MathElmi11P1 Book
-
Upload
pal4dreamnet -
Category
Documents
-
view
214 -
download
0
Transcript of MathElmi11P1 Book
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
1/140
UL bU UIM`U bL qL' bL WOU bL
wbI qBO rU rOJ( b Wb wM
uHR*
U??????O{Ud_ e?'
uU _ n?BKwUMB wLKF
5DK WwUF rOKF WOd
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
2/140
5DK W w wUF rOKF WOd d wb UF s b UNb w uU _ nBK UO{Ud U fb
UF d?
hL( u rOF Z?UM* W?M' fOz 5U ZUM* ed U db
ZUM* ed hL( u dL ud d
WOMH dzbUd bz d?
UL UL WIM* WFD rOLB WUDK Vu; bu UNL bOCM u wU UL ou rOL?B
bF 5D wdG 5% wLK rOJ%
W(U qON bL qOK wK
UO{Ud UNM* wMu odHU??H UMN jO{ UO UIMbF 5D
d??U UUO WH?OK wK bL qOK wK
p???A qz q??I bL bL bL
d od`U bL UIM tU fO bF u qOL U d
wUF qOL dU$ bF lO vNM
WIM* WOd WFD?
ZUM* edwUF rOKF WOd u WuH l?D uI lOLWMb* ed WN s 5LO vK U bUF* UuOB* w ZUM* ed
fU uHK 5DK tK [email protected] uMF www.pcdc.edu.ps WOdJ WHB
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
3/140
r?bI
UuL oOI WOMODKH WOuB) wd UNM l{ d{ wUF rOKF WOd
WOMu UO UM ULNUU bF wMODK UNM UM uFA 5 tUJ cQ v wMODKH VFAWb* WdA uLK WOLM wU ou WOdI1b rOI aOd UU wMODKH VFAKuK WOL) WD) U UN w
wu c lL* b oI UN s w rOKFK WOzd WKOu t w UNM* WOL sLJrKF* bO v_ _ rKFK jOu bB* t_ UNM* dUM b wb* UJU WU WUM uUdO d_ rKF WOK; WUI uU( Xd rKF qzU s dO v WU{ VUD
bU* jzUu snB VJ wMODKH UNMLK UND s WU WKd* oOD UF c u dWKd* V iF duD v WU{U wMI wMN* WOU uKF wLKF tdH uU _WOd uJ UN UI UF w uU wU nB UNM V UNFO WOU_vK UOU u qLF uHBK UF rOKFK WOb* VJ lOL b XKL b wUF rOKFqd* ZUM* WOKOK% WO1uI U qL wdJ rOKF UJA U w WO WOM lOu
wMODKH rOKF WOu 5% ud duD WKu* UuL UOI YU* lOL w UU UI Ub v dA b_ uHBK e$ w rKF* W WOb* VJ bFwIDM qN uKQ X{d UuKF UF s tOK qLA U0 rKF rOKF WOKL w WOU eO.uI VOU WDA_ qzUu fb ozdD qB W{ dR sLC WuM d dOu
uc* WOL) WD) U l
uuI sc ULKF* 5LKF* 5ud WUA0 UuM Ud UNOIM VJ WFd r w duD qbFK WKU WOd& UF WFd v v_ s UFD u d UNbbI0 e wMODKH wb* UJ WLO UO( UN wuuMJ wLKF bI w dOG lsc WOb* VJ b U w 5BB* s sJ2 b d WUA s uN s tO c Uw ZUM* ed UN WONM0 WFd* s WFu UOKLF s rOKF w UdudOOG ub
bOu vK qLF c su wd w d nOQ wUULEM* UR* v dbI dJA qe bI UNF wUF rOKF WOd
ZUM* dA* wU* UNLb UJOK WuJ WU WIbB WOdF b WObs wU wMu qLF c U$ w XU w WOMu Wud UHJU dH u UL
V yq eOL* ruN rNUA vK rdJA WOb* VJ bS uI w Wud UK qLF Uu 5UA* sd; 5HR* d ZUM*ed Wu ZUM* U' qLA tFuoOD UM bO* s WOb* VJ d w 5UA* 5FUD 5Fd* 5Ud 5LLB*
wUF rOKF WOd ZUM* e?d
WOLKF YULK WUF U???O
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
4/140
WbI
bF 5*UF tK bL(nBK UO{Ud U s _ e' WKD UMzUM_ ULKF* 5LKF* UMze bI UdUNM* WD sL{ UO{Ud Y* WbF* WCdF uD) o wUMB wLKF uU _
_ wMODKHWOKOK WbMN UN* b; UuHB* w b l vK UJ c qL bI
UK* U WOdHvK UOKLF WuHB* uNH vK eOd - b; UuHB* v_ bu wHq w UuHB* l UNUb UNBzUB b; .bI - pc UNBzUB UuHB*
WObMN u qO9 WOD) UF* WLEu* w UNLK d' wbMN sbF vK eOd - UN* WOU bu wwU) dC wUOI wKb dC wOKL p w U0 UN* vK UOKLF dH
WOzUeOH WObMN UNUIOD wN*- bI Wu* WOKOK WbMNK b dF w WOdH WOKOK WbMN WU bu UWN* WUF* vK eOd UJ ULOLF ozUI( iF qu w UN* uK UL UU
UIOD iF u* WUF WHK* UuB rOI* jKWOK* Ud UMbI u{u* cN WIU WKD WdF Ue UK* WFd bu w
UNb d UIUD UL VO uU uO' uU Ue UHUC Wd* UeKUH UH U UF YK* q WOK* UF* q w
ddI w ULN U WuU WKd* w wLKF U* U sc WKD WOuM UMI XU bIiF Ud uD WK_ iF uD) WKUJ OBH v QK rK u; d WIdbu 5 bu bu uM wIDM* qK WOLKF Wb vK UMUH l UdEM ozUI(s UuL b bM q WUN w WuM* qzU* sUL s VUM* bF UUO WHK*5uH* WKDK UFOA dI* bu lOL' d UJ WUN w WOU{ WDA_ sUL
qzU* q oLF vK reH
w rNM U s UJ d w uLU sc bO* w Oe e qJ dJA bIWUM* bF U UJ c u WFd* ZUM* ed w bI w qLF W dUMb w oOD l{u UJ l{ bF UE* s be* vIK UMd vK sbR tOK
tK U WOMODKH
oOu w tKuHR*
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
5/140
WOdH WOKOK WbMN bON9 rOI* j) WUF
dH w 5LOI 5 WF dH w rOI s WDI bF dH w u* WUF WU sU9
UK* U Wd* UeK WOK* VM We UHUC* WOK* VM
d lL v 5OK 5 d{ qU qu% d{ qU v 5 U9 wO wO d uL qu% UL VO uU uO' uU UF YK* q UH UH U WOKL UIOD WU sU9
b; UuHB* WuHB* uNH UuHB* vK UOKLF
b; WFd* WuHBLK wdC dOEM UIOD WU sU9
U???u??;
v?_
bu
U??????????N??????L? UObM u* w UN* UN* vK UOKLF Ud u* w UN*
dH w UN* UNLK wKb dC WOzUeO UIOD UNLK wU) dC WU sU9
W???OU
bu
WUbu
WFd
b
u
UKDB* WLzU oK WOuU UIOD oK l????????????d?L?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
6/140
b; UuHB*
v_ bu
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
7/140
nd??F
(Matrices)UuHBL
WuHBL uNH
wK UL dB uB UUO c d sJL
sOu sO uB bL uH WO vK b_ s WuLL qJA qOD rOEM w WuHBLUN UI Uu UO b YO bL_ s uHB s s tuJL WuHBL
q d_ bQ UNOL sJL Wd s WuHB
WO vK UN{d UUO Vuv WOLKF UMU w WOuO UMUO w UO_ s dO w QKUFU b w WKD lu U LbL uHB s b s WuJ qJA WKOD b
wU b w u UL UOKJ iF w _ qBH wb UF w WOMODKH
W s WuJ WuHBL c UL WKbtO b_ s b q vL WuHBrOEM c vL w dI bF Wd s WuHB UN UI tS bL WF uH
WM WOKJv_WOUWUWFd
uKF
WbMN
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
8/140
U
q
wK UL wxWd s WuHBLK WUF uB
bL_ b Ub w _ nB b ku b UM b b b dI
uHB b Ub
w _ uLF bYU uLF wU nB w WFu WKbL w WKbL
? uLF nB WKb w ? S U tu
? ? YO
Wd s WuHBL V? ?
U
q
sOKbL V W w UL
XU
x bL_ b xuHB b W YU uLF _ nB WKb w
wU uLF wU nB WKb w
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
9/140
WU UuHBUNM UuHBL W w U UN w UuHBL iF UM
vL WU c wbL_ b l uHB b UNO U w WuHBL wWFdL WuHBL
bL_ b uHB b YO Wd s WFd WuHB WuHBL Wd s WFd WuHB w WuHBL L
b n s WuJL WuHBL w nB WuHB
Wd s n WuHB w WuHBL L
b uL s WuJL WuHBL wuLF WuHB
Wd s uL WuHB w
WuHBL L
edU U UN ed UH UNb lOL uJ WuHB wWdH WuHB
Wd s WdH WuHB w WuHBL L
? UbM ? YO WFd WuHB w b WuHB ? UbM
WOU Wd s b WuHB w
WuHBL L edU U UN ed
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
10/140
sULU Ud lMBLK U S sDI dd uB u_ s u W ZM ZO lMB
wU UOu d q UNM w u_ bsDI s Uu dd s Uu uB s Uu dH ZMsDI s Uu dd s Uu uB s Uu dH ZM
UN d WuHB qJ vK WIU UUO V
U ? XU
? S
U
q
WLO bQ XU
WU dUML bL S UU sOuHBL UL
w UF sOUFL oI w WLO
sOuHB U
nd??FWU dUML ULNb XU x UNH Wd ULN U UuHBL U
? ? ? XU udU
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
11/140
buL U_ nB b uL U W UL
XU
k U sdDI b b uL U _ uLF
wU qJA w UL jIM w WFUIL dD s WJ UMb dHWd s WuHBL V sODIM sO d uKOJU WUL qL WLOI WFD qJ UL bFr w sO WU dB ? sODIM sO WU dB qL ? YO X
r r
r r
r r
?
? YO x
Wd s
WuHBL V
? ?
s q WLO b XU
rOWLO b XU
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
12/140
XU
WLO sJ b
k
w WdF dO
U
q
UuHBL vK UOKLF
uwM
wUwU
uwM
wUwU
nd??F WuHB u edU t ed sOuHBL uL S x Wd s sOuHB XU
WMJLL ? rO lOL ? ? ? ? YO x Wd sULNO dUML bL lL uI UMS UNH Wd ULN sOuHB lL bM t
lL WOKL
u W ULNM q ZM tK w d qOK w ULb Wc UFMB bL bMwM uK u_ uK sOuK u q wU wU Wc_ s
sOOU sOb w UL WM dN s _ u_ w sOFMBL U U S
U
qOK lMBtK lMB
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
13/140
S XU
WuHBLK wFL dOEM WuHBL vL WdHB WuHBL k
dD WOKL UU
WLO b
XU
bL s WuHBL b d s ZM WuHBL b k WuHBL w UN dUML
q
WHKL UNUMQ Wc_ s UFMBL tM U uL qL w WuHBL VWuHB S tK lMB U WuHBL ed qOK lMB U WuHBL ed UMb
w UF UFMBL tM U
q
wIOI bF WuHB d{ WOKL UOUnd??F
YO x Wd s WuHB S UOIOI b U Wd s WuHB XU
WMJLL ? rO lOL ? ? ?tH bFU WuHBL w WKb q dC uI UMS wIOI bF WuHB d{ bM t
U
nd??F
S UNH Wd s sOuHB XU
U
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
14/140
wIOI bF UuHBL d{ UuHBL lL hzUBS XU xWd s UuHB XU
qb
lOL bUL dBMF wFL dOEM
U
q
WOuHBL WUFL q
ZM bUL dBMF lOL WOU b WUFL wd v WU{S
WU{S
ZM wFL dOEM lOL WOU b WUFL wd v
WU W s oI
VbUuHBL lOL WuL YO WOKb d UEM sO r hzUB c W s oI
x Wd s
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
15/140
XU
wK UL b
WIUDL W s oI
?
?
UN WIdDU UuHB uLL
WuHBL V r
WOuHBL WUFL q
WuHBLU WDIM qOL sJL
uL WuHBL sODIM s q=
uL WuHBL nBML WDI q WLOIL WFDInBM UOb b
d w ULNb sOK sOuHBL Wb d w UNb w WuHBL V ?
c S ? YKL qL ? UIM XU
bL XU b WuHBL bLQ UNKOL sJL YKL
rdU p `{ ? ? sOKL sO WF UL ? YKL qL
WuHB dH XQ WdHB WuHBL U
Ub
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
16/140
uH b U bL b _ dF dO dC qU
UuHBL d{ UF
? ?? ? ?
? ? ? ? ?
? ?? ?? ?
? ?
?
x x x
XU
s sJ b
bL b _ dF dC qU Wd s Wd s uH b
U
q
nd??F
WuHB u dC qU S x Wd s WuHB xWd s WuHB XU
? ? ? ? ? ? YO x Wd suLF v_ WuHBL s nB w dUML bL d{ qu uL ? ? WKbL
qJA kWOU WuHBL s ?
xx
x
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
17/140
XU
ZM U s sJ bQqU pc dF dC qU Wd s Wd s
dF dC
q
U
WOKb dO UuHBL d{ WOKL k
q
U qOUL dOGL w WOD UFL s w UEM pb
WOuHB WUFL UEM c q=WO WUFLU UEM qOL sJL
Xu WuHB dOGL WuHB UFL WuHB
xx
x
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
18/140
UuHBL d{ WOKL hzUB XU WdF WOU UF w lL dC WOKL YO UuHB XU
S
lOL sOLO s lu UO s lu
bUL WuHBL
q
U
q
U
ZM U bQ
XU
h
WdHB WuHBL u sOdH dO sOuHB d{ qU uJ sJL t ZM
XU
ZM U ? bQ
d{ WOKL w WII dO e???? WOU ZM
UuHBL
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
19/140
sULwK UL q WLO sJ b
XU
.
s=O
UuHBL bU WO UFL V
F sOK s q WLO b XU
sd Wd fH ULN UFd UuHB XU UuHBL u vK ULU
vM YO b w qL WM w uO s sOuL UuM UI wM
WMbL w uLM s uO uLM s uO WMbL w uLM s uO uLM s uO
WMbL w uLM s uO uLM s uO v uLM s XO q U ULMO pOU u v U uLM s XO q U S
pK w UIL UNKLF w pOUA u_ b WdFL UuHBL b pOU u bL
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
20/140
WE
uB bF ZUM bLU tO WKb q dC p _ nB b Wb Xd bL WLO k?bUI o dC qU U UD WKbL cN ? uLF nB VD
bL WLO w _ dC qU L
b WLO b
XU
x x
(Determinants)bLWuHBL j sJL sJ b XO UN b w qJA qOD rOEM w WuHBL UMd
bL s UMb dBIM UNUIOD UuHBL w tOL tWuHBL bvL wIOI bF WFdLWU WOU Wd s WFdL UuHBLU WDdL
q
U
WOU Wd s WFdL WuHBL b nd??F
cJ dF edU t ed b S XU
WU Wd s WFdL WuHBL b nd??F
wK UL dFO
XU
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
21/140
WE
WIU WEL o bL WLO U uL n b sJL
nB b bU
WLO bwU uLF b bU UOU
UOU
sOUM U k -
U
q
WE
WO WKb WIdDU WU Wd s WFdL WuHBLK bL WLO U sJLUU uL UF uL sbb suL U=uJO wU suLF WOU d VJ
bL d{ qu UNM dD t sOuL sdDI fOzd dDI vK bL d{ qu lL
bL WLO u ZUM uJO d_ W UD_ vK
VJ oU UL w bL WLO U L
bL WLO
fOzd dDI
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
22/140
UdC wK_ bL WLO U ZUM bL WLO S ULNOF{ bL uH s sOH qb bM wK_ bL WLO U dOG w
p s oI
L
bL hzUBWOU hzUB s UH sJL tS dO b bL XU WU bL WLO U qON
dU ndF bU UNU sJL w bLK
dH U bL WLO S UH UNK n b XU
L
dOG bL WLO S UNOd fHM uHBU bL_ bL_U uHB qb bM
p s oI
L
dH U WuHBL pK b S d n UHUC s uHB b U
k dH
L
dOG bL WLO S d n w UdzUE UHUC b w n bL XHO{
L
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
23/140
uJ bL U c sJL qUF c S b w n dUM lOL w dA qU b dAL qUF c c bF ZUM bL wK_ bL
s dA qU d
L
ULO uL WLKJ n WLK b bM WO hzUB c lOL vIWE
U
Ud
XQ WOU Wd s WuHB XU
sJ
s dA qU d
s dA qU d
uKD* u S Wd s WFd WuHB XU U tu
U
q
dH ? ? ?
U bL u b
bL WLO dOG d v uL WU{ ? ? ? ?
? ? ?
dA qU d ?
?
dH b; WLO qF suL U
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
24/140
sULWO UUL s q w WbL bL hzUBWOU d
?
sOOU sbL s q WLO sOIdD b
WUFL q
X bL WLO U b
s=O
sJ
b b b
WOU Wd s sOFd sOuHB _ WO WF c sd
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
25/140
WFdL WuHBLK wdC dOEM ? UbM
? UbM ? YO WFdL WuHBL UNQ Wd s bUL bu WuHB UMd o
Wd s UuHBL lOL WOU WOU oI WuHBL c
WFdL WuHBLK wdC dOEM nd??F
UuJF UOd{ dOE vL Wd s WuHBL S Wd s WFd WuHB XU dOEMK U ed Wd s bUL WuHBL YO U WuHBLK
edU WuHBLK wdC
U
q
WuHBLK wdC dOEM w
WuHBL sO
U
q
WuHBLK wdC dOEM w
WuHBL sO
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
26/140
U
Ud
wd{ dOE UN fO
WuHBL X
UOd{ dOE WuHBLK dH
qO c
uKDL u wd{ dOE WuHBLK bu wd{ dOE t fO d UNCF wd{ dOE UN WFdL UuHBL iF k WIU WK_ s
(Singular Matrix)dHML WuHBL nd??FdHM WuHB vL wd{ dOE UN fO w WFdL WuHBLdHM dO WuHB vL wd{ dOE UN w WFdL WuHBL
Ud UNbI w WOU WdEM s `C UL bL s dHML WuHBL eOOL sJLWdEdH U jI dHM WuHB WFdL WuHBL uJ
U
q
dHM
UuHBL s
dHM dO WuHB
dHM WuHB
dHM nB b UHF{ wU nB b _
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
27/140
WOU Wd s WFdL WuHBLK wdC dOEM UdFM WuHBL wd{ dOE u vK rJ sJL bL bU t WIU WdEM s k
u U w WOU Wd s WFdL WuHBLK wdC dOEM U WId vK wK ULO
U
q
WuHBLK wdC dOEM b
dH
UL
ULNM
pc
ULNM
fOzd dDI vK sOKbL qb bF s WUM WuHBL
b
d dDI vK sOKbL wU dOOG sOKbL u c
w rOLF v UuI c
S U
XU
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
28/140
sULdHM WOU UuHBL s
wIOI b
dHM WuHB
WuHBL qF w WOIOI rO WLO b
WuHBL u
WuHBLK wdC dOEM sO
XQ
XU
wK UL bQ
XU
k U
XQ dH U wIOI b dHM dO WOU Wd s WFd WuHB XU
XQ sOdHM dO UN Wd s sOFd sOuHB XU
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
29/140
(Applications)UIOD
UNM d bF p d sJL WOD UFL WLE q w UNb UuHBLK WLNL UIOD swdC dOEM WId
sdOGL v_ Wb s sOUF s uJ UE q UM wHJUEM UMb U S
?
?
wUU WOuHB WUF u vK UEM VJ UMS?
?
Xu WuHB dOGL WuHB UFL WuHB YO uB vK ZM w sOLO s WUFL wd dC uu S dHM dO WuHB XU S
UEM q b UNM
UuHBL bU WOD UFL WLE q
wdC dOEM WId bU w UEM q
wUU WOuHB WUF u vK UEM VJ
uB vK _ dHM dO WuHB
ZM
w sOLO s WUFL wd dC
U
q
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
30/140
WE
U WU c w wdC dOEM WId b sJL dHM WuHB XU UEM wq t fO uK s wzUN b UEMK uJ
dLd bUW w UF sOuN sdOG w sOUF s uJ WOD UFL s UE qWuHB UFL WuHB YO uB c c qOU dOG
u dH Xu WuHB dOGL
Xu WuHB uLF uLF b bF UFL WuHB b u YO
Xu WuHB uLF wU uLF b bF UFL WuHB b u
Xu WuHB uLF YU uLF b bF UFL WuHB b u
Cramers Rule dLd bU WId ULz dJ UDL UM WOD UFL WLE_ tK UM dLd du rUF k
WO bUI v bF ULO tK UL
U
q
UEM q dLd bU b
w UEMK WKLL WOuHBL WUFL
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
31/140
U
q
UEM q dLd bU bdH
Ub
wdC dOEM WId bU WO WLE_ s q
sOuHBL sOUFL s q
X
X
dLd bU bU WO WLE_ s q
?
YO ? d U ? Xu UuHBL bU b
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
32/140
cN WDIM u V r UMO u w UJF qL w WuHBL bqu
U
qUMO u w UJF dOQ X WDIM udOQ X WDIM u WDIM UNH w
w qu c w qu c qL w WuHBL
UMO u w UJF dOQ X w WDIM u
WObMN u w UuHBL b UOUwbM qu dOQ X wbM qJ u U WOHO uL w WObMN u XdF oc bL q_ WDI u b q_ WDIM dL rOI w UJF q u iF sOF
q uL w WDI W u _ p uLK WOD uUC vL q_ WDI ed ? YO WDIM uJ u c s dOQ XWOuHBL WUFLU UF L UOD UUFL UU
qu WuHB ?
WuHBL vL
?
wK U k
UNH w uJ WOD u w q_ WDI u
?
qu WuHB w _ uLF b b WDIM u
?
?
qu WuHB w wU uLF b b WDIM u
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
33/140
WU UI l t q_ WDI ed U qL w WuHBL bqu cN WDIM u U p b r
w qu c qL w WuHBL
w uB
WDIM u U
U
qb
b
WU UI b{? t q_ WDI ed U qL w WuHBL b
? U ? U UL ? U ?U
?U ? U? U ? U
w qu c qL w WuHBL
U
qb
b
?
??U? U
? U? U
WDIM u V r UB u w UJF qL w WuHBL bqu cN
U
qUB u w UJF dOQ X WDIM u
c dOQ X WDIM u WDIM w w qu
w qu c qL w WuHBL
UB u w UJF dOQ X w WDIM u
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
34/140
rOIL u b rOIL w UUJF qL
WuHBL
qu c dOQ X
sODIM u rOIL j
WDIM u
WDIM u
w sODIMU UL rOIL WUF
w rOIL u WUF
U
q
Vb
U
q
tKUF q_ WDI ed bL qL w WuHBL b
w WuKDL WuHBL
bLbL
tKUF q_ WDI ed bL qL w WuHBL w U
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
35/140
U
q
t q_ WDI ed b Uu UMO u w UUJF qL w WuHBL bWU UI b{
UL UL
:w VdL qu WuHB
UJF
UJF
b
b
WOU WObMN u s qL w WuHBL b rOIL w UJF
We q_ WDI ed
tKUF q_ WDI ed bL ?
UB u w UJFU Uu UMO u w UUJF qL w WuHBL b We q_ WDI u b WuHBL WuHBL c W U
YKL qIM c wbMN qu r U YKL v
YKL v
WuHBL tKL c wbMN qu dOQ X rOIL j u b
Ub
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
36/140
WU sUL
? ? bQ XU
XU
YO WuHBL b
XU
WuHB YO WOuHBL WUFL q
YO WuHB b
sJ
s q WLO bQ
rK
WLO UL
U
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
37/140
WF_ dN_ w XUJ ? eN_ s u W s UdN tUFO ueHK eN dU q
s UM uM s UN sL U
WuHBL w UL u_ b sv_
UM ? uM s UM uM
qL U V
qL U
V
WOU{ sUL
WuHBLU tKOL sJL UIM w t c qODL
WuHBLU qLL wbMN qu dOQ X qODL c u b
wbMN qu c u n
x b XU
sO
XU
sd
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
38/140
UN*
WOU bu
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
39/140
(Vectors)UNL
bONL
WOUOI UOLJ vL jI bILU b _ uM UOLJ s sOu uKF w UIU XdFbILU b wU uM cJd W r WKJ WUIL WUJ WULq
cJU uI WNL Wd W q WNL UOLJ vL UUFOu Wd WObMN sONu s dH uL w UNL vK dFM bu c wbeL b WOzUeOH WObMN UIOD iF w p bM WNL WOLJK wzUeOH uNHLK
WOFU p w UIOD c s
uL w UObM tKOL sJL U UO bI UN WOL tQ tL dFWUNM WDI v Wb WDI s UNU tL bI qL UNu WNu WLOI WFDI
UL qJA w UL tL U qL
UObM uL w UNL
UL qJA w WMOL UNL s q u b U
qb
b b ?
b
tL u U tOK WbK q b Ud b sJL edU tL cN ed edU t edM
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
40/140
UMO uL VuL U l UNUO W lMB Ub tuUN r U
s d r lOD UMS uD UU b tL UL qq_ WDI s UML u UL qO vKF sOdA sc oI t
l UNUO W lMB Ub UNu WLOI WFD WDIM v q_ WDI s tL S UMO uL VuL UUb UNu WLOI WFD S pc UNL c b u WuKDL UNL b w UNU w WLOIL WFDI cN Wu
UL qJA w UL ? ? tL q
tLK wUOI l{uUI tS q WDI w tL Wb WDI XU l{u UL qJA w LwUO l{ w tL
UB VJ tL u ?tLK wUOI
nd??F
? VJ U uD bIL fH ULN U ? UNL U
sON U
lDI _ WU UL qJA w UNL lOLu UNFOL dOA Wu w tH uD UN WLOIL
tH U
?
?
?
Ub
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
41/140
UwUOI l{u w tK= r tL r XU
u tL uJO uL w sODIM sOF q
UNM UNL U qOK w dO WOL UN w WU UNL s u UM
dHB tL edU t ed sOF U t fO b dH tu c tL u dHB tL
b t b t vL b b tu t
UOU_ bu UN UL VOd vK ULN ed uL VuL U w wUO l{ w b UN UL
wU qJA w
UN rd wUOI l{u w tL qOLuKDL tL
t tL u U tu q_ WDI s b ? k U fH
b UL tL qO W
WU UN
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
42/140
sUL UDIM XU
wUOI l{u wUOUO tL q= wUOI l{u w UOUO tL q=
b ?
tL U w b t r
sOOU sOU s WU q w b tu UN r
UMO uL VuL U l W tL lMBUB uL VuL U l UNK W tL lMB
sOOU sOU s q w b t r
UMO uL VuL U l W tL lMB
UMO uL VuL U l UNK W tL lMB
sO ? XU ?
?
sOOU sOU s q w tL UOUO q=
Ud suO UbI u
wdG ULA U w WUr UbI Wd dOD dzU WDI s UO W qL c tL sO Ud r WU Xd r UL r WU UO Xd
WUNM WDI v Wb
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
43/140
UNL lL
sOOU sOIdD bS tOK qB c tL u sONL lL qU S sON U YKL WId
c tL u uJO tL WUN WDI vK tb WDI oDM v tL V WS uIw wNM WDI s b c ? tL tL WUN WDI w tUN tL Wb WDI w tb
wU qJA w UL ? WDI
UNL vK UOKLF
{_ u WId
UFK{ c {_ u qLJ r tL Wb WDI l tb WDI oDM v tL WU uI
sONL Wb WDI s b c {_ u dDI qLL tL u uJO ULwU qJA w UL
?
? ? k
?
Vb
r UL UFdL WJ vK
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
44/140
U UNL q=L wU qJA
nd??F
Wu XU U w uJ tu t u S dH dO UN U
WU XU U fJ wdHB tL uJ S dHB tL U dH XU U
wIOI bF tL d{ UOU
nd??F
YO U sOdHB dO UNL u
WO
tL U fH t b t u
S dH dO UN U
Ul{u w tL q=L WDIM tUN WDIM tb c tL u U
U w b t b r wUOI
UMO uL VuL U l UNK W lMB tL q
b q_ WDI tb c tL u tLK wUOI l{u
UL qJA w UL WDIM tUN
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
45/140
dH YO
U U w b t
wUOI l{u w tL c qL UL qJA w ? tL
UL ? wOb oI
?
?
uB vK WU bF sON lL w sOIU sOIdD s bU uI UMS UwU qJA w `{u u UL dD WOKL w UNuN YKL WId bU uIM UM
nd??F
VU vL
wMF
YO
S sON
U
UNL d UU
?
UqJA w UL { u ? U Wb wK UL bQ
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
U
q
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
46/140
UNL vK UOKLFK WOU_ u
S XU UN
U
qb
lOL
bUL dBMF dH dH wFL dOEM dH
qJA w UL tO rEM wb qJ ? ? Wb wK UL b
?
? ? ?
? ?
? ? ?
Vb
?
?
UEM u U lL WOKL uL w UNL lOL WuL XU
u c lOL W s UObM oI pMJL
Vb
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
47/140
UlKC u YK w sOFK{ wHBM sO WKu WLOIL WFDI UNL bU Xtu nB U UNu YU
Ud
UU sJ qJA w UL VOd vK ? sOFKC UHBM ? tO YK ? dH
uJO qJA w `{u u UL {_? ?
? ?
?
? ?
? ? S pc
uKDL u ? u ? u
?
?
?
U? tL UOUO q UL qJA w UL ? UNL XU
tL rd r tL rd
? tL rd r ? tL uJO
UL qJA w UL
q
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
48/140
wK UL q WLO UL U
? YKL WMU UObM sO
WO WF uJ v
u jQ wK UL q ZU V UL qJA w
? ? ?
? sdDI lUI WDI ? { u ?
Wb ? V Wb V
d ULNM q nBM ? sdDI X ?
UObM `{
? ?
qJA UNL bU X t{ UHBM wU qJ ? { u
c WKB UOUO sO qJA w UL b WDI w WO Wu u dOQ X WU WDI lI We UNKF WUL WDIM vK d w WFd uI U uI
suO qJ r rd UOI b U
?
sUL
suO suO
suO
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
49/140
bb tL c b ? WUNM WDI YO tLK wUOI l{u u UB ? ? tLWOIOI b_ s Vd tQ uL w tLK dEM sJL tS UU
WOI_ WdL bF vL tL S uL w WDI XU U tu tLK UB uL Wd WOd WdL bF vL tLK wMO uL Wd
wU_ bu t wU_ bu t WO
UNLK d qOL vK dFM bM c w UMS UNOK UOKLF UNL vK UObM UMdF bF
UNOK UOKLF
WOI tOd b r wUOI l{u w YO tL q=WOd
? tLK WOI_ WdL
tLK WOd WdLUL rd k
q
Ud uL w UNL
bLF uL w t oU bM w XLKF bIsJL tS pc tU tuD b UL tFu vKw YO tL W q_ WDI w tb WDI uJ YO uLw UL ? WDIM tUN t
UL qJA
U
?
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
50/140
UwK U b tL U XU sONL s qJ wUOI l{u
tL wd ?
UMO uL VuL U l tL UNFMB w We
w tLK WOI_ WdL ?
w tLK WOd WdL
l tL UNFMB w WeK Ue
? ? U S qJA w UL ? edU UMO uL VuL U
q
sON U
U jI sOU UNL uJ
U WLO UL tL U
S sOUFL q
q
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
51/140
sON lL
S U
?
? { uL ld d w ? kUL qJA w UL
wIOI bF t d{ S U
U
q
sOOU_ bu wN Wb tL c VU tL U
U tu
wK UL bu wN Wb t WU sJL
sON d
S U
oU bM w UNOK XdF w UNL vK UOKLF hzUB s Ud oI pMJL WE
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
52/140
wK UL bQ ? XU
? ?
?
? ?
?
?
?
? ?
U
q
U
q
uL VuL U l UNK W lMB c uL w UN b
UMO
qUI*U* ? U UL
S
dH YO
a L
YO U tu
?
b
b
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
53/140
sUL ? YO uL w UUI ? XU
? sO
UNFMB w We UO b r bu UN Wb WOU U s q w tL V UMO uL VuL U l tL
tL U fJ t b t b
WDIM tUN c tLK Wb WDI b
U fJ t tL u U tu UN b
bu UN Wb wK UL b U ?
WOU WNL UFL s q uL w sODI XU
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
54/140
dH w UNL vK dFM bM c w UMS UNOK UOKLF uL w UNL vK UMdF bF
qOBH s beL t r vK dH w wUJb UOb UE s WO dJ bIM pc bONLWUI bu w
dH w wUJb UOb UEvL b WDI w WFUI vMvM bUF ULOI W s dH w wUJb UOb UE uJbUV Wd u u u w WOb UL ULOIL c w=L q_ WDIXLL{ r VuL u U w WF_ lU_ uJ vMLO b X t w hK w vMLO bO
wU qJA w UL VuL u v dOA UN S VuL u UU lU_
dH w UNL
wb uL b uLU wb uL vL u b UL s q uL b uL uL b uL pc
UEM WMU q dH w WDI UOb bb
s rd UMS UL qJA w UL sOF UObUL UuL Wu Uu W WDIM cbUF UuL c uJ uJ VOd vK UOb UL w UL l UuL c lUI jIWDIM UOb uJ ?
? VdL w w
?
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
55/140
b WDI qL ? Vd w q S fJFU jI b Vd w qL dH w WDI q U w U_ v sOb bIL q_ WDI s d WDIM sOOF L dH w jIU w UO v b bIL s d r WDIM v UMO uL VuLVuL U w vK v b d dO WDIM v UB uL VU
qJA w UL WuKDL WDIM v qBM uL
sODIM sO WUL S uL w sODI sO WUL uUI ULOLF
w dH w
dH w sODI sO WUL
U
q
sODIM sO WUL b
b
Vb
? UIM sO
wK ULO sODI q sO WUL b
?
uL WuL UU w UUL dNE WEWuL UUL dNE sO w WOIOI UUOI
wIOI UOI [ UI UL uL
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
56/140
dH w WOU_ bu UN
UN dF UMS dH w UNL qOLULK VuL U w bu
uJO VOd vK qJA k
UL
dH w UNL vK UOKLF
q_ WDI tb c tL u tLK wUOI l{u ? WDIM tUN
?cJ bu UN Wb ? tL WU sJL
?
tL S U tu
?
tL u
XU S t ed WLOIL WFDI u u tL u
S
? u ? tL u S tOK
UL UNH u UN uL w UNO d w UNH WIdDU dH w UNL vK UOKLF dWOU WK_ `{u
dH w tL qOLtL u tL S qJA w UL dH w sODI XU
WDIM tUN WDIM tb c
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
57/140
WOU_ bu UN Wb tL V
U
q
wK U WLO bQ XU
? ?
b ?
b
b ?
wK UL bQ U
U w b t
u b t
tL u U tu U w t ?
U U w b t
?
U
q
U
q
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
58/140
sULYO WLO b
?
WOU U s q w WOU_ bu UN tb sONL V
WOU UNL s q u b
YO ?
tu U t tL u UN b
WDIM UOb w UL U wK UL b U
YO tL ?
sONL uL u b t b
dH w WU WDI vK suOM bu bI WOU uI d
uI c uL WKB bI b
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
59/140
UL u wMO uL tL sO uBL We UO S pc
u sONL sO uBL We UO S pcS tOK
U
(Inner (Scalar) Product)UNLK wUOI wKb dC
nd??F
UUO dI edU t ed sONL scN wKb dC S sON U UNL UdB w We UO ? YO ? U wK UL dF WDI
. ? ULNOb UDI oDM UbM
WN WOL fO WOUO WOL u sON _ wKb dC qU kU
q
?
uL w UOU_ bu UN Q ULK wK UL b
U
dH U
x x U ?
U vK bM c w dFM sON d{ WOKLF UNL vK UOKLFK UM UM UIU dD r
WLN WOzUeO WObM UIOD t c sONL wUOI wKb dC vL
U U wKb dC ndF b
tL sO uBL We UO S uL w UObM sONL qOL
UL u wMO uL
U
q
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
60/140
U VOd vK {_ u_ ed?
XU YKL w
? U ? XQ ? u sOFKC sO uBL We UO
Ud
U
?
? U ? U
uKDL u
UNLK wKb dC hzUBWOU hzUB UNLK wKb dCK
qb sOLO s lu ? ?
UO s lu ? ? ?
qJ
U
X sL_ dDd_ dD
uKDL u
UKL w pF dLO UL YKL q w dO b UL VO uUWF c vLWE
?
?
Ud
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
61/140
sONL sO uBL We UO b
? sONL sO We UO dH
? U
? We UO
U
q
bUF WOU UNL s X dH w
bUF dH bUF dH =
WO
dH U jI sbUF sOdHB dO UNL uJU
q
uB vK sONL WU sJLUd
lu uU
uKDL u wK UL dH v uL s WdEM rOLF sJL
S U
S U L
dH
S U WdE
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
62/140
WOb UL l tL UNFMB w Ue UUO b
WuL WOb UL l tL UNFMB w Ue UUO ? ? ? sJqJA w UL VOd vK
? U
U
q
? ? U b qLU
[ ? ? U b pcUL l tL UNFMB w Ue UUO ? ? ? XU tL U U tu
S VOd vK WuL WOb
? U
? U
? U
? U? U ? U
dH w tL U b w Ue wN tLK WOU Ue ? ? ? Ue vLUF c W s oI
U
Ud
WLzU dzb nB w WudL WODOL We UO U UNL b
dH ? UM ?tL bUF tL UM uKDL rqJA s
? ?
?
uKD* u dzb dD nB u _ dH
?
?
??
? U
? U
[ ? ? U
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
63/140
sULWOU UNL s qJ wKb dC qU b
WOU UNL s q sO uBL We UO b
?
? t c YKL U UUO b WOU U s q w WLO b XU
sONL sO uBL We UO ?
? ? YO ? UN W U j
tLK WOU Ue UL uO b
? ? WOU We UO U Wu UNK tL Ud XU
? We UO UL
bUF sOFL dD UNL bU X
X
Ud X
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
64/140
d t U w t Wd
fH ULN sON U S d t U w t Wd v U WOzUeOH UIOD s dO wtL u vK jI tL U w tL Wd S ? UNUO W ULNMO Wb WDIW ? XU tL U fJ w U W ? XU U w tU? U tu c
U w Wd dI Wd edU t ed qJA w UL WdHM
WOzUeO UIOD
nd??F
? U Wd
S ? ULNMO We UO sON U
WO
? U U0
? U
Wd
wK UL b U
Wd
Wd
Wd
Wd
Wd
U
Wd Wd
?
?
Wd
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
65/140
qx x x
Wd
Wd
UL
Wd
Wd Wd
p s oI dH
qG?????A UOU
tc c qGA S WU UNU w td r vK WU u d t UeOH w XLKF
V nOJ Wd U w uI U uJ UO_ s dO w t x r pd w uIWU c w qGA
v l{uL s td r vK???? d uI dH
qJA kuI U l ? W lMB UU l{uL
U w Wd w r pd w WUFH uI
x
WdbI cL qGA S tOK
x ? U
U tu
bUIU vDF UbI W r pd w WU u tc c qGA
5N* 5 We UO ? YO ? U
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
66/140
sUL
wK U b U
Wd
Wd
Wd
ZM U Wd
Wd
qGA WLO b WDIM v q_ WDI s td r vK u d cL
UNUO W lMB UU r vK dR w uI s ZUM qGA bI U r UNd w WUL bI UL qG b u Wd UU
U
q
uI U sO We XU S U WU td r vK suO UbI u d
cL qGA bI UL Wd U
? U u qG b x x
U
q
WDIM v WDIM s td r vK u d
cL qGA bI UL
sJ
qG b
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
67/140
wK UL q W s oI
?
vK uL b t S vMLO bO bU V
w sONL sO We
U S c u sONL
S c u sONL vK uL b t
S c u sONL vK uL b t ?
(Outer (Vector) Product)UNLK wNL wU dC
nd??F
sONLK wNL wU dC qU S ? ULNMO We UO U sON U wK UL dF t u edU t ed
bO bU V sONL vK uL b t YO ? U vMLO
U
q
Vb
wK U W s oI
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
68/140
wU dCK Wd WGOB
WOU WdEM v quK WIU wU dC u b sJL
S U WdE
WO
dH sOu sOdHB dO UNL uJ
wU dC hzUB
S dH w UN ? XU
sOLO s lu ? ?
UO s lu ? ? ?
Ud
ZUM UB sJL oU UL w UL sOOU sONL wU dC qU WIKFL ozUI bU
wK UL wzUNM
uKDL u
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
69/140
U
q
b U
b U
bL hzUB s
Uq
U
qoU UL w sONL vK UuL UN b
U tu sONL vK uL t u sONL vK WuLF UNL lOL WuL u
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
70/140
YKL { u WU U u wU dCK WObMN UIOD bc { u qLJ qJA w UL ? ULNMO We UO Wb WDI fH ULN sON sJO
U UFK{ tOUH bUI {_ u WU
S ? U UL
? U { u WU
wU dC vK WObM UIOD
WO
5FK{ 1 UN YO YK* WU { u WU5KJA s w sU
U
q
UL UFK{ c { u WU b
p s oI% {_ u WU
WFd b
U
q
oU UL w UFK{ c YKL WU V
YKL WU UL
WFd b YKL WU S
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
71/140
t c {_ u WU V ?
{ u w sU sOFK{ L ? q sON uJ
?
?
? { u WU
WFd b
U
q
U
q
w t UOb c YKL WU V ?
YKL w sU sOFK{ L ? q sON uJ
?
?
? YKL WU
WFd b
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
72/140
U
q
? UIM t c YKL WU V
WuL WbMN U oOD dU tU U sJL uL w lI ? YKLWLO cQ dH w YKL c uB UMS wU dC bU oOD WUL U U
w bb YKL uJdH sJ dOGLK WU ?
?
?
YKL WU
WFd b
sUL
U sONL vK UuL b t b r WLO b
sONL U wU dC b
Uu
? U
? b?
ZM U
sOFK{ UNL tO uJ c {_ u WU V
sU
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
73/140
t c {_ u WU V
?
? UIM t c YKL WU V
dH XQ sOdH dO sON U
wUd qJA c u U ? tO wU qJ ?
Wb ? ?b r
sOOU sOU s q w UObM tK r b t ?U ?U X
?
?
s q U w b t b
wK UL q WLO b U
Wd Wd?
tL U w b tu UN b
WLO b ? U
?
vK [ [ UL UB UMO u l tL WOU Ue UL uO XU u l tL c UNFMB w We UO U VOd
WU sUL
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
74/140
We UO UHF{ sONL sO uBL We UO X
? sONL sO uBL
? ? UIM XU
? sd
b WUI vK ? sd
WOU{ sUL
bUF sONL sd U
X
qJA U UNL b ? UIM XU
dM t ?
sODIM sO WKu WLOIL WFDI nBM U UNL b
WDIM w
U
qL
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
75/140
WOdH WOKOK WbMN
WU bu
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
76/140
(Space Analytic Geometry)WOdH WOKOK WbMN
bONL
WbMN rOUH iF b u bu c w dH uL w UNL WIU bu w UMUNL uK bM uL w WOKOK WbMN rOUH s UIU t UL b dH w WOKOK b u rOI j WDI sO bF uU uL rOIL s q WUF v qu w
dH w wUJb UOb UEM dOcU
W s uJ dH w wUJb UOb UE UMKw WFUI vM vM bUF U WLOI uD
UL qJA w UL q WDIUuL vL u b su q uL w UL Uu WUM
uL uL
uUIU vDF sODIM sO WUL U
`KD b UNO UOb US UeOOL sJL e WOUL v dH rI UuL c sL vMLO bO bU o Wu UOb tO uJ c e WOL vK
dH w sODI sO WKu WLOIL WFDI nOBM WDIWDIM UOb S uL w sODI sO WKu WLOIL WFDIK WHBML WDIM UOb uUI ULOLF
w dH w sODIM sO WKu WFDIK WHBML
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
77/140
U
q
q UOb U Ub tFK{ u q_ WDI t b UFJ qL UL qJAt s
w VFJL
?
?
U
q
WOU UIM U sODI sO WUL uU bb rOI j vK lI ?
b
b ?
b ?
b WUI vK lI UIM S ? ? UL
U
q
wK U b XU
nBM UOb
u b
w nBM UOb
?
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
78/140
b U UU q WDI s UbF vI YO dH w d WDIWDIM cN wbMN qL WUF V
b bF
b UdD nB q_ WDI Ued d UB Ud UD qL WUFL c
U
q
U
q
Ued UdD nB w dJ WUF b
dH UNM
U
q
UNUF w dJ dD nB ed bdH
WOU WUFL vK qB s q w ldL ULU
UNM
b UdD nB dJ ed
U tu
WDI s dDI nB vL UU bF bF YO UU lOL w dH w d WDIM wbMN qL w dJw UdD nB ? WDIM Ued w dJ WUFedL vL WU
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
79/140
Uq
YO UIM WuL tKL U n UdD nB Ued d `D qL WUFL
UND vK dJ c q WFu UIM q qL WMUL oI w dH w UIM
sULWDI t b OD u qL UL qJAb ? t{d b tu q_ s q UOb UUb tUH
rL
?
?
WOU UIM s sODI q sO WUL V
sODIM sO WKu WFDIK WHBML WDIM UOb V
WOU UIM U WUL uU b We rzU YK w ?
duK WHBML WDIM UOb sO
u WFDI c u sO WF U du nBM v YKL s WLOIL WFDI u b ?du
b tUI vK WOU UIM lI q ?
WOU UFL tKL U n
uL w
dH w
dH w ?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
80/140
U YK u ? t c YKL XsOU
wK UL WU q w dA oI w dJ WUF b
Ub UdD nB Ued UDIM UNO dD UUN
uL fL Ued ?
UNUF w dJ dD nB ed b
WU q w WF oI w dH w UIM WuL n
rOIL j WUFrOIL jK Vector Equation WNL WUFL
uJ uL w rOI j UIU XLKFtKO WdFL b sJL UB uL UurOIL S UNL WGK tOK lI WDI
tu t tOK lI WDI WdFL b
WDIMU dL rOIL j UL qJA w tL u
sON lL YKL WId S rOIL vK lI WDI W XU
_ ? ?
rOIL j U u tL u WDIMU UL rOIL jK WNL WUFL u w c
dH w uL w
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
81/140
w tL u WDIMU UL uL w rOIL jK WNL WUFL ?
? ? ? ?
? ? ? UFL dH w ULNKUI uL w rOIL jK sOdU sOODOu sOUFL UUFL UU vL
? jOu vL ? ?
? ?
tLK uL WDIMU UL rOIL jK WNL WUFL b
w WNL WUFL
? ? ?
? ?
U
q
tLK uL WDIMU UL rOIL jK WNL WUFL b
w WNL WUFL ?
? ? ?
? ?
U
q
rOIL jK Parametric Eqs. WdU WODOu UFL UOU
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
82/140
sODIMU UL rOIL jK WODOu UFL WNL WUFL b
UL tL u rOIL j
w WDIM bU rOIL jK WNL WUFL ? ? wN WODOu UFL U
? ?
? wMF UL WuKDL UFL U w WOU WDIM b sJL t k
bO dO WODOu rOIL j UF
U
q
U
q
w WODOu tUF c rOIL j vK lI sODIM
? ? ?
?
oI ? dOGLK WLO b tUF XII rOIL j vK WDIM lI UFL
? ?
dOGLK WLO bu t UFL s WUF q q w ? ? rOIL j vK lI WDIM S wUU UFL oI ?
UFL q rOIL j vK WDIM u d WIdD fHM?
? WOU WUFL s UNLO dH v WUFL s ? WLO ?
oI ? dOGLK WLO bu tS rOI c dE
WU WUFL s UNLO rOIL j vK lI WDIM UFL
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
83/140
sOLOIL lUI WDI b ?
? ?
? rO S UFL wuL oI WDIM UL w lUI WDI dH WU uJ dUML
? ?
?
WDIM w lUI WDI uJ ? vK qB UFL q
U
q
uB vK w dH w rOIL jK WODOu UFL Ub ?
? ? ? ?
dH w rOIL jK Symmetric Eqs. WKULL WOUJb UFL UU
? d q _ ?
S ? XU
WOU b ? b_ vL rOIL jK WKULL WOUJb UFL UFL c vLdH w rOIL jK
Vb
WOU U s q w rOIL jK WdU WODOu UFL WNL WUFL b
tL u WDIMU UL rOIL j
tL u WDIMU UL rOIL j
sODIMU UL rOIL j ?
Vb
w uL w rOIL jK WKULL WOUJb WUFL sO
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
84/140
U
q
tL u WDIMU UL rOIL jK WKULL UFL b
?
w rOIL jK WKULL UFL
U
q
rOIL jK uL WDIMU UL rOIL jK WKULL UFL b
w WKULL tUF c
UL tL u rOIL jw uKDL rOIL jK WKULL UFL
U
q
YO
X
ULN UOU_ UNL u ULOI u tL u
tL u sON u ndF UL
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
85/140
w WODOu tUF c rOIL jK WOU Ue WOU b b?
?
? tL u WDIMU dL rOIL j
w rOIL jK WOU bS qJA w UL jK WOU Ue w ? ? ? XU
?
? U
? ? U
?
? U
U
q
sODIMU UL rOIL jK WKULL WODOuUFL b
jK uL WDIMU UL rOIL jK WODOu UFL WNL WUFL b
tUF c rOIL
sOLOIL sOD lUI WDI b
w WOU U WDIMU UL rOIL jK WKULL UFL V
Ub
s b W W w WOU b_U rOIL jK WOU Ue WOU b_ sO WF kw UL w WOU Ue UL uO rOIL jK WOU Ue UL uO UHUC
a w WOU b_
?
? ?
?
?
??
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
86/140
WdEVOd vK ? ? WdHB dO WOU ULb cK ULOIL u
??
Ud
? u ? u
? ? ?
? W q _ ??
uKDL u
UuJ U ULNS dH w sOLOI sOD U t UIU XdF
b u w sOF sOHU sOLOI UOL b u w sOF dO
UuJ U ULNS v_ WU w
sOu
sOFUI
dH w sOLOI sO WF
YO Uu sOLOIL sO
?
w rOILK WOU b_
w rOILK WOU b_
uKDL u
U
q
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
87/140
WdE
sbUF UuJ ? ? WOU ULb cK ULOIL
dH ? ?
UdUOU_ ULUN bUF jI ULOI bUF
? ?
dH sONLK wKb dC
dH ? ?
uKDL u dH ? ? YO bUF sOLOIL sO
?
w rOILK WOU b_
w rOILK WOU b_
dH
U
U
q
YO sOLOIL sO WF U ?
w rOILK WOU b_ w rOILK WOU b_
u
bUF dH
l???UI W???DI U??? U??? U???HU U???FUI U???LN U???
s qJ dUML rOI U UFL q
q
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
88/140
?
?
?
?
?
?
bu t WUFL UII ULOI UU ? b sOUFL qUHU ULN sOLOIL sO WdA WDI bu t UEMK q
WO ULOIL s q sO WF b
?
? ?
?
?
Ub
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
89/140
qJA k tL u WDIMU UL rOIL j vK lI WDI sJ
vK s UM uLF u rOIL s WDIM bF ? U
? U UL
bF
WO
u tL u WDIMU dL c rOIL s WDIM bF
rOIL j s WDIM bF b ? ? ? ?
tL u WDIMU dL j
u b
bF
U
q
dH w rOI s WDI bF
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
90/140
sUL
:tUF c rOIL j s WDIM bF b
rOILK uL WDIMU UL rOIL j s WDIM bF b
sODIMU UL rOIL s WDIM bF b
sOLOIL sO WUL b
? ?
? t c YKL WU b
U
q
? t c YKL WU b
UH x bUI YKL WU
? vK s uLF u x?
?
?
? x
p s oI% u b ? x
? uLF u
WFd b x x YK* WU
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
91/140
WOU dA s b dH w uL dUF nB w X
b WUI vK XO UI UFUI ULOI
Uu ULOI
tOK lI WDI rOI tOK uL t uL w lI WDI WdF w d WU UM
dH w uL WUF
w ? tL bUF WDIMU UL uLK WUF WUFLdH ?
? YO dH ?
U tu
tL bUF WDIMU UL uL WUF b
dH ? w uL WUFdH
U
q
tL UUU udL uL w lI
WDIM XU SrOI j vK UuL uJ S uL vK UuL ? uL w WDI XU WUWHB uL w lI
SdH
dH ?
dH ? UNM
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
92/140
? UIMUUL uL WUF b
?
UL ? uL vK uL t ? tL
?
w tUFL tL bUF WDIMU dL uKDL uLdH
dH
Uq
U
q
? ? ? ? tUF c rOIL lUI WDI b
dH uL
UN_ rOIL j vK WF UN_ ? ? ? uB vK lUI WDI
? ? ? uL WUF oI wN uL w UC lI
? UNM dH WDIM w ? UbM w lUI WDI
UOdI J r WOb UL l uL lUI jI b u l uL lUI WDI vK qB uL WUF w qF
? w
w u l uL lUI WDI uJ qLU w u l
tFUI UI uL qL UL qJAWOb UL l
Uq
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
93/140
WdE
? YO dH ? dH ? UuL
??
sOu UuJ ?
dH ? ? sbUF
VUDK d Ud
sOu bUF u
U
q
Wu UNM bUF WOU UuL s
_ Uu UuL
dH _ bUF UuL
U
q
dH uLK uL WDIMU UL uL WUF b
UL dH uL vK uL tLuKDL uL vK uL tL
dH dH w uKDL uL WUF dH
uL u WDIMU UL uL WUF b
? UIMU UL uL WUF b
uLK uL WDIMU UL uL WUF b
bUF sOuL X
Ub
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
94/140
S uL w rOI s WDI bF bUI ULOLF
u dH ? uL s WDIM bF bU ?
?
u s WDI bF
? uL
U
q
dH uL s WDIM bF b
? ?
bF
u b
dH uL s WDIM bF b
dH uL s WDIM bF b
uL s WDIM bF b
sOuL sO bF b
Ub
?
u ? rOIL s WDIM bF
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
95/140
WU sUL
WLOIL WFDIK WHBML WDIM UOb b r sODIM sO WUL b
ULNMO WKup `{ b tUI vK ? UIM lI q
UNUF w dJ ed dD nB b
WDIMU dL Ued w dJ WUF b
WDIM s UbF uJ YO dH w d WDIM wbMN qL WUF b
WDIM s UbF ULz U
tUF c rOIL jK uL WDIMU UL rOIL jK WKULL UFL b
? ? ?
?
rOIL j s WDIM bF b
sOuL sOD sO WUL b
uL s WDIM bF b
UIMU UL uL WUF b
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
96/140
?
?
?
U tKO WDIMU UL rOIL jK WdU UFL b
sOLOIL sOD lUI WDI b
ULNu c uL WUF b r
sOuL sO We b
ULNOK sOuLF sONL sO We UO u sOFUI sOu sO We UO U
sOuL sOuL sO WUL X dH ?
dH ?
?
w
sOLOIL sOD sO We UO b
WOU{ sUL
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
97/140
?
U???K??L? U???????
WFd bu
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
98/140
(Trigonometry)U???KL U??
bONL
wMO sOUEMU Ue UO UNM UKL w WOU ULOLF rOUH WIU uH w XWdzb Ud We rzUI YKLU UNU U We WuU WOU_ WOKL VM dzbrzUI YKL q q WLNL UIOD iF Ud cN wUO qOL bu dzb UNU
UH UH U WeqLA d UIOD ULOLF rOUH vK dF w UF rOUHL c b rOfJFU d{ qU v UL wO sOO d uL qu WdL UeK WOKL VM p
U qJA YKL q
ULNM Wd W vL ULNMO dH ULNuL s S sO XU
sOe s qJ WOKL VM Wb sOdL sOe sOUN WOKL VM wK ULO YM
WdL UeK WOKL VM
Ud
? uLF t r b YKL UL qJA sO
sO u UL Ue tOK XF{ UHbUI
w WU rKF
UNM fl
fl
? fl
fl
vK WLIU ?
?
sO d uL VO
U U U U U U U U U U
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
99/140
U*
?
U
_ uKD* u U* U U U U U
U U
U U U U
wU uKD* u U* U U U U
Uq
WU b U WLO b U U U U U U
u W s WOLKF WU W bU oI
WU b U WLO b U U U U U U
u W s WOLKF WU W bU oI
Uq
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
100/140
Uq
U b U U YO sOU sO XU
b
b b
b
b b
uJ sOudL sOKL bUU UU U U
U U WOU WIUDL W X U sL_ dD
U U U U
U U U uKDL u d_ dD
Uq
Ud
UN WLLL VO U W VO rKF
U U U
U U U U _ uKDL u U U U U Vb wU uKDL WMd d
sO d uL UL VO UOU
U U U U U
U U U U U
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
101/140
U [ U YO wU ld w sOF sO XU U b
U
q
uJ sOudL sOKL bU
U UU UU
WU b U U U U bIL WLO b
U bIL U
U
q
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
102/140
Ud U U U
UUU U
U UU U
ZM U U vK UIL j w b q WLI
uKDL u U UU U
U UU U
U UU U
U UU UU UU U
U
wU rI WMd r UNH WIdDU
ULNMO dH sO uL q UU
U UU U
U
U UU U U
U
Ud
U U U WIUDL W X
U sL_ dD
U
U
U U U U
uKDL u d_ dD
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
103/140
U
q
U U WUFL q
U U
U U U U U U U U U U
U
U
sOO sOKJA k ld ld YU ld w U lI
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
104/140
U U U WU W b b wQ UL q WLO b
WU W b b wQ UL q WLO b U U U U
U
U U
U
UU U U ?
U U U U
WOU UIUDL s X ? U ? U
? U ? U
U U U U ?
WLO b wU ld w WF ld ld w WF XU U U U
U U U s q
WLO XU ULN U fH ULN U U U X
U U U U WUFL q
qzU sUL
? U U U ? U U U X ? YKL w
? U U
U YO Wu U U ?
? X
WOU{ sUL
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
105/140
U UU U U rKF Ud ZM l{u
U U U U U_ uKDL u U U U
uJ UNH WIdDUU U U U U U
U
U U U U sJ U U U
U U
wU uKDL u U VUDK Vb YU uUI WMd d
sO WF WUJ UC WIU sOuI `KBWE U U U L
U U U
U U
cJ U U U
Multiple - angleFormulas)We UHUCL WOKL VMW wHFC WOKL VM
U U U U U U U U
U U U
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
106/140
s q WLO b U UYO WdHM W U W U ? U U
uJ sUL sOKJA bU U U U
U U U
U U ?
U U
wK UL q WLO b WU b
U
U
? U U U U
U U bIL
U
U
bIL
U U bIL ?
U
q
U
q
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
107/140
U U U
U X
U d_ dD
U
U uKDL u sL_ dD U
U d_ dD
U
U
uKDL u sL_ dD U
U
U X
U U U
U U
U U
uKDL u U
U
U
U
UU
UUd
U U U X U U sL_ dD
U U U U U U U U U
U U U U U U U U U U U U
uKDL u d_ dD U U
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
108/140
Uq
U U WUFL q U U
U U U
U U UNM U
UNM U U
UL WUFL UII UK wLO
WLO b WU b U
U U
U U ?
b U U YO YU ld w UF U
U ? U U
WOU UIUDL s q W X
? U ? U ? U
? U ? U ? U U U U ?
?
U U b r ? r ? tO sOU U YK ? YO dH U U U WUFL q
qzU sUL
U W ? YO ? U bQ ? U U
U
U
U X
WOU{ sUL
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
109/140
Ud
U UU U U rKFZM lLU U UU UU
U UU U
_ uKDL u UU
U U U UU UU rKFZM lLU U UU UU
U UU U
YU uKDL u U U U Uld wU sOuUI WMd sJL UNH WIdDU
WU b UU WLO b
U U U U U U U U
U U
d lL v sOOK sO d{ qU qu
Uq
UL wO sOO d uL v UL wO sOO d{ qU qu
UU U U U U U U
U U U U
U U U U
WOU s???OuI d??? l???L v??? U???L w???O s???OO d???{ q???U q???u U???UO V???UML s???
p w bOH
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
110/140
sOOK sO d uL u vK WOU dUIL s V U U ? ? U ? U ? U ? U
? ? U ? ? U ? U ? U
? U ? U ? U ? U
? ? U? ? U ? U ? U ? U ? U
U U U U ?
U U
Uq
UU WUFL q
UU U U
UU UU
UU
Uq
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
111/140
WU b WOU dUIL s q WLO b
U
U
U U
U
U ?
sOOK sO d uL v WOU dUIL s u U U
U U
U U ?
U
U
U UU U WUFL q
qzU sUL
WOU{ sUL U U U U X
U U U sO
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
112/140
Ud
U
U U U v_ WU
U
U d_ dD
U U U U
uKDL u sL_ dD
d_ U WMd sJL UNH WIdDU
WU b U U bIL WLO b U
U bIL
U U
d{ qU v sO UL wO wO d uL qu
Uq
wO sOO d uL qu w WOJF WOKLFU bM c w uI oU bK ULJ
WOU sOuI bU d{ qU v UL
d{ qU v sO UL wO wO d uL qu
U
U U U
U
U U U
U
U U U
U
U U U
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
113/140
? U ? U ? U X
?? U??
U sL_ dD? U U
? U ? U
uKDL u d_ dD
UUd
U U U WUFL q UU U
U
U
U
dH U U U dH U U
dH U dH U
dH U
U dH U
w WUFL oI w rO
Uq
U U U U X U U U U sL_ dD
U U U U U U U U
U U U U U U U U
U U uKDL u d_ dD
UUd
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
114/140
WU b WOU dUIL s q WLO b
U U U U U U
U U
U U U ?
U U UU U X
U U U UWUFL q
? U U U ? U U U X ? YKL w
qzU sUL
WOU{ sUL
dH U U U WUFL q XQ YK U ? XU
? U U
U ? U U U
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
115/140
Ud
uJ UL qJA w UL ? YKLK UH rd? YKL s ? U YKL s U?
U? ? U
VUM u s ?? U U
U ?
? U X WIdD fHM
uKDL u ?? U
U
U
? u UL ? r U ? YKL w
?
?? U
U sJ
? U
U
r[ [
[ U
U?
(Sine and Cosine Rules)UL VO uU uO uU
Uq
{ sO UDd UuU UL UL uO uO wuU dF o bM w YKL q bONL
WeK qUIL lKC vK WbK ed b vK `KDBM sOuUI WUJ ON U YKLqUIL lKC vK WbK ? ed WeK qUIL lKC vK WbK ed ? YKL w ? WeK
uO uU UN WKUIL Ue uO l YKL { VUM ? YKL w
?
? U
U
U
? ?
?
?
r
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
116/140
X ? YKL w
?? U
U U
?
? U
U
U dH?U ? U U uJ
U U U U sL_ dD
U U U U
uKDL u d_ dD ?? U
d WIdD uO uU X
Ud
ULO UNLK wKb dC bU uUI c Ud UMb UJ s _ e w UM od Ud wK
UL qJA w UL w WO ? vK s uL eM
?
U? U? ? ZM w iuF
U? U? U? U ? U ?
U? UU?
uKDL u U?
?
U
Ud
V????b
UL VO uU U ? ? uJ ? YKL w
? ?
U tM
? ?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
117/140
u b r ? r rK ? YKL w
U? ? [
r[
X ? YKL w
?
? ? U
? U
U
uJ UL VO uU s ? U U U tU U WUJ?
?
? ?
?
? sL_ dD
? ? ?
?
? ?
uKDL u d_ dD
U
q
U
Ud
? U ? U s q WUJ UL VO uU bV????b
?
r ?
r
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
118/140
lKC u We UO V r r tO YK ?
b ? r ? r ? YKL w
r r r t{ u c YKL w W dG UO b
U U
? X YK ? U
? XQ ?U U ? YKL w
XQ YK ? U
U U
?? ?
sOd_ sOe wO uL s dG W VO X YK w
qzU sUL
WOU{ sUL
w ULN uI WKB SUNUO W ULNMO Uu XU
UL VO uU l p oH nO sO U
U We rzU U ? YKL XQ U U U ? YKL w
sOU
? YKLK WU dzb dD ?? U
U
U X
UL qJAU WUF pMJL U
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
119/140
XOD tO WuNL dUMF U YKL q wMF U { W dUM W YKLK
ULO UFK{ q_ vK Ub uJ dA dUM W XLK YK q wHJ WOU d dUMWIU uH w tOK UMdF c We rzUI YKL q b U qJA YKL q bM wK
W t{ YKL s rK v_ WUsJL r s YKL U b WdFL UL VO uU oOD WU c w YKL q sJL
WU We UO b s sOe uL dD WOU W WdFL uO uU b
r? r r rK ? YKL q ?
? U
[
U
U uO uU oOD
U U uJ
U
U U UNM
[
?
(Solving triangles)WU W bUUF YKL q
Uq
?
r
r
r
bM WOzd U
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
120/140
ULNMO uBL We UFK{ rK WU WUsJL p bF YU lKC U UL uO uU oOD WU c w YKL q sJL
uO uU br? r tO c ? YKL q
uJ UL uO uU oOD U? ?
r
U
U sJ
U
U
lK{ U XLK WOU WUuO uU oOD r WU We UU WU c w YKL q sJL
? r? rK ? YKL q
?? U
U sJ
U
U
U U
r [?
? U
U pc
U
U
U U
r
U
q
?
r
Uq
?
r
r
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
121/140
ULb_ WKUIL We UFK{ rK WLNL WUWFd WU
U
U S rK S uO uU oOD WU c w YKL q sJL
U QAM UM U U UNM
YKL q qO UM U b q t w We rzU YKLU U
WdHM wU ld w d U _ ld w ULb UUO WeK uJO U wK UL UObM U c `O{u sJL
WO uDU tO rK c ? YKL UA U
[ U U ?
?
vK ? WDI sOF U UN dH We WKIMLU rd UL qJA w UL ? uJ YO sOFKC b
QAM UM tdz dD nB Uu rd ? w UdH ed
WOU U
YKL uJ WeK d lKC lDI uI UL qJA k q qO ?
U ? uLF u s dB
jI b WDI w WeK d lKC lDI uI
q bu w We rzUI ? YKL uJO U UL qJA k b
UK uJO sODI w WeK d lKC lDI uI ?
We tO uJ d U We tO uJ ULb
U UL qJA k WdHM
?
?
?
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
122/140
?
? U
U [
U
U
jI b q WQLK ?
r [ [
[
U ?
? U sJ
U
q
r r ? rK ? YKL q?
? U
U
? U
U
U ? U
[ ? UYKL c q qO
Uq
r ?
r
?
r
?
? r? r rK ? YKL q
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
123/140
r r ? rK ? YKL q
?? U
U
? U U [ ? U
? WQLK
uJ ? UbM
U U U U sJ
U U
r[
uJ ? UbM U
U
U
U
U U
r[
U
q
?
r[
r ?
r
?
r[
r ?
r
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
124/140
WOU U w ? YKL q r
? r[
r[
r[ ? r
r[ ? ?
r r
r r ?
r? r
? ? r ? tO dM t ? ? YKL q
? YKL q r ? U
YKL q ? r ? r tO { u ? sdDI lUI WDI YO
qzU sUL
WOU{ sULvK s U uL r r r VOd vK w ? YKL { u
? sOKL q ?
? r tO wU qJ ? ? sOKL q ?
t{ u U r tDO We rzU YK
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
125/140
bM c w UNbM We rzUI YKL sL{ UH UH U WIU uH w X
b u w UUOI lOL uJ dC s fO UF YKL sL{ bF w tbU u w U WDI s tL UH W q u dO q bU
q WL UH b WLI UH W b US UL qJA w UL q WL w ? d vK
? ? YKL w
U ? U U
U ?
? YKL w
U U ? ?
q UH
UH UH U WOKL UIOD
U
q
?
U
q
bu ULNMO bF sOUJ s UFK busOFKI sO bF V
YKL w
U
U
U U
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
126/140
dzU b b WUI vK XO b wI u w lI ? UI rK S UNUH W bu dU ? u XU UbM s
bd X dzUD UH b ? ? bd X dzUD UH dH
? YKL w
?
U ?
U
U
U ? uJ ? YKL w
U
?
U ?
U
bd X dzUD UH [
YKL w
U
U
U U
YKL w
U
sOFKI sO bF
U
q
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
127/140
w s w s UNL UH W XU S sODIM s Wc WL bWcL bU ? YO ? We U sO WUL XU S
WcL UH b w
d WcL UH dH ?
?
? YKL w?
U
[
U ?
? YKL w ?
U
[ U ?
b ? YKL vK UL uO uU oOD
U ? ? ? ?
[ [ [ [ [ [ [ [ [[
[ [ [
WcL UH
U
q
?
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
128/140
WL UH W U eML u WU U r Ubu eM WL UH W h U
eML UH b Ubu d d eML U w dA uM U w bu ? b WD s UMb b
sOMbL sO bF b ? ? U S dG uM
WDIM s UH b sOH sO WUL b w u w U t d VOd vK ULNOUH U XUJ d bUI UL wI_ uL w WFu ?
w rOI dH d bU s ? WDIM bF bUbM ? d WL UH W XU S w d ? b wI u w UI ?
d UH V ? ? ? U w s b
qzU sUL
WOU{ sUL ? ? r tO w d ?
? s q u V
bF vK lI d w WMOH U d d TU vK UFI WOJK u_ Y UD bF b sOU sO We UO U d_ s r bF vK ULb s r
b wI u w WMOH sODL rOI TUA Q ULK sODL sOXU w s w ? s d UH W XUJ ? sODIM s d WL b
d bU YO d UH b w ? We ? WUL
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
129/140
U U YO YU ld w WF W wU ld w WF W
U ? U U wK U b
r? XLK ? YKL q
XQ U
U
U U
U
X ? YKL w
? U U
? U
U
U
U
? U?
U
U ? U ? U U U X
dH
U
U
U
U X
WU sUL
X ? YKL w
? YKL WU U
U
U U U WUFL q
WOU{ sUL
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
130/140
UKDBL WLzU oKbL UuHBL v_ bu
WuHBMatrixWKbEntry
nRowuLColumn
WFd WuHBSquare MatrixWdH WuHBZero Matrix
b WuHBUnit MatrixWOuHB WUFMatrix EquationdHM WuHBSingular Matrix
wd{uJF dOEMultiplicative Inverse WDO n UOKLElementary row operationswKbCommutative
wFOLAssociativewD quLinear transformation
bDeterminantWOdH WOKOK WbMN UNL WU WOU bu
tVector
WOUO WOLScalarb tUnit Vector
WN WdVector Componentwb UECo-ordinate system
wUOI wKb dCInner (Scalar)productwNL wU dCOuter (Vector)product
WN WUFVector equationWODO UFParametric equationsWKUL UFSymmetric equations
qGAWorkWOdH WKOK WbMNSolid Analytic geometry
dSphereuPlane
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
131/140
UKL U WFd bu
Wd UCompound anglesuO uULaw of sincs
UL uO uULaw of cosinesWLNL WUAmbigous caseUH UAngles of elevation
UH UAngles of depression
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
132/140
WOuU UIOD
oK
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
133/140
dNE3D Graph
d UO WLzU s
UL WUA p
Graphic CalculatorWOUO WU W
WLNL Ud iF U w UNb Scientific Calculator WOLKF WU W UIU XdFWU Wx duD bF w WOUO WU W dF WOKL WOLduK WO_ Ud q
w W c dF GdE ULL WObMN UJ_ Ud nK rd UNM UL WOLKFdH w Uu rd W b ubK Xd lu b v bdM UMS UOU u_
www.luL VK Xd WJ s W???UA p??? dNE??? GraphCalc.com
UL
d?????? 3D Graph U?????O????? W???L???zU??? s????? WUA p dNE UF Equations
UL
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
134/140
w ucL WUFL u WUA vK dNE UL WUA w UL dH w u
vK uL WUF V
UL zdOGL d w 6-2*x-2*y uB.OKUH vK jG{ UL WUA w
U?? s uL W?? `O{u s beL
Auto-d QHK sL_ e jG{ WHK
All Axisd r s Rotate
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
135/140
U w UNKL c qJAU sOO sOUFL s j U
z(x , y) = sin x * y
z(x , y) = sqrt x * y
uL r r
Ub
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
136/140
dHM WuHBL XU U WdFL det YO det(A) VJM Ub V
b wMF determinant WLKJ UB ww UL bL WLO dNE EnterjGCWLOI c s UL WUA
dHM UN dF
WuHBL wdC dOEM UMatlabZUd b UOU
UdOE WuHBL b U WOHO dF bL UuHBL v_ bu w XiF q WU W s oI w UC UbU c Matlab ZUd bU b wdC
bIFL qzUL
WuHBLK wdC dOEM sJ b U
uD
Matlab ZUd w WuHBL VJ wK UL
A = 1 2 0 ; 2 5 -1 ; 4 10 -1
r sb q sO d d Ud lUNKJA WuHBL dNE EnterjGC
UL WUA w UL uQL
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
137/140
sOuHBL dC u W s oIK
EnterjGC I=inv(A)*A VJM W bR w bu WuHBL dNE
UL WUA w UL WU
dOE UNS pc dHM dO WuHBL w invYOx=inv(A)VJ U UOd{wd{ dOE uJF wMF inverseWLKJ UB
w w xWuHBL dNEEnterjGCUL WUA w UL
WO UuHBL s qJ wdC dOEM sJ b
4 5 7
2 -6 3
24 15 10
8 -4 18 12
-10 2 26 3
12 21 100 9
111 30 5 -4
Vb
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
138/140
WOdF ldL
u bL Ub `U u w bLUB w WbI
UB d WOIOD uKF UOuuMJ ZUdWuHL bI WFU
WOM_ ldL
1 Thomas Calculus Tenth edition by: Finney, Weir & Giordano2 Schaums Outline Series: Theory & problemsof Vector Analysis by: Murray R. Spiegel3 Schaums Outline Series: Theory & problemsof Plane & Solid analytic Geom-
etry
by: Joseph H. Kindle4 Precalulus Second edition Larson/Hostetler5 Pure Mathematics 2 Bostock & Chandler6 www.edhelper.com/Matrices.htm7 www.pcbs.org
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
139/140
UJ qL W w uUA*
Wu rOd UB U `U qOK b UE bLWO s bL bL XU vu WFL W
wu bL wK qO wDO tK b eUwHO wM bF dU `U qOK qU rdJ b
WIUI bd uL bL qL sO wM dub s bd sLd b rU bL nODK b UL
u sO dL rOd b tK bzdU sLd b bL bF ^d u UH b tO q
fu u s XU bL bL ULW{U b d rd d tO VO
bL dOA b e s sLd b
aU du d Wu ZUM* WM'
d 5 5U
UIM 5U uC hL( u dL
uCU UHO
uC WU UN UOz hL( u rOF uC qO UA fOzd VzU rFM* b tK b
uC du VM
uCd u U uC bUJ w uC bF u qOL
uC bU) dOM
uC .uI UOIdb
qLF c U$ w rU
WFULK WOMH WMK
-
7/23/2019 MathElmi11P1 Book
140/140