0.3
5 0.2 0.3
6 0.2 0.3
7 0.25 0.25
8 0.25 0.25
9 0.25 0.25
10 0.25 0.25
NUMERO DE JUNTAS CARGADAS 0
NUMERO DE ELEMENTOS CARGADOS 4
NUMERO DE ELEMENTO CARGADO, CÓDIGO DE CARGA, CARGA 7 2 1.2
8 3 1.2
2.0
9 2 1.2
10 3 1.2
2.0
3.11 ACCIONES EN COLUMNA
Resolver el pórtico de 4 m. de luz, central, del edificio que está indicado en la figura 3.5. En la figura 3.6 se aprecia que sobre este pórtico gravitan dos cargas de tipo triangular, cada una de ellas
tiene una carga ./2.10 mTP como son dos la carga total que actúa es ./4.20 mTP como se
aprecia en la figura 3.12.
Figura 3.12 Cargas actuantes en pórtico central.
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En la figura 3.13 se indica la numeración de los nudos y los elementos en base al cual se ha preparado el archivo de datos para el programa PLANO que se indica a continuación. En la tabla 3.3 se indica los resultados para la viga 5 y la columna 2. En las figuras 3.14 a 3.16 se indican los diagramas de momento, corte y carga axial, respectivamente.
Figura 3.13 Numeración de nudos y elementos.
Tabla 3.3 Ordenadas de la elástica y acciones cada cuarto de luz para elementos 2 y 5
Elem. Dist. (m.)
Des. Ver (m.)
Giro Flex. (rad.)
Mom. Flex (Tm.)
Corte (T.)
Des. Axi (m.)
Fuer Ax. (T.)
2 0.00 0.000000 0.00000 -0.2826 0.2821 0.000000 -4.80
0.75 0.000138 0.00031 -0.0710 0.2821 -0.000028 -4.80
1.50 0.000368 0.00025 0.1406 0.2821 -0.000055 -4.80
2.25 0.000416 -0.00018 0.3522 0.2821 -0.000083 -4.80
3.00 0.000008 -0.00097 0.5638 0.2821 -0.000110 -4.80
5 0.00 0.000110 0.00097 -1.6583 2.4000 -0.000008 0.5301
1.00 0.001709 0.00169 0.5448 1.8000 -0.000004 0.5301
2.00 0.002677 0.00000 1.5479 0.0000 0.000000 0.5301
3.00 0.001709 -0.00169 0.5448 -1.8000 0.000004 0.5301
4.00 0.000110 -0.00097 -1.6583 -2.4000 0.000008 0.5301
Figura 3.14 Diagrama de Momentos.
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Figura 3.15 Diagrama de Corte.
Figura 3.16 Diagrama de Fuerza Axial.
ARCHIVO DE DATOS DATOS: NUMERO DE NUDOS, NUDOS RESTRINGIDOS, ELEMENTOS, ELASTICIDAD 6 2 6 2173706.51
NUMERO DE NUDO RESTRINGIDO, REST. EN X, REST EN Y, REST AL GIRO 1 1 1 1
2 1 1 1
NUMERO DE ELEMENTO, NUDO INICIAL, NUDO FINAL 1 1 3
2 2 4
3 3 5
4 4 6
5 3 4
6 5 6
NUMERO DE NUDO, COORDENADA EN X, COORDENADA EN Y 1 0.0 0.0
2 4.0 0.0
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68
3 0.0 3.0
4 4.0 3.0
5 0.0 6.0
6 4.0 6.0
NUMERO DE ELEMENTO, BASE Y ALTURA 1 0.3 0.2
2 0.3 0.2
3 0.3 0.2
4 0.3 0.2
5 0.25 0.25
6 0.25 0.25
NUMERO DE JUNTAS CARGADAS 0
NUMERO DE ELEMENTOS CARGADOS 2
NUMERO DE ELEMENTO CARGADO, CODIGO DE CARGA, CARGA 5 2 2.4
6 2 2.4
Se han analizado dos pórticos, uno longitudinal (descrito en la figura 3.7) y uno transversal
(descrito en la figura 3.12). Ahora interesa conocer la carga axial y momentos flectores que actúan en la planta baja de la columna central (elemento 2) que se indica en la figura 3.17. Los resultados se resumen en la tabla 3.4.
Figura 3.17 Análisis de cargas en columna central.
Tabla 3.4 Carga axial y momentos que actúan en columna central, en planta baja.
Pórtico Nudo Inicial Nudo Final
Axial My Mx Axial My Mx (T.) (Tm.) (Tm.) (T.) (Tm.) (Tm.)
Figura 3.7 6.3793 0.1480 6.3793 0.2363
Figura 3.9 4.8000 0.2826 4.8000 0.5638
Total 11.1793 0.1480 0.2826 11.1793 0.2362 0.5638
3.12 ESTRUCTURA CON VOLADIZO
Manteniendo las dimensiones de vigas y columnas de la estructura de la figura 3.5, se desea que el lector preparé el archivo de datos para el programa PLANO para la estructura de la figura 3.18. La carga vertical es de 0.6 T/m
2. El análisis se desea para el pórtico en la dirección larga; se
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69
considera que sobre la viga del voladizo actúa una carga uniforme distribuida que vale
./2.126.0 mT Por lo tanto el ancho tributario es de 2 m.
Figura 3.18 Estructura de dos pisos con voladizo al lado derecho.
La forma más sencilla de resolver una estructura con voladizos es determinar las acciones de
empotramiento perfecto generadas en el voladizo y luego transmitir estas acciones al pórtico cambiando de sentido la fuerza y momento. En la figura 3.19 se indica el voladizo con la carga uniforme distribuida.
Figura 3.19 Acciones de empotramiento en un voladizo.
2
2LPMLPV
Al reemplazar ./2.1 mTP , .0.1 mL Se obtiene: .2.1 TV y .6.0 TmM Luego el
estado de cargas a resolver se indica en la figura 3.20. Se aprecia que en los nudos 6 y 9 actúan una carga vertical hacia debajo de 1.2 T. y un momento en sentido horario de 1.2 T m.
En el programa PLANO, las fuerzas y momentos en los nudos deben suministrarse con la
siguiente convención de signos:
Fuerza horizontal, positivo si va hacia la derecha.
Fuerza vertical, positivo si va hacia arriba.
Momento positivo si es antihorario.
Las últimas filas del archivo de datos, para resolver la estructura de la figura 3.20, son:
NUMERO DE JUNTAS CARGADAS 2
JUNTA CARGADA, FUERZA HORIZONTAL, FUERZA VERTICAL, MOMENTO 6 0.0 -1.2 -0.6
9 0.0 -1.2 -0.6
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NUMERO DE ELEMENTOS CARGADOS 4
NUMERO DE ELEMENTO CARGADO, CÓDIGO DE CARGA, CARGA 7 2 1.2
8 3 1.2
2.0
9 2 1.2
10 3 1.2
2.0
Figura 3.20 Estado de cargas de estructura con voladizo.
El objetivo del libro es enseñar como se resuelven las estructuras, no es un libro de diseño, razón por la cual no se han presentado combinaciones de carga.
3.13 ELEMENTOS CON DOS TIPOS DE CARGA
Cuando las luces longitudinales y transversales son diferentes, sobre los elementos horizontales actúan dos tipos de carga como lo ilustra la figura 3.21, en que se tiene un pórtico de un vano y dos pisos, cuyas vigas están sometidas a una carga triangular con una magnitud máxima de 1.5 T/m. y a una carga trapezoidal con una magnitud en la parte constante de 2.0 T/m. Para resolver este pórtico se debe suministrar al programa PLANO dos veces los datos de los elementos cargados, con cada una de las cargas que gravitan sobre ellos.
En la figura 3.22, a la izquierda se aprecia la sección transversal de los elementos, las
columnas son cuadradas de 35 cm., de lado y las vigas rectangulares de 25 cm., de base por 35 cm., de altura. Se considera un hormigón con una resistencia máxima a la compresión de 210 kg/cm
2 y el
módulo de elasticidad se obtiene con la siguiente ecuación: '12000 cfE (kg/cm
2). A la derecha
de la figura 3.22 se indica la numeración de elementos y nudos. En la figura 3.23 se presentan las fuerzas y momentos en los extremos de los elementos que
se obtienen luego de ejecutar el programa PLANO se deja al lector la verificación del equilibrio de nudos y de juntas. El archivo de datos se indica a continuación.
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Figura 3.21 Elementos con dos tipos de carga.
Figura 3.22 Geometría del pórtico y numeración de elementos y nudos.
DATOS: NUMERO DE NUDOS, NUDOS RESTRINGIDOS, MIEMBROS, ELASTICIDAD 6 2 6 1738965.21
NUMERO DE NUDO RESTRINGIDO, REST. EN X, REST EN Y, REST AL GIRO 1 1 1 1
2 1 1 1
NUMERO DE ELEMENTO, NUDO INICIAL, NUDO FINAL 1 1 3
2 2 4
3 3 5
4 4 6
5 3 4
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6 5 6
NUMERO DE NUDO, COORDENADA EN X, COORDENADA EN Y 1 0.0 0.0
2 4.0 0.0
3 0.0 3.0
4 4.0 3.0
5 0.0 6.0
6 4.0 6.0
NUMERO DE ELEMENTO, BASE Y ALTURA 1 0.35 0.35
2 0.35 0.35
3 0.35 0.35
4 0.35 0.35
5 0.25 0.35
6 0.25 0.35
NUMERO DE JUNTAS CARGADAS 0
NUMERO DE ELEMENTOS CARGADOS 4
NUMERO DE ELEMENTO CARGADO, CODIGO DE CARGA, CARGA 5 2 1.5
5 3 2.0
1.0
6 2 1.5
6 3 2.0
1.0
Figura 3.23 Resultados finales en los extremos de los elementos.
