ALGAIDA_BAC_1_CCNN_Problemas Resueltos Algebra

8/3/2019 ALGAIDA_BAC_1_CCNN_Problemas Resueltos Algebra

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I I NOICECAPfTU lO 1: NUMEROS REALES 5

1.1. NUMEROS RACIONALES 51.2. FRA.CCIONES 61.3. LA REC'fA HEAL.............................................................................................................. 101.4. INTERVALOS Y ENTORNOS.......................................................................................... 121.5. PO'fENCIAS 151.6. RADICALES................................ 171.7. APROXIMACION DECIMAL Y ERRORES 201.8. LOGARrrMOS................................................................................................................. 22

FJERCICIOS FINALES......... 23

CAPfTULO 2: POLINOM IOS 302.1. POLINOMIOS 302.2. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS 312.3. DESCOMPOSICrON FACTORIAL................ 342.4. FRACCIONES ALGEI3RAICAS 36

E]ERCICIOS FINALES 39

CAPiTULO 3: ECUACIONES 453.1. ECUACIONES 453.2. ECUACIONES POLlN6MICAS DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 463.3. ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR..... 493.4. ECUACIONES RACIONALES.......................................................................................... 513.5. ECUACIONES IRRACIONALES 533.6. ECUACIONES EXPONENCIALES 553.7. ECUACIONES LOGARfTMICAS 573.8. RESOLUCION DE PROBLEMAS........................ 59

EJERCICIOS FINALES 6 1CAPiTULO 4: S ISTEMAS D E ECUACIONES 66

4.1. SISTEMAS DE ECUACIONES ... :..................................................................................... 664.2. METODOS DE HESOLUCI6N .. :~ 684.3. SISTEMAS EXPONENCIALES :................................................................................. 72,4.4. SISTEMAS LOGARITMICOS j :.......................................................... 734.5. RESOLUCI6N DE PROBLEMAS f.......................................... 74fE]ERCICIOS FINALES ;......................................................................... 76


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CAPiTULO 5: INECUACIONES 78~ ,5.1. INECUACIONES CON UNA INCOGNITA ,. 795.2. INECUACIONES CON DOS INCOGNITAS ,. 80"5.3 . INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ~.............................................................. 835.4. SISTEMAS DE INECUACIONES 855.5. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCOGNITAS ,. 875.6. RESOLUCrON DE PROBLEMAS..................................................................................... 89

EjERCICIOS FINALES 94


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NUMEROS REALES1.1. NUM ERO S RAC IO NALESo Nume ros nat ur ale s. D iv is ib ilidod

L01i numeros naturales sirven para contar y ordenar elementos de conjuntos, El con junto delos mimeros naturales se designa con la Ietra IN.IN = [0, 1,2,3, ... )

Los naturales se puedcn represenrar en la recta graduada de la slgulcnte forma:o 1 2 3 4

EJ maximo cormin divisor de dos mimeros (M.C.D.) es el mayor mirnero que divide a am-bos. Para hallarlo se Iactorizan ambos numeros y sc eligen los factores comunes elevados almenor cxponentc .

EJ minima comun multiple de dos numeros (rn.c.m.) es el menor mimero que puede divi-dirse por ambos. Para hall arlo Se factorizan ambos mimeros y se eHgen los factores cornu-nes y no comuncs elevados al mayor cxponente.

flNume ro5 ente ro sLos numeros enteros estan farmados por losnurneros naturales y sus opuestos: asi, el con-junto de los numeros enteros, adernas de contar, perrnite restar cualquier pareja de numerosnaturales. El conju nto de los enteros sc designa can la letra Z'.z - ~ { . . . , -3, -2, -1,0, 1, 2,3 ...}Los entcros se pucden reprcsentar en la recta graduada de la sigulente forma:

-4 -3 -1 o 1 2 3 4EI Nume ros r ac ionale s

Los numeros raclonales anaden a los mimcros enteros y naturales la posibilidad de dlvldircualquier parcja de mimcros (de dcnominador no nulo). El conjunto de los racionales se de-signa can la letra O.

o ={: I rn, n E Z can n*"O }Los racionales sc representan en la recta graduada segun sc muestra:

-3 -2 -1 1 2 3 4Observa que se cumplc la siguicnte relaci6n de inclusion: IN c Z c Q

EJEMPLOS1. Bfecnia los dlculos empleando la[erarquia de los operadores:

37- 5t23(-5 + 1)Iksolud6nSe llama jcrarquia de los opcradores a seguir el slgulente orden para operar: primero seefectuan las operaciones entre parentesis, a contin~laci6n los productos y cocientes y, ftnal-mente, las sumas y restas, ~

3 . 7 - 5 + 2 . 3 . (-5 + 1) = 3 . 7 - 5 + 2 . 3 . (-4) =21 - 5 + (-24) = -8

l1li


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2. Halla dos nume ..os, a y b, sabiendo que suM.e.D. es 5 y su m.e.m. es 120.Resoluci6n t'Ienemos que M,C.D. Ca, h) = 5 y m.c.m, (d, b) = 5 . 3 . 23.Ambos mimeros tiencn como factor cormin el 5. Los numeros 3 y 23 pucden pertenecer unoa cada numero, a, b, 0 bien solo a uno de elias. Obtenernos como poslhles solucione.s:a =5 . 3 . 23 = 120b = 5

a = 5 . 3 = 15b = 5 ' 23 = 40 . '

a = 5 . 23 = 40b = 5 ' 3 = 15

3. lCUal es el minima numero de trozos en que tenemos que dividir 30 tabletas de cho-colate para repartlr entre 9 amigos?Hcsoluci6nEl ruimero de trozos sed. el m.c.m, de ambos numeros,Descomponemos ambos nrirneros en factores primos:30 '"' 2 . 3 . 5 y 9 - 32Por tanto, el minimo cormin rmiltiplo de 30 y 9 es:m.c.rn. (30, 9) = 2 . 32 . 5 = 90Para calcular el numero de trozos en los que divklir las 30 tabletas, dividimos el m.c.m.(30, 9) entre 30:m.e.ill. (30, 9) = 2 32 ,5 =3 trozos30 2 . 3 . 5Debernos dividir cada tablera en 3 y eada una de las personas recibe 10 trozos,

4. Descornpon en factores primos los numeros 75 y 405.lSon primos entre sf?Resolud6nComo 75 ~ 52 , 3 y 405 = 3~ . 5, tienen factores comunes (3 y 5); por tanto, no son primos,entre 5 1 .

EJERC IC IO S PR OPU ESTO S1. Calcula los cinco primeros multiples naturalesde 5. 5. Descomp6n en factorcs primos 1024.

2. Halla los divisores enteros de 12,6. Si qucrcmos dividir en cuadrados igualcs una la -

mina rectangular de 12 ern x 18 cm, icwl1 cs lalongilud del cuadrado de mayor lado que pode-mos utilizar?3. Escribe el mayor multiple de 11 menor que

100000.4. Halla el M.C.D.. y m.c.m, de los mimeros 162 y 72.

7. Indica a que conjunto numerico pcrtcnecen lossiguientes nurncros: -3; 1 . . ; 2,1; (-5)2; 0,3. 3

1.2. FRACCIONESUna fraccion es el cociente indicado entre dos numeros,

DOper ac io ne s c on f ro cc io n esDadas dos fracciones, m y P definimos las siguientes operacloncs dentro de los mimerosn qracionales:


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SumaSi los denominadores de ambas fracciones son iguales, la suma cs otra fraccion cuyo nume-racial' es la suma de los numeradores y cuyo dcnominador es comun,

m p ni+]:-+-=---n n nSi los dcnominadores son distintos, se reducen a cormin denominador ambas fracclones ytie suman como en el caso anterior.

m P m= q p i n mq+pn-+-"'--+--=----"----n q n' q q 'n nq ProductoEI producto de dos fraccioncs es otra fraccion cuyo numerador es el producto de nurnera-dores y cuyo denorninador es cl producto de los denominadores.

m p m= ]:__=--n q n : q CocienteEl cociente de dos fracciones es otra fraccion cuyo numcrador es el producto del numera-dar de la primcra fraccion por el dcnominador de la scgunda, y cuyo dcnominador es elproducto del numcrador de la segunda fraccion por cl dcnominador de In primera,

m p m :q:-=--n q : ~ Orden

a CDadas dos fracciones b Y d ' se define la slgulente relaci6n de orden:

B Exp res ion dec ima lToda fraccion pucde expresarse en forma decimal. Hay que distinguir si cl numero decimal eslimitado a sl cs llimitado peri6dico. Decimal exactoSon aquellos que ttenen un ruimero finito de decimales. Siun mimero decimal exacto se ex-presa en forma fraccionaria. el denominador solo tiene como factores potencias de 2 y 5.Por ejernplo: ~ ""0,375

Decimal perl6dicoSon aqucllos que tienen un numero Infinite de decimates, pero uno 0 un gJUpo de ellos serepite inflnitas veces, Hay dos tipos distintos de decimales periodicos,- Perl6dico puroSon aquellos cuyo periodo comienza inmediatamente despues de la coma. Por ejemplo:.l=033 '

- Perl6dico mixtoSon aquellos cuyo pcriodo no comienza despues de la coma. Por cjemplo:. . ! . ! _ = 01290 'Si expresamos un numero decimal en forma de fraccion, esta es Hamada fracci6tt genera-

triz..Asi, cualquler mimero racional puede escribtrse en forma de fraccion 0mediante suexpresi6n decimal. .


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Resolud6na) Sea x =0,33222",

1 O O O x : 332,22 ... }100x - 33,22 .. ,

EJEMPLOS1. Escribe las fracciones generatrices de los ~iguientes num,en;~! ' ""+ ~ ' ,j' ii 1 1 ma)0,33222... b) 0,1 c) 10,13

I

" - . J S,Restando la segunda expresion de la primera, obtcncmos:299900x = 332 - 33 ~ x = 900 ' , ;" d) ,)j) O'I-)IJhOl{ i :

,",';"1) ()'~In 'j (,",'j ' -' ,Por tanto, la fraccion generatriz del numero decimal 0,33222 .. , es 299. .900

b) Sea y = 0 1 = 1 . 10-1 ~ Y = _1_ esta es la fraccion gencratriz de 0,1., 10'c) Sea z = 10,13

lOOz : 1013,13 }z - 10,13 .Restandola segunda expresion de la primera, obtenernos:

:, 'lh ')i1'!i';('-"hq 1:1 ',,'.,I) 0) i' " ,i .'

99z = 1003 => z _ 100399Asi, la fraccion generatriz de 10, 13 es 1g ~ 3 , " ,.;

2. Realiza 1a siguiente operaclorn3,21 + 2,13 - 3,2Resolucion

Calculamos las fracciones generatrices de los mimeros decimales:x = 3 , 2 1 }

100x = 321,21y = 2,13}lOy 0 21,3

10Qy = 213,332

z ~ 3,2 = 10

99x = 318 : : : : > x = 31899

90y = 192 : : : : > y =192. 90

Ahora operamos las tres fracciones generatrlces:321 +213-32= 318 + 192 _ 32 = 3180+2112-3168. , , , 99 90 10 990 2124=--990

3. Calcula 1a siguiente expresloru

Resoluci6n

= [ ~ ~ + ~ ] - ~~ = [; + ~ 1 - 1 = 2 - 1 = 1


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4. Realiza Iasiguiente operacioru14+----I_i ...!3 5

Resolud6n1 1114 + -__:._-- = + --- "" 4 + -- - 4 + - = + 3" 71 - 2 . . 1_ 1 _ 10 1_1. 1_3 5 15 3 3

5. Indica que tipo de decimates son cada una de las siguientes fracclonesi3111S' " 3 Y 90

Resollld6n3 3 53-=--=8 23 . 53 3 . 125 = 0,375 es decimal finito .1000

~ = 0,333 = 0,3 es peri6dico puro. ~ ~ = 0,122 = 0,12 es periodico mixto,

6. Escrlbe Ia fracclon irreducible de las siguientes fracclones,31 1024 alb186; 1536 y ab3c

Resollld6n 2.!_ = 31 1186 31 2 . 3 = ()

"1024 210 2.--"'--=-1536 29 . 3 3a Z b a._-=-ab> P ,c

E JER CIC IO S PR OPU ES TO S1. Realiza Ia slguiente operacion:; - [ - 2 - ( 3 - ~ ) ] . 4 + 1 5. Opera, calculando previa mente las fraccionesgenera trices:a) 0,3 + 0,01 - 2 . 3,12

b) 0,2 + 2 . 3 ,2 3 - 3 . 4,101. Calcula: 3 1...!....+-5 2i2--26. Simplifica la sigulente expresion:

3. Realiza la slguiente operaci6n:4 . -13 - 2 + (l/2)

7. Calcula la inversa de estas expresiones:

4. Calcula las fracciones generatrices correspon-dientes a los siguientes numeros decimales:a) 1,2 b) 1,2 c) 1,23

1 b) -3) -31 4f c)-- d) -~ 3 5

c) 2 00


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1.3 . LA RECTA REALo Numero s i rr oc ion al es

Hay numeros que no pucdcn SCf expresados en forma de fraccion; estos rnimeros no son ra-donales y son los llarnados mimeros Irraclonales. ,EI conjunto de los irracionales sc representa con la letra I y perrnitcn medtr longitudes que nomedian los racionales, Par ejcmplo, la diagonal de un cuadrado de lado una unidad, que es . . . [ 2 .El conjunto formado por los nurneros racionales y por los irracionales son los mimeros realesy se denota por IR .Si en una recta se fija un punta origcn y un segmento unidad, se podran rcpresentar graflca-mente todos los numeros rcalcs, A esta representacion se denomina recta real. A cada mime-ro real Ie corresponde un unico punto de la recta real.

11111111111111 111.114111111 ...... + 1> + + 441111111.1111.1111.111111111"'1111111.-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4El siguiente esquema muestra los distintos conjuntos en los que se dividen los numcros rcalcs:

Numeros rcalcs raclonales {

irracionales

{naturalesentcros entcros ncgatlvos

fracciones no enteras

Los mimcros rcales son numeros decimates. Scgun sean los decimales, resultan scr naturales,enteros, racionales e trracionales. Si son decimates periodicos 0flnitos, son racionales, Si son decimales no flnitos y no pcrlodicos, son irracionales.

BNotac ion c ien ti fi caCuando un mimero es muy grande 0muy pequeno (esta formado par muchos dfgitos) utlliza-mas la notacion cientffica que consta de: Parte entera farmada par un solo dfgito. Parte decimal Iormada por las cifras slgnlflcatlvas, Potencia de 10 que indica el orden del mimero,POI' ejemplo:3 580000000 =3,58 . 10


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E J EMPLOS1. lQue numeros utilizas para saber cuantos alumnos hay en una clase? ;.Ypara medirlOngitudes?ReliQlucion Para saber cuantos alumnos hay en una clase 10 que hacernos es contarlos, por tanto, seutilizan los numeros naturales. POl' cjcmplo: 30, 35, ...

Para mcdlr longitudes se utilizan mimeros reales,

2. Ciasiflca los siguientes numerosi-3; -fi; 5; 1,7; ~; 0,033 ; . . J = l

Resoluci6n -3 es un mimcro cntcro, f2 es un mimero irracional, 5 cs un numero natural. 1,7 es un numcro racional. : es un numero racional. 0,033 ... es un numero racional, "-1 no es un nurnero real,

3. Seiia1acu:llcs de los siguientes decimales son numeros racionales:3,12; 3,1222 ... ; 3,1212212221 ... ; 0,127; 8.333 ...

Iksoluci6nTodos ellos son mimeros decimales salvo 3,1212212221..., ya que no es decimal periodico,

4. Escribe en notaci6n clentifica 37 200.Resolucion37200 = 3,72 . 10000'" 3,72 . 101

E JE RC IC IO S P RO PU ES TO S1. .yuede ser racional la suma de dos numcros

irracionales? Pan un ejernplo.5. Indica a que conjunto numerico pertenecen es-los numeros:

2. Di todos los suhconjuntos que conozcas, de losmimcros rcales, e indica su orden de inclusion.

3 4- J = r ; ~ ; - ; (-n\ 0,3030030003 ...2 223. Un numero decimal, con infinitas clfras d'ecima-

les no periodicas, I.CS rational 0 irrational? '; 6. Dl si son vcrdaderas o falsas las exprcsiones:4. Indica a que conjunto numerico perteneceh lossiguientcs numcros:

a) Todo numero cntcro cs natural.b) Todo numero racional cs real.c) La suma de dos numeros enteros cs un mi-mero entero,

II


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dos numeros reales x e y, decimos que "x es menor 0 igual que y" y dcnotamos pOl'I::::0, Estarelacion define un orden en I R yen Ia recta real.,

fJ Inlervalos . 'On Intervale es un subconjunto de mimeros reales, grdflcamente puede ser un segmento 0una sernirrecta de la recta real. A continuaci6n, se definen los distintos tipos de intervalos y se-mirrectas que puedcn darsc: Intervale ccrrado de extremos a y b.(a, hI = Ix E I R I a $; x $; h i a h

Intervalo abierto de extremes a y h:(a, h) = {x E I R Ia < x < hi a h

Intcrvalo semiabierto par la derecha:[a, h) = Ix E I R Ia sx < h i a h

Intervalo semiabierto por Ia izquierda:(a, hI = Ix E I R Ia < x : < : : : hi a h

Semirrecta ablerta a la izquierda:(a, +(0) '" Ix E IR Ia < xl a

Semirrecta abierta a la derecha:(--00, b) = Ix E I R I x < bl b

Semirrecta cerrada a la tzquterda:[a, +(0) = Ix E IR I a $; xl a

Semirrecta cerrada a la derecha:(---w, hI = Ix E I R I x : 5 hi h

La intersecci6n y uni6n de intervalos vienen deflnldos del siguiente modo: La interseccion de dos Intervalos es el segrnento de recta comun a dichos intervalos. La uni6n de intervalos son los segmentos eomunes y no comunes de dichos intcrvalos,

gEntornosDado un numero real, a, se define el en-torno de centro a y radio r> 0 al interva-10 C a - r, a + r) y se denota par E(a, r) 0Er(a). As! mismo se deflnen: a-r a a+r Entorno reducido: (a - r, a + r) - lal

a-r a a+r Entorno a la derecha: (a, a + r) - - - - - - - - - - - - ~ ~ r - - - - - - - - - - - - - - - -a a + r Entorno a Ia izquierda: (a - r, a) - - - - - -~o-- - -o~-- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -a - r a


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E I A co taci6 n d e m ,m ero s reales Un conjunto A esta acotado superiorrnente sl existe un mimero real, k, tal que x : : : ; k,cualqulcra que sea x E A .: Aesos numeros se les llama cotas superlores .

Un conjunto A esta acotado inferiormente si existe un numero real, k, tal que x:2: k, cual-quiera que sea x E A. A esos mimeros se lcs llama cotas inferiores .

La menor de las cotas superiores es el extremo superior; si pertenece al conjunto, se de-nomina maximo. Lamayor de las coras inferiores es cl extreme inferior. Si pcrtenece al coojunto, se llamaminitno.

m Valor abso lu toDado un numero real, Q se define su valor absolute como:

I al = {; s~a SIa < Oa:2:0

Propicdadcs: I a I : e : . 0 , V a E IR ~a l=O a=O I a ' b I = = Ia I . I h i, 'if a, hEIR I a + h i: .. :: ; I a I + I hi, \ ; ; f a, b E IR, Esta es la desigualdad triangular.Conjuntos dcfinidos a partir del valor absolute. 51 I x I : : : ; a con a > 0, cntonces -a < x < a, asi x pertenecc al intervale:

(-a, a) =!x E IA/lxl :::;a) Si I x I > a can a > 0, entonces x cumpie que x:2: a 0x:::; -a; par tanto, X pertenecea la union de dos lntervalos, que se escribe:

(-00, -a) U (a, +00) = (x E n/]] < -al U Ix E IR/lxl > a)E JEMPLOS

1. Ordena de menor a mayor los mimeros reales:3 10-3; 4; 0,111; "9; 0,749

HcsoludonEscrlbimos todos los mimeros en forma decimal:-3; ~ =0,75; 0,111; 19 = 0,111...; 0,749Ahora ya podemos ordenarlos y el orden es el siguiente:-3 < 0,11] < 1~ < 0,749 < ~

2. lQue intervalo es el correspondiente\ a1 entorno Eo,S(S)?Resoillci6n];'0,,)(5)= (5 - 0,5; 5 + 0,5) =(4,5; 5,5)


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-1 o 1 2 3 4 5

3. lQue entorno es el intervalo (3; 3,1)?Resoluci60 j.Igualamos el intervalo (3; 3,1) a un intervale Jquivalente a un entorno JJ~.c(J);OJ 3,1) = (a~ r, (J + r)As! tenemos que:a - r 3a + r = 3,1 "Surnando arnbas igualdadcs obtenemos:2a= 6,1 ~ a= 6;1 = 3,05; r= 3,1 -a = 3,] - 3,05 = 0,05Luego, (3; 3,1) = i:Jo,05C3,05)

4. Dihujaen la recta realla siguiente union de Intervalosr(1,2) U [4, 5)

Resoluci60- 2 -1 o 1 2 3 4 5 6

5. Escribe los Intervalos de la recta real adjunta:-2 -1 o 1 2 3 4 5 6

Resoluci60[-1,1) uo, 3 J U [4,5)6. Escrfbe en forma de lntervalo las inecuac1ones:a) 3x-5 < 0Resoluci6na) 3x - 5 < 0 ~ X < 1.3 -1 1 5/32 3 4 5Luego, el intervalo es ( - - - { I ) , ; l

b)3x- 1~ 2 ( X - ' ~ )3x-l ~2x-1;::;.3x-2x;::::O=>x;::::OLuego, el Intervale es [0, 00).

7. lEsm acotado e1 conjunto A .. { ! I n E IN-jOj}?Resoluci6nE J conjunto A esta acorado superiorrnentc, pues k = 1 es una cota superior;'f n E IN.

1 :0 ; 1n

Tambicn 10 esta inforiormente, pues l e ' ~ 0 cs una cota inferior, ya que el cocicnte de 1 entrecualquler numero natural siernpre es positivo. Por 10 tanto, el conjunto A esta acotado.


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E JE RC IC IO S P RO PU ES TO S1. Representa gratlcarnente los slguientes intervalos:a) -2-3

5. Escrlbe como desigualdades los siguientes inter-vales:a) (0, 12) b) [-1; 5,6) c) [4, +00) d) [4, 34)

6. Realiza las siguientcs intcrsecctones y uniones:a) [4, +00) n (4, 5)c) (13, . . J 5 ) n (0 , 11 b) (-00, 31 U [3 , +00)d) [3, 4] n [1, 5)

7. Escrlbc dos intcrvalos: uno abicrto a la dercchay ccrrado a la izquierda que contenga el ruune-ro -{3, y otro abierto a la dcrecha que contcngaa todos los numeros realcs negatives.

1.S . PO TEN CIAS

8. Calcula y represcnta graflcamente los siguientcsinterval os:a) (-00, 2) U 0c) (3,5; 4) n (3; 3,9) b) [4, +w)d) (2,6) n [6; 6,51

9. Escribe dos intcrvalos: uno abicrto a . la derechay ccrrado a la izquierda que no contenga al rui-mero . , f 3 , y otro cerrado a la derccha que con-tcnga a todos los nurneros reales negatives e in-cluya el cera.

10. Escribe dos intervalos: uno abierto a la derechay cerrado a la izquierda que contenga al mime-ro . J 5 , y otro abierto a la Izqulerda que contcn-ga a todos los numerus positives.

11. ;.La union de dos intervalos es slempre otro in-tcrvalo/

12. Ordena de menor a mayor los siguientes mime-ros:

3 312; 1,51; 1,499; 2013. Ordena de menor a mayor las sigulcntes expre-

1 2 Jslones x, -, x , -x,2 siendo x > Lx x14. Escribc en forma de entorno el intervale (3; 3,5).15. Indica cuales de los mimeros siguientes perte-

necen al entorno B(O,I; 0,01):0,1; -0,1; _1_; 0,099; 0,0110,1

16. Escribe en forma de lntervalos el conjunto solu-ci6n de fa desigualdad:

1-3


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o Propiedades an . am = an + m C a 11)m .. an' 11 1 ( E . . ) n _ ailb bit (a . b)" = a" . b" . ' (-a)1I = -1) . a)" = (_1)" . an .. { all si n es par con n E I R_an s! n es impar

EJEMPLOS1. Escrlbe en forma de potencias de base 10 los slguientes numerosi

10,00001; 10000; 0,0001Resolud6n 0,00001 - 10-5 10000 ~ 104 __1_ = 100 = 1040,0001 10-1

1 12. Escribe utillzando potencias de exponente negativo los numerosi - 243; 625ResoluciOn

1 (-1)5 ( - 1 ) S -5 - 243 = ~ =3= (-3) _1_ ~ _ ! _ _ =5-1625 54

ResoludOuPrimero descornponemos en factores primos las bases de las potcnclas de Ia expresion;luego sustituimos en el cocicnte:(2 . 3)"1. (32)2 . i) .3-5 24 . 34 . 34 . 25 . 3-5 29 33 29 2-7 = ~(2 . 32)3. 24 . 36 23 . 36. 21 . 36 27 . y2 312 . 3-3 39

4. Indica cuales de las siguientes igualdades son ciertas:a) (_a)-5 - _a5 b) 3-2 = (_3)-2 c) _(_a)2 .. a2 d) -(-ayi- = a3Resoluciona) (_a)-5 = _1~ 1 * ' _as(-a)S -a'Sb)3-2 .. _l_ .. _ ! _ =_1_ = (-3)-2

32 9 (-3)2

Paisa

Cierta

c) _(_a)2 = -(a)2 = -a2 * ' ad)-(-a)3 = a3

PaisaCierta


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E JE RC IC IO S P RO PU ES TO S1. Efecnia 1 a siguiente operaclon:

(08)-3 . . . . ! . ., 160,005

5. Calcula.2'5 . 162 . 0 125.0,03125 . (128)2

2. Calcula: 6. Simplifica:

3. Calcula:( % y . (tf(~ r 7. Calcula la siguiente cxpresi6n dando cl resulta-do como patencia de exponente positivo:

4. Calcula:(a2b)3 (b2a)-3C a 2 . b2)2

1.6. RADICA LESScan a E IR, n E IN, llamamos rafz n--esinta de a al mimero b cuya potencia n-esima esa; es decir:

Ifra = b si y solo si b" =aUna raiz rz-csima puede expresarse como una potencia de cxponente fraccionario:

' ! . f a ee al;,.,

D Propiedades Las raiccs con indice par y radicanda negatives no son numeros reales. Dos radicales son cquivalentes (igualcs) si representan cl mismo mimero real. Por ejemplo,. . J 2 ~ V 4

Para vcr si son equivalcntes, se reducen los radicales a mlnimo comun multiple.r: t~aP "I. .'r;;" . " sSean a '" var Y 'Vb = 'l/ai, donde m.c.m. (n, m) =s, p = . . : . . . . , q = -n m

'4ab = " 'a . Ifr ,-hProducto de radicales:'1 a "In Cocientc de radicales: ::'1a='VaVb Vb , -

11"l'r--h ur: Simplificaci6n de radicales: 'laP = a 'N'IlJr II-n.,,- Raiz de lin radical: ....a = v a

Potcncia de un radical: ( ,af = ' 1 J C i P = aPln


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E J Suma d e ra dic ale s Dos radlcales son semejantes si una vcz cxtraidos todos Losfactores poslbles del radicando ysimpliflcando al maximo el exponcntc del ratlicando y cl indice del radical, los radicalcs ric-nen cl mismo radicando y el mismo Indice,

Solo se puede rcalizar la suma de radicales si son serriejantes,

m Racional izacion "Racionaltzar una fraccion en la que aparccen radicales consiste en eliminar las rakes del dcno-minador de una fra ccion, Se multiplica numcrador y denominador pOl' ' . ( [ ( i P :

A A '~~ = ~ . ~atl-P

A~a con p < n

Se multi plica numerador y dcnorninador por cl conjugado del dcnominador:

A A

E J E M P l O S1. Expresa en forma de potencias las siguientes expresiones:a) v a b) \ f a 7 d) (


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4. Opera el slguiente coclente de radicales:V 5 . 1 U s15

Rcso!ucion

5. Si1npllilca las siguientes potencias:a) (~52'33)4b)(Wfc) ~{j 25. 52Hcso!uciona) (VS 2, 33)1 = V (5 2 . 33y t = V5 8. 312 = 52. 3?jV52 = 2025\125

6. Efechia las siguientes operaclones,a) 3 -V s . . . V iS + 2 . . J 4 5 . . . 3 - V 2 0b) z-iii + 12 7 -2mHcsoluciona) 3-{5-ill +2ffl - 3m =3~ - ' 1 . . { 5 2 +z{320 - 3~ =

=3 - .g + 2 . 3{5 - 3 . 2-15 == 3-{5 - ..fS + 6 ...J s - 6 ..fS = 2 - V s

b) 2m + m - 2m = 2..{22:3 + - f3 3 - 2~ = 4{3 + 3-13 - 2 . 5.,[3 ~ -3{37. Racionallza y simplifica:a) 2%V iSb) 2-12. . J 3 - - ! 2Resolucion "

2 . . . [ 6 2~ ~ V f) 2 23. 3.3V 1 8 - V 2 '3 2 ~22. 31 =2 3b) 2 - f 2 2 V i ( - . J 3 + V i) 2d6 + 2) = 2% + 4n - . J 2 ( - f 3 - {2) . (" 3 + {2) 3 - 2 f


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E JE RC IC IOS PROPU ESTOS1. Calcula: 6. Racionaliza y simplifica:

2iJ22 . 32. Calcula-7. Racionaliza y simpliflca:

3. RacionaHza: " 4{i-33{2 - - J 6-12- . J 2 + 1

4. Raclonallza la siguientc expresion:2

8. Racionaliza y simpllfica:- V l 8

5. Raclonaliza y simplifica:z .J 3 - 3 * '1 3 + 4 . . [ 6

9. Racionaliza y sirnpliflca.3{10 - 2~3 - r s + 8 0

1.7. APROXIMAC I6N DECIMAL Y ERRORESo Aproximac ion decimal

Cuando operarnos can dcclmales inflnltos 0finitos muy grandes, se utilizan aproximaciones.La aproxirnaci6n de un numero es una estimacion del misrno,J . . a aproximacion decimal puede ser por defecto 0 por exceso, Es pm defecto cuando laaproximaclon es menor que el numero dado y por exceso en caso contrario, POI' ejcmplo.

1 _ {O,33 aproximaci6n pOl' defccto can dos dccimales.3 - 0,34 aproximacion par cxceso con dos decimates.

f) Er roresEI error de aproximacion es la diferencia entre el valor real y el valor estimado.Se puede aproxirnar un mimero mediante truncamiento o redondeo:Redondear un numero consiste en eliminar sus cifras decimalcs a partir de una dada: Si la primera dfra que se desprccla es menor que cinco, las demas He manticnen . Si la prlmera cifra que se elimina cs mayor 0gual que cinco, la ultima aumcnta en una uni-dad y las dernas se mantienen,

Truncal" un mirnero consiste en cortar la expresion decimal en la cifra que nos intcrese,Llarnamos clfras exactas 0signiflcativas a las que sc conservan al rcdondear un numero,Llarnamos cota de error de una aproximaci6n al mayor valor que puede alcanzar el errol' dela estimaclon.Si qucremos aproxlmar un mirncro cntero, tomamos como cota de error la mitad de la ultimacifra no nula escrita. POI' ejemplo, cl error de 25000 es 500, par tanto, el resultado esta entre24500 Y 25500.Si queremos aproximar un mirnero decimal, tomarnos como cota de error el numero decimalque consta de 0 como unidad y tantos ceros como decimales tenga el mimero seguidos de un 5.


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EJEMPLOS1. Redondea con 4 clfras decimales los mlmerossa) 3,4b) 8,7c) 10,235Rcsoluciona) 3 ,4 = 3 ,4 4 44 .,. ~ 3,4444b) 8,7 = 8,7777... :::8,7778c) 10,235" 10,23555, .. ~ 10,2356

2. Indica 1a cota de error de cada una de las siguientes aproxtmaclones yen eada unade ellas sus cifras signiflcatlvas:a) 13,21b) 352c) 5,270ResQluciona) 13,21 {4 cifras signlflcatlvascota de errol' 0,005

b ) 352 { 3 cifras significativascota de error 0,5

c) S 270 { 4 cifras significativas. , cota de error 0,00053. La longitud de una mesa es de 2,3 m, con un error de 2 em. ~Entre que valores seencuentra el valor exactof

HesoJucionEI valor exacto estani en el intervalo: (2,3 - 0,02; 2,3 + 0,02) = (2,28; 2,32)

4. Redondea los siguientes mimeros con uri error menor que una centesfma, Utiliza lacalculadora:a) 2nb) rtOc) e2d)1- -fiResoluci6na) 2n: = 6,283. ,. ~ 6,28b) Fa ..3,116227 ... ~ 3,12c) e2 =7,389." :::;:,39d) 1 - {2~-0,414 ... = = -0,41


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5. El valor exacto de una medida pertenece al Intervalo (3,275; 3,280). Encucntra lacstlmacl6n y 1a cota de error,Rcsoluci6nSean a la estimaci6n y c la cora de error,Tenemos.3,275 = a - c3,280 = a + cSumando ambas expresiones, obtenemos:6,555 =Za ~ a =3,2775

. '

c = 3,280 - a = 3,280 - 3,2775 =0,0025Sustituyendo el valor obtenido de a en la segunda ecuacion obtenernos el valor de c:

Es decir, la estimacion es 3,2775 con una cota de error de 0,0025.

6. Seftalaentre que valores estan comprendidos los siguientes numeros aproxlmadosra) 2,24b) 0,001c) 20000Resoluci6na) 2,24 E (2,235; 2,245)b) 0,001 E (0,0005; 0,0015)c) 20000 E OS 000, 25000)

E JE RC IC IO S PR OP UES TO S1. Entre que valores estan comprendidos los S 1 -guientes mimeros aproximados:a) -5,27c) 0,002

b) 3,14d) 150

2. Redondea hasta las mile simas los siguientes mi-mews:a) 2n:c) . , f 7

3. Encuentra Ia estimaci6n y la cota de error deuna medida que esta comprendida en el interva-10 (6,14; 6,18).

4. Aproxima hasta las milesirnas por defecto y porexceso estos mirneros:a) -3,1456 14c)-. 5d ) 3 ../2

5. Da una aproxlmacion de los stgulcntcs numeroscon la cota de error corrcspondicnte:a) 3,7654, c =0,01b ) 5 ,3 15 6, c =0,001c) 7,4536, c=O,l

6. Seftala entre que valores esran comprendidoslos siguientes numeros aproximados:a) 1,22b) 0,002c) 1000

7. Halla el intervalo en el que se encuentra el valorexacto de las siguientes estimaciones:a)a=1,2, c" 'O,1b) a '""1,25, C = 0,02c) a = 12,5, C = 0,01


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1.8. LOGAR ITMOSSc define ellogarltm.o en base a ea > 0) de un numcro real, b, y 10 dcnotamos por 1 0g a h ,como el exponcnte al que hay que elevar a para obtener b, es dcclr.

loga b ~ x ~ dl: = b Los Iogaritmos declmales tienen base 10. Se dcnotan sin indicar la base por log. Los logaritmos neperianos son los que tienen de base elmimero e. Se denotan por In.Propiedades log(l a = 1 loga " I ~ 0 log(J C b . c) = loga h + loga c log ! z . . = log b - log ca C a a loga he = C loga (b)

'_'I. loga b.Iog'lb ""--a n 1 0 r h = log b: f ! u log a

E J EMPLOS1. Halla el valor del siguiente cociente:

log.!. + log V aa o:;t:llog0 - log F a '

Rcsolud6nAplicando las propiedadcs de los logaritmos relativas a los cocientes, potenclas y rakes ytomando log a como factor cormin, obtcncrnos:

1 r o ga ( - l + ~) 1 1lo g 1- lO R a + - lo g a -1+-. 2 2 2 -4 2= -- =-=--1 log a ( 3 - !) 1 11 22 113/0[; a - " 4 log a 3--4 42. Calcula, utilizando la definicion de logaritmo, lasiguiente expresi6n:

1 1iog2 32 -log2 - - Iog2 _I-+ log3 278 -'18ResQlud6nExpresarnos los mimcros en forma de potencia de las bases de los respectivos Iogaritmos:

-I 1/og2 2) - /og2 i~-og., - w + log3 3~iSi las potencias estan en cl denominador, las expresamos como potencias de exponentenegativo:

Utilizando la propieclad loga a = 15 - (-3) - (- ~) + 3 =0 2 1

!Y surnando los rcsultado obtenidos.~

I


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4. Calcula fog 0,3 . "0,5 sabiendo que log 3=0,4771Y log 2 = 0,3010.

EJE R CIC IO S PR OPUESTO S1 . Sabicndo que log 2 ""0,3010 y que log 3 = 0,4771,;

calcula: log 1 ~1 2VO,06 . 5-2. Sabiendo que log 2 = 0,3010 y log 3 = 0,4771,

calcula: log A /0,04-3 . 18'' J 6,4. 1l-7"3. SI log 2 = 0,3010, calcula log '\18.

5. Aplicando las propiedadcs de los logarltmos,calcula el valor de la sigulcnte expresion:';' log2 8 + iog3 27 + log.., 125

6. calc lila los logaritmos:1a) /og12"> .r;. 1 1 5

1b) iog25 _ r: :. " \ ' 5 c) /og"1mE JE RC IC IO S FIN AlE S1 . Halla los cinco prirneros rmiltiplos naturales de 6,2. Halla todos los divisores entcros de 8.3. Responde:

a) 5i un rnimero esta entre 0 y 1, su cuadrado, sucubo, ... ;,Sonmayores 0menores que I?

b) Si un numero es mayor que 1, su cuadrado, sucubo, ... ;.Sonmayores 0menores que I?

4. Analiza si es verdadero 0falso:a) S1 a un numero 10 multiplicamos par 2 y ele-vamos al cubo el rcsultado, el cuba del mi-mero primero queda multiplicado par 6 .

b) Si a un mimero 10 multiplicamos par 4, y ha-ccmos la raiz cuadrada del resultado, la raizcuadrada del numero primcro queda multi-pllcada por 2,

5. Representa en la recta real los nurncros:124-3, 2,0, 3'"3

6. Escribc la fraccion gcneratrlz de cstos numeros:a) 7,3c) 0,102e) 3 ,595959 .. .

b) 3,59d) 7,3333 .t) 3,5999 .

7. Escribe la fraeci6n generatriz de:a) -3,2434343 ...b) -0,123121212 ...

8. Dado el intervale (0, 1), di un numero irracio-nal que pertenezca a1 lntervalo. Indica para elnumero que has pensado un intervalo mas pe-queno en el cual tambien se incluya.

9. Di si son verdaderas 0 falsas las expresiones:a) Hay numeros irraclonales que son periodicos.b) E I producto de dos nurneros racionales cs un

mimero racional.c) No sicmpre cl producto de dos irracionales

cs otro irracional,10. Indica cuales de los siguicntes mimeros son ra-

cionales y cuales son irracionales:a) 23,12343434 ...c) _ ! _3

b) 23,123112351236 ...d) 112.345

11 . Ordena de menor a mayor en cada caso:a) 1,45; 1,444 ... , {-i b) 1 2 , . , [ 3 , V 3 , V 2

12 . Justifica tu respuesta mediante un ejemplo:a) La raiz de todo mimero natural, iCS tin 0(1-

mero natural?b) La raiz de todo mimero racional positive, ;.esun numero racional?

13 . Escribc en notaci6n clentifica los numeros:a) 37200000c) 723 . 105

b) 24 . 10-12d) 0,003 . 10-7

14. Representa en una recta los sigulcnres intervalos:a) (0,7; 1,2]c) (-6, -5)

b) [-1,7; -0,11d)6


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E JERC IC IO S F I NA lE S16. Escribe mediante corchetes 0 parentesis, segun

sea necesario, los siguientes intervalos y repre-sentalos graflcarnente:a) 1< x < 3c) 3,6:5 x:5 5e)lxl:55

b) 2,5 ::;;x < 2,6d) Ixl 0, ordena de menor a mayorI f 1 1as racciones a Y Ii'

19 . Escribc dos numeros reales comprendidos entre:a) 10-5 Y lO-'ic) 0,001 y 0,01

b) 2a~ 1 y a2

20. Calcula la amplitud de estes intervalos:a) [2; 2,002] b) (0; 0,002)

21. Calcula simpHficando:3-2. 43. 4-2a) ....;.=-------. 9-2 2-2 3-3

b) ( _ ! _ _ 2)-2. (-3)2. 5 . 5-25 -3-4}-f! _ 2-2 + 8c) ----...:....22 + 2-2

22. Efcctua las sigutentes operaciones:a) (2U-1)-2c) (x + 2y)2

b) x-2 . x-id) e x + 2y)-2

23. Dcscompon como diferencia:a) 9 - x2 b) x2y2 - 16 c) 25 - a224. Expresa el resultado como una unica raiz:a) V 5 . V 7 . - - J 8

: ! r;- l(l r.:;c) ' '15' - , , 7 . . . J 825. Extrae factores fuera del radical: "

a) .v16a3

26. Racionaliza:V 2a)--W b) 5. J 5 ~ . , f 5 e) --=2_ffl

27 . Racionaliza:a) V i :~ . V 2 4

28. Racionaliza:4a)-- J 6 c) 423/5

29 . Efectua y simplifica:a) 4m ~ 5ill + . J 3b)2W + _ ! _ V 3 - ~m3 5c) _ ! _ . v 8 - V 4 + ~ (22 ' 1 " 2 5

30. Exprcsa las potcncias como raices, y viceversa:x1!2c) - - - - s nyb) V 2 331 . La anchura de una mesa cs dc 2,3 em can un

error de 2 mm, ~Entreque valores se encuentrael valor exactor

32. Aproxima hasta las milesimas par dcfceto y ex-ccso los numeros:a) 2,301 b) 2..[2 c) - J 2 r i

33. Da una aproximacion de los siguientes mime-ros con la cota de error correspondiente:a) 3,7654, c ~ 0,001b) 5,3456, c = O,}c) 7,4536, c = 0,01

34. Scfiala entre que valores estan comprendidoslos siguientes numeros aproximados:a) 2,2 b) 2,02 c) 2,002

35. Calcula, utilizando la definicion de logaritmo, lasiguiente expresion:

36. Calcula los logaritmos:1a) fogs {51b) log!6 {4

c) log1 . . J 6 4


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EJERC IC IOS PROPUESTOS1.1. Numeros rationales1.0, 5, 10, 15, 202 . 1 , 2, 3 , 4 , 6 , 123.999904. M,C.D. (162, 72) .. 18 Ym.c.m, (162, 72) = 648S. 1024 .. '2106. M.C.D. (12, 18) .. 6 em7. z, 0, 0, IN Y a. Losmirneros que pertencccn a

IN tambicn estan en 2' yO , Y los que pcrtcne-cen a 4 : estan en Q.

1.2. Fracciones1 98 5

112- 53 . 20134. a) Q10b ) _ _ ! _ ! _9

111c) -905315.a)--90

b) _ 5560399006 ~8 37. a) 3b' 1)--3c) -3d) 2, 4e) . L2o No extste,

1.3~ La recta real,l."sr pucdc ser racional; par ejcmplo, ,[2 + (- . . [ 2 ) ,2. IWe 2' c Q eIRe lelA3. E s irraclonal.4 . 2'. 0, 0, IN Y Q5. C, a, IN, 7l Y I6. a) Falso.b) Verdadero.c) Vcrdadero.

1.4. Intervalos y entornos3 . a) (-00, -2) U(-2, +00) = Ix E IR/x < -21 U

Ix E R/x> -21b) (~5. +00) = L x E R/x > -51c) (-4, 9) .. Ix E R/-4 < x < 9l

4. a) (1, 3]b) [2,5; 2,6]e) Rd) [3,6 ; 51e) (-00, 3)

5. a) 0 < x < 12b) -1 ~x < 5,6c) x > 4d) 4 S ; x < 34

6. a) (4, 5)b) IRc) 0d) 141

7. a) [1,7; 1,8)b) (-00, 0)

8. a) (-00, 2)b) (-2, 00)c) (3,5; 4)d) 0

9. < 1 ) [3,4)b ) (-00, O l


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10. :1) [2,3)b) (0, +00)

11. No, pOl' ejcmplo (1, 2) U (3, 4)12.1,199 < l_ < 1,51 < 2!_2 203 1 1 ',21.-x


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1.8. Logaritmos1 . 1,68192. -1,67843.0,02257

4. --0,67345.9

16. a)-6"b) - _ ! _4c) 1 . .2

EJERCIC IOS FINALES

1. 0, 6 , 12, 18, 24.2. 1, 2, 4, 83. a) Sonmenores que 1.

b) Son mayores que 1.4. a) Falsob) Verdadero

6. a) 7310b) 359100

102c) 1000d) 7 ,3 = 232e) 3 5 9 = 356, 9 9D 3 59 = 324 = 162, 90 4 5

7. a) -3 243 = -3211, 990b) -0 12312 _ -12189 __ 4063, 99000 33 000

S. 0,1232127432891..., intervale (0,1; 0,2)

I9. a) Falso, b) Verdaderoc) Verdadero"

10 . a) Racionalb) Irracionalc) Racionaid) Racional

11 . a) - J 2 < 1,444 < 1,45b) V 2 < f2 < V 3 < . . J 3

12. a) No es cierto, par ejemplo - J 2 no es natural,es irracional,

b) No es cierto, pOI " ejernplo # no es racio-nal,

13 . a) 3,72 . 107b) 2,4 . 10-11c) 7,23 . 107d) 3 . 10-10

15.a)0


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20. a) 0,002b) 0,004

21. a) 2 1 i , 3" b) -922 a) _ ! _ a 2., 4 b) _ 1:0

c) x2 + 4y2 + 4;ryd) 1x2 + 4 y 2 + 4.xy

23. a) C 3 - x) , ( 3 + x)b) (;ry + 4) , (xy - 4)c) (5 - a) . (5 + a)

24. a) 21~51 . 73 . 26b) 22~""7c) 23~510 , 73 . 215

25. a) 4a..fab) 2xy-J6Xc) 3x2yz&

26. a) ~

b) "5 - - J 5 (5 + . . . [ 5 )4c) -9 ~1255

27. a) ~ .J- (ir:-:::-b) '1132"" 1084

c) 1~211

c) 357

.r

28. a) 1 _ . . J 63b) l\(93

c) z V 429. a) 3..[3b) 83 V 315c) ~ > J 2

30. a) xb) 23/4c) _Ix. ' J - : 0

31. (2,1; 2,5)32 . a) 2,301

b) d = 2,828, e - 2,829c) d ee 2,506, e = 2,507

33. a) 3,765b) 5,3c) 7,45

34. a) (2,15; 2,25)b) (2,015; 2,025)c) (2,0015; 2,0025)

35.13

36. a) - . . ! . .2 1b) -- 4 c) l_2


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POLINOMIOS2. 1. POLINOMIOSUn monomio en Ia indeter:minada x, cs una expreslon algebraica de la forma ax" cona E IR, n E IN. El grado del monomio cs el numero natural n, exponentc de Ia variable.Un pollnomlo en 1aindeterminada x, P(x) , cs una expresion algebraica Iormada poria sumao I" diferencla de rnonomios en la misrna indeterminada. Se escribc:

P(x) = ao + C llX + Clr2 + ... + U1r"(llLlamamos termlnos del polinomio a cada uno de los monomios que 10 forman.El terrruno independiente de un polinomio cs c1 monomio de grado 0 del polinomio,Llarnamos coeficiente principal al coeflcientc del tcrmino de mayor grado.EI grado del pollnomio, n E rN , es el mayor de los grades de los monomios que 10 forman.

D Igualdad de polinomiosSe dice que dos polinomios, en las mismas indeterminadas, son iguales si los coeficientcscorrespondientes a los monornios del mismo grado coinciden.

E J Valor numerko de un polinomioEI valor numerico de un polinomio P(x). para x = a, es el numero, P(a), que sc obtiene alsustituir a pOI' x.m Operaciones Suma y restaPara surnar y festal' polinomios en una misma indeterminada x, se agrupan los monomiosdel mismo grado y se surnan 0restart sus coeflclcntcs.

Producto por un mlmeroPara multiplicar un polinomio por un mimero, se multiplica cl coeficiente de cada terminopOI' dicho numero, dejando lnvariante la parte literal.

Multipllcaci61lPara multiplicar dos polinomios, se mulriplica cada monomio de uno de los polinomios porcada monomio del otro polinomio. Finalmcnte, sc simplifica el resultado sumando los coefi-dentes de los monornios de mismo grado.

EJEMPLOS1. Halla el valor numerlco del polinomio p(x) ...3x4 - 3x2 + 4x - 3 para x'" 2.

Resoluci6nP(2) = 3 . 2 -i - 3 . 22 + 4 . 2 - 3 = 48 - 12 + 8 ~ 3 = 41

2. Suma los pollnomios p(x) .. 2x6 + 6x2 - 3x - 2 Y Q(x) .. 3x4 - 3x2 + 4x - 3.Resoluci6n

P(x) = 2 - , \ : 6 + 6x2 - 3x - 2Q(x) = + 3x4 - 3x2 + 4x - 3

P(X) + Q(x) = ZX6 + 3x4 + 3x2 + X - 5


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3. Resta los pollnomios p(x) .. 2x6 + 6x2 - 3x - 2 Y Q(x) .. 3x" - 3X2 + 4x - 3.Rcsolucion

P(x)" 2xC i + 6 ; x :2 - 3x - 2Q(x) .. - 3x4 + 3X2 - q X + 3

P(x) - Q(x) = 2x6 - 3x4 + 9x2 - 7x + 14. Multiplica los pollnomios p(x) = x2 - 2 Y .Q(x)" 3x - 1.

Resoluei6npex) =Q(x) =

x2 - 2+ 3x- 1

-x2 + 2, 3 : \ : ' 5 - 6x

P(x) . Q(x) = 3x3 - x2 - 6x + 2EJERC IC IO S PR OPUESTO S1. Halla el valor nurnerico de los polinomios:

a) P(x) =x4 - 2x3 + 5 x + 10 para x =1b) QCx) = .x C i + 4x' - 2x + 3 pam x"-2

4. Calcula a y b para que los siguientes polino-mios sean iguales:P(x) = 2ax3 - bx2 - 6x - 1Q(x) '" 2x3 - 3X2 - 6x- 12. Indica cl grado y el cocficiente principal de los

polinornios:a) P{x)" x1 - xS + 3b) Q(x) .. 6 - 3x2

5. Realiza la surna y 1a resta de los polinomios:P(x) = 3x2 - 5x + x3 y Q(x) = _!_x2_ l..x + 22 2

3. Indica cuales de las slguicntes expresiones sonpolinomios:

6. Multiplica los polinomios:P(x) = 40 - 2x + 3 y Q(x)" 3x2 - 1

a) P(x) =x - _ _ l _ + 32xb) Q(x) = ..fix2 - 3.x- 1c) R(x) = x2 - EX/x + 2

7. Realiza las operaciones indicadas con los poli-nomios P(x) = x3 - 3x y Q(x) = 2x - x2.a) 2P(x) - 3Q(x)b) pex) . Q(x)

2.2. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOSDados dos polinomios pex) y Q(x) ~ 0, al dividir Pix) entre Q(x) , siernpre existen otros dospolinomios (unicos) C(x) y R(x) que veriflcan.

P(x) = Q(x) . C(x) + R(X) , tal que: grado Rex) < grade Q(x)EI polinomlo c(x) se llama coclente, y c1 polinomio Rex)! resto.Para calcular C(x) y R(x), scguimos estos pasos:1) Si grado P(x) < grado Q(x), entonees, C(x) = 0 y Rex) = p(x).2) Sigrade P(x);:>: grado Q(x):

- Colocamos los polinomios dividendo Y ', divisor, ordenando sus monomios de mayor a me-nor, en la forma habitual de la division numcrica ..- Hallarnos cl primer monomio de! cocientc, para ella, buscamos un monomio que al ser!multiplicado por el primero del divisor, pcrmita obtener el primero del dividendo.

- Multiplicamos cl resultado obrcnldo por el divisJr y 10 restamos del dividendo. Obtenernosasf el resto,

E


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- Si el grado del resto es menor que cl grade del divisor, ya hemos acabado, En casu contra-rio, repetiremos el proceso anterior con c! resto parcial hasta que el gradu del resro sea me-nor que el del divisor. t

1 Para dlvklir un polinomio, P(x), entre otro, Q(x), de la forma (x - a), pucdc utlllzarsc laregla de Ruffini.

Teorema del restoSea P(x) un polinomio y Q(x) un binomio de la tprma (x - a); cl resto obtenido al di-vidir P(x) entre Q(x) es el valor numerico de p(i) en x = a, cs dccir, PCa).

Teorema del factorUn polinomio tiene como factor (x - a); cs dcclr, P(x) ee e x - U) . Q(x) , sl P(u) ""O.Si a es una solucion de! polinomio P(X) , entonces P(x) es igual al producto del faClor(x - a) por otro polinomio Q(x). Es dccir, si Pea) "" 0, entonees P(x) =(x - a) .Q(x).

E J EMPLOS1. Divide los polinomios P(x) - 3x4 + 5x2 - 2x + 12 Y Q(x) = x2 - 3x + 5.

ResoIuci6n3x1 + 5x2 - 2 % ' + 12-3x< i + 9x5 - 15x2

I xl - 3x + 53;\'2 + 9x + 17

9x3 - 10x2 - 2x + 12-9x5 + 27x2 - 45x

17x2 - 47x + 12-17x2 + SIx - 85

4x-73Dividendo: P(x) = J~4 + 5x2 - 2x + 12Divisor: Q(x) =x2 - 3x + 5Cociente: C(x) = 3X2 + 9x + 17Resto: R(x) '" 4x - 73

2. Divide los polinomios p(x) - x3 + Sx2 - 2x + 2 y Q(x) ...x2 - 3x + 5.Resolucion

x3 + 5x2 - 2x + 2-x3 + 3,x2 - 5x

I x2 - 3x + 5x+8

&2 _ 7x + 2-8x2 + 24x - 40

17x - 38Dividendo: P(x) = x3 + 5x2 - 2x + 2Divisor: Q(x) = x2 . - 3x + 5Cociente: C(x) = x + 8Resto: R(x) = 17x - 38


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3. Divide los pollnomlos p(x) - 3x3 + 5x2 - .2x + 12 y Q(X) - X - 1 utillzando laregiade Ruffi:n1.

4. Divide los polinomlos p(x) - 3x3 - 2x2 + 2 Y Q(x) - x + 2 utili2ando la regia deRUffini.Hetioluci6n

~ grado 3-2 0 2-2 - 6 16 -32

3 -8 16 1-30Cociente: C(x) ., 3x2 - 8x + 16

~ grade 2Resto: Rex) =-30

EJER CIC IO S PRO PU ESTO S1. Calcula: (x2 + X + 1)2,2. Divide, utilizando la regia de Ruffini, los si-guientcs polinomios:

(Xli - 3x2 + 1) : Ox + 1)3. Efectua la siguiente division utilizando la regiade Ruffini:

(x5 - x2 + 1) ~(x + 2)4. Efccnia la slguicnte division utilizando 1a regia

de Rufflnl:C2x) - 1x2 + Sx - 6) :Ox + 2)

5. Hfecnia la siguiente division:ext! - 2.>;2 + 1) : Cx2 - 1)

6. Efectua la siguientc division utilizando la regiade Ruffini:

(x3 - 1) : (x - 1)7. Divide, utilizando [a regia de Ruffini e in~Hcaco-

ciente y resto: .(2x'~ - 4x2 + 1) :Ox + 4)

8. Mediante la regia de Ruffini, efectua la siguicntedivision:

(3x" + 2x + 1) : Cx + 1)

9. Mediante la regia de Ruffini, efcctua la siguientedivision:

(x 9 + x 'S + 1) : (x - 1)10.Mediante la regia de Ruffini, efectua [a siguien-

tc division:(.x6 + 5X'l - 3X2 + 1) : C2x - 4)

11. Realiza la division euclidea, indicando el poli-nomio cociente y el resto:

(x3 + 4x2 + 6) : (x - 4)12. Rcaliza la division euclidea, indicando el poll-

nomio cociente y el resto:(x3 + 1) : e x + 1)

13. Realiza la divlsion euclidea, indicando el poll-nomio cociente y el resto:(x4 - 6x3 + 2x2 + 3x - 4) : (x2 - x + 2)

14. Divide los sigulcntes polinornios:P(x) = 2x-i + 4x3 - 4x2 - 12x - 6QCx) = x3 - 3x2 + I}

15. Halla el resto de la divisi6n de:P(x) ~ 2x4 + 4x3 - 4x2 - 12x- 6 entre x- 3

f 16. Halla el resto de la division de:~ PCx) '" x3 - 3X2 + 4 entre x - 2


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Diremos que un numero real, a, es raiz de un polinomio, Pt.x), si pea) = o . Sabiendo queun polinomio de grade n tienc a 10 sumo n rakes reales, podremos dcscomponerlo, comomaximo, como producto de n factores del ttpo x-a. Esto se denornina descomposici6nfactorial de un pollnomio, que es muy similar a la descomposicion de los mimeros enteros,Para factorizar un polinomio P(x) , tarnbien utilizarernos ~I hccho de que las rakes entcras deun polinomio de coeficicntes enteros, si las tienc, dividen el tcrmlno indepcndiente; es dccir,que las posibles fakes entcras son divlsorcs de esc tcrmino,Un polinomio de grado n > 2 dcbcra tener, al monos, n - 2 raices entcras, y estas las en-contraremos utilizando la regla de Ruffini.

2.3. DESCOMPOSIC I6N FACTORIA Lo Raices de un polinom io

Obscrva que un polinomio pucde tener rakes enteras y rakes no entcras,

D Pol inomio div isor y mulfiploDiremos que Ax) es un mUltiplo de Q(x) si al dividir P(x) entre Q(x) el rcsto de la di-vision es nulo. Es decir, Pi.x) = Q(x) . c(x), donde C(x) es el polinomio cociente de la divi-sion. En este caso, QCx) es un divisor de PCx); por tanto, Q(x) divide a PCx).

D Maximo comun divisor de polinomiosEl maxlmo comun divisor de polinomios es el polinomio de mayor grado que cs corrnin di-visor a todos y cuyo coeficicnte principal es 1.Para obtener cl M.C.D. (PCx), Q(x), dcscornponcmos P(x) y Q(x) factortalmerue, y clM.C.D. sera cl producto de los factores comunes de menor exponcnte,AIgoritmo de EuclidesM.e.D. (P(x), Q(x = M.C.D. (Q(x), H.Cx, donde R(x) es cl resto de la division de P(x) en-tre Q(x).Con 10que el algoritmo de Euclides para cl calculo de M.C.D. consistira en:

Simplificar los polinomios,I[ Dividir el polinomio simpiiftcado de mayor grado entre cl de menor grado,III Dividir el divisor entre et resto simplificado.IV Rcpetir el segundo apartado hasta que cl resto salga 0, y como M.C.D. (Rex), 0) = HCx), el

ultimo resto no nulo sera el maximo comun divisor.

a M inim o com un m ultiplo de polinomiosEI mfnimo connin multiplo de polinomios es el polinomio de mcnor grado, multiple cormina todos yean cocficiente principal unidad, Para obtencr cl m.c.m. (PCx), Q(x, dcscompone-mas PCx) y Q(x) factorialmente, y el m.c.m. sera e1 producto de los factores comunes y nocomunes de mayor grado.Tambien puede calcularse el m.c.m, despejando de la siguiente igualdad:coeflciente principal e- coeflciente principal Q M.C.D. (p, Q) . m.c.m, (P,Q) e- Q


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EJEMPLOS1. Ca1culatodas las rakes de P(x) - x4 ~ 6x3 + 13x2 - 12x + 4 y factorfzalo,

Resoluci6nLas poslblcs rafces enteras de P(x) son los divisores de 4; es dccir: 1, 2, 1. Hallamosel valor numerico del polinomio con cada uno de cllos y para cl primer mimcro que scanule aplicamos la regia de Ruffini.Como PO) =-1 - 6 + 13 - 12 + /( =0, aplkamos la regia de Ruffini:

1 -6 13 -]2 grade 41 1 -5 8 -.Ii

1 -5 -1 oCon 10que podcmos dcscomponer cl pulinomio del slguicnre modo:pex) =xti - (\'>;3 + 13x! - 12.-x: + , 1 ~ e x - 1) . C x : l - ,Xl + 8 .' \ " - 1)En cl segundo factor de 11( . x ) repetimos el proccso. Los divisorcs del tcrmino indepcn-dientc 1 son: 1, 2, 4. Hallamos cl valor numerico del polinomio con cada uno de ellos,C01110 F(I) =-1 - 5 + 8 - 4 = 0, aplicamos la regia de Ruffini:

1 1 - 1 41 -5 R -4 grado 3

-4 Ii Con 10 que C x J - 5x2 + &x - !J ) = (x - I) . (xl - 4x + Ii)Asi, sc ticnc:

P(x) = xl] - 6x'~ + 13x2 - 12x + I[ = (.x-I) .(x-I) (x2 - 1X + 4)A cste ultimo factor, (x2 - 4x + 1), como es de grado 2, le aplicamos la formula de la 1'(,SO-lucion de las ecuacioncs de segundo grado:

2uCon 10que: (,x2 - 1x + 4) =(.'\:- 2) . (x - 2)

x= 4 - V " i6 = 1 6 , _ 22Por tanto, la factorizacion pedida es:P(x) = (x - 1) . (x - 1) < ( .\ ' - 2) . ( ." t . - 2) = (x - 1)2 . (x - 2)2

2. a) Ca1culamediante el algoritmo de nuclides. elM.e.D. de p(x) = (x- 2)2. (x_1)2 -= xci - 6x3 + 13x2 - 12x + 4 y Q(x) = (x - 2)2 = x2 - 4x + 4.

b) Calcula el m.c.m, de pcx) y Q(x).Rc,solllCi6n< 1 ) Como I'(x) y Q(x) cstan Iactorizados, tomamos los factores cornuncs de menor expo-ncruc, asi sabcmos que M.e.D. (r(x) , Q(x) ee (x - 2)2. Comprobemoslo:

.\A_ 6x 1+ 13x2 - 12x + Ij_x1 + ilx3 _ 4x2

- L'\:~)+ 9x~- llx + tj.2,\:3 - 8.\'1 + H .x___

.x 2 - 4x 1 !j.x2 + 4x-1

x2 - 4.\' + Ifx2 - 2 ' \ 7 + 1 = (x - 2)2

----_ ..._--o => H(x) .. 0fM.en. (P(x), . Q C x = .\,2 - 4x + - 1 = (.x ~ 222, como qucriamos dcmostrar,


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b) Como en el apartado anterior hemos hallado el maximo comun divisor:M.e.D. (P(x) , Q(x .;,x2 - 4x + 4 = (x - 2)2

tHallamos cl minima connin multiple apticando la formula:coer. prin. Pix): cod. prin, Q(x)' M.cn, (F(x ) , QCx . m.c.m, ( JJ (x ), Q (x ) =P(x) . Q(x).Como pucdcs comprohar, los otros dos valorcs que sc ncccsitan son: Cocficicntc principal P(x) = 1 Cocficicntc principal Q(x) = 1 "

Sustituimos en la formula:1 . 1 . M.e.D. iPix), Q(x .m.c.m, ([l(x), Q(.\- = P(x) . Q(.\:)

" , P(x) , ()(x)de dondc m.c.m. (F'(x) , Q(.x = . ', M.e!).Ffectuando este cocientc, el resultudo sera:111.c.m. (P(x) , Q ( . \ + = _ _ c _ ( X 2 - - - ' . ) _ 2 _ ' _ ( - , - - - x _ - _ 1 - , - - - ) 2::--.- , - ( x 2 - - , - ) _ 2 = x'; - 6x3 + 13x2 _ 1 2 x + 4

(.x- 2)2

1 . Dcscompon factorialmcnte el polinomio:pex) =,A - 16

5. Halla, por dcscomposiclon factorial, cl maximocomun divisor de los sigulcntcs polinomios:a) PC x ) = .x 2 + X - 12 y Q(x) = xi - 9xb) N(x) = :\Ji - Xl y Sex) = x} - x2 + x -I. Descompon factorialmcntc cl polinomio:

P(x) =_2XIl - 2 x ; > + lOx2 + 12 .x3. Halla un polinomio de tercer grado cuyo primer

cocficicnte sea Ia unklad, sabicndo que los res-los que sc obrlcnen al dividirlo entre x + 1,x - 1, x + 2 son -2, 0 Y-15, rcspcctivarncntc,

6. Calcula cl M.C.D. de los polinomios:P(x) = x2 + 2x + 1 Y QCx) =x;) - 3xz + Ij

4. Halla lin polinornio cuyas rakes scan I, 1, -1 y 5.7. Calcula, por descomposicion factorial, cl mini-

010 comun multiple de P(x) = x'l. + X - 12 yQ(x) =x-\ - 9x.

2.4. FRACCIONES ALGEBRAlCASUna fraccion ulgebraica es cl cocicnte entre dos polinomios, F(x) y Q(x):

F(x)Q(x) , con Q(x) t:- 0

o Igualdad 0 equivalenciaP (cr; ) _ /lCx)Diremos que dos fracciones algebraicas son iguales 0equlvalcntcs, si sc verifies:.Qcx ) - l1(x) ,

P(X) . H(x) =Q(.x) .A(x)Observa que csto tambicn ocurre can los numcros racionales.

E l Op er ac io ne s to n f ra cc io ne s a ig eb ra ic asDadas las fraccioncs A 5 - x ) ) y l J ( eX) , sc definen las operacloncs:h.x Qx)


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Sumam,c.m. (P(x) , Q(x)) . A(x) + m.c.m. (PCX), Q(x . H(x)

A(x) + n(x) = P(x) Q(x)P(x) Q(x) m.c.m, (p(X) , Q(x)

ProductoA(x) . B(x) = A(x)' 13(x)P(x) QCx ) pex) . Q(x)

CocienteA(x) . 8(x) = A(x) . Q(x)p(x) . Q(.x) P(x) .H(x)

EJEMP lOS1. Encuentra A y B de forma que se cumpla la siguiente igualdad:

--:;-_--:x-::----::2,...-----::~ =_A_ +_R_(x - 1) . (x + 2) x - 1 x + 2IksohlCi6nCalculando cl dcnominador C01l1lll1 de ambos termlnos, obrcncmos:

x-2 A e x + 2) + Bex - l)(x - 1) " e x + 2)x - '1) . (x + 2)

Lucgo, x - 2 = A{x + 2) + J3(x - 1). Opcrando c igualando coeflcicntcs comuncs:J 1 = A + 13 { A =-1/31 - 2 ee 2.1 - 11 => 13 = 4/3For tanto, lu dcscomposicion qucda.

x-2 1 1 4 1-:-_...=..c.... = - = - - . _ _ + _ . _ _e x - 1) . (x + 2) 3 .X - 1 3 x + 2x5-x2. Encuentra, simpllflcando, una fraccion equlvalcntc a x3 + 4x2-5x

lksoiucic)nSc descomponcn Iactorialmcruc los polinornios del numcrador y del denominador y luegose simpliflcan los Iactorcs comunes:

x'i_).: x . ex ,j - 1) x . (Xl + 1) . (.',\" l).x + 1)x . (Xl + 4x - 5) .X " (x - 1) . (x + 5)

(xi. + 1) . (x + 1)x+5

3. Utllizando cl m.c.m., calcula, 2x - 3 + - - - - " . : : . . : :x_ ~ x_ -_ 3 _x2 - x x2 _ 1 x + 1Resoluci6nI'actorizamos los dcnominadores, calculamos cI m.e.lll. y operamos:

x+1(x + 1) . (,2x - 3) + x2 - (x - 3) . e x - 1)x "e x - 1) . c . ' ; \ : + 1)2x-3 + xx2 - X x2 - 1 x-j----2X2 - 3 ,X + 2,x - 3 + x2 - x5 + 4 x 2 - 3 x

. :\ i . (x - 1) . (x + 1)-x'" + 7x2 - 4x + 3 f

.xJ -x


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x3 - 3X2 + 3x - 14. Simplifica la siguicntc fracci6n:Iksol1.1ci6nFactorizamos numerador y denominador, y opcram()~x3-3x2 + .3x-lx5 - 2X2 + X

C : v - 1/~x < (x _1)2

x-I

"5. Calcula: 1 __ x_ + 3x2 _ 4 x + 2 x2 - 2xIksoluci6nFactorizamos los dcnominadorcs y operall1os:

1 _~x_+ .)x2 _ 4 x + '2 .x l. - 2 . X ' 1 _ _ x_+ 3(.\: - 2) . (x + 2) x + 2 x . (x - 2)x - x2 , e x - 2) + 3(x + 2)

x ' (x - 2) . (x + 2)-x''$ + 2.\,2 + 4x + 6

x''$ - 4x

2 x-I6. Opera y simplifica: x + -=--4'-- - --x-2x--xRc:sohlCi6n

2 x-I 2 x-I 2x x-Ix+------=x+-~~---=x+ ----4 x - 2 Xl - 4 .X - 2 x2 - 1x--x x x-2

_ x . (xl - 4) + 2x - e x - 1) , e x + 2)x2 - 4x'~- 4;\: + 2x - x2 + X - 2x + 2

xl -1x~- xl - 3x + 2

x2 - 4(x - 2) . (.\,2 + X + 2)(x + 2) . (x - 2) x

2+x+2x+2

7. Sitnpliflca la fracclom x2 + 5x + 42X2 - 4x- 6

Iksolud6nFactorizarnos numcrudor y dcnominador, y operamos:Xl + Sx + 42x2 -1x - 6

(x + 1) . e x + 1)2(x - 3) . (x + 1)

x+12(x- 3)

8. Calculai Jt. - 1 _ x + 1 _ ~1~x +1 x-I x2-1

Iksolud6nReducimos a comun denominador:x-I _ x + I__1_= e x - 1)2 - e x + l)l-Ix+l x-I x2-1 x2+1

(x2 - 2x +n- (x2 + 2x + 1) - 1x2 + 1


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EJERCICIOS PROPUESTOS .:' . ' .. :.' '. . . .' :1 . Encucnrra A y n de forma que:

_ _ . : : . 3 . _ x_+_2__ = _ _ _ _ : i _ _ + _ _ _ _ Q _ _e x + 1) . (x - 1) .);..+ 1 x - 42. Descompon en fraccioncs simples fa siguicntccxpresion:

3. Simplifica las siguientes [racciones:a) 15m1l2 - 12m2n

21m2/p.l

4. Simplifica las siguicnrcs Iraccioncs:a) ax + uv({xl. _ ay2

1,){{c ih,jc2h) lHah2cj5. Simpiifica las siguicntcs Iraccioncs:a) !I.\.'V + 4x

2xy + 2x - ltyZ - Ifyx:' -1b).'1:2 -I

6. Reduce las sigulcntcs fraccioncs a comun dcno-minador:a) ah e

h cahi C

b) a2{ Ja-1

3 h

7. Reduce las siguicntcs fracciones a comun dcno-rninador:

1 4h) x + 2' x - 2' x2 - 4

8. Reduce las siguicntcs Iraccioncs a comun dcno-minador:a) 2 .x 3)' 2 x - 3 1 : : .C .X + y)2' (x - y)2' x2 -i~+ 24x2 - llx - 12,grade ee 4, tcrrnino indepcndicnte =-12, jc) (x + ))2 H~lkes~x = Sd) e x - 1) (.y + 2) . (x - 3), Raiccs: x = 1,.'\'= -2 Y .X = 3

12. a) Las raices de P(:() son: x = -5, o X '" ~ yx =O. Las raiccs de Q(x) son x '" 2.

b) Las raiccs de F(x)' QCx) son: .X'" 2,x = -5, X = 3 /2 y x = O ,

c) No,13. b) FC,,) =3(x - 5) . (x - 3)14 . 'Iodas son corrccras:15. Todas son corrcctas,16. In= -1 Y n ~ O.17. JJ(:x) ~ (x - 2) . (x - 3) . (x + 1)18 . m =-25/319. a = -IS, b = 1820. In = 221. Q(.x) = (x -I}~22. J)(x) =Ox"' - I).(2x - 3) + (-x + 1)23. m =-25/324. ,I)M.e!). = x - l, m.c.m, '" 2(x - 1);0

b) M.e.D. = x . e x - 2),m.c.m. = .x;2 . (x - 2)2 . (x + 2)

25 . Fex) '" x . (x + 1) y Q(x) '"x~. (x2 - n.(Xl + t)26. PCx ) =x2 - 5 ;x + 6


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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS _ .....27. a) Grado (cocicnte) =0

b) Grado (coclcnte) =2c) Grado (dividendo) '" 8d) Grado (dividendo) = 2

28. P(x) = x3 - 3x2 + 2x - 129. a) Grado .. 2, terrnino Indcpcndicnte = -6, coc-

ficicntc principal= 1, rakes: , x =2 y x .. -3.b) Grado =2, tcrrnino indcpcndiente = -6, coc-

ficlenre princlpa 1= .3 . rafces. x =1 Y x =-2.c) Grado .. 2, terrnino tndcpcndientc '" 0, cocfl-cicnte principal = 2, rakes: x = 0 y x = 1.

30. M.e.D. (P( . 'X;) , Q(.x) = (x - 1) . (x2 + 1)31. M.en. (P(.X) , Q(x)) ee 132. PC> ; ) =e x - 2) . (x + 2) . (Xl + 1)33. m =0

34. m.c.m, (P(x), Q(x =(x - 2}~. (x - 1)235. M.e.D. (P(X) , Q(x) = xl. - 4x + .{36. P(x) = (x - 1) . (Xl + X + 1)

Q(x) .. (x + 2) . (x + 3)

37. a) 3axyz - 7x9x2y3b) -(./3(x + y)

38. a) a + h ba-b) x + amc) ]x2 + ]

39. a) x- 2y(y - 2x) . (x2 + 4)b x2 + y2

) 2: 2X -y

4 2x1.a) --x-2b) 4.x + 1

1 - x2

2 242. a) a - hahb) 1

43 m . (m + 1) a) ------"'-'-'----'---n2 _ p2b) , \:.1 - 2x')y + x2y2 _ y1

x3

44. a) (x + 1) . (x2 + 2)e x - 1) . (x2 -2)b) _1_y 2

45. a) ___i_. x- 21b) -- 4

46. a) It3az- , : vb) 1

( X - Y ) 247. a) --'x+yb) 1

48. a) 2x' (x + 2)x2 - 4b) -1

":' : .. .. I


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ECUACIONES3 .1 . EC UAC IO NES

Una ecuaci6n cs una igualdacl entre dos expresioncs algcbraicas. POl' ejemplo:3.Y - I = ')

Las lctras se llarnan incognitas, d pruner miembro cs la cxprcsion que esta a la izqulcr-da de la iguaklad, y cl segundo miembro cs la expresion que csta a la dcrecha de la igual-dad.

Si la lgualdud es cicrta para cualquier valor que tomcn las incognitas, recibc cl nombre deidentidad. Un ejcmplo cs:

Sc llaman soluciones de una ccuacion los valorcs de las incognitas que cumplan la igual-dad. Resolver una ecuaclon cs cncontrar todas SlIS soluciones,

Dos ecuacioncs son cquivalentes si ticncn IaH mismas solucioncs, Para pasar de una CCUL~X - = es una ccuacion, ya que a Igua ac es cierta unicamcntc para x = -. aracualquier otro valor de x, por ejcmplo x = 1, no se cumplc la igualdad. 3

) X + 1 ( 1) . , I' 1 1 I' ldd .c -2-= x + cs una ecuacron, ya que so 0 SI X = -"2 y x = - a igua a es crerta.Para cualqulcr otro valor de x, por cjcmplo, x = 0, la igualdad no se curnple.

2. Encuentra una ecuacion que tenga nulo el segundo micmbro y sea equivaiente a:x-I = 3x + 1 + 32 2

lksoillci6nPaJ";] cncontrar una ecuacion cquivalcnte a la pedida, sumarnos a los dos mlcmbros la. . ,,3x+ 1 3siguicnte expreSiOll: - . - .2x-1 _ 3x+ 1 -3=02 2 .


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Reducimos a comun denominador:x-'I-(3x+1)-6 =0

2Multiplicamos 10.,-; dos rnicmbros por 2:x-1-3x-1-6=OSimplificamos termlnos scmejantcs:-2.x - 8 =0 ,"Por tanto, dcspcjando 1 .1 incognita, obtcncmos la solucion: x = -4.

. ( 1 )x-l = 2x- 24. Encucntra una ccuacion que tcnga nulo cl

segundo micmbro y sea cquivalcntc a Ia si-guicnrc:

1 . Rcsuclvc la siguicnte ccuacion:

2. Indica cuales son ecuacioncs c idcntidades:a) x

2 ~ 2x + " ] = e x - 1)2b) 3x~ 2 = 6__x +I_( 'J)2C -- - x-z

x-I = 2 . ' \ : +1 + 22 3

5. Encuentra una ccuacion que tcnga nuln clsegundo micmhro y sea cquivalente a Ia . ' O i -guientc:

3. Indica cu.iles SOil ccuaciones c identidadcs:a) x2 - 2x + 1 =(x - 1)2b)3.x-3=5c) e x + 1) . e x - 1)

2

x-2 __x+1.....:..:.--+ 33 3

3 .2. ECUACIONES POLlN6M ICAS DE PRIM ER Y SEGUNDO GRADOlas ecuacioncs polfnorntcas son ccuacioncs del tipo PCx) =0, sicndo PCx) un poJinomio.Las soluctones de este tipo de ccuaciones son las rain's de los polinomios,E I grado del polinornio es el que marca la ccuacion, Pucclcn ser de grado uno, dos, tn.'s ... Si clgraclo cs ccro, sc (rata de una lgualdad numcrica. Por cjcmplo, las ccuacioncs .~x2 - 7 =0 yx + 1 =0 son de grades dos y uno, respectivamcntc.

o E cu ac io ne s d e p rim e r g ra doSon del tipo ax + h ~ 0 con a:f::. O.hTicne llna unica solucion: x =- -a

~ Ecuac iones d e s eg u nd o g ra doSon del tipo a.,\:2 + hx + C =O, con a v : O.Para resolverlas, sc distingucn varios casos, scgun ci polinornio sea 0no complete: Si c = 0, sc ticnc:

{x=O

ax? + bx =0 => x . (a.Y + h) =0 => o X =_ =


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Si b =0, se ticne:' 2 ' ) A~(/.'1; + C ... (1 => ax- = -c => .X = - ' V - ; ;

Si b ; t : . 0 y C = t- 0, entonces las soluciones vicncn dadas por la formula:x = -h~hl.-4ac2a

Lacxistcncia de soluciones dcpcnde del signo del dtscrlmtnanre, ~ =h2 - 4ac:Si ft < 0, cntonces no hay soluci6n real.Si ~ > 0, entonccs existcn dos soluciones rcakx distintas,Si ft ~ 0, cntonccs cxistc una solucion real, dcnominada rafz doble.

EJEMPLOS1. Resuelvc la ecuaci6n:

Hesol\lci6nSumamos -5 en ambos micmbros y ellmlnamos el parenresis. Operamos reducicndo ;{comun clenominador y simplificamos tcrminos semejarucs:)X + 2 + 1 _ .X - 1 _ ') .. (} = > (~ \,.+ 1 + 6 - . ? o x + 3 - 30 .. 0 => .3.t:- 17 =0 ~ ;x = . ! Z .

3 2' 6 6 3Por tanto, la solucion de la ccuacion es .).,'= 1 2 . ,3

2. Resuclve Ias ecuaciones segun los valorcs de m:a) 3x - m = 5x +1

mx+ 1b) 2.'t' + 3 .. __;_"'---_2lksoluci6na) Rcorganizamos tcrrninos scmejantes colocando en el primer miembro iinicamcntc los tcr-minos con x. Operamos y clcspcjamos la incognita:' } - ' J ' ) 1 l+m,- - , IR~]x- ')X" + m ~ -_'V = + m ~ o X ~ ~ - - , IIm E-2

b) Se pasan todos los micmhros al primer termlno y sc cfcctua el comun denomlnador:nv;,:+l '2x + ) - = 0 => 1x + () - mx -I = = 0. 2 ' ,

SL'agrupan rcrrninos scrncjantcs y.sc opera, dcjando en el primer micmbro los tcrrninosen . x , y en cl segundo, los termino:" indcpcndicntcs:(1- m) , x =-'5Si In" 4, la ccuucion no ticne solucion: en caso contra rio:

-5o. '. 4 - In


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3. Resuelve las ecuaclonessa) x2 - 25 = 0 b) 2X2-3x'" Glksolud6na) Para resolver la ccuaclon x2 - 25 .. 0, como falla cl tcrmino en . X ' , se despcja x2 yse obtlcne:x2 .. 25 : : : : > x =m : : : : > x ee '5Las soluciones son: oX'" '5 y x = -5 . "b) Como la ecuacion 2. x 2 - 3x =0 no ticne tcrmino indcpendicntc, sc haec factor connin x:

{X = O

x . (.x - 3) =0 ~ "x = l_" 2~Asi, las soluciones sun; x = () Y o X = _::_.2

c) Como x2 - 3x + 2 = 0 cs una ecuaclon de segundo grado completa, utilizamos la Ior-mula para resolver estas ccuaciones.x = -b -V b2 - 4ac = 3 . . J 9 ~ = 3 1 = { I

2a 2 2 2Por tanto, esra ccuacion uene como soluciones: X" l Y x = 2

4. Halla el valor de k para que laecuaci6n 3X2 - 2kx + 1 = 0 tenga una unica soluclon,Hesoluci6nPara que 1


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EJERCICIOS PROPUESTOS '. . . :,.': '. "" , :: " .. ,.; ,;:," ':.' . '.: " '. . , " ,:,2. Leis siguicnrcs ccuaciones son lineales. Com-pruebalo y rcsuclvelas: ; - l)lb) ft(x - 3) , (x + 3) - (2x + 1)2 = ,3

4. Rcsuelvc las siguientes ccuaciones de segundogrado:a) o x . ! . + S x '" { }b) 3X2 - 7x + 10 =0c) Xi + x-I'" 0


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2. Resuclve laecuaclon. rx - 3V X + 2 = 0Resoluci6nObscrvamos que V X ' " . \ '1/1 => V X = (~lh)2Si llamamos z =xlli, observamos qU(' se trata de hI cClIad6n de segundo grado.z2-3z+2=O

.) ..[9'- 8 __ : 3 1Sc obticnen como soluciones: z ~ -~--- 2 2"

= { 2 1Deshacicndo el cambio:']1- ~.x __{ 2 ' 1 = 16" " 1 / ; 1 ; ee z = = > x '" .z " => 11 = 1Por tanto, la ccuacion .J; - 3V ; ; " + 2 = 0 ticne como solucion ,X:" -16 Y x '" L

3. Resuelve Ia ecuacloru 3x' (x - 1)3 . X (x + 1) = 0Hcsohlcl6n3x' (x - 1)3 .. X . (x +1) = O

{(x - 1)3 = 0 => ).: = 1

que da Ingar a las ecuacloncs: 3x '" 0 =;> x =0x + 1 = 0 = > o X . . -1

Por tanto, la ecuacion 3x' (x - 1)3 ..Y' (x + 1) =0 rienc como solucion x = 1 y x"-1.

4. Resuclve Ia ecuaciom 3(x + 1)2 (x2 + X - 12) = 0HcsoluckinJ(x +1)2 . (x2 + . :v- 12) = 0:que da lugar a his ecuaciones: {Xx +1)2 .. 0 => x ee -1,,:\:2 + X - J2 '" 0Se rcsucive la ecuacion x2 + .Y ~ 12 .. 0:

-1 72 = { 3-1X=

-1 ~1+ 182

Las solucioncs son: x = -4, oX" -1 Y x = 3.5. Resuclve laecuaclonr 2x5 - 32x = 0

Hesoluci6nComo eI polinomio del primer micmbro no ticne lermitlo indepcndicntc, sc saca factorcomun 2x:2x . (x,j _ H;) = 0 ::::}{2.y .. 0

.x < 1 ~ 16 '" 0Sc resuclvc la ccuacion xli - 16 .. 0:xci -16 =0 ~ (x2 - 4) . (x2 + 1) .. 0Dando Ingar a las ecuacioncs:

{X2 + 4 .. 0 sin solucioncs rcalcsx2 - 1 ;; 0 ~ X = -2 Y X = 2

Es dccir, las solucioncs son:x =~2, x = 0 y .Y "" 2


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6. Resuelvc Ia ecuacloru x3 + x2 - 4x + 4 - 0Resol LI ci611Hay que cncontrar las rakes del polinomio del primer micmbro. Como ya sabcs, dichas rai-ccs, si son cnteras, dcben dividir al tcnnino indcpendicntc, luego pucdcn scr .], 2 y 4.Comprolxunos el valor numcrico del polinomio en estos numeros:15+12 --1.1+4-=1-0(_1)5 +(-n~If . (-1) + -1 = 0E1valor .\' '" -1 es una raiz, por tanto, aplicaruos la regia de Rulflni para factorizan

-1 o44

1

o -1Asf, WnC1110S~.:\', + x2 - 1x + Ii ee (x + 1) . (.\,2 - 4) = (x + 1) . (x - 2) . (.X + 2)Lucgo las solucioncs son:.X =-2, o X =-1 Y x = 2

1. Rcsuclvc la ecuacion:x1 - 13x2 + 36 = = 0

6. I'actoriza Yresuclvc la ccuacion:xi -13x2 + 12x =0

2. Rcsuelvc Ia ecuacion.x1 - 29xl +100 = 0

7. Descompon en factores y resuelvc la ccuacion:x5 + 2X2 - X - 2 =0

3. Resuclvc la ccuacion:9Xi - f l O . x 2 + 16 '" 0


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E JERC IC IO S PROPUESTO S ; : :~ .' " , ", .:: :," " ':. ,.': , ".

( 1 ),X2 + Xx+2 2 - x

3. Resuclvc la ccuacion:x2 +x __ 3__ 1x~-I x+1

1. Rcsuclvc cstas ccuaciones racionales:

x x + 1b) _x_+l~_!_3 -,:\: x 4. Resuclve la ecuacion:c) _1_ + _1_._ =_ _ _ _ S i _ _

x - I x + 1 x2 - 12 x + 1__ =-~x-I 4

1 1 2) __ + _ _ = xx+2 ,\'-1 x2+x-2

5. Resuelve la siguiente ecuacion:x - 4 I - x2x- _-.- =x-16 42. Resuclvc las ccuacioncs racionalcs:

a) 3 =1+ _3_.\' x- 2 6. Resuelve la ccuaclon.2x _ 3x - 5 = x _ 315 20 5

3.5. ECUAC IONES IRRACIONALESLas ecuaciones irraclonales son aquellas en las que aparece, en alguno de sus micmhros, laincognita bajo cl signo radical.Cuando cl radical csta formado por una 0varias raiccs, haccmos 10 siguicntc. Sc aisla cl radical en un miembro y se elevan ambos miembros a la potcncia nccesaria paraque dcsaparczcan los radicalcs.

Si la cC1I3ci6n tuviese mas de un radical, primero se aisla uno de cllos y sc eleva a la potcn-cia ncccsaria, A continuacion, se precede de la misrna mancra con cl radical o radicalcs res-tames, tantas vcces como sea neccsario.

Al rcalizar todas estas opcraciones, puedcn aparecer falsas solucioncs, por 10 que sc debecomprobar si las solucioncs obtcnidas son soluciones de la ecuacion original.

E J EMPLOS1. Rcsuclve Laecuad6n: .. Jx-I + 1= x - 2

Resoluci6nSe aisla el radical en el primer micmbro:. .J x - 1 = x ~ 3Se clcvan ambos mlcmbros al cuadrado para elirninar el radical:( . r------:;)2' 1. . 2 6'IX - 1 = (x - 3) ~ x-I ~x ~ )x + 9Pasando todos los terminos al primer micmbro, sc ohticnc la ecuacion de segundo grado:x2 - Tx + 10 =0Sus soluciones son:

7 ..,]4 9 - 40 7 3X = 2 =-2- = { 25Se comprucba que x = 2 no cs una ~(}luci6n valida, siendolo solo x = 5.Por tanto, x = 5 es la soluclon de la ccuacion 1nicial.


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2. ResueIvc laecuaclom - & ' ' + - 5 + Vzx + 8 =7lksoludonSe pasa cl segundo sumando del primer m'embro al segundo miembro, y sc eleva al cua-drado para climinar las raiccs:

- ~I---iX+s ~ 7 - -J2x + H ::::? x + 5 = 49 + 2~ , '+ H - 11";~x + HSe rcordcna, para dcjar cl radical en cl segundo micmhro, y sc vuclve a elcvar al cuadradopara climinarlo: . .-x - 52 = -11..J2x + 8 ::::? x2 + 104x + 2704 =! 96(2.x + 8)Sc obticne la ecuacion de segundo grado:,"(l - 288x + 1136 .. 0Sus soluciones son:

288 ,)82944 - 4 x ee 284 x '"'It :2 2 'Se cornprucba que la primcra solucion no cs valida ya que no cumple la ecuacion radical.Por tanto, la unica solucion cs .x = 1,

3. Resuclvc Ia ccuaclonr 2..JX+1 - ix- 2 = xRCsoluci6nSc pasa cl segundo sumando al segundo lermino y sc eleva al cuadrado para climinar lasrakes:

2~x + 1 =x + ~x - 2 : : : : : ! > 4(x + 1) =x - 2 + ."(2 + 2x-Vx - '2Se simpliflca la cxpresion:

1;x + 1- ."\' 2 - x2 ee 2:\'~.x - 2-.x2 + 3x + (i .. 2.xi,x - 2

Sc eleva al cuadrado la cxpresion para eliminar cl radical del segundo micmbro:(-x2 + 3s + 6)2 .. 4x2 (.'\' - 2)

Operando y dcspcjando en ambos miembros sc obtlcnc una ccuacion polinomica de ordcnsuperior:

xj - lo.~) + "5 x2 + 36 x + 3(i ~ 0Para resolver la ecuucion polin6mica hay que cncontrar las rakes del polinomio del primermicmbro, pero cstas, si son cnteras, dcben divklir al termino indcpcndicntc, lucgo pucdcnscr: l, 2, 3 , 4, (), 9, ! 2, lH , 36 .Sc comprueba cl valor numerico del polinomio en X" 3:3'1 - lO . 3.1 + ') , 32 + 36 . 3 + 36 .. 0POI' tanto, x ~ 3 cs una raiz y es Ia unica soluclon crucra.Sc comprueba que cs valida:2 ~ - > 1 3 - 2 .. 2 ' 2 - -! = 3

1. Rcsuclvc 1a ecuacion: (X -+ ,~ '+ - V 5 x - 2 =7 3. Rcsuclve la ecuacion: ~ - -Vx + ,~ = 22. Rcsuclve las ccuacloncs:

< 1 ) 2 + .fX =xb ) -J3 - 2 -v - x .. 6

4. Rcsuclvc las ccuaciones:a) ix - 9 - - . I X =-3h) V x + 3 = -V3,~~~5


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4. Resuelve 1aecuaci6n: 4..- 9' 2 ' ' C + 8 '" 0Rcsoluci6nExpresamos las potencias con la mi:.;tna;b 2. \1 = 142' .. ZJFfcctuando cl comun denominador de ambos rnicmhros:

287), = 28 => y = - ,_ 1. . 71 Iailamos los valores:4 .. 2x => 22 = 2.\' : : : : : > x = 2

b) En la ecuacion 22.\'- 3 . 2'\' + 2 = 0 cfectuarnos d cambro de variable y = 2'\':y2 _ .~y + 2 =0Obtcniendo una ccuaclon de segundo grado con soluciones:

3-.f~ 3 1 { IY= 2 "'-2-= 2Hallamos los valorcs:2 .. 2"" = !> 2 1 ' " 2 > Y : : : : : > x = =1 '" 2x ::::} 0 = 2 ' > ' " => x = = 0

c) Ponicndo los terminos de la ecuacion 128 como cxponcntes de 2:22,"1" - 2__ =272 " ' " + 2Operando: 22x - 2 - (x + 1) = 27Qucda finalmentc: 2.1'- ,j = 27 = : > x - ;,.= 7 = : > x ""1-J


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EJERCICIOS PROPUESTOS' .. .' . '. '. . .1. Calcula las solucioncs de la siguiente ecuacionexponcncial:

4 "" + 1 - 3 . P 2 -16 = 06. Halla las solucioncs de ]a siguienre ccuacion ex-poncncial:

1 - " - 2 + 2''' ' + 1 = 202. Halla las solucioncs de la siguicnte ecuacion ex-ponential:

7. Calcula las solucioncs de la slguicnte ecuacioncxponcncial:

3. Rcsuclve la ccuacion:2X .. I _ 3 ' 2'\' - 1= It 8. Rcsuclvc la ccuacion:

4. Rcsuclvc la ccuacion:9'\" - 2 ' y' + I = -5 9. Resuelvc la ccuacion:

22.\' - .3 . 2x + 2 = 05. Resuclvc la ccuacion:

3 .7. ECUAC IONES LO GARiTM ICASLas ecuaclones logaritmicas son aquellas en las que 1


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2. Resuelve Ia ecuacioru21og. -log (x - 16) = 2

Rcsoluci6n t~Utilizando las propicdades de los logarumos de una potencia, es dccir, IoU U'I = n . log a, yque I O N 100 =2:loU x '1 . - kw . (x - 16) ee IoU 100Pasando {of,.; (x - -J 6) al segundo micmbro y utilizando las propicdades de los log:tritmos deun producto:/O R .\ .'2 ~ kw e x - 16) + fog 100 => fo~ x2 .. fIJI!, [100 . (,x -16)1Igualando valorcs en ambos mlembros.Xl =100 e x - 16) => x2 -I OO.X 1600 ee 0Cuyas soluciones son:

1,' . . 100 -~1()000 - 6400 = 100 60 = {202 2 80

Fs dccir, ),;= 20 Y X" XO son LIs soluciones de la ccuacion Y ambas validas.

3. Resuclve las ecuacloncs:a) Iog28 = x

1b) log.,\.3 "-2c) 41082 (x2 + 1)= iog2 81lksoluci6n< I ) Aplicmdo la definicion de logaritrno en l O R ) . Ii=x sc tienc:

/ogL (25) =X ~ X = .J1\.')1, x =,) cs la solucion de la ccuacion,

b) Aplicando 1 a definicion de logaritrno en lot;. 3 = _ _ ! _ sc ticne..1 2

Elcvando ambos micmbros a -2, qucda:(X-V2)-2 = 3-2 : : : :> x .. 3-2E s decir.x = = J . . es la solucion de la ecuacton.9

c) Aplicando las proplcdadcs de exponcnciales y logaritmos, obtcncmos:1/0&2 (i.2 + 1) = 1 0 M } , O"i) ~ 1 tO&2 (x 2 + 1) = 41og1 3POl' ta nto:

Con solucioncs x = -fi, amhas validas.


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1 . Rcsuclve fa ecuacion: 4; \Re .sU(~ lvela ecuacion:log 2 + log x ...1

2. Rcsuclvc laecuacion: 5. Resuelve la ecuacion:(lo!!. x)2 + 7log x - 9=0

3. Rcsuclve la ccuacion:21 n .t' - If ln (-Y x ) + In (~ ) '" 7

6. Rcsuelvc la ccuacion:log Xl + hw }OO = 3

3 .8 . RESOLUCI6N DE PROBLEMASEn Matcm.uicas sc cfcctua cl cstudio (I(, ccuacioncs para resolver problemas cit! fa vida real,algunos de los cuales sc estudian a continuacion.Para resolvcrlos, sc utiliza cl siguicnte proccdimicnto: Inrroducimos las Incognitas apropiadas para resolver cl problema Y traduclmos ia situacion

al lenguaje algcbraico, Rcsolvcmos la ccuacion que hemos plantcado en cl aparrado anterior. Cornprolxunos que las solucioncs obtenklas respondcn al problema cnunciado,

EJEMP lOS1. Calculados numeros enteros consecurlvos sabiendo que Ia suma de sus cuadradoscs 41.Hcsoillci6nLlarnamos x y x +1 a los dos numeros,Seglm cl segundo de los dos datos del cnunciado, fa ccuacion cs:

Dcsarrollamos la cxprcslon:.1(2 + x2 -I - 2x + 1 '" 41 : : : : : ? 2Xl + 2 . ' \ ' - 10 ._ 0 => x2 + X - 20 '" 0Rcsolvcmos la ccuacion de segundo grado.

x = -1 92 - { : 5Los numerus pcdidos SOIl: ".1: '" -5 Y x +1 =-4Es dccir.x=4yx=5QUC cumplcn las condiciones del cnunciado,


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Hcsoluci6n2. Calcula las dimensiones de un cuadrado sablendo que su area es 16 fIl2.

j.Llarnamos x a la longitud (k.. uno de tos lados del cuadrado. Por tanto, cl area del cua-draclo cs x2.Scgun los datos de! cnunciado, planteamos la siguicme ecuackm.

Cuya solucion cs:o X = 4La solucion x = -1 cs valida.

. .

1,a solucion x = -4 no es valida, y:a que una longitud ha de scr positiva,

3. Si lasuma del dob1e de la edad de una persona y c1 cuadrado de Iadecima parte desu edad cs 69, .!emiles su edad?Rcsoluci6nLlamarnos x . t hi cdad de 1 a persona.Scgun los datox del enunciado, tencmos Ia Iliguienw ecuaclon:

( X ) 22x + ~ "" 6910Opcrando:200x + x2 ee 6 900 ~ Xl + 200x - 6900 .. 0Ecuacion de segundo grado cuya solucion cs:

-200 -./10000 + 27600x = - - - -- - - - -- - - - -- - ~- - -2 -200 2602L a solucion X" 30 cs v.ilida.

{3 0. - 1 3 0

La solucion x =_J,)O no cs valida ya que una cdad ha de SCI" positiva.

1. Calcula dos numeros cnteros pares consccutivossabicndo que su surna cs 12.

2. Calcula dos numeros entcros impares consccuti-vos sabiendo que la suma de Sus cuadrados cs 10.

3. Calcula dos numcros cnteros imparcs consccuti-vos sabicndo que la difercncia de sus cuadrados('s R .

4. Calcula dos numeros enteros pares consecutivossabicndo que la surna de sus cuadrudos cs 244.

5. Calcula las dlmensioncs del radio de una circun-fcrcncia cuya longitud cs 1t In.

6. Calcula las dimcnsiones de un cuadrado sabien-do que xu area cs 6 m '.

7. teU;ll cs d valor del cateto de un triangulo rcc-tangulo isosceles sabicndo que su area esSO JW~?

8. Si la difcrcncia de Ia edad ell' una persona Y suraf;.-,cuadrada cs 30, ;.cuaj es dicha eclad?

9. Si 1 a surna de f a cdad de una persona y su raizcuadrada es 42, ,-ellal es dicha edad(

10. Si la suma de 1


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EJERCICIOS FINALES ,1 . Rcsuelve la sigllientc ccuacion:

x-I x+l 1-2- --3~ ~6

2x _ (x _ ~ ) = (3x _ x _ " j )3 ~3 ) ~ '5

11. Resuclve las siguicntcs ecuacioncs:a) 6 - {;; = _ ! _x+..fx tjb) ~x + 5- + ~2x + H =7c) 1 + - J z ; ; + I . = 1

~ ;\' + ,~ ~,x + 3

2. Resuclvc la siguicnte ecuacion:

3. Rcsueivc las siguicntcs ccuaciones:a) S' (x- 4) _ (2x - 1) = 2, + 4d A 6 aI )

12. Expresa las siguientes exprcslones en Iuncionde z =Y ":

b)_ _ _ _ S i _ _ + _1_ = _ , _ O _x-I x-7 x+2

4. Rcsuelvc estas ccuacioncs: 13 . Resuclvc las siguicnrcs ecuacioncs cxponencialcs:a) x,j + 3X2 - 4 = 0b) x~- ,x :.! - 4 '" 0c) x" - 5 x''$ + 4x =0

,1) 5.\'' '' 125, ( 1) - 1 ,' " - 2) ~x- 1 ee _, . 3c) . tj .\ ' . 1 6 " - = 4

5. Resuclvc estas ccuaciones:a)x4-10x2 + 9 =0b)x6 + 7x:~- 8 = 0

14. Resuclvc las siguicntes ecuacioncs cxponencialcs:< I) 0,2'5'>: = 12W'- jb)_l_ + 32.. " =_i_, y:- I' 276. Resuelvc las siguicnrcs ccuaciones.

a) x1 - 13x2 + 36 = 0h) 1x,j + 7x2 - 2 = 0c) ,,\:,j - 3X2 = 0

c) 25x - 130 ' 5x + 625 = 0( 7 ) 7 X -:1 _ ( 3 ) 3 . " - 7d) - --3 7

7. Rcsuclve las ccuaciones:,I) .yrl + 3x''i =0b) x6 - 9x:~+ 8 = 0c) xi + '53x2 + 20 = 0

15 . Resuclvc las siguientcs ecuaciones cxponcncialcs:1a) '5 l-x .. __- '2')

- ;1b) Y -1 = 27

16. Rcsuclvc las siguicntcs ecuacioncs cxponencialcs.8. Rcsuclve las ecuacioncs:a) ,) - x __ 1_ ~2 + x- 1-x2 I-x x-11) 2. x 2_1~4x 2) __ - ,J - -- .x-l - .X'-1

( 2 ) X 2b) 5 ee (2,5)2.\'"- ,j17. Resuelvc estas ecuacioncs cxponcncialcs:

a) .~2'" - 5 = 27(,\ ' + 01:\b) 3'" + 2 + 3'" + I + ,~x + 3 "" - J '" 120

9. Rcsuclvc las ecuacioncs:) , ' x ( 1 _) (- 'j )a x-2(x-l)+-=--x-1 -x3-~3 () 2h) 3 "_ 2x - 5 =2_ 3 - 6x- o X 6 ,J if

18. Resuelvc cstas ccuacioncs cxponcncialcs:a) 52x + I - 24 . 5'\'" 1 ~ 125b) 2 -1.\' - 22." 1 ' - 12 = 0

a) ~,x + 4 =7h) .Jx2 -I = x - 1

19 . Rcsuclve las sigulcnrcs ecuacioncs cxponcncia-lcs:a) 72:0:+;\ - 8 . 7x f I + 1 = 0b) , 1 -" - 5 ' 22x + if =0

10 . Rcsuclve las ccuaciones:

_I" xc) x-v.X = -~, 20. Rcsuclvc csra ccuacion:

16\'- 2 .. (O,5}h+ I


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21. Rcsuclvc las siguicntcs ccuaciones Iogarftlll icas:t;I) log o X - 1 = lOf{ (22 - X) ~b) 210M2 (x - 1) = 3 + {oP,2 X

lOR (x + 4)e) log (5x + 4) - log 2 = 2

22. Resuelvc las slguientcs ccuacioncs logaritrnicas:a) 1 / 0 1 < < ; , (x + 2) = loU, ) (x + 2) + 3b) lO R (28 - ,x-)) - 3 1 0 M . (1- x) = 0

23. Rcsuclvc las slguicntcs ecuuciones logarirrnicas.a) log 2 + log (11 - ,,\:2) =2

log (5 - x)b) hW (35 - x5) = 3

lop, (5 - x)

c) log 2 + log (x2 - 5) = 2log ({5 - x)

24. Resucl ve las siguicntcs cell aciones-a) log (Sx + 1) - lof.!, 2 = ~ log (x + 4)b) lO R (3x - 1) - log (2.x + 3) .. 1- log 25

25. Rcsuclve las ccuaciones:


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EJERC IC I05 PRO PUES lO S3 .1 . E c ua cion es

1 . E:,;una idcntidad, Iucgo para todo valor que scasignc a b incognlta x, la iguaklad cs cicrta

2. a) Es idcntidud.b) y c) son ecuaciones.

3. a) y c) son idcntidades.b) cs ecuacion.

4.--x-17=05. 2x - 12 ,_ ()

3.2. Ecuaciones polin6micas de primer ysegundo grado

1. a) No tiene solucion,I 20) x ._ - 3c) x ""3

3d).x =--2, ')c) ,'-'._--'-, ,3f) o X = 15g) x =-3

2. a) o X = 0b) X = -10

3. m E (0,1)4. < 1 ) x = -5 y x =0b) No ticnc

-"I + 1Sc) x = '. 2 -1 - {5y X = --.......:....2-1+ . J 1 3 -1~ J l 3d) x = 2 Y .X = 2

3.l. Ecuadones de grado superior1 . x = -3, x = -2, x '" '2 Y x = 32.. '"). ' -2 , x = 2 , x = -"i Y ,\, '=')3. x = -2, x =2, x '" -2/3 Y oX" 2/~

' . ; , 1.4. < I) xi - lOx2 + 9 = 0

b) .x,j - 1 3x 2 - 36 = 05. X" 0, x =1, X" -3/46. ~'( (x - I) " ( .x - 3) " e x ' + 4)7. (x - 1) " (x + 1) . e y + 2)8. a) x =-1, x =-3 y x =5b) x =-3, o X = 3 y x'" 2c) x = -"I, x = 1, x = -3 y o X =4d) x '" 0, x =1 Y x'" _ i i -c) x ...-.3, x =3/2 y x '".:;f) x = 12/5g) x = -1 Y x"']

3 .4 . E cuacion es racion ales1 . a) x ...3b)x= ;.c) x = 3d) , ' : 1 : = ;

2 . a) No ticncb) .Y =-1 y x = '1c) x =3

3. x'" 24. x = -.3 y x = 3

H5. x =--II

6. x = 15

3.5. Ecuaciones irracionalesl . x = 62. a) :t= tb) Sin solucioncs vaiidas

~ 4. a) x = 9~ b) X ~ If


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3.6. Ecuaciones exponencialesl . x = 22. x= 43 .. 't' ee 34. x =0, x '= l U R ? > ' )5. x =0 y .X = 16. .x =37 .'


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SISTEMAS DE ECUACIONES4.1. SISTEMAS DE ECUACIONESo Definiciones . ' Un sistema de ccuacioncs cs un conjunto de ccuacioncs conskleradas simuhancamcntc,

Resolver un sistema cs cncontrar sus solucioncs, si exisrcn, 0dcmostrar que no existcn, Una solud6n cs un conjunto de valorcs (uno para cada incognita) que veriflcan todas las

ccuack me.'; a la Vl'Z,Observa que c1da ccuacion pucdc 0no tcncr distintas solucioncs, y en caso de tcncrla, estapodni scr (mica 0no serlo, pero no ticne por que ser solucion de las demas ccuacioncs del sis-tema.

i1Sis temas equiva len te s Dos sistemas de ecuaciones son equlvalentes si ticnen las mismas solucioncs, Ncccsaria-

mente han de teller el mismo numero de incognitas, aunquc pucden tcncr distinto numcrode ccuacloncs. Las transformacioncs que dan lugar a sistemas equivalcruos son:- Surnar o rcstar un mismo mirncro a ambos micmbros de una ecuacion del sistema,- Multiplicar () dividir por lin mismo numero (no nulo) los dos mlcrnbros de una ccuaciondel sistema.

- Suprimir una ccuacion que s(, puedc poner como suma de las dcmas multiplicaclas pOI"un numero,

- Sumar .1 una ccuacion la sumu de las dcmas multiplicadas pOl' un numcro,

~ Closificad on de lo s s is tema sUno de los crlterios de clusificaclon de sistemas uticndc al grado de las ecuaciones: Un sistema lineal cs aquel en cl que:: todas las ccuacioncs son polinomicas de primer grado, Un sistema no lineal es aqucl en cl que alguna ecuacion no cs polinomica de primer grado.Tambicn puedcn clasificarsc los sistemas de ccuaciones: Segun ci mirnero de ccuacioncs: sistema de dos ccuacioncs, sistema de lr('s ecuacioncs ... Segun el numero de incognitas: sistema de una incognita, sistema de


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f J E M P L O S

1. Dado el sistema { x - 2y = 3, comprneba si alguno de los pares de mimeros x = -13x- y =-1e .y = ~2, 0 ;);.'1 c y = -1 es soluci6n.Iksoillci6nSe sustituyen los pares de numcros el o] sistema y ,


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1 . Indica cuales de las siguicrucs ccuaciones j-SOlllineales: Ia) x2 + y2 - 2x - 2y + 3 '"'0b) '> 1 3 ." ; . . . 2 x - 2y + 3 =0c) 2x - 2y + 3 =0d) V 3 y - + 3x = 0

2. Avcrigua si los siguicntcs sistemas son equiva-Icntcs.

{X+Y+ z=4

a) 2x + y - z = 3-x + 2z = 1 {x+y+z=42x + y - z = 3

b) { ~::~: ;:-;-x + 2z = 1 {_

xx . + y + z =-4y- Z= 3+ 2z = 1

3. Eserine un sistema de dos ecuacioncs COIl dosincognitas cuyas soluciones scan entcras y hallaotros dos sistemas cquivalcntes a el.

4.2. METODOS DE RESOLUC I6No Sustituci6n

4. Indica cualcs de las transforrnacioncs sigulcrucsson validas para pasar de un sistema a otrocquivalente:a) Sustituir todas las ccuacioncs por la rcsultan-

tc de SUIO;)!" todas elias.b) Sustituir las dos primeras ecuacloncs por la. . rcsultante de surnarlas.'c) Sustituir la prlmera ccuacion por la rcsultan-

tc de surnarla a la scgunda.d) Sustituir la primera ccuacion pur 1


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Si suponcmos que # Y .. reprcsentan los coeficicntes del sistema, sicndo # nurneros distintos deO y " numcros cualcsquicra, obtencmos, mediante las transforrnacioncs anrcriores, los siguien-tel; sistemas: Compatible determinado

Hay tantas ccuacioncs validas como incognitas, De forma escalonada, sevan obtenicndo succslvamcnte lassolucioncs. Tienc solucion unica:

Compatible IndetermtnadoHay mcnos ecuacioncs valklas que incognitas; las incognitas sobrantcssc pusan al segundo rniembro, y las dcmas sc dan en funcion de elias.'I'icne infinitas soluclones.

IncompatibleAlguna de las fllas csta forrnada pm ccros, salvo la correspondientc alos tcrminos lndepcndlcntes: sc ha Ilegado a una iguaklad imposiblc.No ticne solucion,

D Sistemas no lineales

( ~' . . : ). .o #( g " ' ~ ). .0 0( ~ . . : )*0 0

La resolucion de los sistemas no lineales no slgue un proceso fijo. Se pucden emplear los me-rodos de sustitucion, igualacion ... , pcro no es seguro que se pucda resolver asi. La cleccion fa-cilitara la resolucion dcpcndiendo de cada caso,

E J E M P L O S

{"'+Y=l1. Resuelve pOi" sustttucion e1 sistemas xy + 2y'" 2Hesolud6nDcspejamos la incognita, x, en la primera ecuacion: x =1 - YSustituimos dCSpU8s en la segunda ccuacion:(1 - y) . y + 2y = 2 => y2 - 3y + 2 = 0 : : : : ; > y '" 2 e y '" 1Sustiruycndo los dos valorcs de y en una de las ecuaclones, obtcnemos los valores corres-pondicntes para x:

{y = 2 => x '" -1y=-J=>x'" 0Por tanto, las solucioncs del sistema son: x = 0, Y" J Y x = -1, Y '" 2.

2. Resuelve por Igualacion el sistema: { x + y = 13x + 2y - 21{cso]ud6nDcspejanclo x en ambas ccuaciones, tencmos:

{X = l -Y

2-2X" Y3Igualando los dos terminos de la derecha, obrenemos:

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