Mecanica de Suelos (Problemas Resueltos (Edicions Upc)

5/11/2018 Mecanica de Suelos (Problemas Resueltos (Edicions Upc) - slidepdf.com

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MECÁNICA DE SUELOSPublished byATARAXIAINC111 III World StreetHoboken, NJ 07030-5774

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10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

2O/QW/RQ/QU/IN



%

P r ó l o g o

Prólogo

E s t a p u b l i c a c i ó n c o n t i e n e u n a c o l e c c i ó n d e p r o b l e m a s r e s u e l t o s d e M e c á n i c a d e S u e l o s . E s t o s p r o b l e m a s h a n

s i d o p r o p u e s t o s e n l o s ú l t i m o s a ñ o s e n l o s e s t u d i o s d e I n g e n i e r í a T é c n i c a d e O b r a s P ú b l i c a s d e l a U P C

( p r i m e r c u a t r i m e s t r e d e l a a s i g n a t u r a d e G e o t e c n i a d e 2 c u r s o ) p a r a s u r e s o l u c i ó n p o r p a r t e d e l o s a l u m n o s .

o

L a c o l e c c i ó n n o c o i n c i d e e x a c t a m e n t e c o n l a u t i l i z a d a e n l a a c t u a l i d a d e n d i c h a a s i g n a t u r a y a q u e , e n

p a r t i c u l a r , s e p r o p o r c i o n a n a l o s a l u m n o s n u e v o s e n u n c i a d o s p r o c e d e n t e s f u n d a m e n t a l m e n t e d e e x á m e n e s

q u e , e n s u m a y o r í a , s e h a n r e s u e l t o e n s e m i n a r i o s e s p e c í f i c o s .

D u r a n t e l o s p r i m e r o s a ñ o s e n q u e s e i m p a r t i ó l a a s i g n a t u r a , l o s p r o b l e m a s p r o p u e s t o s s e d e s a r r o l l a b a n e n

c l a s e p e r o n o s e d i s p o n í a d e s u r e s o l u c i ó n p o r e s c r i t o . P o s t e r i o r m e n t e , y a s o l i c i t u d d e l o s a l u m n o s , s e f u e

p r e p a r a n d o u n b o r r a d o r d e l a s r e s o l u c i o n e s q u e , p r o g r e s i v a m e n t e m e j o r a d a s e n c o n t e n i d o y f o r m a t o , h a d a d o

l u g a r a e s t a p u b l i c a c i ó n . L a n e c e s i d a d d e f i n a l i z a r l a e n u n t i e m p o r a z o n a b l e h a i m p e d i d o q u e s e p u d i e s e

a c t u a l i z a r t o t a l m e n t e l a c o l e c c i ó n , e n e s p e c i a l e n l o r e l a t i v o a p r o b l e m a s d e e x a m e n r e s u e l t o s e n s e m i n a r i o s .

L a c o l e c c i ó n n o h a s i d o c o n c e b i d a d i r e c t a m e n t e p a r a s u p u b l i c a c i ó n s i n o q u e s e a d a p t a a l a m a t e r i a i m p a r t i d a

e n l a a s i g n a t u r a . P o r o t r o l a d o , d e b i d o a q u e d i c h a t i t u l a c i ó n e s d e p r i m e r c i c l o , e l e n f o q u e d e l o s p r o b l e m a s

i n t e n t a c e n t r a r s e e n a s p e c t o s d e c o n c e p t o y n o e x c e s i v a m e n t e e l a b o r a d o s , s i n h a c e r m u c h o u s o d e d e s a r r o l l o s

m a t e m á t i c o s .

R e s p e c t o a s u c o n t e n i d o , e n e l p r i m e r c a p í t u l o s e r e c o g e n p r o b l e m a s r e l a t i v o s a p r o p i e d a d e s b á s i c a s d e l o s

s u e l o s . S o b r e t o d o s e h a c e e s p e c i a l é n f a s i s e n a s p e c t o s r e l a c i o n a d o s c o n l a s d i s t i n t a s v a r i a b l e s q u e

c a r a c t e r i z a n l a p o r o s i d a d y c o n t e n i d o d e a g u a e n s u e l o s . P o r o t r o l a d o , e l c o n t e n i d o d e e s t e c a p í t u l o e s t á

r e l a c i o n a d o e n a l g u n o s a s p e c t o s c o n l a s p r á c t i c a s d e l a b o r a t o r i o q u e s e r e a l i z a n e n l a a s i g n a t u r a , d o n d e s e

p r e c i s a n r e l a c i o n e s d e l t i p o d e l a s q u e s e d e r i v a n e n a l g u n o s c a s o s . T a m b i é n s e i n c l u y e n d o s p r o b l e m a s

r e l a c i o n a d o s c o n g r a n u l o m e t r í a d e s u e l o s y d o s m á s c o n l í m i t e s d e A t t e r b e r g y c l a s i f i c a c i ó n d e s u e l o s ,

r e s p e c t i v a m e n t e .

E n e l s e g u n d o c a p í t u l o s e i n c l u y e n p r o b l e m a s r e l a c i o n a d o s c o n a l g u n o s a s p e c t o s b á s i c o s d e l a m e c á n i c a d e

m e d i o s p o r o s o s c o n t i n u o s , e s p e c i a l m e n t e e s t a d o s t e n s i o n a l e s y d e f o r m a c i o n a l e s ( c í r c u l o s d e M o h r ) , m u y

u t i l i z a d o s c o n p o s t e r i o r i d a d , y t e n s i o n e s e f e c t i v a s .

E l t e r c e r c a p í t u l o s e d e d i c a a p r o b l e m a s r e l a c i o n a d o s c o n f l u j o d e a g u a e n m e d i o p o r o s o i n d e f o r m a b l e . E n

© los autores, 1998; © E dicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de l os titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas elas leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución deejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, así como la exportación e importación de ejemplares para su distribución y venta fuera del ámbito de la UniónEuropea.



&

M e c á n i c a d e S u e l o s . P r o b l e m a s r e s u e l t o s

p r i m e r l u g a r s e i n c l u y e n p r o b l e m a s e n c o n d i c i o n e s u n i d i m e n s i o n a l e s i n c l u y e n d o c a s o s d e s i f o n a m i e n t o . E n

s e g u n d o l u g a r s e i n c l u y e n t a m b i é n a l g u n o s p r o b l e m a s e n c o n d i c i o n e s b i d i m e n s i o n a l e s . E n a m b o s c a s o s s e

h a n p l a n t e a d o s o l a m e n t e p r o b l e m a s e n r é g i m e n e s t a c i o n a r i o .

E n e l c u a r t o c a p í t u l o s e i n c l u y e n p r o b l e m a s d e c o n s o l i d a c i ó n e n s u e l o s s a t u r a d o s . S e r e c o g e n p r o b l e m a s e n

c o n d i c i o n e s u n i d i m e n s i o n a l e s e n l o s q u e s e c o m b i n a n d i f e r e n t e s s o l i c i t a c i o n e s ( t e r r a p l e n e s y b o m b e o s ) y

t a m b i é n s e o b t i e n e n s o l u c i o n e s i n c o r p o r a n d o d r e n e s v e r t i c a l e s p a r a a c e l e r a r e l p r o c e s o t r a n s i t o r i o d e

c o n s o l i d a c i ó n . E l ú l t i m o p r o b l e m a d e e s t e c a p í t u l o s e d e d i c a a l a d e t e r m i n a c i ó n d e p a r á m e t r o s a p a r t i r d e

r e s u l t a d o s d e u n e n s a y o e d o m é t r i c o .

F i n a l m e n t e , e l c a p í t u l o q u i n t o s e d e d i c a a p r o b l e m a s d e r e s i s t e n c i a d e s u e l o s s a t u r a d o s , t a n t o e n c o n d i c i o n e s

d r e n a d a s c o m o e n c o n d i c i o n e s n o d r e n a d a s . E n e s t o s p r o b l e m a s l a c o n d i c i ó n d e r o t u r a s e r e p r e s e n t a m e d i a n t e

e l c r i t e r i o d e M o h r - C o u l o m b . S e p r e s t a a t e n c i ó n a l a d e t e r m i n a c i ó n d e l a r e s i s t e n c i a a l c o r t e s i n d r e n a j e a

p a r t i r d e e n s a y o s t r i a x i a l e s y a l a g e n e r a c i ó n d e p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s e n e n s a y o s n o d r e n a d o s a s í c o m o a

l a r e p r e s e n t a c i ó n d e t r a y e c t o r i a s t e n s i o n a l e s .

L o s a u t o r e s e s p e r a n q u e e s t a p u b l i c a c i ó n r e s u l t e d e i n t e r é s n o s ó l o p a r a l o s a l u m n o s d e l a a s i g n a t u r a d e

G e o t e c n i a d e I n g e n i e r í a T é c n i c a d e O b r a s P ú b l i c a s d e l a U P C , s i n o t a m b i é n p a r a t o d a s a q u e l l a s p e r s o n a s

i n t e r e s a d a s e n e l t e m a .

B a r c e l o n a , m a y o d e 1 9 9 7

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.



'

Í n d i c e

Índice

1 . P r o p i e d a d e s b á s i c a s d e l o s s u e l o s . I d e n t i f i c a c i ó n y c l a s i f i c a c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

2 . T e n s i o n e s y d e f o r m a c i o n e s . T e n s i ó n e f e c t i v a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

3 . F l u j o d e a g u a e n s u e l o s a t u r a d o i n d e f o r m a b l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7

4 . C o n s o l i d a c i ó n d e s u e l o s s a t u r a d o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3

5 . R e s i s t e n c i a d e s u e l o s s a t u r a d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7




w

1 5 0 g r

7 5 0 g r

0 . 2 ( 2 0 % )

P r o p i e d a d e s b á s i c a s d e l o s s u e l o s

Capítulo 1. Propiedades básicas de los suelos. Identificación y

clasificación

P R O B L E M A 1 .

U n a m u e s t r a d e s u e l o s a t u r a d o , q u e t i e n e u n p e s o d e 9 0 0 g r , s e c o l o c a e n e s t u f a a 1 0 0 º C d u r a n t e 2 4

h o r a s , t r a s l o c u a l p e s a 7 5 0 g r . O b t e n e r s u h u m e d a d n a t u r a l , s u í n d i c e d e p o r o s , s u p o r o s i d a d , s u

d e n s i d a d n a t u r a l y s u d e n s i d a d s e c a (

= 2 . 7 g r / c m ) .

I

!

F i g u r a 1 . 1 D i s t r i b u c i ó n d e l a s f a s e s e n e l s u e l o

L a o b t e n c i ó n d e p a r á m e t r o s c a r a c t e r í s t i c o s d e u n s u e l o t a l e s c o m o s u í n d i c e d e p o r o s , s u h u m e d a d y s u s

d i s t i n t a s d e n s i d a d e s , s e r e a l i z a a p a r t i r d e l a m e d i d a e n l a b o r a t o r i o d e l p e s o e n d i f e r e n t e s c o n d i c i o n e s

( p . e . s u e l o n a t u r a l , s u e l o s e c o ) y a p l i c a n d o l a d e f i n i c i ó n d e d i c h o s p a r á m e t r o s .

H u m e d a d . S e d e f i n e c o m o p e s o d e a g u a r e l a t i v o a l p e s o d e l s ó l i d o ( w = W / W ) . E l p e s o d e a g u a ( W )

M I M

p u e d e c a l c u l a r s e p o r d i f e r e n c i a c o m o W = W - W = 9 0 0 - 7 5 0 = 1 5 0 g r y , p o r t a n t o , l a h u m e d a d

M J I

r e s u l t a n t e e s :

Í n d i c e d e p o r o s . S e d e f i n e c o m o v o l u m e n d e h u e c o s r e l a t i v o a l v o l u m e n d e s ó l i d o ( e = V / V ) . D a d o q u e ,

D I

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidasen las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y ladistribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, así como la exportación e importación de ejemplares para su distribución y venta fuera delámbito de la Unión Euro ea.



V

w

W

w

w

1 5 0 g r

1 . 0 g r / c m

!

1 5 0 . 0 c m

!

V

s

W

s

s

7 5 0 g r

2 . 7 g r / c m

!

2 7 7 . 7 8 c m

!

e

1 5 0 c m

!

2 7 7 . 7 8 c m

!

0 . 5 4

n

1 5 0

4 2 7 . 7 8

0 . 3 5 ( 3 5 % )

n

V

h

V

t

V

h

V

h

V

s

V

h

/ V

s

( V

s

V

h

) / V

s

e

1

e

e

n

n

n

9 0 0 g r

4 2 7 . 7 8 c m

!

2 . 1 0 g r / c m

!

d

7 5 0 g r

4 2 7 . 7 8 c m

!

1 . 7 5 g r / c m

!


e n e s t e c a s o , e l s u e l o s e e n c u e n t r a s a t u r a d o ( S = 1 ) , s e t i e n e V = V ( v o l u m e n d e h u e c o s i g u a l a v o l u m e n

r h w

d e a g u a ) . D i c h o s v o l ú m e n e s s e o b t i e n e n m e d i a n t e l a s e x p r e s i o n e s :

d o n d e s e h a s u p u e s t o u n a d e n s i d a d d e 2 . 7 g r / c m p a r a l a s p a r t í c u l a s s ó l i d a s . U n a v e z d e t e r m i n a d o s l o s

!

v o l ú m e n e s d e h u e c o s ( a g u a ) y s ó l i d o , s e c a l c u l a e l í n d i c e d e p o r o s c o m o c o c i e n t e e n t r e e l v o l u m e n d e

h u e c o s y e l v o l u m e n d e s ó l i d o :

P o r o s i d a d . S e d e f i n e c o m o v o l u m e n d e h u e c o s r e l a t i v o a l v o l u m e n t o t a l ( n = V / V ) . E l v o l u m e n t o t a l

h t

s e o b t i e n e c o m o V = V + V = 1 5 0 + 2 7 7 . 7 8 = 4 2 7 . 7 8 c m . C o n e l l o s e o b t i e n e u n a p o r o s i d a d d e :

t w s

!

L a p o r o s i d a d ( n ) s e p u e d e c a l c u l a r e n f u n c i ó n d e l í n d i c e d e p o r o s ( e ) . A m b a s v a r i a b l e s e v a l ú a n l a m i s m a

p r o p i e d a d d e l s u e l o ( e l v o l u m e n r e l a t i v o d e h u e c o s ) y p o r t a n t o , p u e d e n u s a r s e i n d i s t i n t a m e n t e , a u n q u e

s u s v a l o r e s n o c o i n c i d e n . S i n e m b a r g o , e n G e o t e c n i a , s o b r e t o d o e n t e m a s r e l a c i o n a d o s c o n e l

c o m p o r t a m i e n t o m e c á n i c o , e s m á s c o n v e n i e n t e l a u t i l i z a c i ó n d e l í n d i c e d e p o r o s , m i e n t r a s q u e e n

H i d r o g e o l o g í a , s e t r a b a j a u s u a l m e n t e c o n l a p o r o s i d a d . E l í n d i c e d e p o r o s e s r e l a t i v o a l v o l u m e n d e

s ó l i d o , l o q u e f a c i l i t a e l c á l c u l o d e s u s v a r i a c i o n e s a l p r o d u c i r s e c a m b i o s d e v o l u m e n d e l s u e l o . S i n

e m b a r g o , e s m á s c ó m o d o r e f e r i r s e a l a p o r o s i d a d p a r a c a l c u l a r e l v o l u m e n d e a g u a a l m a c e n a d o e n u n

v o l u m e n d e m e d i o . L a e q u i v a l e n c i a e n t r e p o r o s i d a d e í n d i c e d e p o r o s s e o b t i e n e c o m o :

a n á l o g a m e n t e , s e p u e d e d e s p e j a r e e n f u n c i ó n d e n :

D e n s i d a d n a t u r a l . S e d e f i n e c o m o p e s o t o t a l r e l a t i v o a l v o l u m e n t o t a l (

= W / V ) . S i s e a p l i c a n l o s

n t t

v a l o r e s d e e s t e p r o b l e m a r e s u l t a :

D e n s i d a d s e c a . S e d e f i n e c o m o p e s o d e s ó l i d o r e l a t i v o a l v o l u m e n t o t a l (

= W / V ) . S i s e u s a n l o s

d s t

v a l o r e s d e e s t e p r o b l e m a r e s u l t a :

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _




w

W

M

W

I

M

e S

H

I

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V

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M

W

I

V

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M

V

I

I

V

I

V

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M

w

I

!


P R O B L E M A 2 .

U n s u e l o n a t u r a l t i e n e u n a h u m e d a d d e l 1 5 % , u n g r a d o d e s a t u r a c i ó n d e 0 . 6 y u n p e s o e s p e c í f i c o d e l a s

p a r t í c u l a s s ó l i d a s d e 2 . 6 g r / c m . O b t e n e r s u í n d i c e d e p o r o s .

!

E l í n d i c e d e p o r o s s e d e f i n e c o m o e l c o c i e n t e e n t r e e l v o l u m e n d e h u e c o s y e l v o l u m e n d e s ó l i d o ( e = V

h

/ V ) . P a r a r e l a c i o n a r l o s p a r á m e t r o s c a r a c t e r í s t i c o s d e u n s u e l o ( n , e , S , w ,

,

,

) e n t r e s í p u e d e

s r s n d

h a c e r s e a p a r t i r d e s u s d e f i n i c i o n e s , o b i e n u t i l i z a n d o e l d i a g r a m a u n i t a r i o . S i b i e n é s t e ú l t i m o t a m b i é n

u t i l i z a l a s d e f i n i c i o n e s d e e s t a s v a r i a b l e s , d e u n a f o r m a g r á f i c a c o n d e n s a t o d a l a i n f o r m a c i ó n . E l d i a g r a m a

u n i t a r i o ( F i g . 2 . 1 ) d e s c r i b e l a s r e l a c i o n e s v o l u m é t r i c a s y d e p e s o d e u n s u e l o e n e l q u e s e c o n s i d e r a

u n i t a r i o e l v o l u m e n d e s ó l i d o s ( e n e l c a s o q u e s e u t i l i c e e l í n d i c e d e p o r o s c o m o m e d i d a d e l v o l u m e n d e

h u e c o s ) o e l v o l u m e n t o t a l ( e n e l c a s o q u e s e u t i l i c e l a p o r o s i d a d c o m o m e d i d a d e l v o l u m e n d e h u e c o s ) .

F i g u r a 2 . 1 D i a g r a m a u n i t a r i o

D e l d i a g r a m a u n i t a r i o ( F i g . 2 . 1 ) s e p u e d e n o b t e n e r l a s r e l a c i o n e s e n t r e v a r i a b l e s . E n e s t e c a s o , e l v a l o r

d e w e n f u n c i ó n d e

, S y e e s i n m e d i a t o y a q u e l a h u m e d a d e s e q u i v a l e n t e a :

s r

A l a m i s m a e x p r e s i ó n s e l l e g a a l p l a n t e a r l a s d e f i n i c i o n e s d e c a d a u n a d e l a s v a r i a b l e s t a l c o m o s e

m u e s t r a a c o n t i n u a c i ó n .

G r a d o d e s a t u r a c i ó n :

H u m e d a d :




e

V

h

V

s

V

w

/ S

r

( V

w

w

) / ( w

s

)

s

w

S

r

w

w

W

w

W

s

w

e S

r

s

e

2 . 6 g r / c m

!

0 . 1 5

1 g r / c m

!

0 . 6

0 . 6 5

n

e

e

e

V

h

V

s

s

w

S

r

w

2 . 6 5 × 1 . 1 5

1 . 0 × 1 . 0

3 . 0 5

n

L

e

L

1

e

L

3 . 0 5

1

3 . 0 5

0 . 7 5

"


Í n d i c e d e p o r o s :

S i f i n a l m e n t e s e d e s p e j a l a h u m e d a d s e l l e g a d e n u e v o a l m i s m o r e s u l t a d o , e s d e c i r :

E n d e f i n i t i v a , c o n o c i e n d o d o s p a r á m e t r o s ( e y S , e y w o S y w ) , e l p e s o e s p e c í f i c o d e l a s p a r t í c u l a s

r r

s ó l i d a s ( ) y e l p e s o e s p e c í f i c o d e l f l u i d o (

) , p u e d e o b t e n e r s e e l p a r á m e t r o r e s t a n t e . E n g e n e r a l n o h a y

s w

p r o b l e m a e n c o n o c e r e l p e s o e s p e c í f i c o d e l f l u i d o , q u e s u e l e s e r a g u a :

= 1 g r / c m . E n e s t e p r o b l e m a

w

!

s e t i e n e , p o r t a n t o :

E l v a l o r d e l p e s o e s p e c í f i c o d e l a s p a r t í c u l a s s ó l i d a s (

) v a r í a p o c o h a b i t u a l m e n t e y e n g e n e r a l p o d r á

s

t o m a r s e u n v a l o r a p r o x i m a d o ( a l r e d e d o r d e 2 . 7 ) s i n o s e c o n o c e c o n e x a c t i t u d o n o s e h a m e d i d o .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 3 .

S e d i s p o n e d e u n s u e l o c o n u n í n d i c e p l á s t i c o d e l 4 0 % y u n l í m i t e p l á s t i c o d e l 7 5 % . S u p o n i e n d o u n p e s o

e s p e c í f i c o d e l a s p a r t í c u l a s s ó l i d a s d e 2 . 6 5 g r / c m , c a l c u l a r e l í n d i c e d e p o r o s y l a p o r o s i d a d

!

c o r r e s p o n d i e n t e s a s u e s t a d o e n e l l í m i t e l í q u i d o .

C o n a n t e r i o r i d a d ( P r o b l e m a 1 ) s e h a v i s t o q u e e x i s t e u n a e x p r e s i ó n q u e r e l a c i o n a l a p o r o s i d a d c o n e l

í n d i c e d e p o r o s d e f o r m a ú n i c a . C o n o c i d o c u a l q u i e r a d e e l l o s s e d e t e r m i n a i n m e d i a t a m e n t e e l o t r o :

L a d e f i n i c i ó n d e l í n d i c e p l á s t i c o e s I P = w - w ( e s d e c i r , d i f e r e n c i a e n t r e h u m e d a d e n e l l í m i t e l í q u i d o

L P

y h u m e d a d e n e l l í m i t e p l á s t i c o ) . P o r e l l o , w = I P + w = 4 0 % + 7 5 % = 1 1 5 % . S e c o n o c e

y w y s e

L P s L

d e s e a c a l c u l a r e . S e p r e c i s a e n e s t e c a s o d e u n a v a r i a b l e a d i c i o n a l , p o r l o q u e p u e d e s u p o n e r s e q u e e n

L

e l l í m i t e l í q u i d o , a l s e r e l c o n t e n i d o d e a g u a m u y a l t o , e l s u e l o e s t á s a t u r a d o . D e l a e x p r e s i ó n q u e r e l a c i o n a

í n d i c e d e p o r o s c o n h u m e d a d y g r a d o d e s a t u r a c i ó n ( P r o b l e m a 2 ) r e s u l t a :

P o r ú l t i m o , a p a r t i r d e l a r e l a c i ó n e n t r e p o r o s i d a d e í n d i c e d e p o r o s s e o b t i e n e :

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _




V

t

*

*

D

4

h

*

*

6

4

2 . 5 7 0 . 6 8 6 c m

!

n

W

t

V

t

8 0

7 0 . 6 8 6

1 . 1 3 g r / c m

!

n

W

t

V

t

W

w

W

s

V

t

w

e S

r

s

1

e

n

w

s

s

1

e

s

1

w

1

e

#


P R O B L E M A 4 .

S e d i s p o n e e n e l l a b o r a t o r i o d e u n a m u e s t r a d e 6 0 m m d e d i á m e t r o y 2 5 m m d e a l t u r a , c o n u n p e s o d e

8 0 g r . L a h u m e d a d d e l a m u e s t r a e s d e l 1 4 % . D e t e r m i n a r e l g r a d o d e s a t u r a c i ó n , e l p e s o e s p e c í f i c o s e c o ,

e l p e s o e s p e c í f i c o n a t u r a l , e l p e s o e s p e c í f i c o s a t u r a d o y e l p e s o e s p e c í f i c o s u m e r g i d o (

= 2 . 7 g r / c m ) .

s

!


C o n l o s d a t o s d e l p r o b l e m a , d e b e n c a l c u l a r s e : S ,

,

,

y

. P a r a d e t e r m i n a r e l p e s o e s p e c í f i c o

r d n s a t s u m

n a t u r a l , e s p r e c i s o c o n o c e r e l v o l u m e n t o t a l :

y a p l i c a n d o l a d e f i n i c i ó n d e p e s o e s p e c í f i c o n a t u r a l :

D i r e c t a m e n t e d e l a s d e f i n i c i o n e s , o b i e n d e l d i a g r a m a u n i t a r i o ( F i g . 4 . 1 ) , s e p u e d e o b t e n e r :

d o n d e s e h a u s a d o W = W + W = e S

+

y V = 1 + e , q u e s o n l o s p e s o s y v o l ú m e n e s e n e l c a s o e n

t w s r t

M I

q u e V = 1 ( v e r d i a g r a m a u n i t a r i o , F i g . 4 . 1 ) .

s

I n t r o d u c i e n d o l a r e l a c i ó n o b t e n i d a e n e l P r o b l e m a 2 r e s u l t a :

D e l a ú l t i m a e x p r e s i ó n o b t e n i d a e s p o s i b l e d e s p e j a r e l í n d i c e d e p o r o s e n f u n c i ó n d e l a h u m e d a d y e l p e s o

e s p e c í f i c o n a t u r a l :




e

s

n

( 1

w )

1

e

2 . 7

1 . 1 3

( 1 0 . 1 4 ) 1 1 . 7 2

S

r

w

s

e

w

0 . 1 4 × 2 . 7

1 . 7 2 × 1

0 . 2 2

d

s

1

e

d

2 . 7 g r / c m

!

1

1 . 7 2

0 . 9 9 g r / c m

!

s a t

s

w

e

1

e

s a t

2 . 7 g r / c m

!

1 g r / c m

!

1 . 7 2

1

1 . 7 2

1 . 6 2 g r / c m

!

s u m

s

w

e

1

e

w

s

w

1

e

s u m

2 . 7

1

1

1 . 7 2

0 . 6 2 g r / c m

!

$


S u s t i t u y e n d o l o s v a l o r e s c o r r e s p o n d i e n t e s a e s t e p r o b l e m a s e o b t i e n e :

P o r ú l t i m o , e l g r a d o d e s a t u r a c i ó n p u e d e o b t e n e r s e c o m o :

E l c á l c u l o d e l p e s o e s p e c í f i c o s e c o (

) s e r e a l i z a a p a r t i r d e s u d e f i n i c i ó n ,

= W / V y d e l o s v a l o r e s

d d s t

e n e l d i a g r a m a u n i t a r i o d e W = y d e V = 1 + e ( F i g . 4 . 1 ) :

s s t

A l s u s t i t u i r p o r l o s v a l o r e s d e l p r o b l e m a r e s u l t a :

P o r o t r o l a d o , e l p e s o e s p e c í f i c o s a t u r a d o (

) p u e d e o b t e n e r s e c o m o u n c a s o p a r t i c u l a r p a r a s u e l o

s a t

s a t u r a d o , e s d e c i r :

E s d e c i r , b a s t a t o m a r S = 1 e n l a d e f i n i c i ó n d e

. S u b s t i t u y e n d o c o n l o s v a l o r e s d e l p r o b l e m a r e s u l t a :

r n

A s i m i s m o , p a r a e l p e s o e s p e c í f i c o s u m e r g i d o ,

, d e s u d e f i n i c i ó n ,

=

-

= 1 . 6 2 - 1 = 0 . 6 2

s u m

s u m s a t w

g r / c m ; o b i e n , s u b s t i t u y e n d o

e n l a d e f i n i c i ó n d e

p o r s u v a l o r e n f u n c i ó n e :

!

s a t s u m

D e l a q u e s e o b t i e n e f i n a l m e n t e :

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _




W

s u m

W

t

W

w

s a t

V

t

w

V

t

s a t

w

V

t

s u m

W

s u m

V

t

s a t

w

e

n

1

n

d

s

1

e

s a t

s

w

e

1

e

s

d

1

2 . 7

1 . 7 5

1

0 . 5 4

s a t

2 . 7 0 . 5 4

1

0 . 5 4

2 . 1 t / m

!

s u m

2 . 1

1

1 . 1 t /

e

0 . 5 3

1 0 . 5 3

1 . 1 2 5

s a t

2 . 7

1 . 1 2 5

1 1 . 1 2 5

1 . 8 t / m

!

s u m

1 . 8 1 0 . 8 t / m

!

s a t

2 . 7

1 . 4 3

1

1 . 4 3

1 . 7 t / m

!

s u m

1 . 7

1

0 . 7 t / m

!

%


P R O B L E M A 5 .

C a l c u l a r e l p e s o e s p e c í f i c o s u m e r g i d o d e l a s m u e s t r a s s a t u r a d a s s i g u i e n t e s (

= 2 . 7 g r / c m ) : a ) s u e l o c o n

s

!

u n a d e n s i d a d s e c a d e 1 . 7 5 t / m ; b ) s u e l o c o n u n a p o r o s i d a d d e 0 . 5 3 ; c ) s u e l o c o n u n í n d i c e d e p o r o s d e

!

1 . 4 3 .

D e s u p r o p i a d e f i n i c i ó n ,

, e s e l p e s o e s p e c í f i c o q u e a p a r e n t a t e n e r e l s u e l o c u a n d o s e e n c u e n t r a

s u m

s u m e r g i d o e n a g u a . S e g ú n e l p r i n c i p i o d e A r q u í m e d e s , u n c u e r p o s u m e r g i d o e n u n l í q u i d o r e c i b e u n

e m p u j e v e r t i c a l h a c i a a r r i b a i g u a l a l p e s o d e l v o l u m e n d e l l í q u i d o d e s a l o j a d o , e s d e c i r :

P o r t a n t o , e l p e s o e s p e c í f i c o s u m e r g i d o p u e d e o b t e n e r s e c o m o :

D e l o s p r o b l e m a s a n t e r i o r m e n t e r e s u e l t o s , r e s u l t a n l a s s i g u i e n t e s e x p r e s i o n e s q u e p e r m i t e n e l c á l c u l o d e l

p e s o e s p e c í f i c o s u m e r g i d o e n f u n c i ó n d e l í n d i c e d e p o r o s , l a p o r o s i d a d l a d e n s i d a d s e c a :

P a r a l o s d a t o s d e e s t e p r o b l e m a r e s u l t a :

a )

b )

c )

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 6 .

E n c o n t r a r u n a e x p r e s i ó n q u e r e l a c i o n e l a d e n s i d a d s e c a d e u n s u e l o c o n s u g r a d o d e s a t u r a c i ó n , s u

h u m e d a d n a t u r a l y e l p e s o e s p e c í f i c o d e l a s p a r t í c u l a s s ó l i d a s . P a r a u n s u e l o c o n u n p e s o e s p e c í f i c o d e

l a s p a r t í c u l a s s ó l i d a s d e 2 . 7 g r / c m d i b u j a r e n u n p l a n o ( w ,

) l a s c u r v a s q u e s e o b t i e n e n p a r a g r a d o s

!

d

d e s a t u r a c i ó n d e l 2 0 , 6 0 , 8 0 y 1 0 0 % .




w

W

M

W

I

V

M

M

V

I

I

S

H

V

M

V

D

I

W

I

V

I

@

W

I

V

J

W

I

V

D

V

I

@

I

V

I

V

D

V

I

@

I

V

I

V

M

/ S

H

V

I

@

I

V

I

( w V

I

I

) / ( S

H

M

)

V

I

@

I

( w

I

) / ( S

H

M

)

1

I

S

H

M

w

I

S

H

M

@

2 . 7

1

2 . 7 w / S

H

d

@

d w

2 . 7

/ S

H

1 2 . 7 w / S

H

&


S e p r e t e n d e o b t e n e r u n a e x p r e s i ó n q u e r e l a c i o n e

c o n S , w ,

. L a d e f i n i c i ó n d e p e s o e s p e c í f i c o s e c o

@ H I

e s :

= W / V . L a s d e f i n i c i o n e s d e l o s p a r á m e t r o s q u e s e c o n o c e n , h u m e d a d , g r a d o d e s a t u r a c i ó n y p e s o

@ I J

e s p e c í f i c o d e l s ó l i d o , s o n :

C o m b i n a n d o e s t a s r e l a c i o n e s c o n l a d e f i n i c i ó n d e p e s o e s p e c í f i c o s e c o s e p o d r á o b t e n e r l a e x p r e s i ó n q u e

l a s r e l a c i o n a e n t r e s í . L a d e f i n i c i ó n d e p e s o e s p e c í f i c o s e c o s e p u e d e e s c r i b i r c o m o :

P o r o t r o l a d o , l a d e f i n i c i ó n d e p e s o e s p e c í f i c o d e l a s p a r t í c u l a s s ó l i d a s p e r m i t e s u s t i t u i r e l p e s o d e s ó l i d o :

y s i s e i n t r o d u c e l a d e f i n i c i ó n d e g r a d o d e s a t u r a c i ó n p a r a e l i m i n a r V r e s u l t a :

D

F i n a l m e n t e , l a d e f i n i c i ó n d e h u m e d a d c o n d u c e a l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n :

y , d a d o q u e V a p a r e c e e n t o d o s l o s t é r m i n o s , p u e d e e l i m i n a r s e d a n d o l u g a r a :

I

q u e e s l a e x p r e s i ó n p e d i d a e n e l e n u n c i a d o . F i j a n d o

= 2 . 7 g r / c m , s e o b t e n d r á :

I

!

S e p i d e d i b u j a r c u r v a s

=

( w ) , f i j a n d o d i v e r s o s v a l o r e s d e S ( 0 . 2 , 0 . 6 , 0 . 8 , 1 . 0 ) . A n t e s d e o b t e n e r

@ @ H

d i c h a s c u r v a s , s e p u e d e a n a l i z a r c ó m o v a r í a

c o n w , s i S y

s e m a n t i e n e n f i j o s :

@ H I

d a d o q u e t a n t o S c o m o e l d e n o m i n a d o r s o n p o s i t i v o s , s e t i e n e q u e l a d e r i v a d a e s n e g a t i v a p a r a c u a l q u i e r

H

v a l o r d e S y w , e s d e c i r ,

v a r í a d e f o r m a m o n ó t o n a d e c r e c i e n t e c o n w , s i S y

s e m a n t i n e n f i j o s . E n

H @ H I

l a f i g u r a 6 . 1 s e m u e s t r a l a f o r m a d e l a e x p r e s i ó n

=

( w ) p a r a d i f e r e n t e s g r a d o s d e s a t u r a c i ó n .

@ @




@

I

S

H

M

w

I

S

H

M

@

I

I

w

1

'


F i g u r a 6 . 1 C u r v a s

- w p a r a

c o n s t a n t e y S v a r i a b l e

@ I H

E s t a s c u r v a s s o n d e i n t e r é s e n e l c o n t e x t o d e l a c o m p a c t a c i ó n d e s u e l o s . D e b e n o t a r s e q u e u n a v e z f i j a d o

e l g r a d o d e s a t u r a c i ó n y l a h u m e d a d d e l s u e l o , e x i s t e u n a ú n i c a d e n s i d a d s e c a y , p o r t a n t o , u n ú n i c o í n d i c e

d e p o r o s c o m p a t i b l e c o n e s o s d o s v a l o r e s . D e h e c h o , f i j a d o e l g r a d o d e s a t u r a c i ó n , c u a n d o l a h u m e d a d

t i e n d e a c e r o , e l í n d i c e d e p o r o s t a m b i é n t i e n d e a c e r o . E l c a s o l í m i t e c o n í n d i c e d e p o r o s i g u a l a c e r o e s

i n c o n s i s t e n t e c o n e l h e c h o d e q u e e l g r a d o d e s a t u r a c i ó n n o s e a n u l e . P o r o t r o l a d o , a l a u m e n t a r l a

h u m e d a d , s i e l g r a d o d e s a t u r a c i ó n e s b a j o , e l í n d i c e d e p o r o s a u m e n t a h a c i a v a l o r e s m u y a l t o s , p o c o

p r o b a b l e s e n s u e l o s . P o r ú l t i m o , d e s d e u n p u n t o d e v i s t a e x p e r i m e n t a l , e s m u c h o m á s f á c i l a s e g u r a r q u e

l a h u m e d a d s e m a n t i e n e c o n s t a n t e y e l g r a d o d e s a t u r a c i ó n v a v a r i a n d o a l v a r i a r l a d e n s i d a d s e c a .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 7 .

C o n l a r e l a c i ó n e n t r e

, S , w y

o b t e n i d a e n e l p r o b l e m a a n t e r i o r , d i b u j a r e l h a z d e c u r v a s p a r a u n o s

I H @

p e s o s e s p e c í f i c o s d e l a s p a r t í c u l a s s ó l i d a s d e 2 . 2 , 2 . 6 , 2 . 6 5 , 2 . 7 y 2 . 7 5 g r / c m y u n g r a d o d e s a t u r a c i ó n

!

d e l a u n i d a d .

L a e x p r e s i ó n o b t e n i d a e n e l p r o b l e m a a n t e r i o r e s :

E n e s t e p r o b l e m a s e f i j a S = 1 , p o r l o q u e q u e d a :

H

e n l a q u e s e h a t o m a d o

= 1 g r / c m y , p o r t a n t o , d e b e u t i l i z a r s e

e n g r / c m .

M I

! !




V

J

*

*

D

4

h

*

*

6

4

1 5

4 2 4 . 1 1 c m

!


S e d e s e a d i b u j a r l a s c u r v a s

=

( w ) p a r a v a r i o s v a l o r e s d e

( e n e s t e c a s o : 2 . 2 , 2 . 6 , 2 . 6 5 , 2 . 7 y 2 . 7 5

@ @ I

g r / c m ) . E n e l P r o b l e m a 6 s e h a v i s t o q u e

d e c r e c e m o n ó t o n a m e n t e c o n w c u a n d o S y

s o n f i j o s . E n

!

@ H I

l a f i g u r a 7 . 1 s e r e p r e s e n t a g r á f i c a m e n t e e s t a r e l a c i ó n p a r a d i f e r e n t e s v a l o r e s d e

.

I

F i g u r a 7 . 1 C u r v a s

- w p a r a S = 1 y

v a r i a b l e

@ H I

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 8 .

S e d i s p o n e d e u n s u e l o s e c o q u e o c u p a u n m o l d e d e 6 0 m m d e d i á m e t r o y 1 5 0 m m d e a l t u r a . E l p e s o d e l

s u e l o e s d e 9 5 0 g r . C o n e l f i n d e c o m p r o b a r l a d i s t r i b u c i ó n d e l o s p o r o s , é s t o s s e l l e n a n c o m p l e t a m e n t e

c o n m e r c u r i o . ¿ C u á n t o p e s a r á e l s u e l o e n e s t a s c o n d i c i o n e s ? . D a t o s :

= 2 . 4 5 g r / c m ,

= 1 3 . 6

I 0 C

!

g r / c m .

!

E l v o l u m e n q u e o c u p a e l s u e l o e s :

E l p e s o i n i c i a l t o t a l e s e l p e s o d e l a s p a r t í c u l a s s ó l i d a s , p u e s e l s u e l o e s t á s e c o ( W = 0 , w = 0 ) m i e n t r a s

M

q u e e n l a s i t u a c i ó n f i n a l , t o d o s l o s h u e c o s e s t á n l l e n o s d e m e r c u r i o .

C o n e l s u e l o s a t u r a d o d e m e r c u r i o , s e c u m p l i r á l a r e l a c i ó n : W = W + W . E l p e s o d e m e r c u r i o q u e

J I 0 C

o c u p a l o s p o r o s e s W = V

d o n d e V = V . P o r t a n t o , e l p e s o d e l s u e l o s a t u r a d o c o n m e r c u r i o

0 C 0 C 0 C 0 C D

s e o b t e n d r á c o m o :




8

I

9

I

I

9 5 0 g r

2 . 4 5 g r / c m

!

3 8 7 . 7 6 c m

!

8

D

8

J

8

I

4 2 4 . 1 1

3 8 7 . 7 6

3 6 . 3 5 c m

!

9

0 C

3 6 . 3 5 c m

!

× 1 3 . 6 g r / c m

!

4 9 4 . 3 6 g r 9

J

9 5 0

4 9 4 . 3 6

1 4 4 4 . 3 6 g r

1 2

M

l

M

P

4 0

3 0

1 0 %

1 +

M

L

M

1 2

4 0

2 0

1 0

2



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 9 .

U n s u e l o n a t u r a l t i e n e u n a h u m e d a d e n e l l í m i t e l í q u i d o d e 4 0 % y u n a h u m e d a d e n e l l í m i t e p l á s t i c o d e

3 0 % . D e t e r m i n a r s u í n d i c e d e p l a s t i c i d a d , s u í n d i c e d e c o n s i s t e n c i a y s u í n d i c e d e f l u i d e z s a b i e n d o q u e

t i e n e u n a h u m e d a d n a t u r a l d e l 2 0 % .

S e t r a t a , s i m p l e m e n t e , d e a p l i c a r l a s d e f i n i c i o n e s . L a d e í n d i c e d e p l a s t i c i d a d e s :

C o m o i n d i c a d o r d e l a p l a s t i c i d a d d e u n s u e l o , e s t e í n d i c e t e n d e r á a s e r a l t o e n s u e l o s a r c i l l o s o s , y b a j o

e n s u e l o s g r a n u l a r e s . V a l o r e s e l e v a d o s d e 1 2 ( g r a n d i f e r e n c i a e n t r e M , M ) i n d i c a n q u e e l s u e l o a d m i t e

L P

g r a n c a n t i d a d d e a g u a p a r a p a s a r d e l l í m i t e p l á s t i c o a l l í m i t e l í q u i d o .

P o r o t r o l a d o , l a d e f i n i c i ó n d e í n d i c e d e c o n s i s t e n c i a e s :




I F

w

w

2

I P

2 0

3 0

1 0

1

@

W

I

V

J

V

J

V

D

V

I

V

=

V

M

V

I

V

J

V

I

V

M

W

I

I

W

M

M

7 0 0

2 . 8

3 0 0

1 . 0

2 5 0 3 0 0 5 5 0 c m

3

(

@

)

m a x

W

I

( V

J

)

m i n

7 0 0

5 5 0

1 . 2 7 g r / c m

3

S

H

V

M

V

D

V

D

V

M

S

H


e i n d i c a s i e l s u e l o s e e n c u e n t r a m á s o m e n o s a l e j a d o d e l l í m i t e l í q u i d o . A l a l e j a r s e d e l m i s m o e l s u e l o

v a g a n a n d o c o n s i s t e n c i a ( I C = 0 c u a n d o w = w , m i e n t r a s q u e I C = 1 c u a n d o w = w ) .

L P

P o r ú l t i m o , e l í n d i c e d e f l u i d e z s e d e f i n e c o m o :

y , e n e s t e c a s o , s e c a l c u l a c o n r e s p e c t o a l a h u m e d a d e n e l l í m i t e p l á s t i c o ( I F = 1 c u a n d o w = w , m i e n t r a s

L

q u e I F = 0 c u a n d o w = w ) . C o m o s e p u e d e o b s e r v a r , I C + I F = 1 .

P

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 1 0 .

S e p r e p a r a n e n e l l a b o r a t o r i o 1 0 0 0 g r d e s u e l o m e z c l a n d o 7 0 0 g r d e a r e n a (

= 2 . 8 t / m ) y 0 . 3 0 0 l d e

s

!

a g u a . ¿ C u á l e s l a m á x i m a d e n s i d a d s e c a q u e p u e d e o b t e n e r s e c o n e s t e s u e l o ? ¿ Q u é v o l u m e n o c u p a r í a

e s t e s u e l o s i s u g r a d o d e s a t u r a c i ó n f u e s e 0 . 5 ?

E n e l s u e l o o b t e n i d o s e t e n d r á q u e W = 7 0 0 g r y W = 3 0 0 g r . P a r a c a l c u l a r l a m á x i m a d e n s i d a d s e c a ,

,

s w d

b a s t a a p l i c a r s u d e f i n i c i ó n :

P u e s t o q u e p e s o d e s ó l i d o ( W = 7 0 0 g r ) e s t á f i j o ,

s e r á m á x i m o c u a n d o V s e a m í n i m o . D i c h o v o l u m e n

s d t

t o t a l e s :

y s e r á m í n i m o c u a n d o l o s e a e l v o l u m e n d e a i r e ( V ) , e s d e c i r , c u a n d o e l s u e l o s e e n c u e n t r e s a t u r a d o . E n

a

e s t a s i t u a c i ó n , e l v o l u m e n d e s u e l o s e r á :

q u e s e u t i l i z a p a r a c a l c u l a r l a m á x i m a d e n s i d a d s e c a :

S i s e t o m a S = 0 . 5 l a d e n s i d a d s e c a s e r á m e n o r . A p a r t i r d e l a d e f i n i c i ó n d e S , r e s u l t a :

r r

F i n a l m e n t e s e c a l c u l a l a d e n s i d a d s e c a c o r r e s p o n d i e n t e a d i c h o g r a d o d e s a t u r a c i ó n :




8

D

3 0 0

0 . 5

6 0 0 c m

!

8

J

8

I

8

D

2 5 0

6 0 0

8 5 0 c m

!

@

7 0 0

8 5 0

0 . 8 2 g r / c m

!

!


_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 1 1 .

U n s u e l o g r a n u l a r c o n g r a n u l o m e t r í a u n i f o r m e , t i e n e u n í n d i c e d e p o r o s A , u n p e s o e s p e c í f i c o

y u n a

C I C

h u m e d a d M . E s t e s u e l o s e m e z c l a c o n a r c i l l a e n u n a f r a c c i ó n e n p e s o + . E l p e s o e s p e c í f i c o d e l a s

C

p a r t í c u l a s s ó l i d a s d e l a a r c i l l a e s

. E s t i m a r l a f r a c c i ó n c r í t i c a + n e c e s a r i a p a r a q u e l a s p a r t í c u l a s

I ? ? H E J

d e l a m a t r i z g r a n u l a r d e j e n d e e s t a r e n c o n t a c t o .

C o n o b j e t o d e q u e l a s p a r t í c u l a s d e l a m a t r i z g r a n u l a r s e m a n t e n g a n e n c o n t a c t o , e s d e c i r , l a e s t r u c t u r a

d e l e s q u e l e t o g r a n u l a r n o s e m o d i f i q u e , s e s u p o n e q u e e l v o l u m e n d e l a i r e 8 s e r e l l e n a r á d e a r c i l l a y s e

=

m a n t e n d r á l a m i s m a c a n t i d a d d e a g u a e n e l s u e l o . L ó g i c a m e n t e , e s t e p r o c e s o e s i d e a l , y e n r e a l i d a d s e

p r e p a r a r í a e l s u e l o m e z c l a n d o l a f r a c c i ó n g r a n u l a r h ú m e d a c o n l a f r a c c i ó n a r c i l l o s a , s u p u e s t a s i n a g u a .

L a s p r o p o r c i o n e s s e e n c u e n t r a n i n d i c a d a s e n l a f i g u r a 1 1 . 1 .

F i g u r a 1 1 . 1 P r o p o r c i ó n d e c a d a s u e l o e n l a m e z c l a

S i s e d e s i g n a c o m o 9 a l p e s o d e l a s p a r t í c u l a s a r c i l l o s a s e n e l s u e l o y c o m o 9 e l p e s o d e l a s p a r t í c u l a s

I ? I C

g r a n u l a r e s ( p e s o q u e s e m a n t i e n e c o n s t a n t e ) , s e t i e n e q u e l a f r a c c i ó n e n p e s o d e s u e l o a r c i l l o s o s e r á :




C

? H E J

( W

I ?

)

? H E J

( W

I ?

)

? H E J

W

I C

1

1

W

I C

( W

I ?

)

? H E J

V

I ?

W

I ?

I ?

w

C

W

M

W

I C

e

C

V

D

V

I C

V

D

W

I C

/

I C

V

=

V

D

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M

e

C

W

I C

I C

W

M

M

e

C

W

I C

I C

w

C

W

I C

M

e

C

I C

w

C

M

W

I C

( W

I ?

)

? H E J

I ?

e

C

I C

w

C

M

W

I C

C

? H E J

I ?

W

I C

e

C

I C

w

C

M

I ?

W

I C

e

C

I C

w

C

M

W

I C

I ?

e

C

I C

w

C

M

I ?

e

C

I C

w

C

M

1

"


d o n d e s e h a s e ñ a l a d o c o m o c r í t i c a p a r a i n d i c a r q u e s e d e s e a o b t e n e r l a c a n t i d a d q u e d e b e a ñ a d i r s e p a r a

n o m o d i f i c a r l a e s t r u c t u r a d e l e s q u e l e t o g r a n u l a r . E l v o l ú m e n o c u p a d o p o r l a a r c i l l a s e r á :

L a h u m e d a d y e l í n d i c e d e p o r o s r e f e r i d o s a l e s t a d o i n i c i a l d e l s u e l o s o n :

E l v o l u m e n d e a i r e e n e l s u e l o p u e d e e x p r e s a r s e e n f u n c i ó n d e d i c h a s v a r i a b l e s :

F i n a l m e n t e b a s t a c o n i m p o n e r q u e V = V , o s e a , q u e e l v o l u m e n d e a i r e s e a o c u p a d o p o r a r c i l l a :

= I ?

q u e a l s e r s u s t i t u i d o e n l a f r a c c i ó n e n p e s o d a l u g a r a :

D e b e n o t a r s e q u e e s t a f r a c c i ó n e n p e s o e s t á e x p r e s a d a e n f u n c i ó n d e l í n d i c e d e p o r o s y h u m e d a d r e f e r i d a s

a l e s t a d o i n i c i a l d e l s u e l o , y q u e u n a v e z a ñ a d i d a l a f r a c c i ó n a r c i l l o s a a m b a s v a r i a b l e s a d o p t a r á n v a l o r e s

d i f e r e n t e s .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 1 2 .

S e d i s p o n e d e u n s u e l o t i p o A y d e o t r o t i p o B . S e t o m a n 1 0 k g d e l s u e l o t i p o A y s e m e z c l a n c o n 3 0 k g

d e l s u e l o t i p o B . L a s g r a n u l o m e t r í a s d e l o s s u e l o s A y B s e i n d i c a n e n l a t a b l a s i g u i e n t e . O b t e n e r y




/

M

+

A

/

A

+

B

/

B

+

A

9

A

9

A

9

B

+

B

9

B

9

A

9

B

/

M

( % q u e p a s a p o r u n t a m i z )

9

A

/

A

9

B

/

B

9

A

9

B

+

A

/

A

+

B

/

B

#


r e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e l a g r a n u l o m e t r í a d e l a m e z c l a r e s u l t a n t e . D e t e r m i n a r s u s c o e f i c i e n t e s d e

u n i f o r m i d a d y c u r v a t u r a .

N t a m i z % q u e p a s a % q u e p a s a

( m m ) s u e l o A s u e l o B

5 0 1 0 0

3 8 7 0

1 9 5 0

9 . 5 3 0

4 . 7 5 2 0

2 1 5 1 0 0

0 . 4 2 5 1 0 8 0

0 . 1 5 5 6 0

0 . 0 7 5 4 5 0

0 . 0 4 0 3 4 0

0 . 0 2 0 2 3 0

0 . 0 0 5 1 2 0

0 . 0 0 2 0 1 0

S i s e t o m a u n p e s o 9 d e u n s u e l o A c o n g r a n u l o m e t r í a / , y s e m e z c l a c o n u n p e s o 9 d e u n s u e l o B

A A B

c o n g r a n u l o m e t r í a / , l a g r a n u l o m e t r í a d e l a m e z c l a / p u e d e o b t e n e r s e c o m o :

B M

d o n d e + y + s o n l a s f r a c c i o n e s e n p e s o d e c a d a s u e l o d e f i n i d a s c o m o :

A B

E n e f e c t o , y a q u e e l % q u e p a s a p o r c a d a t a m i z , s e o b t e n d r á c o m o :

L a s f r a c c i o n e s e n p e s o q u e c o r r e s p o n d e n a l o s d a t o s d e e s t e p r o b l e m a s o n :




+

)

9

)

9

)

9

*

1 0

4 0

0 . 2 5 +

*

9

*

9

)

9

*

3 0

4 0

0 . 7 5

( +

?

)

)

( ,

!

)

( ,

) ( ,

$

)

_ _

( 9 . 5 )

0 . 4 2 2 6

_ _ 8 ( +

K

)

)

( ,

$

)

( ,

)

_ _

2 6

0 . 4 2

_ _ 6 1 . 9

( +

?

)

*

( ,

!

)

( ,

) ( ,

$

)

_

_

( 0 . 0 2 )

0 . 0 0 2 0 . 1 5

_

_

1 . 3 3 ( +

K

)

*

( ,

$

)

( ,

)

_

_

0 . 1 5

0 . 0 0 2

_

_

7 5

$


A c o n t i n u a c i ó n s e t a b u l a l a g r a n u l o m e t r í a d e l a m e z c l a , q u e s e r e p r e s e n t a g r á f i c a m e n t e e n l a f i g u r a 1 2 . 1 .

N T a m i z % P a s a % P a s a % P a s a m e z c l a

) *

5 0 m m 1 0 0 1 0 0

3 8 m m 7 0 9 2 . 5

1 9 m m 5 0 8 7 . 5

9 . 5 m m 3 0 8 2 . 5

4 . 7 5 m m 2 0 8 0

2 m m 1 5 1 0 0 7 8 . 7 5

0 . 4 2 5 m m 1 0 8 0 6 2 . 5

0 . 1 5 m m 5 6 0 4 6 . 2 5

0 . 0 7 5 m m 4 5 0 3 8 . 5

4 0 µ m 3 4 0 3 0 . 7 5

2 0 µ m 2 3 0 2 3

5 µ m 1 2 0 1 5 . 2 5

2 µ m 0 1 0 7 . 5

E n e l s u e l o t i p o A , e l 5 % p a s a p o r e l t a m i z # 2 0 0 ( 0 . 0 7 4 m m d e a b e r t u r a ) y m á s d e l 5 0 % p a s a p o r e l t a m i z

# 4 ( 5 m m d e a b e r t u r a ) , p o r l o q u e s e t r a t a d e u n s u e l o t i p o g r a v a . S u s c o e f i c i e n t e s d e c u r v a t u r a y

u n i f o r m i d a d s o n :

E n e l s u e l o t i p o B , e l 5 0 % p a s a p o r e l t a m i z # 2 0 0 y e l 1 0 0 % p a s a p o r e l t a m i z # 4 , p o r l o q u e s e t r a t a d e

u n s u e l o d e g r a n o f i n o . E n l a m e z c l a f a b r i c a d a m e n o s d e l 5 0 % ( 3 8 . 5 % ) p a s a p o r e l t a m i z # 2 0 0 , p o r l o

q u e s e t r a t a d e u n s u e l o d e g r a n o g r u e s o . A s i m i s m o , m á s d e l 1 2 % p a s a p o r e l t a m i z # 2 0 0 y m á s d e l 5 0 %

( a p r o x i m a d a m e n t e e l 8 0 % c o r r e s p o n d e a 4 . 7 5 m m ) p a s a p o r e l t a m i z # 4 , p o r l o q u e s e t r a t a d e u n s u e l o

S C o S M .




( +

c

)

M

_

_

( 0 . 0 4 )

0 . 4 2 0 . 0 0 2

_

_

1 . 9 ( +

u

)

M

_

_

0 . 4 2

0 . 0 0 2

_

_

2 1 0

%


L o s c o e f i c i e n t e s d e c u r v a t u r a y u n i f o r m i d a d d e l a m e z c l a d e a m b o s s u e l o s s o n :

C o m o p u e d e o b s e r v a r s e e n e s t o s r e s u l t a d o s , e l s u e l o r e s u l t a n t e t i e n e u n c o e f i c i e n t e d e u n i f o r m i d a d m u c h o

m a y o r q u e l o s s u e l o s o r i g i n a l e s , l o q u e i n d i c a q u e s e h a c o n s e g u i d o u n a m e j o r g r a d u a c i ó n e n l a m e z c l a .

P o r l o q u e r e s p e c t a a c u r v a t u r a , e l s u e l o m e z c l a e s m á s p a r e c i d o a l s u e l o B , q u e p a r e c e d o m i n a r e n e s t a

p r o p i e d a d .

F i g u r a 1 2 . 1 C u r v a s g r a n u l o m é t r i c a s s e l o s s u e l o s A , B y m e z c l a A + B

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 1 3 .

S e d i s p o n e d e u n s u e l o l i m o - a r c i l l o s o e n e l q u e t o d a s l a s p a r t í c u l a s p a s a n p o r e l t a m i z # 2 0 0 ( 0 . 0 7 5 m m ) .

C o n e l f i n d e d e t e r m i n a r s u g r a n u l o m e t r í a s e p r o c e d e a r e a l i z a r u n e n s a y o d e s e d i m e n t a c i ó n . P a r a e l l o

s e d i s p o n e d e u n b a ñ o t e r m o e s t á t i c o a 2 0 ; s e u t i l i z a n 5 0 g r d e s u e l o m e z c l a d o s c o n 1 0 0 0 m l d e a g u a ;

o

y s e t o m a n m u e s t r a s d e 1 0 m l p a r a d i f e r e n t e s t i e m p o s a u n a p r o f u n d i d a d d e 1 0 c m , p a r a l a q u e s e

o b t i e n e n l o s v a l o r e s d e l a t a b l a s i g u i e n t e . D i b u j a r l a c u r v a g r a n u l o m é t r i c a d e l s u e l o .




v

I

M

1 8

D

D

1 8

I

M

v

D

0 . 3 3

t

&


M u e s t r a T i e m p o P e s o s u e l o s e c o ( g r )

1 3 0 s e g 0 . 4 5

2 3 m i n 0 . 4 0

3 1 0 m i n 0 . 3 0

4 3 0 m i n 0 . 2 5

5 2 h 0 . 2 0

6 8 h 0 . 1 5

A l m e d i r e l c o n t e n i d o d e s u e l o e n u n a s u s p e n s i ó n e n a g u a d e l m i s m o , s e o b s e r v a q u e d i c h o c o n t e n i d o

d i s m i n u y e a l a u m e n t a r e l t i e m p o d e t o m a d e l a m u e s t r a . E s t a d i s m i n u c i ó n s e d e b e a q u e l a s p a r t í c u l a s d e

t a m a ñ o m a y o r d e s c i e n d e n m á s r á p i d a m e n t e q u e l a s d e t a m a ñ o m e n o r y , p o r t a n t o , e n c a d a t i e m p o d e

m e d i d a s u c e s i v o h a y t a m a ñ o s m a y o r e s q u e v a n d e s a p a r e c i e n d o . A p a r t i r d e l a v e l o c i d a d d e d e s c e n s o d e

p a r t í c u l a s d e d i á m e t r o D e n e l s e n o d e u n f l u i d o e s p o s i b l e e s t i m a r l a g r a n u l o m e t r í a d e u n s u e l o d e

p a r t í c u l a s f i n a s .

L a f ó r m u l a d e S t o k e s p e r m i t e o b t e n e r l a v e l o c i d a d t e ó r i c a d e d e s c e n s o d e u n a p a r t í c u l a e s f é r i c a e n e l s e n o

d e u n f l u i d o :

S i s e d i s p o n e d e u n a a l t u r a h , y u n a p a r t í c u l a d e s c i e n d e a u n a v e l o c i d a d v , e n t o n c e s e n u n t i e m p o t = h / v

h a b r á r e c o r r i d o d i c h a a l t u r a . P o r l o t a n t o , t o d a s l a s p a r t í c u l a s e n s u s p e n s i ó n e n e l i n t e r i o r d e u n r e c i p i e n t e

d e d i c h a a l t u r a , q u e d e s c i e n d a n a v e l o c i d a d v h a b r á n s e d i m e n t a d o . P u e s t o q u e l a v e l o c i d a d e s u n a f u n c i ó n

d e l d i á m e t r o ( s e g ú n l a f ó r m u l a d e S t o k e s ) , s e p u e d e a s e g u r a r q u e a l c a b o d e u n c i e r t o t i e m p o y a n o

q u e d a n p a r t í c u l a s d e t a m a ñ o s u p e r i o r a l d i á m e t r o d a d o p a r a d i c h a v e l o c i d a d . E n e s t e p r o b l e m a h = 1 0

c m y l o s t i e m p o s s e d a n e n f o r m a t a b u l a d a . S u s t i t u y e n d o e s t e v a l o r j u n t a m e n t e c o n e l d e l a v i s c o s i d a d d e l

a g u a , = 0 . 0 0 1 P a . s , s e t i e n e q u e e l d i á m e t r o u m b r a l e n f u n c i ó n d e l t i e m p o v i e n e d a d o e n e s t e c a s o p o r :

d o n d e e l t i e m p o t s e e x p r e s a e n s e g u n d o s y e l d i á m e t r o D e n m m .

E l p o r c e n t a j e q u e p a s a p o r u n t a m i z p u e d e e s t i m a r s e c o m o l a c a n t i d a d r e l a t i v a d e s u e l o q u e q u e d a e n

s u s p e n s i ó n p a r a u n d e t e r m i n a d o t i e m p o q u e , t a l c o m o s e h a v i s t o , s e r e l a c i o n a c o n u n d i á m e t r o . E s t e

p o r c e n t a j e q u e p a s a p o d r á , p o r t a n t o , e v a l u a r s e c o m o ( c / c ) x 1 0 0 , s i e n d o c = W / V l a c o n c e n t r a c i ó n e n

J J J J

l a m u e s t r a e x t r a í d a , W e l p e s o d e s u e l o e x t r a í d o e n c a d a t i e m p o ( 0 . 4 5 , 0 . 4 0 , 0 . 3 0 . . . 0 . 1 5 g r ) y V = 1 0

J J

m l e l v o l u m e n e x t r a í d o , c o n s t a n t e e n c a d a e x t r a c c i ó n . L a c o n c e n t r a c i ó n i n i c i a l d e l a m u e s t r a e s :




?

o

5 0 g r

1 0 0 0 m l

0 . 0 5 g r / m l

% q u e p a s a

9

t

1 0 × 0 . 0 5

× 1 0 0

2 0 0 9

t

'


y p o r t a n t o :

d o n d e 9 s e e x p r e s a e n e s t e c a s o e n g r a m o s . A p a r t i r d e l o s d a t o s d e l p r o b l e m a s e o b t i e n e l a t a b l a d e

J

t i e m p o s , d i á m e t r o s y % q u e p a s a p o r d i c h o d i á m e t r o :

J ( s e g ) , ( m m )

% p a s a

3 0 0 . 0 6 9 0

1 8 0 0 . 0 2 4 8 0

6 0 0 0 . 0 1 3 6 0

1 8 0 0 0 . 0 0 7 8 5 0

7 2 0 0 0 . 0 0 3 9 4 0

2 8 6 0 0 0 . 0 0 1 9 3 0

q u e c o r r e s p o n d e a l a c u r v a g r a n u l o m é t r i c a d e l a f i g u r a 1 3 . 1 .

F i g u r a 1 3 . 1 C u r v a g r a n u l o m é t r i c a

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _




!


P R O B L E M A 1 4 .

S e t i e n e n u n a s e r i e d e s u e l o s c o n l o s s i g u i e n t e s l í m i t e s d e A t t e r b e r g : M = 6 0 % ; M = 2 5 % ; M = 4 0 % ;

L 1 P 1 L 2

M = 2 0 % ; M = 1 5 % ; M = 1 0 % . S e p i d e c o m p a r a r l o s e n u n a g r á f i c a d e C a s a g r a n d e y c l a s i f i c a r l o s .

P 2 L 3 P 3

S u e l o 1 : M = 6 0 % y M = 2 5 % , p o r t a n t o : 1 2 = 6 0 % - 2 5 % = 3 5 %

L 1 P 1

E s t o s v a l o r e s s e e n c u e n t r a n e n l a z o n a c e n t r a l d e l a g r á f i c a d e C a s a g r a d e , a p r o x i m a d a m e n t e s o b r e l a l í n e a

" A " . S e t r a t a d e u n s u e l o t i p o C H , e s d e c i r , u n a a r c i l l a d e a l t a p l a s t i c i d a d .

S u e l o 2 : M = 4 0 % y M = 2 0 % , p o r t a n t o : 1 2 = 4 0 % - 2 0 % = 2 0 %

L 2 P 2

S e t r a t a e n e s t e c a s o d e u n s u e l o t i p o C L , e s d e c i r , a r c i l l a d e b a j a p l a s t i c i d a d .

S u e l o 3 : M = 1 5 % y M = 1 0 % , y p o r t a n t o : 1 2 = 1 5 % - 5 % = 5 %

L 3 P 3

E s t o s v a l o r e s s e e n c u e n t r a n e n l a z o n a d e l g r á f i c o e n e l q u e c o e x i s t e n s u e l o s l i m o s o s y a r c i l l o s o s d e b a j a

p l a s t i c i d a d ( C L - M L ) .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _




T e n s i o n e s y d e f o r m a c i o n e s . T e n s i ó n e f e c t i v a

!

Capítulo 2. Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva

P R O B L E M A 1 5 .

E n u n p l a n o q u e f o r m a u n á n g u l o d e 3 0 c o n l a h o r i z o n t a l , u n s u e l o e s t á s o m e t i d o a u n a t e n s i ó n n o r m a l

o

d e 6 k p / c m y a u n a t e n s i ó n d e c o r t e d e 2 . 8 3 k p / c m . E n e l p l a n o p e r p e n d i c u l a r a l a n t e r i o r , l a t e n s i ó n

2 2

n o r m a l t i e n e u n v a l o r d e 4 k p / c m . D e t e r m i n a r l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s F y F , y l a m á x i m a t e n s i ó n d e

2

1 3

c o r t e q u e s e p r o d u c e e n e l s u e l o , a s í c o m o l a s d i r e c c i o n e s d e l o s p l a n o s c o r r e s p o n d i e n t e s . 0 b t e n e r ,

a s i m i s m o , e l e s t a d o t e n s i o n a l e n u n p l a n o q u e f o r m a u n á n g u l o d e 2 0 c o n e l d e m á x i m a t e n s i ó n d e

o

c o r t e .

F i g u r a 1 5 . 1 C í r c u l o d e M o h r , p o l o y d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s

E n p r i m e r l u g a r s e r e p r e s e n t a n l o s d a t o s d i s p o n i b l e s e n f o r m a d e c í r c u l o d e M o h r ( F i g . 1 5 . 1 ) . E l p u n t o

A e n d i c h o c í r c u l o r e p r e s e n t a l a t e n s i ó n n o r m a l y l a t e n s i ó n t a n g e n c i a l ( . . , J ) s o b r e u n p l a n o q u e f o r m a

n 1 1 3

3 0 c o n l a h o r i z o n t a l . E n u n p l a n o p e r p e n d i c u l a r a l m i s m o , l a t e n s i ó n n o r m a l y t a n g e n c i a l ( F , J ) s e

o

n 3 3 1

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "copyright", bajo las sancionesestablecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamientoinformático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, así como la exportación e importación de ejemplares para sudistribución y venta fuera del ámbito de la Unión Europea.



s

F

F

n 1

F

F

n 3

2

6

4

2

5 k p / c m

2

( c e n t r o )

t

( F

F

1

F

F

n 1

)

2

J

J

2

1 3

( 6

5 )

2

2 . 8 3

2

3 k p / c m

2

( r a d i o )

J

J

m a x

t

3 k p / c m

2

F

F

1

s

t

8 k p / c m

2

F

F

3

s

t

2 k p / c m

2

T r i á n g u l o A A ' P : t g 3 0

0

J

J

1 3

J

J

p

F

F

n 1

F

F

p

t g 3 0

0

2 . 8 3

J

J

p

6

F

F

p

T r i á n g u l o B B ' P : t g 6 0

0

J

J

3 1

J

J

p

F F

n 3

F F

p

t g 6 0

0

2 . 8 3

J

J

p

4 F F

p

F

F

p

2 . 0 5 k p / c m

2

J

J

p

0 . 5 5 k p / c m

2

t g "

"

1

́

J

J

p

F

F

1

F

F

p

0 . 5 5

8

2 . 0 5

"

"

1

́

5 . 3

0

y "

"

3

́

9 0

"

"

1

́

8 4 . 7

0

"

"

1

8 4 . 7 "

"

3

1 7 4 . 7

t g $ $

J

J

m a x

J

J

p

s

F

F

p

3

0 . 5 5

5 2 . 0 5

$

$ 3 9 . 7

0

!


r e p r e s e n t a n e n u n p u n t o d i a m e t r a l m e n t e o p u e s t o a l A y q u e s e d e n o m i n a B e n d i c h a f i g u r a . E s t o s d o s

p u n t o s ( A , B ) d e f i n e n e l c í r c u l o d e M o h r . L a o r i e n t a c i ó n d e l p l a n o e n e l q u e a c t ú a n ( F

F

, J ) p e r m i t e

n 1 1 3

s i t u a r e l p o l o P d e l c í r c u l o d e M o h r .

L a s t e n s i o n e s n o r m a l y t a n g e n c i a l e n d o s p l a n o s p e r p e n d i c u l a r e s p e r m i t e n t a m b i é n o b t e n e r e l c e n t r o y

e l r a d i o d e d i c h o c í r c u l o d e M o h r :

A s i m i s m o , s e o b t i e n e n l a t e n s i ó n m á x i m a y l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s :

U n a f o r m a d e r e s o l v e r e l p r o b l e m a y d e t e r m i n a r l a s v a r i a b l e s q u e s e p i d e n e n e l e n u n c i a d o e s h a c e r l o

m e d i a n t e l a r e s o l u c i ó n d e t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s . E n p r i m e r l u g a r , s e d e t e r m i n a n l o s v a l o r e s d e l a s

t e n s i o n e s n o r m a l y d e c o r t e e n e l p o l o P ( F

F

y J

J

) q u e s e r á n ú t i l e s p a r a l o s c á l c u l o s p o s t e r i o r e s . É s t a s s e

F F

o b t i e n e n r e s o l v i e n d o d o s t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s ( F i g 1 5 . 1 ) :

B a s t a r e s o l v e r e s t a s d o s e c u a c i o n e s c o n d o s i n c ó g n i t a s p a r a o b t e n e r :

L o s á n g u l o s q u e d e f i n e n l a s d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s ( "

"

y "

" , o b i e n , " " ' y " " ' ) s o n l o s á n g u l o s d e l

1 3 1 3

t r i á n g u l o r e c t á n g u l o c u y o s v é r t i c e s s o n P y l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e l c í r c u l o c o n e l e j e ( e s d e c i r , l o s

p u n t o s F

F

y F

F

) . L o s á n g u l o s "

"

' y "

" ' p u e d e n o b t e n e r s e c o m o :

1 3 1 3

q u e c o n r e s p e c t o a l a v e r t i c a l s o n :

P a r a o b t e n e r l a o r i e n t a c i ó n d e l p l a n o e n e l q u e a c t ú a J J ( d i r e c c i ó n d a d a p o r P D e n l a f i g u r a 1 5 . 2 ) b a s t a

m a x

r e s o l v e r e l t r i á n g u l o P D ' D y o b t e n e r $

$

( á n g u l o c o n r e s p e c t o a l a h o r i z o n t a l ) :




t g ( $

$

2 0 )

J

J

?

J

J

F

F

F

?

F

F

F

J

J

?

0 . 5 5

F

F

2 . 0 5

F

F

?

F

F

F

2 J c o s ( 2 "

"

$

$

2 0 ) c o s ( 2 0

$

$

) F

F

?

3 . 0 7 k p / c m


! !

F i g u r a 1 5 . 2 C í r c u l o d e M o h r , m á x i m a t e n s i ó n d e c o r t e y e s t a d o t e n s i o n a l

e n p l a n o q u e f o r m a 2 0 c o n l a d i r e c c i ó n d e m á x i m o c o r t e

o

P a r a o b t e n e r l a s t e n s i o n e s n o r m a l y t a n g e n c i a l e n e l p u n t o C , s e r e s u e l v e e l t r i á n g u l o P C ' C , e s d e c i r :

P e r o d a d o q u e s e t i e n e n d o s i n c ó g n i t a s h a y q u e b u s c a r o t r a r e l a c i ó n , q u e e n e s t e c a s o s e p u e d e p l a n t e a r

a p a r t i r d e l o s t r i á n g u l o P E C y P C ' C :

y s u s t i t u y e n d o e n l a a n t e r i o r , r e s u l t a J

J

= 2 . 3 k p / c m .

?

2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 1 6 .

E n u n p u n t o d e u n a a r e n a c o m p a c t a a c t ú a n u n a s t e n s i o n e s F

F = 7 . 0 k p / c m ( F F ) y J J = 2 . 2 k p / c m e n u n

n 1 h

1 3

p l a n o v e r t i c a l , y F

F

= 5 . 0 k p / c m ( F

F

) e n u n p l a n o h o r i z o n t a l . E s t e e s t a d o t e n s i o n a l s u f r e s u c e s i v a m e n t e

n 3 v

l a s s i g u i e n t e s m o d i f i c a c i o n e s :

a ) r e d u c c i ó n d e J

J

h a s t a 0 . 0 k p / c m ;

1 3

b ) a u m e n t o d e F

F

h a s t a 8 . 4 2 k p / c m y d i s m i n u c i ó n d e F

F

h a s t a 3 . 5 8 k p / c m ;

n 1 n 3

c ) r e d u c c i ó n d e J

J

h a s t a - 2 . 0 k p / c m ;

3 1

d ) a u m e n t o d e F

F

h a s t a 8 . 4 2 k p / c m y r e d u c c i ó n d e F

F

h a s t a 3 . 5 8 k p / c m ;

v h




s

F

F

n 1

F

F

n 3

2

7

5

2

6 k p / c m

2

( c e n t r o )

t

( F

F

n 1

s )

2

J

J

2

1 3

( 7

6 )

2

2 . 2

2

2 . 4 2 k p / c m

2

( r a d i o )

F

F

1

s

t

8 . 4 2 k p / c m

2

F

F

3

s

t

3 . 5 8 k p / c m

2

p

1 / 3 ( F

F

1

2 F

F

3

)

5 . 2 k p / c m

2

q

F

F

1

F

F

3

2 J

J

m a x

4 . 8 4 k p / c m

2

F

F

n 1

F

F

1

7 k p / c m

2

F

F

n 3

F

F

3

5 k p / c m

2

p u e s t o q u e J J

1 3

J

J

3 1

0

s

F

F

1

F

F

3

2

7

5

2

6 k p / c m

2

( c e n t r o ) t

F

F

1

F

F

3

2

7

5

2

1 k p / c m

2

( r a d i o )

p

5 . 1 9 k p / c m

2

q

2 k p / c m

2

F

F

1

8 . 4 2 k p / c m

2

F

F

3

3 . 5 8 k p / c m

2

p u e s t o q u e J

J

1 3

J

J

3 1

0

s

F

F

1

F

F

3

2

8 . 4 2

3 . 5 2

2

6 k p / c m

2

t

F

F

1

F

F

3

2

8 . 4 2

3 . 5 2

2

2 . 4 5 k p / c m

2

p

5 . 1 9 k p / c m

2

q

4 . 9 k p / c m

2

! "


e ) a u m e n t o d e F

F

h a s t a 1 0 . 0 k p / c m y d e F

F

h a s t a 5 . 1 6 k p / c m ;

n 1 n 3

f ) r e d u c c i ó n d e F F h a s t a 4 . 5 8 k p / c m ;

n 3

g ) a u m e n t o i n d e f i n i d o d e F

F

.

n 1

R e p r e s e n t a r e n l o s p l a n o s ( F

F

- F

F

) , ( s - t ) y ( p - q ) ( F

F

= F

F ) l a t r a y e c t o r i a t e n s i o n a l c o r r e s p o n d i e n t e , a s í c o m o

1 3 2 3

l o s c í r c u l o s d e M o h r d e l e s t a d o i n i c i a l y d e l o s s u c e s i v o s e s t a d o s f i n a l e s i n d i c a d o s y d e s u s p o l o s . ¿ E s

i d é n t i c o e l e s t a d o t e n s i o n a l a l f i n a l d e l a p a r t a d o b ) a l i n i c i a l d e l s u e l o ? ¿ Y l o s e s t a d o s t e n s i o n a l e s a l

f i n a l d e l o s a p a r t a d o s c ) y d ) ? . S i s e h a c e l a h i p ó t e s i s d e q u e e l s u e l o l l e g a a r o t u r a c u a n d o J

J

> 0 . 7 3 5 F

F

n

e n a l g ú n p l a n o , ¿ s e l l e g a a r o t u r a e n l a t r a y e c t o r i a i n d i c a d a ? ¿ C u á n d o ? ¿ E n q u é p l a n o s e p r o d u c e ?

E n e l e s t a d o i n i c i a l d a d o e n e l e n u n c i a d o d e e s t e p r o b l e m a s e t i e n e n l o s s i g u i e n t e s v a l o r e s d e l a s v a r i a b l e s

t e n s i o n a l e s d e l e s p a c i o d e L a m b e , t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s y e s p a c i o d e C a m b r i d g e ( F i g . 1 6 . 1 ) :

S i t u a c i ó n a ) . R e d u c c i ó n d e J

J

h a s t a 0 . 0 k p / c m ( F i g . 1 6 . 2 ) :

!

S i t u a c i ó n b ) . A u m e n t o d e F F h a s t a 8 . 4 2 k p / c m y d i s m i n u c i ó n d e F

F

h a s t a 3 . 5 8 k p / c m ( F i g . 1 6 . 3 ) :

n n

!

S i t u a c i ó n c ) . R e d u c c i ó n d e J

J

h a s t a - 2 . 0 k p / c m ( F i g . 1 6 . 4 ) :

!




I

F

F

n 1

F

F

n 3

2

6 k p / c m

J

( F

F

n 1

I )

J

J

!

( 8 . 4 2

6 )

2

3 . 1 4 k p / c m

F F

I J 9 . 1 4 k p / c m

F F

!

I J 2 . 8 6 k p / c m

F

4 . 9 5 k p / c m

G

6 . 2 8 k p / c m

I

F

F

n 1

F

F

n 3

2

6 k p / c m

J

( F

F

n 1

I )

J

J

!

3 . 1 4 k p / c m

F

F

I

J

9 . 1 4 k p / c m

F

F

!

I

J

2 . 8 6 k p / c m

F

4 . 9 5 k p / c m

G

6 . 2 8 k p / c m

I

1 0

5 . 1 6

2

7 . 5 8 k p / c m

J

( 1 0

7 . 5 8 )

2

3 . 1 4 k p / c m

F

F

I

J

1 0 . 7 2 k p / c m

F

F

!

I

J

4 . 4 4 k p / c m

F

6 . 5 3 k p / c m

G

6 . 2 8 k p / c m

I

1 0

4 . 5 8

2

7 . 2 9 k p / c m

J

( 1 0

7 . 2 9 )

2

3 . 3 7 k p / c m

F

F

I

J

1 0 . 6 6 k p / c m

F

F

!

I

J

3 . 9 2 k p / c m

F

6 . 1 7 k p / c m

G

6 . 7 4 k p / c m


! #

S i t u a c i ó n d ) . A u m e n t o d e F

F

h a s t a 8 . 4 2 k p / c m y r e d u c c i ó n d e F

F

h a s t a 3 . 5 8 k p / c m ( F i g 1 6 . 5 ) :

v h

S i t u a c i ó n e ) . A u m e n t o d e F

F

h a s t a 1 0 . 0 k p / c m y d e F

F

h a s t a 5 . 1 6 k p / c m ( F i g . 1 6 . 6 ) :

n n

!

S i t u a c i ó n f ) . R e d u c c i ó n d e F

F

h a s t a 4 . 5 8 k p / c m ( F i g . 1 6 . 7 ) :

n

!




! $


F i g u r a 1 6 . 1 C í r c u l o d e M o h r c o r r e s p o n d i e n t e a l e s t a d o i n i c i a l d e t e n s i o n e s

F i g u r a 1 6 . 2 C í r c u l o d e M o h r e n l a S i t u a c i ó n a )

F i g u r a 1 6 . 3 C í r c u l o d e M o h r e n l a S i t u a c i ó n b )





! %

F i g u r a 1 6 . 4 C í r c u l o d e M o h r e n l a S i t u a c i ó n c )

F i g u r a 1 6 . 5 C í r c u l o d e M o h r e n l a S i t u a c i ó n d )

F i g u r a 1 6 . 6 C í r c u l o d e M o h r e n l a S i t u a c i ó n e ) .




J '

I ' s i n N

N

2 . 8 s i n 3 6 . 3 1

1 . 6 6 k p / c m

N

N

a r c t g

J

J

n

F

F

n

a r c t g 0 . 7 3 5

3 6 . 3 1

o

*

*

a r c t g

J J

!

F

F

n 3

a r c t g

2

4 . 5 8

2 3 . 6

o

4

J

J

!

J

J

'

!

F

F

n !

F

F

'

n !

! &


S i t u a c i ó n g ) . A u m e n t o i n d e f i n i d o d e F

F

.

n

U n a u m e n t o d e t e n s i ó n i n d e f i n i d o l l e v a r á a l s u e l o a u n e s t a d o d e r o t u r a . E s t e e s t a d o s e a l c a n z a , s e g ú n e l

e n u n c i a d o , a l c u m p l i r s e l a r e l a c i ó n J

J

= 0 . 7 3 5 F

F

.

n

E n e l c a s o p l a n t e a d o , e s r a z o n a b l e s u p o n e r q u e e l e s t a d o t e n s i o n a l e n e l p l a n o o r t o g o n a l ( F F , J

J

) s e

n

! !

m a n t i e n e f i j o , e s d e c i r , t a l c o m o e s t a b a e n l a S i t u a c i ó n f ) , y a s i m i s m o t a m b i é n e s r a z o n a b l e m a n t e n e r J

J

!

f i j o . E n l a f i g u r a 1 6 . 7 s e o b s e r v a q u e a l i r a u m e n t a n d o l a t e n s i ó n F

F

s e p r o d u c i r á l a r o t u r a c u a n d o e l

n

e s t a d o t e n s i o n a l c o r r e s p o n d a a l c í r c u l o e , e s d e c i r , s e a l c a n c e l a t a n g e n c i a a l a r e c t a J

J

= 0 . 7 3 5 F

F

. E l

r

n

c í r c u l o e ' , q u e c o r r e s p o n d e a u n e s t a d o e n r o t u r a a r b i t r a r i o , s e u t i l i z a a u x i l i a r m e n t e p a r a d e t e r m i n a r l a

r

s o l u c i ó n . P u e s t o q u e l o s c í r c u l o s d e M o h r e n r o t u r a s o n t a n g e n t e s a u n a r e c t a y t i e n e n e l c e n t r o e n o t r a ,

s o n h o m o t é t i c o s ( l a s d i s t a n c i a s d e s d e c u a l q u i e r p a r d e p u n t o s a l i n e a d o s c o n l a i n t e r s e c c i ó n d e l a s d o s

r e c t a s a d i c h a i n t e r s e c c i ó n m a n t i e n e n u n a m i s m a p r o p o r c i ó n ) .

C o m o s e h a d i c h o , s e l l e g a r á a r o t u r a c u a n d o , c o n l a s c o n d i c i o n e s e s t a b l e c i d a s ( a u m e n t o d e F

F

, y

n

m a n t e n i m i e n t o d e F

F

, J

J

y J

J

f i j o s ) s e o b t e n g a u n c í r c u l o d e M o h r t a n g e n t e a d i c h a r e c t a , J

J

= 0 . 7 3 5 F

F

.

n n

! ! !

U n a v e z a l c a n z a d o e l c í r c u l o e s i s e a u m e n t a s e . , s e o b t e n d r í a u n c í r c u l o s e c a n t e a l a r e c t a d e r o t u r a

r

n

y e x i s t i r í a n p u n t o s p o r e n c i m a d e l a m i s m a . P o r l o t a n t o , e x i s t i r í a n p l a n o s c o n u n e s t a d o t e n s i o n a l ( F

F

, J

J

)

n

n o a c e p t a b l e p a r a e l s u e l o .

P a r a c o m p r o b a r q u e e n n i n g ú n e s t a d o a n t e r i o r d e l s u e l o s e h a a l c a n z a d o l a r o t u r a , s e h a d i b u j a d o l a

c o n d i c i ó n d e r o t u r a ( J

J

= 0 . 7 3 5 F

F

) e n t o d a s l a s f i g u r a s ( 1 6 . 1 a 1 6 . 6 ) . C o m o p u e d e o b s e r v a r s e , e n n i g u n o

n

d e l o s e s t a d o s t e n s i o n a l e s a n t e r i o r e s h a y r o t u r a y a q u e t o d o s l o s c í r c u l o s d e M o h r e s t á n p o r d e b a j o d e l a

r e c t a J

J

= 0 . 7 3 5 F

F

.

n

E l e s t a d o t e n s i o n a l c o r r e s p o n d i e n t e a l c í r c u l o d e M o h r e n r o t u r a s e p u e d e c a l c u l a r m e d i a n t e u n a

h o m o t e c i a e n t r e e l c í r c u l o d e M o h r e n r o t u r a ( e ) y o t r o a u x i l i a r ( e ' ) s i t u a d o e n c u a l q u i e r p o s i c i ó n . E l

r r

c í r c u l o d e M o h r a u x i l i a r e ' s e h a d i b u j a d o t o m a n d o c o m o c e n t r o I = 2 . 8 k p / c m , p o r l o q u e s e t i e n e :

r

d o n d e e l á n g u l o s e h a o b t e n i d o a p a r t i r d e l a p e n d i e n t e d e l a r e c t a d e r o t u r a , e s d e c i r :

Y e l á n g u l o :

c o r r e s p o n d e a l a r e c t a q u e u n e l o s p u n t o s ( F

F

, J

J

) y ( F

F ' , J J ' ) q u e s o n h o m o t é t i c o s , e s d e c i r , a l i n e a d o s

n ! ! n ! !

c o n e l o r i g e n d e c o o r d e n a d a s . L a r a z ó n d e l a h o m o t e c i a 4 s e d e f i n e c o m o :

o u t i l i z a n d o d o s m a g n i t u d e s h o m o t é t i c a s c u a l q u i e r a . P u e s t o q u e s e d e s c o n o c e e l v a l o r d e J

J

' h a y q u e

!

b u s c a r r e l a c i o n e s g e o m é t r i c a s e n e l c í r c u l o e ' :

r




( I '

F

F

'

n !

)

J

J

!

'

J '

J

J

'

!

F

F '

n !

J C *

*

F

F

'

n !

1 . 2 3 k p / c m

J J '

!

0 . 5 4 k p / c m

4

J

J

!

J

J

'

!

2

0 . 5 4

3 . 7

I

I ' 4

2 . 8 3 . 7

1 0 . 3 J

J ' 4

6 . 1 k p / c m

F

F

F

F '

4 ( I ' J ' ) 4

( 2 . 8

1 . 6 6 ) × 3 . 7

1 6 . 4 k p / c m

F F

!

F F '

!

4 ( I ' J ' ) 4 ( 2 . 8 1 . 6 6 ) × 3 . 7 4 . 2 k p / c m

( F F

n

)

r

( F F

n

) '

r

4 ( J J )

r

( J J ) '

r

4

( F

F

n

) '

r

I '

J '

c o s N

N

2 . 2 5 c o s ( 3 6 . 3 1 )

1 . 8 2

( J

J

n

) '

r

I '

J '

s i n N

N

2 . 2 5 s i n ( 3 6 . 3 1 )

1 . 3 3

( F

F

n

)

r

1 . 8 2 × 3 . 7

6 . 7 k p / c m

( J

J

)

r

1 . 3 3 × 3 . 7

4 . 9 k p / c m

F

1

3

( F

F

2 F

F

!

)

1

3

( 1 6 . 4

2 × 4 . 2 )

8 . 2 7 k p / c m

G

F

F

F

F

!

1 6 . 4

4 . 2

1 2 . 2 k p / c m

I 1 0 . 3 k p / c m

J 6 . 1 k p / c m

F

F

1 6 . 4 k p / c m

F

F

!

4 . 2 k p / c m

F

8 . 2 7 k p / c m

G

1 2 . 2 k p / c m


! '

y p o r t a n t o l a r a z o n d e l a h o m o t e c i a e s :

A p a r t i r d e l o a n t e r i o r p u e d e o b t e n e r s e c u a l q u i e r o t r a v a r i a b l e d e l c í r c u l o d e M o h r e n r o t u r a . P a r a e l l o

b a s t a m u l t i p l i c a r l o s v a l o r e s o b t e n i d o s e n e l c í r c u l o A p o r l a r a z ó n 4 :

H

E n e l p l a n o d o n d e s e p r o d u c e l a r o t u r a s e t i e n e e l e s t a d o t e n s i o n a l c o m o :

P a r a e n c o n t r a r l o s v a l o r e s d e F

F

' y J

J

' b a s t a r e s o l v e r e l t r i á n g u l o o r i g e n - p u n t o d e t a n g e n c i a - c e n t r o ( H I ) ,

n r

H

e s d e c i r :

y e n e l c í r c u l o r e a l e n r o t u r a , l a s t e n s i o n e s n o r m a l y t a n g e n c i a l s o n :

P o r ú l t i m o , l o s p a r á m e t r o s F y G e n r o t u r a s o n :

E n r e s u m e n , e n r o t u r a s e h a n o b t e n i d o :




"


E n l a s f i g u r a s 1 6 - 8 , 1 6 - 9 y 1 6 - 1 0 s e r e p r e s e n t a n r e s p e c t i v a m e n t e l a s t r a y e c t o r i a s s e g u i d a s e n l o s p l a n o s

.

.

- .

.

, s - t y p - q .

!

F i g u r a 1 6 . 7 C í r c u l o s d e M o h r e n r o t u r a

F i g u r a 1 6 . 8 T r a y e c t o r i a d e t e n s i o n e s e n e l p l a n o . . - .

.

!





"

F i g u r a 1 6 . 9 T r a y e c t o r i a d e t e n s i o n e s e n e l p l a n o s - t

F i g u r a 1 6 . 1 0 T r a y e c t o r i a d e t e n s i o n e s e n e l p l a n o p - q




I

F

F

n

F

F

n

2

5 k p / c m

"


E l c í r c u l o d e M o h r d e u n e s t a d o t e n s i o n a l v i e n e d e f i n i d o p o r l a p o s i c i ó n d e s u c e n t r o ( I ) y s u r a d i o ( J ) .

P e r o n o b a s t a c o n e s t o p a r a d i s p o n e r d e t o d a l a i n f o r m a c i ó n d e l e s t a d o t e n s i o n a l . H a y q u e o r i e n t a r e l

c í r c u l o d e M o h r . E s t a o r i e n t a c i ó n v i e n e d a d a p o r l a p o s i c i ó n d e l p o l o q u e p e r m i t e a s o c i a r c a d a e s t a d o

t e n s i o n a l c o n u n p l a n o e s p e c í f i c o . A s í , p o r e j e m p l o , l o s c í r c u l o s d e M o h r d e l o s e s t a d o s i n i c i a l y e n l a

S i t u a c i ó n b ) c o i n c i d e n g e o m é t r i c a m e n t e , a l s e r u n m i s m o c í r c u l o ( i d é n t i c o s v a l o r e s d e I y J s e g ú n s e

o b s e r v a e n l a F i g . 1 6 . 9 ) . S i n e m b a r g o , p u e d e c o m p r o b a r s e q u e l o s e s t a d o s t e n s i o n a l e s s o n d i s t i n t o s .

C o m o p u e d e o b s e r v a r s e e n l a s F i g s . 1 6 . 1 y 1 6 . 3 , a p e s a r d e s e r c í r c u l o s i g u a l e s , t i e n e n d i f e r e n t e p o s i c i ó n

d e l p o l o . S i l o s p o l o s c o i n c i d i e s e n , e n t o n c e s l o s e s t a d o s t e n s i o n a l e s s e r í a n i d é n t i c o s , p u e s p a r a c u a l q u i e r

p l a n o "

"

d e f i n i r í a n e n é l u n m i s m o e s t a d o t e n s i o n a l . E s d e c i r , p a r a q u e d o s c í r c u l o s d e M o h r e s t e n

a s o c i a d o s a u n m i s m o e s t a d o t e n s i o n a l , n o b a s t a c o n q u e s e s u p e r p o n g a n ( i g u a l e s v a l o r e s d e I y J ) , s i n o

q u e d e b e n t e n e r a s o c i a d o u n m i s m o p o l o . A s i m i s m o , e n l o s e s t a d o s c ) y d ) s e o b t i e n e u n m i s m o c í r c u l o

d e M o h r y s i n e m b a r g o s e t r a t a s e e s t a d o s t e n s i o n a l e s d i s t i n t o s y a q u e t a m b i é n t i e n e n d i s t i n t o s p o l o s .

_________________________________________

PROBLEMA 17.

Sobre dos planos perpendiculares actúan unas tensiones cuyas componentes normales a los mismos son

F F

=7.0 kp/cm y F F

=3.0 kp/cm . Se sabe además que el plano en que actúa F

F

forma 67.5 con el planon n n1 3 3

2 2 o

en que actúa F

F

. Determinar J

J

, J

J

, F

F

, F

F

, s , t, p y q (F F

=F F

).1 13 31 1 3 2 3

P u e s t o q u e s e d i s p o n e d e F

F

y F

F

, s e p u e d e o b t e n e r l a s i t u a c i ó n d e l c e n t r o d e l c í r c u l o d e M o h r ( F i g .

n n

1 3

1 7 . 1 ) q u e s e c a l c u l a c o m o :

S e a * e l p l a n o s o b r e e l q u e a c t ú a F

F

. E n p r i n c i p i o n o s e c o n o c e e l v a l o r d e J

J

, p e r o e l e s t a d o t e n s i o n a l

n

3 3 1

s o b r e d i c h o p l a n o d e f i n i r á u n p u n t o ( F

F

, J

J

) s i t u a d o s o b r e l a r e c t a r ( F i g . 1 7 . 1 ) . S e p u e d e s u p o n e r u n

n

3 3 1

c i e r t o v a l o r d e J

J

y u n a p o s i c i ó n d e l p o l o P ( F i g . 1 7 . 2 ) . E n d i c h a f i g u r a s e i n d i c a e l á n g u l o "

"

q u e , s e g ú n

3 1

e l e n u n c i a d o , e s e l f o r m a d o p o r e l p l a n o * y e l p l a n o e n e l q u e a c t ú a F

F

.

1

S i e l á n g u l o "

"

e s d e 6 7 . 5 , e l á n g u l o $

$

d e b e s e r $

$

= 2 "

"

= 1 3 5 ( e l á n g u l o c e n t r a l q u e a b a r c a u n c i e r t o a r c o

o o

e n u n a c i r c u n f e r e n c i a e s i g u a l a l d o b l e d e c u a l q u i e r á n g u l o i n s c r i t o q u e a b a r q u e e l m i s m o a r c o ) . A l

c o n o c e r e s t e á n g u l o e l p r o b l e m a q u e d a r e s u e l t o . E n e f e c t o , s i s e t r a z a l a r e c t a s ( F i g . 1 7 . 3 ) , q u e f o r m a u n

á n g u l o d e 1 3 5 c o n l a h o r i z o n t a l , e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n e n t r e r y s c o r r e s p o n d e a l e s t a d o t e n s i o n a l e n

o

e l p l a n o * y , p o r t a n t o , s e p u e d e d e t e r m i n a r J

J

.

3 1

U n a v e z c o n o c i d o s I y e l p u n t o ( F

F

, J

J

) p u e d e r e p r e s e n t a r s e e l c í r c u l o d e M o h r c o r r e s p o n d i e n t e a e s t e

n

3 3 1

e s t a d o t e n s i o n a l . S i n e m b a r g o , n o s e t i e n e d e f i n i d o t o t a l m e n t e e l e s t a d o t e n s i o n a l y a q u e n o s e p u e d e

o r i e n t a r e l c í r c u l o d e M o h r , e s d e c i r , n o s e c o n o c e l a p o s i c i ó n d e l p o l o . D e h e c h o r e s u l t a i n n e c e s a r i o p a r a

l a r e s o l u c i ó n d e l p r o b l e m a t a l c o m o s e h a p r o p u e s t o .

L a s t e n s i o n e s d e c o r t e y r a d i o d e l c í r c u l o d e M o h r s o n :




J

J

!

J

J

!

2 k p / c m

J

( F

F

n

I )

J

J

!

2

2

2 . 8 3 k p / c m

F

F

I

J

7 . 8 3 k p / c m

F

F

!

I

J

2 . 1 7 k p / c m

F

1

3

( F

F

2 F

F

!

)

4 . 0 6 k p / c m

G

( F

F

F

F

!

)

5 . 6 6 k p / c m

" !


N o s e c o n o c e c u á l e s s o n l o s p l a n o s p r i n c i p a l e s ( p l a n o s e n l o s q u e a c t ú a n F

F

y F

F

) , p e r o s í l o s m ó d u l o s

!

d e d i c h a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s :

Y c o n e s t o s v a l o r e s s e o b t i e n e n f i n a l m e n t e :

F i g u r a 1 7 . 1 D a t o s d e p a r t i d a d e l p r o b l e m a r e p r e s e n t a d o s g r á f i c a m e n t e .

F i g u r a 1 7 . 2 S i t u a c i ó n d e l p o l o P n o c o n o c i d a




" "


F i g u r a 1 7 . 3 S o l u c i ó n d e l p r o b l e m a

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 1 8 .

E n l a f i g u r a 1 8 . 1 s e r e p r e s e n t a u n a c a r g a r e p a r t i d a F s o b r e u n a b a n d a i n d e f i n i d a d e a n c h o 2 > . E l e s t a d o

t e n s i o n a l g e n e r a d o ( s u p u e s t o u n c o m p o r t a m i e n t o e l á s t i c o ) s e p u e d e d e f i n i r p o r :

F

F

= F ( "

"

+ s i n "

"

) / B

B

1

F F = F ( " " - s i n " " ) / B

B

3

F

F

= F ( "

"

+ s i n "

"

c o s ( "

" + 2 * * ) ) / B B

z

F i g u r a 1 8 . 1 E s q u e m a d e l a c a r g a e n f a j a

S e c o n s i d e r a u n p u n t o ( a l t e r n a t i v a m e n t e P o P e n l a f i g u r a 1 8 . 1 ) b a j o e l b o r d e d e l a b a n d a y a u n a

p r o f u n d i d a d d e 5 m . S u p o n i e n d o > = 5 m y F = 1 0 t / m :




*

*

0 ( P

) y *

*

"

"

( P

) t g "

"

1 0 m

5 m

2 "

"

6 3 . 4 3

o

F

F

1 0

1 . 1 0 7

s e n ( 6 3 . 4 3 )

B

B

6 . 3 7 t / m

F

F

!

1 0

1 . 1 0 7

s e n ( 6 3 . 4 3 )

B

B

0 . 6 8 t / m

F

F

z

1 0

1 . 1 0 7 s e n ( 6 3 . 4 3 ) c o s ( 6 3 . 4 3 )

B

B

4 . 8 0 t / m

s

F

F

F

F

!

2

6 . 3 7

0 . 6 8

2

3 . 5 2 5 t / m

t

F

F

F

F

!

2

6 . 3 7

0 . 6 8

2

2 . 8 4 5 t / m

" #


a ) O b t e n e r l a d i r e c c i ó n d e l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s F

F

, F

F

.

1 3

b ) D e t e r m i n a r l a m a g n i t u d y e l s e n t i d o d e l a J

J a s o c i a d a a F F .

z

c ) E s t i m a r e l e s t a d o t e n s i o n a l " r e a l " d e l p u n t o P ( F

F

, F

F

, F

F

' , F

F ' y s u s d i r e c c i o n e s ) s i l a b a n d a i n d e f i n i d a

1 3 1 3

a n t e r i o r s e h a a p l i c a d o s o b r e u n t e r r e n o c o n (

(

= 2 t / m y K = 0 . 6 .

n o

!

d ) D i b u j a r l a t r a y e c t o r i a d e l p o l o P d e l c í r c u l o d e M o h r a l a p l i c a r l a b a n d a i n d e f i n i d a .

E l p r i m e r p a s o p a r a d e f i n i r l a d i r e c c i ó n d e F

F

y F

F

e s c a l c u l a r s u v a l o r , a s í c o m o e l d e F

F

, p a r a p o d e r

1 3

z

o r i e n t a r e l c í r c u l o d e M o h r . S e t i e n e n l a s s i g u i e n t e s t e n s i o n e s s e g ú n l a s o l u c i ó n e l á s t i c a d a d a e n e l

e n u n c i a d o :

E l c e n t r o y r a d i o d e l c í r c u l o d e M o h r s e p u e d e n c a l c u l a r c o m o :

F i g u r a 1 8 . 2 C í r c u l o d e M o h r d e l e s t a d o t e n s i o n a l d e b i d o a l a c a r g a e n f a j a

C o n o c i d o s F

F

y F

F

q u e d a d e t e r m i n a d o e l c í r c u l o d e M o h r ( F i g . 1 8 . 2 ) . E n d i c h a f i g u r a s e s e ñ a l a n l o s

1 3

p u n t o s P y P c o r r e s p o n d i e n t e s a l a v e r t i c a l b a j o e l b o r d e d e l a c a r g a e n f a j a . L a t e n s i ó n n o r m a l y

t a n g e n c i a l s o b r e u n p l a n o h o r i z o n t a l q u e p a s e p o r e l p u n t o P d e b e s e r e l p u n t o A o e l p u n t o B i n d i c a d o s




"

"

́

a r c t g

J

J

F

F

F

F

a r c t g

2 . 5 4

6 . 3 7

2 . 2 5

3 1 . 6 5

o

"

"

A

9 0

3 1 . 6 5

5 8 . 3 5

o

y "

"

B

9 0

3 1 . 6 5

1 2 1 . 6 5

o

"

"

A

!

5 8 . 3 5

9 0

1 4 8 . 3 5

o

y "

"

B

!

1 2 1 . 6 5

9 0

2 1 1 . 6 5

o

3 1 . 6 5

o

( J

J

)

z

t

( F

F

z

s )

2 . 8 4 5

( 4 . 8 0

3 . 5 2 5 )

2 . 5 4 t / m

" $


e n e l c í r c u l o d e M o h r . S i 2 s e c o r r e s p o n d e c o n ) , e n t o n c e s e l p o l o d e l c í r c u l o d e M o h r s e r í a 2 , e n c a s o

)

c o n t r a r i o s e r í a 2 . P a r a d i s c e r n i r d e c u á l d e l o s d o s s e t r a t a p u e d e a n a l i z a r s e l a F i g . 1 8 . 3 q u e m u e s t r a d e

*

f o r m a c u a l i t a t i v a c ó m o s e o r i e n t a r á n l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s e n p u n t o s b a j o l o e x t r e m o s d e l a c a r g a e n

f a j a . P u e d e v e r s e q u e l a t e n s i ó n p r i n c i p a l F

F

e s t á o r i e n t a d a h a c i a l a c a r g a e n f a j a m i e n t r a s q u e l a t e n s i ó n

1

F F s e r á o r t o g o n a l a F

F

. C o n e s t a v i s u a l i z a c i ó n d e l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s e s f á c i l d e d u c i r q u e l a p o s i c i ó n

3 1

d e l p o l o c o r r e s p o n d i e n t e a 2 e s 2 m i e n t r a s q u e p a r a 2 e l p o l o e s 2 . U n a v e z q u e s e c o n o c e l a p o s i c i ó n

) 2 *

d e l p o l o e s i n m e d i a t o d e t e r m i n a r l a t e n s i ó n t a n g e n c i a l e n u n p l a n o h o r i z o n t a l .

U n a v e z d e t e r m i n a d o e l c í r c u l o d e M o h r , e s p o s i b l e o b t e n e r l a o r i e n t a c i ó n d e l o s p l a n o s e n l o s q u e a c t ú a n

l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s :

P o r o t r o l a d o , e l t r i á n g u l o ) ) 5 ( F i g . 1 8 . 2 ) p e r m i t e o b t e n e r l a t e n s i ó n d e c o r t e a s o c i a d a a F F , e s d e c i r , l a

z

t e n s i ó n t a n g e n c i a l s o b r e u n p l a n o h o r i z o n t a l :

E n e l p u n t o 2 ( F i g . 1 8 . 1 ) , e l e s t a d o t e n s i o n a l e s t á d e f i n i d o p o r e l p u n t o * ( F i g . 1 8 . 2 ) y p o r t a n t o l a

2

t e n s i ó n d e c o r t e e n u n p l a n o h o r i z o n t a l t i e n e i g u a l m a g n i t u d p e r o s i g n o o p u e s t o , J

J

= - 2 . 5 4 t / m .

z

2

C o n e s t o s r e s u l t a d o s q u e d a d e f i n i d o e l e s t a d o t e n s i o n a l c a u s a d o p o r l a c a r g a e n f a j a . E s t e e s t a d o t e n s i o n a l

e s e l q u e s e p r o d u c i r í a s o b r e u n m e d i o e n a u s e n c i a d e p e s o p r o p i o . P a r a c o m p l e t a r e l e s t a d o t e n s i o n a l

t o t a l y c a l c u l a r l a s t e n s i o n e s e f e c t i v a s d e b e a ñ a d i r s e a l e s t a d o t e n s i o n a l c a u s a d o p o r e l p e s o p r o p i o d e

t e r r e n o y , e n e l c a s o d e l a s t e n s i o n e s e f e c t i v a s , c a l c u l a r l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l .

F i g u r a 1 8 . 3 O r i e n t a c i ó n a p r o x i m a d a d e l a s d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s




( F

F

n

)

( J

J

)

( F

F

n

)

( J

J

)

( F

F

n

)

( J

J

)

( F

F

n

)

( J

J

)

( F

F

n

)

!

( F

F

n

)

( F

F

n

)

( J

J

)

!

( J

J

)

( J

J

)

( F

F

n

)

!

( F

F

n

)

( F

F

n

)

( J

J

)

!

( J

J

)

( J

J

)

( F

F

z

)

o

(

(

n

h

2 × 5

1 0 t / m

u

(

(

w

z 1 t / m

!

× 5 m 5 t / m

(

(

s a t

(

(

n

(

(

s u m

(

(

s a t

(

(

w

2

1

1 t / m

!

( F

F

'

z

)

(

(

s u m

h

1 × 5

5 t / m

( F F '

h

)

K

o

( F F '

z

)

0 . 6 × 5 3 t / m

( F

F

h

)

( F

F

'

h

)

u

3

5

8 t / m

( J

J

z h

)

/

/

0

( F

F

z

)

p

4 . 8 0 t / m

F

F

v

( J

J

z h

)

p

2 . 5 4 t / m

( F

F

h

)

p

s

( F

F

z

s )

2 s

F

F

z

2 × 3 . 5 2 5

4 . 8 0

2 . 2 5 t / m

" %


L a s u m a d e l o s e s t a d o s t e n s i o n a l e s d e b e h a c e r s e d e f o r m a q u e s e t e n g a n e n c u e n t a t a n t o l a m a g n i t u d c o m o

l a o r i e n t a c i ó n d e l o s m i s m o s . E l e s t a d o t e n s i o n a l a s o c i a d o a u n p l a n o e s u n a m a g n i t u d v e c t o r i a l y , e n

g e n e r a l , t e n d r á u n a c o m p o n e n t e n o r m a l ( F

F

) y u n a c o m p o n e n t e t a n g e n c i a l ( J

J

) a l p l a n o . E l v e c t o r t e n s i ó n

n

a s o c i a d o a c u a l q u i e r p l a n o p u e d e d e f i n i r s e e n l a b a s e l o c a l . D i c h a b a s e l o c a l s e c o m p o n e d e u n v e c t o r

u n i t a r i o n o r m a l y u n v e c t o r u n i t a r i o t a n g e n c i a l , n y t , r e s p e c t i v a m e n t e .

L a f o r m a g e n e r a l d e p l a n t e a r l a s u m a d e d o s e s t a d o s t e n s i o n a l e s c o n s i s t e e n d e f i n i r d o s p l a n o s " " , $ $ y

c a l c u l a r s o b r e c a d a u n o d e e l l o s l a s t e n s i o n e s n o r m a l e s y t a n g e n c i a l e s p r o d u c i d a s p o r c a d a e s t a d o

t e n s i o n a l , e s d e c i r :

y o b t e n e r l a s t e n s i o n e s n o r m a l y t a n g e n c i a l c o m o s u m a e n e s o s d o s p l a n o s q u e p u e d e r e a l i z a r s e

d i r e c t a m e n t e a l s e r l a s d i s t i n t a s c o m p o n e n t e s p a r a l e l a s :

C o n e s t a s u m a , s e t e n d r á n d o s p u n t o s d e l n u e v o e s t a d o t e n s i o n a l y , p o r t a n t o , d e l c í r c u l o d e M o h r :

( F

F

) , ( J

J

) y ( F

F

) , ( J

J

) . S i l o s p l a n o s e l e g i d o s s o n o r t o g o n a l e s e n t r e s í , l o s p u n t o s c o r r e s p o n d i e n t e s e n

n

n

! ! ! !

e l c í r c u l o d e M o h r s e r á n d i a m e t r a l m e n t e o p u e s t o s . P o r s i m p l i c i d a d , s e t o m a r á n "

"

y $

$

d e m o d o q u e l o s

p l a n o s c o r r e s p o n d i e n t e s s e a n e l h o r i z o n t a l y e l v e r t i c a l , a u n q u e e n r e a l i d a d p u e d e t o m a r s e c u a l q u i e r p a r

d e p l a n o s .

L a t e n s i ó n v e r t i c a l ( q u e a c t ú a s o b r e u n p l a n o h o r i z o n t a l ) i n d u c i d a p o r e l p e s o d e l t e r r e n o p a r a u n p u n t o

s i t u a d o a 5 m d e p r o f u n d i d a d e s :

S i s e s u p o n e q u e e l t e r r e n o s e e n c u e n t r a s a t u r a d o y c o n e l n i v e l f r e á t i c o e n s u p e r f i c i e l a p r e s i ó n

i n t e r s t i c i a l c o r r e s p o n d i e n t e a e s e m i s m o p u n t o s e r á :

P a r a e s t e s u e l o , e l p e s o e s p e c í f i c o s u m e r g i d o s e r á :

E n c o n s e c u e n c i a , l a s t e n s i o n e s e f e c t i v a s y t o t a l e s , c o n s i d e r a n d o K a p l i c a b l e d i r e c t a m e n t e c o m o r e l a c i ó n

o

e n t r e t e n s i o n e s e f e c t i v a s h o r i z o n t a l e s y v e r t i c a l e s , s e o b t e n d r á n c o m o :

E n e s t o s m i s m o s p l a n o s ( v e r t i c a l y h o r i z o n t a l ) , e l e s t a d o t e n s i o n a l i n d u c i d o p o r l a c a r g a e n f a j a e s :




( F

F

z

)

s u m a

( F

F

z

)

0

( F

F

z

)

p

1 0

4 . 8 0

1 4 . 8 0 t / m

2

( F

F

h

)

s u m a

( F

F

h

)

0

( F

F

h

)

p

8

2 . 2 5

1 0 . 2 5 t / m

2

( J

J

z h

)

s u m a

( J

J

z h

)

0

( J

J

z h

)

p

0

2 . 5 4 2 . 5 4 t / m

2

( F

F

z

' )

s u m a

( F

F

z

)

s u m a

K

1 4 . 8

5

9 . 8 t / m

2

( F

F

h

' )

s u m a

( F

F

h

)

s u m a

K

1 0 . 2 5

5

5 . 2 5 t / m

2

" &


A l d i s p o n e r d e l a s t e n s i o n e s n o r m a l e s y t a n g e n c i a l e s s o b r e l o s p l a n o s v e r t i c a l y h o r i z o n t a l , e l e s t a d o

t e n s i o n a l i n d u c i d o p o r a m b a s s o l i c i t a c i o n e s ( c a r g a e n f a j a y p e s o p r o p i o d e l t e r r e n o ) r e s u l t a c o m o :

y l a s t e n s i o n e s e f e c t i v a s :

F i g u r a 1 8 . 4 C í r c u l o s d e M o h r e n t e n s i o n e s t o t a l e s

F i g u r a 1 8 . 5 C í r c u l o s d e M o h r e n t e n s i o n e s e f e c t i v a s




s

F

F

v

F

F

h

2

1 4 . 8 0

1 0 . 2 5

2

1 2 . 5 2 5 t / m

t

J

J

( F

F

z

s )

2 . 5 4

( 1 4 . 8

1 2 . 5 2 5 )

3 . 4 1 t / m

F

F

s

t

1 5 . 9 4 t / m

, F

F

!

s

t

9 . 1 2 t / m

" "

́ a r c t g

J

J

n

F F

F F

h

a r c t g

2 . 5 4

1 5 . 9 4

1 0 . 2 5

2 4 . 1

o

"

"

A

6 9 . 5

o

y "

"

B

1 1 4 . 1

o

s '

s

u

1 2 . 5 2 5

5

7 . 5 2 5 t / m

t '

t

3 . 4 1 t / m

F F '

F F

u

1 0 . 9 4 t / m

F F '

!

F F

!

u

4 . 1 2 t / m

" '


E n l a s f i g u r a s 1 8 . 4 y 1 8 . 5 s e h a n d i b u j a d o l o s c í r c u l o s d e M o h r a s o c i a d o s a c a d a u n o d e e s t o s e s t a d o s

t e n s i o n a l e s , t a n t o p a r a c a d a u n o d e e l l o s p o r s e p a r a d o c o m o p a r a s u s u m a . E l c e n t r o y e l r a d i o d e l c í r c u l o

d e M o h r d e l e s t a d o t e n s i o n a l s u m a ( t e n s i o n e s t o t a l e s ) v i e n e n d a d o s p o r :

Y l a o r i e n t a c i ó n d e l o s p l a n o s e n l o s q u e s e p r o d u c e l a t e n s i ó n p r i n c i p a l m a y o r :

E l c e n t r o , r a d i o y t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s p a r a e l e s t a d o s u m a ( t e n s i o n e s e f e c t i v a s ) v i e n e n d a d o s p o r :

P u e d e o b s e r v a r s e q u e e l r a d i o ( t ) d e l c í r c u l o e n t e n s i o n e s t o t a l e s e s i d é n t i c o q u e e l d e l c í r c u l o d e M o h r

e n t e n s i o n e s e f e c t i v a s . E s t o s e d e b e a q u e l a s t e n s i o n e s e f e c t i v a s t a n g e n c i a l e s s o n e q u i v a l e n t e s a l a s

t o t a l e s y e l v a l o r d e l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l n o j u e g a n i n g ú n p a p e l .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 1 9 .

S a b i e n d o q u e e n u n c i e r t o p u n t o d e u n s u e l o l a d e f o r m a c i ó n d e c o r t e m á x i m a ( (

(

) s e p r o d u c e e n u n

x y

m a x

p l a n o v e r t i c a l , y q u e e n u n p l a n o q u e f o r m a u n á n g u l o "

"

c o n l a v e r t i c a l s e p r o d u c e u n a d e f o r m a c i ó n g

g

,

n

e n c o n t r a r e l v a l o r d e l a s d e f o r m a c i o n e s p r i n c i p a l e s y e n q u é p l a n o s s e p r o d u c e n ( e n f u n c i ó n d e (

(

,

x y

m a x

g

g

y "

"

) .

n

S e s u p o n e c o n o c i d o e l c í r c u l o d e M o h r e n d e f o r m a c i o n e s ( F i g . 1 9 . 1 ) . D a d o q u e l a m á x i m a d e f o r m a c i ó n

d e c o r t e s e p r o d u c e e n u n p l a n o v e r t i c a l , e s i n m e d i a t o c o n o c e r e l p o l o P ( s e r e a l i z a c o n r e s p e c t o a p l a n o s ,

p e r o s i s e t o m a c o n r e s p e c t o a d i r e c c i o n e s e l r e s u l t a d o f i n a l e s e l m i s m o , a u n q u e e n t o n c e s e l p o l o s e

e n c u e n t r a e n p o s i c i ó n d i a m e t r a l m e n t e o p u e s t a ) . U n a v e z c o n o c i d o e l p o l o e s i n m e d i a t o d e t e r m i n a r e n e s t e

c a s o q u e l a s d e f o r m a c i o n e s p r i n c i p a l e s s e p r o d u c e n e n p l a n o s q u e f o r m a n á n g u l o s d e 4 5 c o n e l p l a n o

o

v e r t i c a l ( g

g

f o r m a - 4 5 y g

g

f o r m a 4 5 ) .

1 3

o o

C o n o c i d o e l p o l o s e o b t i e n e d i r e c t a m e n t e e l e s t a d o d e f o r m a c i o n a l d e l p l a n o q u e f o r m a u n á n g u l o "

"

c o n

l a v e r t i c a l ( p u n t o A e n l a f i g u r a 1 9 . 1 ) . S e r e s u e l v e e l t r i á n g u l o O A B ( u t i l i z a n d o q u e , p a r a u n m i s m o a r c o ,

e l á n g u l o c e n t r a l e n u n a c i r c u n f e r e n c i a e s e l d o b l e d e l á n g u l o i n s c r i t o ) y s e o b t i e n e l a m a g n i t u d A B . C o n

e l l o , y s a b i e n d o q u e l a d e f o r m a c i ó n n o r m a l e n e l p u n t o A e s g

g

, s e d e t e r m i n a l a p o s i c i ó n d e l c e n t r o d e l

n

c í r c u l o d e M o h r , e s d e c i r :




I

C C

C

C

1

C

C

3

2

C

C

n

1

2

(

x y

)

m a x

s i n 2

J

C

C

C

C

1

C

C

3

2

1

2

(

x y

)

m a x

C

C

1

C

C

n

1

2

(

x y

)

m a x

( 1

s i n 2

)

C

C

3

C

C

n

1

2

(

x y

)

m a x

( 1

s i n 2

)

#


F i g u r a 1 9 . 1 C í r c u l o d e M o h r e n d e f o r m a c i o n e s

A d i c i o n a l m e n t e , l a m á x i m a d e f o r m a c i ó n d e c o r t e ( ) s e r e l a c i o n a c o n e l r a d i o d e l c í r c u l o d e M o h r :

N O

m a x

S u m a n d o l a s e c u a c i o n e s a n t e r i o r e s , s e o b t i e n e :

y s u b s t i t u y e n d o e n c u a l q u i e r a d e l a s a n t e r i o r e s r e s u l t a :

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 2 0

E n e l t e r r e n o d e l a f i g u r a 2 0 . 1 s e r e a l i z a n l a s s i g u i e n t e s o p e r a c i o n e s :

a ) c o l o c a c i ó n d e u n t e r r a p l é n d e 2 m d e a l t u r a y d e g r a n d e s d i m e n s i o n e s q u e u n a v e z c o m p a c t a d o t i e n e

u n a

= 2 t / m ;

n

!

b ) e l i m i n a c i ó n d e l t e r r a p l é n a n t e r i o r ;

c ) r e b a j a m i e n t o d e l n i v e l f r e á t i c o e n 1 m ;

d ) e x c a v a c i ó n d e g r a n d e s d i m e n s i o n e s d e 3 m d e p r o f u n d i d a d .

O b t e n e r , p a r a l o s p u n t o s d e t e r r e n o n o e x c a v a d o s , l a s l e y e s d e t e n s i o n e s v e r t i c a l e s y h o r i z o n t a l e s ( .

.

,

v




0

z

4

( .

.

v

)

0

n

z

1 . 8 z

z > 4

( .

.

v

)

0

4

n

( z

4 )

s a t

1 . 9 z

0 . 4

u

w

( z

4 )

z

4

( .

.

'

v

)

0

( .

.

v

)

0

u

0 . 9 z

3 . 6

( .

.

'

h

)

0

K

0

.

.

'

v

0 . 5 × ( 0 . 9 z

3 . 6 )

0 . 4 5 z

1 . 8

( .

.

h

)

0

.

.

'

h

u

1 . 4 5 z

2 . 2

.

.

v

2 (

n

)

t e r r a p l é n

.

.

v

4 t / m

2

0

z

4

( .

.

v

)

1

( .

.

v

)

0

. .

v

1 . 8 z

4

z > 4

( .

.

v

)

1

( .

.

v

)

0

.

.

v

1 . 9 z

0 . 4

4

1 . 9 z

3 . 6

( .

.

'

v

)

1

( .

.

'

v

)

0

.

.

v

0 . 9 z

3 . 6

4

0 . 9 z

7 . 6

#


. . ' , .

.

y .

.

' ) . S u p o n e r q u e l a s p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s s o n l a s d e f i n i d a s h i d r o e s t á t i c a m e n t e p o r e l n i v e l

L D D

f r e á t i c o e n c a d a c a s o s i n n i n g u n a g e n e r a c i ó n a d i c i o n a l , y q u e e n d e s c a r g a s y r e c a r g a s d .

. ' / d . . ' = 0 . 1 .

D L

D i b u j a r l a s t r a y e c t o r i a s t e n s i o n a l e s e n l o s p l a n o s ( .

.

' , .

.

- .

. ' , . . ) , ( s ' , s - t ' , t ) y ( p ' , p - q ' , q ) ( . . = . . ) p a r a

L L D D !

e l p u n t o i n d i c a d o e n l a f i g u r a 2 0 . 1 .

F i g u r a 2 0 . 1 G e o m e t r í a . C a r a c t e r í s t i c a s d e l t e r r e n o y p o s i c i ó n d e l n i v e l f r e á t i c o

E n l a s i t u a c i ó n i n i c i a l ( q u e s e i d e n t i f i c a r á c o m o S i t u a c i ó n 0 ) a c t ú a ú n i c a m e n t e e l p e s o p r o p i o d e l t e r r e n o

( u n i d a d e s d e t e n s i o n e s : t / m ) y d a l u g a r a l a s s i g u i e n t e s t e n s i o n e s v e r t i c a l e s ( t o t a l y e f e c t i v a ) :

C o n o b j e t o d e d e t e r m i n a r l a s t e n s i o n e s h o r i z o n t a l e s ( s o b r e p l a n o s v e r t i c a l e s ) s e r e c u r r e a l c o e f i c i e n t e d e

e m p u j e a l r e p o s o ( K ) q u e s e d e f i n e c o m o l a r e l a c i ó n e n t r e t e n s i o n e s e f e c t i v a s h o r i z o n t a l e s y v e r t i c a l e s .

P o r t a n t o , l a s t e n s i o n e s h o r i z o n t a l e s ( e f e c t i v a y t o t a l ) s e r á n :

C o m o p u e d e v e r s e , p a r a c a l c u l a r .

.

p r i m e r o h a y q u e o b t e n e r .

.

' . A l d i s p o n e r d e l v a l o r d e c o e f i c i e n t e d e e m p u j e

D D

a l r e p o s o , h a s i d o p o s i b l e e l c á l c u l o d e l a t e n s i ó n e f e c t i v a h o r i z o n t a l a p a r t i r d e l v a l o r d e l a t e n s i ó n e f e c t i v a

v e r t i c a l . P o r o t r o l a d o , s e s u p o n d r á q u e e l s u e l o , i n i c i a l m e n t e , s e e n c u e n t r a n o r m a l m e n t e c o n s o l i d a d o .

L a c o l o c a c i ó n d e l t e r r a p l é n ( q u e s e i d e n t i f i c a r á c o m o S i t u a c i ó n 1 ) s e a s i m i l a a u n a c a r g a u n i f o r m e m e n t e

r e p a r t i d a d e v a l o r :

E s t e i n c r e m e n t o d e c a r g a p r o d u c e u n a u m e n t o d e l a s t e n s i o n e s v e r t i c a l e s t o t a l e s y e f e c t i v a s , h a b i e n d o




( . . '

h

)

K

( . . '

v

)

( 0 . 9 z 7 . 6 ) × 0 . 5 0 . 4 5 z 3 . 8

( .

.

h

)

( .

.

'

h

)

u

1 . 4 5 z

3 . 8

z

4

1 . 4 5 z

0 . 2

0

z

4

( .

.

v

)

( .

.

v

)

.

.

v

( .

.

v

)

4

( .

.

v

)

z > 4

( .

.

v

)

( .

.

v

)

4

( .

.

v

)

( .

.

'

v

)

( .

.

'

v

)

4

( .

.

'

v

)

( .

.

'

h

)

( .

.

'

h

)

.

.

h

.

.

'

h

0 . 1

.

. '

v

0 . 1 (

4 )

0 . 4

( .

.

'

h

)

0 . 4 5 z

3 . 8

0 . 4

0 . 4 5 z

3 . 4

( .

.

h

)

( .

.

'

h

)

u

0 . 4 5 z

3 . 4

z

4

1 . 4 5 z

0 . 6

.

.

z

4

n

n

( z

4 )

n

z , 4

z

5

.

.

v

5

n

s a t

( z

5 )

0

z

4

( .

.

v

)

!

( .

.

v

)

4

z

5

( .

.

v

)

!

n

z

1 . 8 z

#


s u p u e s t o a d e m á s q u e l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l n o s e m o d i f i c a . E l a u m e n t o d e t e n s i ó n e f e c t i v a v e r t i c a l h a c e

q u e e l s u e l o s i g a n o r m a l m e n t e c o n s o l i d a d o y s i n d e f o r m a c i o n e s l a t e r a l e s ( c o n d i c i o n e s u n i d i m e n s i o n a l e s ) .

P o r t a n t o :

L a s i g u i e n t e o p e r a c i ó n c o n s i s t e e n l a e l i m i n a c i ó n d e l t e r r a p l é n ( q u e s e i d e n t i f i c a r á c o m o S i t u a c i ó n 2 ) .

L a e l i m i n a c i ó n d e l t e r r a p l é n s u p o n e u n a d e s c a r g a c o n e l c o n s i g u i e n t e d e s c e n s o e n e l e s t a d o t e n s i o n a l y

l a s t e n s i o n e s v e r t i c a l e s v o l v e r á n a l e s t a d o a n t e r i o r a s u c o l o c a c i ó n . S e p r o d u c e u n a v a r i a c i ó n d e l a t e n s i ó n

v e r t i c a l d e - 4 t / m q u e e s l o q u e s e h a b í a c a r g a d o a l c o n s t r u i r e l t e r r a p l é n . E s d e c i r , s e t r a t a s i m p l e m e n t e

d e r e s t a r e l i n c r e m e n t o a ñ a d i d o a n t e r i o r m e n t e . L a s t e n s i o n e s v e r t i c a l e s q u e r e s u l t a n s o n :

S i n e m b a r g o , r e s p e c t o a l a s t e n s i o n e s h o r i z o n t a l e s , d e b i d o a l c o m p o r t a m i e n t o e l a s t o p l á s t i c o d e l s u e l o ,

n o s e p r o d u c i r á e n d e s c a r g a u n r e t o r n o a l o s v a l o r e s i n i c i a l e s a n t e s d e l a c o n s t r u c c i ó n d e l t e r r a p l é n . P a r a

p o d e r e s t i m a r c ó m o s e r e c u p e r a n l a s t e n s i o n e s h o r i z o n t a l e s , s e p r o p o r c i o n a e n e s t e p r o b l e m a u n a l e y

l i n e a l c o n v a r i a c i ó n d e 0 . 1 . C o n e s t e v a l o r , l a v a r i a c i ó n e n d e s c a r g a d e t e n s i o n e s e f e c t i v a s h o r i z o n t a l e s

e s :

L a s i g u i e n t e a c c i ó n q u e s e d e b e r e a l i z a r e s e l r e b a j a m i e n t o e n 1 m d e l n i v e l f r e á t i c o ( s e i d e n t i f i c a r á c o m o

S i t u a c i ó n 3 ) . D i c h o r e b a j a m i e n t o d e n i v e l f r e á t i c o t i e n e d o s e f e c t o s . E n p r i m e r l u g a r , v a r í a l a l e y d e

p r e s i o n e s d e a g u a q u e p a s a r á d e s e r u = ( z - 4 ) a s e r u = ( z - 5 ) . E n s e g u n d o l u g a r , y c o n u n a

M M

i n f l u e n c i a m e n o r e n e s t e c a s o , v a r í a l a l e y d e t e n s i o n e s t o t a l e s d e b i d o a q u e e l p e s o e n l a z o n a n o s a t u r a d a

e s

e n l u g a r d e

.

n s a t

E l s u e l o e n 4 z 5 p a s a a e s t a r p o r e n c i m a d e l n i v e l f r e á t i c o y p o r t a n t o :

E n z > 5 l a n u e v a l e y d e t e n s i o n e s e s :

C o n e s t a s l e y e s d e t e n s i o n e s t o t a l e s v e r t i c a l e s , s e p u e d e n c a l c u l a r l a s c o r r e s p o n d i e n t e s t e n s i o n e s

e f e c t i v a s :




z > 5

( .

.

v

)

!

5

n

s a t

( z

5 )

1 . 9 z

0 . 5

( .

.

'

v

)

!

( .

.

v

)

!

u

1 . 9 z

0 . 5

( z

5 )

0 . 9 z

4 . 5

.

.

'

v

( . . '

v

)

!

( . . '

v

)

( 0 . 9 z 4 . 5 ) ( 0 . 9 z 3 . 6 ) 0 . 9

.

.

'

h

0 . 1 × 0 . 9

0 . 0 9

( .

.

'

h

)

!

0 . 4 5 z

3 . 4

0 . 0 9

0 . 4 5 z

3 . 4 9

( .

.

h

)

!

( .

.

'

h

)

!

u

0 . 4 5 z

3 . 4 9

z

5

1 . 4 5 z

1 . 5 1

.

.

v

3

n

3 × 1 . 8

5 . 4 t / m

3 < z

5

( .

.

v

)

"

( .

.

v

)

!

.

.

v

1 . 8 z

5 . 4

z > 5

( .

.

v

)

"

( .

.

v

)

!

.

.

v

1 . 9 z

0 . 5

5 . 4

1 . 9 z

5 . 9

( .

.

'

v

)

"

( .

.

'

v

)

!

(

.

.

v

)

0 . 9 z

4 . 5

5 . 4

0 . 9 z

0 . 9

( .

.

'

h

)

"

( .

.

'

h

)

!

.

.

'

h

.

.

'

h

0 . 1

.

.

'

v

0 . 1 × (

5 . 4 )

0 . 5 4

( . . '

h

)

"

0 . 4 5 z 3 . 4 9 0 . 5 4 0 . 4 5 z 2 . 9 5

( .

.

h

)

"

( .

.

'

h

)

"

u

0 . 4 5 z

2 . 9 5

z

5

1 . 4 5 z

2 . 0 5

( .

.

v

)

p

1 . 9 × 1 0

0 . 4

1 8 . 6 t / m

( .

.

'

v

)

p

0 . 9 × 1 0

3 . 6

1 2 . 6 t / m

( .

.

h

)

p

1 . 4 5 × 1 0

2 . 2

1 2 . 3 t / m

( .

.

'

h

)

p

0 . 4 5 × 1 0

1 . 8

6 . 3 t / m

# !


P u e s t o q u e e s t e a u m e n t o d e t e n s i ó n v e r t i c a l ( 0 . 9 ) e s m e n o r q u e 4 ( p e s o d e l t e r r a p l é n ) h a y q u e c o n s i d e r a r l o

c o m o u n a r e c a r g a ( d i c h a r e c a r g a s e p r o d u c i r í a h a s t a l l e g a r a 4 , q u e e s l a m á x i m a t e n s i ó n a l a q u e h a

e s t a d o s o m e t i d o e l t e r r e n o ) , p o r t a n t o :

E n c a s o q u e e l i n c r e m e n t o d e t e n s i ó n a a ñ a d i r f u e s e s u p e r i o r a 4 t / m s e r í a n e c e s a r i o a p l i c a r e l i n c r e m e n t o

e n d o s p a s o s . U n p r i m e r p a s o e n r e c a r g a h a s t a l l e g a r a l a p r e s i ó n d e p r e c o n s o l i d a c i ó n y u n s e g u n d o p a s o

d e s d e l a m i s m a .

L a ú l t i m a a c c i ó n c o n s i s t e e n l a r e a l i z a c i ó n d e u n a e x c a v a c i ó n d e 3 m d e p r o f u n d i d a d ( s e i d e n t i f i c a r á

c o m o S i t u a c i ó n 4 ) . A l e s c a v a r s e p r o d u c e u n a d e s c a r g a e n e l s u e l o d e v a l o r :

L a s t e n s i o n e s v e r t i c a l e s s e c a l c u l a n d e a c u e r d o c o n :

y l a s t e n s i o n e s h o r i z o n t a l e s v i e n e n d a d a s p o r :

q u e s o n l a s e x p r e s i ó n e s e n e l e s t a d o f i n a l .

L a s l e y e s o b t e n i d a s e n f u n c i ó n d e z s e p a r t i c u l a r i z a r á n p a r a e l p u n t o P q u e s i t ú a e l e n u n c i a d o a u n a

p r o f u n d i d a d d e 1 0 m .

S i t u a c i ó n 0 ( i n i c i a l ) e n P :

S i t u a c i ó n 1 e n P :




( F

F

L

)

F

1 . 9 × 1 0

3 . 6

2 2 . 6 t / m

( F

F

'

L

)

F

0 . 9 × 1 0

7 . 6

1 6 . 6 t / m

( F

F

D

)

F

1 . 4 5 × 1 0

0 . 2

1 4 . 3 t / m

( F

F

'

D

)

F

0 . 4 5 × 1 0

3 . 8

8 . 3 t / m

( F

F

L

)

F

( F

F

L

)

F

1 8 . 6 t / m

( F

F

'

L

)

F

( F

F

'

L

)

F

1 2 . 6 t / m

( F

F

D

)

F

1 . 4 5 × 1 0

0 . 6

1 3 . 9 t m

( F

F

'

D

)

F

0 . 4 5 × 1 0

3 . 4

7 . 9 t / m

( F

F

L

)

F

!

1 . 9 × 1 0

0 . 5

1 8 . 5 t / m

( F

F

'

L

)

F

!

0 . 9 × 1 0

4 . 5

1 3 . 5 t / m

( F

F

D

)

F

!

1 . 4 5 × 1 0

1 . 5 1

1 2 . 9 9 t / m

( F

F

'

D

)

F

!

0 . 4 5 × 1 0

3 . 4 9

7 . 9 9 t / m

( F

F

L

)

F

"

1 . 9 × 1 0

5 . 9

1 3 . 1 t / m

( F

F

'

L

)

F

"

0 . 9 × 1 0

0 . 9

8 . 1 t / m

( F

F

D

)

F

"

1 . 4 5 × 1 0

2 . 0 5

1 2 . 4 5 t / m

( F

F '

D

)

F

"

0 . 4 5 × 1 0

2 . 9 5

7 . 4 5 t / m

s

( F

F

L

F

F

D

) / 2 t

( F

F

L

F

F

D

) / 2

p

1 / 3 ( F

F

L

2 F

F

D

) q

F

F

L

F

F

D

# "





A l o l a r g o d e t o d o e l p r o c e s o J

J

= J

J

= 0 p o r l o q u e l a s d i r e c c i o n e s v e r t i c a l y h o r i z o n t a l s e r á n l a s

L D D L

p r i n c i p a l e s . C o m o s e t i e n e t a m b i é n e n t o d o s l o s c a s o s q u e F

F

> F

F

, s e c u m p l i r á F

F

= F

F

y F

F

= F

F

, y p o r l o

L D

L D !

t a n t o :

L o s v a l o r e s d e l a s t e n s i o n e s o b t e n i d a s e n e l p u n t o P s e r e s u m e n e n l a t a b l a a d j u n t a , j u n t a m e n t e c o n l a s

v a r i a b l e s s , s ' , t , t ' , p , p ' , q y q ' a l o l a r g o d e l p r o c e s o . E s t o s v a l o r e s s e h a n d i b u j a d o f o r m a n d o l a s

t r a y e c t o r i a s t e n s i o n a l e s e n l o s p l a n o s F

F

- F

F

, e n l a F i g . 2 0 . 1 ; e n l o s p l a n o s s , s ' - t , e n l a f i g u r a 2 0 . 2 , y

L D

e n l o s p l a n o s p , p ' - q , e n l a f i g u r a 2 0 . 3 .

t / m S i t u a c i ó n 0 S i t u a c i ó n 1 S i t u a c i ó n 2 S i t u a c i ó n 3 S i t u a c i ó n 4

F F

L

1 8 . 6 2 2 . 6 1 8 . 6 1 8 . 5 1 3 . 1

F

F

D

1 2 . 3 1 4 . 3 1 3 . 9 1 2 . 9 9 1 2 . 4 5

F

F

'

L

1 2 . 6 1 6 . 6 1 2 . 6 1 3 . 5 8 . 1

F

F

'

D

6 . 3 8 . 3 7 . 9 7 . 9 9 7 . 4 5

s

1 5 . 4 5 1 8 . 4 5 1 6 . 2 5 1 5 . 7 4 1 2 . 7 7

s '

9 . 4 5 1 2 . 4 5 1 0 . 2 5 1 0 . 7 4 7 . 7 7

t = t ' 3 . 1 5 4 . 1 5 2 . 3 5 2 . 7 6 0 . 3 2

p

1 4 . 4 1 7 . 1 1 5 . 5 1 4 . 8 3 1 2 . 6 7

p '

8 . 4 1 1 . 1 9 . 5 9 . 8 3 7 . 6 7

q = q '

6 . 3 8 . 3 4 . 7 5 . 5 0 . 6 5




# #


F i g u r a 2 0 . 1 T r a y e c t o r i a d e t e n s i o n e s e n p l a n o .

.

- .

.

.

.

� - .

.

�

v h , v h .

F i g u r a 2 0 . 2 T r a y e c t o r i a d e t e n s i o n e s e n p l a n o s - t , s � - t




# $


F i g u r a 2 0 . 3 T r a y e c t o r i a d e t e n s i o n e s e n p l a n o p - q , p � - q

______________________________________________




n

n

z

u

(

(

M

# %

F l u j o d e a g u a e n s u e l o s a t u r a d o i n d e f o r m a b l e

Capítulo 3. Flujo de agua en suelo saturado indeformable

P R O B L E M A 2 1 .

E n e l t e r r e n o d e l a f i g u r a a d j u n t a ( F i g . 2 1 . 1 ) s e l l e v a a c a b o u n b o m b e o d e a g u a e n l a c a p a d e g r a v a ,

q u e r e d u c e e n 3 m s u a l t u r a p i e z o m é t r i c a o r i g i n a l . O b t e n e r y d i b u j a r l a s l e y e s d e v a r i a c i ó n d e F

F

, F

F

' ,

L L

F

F , F F ' , u , y n n c o n l a p r o f u n d i d a d , t a n t o a n t e s c o m o d e s p u é s d e l b o m b e o , ( e n e s t a ú l t i m a s i t u a c i ó n s e

D D

s u p o n d r á q u e s e h a l l e g a d o a l r é g i m e n e s t a c i o n a r i o ) .

F i g u r a 2 1 . 1 R e p r e s e n t a c i ó n e s q u e m á t i c a d e l t e r r e n o

E n p r i m e r l u g a r s e o b t i e n e n l a s l e y e s d e t e n s i o n e s , p r e s i o n e s y n i v e l e s c o r r e s p o n d i e n t e s a l e s t a d o i n i c i a l

a n t e s d e b o m b e a r . L a c o o r d e n a d a v e r t i c a l p u e d e t o m a r s e i n d i s t i n t a m e n t e e n s e n t i d o h a c i a a r r i b a ( z ) o

h a c i a a b a j o ( z ' ) . E l o r i g e n t a m b i é n e s a r b i t r a r i o , y e n e s t e c a s e s e t o m a e n l a s g r a v a s p a r a z y e n l a

s u p e r f i c i e d e l t e r r e n o p a r a z ' ( z = 1 2 - z ' ) . E l n i v e l p i e z o m é t r i c o s e d e f i n e c o m o :

E n p r i n c i p i o e n l a z o n a p o r e n c i m a d e l n i v e l f r e á t i c o e l p e s o e s p e c í f i c o d e l t e r r e n o t e n d r á u n v a l o r

i n t e r m e d i o e n t r e e l p e s o e s p e c í f i c o s a t u r a d o y e l p e s o e s p e c í f i c o s e c o . E n e s t e c a s o , y p u e s t o q u e s e t r a t a

d e u n s u e l o g r a n u l a r ( a r e n a ) , t e n d r á m a y o r f a c i l i d a d p a r a d e s a t u r a r q u e s i s e t r a t a r a d e u n a a r c i l l a . P o r

t a n t o , s e t o m a r á c o m o p e s o e s p e c í f i c o n a t u r a l e l v a l o r d e l a d e n s i d a d s e c a , q u e s e o b t i e n e c o m o :

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "copyright", bajo las sancionesestablecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, yla distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, así como la exportación e importación de ejemplares para su distribución y venta fuera delámbito de la Unión Europea.



(

(

s a t

(

(

s

(

(

w

e

1

e

e

(

(

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(

s a t

(

(

s a t

(

(

w

1 . 1 2 5 (

(

d

(

(

s

1

e

1 . 2 7 t / m

!

0 < z

2

F

F

v

(

(

a r e n a

d

z

1 . 2 7 z

u 0

F

F

v

F

F

v

F F

h

K

F F

v

K

( (

a r e n a

d

z

0 . 5 × 1 . 2 7 z

0 . 6 3 5 z

F

F

h

F

F

h

2 < z

4

F

F

v

(

(

a r e n a

d

2

(

(

a r e n a

s a t

( z

2 )

1 . 2 7 × 2

1 . 8 ( z

2 )

1 . 8 z

1 . 0 6

u

(

(

w

( z

2 )

z

2

F

F

v

F

F

v

u

0 . 8 z

0 . 9 4

F

F

K

F

F

v

0 . 4 z

0 . 4 7

F

F

F

F

u

1 . 4 z

1 . 5 3

n

n

z

u

(

(

w

( 1 2

z

)

z

2

1

1 0 m

4 < z

1 2

F

F

v

(

(

d

2

(

(

a r e n a

s a t

( 4

2 )

(

(

l i m o

s a t

( z

4 )

6 . 1 4

2 ( z

4 )

2 z

1 . 8 6

u

(

(

w

( z

2 )

z

2

F F

v

F F

v

u

2 z

1 . 8 6

z

2

z

0 . 1 4

F

F

h

K

o

F

F

v

0 . 6 ( z

0 . 1 4 )

0 . 6 z

0 . 8 4

F

F

h

F

F

h

u

0 . 6 z

0 . 8 4

z

2

1 . 6 z

1 . 1 6

n

n

z

u

(

(

w

1 0 m

# &


P a r a e s t e c á l c u l o s e h a t o m a d o (

(

= 2 . 7 t / m .

I

!

E n e l e s t a d o i n i c i a l , a n t e r i o r a l a r e a l i z a c i ó n d e l b o m b e o , l a s l e y e s d e t e n s i o n e s s e c a l c u l a n a

c o n t i n u a c i ó n . P a r a l a a r e n a e n l a z o n a n o s a t u r a d a l a s t e n s i o n e s s o n :

A u n q u e d e h e c h o l a d e f i n i c i ó n d e t e n s i o n e s e f e c t i v a s e n l a z o n a n o s a t u r a d a t i e n e p o c o s e n t i d o , s e h a n

t o m a d o c o m o i g u a l e s a l a s t o t a l e s , r e s u l t a d o q u e s e o b t i e n e a l s u p o n e r q u e l a p r e s i ó n i n t e r s i t i c i a l e s c e r o .

P a r a l a z o n a d e s u e l o a r e n o s o b a j o e l n i v e l f r e á t i c o r e s u l t a :

P o r ú l t i m o p a r a e l l i m o e n l a z o n a s a t u r a d a :

E l b o m b e o e n l a s g r a v a s p r o d u c e u n r e b a j a m i e n t o d e n i v e l e n l a s m i s m a s d e 3 m . E s t o s e r e p r e s e n t a

c u a l i t a t i v a m e n t e e n l a f i g u r a 2 1 . 2 .




q

z

K

e q

d n

n

d z

K

e q

)

)

n

n

)

)

z

K

e q

1 0

7

1 0

K

e q

0 . 3

L

K

e q

L

1

K

1

L

2

K

2

, L

L

1

L

2

K

e q

L

L

1

K

1

L

2

K

2

1 0

2

1 0

1

8

1 0

4

1 . 2 5 × 1 0

4

c m / s

q

z

K

e q

0 . 3

3 . 7 5 × 1 0

5

c m / s

0 . 0 3 2 4

m

3

m

2

d í a

d q

z

d z

0 q

a r e n a

q

l i m o

q

z

# '


F i g u r a 2 1 . 2 L e y e s d e p r e s i o n e s y n i v e l p i e z o m é t r i c o a n t e s

d e b o m b e a r y d u r a n t e e l b o m b e o

E l c a u d a l v e r t i c a l g e n e r a d o p o r l a v a r i a c i ó n d e n

n s e p r o d u c e h a c i a l a s g r a v a s ( n n d e c r e c i e n t e ) y p u e d e

o b t e n e r s e c o m o :

E l s i g n o n e g a t i v o d e e s t e c a u d a l i n d i c a q u e s e t r a t a d e u n f l u j o d e a g u a d e s c e n d e n t e . L a p e r m e a b i l i d a d

e q u i v a l e n t e ( K ) e n u n s i s t e m a f o r m a d o p o r 2 c a p a s y c o n f l u j o e n l a d i r e c c i ó n n o r m a l a l a o r i e n t a c i ó n

A G

d e l a s m i s m a s v i e n e d a d a p o r :

E s t a e x p r e s i ó n s e o b t i e n e c o m o r e s u l t a d o d e i m p o n e r q u e l o s f l u j o s e n c a d a c a p a s o n i g u a l e s e n t r e s í e

i g u a l e s a l f l u j o q u e l a s a t r a v i e s a . E s t a p e r m e a b i l i d a d e q u i v a l e n t e p u e d e i n t e r p r e t a r s e c o m o l a q u e t e n d r í a

u n m e d i o h o m o g é n e o e q u i v a l e n t e . C o n l o s d a t o s d e e s t e p r o b l e m a s e o b t i e n e :

P a r a o b t e n e r c ó m o v a r í a n l a s l e y e s d e t e n s i o n e s d e b i d o a l b o m b e o h a y q u e c a l c u l a r l a s v a r i a c i o n e s d e

p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l o d e n i v e l . L a e c u a c i ó n d e c o n t i n u i d a d e n r é g i m e n e s t a c i o n a r i o e x p r e s a q u e e l c a u d a l

e s c o n s t a n t e p a r a c u a l q u i e r z , l u e g o :

E s t e c a u d a l p u e d e c a l c u l a r s e c o m o :




q

a r e n a

K

1

d n

n

d z

K

1

n

n

1 0

8

1 0

2 < z

4

n

n

a z

b

n

n

1 0

a 2

b n

n

9 . 9 9 7 5

a 4

b

a

0 . 0 0 1 2 5

b

1 0 . 0 0 2 5

n

n

0 . 0 0 1 2 5 z

1 0 . 0 0 2 5

u

( n

n

z ) (

(

M

(

0 . 0 0 1 2 5 z

1 0 . 0 0 2 5

1 2

z

)

0 . 9 9 8 7 5 z

1 . 9 9 7 5

4 < z

1 2

n

n

a z

b

n

n

9 . 9 9 7 5

a 4

b n

n

7

a 1 2

b

a

0 . 3 7 4 7

b

1 1 . 4 9 6 3

n

n 0 . 3 7 4 7 z

1 1 . 4 9 6 3

u

( n

n

z ) (

(

M

(

0 . 3 7 4 7 z

1 1 . 4 9 6 3

1 2

z

)

0 . 6 2 5 3 z

0 . 5 0 3 7

2 < z

4

)

)

u

( 0 . 9 9 8 7 5 z

1 . 9 9 7 5 )

( z

2 )

0 . 0 0 1 2 5 z

0 . 0 0 2 5 _

_

0

4

z

1 2

)

)

u

( 0 . 6 2 5 3 z

0 . 5 0 3 7 )

( z

2 )

0 . 3 7 4 7 z

1 . 4 9 6 3 _

_

0 . 3 7 5 z

1 . 5 0

0 < z

< 4

) ) F F

0

4 < z

1 2

F

F

L

z

0 . 1 4 ( 0 . 3 7 5 z

1 . 5 ) 1 . 3 7 5 z

1 . 3 6

F

F

D

K

0

F

F

L

0 . 8 2 5 z

0 . 8 1 6

$


d o n d e n n e s e l n i v e l p i e z o m é t r i c o e n e l i n t e r f a s e a r e n a - l i m o , q u e r e s u l t a t e n e r u n v a l o r d e n

n

= 9 . 9 9 7 5 m .

E s t e v a l o r e s p r á c t i c a m e n t e . 1 0 m y e s t o p o n e d e m a n i f i e n s t o e l h e c h o q u e l a p e r m e a b i l i d a d e n l a a r e n a

e s a l t a e n c o m p a r a c i ó n c o n e l l i m o . P o r t a n t o , h a y p o c a s p é r d i d a s d e c a r g a e n l a c a p a d e a r e n a y

p r á c t i c a m e n t e l a p é r d i d a d e n i v e l t o t a l ( 3 m ) s e p r o d u c e e n l a c a p a d e l i m o . E l c a m b i o d e p r e s i ó n

i n t e r s t i c i a l e s : )

)

u = ) n

) n

(

(

p o r q u e z n o v a r í a . L a n u e v a l e y d e n i v e l e s p i e z o m é t r i c o s e s , p a r a l a a r e n a e n

M

l a z o n a s a t u r a d a :

m i e n t r a s q u e p a r a e l l i m o :

P u e s t o q u e , e n e s t e c a s o , s o l a m e n t e v a r í a n l a s p r e s i o n e s i n t e r s t i c a l e s o n i v e l e s , l o s c a m b i o s d e t e n s i ó n

e f e c t i v a p o d r á n o b t e n e r s e c o m o F

F

' = - )

)

u y a q u e l a t e n s i ó n t o t a l F

F

p e r m a n e c e c o n s t a n t e y F

F

' = F

F

- u .

D i c h o s c a m b i o s e n l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l v i e n e n d a d o s p o r :

Y p o r t a n t o l o s c a m b i o s d e t e n s i ó n s e r á n n u l o s d o n d e n o h a y a v a r i a c i ó n d e p r e s i ó n , e s d e c i r :

M i e n t r a s q u e e n l a z o n a d o n d e l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l v a r í a , l a s n u e v a s t e n s i o n e s e f e c t i v a s s o n :

E n l a f i g u r a 2 1 . 3 s e h a n r e p r e s e n t a d o l a s l e y e s d e a l t u r a s p i e z o m é t r i c a s , p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s y

t e n s i o n e s v e r t i c a l e s y h o r i z o n t a l e s t a n t o a n t e s c o m o d u r a n t e e l b o m b e o .




$


F i g u r a 2 1 . 3 L e y e s d e a l t u r a s p i e z o m é t r i c a s , p r e s i o n e s

i n t e r s t i c i a l e s , t e n s i o n e s t o t a l e s y e f e c t i v a s

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 2 2 .

E n e l t e r r e n o d e l a f i g u r a 2 2 . 1 s e r e b a j a e n 4 m e l n i v e l p i e z o m é t r i c o d e l e s t r a t o i n f e r i o r d e g r a v a s .

O b t e n e r ( s u p o n i e n d o c o n d i c i o n e s e s t a c i o n a r i a s ) e l c a u d a l v e r t i c a l g e n e r a d o y l a l e y d e n i v e l e s

p i e z o m é t r i c o s c o n l a p r o f u n d i d a d .





q

z

K

e q

d n

n

d z

K

e q

)

)

n

n

)

)

z

K

e q

L

L

1

K

1

L

2

K

2

L

3

K

3

L

L

1

L

2

L

3

K

e q

6

2

1 0

4

3

1 0

2

1

1 0

3

5 . 8 8 × 1 0

6

c m / s

q

z

5 . 8 8 × 1 0

6

( 6

4 )

6

0

6

3 . 9 2 × 1 0

6

c m / s

q

z

3 . 9 2 × 1 0

6

c m / s ×

1 m

1 0 0 c m

×

8 6 4 0 0 s

1 d í a

0 . 0 0 3 4

m

d í a

0 . 0 0 3 4

m

3

m

2

d í a

q

l i m o

q

a r e n a

q

a r c i l l a

q

$


L a e c u a c i ó n d e c o n t i n u i d a d d e l a g u a j u n t a m e n t e c o n l a l e y d e D a r c y d a n l u g a r , b a j o l a h i p ó t e s i s d e

r é g i m e n e s t a c i o n a r i o e n u n s i s t e m a m u l t i c a p a y f l u j o p e r p e n d i c u l a r a l a s c a p a s , a :

E n r é g i m e n e s t a c i o n a r i o , l a s l e y e s d e n i v e l e s p e z o m é t r i c o s ( n

n

) s o n l i n e a l e s e n c a d a e s t r a t o h o m o g é n e o .

A p l i c a n d o l o s v a l o r e s p r o p u e s t o s e n e s t e p r o b l e m a , r e s u l t a u n a p e r m e a b i l i d a d e q u i v a l e n t e i g u a l a :

q u e p e r m i t e c a l c u l a r e l c a u d a l u n i t a r i o o f l u j o c o m o :

L a c o n d i c i ó n d e c o n t i n u i d a d p e r m i t e e s t a b l e c e r q u e :

F i g u r a 2 2 . 2 L e y e s d e p r e s i o n e s y n i v e l e s p i e z o m é t r i c o s

S i s e u t i l i z a l a d e n o m i n a c i ó n d e p u n t o s A ( z = 6 ) , B ( z = 4 ) , C ( z = 1 ) y D ( z = 0 ) , c o r r e s p o n d i e n t e a l a s

i n t e r f a s e s e n t r e c a d a d o s c a p a s ( F i g . 2 2 . 2 ) , s e t i e n e :




q

K

d n

n

d z

K

n

n

B

n

n

A

z

B

z

A

n

n

B

5 . 9 2 1 6 m

q

K

d n

n

d z

K

n

n

C

n

n

B

z

C

z

B

n n

C

5 . 9 2 0 4 m

q

!

K

!

d n

n

d z

K

!

n

n

D

n

n

C

z

D

z

C

n

n

D

2 . 0 0 m

u

( d

d

z

s ) (

(

w

F

F

z

( d

d

z ) ( (

n 1

d

z

d

d

F

F

z

d

(

(

n 1

( d

z ) (

(

n 2

0

z

d

$ !


D e h e c h o , l a ú l t i m a e c u a c i ó n e s i n n e c e s a r i a y a q u e n

n

= 6 - 4 = 2 m . E n l a f i g u r a 2 2 . 2 s e r e p r e s e n t a l a

D

l e y d e n i v e l e s p i e z o m é t r i c o s y l a l e y d e p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 2 3 .

E n e l t e r r e n o d e l a f i g u r a 2 3 . 1 s e v a a r e a l i z a r u n a e x c a v a c i ó n d e g r a n d e s d i m e n s i o n e s , q u e s e

m a n t e n d r á s e c a m e d i a n t e b o m b e o e n s u p e r f i c i e . O b t e n e r l a m á x i m a p r o f u n d i d a d x a l a q u e s e p u e d e

l l e g a r m a n t e n i e n d o u n c o e f i c i e n t e d e s e g u r i d a d a l s i f o n a m i e n t o ( F S = F

F

/ u ) d e 1 . 5 ( s e c o n s i d e r a r á q u e ,

d e b i d o a l a r e l a t i v a i m p e r m e a b i l i d a d d e l a c a p a d e l i m o a r e n o s o c o n r e s p e c t o a l a p e r m e a b i l i d a d d e l a s

g r a v a s , l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l e n l a s g r a v a s i n f e r i o r e s n o v a r í a ) . P a r t i c u l a r i z a r e l p r o b l e m a p a r a d = 1 0

1

m , (

(

= 1 . 8 t / m , (

(

= 2 . 0 t / m , d = 0 . 5 m , s = 1 m , K = 1 0 c m / s y K = 1 0 c m / s , y o b t e n e r e n e s t e c a s o e l

n 1 n 2 2 1 2

3 3 - 1 - 3

c a u d a l q u e s e r e c o g e r á . ¿ Q u é m e d i d a s s e p o d r í a n a d o p t a r p a r a a u m e n t a r l a m á x i m a p r o f u n d i d a d x

o b t e n i d a , m a n t e n i e n d o e l c o e f i c i e n t e d e s e g u r i d a d e n 1 . 5 ?

F i g u r a 2 3 . 1 R e p r e s e n t a c i ó n e s q u e m á t i c a d e l m e d i o

S e h a c e i n i c i a l m e n t e l a h i p ó t e s i s d e q u e x > s . L a s l e y e s d e p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l y t e n s i ó n a n t e s d e e x c a v a r

s e r á n :

E s t a s l e y e s s e r e p r e s e n t a n e n l a f i g u r a 2 3 . 2 .




.

.

z

( d

d

z

x )

n 1

d

z

d

d

.

.

z

( d

x )

n 1

( d

z )

n 2

0

z

d

F S

.

.

u

( d

x )

n 1

d

n 2

( d

d

s )

w

( d

x )

n 1

d

n 2

( d

d

s )

s

F S

o

x d

( d

d

s )

w

F S

o

d

n

n 1

$ "


A l r e a l i z a r l a e x c a v a c i ó n s e p r o d u c e u n a v a r i a c i ó n d e l a s t e n s i o n e s t o t a l e s ( p e s o d e l t e r r e n o e x c a v a d o )

y d e l a s p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s ( b o m b e o d e a g u a e n e l i n t e r i o r d e l a e x c a v a c i ó n ) . L a l e y d e t e n s i o n e s

t o t a l e s s e t r a n s f o r m a e n :

S o b r e l a l e y d e p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s s e s a b e q u e l a u = 0 e n z = d + d - x ( p u n t o A , F i g . 2 3 . 2 ) m i e n t r a s

1 2

q u e u = ( d + d - s )

e n z = 0 ( p u n t o C , F i g . 2 3 . 2 ) . E n e s t e ú l t i m o p u n t o s e s u p o n e , t a l c o m o s e i n d i c a

1 2 w

e n e l e n u n c i a d o , q u e l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l n o v a r í a . E s t a h i p ó t e s i s e s r a z o n a b l e s i e m p r e q u e l a s g r a v a s

s e p u e d a n s u p o n e r c o n e c t a d a s c o n e l n i v e l p i e z o m é t r i c o r e g i o n a l . E n t o n c e s , s u a l t a p e r m e a b i l i d a d i m p i d e

p é r d i d a s d e c a r g a a u n q u e s e b o m b e e e n l a e x c a v a c i ó n . P o r o t r o l a d o , d a d o q u e l o s l i m o s s o n m u c h o m á s

i m p e r m e a b l e s q u e l a s a r e n a s , s e p r o d u c e e n t r e C y B ( F i g . 2 3 . 2 ) , l a m a y o r p a r t e d e p é r d i d a d e c a r g a .

F i g u r a 2 3 . 2 L e y e s d e p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l y t e n s i ó n t o t a l a n t e s y d e s p u é s d e e x c a v a r

A m e d i d a q u e l a e x c a v a c i ó n a v a n z a , l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l s e v a a c e r c a n d o a l a t e n s i ó n t o t a l b a j o l a

e x c a v a c i ó n . P e r o , d a d a l a f o r m a d e l a l e y d e p r e s i o n e s q u e s e v a a t e n e r e n e s t e c a s o ( a r e n a s o b r e l i m o

y l i m o s o b r e g r a v a ) , e l p u n t o C e s e l m á s d e s f a v o r a b l e c o m o p u e d e v e r s e e n l a f i g u r a 2 3 . 2 . E n o t r a s

p a l a b r a s , a m e d i d a q u e l a e x c a v a c i ó n a v a n c e , e l p r i m e r p u n t o e n e l q u e s e a l c a n z a r á l a s i t u a c i ó n c r í t i c a

d e s i f o n a m i e n t o ( .

.

= u o .

.

' = 0 ) e s e l C d e b i d o a l a r e l a c i ó n e n t r e p e r m e a b i l i d a d e s . E l f a c t o r d e s e g u r i d a d

a l s i f o n a m i e n t o s e o b t e n d r á p a r a e s t e p u n t o ( C , F i g . 2 3 . 2 ) c o m o :

S i s e i m p o n e F S F S e s d e c i r , u n v a l o r d e p r o y e c t o q u e s e e s t a b l e z c a , r e s u l t a :

o

S u s t i t u y e n d o p o r u n v a l o r d e F S = 1 . 5 , r e s u l t a x 2 . 6 4 m c o m o m á x i m a p r o f u n d i d a d d e e x c a v a c i ó n

o

p a r a d i c h o f a c t o r d e s e g u r i d a d a l s i f o n a m i e n t o y l o s d a t o s d e l p r o b l e m a .

P o r o t r o l a d o , e l c a u d a l q u e h a y q u e b o m b e a r e n e l i n t e r i o r d e l a e x c a v a c i ó n v e n d r á d a d o ( e n c o n d i c i o n e s

u n i d i m e n s i o n a l e s ) p o r :




q

z

K

e q

d n

n

d z

K

e q

n

n

c

n

n

A

z

c

z

A

n n

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(

w

( (

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s

n

n

A

z

C

u

A

(

(

w

( d

d

x )

0

d

d

x

z

C

0 y z

A

d

d

x

K

e q

L

L

K

L

K

d

d

x

d

x

K

d

K

q

z

K

e q

x

s

d

d

x

x

s

d

x

K

d

K

K

e q

0 . 0 1 3 9 c m / s y q

z

0 . 0 1 3 9

2 . 6 4

1

1 0 . 5

2 . 6 4

0 . 0 0 2 9 c m / s

q

z

0 . 0 0 2 9 c m / s ×

8 6 4 0 0 s

1 d í a

×

1 m

1 0 0 c m

2 . 5

m

!

m

d í a

$ #


s i e n d o :

y c o m o p e r m e a b i l i d a d e q u i v a l e n t e :

S u b s t i t u y e n d o l a p e r m e a b i l i d a d e q u i v a l e n t e y l o s n i v e l e s p i e z o m é t r i c o s r e s u l t a :

e i n t r o d u c i e n d o l o s d a t o s d e l p r o b l e m a y x = 2 . 6 4 m r e s u l t a

D i c h o c a u d a l s e p u e d e e x p r e s a r e n o t r a s u n i d a d e s :

P o r ú l t i m o , c o m o p o s i b l e s o l u c i ó n p a r a a u m e n t a r l a p r o f u n d i d a d d e l a e x c a v a c i ó n s i n m o d i f i c a r e l f a c t o r

d e l a s e g u r i d a d a l s i f o n a m i e n t o c o n s i s t e s e p u e d e c i t a r l a r e d u c c i ó n d e l n i v e l p i e z o m é t r i c o e n l a s g r a v a s

m e d i a n t e b o m b e o e n p o z o s o c o n d r e n e s h a c i a l a s a r e n a s y l a e x c a v a c i ó n . E n e s t e c a s o , e l c a u d a l a

b o m b e a r e n l a s g r a v a s p u e d e s e r m u y e l e v a d o e n f u n c i ó n d e l a m a g n i t u d y p e r m e a b i l i d a d d e l a c u í f e r o .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 2 4 .

L a f i g u r a 2 4 . 1 m u e s t r a l o s c a s o s d e u n a c u í f e r o l i b r e y d e u n a c u í f e r o c o n f i n a d o , r e s p e c t i v a m e n t e , d e

l o s q u e s e p r e t e n d e e x t r a e r a g u a b o m b e a n d o d e s d e u n p o z o c i r c u l a r . O b t e n e r e n a m b o s c a s o s l a s l e y e s

d e n i v e l e s p i e z o m é t r i c o s d e l a c u í f e r o a l b o m b e a r u n c a u d a l Q , u n a v e z e s t a b l e c i d o e l r é g i m e n

e s t a c i o n a r i o .

E n a m b a s s i t u a c i o n e s ( a c u í f e r o l i b r e y a c u í f e r o c o n f i n a d o ) e s p r e c i s o a d o p t a r p r e v i a m e n t e c i e r t a s

h i p ó t e s i s s i n l a s c u a l e s n o e s p o s i b l e o b t e n e r u n a s o l u c i ó n a n a l í t i c a . E n p r i m e r l u g a r s e d e b e t r a t a r d e u n




q r *

*

r h

q r *

* r h Q

$ $


a c u í f e r o h o m o g é n e o e i s ó t r o p o . E n s e g u n d o l u g a r l a s o l u c i ó n s e d e b e o b t e n e r p a r a u n r é g i m e n

e s t a c i o n a r i o a c a u d a l c o n s t a n t e . R e l a c i o n a d o c o n l o a n t e r i o r , d e b e e x i s t i r a s i m i s m o u n c o n t o r n o d e n i v e l

c o n s t a n t e , e s d e c i r , q u e p a r a r = r s e c u m p l e h = h ( h i p ó t e s i s d e i s l a c i r c u l a r c o n p o z o e n e l c e n t r o ) . P o r

ú l t i m o , s e a d m i t e l a h i p ó t e s i s d e D u p u i t , e n e l c a s o d e a c u í f e r o l i b r e , q u e e s t a b l e c e q u e l a s l í n e a s d e n i v e l

p i e z o m é t r i c o c o n s t a n t e p u e d e n c o n s i d e r a r s e v e r t i c a l e s , a p e s a r d e q u e e l n i v e l f r e á t i c o n o e s h o r i z o n t a l .

F i g u r a 2 4 . 1 B o m b e o e n a c u í f e r o l i b r e y a c u í f e r o c o n f i n a d o .

a ) a c u í f e r o l i b r e ( F i g . 2 4 . 2 )

F i g u r a 2 4 . 2 A c u í f e r o l i b r e c o n c o n d i c i ó n d e c o n t o r n o d e n i v e l c o n s t a n t e

( h = n i v e l p i e z o m é t r i c o = e s p e s o r s a t u r a d o )

S e a q ( r ) e l c a u d a l u n i t a r i o q u e a t r a v i e s a u n a s u p e r f i c i e p e r p e n d i c u l a r a l a d i r e c c i ó n r a d i a l . E l c a u d a l q u e

p a s a t r a v é s d e u n c i l i n d r o d e r a d i o r y a l t u r a h ( e s p e s o r s a t u r a d o a d i s t a n c i a r ) e s :

E n r é g i m e n e s t a c i o n a r i o e s t e c a u d a l d e b e s e r i g u a l a l q u e s e e x t r a e d e l p o z o ( - Q ) , p o r l o q u e l a e c u a c i ó n

d e c o n t i n u i d a d q u e d a r á c o m o :




q ( r )

K

d h

d r

K 2 *

*

r h

d h

d r

Q 2 h d h

Q

*

*

K

d r

r

h

Q

* * K

l n r A

h

Q

*

*

K

l n r

A A

h

Q

*

*

K

l n r

h

h

Q

*

*

K

l n

r

r

m m

h

h o

2 h d h

Q

*

*

K

m m

r

r o

d r

r

h

h

h o

Q

*

*

K

l n r

r

r o

h

h

o

Q

*

*

K

l n

r

r

o

$ %


P o r o t r o l a d o , l a l e y d e D a r c y p e r m i t e e s c r i b i r ( e l n i v e l p i e z o m é t r i c o c o i n c i d e c o n e l e s p e s o r s a t u r a d o ) :

y s u s t i t u y e n d o l a l e y d e D a r c y e n l a d e c o n t i n u i d a d r e s u l t a :

L a i n t e g r a l d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l a n t e r i o r p r o p o r c i o n a :

d o n d e A e s u n a c o n s t a n t e d e i n t e g r a c i ó n . P u e s t o q u e p a r a r = r s e s u p o n e q u e h = h , r e s u l t a :

0 o

y f i n a l m e n t e :

E s t a e c u a c i ó n p u e d e t a m b i é n o b t e n e r s e c o m o u n a i n t e g r a l d e f i n i d a d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l , e s d e c i r :

b ) a c u í f e r o c o n f i n a d o ( F i g . 2 4 . 3 )

F i g u r a 2 4 . 3 A c u í f e r o c o n f i n a d o c o n c o n d i c i ó n d e c o n t o r n o d e n i v e l c o n s t a n t e .

( h = n i v e l p i e z o m é t r i c o b = e s p e s o r d e l a c u í f e r o )

S e a b e l e s p e s o r d e l a c u í f e r o c o n f i n a d o y q ( r ) e l c a u d a l u n i t a r i o q u e a t r a v i e s a u n a s u p e r f i c i e

p e r p e n d i c u l a r a l a d i r e c c i ó n r a d i a l . E l c a u d a l q u e p a s a a t r a v é s d e u n c i l i n d r o d e r a d i o r y a l t u r a b ( e n e s t e

c a s o e l e s p e s o r e s s i e m p r e b p o r t r a t a r s e d e u n a c u í f e r o c o n f i n a d o ) e s :




q ( r ) 2 *

*

r b

q ( r ) 2 *

*

r b

Q

K 2 *

*

r b

d h

d r

Q d h

Q

2 *

*

b K

d r

r

h

Q

2 *

*

b K

l n r

A

A

h

o

Q

2 *

*

b K

l n r

o

h

h

o

Q

2 *

*

b K

l n

r

r

o

s

h

o

h

Q

2 *

*

b K

l n

r

r

o

Q

2 *

*

b K

l n

r

o

r

h

h

o

( h

h

o

) ( h

h

o

) .

.

s 2 h

o

( h

h

o

�

�

2 h

)

2 s h

o

Q

*

*

K

l n

r

r

o

s �

�

Q

2 h

o

*

*

K

l n

r

o

r

$ &


q u e i g u a l a d o a l c a u d a l b o m b e a d o ( - Q ) r e s u l t a :

y s u s t i t u y e n d o q ( r ) p o r l a l e y d e D a r c y r e s u l t a ( s i e n d o h e l n i v e l p i e z o m é t r i c o ) :

e i n t e g r a n d o l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l a n t e r i o r r e s u l t a :

d o n d e A e s u n a c o n s t a n t e d e i n t e g r a c i ó n . S i a d i s t a n c i a r = r , e l n i v e l e s h = h s e o b t i e n e :

o o

y f i n a l m e n t e :

E s t a s e x p r e s i o n e s p u e d e n e s c r i b i r s e e n t é r m i n o s d e l d e s c e n s o s d e f i n i d o c o m o s = h - h , q u e e s l a

o

v a r i a b l e q u e n o r m a l m e n t e s e m i d e e n e l c a m p o . P a r a e l c a s o d e a c u í f e r o c o n f i n a d o s e r í a s i m p l e m e n t e :

P a r a e l c a s o d e a c u í f e r o l i b r e e s p r e c i s o a p r o x i m a r :

v á l i d o s i e m p r e q u e h + h . 2 h , e s d e c i r , p a r a d e s c e n s o s p e q u e ñ o s .

o 0

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 2 5 .

L a f i g u r a 2 5 . 1 r e p r e s e n t a u n t a l u d e n m a t e r i a l i m p e r m e a b l e , c o n d o s f r a c t u r a s r e l l e n a s , r e s p e c t i v a m e n t e ,

c o n m a t e r i a l e s d e p e r m e a b i l i d a d e s K y K . P o r a m b a s f r a c t u r a s , q u e s e s u p o n e q u e e s t á n s a t u r a d a s ,

1

2

c i r c u l a a g u a p r o c e d e n t e d e l a e s c o r r e n t í a s u p e r f i c i a l d e l t a l u d . S u p o n i e n d o q u e s e h a a l c a n z a d o e l

r é g i m e n e s t a c i o n a r i o , o b t e n e r u n a r e l a c i ó n e n t r e K y K p a r a q u e u n p o z o v e r t i c a l q u e p a s e p o r e l p u n t o

1 2

d e i n t e r s e c c i ó n d e a m b a s f r a c t u r a s s e a a r t e s i a n o y a p l i c a r l o a l c a s o :

= 1 5 , l = 5 0 0 m ,

= 3 0 ,

= 1 3 5 ,

o o o

1 2

d = 0 . 5 m , d = 0 . 8 m .

1 2




n

n

*

> z

,

A B

s i n

�

C

B C

s i n

�

A

A C

s i n

�

B

�

C

"

"

$

$

,

�

B

9 0

$

$

$

$

9 0

$

$

$

$

�

A

9 0

"

"

( $

$

9 0 )

1 8 0

( "

"

$

$

)

$ '


F i g u r a 2 5 . 1 R e p r e s e n t a c i ó n e s q u e m á t i c a d e l t a l u d

L a c o n d i c i ó n d e p o z o a r t e s i a n o e s q u e :

e s d e c i r q u e e l n i v e l p i e z o m é t r i c o e n e l p u n t o B ( F i g . 2 5 . 2 ) q u e d e p o r e n c i m a d e l a s u p e r f i c i e d e l t e r r e n o .

F i g u r a 2 5 . 2 E s q u e m a d e l a s f r a c t u r a s y á n g u l o s c o n s i d e r a d o s

E n e s t e p r o b l e m a s e v a n a p r e s e n t a r d o s r e s o l u c i o n e s a l t e r n a t i v a s e n l o r e l a t i v o a l a s c o n d i c i o n e s

g e o m é t r i c a s i m p u e s t a s . C o m o p o d r á v e r s e a m b o s p l a n t e a m i e n t o s c o n d u c e n a l m i s m o r e s u l t a d o .

R e s o l u c i ó n a )

E l t e o r e m a d e l o s s e n o s p e r m i t e r e l a c i o n a r d i s t a n c i a s c o n á n g u l o s o p u e s t o s e n u n t r i á n g u l o . A p l i c á n d o l o

a l c a s o d e l t r i á n c u l o A B C ( F i g . 2 5 . 2 ) s e t i e n e :

L o s á n g u l o s e n A , B y C e n f u n c i ó n d e "

"

, $

$

y $

$ s o n :




s i n ( 1 8 0

( "

"

$

$

) )

s i n ( "

"

$

$

)

A B

l s i n ( " "

$ $

)

s i n ( $

$

$

$

)

B C

l s i n ( " "

$ $

)

s i n ( $

$

$

$

)

z

*

0

z

+

B C s i n $

$

l s i n ( "

"

$

$

) s i n $

$

s i n ( $

$

$

$

)

z

)

A B s i n ( 1 8 0

$

$

)

l s i n ( "

"

$

$

) s i n $

$

s i n ( $

$

$

$

)

z

,

s i n ( "

"

$

$

)

B C

s i n ( 9 0

"

"

)

z

,

l s i n ( "

"

$

$

) s i n ( "

"

$

$

)

s i n ( $

$

$

$

) s i n ( 9 0

"

"

)

Q

) *

q

d

K

n

n

*

n

n

)

A B

d

Q

* +

q

d

K

n

n

+

n

n

*

B C

d

Q

) *

Q

* +

K

( n

n

*

z

)

)

A B

d

K

( z

+

n

n

*

)

B C

d

n

n

*

z

)

z

+

K

K

d

d

A B

B C

1

K

K

d

d

A B

B C

%


A d e m á s A C = l , y e l á n g u l o s u p l e m e n t a r i o p e r m i t e e s c r i b i r :

D e l a s a n t e r i o r e s e c u a c i o n e s r e s u l t a :

L a s c o o r d e n a d a s z d e c a d a p u n t o s o n :

y v o l v i e n d o a a p l i c a r e l t e o r e m a d e l o s s e n o s , e n e s t e c a s o a l t r i á n g u l o B C D , r e s u l t a :

P o r o t r o l a d o , l o s c a u d a l e s q u e c i r c u l a n e n l a s f r a c t u r a s d e b e n c u m p l i r l a e c u a c i ó n d e c o n t i n u i d a d , q u e

e n e s t e c a s o i m p l i c a s i m p l e m e n t e q u e e l c a u d a l e n A B e s e l m i s m o q u e e n B C . E s t o s c a u d a l e s , p o r u n i d a d

d e a n c h u r a d e t a l u d , s e p u e d e n c a l c u l a r c o m o :

d o n d e s e h a a p l i c a d o q u e n

n

= z y n

n

= z p o r t r a t a r s e d e p u n t o s e x t e r i o r e s , e s d e c i r , u = u = 0 .

) + ) + ) +

C o n s e c u e n t e m e n t e l a c o n d i c i ó n d e c o n t i n u i d a d d e c a u d a l e s q u e d a r á c o m o :

D e l a e c u a c i ó n a n t e r i o r s e p u e d e o b t e n e r n

n

, q u e n o e s c o n o c i d o :

*

y p u e s t o q u e l a c o n d i c i ó n d e p o z o a r t e s i a n o e s n

n

> z , y n

n

= n

n

y a q u e e n e l p o z o n o c i r c u l a a g u a ,

, , , *




z

)

z

+

K

K

d

d

A B

B C

> z

,

1

K

K

d

d

A B

B C

K

K

>

z

,

z

+

z

)

z

,

d

d

A B

B C

z

,

z

+

l s i n (

)

s i n (

)

s i n (

)

s i n ( 9 0

)

s i n

z

)

z

,

l s i n (

)

s i n (

)

s i n

s i n (

)

s i n ( 9 0

)

z

,

z

+

z

)

z

,

s i n (

)

s i n (

)

c o s

c o s

K

K

>

d

d

s i n (

)

s i n (

)

c o s

c o s

s i n (

)

s i n (

)

d

d

c o s

c o s

K

K

> 0 . 7 6

%


r e s u l t a :

E s t a e c u a c i ó n p e r m i t e o b t e n e r l a c o n d i c i ó n e n t r e p e r m e a b i l i d a d e s :

d o n d e :

H a c i e n d o e l c o c i e n t e y o p e r a n d o r e s u l t a :

d o n d e c o s

< 0 c o n l a g e o m e t r í a i n d i c a d a . F i n a l m e n t e , s u s t i t u y e n d o e s t e c o c i e n t e y l o s v a l o r e s d e A B y

B C o b t e n i d o s a n t e r i o r m e n t e e n l a c o n d i c i ó n e n t r e p e r m e a b i l i d a d e s r e s u l t a :

P a r a d = 0 . 5 m , d = 0 . 8 m ,

= 3 0 y

= 1 3 5 r e s u l t a :

F i g u r a 2 5 . 3 V a r i a c i o n e s d e n i v e l p i e z o m é t r i c o e n t r e A , B y C




n

n

)

n

n

*

x

n

n

*

n

n

+

l

x

n

n

)

n

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*

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x

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Q K

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n

n

+

n

n

*

C B

C B

( l

x ) c o s "

"

c o s $ $

Q

K

d

n

n

*

n

n

)

B A

B A

x c o s "

"

c o s ( 1 8 0

$

$

)

n

n

*

n

n

+

Q

K

d

( l

x ) c o s "

"

c o s $

$

n

n

)

n

n

*

Q

K

d

x c o s "

"

c o s ( 1 8 0

$

$

)

Q

K

d

x c o s "

"

c o s ( 1 8 0

$

$

)

<

x

( l

x )

Q

K

d

( l

x ) c o s "

"

c o s $

$

K

K

>

d

d

c o s $

$

c o s $

$

%


R e s o l u c i ó n b )

E s t e p r o b l e m a t i e n e u n a s o l u c i ó n m á s s e n c i l l a . L a s p é r d i d a s d e n i v e l e n t r e A y C ( n

n

- n

n ) s e p r o d u c e n

) +

e n d o s t r a m o s : A B ( n

n

- n

n

) y B C ( n

n

- n

n

) . E n l a f i g u r a 2 5 . 3 s e r e p r e s e n t a l a s i t u a c i ó n e n l a q u e s e

) + ) +

c u m p l e e x a c t a m e n t e n

n

= z . E n e s t e c a s o , l o s d o s t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s c o n á n g u l o "

"

p e r m i t e n e s c r i b i r :

* ,

p e r o e l p o z o s e r í a a r t e s i a n o s i e m p r e q u e :

P o r o t r o l a d o , l o s c a u d a l e s e n c a d a t r a m o , i g u a l e s p o r c o n t i n u i d a d , s o n :

D e d o n d e s e o b t i e n e :

q u e s e s u s t i t u y e n e n l a d e s i g u a l d a d a n t e r i o r m e n t e e s t a b l e c i d a :

F i n a l m e n t e r e s u l t a :

q u e c o i n c i d e c o n l a e x p r e s i ó n o b t e n i d a a n t e r i o r m e n t e e n l a r e s o l u c i ó n b ) .

D e h e c h o , a m b a s r e s o l u c i o n e s s o n e q u i v a l e n t e s , y l a ú n i c a d i f e r e n c i a e n t r e e l l a s e s l a c o n d i c i ó n

g e o m é t r i c a p l a n t e a d a i n i c i a l m e n t e ( t e o r e m a d e l o s s e n o s o t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s ) .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 2 6 .

D i b u j a r l a r e d d e f l u j o y e s t i m a r e l c a u d a l i n f i l t r a d o c o r r e s p o n d i e n t e a l c a s o d e l a f i g u r a 2 6 . 1 . O b t e n e r ,

a s i m i s m o , l a s p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s p r o d u c i d a s e n l a p a n t a l l a .




M

M

q

N

M

M

x

M

M

q

O

M

M

y

q

N

K

N

M

M

n

n

M

M

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M

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M

M

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M

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M

M

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K

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K

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M

M

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M

M

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M

M

n

n

M

M

x

M

M

M

M

x

M

M

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n

M

M

x

M

M

M

M

x

J

M

M

n

n

M

M

x

J

M

M

x

J

M

M

x

M

M

n

n

M

M

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J

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"

K

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K

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"

M M

n

n

M

M

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J

M M

n

n

M

M

y

K

N

K

O

"

"

"

"

K

O

K

N

x

J

K

O

K

N

x

% !


F i g u r a 2 6 . 1 R e p r e s e n t a c i ó n e s q u e m á t i c a d e l p r o b l e m a

L a e c u a c i ó n d e c o n t i n u i d a d d e l a g u a e n r é g i m e n e s t a c i o n a r i o y m e d i o b i d i m e n s i o n a l e s :

d o n d e q y q s o n l o s f l u j o s e n l a d i r e c c i ó n d e l o s e j e s . S u p o n i e n d o u n m e d i o a n i s ó t r o p o y q u e l a s

N O

d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s d e l t e n s o r d e p e r m e a b i l i d a d c o i n c i d e n c o n l o s e j e s x e y s e t i e n e :

y s u s t i t u y e n d o e n l a e c u a c i ó n d e c o n t i n u i d a d , s e o b t i e n e l a e c u a c i ó n d e f l u j o :

P a r a r e s o l v e r e l p r o b l e m a d e f l u j o g r á f i c a m e n t e ( r e d d e f l u j o ) e n u n m e d i o a n i s ó t r o p o K U K c o n v i e n e

N O

r e a l i z a r u n a t r a n s f o r m a c i ó n d e c o o r d e n a d a s d e m a n e r a q u e e l c o e f i c i e n t e d e a m b a s d e r i v a d a s s e g u n d a s

e n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l s e a e l m i s m o . H a c i e n d o x = "

"

x , d o n d e "

"

e s u n c o e f i c i e n t e q u e n o s e c o n o c e

J

y x u n a n u e v a v a r i a b l e , s e t i e n e :

J

S u s t i t u y e n d o e n l a e c u a c i ó n d e c o n t i n u i d a d r e s u l t a :

C o n s e c u e n t e m e n t e , e l c a m b i o d e v a r i a b l e d e b e s e r t a l q u e :

D e e s t a m a n e r a l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l r e s u l t a n t e c o r r e s p o n d e a u n m e d i o e q u i v a l e n t e i s ó t r o p o , e n e l c u a l




x

J

K

L

4 K

L

x

1

2

x

)

)

n

n

1 0

0 . 5

1 0

0 . 9 5

K

A G

K

N

K

O

% "


l a r e d d e f l u j o e s o r t o g o n a l , y p o r t a n t o , s e p u e d e u t i l i z a r e l m é t o d o g r á f i c o .

F i g u r a 2 6 . 2 . R e d d e f l u j o e n e l p l a n o x - y .

J

E n e s t e p r o b l e m a K = K y K = K = 4 K , l u e g o :

O L N D L

q u e p e r m i t e d i b u j a r u n a r e d d e f l u j o o r t o g o n a l e n e l p l a n o ( x - y ) . E n l a f i g u r a 2 6 . 2 s e h a r e p r e s e n t a d o

J

e s t a r e d d e f l u j o c o n 1 0 i n t e r v a l o s d e s a l t o d e n i v e l p i e z o m é t r i c o , l o q u e c o r r e s p o n d e a 1 1 c u r v a s d e i g u a l

n i v e l o e q u i p o t e n c i a l e s . P u e d e v e r s e q u e a d e m á s d e o r t o g o n a l , l a r e d d e f l u j o s e h a d i b u j a d o c o n

e q u i d i s t a n c i a e n t r e e q u i p o t e n c i a l e s y l í n e a s d e c o r r i e n t e e n c a d a c e l d a . L a d i f e r e n c i a d e n i v e l

p i e z o m é t r i c o e n t r e c a d a d o s l i n e a s e q u i p o t e n c i a l e s e s :

y l a s c u r v a s d e n i v e l d i b u j a d a s c o r r e s p o n d e n a l o s v a l o r e s 1 0 , 9 . 0 5 , 8 . 1 0 , 7 . 1 5 , 6 . 2 0 , 5 . 2 5 , 4 . 3 0 , 3 . 3 5 ,

2 . 4 0 , 1 . 4 5 y 0 . 5 m .

U n a v e z c o n s t r u i d a l a r e d d e f l u j o e n e l p l a n o ( x - y ) p u e d e t r a s l a d a r s e a l p l a n o o r i g i n a l ( x - y ) , e n e l q u e

J

p u e d e v e r s e q u e l a r e d d e f l u j o n o c u m p l e l a s p r o p i e d a d e s d e o r t o g o n a l i d a d y e q u i d i s t a n c i a q u e c u m p l í a

l a r e d e n e l e s p a c i o t r a n s f o r m a d o , a l h a b e r s e d i s t o r s i o n a d o ( F i g . 2 6 . 3 ) .

P a r a c a l c u l a r e l c a u d a l q u e c i r c u l a a t r a v é s d e l t e r r e n o , d e b i d o a l a a n i s o t r o p í a d e l m e d i o , d e b e c a l c u l a r s e

u n a p e r m e a b i l i d a d e q u i v a l e n t e d e f i n i d a c o m o :

q u e e n e s t e c a s o t i e n e u n v a l o r d e :




K

A G

K

N

K

O

4 × 1 0

4

× 1 0

4

2 × 1 0

4

c m / s

Q

n

t u b o s

K

A G

)

)

n

n

4 K

A G

)

)

n

n

4 × 2 × 1 0

4

c m / s × 0 . 9 5 m

Q

7 . 6 × 1 0

6

m

3

m s

0 . 6 5 6

m

3

m d í a

% #


y d a d o q u e e n l a r e d d e f l u j o l a s c e l d a s s e h a n t o m a d o a p r o x i m a d a m e n t e c u a d r a d a s , e l c a u d a l t o t a l p o d r á

o b t e n e r s e c o m o :

d o n d e 4 e s e l n ú m e r o d e t u b o s d e f l u j o q u e s e h a n o b t e n i d o e n l a r e d d e f l u j o y ) n

) n

e s l a p é r d i d a d e n i v e l

e n t r e d o s l í n e a s e q u i p o t e n c i a l e s .

F i g u r a 2 6 . 3 . R e d d e f l u j o e n e l p l a n o x - y .

P o r ú l t i m o , s e c a l c u l a r á l a l e y d e p r e s i o n e s s o b r e l a p a n t a l l a . P a r a e l l o , e n p r i m e r l u g a r p u e d e o b t e n e r s e

e l n i v e l p i e z o m é t r i c o e n c a d a p u n t o m e d i a n t e i n t e r p o l a c i ó n d e s d e l a s e q u i p o t e n c i a l e s c o n t i g u a s . L a f i g u r a

2 6 . 4 m u e s t r a l a l e y d e v a r i a c i ó n d e n

n

s o b r e l a s p a r e d e s d e l a p a n t a l l a .

F i g u r a 2 6 . 4 L e y d e n i v e l e s p i e z o m é t r i c o s s o b r e l a p a n t a l l a




n

n

z

u

(

(

M

u

n

n z ( (

M

% $


A p a r t i r d e e s t a l e y e s i n m e d i a t o e s t i m a r l a l e y d e p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s y a q u e :

d o n d e e s p r e c i s o u t i l i z a r t a m b i é n l a c o t a d e c a d a p u n t o , q u e e n e s t e c a s o , s e m i d e d e s d e l a s u p e r f i c i e d e l

t e r r e n o y p o r t a n t o e n l a p a n t a l l a l o s v a l o r e s s o n n e g a t i v o s .

E n l a f i g u r a 2 6 . 5 s e i n c l u y e t a m b i é n l a p r e s i ó n n e t a s o b r e l a p a n t a l l a q u e s e o b t i e n e p o r d i f e r e n c i a e n t r e

l a s p r e s i o n e s d e a g u a a a m b o s l a d o s d e l a m i s m a .

F i g u r a 2 6 . 5 L e y d e p r e s i o n e s s o b r e l a p a n t a l l a

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 2 7 .

U n t a l u d i n d e f i n i d o c o n i n c l i n a c i ó n $

$

e s t á c o m p u e s t o p o r u n e s t r a t o l i m o s o ( (

(

, (

(

, K ) , d e p o t e n c i a h

@ I = J

u n i f o r m e , s o b r e r o c a i m p e r m e a b l e . E l n i v e l f r e á t i c o e s t á s i t u a d o a u n a d i s t a n c i a s e n v e r t i c a l p o r d e b a j o

d e l a s u p e r f i c i e d e l t e r r e n o . O b t e n e r e n e s t a s c o n d i c i o n e s :

a ) l a r e d d e f l u j o e n e l t e r r e n o ;

b ) l a l e y d e p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s c o n l a v e r t i c a l ;

c ) e l c a u d a l p r o d u c i d o ;

d ) l a s l e y e s d e p r e s i o n e s t o t a l e s y e f e c t i v a s e n p l a n o s p a r a l e l o s a l a s u p e r f i c i e , y l a d i r e c c i ó n d e l a

t e n s i ó n s o b r e p l a n o s v e r t i c a l e s .

A p l i c a r l o a l c a s o h = 6 m , s = 1 m , = 1 5 , = 1 . 8 t / m , = 2 . 0 t / m , y K = 1 0 c m / s .

o 3 3 - 3

d s a t

a ) L a r e d d e f l u j o s e h a d i b u j a d o e n l a f i g u r a 2 7 . 1 . T a n t o l a b a s e i m p e r m e a b l e d e l t a l u d c o m o l a s u p e r f i c i e

f r e á t i c a s o n l í n e a s d e c o r r i e n t e q u e , a d e m á s , s o n p a r a l e l a s e n t r e s í . E n c o n s e c u e n c i a , s e p r o d u c e f l u j o e n

c o n c i d i c i o n e s u n i d i m e n s i o n a l e s .




L

L

n

n

)

)

n

n

)

)

l

s i n $

$

L

L

n

n

s i n 1 5

o

0 . 2 6

n

n

n

n

l

)

)

n

n

)

)

l

n

n

l s i n $

$

l

( H

s

z ) s i n $

$

n

n

n

n

l

)

)

n

n

)

)

l

n

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( H

s

z ) s i n

$

$

u

( n

n

( H

s

z ) s i n

$

$

z ) (

(

w

n

n

n

n

l s i n 1 5

o

5 . 2 1

l × 0 . 2 6

% %


F i g u r a 2 7 . 1 R e d d e f l u j o e n t a l u d i n d e f i n i d o

P a r a e v a l u a r e l g r a d i e n t e d e n i v e l p i e z o m é t r i c o b a s t a c o n c o n s i d e r a r l a i n c l i n a c i ó n d e l a s u p e r f i c i e

f r e á t i c a . E n t r e d o s p u n t o s s e p a r a d o s u n a d i s t a n c i a )

)

l s e p r o d u c e u n a v a r i a c i ó n d e n i v e l ) n

) n

. L a v a r i a c i ó n

p o r u n i d a d d e l o n g i t u d p u e d e a s o c i a r s e c o n e l s e n o d e l á n g u l o q u e f o r m a e l t a l u d .

S i s e p a r t i c u l a r i z a p a r a l o s v a l o r e s d e l p r o b l e m a r e s u l t a :

> L a s l e y e s d e p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s y d e n i v e l e s p i e z o m é t r i c o s e n l a v e r t i c a l s e p u e d e n o b t e n e r s i s e

t o m a u n a l í n e a v e r t i c a l q u e d e s d e c u a l q u i e r p u n t o d e l b o r d e i m p e r m e a b l e d e l t a l u d s e l l e v a h a s t a l a

e q u i p o t e n c i a l d e v a l o r n

n

. E s t e v a l o r e s a r b i t r a r i o a l s e r e l t a l u d i n d e f i n i d o . E n c u a l q u i e r p u n t o d e d i c h a

l í n e a v e r t i c a l e l n i v e l p i e z o m é t r i c o p u e d e c a l c u l a r s e c o m o :

y e n e s t a e x p r e s i ó n :

e n l a q u e H e s e l e s p e s o r d e l t e r r e n o y s l a p r o f u n d i d a d d e l n i v e l f r e á t i c o , a m b a s m e d i d a s e n l a d i r e c c i ó n

v e r t i c a l . P o r t a n t o , l a l e y d e n i v e l e s p i e z o m é t r i c o s y p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s r e s u l t a n t e e s :

P a r t i c u l a r i z a n d o c o n l o s d a t o s d e l p r o b l e m a r e s u l t a :




l

( 5 . 2 1

z ) 0 . 2 6

u

( n

n

z ) (

(

w

( 5 . 2 1

l s i n 1 5

o

z ) (

(

w

( (

w

( 5 . 2 1 ( 5 . 2 1 z ) × 0 . 2 6 × 0 . 2 6 z ) 4 . 8 5 0 . 9 3 z

u ( z 0 ) 4 . 8 5 t / m

u ( z

5 . 2 1 )

0 t / m

q K L L

n

n K

)

)

n

n

) ) l

Q q b 1

Q

K

)

)

n

n

)

)

l

b × 1

0 . 8 6 4 m / d í a × 0 . 2 6 × ( 5 . 2 1 c o s 1 5

) × 1 m

1 . 1 3 m

!

/ d í a

K

1 0

!

c m / s ×

1 m

1 0 0 c m

×

8 6 4 0 0 s

1 d í a

0 . 8 6 4 m / d í a

% &


d o n d e l s e o b t i e n e c o m o :

S u s t i t u y e n d o l e n n

n

y n

n

e n u y r e s u l t a e n e s t e c a s o :

S e p u e d e c o m p r o b a r q u e :

q u e s o n l o s v a l o r e s e n l o s e x t r e m o s , e s d e c i r , e n l a s u p e r f i c i e y e n e l c o n t a c t o c o n e l b o r d e i m p e r m e a b l e .

? E l c a u d a l Q e s i g u a l a l f l u j o ( q ) m u l t i p l i c a d o p o r e l á r e a , e s t o e s :

s i e n d o b e l e s p e s o r s a t u r a d o y 1 l a l o n g i t u d q u e s e t o m a p e r p e n d i c u l a r a l a s e c c i ó n . U t i l i z a n d o l o s d a t o s

d e l p r o b l e m a s e o b t i e n e e l s i g u i e n t e v a l o r :

d o n d e l a p e r m e a b i l i d a d s e h a t o m a d o c o m o :

@ E n e l e n u n c i a d o d e l p r o b l e m a s e p i d e n l a s t e n s i o n e s s o b r e p l a n o s p a r a l e l o s a l a s u p e r f i c i e , y l a

d i r e c c i ó n d e l a t e n s i ó n s o b r e p l a n o s v e r t i c a l e s . E n e s t e ú l t i m o c a s o , n o s e p i d e e l m ó d u l o p u e s t o q u e n o

e s p o s i b l e d e d u c i r l o d e l a c o n d i c i ó n d e e q u i l i b r i o d e t e n s i o n e s . S i n e m b a r g o , a l t r a t a r s e d e u n t a l u d

i n d e f i n i d o , p u e d e c o n c l u i r s e q u e e n c u a l q u i e r p l a n o v e r t i c a l l a s t e n s i o n e s s o n i g u a l e s . E n l a f i g u r a 2 7 . 2

s e h a r e p r e s e n t a d o s u d i r e c c i ó n q u e , d e b i d o a q u e d e b e e q u i l i b r a r l a c o m p o n e n t e d e l p e s o d e l t e r r e n o

p a r a l e l a a l t a l u d , d i c h a t e n s i ó n s o b r e p l a n o s v e r t i c a l e s t a m b i é n e s p a r a l e l a a l a i n c l i n a c i ó n d e l t a l u d .

F i g u r a 2 7 . 2 O r i e n t a c i ó n d e l a t e n s i ó n e n u n p l a n o v e r t i c a l




F

F

n

d l

(

(

d

( H

z ) d x c o s $

$

J

J

d l

(

(

d

( H

z ) d x s i n $

$

d x

d l c o s $

$

F

F

n

(

(

d

( 6 . 2 1

z ) c o s

1 5

o

J

J

(

(

d

( 6 . 2 1 z ) c o s 1 5

s i n 1 5

o

F

F

n

d l

( (

(

d

× 1

(

(

s a t

( H

z ) ) d x c o s $

$

J

J

d l

( (

(

d

× 1

(

(

s a t

( H

z ) ) d x s i n $

$

F

F

n

( (

(

d

× 1

(

(

s a t

( 5 . 2 1

z ) ) c o s

1 5

o

J

J

( (

(

d

× 1

(

(

s a t

( 5 . 2 1

z ) ) s i n 1 5

o

c o s 1 5

o

F

F

n

F

F

n

u u

(

(

w

( 4 . 8 5

0 . 9 3 z )

% '


F i g u r a 2 7 . 3 E s q u e m a d e l a s e c c i ó n p a r a e l c á l c u l o d e t e n s i o n e s .

P a r a e l c á l c u l o d e l a s t e n s i o n e s s o b r e p l a n o s p a r a l e l o s a l a s u p e r f í c i e , b a s t a t e n e r e n c u e n t a q u e e n p l a n o s

v e r t i c a l e s l a s t e n s i o n e s s o n i g u a l e s . E s t o i m p l i c a q u e s ó l o e s n e c e s a r i o e s t a b l e c e r l a c o n d i c i ó n d e

e q u i l i b r i o d e t e n s i o n e s e n l a d i r e c c i ó n n o r m a l y t a n g e n c i a l a d i c h o p l a n o p a r a l e l o a l a s u p e r f í c i e d e l t a l u d .

P a r a e l l o s e t o m a u n a r e b a n a d a ( F i g . 2 7 . 3 ) d e a n c h o d x q u e l l e g u e h a s t a p r o f u n d i d a d ( H - z ) s i e n d o H e l

e s p e s o r e n l a d i r e c c i ó n v e r t i c a l d e l t a l u d .

E n z 5 . 2 1 m ( s o b r e N F ) , l a c o n d i c i ó n d e e q u i l i b r i o e n t r e e l p e s o y l a s t e n s i o n e s e s :

q u e a l p a r t i c u l a r i z a r d a l u g a r a :

E n 0 z < 5 . 2 1 ( b a j o N F ) , l a c o n d i c i ó n d e e q u i l i b r i o e n t r e e l p e s o y l a s t e n s i o n e s e s :

q u e a l p a r t i c u l a r i z a r d a l u g a r a :

E n e s t e ú l t i m o c a s o s e c a l c u l a t a m b i é n l a t e n s i ó n e f e c t i v a a p a r t i r d e l a l e y d e t e n s i o n e s t o t a l e s y l a d e

p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s .




&


E l h e c h o d e u t i l i z a r

e n l a z o n a p o r e n c i m a d e l n i v e l f r e á t i c o e s t á j u s t i f i c a d o a l t r a t a r s e d e u n e s t r a t o

@

n o a r c i l l o s o . E n g e n e r a l , e l p e s o e s p e c í f i c o d e l t e r r e n o e n e s t a z o n a v a r í a e n t r e e l p e s o e s p e c í f i c o s e c o

y e l s a t u r a d o , y s u v a l o r d e p e n d e d e l o l e j o s o c e r c a q u e s e e n c u e n t r e e l p u n t o e n c u e s t i ó n d e l n i v e l

f r e á t i c o . E n e s t e c a s o p a r t i c u l a r s e r í a m á s a c o n s e j a b l e u t i l i z a r u n p e s o e s p e c í f i c o m á s c e r c a n o a l s a t u r a d o

q u e a l p e s o e s p e c í f i c o s e c o p o r t r a t a r s e d e u n a z o n a m u y c e r c a n a a l n i v e l f r e á t i c o .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 2 8 .

S e v a a c o n s t r u i r u n d i q u e s e c o e n u n a z o n a p o r t u a r i a c o n e l n i v e l f r e á t i c o e n s u p e r f i c i e y e n u n t e r r e n o

c o n u n p e s o e s p e c í f i c o

y u n a p e r m e a b i l i d a d K . O b t e n e r :

s a t

a ) l a r e l a c i ó n e n t r e e l e s p e s o r d e l a l o s a d e b a s e d e h o r m i g ó n (

, K ) y l a a l t u r a l i b r e e n e l d i q u e p a r a

b

>

q u e , s u p o n i e n d o c o n d i c i o n e s u n i d i m e n s i o n a l e s , e l d i q u e n o f l o t e c o n u n f a c t o r d e s e g u r i d a d F ; ¿ q u é

o r d e n d e m a g n i t u d d e v a l o r e s d e F s e d e b e r á u t i l i z a r ? ;

b ) ¿ c ó m o s e m o d i f i c a r í a e l c á l c u l o s i s e s u p o n e n c o n d i c i o n e s b i d i m e n s i o n a l e s ? ; ¿ a u m e n t a r á o

d i s m i n u i r á e n e s t e c a s o F ? ;

c ) ¿ q u é c a u d a l d e b e r á b o m b e a r s e e n e l i n t e r i o r d e l d i q u e s u p o n i e n d o c o n d i c i o n e s u n i d i m e n s i o n a l e s ? ;

d ) ¿ q u é m e d i d a s p o d r í a n a d o p t a r s e p a r a a u m e n t a r l a a l t u r a l i b r e d e l d i q u e s i n d i s m i n u i r e l f a c t o r d e

s e g u r i d a d ?

A p l i c a r l o a l c a s o

= 1 . 8 t / m y K = 1 0 c m / s ( t e r r e n o ) ;

= 2 . 4 t / m y K = 1 0 c m / s ( h o r m i g ó n ) .

I = J b

3 - 3 3 - 8

>

L a f i g u r a 2 8 . 1 e s u n a r e p r e s e n t a c i ó n e s q u e m á t i c a d e u n d i q u e s e c o c o n s t r u i d o e n u n t e r r e n o s a t u r a d o . A

r e p r e s e n t a u n p u n t o c u a l q u i e r a e n l a s u p e r f i c i e d e l t e r r e n o , m i e n t r a s q u e C r e p r e s e n t a u n p u n t o e n e l

i n t e r i o r d e d i c h o d i q u e . E n t r e A y C e x i s t e u n a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l d e v a l o r H , p e r o d e b i d o a l a b a j a

p e r m e a b i l i d a d d e l h o r m i g ó n c o n r e s p e c t o a l t e r r e n o , l a p é r d i d a d e c a r g a s e p r o d u c e p r á c t i c a m e n t e e n s u

t o t a l i d a d e n t r e B y C .

F i g u r a 2 8 . 1 E s q u e m a d e l d i q u e s e c o

a ) E n e s t e a p a r t a d o s e p i d e l a r e l a c i ó n e n t r e h y H e n f u n c i ó n d e l a s d e m á s v a r i a b l e s d e l p r o b l e m a . P a r a

e l l o s e e s t a b l e c e e l f a c t o r d e s e g u r i d a d a l a f l o t a b i l i d a d , e n e l q u e i n t e r v i e n e n u n a s a c c i o n e s a f a v o r y




F

h (

(

>

( H

h ) (

(

M

F

F

u

F

h

H

(

(

>

( 1

h

H

) (

(

M

(

(

M

F

h

H

(

(

M

F

h

H

(

(

>

h

H

(

(

M

F

(

(

>

(

(

M

F

1

(

(

>

(

(

M

F

1

F

1 h / H

0 . 7 1

F

1 . 1 h / H

0 . 8 5

q

K

>

)

)

n

n

)

)

z

K

>

n

n

+

n

n

*

z

?

z

*

K

>

h

( H

h )

h

0

K

>

H

h

K

>

(

(

>

(

(

M

F

1

&


o t r a s e n c o n t r a :

A f a v o r ( p e s o ) : h

>

E n c o n t r a ( s u b p r e s i ó n ) : ( H + h )

M

E l d i q u e f l o t a r á c u a n d o l a s u b p r e s i ó n s u p e r e e l p e s o d e l d i q u e . E l f a c t o r d e s e g u r i d a d F a l a f l o t a b i l i d a d

p o d r á e x p r e s a r s e c o m o :

c o n d i c i ó n q u e , c o m o p u e d e v e r s e , e x p r e s a e l c o c i e n t e e n t r e l a t e n s i ó n t o t a l y l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l e n l a

s u p e r f i c i e i n f e r i o r d e l a l o s a d e l d i q u e . L a e s t r u c t u r a f l o t a r í a e n l a s i t u a c i ó n e n l a q u e l a s t e n s i o n e s t o t a l e s

s e i g u a l a s e n c o n l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l . C o m o p u e d e o b s e r v a r s e e s t a c o n d i c i ó n e s e q u i v a l e n t e a l a

c o n d i c i ó n d e s i f o n a m i e n t o . D e d i c h a c o n d i c i ó n p u e d e o b t e n e r s e :

P a r a l o s d a t o s d e l p r o b l e m a s e t e n d r á n l o s s i g u i e n t e s v a l o r e s :

S e o b s e r v a q u e F p u e d e s e r p o c o m a y o r q u e 1 ( 1 < F < 1 . 1 ) e n e s t e c a s o ; d e l o c o n t r a r i o , h / H a u m e n t a

m u c h o y l a l o s a n e c e s a r i a p a r a g a r a n t i z a r u n d e t e r m i n a d o f a c t o r d e s e g u r i d a d s e r í a d e g r a n e s p e s o r .

b ) E n c o n d i c i o n e s b i d i m e n s i o n a l e s , e l f a c t o r d e s e g u r i d a d a u m e n t a p a r a u n a m i s m a r e l a c i ó n h / H y a q u e

l a s p a n t a l l a s l a t e r a l e s c o n t r i b u y e n a a u m e n t a r e l p e s o d e l a e s t r u c t u r a y , a d e m á s , e n e l l a s p u e d e e x i s t i r

u n r o z a m i e n t o h o r m i g ó n - t e r r e n o t a m b i é n f a v o r a b l e . E s t e h e c h o s ó l o s e r í a s i g n i f i c a t i v o p a r a r e l a c i o n e s

L / H n o m u y g r a n d e s . S i L / H a u m e n t a , l a c o l a b o r a c i ó n d e l a s p a n t a l l a s l a t e r a l e s d i s m i n u y e y s e t i e n d e a

l a s c o n d i c i o n e s u n i d i m e n s i o n a l e s .

c ) E l c a u d a l q u e s e i n f i l t r a s e o b t i e n e d i r e c t a m e n t e p o r a p l i c a c i ó n d e l a l e y d e D a r c y e n l a l o s a d e

h o r m i g ó n ( e l o r i g e n d e l a z s e t o m a e n l a c a r a s u p e r i o r d e l a l o s a y e n s e n t i d o a s c e n d e n t e ) :

d o n d e s e h a s u s t i t u i d o l a r e l a c i ó n H / h p o r l a e x p r e s i ó n o b t e n i d a a n t e r i o r m e n t e . L a p e r m e a b i l i d a d

e x p r e s a d a e n m / d í a e s :




K

>

1 × 1 0

&

c m / s ×

1 m

1 0 0 c m

×

8 6 4 0 0 s

1 d í a

8 . 6 4 × 1 0

$

m / d í a

F

1 q

1 . 2 × 1 0

#

m

!

m

d í a

0 . 0 1 2

l

m

d í a

F

1 . 1 q 0 . 0 1 0

l

m

d í a

&


P a r a l o s f a c t o r e s d e s e g u r i d a d c o n s i d e r a d o s r e s u l t a n u n o s c a u d a l e s d e :

@ P a r a a u m e n t a r H s i n v a r i a r e l f a c t o r d e s e g u r i d a d s e p u e d e n a d o p t a r v a r i a s m e d i d a s . E n p r i m e r l u g a r

a u m e n t a r h q u e , c o m o y a s e h a d i c h o , e s t á b a s t a n t e l i m i t a d o s i q u i e r e e v i t a r s e u n a l o s a d e m a s i a d o g r u e s a .

O t r a o p c i ó n e s a u m e n t a r e l e s p e s o r d e l a s p a n t a l l a s l a t e r a l e s q u e p u e d e c o m b i n a r s e c o n d i s m i n u i r , s i e s

p o s i b l e , L / H , q u e a u m e n t a r í a s u c o n t r i b u c i ó n . O t r a o p c i ó n a c o n s i d e r a r s e r í a l a p o s i b i l i d a d d e i n s t a l a r

a n c l a j e s v e r t i c a l e s h a c i a c a p a s i n f e r i o r e s . P o r ú l t i m o , o t r a p o s i b l e a l t e r n a t i v a s e r í a l a d e r e b a j a r n i v e l

f r e á t i c o m e d i a n t e b o m b e o c o n o b j e t o d e r e b a j a r l a s u b p r e s i ó n .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _




c

v

K ( 1

e )

(

(

w

a

v

1 0

7

c m / s × ( 1

0 . 8 )

1 0 0 0 k p / m

3

× 0 . 0 4 8 c m

2

/ k p

×

1 0 0 c m

1 m

×

8 6 . 4 0 0 s

1 d í a

0 . 0 3 2 4 m / d í a 3 . 7 5 × 1 0

7

m

2

/ s

*

*

"

"

H

1

e

o

a

v

)

)

F

F

4 0 0 c m

1

0 . 8

× 0 . 0 4 8 c m

2

/ k p )

)

F

F

1 0 . 7 )

)

F

F

T

c

v

t

H

2

0 . 0 3 2 4 × 1 a ñ o × 3 6 5 d í a / a ñ o

( 4 m )

2

0 . 7 4

U

1

8

B

B

2

e x p

B

B

2

4

T

1

8

B

B

2

e x p

B

B

2

4

0 . 7 4

0 . 8 6 ( T > 0 . 2 )

*

*

1 a ñ o

1 0 c m

0 . 8 6 × *

*

"

"

*

*

"

"

1 1 . 6 c m

& !

C o n s o l i d a c i ó n d e s u e l o s s a t u r a d o s

Capítulo 4. Consolidación de suelos saturados

P R O B L E M A 2 9 .

O b t e n e r p a r a u n t e r r e n o c o m p u e s t o p o r u n e s t r a t o a r c i l l o s o ( (

(

= 2 t / m , a = 0 . 0 4 8 c m / k p , e = 0 . 8

s a t

3 2

L

y K = 1 0 c m / s e g ) d e 4 m d e p o t e n c i a ( N F e n s u p e r f i c i e ) s o b r e u n m a c i z o i m p e r m e a b l e , l a c a r g a F

F

- 7

e x t e n s a y u n i f o r m e m e n t e r e p a r t i d a q u e e n e l p l a z o d e u n a ñ o h a c e a l c a n z a r a d i c h o e s t r a t o u n a s i e n t o

d e 1 0 c m . E s t i m a r e l p a r á m e t r o C d e e s t e t e r r e n o .

?

E n p r i m e r l u g a r s e c a l c u l a r á e l c o e f i c i e n t e d e c o n s o l i d a c i ó n :

E n s e g u n d o l u g a r s e c a l c u l a r á e l a s i e n t o a l a r g o p l a z o . E l e s p e s o r d e l e s t r a t o ( 4 m ) c o i n c i d e e n e s t e c a s o

c o n l a l o n g i t u d a s o c i a d a a c a d a p u n t o d e d r e n a j e y a q u e e l b o r d e i n f e r i o r e s i m p e r m e a b l e y , p o r t a n t o ,

H = 4 m .

C o n o b j e t o d e d e t e r m i n a r e l a s i e n t o a 1 a ñ o , e l t i e m p o a d i m e n s i o n a l c o r r e s p o n d i e n t e s e c a l c u l a c o m o :

y e l g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e c o m o :

P a r a q u e e l a s i e n t o a u n a ñ o ( *

*

) s e a d e 1 0 c m , d e b e p r o d u c i r s e u n a s i e n t o f i n a l ( *

*

) :

1 a ñ o

"

"

P a r a q u e s e p r o d u z c a e s t e a s i e n t o f i n a l s e r e q u i e r e u n i n c r e m e n t o d e t e n s i ó n e f e c t i v a d e :




1 1 . 6

1 0 . 7

.

.

.

.

1 . 0 8 k p / c m

2

+

?

A

l o g .

.

=

L

.

.

l o g

.

.

J

.

.

0

.

.

0

s u m

× 2 m

2 t / m

2

0 . 2 k p / c m

2

+

?

0 . 0 4 8 × 1 . 0 8

l o g

1 0

0 . 2

1 . 0 8

0 . 2

0 . 0 6 4

A =

L

.

.

A +

?

l o g

.

.

J

.

.

0

=

L

.

.

+

?

l o g

.

.

J

.

.

0

=

L

+

?

l o g ( .

.

J

/ .

.

0

)

.

.

@ A

=

L

@ .

.

@ A

+

?

@ ( l o g .

.

)

+

?

1

.

.

l n 1 0

@ .

.

=

L

@ .

.

+

?

1

.

.

l n 1 0

@ .

.

=

L

+

?

.

.

l n 1 0

.

.

.

.

B

.

.

0

2

& "


A l a r g o p l a z o , l a s p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s s e d i s i p a n y p o r t a n t o e l c a m b i o d e t e n s i ó n e f e c t i v a e s i g u a l a l

c a m b i o d e t e n s i ó n t o t a l , e s d e c i r , .

.

' = .

.

= 1 . 0 8 k p / c m .

C o n l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s , e s p o s i b l e c a l c u l a r e l í n d i c e d e c o m p r e s i ó n . E n e l c a s o d e a d o p t a r u n a

f o r m a i n c r e m e n t a l o s e c a n t e r e s u l t a :

P a r a u n p u n t o e n e l c e n t r o d e l e s t r a t o :

A l r e a l i z a r e s t e c á l c u l o e n d i c h o p u n t o e n e l c e n t r o d e l e s t r a t o s e e s t á s u p o n i e n d o i m p l i c i t a m e n t e q u e =

L

c o r r e s p o n d e a d i c h o p u n t o .

N o t a : T a l c o m o s e h a d i c h o , s e h a a d o p t a d o l a f o r m a s e c a n t e p a r a r e l a c i o n a r + y = . S i n e m b a r g o , c a b r í a

? L

l a p o s i b i l i d a d d e u t i l i z a r u n a f o r m a t a n g e n t e . L a o b t e n c i ó n d e a m b a s f o r m a s s e p r e s e n t a a c o n t i n u a c i ó n .

C o e f i c i e n t e s e c a n t e . S e t o m a n e x p r e s i o n e s i n c r e m e n t a l e s y s e i g u a l a e l c a m b i o d e í n d i c e d e p o r o s d a d o

p o r e l m o d e l o l i n e a l ( = ) y e l d a d o p o r e l n o l i n e a l ( + ) :

L ?

C o e f i c i e n t e t a n g e n t e . A n á l o g o a l c a s o a n t e r i o r p e r o u s a n d o e x p r e s i o n e s d i f e r e n c i a l e s :

E n e s t e c a s o p a r a p a r a .

.

' p u e d e n t o m a r s e d i f e r e n t e s v a l o r e s . U n a a l t e r n a t i v a r a z o n a b l e e s u t i l i z a r e l p u n t o

i n t e r m e d i o e n t r e e l i n i c i a l y e l f i n a l , e s d e c i r :

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _




u

D

M

× 2 . 5 m = 2 . 5 t / m

0 . 2 5 k p / c m

u

A

u

u

D

1 . 0 5

0 . 2 5

0 . 8 0 k p / c m

u

.

. 1 k p / c m

W ( Z , T )

u

A

u

0 . 8 0 k p / c m

1 k p / c m

0 . 8 0 Z =

z

H

2 . 5 m

2 . 5 m

1

U ( T )

4 T

*

*

4 × 0 . 1 8

*

*

0 . 4 7 9

& #


P R O B L E M A 3 0 .

E n u n t e r r e n o a r c i l l o s o d e 5 m d e p o t e n c i a s o b r e a r e n a ( N F e n s u p e r f i c i e ) , q u e e s t á e n p r o c e s o d e

c o n s o l i d a c i ó n a c a u s a d e u n a c a r g a e x t e n s a .

.

= 1 k p / c m , s e m i d e e n u n m o m e n t o d a d o u n a s i e n t o e n

s u p e r f i c i e d e 4 c m y , c o n u n p i e z ó m e t r o , u n a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l d e 1 . 0 5 k p / c m a 2 . 5 m d e p r o f u n d i d a d .

O b t e n e r e l a s i e n t o d e l t e r r e n o a l a r g o p l a z o .

F i g u r a 3 0 . 1 R e p r e s e n t a c i ó n e s q u e m á t i c a d e l t e r r e n o e i s o c r o n a s d e p r e s i ó n

i n t e r s t i c i a l i n i c i a l e i n t e r m e d i a

A l d i s p o n e r d e l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l e n u n p u n t o , e s p o s i b l e d e t e r m i n a r e l g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n e n q u e

s e e n c u e n t r a e l e s t r a t o e n e l i n s t a n t e d e l a r e a l i z a c i ó n d e l a m e d i d a . P a r a e l l o s e c a l c u l a e l e x c e s o d e

p r e s i ó n i n i c i a l , e n e l i n s t a n t e c o n s i d e r a d o y e l v a l o r a d i m e n s i o n a l .

L a p r e s i ó n h i d r o s t á t i c a e n e l p u n t o m e d i o s e r á :

P o r t a n t o , e l e x c e s o d e p r e s i ó n v i e n e d a d o p o r :

E l e x c e s o d e p r e s i ó n s o b r e l a p r e s i ó n h i d r o s t á t i c a t r a s l a a p l i c a c i ó n d e l a c a r g a e s :

P o r t a n t o , e l e x c e s o d e p r e s i ó n a d i m e n s i o n a l c o r r e s p o n d i e n t e a l c e n t r o d e l e s t r a t o , y l a p r o f u n d i d a d

a d i m e n s i o n a l ( a l e x i s t i r d r e n a j e t a n t o p o r e l e x t r e m o s u p e r i o r c o m o p o r e l i n f e r i o r , H = 2 . 5 ) s o n :

D e l a g r á f i c a d e W ( Z , T ) ( F i g . 3 0 . 2 ) s e o b t i e n e p a r a U = 0 . 8 y Z = 1 u n t i e m p o a d i m e n s i o n a l T = 0 . 1 8 , q u e

c u m p l e T < 0 . 2 , y p o r t a n t o , e l g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n s e r á :




*

*

J

*

*

"

"

U *

*

"

"

*

*

J

U

4 c m

0 . 4 7 9

8 . 3 6 c m

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

W(Z,T)

Z = z / H

T=0.05

T=0.10

T=0.15T=0.20

T=0.30T=0.60 T=0.50 T=0.40

T=0.90

T=0.80T=1.00

T=0.70T=1.10

& $


F i n a l m e n t e e s t e g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n p e r m i t e c a l c u l a r e l a s i e n t o f i n a l :

d o n d e *

*

e s e l a s i e n t o p a r a u n t i e m p o t y *

*

e l a s i e n t o a l a r g o p l a z o , o s e a , p a r a t = " .

t "

"

F i g u r a 3 0 . 2 . D i a g r a m a a d i m e n s i o n a l d e i s o c r o n a s d e p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 3 1 .

E n u n t e r r e n o c o n g e o m e t r í a u n i d i m e n s i o n a l , c o m p u e s t o s u c e s i v a m e n t e p o r u n e s t r a t o a r e n o s o e n

s u p e r f í c i e m u y p e r m e a b l e y p o c o d e f o r m a b l e , d e 2 m d e p o t e n c i a ( N F e n l a c o t a - 1 m ) , u n e s t r a t o

a r c i l l o s o ( E = 1 0 0 t / m , K = 1 0 c m / s e g ) d e 5 m d e p o t e n c i a , o t r o e s t r a t o a r e n o s o m u y p e r m e a b l e y

m

2 - 7

p o c o d e f o r m a b l e d e 3 m d e p o t e n c i a y u n e s t r a t o a r c i l l o s o ( E = 2 0 0 t / m , K = 5 . 1 0 c m / s e g ) d e 4 m

m

2 - 8

d e p o t e n c i a , t o d o s e l l o s s o b r e u n m a c i z o i m p e r m e a b l e , s e r e a l i z a n l a s d o s h i p ó t e s i s a l t e r n a t i v a s

s i g u i e n t e s p a r a e s t u d i a r l o s a s i e n t o s d e c o n s o l i d a c i ó n e n e l c a s o d e c o n s t r u c c i ó n ( r á p i d a ) d e u n

t e r r a p l é n d e g r a n d e s d i m e n s i o n e s y 2 m d e a l t u r a ( (

(

= 2 t / m ) :

n

3




& %


A ) L a c a p a d e a r e n a i n t e r m e d i a e s t á c o n e c t a d a h i d r á u l i c a m e n t e c o n l a c a p a d e a r e n a s u p e r i o r , d e f o r m a

q u e l a s p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s q u e e n e l l a s e p r o d u c e n p u e d e n s u p o n e r s e c o n t i n u a m e n t e i g u a l e s a l a s

h i d r o e s t á t i c a s i m p u e s t a s p o r l a s i t u a c i ó n d e l n i v e l f r e á t i c o .

B ) L a c a p a d e a r e n a i n t e r m e d i a n o e s t á c o n e c t a d a h i d r á u l i c a m e n t e c o n l a c a p a d e a r e n a s u p e r i o r , p o r

l o q u e l a s p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s q u e e n e l l a s e p r o d u c e n v e n d r á n d e t e r m i n a d a s p o r e l c o m p o r t a m i e n t o

d e l o s e s t r a t o s a r c i l l o s o s s u p e r i o r e i n f e r i o r .

O b t e n e r , s u p o n i e n d o a l t e r n a t i v a m e n t e l a s d o s h i p ó t e s i s a n t e r i o r e s :

a ) l a s l e y e s d e p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s i n i c i a l e s ( t r a s e l d r e n a j e d e l a s a r e n a s s i s e e n c u e n t r a n c o n e c t a d a s

h i d r á u l i c a m e n t e ) y a l a r g o p l a z o ;

b ) l a d i r e c c i ó n d e l o s c a u d a l e s p r o d u c i d o s ;

c ) e l a s i e n t o f i n a l y e l p r o d u c i d o a l c a b o d e 1 a ñ o , a s í c o m o e l g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n m e d i o a q u e

c o r r e s p o n d e é s t e ú l t i m o ;

d ) e l t i e m p o t r a n s c u r r i d o p a r a l l e g a r a u n g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n m e d i o d e l 4 5 % ;

e ) l a s i s o c r o n a s p a r a t = 1 a ñ o ( i n d i c a r l a s g r á f i c a m e n t e a e s t i m a ) .


E n p r i m e r l u g a r s e r e s u e l v e e l c a s o A , i n c l u y e n d o c a d a u n o d e l o s a p a r t a d o s d e l p r o b l e m a .

A a ) L a l e y d e p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s a l a r g o p l a z o ( I - I I - V - V I - I X e n l a f i g u r a 3 1 . 3 ) c o r r e s p o n d e t a m b i é n

c o n l a l e y h i d r o e s t á t i c a i n i c i a l . D i c h a l e y e s ( c o o r d e n a d a z d e s d e l a b a s e i m p e r m e a b l e ) :

u =

( 1 3 - z ) p a r a 0 < z < 1 3

M

Y l a l e y d e p r e s i o n e s i n t e r s t i c i a l e s i n i c i a l e s ( I - I I - I I I - I V - V - V I - V I I - V I I I - I X e n F i g . 3 1 . 3 ) s u p o n i e n d o q u e

l a d i s i p a c i ó n d e p r e s i o n e s e n l a s c a p a s a r e n o s a s s e p r o d u c e d e f o r m a p r á c t i c a m e n t e i n s t a n t á n e a :

u =

( 1 3 - z ) p a r a 1 2 < z < 1 3

M




c

v

K ( 1

e

o

)

(

(

w

a

v

K E

m

(

(

w

c

v

1 0

%

c m / s × 1 0 0 t / m

1 t / m

!

×

1 m

1 0 0 c m

×

8 6 4 0 0 s

1 d í a

0 . 0 0 8 6 m

/ d í a ( 0 . 0 0 1 c m

/ s )

c

v

5 × 1 0

&

c m / s × 2 0 0 t / m

1 t m

!

×

1 m

1 0 0 c m

×

8 6 4 0 0 s

1 d í a

0 . 0 0 8 6 m

/ d i a ( 0 . 0 0 1 c m

/ s )

*

*

" "

E

E

h

E

m

)

)

F

F

5 m

1 0 0 t / m

× 4 t / m

4 m

2 0 0 t / m

× 4 t / m

0 . 2 0

0 . 0 8

0 . 2 8 m

2 8 c m

& &


u = (

(

( 1 3 - z ) + 4 . 0 p a r a 7 < z < 1 2

M

u = (

( ( 1 3 - z ) p a r a 4 < z < 7

M

u = (

(

( 1 3 - z ) + 4 . 0 p a r a 0 < z < 4

M

d o n d e s e h a t e n i d o e n c u e n t a q u e e l c a m b i o d e p r e s i ó n i n s t a n t á n e o a l a p l i c a r e l t e r r a p l é n e s :

)

)

u = ) F

) F

= 2 t / m x 2 m = 4 t / m

!

q u e , c o m o s e h a d i c h o , s e d i s i p a r á p i d a m e n t e e n l a s c a p a s a r e n o s a s .

) > L a d i r e c c i ó n d e l o s c a u d a l e s p r o d u c i d o s e n l a s c a p a s a r c i l l o s a s d u r a n t e e l p r o c e s o d e c o n s o l i d a c i ó n

s e r e p r e s e n t a e n l a f i g u r a 3 1 . 2 . A u n q u e n o s e r e p r e s e n t a e n d i c h a f i g u r a , e n l a c a p a a r e n o s a i n t e r m e d i a

t a m b i é n s e p r o d u c e n c a u d a l e s p e r o , a l d e s c o n o c e r s e e l d e t a l l e d e l a c o n e x i ó n h i d r á u l i c a , n o e s p o s i b l e

d i b u j a r s u d i r e c c i ó n .

F i g u r a 3 1 . 2 . D i r e c c i ó n d e l o s c a u d a l e s p r o d u c i d o s d u r a n t e l a c o n s o l i d a c i ó n .

) ? A s i e n t o f i n a l y a 1 a ñ o . E l c o e f i c i e n t e d e c o n s o l i d a c i ó n s e p u e d e c a l c u l a r c o m o :

P a r a e l e s t r a t o d e a r c i l l a s u p e r i o r ( a r c i l l a 1 ) s e o b t e n d r á :

m i e n t r a s q u e p a r a e l e s t r a t o d e a r c i l l a i n f e r i o r ( a r c i l l a 2 ) :

P o r o t r o l a d o , e l a s i e n t o a l a r g o p l a z o ( ) F

) F

' = ) F

) F

= 4 t / m ) e s :

L o s t i e m p o s a d i m e n s i o n a l e s y g r a d o s d e c o n s o l i d a c i ó n p a r a t = 1 a ñ o s e p u e d e n o b t e n e r c o m o :




6

1

0 . 0 0 8 6 m

2

/ d í a × 3 6 5 d í a

( 2 . 5 m )

2

0 . 5 0 2 7

1

0 . 7 5

6

2

0 . 0 0 8 6 m

2

/ d í a × 3 6 5 d í a

( 2 . 5 m )

2

0 . 1 9 6 7

2

0 . 5 0

*

*

t

1 a ñ o

0 . 7 5 × 2 0 c m

0 . 5 0 × 8 c m

1 9 c m

7

1

*

*

1

t

*

*

1

"

"

7

2

*

*

2

t

*

*

2

"

"

7

m e d i o

*

*

1

t

*

*

2

t

*

*

1

"

"

*

*

2

"

"

*

*

t

0 . 4 5 × 2 8

1 2 . 6 c m

7

1

× 2 0 c m

7

2

× 8 c m

1 2 . 6 c m

4 × 0 . 0 0 8 6 × J

B

B

× 2 . 5

2

× 2 0

4 × 0 . 0 0 8 6 × J

B

B

× 4

2

× 8

1 2 . 6

0 . 0 4 1 9 × 2 0 × J

0 . 0 2 6 2 × 8 × J

1 2 . 0 3

1 2 . 6 J

1 2 . 0 3 J

1 4 5 d í a s

& '


d o n d e s e h a n u t i l i z a d o l a s c o r r e s p o n d i e n t e s e x p r e s i o n e s a p r o x i m a d a s d e l g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n e n

f u n c i ó n d e l t i e m p o a d i m e n s i o n a l . F i n a l m e n t e , p a r a J = 1 a ñ o e l a s i e n t o v i e n e d a d o p o r :

D e b i d o a q u e e l t e r r e n o p r e s e n t a m á s d e u n a c a p a a r c i l l o s a , d e b e h a c e r s e l a d i s t i n c i ó n e n t r e e l g r a d o d e

c o n s o l i d a c i ó n m e d i o y e l g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n d e c a d a e s t r a t o a r c i l l o s o q u e , e n g e n e r a l n o s e r á n

i g u a l e s . S i *

*

y *

*

s o n l o s a s i e n t o s c o r r e s p o n d i e n t e s a c a d a s u b e s t r a t o a r c i l l o s o , d i c h o s g r a d o s d e

c o n s o l i d a c i ó n v i e n e n d a d o s p o r :

) @ P a r a q u e e l g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n m e d i o s e a d e 0 . 4 5 d e b e p r o d u c i r s e u n a s i e n t o d e :

E l t i e m p o p a r a q u e s e p r o d u z c a e s t e a s i e n t o s e r á m e n o r q u e 1 a ñ o p o r q u e 1 2 . 6 e s m e n o r q u e l o s 1 9 c m

o b t e n i d o s e n e l a p a r t a d o a n t e r i o r . A p a r t i r d e l o s t i e m p o s a d i m e n s i o n a l e s c a l c u l a d o s e n e l m i s m o s e p u e d e

c o n c l u i r q u e 6 s e r á m e n o r q u e 0 . 2 . E n c u a n t o a 6 n o s e p u e d e a s e g u r a r l o m i s m o a u n q u e s e s u p o n d r á

i n i c i a l m e n t e q u e t a m b i é n l o e s . E n e l c a s o d e q u e p o s t e r i o r m e n t e s e v i e s e q u e n o e s m e n o r q u e 0 . 2 , h a b r í a

q u e r e p e t i r e l c á l c u l o c o n l a o t r a h i p ó t e s i s d e p a r t i d a . S e p l a n t e a , p o r t a n t o , l a e c u a c i ó n :

Y , a l s u p o n e r q u e 6 < 0 . 2 e n a m b o s c a s o s , s e u s a l a c o r r e s p o n d i e n t e e x p r e s i ó n d e 7 6 :

q u e o p e r a n d o l l e v a a :

y c o n e s t e r e s u l t a d o s e c o m p r u e b a l a h i p ó t e s i s a d o p t a d a , 6 = 0 . 2 ; 6 = 0 . 0 8 ( a m b o s m e n o r e s o i g u a l e s

q u e 0 . 2 ) .

) A L a s i s o c r o n a s e s t i m a d a s p a r a J = 1 a ñ o s e h a n r e p r e s e n t a d o e n l a f i g u r a 3 1 . 3 .

A c o n t i n u a c i ó n s e r e s u e l v e e l c a s o B .




'


F i g u r a 3 1 . 3 L e y e s d e p r e s i o n e s e i s c r o n a s e s t i m a d a s

* = L a s l e y e s d e p r e s i o n e s a l a r g o p l a z o ( I - I I - V - V I - I X e n l a f i g u r a 3 1 . 3 ) s e c o r r e s p o n d e n t a m b i é n c o n

l a s i t u a c i ó n h i d r o e s t á t i c a :

u =

( 1 3 - z ) p a r a 0 < z < 1 3

M

Y l a s p r e s i o n e s d e s p u é s d e a p l i c a r l a c a r g a ( I - I I - I I I - I V - V I I - V I I I - I X e n l a f i g u r a 3 1 . 3 ) :

u =

( 1 3 - z ) p a r a 1 2 < z < 1 3

M

u =

( 1 3 - z ) + 4 t / m p a r a 0 < z < 1 2

M

* > L a d i r e c c i ó n d e l o s c a u d a l e s p r o d u c i d o s d u r a n t e e l p r o c e s o d e c o n s o l i d a c i ó n s e r e p r e s e n t a e n l a

f i g u r a 3 1 . 4 .

F i g u r a 3 1 . 4 D i r e c c i ó n d e l o s c a u d a l e s p r o d u c i d o s d u r a n t e l a c o n s o l i d a c i ó n

* ? L o s c o e f i c i e n t e s d e c o n s o l i d a c i ó n d e l o s d o s e s t r a t o s y a h a n s i d o c a l c u l a d o s e n e l a p a r t a d o ) ? :




?

1

L

?

2

L

0 . 0 0 8 6 m

2

/ d í a

6

0 . 0 0 8 6 m

2

/ d í a × 3 6 5 d í a

( 9 m )

2

0 . 0 4 7

4 6

B B

0 . 2 2

*

*

J

1 a ñ o

0 . 2 2 × 2 8 c m

6 . 2 c m

*

*

J

0 . 4 5 × 2 8

1 2 . 6 c m

7

0 . 4 5 6

7

2

B

B

4

0 . 1 7

J

6 0

2

+

L

0 . 1 7 × ( 9 m )

2

0 . 0 0 8 6 m

2

/ d í a

1 6 0 1 d í a s

'


E l a s i e n t o f i n a l e s e l m i s m o q u e e n e l c a s o a n t e r i o r y a q u e é s t e n o d e p e n d e d e c ó m o s e p r o d u c e e l d r e n a j e .

D a d o q u e l a c a p a d e a r e n a i n t e r m e d i a e s p o c o d e f o r m a b l e y m u y p e r m e a b l e n o i n f l u i r á p r á c t i c a m e n t e e n

e l p r o c e s o d e c o n s o l i d a c i ó n . D e h e c h o , e n e s t e c a s o e n q u e l o s c o e f i c i e n t e s d e c o n s o l i d a c i ó n s o n i g u a l e s ,

s e p u e d e c o n s i d e r a r c o m o s i s ó l o e x i s t i e r a u n e s t r a t o d e e s p e s o r 5 + 4 = 9 m q u e ú n i c a m e n t e d r e n a h a c i a

a r r i b a . S e g ú n l o i n d i c a d o s e t e n d r á :

* @ E l t i e m p o p a r a l l e g a r a u n g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n d e 0 . 4 5 s e p u e d e c a l c u l a r c o m o :

C o m o p u e d e o b s e r v a r s e , e l d r e n a j e e s m á s l e n t o e n e s t e c a s o * q u e e n e l c a s o ) d e b i d o a l a n o c o n e x i ó n

h i d r á u l i c a d e l a c a p a d e a r e n a i n t e r m e d i a , l o q u e f u e r z a a q u e t o d o e l d r e n a j e s e a a t r a v é s d e l a s u p e r f i c i e

d e l t e r r e n o .

* A L a f i g u r a 3 1 . 5 m u e s t r a u n a i s o c r o n a i n t e r m e d i a d i b u j a d a a e s t i m a .

F i g u r a 3 1 . 5 I s o c r o n a i n t e r m e d i a e s t i m a d a

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _




*

*

0 . 4 0 × *

*

b o m b e o

"

"

*

*

U

t e r r a p l é n

t

6 m e s e s

× *

*

t e r r a p l é n

"

"

U

t e r r a p l é n

t

6 m e s e s

0 . 4 0 × *

*

b o m b e o

"

"

*

*

t e r r a p l é n

"

"

*

*

t e r r a p l é n

"

"

2 H

E

m

)

)

F

F

2 H

E

m

2 t / m

2

'


P R O B L E M A 3 2 .

E n u n t e r r e n o c o n e l n i v e l f r e á t i c o e n s u p e r f i c i e c o m p u e s t o p o r u n e s t r a t o a r c i l l o s o ( K = 1 0 c m / s ) d e 1 0

- 7

m d e e s p e s o r s o b r e g r a v a s , s e v a a b o m b e a r a g u a d e é s t a s ú l t i m a s . S e p r e v é q u e e s t e b o m b e o v a a

p r o d u c i r u n r e b a j a m i e n t o d e l a a l t u r a p i e z o m é t r i c a e n l a s g r a v a s d e 3 m . P a r a r e d u c i r l o s a s i e n t o s

d u r a n t e e l p r o c e s o d e b o m b e o s e c o n s t r u y e u n t e r r a p l é n d e 1 m d e a l t u r a ( (

(

= 2 t / m ) c o n l a i d e a d e

n

3

o b t e n e r e n u n a ñ o e l a s i e n t o t o t a l q u e p r o d u c i r í a e l b o m b e o , y c o m e n z a r c o n é s t e p o s t e r i o r m e n t e . A l o s

s e i s m e s e s s e c o m p r u e b a , s i n e m b a r g o , q u e s e h a l l e g a d o t a n s ó l o a l 4 0 % d e d i c h o a s i e n t o t o t a l .

a ) ¿ Q u é a s i e n t o s e h a b r á p r o d u c i d o a l c a b o d e u n a ñ o ?

b ) ¿ E n q u é p l a z o d e t i e m p o s e l l e g a r á a l a s i e n t o t o t a l q u e p r o d u c i r í a e l b o m b e o ?

c ) ¿ Q u é a l t u r a d e t e r r a p l é n t e n d r í a q u e h a b e r s e c o n s t r u i d o i n i c i a l m e n t e p a r a l l e g a r a d i c h o a s i e n t o e n

u n a ñ o ?

d ) ¿ Q u é a l t u r a d e t e r r a p l é n a d i c i o n a l h a b r á q u e c o n s t r u i r a l o s s e i s m e s e s p a r a o b t e n e r e n u n a ñ o e l

a s i e n t o t o t a l q u e p r o d u c i r í a e l b o m b e o ?

e ) ¿ Q u é d i s p o s i c i ó n d e d r e n e s s e t e n d r í a q u e h a b e r p r e v i s t o i n i c i a l m e n t e p a r a q u e c o n l a a l t u r a d e

t e r r a p l é n d e 1 m s e l l e g a s e e n u n a ñ o a l a s i e n t o q u e p r o d u c i r í a e l b o m b e o ?

L a f i g u r a 3 2 . 1 m u e s t r a u n a r e p r e s e n t a c i ó n e s q u e m á t i c a d e l t e r r e n o y l a s l e y e s d e p r e s i o n e s q u e s e

d e s a r r o l l a r á n t a n t o e n e l c a s o d e l a a p l i c a c i ó n d e l t e r r a p l é n c o m o e n e l d e l a r e a l i z a c i ó n d e l b o m b e o .

F i g u r a 3 2 . 1 R e p r e s e n t a c i ó n e s q u e m á t i c a d e l t e r r e n o y l e y e s d e p r e s i o n e s

D e b i d o a q u e , s e g ú n e l e n u n c i a d o d e l p r o b l e m a , a l o s s e i s m e s e s e l t e r r a p l é n h a p r o d u c i d o e l 4 0 % d e l

a s i e n t o f i n a l q u e p r o d u c i r í a e l b o m b e o , d i c h o a s i e n t o p u e d e e s c r i b i r s e a l t e r n a t i v a m e n t e c o m o :

I g u a l a n d o l a s d o s e x p r e s i o n e s a n t e r i o r e s r e s u l t a q u e e l g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n s e r á :

L o s a s i e n t o s f i n a l e s e n c a d a c a s o v e n d r á n d a d o s p o r :




*

*

b o m b e o

"

"

2 H

E

m

)

)

u

A

)

)

u

B

2

2 H

E

m

0

3

2

2 H

E

m

3

2

t / m

2

U

t e r r a p l é n

t

6 m e s e s

0 . 4 0

2 H

E

m

3

2

2 H

E

m

2

0 . 3 0

U

4 T

B

B

T

U

2

B

B

4

0 . 3

2

× B

B

4

0 . 0 7 1

T

c

v

t

H

2

c

v

T H

2

t

0 . 0 7 1 × ( 5 m )

2

1 8 2 . 5 d í a s

0 . 0 0 9 7 m

2

/ d í a

c

v

K E

m

(

(

w

E

m

(

(

w

c

v

K

1 t / m

3

× 0 . 0 0 9 7 m

2

/ d í a

1 0

7

c m / s

×

1 0 0 c m

1 m

×

1 d í a

8 6 4 0 0 s

1 1 2 t / m

2

* *

t e r r a p l é n

"

"

2 × 5 m

1 1 . 2 t / m

2

× 2 t / m

2

0 . 1 7 9 m *

*

b o m b e o

"

"

2 × 5 m

1 1 . 2 t / m

2

×

3

2

t / m

2

0 . 1 3 4 m

T

c

v

t

H

2

0 . 0 0 9 7 × 3 6 5

5

2

0 . 1 4 2

U

4 T

B

B

0 . 4 2 5 *

*

t e r r a p l é n

t

1 a ñ o

0 . 0 7 6 m

U

0 . 1 3 4

0 . 1 7 9

0 . 7 4 9

' !


D e b i d o a l a e x i s t e n c i a d e d r e n a j e p o r a m b o s e x t r e m o s d e l e s t r a t o a r c i l l o s o , e l e s p e s o r d e l a c a p a s e r á 2 H

s i H s e t o m a c o m o l a l o n g i t u d a s o c i a d a a c a d a p u n t o d e d r e n a j e ( F i g . 3 2 . 1 ) . D e l a s e x p r e s i o n e s a n t e r i o r e s

s e d e d u c e , p o r t a n t o , u n g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n d e :

P u e s t o q u e T < 0 . 2 a l s e r U < 0 . 5 , e l t i e m p o a d i m e n s i o n a l s e c a l c u l a r á c o m o :

q u e d a l u g a r a u n c o e f i c i e n t e d e c o n s o l i d a c i ó n :

U n a v e z o b t e n i d o e l c o e f i c i e n t e d e c o n s o l i d a c i ó n , e s p o s i b l e e s t i m a r e l m ó d u l o d e d e f o r m a c i ó n

e d o m é t r i c o s i s e c o n o c e l a p e r m e a b i l i d a d :

y , p o r t a n t o , e l a s i e n t o f i n a l s e r á :

a ) A s i e n t o a l c a b o d e 1 a ñ o :

b ) S e p i d e e l t i e m p o t p a r a q u e *

*

= *

*

, *

* = U * * = * * . E n e s t a s i t u a c i ó n , e l

t " " " " " "

t e r r a p l é n b o m b e o t e r r a p l é n t e r r a p l é n b o m b e o

g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n s e r á :

p u e s t o q u e e n e s t e c a s o U > 0 . 5 , e l t i e m p o a d i m e n s i o n a l c o r r e s p o n d i e n t e a e s t e g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n s e




7

1

8

B

B

2

e x p

B

B

2

4

6

6

4

B

B

2

l n

B

B

2

8

( 1

7 )

0 . 4 7 4

6

?

v

J

0

2

J

6 0

2

?

v

0 . 4 7 4 × ( 5 m )

2

0 . 0 0 9 7 m

2

/ d í a

3 . 3 5 a ñ o s

*

*

t e r r a p l é n

"

"

2 0

-

m

)

)

F

F

)

)

F

F

* *

t e r r a p l é n

"

"

× -

m

2 0

0 . 3 1 5 m × 1 1 2 t / m

2

2 × 5 m

)

)

F

F

)

)

F

F

3 . 5 3 t / m

2

= × 2 t / m

2

=

1 . 7 6 m

* *

b o m b e o

"

"

* *

t e r r a p l é n

t

1 a ñ o

* *

i n c r e m .

t

6 m e s e s

*

*

i n c r e m .

t

6 m e s e s

0 . 1 3 4

0 . 0 7 6

0 . 0 5 8 m

* *

i n c r e m .

t

6 m e s e s

0 . 3 0 *

*

i n c r e m .

"

"

* *

i n c r e m .

"

"

0 . 5 8

0 . 3 0

0 . 1 9 3 m

*

*

i n c r e m .

"

"

2 0

-

m

)

)

F

F

)

)

F

F

-

m

*

*

i n c r e m e n

" "

2 0

1 1 2 t / m

2

× 0 . 1 9 3 m

2 × 5 m

2 . 1 6 t / m

2

)

)

F

F

)

)

F

F

2 . 1 6 t / m

2

= × 2 t / m

2

=

1 . 0 8 m

' "


d e b e r á o b t e n e r c o m o :

y p o r ú l t i m o s e c a l c u l a e l t i e m p o n e c e s a r i o p a r a l l e g a r a d i c h o a s i e n t o :

? D e l a p a r t a d o = s e o b t i e n e n l o s s i g u i e n t e v a l o r e s : J = 3 6 5 d í a s , 6 = 0 . 1 4 2 y 7 = 0 . 4 2 5 . E s t o i n d i c a q u e

s e r e q u i e r e u n t e r r a p l é n t a l q u e 0 . 4 2 5 x *

*

= 0 . 1 3 4 m , o s e a , *

*

= 0 . 3 1 5 m ; l u e g o e l e s p e s o r

"

"

"

"

t e r r a p l é n t e r r a p l é n

= d e l m i s m o p u e d e c a l c u l a r s e c o m o :

@ E l a s i e n t o t o t a l s e p r o d u c e c o m o s u m a d e l a c o n t r i b u c i ó n d e l t e r r a p l é n y a e x i s t e n t e a l o s s e i s m e s e s ,

m á s e l a s i e n t o c a u s a d o p o r e l i n c r e m e n t o d e t e r r a p l é n , e s d e c i r :

Y a s e h a b í a c a l c u l a d o 6 = 0 . 0 7 1 y 7 = 0 . 3 0 c o r r e s p o n d i e n t e a J = 6 m e s e s . P o r t a n t o e l a s i e n t o t o t a l q u e

p r o d u c i r á e l i n c r e m e n t o s e r á :

C o n s e c u e n t e m e n t e , l a a l t u r a d e t e r r a p l é n r e q u e r i d a s e o b t i e n e c o m o :

A L a r e l a c i ó n d e t i e m p o s d e c o n s o l i d a c i ó n e n t r e u n a s i t u a c i ó n c o n d r e n e s s e p a r a d o s u n a d i s t a n c i a A

( s u p o n i e n d o s ó l o f l u j o r a d i a l - h o r i z o n t a l ) y l a s i t u a c i ó n s i n d r e n e s s e r í a :




J

r

J

A

2 0

1

3 . 3 5

A

2 × 5 m

A

5 . 4 6 m

( 1

7

r z

)

( 1

7

r

) ( 1

7

z

) 7

r z

7

r

7

z

7

r

7

z

7

r z

0 . 1 3 4

0 . 1 7 9

0 . 7 4 9

7

r z

7

r

7

z

7

r

7

z

7

r

7

r z

7

z

1

7

z

0 . 7 4 9 0 . 4 2 5

1

0 . 4 2 5

0 . 5 6 3

6

r

_

_

4

B

B

l n

B

B

8

( 1

7

r

)

0 . 2 5 0

H

e

( A / 2 )

?

r

6

6

r

0 . 0 0 9 7 m

/ d í a × 3 6 5 d í a

0 . 0 2 5 0

1 4 . 1 6 m

H

e

3 . 7 6 m A

2 H

e

7 . 5 3 m

' #


d o n d e 0 e s l a l o n g i t u d a s o c i a d a a l o s p u n t o s d e d r e n a j e . E s t a c o n d i c i ó n s e o b t i e n e d e i g u a l a r l o s t i e m p o s

a d i m e n s i o n a l e s p a r a c o n s o l i d a c i ó n v e r t i c a l y r a d i a l . L a c o n s o l i d a c i ó n c o n d r e n e s s e s u p o n e , p o r e l

m o m e n t o , q u e s e p r o d u c e c o n u n a a p o r t a c i ó n d e s p r e c i a b l e d e l a v e r t i c a l . E n e l a p a r t a d o > s e o b t u v o q u e

s e r e q u e r í a n 3 . 3 5 a ñ o s p a r a a s e n t a r * * c o n e l t e r r a p l é n i n i c i a l . P o r t a n t o , p a r a q u e J = 1 a ñ o r e s u l t a :

"

"

r

b o m b e o

T a l c o m o s e h a i n d i c a d o , e n l o s c á l c u l o s a n t e r i o r e s s e h a s u p u e s t o q u e s ó l o e x i s t e d r e n a j e r a d i a l . S i n

e m b a r g o , a l a v i s t a d e l v a l o r o b t e n i d o ( d e l m i s m o o r d e n q u e 0 ) , l a c o l a b o r a c i ó n v e r t i c a l p u e d e s e r

t a m b i é n i m p o r t a n t e . S i s e s u p o n e n c o n j u n t a m e n t e d r e n a j e r a d i a l y v e r t i c a l , e l g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n

p u e d e e s t i m a r s e c o m o :

d o n d e 7 e s e l g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n r a d i a l , 7 e l g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n v e r t i c a l y 7 e l g r a d o d e

r z r z

c o n s o l i d a c i ó n c o n j u n t o . P a r a 1 a ñ o s e o b t u v o : 7 = 0 . 4 2 5 p a r a 6 = 0 . 0 7 1 . C o n l o s d r e n e s s e d e s e a q u e e l

z

a s i e n t o s e a : *

*

= 7 *

*

= 0 . 1 3 4 m ( a s i e n t o q u e p r o d u c i r í a e l b o m b e o ) . Y a q u e *

*

t "

"

"

" r z

t e r r a p l é n + d r e n e s t e r r a p l é n + d r e n e s

= *

*

= 0 . 1 7 9 m , r e s u l t a :

"

"

t e r r a p l é n

P o r t a n t o 7 d e b e s e r :

r

E l t i e m p o a d i m e n s i o n a l s e r á ( s u p o n i e n d o q u e p u e d e u t i l i z a r s e l a m i s m a s o l u c i ó n q u e p a r a c o n s o l i d a c i ó n

v e r t i c a l ) :

y l a s e p a r a c i ó n e n t r e d r e n e s r e s u l t a r á e n e s t e c a s o :

E s d e c i r , l a c o n s i d e r a c i ó n d e l a c o l a b o r a c i ó n v e r t i c a l h a c e q u e s e s e p a r e n m á s l o s d r e n e s .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _




E

m

(

(

w

c

v

K

1 t / m

!

× 5 × 1 0

"

c m

/ s

1 0

%

c m / s

×

1 m

1 0 0 c m

5 0 t / m

T

c

v

t

H

5 × 1 0

"

c m

/ s × 1 8 2 . 5 d í a

( 5 m )

×

1 m

1 0 . 0 0 0 c m

×

8 6 4 0 0 s

1 d í a

0 . 0 3

U

4 × 0 . 0 3

B

B

0 . 2 0 *

*

" "

*

*

t

U

1 0 c m

0 . 2 0

5 0 c m

0 . 5 0 m

' $


P R O B L E M A 3 3 .

T r a s s e i s m e s e s d e b o m b e o i n t e n s i v o d e u n e s t r a t o d e g r a v a s s i t u a d o b a j o 1 0 m d e a r c i l l a ( N F e n

s u p e r f i c i e ) s e o b s e r v a u n a s i e n t o d e 1 0 c m . R e a l i z a d o s l o s e n s a y o s o p o r t u n o s s e o b t i e n e q u e e l

c o e f i c i e n t e d e c o n s o l i d a c i ó n d e l a a r c i l l a e s d e 5 . 1 0 c m / s , y q u e s u p e r m e a b i l i d a d e s d e 1 0 c m / s .

- 4 2 - 7

D e t e r m i n a r :

a ) e l a s i e n t o f i n a l ;

b ) e l r e b a j a m i e n t o d e l n i v e l p i e z o m é t r i c o q u e s e p r o d u c e e n l a c a p a d e g r a v a s ;

c ) e l p l a z o d e t i e m p o e n e l q u e s e a l c a n z a r á e l 9 5 % d e c o n s o l i d a c i ó n ;

d ) l a a l t u r a d e t e r r a p l é n ( = 2 t / m ) q u e s e d e b e r á c o l o c a r a l o s s e i s m e s e s p a r a q u e e n u n a ñ o d e s d e

n a t

3

e l i n i c i o d e l b o m b e o s e a l c a n c e e l 9 5 % d e l a s i e n t o f i n a l e n s u p e r f i c i e ;

e ) e l a s i e n t o f i n a l q u e s e p r o d u c i r í a e n e l c a s o d e n o e l i m i n a r s e e l t e r r a p l é n o b t e n i d o e n e l p u n t o

a n t e r i o r . C o m e n t a r e s t e r e s u l t a d o .

F i g u r a 3 3 . 1 . R e p r e s e n t a c i ó n e s q u e m á t i c a d e l t e r r e n o y l e y e s d e p r e s i o n e s .

E l m ó d u l o d e d e f o r m a c i ó n e d o m é t r i c o p u e d e o b t e n e r s e c o m o :

a ) P a r a t = 6 m e s e s = 1 8 2 . 5 d í a s , e l t i e m p o a d i m e n s i o n a l r e s u l t a d e :

C o n e l g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n p a r a 6 m e s e s y e l a s i e n t o c o r r e s p o n d i e n t e p u e d e o b t e n e r s e e l a s i e n t o f i n a l

( T < 0 . 2 ) :

b ) E l a s i e n t o d e b i d o a c o n s o l i d a c i ó n c u a n d o s e p r o d u c e n v a r i a c i o n e s d e p r e s i ó n d i s t i n t a s e n l o s e x t r e m o s

d e l e s t r a t o p u e d e e s t i m a r s e c o m o :




*

*

t

"

"

2 0

-

m

(

)

)

K

m e d i o

) )

)

K

m e d i o

)

)

K

A

)

)

K

B

2

)

)

K

m e d i o

-

m

*

*

t

" "

2 0

5 0 t / m

2

× 0 . 5 0 m

1 0 m

2 . 5 t / m

2

n

n

z

u

(

(

M

)

)

n

n

)

)

K

(

(

w

5 t / m

2

1 t / m

3

5 m

7 ( 6 )

1

8

B

B

2

A

*

*

4

T

6

4

B

B

2

l n ( 1

7 )

B

B

2

8

4

B

B

2

l n ( 1

0 . 9 5 )

B

B

2

8

1 . 1 2 9

6

?

v

J

0

2

;

;

J

6 0

2

?

v

1 . 1 2 9 × ( 5 m )

2

5 × 1 0

4

c m

2

/ s

×

1 0 . 0 0 0 c m

2

1 m

2

×

1 d í a s

8 6 4 0 0 s

6 5 3 4 d i a

J

6 5 3 4 d í a s

1 7 . 9 a ñ o s

6

5 × 1 0

4

c m

2

/ s × 3 6 5 d i a

( 5 m )

2

×

1 m

2

1 0 . 0 0 0 c m

2

×

8 6 4 0 0 s

1 d i a

0 . 0 6 < 0 . 2

7

4 6

B

B

0 . 2 8 ( 6 < 0 . 2 ) *

*

b o m b e o

t

1 a ñ o

0 . 2 8 × 0 . 5 0 m

0 . 1 4 m

*

*

t e r r a p l é n

t

6 m e s e s

7 × *

*

t e r r a p l é n

"

"

' %


S i e n d o , r e s p e c t i v a m e n t e , )

)

K y )

)

K l a v a r i a c i ó n d e p r e s i ó n e n c a d a e x t r e m o d e l e s t r a t o . P a r a o b t e n e r u n

) *

a s i e n t o d e 0 . 5 0 m , s e n e c e s i t a u n r e b a j a m i e n t o d e p r e s i ó n m e d i o d a d o p o r :

L a s i t u a c i ó n e n l a q u e s e b o m b e a e n l a s g r a v a s c o r r e s p o n d e a K = 0 y K U 0 , y p o r t a n t o e l

A B

r e b a j a m i e n t o e n d i c h a s g r a v a s d e b e s e r , e x p r e s a d o e n p r e s i o n e s , d e : K = 2 K = - 5 t / m . E l s i g n o

B m e d i o

2

n e g a t i v o d e e s t e i n c r e m e n t o d e p r e s i ó n i n d i c a q u e s e t r a t a d e u n r e b a j a m i e n t o . P u e s t o q u e e l n i v e l

p i e z o m é t r i c o s e d e f i n e c o m o :

e n t o n c e s e l r e b a j a m i e n t o e n t é r m i n o s d e n i v e l p i e z o m é t r i c o s e r á :

? E l t i e m p o a d i m e n s i o n a l c o r r e s p o n d i e n t e a l 9 5 % d e c o n s o l i d a c i ó n s e o b t i e n e c o m o ( 6 > 0 . 2 ) :

F i n a l m e n t e e l t i e m p o n e c e s a r i o p a r a a l c a n z a r e l 9 5 % d e c o n s o l i d a c i ó n s e r á :

@ E n e s t e a p a r t a d o s e p i d e q u e e l a s i e n t o t o t a l *

* = 0 . 9 5 x 0 . 5 0 m = 0 . 4 7 5 m . S i n e m b a r g o , e l b o m b e o

t = 1 a ñ o

s ó l o p o d r á p r o d u c i r u n a p a r t e d e e s t e a s i e n t o q u e s e c a l c u l a c o m o s i g u e :

P o r l o t a n t o e l t e r r a p l é n d e b e s e r t a l q u e p r o d u z c a u n a s i e n t o d e 0 . 4 7 5 - 0 . 1 4 = 0 . 3 3 5 m e n l o s s e i s m e s e s

ú l t i m o s d e l a ñ o , e s d e c i r , e n e l p e r i o d o e n e l q u e s e d i s p o n e :

P a r a s e i s m e s e s y a s e o b t u v o q u e 6 = 0 . 0 3 y 7 = 0 . 2 0 , l u e g o :




* *

t e r r a p l é n

"

"

0 . 3 3 5

0 . 2

1 . 6 7 5

*

*

t e r r a p l é n

t

"

"

2 H

E

m

)

)

F

F

)

)

F

F

1 . 6 7 5 m × 5 0 t / m

2

1 0 m

8 . 3 7 5 t / m

2

)

)

F

F

)

)

F

F

8 . 3 7 5 t / m

2

a × 2 t / m

2

, a

4 . 2 m

*

*

"

"

0 . 5 0

1 . 6 7 5

2 . 1 7 5 m

0 . 4 7 5 m

1 0 m

0 . 0 4 7 5 .

.

5 %

)

)

e

1

e

0

g

g

v

0 . 0 5 )

)

e

0 . 0 9 e

f

0 . 7 1

' &


P o r o t r o l a d o :

y p o r t a n t o s u e s p e s o r ( a ) d e b e r á s e r :

e ) E l a s i e n t o a l a r g o p l a z o , e n p r i n c i p i o , s e r á d e :

S i n e m b a r g o e s p o c o r e a l i s t a . N ó t e s e q u e e n e l p r o b l e m a s e h a t r a b a j a d o c o n g r a d o s d e c o n s o l i d a c i ó n

b a j o s , y e l a s i e n t o m á x i m o q u e s e r e q u e r í a a l c a b o d e u n a ñ o e r a d e 0 . 4 7 5 m , l o q u e r e p r e s e n t a u n a

d e f o r m a c i ó n v e r t i c a l d e :

S i e l í n d i c e d e p o r o s i n i c i a l f u e s e d e e = 0 . 8 , e s t o r e p r e s e n t a u n c a m b i o d e í n d i c e d e p o r o s d e :

m i e n t r a s q u e a l a r g o p l a z o l o s c a m b i o s d e e s e r á n m u c h o m a y o r e s . C o n e s t o s c a m b i o s d e e , t a n t o K c o m o

E v a r i a r í a n y , p o r t a n t o , l a l i n e a l i d a d a d m i t i d a e n e l c á l c u l o d e a s i e n t o s s e r í a i n a c e p t a b l e , a s í c o m o

m

t a m p o c o s e r í a a c e p t a b l e q u e c e s c o n s t a n t e . P o r o t r o l a d o , c o n u n a c a r g a e l e v a d a s e o b t e n d r í a n a s i e n t o s

v

i m p o r t a n t e s a c o r t o p l a z o a p e s a r d e q u e e l g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n s e r í a t o d a v í a b a j o . E s d e c i r , s ó l o

h a b r í a n c o n s o l i d a d o d e f o r m a a p r e c i a b l e l o s e x t r e m o s d e l e s t r a t o . A d e m á s , e l s u p u e s t o e f e c t o d e l a

p r e c a r g a s e r í a p o c o e f e c t i v o , y a q u e u n a b u e n a p a r t e d e l e s t r a t o s e g u i r í a e s t a n d o c a s i n o r m a l m e n t e

c o n s o l i d a d o , p o r l o q u e e l b o m b e o s e g u i r í a p r o d u c i e n d o a s i e n t o s s i g n i f i c a t i v o s ( l a s z o n a s e x t r e m a s n o ,

p e r o e l c e n t r o s í ) .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 3 4 .

E n l a t a b l a a d j u n t a ( v e r t a m b i é n f i g u r a 3 4 . 1 ) s e m u e s t r a n l o s r e s u l t a d o s d e u n e n s a y o e d o m é t r i c o s o b r e

u n a m u e s t r a i n a l t e r a d a d e u n s u e l o . O b t e n e r : l a c u r v a e - l o g F

F

' ; C ; a e n f u n c i ó n d e F

F

' , c e n f u n c i ó n d e

c v v

F

F

' y K e n f u n c i ó n d e e .

D a t o s d e l e n s a y o : a l t u r a f i n a l d e l a m u e s t r a 1 8 . 3 0 m m ; p e s o h ú m e d o d e l a m u e s t r a 1 5 0 . 8 5 g r ; d i á m e t r o

d e l a m u e s t r a 7 0 m m , p e s o s e c o d e l a m u e s t r a 1 2 7 . 2 9 g r ; C = 0 . 0 2 5 ; e = 0 . 9 5 ; y p r e s i ó n v e r t i c a l e f e c t i v a

s 0

i n s i t u 0 . 5 k g / c m .




A

8

M

8

I

s i e n d o 8

M

9

M

/

9

( 1 5 0 . 8 5

1 2 7 . 2 9 ) / 1

2 3 . 5 6 c m

!

8

I

9

I

/

5

1 2 7 . 2 9 / 2 . 7

4 7 . 1 4 c m

!

A

2 3 . 5 6

4 7 . 1 4

0 . 5 0

A

8

M

8

I

8

6

8

I

8

I

*

*

H

D

8

I

8

I

*

* H

D

8

I

1

A

*

*

H

8

I

D

A

A

B

A

*

*

H

8

I

D

B

1

*

*

H

8

I

D

*

*

H

8

I

( D

B

D )

1

' '


1 . 6 k p / c m 3 . 2 k p / c m 6 . 4 k p / c m 1 2 . 8 k p / c m 2 5 . 6 k p / c m

T i e m p o L e c t u r a T i e m p o L e c t u r a T i e m p o L e c t u r a T i e m p o L e c t u r a T i e m p o L e c t u r a

( m i n ) ( µ m ) ( m i n ) ( µ m ) ( m i n ) ( µ m ) ( m i n ) ( µ m ) ( m i n ) ( µ m )

1 0 5 0 0 0 . 3 8 8 9 0 . 3 1 7 0 0 0 . 3 3 4 3 0 0 . 3 5 0 6 0

3 6 6 3 0 0 . 7 8 9 5 2 1 7 7 8 2 3 5 5 6 1 . 2 5 0 9 0

2 8 0 7 6 0 2 9 4 0 9 2 0 3 2 1 0 3 8 4 0 7 5 3 0 0

1 0 0 0 8 9 0 2 7 1 2 7 0 2 0 2 2 8 6 2 5 4 0 6 4 2 5 5 5 5 8

5 8 1 3 9 7 4 0 2 5 4 0 5 0 4 3 1 8 6 2 5 8 4 2

1 7 0 1 5 2 4 7 0 2 7 9 4 1 0 0 4 5 7 2 2 0 0 6 0 9 6

1 0 0 0 1 6 4 0 1 7 0 3 0 4 8 2 5 0 4 8 2 6 1 0 0 0 6 2 5 0

1 0 0 0 3 3 0 2 1 0 0 0 5 0 0 0 2 0 0 0 6 2 7 5

L o s d a t o s d e p a r t i d a s o n l o s s i g u i e n t e s :

D = 1 8 . 3 0 m m ; 9 = 1 5 0 . 8 5 g r ; 9 = 1 2 7 . 2 9 g r ; , = 7 0 m m ; + = 0 . 0 2 5 ; A = 0 . 9 5 ; .

.

' = 0 . 5 k p / c m ;

B 6 I I

c u r v a s e n s a y o .

E l í n d i c e d e p o r o s a l f i n a l d e l e n s a y o s e p u e d e o b t e n e r e n f u n c i ó n d e l a s v a r i a b l e s m e d i d a s c o m o :

P a r a c a l c u l a r e l í n d i c e d e p o r o s e n c a d a i n s t a n t e e n f u n c i ó n d e l a a l t u r a d e l a m u e s t r a ( D ) s e h a r á :

d o n d e * H e s e l á r e a t r a n s v e r s a l d e l a m u e s t r a . E n l a e x p r e s i ó n a n t e r i o r s ó l o e s v a r i a b l e D y p o r t a n t o

p u e d e o b t e n e r s e l a v a r i a c i ó n d e í n d i c e d e p o r o s c o m o :

S i s e t o m a n c o m o r e f e r e n c i a l o s v a l o r e s f i n a l e s A y D :

B B




D D D

B

A

* * 3 5

1 2 7 . 2 9 / 2 . 7 × 1 0

!

( 1 8 . 3 0

D )

1

1 8 . 3

D

1 2 . 2 5

1


s i e n d o e n e s t e c a s o :

I n t r o d u c i e n d o D = 1 8 . 3 0 m m y H = 3 5 m m r e s u l t a :

B

E n l a s t a b l a s s i g u i e n t e s s e i n c l u y e n l o s r e s u l t a d o s d e í n d i c e s d e p o r o s e n f u n c i ó n d e l a l e c t u r a o b t e n i d o s

a p a r t i r d e l a s r e s u l t a d o s d e l e n s a y o :

. . ' = 2 5 . 6 k p / c m .

.

' = 1 2 . 8 k p / c m

l e c t u r a ( µ m ) l e c t u r a ( µ m )

D ( m m )

D ( m m )

A A

6 2 7 5 0 0 . 5 0 4 8 2 6 1 . 4 4 9 0 . 6 1

6 0 9 6 0 . 1 7 9 0 . 5 1 4 5 7 2 1 . 7 0 3 0 . 6 3

5 8 4 2 0 . 4 3 3 0 . 5 3 4 3 1 8 1 . 9 5 7 0 . 6 5

5 5 8 8 0 . 7 1 7 0 . 5 5 4 0 6 4 2 . 2 1 1 0 . 6 7

5 3 0 0 0 . 9 7 5 0 . 5 7 3 8 4 0 2 . 4 3 5 0 . 6 9

5 0 6 0 1 . 2 1 5 0 . 5 9 3 5 5 6 2 . 7 1 9 0 . 7 2

.

.

' = 6 . 4 k p / c m .

.

' = 3 . 2 k p / c m

l e c t u r a ( µ m ) l e c t u r a ( µ m ) D ( m m ) D ( m m ) A A

3 3 0 2 2 . 9 7 3 0 . 7 4 1 6 4 0 4 . 6 3 5 0 . 8 7

3 0 4 8 3 . 2 2 7 0 . 7 6 1 5 2 4 4 . 7 5 1 0 . 8 8

2 7 9 4 3 . 4 8 1 0 . 7 8 1 3 9 7 4 . 8 7 8 0 . 8 9

2 5 4 0 3 . 7 3 5 0 . 8 0 1 2 7 0 5 . 0 0 5 0 . 9 0

2 2 8 6 3 . 9 8 9 0 . 8 2 9 4 0 5 . 3 3 5 0 . 9 3

2 0 3 2 4 . 2 4 3 0 . 8 4

1 7 7 8 4 . 4 9 7 0 . 8 6

E s t a s t a b l a s c o n t i e n e n l a s l e c t u r a s e n c a d a e s c a l ó n d e c a r g a y s u t r a n s f o r m a c i ó n a í n d i c e d e p o r o s e n l a

m u e s t r a . L o s v a l o r e s d e t e n s i ó n j u n t a m e n t e c o n l o s í n d i c e s d e p o r o s a l f i n a l d e l e s c a l ó n , q u e c o r r e s p o n d e

a l v a l o r m á s b a j o d e A , p e r m i t e n o b t e n e r l a c u r v a A - l o g .

.

' q u e s e r e p r e s e n t a e n l a f i g u r a 3 4 . 3 . E l í n d i c e

d e c o m p r e s i ó n + s e p u e d e e s t i m a r a p a r t i r d e s u d e f i n i c i ó n :

?




A +

?

( l o g . .

)

+

?

0 . 6 2

0 . 5 0

l o g 2 5 . 6

l o g 1 2 . 8

0 . 1 2

l o g

2 5 . 6

1 2 . 8

0 . 1 2

l o g 2

0 . 4 0

=

L

A

.

.

?

L

0

6

#

J

#


p a r a c u y o c á l c u l o s e t o m a n v a l o r e s e n l a z o n a m á s l i n e a l , q u e s e s u p o n e c o r r e s p o n d i e n t e a l a z o n a f i n a l

d e l a r a m a n o v a l :

E s t e v a l o r d e + c o r r e s p o n d e a u n s u e l o d e e l e v a d a c o m p r e s i b i l i d a d . E l c o e f i c i e n t e d e c o m p r e s i b i l i d a d

?

= s e o b t i e n e t a m b i é n d e s u d e f i n i c i ó n :

L

y a l t r a t a r s e d e u n c o m p o r t a m i e n t o r e a l n o l i n e a l , c a d a = c a l c u l a d o s ó l o e s v á l i d o e n e l t r a m o d e l a c u r v a

L

p a r a e l q u e s e h a o b t e n i d o . L a f i g u r a 3 4 . 4 m u e s t r a l a v a r i a c i ó n d e l c o e f i c i e n t e d e c o m p r e s i b i l i d a d c o n l a

t e n s i ó n e f e c t i v a . L o s v a l o r e s o b t e n i d o s e n c a d a e s c a l ó n d e c a r g a s e r e s u m e n e n l a s i g u i e n t e t a b l a :

A

0 . 9 3 0 . 8 7 0 . 7 4 0 . 6 1 0 . 5 0

.

.

' ( k p / c m )

2

1 . 6 3 . 2 6 . 4 1 2 . 8 2 5 . 6

= ( c m / k p )

L

2

0 . 0 2 5 0 . 0 4 4 0 . 0 1 9 0 . 0 0 9

C o m o p u e d e v e r s e e n l a f i g u r a 3 4 . 4 s o l a m e n t e s e h a n r e p r e s e n t a d o l o s v a l o r e s d e = c o r r e s p o n d i e n t e s a

L

l a z o n a d e l a r a m a n o v a l . E l v a l o r e n l a z o n a d e r e c a r g a e s m e n o r q u e e l q u e s e o b t i e n e c u a n d o e l s u e l o

h a a l c a n z a d o y a l a p r e s i ó n d e p r e c o n s o l i d a c i ó n .

E l c á l c u l o d e ? , c o e f i c i e n t e d e c o n s o l i d a c i ó n , s e r e a l i z a m e d i a n t e e l m é t o d o d e C a s a g r a n d e .

L

d o n d e 0 e s l a s e m i a l t u r a m e d i a ( e l d r e n a j e s e p r o d u c e p o r a m b o s e x t r e m o s ) e n e l e s c a l ó n d e c a r g a q u e

s e c o n s i d e r a y J e l t i e m p o p a r a u n g r a d o d e c o n s o l i d a c i ó n d e l 5 0 % . E s t e ú l t i m o v a l o r , J , s e o b t i e n e

# #

g r á f i c a m e n t e a p a r t i r d e J , J y J = 4 J , s e g ú n e l m é t o d o d e C a s a g r a n d e ( F i g . 3 4 . 2 ) . S e g ú n d i c h o

m é t o d o , J e s u n t i e m p o i n i c i a l p e q u e ñ o y J e s t a l q u e l a d e f o r m a c i ó n e s d o b l e . S i s e s u p o n e q u e a l i n i c i o

I J e n t o c e s d i c h o a s i e n t o d o b l e s e o b t e n d r á c o n J = 4 J . U n a v e z s i t u a d o s e s t o s t i e m p o s , p u e d e

1 / 2

e s t i m a r s e e l v a l o r i n i c i a l d e l a c u r v a y , p o r t a n t o , e l v a l o r d e l í n d i c e d e p o r o s i n i c i a l ( A ) . P o r o t r o l a d o

m e d i a n t e l a s t a n g e n t e s e n l a z o n a f i n a l d e l a c u r v a y e n l a z o n a c e n t r a l p u e d e e s t i m a r s e l a p o s i c i ó n d e J

q u e d a l u g a r a A ( c o n s o l i d a c i ó n d e l 1 0 0 % ) . E l p u n t o m e d i o e n t r e A y A c o r r e s p o n d e a u n g r a d o d e

1 0 0

c o n s o l i d a c i ó n d e l 5 0 % y , p o r t a n t o , d a l u g a r a J .

#





F i g u r a 3 4 . 1 R e s u l t a d o s d e l e n s a y o e d o m é t r i c o d e c o n s o l i d a c i ó n

F i g u r a 3 4 . 2 D e t e r m i n a c i ó n d e l t i e m p o c o r r e s p o n d i e n t e a l 5 0 % d e

c o n s o l i d a c i ó n ( s ó l o s e r e p r e s e n t a e l ú l t i m o e s c a l ó n d e c a r g a )




.

.

3 . 2 k p / c m

t

#

_

_

2 0 m i n

1 2 0 0 s H

h

f

h

2

1 . 8 3

0 . 4 9

2

1 . 1 6 c m

c

v

1 . 1 6

× 0 . 1 9 6

1 2 0 0

2 . 2 × 1 0

"

c m

/ s

.

.

6 . 4 k p / c m

t

#

_

_

3 0 m i n

1 8 0 0 s H

h

f

h

2

1 . 8 3

0 . 3 8

2

1 . 1 c m

c

v

1 . 1

× 0 . 1 9 6

1 8 0 0

1 . 3 × 1 0

"

c m

/ s

.

.

1 2 . 8 k p / c m

t

#

_

_

3 0 m i n

1 8 0 0 s H

h

f

h

2

1 . 8 3

0 . 2 1

2

1 . 0 c m

c

v

1 . 0

× 0 . 1 9 6

1 8 0 0

1 . 1 × 1 0

"

c m

/ s

.

.

2 5 . 6 k p / c m

t

#

_

_

3 0 m i n

1 8 0 0 s H

h

f

h

2

1 . 8 3

0 . 0 6

2

0 . 9 5 c m

c

v

0 . 9 5

× 0 . 1 9 6

1 8 0 0

9 . 8 × 1 0

#

c m

/ s

c

v

( 1

e

o

) K

w

a

v

K

c

v

a

v

w

1

e

o

(

w

0 . 0 0 1 k g / c m

!

)

!


P a r a e l e s c a l ó n d e c a r g a d e 3 . 2 k p / c m s e t i e n e :

2

S e h a t o m a d o c o m o

h m e d i o e n e l e s c a l ó n e l v a l o r d e 0 . 4 9 c m ( l e c t u r a 1 3 9 7 µ m ) . A n á l o g a m e n t e , p a r a

l o s d e m á s e s c a l o n e s s e t i e n e :

L a f i g u r a 3 4 . 5 m u e s t r a l a v a r i a c i ó n d e l c o e f i c i e n t e d e c o n s o l i d a c i ó n c o n l a t e n s i ó n e f e c t i v a p a r a l o s

e s c a l o n e s e n l a r a m a n o v a l .

P o r ú l t i m o , p u e d e e s t i m a r s e l a p e r m e a b i l i d a d u s a n d o l a d e f i n i c i ó n d e c :

L

E n l a s f i g u r a s 3 4 . 6 y 3 4 . 7 s e m u e s t r a l a v a r i a c i ó n d e l a p e r m e a b i l i d a d c o n l a t e n s i ó n e f e c t i v a y c o n e l

í n d i c e d e p o r o s , r e s p e c t i v a m e n t e . E n l a t a b l a s i g u i e n t e s e r e s u m e n l o s v a l o r e s o b t e n i d o s :

e

0 . 9 3 0 . 8 7 0 . 7 4 0 . 6 2 0 . 5 0 -

. . '

1 . 6 3 . 2 6 . 2 1 2 . 8 2 5 . 6 k p / c m

2

a

L

- 0 . 0 2 5 0 . 0 4 4 0 . 0 1 9 0 . 0 0 9 c m / k p

2

C

L

- 2 . 2 × 1 0 1 . 3 × 1 0 1 . 1 × 1 0 9 . 8 × 1 0 c m / s

- 4 - 4 - 4 - 5 2

K

- 2 . 8 × 1 0 2 . 9 × 1 0 1 . 1 × 1 0 4 . 5 × 1 0 c m / s

- 9 - 9 - 9 - 1 0




"


C o m o p u e d e v e r s e l o s v a l o r e s d e a , c y K n o s e h a n o b t e n i d o p a r a e l p r i m e r e s c a l ó n d e c a r g a y a q u e l a

L L

c u r v a c o r r e s p o n d i e n t e s e h a c o n s i d e r a d o p o c o r e p r e s e n t a t i v a . E s t o s p a r á m e t r o s v a n v a r i a n d o a l o l a r g o

d e l e n s a y o d e b i d o a l c o m p o r t a m i e n t o n o l i n e a l d e l s u e l o . C o m o s e o b s e r v a e n l a c u r v a d e c a r g a ( F i g .

3 4 . 3 ) e l c o m p o r t a m i e n t o e s b a s t a n t e l i n e a l e n e l p l a n o e - l o g . . p e r o t a n t o a c o m o c e s t á n d e f i n i d o s a

L L

p a r t i r d e u n m o d e l o d e c o m p o r t a m i e n t o l i n e a l . E s t o h a c e q u e s o l a m e n t e p u e d a n c o n s i d e r a r s e v a l o r e s

v á l i d o s e n u n r a n g o d e t e n s i o n e s .

F i g u r a 3 4 . 3 C u r v a d e c a r g a e n c o n d i c i o n e s e d o m é t r i c a s

F i g u r a 3 4 . 4 V a r i a c i ó n d e l c o e f i c i e n t e d e c o m p r e s i b i l i d a d c o n l a

t e n s i ó n e f e c t i v a ( v a l o r e s e n r a m a n o v a l )




#


F i g u r a 3 4 . 5 V a r i a c i ó n d e l c o e f i c i e n t e d e c o n s o l i d a c i ó n c o n l a


F i g u r a 3 4 . 6 V a r i a c i ó n d e l a p e r m e a b i l i d a d c o n l a


F i g u r a 3 4 . 7 V a r i a c i ó n d e l a p e r m e a b i l i d a d c o n e l

í n d i c e d e p o r o s ( v a l o r e s e n r a m a n o v a l )

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _




F

F

!

3 . 7

2

1 . 7 k p / c m

F

F

9 . 7

2

7 . 7 k p / c m

s i n N

N

4

F

F

F

F

!

2

( F

F

F

F

!

) / 2

( F

F

F

F

!

) / 2

F

F

F

F

!

F

F

F

F

!

7 . 7

1 . 7

7 . 7

1 . 7

F

F

3 . 4

F

F

3 . 4

0 . 6 4 F

F

2 . 1 7

F

F

3 . 4

F

F

1 5 . 4 k p / c m

F

F

F

F

K

1 5 . 4

1

1 6 . 4 k p / c m

%

R e s i s t e n c i a d e s u e l o s s a t u r a d o s

Capítulo 5. Resistencia de suelos saturados

P R O B L E M A 3 5 .

U n a m u e s t r a d e a r e n a d e n s a l l e g a a r o t u r a e n u n e n s a y o t r i a x i a l c o n u n a p r e s i ó n d e c á m a r a d e 3 . 7

k p / c m , u n a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l d e 2 . 0 k p / c m , y u n a t e n s i ó n a x i a l d e 9 . 7 k p / c m . E s t i m a r l a p r e s i ó n a x i a l

q u e h a b r í a q u e a p l i c a r p a r a r o m p e r o t r a m u e s t r a d e e s e m i s m o s u e l o c o n u n a p r e s i ó n d e c á m a r a d e 4 . 4

k p / c m y u n a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l d e 1 . 0 k p / c m .

P o r t r a t a r s e d e u n s u e l o d e t i p o g r a n u l a r , s e s u p o n d r á q u e e l p r o c e s o d e r o t u r a s e p r o d u c e e n c o n d i c i o n e s

d r e n a d a s y , p o r t a n t o , l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l s e m a n t i e n t e p r á c t i c a m e n t e c o n s t a n t e e n t o d o e l p r o c e s o d e

c a r g a . L a s t e n s i o n e s e f e c t i v a s e n r o t u r a d e l a m u e s t r a e n s a y a d a s e r á n :

C o m o s e t r a t a d e u n a a r e n a , s e s u p o n d r á q u e n o h a y c o h e s i ó n , e s d e c i r , ? ' = 0 . D e l c í r c u l o d e M o h r , s e

p u e d e o b t e n e r l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n :

d o n d e 4 e s e l r a d i o d e d i c h o c í r c u l o d e M o h r y N

N

´ e l á n g u l o d e r o z a m i e n t o i n t e r n o . E n e l e n s a y o a

r e a l i z a r F

F ' = 4 . 4 - 1 = 3 . 4 k p / c m q u e s e s u p o n e c o n s t a n t e a l o l a r g o d e l p r o c e s o d e c a r g a . S i s e a p l i c a

!

l a m i s m a c o n d i c i ó n d e r o t u r a :

s e o b t i e n e l a t e n s i ó n e f e c t i v a F F ' . P e r o l o q u e s e a p l i c a a x i a l m e n t e e s l a t e n s i ó n t o t a l , q u e s e p o d r á o b t e n e r

d e l a d e f i n i c i ó n d e t e n s i ó n e f e c t i v a :

L a f i g u r a 3 5 . 1 m u e s t r a l o s c í r c u l o s d e M o h r e n l a s i t u a c i ó n d e r o t u r a p a r a a m b o s e n s a y o s .




s i n N

N

0 . 6 3 8 N

N

4 0

F

F

F

F

!

t g

B

B

4

N

N

2

)

)

F

F

L

1

2

F ) ) F F

D

1

2

F

)

)

J

J

L

1

2

F ) ) J J

D

1

2

F

&


F i g u r a 3 5 . 1 C í r c u l o s d e M o h r e n r o t u r a

A u n q u e n o s e p i d e e n e l e n u n c i a d o , s e p u e d e n o b t e n e r l o s p a r á m e t r o s q u e c a r a c t e r i z a n l a e n v o l v e n t e d e

r o t u r a d e M o h r - C o u l o m b , q u e e n e s t e c a s o s e r e d u c e n a l á n g u l o d e r o z a m i e n t o i n t e r n o ( ? \ = 0 ) :

O t r a f o r m a a n á l o g a d e r e s o l v e r e s t e p r o b l e m a e s u s a r l a c o n d i c i ó n d e r o t u r a e n d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s

( ? = 0 ) :

S u s t i t u y e n d o e n e s t a e x p r e s i ó n p u e d e c o m p r o b a r s e q u e s e l l e g a a l a m i s m a s o l u c i ó n .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 3 6 .

U n e l e m e n t o d e u n s u e l o s a t u r a d o q u e p r e s e n t a u n á n g u l o d e r o z a m i e n t o i n t e r n o d e 3 0 y u n a c o h e s i ó n

o

d e 0 . 2 t / m e s t á s o m e t i d o a u n a F

F

= F

F

= 7 t / m y a u n a F

F

= F

F

= 6 t / m ( K = 1 t / m ) . A e s t e e s t a d o s e

2 2 2 2

D ! L

l e a ñ a d e o t r o d e f i n i d o p o r F

F

= F e n u n p l a n o q u e f o r m a 4 5 c o n l a h o r i z o n t a l ( s e n t i d o c o n t r a r i o a l a s

o

a g u j a s d e l r e l o j ) y F

F

= 0 . O b t e n e r F e n r o t u r a , t a n t o e n e l c a s o e n e l q u e s e a p l i q u e e n c o n d i c i o n e s

!

d r e n a d a s c o m o e n e l c a s o d e q u e F s e a p l i q u e e n c o n d i c i o n e s n o d r e n a d a s ( ) = 0 . 5 ) . S u p o n e r

B

c o n d i c i o n e s b i d i m e n s i o n a l e s t o m a n d o F F = c o n s t a n t e .

D e l c í r c u l o d e M o h r d e l e s t a d o t e n s i o n a l q u e s e a ñ a d e ( F i g . 3 6 . 1 ) , s e p u e d e n d e d u c i r l o s i n c r e m e n t o s d e

t e n s i ó n e n l a s d i r e c c i o n e s h o r i z o n t a l y v e r t i c a l :

q u e s o n l o s i n c r e m e n t o s d e t e n s i ó n t o t a l ( n o r m a l y d e c o r t e ) q u e s e d e b e n a p l i c a r e n d i c h a s d i r e c c i o n e s .




F

F

L

( F

F

L

)

+ )

)

F

F

L

)

)

K

5

1

2

F

J

J

L

( J

J

L

)

+ )

)

J

J

L

1

2

F

F

F

D

( F

F

D

)

+ )

)

F

F

D

)

)

K

6

1

2

F

J

J

D

( J

J

D

)

+ )

)

J

J

D

1

2

F

4

J

J

F

F

D

F

F

L

2

1

4

F

1

2

1

2

F

1

J

J

B

4 c o s N

N

F

F

B

F

F

D

F

F

L

2

4 s i n N

N

1 1

F

2

4 s i n N

N

J

J

B

?

F

F

B

t g N N

'


F i g u r a 3 6 . 1 E s t a d o t e n s i o n a l y c í r c u l o d e M o h r

= E s t a d o t e n s i o n a l e n c o n d i c i o n e s d r e n a d a s u n a v e z a p l i c a d o e l i n c r e m e n t o t e n s i o n a l :

S e h a t o m a d o )

)

K = 0 p u e s t o q u e e n e s t e c a s o s e r e a l i z a e l e n s a y o e n c o n d i c i o n e s d r e n a d a s y m a n t e n i e n t o

l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l c o n s t a n t e .

D e l o s e s t a d o s t e n s i o n a l e s e n d o s p l a n o s p e r p e n d i c u l a r e s , s e p u e d e o b t e n e r e l r a d i o d e l c í r c u l o d e M o h r c o m o :

L a s t e n s i o n e s e n e l p l a n o e n e l q u e s e p r o d u c e l a r o t u r a ( p u n t o d e t a n g e n c i a e n t r e e l c í r c u l o d e M o h r y

l a e n v o l v e n t e d e r o t u r a d e M o h r - C o u l o m b ) v i e n e n d a d a s p o r :

q u e d e b e r á n c u m p l i r e l c r i t e r i o d e r o t u r a d e M o h r - C o u l o m b :




4 c o s N

N

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1 1

F

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N

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N

4 c o s N

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1 1

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2

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N

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N

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N

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0

0 . 7 5 F

5 . 8 5 F 3 3 . 1 8 0

F

5 . 8 5 ± 5 . 8 5

4 × 0 . 7 5 × 3 3 . 1 8

2 × 0 . 7 5

1 1 . 6 t / m

4

5 . 8 2 J

J

B

5 . 0 4 F

F

B

8 . 4 0 c e n t r o

I

F

F

D

F

F

L

2

1 1 . 3


S u s t i t u y e n d o r e s u l t a :

S i s e m u l t i p l i c a n a m b o s m i e m b r o s d e e s t a e c u a c i ó n p o r c o s N

N

' r e s u l t a :

M u l t i p l i c a n d o p o r 2 , e l e v a n d o a l c u a d r a d o p a r a e l i m i n a r l a r a í z c u a d r a d a y o p e r a n d o , s e o b t i e n e :

q u e e s u n a e c u a c i ó n d e s e g u n d o g r a d o e n F . S u s t i t u y e n d o l o s v a l o r e s d e N ' y ? ' r e s u l t a :

P a r a i n t e r p r e t a r g r á f i c a m e n t e s e n e c e s i t a n l a s s i g u i e n t e v a r i a b l e s :

L o s c í r c u l o s d e M o h r i n i c i a l y e n r o t u r a s e r e p r e s e n t a n e n l a f i g u r a 3 6 . 2 , j u n t a m e n t e c o n l a e n v o l v e n t e

d e r o t u r a d e M o h r - C o u l o m b .




F

F

v

( F

F

v

)

+ )

)

F

F

v

6

1

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J

J

v

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J

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J

J

v

1

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F

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F

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7

1

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J

J

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J

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J

J

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1

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F

F

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J

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F

F

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J

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F

F

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F

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F

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J

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J

J

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J

J

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B ( )

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J

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F F

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v

F F

h

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1

3

( F F

v

F F

h

)

( F F

v

)

( F F

h

)

6 J J

v h


F i g u r a 3 6 . 2 C í r c u l o s d e M o h r i n i c i a l y e n r o t u r a p a r a e l a p a r t a d o =

> L a s t e n s i o n e s t o t a l e s u n a v e z a p l i c a d o e l i n c r e m e n t o s o n :

D e b i d o a q u e l a r e l a c i ó n d e S k e m p t o n s ó l o e s v á l i d a p a r a s i t u a c i o n e s t r i a x i a l e s , e l i n c r e m e n t o d e p r e s i ó n

i n t e r s t i c i a l e n c o n d i c i o n e s n o d r e n a d a s d e b e o b t e n e r s e , e n e s t e c a s o , m e d i a n t e l a r e l a c i ó n d e H e n k e l :

E n e l c a s o d e q u e x = v , y = h y q u e e n e l p l a n o z l a s t e n s i o n e s s e a n n u l a s , s e o b t i e n e :

C o n l o s d a t o s d e e s t e p r o b l e m a p u e d e n c a l c u l a r s e :




( F

F

o c t

)

1

3

( 6

7 )

4 . 3 3

F

F

o c t

1

3

( 6

1

2

p

7

1

2

p )

4 . 3 3

1

3

p

( J

J

o c t

)

1

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( 6

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6

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1

3

8 6

J

J

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1

3

( 6

1

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1

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p )

( 6

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p )

( 7

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p )

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1

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1

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2 p

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F

F

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J

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1

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1

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1

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)

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) ) u 1

1

3

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1

3

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1

3

8 6 )

F F

v

F F

v

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1

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5

1

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1

3

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1

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F F

h

F F

h

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1

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p 1

1

3

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8 6 1 3 p 2 p

1

3

8 6 )

6

1

6

p 0 . 3 5 (

1

3

8 6 1 3 p 2 p

1

3

8 6 )


y c o n e s t a s t e n s i o n e s t o t a l e s p u e d e o b t e n e r s e e l i n c r e m e n t o d e p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l c o m o :

d o n d e h a y q u e n o t a r q u e e l i n c r e m e n t o d e t e n s i ó n t a n g e n c i a l o c t a é d r i c a d e b e c a l c u l a r s e n e c e s a r i a m e n t e

c o m o d i f e r e n c i a e n t r e l o s v a l o r e s f i n a l e i n i c i a l d e b i d o a s u d e p e n d e n c i a n o l i n e a l c o n l a s t e n s i o n e s .

S i s e s u p o n e q u e e l s u e l o e s t á c o m p l e t a m e n t e s a t u r a d o p u e d e t o m a r s e B = 1 , m i e n t r a s q u e a y A s e p u e d e n

B B

r e l a c i o n a r m e d i a n t e ( A e n f u n c i ó n d e a q u e s e o b t i e n e a l p a r t i c u l a r i z a r l a r e l a c i ó n d e H e n k e l p a r a o b t e n e r

B B

l a d e S k e m p t o n ) :

d o n d e e l s u b í n d i c e i n d i c a q u e s e t r a t a d e d i c h a s v a r i a b l e s e n l a s i t u a c i ó n d e r o t u r a . L a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l

a l f i n a l s e r á :

U n a v e z q u e s e h a o b t e n i d o l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l e n f u n c i ó n d e p p u e d e n c a l c u l a r s e l a s t e n s i o n e s

e f e c t i v a s e n f u n c i ó n d e p :

C o n l a s t e n s i o n e s e f e c t i v a s c a l c u l a d a s p u e d e p l a n t e a r s e l a c o n d i c i ó n d e r o t u r a . P a r a e l l o , e n p r i m e r l u g a r

s e o b t i e n e e l r a d i o d e l c í r c u l o d e M o h r :




4

J

J

F

F

D

F

F

L

2

1

4

F

1

2

1

2

F

1

J

J

B

4 c o s N

N

F

F

B

F

F

D

F

F

L

2

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N

1 1

1

3

F

0 . 7 0 (

1

3

8 6

1 3 F

2 F

1

3

8 6 )

2

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N

J

J

B

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F

F

B

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N

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1

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?

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1

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8 6 1 3 F 2 F

1

3

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2

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N

(

1

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F

1 ) s i n N

N

t g N

N

F

E

F

E

B ( F

E

)

B

( F

E

)

B ( F )

(

1

2

F

1 ) c o s N

N

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1 1

1

3

F

0 . 7 0 (

1

3

8 6

1 3 F

2 F

1

3

8 6 )

2

t g N

N

(

1

2

F

1 ) s i n N

N

t g N

N

!


y c o n e l r a d i o s e p u e d e n c a l c u l a r l a t e n s i ó n n o r m a l y t a n g e n c i a l e n e l p l a n o d e r o t u r a c o m o :

P a r a l l e g a r a l e s t a d o d e r o t u r a , d i c h a s t e n s i o n e s d e b e n s a t i s f a c e r l a c o n d i c i ó n d e r o t u r a :

S i s e i n t r o d u c e n e n e s t a e c u a c i ó n l a s e x p r e s i o n e s o b t e n i d a s r e s u l t a :

E s t a e x p r e s i ó n e s i m p l í c i t a y n o p u e d e d e s p e j a r s e , p o r l o q u e p a r a s u r e s o l u c i ó n s e p r o p o n e l a u t i l i z a c i ó n

d e l m é t o d o d e N e w t o n . E n e s t e c a s o s e t e n d r á :

D i c h o m é t o d o d a l u g a r a l s i g u i e n t e r e s u l t a d o :

i t e r a c i ó n

F ( t / m )

0 1 1 . 6 0

1 6 . 0 8 5

2 6 . 0 4 5

3 6 . 0 4 5

d o n d e , c o m o p u e d e v e r s e , e s n e c e s a r i o t o m a r u n v a l o r d e p a r t i d a q u e e n e s t e c a s o h a s i d o e l v a l o r d e F

c o r r e s p o n d i e n t e a l a p a r t a d o a n t e r i o r . C o n e l v a l o r d e F s e c a l c u l a n l a s v a r i a b l e s n e c e s a r i a s p a r a l a

r e p r e s e n t a c i ó n d e l c í r c u l o d e M o h r ( F i g . 3 6 . 3 ) :




K

3 . 7 3 F

F

L

6

1

2

F

K

5 . 2 9 F

F

D

7

1

2

F

K

6 . 2 9

4

3 . 0 6 J

J

B

2 . 6 5 F

F

B

4 . 2 6 c e n t r o

I

F

F

D

F

F

L

2

5 . 7 9

)

)

K

)

)

F

F

!

)

B

( )

)

F

F

)

)

F

F

!

) )

B

)

)

K

)

)

F

F

"


F i g u r a 3 6 . 3 C í r c u l o s d e M o h r i n i c i a l y e n r o t u r a p a r a e l a p a r t a d o b )

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 3 7 .

U n s u e l o s a t u r a d o e s s o m e t i d o a u n e n s a y o U U ( F = 2 k p / c m , K = 0 . 5 k p / c m ) e n e l q u e s e o b t i e n e u n a

E E

? = 0 . 9 3 k p / c m ( K = 1 . 3 4 k p / c m e n r o t u r a ) ; y a u n e n s a y o U U ( F = 3 . 5 k p / c m , K = 0 . 5 k p / c m ) e n e l

K E E

q u e s e o b t i e n e u n a ? = 1 . 7 7 k p / c m . D e t e r m i n a r l o s p a r á m e t r o s e n r o t u r a d e e s t e s u e l o y e l e s t a d o f i n a l

K

q u e s e p r o d u c i r á e n l o s s i g u i e n t e s e n s a y o s : a ) U U c o n F = 3 . 5 k p / c m y K = 1 k p / c m ; b ) C D c o n F =

E E E

4 . 5 k p / c m y K = 2 k p / c m .

E

E n l o s d o s e n s a y o s r e a l i z a d o s s e p a r t e d e u n a s i t u a c i ó n i n i c i a l c o n u n e s t a d o t e n s i o n a l i s ó t r o p o . A l

t r a t a r s e d e e n s a y o s U U e s t á n d a r e s s e l l e g a a r o t u r a a u m e n t a n d o F

F

y , p o r t a n t o , e l ? m e d i d o p e r m i t e

K

o b t e n e r e l i n c r e m e n t o d e t e n s i ó n v e r t i c a l a p l i c a d o .

E n e l p r i m e r e n s a y o s e p u e d e d e t e r m i n a r e l p a r á m e t r o ) d e l a e x p r e s i ó n d e S k e m p t o n y a q u e s e c o n o c e

B

l a v a r i a c i ó n d e p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l :

d o n d e s e h a t o m a d o ) F

) F

= 0 . S i s e i n t r o d u c e n l o s d a t o s d e l e n s a y o r e s u l t a :

!




)

)

K

1 . 3 4

0 . 5

0 . 8 4 k p / c m

)

)

F

F

2 ?

u

1 . 8 6 k p / c m

)

f

0 . 8 4

1 . 8 6

0 . 4 5

F

F

F

F

K

( 2

1 . 8 6 )

1 . 3 4

2 . 5 2 k p / c m

F

F

!

F

F

!

K

2

1 . 3 4

0 . 6 6 k p / c m

)

)

K

)

f

)

)

F

F

0 . 4 5 × 2 × ?

u

1 . 5 9 k p / c m

K

0 . 5

1 . 5 9

2 . 0 9 k p / c m

F

F

( 3 . 5

3 . 5 4 )

2 . 0 9

4 . 9 5 k p / c m

F F

!

3 . 5

2 . 0 9 1 . 4 1 k p / c m

F

F

F

F

!

t g

B B

4

N N

2

2 ?

t g

B B

4

N N

2

2 . 5 2

0 . 6 6 t g

B

B

4

N

N

2

2 ?

t g

B

B

4

N

N

2

( k p / c m

)

4 . 9 5

1 . 4 1 t g

B

B

4

N

N

2

2 ?

t g

B

B

4

N

N

2

( k p / c m

)

4 . 9 5

2 . 5 2

( 1 . 4 1

0 . 6 6 ) t g

B

B

4

N

N

2

B

B

4

N

N

2

4 5

o

N

N

2

6 1

o

N

N

3 1 . 8 9

o

_

_

3 2

#


y e n r o t u r a s e o b t i e n e n l a s s i g u i e n t e s t e n s i o n e s e f e c t i v a s :

E n e l s e g u n d o e n s a y o , l a v a r i a c i ó n d e p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l n o s e i n d i c a y p o r t a n t o p u e d e c a l c u l a r s e c o m o :

E n r o t u r a s e o b t i e n e n l a s s i g u i e n t e s t e n s i o n e s e f e c t i v a s :

P u e s t o q u e s e d i s p o n e d e l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s e n r o t u r a p a r a d o s e n s a y o s c o n d i f e r e n t e e s t a d o

t e n s i o n a l f i n a l , s e p u e d e n d e t e r m i n a r ? y N d e e s t e s u e l o . P a r a e l l o s e a p l i c a r á l a c o n d i c i ó n d e r o t u r a e n

t é r m i n o s d e l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s :

P r i m e r e n s a y o :

S e g u n d o e n s a y o :

R e s t a n d o l a s e g u n d a e c u a c i ó n d e l a p r i m e r a s e o b t i e n e :

P a r a o b t e n e r ? , p u e d e u s a r s e c u a l q u i e r a d e l a s d o s e c u a c i o n e s i n i c i a l e s y r e s u l t a :




c

2 . 5 2

0 . 6 6 t g

4 5

3 2

2

2 t g 4 5

3 2

2

0 . 1 0 k p / c m

)

)

u

A

B

)

)

F

F

F

F

( 3 . 5

)

)

F

F

)

( 1

)

)

u )

2 . 5

( 1 - A

B

) )

)

F

F

2 . 5

0 . 5 5 )

)

F

F

F

F

!

3 . 5

( 1

)

)

u )

2 . 5

A

B

)

)

F

F

2 . 5

0 . 4 5 )

)

F

F

2 . 5

0 . 5 5 )

)

F

F

( 2 . 5

0 . 4 5 )

)

F

F

) t g

B

B

4

N

N

2

2 c

t g

B

B

2

N

N

2

2 . 5

0 . 5 5 )

)

F

F

( 2 . 5

0 . 4 5 )

)

F

F

) 3 . 2 5

0 . 3 6

)

)

F

F

2 . 9 7 k p / c m

)

)

u

1 . 3 4 k p / c m

u

2 . 3 4 k p / c m

F

F

4 . 1 3 k p / c m

F

F

!

1 . 1 6 k p / c m

)

)

u

0

F

F

( 4 . 5

)

)

F

F

)

2

2 . 5

)

)

F

F

F

F

!

4 . 5

2

2 . 5

2 . 5 ) ) F F

2 . 5 × 3 . 2 5 0 . 3 6 ) ) F F

6 . 0 k p / c m

F

F

8 . 5 k p / c m

F

F

!

2 . 5 k p / c m

u

2 . 0 k p / c m

$


= E n s a y o 7 7 c o n p = 3 . 5 k p / c m y u = 1 k p / c m . L a s t e n s i o n e s e f e c t i v a s e n e l e s t a d o d e r o t u r a s e

E

E

p u e d e n o b t e n e r c o m o :

S i s e i m p o n e l a c o n d i c i ó n d e r o t u r a r e s u l t a :

q u e p e r m i t e o b t e n e r l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l y l a s t e n s i o n e s e f e c t i v a s e n r o t u r a :

> E n s a y o + , c o n p = 4 . 5 y u = 2 k p / c m . L a s t e n s i o n e s e f e c t i v a s e n r o t u r a s e r á n :

E

E

S i s e i m p o n e l a c o n d i c i ó n d e r o t u r a :

L a f i g u r a 3 7 . 1 m u e s t r a l a s t r a y e c t o r i a s d e t e n s i o n e s t o t a l e s y e f e c t i v a s e n e l p l a n o p - p � - q p a r a c a d a u n o

d e l o s e n s a y o s p l a n t e a d o s e n e s t e p r o b l e m a . T a m b i é n s e r e p r e s e n t a l a l í n e a d e r o t u r a q u e , c o m o p u e d e

v e r s e , u n e l o s p u n t o s f i n a l e s d e l o s e n s a y o s , e s d e c i r , l o s e s t a d o s d e r o t u r a .




%


F i g u r a 3 7 . 1 T r a y e c t o r i a d e t e n s i o n e s e n e l p l a n o p - p � - q

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P R O B L E M A 3 8 .

U n a m u e s t r a d e s u e l o c o n c ' = 0 . 1 t / m , N ' = 2 8 y A = 0 . 6 , e s t á s o m e t i d a i n i c i a l m e n t e e n u n e n s a y o

B

t r i a x i a l a u n e s t a d o t e n s i o n a l i s ó t r o p o d e f i n i d o p o r u n a p r e s i ó n d e c á m a r a d e 3 . 5 k p / c m y u n a p r e s i ó n

i n t e r s t i c i a l d e 1 . 5 k p / c m . S e r e a l i z a n e n e l e n s a y o l a s s i g u i e n t e s o p e r a c i o n e s s u c e s i v a s :

O p e r a c i ó n 1 : d i s m i n u c i ó n d e l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l h a s t a 1 k p / c m ;

O p e r a c i ó n 2 : a u m e n t o d e l a p r e s i ó n a x i a l h a s t a 4 . 5 k p / c m ;

O p e r a c i ó n 3 : d i s m i n u c i ó n d e l a p r e s i ó n d e c á m a r a h a s t a r o t u r a . .

O b t e n e r l a s i t u a c i ó n f i n a l d e r o t u r a e n l o s s i g u i e n t e s c a s o s : a ) o p e r a c i o n e s 2 y 3 d r e n a d a s ; b ) o p e r a c i ó n

2 d r e n a d a y o p e r a c i ó n 3 n o d r e n a d a ; c ) o p e r a c i o n e s 2 y 3 n o d r e n a d a s .

a ) E n l a o p e r a c i ó n 1 s e d i s m i n u y e l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l h a s t a u = 1 k p / c m y p o s t e r i o r m e n t e s e r e a l i z a

l a o p e r a c i ó n 2 d e f o r m a d r e n a d a . D e s p u é s d e e s t a s d o s o p e r a c i o n e s l a s t e n s i o n e s s e r á n :




F

F

4 . 5 k p / c m

F

F

!

3 . 5 k p / c m

F

F

4 . 5

1

3 . 5 k p / c m

F

F

!

3 . 5

1

2 . 5 k p / c m

G

F

F

F

F

!

F

F

F

F

!

1 k p / c m

F

1

3

( F

F

2 F

F

!

)

3 . 8 3 k p / c m

F

1

3

( F

F

2 F

F

!

)

2 . 8 3 k p / c m

F

F

( F

F

!

)

)

F

F

!

) t g

B

B

4

N

N

2

2 ?

t g

B

B

4

N

N

2

N

N

2 8

?

0 . 0 1 k p / c m

)

)

F

F

!

F

F

2 ?

t g

B

B

4

N

N

2

t g

B

B

4

N

N

2

F

F

!

1 . 2 5 k p / c m

F

F

3 . 5 k p / c m

F

F

!

2 . 5

(

1 . 2 5 )

1 . 2 5 k p / c m

G

F

F

F

F

!

2 . 2 5 k p / c m

F

1

3

( F

F

2 F

F

!

)

3 k p / c m

F

1

3

( F

F

2 F

F

!

)

2 k p / c m

F

F

3 . 5

1

4 . 5 k p / c m

F

F

!

1 . 2 5

1

2 . 2 5 k p / c m

&


A p a r t i r d e e s t a s i t u a c i ó n s e l l e v a a c a b o l a o p e r a c i ó n 3 d e f o r m a t a m b i é n d r e n a d a . E n e s t a o p e r a c i ó n s e

d e b e p r o d u c i r u n ) F

) F

q u e l l e v e l a m u e s t r a h a s t a r o t u r a , e s d e c i r , h a s t a q u e s e c u m p l a l a c o n d i c i ó n d e

!

r o t u r a . E s t o s e e x p r e s a e n e s t e c a s o c o m o :

L o s v a l o r e s F F ' y F

F

' d e p a r t i d a s o n l o s c a l c u l a d o s d e s p u é s d e l a o p e r a c i ó n 2 . A p a r t i r d e l a c o n d i c i ó n d e

!

r o t u r a p u e d e c a l c u l a r s e ) F

) F

' , e s d e c i r :

!

C o m o p u e d e v e r s e , s e h a o b t e n i d o u n e s t a d o d e r o t u r a a b a s e d e r e d u c i r e l c o n f i n a m i e n t o ( ) F

) F

' n e g a t i v o ) .

!

L o s v a l o r e s d e t e n s i o n e s e n e l e s t a d o f i n a l d e r o t u r a s o n :

E n l a f i g u r a 3 8 . 1 s e h a n r e p r e s e n t a d o l a s t r a y e c t o r i a s d e t e n s i o n e s d e s d e e l e s t a d o i n c i a l h a s t a l a r o t u r a

d e l a m u e s t r a .




q

6

3

s i n N

N

( c

c o s N

N

p

s i n N

N

)

0 . 0 2

1 . 1 1 p

F

F

4 . 5 k p / c m

F

F

!

3 . 5 k p / c m

q

1 k p / c m

p

3 . 8 3 k p / c m

p

2 . 8 3 k p / c m

F

F

3 . 5 k p / c m

F

F

!

2 . 5 k p / c m

) ) F F

) ) F F

) ) u

) ) u ( ) ) F F

0 )

)

)

F

F

!

)

)

F

F

!

)

)

u

)

)

F

F

!

)

)

u

)

)

u

)

)

F

F

!

A ( )

)

F

F

)

)

F

F

!

)

)

)

u

)

)

F

F

!

( 1

A

B

)

)

)

F

F

)

)

u

)

)

F

F

!

( 1

A

B

)

'


F i g u r a 3 8 . 1 T r a y e c t o r i a s d e t e n s i o n e s e n e l c a s o a )

E n e s t a f i g u r a , l a c o n d i c i ó n d e r o t u r a e n e l p l a n o p ' - q e s :

b ) P u e s t o q u e l a s o p e r a c i o n e s 1 y 2 s e r e a l i z a n e n l a s m i s m a s c o n d i c i o n e s q u e e n e l c a s o a ) , s e l l e g a a

l o s m i s m o s v a l o r e s q u e e n é l :

A l s e r l a o p e r a c i ó n 3 n o d r e n a d a s e p r o d u c i r á u n a v a r i a c i ó n d e l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l :

P o r e s t a r e n c o n d i c c i o n e s t r i a x i a l e s , l a f ó r m u l a d e S k e m p t o n p e r m i t e c a l c u l a r l a s v a r i a c i o n e s d e p r e s i ó n

i n t e r s t i c i a l :

d o n d e p u e d e t o m a r s e A = A y ) F

) F

= 0 , l o q u e d a l u g a r a :

B

y p o r t a n t o :




)

)

F

F

!

)

)

F

F

!

)

)

K

)

)

F

F

!

)

)

F

F

!

( 1

)

B

)

)

B

)

)

F

F

!

( F

F

)

)

F

F

)

( F

F

!

)

)

F

F

!

) t g

B B

4

N N

2

2 ?

t g

B B

4

N N

2

( 3 . 5

) ) F F

!

( 1

0 . 6 ) )

( 2 . 5

0 . 6 )

)

F

F

!

) t g

B B

4

N N

2

2 ?

t g

B B

4

N N

2

( 3 . 5 0 . 4 ) ) F F

!

) ( 2 . 5 0 . 6 ) ) F F

!

) 2 . 7 7 0 . 0 3

)

)

F

F

!

1 . 6 8 k p / c m

) ) F F

0 . 6 7 ) ) K

0 . 6 7 k p / c m

)

)

F

F

!

1 . 0 k p / c m

F F

4 . 5 k p / c m

K 1 0 . 6 7 0 . 3 3 k p / c m

F F

!

3 . 5 1 . 6 8 1 . 8 2 k p / c m

F

F

3 . 5

0 . 6 7

4 . 1 7 k p / c m

F

F

!

2 . 5

1 . 0 0

1 . 5 k p / c m

G

2 . 6 8 k p / c m

F

2 . 7 1 k p / c m

F

2 . 3 9 k p / c m


S e t r a t a d e h a l l a r e l i n c r e m e n t o d e t e n s i ó n r a d i a l e n r o t u r a , e s d e c i r :

C o n l o q u e s e p u e d e n c a l c u l a r l a s v a r i a c i o n e s d e t e n s i ó n e f e c t i v a :

F i g u r a 3 8 . 2 T r a y e c t o r i a s d e t e n s i o n e s e n e l c a s o >

P o r ú l t i m o , s e p u e d e n a c t u a l i z a r l o s v a l o r e s d e l a s d i s t i n t a s v a r i a b l e s t e n s i o n a l e s u s a n d o l o s v a l o r e s

i n i c i a l e s y l o s i n c r e m e n t o s :




( F

F

)

)

F

F

)

( F

F

!

)

)

F

F

!

) t g

B

B

4

N

N

2

2 ?

t g

B

B

4

N

N

2

( 2 . 9

) ) F F

!

( 1

0 . 6 ) )

( 1 . 9 0 . 6 ) ) F F

!

) 2 . 7 7

0 . 0 3

)

)

F

F

!

1 . 1 6 k p / c m

F

F

3 . 5 k p / c m

F

F

!

3 . 5 k p / c m

K

1 k p / c m

F

F

2 . 5 k p / c m

F

F

!

2 . 5 k p / c m

)

)

K

)

)

F

F

!

) ( )

)

F

F

)

)

F

F

!

)

0 . 6 × 1

0 . 6

K

1

0 . 6

1 . 6 k p / c m

F

F

4 . 5 k p / c m

F

F

!

3 . 5 k p / c m

G

1 k p / c m

F

3 . 8 3 k p / c m

F

2 . 2 3 k p / c m

F

F

4 . 5

1 . 6

2 . 9 k p / c m

F

F

!

3 . 5 1 . 6

1 . 9 k p / c m

)

)

K

) ) F F

!

( 1

)

B

) )

)

F

F

)

)

K

) ) F F

!

( 1

)

B

)

)

)

F

F

!

)

)

F

F

!

)

)

K

)

B

)

)

F

F

!

)

)

F

F

0 . 4 6 k p / c m

)

)

K

0 . 4 6

)

)

F

F

!

0 . 7 0 k p / c m


E n l a f i g u r a 3 8 . 2 s e h a n r e p r e s e n t a d o l a s t r a y e c t o r i a s d e t e n s i o n e s d e s d e e l e s t a d o i n c i a l h a s t a l a r o t u r a

d e l a m u e s t r a .

c ) L a s o p e r a c i o n e s 2 y 3 s e r e a l i z a n d e f o r m a n o d r e n a d a . E l e s t a d o t e n s i o n a l a n t e s d e o p e r a r e s :

D e s p u é s d e l a o p e r a c i ó n 2 , e l c a m b i o d e p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l y l a p r e s i ó n i n t e r s t i c i a l s o n :

y l a s t e n s i o n e s t o t a l e s y e f e c t i v a s d e s p u é s d e d i c h a o p e r a c i ó n s o n :

L a o p e r a c i ó n 3 s e c a l c u l a d e f o r m a s i m i l a r q u e e n e l a p a r t a d o b ) p e r o p a r t i e n d o d e o t r a s c o n d i c i o n e s

i n i c i a l e s :

P a r a l l e g a r a l a r o t u r a b a s t a i m p o n e r l a c o n d i c i ó n d e r o t u r a a l a s t e n s i o n e s e f e c t i v a s a l a s q u e s e h a

l l e g a d o :

U n a v e z s e h a o b t e n i d o l a v a r i a c i ó n d e t e n s i ó n r a d i a l q u e s e d e b e a p l i c a r , p u e d e n c a l c u l a r s e l a s

v a r i a c i o n e s d e t e n s i ó n e f e c t i v a :

y p o r ú l t i m o t o d a s l a s d e m á s v a r i a b l e s t e n s i o n a l e s :




.

.

4 . 5 k p / c m

K

1 . 6

0 . 4 6

1 . 1 4 .

.

!

3 . 5

1 . 1 6

2 . 3 4 k p / c m

G

2 . 1 6 k p / c m

F

3 . 0 6 k p / c m

F

1 . 9 2 k p / c m

.

.

2 . 9

0 . 4 6

3 . 3 6 k p / c m

.

.

!

1 . 9

0 . 7 0

1 . 2 k p / c m


E n l a f i g u r a 3 8 . 3 s e r e p r e s e n t a l a t r a y e c t o r i a d e t e n s i o n e s s e g u i d a h a s t a l l e g a r a r o t u r a .

F i g u r a 3 8 . 3 . T r a y e c t o r i a s d e t e n s i o n e s e n e l c a s o ? .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


Mecanica de Suelos (Problemas Resueltos (Edicions Upc)

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