1    

Math  1040  Skittles  Project    -­‐‑  Part  I  and  Worksheet  Jason  Morton  

 Part  I.    For  your  own  single  2.17-­‐‑ounce  bag  of  Skittles,  record  the  numbers  in  the  table  below.  

Number  of    red  candies  

Number  of  orange  candies  

Number  of  yellow  candies  

Number  of  green  candies  

Number  of  purple  candies  

Total  

16   9   7   15   15   62  Using  the  data  compiled  from  the  entire  class,  record  the  following  information:  The  total  number  of  candies  in  the  sample  =  ____1252_______  

  Number  of    red  candies  

Number  of  orange  candies  

Number  of  yellow  candies  

Number  of  green  candies  

Number  of  purple  candies  

  251   238   250   249   264  Proportion   0.200   0.190   0.200   0.199   0.211  Throughout  this  entire  project,  use  decimals  rounded  to  three  places    

for  all  of  your  proportions.    Do  not  use  percents.      The  total  number  of  candies  in  your  own  single  2.17-­‐‑ounce  bag  of  Skittles  =  ___62____  

The  total  number  of  bags  in  the  sample  collected  by  the  entire  class  =  ___21_____  

The  total  number  of  candies  in  the  sample  collected  by  the  entire  class  =  ____1252_____  

For  the  entire  sample:  

𝑥  =  __59.6_____  (the  mean  number  of  candies  per  bag  rounded  to  1  decimal  place)    

Method:    Add  all  subtotals  of  candies  per  each  bag  together  and  divide  by  the  total  (21  bags)  

s  =  ___2.75____  (the  std.  deviation  of  the  number  of  candies  per  bag  rounded  to  two  decimal  

places)  

Method:  

5-­‐‑  number  summary:  (round  to  one  decimal  place  where  necessary)    

51,  58,  60,  61,  64  (min,  Q1,  Q2  (median),  Q3,  max)  

Method:    sort  candy  counts  for  each  bag  from  lowest  to  highest    and  number  sequentially)    1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21  51   57   58   58   58   58   58   59   59   59   60   60   61   61   61   61   62   62   62   63   64  

Minimum  =  (1)  51  Q1  =  (25/100)  x  21  =  5.25  (round  to  6)  =    58  Q2  (median)  =  (50/100)  x  21  =  10.5  (round  to  11)  =  60  Q2  =  (75/100)  x  21  =  15.75  (round  to  16)  =  61  Maximum  =  (21)  64  

2    

Fill  in  the  appropriate  values  on  this  page  and  keep  it  handy  as  you  do  your  calculations.  

Quick  Reference  for  Confidence  Intervals  

  For  the  interval  estimate  of  the  proportion  of  purple  candies:  

    n  =  __1252___                  x  =  __264___                    𝑝  =  __0.2108___                    α  =  __0.05___  

 

  For  the  interval  estimate  of  the  mean  number  of  candies  in  a  bag:  

    n  =  __21___                  𝑥  =  __59.6___                    α  =  __0.01___   s  =              2.75    

 

  For  the  interval  estimate  of  the  standard  deviation  of  the  number  of  candies  in  a  bag:  

n  =  __21___                  s  =  __2.75___                    α  =  __0.01___                    𝑋!!  =  ___37.566___                    𝑋!!  =  ___8.260___  

Quick  Reference  for  Hypothesis  Tests  

  For  testing  the  claim  that  20%  of  Skittles  are  green:  

    n  =  __1252___                  x  =  __249___                    𝑝  =  __0.19888___                    α  =  __0.01___      

    𝐻!:  _________p  =  0.20____________          𝐻!:  _______p  not  equal  to  0.20___________  

 

  For  testing  the  claim  that  the  mean  number  of  Skittles  in  a  2.17-­‐‑oz.  bag  is  55:  

    n  =  __21___                  𝑥  =  __59.6___                    α  =  __0.05___  

    𝐻!:  __________µ  =  56___________          𝐻!:  _________µ  not  equal  to  56___________                  

3    

Math  1040  Skittles  Term  Project  –  Part  II      

Introduction:  The  goal  of  the  project  was  to  apply  statistical  methods  learned  in  Math  1040  to  better  

understand  a  real  world  situation,  namely  the  variability  in  packaging  of  a  commercial  product,  Skittles  candy.  Skittles  can  be  purchased  in  single  2.17-­‐‑ounce  bags.    Each  member  of  the  class  (21  of  us)  purchased  one  bag.  Each  bag  contained  a  variable  number  of  red,  orange,  yellow,  green  and  purple  candies.  We  each  counted  the  number  of  each  color  of  candy  in  our  bag  and  provided  these  numbers  to  the  instructor,  who  compiled  a  spreadsheet  of  the  individual  and  combined  data.  From  these  data,  each  of  us  was  to  analyze  the  combined  data  for  the  class  (21  bags),  and  to  compare  this  to  our  own  bag  to  learn  about  the  variability  in  the  packaging  from  bag-­‐‑to-­‐‑bag,  and  how  this  evens  out  when  a  large  number  of  bags  of  Skittles  are  considered  together.      My  initial  hypothesis  was  that  there  would  be  very  little  variability  between  bags,  but  that  proved  not  to  be  the  case.  There  appeared  to  be  quite  a  lot  of  variability  both  in  the  number  of  candies  per  bag,  as  well  as  the  number  of  each  color  of  candy.  However,  when  all  21  bags  were  considered  together,  these  differences  seemed  less  impressive.  

Categorical  Data:  Colors  The  proportion  of  each  color  represented  in  the  overall  sample  gathered  by  the  class  (21  

bags)  was  first  determined.  This  was  calculated  by  dividing  the  total  number  of  candies  of  each  color  by  the  total  number  of  candies  for  the  entire  class  (1252).  As  shown  in  the  following  Pie  and  Pareto  Charts,  these  proportions  ranged  from  0.190  (19%  of  total)  for  orange,  to  0.211  (21.1%  of  total)  for  purple.  Visually,  the  differences  between  bars  and  the  size  of  pie  sections  in  these  charts  seem  small,  suggesting  that  the  number  of  colors  of  candies  was  similar.    

4    

    The  similarity  between  the  proportions  of  each  color  of  candy  in  the  overall  data  (from  21  bags)  was  surprising  to  me  considering  that  the  number  and  proportions  of  each  color  of  candy  in  my  own  bag  were  quite  different  from  each  other  and  from  the  class  mean,  as  shown  by  the  following  table  and  chart.  However,  with  more  careful  inspection,  the  number  of  candies  of  each  color,  as  well  as  the  total  number  of  candies  in  my  bag  was  within  the  standard  deviation  of  the  class  means,  with  the  exception  of  the  red  and  yellow  candies,  which  were  slightly  above  and  below,  respectively,  the  standard  deviation  of  the  mean  values  of  the  class  values.  Whether  these  exceptions  were  statistically  significant  is  not  clear.  

 

Color  of  candy   Numbers  of  candies   Proportion  of  total  

  Class  mean  (s)   My  bag   Class  mean   My  bag  

Red   11.952  (3.008)   16   0.200   0.258  

Orange   11.333  (3.039)   9   0.190   0.145  

Yellow   11.905  (3.520)   7   0.200   0.113  

Green   11.857  (3.395)   15   0.199   0.242  

Purple   12.571  (2.993)   15   0.211   0.242  

Total   59.619  (2.747)   62      

 

   

5    

 Categorical  Data  (Numbers  of  candies):      An  assessment  of  the  numbers  of  candies  in  each  bag  was  made.  Although  each  bag  

(supposedly)  weighed  exactly  the  same  amount  (2.17  ounces),  there  were  some  differences  in  the  number  of  candies  in  each  bag,  although  these  differences  were  small.  A  total  of  1252  candies  represented  the  entire  sample  from  the  class  (from  21  bags),  for  a  mean  of  59.6  candies  per  bag.  However,  the  standard  deviation  for  the  number  of  candies  per  bag  in  the  overall  sample  was  quite  small  (2.75).  The  number  of  candies  in  my  own  bag  was  62,  which  was  within  a  standard  deviation  of  the  mean  for  the  overall  sample.  The  frequency  distribution  of  the  number  of  Skittles  per  bag  roughly  assumed  a  normal  distribution  from  56-­‐‑64  candies  per  bag,  as  shown  in  the  table  below  and  the  chart  (top  of  next  page),  with  a  single  outlier.    

 Frequency  distribution  

#  of  Skittles  per  bag   Frequency  50-­‐‑52   1  53-­‐‑55   0  56-­‐‑58   6  59-­‐‑61   9  62-­‐‑64   5  

6    

 

 

 

 

 

As  shown  in  the  Box  Plot  below,  this  outlier  represented  the  minimum,  at  51  candies  in  a  bag.  The  5-­‐‑number  summary  for  the  data  was  51,  58,  60,  61  and  64.  The  first  (Q1),  second  (Q2)  and  third  (Q3)  quartiles  for  the  distribution  of  the  number  of  Skittles  per  bag  were  tightly  clustered  from  58-­‐‑61.  This  shows  that  the  differences  for  numbers  of  candies  per  bag  were  fairly  small.  

Summary:    The  differences  between  numbers  of  candies  per  bag,  and  numbers  of  different  colors  in  the  overall  sample  from  the  class  seemed  quite  small.    At  first  glance,  the  number  of  

7    

colors  of  candies  in  my  bag  of  Skittles  seemed  quite  different  from  that  of  the  class  as  a  whole.  However,  the  number  of  candies  per  bag  of  each  color  fell  within  a  standard  deviation  of  the  mean  values  of  each  color  per  bag  for  the  overall  sample  (with  the  exception  of  red  and  yellow,  which  were  slightly  outside  the  standard  distribution).  There  were  some  differences  in  the  number  of  candies  per  bag,  although  the  standard  deviation  for  the  overall  sample  was  fairly  small  as  well.  Because  each  bag  contains  2.17  ounces,  it  is  possible  that  differences  in  numbers  of  candies  per  bag  could  be  due  to  a  slight  difference  in  the  weight/size  of  the  candies,  if  the  bags  are  packaged  by  weight.  Alternatively,  2.17  ounces  could  be  an  average  weight,  and  the  actual  weight  of  each  bag  could  be  slightly  different.  

Reflection  Quantitative  (numerical)  data  consist  of  numbers  representing  counts  or  measurement.  

The  numbers  of  Skittles  in  one  bag  would  be  an  example.  An  individual’s  weight  and  age  would  also  be  quantitative  data.  Using  appropriate  units  of  measurement  such  as  dollars,  hours,  feet  and  meters  is  very  important.  Quantitative  data  can  be  either  discrete  or  continuously.  Categorical  (qualitative)  data  consists  of  names  or  labels  that  are  not  numbers  representing  counts  of  measurements.  Colors  of  Skittles  would  be  categorical  data.  Other  examples  of  categorical  data  include  gender,  political  party  affiliation,  social  security  numbers,  and  sports  jersey  numbers.    

Graphs  are  commonly  used  in  statistical  analysis  because  they  aid  in  the  understanding  and  interpretation  of  data.  Quantitative  data  is  used  to  create  scatter-­‐‑plots,  time-­‐‑series  plots,  dot-­‐‑plots  and  stem-­‐‑plots.  Categorical  data  is  used  in  bar-­‐‑graphs,  Pareto-­‐‑charts  and  pie  charts.  We  use  a  Pareto  chart  and  a  pie  chart  in  this  project  to  help  us  describe  and  make  sense  of  colors  and  skittles  (categorical  data).    

A  histogram  (graph  of  a  frequency  distribution)  consists  of  a  graph  that  is  easier  to  interpret  than  a  table  of  numbers.  The  horizontal  scale  (x-­‐‑axis)  represents  classes  of  quantitative  data  values  and  the  vertical  scale  (y-­‐‑axis)  represents  frequencies.  We  make  use  of  a  histogram  in  our  project  to  show  a  range  of  how  many  Skittles  candies  are  contained  in  a  sample  of  bags  of  Skittles  and  how  many  times  (the  frequency)  that  was  observed  from  our  data.  The  use  of  a  histogram  helps  us  to  understand  CVDOT:  the  center  of  the  data,  the  variation,  and  the  distribution  and  whether  there  are  any  outliers.  

Categorical  data  places  individual  data  entries  into  groups  and  are  typically  summarized  by  reporting  either  the  number  of  individuals  or  percentages  of  individuals  falling  into  each  category.  Quantitative  data  can  be  analyzed  by  describing  where  the  center  of  the  data  set  is  in  various  ways,  with  the  mean  and  median  being  examples.    

   

8    

Math  1040  Skittles  Term  Project  –  Part  III      

   

Confidence  Interval  Estimates  

A  confidence  interval  is  used  in  inferential  statistics  to  measure  the  probability  that  a  population  parameter  will  fall  between  two  set  values.    95%  and  99%  confidence  intervals  are  the  two  most  commonly  used.  A  95%  confidence  interval,  for  example,  means  that  if  we  used  the  same  sampling  method  to  collect  samples  of  the  same  size  as  the  one  that  we  have  analyzed  and  computed  an  interval  estimate  for  each  sample,  we  would  expect  the  true  population  parameter  to  fall  within  the  interval  estimates  95%  of  the  time.      

   

9    

 

Discussion  and  interpretation  of  the  confidence  interval  assessments:    

 Confident  interval  assessments  were  performed  to  determine  the  true  proportion  of  Skittles  that  are  purple.  Based  on  these  calculations,  we  are  95%  confident  that  the  interval  from  0.188  to  0.233  actually  contains  the  true  value  of  the  population  proportion  (p).  This  means  that  if  we  were  to  randomly  select  different  samples  of  the  same  size  (1252  candies)  and  construct  corresponding  confidence  intervals,  95%  of  them  would  actually  contain  the  true  value  of  the  population  proportion  p.    

Confident  interval  assessments  were  performed  to  determine  the  true  mean  number  of  Skittles  per  bag.  Based  on  these  calculations,  we  are  99%  confident  that  the  interval  from  57.9  to  61.3  actually  does  contain  the  true  value  of  the  mean  number  of  candies  per  bag  in  the  population  (µ).  This  means  that  if  we  were  to  randomly  select  different  samples  of  the  same  size  (21  bags  of  Skittles)  and  construct  confidence  intervals,  99%  of  them  would  actually  contain  the  true  value  of  the  population  mean  µ.  

Confident  interval  assessments  were  performed  to  determine  the  true  standard  deviation  for  the  number  of  Skittles  per  bag.  Based  on  the  results  of  our  confident  interval  assessments,  we  have  98%  confidence  that  the  limit  from  2.01  to  4.28  actually  contains  the  true  value  for  the  standard  deviation  of  the  number  of  candies  per  bag  in  the  population  (σ).  This  means  that  if  

10    

we  were  to  randomly  select  different  samples  of  the  same  size  (21  bags  of  Skittles)  and  construct  confidence  intervals,  98%  of  them  would  actually  contain  the  true  value  of  the  population  standard  deviation  σ.  

Hypothesis  Tests  

Hypothesis  testing  refers  to  the  formal  procedures  used  in  statistical  analysis  to  accept  or  reject  statistical  hypotheses.  A  statistical  hypothesis  is  an  assumption  about  a  population  parameter.  This  assumption  may  or  may  not  be  true.  The  usual  process  of  hypothesis  testing  consists  of  several  steps.  A  basic  outline  is  as  follows:  

• Formulate  the  null  hypothesis  (HO)  and  the  alternate  hypothesis  (H1).  • Identify  a  test  statistic  that  can  be  used  to  assess  the  truth  of  the  null  hypothesis.  • Draw  a  graph  to  include  the  test  statistic,  critical  values,  and  critical  region  (if  using  

the  critical  value  method).  • Reject  the  null  hypothesis  (HO)  if  the  test  statistic  is  in  the  critical  region.  Fail  to  reject  

the  null  hypothesis  if  the  test  statistic  is  not  in  the  critical  region.  • Restate  this  previous  decision  in  simple,  non-­‐‑technical  terms,  and  address  the  

original  claim.    

 

11    

 

Discussion  and  interpretation  of  hypothesis  testing:  

We  chose  the  critical  value  method  to  conduct  hypothesis  testing.  We  constructed  a  graph  based  on  a  fairly  stringent  significance  value  (.01)  to  test  the  null  hypothesis  that  20%  of  all  Skittles  candies  are  green.  Since  our  test  statistic  of  -­‐‑0.106  is  in  the  rejected  region  (below  the  critical  region  between  -­‐‑2.33  and  2.33),  there  is  sufficient  reason  to  warrant  rejection  of  the  claim  (null  hypothesis)  that  20%  of  all  Skittles  candies  are  green.  We  used  a  somewhat  more  lenient  significance  level  (.05)  to  test  the  null  hypothesis  that  the  mean  number  of  all  Skittles  candies  is  56.    Based  on  the  graph,  the  limits  of  our  accepted  region  (critical  region)  were  between  -­‐‑2.086  and  2.086.  Our  test  statistic  is  5.999  is  in  the  rejected  region.  Therefore,  there  is  also  sufficient  evidence  to  warrant  rejection  of  the  claim  (null  hypothesis)  that  the  mean  number  of  candies  in  a  bag  of  Skittles  is  56.    

Reflection  

A. Interval  estimates  and  hypothesis  tests  for  population  proportions  require  that  the  same  conditions  be  met:  • The  sample  must  consist  of  simple  random  observations.  This  condition  is  met  by  

our  sample.  

12    

• The  conditions  for  a  binomial  distribution  must  be  satisfied.    Our  sample  is  binomial  since  the  number  of  observations  is  fixed,  the  observations  are  independent,  outcomes  can  be  classified  into  two  opposite  categories  (for  example  purple  and  non-­‐‑purple),  and  the  probability  of  outcome  is  essentially  the  same  in  all  observations.  

• That  condition  that  np  >  5  and  nq  >  5  must  both  be  satisfied.    The  term  n  is  the  number  of  trials,  or  in  our  case,  candies  (n  =  1252)  and  the  term  p  is  the  assumed  population  proportion  (of  being  purple),  which  is  0.21.  1252  x  0.21  =  250,  which  is  >  5.    The  value  q  would  be  much  greater  (the  assumed  population  proportion  of  being  non-­‐‑purple).  Then  nq  =  1250  x  .79  =  987.5,  which  is  also  >  5.  So  this  condition  for  doing  interval  estimates  for  population  proportions  is  also  met.    

 B. Interval  estimates  and  hypothesis  tests  for  population  means  require  that  the  same  

conditions  be  met:  • The  sample  must  consist  of  simple  random  observations.  This  condition  is  met  by  

our  sample.  • Either  or  both  of  the  following  must  be  satisfied:  (1)  The  population  must  be  

normally  distributed  (based  on  the  histogram  shown  in  Part  II,  for  numbers  of  candies  per  bag,  the  mean  number  of  candies  per  bag  is  bell-­‐‑shaped,  and  thus  normally  distributed,  but  with  one  outlier);  (2)  The  number  of  observations  (n,  sample  size)  must  be    >  30.  This  condition  was  not  met,  since  n  in  this  case  is  the  number  of  bags  of  candies,  which  were  21.  However,  since  the  first  condition  was  present  (normally  distributed),  the  overall  condition  was  met.        

C. The  conditions  for  doing  interval  estimates  for  population  standard  deviations  are  as  follows:  • That  the  sample  observations  are  a  simple  random  sample  (which  is  met  by  our  

sample).  • The  population  must  be  normally  distributed  (based  on  the  histogram  shown  in  Part  

II,  for  numbers  of  candies  per  bag,  the  mean  number  of  candies  per  bag  is  normally  distributed,  but  with  one  outlier).  This  requirement  for  a  normal  distribution  is  stricter  here,  since  nonconforming  data  may  result  in  large  errors.  However,  the  outlier  is  just  one  out  of  21  bags  of  candy,  so  the  condition  of  a  normal  distribution  was  likely  met.  

There  are  several  drawbacks  of  this  study.  First  of  all,  the  conditions  that  required  for  doing  valid  interval  assessments  and  hypothesis  testing  for  population  means  were  met,  but  only  technically.  Among  the  conditions  that  must  be  met  is  that  the  number  of  observations  (n,  

13    

sample  size)  must  be  >  30.  This  condition  was  not  met,  since  n  in  this  case  is  the  numbers  of  bags  of  candies,  which  were  21.  However,  interval  assessments  and  hypothesis  testing  for  population  means  can  still  be  done  assuming  that  the  sample  is  random  (which  it  is)  and  that  the  sample  assumes  a  normal  distribution.  The  shape  of  the  histogram  was  bell-­‐‑shaped,  with  one  outlier,  so  the  distribution  would  technically  be  considered  normal.  Although  our  data  met  the  conditions  for  interval  assessment  and  hypothesis  testing  for  population  means,  this  data  would  have  been  further  strengthened  by  the  inclusion  of  at  least  9  more  bags  of  Skittles.  While  a  single  outlier  among  21  samples  (bags  of  candies)  does  not  preclude  the  data  from  being  considered  normal  in  distribution,  it  could  slightly  affect  the  population  mean  and  standard  deviation  estimates.  To  determine  this,  the  outlier  could  be  eliminated  from  the  sample  and  the  confidence  intervals  recalculated  to  determine  the  degree  to  which  this  outlier  affects  the  results.  An  additional  limitation  of  the  study  is  a  fairly  stringent  significance  level  (.01)  that  was  used  to  test  the  claim  (null  hypothesis)  that  20%  of  all  Skittles  candies  are  green.  If  a  more  lenient  significance  level  were  used,  it  is  possible  that  the  null  hypothesis  would  be  accepted,  but  this  would  need  to  be  determined.    

   

14    

Math  1040  Skittles  Term  Project  –  Part  IV  

Reflections  

I  entered  this  class  at  somewhat  of  a  disadvantage,  having  been  out  of  school  for  a  long  time,  and  never  having  felt  that  I  had  strong  math  skills.    The  applied  mathematics  required  for  this  class  have  been  challenging  for  me,  but  with  repeat  practice,  I  feel  that  my  overall  math  skills  have  improved  immensely.  I  have  been  greatly  encouraged  by  my  ability  to  master  mathematics,  both  basic  and  more  advanced.  The  acquisition  of  these  mathematical  skills  has  also  lead  to  an  improvement  in  my  overall  ability  to  think  in  an  analytical  manner.    

There  is  no  question  that  the  skills  I  gained  in  this  statistics  class  will  help  me  in  my  future  studies.  I  am  back  in  college  after  many  years  in  the  workforce  as  a  radiologist  assistant  to  obtain  prerequisites  necessary  to  apply  to  physician  assistant  school.  These  prerequisites  required  a  fair  amount  of  math  (such  as  in  chemistry).  These  courses  are  essentially  completed  now  and  I  wish  that  I  had  had  this  statistics  class  before  taking  my  chemistry  class.  Nonetheless,  PA  school  usually  awards  a  master’s  level  degree.  This  generally  requires  that  a  master’s  research  thesis  be  completed.  The  statistical  skills  acquired  in  this  class  will  allow  me  to  design  a  valid  methodology  for  data  gathering  for  this  thesis.  This  class  will  help  me  analyze  the  data  and  form  defensible  conclusions.  The  specific  coursework  required  for  PA  school  also  involves  many  disciplines,  for  example,  pharmacology  and  epidemiology.  In  all  of  these,  the  synthesis  of  statistical  data  is  a  component.  I  feel  that  I  will  be  better  prepared  for  these  classes  having  taken  this  statistics  course.  

As  a  physician  assistant,  I  will  be  required  to  interpret  patient  data,  and  make  decisions  regarding  the  management  of  patients.  I  will  be  required  to  present  clear  and  accurate  information  to  the  supervising  physician.  This  will  involve  the  consideration  of  a  wide  variety  of  information  from  many  sources.  Whether  a  patient  conforms  to  published  groups  of  diagnostic  categories,  whether  they  fit  the  criteria  for  appropriateness  for  specific  therapies,  and  whether  they  are  responding  to  treatment  is  all  related,  in  some  manner,  to  statistics.    The  basic  skills  acquired  in  this  class  will  help  me  to  critically  evaluate  the  literature  or  medical  “claims”  of  drug  companies.  This  statistics  course  will  also  help  me  to  understand  whether  my  own  patient’s  signs  and  symptoms  fit  a  specific  diagnosis,  or  whether  they  are  actually  improving  or  getting  worse  over  time  with  treatment  or  conservative  management.  In  short,  the  skills  acquired  will  not  only  help  me  in  course  work,  but  will  make  me  a  better  physician  assistant.  

Specific  parts  of  the  project  for  this  class  have  been  very  revealing  for  me.  The  importance  of  a  random  sample  of  sufficient  size  to  allow  for  valid  estimates  to  be  made  is  a  concept  that  has  been  new  to  me.  The  realization  of  the  importance  of  this  as  a  factor  in  statistical  inference  is  

15    

quite  striking.  Whether  data  conforms  to  a  normal  distribution  is  a  concept  to  which  I  had  no  previous  exposure.  We  are  all  bombarded,  on  a  daily  basis,  through  conversation  and  the  media,  to  many  “claims”.  Just  yesterday,  for  example,  I  was  exposed  to  media  making  claims  regarding  public  opinion  surveys,  breakthroughs  in  science  and  medicine,  comparisons  of  the  effectiveness  of  educational  programs,  and  the  existence  of  life  on  other  planets!  What  I  used  to  take  at  face  value,  I  now  regard  with  a  much  more  critical  perspective.  In  other  words,  because  of  this  class,  I  am  much  more  reluctant  to  simply  believe  what  I  read,  and  instead  require  a  higher  level  of  data  analysis  for  me  to  accept  a  claim.  When  I  am  confronted  with  information  that  is  unfounded  or  poorly  supported  from  a  statistical  perspective,  it  is  now  more  second  nature  to  me  to  think  about  what  would  be  required  to  convince  me  of  something.  In  sort,  this  class  has  helped  me  to  be  a  more  responsible  consumer  and  citizen.