MEF - Vigas y Placas

8/16/2019 MEF - Vigas y Placas

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INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOSELEMENTOS FINITOS EN EL MEDIO

CONTINUO

Inés Peñuelas Sá[email protected]

Dpto. de Construcción eIngeniería de Fabricación

Vigas y Placas. ProblemasPlanos

I n t r o d u c c i ó n a l M E F

1. Flexión de Vigas

2. Elementos lagrangianos

3. Coordenadas naturales

4. Formulación isoparamétrica

5. Integración numérica

6. Puntos de integración

VIGAS Y PLACAS. PROBLEMAS PLANOS


1. Elementos de clase C0

2. Elementos lagrangianos

3. Coordenadas naturales

4. Formulación isoparamétrica

5. Integración numérica

6. Puntos de integración



2/19



Modelo Unidimensional




Viga Delgada(Euler-Bernouilli) Viga Gruesa(Timoshenko)




Viga Delgada(Euler-Bernouilli)


1. Los desplazamientos verticales de todos los puntos deuna sección transversal son pequeños e iguales a los

del eje x2. El desplazamiento lateral (según el eje y) es nulo

3. Las secciones transversales normales al eje de la vigaantes de la deformación, permanecen planas yortogonales a dicho eje después de la deformación




Viga Gruesa(Timoshenko)

1. Los desplazamientos verticales de todos los puntos deuna sección transversal son pequeños e iguales a los

del eje x2. El desplazamiento lateral (según el eje y) es nulo

3. Las secciones transversales normales al eje de la vigaantes de la deformación, permanecen planas, pero nonecesariamente ortogonales a dicho eje después de ladeformación


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1. Flexión de Vigas Viga Delgada (Euler-Bernouilli)

( , )

( , , ) ( )( , , ) 0 ( ) ( , , ) 0

( , , ) ( ) ( , , ) ( )

dwu x z z

u x y z z x dxdwv x y z x v x y z

dxw x y z w x w x y z w x

θ θ

= −= −

= = ⇒ =

= =

Desplazamientos

Incógnitas ( )w x

' '' ' ' dw

B B u A B AB zdx

θ θ = = − = − = −




Deformaciones

2

2

0

x

y z xy yz xz

u w z x x

ε

ε ε γ γ γ

∂ ∂= = −∂ ∂

= = = = =

2

2d wdx

χ =




Tensiones

2

2

0

0

x x

y z

xy yz xz

d w E z E

dx

= = −

= =

= = =

σ ε

σ σ

σ σ σ

z

M




Definimos

2 22

2 2 '' x

A A

d w d w M z dA z E dA EI EIw

dx dxσ = − = = =∫∫ ∫∫

M EI = χ



4/19



Formulación matricial

x

qP M

Equilibrio (PTV)

1 10

L p q

x x i i j

i j jV

dwdV wq dx w P M

dxδε σ δ δ δ

= =

= − + +

∑ ∑∫∫∫ ∫





x

qP M

Equilibrio (PTV)

2 2

2 2

2 2

2 2

L

x x

V o A

L L

o o

d w d wdV z zE dA dx

dx dxd w d w

EI dx M dxdx dx

= − − =

= =

∫∫∫ ∫ ∫∫

∫ ∫

δε σ δ

δ δχ


2

2 x

u w z

x x

∂ ∂= = −

∂ ∂ε

2

2 x x

d w E z E

dx= = −σ ε




x

qP M

Equilibrio (PTV)

2 2

2 2

2 2

2 2

L

x x

V o A

L L

o o


dx dx

d w d w EI dx M dx

dx dx

= − − =

= =

∫∫∫ ∫ ∫∫

∫ ∫

δε σ δ

δ δχ


2

2 x x

d w E z E

dx= = −σ ε

2

2 x

u w z

x x

∂ ∂= = −

∂ ∂ε




x

qP M

Equilibrio (PTV)

2 2

2 2

2 2

2 2

L

x x

V o A

L L

o o


dx dx

d w d w EI dx M dx

dx dx

= − − =

= =

∫∫∫ ∫ ∫∫

∫ ∫

δε σ δ

δ δχ



5/19




x

qP M

Equilibrio (PTV)

2 2

2 2

2 2

2 2

L

x x

V o A

L L

o o


dx dxd w d w

EI dx M dxdx dx

= − − =

= =

∫∫∫ ∫ ∫∫

∫ ∫

δε σ δ

δ δχ





x

qP M

Desplazamientos: w (e)w = Na





x

qP M

Desplazamientos: w

Deformaciones:

(e)w = Na

2

2

d w

dx

χ = = (e)Ba





x

qP M

Desplazamientos: w

Deformaciones:

Tensiones: M

(e)w = Na

χ 2

2

d w

dx

χ = = (e)Ba

M EI EI χ = = =(e) (e)Ba D Ba



6/19



Elementos finitos de 2 nodos de clase C1

xz Incógnita: w Tenemos que calcular d2w/dx2

dw/dx ha de ser continua 1w C ∈

Para poder imponer la continuidad entre elementos, tomamoscomo variables nodales w y dw/dx

1 2

L(e)

1

1

w

dw

dx

=

1a2

2

2

w

dw

dx

=

a

2

=

1(e) a

a

a






1 2L(e)

1

1

w

dw

dx

=

1a2

2

2

w

dw

dx

=

a

2 30 1 2 3w a a x a x a x= + + +

( )1

1

1 / /

w w x x

dw dx dw dx

==

=

( )2

2

2 / /

w w x x

dw dx dw dx

==

=





1 2

L(e)1

1

w

dw

dx

=

1a

2

2

2

w

dw

dx

=

a

2 3

0 1 2 3w a a x a x a x= + + +

Funciones de forma

ξ

1ξ = − 1ξ = 1 1 1 2 2 2

1 2

dw dww N w N N w N

dx dx

= + + +





1 2

L(e)1

1

w

dw

dx

=

1a

2

2

2

w

dw

dx

=

a

2 3

0 1 2 3w a a x a x a x= + + +

Funciones de forma

ξ

1ξ = − 1ξ =

1

1

45º

45º

1 1 1 2 2 2

1 2

dw dww N w N N w N

dx dx

= + + +

( ) ( )311

2 34

N ξ ξ ξ = − +

( ) ( )3

21 2 34

N ξ ξ ξ = + −

( ) ( )( )

2 3

1 18

e L

N ξ ξ ξ ξ = − − +

( ) ( )( )

2 3

2 1

8

e L

N ξ ξ ξ ξ = − − + +


7/19





1 2L(e)1

1

w

dw

dx

=

1a

2

2

2

w

dw

dx

=

a

2 30 1 2 3w a a x a x a x= + + +

Funciones de forma

ξ

1ξ = − 1ξ =

1

1

45º

45º

( ) ( )

( )

1

1

1 1 2 2

2

2

/

/

w

dw dxw N N N N

w

dw dx

= =

(e)N a

Matriz de funcionesde forma

Vector de incógnitasnodales





1 2

L(e)

ξ

1ξ = − 1ξ =

Transformación paramétrica:

* *

1 1 2 2 1 2

1 1

2 2 x N x N x x x

ξ ξ − += + = +

( )

( )

( )

2 2

2 ( ) 2 2

;2

;2

2 ;

4

e

e

e

e

x L

Ldx d

dw dwdx L d

d w d w

dx L d

∂=

∂

=

=

=

ξ

ξ

ξ

ξ





1 2

L(e)

ξ

1ξ = −

1ξ =

Matriz de deformación:

2 2

2 2

2 2 2 22 2

1 1 2 2

1 22 2 2 2 2 2( ) ( )1 2

1

1( ) ( )( ) ( )

2

2

4 4

( / )6 ( 1 3 ) 6 (1 3 )

( / )

e e

e ee e

N N N N d w d w dw dww w

dx d dx dx L L

w

dw dx

w L L L L

dw dx

χ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ = = = + + + =

∂ ∂ ∂ ∂

− + + = − =

(e)Ba





1 2

L(e)

ξ

1ξ = −

1ξ =


2 2

2 2

2 2 2 22 2

1 1 2 2

1 22 2 2 2 2 2( ) ( )1 2

1

1( ) ( )( ) ( )

2

2

4 4

( / )6 ( 1 3 ) 6 (1 3 )

( / )

e e

e ee e


dx d dx dx L L

w

dw dx

w L L L L

dw dx

χ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ = = = + + + =

∂ ∂ ∂ ∂

− + + = − =

(e)Ba

1 1 1 2 2 2

1 2

dw dww N w N N w N

dx dx

= + + +

( )

2;

e

dw dw

dx L d

=

ξ


8/19





1 2

L(e)

ξ

1ξ = − 1ξ =


2 2

2 2

2 2 2 22 2

1 1 2 2

1 22 2 2 2 2 2( ) ( )1 2

1

1

( ) ( )( ) ( )2

2

4 4

( / )6 ( 1 3 ) 6 (1 3 )

( / )

e e

e ee e


dx d dx dx L L

w

dw dx

w L L L L

dw dx

χ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ = = = + + + =

∂ ∂ ∂ ∂

− + + = − =

(e)Ba

1 1 1 2 2 2

1 2

dw dww N w N N w N

dx dx

= + + +

( )2 ;

edw dwdx L d

=ξ





1 2

L(e)

ξ

1ξ = − 1ξ =


2 2

2 2

2 2 2 22 2

1 1 2 2

1 22 2 2 2 2 2( ) ( )1 2

1

1

( ) ( )( ) ( )2

2

4 4

( / )6 ( 1 3 ) 6 (1 3 )

( / )

e e

e ee e


dx d dx dx L L

w

dw dx

w L L L L

dw dx

χ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ = = = + + + =

∂ ∂ ∂ ∂

− + + = − =

(e)Ba

1 1 1 2 2 2

1 2

dw dww N w N N w N

dx dx

= + + +

( )2 ;

edw dwdx L d

=ξ

( ) ( )311

2 34

N ξ ξ ξ = − +

( ) ( )321

2 34

N ξ ξ ξ = + −

( ) ( )( )

2 3

1 1

8

e L

N ξ ξ ξ ξ = − − +

( ) ( )( )

2 3

2 1

8

e L

N ξ ξ ξ ξ = − − + +





1 2

L(e)

ξ

1ξ = −

1ξ =


2 2

2 2

2 2 2 22 2

1 1 2 2

1 22 2 2 2 2 2( ) ( )1 2

1

1

( ) ( )( ) ( )2

2

4 4

( / )6 ( 1 3 ) 6 (1 3 )

( / )

e e

e ee e


dx d dx dx L L

w

dw dx

w L L L L

dw dx

χ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ = = = + + + =

∂ ∂ ∂ ∂

− + + = − =

(e)Ba

1 1 1 2 2 2

1 2

dw dww N w N N w N

dx dx

= + + +

( )

2;

e

dw dw

dx L d

=

ξ





1 2

L(e)

ξ

1ξ = −

1ξ =


2 2

2 2

2 2 2 22 2

1 1 2 2

1 22 2 2 2 2 2( ) ( )1 2

1

1

( ) ( )( ) ( )2

2

4 4

( / )6 ( 1 3 ) 6 (1 3 )

( / )

e e

e ee e


dx d dx dx L L

w

dw dx

w L L L L

dw dx

χ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ = = = + + + =

∂ ∂ ∂ ∂

− + + = − =

(e)Ba

1 1 1 2 2 2

1 2

dw dww N w N N w N

dx dx

= + + +

( )

2;

e

dw dw

dx L d

=

ξ

Polinomios de primer grado M EI EI χ = = =(e) (e)B a D B a


9/19





Equilibrio (PTV)

1 10 0

L L p q

i i j

i j j

dw M dx w q dx w P M

dxδχ δ δ δ

= =

= − + +

∑ ∑∫ ∫

x

z qP M

1 1( ) ( ) 2 2

1 11 12 2

T T e e

i i ji j j

L L dw

EI d q d w P M dxξ ξ δ δ = =− −

= − + +

∑ ∑∫ ∫

e T e e Tδ

a B B a δ

a N





x

z qP M

Matriz de rigidez

( ) 2 21 ( )

( )

3

1

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 62

6 2 6 4

eee

L L

L L L L L EI K EI d

L L L

L L L L

ξ −

−

− = = − − −

−

∫ T

B B





x

z qP M

Vector de fuerzas nodales equivalentes

1 ( ) ( ) ( )

( )

1

1 1

2 2 12 2 12

T e e e

T eqL L Ld qLξ

−

= − = − −

∫

(e)f N

x

qP1

M2

P2

M1 x

P1

M2M1

2( )

12

eqL

2( )

12

eqL

( )

2

eqL ( )

2

eqL

Vigas y placas

q

Elementos finitos de 2 nodos de clase C1. Ejemplo

1 2V1M1

( )

( )

1 1

2 2

11

32

2 2 2

2

12 6 12 6

/ 6 4 6 2

12 6 12 6 / 2

/ 6 2 6 4 /12

w L L V

dw dx L L L L M EI

w L L qL L

dw dx L L L L qL

−

− = − − − −

−

( )4 3 1

2 1 12

5; / ; ;

8 6 2 12

qL qL qL qLw dw dx V M

EI EI = − = − = =Solución:

2

42 2

3

0

06 1 3 6 1 3 3 2( )

/ 8 12

/ 6

M EI EI qLqL EI L L L L

qL EI

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

− + + − = = − = −

−

(e)Ba

2

2

1 5 /12

1 /12

M qL

M qL

ξ

ξ

= − ⇒ = −

= ⇒ =

- 0 . 6

- 0 . 5

- 0 . 4

- 0 . 3

- 0 . 2

- 0 . 1

0

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

1

3ξ = −

1

3ξ =


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1. Flexión de Vigas Viga Gruesa (Timoshenko)

Desplazamientos

Incógnitas

( )w x


' '' ' ' ( )dw

B B u A B AB zdx

θ θ ϕ = = − = − = − +

dw

dxϕ

θ

( , , ) ( )

( , , ) 0 ( )

( , , ) ( )

u x y z z x

dwv x y z xdx

w x y z w x

θ

θ ϕ

= −

= = + ⇒=

( ) xθ

Son INDEPENDIENTES



Deformaciones

Incógnitas


' '' ' ' ( )dw

B B u A B AB zdx

θ θ ϕ = = − = − = − +

dw

dxϕ

θ

0

( )

x

y z xy yz

xz

u dw z z

x x dx

dw du dw dw dw

dx dz dx dx dx

θ ε ϕ

ε ε γ γ

γ θ ϕ ϕ

∂ ∂ = = − = − +

∂ ∂ = = = =

= + = − = − + = −

d

dx

θ χ =

xyγ ϕ = −



Tensiones


Viga Gruesa (Timoshenko)

x x

xz xz

d E z E zE

dx

dwG G

dx

θ σ ε χ

σ γ θ

= = − = −

= = −

* xzQ A Gγ =

M EI χ =

Incógnitas

z

M

z

Q

xzσ

z

xzσ

Q

A*= Área reducida



Definimos



*

x

A

xz xz xz

A A

d M z dA EI EI

dx

Q dA G dA A G

θ σ χ

σ γ γ

= − = =

= = =

∫∫

∫∫ ∫∫

z

M

z

Q

xzσ

z

xzσ

Q


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Equilibrio (PTV)



1 10

( )

L p q

x x xz xz i i j j

i jV

dV w q dx w P M δε σ δγ σ δ δ δθ = =

+ = − + +∑ ∑∫∫∫ ∫ I n t r o d u c c i ó n a l M E F


Equilibrio (PTV)



0

*

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ( ) )

x x xz xz x xz

V V

L

x xz

A A

L

o

L

o

d dwdV z dV

dx dx

dw z dA dA

dx

dw M Q dx

dx

d d dw dw EI GA dx

dx dx dx dx

+ = − + − =

= − + − =

= + − =

= + − −

∫∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫ ∫∫

∫

∫

θ δε σ δγ σ δ σ δ θ σ

δχ σ δ θ σ

δχ δ θ

θ θ δ δ θ θ



Equilibrio (PTV)



0

*

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ( ) )

x x xz xz x xz

V V

L

x xz

A A

L

o

L

o

d dwdV z dV

dx dx

dw z dA dA

dx

dw M Q dx

dx

d d dw dw EI GA dx

dx dx dx dx

+ = − + − =

= − + − =

= + − =

= + − −

∫∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫ ∫∫

∫∫


δχ σ δ θ σ

δχ δ θ

θ θ δ δ θ θ

x x

xz xz

d E z E zE

dx

dwG Gdx

θ σ ε χ

σ γ θ

= = − = −

= = −

0

( )

x

y z xy yz

xz

u dw z z

x x dx

dw du dw dw dw

dx dz dx dx dx

θ ε ϕ

ε ε γ γ

γ θ ϕ ϕ

∂ ∂ = = − = − +

∂ ∂

= = = =

= + = − = − + = −



Equilibrio (PTV)



0

*

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ( ) )

x x xz xz x xz

V V

L

x xz

A A

L

o

L

o

d dwdV z dV

dx dx

dw z dA dA

dx

dw M Q dx

dx

d d dw dw EI GA dx

dx dx dx dx

+ = − + − =

= − + − =

= + − =

= + − −

∫∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫ ∫∫

∫∫


δχ σ δ θ σ

δχ δ θ

θ θ δ δ θ θ

x x

xz xz

d E z E zE

dx

dwG Gdx

θ σ ε χ

σ γ θ

= = − = −

= = −

0

( )

x

y z xy yz

xz

u dw z z

x x dx

dw du dw dw dw

dx dz dx dx dx

θ ε ϕ

ε ε γ γ

γ θ ϕ ϕ

∂ ∂ = = − = − +

∂ ∂

= = = =

= + = − = − + = −


12/19



Equilibrio (PTV)



0

*

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ( ) )

x x xz xz x xz

V V

L

x xz

A A

L

o

L

o

d dwdV z dV

dx dx

dw z dA dA

dx

dw M Q dx

dx

d d dw dw EI GA dx

dx dx dx dx

+ = − + − =

= − + − =

= + − =

= + − −

∫∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫ ∫∫

∫

∫


δχ σ δ θ σ

δχ δ θ

θ θ δ δ θ θ



Equilibrio (PTV)



0

*

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ( ) )

x x xz xz x xz

V V

L

x xz

A A

L

o

L

o

d dwdV z dV

dx dx

dw z dA dA

dx

dw M Q dx

dx

d d dw dw EI GA dx

dx dx dx dx

+ = − + − =

= − + − =

= + − =

= + − −

∫∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫ ∫∫

∫

∫


δχ σ δ θ σ

δχ δ θ

θ θ δ δ θ θ

*

x

A

xz xz xz

A A

d M z dA EI EI

dx

Q dA G dA A G

θ σ χ

σ γ γ

= − = =

= = =

∫∫

∫∫ ∫∫



Equilibrio (PTV)



0

*

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ( ) )

x x xz xz x xz

V V

L

x xz

A A

L

o

L

o

d dwdV z dV

dx dx

dw z dA dA

dx

dw M Q dx

dx

d d dw dw EI GA dx

dx dx dx dx

+ = − + − =

= − + − =

= + − =

= + − −

∫∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫ ∫∫

∫∫


δχ σ δ θ σ

δχ δ θ

θ θ δ δ θ θ

*

x

A

xz xz xz

A A

d

M z dA EI EI dx

Q dA G dA A G

θ

σ χ

σ γ γ

= − = =

= = =

∫∫∫∫ ∫∫



Equilibrio (PTV)



0

*

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ( ) )

x x xz xz x xz

V V

L

x xz

A A

L

o

L

o

d dwdV z dV

dx dx

dw z dA dA

dx

dw M Q dx

dx

d d dw dw EI GA dx

dx dx dx dx

+ = − + − =

= − + − =

= + − =

= + − −

∫∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫ ∫∫

∫∫


δχ σ δ θ σ

δχ δ θ

θ θ δ δ θ θ

d

dx

θ χ =

xyγ ϕ = −

*

x

A

xz xz xz

A A

d M z dA EI EI

dx

Q dA G dA A G

θ σ χ

σ γ γ

= − = =

= = =

∫∫

∫∫ ∫∫


13/19



Desplazamientos:


w

θ

=

u (e)u = N a




Desplazamientos:

Deformaciones:


w

θ

=

u

/

/ xz

d dx

dw dx

= =

− ε

χ θ

γ θ =

(e)ε

B a

(e)u = N a




Desplazamientos:

Deformaciones:

Tensiones:


w

θ

=

u

= (e)

ε B a

(e)u = N a

*

xz xz

M EI

A G

χ

σ γ

= =

σ =

(e)σ D B a


/

/ xz

d dx

dw dx

= =

− ε

χ θ

γ θ

/

/ xz

d dx

dw dx

= =

− ε

χ θ

γ θ



Desplazamientos:

Deformaciones:

Tensiones:


w

θ

=

u

= (e)

ε B a

(e)u = N a

*

xz xz

M EI

A G

χ

σ γ

= =

σ =

(e)σ D B a


Tenemos que calcular dw/dx.w ha de ser continua

0w C ∈


14/19





1 2L(e)

1

1

w

θ

=

1a

2

2

2

w

θ

=

a

1ξ = − 1ξ =

( ) ( ) ( )1 1 2 2w N w N wξ ξ ξ = +

1

( ) ( ) ( )1 1 2 2 N N θ ξ ξ θ ξ θ = +

1





1 2L(e)

1

1

w

θ

=

1a

2

2

2

w

θ

=

a

1ξ = − 1ξ =

( ) ( ) ( )1 1 2 2w N w N wξ ξ ξ = +

1

( ) ( ) ( )1 1 2 2 N N θ ξ ξ θ ξ θ = +

1Matriz de funciones de forma

[ ]

1

11 2

2

2

0 0

w

w N N w

θ

θ

= =

(e)N a





1 2

L(e)11

w

θ

=

1a

2

2

2

w

θ

=

a

1ξ = − 1ξ =

( ) ( ) ( )1 1 2 2w N w N wξ ξ ξ = +

1

( ) ( ) ( )1 1 2 2 N N θ ξ ξ θ ξ θ = +


[ ]

1

1

1 2

2

2

0 0

w

w N N w

θ

θ

= =

(e)N a [ ]

1

1

1 2

2

2

0 0

w

N N w

θ θ

θ

= =

(e)N a





1 2

L(e)11

w

θ

=

1a

2

2

2

w

θ

=

a

1ξ = − 1ξ =

( ) ( ) ( )1 1 2 2w N w N wξ ξ ξ = +

1

( ) ( ) ( )1 1 2 2 N N θ ξ ξ θ ξ θ = +


1

1 2 1

1 2 2

2

0 0

0 0

w

N N w

N N w

θ

θ

θ

= = =

(e)

u Na


15/19





1 2L(e)

1

1

w

θ

=

1a

2

2

2

w

θ

=

a

Transformación paramétrica

ξ

1ξ = − 1ξ =

1 1 2 2 1 2

1 1

2 2 x N x N x x x

ξ ξ − += + = +

( )

( )

( )

( )

;2

;2

2;

2

e

e

e

e

x L

Ldx d

dw dw

dx L d

d d

dx L d

∂=

∂

=

=

=

ξ

ξ

ξ

θ θ

ξ

d d d dx dx d

= ⋅θ ξ θ ξ





1 2L(e)

1

1

w

θ

=

1a

2

2

2

w

θ

=

a

Matriz de deformación

ξ

1ξ = − 1ξ =

( )

2e

d d

dx L d =

θ θ

ξ

1 2

1 2( ) ( )

1

1

1 2( ) ( ) ( )

2

2

2 2

2 1 1 1 10 0

2 2

e e

e e e

N N d d

dx d L L

w

w L L L

∂ ∂= = = + =

∂ ∂

= − + = − =

(e)

f B a

θ θ χ θ θ

ξ ξ ξ

θ θ θ

θ

/

/ xz

d dx

dw dx

= =

− ε

θ

γ θ

d d d

dx dx d = ⋅

θ ξ θ

ξ





1 2

L(e)11

w

θ

=

1a

2

2

2

w

θ

=

a


ξ

1ξ = − 1ξ =

1 2

1 2( ) ( )

1

11 2( ) ( ) ( )

2

2

2 2

2 1 1 1 10 02 2

e e

e e e

N N d d

dx d L L

w

w L L L

∂ ∂= = = + =

∂ ∂

= − + = − =

(e)f B a

θ θ χ θ θ

ξ ξ ξ

θ θ θ

θ

/

/ xz

d dx

dw dx

= =

−

εθ

γ θ

( ) ( ) ( )1 1 2 2 N N θ ξ ξ θ ξ θ = +

( )

2e

d d

dx L d =

θ θ

ξ

d d d

dx dx d = ⋅

θ ξ θ

ξ





1 2

L(e)11

w

θ

=

1a

2

2

2

w

θ

=

a


ξ

1ξ = − 1ξ =

1 2

1 2( ) ( )

1

11 2( ) ( ) ( )

2

2

2 2

2 1 1 1 10 02 2

e e

e e e

N N d d

dx d L L

w

w L L L

∂ ∂= = = + =

∂ ∂

= − + = − =

(e)f B a

θ θ χ θ θ

ξ ξ ξ

θ θ θ

θ

/

/ xz

d dx

dw dx

= =

−

εθ

γ θ

1 1 2 2 1 21 12 2

x N x N x x xξ ξ − +

= + = +

d d d

dx dx d = ⋅

θ ξ θ

ξ ( )2

e

d d

dx L d =

θ θ

ξ


16/19





1 2L(e)

1

1

w

θ

=

1a

2

2

2

w

θ

=

a


ξ

1ξ = − 1ξ =

1 2

1 2( ) ( )

1

1

1 2( ) ( ) ( )

2

2

2 2

2 1 1 1 10 0

2 2

e e

e e e

N N d d

dx d L L

w

w L L L

∂ ∂= = = + =

∂ ∂

= − + = − =

(e)

f B a

θ θ χ θ θ

ξ ξ ξ

θ θ θ

θ

/

/ xz

d dx

dw dx

= =

− ε

θ

γ θ

d d d

dx dx d = ⋅

θ ξ θ

ξ ( )2

e

d d

dx L d =

θ θ

ξ





1 2L(e)

1

1

w

θ

=

1a

2

2

2

w

θ

=

a


ξ

1ξ = − 1ξ =

1 2

1 2( ) ( )

1

1

1 2( ) ( ) ( )

2

2

2 2

2 1 1 1 10 0

2 2

e e

e e e

N N d d

dx d L L

w

w L L L

∂ ∂= = = + =

∂ ∂

= − + = − =

(e)

f B a

θ θ χ θ θ

ξ ξ ξ

θ θ θ

θ

/

/ xz

d dx

dw dx

= =

− ε

θ

γ θ

Constante

d d d

dx dx d = ⋅

θ ξ θ

ξ ( )2

e

d d

dx L d =

θ θ

ξ

[ ]1 21 2 1 1 2 2( ) ( )

1

1

( ) ( )

2

2

2 2

1 (1 ) 1 (1 )

2 2

xz e e

e e

N N dw dww w N N

dx d L L

w

w L L

∂ ∂= − = − = + − + =

∂ ∂

− + = − − − =

(e)

cB a

γ θ θ θ θ ξ ξ ξ

θ ξ ξ

θ





1 2

L(e)11

w

θ

=

1a

2

2

2

w

θ

=

a


ξ

1ξ = − 1ξ = /

/ xz

d dx

dw dx

= =

−

εθ

γ θ

( )

2

;e

dw dw

dx L d =

ξ ( ) ( ) ( )1 1 2 2w N w N wξ ξ ξ = +

dw d dw

dx dx d = ⋅

ξ

ξ

[ ]1 21 2 1 1 2 2( ) ( )

1

1

( ) ( )

2

2

2 2

1 (1 ) 1 (1 )

2 2

xz e e

e e

N N dw dww w N N

dx d L L

w

w L L

∂ ∂= − = − = + − + =

∂ ∂

− + = − − − =

(e)

cB a


θ ξ ξ

θ





1 2

L(e)11

w

θ

=

1a

2

2

2

w

θ

=

a


ξ

1ξ = − 1ξ = /

/ xz

d dx

dw dx

= =

−

εθ

γ θ

( )

2

;e

dw dw

dx L d =

ξ ( ) ( ) ( )1 1 2 2w N w N wξ ξ ξ = +

dw d dw

dx dx d = ⋅

ξ

ξ


17/19

[ ]1 21 2 1 1 2 2( ) ( )

1

1

( ) ( )

2

2

2 2

1 (1 ) 1 (1 )

2 2

xz e e

e e

N N dw dww w N N

dx d L L

w

w L L

∂ ∂= − = − = + − + =

∂ ∂

− + = − − − =

(e)

cB a


θ ξ ξ

θ





1 2L(e)

1

1

w

θ

=

1a

2

2

2

w

θ

=

a


ξ

1ξ = − 1ξ = /

/ xz

d dx

dw dx = =

− ε

θ

γ θ

Polinomios deprimer grado





1 2L(e)

1

1

w

θ

=

1a

2

2

2

w

θ

=

a


ξ

1ξ = − 1ξ = /

/ xz

d dx

dw dx = =

− ε

θ

γ θ

* *

xz

M EI EI

Q A G A G

χ

γ

= = =

= = =

(e) (e)

f f f

(e) (e)

c c c

B a D B a

B a D B a





Equilibrio (PTV)

*

1 10

( ( ) )

L

o

L p q

i i j j

i j

d d dw dw EI GA dx

dx dx dx dx

w q dx w P M = =

+ − − =

= − + +

∫

∑ ∑∫

θ θ δ δ θ θ

δ δ δθ

z

x

qP M





Equilibrio (PTV)

*

1 10

( ( ) )

L

o

L p q

i i j j

i j

d d dw dw EI GA dx

dx dx dx dx

w q dx w P M = =

+ − − =

= − + +

∫

∑ ∑∫

θ θ δ δ θ θ

δ δ δθ

( )1 1( ) ( )

*

1 12 2

T T T

e e

L L EI GA d q d ξ ξ − −

+ = − + ∫ ∫

Te T T e e e (e)

f f c cδa B B B B a δa N δa q

z

x

qP M


18/19





Matriz de Rigidez

z

x

qP M

1 ( )*

1

( )2

e L

EI GA d ξ −

= + = +∫(e) (e) (e) T T

f c f f c cK K K B B B B





Matriz de Rigidez

z

x

qP M

1 ( )*

1

( )2

e L

EI GA d ξ −

= + = +∫(e) (e) (e) T T


( )1 1( ) ( )

( ) ( )

( )

1 1

( )

0 0 0 0 0

1/ 0 1 0 10 1/ 0 1/

0 0 0 0 02 21/ 0 1 0 1

ee ee e

e

e

L L L EI EI d EI L L d

L L

ξ ξ − −

− − = = − =

−

∫ ∫(e) T

f f f K B B

1 P.I.





Matriz de Rigidezz

x

qP M

1 ( )*

1

( )2

e L

EI GA d ξ −

= + = +∫(e) (e) (e) T T


2 2

2

( )

1 1( ) ( )

* * ( ) ( )

( )

1 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )*

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 /

(1 ) / 21 / (1 ) / 2 1 / (1 ) / 2

2 21 /

(1 ) / 2

1 / 2 1 / 2

/ 2 / 3 / 2 / 6

1 / 2 1 / 2

/ 2 / 6

e

e ee e

e

e e

e e e e

e e e

e e e

L

L LGA d GA L L d

L

L L

L L L LGA

L L L

L L L

− −

−

− − = = − − − − + =

− +

−

−=

− − −

−

∫ ∫(e) T

c c cK B B

ξ ξ ξ ξ ξ

ξ

2( )

/ 2 / 3e L

2 P.I.

Elementos finitos de 2 nodos de clase C0 para la flexión de vigas gruesas

Vigas y placas

Bloqueo de la solución (“Shear Locking”)

1

h

L

P + =

(e) (e) (e) (e)

f cK K a f

* * * *

( ) ( )

* * * *1 1( ) ( )

( ) ( )1 1

* * * *2

( ) ( )

2

* * * *( ) ( )

( ) ( )

2 2

( ) ( )2 3 2 6

02 2

( ) ( )2 6 2 3

e e

e e

e e

e e

e e

e e

GA GA GA GA

L Lw V GA GA EI GA GA EI

L L M L L

w PGA GA GA GA

L L

GA GA EI GA GA EI L L

L L

θ

θ

−

+ − − = −

− − −

− − +

= 0

23

2 * * 2 2

12 3; 3

1 3

L L EI hw P

GA EI GA L L

γ γ

γ λ

= + = = =

+

Secciónrectangular

Solución exacta paravigas esbeltas

3

2

Lw P

EI =

2*

2

2 23

3(4 3)3

1 4 ( 3)

3 f exacta

L LP

w GA EI

w LP

EI

γ λ ϕ

γ λ λ

+

+ = = =

+ +

Cuando ,λ → ∞ 0ϕ →El elemento de 2 nudosde C0 es incapaz dereproducir en el límite lasolución de la teoría

clásica de vigas.SOBRERIGIDIZACION

El cortante influye excesivamente en la rigidez dela viga: Para disminuir la influencia de Kc, utilizo

integración reducida a la hora de evaluar la matrizde rigidez Kc.


19/19

Elementos finitos de 2 nodos de clase C0 para la flexión de vigas gruesas

Vigas y placas

Bloqueo de la solución (“Shear Locking”)

1

h

L

P + =

(e) (e) (e) (e)

f cK K a f

2

2

2

(3 3)

4 f

reducida

exacta

w

w

λ ϕ

λ

+= =

Cuando ,λ → ∞ 0.75ϕ →La integración reducidade Kc proporciona un

elemento válido paravigas de pequeño y grancanto.

2 2

2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )*

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 / 2 1 / 2

/ 2 / 4 / 2 / 4

1 / 2 1 / 2

/ 2 / 4 / 2 / 4

e e

e e e e

reducida e e e

e e e e

L L

L L L LGA

L L L

L L L L

−

− =

− − −

−

(e)

cK

1 P.I.


Vigas y placas

1 2

L(e)

ξ

1ξ = − 1ξ =

2 2 2 2

2 2 2 2

L L L

x x

V o A o o

d w d w d w d wdV z zE dA dx EI dx M dx

dx dx dx dxδε σ δ δ δχ

= − − = = ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

MEF - Vigas y Placas

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