1. http://carlos2524.jimdo.com/

2. , ..T"http://carlos2524.jimdo.com/ 3. MECNICA PARA INGENIERiA~~~~ MECNICA PARA INGENIERiA'~~~~:1~1lea Anthony Bedford Anthony Bedford yWallace Fowler Fowler The University 01 Texas (Austin) University Versin en espaol de Versin espaol Jos E. de la Cera Alonso Jos E. de Cera AlonsoUniversidad Autnoma Metropolitana Universidad Autnoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco, Mxico Unidad Azcapotza/co, Mxico Con la colaboracin de Con la colaboracin de Antonio Martn-Lunas Antonio Martn-Lunas Universidad Autnoma Metropolitana Universidad Autnoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco, Mxico Unidad A zcapotza/co, MxicoMXIco ARGENTI!0 Ilt '' dt -t-->O f::...t(2.1)donde el vector r(t + M) - r(t) es el cambio de posicin, o desplazamiento posicin, desplazamiento donde vector r(t l) r(t) cambio de P, durante el intervalo de tiempo l (Fig. 2.1c). As, la Velocidad es tiempo At vTocidad durante intervalo la razn de cambio de la posicin de P respecto a O. razn cambio posicin respecto pp pooo(a)(b)(e)Figura 2.1 Figura(a) Vector de posicin r de P respecto a O. (a) (b) Movimiento de P respecto a O. (c) Cambio en la posicin de P entre t y (e) t t + D.t. M.una derivada determinan tratara una Las dimensiones de una derivada se determinan como si se tratara de una dimensiones proporcin, por lo que las dimensiones de v son (distancia)/(tiernpo). El dimensiones proporcin, por (distancia)/(tiernpo). punto de referencia usado suele ser obvio, y simplemente llamamos v a la referencia usado punto obvio, simplemente llamamos velocidad de P. Sin embargo, se debe recordar que la posicin y la velocidad recordar posicin velocidad embargo, de un punto se pueden especificar slo con respecto a un punto de referencia. punto punto Observe en la Ec. (2.1) que la derivada de un vector con respecto al vector respecto Observe derivada tiempo se define exactamente igual que la derivada de una funcin escalar. derivada una funcin escalar. tiempo define exactamente Por ello, comparte algunas propiedades de la derivada de una funcin comparte algunas propiedades una funcin Por derivada escalar. Usaremos dos de esas propiedades: La derivada respecto al tiempo propiedades: escalar. Usaremos derivada respecto tiempo suma funciones vectoriales de la suma de dos funciones vectoriales u ms w es d du dw dw du -(u+w) = - + - , = +-, dt dt dt dt dt dt y la derivada respecto al tiempo del producto de una funcin escalar f derivada respecto tiempo producto una funcin escalar fpor una funcin vectorial u es por una funcin vectorial d(fu) = d u+ duo dUu) = d u+ duo dt dt dt dt dt dthttp://carlos2524.jimdo.com/ 35. ..J EN LNEA RECTA ./ 2.2 MOVIMIENTO EN LNEA RECTA 17aceleracin respecto tiempo La aceleracin de P respecto a O en un tiempo I se define como define comoa=dv dv dt dt= lmv(t v(tM-+O M~O+ M) -v(t) v(t) ,!1t(2.2) -donde cambio durante intervalo donde v(t + M) - v(t) es el cambio en la velocidad de P durante el intervalo velocidad de tiempo M (Fig. 2.2). La aceleracin es la razn de cambio de la velocitiempo M razn aceleracin cambio dad de P en el tiempo I (la segunda derivada respecto al tiempo del desplatiempo dad segunda derivada respecto tiempo desplazamiento), y sus dimensiones son (distancia)/(tiempo)2. dimensiones (distancia)/(tiempo)2. zamiento),2.2 Movimiento en lnea recta Movimiento lnea rectav(t)Ilt) v~v(t + M) --V~V(tv(t)v(t) v(t)Figura 2.2 Figura Cambio Cambio en la velocidad de P entre t y la velocidad de entre t + M. . MAnalizamos tipo movimiento para usted obtenga Analizamos este tipo simple de movimiento para que usted obtenga experiencia antes de pasar al caso general del movimiento de un punto. Sin riencia pasar general movimiento punto. embargo, en muchos casos prcticos los ingenieros deben analizar movimuchos prcticos ingenieros deben analizar embargo, mientos en lnea recta, como el movimiento de un vehculo sobre un camicamimientos recta, como movimiento vehculo sobre recto movimiento pistn motor no recto o el movimiento del pistn de un motor de combustin interna. combustin interna.Descripcin del movimiento Descripcin del movimiento Podemos especificar posicin punto sobre una lnea recta Podemos especificar la posicin de un punto P sobre una lnea recta respecpunto referencia por medio medida to a un punto de referencia O por medio de la coordenada s medida a coordenada largo 2.3a). lo largo de la lnea que va de O a P (Fig. 2.3a). En este caso definimos definimos s como positiva hacia la derecha, por lo que s es positiva cuando P est positiva cuando como positiva hacia derecha, por a la derecha de O y negativa cuando P est a la izquierda de O. El desplazanegativa cuando izquierda derecha desplazamiento /1s respecto a O durante un intervalo de tiempo de lo a I es el camLls respecto intervalo tiempo durante bio de posicin, !1s = s(t) - s(to)' s(to)' posicin, ~ = s(t) Incluyendo vector unitario paralelo lnea Incluyendo un vector unitario e paralelo a la lnea y que apunta en la apunta direccin positiva s (Fig. 2.3b), podemos escribir el vector de posicin de 2.3b), podemos escribir vector posicin positiva P respecto a O como respecto comoo p --~.-----~.~----s --~ .----~ .~---- sf--S---1 f-- S---1 (a)op--~I-----r--~)H.~----s ~ --~ I----~~--~ r ~---- s ~ (b)Figura 2.3 Figurar = se. r = se.Si la lnea no gira, el vector unitario e es constante y la velocidad de P vector unitario gira, constante velocidad respecto a O es ds ds = -e. = -e. dt dt dt dt(a) Coordenada s de O a P. de (a) Coordenada (b) Vector unitario e y vector de posicin r. vector de posicin r. (b) Vector unitariodr drv= v= -sPodemos escribir vector velocidad como = Podemos escribir el vector velocidad como v = ve y obtener la ecuacin obtener ecuacin escalar ds ds - dtv -dt' v---fvelocidad punto largo razn La velocidad v de un punto P a lo largo de la lnea recta es la razn de recta cambio de su posicin s. Observe que ves igual a la pendiente en un tiempo posicin Observe v es pendiente tiempo I funcin t de la tangente a la grfica de s en funcin del tiempo (Fig. 2.4). tangente grfica tiempo respecto La aceleracin de P respecto a O es aceleracinL----------------'------tFigura 2.4 Figura La pendiente de lnea recta tangente La pendiente de la lnea recta tangente a la velocidad grfica de contra grfica de s contra t es la velocidad en el tiempo t. tiempo t.dv d dv dv d dv a= - = -(ve) = -e. - = -(ve) = -e. dt dt dt dt dt dthttp://carlos2524.jimdo.com/ 36. 18CAPTULO 2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO CAPTULO MOVIMIENTO PUNTOEscribir el vector de aceleracin como a Escribir vector aceleracin como dv dv2 d2ssdt dtda ecuacin escalar ae da la ecuacin escalardt dt2a =-=-. a=-=-. 2aceleracin pendiente La aceleracin a es igual a la pendiente en el tiempo t de la recta tangente tiempo recta tangente grfica funcin tiempo a la grfica de v en funcin del tiempo (Fig. 2.5). Figura 2.5vLa pendiente de la lnea recta tangente a recta tangente la grfica de v contra t es la aceleracin es en el tiempo t. t.Con vector unitario obtuvimos ecuaciones escalares Con el vector unitario e obtuvimos ecuaciones escalares que describen describen el movimiento de P. La posicin queda especificada por la coordenada movimiento posicin queda especificada por coordenada P. velocidad aceleracin estn regidas por s, y la velocidad y la aceleracin estn regidas por las ecuaciones ecuaciones ds ds dt(2.3)dv dv dt dt(2.4)v=-, v= - ,a=-. a=-.pdel movimiento Anlisis del movimiento algunos conoce posicin s En algunos casos se conoce la posicin s de algn punto de un cuerpo algn punto cuerpo como funcin tiempo. ingenieros usan Oltodos como radar como funcin del tiempo. Los ingenieros usan mtodos como el radar y interferometra para medir posiciones la interferometra de lser para medir posiciones en funcin del tiempo. funcin tiempo. En este caso, con las Ecs. (2.3) y (2.4) se pueden obtener por diferenciacin pueden obtener por diferenciacin velocidad aceleracin como funciones tiempo. Por ejemplo, la velocidad y la aceleracin como funciones del tiempo. Por ejemplo, posicin camin si la posicin del camin de la Fig. 2.6 durante el intervalo de tiempo de durante intervalo tiempo dada por t = 2 s a t = 4 s est dada por la ecuacin ecuacind~ peFigura 2.6 La coordenada s mide la posicin del coordenada posicin centro de masa del camin respecto a un respecto a un punto de referencia.. referenciahttp://carlos2524.jimdo.com/E lao 37. 2.2 MOVIMIENTO EN LNEA RECTA 2.2 MOVIMIENTOsu velocidad y aceleracin durante ese intervalo de tiempo son velocidad aceleracin durante intervalo tiempo Vteds 2 =- = = - = t mis, dtdv 2 =- = a = - = 2t mls2. . dtSin embargo, es ms comn conocer la aceleracin de un cuerpo que embargo, comn conocer aceleracin cuerpo su posicin, porque la aceleracin de un cuerpo se puede determinar con posicin, porque aceleracin cuerpo puede determinar la segunda ley de Newton cuando se conocen las fuerzas que actan sobre segunda Newton cuando conocen fuerzas actan sobre Una conocida aceleracin, Ecs. pueden l. Una vez conocida la aceleracin, con las Ecs. (2.3) y (2.4) se pueden determinar por integracin la velocidad y la posicin. En las siguientes determinar por integracin velocidad posicin. siguientes secciones analizaremos tres casos importantes. analizaremos importantes.Aceleracin especificada como funcin del tiempo Si la aceAceleracin especificada como funcin del tiempo leracin es una funcin conocida del tiempo a(t), podemos integrar la relaleracin una funcin conocida tiempo podemos integrar cin dv-dt dtnda= a(t) = a(t)(2.5)con respecto al tiempo para determinar la velocidad en funcin del tiempo, respecto tiempo para determinar velocidad funcin tiempo,fv = f a(t) dt = a(t) dt .3).4)+ A, A,(2.6)donde A es una constante de integracin. Luego podemos integrar la relacin constante ds -=v -=v dt dt(2.7) (2.7)para determinar la posicin en funcin del tiempo, funcin para determinar posicin tiempo,f(2.8) (2.8)s=fVdt+B, s = vdt+B,rpo ar ypo. in plo, dedonde B es otra constante de integracin. Para determinar las constantes integracin. Para determinar otra constante constantes A y B se necesita informacin adicional acerca del movimiento, por ejemnecesita informacin adicional acerca movimiento, por plo los valores de v y s en un tiempo dado. valores s tiempo dado.En vez de usar integrales indefinidas, la Ec. (2.5) se puede escribir como usar integrales indefinidas, puede escribir como dv = a(t) dt dv = a(t) dte integrar en trminos de integrales definidas: integrar trminos integrales definidas:ir l- dv = t a(t) dt. V -r dv = a(t) dt. i; Votlo oinferior velocidad tiempo Yel superior El lmite inferior Vo es la velocidad en el tiempo lo Y el lmite superior es velocidad tiempo cualquiera. Evaluando integral izquierda la velocidad en un tiempo lt cualquiera. Evaluando la integral izquierda obtenemos una expresin para velocidad funcin tiempo: obtenemos una expresin para la velocidad en funcin del tiempo: v=vo+ ta(t)dt. v=vo+ ta(t)dt.llo i:(2.9)http://carlos2524.jimdo.com/19 38. 20CAPTULO MOVIMIENTO PUNTO CAPTULO 2 MOVIM IENTO DE UN PUNTOPodemos escribir la Ec. (2.7) como como Podemos escribir ds = vdt ds = v dtintegrar e integrar en trminos de integrales definidas, trminos integrales definidas,I' ds = t ds =lso i.t vdt, t vdt,lto 110donde superior donde el lmite inferior So es la posicin en el tiempo lo Yel lmite superior inferior posicin tiempo Yel la posicin en un tiempo 1 arbitrario. Evaluando la integral izquierda, posicin tiempo arbitrario. Evaluando integral izquierda, obtenemos obtenemos la posicin en funcin del tiempo: posicin funcin tiempo:s S ess = So + S = Sot vdt. r vdt.(2.10) (2.10)110 lo tAunque hemos mostrado cmo determinar velocidad Aunque hemos mostrado cmo determinar la velocidad y la posicin posicin cuando conoce aceleracin funcin cuando se conoce la aceleracin en funcin del tiempo, no deberan memotiempo, deberan memorizarse resultados como rizarse resultados como las Ecs. (2.9) y (2.10). Como demostraremos en Como demostraremos ejemplos, recomendamos los ejemplos, recomendamos que los problemas de movimiento en lnea problemas movimiento lnea recta (2.4). recta se resuelvan empezando con las Ecs. (2.3) y (2.4). resuelvan empezando Algunas observaciones tiles sobre las Ecs. (2.9) y (2.10) son las siguientes: P El rea definida por la grfica de la aceleracin de P en funcin del rea definida por grfica aceleracin funcin tiempo al tiempo de lo a 1 es igual al cambio en la velocidad de lo al (Fig. 2.7a). cambio velocidad 2.7a). El rea definida por la grfica de la velocidad de P en funcin del rea definida por grfica velocidad funcin tiempo tiempo de lo a 1 es igual al desplazamiento, o cambio de posicin, de desplazamiento, cambio posicin, lo a 1 (Fig. 2.7b). 2. 7b).va(b)(a)Figura 2.7 Relaciones entre reas definidas por las por grficas de la aceleracin y la velocidad P, y y de P, y cambios en su velocidad y posicin. posicin.A menudo se pueden usar esas relaciones para obtener una apreciacin pueden usar relaciones para obtener una apreciacin menudo cualitativa cualitativa del movimiento de un cuerpo, y en algunos casos incluso se movimiento cuerpo, algunos incluso pueden usar para determinar pueden usar para determinar su movimiento. movimiento. En algunas situaciones, En algunas situaciones, la aceleracin de un cuerpo es constante, o casi aceleracin cuerpo constante, constante. Por ejemplo, constante. Por ejemplo, si se lanza un cuerpo denso, como una pelota de lanza cuerpo denso, como una pelota golf una roca, golf o una roca, y ste no cae muy lejos, se puede ignorar la resistencia lejos, puede ignorar resistencia suponer del aire y suponer que su aceleracin es igual a la aceleracin de la gravedad aceleracin aceleracin gravedad al nivel del mar. mar. http://carlos2524.jimdo.com/ 39. 2.2 MOVIMIENTO EN LNEA RECTA 21 EN LNEA RECTASea la aceleracin una constante conocida ao.. De las Ecs.. (2.9) y aceleracin una constante conocida a o Bcs (2.10), la velocidad y la posicin como funciones del tiempo son velocidad posicin como funciones tiempov = Vo + ao(t - to), = va lo),(2.11)1 2 = So vo(t lo) S = So + vo(t - lo) + 2ao(t - to) , to) 2ao(t(2.12)donde So Y Uo son la posicin y la velocidad, respectivamente, en el tiemdonde posicin velocidad, respectivamente, po too. Observe que si la aceleracin es constante, la velocidad es una to Observe constante, velocidad funcin funcin lineal del tiempo. tiempo. Podemos usar la regla de la cadena para expresar la aceleracin en trPodemos usar cadena para expresar aceleracin trminos de una derivada respecto a s: una derivada respectodv dvdv ds dv dsdv dv= - = - - = -ds v. -= -v. dt ds dt ds dt ds dtaoEscribiendo esta expresin como udu Escribiendo expresin como UVvaaods e integrando, integrando,t 1 Jsosvdv = vdv =aods, aods,Soobtenemos una ecuacin para velocidad funcin posicin: obtenemos una ecuacin para la velocidad en funcin de la psicin: (2.13)eProbablemente el lector se encuentra familiarizado con las Bcs. (2.11) lector encuentra familiarizado Probablemente Ecs. a (2.13). Aunque esos resultados pueden ser de utilidad cuando se sabe Aunque resultados pueden utilidad cuando sabe que la aceleracin es constante, hay que tener cuidado de no usarlas cuanconstante, tener cuidado usarlas cuando esto no sea as.'nsesi de ia adLos siguientes ejemplos ilustran cmo usar las Ecs. (2.3) y (2.4) para obteLos siguientes ejemplos ilustran cmo para obteinformacin sobre movimientos cuerpos Quiz ner informacin sobre movimientos de cuerpos en lnea recta. Quiz sea direccin positiva Cuando necesario elegir el punto de referencia y la direccin positiva de s. Cuando punto referencia conoce como funcin tiempo, se conoce la aceleracin como funcin del tiempo, se puede integrar la puede integrar velocidad integrar Ec. (2.4) para determinar la velocidad y luego integrar la Ec. (2.3) para para determinar para determinar determinar la posicin. posicin. http://carlos2524.jimdo.com/ 40. 22CAPTULO 2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO CAPTULO MOVIMIENTO PUNTOEjemplo 2.1 2.1 Durante la prueba de un vehculo que va a ser lanzado por paracadas se calcula lanzado por paracadas calcula Durante prueba vehculo que su velocidad al tocar el suelo ser de 20 pie/s. Si se suelta el vehculo desde velocidad tocar pie/s. suelta vehculo desde el bastidor de prueba de la Fig. 2.8, a qu altura h se debe soltar para simular bastidor prueba altura soltar para simular la cada con paracadas? paracadas? cadaFigura 2.8hESTRATEGIA ESTRATEGIA Suponemos aceleracin corta cada g Suponemos que la aceleracin del vehculo durante su corta cada es g = 32.2 vehculo durante pie/s-. Podemos determinar la altura h de dos maneras: altura pie/ s2 Podemos determinar maneras: Primer mtodo. Integrar las Ecs. (2.3) y (2.4) para determinar el moviPrimer mtodo. Integrar para determinar miento del vehculo. miento vehculo. Segundo mtodo. Usar la Ec. (2.13), que relaciona la velocidad y la Segundo mtodo. Usar relaciona velocidad posicin cuando la aceleracin es constante. aceleracin constante. posicin cuandoSOLUCiN SOLUCiN s posicin fondo soporta Sea s la posicin del fondo de la plataforma que soporta al vehculo respecto plataforma vehculo respecto aceleracin a su posicin inicial (Fig. a). La aceleracin del vehculo es a = 32.2 pie/s-. posicin vehculo pie/s 2 mtodo Primer mtodoDe la Ec. (2.4), Ec.dv dv- = a = 32.2 dt dtpie/522 pie/sIntegrando, obtenemos Integrando, obtenemos +A, v = 32.2t +A,constante donde A es una constante de integracin. Si thttp://carlos2524.jimdo.com/= =Oes Oes el instante en que el vehculo se 41. 2.2 MOVI MIENTO EN LNEA RECTA 2.2 MOVIMIENTO LNEA(a) La coordenada s mide la posicin del fondo de la plataforma posicin plataforma coordenada fondorespecto a su posicin inicial. respecto posicinsuelta, v= =Ocuando Ocuando t v= 32.2t 32.2t= O.por = = O. por lo que A =OYla OYla velocidad en funcin del tiempo espie/s. pie/s.Integrando Integrando la Ec. (2.3), ds ds dt32.2t, - = v = 32.2t,obtenemos obtenemos s16.1t = 16.1t22 + B, B,donde B una segunda constante integracin. donde B es una segunda constante de integracin. La posicin s = O cuando posicin = cuando O, por funcin t = O, por lo que B = O Y la posicin en funcin del tiempo es posicin tiempo s=16.1t2. 16.1t 2 .ecuacin para velocidad, tiempo cada necesario para De la ecuacin para la velocidad, el tiempo de cada necesario para que el vehalcance 20/32.2 Sustituyendo pie/s tiempo culo alcance 20 pie/s es t = 20/32.2 = 0.621 s. Sustituyendo este tiempo en ecuacin para posicin, altura necesaria para simular cada la ecuacin para la posicin, la altura h necesaria para simular la cada en paraparacadas es h= 16.1(0.621)2 = 6.21 pie. pie.Segundo mtodo Como aceleracin constante, podemos usar Segundo mtodo Como la aceleracin es constante, podemos usar la Ec. determinar distancia necesaria para velocidad alcance (2.13) a fin de determinar la distancia necesaria para que la velocidad alcance el valor de 20 pie/s: valor pie/s: 2 v2 = v~ + 2ao(s - so), v~ 2ao(s (2W = O + 2(32.2)(s - O). (2W = 0+ 2(32.2)(sResolviendo para s obtenemos h = 6.21 pie. Resolviendo para obtenemoshttp://carlos2524.jimdo.com/23 42. 24CAPTULO MOVIMIENTO DE CAPTULO 2 MOVIM IENTO DE UN PUNTOEjemplo 2.2 Un guepardo, Acinonyx jubatus, (Fig. 2.9) puede correr a 75 mi/h.Si se supone jubatus, guepardo, puede correr 75 milh.Si supone aceleracin animal constante y alcanza velocidad mxima que la aceleracin del animal es constante y que alcanza su velocidad mxima en distancia recorrer 1Qs? 4 s, qu distancia recorrer en 10 s?Figura 2.9ESTRATEGIA ESTRATEGIA primeros La aceleracin tiene un valor constante durante los primeros 4 s y luego es cero. aceleracin valor constante durante cero. Podemos determinar la distancia recorrida durante cada una de esas "fases" distancia recorrida durante cada una "fases" Podemos determinar del movimiento y sumarlas para obtener la distancia total recorrida. Lo haremovimiento sumarias para obtener distancia total recorrida. haremos analtica y grficamente. analtica grficamente.SOLUCiN SOLUCiN La velocidad mxima en trminos de pie/ss es velocidad mxima trminos pie/ . (13600 ) Pie) h 110' / s. 75 milhh = 75 mi/hh x ( 5280 pie ) x (1 h s) = 110 pie/s. mI'/ = mI'/ 1 mi pIemtodo Primer mtodo la Ec. (2.4),aceleracin durante primeros Integramos Sea ao la aceleracin durante los primeros 4 s. Integramos1 l' 1" = 1 1Vdv dv=aodt, , aodtobteniendo velocidad funcin tiempo durante primeros obteniendo la velocidad en funcin del tiempo durante los primeros 4 s:v = aot pie/s. = pie/s.e e d S g phttp://carlos2524.jimdo.com/ 43. 2.2 MOVIMIENTO 2.2 MOVIMIENTO EN LNEA RECTACuando 110 pie/s, por 110/4 27.5 pie/s-, Ahora Cuando t = 4 s, u = 110 pie/ s, por lo que ao = 110/ 4 = 27 .5 pie/ s2. Ahora integramos integramos la Ec. (2.3),1 1/ L' = l' sds ds=27.5tdt, 27.5tdt,obtenemos posicin como funcin tiempo durante primeros y obtenemos la posicin como funcin del tiempo durante los primeros 4 s: s13.75t = 13.75t 2 2m.posicin s 13.75(4)2 En t = 4 s la posicin es s = 13.75(4)2 = 220 pie. 10 velocidad constante. distancia recorrida De t = 4 a t = 10 s la velocidad es constante. La distancia recorrida es (110 pie/s)(6 s) = 660 pie. pie/s)(6 = distancia total animal recorre 10 La distancia total que el animal recorre en 10 s es 220 + 660 yardas. 293.3 yardas.880 pie, oSegundo mtodo dibujamos grfica velocidad Segundo mtodo En la Fig. (a) dibujamos la grfica de la velocidad del animal funcin tiempo. aceleracin constante durante primeros animal en funcin del tiempo. La aceleracin es constante durante los primeros movimiento, por velocidad una funcin tiempo 4 s de su movimiento, por lo que su velocidad es una funcin lineal del tiempo Oen Oa 110 pie/s velocidad constante durante de u = Oen t = Oa u = 110 pie/s en t = 4 s. La velocidad es constante durante ltimos distancia total recorrida suma reas durante los ltimos 6 s. La distancia total recorrida es la suma de las reas durante las movimiento: dos fases del movimiento: ~(4S)(110pie/S) 880pie. i(4S)(110pie/ S) + (6s)(llOpie/s) s) = 220 pie + 660 pie = 880pie. (6s)(llOpie/ erea igual la distancia rea igual a la distancia recorrida de = recorrida de t = O a t = 10 s. = 110 ----'" 110 - - - - - - --- - - - U)O 'e 't dt "'HO 'e /2 'tEn el lmite, cuando M tiende a cero, sen (,1.812)/(,1.812) es igual al, ,1.8/ M tiende cero, cuando (!lBI2)/(!lBI2) igual al, !lB/!lt es igual a d8/dt, y el vector unitario o es perpendicular a e(t) (Fig. 2.19c). vector unitario n perpendicular d/dt, Por tanto, la derivada respecto al tiempo de e es tiempo Por tanto, derivada respecto de de de = -o=wo = -D=WD dt dt ' dt dt(2.33) (2.33)-itaado ios eve ales poendonde o es un vector unitario que es perpendicular a e y seala en la direcvector unitario perpendicular donde n seala B 2.19d). En siguientes usaremos cin positiva de 8 (Fig. 2.19d). En las siguientes secciones usaremos este positiva resultado deducir expresiones para velocidad aceleracin punresultado al deducir expresiones para la velocidad y aceleracin de un punto en diferentes sistemas coordenados. diferentes sistemas coordenados.~~ """-----'----- - - -- - -- - Lo ""'---'---------(a)~--L---------~--L---------LO LO(b)~----------- Lo ""'-------------!::..t. gula(e)~--L--------- LO ~--'----------LO(d)http://carlos2524.jimdo.com/Figura 2.19 (a) Vector unitario e y lnea de Vector unitario referencia Lo. referencia Lo' (b) El cambio Lle en e de t a cambio Llt. t + Llt. (e) Cuando Llt tiende cero, (c) Cuando Llt tiende a cero, n resulta perpendicular a e(t). resulta perpendicular (d) Derivada de e respecto Derivada respecto al tiempo. tiempo.51 51 70. 52CAPTULO 2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO CAPTULO MOVIMIENTO DE PUNTOEjemplo 2.7 El rotor de un motor de reaccin est girando a 10 000 rpm cuando se interrumpe rotor motor reaccin girando 10000 rpm cuando interrumpe el suministro de combustible. La aceleracin resultante es C/ = - 0.02w, donde suministro combustible. aceleracin resultante ex -0.02w, donde velocidad angular rad/s. w es la velocidad angular en rad/s. (a) Cunto tarda el rotor en alcanzar 1000 rpm? rotor rpm? Cunto tarda alcanzar rpm? (b) Cuntas revoluciones gira el rotor mientras desacelera a 1000 rpm? Cuntas revoluciones rotor mientras desaceleraESTRATEGIA ESTRATEGIA Para analizar movimiento angular Para analizar el movimiento angular del rotor, definimos una lnea L fija al rotor, definimos una L rotor y perpendicular a su eje (Fig . 2.20). Luego examinamos el movimiento (Fig. Luego examinamos movimiento rotor perpendicular de L respecto a la lnea de referencia Le. La posicin, velocidad y aceleracin respecto referencia Lo. posicin, velocidad aceleracin angulares definen angulares de L definen el movimiento angular del rotor. . movimiento angular rotorFigura 2.20 2.20 Lnea L y lnea de referencia Lo que referencia Lo especifican especifican la posicin angular del posicin angular rotor. . rotorSOLUCiN SOLUCiN conversin La conversin de rpm a rad/ss es rpm rad/= =1 revolucin/min x ( revolucin/ min= =1 rpm rpm7r/30 rad/s. 7l"/ 30 rad/ s.http://carlos2524.jimdo.com/m 27l" rad 27r rad. , ) x ( 1 min ) 16O isn) 1 revolucin revolucin 60 s 71. 2.3 MOVIMIENTO CURVILNEO 2.3 MOVIMIENTO CURViLNEO(a) La aceleracin angular es (a) La aceleracin angular es ex C'ldwdw = - = -0.02w = -dt = -0.02w. . dtSeparando variables, Separando variables, dw dw-w eaal lo 'n-O.02dt, = -0.02dt,integramos, definiendo = O como tiempo que corta combustible: e integramos, definiendo t = Ocomo el tiempo en que se corta el combustible: 1000,,/30dw IOOOrr/ 30 dco1 f-l'=-0.02dt. -0.02dt.o oIOOOOrr/30 W 10 000,,/30 WEvaluando integrales despejando obtenemos Evaluando las integrales y despejando t obtenemost= (_1_) In (10 0001l'/30) = ll5.1 s. (_1_) In (10 00071"/30) 115.1 0.02 0.02100071"/30 10001l'Escribimos aceleracin angular como (b) Escribimos la aceleracin angular como ex C'ldco dw=-dtdoi dO dw ddco dwdO dt de dtdO de- w -0.02w, = - - = -w= = -0.02w, --separamos variables, separamos variables, dw = -0.02dO , dco -0.02de,e integramos , definiendo () = O como la posicin angular en que se corta el integramos, definiendo (j = como posicin angular corta combustible: combustible: IOOOrr/ 30 1000,,/30f 1dw = dco =10000rr/ 30 10000,,/301 1 9-0.02dO. -0.02de.O oDespejando () obtenemos Despejando (j obtenemos 0= (_1_) [(10 00071"/30) - (100071"/30)] e = (_1_) [(10 0001l'/30) (10001l'/30)] 0.02 0.02= 15 00071" rad = 7500 revoluciones. 15 0001l' rad 7500revoluciones.http://carlos2524.jimdo.com/53 53 72. 54 54CAPTULO 2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO CAPTULO 2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO________________________ L---------~~_____________________________ _4Problemasl--------------------------~~ProblemaslCules son magnitudes de velocidades angulares 2.85 Cules son las magnitudes de las velocidades angulares (en rad/s) aguja horaria aguja minutera mostradas? (en rad / s) de la aguja horaria y la aguja minutera mostradas?2.89 La aceleracin angular de una lnea L respecto a una aceleracin angular una lnea L respecto una lnea de referencia Lo es el = 30 - 6t rad / s 2 Cuando t = O, lnea referencia a 30 rad/s-, Cuando O, O = O Y w = O. Cul es la velocidad angular mxima de L O OYw o. Cul velocidad angular mxima L respecto a Lo durante el intervalo de tiempo de t = O a t = respecto durante intervalo tiempo = O 10 s? s? 2.90 Una turbina de gas empieza a girar en t = Ocon aceleraUna turbina empieza girar = O con aceleracin angular el = 6t rad/s 2 durante 3 s y luego desacelera con cin angular a = rad/s- durante luego desacelera con el = - 3 rad / s hasta que se detiene. a -3 rad/s-2 hasta que detiene. (a) Qu velocidad angular mxima alcanza? Qu velocidad angular mxima alcanza? (b) Cul es el ngulo total que gira? Cul ngulo total que gira?P2.85 P2.852.86 En la Fig. P2.86, sea L una lnea del centro de la Tierra En Fig. P2.86, sea L una lnea del centro Tierra un punto fijo sobre ecuador, sea una lnea referena un punto fijo sobre el ecuador, y sea Lo una lnea de referencia direccin fija. La figura muestra Tierra vista desde cia de direccin fija. La figura muestra la Tierra vista desde arriba del polo norte. arriba del polo norte. (a) Es d/ dt positiva negativa? (a) Es dOl dt positiva o negativa? Cul magnitud de dOldt en rad/s? (b) Cul es la magnitud de dO/dt en rad / s?2.91 El rotor de un generador elctrico est girando a 200 rpm 2.91 rotor un generador elctrico est girando 200 rpm cuando el motor se apaga . Debido a efectos de friccin, la desacuando motor apaga. Debido efectos friccin, desaceleracin angular del rotor despus de que se apaga el motor celeracin angular rotor despus que apaga motor es el = -O.Olw rad / s 2 , donde w es la velocidad angular en a = -O.Olw rad/s-, donde velocidad angular rad / s. Cuntas revoluciones gira el rotor hasta que se detiene? rad/s. Cuntas revoluciones gira rotor hasta que detiene? 2.92 La aguja de un instrumento de medicin est conectada La aguja un instrumento de medicin est conectada a un resorte torsional que la somete a una aceleracin angular somete una aceleracin angular un resorte torsional que el = - 40 rad/s-, donde ex = -40 rad/s 2 , donde O es la posicin angular de la aguja en posicin angular de la aguja en radianes respecto una direccin de referencia. la aguja radianes respecto a una direccin de referencia. Si la aguja se libera del reposo rad, cul su velocidad angular libera del reposo en O = 1 rad, cul es su velocidad angular O = en O O? en O = O?P2.86 P2.862.87 El ngulo entre una lnea L y una lnea de referencia Lo El ngulo entre una lnea y una lnea de referencia Lo es O = 2t22 rad. es O = 2t rad. (a) Cules son la velocidad y la aceleracin angulares de L res(a) Cules son la velocidad y la aceleracin angulares de respecto a Lo en t = 6 s? pecto a Lo en t 6 (b) Cuntas revoluciones gira L respecto a Lo durante el inter(b) Cuntas revoluciones gira L respecto a Lo durante el intervalo de tiempo de t = O a t = 6 s? valo de tiempo de = O a = 6 s? Estrategia: Use Ecs. (2.31) y (2.32) para determinar la velociEstrategia: Use Ecs. (2.31) y (2 .32) para determinar la velocidad y la aceleracin angulares como funciones del tiempo. dad y la aceleracin angulares como funciones del tiempo. 2.88 En la Fig. P2.88, el ngulo O entre la barra y la lnea 2.88 En la Fig. P2.88, el ngulo O entre la barra y la lnea horizontal es O = tt33 -- 2t22 + 4 (grados). Determine la velocidad horizontal es O 2t 4 (grados). Determine la velocidad y la aceleracin angulares de la barra en tt = 10 s. y la aceleracin angulares de la barra en = 10 s.P2.922.93 El ngulo Ode la Fig. P2.93 mide la direccin del vector 2.93 El ngulo O de la Fig. P2.93 mide la direccin del vector unitario e respecto al eje x. Si w = dOldt = 2 rad / determine unitario e respecto al eje x. Si w = dO/ dt = 2 rad/s, s, determine vector del dt: (a) cuando O = (b) cuando O = 90; (c) cuanel vector del dt: (a) cuando O = O; (b) cuando O = 900; (e) cuan180 do O do O = 1800 . Estrategia: Use la Ec. (2.33) o exprese e en trminos de Estrategia: Use la Ec. (2.33) o exprese e en trminos de su) x y y, y derive respecto al tiempo. componentes x y y, y derive respecto al tiempo. componentes its time derivative. its time derivative. y y------------~L---~--------x x ------------~~--~--------eP2.93 P2.93o P2.88 P2.882.94 En el Probo 2.93 suponga que el ngulo O 2.94 En el Probo 2.93 suponga que el ngulo O Cul es el vector del dt en tt = 4 s? Cul es el vector del dt en = 4 s?http://carlos2524.jimdo.com/2t rad. 2t2 2 rad. 73. 2.3 MOVIMIENTO CURVILNEO 2,3 MOVIM IENTO C URViLNEO y y2.95 2.95 La lnea OP tiene longitud constante R. El ngulo () = constante () dondeo wot, donde ,wo es una constante. constante. (a) Use las relaciones dx dxVxVxdy dyvy vy = dt==-, == dt' dtpara determinar la velocidad del punto P respecto a O. determinar punto para determinar velocidad de (b) Use Ec. (2.33) para determinar la velocidad de P respecto a O, y vea que su resultado coincida con el de la parte (a). resultado coincida con el de la parte (a). Estrategia: En la parte (b), escriba el vector posicin de P Estrategia: parte vector posicin de respecto a O como r = Re, donde e es un vector unitario que unitario que apunta P. apunta de O a P.n------o~-~-----x------o~-~-----xP2.95 P2.95Componentes normal tangencial Componentes normal y tangencial '' n?a ne55 55describir movimiento curvilneo especificamos posicin punAl describir el movimiento curvilneo especificamos la posicin de un punposicin medida largo de su trayectoria, expresamos to por su posicin medida a lo largo de su trayectoria, y expresamos la velocidad aceleracin componentes tangencial normal velocidad y la aceleracin en sus componentes tangencial y normal (perpendicular) a la trayectoria. Estas componentes son muy tiles cuando trayectoria. Estas componentes cuando pendicular) un punto se mueve en una trayectoria circular, y permiten observar el capunto una trayectoria circular, permiten observar rcter velocidad aceleracin movimiento curvilneo. rcter de la velocidad y la aceleracin en el movimiento curvilneo. Considere punto una trayectoria plana curvilnea Considere un punto P que sigue una trayectoria plana curvilnea (Fig. 2.21a). vector 2.21a). El vector de posicin r especifica la posicin de Prespecto al punto posicin especifica posicin Prespecto punto referencia coordenada respecto de referencia O, y la coordenada s mide la posicin de P respecto a un posicin punto O' sobre su trayectoria. La velocidad de P respecto a O es sobre trayectoria. velocidad P respecto puntov = dr = lm r(t = dr = r(t dt L'.t40 dt t.t--+O+ !J.t) M) ~t ~tr(t) r(t)=lm ~r ~r(2.34)L'.t40 ~t t.t--+O ~t 'donde M = r(t ~t) 2.21b). Denotamos distancia donde M = r(t + !::.t) - r(t) (Fig. 2.21b). Denotamos con as la distancia r(t) /).S recorrida entre toma vector unitario definido apuntan-. recorrida entre t y t + !::.t.Si se toma un vector unitario e definido apuntan-o /).t. direccin !::.r, podemos escribir como do en la direccin de /).r, podemos escribir la Ec. (2.34) como 92Ss , ~s 11m -e. Hfl v= 1 - e. L'.t-+O ~t t.t---+O ~tn-us.Figura 2.21orCuando !::.ttiende cero, ~s/!::.t ds/ dt vector unitario Cuando !::.t tiende a cero, ~s/!::.t se vuelve ds/ dt y e es un vector unitario tangente trayectoria tiempo denotamos tangente a la trayectoria en la posicin de P en el tiempo t, que denotamos posicin con el (Fig. 2.21c): ds ds = -et. v= vet = -et. dt dt(2.35)(a) La posicin de P a lo largo de su trayectoria trayectoria se especifica con la coordenada coordenada s. (b) Posicin de P en el tiempo t y en el tiempo t + M. (e) (c) El lmite de e cuando M - O es un cuando M ~ O es vector unitario tangente a la trayectoria. unitario tangente trayectoria.P(t) P(t).93od, (a)oo (b)http://carlos2524.jimdo.com/(e) 74. 56CAPTU LO 2 MOVIM IENTO DE UN PUNTO PUNTO CAPTULO MOVIMIENTO DELa velocidad de un punto en movimiento curvilneo un vector cuya La velocidad de un punto en movimiento curvilneo es un vector cuya magnitud igual la razn de cambio de la distancia recorrida largo magnitud es igual a la razn de cambio de la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria cuya direccin tangente sta. de la trayectoria y cuya direccin es tangente a sta. Para la aceleracin tiempo la Ec. (2.35): Para la aceleracin de P, derivamos respecto al tiempo la Ec. (2.35): P, derivamos respectoadv dv dt dtdel del u_o u_o(2.36) (2.36)dt dtSi la trayectoria no es una lnea recta, el vector unitario el gira conforme la trayectoria no una lnea recta, vector unitario gira conforme P se mueve. En consecuencia, la derivada respecto al tiempo de e t no es mueve. En consecuencia, la derivada respecto tiempo de el no cero. En la seccin anterior dedujimos una expresin para la derivada rescero. En la seccin anterior dedujimos una expresin para la derivada respecto al tiempo de un vector unitario en rotacin en trminos de la velocipecto tiempo de un vector unitario en rotacin en trminos de la velocidad angular del vector unitario, Ec. (2.33). Para usar resultado, dad angular del vector unitario, Ec. (2.33). Para usar ese resultado, definimos ngulo trayectoria O que especifica la direccin de el resdefinimos el ngulo de trayectoria O que especifica la direccin de e t respecto una lnea de referencia (Fig. 2.22). Entonces, de Ec. (2.33), pecto a una lnea de referencia (Fig. 2.22). Entonces, de la Ec. (2.33), la derivada respecto tiempo de derivada respecto al tiempo de el esdonde en un vector unitario normal que apunta en la direccin podonde en es un vector unitario normal a el que apunta en la direccin positiva de O si dO/dt es positiva (Fig. 2.22). Sustituyendo esta expresin en dOldt positiva (Fig. 2.22). Sustituyendo esta expresin en sitiva de la Ec (2.36) obtenemos la Ec.. (2.36) obtenemos la aceleracin de P: aceleracin de (2.37) (2.37)o Figura 2.22 ngulo () de la trayectoria. ngulo () trayectoria.Podemos deducir este resultado de una manera menos rigurosa pero Podemos deducir este resultado de una manera menos rigurosa pero que aclara que aclara el significado de las componentes tangencial y normal de la significado de las componentes tangencial normal de aceleracin. La Fig. 2.23(a) muestra la velocidad de en los tiempos aceleracin. La Fig. 2.23(a) muestra la velocidad de P en los tiempos t ilt. En la Fig. 2.23(b) puede ver que cambio en la velocidad, y t + ilt. En la Fig. 2.23(b) se puede ver que el cambio en la velocidad, v(t + ilt) - v(t), consiste en dos componentes . La componente ilu, tangenilt) v(t), consiste en dos componentes. La componente Llu, tangenv(t te la trayectoria en tiempo debe cambio en la magnitud de te a la trayectoria en el tiempo t, se debe al cambio en la magnitud de la velocidad. La componente uilO, que perpendicular a la trayectoria la trayectoria la velocidad. La componente uLlO, que es perpendicular en el tiempo t, se debe al cambio de direccin del vector de velocidad. . tiempo debe cambio de del vector de velocidad en As, As, el cambio en la velocidad es (aproximadamente) cambio en la velocidad (aproximadamente) v(t v(t+Llt) - v(t) = Lluelt ilt) v(t) = ilue+ uLlOenn uilOeFigura 2.23 Velocidad (a) Velocidad de P en t y en t + t:J.t. (b) Componentes tangencial y normal del Componentes tangencial normal del cambio en la velocidad . la velocidad. cambio(a)http://carlos2524.jimdo.com/(b) 75. MOVIMIENTO CURVILNEO 57 2.3 MOVIM IENTO CURViLNEO 57ao ):Para obtener aceleracin dividimos Para obtener la aceleracin dividimos esta expresin entre I1t y tomamos expresin entre !1t tomamos el lmite cuando M --. O: lmite cuando M ~ O: !1v ,[!1V !1(J ] , 11 v l1e a= lm 11 v lm a = M-+O -t:..t= Llt-+O[ -t:..tet + v- en ] 11m -et+v-en t:..t M~O I:!..t tl t ~O I:!..t I:!..tdv de dv de = - et + v- en = -et+v-en' dt dt dt dt6)la0-en7)nuevo Pero, deduccin seala claraAs, obtuvimos de nuevo la Ec. (2.37). Pero, esta deduccin seala claraobtuvimos mente razn mente que la componente tangencial de la aceleracin proviene de la razn componente tangencial aceleracin proviene de cambio de la magnitud de la velocidad, mientras que la componente magnitud velocidad, mientras componente cambio normal proviene razn cambio vector velocinormal proviene de la razn de cambio de la direccin del vector de velocidireccin dad. Si la trayectoria es una lnea recta en el tiempo t, la componente nortrayectoria una lnea recta tiempo dad. componente norigual porque dOl dt mal de la aceleracin es igual a cero porque d/dt es cero . aceleracin cero. Podemos expresar menudo Podemos expresar la aceleracin en otra forma que a menudo es ms aceleracin otra forma conveniente. posiciones sobre trayectoria alcanconveniente. La Fig. 2.24 muestra las posiciones sobre la trayectoria alcanFig. muestra zadas por tiempos dt trayectoria curva, zadas por P en los tiempos t y t + dt.. Si la trayectoria es curva, las lneas puntos perpendicularmente trayecrectas que se extiendan desde esos puntos perpendicularmente a la trayecextiendan toria intersecarn como muestra. trayectoria toria se intersecarn como se muestra. La distancia p de la trayectoria al distancia punto donde intersecan llama radio punto donde esas dos lneas se intersecan se llama radio de curvatura inscurvatura tantneo trayectoria trayectoria circular, tantneo de la trayectoria (si la trayectoria es circular, p es simplemente simplemente el radio de ella). El ngulo dO es el cambio en el ngulo de la trayectoria, radio ngulo trayectoria, cambio ngulo ds M relacionada ds por y ds es la distancia recorrida entre t y t + M. . p est relacionada con ds por distancia recorrida entre ds = pde. ds = o d.roFigura 2.24 Figura 2.24lacurvatura instantneo. Radio de curvatura p instantneo.st d, n-de ria d.Dividiendo entre dt obtenemos Dividiendo entre dt obtenemos ds de ds de - v -v-p p dt dt dtUsando esta relacin, podemos escribir la Ec. (2.37) como Usando relacin, podemos escribir Ec. comoPara un valor dado de v, la componente normal de la aceleracin depende aceleracin depende Para valor dado u, componente normal curvatura instantneo. Cuanto mayor curvatura del radio de curvatura instantneo. Cuanto mayor es la curvatura de la radio http://carlos2524.jimdo.com/ 76. 58 58CAPTULO 2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO CAPTULO 2 MOVIMIENTO DE UN PUNTOtrayectoria, mayor es la componente normal de la aceleracin. Cuando la trayectoria, mayor es la componente normal de la aceleracin. Cuando la aceleracin se expresa de esta manera, el vector unitario en debe definirse aceleracin se expresa de esta manera, el vector unitario en debe definirse de manera que apunte hacia el lado cncavo de la trayectoria (Fig. 2.25). de manera que apunte hacia el lado cncavo de la trayectoria (Fig. 2.25). Figura 2.25 Figura 2.25 El vector unitario normal la trayectoria El vector unitario normal a la trayectoria apunta hacia lado cncavo de sta. apunta hacia el lado cncavo de sta.As, la velocidad y la aceleracin en componentes normal y tangencial velocidad aceleracin componentes normal tangencial son (Fig. 2.26) . - - - - - ------,1 'ds v = vet = -e, v = vel = -el, dt(2.38) (2.38) (2.39) (2.39)donde donde dv dvat=-, al = dt' dtde2 v2an = v - = - . n = v- =-. dt dt p(2.40) (2.40)Figura 2.26 2.26 Componentes normal y tangencial de la Componentes normal y tangencial de la velocidad (a) y la aceleracin (b). velocidad (a) y la aceleracin (b).Movimiento circular Si un punto P se mueve en una trayectoria circuMovimiento circular Si un punto P se mueve en una trayectoria circular de radio R (Fig. 2.27), la distancia s est relacionada con el ngulo (J por lar de radio R (Fig. 2.27), la distancia s est relacionada con el ngulo e por s = Re. s = Re.Trayectoria circular Trayectoria circularFigura 2.27 Figura 2.27 Punto movindose en una trayectoria circular. Punto movindose en una trayectoria circular.Rhttp://carlos2524.jimdo.com/o 77. 2.3 MOVIMIENTO C URViLNEO 2.3 MOVIMIENTO CURVILNEOaeEsta relacin significa que podemos especificar la posicin de P Esta relacin significa que podemos especificar la posicin de P a lo largo largo s (). Derivando respecto tiempo de la trayectoria circular por medio de s o (). Derivando respecto al tiempo trayectoria circular por medio esta ecuacin, obtenemos una relacin entre = ds/ dt la velocidad anguesta ecuacin, obtenemos una relacin entre v = ds/ dt y la velocidad angular lnea que va del centro trayectoria lar de la lnea que va del centro de la trayectoria a P:de= R= RJ. v = R - = R). dt dtTrayectoria Trayectoria circular(2.41) (2.41)Derivando Derivando de nuevo, obtenemos una relacin entre la componente tangennuevo, obtenemos una relacin entre la componente tangencial aceleracin a, dv dt aceleracin angular: dv / dt y la aceleracin angular: cial de la aceleracin atd) dJ at = R- = Ra. R - Ra. dt dtTrayectoria Trayectoria circularPara trayectoria circular, radio curvatura instantneo Para la trayectoria circular, el radio de curvatura instantneo p que componente normal de aceleracin lo que la componente normal de la aceleracin es Trayectoria Trayectoria circular(2.42) (2.42)= R, por = R, por(2.43) (2.43)Como problemas que implican movimiento circular son comunes, vale Como los problemas que implican movimiento circular son comunes, vale pena recordar estas expresiones. Tenga cuidado de usarlas slo cuanla pena recordar estas expresiones. Tenga cuidado de usarlas slo cuantrayectoria sea circular. do la trayectoria sea circular.Il-orLos siguientes ejemplos muestran uso Los siguientes ejemplos muestran el uso de las Ecs. (2.38) y (2.39) para Ecs. (2.38) (2.39) para analizar los movimientos curvilneos los cuerpos. Como las ecuaciones analizar los movimientos curvilneos de los cuerpos. Como las ecuaciones que relacionan componente tangencial de que relacionan s, v y la componente tangencial de la aceleracin, aceleracin,ds v= v= dt' dt' dv a-a t -- - ' dt dt' tienen una forma idntica ecuaciones que rigen movimiento tienen una forma idntica a la de las ecuaciones que rigen el movimiento un punto largo una lnea recta, de un punto a lo largo de una lnea recta, en algunos casos se pueden resolalgunos casos se pueden resolusando los mismos mtodos aplicables al movimiento en lnea recta. ver usando los mismos mtodos aplicables al movimiento en lnea recta.http://carlos2524.jimdo.com/59 78. 60 CAPTULO MOVIMIENTO DE UN PUNTO 60 CAPiTULO 22 MOVIMIENTO DE UN PUNTOEjemplo 2.8 Ejemplo 2.8 La motocicleta de la Fig. 2.28 parte del reposo en tt = Osobre una pista circular La motocicleta de la Fig. 2.28 parte del reposo en = O sobre una pista circular de 400 m de radio. La componente tangencial de su aceleracin es al = 2 + de 400 m de radio. La componente tangencial de su aceleracin es al = 2 + 0 .2t m/ s2 . En tt = 10 ss determine: (a) la distancia que ha recorrido a lo largo 0.2t rn/s-. En = 10 determine: (a) la distancia que ha recorrido a lo largo de la pista; (b) la magnitud de su aceleracin. de la pista; (b) la magnitud de su aceleracin.ESTRATEGIA ESTRATEGIA Sea s la distancia desde la posicin inicial O de la motocicleta a su posicin Sea s la distancia desde la posicin inicial O de la motocicleta a su posicin en el tiempo tt (Fig. a). Conociendo la aceleracin tangencial en funcin del en el tiempo (Fig. a). Conociendo la aceleracin tangencial en funcin del tiempo, podemos integrar para determinar u y s como funciones del tiempo. tiempo, podemos integrar para determinar v y s como funciones del tiempo.SOLUCiN SOLUCiN La aceleracin tangencial es (a) La aceleracin tangencial esFigura Figura 2.28dv dt= - = 2 + 0.2tal alIntegrando, Integrando ,1 [(22 1'(2mls mis2. .v1vdv = dv =+ 0.2t)dt , 0.2t) dt,obtenemos v en funcin del tiempo: obtenemos v en funcin del tiempo:Vds ds 2t O.lt mis. = - = 2t + O.lt2 mis. dt dtIntegrando esta ecuacin, Integrando esta ecuacin,1 l' s s1(a) La coordenada s mide la La coordenada mide la distancia a lo largo de la pista. distancia a lo largo de la pista.ds = ds =(2t (2t0.lt dt, + 0.lt2)2 ) dt,la coordenada en funcin del tiempo es la coordenada s en funcin del tiempo es 2 2s =t t s=En En tt0.1 0.1 + -tt33 m.. m 3 310 s, la distancia recorrida a lo largo de la pista es 10 s, la distancia recorrida a lo largo de la pista es 2 2s = (10) s = (10)(b) En tt (b) En0.1 + 3(10) 33 = 133.3 ID. + 0.1 3(10) = 133.3 m.10 s, la componente tangencial de la aceleracin es 10 s, la componente tangencial de la aceleracin es al= 2 + 0.2(10) = 4 mls2.Tambin debemos determinar la componente normal de la aceleracin. El radio Tambin debemos determinar la componente normal de la aceleracin. El radio de curvatura instantneo de la trayectoria es el radio de la pista circular, p de curvatura instantneo de la trayectoria es el radio de la pista circular, p 400 m. La magnitud de la velocidad en = 10 es 400 m. La magnitud de la velocidad en tt = 10 ss es= 2(10) + 0.1(10)2 = 30 mis. vv = 2(10) + 0.1(10)2 = 30 mis. Por tanto, Por tanto,http://carlos2524.jimdo.com/ 79. 2.3 MOVIMIENTO CURVILNEO 2.3 MOVIMIENTO CURViLNEO61 612 v2 (30)2 2 =- = - = an = - = -- - = 2.25 mis . p 400 pLa magnitud de la aceleracin en t = 10 s es magnitud aceleracin+ onEjemplo 2.9elUn satlite est en rbita circular de radio R alrededor de la Tierra. Cul es satlite rbita circular radio alrededor Tierra. Cul velocidad? su velocidad?ESTRATEGIA ESTRATEGIA La aceleracin debida a la gravedad a una distancia R del centro de la Tierra aceleracin debida gravedad distancia centro Tierra es gRV R2, donde RE es el radio de la Tierra. Usando esta expresin junto con gRV donde radio Tierra. Usando esta expresin junto la ecuacin para la aceleracin en trminos de sus componentes normal y tanecuacin para aceleracin trminos componentes normal tanpodemos obtener una ecuacin para velocidad satlite. gencial, podemos obtener una ecuacin para la velocidad del satlite.SOLUCiN SOLUCiN En componentes normal y tangencial (Fig. 2.29), la aceleracin del satlite es componentes normal tangencial aceleracin satlite dv a= -et+ dtv2 -en'Raceleracin gravedad hacia centro Esta expresin debe ser igual a la aceleracin de la gravedad hacia el centro expresin Tierra: de la Tierra: gR~ dv v2 gR~ -et+-en=-2-e. -e,+-en = -2 -e. RdtRComo componente et derecho, concluimos magnitud Como no hay componente e, en el lado derecho, concluimos que la magnitud velocidad satlite constante: de la velocidad del satlite es constante: dvdv.= O. - ,=0. dt Igualando componentes eny despejando obtenemos Igualando las componentes en y despejando v obtenemosvJg~~.= Jg~~.COMENTARIO COMENTARIO ioEn el Ej. 2.5 determinamos la velocidad de escape de un cuerpo que viaja en determinamos velocidad cuerpo viaja recta alejndose Tierra, distancia lnea recta alejndose de la Tierra, en trminos de su distancia inicial desde trminos centro Tierra. velocidad cuerpo una distancia el centro de la Tierra. La velocidad de escape de un cuerpo a una distancia centro Tierra, Vesc .J 2gR~/ R, velocidad R del centro de la Tierra, Vese = --J 2gR~/ R, es slo V2 veces la velocidad de cuerpo una rbita circular radio R. por posible un cuerpo en una rbita circular de radio R . Esto explica por qu fue posible empezar lanzar sondas otros planetas poco despus pusieron empezar a lanzar sondas a otros planetas poco despus de que se pusieron en rbita primeros satlites. rbita los primeros satlites.http://carlos2524.jimdo.com/Figura 2.29 Descripcin del movimiento del satlite movimiento Descripcin trminos componentes normal en trminos de las componentes normal y tangencial. tangencial. 80. 62 CAPTULO MOVIMIENTO DE UN PUNTO 62 CAPTULO 22 MOVIMIENTO DE UN PUNTO1.---------~----_i1 Ejemplo 2.10 h - - - - - - - - - - ---il Ejemplo 2.10 I _~____~____~J1 11....JIDurante un vuelo en que un helicptero parte del reposo en tt = O, las componenDurante un vuelo en que un helicptero parte del reposo en = O,las componentes cartesianas de su aceleracin son tes cartesianas de su aceleracin sonCules son las componentes normal y tangencial de su aceleracin y el radio Cules son las componentes normal y tangencial de su aceleracin y el radio de curvatura instantneo de su trayectoria en tt = 4 s? de curvatura instantneo de su trayectoria en = 4 s?ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos integrar las componentes cartesianas de la aceleracin para determiPodemos integrar las componentes cartesianas de la aceleracin para determinar las componentes cartesianas de la velocidad en tt = 4 s. El vector de velocinar las componentes cartesianas de la velocidad en = 4 s. El vector de velocidad es tangente a la trayectoria, por lo que el conocimiento de las componentes dad es tangente a la trayectoria, por lo que el conocimiento de las componentes cartesianas de la velocidad nos permite determinar el ngulo de la trayectoria. cartesianas de la velocidad nos permite determinar el ngulo de trayectoria.SOLUCiN SOLUCiN Figura 2.30 Figura 2.30Integrando las componentes de la aceleracin respecto al tiempo (vase el Ej. Integrando componentes aceleracin respecto 2.6), las componentes cartesianas de la velocidad son componentes cartesianas velocidady yvx0.3t = 0.3t22mis,vy l.8t 0.18t2 v y = 1.8t - 0.18t 2 mis. mi uy mi s. Por tanto, ngulo trayectoEn t = 4 s, Vx = 4.80 miss y vy = 4.32 mis. Por tanto, el ngulo de la trayectoria (Fig. a) es (J e = arctanL---------------x~-------------------------------x4.32) 4.32) --( -4.80 4.8042.0o = 42.0..Las componentes cartesianas aceleracin en Las componentes cartesianas de la aceleracin en t(a) Componentes cartesianas de la (a) Componentes cartesianas de lavelocidad y ngulo () de velocidad y ngulo () de la trayectoria. la trayectoria.4 s son sonay = l.8 - 0.36(4) = 0.36 mls22. ay = 1.8 - 0.36(4) = 0.36 mls . Calculando las componentes de esas aceleraciones en las direcciones tangencial Calculando las componentes de esas aceleraciones en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria (Fig. b), obtenemos al Y a : y normal a la trayectoria (Fig. b), obtenemos al Y ann : al al= (2.4) cos 42.0 + (0.36) sen 42.0 = 2.02 m/ s2 = (2.4) cos 42.0 + (0.36) sen 42.0 = 2.02 rri/s-, ,a = (2.4) sen 42.0 (0 .36) cos 42.0 = 1.34 m/s ann = (2.4) sen 42.0 -- (0.36) cos 42.0 = l.34 m/s-.2 .(b) Determinacin de las componentes (b) Determinacin de las componentestangencial y normal de la tangencial y normal de la aceleracin aa partir de las aceleracin partir de las componentes. cartesianas. componentes cartesianas.Para determinar el radio de curvatura instantneo de la trayectoria, usamos Para determinar el radio de curvatura instantneo de la trayectoria, usamos la relacin a = 2 2 / La magnitud de la velocidad en = 4 es la relacin ann = vulp.p. La magnitud de la velocidad en tt = 4 ss esJ + v; J (4 .8W + (4.32)2 6.46 mis, vv== Jv;v; + v; == J(4.8W + (4.32)2 == 6.46 mis, por lo que el valor de pp en tt = 44 ss es por lo que el valor de en = es 2 vv 2 (6.46)2 (6.46)2 = ---- - - = 3l.2m.ffi . = -= 31.2 aan l.34 1.34 nPP= -=http://carlos2524.jimdo.com/ 81. 2.3 MOVIMIENTO CURVILNEO 2.3 MOVIMIENTO CURViLNEO~~~~~~~~~~~~~~~ Problemas ~63 63____________________~____~n-2.96 La armadura de un motor elctrico gira a razn constan2_96 La armadura de un motor elctrico gira a razn constante. La magnitud de la velocidad del punto P respecto a O es te. La magnitud de la velocidad del punto P respecto a O es 4 mis. 4 mis. (a) Cules son las componentes normal y tangencial de la acele(a) Cules son las componentes normal y tangencial de la aceleracin de P respecto a O? racin de P respecto a O? (b) Cul es la velocidad angular de la armadura? (b) Cul es la velocidad angular de la armadura?2.99 2.99 Una lancha de motor parte del reposo y es conducida Una lancha de motor parte del reposo y es conducidaen una trayectoria circular de 40 pies de radio. La magnitud en una trayectoria circular de 40 pies de radio. La magnitud de su velocidad aumenta a una razn constante de 2 piel S2..'En de su velocidad aumenta a una razn constante de 2 pie/s 2 En trminos de las componentes normal y tangencial, determine: trminos de las componentes normal y tangencial, determine: (a) la velocidad en funcin del tiempo; (b) la aceleracin en fun(a) la velocidad en funcin del tiempo; (b) la aceleracin en funcin del tiempo. cin del tiempo.,/1-,///-- --------- -- - ---// /ies a./ / / /I I I I I I 1 I1I 1I1j. P2.96 P2.96, ,, ,-, ,.....--........ , --::--- 1, la para alejamiento rbita una hiprbola. rbita es una hiprbola. solucin hemos presentado, basada hiptesis La solucin que hemos presentado, basada en la hiptesis de que la Tierra una esfera homognea, rbita Tierra es una esfera homognea, da en forma aproximada la rbita de forma aproximada satlite terrestre. determinacin precisa rbita requiere tomar un satlite terrestre. La determinacin precisa de la rbita requiere tomar cuenta variaciones campo gravitatorio Tierra debido en cuenta las variaciones del campo gravitatorio de la Tierra debido a su distribucin masa. manera similar, dependiendo exactitud distribucin real de masa. De manera similar, dependiendo de la exactitud requerida, determinacin rbita planeta alrededor requerida, la determinacin de la rbita de un planeta alrededor del Sol puede requerir tomen cuenta perturbaciones debidas puede requerir que se tomen en cuenta las perturbaciones debidas a las atracciones gravitatorias otros planetas. atracciones gravitatorias de los otros planetas.http://carlos2524.jimdo.com/o ---- xP2.1692.170 piloto volar hacia una 2.170 En el Probo 2.169, si el piloto quiere volar hacia una ciudad noroeste posicin presente, ciudad al noroeste de su posicin presente, en qu direccin direccin dirigir magnitud velocidad debe dirigir el avin y cul ser la magnitud de su velocidad respecto a la Tierra? Tierra? respecto1 P2.165 P2.165http://carlos2524.jimdo.com/ 108. 90CAPTULO 2 MOVIMIENTODE UN PUNTO2.171 Un ro fluye hacia el norte a 3 mis (suponga que la corriente es uniforme). Si se quiere viajar en lnea recta del punto e al punto D en un bote que navega a una velocidad constante de 10 mis respecto al agua, en qu direccin debe apuntar el bote? Cunto tarda en efectuar el cruce?-,.---IInI3 mIsDI!400 ml e 500m,I ,) ),~2.174 El origen O del sistema coordenado sin giro que se muestra est en el centro de la Tierra y el eje y apunta hacia el norte. El satlite A sobre el eje x est en una rbita circular polar de radio R y su velocidad es vAj. Sea w la velocidad angular de la Tierra. Cul es la velocidad del satlite respecto al punto B sobre la Tierra directamente abajo del satlite?, ,s I I,II ,/ IIP2.1712.172 En el Probo 2.171, cul es la mnima velocidad del bote respecto al agua, necesaria para navegar del punto e al punto D?2.175 En el Probo 2.174, cul es la aceleracin del sateiite respecto al punto B sobre la Tierra directamente abajo del satlite?2.173 Una embarcacin navega hacia el norte con velocidad Vo respecto a la Tierra y luego hacia el este a la misma velocidad. La velocidad del viento es uniforme y constante. Un "registrador de rumbo" a bordo apunta en la direccin de la velocidad del viento respecto a la embarcacin. Cules son la direccin y la magnitud de la velocidad del viento respecto a la Tierra? (Obtenga la magnitud de la velocidad del viento en trminos de vo.)Registrador.~ de rumbos P2.173http://carlos2524.jimdo.com/ 109. 912.5 MOVIMIENTO RELATIVO 2.5 MOVIMIENTOjEjemplo con computador Ejemplo computadorCDCococecoco Dccaproblemas El siguidnte ejemplo y los problemas estn diseados para utilizar una calculadora siguiente ejemplo diseados para utilizar calculadora programable programable o un computador. computador.IlocaEjemplo 2.18 Con la flotacin considerada, la aceleracin hacia abajo de una bola de acero Con la flotacin considerada, la aceleracin hacia abajo de una bola de acero que cae en un cierto lquido es a = O.9g - ev, donde e es una constante proporque cae un cierto lquido O.9g donde una constante proporcional a la viscosidad del lquido. Para determinar la viscosidad, se libera la cional la viscosidad del lquido. Para determinar viscosidad, libera bola del reposo en la parte superior de un tanque de 2 m de profundidad. Si bola del reposo en la parte superior de un tanque profundidad. bola tarda en alcanzar fondo, cul valor de la bola tarda 2 s en alcanzar el fondo, cul es el valor de e?1Figura 2.50ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos obtener una ecuacin para e determinando en funcin del tiempo Podemos obtener una ecuacin para determinando funcin del tiempo la distancia que la bola cae. distancia que bola cae.SOLUCiN SOLUCiN Medimos la posicin s de la bola hacia abajo desde el punto en que se libera bola hacia abajo desde Medimos la posicin s de punto en que libera (Fig. tiempo inicial. (Fig. a) y hacemos que t = O sea el tiempo inicial. hacemos que = O sea La aceleracin La aceleracin esladv dt= - = O.9g = O.9g =s (a) La bola se libera del reposo en la La bola libera del reposo en superficie. superficie.ev.Separando variables integrando, Separando variables e integrando," 1"l'dv ..,.--::---= ..,.----- = dt, o O.9g evo' o O.9g - e v o obtenemos obtenemosds O.9g -ct O.9g =ct v=-=-(1-e v = - = - (1 - e ). dt e Integrando esta ecuacin con respecto tiempo, obtenemos la distancia que Integrando esta ecuacin con respecto al tiempo, obtenemos la distancia que bola ha cado desde que libera funcin del tiempo: la bola ha cado desde que se libera en funcin del tiempo:lsO.9g O.9g -2-(et -1 +e= -2- (et - 1 +e- ,CC ). ).eSabemos que s cuando Sabemos ques = 2 m cuando t resolver ecuacin resolver la ecuacin0.4 004de modo que para determinar requiere = 2 s, de modo que para determinar e se requiere0.2 f(c) f(c)f(e) f(e)(o.9)~.81) = (O.9)~.81) (2e -1+e-2c) e- 2c ) -2O. = O.e01----------""""'-::,------0 1----------==""""=- - - -0.2 -0.2 7No podemos resolver esta trascendente ecuacin forma cerrada para deNo podemos resolver esta trascendente ecuacin en forma cerrada para determinar e. Hay programas para resolver problemas, como Mathead y TK! Solterminar Hay programas para resolver problemas, como Mathead diseados para obtener races tales ecuaciones. Otro enfoque calcular ver, diseados para obtener races de tales ecuaciones. Otro enfoque es calcular valor def(e) para un intervalo de valores de graficar los resultados, como el valor def(e) para un intervalo de valores de e y graficar los resultados, como hicimos Fig. 2.51. De la grfica calculamos que = 8.3 hicimos en la Fig. 2.51. De la grfica calculamos que e = 8.3 S-l.http://carlos2524.jimdo.com/2.51 Figura 2.51 Grfica funcin f(e). Grfica de la funcin f(e).910 110. 92CAPTU LO 2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO CAPTULO MOVIMIENTO PUNTO....... - -""""l Problemas I-----'-~...... - -----""""'1 Problemas I--~---"" -2.176 Un ingeniero que analiza un proceso de maquinado proceso maquinado ingeniero analiza trabajo parte determina que de t = O a t = 4 s, la pieza de trabajo parte determina Oa del reposo y se mueve en lnea recta con aceleracin reposo recta aceleracin a= 2 +2.180 Un carpintero que trabaja en una casa pide a su ayutrabaja una 2.180 carpintero una manzana. manzana lanzada dante que le lance una manzana. La manzana es lanzada a dante valores manza32 pie/s. Cules dos valores de (jo permiten que la manzapie/s. Cules 80 permiten mano horizontal na caiga en la mano del carpintero, a 12 pies en la horizontal carpintero, 12pies punto y 12 pies en la vertical del punto desde donde se lanza? 12 vertical donde lanza? /-/(1.5 (J.5 -/tl.5 pie/s-. . tU pie/s 2/ /(a) Dibuje una grfica de la posicin de la pieza respecto posicin respecto Dibuje una grfica a su posicin en t = O para valores de 1 de t = O a t = 4 s. posicin = Opara valores t Oa (b) Calcule la velocidad mxima durante este intervalo de velocidad mxima durante Calcule intervalo tiempo tiempo tiempo y el tiempo en que ocurre. ocurre. 2.177 En el Probo 2.72, determine el intervalo de ngulos determine intervalo ngulos (j dentro del cual el pitcher debe lanzar la pelota para que pitcher pelota para 8 dentro lanzar por pase por la zona de slrike. zona strike. 2.178 Una catapulta diseada para arrojar un cable a barUna catapulta diseada para arrojar barcos en zozobra lanza un proyectil con velocidad inicial Vo proyectil velocidad zozobra lanza (l 0.4 (0), donde 80 ngulo sobre (1 - 004 sen (jo), donde (jo es el ngulo sobre la horizontal. horizontal. Determine 80 para distancia alcanzada Determine el valor de (jo para el cual la distancia alcanzada valor por el proyectil es mxima, y demuestre que la distancia mdistancia mpor proyectil mxima, demuestre v0 /g. xima es 0.559 vo22/g./ / / /I II II& P2.1802.181 Unamotocicetaparte 2.181 Una motocicleta parte del reposo en t = Oy se mueve largo compoa lo largo de una pista circular de 400 m de radio. La compouna pista circular radio. nente tangencial de su aceleracin es al = 2 + 0.21 rri/s-. aceleracin at 0.2t m/s 2 nente tangencial Cuando aceleracin total Cuando la magnitud de su aceleracin total es 6 rri/s",, la magnitud m/s 2 friccin puede mantenerlo friccin ya no puede mantenerlo en la pista circular y patina pista circular patina hacia afuera. Cunto tarda, desde el inicio, en empezar a empezar hacia afuera. Cunto tarda, patinar y a qu velocidad va entonces? entonces? patinar velocidadvo(l - 0.4 sen~ 004 sen~ vo(l~ ~ , Ll P2.178 P2.178Oun proyectil parte origen una 2.179 En t = O un proyectil parte del origen a una velocisobre mis horizontal. perfil dad inicial de 20 mis a 40 sobre la horizontal. El perfil de superficie la superficie del terreno sobre el que viaja puede aproximarse terreno sobre viaja puede aproximarse ecuacin 0.006x2, donde estn = O.4x con la ecuacin y = OAx - 0.006x2 , donde x y y estn en metros. Determine en forma aproximada las coordenadas forma aproximada coordenadas metros. Determine del punto en que toca el terreno. punto toca terreno. y 20 20 mIs y = OAx - 0.006x2 0.006x 2 y~~~------------------------------------~--~-------------------------------------x xP2.179 P2.179P2.181 P2.181http://carlos2524.jimdo.com/ 111. RESUMEN DEL CAPTULO2.182 En t = O, una bola de acero en un tanque de aceite recibe una velocidad horizontal v = 2i mis. Las componentes de su aceleracin son ax = -cvx' ay = -0.8g - cVy' az = -cvz' donde e es una constante. Cuando la bola toca el fondo del tanque, su posicin respecto a su posicin en t = O es r = 0.8i - j (m). Cul es el valor de e? y ..2.185 El robot de la figura est programado de manera que el punto P describa la trayectoria r = 1 - 0.5 cos 21ft m, (J = 0.5 - 0.2 sen[21f(t - 0.1)] rad.Determine los valores de r y (J en los que la magnitud de la velocidad de P alcanza su valor mximo ."...~ F