Mathematik und Informatik: Eine Liebeserklärung Bruno Buchberger RISC, Uni Linz Vortrag auf der...

Mathematik und Informatik:Eine Liebeserklärung

Bruno BuchbergerRISC, Uni Linz

Vortrag auf der ÖMG TagungBozen, 25. September 2003

Copyright B. Buchberger 2003 2

Copyright Bruno Buchberger 2003

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• Die Liebe und die Erklärung

– der wissenschaftliche Dreischritt – die Spirale der Selbstanwendung – die algorithmische Natur der Mathematik

• Beispiele:

– automatisches Beweisen mit Gröbner-Basen– automatisches Beweisen in der Analysis– Automatisches Erfinden von Algorithmen


Ein naiver Glaube

• Mathematik handelt vom Rechnen• Computer = Rechenmaschine• Also: Computer steht im Zentrum der heutigen

Mathematik

• Informatik (“Computer Science”) handelt vom Computer

• Computer steht im Zentrum der Mathematik• Also: Mathematik steht im Zentrum der Informatik


Realität

• Mathematik und Informatik sind weit voneinander entfernt.

• Für viele Mathematiker ist der Computer LaTeX, e-mail und Web und sonst nichts.

• Viele Informatiker sind überzeugt, dass sie keine Mathematik brauchen.


Meine Sicht

• Mathematik (und Logik) und Informatik zusammen bilden ein Ganzes – die “Denktechnologie”.

• Die Kluft zwischen Mathematik und Informatik ist

– bedauerlich– gefährlich– wissenschaftstheoretisch nicht haltbar.


Der wissenschaftliche Dreischritt

• Die Denktechnologie hat sich von der „Beobachtungstechnologie“ getrennt.

a2+b2 = c2 Beobachten oder Denken?

• Beobachten, Denken, Handeln: Der grundlegende Dreischritt des „wissenschaftlichen“ Umgangs mit der Natur.


Die Methode der Wissenschaft

Realitätmit Frageoder Problem

Modell

Antwortoder Lösungim Modell

Antwortoder Lösungin Realität

Beobachten

Handeln

Denken



Beobachten(„Modellieren“,z.B. „Messen“)

Denken(„Schließen“)

Handeln(„Anwenden“)

?

a

b

c = ?

c = sqrt[a2+b2]


Die Methode der WissenschaftInput

mit Sinnen

TransformationGehirn

OutputMotorik



BeobachtenNaturwissenschaften

DenkenMathematik

HandelnTechnologien



Beobachten

Denken

Handeln

Die drei Schritte sind methodisch verschieden,gehören aber zusammen.


Mathematik und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar:

Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen)


... Computer-Technik

Computer-Mathematik

Struktur-Mathematik

...

Informatik

Mathematik


Selbstanwendung: die Natur der Intelligenz

?


Selbstanwendung

BeobachtenSinne

Mikroskop

Handeln

Denken

Das Mikroskop!


Selbstanwendung

Beobachten

HandelnMotorikBagger

Denken

Der Bagger!


Selbstanwendung

Beobachten

Handeln

DenkenGehirnRechenstab

Der Rechenstab!


Die wissenschaftlich / mathematisch /technologische Spirale

dreht sich immer schneller, universeller, …

Beobachten (Keyboard, Tablett, …, Tomograph, …)

Handeln (Printer, Screen, …, Roboter, …)

Denken(…universelleComputer)

……


Mathematik (Logik) und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar:

Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen)

Die drei Gebiete sind relativ zueinanderauf verschiedenen Ebenen der Selbstanwendung


Die algorithmische Tendenz der Mathematik

Das Grund-Prinzip der Mathematik:

Einmal scharf denken

unendlich oft nicht mehr denken müssen


Einmal beweisen: Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n]

Unendlich oftmals rechnen: GGT[m,n] “mit Euklid”

Beispiel:


Mehr mathematisches Wissen

effizienteres Problemlösen


Letztlich zielt die gesamte Mathematik:

– auf Einsicht in Strukturen– die Entdeckung der Klarheit im Komplexen– auf das Systematische, „Methodische“– ...– auf das „Algorithmische“ (so große Klarheit, dass

man sie sogar dem Uneinsichtigen = der Maschine vermitteln kann)


Ein Missverständnis:

Computer-Mathematik = oftmaliges Anwenden von trivialer Mathematik (“der Computer” kann das).

Tatsache ist:

Computer-Mathematik =Erfinden und Beweisen von Algorithmen auf Grund

von mehr “Mathematik”.


Algorithmische Mathematik (Informatik) und nicht-algorithmische Mathematik winden sich in Spiralen (Ebene / Meta-Ebene) nach oben

Mehr Denken auf oberer Ebene

Weniger Denken auf unterer Ebene


Ein Satz auf oberer Ebene „erschlägt“

unendliche viele Probleminstanzen auf unterer Ebene


Satz über Gröbner-Basen-Kriterium

statt eigener Trick für jedesnicht-lineare Gleichungssystem


Liouville-Satz (Risch 1968) über Darstellbarkeit von Integralen

statt eigener Trick für jedes Integral


Statt eigener Trick für Beweis eines jedenSatzes ....

statt eigener Trick für ....

Satz über das Beweisen von Sätzen


Mathematik (Logik) und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar:

Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen).

Sie bewegen sich in Spiralenauf immer höhere Ebenen der Algorithmisierung.

Algorithmisierung ist der Mathematik inhärent.


Die Informatik ist die Realisierung der Mathematik

mit den technologischen Mitteln der heutigen Zeit.


Beispiele (im Theorema-System)

• automatische Entscheidung über die Gültigkeit geometrischer Sätze (BB, J. Robu):

siehe File Example-Geo-Proving.nb

• automatisierte Beweise in der elementaren Analysis (BB, D. Vasaru)

siehe File Example-Analysis-Proving.nb

• automatisches Erfinden von Algorithmen (BB, A. Craciun) siehe File Example-Algorithm-Synthesis.nb


Mathematik (Logik) und Informatik

haben als Einheit

eine faszinierende Zukunft

als das sich selbst automatisierende Denken.

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