Marina Vasile Savcenco Eugen

Marina Viorica

REZISTENŢA MATERIALELOR

Material didactic

pentru îndeplinirea lucrărilor de calcul

Chişinău 2007 1

Lucrarea includ probleme prevăzute de programele cursului de rezistenta materialelor: construirea diagramelor eforturilor, determi-narea caracteristicilor geometrice ale secţiunilor plane, calculele de rezistenţa şi de rigiditate la întindere – compresiune, torsiune, încovoiere precum şi la solicitări compuse ale barelor static determinate şi nedeterminate. În lucrarea de faţă calculul deplasărilor se efectuează după regula lui Marina.

Materialul este structurat în trei părţi. În prima partea sunt date definiţii şi relaţiile de calcul din cursul de rezistenţa materialelor, în partea a doua probleme propuse spre rezolvare, în partea a treia sunt date probleme reprezentative complet rezolvate. Prezenta lucrare se adresează studenţilor din instituţiile de învăţământ tehnic superior.

Universitatea Tehnică a Moldovei, 2007

2

1. Definiţii şi relaţii de calcul

1.1. Sistem de referinţă

Aprecierea stării de mişcare sau a stării de repaus a unui sistem de particule materiale, implică în mod necesar existenţa unui reper, adică a unui sistem spaţio - temporal, care să servească drept sistem de referinţă, la care să fie raportate poziţia sistemului de particule examinat în funcţie de timp. Reperul de referinţă este un ansamblu, în cadrul căruia poziţiile spaţiale şi momentele de timp pot fi deosebite, iar distanţele spaţiale şi intervalele temporale pot fi măsurate. Astfel, cadrul în care se desfăşoară procesele mecanice formează universul evenimentelor. În mecanica clasică, în aproximaţia propusă de I. Newton, se presupune că universul evenimentelor este spaţiul-timp. Fiecare eveniment se caracterizează printr-un loc şi un moment de timp. Menţionăm că modelul spaţiului euclidian cu trei dimensiuni ( 3E ) omogen, izotrop şi infinit, s-a dovedit extrem de satisfăcător în

conformitate cu experienţa la nivelul de precizie al mecanicii. În sistemul neordonat de notaţii un reper drept este format din trei axe triortogonale Ox, Oy, Oz. (fig.1.1.1, a). În sistemul de notaţii ordonate cele trei axe triortogonale se notează prin 3 2, 1,i ,Oxi (fig.1.1.1, b).

Fig. 1.1.1

Menţionăm că prin reper drept înţelegem acel reper în care un observator, situat după axa Oxi, în sensul pozitiv al acesteia, vede suprapunerea axei Oxj, peste Oxk, după o rotaţie în sens pozitiv (de la

dreapta la stânga) egală cu 2 ; admitem că (i, j, k)=(1, 2, 3),

3

înţelegând prin aceasta, că indicii i, j, k iau valorile distincte 1, 2, 3 în ordinea dată sau după o permutare ciclică a lor. Din cele ce urmează o să ne convingem că trecerea de la notaţiile tradiţionale ale sistemului de coordonate x, y, z la x1, x2, x3 echivalează cu un salt important în eficienţa analizei fenomenelor naturii. Unul şi acelaşi eveniment poate fi studiat în diferite sisteme de coordonate. În cele ce urmează vom defini mărimile care determină orientarea unui sistem de coordonate faţă de altul. Poziţia sistemu-lui ( 321 x,x,x ) faţă de sistemul ( 1x , 2x , 3x ) (fig. 1.1.2) se precizează

prin intermediul a nouă cosinusuri directoare ija , definiţi prin relaţia

jiij x,xcosa , (i, j=1, 2, 3). (1.1.1 )

Sub forma dezvoltată se obţine tabelul 1.1.1.

Fig. 1.1.2 La scrierea expresiei (1.1.1) se menţionează că indicii i şi j obţin valorile 1,2,3. Astfel, se obţin 9 componente

),x,xcos(a ),...,x,xcos(a ),x,xcos(a 333321121111

care sunt prezentate în tabelul. Avantajele sistemului ordonat de coordonate 1x , 2x , 3x faţă de

sistemul x , y , z se evidenţiază prin scrierea compactă şi elegantă a definiţiei (1.1.1) pentru cele 9 cosinusuri directoare. Observăm că cosinusurile directoare nu pot fi definite prin intermediul unei singure relaţii, dacă în analiză se utilizează sistemul tradiţional de notaţii x, y. z. Un alt avantaj al sistemului ordonat de notaţii îl constituie posibilitatea extinderii rezultatelor obţinute în spaţiul cu două dimensiuni la spaţiul cu N - dimensiuni.

4

Tabelul 1.1.1 x1 x2 x3

1x a11 a12 a13

2x a21 a22 a23

3x a31 a32 a33

1.2. Regula de transformare a coordonatelor la rotirea sistemului de referinţă. Scrieri indiciale

Să notăm coordonatele unui punct A în sistemul ix , i=1, 2 prin

( 1x , 2x ), iar în sistemul de coordonate kx , k=1, 2 prin ( 21 x,x ), (fig.1.2.1).

Fig. 1.2.1

Pornind de la figura 1.2.1, pot fi scrise relaţiile

cosrx1 ; sinrx2 ;

sin)sin(rcoscosrcosrx1 ;

sincosrcossinrsinrx2 ,

din care rezultă

sinxcosxx 211 ; (1.2.1)

sinxcosxx 122 . (1.2.2)

Ţinând seama de valorile componentelor ija date în tabelului

1.2.1, relaţiile (1.2.1) şi (1.2.2) pot fi scrise sub o formă condensată

2

1jjj12121111 xaxaxax ; (1.2.3)

2

1jjj22221212 xaxaxax . (1.2.4)

Cele 2 relaţii (1.2.3), (1.2.4) pot fi scrise sub forma unei singure expresii

5

Tabelul 1.2.1

x1 x2

1x a11 =cos a12=sin

2x a12= - sin a22 =cos

2,1i , xax2

1jjiji

. (1.2.5)

Expresia (1.2.5) poate fi generalizată pentru cazul spaţiului cu n dimensiuni

n,...,2,1i , xaxn

1jjiji

. (1.2.6)

În spaţiu cu trei dimensiuni expresia (1.2.6) se va scrie în felul următor

3

1jjj13132121111 xaxaxaxax ;

3

1jjj23232221212 xaxaxaxax ;

3

1jjj33332321313 xaxaxaxax .

Se poate de formulat şi problema inversă: de exprimat coordonatele n321 x,...,x,x,x prin coordonatele n321 x,...,x,x,x . În

acest scop vom utiliza din nou spaţiu cu două dimensiuni fig. 1.2.2

Fig. 1.2.2

sinsinrcoscosrcosrx1 ;

221111211 xaxasinxcosxx ;

6

)sin(rx

)cos(rx

2

1

sincosrcossinrsinrx2 ;

222112122 xaxasinxcosxx .

Expresiile pentru 1x şi 2x pot fi scrise sub formă

2

1jj1jj1j1 xaxax ;

2

1jj2jj2j2 xaxax .

Aceste relaţii pot fi generalizate pentru cazul unui spaţiu cu n dimensiuni.

n,...,2,1i , xaxn

1jjjii

(1.2.7)

Scrierea diferitor relaţii cu ajutorul componentelor se numeşte scriere sau notaţie indicială. Pentru scrierea raţională a expresiilor matematice vom introduce noţiunile de indice liber, dacă se întâlneşte în monomul considerat o singură dată, şi indice mut atunci când un indice literal se repetă de două ori într-un monom (este numit indice mut deoarece poate fi schimbat după voie). În calculul tensorial se aplică: dacă într-o expresie oarecare un anumit indice apare de două ori, atunci această expresie este sumată în raport cu acel indice mut pentru toate valorile admisibile ale indicelui. Astfel, în calculul tensorial dispare necesitatea utilizării simbolului de sumare în expresiile matematice. În spaţiul cu trei dimensiuni, relaţiile (1.2.6), (1.2.7) se scriu sub forma

xax jiji ; (1.2.8)

xax jjii . (1.2.9)

Dacă fenomenul se studiază într-un spaţiu care diferă de acela cu 3 dimensiuni, în relaţiile (1.2.8), (1.2.9) se indică valorile pe care le obţin indicii i, j 2,1j,i - în spaţiu cu 2 dimensiuni; 4,...,2,1j,i - în spaţiu cu 4 dimensiuni;

7

n,...,2,1j,i - în spaţiu cu n dimensiuni.

Astfel, un sistem liniar de ecuaţii

1nn1212111 cxa...xaxa ;

2nn2222121 cxa...xaxa ; ... ... ... ... ... ... ... ... ...

nnnn22n11n cxa...xaxa

sub forma compactă se va scrie astfel (n3)

ijij cxa , (i, j=1, 2,..., n). (1.2.10)

Alte exemple de scrieri compacte pentru diferite expresii matematice vor fi prezentate în paragrafele care urmează.

1.3. Forţe exterioare şi legături

Contactul dintre corpuri se realizează pe porţiuni din suprafeţele lor exterioare, cu o extindere mai mare sau mai mică. Forţele care apar pe aceste suprafeţe sunt forţe distribuite sau momente distribuite. Forţa distribuită se caracterizează numeric prin intensitatea lor pe unitatea de linie (se notează prin ”q”, unitatea de măsoară N/m) iar momentul distribuit – prin intensitatea lor pe unitatea de linie (se notează prin ”m”, unitatea de măsoară Nm/m). Când zona pe care se realizează contactul este limitată, la o depărtare suficient de mare de aceasta efectul încărcării reale distribuite este acelaşi cu efectul unei forţe concentrate (se notează prin ”F”). Cuplul se notează prin ”M” (fig. 1.3.1).

Fig. 1.3.1

8

Forţele cauzate de acceleraţii, cum sunt forţele gravitaţionale şi cele de inerţie, sunt aplicate fiecărui punct al corpului; ele au o distribuţie de volum şi se numesc forţe masice. În calculul elemente-lor sub formă de bară ele se modelează tot prin sarcini distribuite în lungul barei. Forţele concentrate se măsoară în N, daN, kN..., cele distribuite liniar se măsoară în daN/m, kN/m,...,iar cele distribuite pe suprafaţă măsurându-se în N/m2, daN/m2, kN/m2,.... Sisteme de forţe care acţionează asupra elementului de rezistenţă se consideră în echilibru. Dacă corpul se află în repaus relativ în raport cu un sistem de referinţă fix avem de-a face cu echilibrul static; dacă este acţionat şi de forţe de inerţie, atunci corpul este în echilibru dinamic. Pentru ca sub acţiunea altor corpuri să nu efectueze deplasări libere, de corp rigid, este necesar ca elementele de rezictenţă să fie legate printr-un număr suficient de legături (câte grade de libertate are corpul) de corpuri fixe. Legăturile se realizează prin reazeme. Un reazem poate fi caracterizat geometric prin tipul de deplasare pe care-l suprimă ( împiedică ) iar mecanic, prin forţele care apar în legături numite reacţiuni. Forţele exterioare care acţionează asupra unui corp sunt alcătuite din forţele active, care tind să-i imprime o mişcare ( se numesc sarcini sau încărcări) şi forţele care se opun tendinţei de deplasare a corpului, numite reacţiuni. În bilanţul echilibrului intervin ambele categorii de forţe exterioare. Ţinând seama de variaţie în timp a intensităţii lor, forţele exterioare pot fi clasificate în forţe statice şi dinamice.

Forţe statice sunt forţe care încarcă treptat construcţia începând cu intensitatea lor nulă şi terminând cu intensitatea lor finală, cu care rămân mereu asupra construcţiei. Datorită vitezei mici de aplicare a sarcinii asupra construcţiei, acceleraţiile punctelor materiale a elementelor construcţiei sunt foarte mici şi pot fi neglijate. Forţele sau sarcinile dinamice sunt forţe sau sarcini aplicate elementelor de construcţii cu o viteza apreciabilă care provoacă acceleraţii sensibile punctelor materiale ale acestora. Astfel de sarcini

9

sunt acelea care sunt aplicate brusc, sarcinile care produc şocuri şi sarcinile variabile periodic în timp.

1.4. Reazeme şi reacţiuni. Determinarea reacţiunilir.

a) Reazemul articulat mobil sau reazem simplu. Acest reazem permite deplasarea liberă paralel cu planul de rezemare şi rotirea în jurul articulaţiei de reazem fiind împiedicată deplasarea după normala la planul de rezemare. Schematic, reazemul simplu se poate reprezenta ca în fig. 1.4.1, a, b, c.

În acest reazem reacţiunea R are punctul de aplicaţie cunoscut (punctul de reazem) şi direcţia cunoscută (normala la planul de rezemare).

a b c

Fig. 1.4.1

b) Reazemul articulat fix. Acest reazem permite rotirea liberă a barei într-un plan, în raport cu axa articulaţiei cilindrice, fiind împiedicată deplasarea barei pe orice direcţie în plan. Schematic reazemul articulat fix se poate reprezenta ca în fig. 1.4.2. Într-un asemenea reazem apare o reacţiune cu punctul de aplicaţie cunoscut (punctul de reazem), direcţia şi mărimea ei sau componentele ei Rx şi Ry după axa barei şi normala la axă fiind necunoscute.

Fig. 1.4.2

10

c) Încastrarea. Acest reazem nu permite nici o deplasare şi nici o rotire a capătului barei faţă de elementul de reazem. Schematic reazemul încastrat se poate reprezenta ca în fig. 1.4.3, a. În reazem pot apărea trei componente – reacţiunile verticală RA şi orizontală HA şi

8 momentul de reazem MA (fig. 1.4.3, b).

a b

Fig. 1.4.3

Barele la care reacţiunile de reazem se pot determina numai din ecuaţiile de echilibru se numesc bare static determinate, iar cele care au legături în plus (mai mult ca trei în cazul unui sistem de forţe plan), bare static nedeterminate. În acest fel ca bare static determinate vom avea:

bara încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, fig. 1.4.4, a, bara simplu rezemată (bara cu un reazem articulat fix şi

celălalt reazem articulat mobil sau reazem simplu) fig. 1.4.4, b, bara simplu rezemată cu console (fig. 1.4.4, c)

a)

b) c)

Fig. 1.4.4

11

Ecuaţiile care vor servi la determinarea reacţiunulor pot fi scrise sub forma 0M 0;M ;0X BA3 .

Să considerăm o bară simplu rezemată cu console cu un sistem de încărcări arbitrar, pentru care să determinăm reacţiunile (fig. 1.4.5).

Fig. 1.4.5

Suprimăm legăturile din reazeme şi introducem reacţiunile: în reazemul A o forţe verticală, RA şi una orizontală HA iar în reazemul B o forţe RB verticală (normală la suprafaţa de glisare a reazemului). Sensurile reacţiunilor le alegem arbitrar.

Să scriem ecuaţiile de echilibru. Suma proiecţiilor tuturor forţelor pe axa X3:

0FHX 3A3

Suma momentelor tuturor forţelor în raport cu punctul A să fie nul:

2

1

b

b3312BA 0MdxxqaFRM

Analog se scrie ecuaţia suma momentelor tuturor forţelor în

raport cu punctul B ( 0MB ). Din rezolvarea sistemului vom determina componentele

reacţiunilor RA, HA şi RB. 12

Suma proiecţiilor tuturor forţelor pe axa X2 se foloseşte pentru verificare

2

1

b

b32BA2 0dxqFRRX

1.5. Principiul tensiunilor Caushy. Forţe interioare: tensiuni şi eforturi

În interiorul corpului încă înainte de solicitare lui vor exista forţe interatomice care asigură existenţa corpului ca atare. În urma încărcării corpului cu sarcinile exterioare, acesta nefiind rigid se va deforma, variind prin aceasta distanţele dintre atomi şi variind în consecvenţă forţele de atracţie şi de respingere dintre aceştia. Cauchy a presupus că interacţiunea dintre două părţi ale aceluiaşi corp poate fi înlocuită cu forţe repartizate pe suprafaţă (fig. 1.5.1). Fie F1 şi F2 sunt sisteme de forţe exterioare. Dacă printr-o

tăietură vom înlătura partea din stânga nu se schimbă nimic dacă aplicăm forţe de suprafaţă în secţiunea transversală.

Fig. 1.5.1

Le vom nota prin t n şi le vom numi vectorii tensiunilor.

În cadrul concepţiei lui Cauchy vectorul tensiunii depinde numai de coordonatele punctului dat şi de orientaţia suprafeţei în care

funcţionează t n (fig. 1.5.1, a).

13

În jurul unui punct interior ”P” în dependenţă de orientaţia suprafeţei pe care acţionează vectorul tensiune vom întâlni valori diferite ale tensiunilor. Se poate de spus că în jurul unui punct avem un număr infinit de vectori ai tensiunilor. Totalitatea tuturor vectorilor tensiunilor în jurul punctului dat determină starea de tensiune în punct (Fig. 1.5.1, b). Un punct ”P” al unui corp se modelează printr-un paralelipiped elementar (fig. 1.5.2, a). Pe fiecare faţa a acestui paralelipiped acţionează o tensiune de direcţie oarecare, care poate fi descompusă într-o componentă normală şi două componente tangenţiale (fig. 1.5.2,b).

a b

Fig. 1.5.2

3332313

2322212

1312111

tttt

tttt

tttt

,

La descompunerea vectorilor pe suprafeţe vom folosi notaţiile cu doi indici. Primul indice va coincide cu axa perpendiculară cu suprafaţa dată iar al doilea cu axa pe care este proiectat.

Ansamblul celor nouă componente poate fi reprezentat printr-un tablou. El reprezintă o mărime denumită tensorul tensiunilor.

14

333231

232221

131211

ij

ttt

ttt

ttt

)t(

Componentele tensorului tensiune se împart în două grupe:

tensiuni normale 332211 t,t,t , tensiuni tangenţiale ,..t,t,.t,t 21231312

Tensiunile tangenţiale sunt duale adică 322331132112 tt ,tt ,tt .

Vom examina o bară încărcată cu forţe exterioare. Asupra unei suprafeţe infinit de mici de arie dA (fig. 1.5.3) acţionează 323133 t,t,t .

De la aceste tensiuni într-un element de arie dA apar eforturi secţionale elementare: forţa normală dN, două forţe tăietoare

21 dT ,dT , două momente de încovoiere 21 dM si dM şi momentul de

răsucire 3dM , care se notează prin tdM .

Fig. 1.5.3

Forţe elementare care acţionează pe un element de arie dA :

dAtdT ;dAtdT ;dAtdN 32231133

Momentele elementare faţă de axele sistemului de coordonate sunt următoare:

dA)xtxt(xdAtxdAtdM

xdAtdM ;xdAtdM

2311322311323

13322331

15

Fig. 1.5.4

Integrând aceste mărimi elementare pe toată suprafaţa secţiunii transversale, cu aria totală A, vom obţine valorile integrale ale forţelor interioare (eforturilor) (fig. 1.5.4):

A322

A A31133 dAtT ;dAtT ;dAtN (1.5.1)

A A A

231132t13322331 dA)xtxt(M ;dAxtM ;dAxtM .

Cu ajutorul acestor relaţii se calculează forţele interioare (eforturi) într-o bară dreaptă.

1.6. Tipuri simple de solicitări

Într-un caz general de solicitare, într-o secţiune a unei bare coexistă toate eforturile, adică: N, T1, T2, M1, M2, M3. Dacă într-o secţiune există doar o singură componentă din sistemul de mai sus, solicitare o numim simplă. În caz contrar avem de-a face cu o solicitare compusă. Tipurile de solicitări simple sunt următoarele:

a) Solicitarea axială, care, după semnul forţei axiale poate fi: Întindere. Sistemul de eforturi în secţiune transversale a

barei se reduce la componenta N dirijată după normala exterioară a secţiunii (fig. 1.6.1, a).

Compresiune. Sistemul de eforturi în secţiune se reduce la componenta N dirijată după normala interioară a secţiunii (fig. 1.6.1, b).

16

a) b)

Fig. 1.6.1

b) Forfecare sau tăiere. Sistemul de eforturi în secţiune transversală a barei se reduce la T1 sau T2. Este cazul solicitării unei îmbinări a două elemente suprapuse supuse la întindere (fig. 1.6.2). Elementul de solidarizare (nitul) este supus la forfecare în secţiunea corespunzătoare rostului dintre cele două elemente.

Fig. 1.6.2

c) Încovoiere. Sistemul de eforturi în secţiune transversală a barei se reduce la un moment încovoietor M1 sau M2. De exemplu cazul unei bare drepte solicitate de cupluri de acelaşi moment la ca-pete acţionând într-un plan de simetrie longitudinal al barei (fig. 1.6.3)

Fig. 1.6.3

Bara se încovoaie sub acţiunea acestor cuple, axa ei luând o formă curbată.

17

d) Torsiunea sau răsucirea. Sistemul de eforturi se reduce la un moment de torsiune Mt (fig. 1.6.4). Este cazul unei bare drepte acţionată la capete de două cuple în plane normale la axa barei. În cursul solicitării două secţiuni normale au o rotire relativă în jurul axei longitudinale a barei.

Fig. 1.6.4

1.7. Diagrame de eforturi

Eforturile secţionale sunt în general variabile în lungul unei bare şi depind de poziţia secţiunii, a încărcărilor şi de modul de rezemare al barei. Funcţia efortului este legea de variaţie a lui în lungul axei barei cu forme diferite pentru fiecare tronson de încărcare. La proiectarea elementelor de rezistenţă este necesară determinarea valorilor maxime ale eforturilor şi poziţia secţiunilor normale pe care acţionează. Secţiunile unde funcţiile eforturilor iau valori maxime se numesc secţiuni periculoase sau secţiuni de calcul. Determinarea valorilor maxime ale eforturilor şi poziţia secţiunilor de calcul se realizează prin trasarea diagramelor de eforturi. Reprezentarea grafică a funcţiilor eforturilor în lungul axei barei se numesc diagrame de eforturi. Poziţia secţiunii transversale în lungul axei barei se defineşte prin coordonata ”x3” măsurată de la o origine prestabilită şi deoarece eforturile depinde în general de secţiunea în care se determină, rezultă că acestea sunt funcţii de variabila ”x3”. Astfel, diagramă de variaţie a momentelor îcovoietoare se numeşte graficul reprezentând legea de variaţie )x(MM 3 a acestei mărimi în lungul axei barei. Analog se

definesc diagramele )x(NN 3 pentru forţe axiale respectiv

)x(TT 3 pentru forţe tăietoare. În continuare în loc de ”x3” vom

scrie ”x”. Eforturile N, T, M intr-o secţiune transversală a barei, situată la distanţa ”x” se calculează in felul următor:

18

a) Forţa axială într-o secţiune a unei bare este egală cu suma algebrică a proiecţiilor pe axa barei a tuturor forţelor exterioare (inclusiv reacţiunile) care acţionează una din părţile (stângă sau dreaptă) barei secţionate. Pentru bara din fig. 1.7.1 efort axial in secţiunea la distanţa ”x” va fi:

Fig. 1.7.1

din stânga: kN10kN50kN40F)x(N stx

din dreapta: kN10kN20kN10F)x(N drx

Forţa exterioară la alcătuirea funcţiei )x(NN se ia cu semnul plus dacă vectorul forţei este dirijat de la secţiune examinată şi cu semnul minus dacă vectorul forţei este dirijat spre secţiune examinată. b) Forţa tăietoare într-o secţiune este egală cu suma algebrică a proiecţiilor pe normala la axa barei a tuturor forţelor exterioare (inclusiv reacţiunile) care acţionează una din părţile (stângă sau dreaptă) barei secţionate.

La alcătuirea funcţiei )x(T se foloseşte convenţia semnelor:

la calculul sumei din stângă când forţa este dirijată de jos în sus se ia cu semnul plus, iar când forţa este dirijată de sus în jos – cu semnul minus;

la calculul sumei din dreaptă când forţa este dirijată de sus în jos se ia cu semnul plus, iar când forţa este dirijată de jos în sus se ia cu semnul minus (fig. 1.7.2)

19

Fig. 1.7.2

Pentru bara din fig. 1.7.3 forţa tăietoare T intr-o secţiune la distanţa ”x” va fi:

Fig. 1.7.3

din stânga: 3/F2F23/F8F)x(T stx2

din dreapta: 3/F2F43/F10F)x(T drx2

c) Momentul încovoietor M1 într-o secţiune ”B” este egal cu suma algebrică a momentelor faţă de punctul ”B” a tuturor forţelor şi cuplurilor exterioare (inclusiv reacţiunile) care acţionează una din părţile (stângă sau dreaptă) barei secţionate. Convenţia de semne: momentul este pozitiv dacă întinde fibrele de la partea inferioară a barei (fig. 1.7.4).

20

Fig. 1.7.4

Calculăm momentul încovoietor intr-o secţiune arbitrară cu abscisa ”x” a barei din fig. 1.7.5 (ca suma momentelor din stânga):

)ax(F2Mx3

F8M)x(M st

x .

Fig. 1.7.5

Calculăm momentul în secţiunea cu abscisa 2/a3x (M = Fa):

din stânga: Fa42

aF2M

2

a3

3

F8)

2

a3(M

din dreapta: Fa42

aF4M

2

a3

3

F10)

2

a3(M

21

d) Momentul de torsiune Mt într-o secţiune este egal cu suma algebrică a momentelor faţă de axa barei a tuturor forţelor şi cuplurilor exterioare care acţionează una din părţile (stângă sau dreaptă) barei secţionate. La alcătuirea funcţiei Mt(x) momentul exterior se consideră pozitiv, dacă privind din partea secţiunii transversale în lungul axei părţii examinate el tinde să rotească bara în sensul contrar acelor de ceasornic. Calculăm momentul încovoietor intr-o secţiune arbitrară cu abscisa ”x” a barei din fig. 1.7.6. din stânga M2M5M3)x(Mt

din dreapta M2M2M4)x(M t

Fig. 1.7.6

Momentul de torsiune (efort) se consideră pozitiv, dacă privind din partea frontală în lungul axei părţii examinate el tinde se rotească secţiunea în sensul acelor de ceasornic.

1.8. Relaţiile diferenţiale dintre eforturile secţionale

Între încărcări şi eforturi există anumite relaţii a căror cunoaştere este de natură să uşureze mult trasarea diagramelor eforturilor. Relaţiile menţionate rezultă din exprimarea condiţiei de echilibru mecanic pentru un element de bară de lungime infinitezimală, dx

22

detaşat, prin două secţiuni plane şi normale, dintr-o bară dreaptă, acţionată de un sistem de forţe în echilibru (fig. 1.8.1, a).

a) b)

Fig. 1.8.1

Pe feţele elementului detaşat (fig. 1.8.1, b) vor exista în general eforturile N, T2 şi M1 pe care să le considerăm în acea zonă pozitive şi crescătoare. Dacă pe faţă din stânga acţionează N,T2 şi M1 ca efect al părţii înlăturate, pe faţa din dreapta vor acţiona aceleaşi eforturi dar crescute cu dN, dT2 şi dM1. Deoarece eforturile N, T2 şi M1 sunt funcţii de ”x”, vom putea considera ca şi creşteri a acestor funcţii diferenţialele lor cu aproximaţia unor infiniţi mici de ordin superior. Sub acţiunea forţelor şi momentelor de pe feţele sale, elementul detaşat de lungime dx trebuie să fie în echilibru deoarece şi bara în întregime este în echilibru. Să scriem ecuaţiile de echilibru. Ecuaţia 0X3 se scrie 0dNNdxqN 33

de unde după reducerea şi gruparea termenilor deducem:

33

qdx

dN (1.8.1)

adică derivata forţei axiale în raport cu x3 este egală cu intensitatea sarcinii distribuite ce acţionează în lungul axei barei. Din ecuaţia 0X2 , adică 0dTTdxqT 22322

obţinem 322 dxqdT sau

23

2 qdx

dT (1.8.2)

23

Rezultă astfel că derivata forţei tăietoare în raport cu x3 este egală cu intensitatea sarcinii distribuite normală pe axa barei în acea secţiune. Să alcătuim şi ecuaţia de moment în raport cu punctul B (fig. 1.8.1, b):

0)dMM(2

dxqdxTM 11

23

2321 .

Neglijând termenul 2

dxq

23

2 ca infinit mic de ordinul doi obţinem:

0dMdxT 132 de unde 23

1 Tdx

dM (1.8.3)

sau derivata momentului încovoietor în raport cu z este egală cu forţa tăietoare în secţiunea respectivă. Dacă mai derivăm odată ultima relaţie în ambii membrii

obţinem: 23

223

12

qdx

dT

dx

Md .

Relaţiile stabilite mai sus au importanţa în construcţia diagramelor de eforturi, datorită regulilor ce se desprind din interpretarea lor, şi anume:

dacă 0qq 23 , diagramele N, T2 sunt constante, iar

diagrama M1 variază liniar; pentru 3q şi 2q constante, diagrame N şi T2 variază liniar, iar

diagrama M1 parabolic; sarcina distribuită 2q măsoară panta diagramei T2, iar

mărimea forţei tăietoare într-o secţiune măsoară panta diagramei M1 din secţiune;

în secţiunea unde T2=0, diagrama M1 are un minim sau un maxim local;

24

Tabelul 6.1

funcţia forţei tăietoare este cu un grad superioară funcţiei sarcinii distribuite, iar cea a momentului cu un grad superioară celei a forţei tăietoare;

pe intervalele unde forţa tăietoare este pozitivă, momentul încovoietor creşte şi invers;

diagrama forţei tăietoare prezintă salturi în dreptul forţelor concentrate verticale, iar diagrama momentelor încovoietoare

25

are salturi numai în dreptul unor cupluri exterioare, aplicate pe bara. În tabelul 1 sunt indicate câteva tipuri de încărcări, precum şi modul de variaţie a diagramelor T şi M.

1.9. Construcţia analitică a diagramelor de eforturi

Spre a construi diagrama efortului secţional se procedează astfel: se ia o linie de reper ( axă a absciselor ) paralelă cu axa barei pe care sunt figurate poziţiile secţiunilor plane normale în care au fost stabilite valorile efortului a cărui diagrama este construită. Pe normala la linia de reper – la o scară aleasă, pentru efort – sunt figurate valorile efortului considerat, în secţiunile respective. Valorile pozitive ale forţei axiale, ale forţei tăietoare şi ale momentului de torsiune sunt figurate pe semiplanul situat sub axa absciselor (fig. 1.9.1, a, b, c ). Momentele încovoietoare sunt figurate , totdeauna, pe partea convexă a curbei ce reprezintă axa încovoiată a barei solicitate (pe partea fibrelor întinse) fig. 1.9.1, d.

Fig. 1.9.1

Începând construcţia diagramei, bara se împarte în sectoare. Sector se numeşte porţiunea de bară dintre punctele de aplicare a forţelor. Dacă bara este acţionată de sarcina repartizată, sector se

26

numeşte porţiunea de bară, în limitele căreia sarcina repartizată variază după aceeaşi lege. Pentru a construi diagramele trebuie să scriem expresiile pentru eforturi M(x)M T(x),T ),x(NN într-o secţiune arbitrară a fiecărui sector. Este necesară alegerea unui sens de parcurs al barei, adică de creştere a variabilei x3, de obicei de la stânga la dreapta. Pentru explicarea analitică a funcţiilor eforturilor secţionale se foloseşte două modalităţi:

se aplică relaţiile integrale între eforturi şi sarcina:

33

3

x

033

x

0ix3 d)x(qF)x(N , (1.9.1)

33

2

x

032

x

0ix2 d)x(qFT (1.9.2)

333 x

0332

x

031

x

0i131 d)x)(x(qd)x(mM)x(M (1.9.3)

se aplică definiţia acestora în secţiunea de calcul.

1.10. Exemple pentru construirea diagramelor

Exemplul 1. Să se construiască diagrama de variaţie N pentru bara din figura 1.10.1. Împărţim bara în sectoare. Să scriem expresiile pentru forţele axiale într-o secţiune arbitrară a fiecărui sector. Forţa axială într-o secţiune arbitrară a oricărui sector la distanţa x este egală cu suma tuturor forţelor exterioare axiale situate la stânga sau la dreapta de la secţiune considerată:

27

Fig. 1.10.1

sectorul AB )ax0( : kN 50)x(N ;

sectorul BC )a2xa( : kN 10kN 60kN 50)x(N ;

sectorul AB )a3xa2( : kN -20kN 30-kN 60kN 50)x(N ; Întrucât aceste mărimi nu depind de abscisa secţiunii, în toate secţiunile sectorului AB forţa normală kN50N , pentru orice secţiune a sectorului BC kN 10N , pentru sectorul CD kN 20N . Depunem ordonatele obţinute de la axa absciselor, trasăm diagrama N. De remarcat că haşurarea diagramei ne prezintă ordonatele depuse. În secţiunile A, B, C, D pe diagrama s-au obţinut salturi egale cu 50, 60, 30 kN respectiv, care sunt egale cu forţe aplicate barei în aceste secţiuni. De remarcat că în locul saltului forţe axiale nu se determină. Ele se calculează la distanţe extrem de apropiate din stânga şi din dreapta de la salt. Din diagrama se vede că secţiunile periculoase sunt cele de pe porţiunea BC, unde kN 50N

max

Dacă asupra barei acţionează numai forţe concentrate, liniile diagramei sunt paralele cu axa absciselor. Exemplul 2. Să se traseze diagrama de forţe axiale la bara cu încărcarea şi rezemarea din figura 1.10.2.

28

Pentru trasarea diagramei de forţe axiale se împarte bara în două sectoare: AB şi BC.

Fig. 1.10.2

Forţe axiale din cele două sectoare sunt date de:

sectorul AB )a2x0( : 2qaN(2a)

0N(0) xq)x(N

;

sectorul BC )a3xa2( : qaqaqa2Fqa2)x(N . Cu valorile determinate ale forţei axiale se trasează diagrama forţelor axiale pe toată lungimea barei (fig. 1.10.2). Din diagrama se vede că secţiunea periculoasă se găseşte pe faţa din dreapta secţiunii B unde 2qaN

max

Exemplul 3. Să se traseze diagrama de efort de răsucire pentru bara solicitată conform schemei prezentate în fig. 1.10.3. Împărţim bara pe sectoarele AB, BC. Alegem originea coordo-natelor în punctul drept extrem al barei.

Fig. 1.10.3

29

Trasând secţiuni arbitrare cu abscisa variabilă x, pe sectoare ale barei obţinem respectiv:

sectorul AB )a2x0( : M2)x(M t ;

sectorul BC )a3xa2( :

M3)a3(M

M2)a2(M )a2x(

a

MM2)a2x(mM2)x(M

t

tt

.

Mărimea momentului de torsiune pe sectorul AB nu depinde de abscisa secţiunii, de aceea diagrama momentelor de torsiune are forma de dreptunghi. Secţiunea periculoasă se găseşte pe faţa din dreapta reazemului C unde M3M maxt .

Exemplul 4. Consola încărcată cu o forţe concentrată la capătul liber (fig. 1.10.4).

Fig. 1.10.4 momentul încovoietor xF3)x(M Forţa tăietoare este constantă, este identică în toate secţiunile barei, de acea diagrama T are forma unui dreptunghi. Momentul încovoietor este o funcţie liniară de abscisa x a secţiunii. Pentru a construi dreapta corespunzătoare momentului M(x) e suficient să obţinem două puncte – la începutul şi la finele sectorului: pentru 0x (secţiunea A) ;0)0(M pentru 2ax (secţiunea B) ;Fa6a2F3)a2(M Conform acestor date construim diagrama M(x) (fig. 1.10.4).

30

Bara are un singur sector. Alegem originea coordonatelor în punctul stâng extrem al barei, orientăm axa z în lungul axei barei. Calculăm forţa tăietoare T şi momentul de încovoiere M într-o secţiune arbitrară cu abscisa x: forţa tăietoare constF3)x(T

Exemplul 5 Consola încărcată cu sarcina uniform distribuită cu intensitatea q pe toată lungimea (fig. 1.10.5).

Fig. 1.10.5 Forţa tăietoare este o funcţie liniară de abscisa x a secţiunii. Diagrama T este dreapta. Pentru a construi diagrama T calculăm ordonatele în două puncte: pentru x = 0, T(0)=0; pentru x = 2a, T(2a) = 2qa şi trasăm o dreaptă (fig. 1.10.5). Momentul încovoietor variază parabolic. Luând în consideraţie că diagrama M este curbilinii, pentru a o construi calculăm ordonatele în trei secţiuni:

pentru 02

0qM(0) 0x

2

;

pentru 2

aqM(a) ax

2 ;

pentru 22

qa22

)a2(qM(2a) a2x

şi trasăm o curbă prin cele trei puncte obţinute (fig. 1.10.5). Exemplul 6 Bara simplu rezemată încărcată cu sarcina uniform distribuită cu intensitatea q pe toată deschiderea (fig. 1.10.6). xq)x(T

31

Vom calcula forţa tăietoare T şi momentul de încovoiere M într-o secţiune ca suma respectivă din stânga secţiunii. În secţiunea x: qx)x(T

2

qx)x(M

2

Fig. 1.10.6 de unde 2

qaRR BA .

Calculăm forţa tăietoare T2(x) şi momentul de încovoiere M1(x) într-o secţiune arbitrară cu coordonata x:

xq2

qaxqR)x(T A2 ;

2

qxx

2

qa

2

qxR)x(M

22

A .

Cum q este constant, diagrama T2 este o linie dreaptă a cărei ordonate extreme sunt:

2

qa0qRT(x) ;0x A ; (secţiunea x = 0 fiind luată la dreapta

reazemului A în imediată vecinătate);

2

qaqa

2

qaaqRT(x) ;ax A ; (secţiunea z = a fiind luată

la stânga reazemului B în imediată vecinătate). Pentru a determina coordonata x3 pentru care forţa tăietoare se

anulează anulăm funcţia T(z): 2

ax0qx

2

qa)x(T .

Momentul încovoietor M(x) variază parabolic. Pentru a construi diagrama calculăm ordonatele la limitele sectorului şi la mijlocul barei

32

Determinăm reacţiunile în reazeme. Rezultanta forţei distribuite este egală cu qa şi se aplică la mijlocul barei. Alcătuim ecuaţiile de echilibru:

;02

aqaaRM BA

;02

aqaaRM AB

(în secţiunea unde forţa tăietoare se anulează momentul încovoietor are valoarea extremă: maxM sau minM ):

pentru 02

0qM(0) 0x

2

;

pentru 8

aq)

2

aM(

2

ax

2 ;

pentru 02

)a(qa

2

qaM(a) ax

2

.

Diagramele T2 şi M1 sunt construite în fig. 1.10.6.

1.11. Caracteristicile geometrice ale figurilor plane

Rezistenţa barei deseori depinde nu numai de materialul şi dimensiunile ei, ci şi de forma secţiunii transversale şi de amplasamentul ei. În legătura cu acestea să considerăm momentele statice, momente de inerţie axiale, centrifugale şi polare, module de rezistenţă. a) Momente statice Se numeşte moment static al unei secţiuni plane în raport cu o axă suma algebrică a produselor dintre elementele de arie dA a secţiunii şi distanţele acestora la axa considerată (fig. 9.1, a )

A A1221 dAxS ,dAxS (1.11.1)

a) b)

Fig. 1.11.1 Coordonata centrului de greutate (fig.1.11.1, b) se calculează după

33

formula

A

S

A

dAx

A

xA

...AA

...xAxAx 2A

1

i

)i(1i

21

)2(12

)1(11c

1

c12 xAS . Analog c

21 xAS . b) Momente de inerţie axiale Se numeşte moment de inerţie axial al unei secţiuni plane în raport cu o axă suma produselor elementelor de suprafaţă dA cu pătratele distanţelor lor la acea axă (fig. 1.11.1, a):

A

2122

A

2211 dAxI ;dAxI . (1.11.2)

c) Momente de inerţie centrifugale Se numeşte moment de inerţie centrifugal în raport cu două axe rectangulare suma produselor elementelor de suprafaţă dA cu distanţa lor la axe X1 şi X2

A2112 dAxxI . (1.11.3)

d) Momente de inerţie polare Se numeşte moment de inerţie polar al unei secţiuni plane în raport cu un punct (pol) suma produselor elementelor de suprafaţă dA cu pătratele distanţelor lor la acest punct

A

2p dAI . (1.11.4)

Moment de inerţie polar se poate exprima prin 11I şi 22I

2211A

22

21

A

2p IIdA)xx(dAI (1.11.5)

1.12.Momente de inerţie pentru figuri simple

a) Dreptunghi (fig. 1.12.1, a). Momentul de inerţie în raport cu axa centrală X1:

12

bhbdxxdAxI

32h

2h2

22

A

2211

34

Analog momentul de inerţie în raport cu axa centrală X2:

12

hbI

3

22

a) b) c)

Fig. 1.12.1 b) Triunghi. (fig. 1.12.1, b) Momentul de inerţie al triunghiului faţă de axa care trece prin baza lui:

2

h

0

222

A

2211 dx

h

)xh(bxdAxI

12

bh3

Momentul de inerţie faţă de axa centrală

36

bhbh

2

1)

3

h(

12

bhAaII

32

32

111

c) Cerc.(fig. 1.12.1, c) Momentul de inerţie polar:

R

0

2R

0

2p d2dAI

32

d

2

R 42

;

Ştiind că momentul de inerţie polar este egal cu suma a două

momente de inerţie axiale obţinem : 64d2III 4p2211

1.13. Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe paralele

Presupunem că pentru o figură plană raportată la un sistem de axe oarecare OXY sunt cunoscute momentele de inerţie în raport cu axele 21 X , X precum şi aria secţiunii A (fig. 1.13.1).

35

Fig. 1.13.1

a) Momentele de inerţie în raport cu noile axe 21 XO si XO paralele cu axe OX1 şi OX2 vor fi:

A A A

22

22

A

22

A

2211 dAbdAxb2dAxdA)bx(dAxI

AbbS2II 211111 Analog AaaS2II 2

22222

b) Momentul centrifugal

A1

A21

A21

A2112 dAxbdAxxdA)bx)(ax(dAxxI

A

1212A

2 abAaSbSIdAabdAxa

În aceste relaţii 1S şi 2S reprezintă momentele statice ale figurii în raport cu axe OX1 şi OX2. Dacă aceste axe sunt axe centrale atunci:

0SS 21 şi expresiile obţinute se simplifică

abAII ; AaII ;AbII 12122

22222

1111

Exemplul Să se calculeze momentul de inerţie al dreptunghiului din fig. 1.12.1, a faţă de axa care trece prin baza dreptunghiului. Rezolvare. Deoarece axa 1x care trece prin baza dreptunghiului este paralelă cu axa centrală X1 se aplică relaţia (1)

3

bhhb

2

h

12

bhAaII

3232

1111

.

36

1.14. Momente de inerţie pentru figuri compuse

În probleme de rezistenţă apar şi secţiuni de forme mai complicate. De obicei, însă aceste secţiuni se pot descompune în figuri elementare cum sunt dreptunghiul, triunghiul, cercul etc. În acest cay momentul de inerţie al secţiunii întregi în raport cu o axă poate fi determinat ca sumă a momentelor de inerţie ale părţilor sale

componente în raport cu acea axă: n11

211

11111 I...III .

Exemplul. Să se determine momentul de inerţie al unei secţiuni din fig. 1.14.1 în raport cu axa X care trece prin baza secţiunii. Rezolvare. Se împarte secţiunea în două dreptunghiuri 1 şi 2 de

dimensiuni 2a şi 3a cu ariile respectiv 21 a2aa2A şi

22 a3aa3A .

Fig. 11.1

Se calculează momentul de inerţie al fiecărui element în raport

cu axele proprii )1(1x şi )2(

1x :

Pentru elementul 1: 43

)1(11 a

3

2

12

(2a)aI

;

Pentru elementul 2 4

a

12

aa3I

43)2(

11

Se calculează momentul de inerţie al fiecărui element în raport cu axa X1:

224

22)2(

1112)1(

1111 a2a3

2a=A)a5,0(IAaII

37

444224

a3

11aa

3

8a3)a5,0(

4

a .

1.15. Momente de inerţie principale

Cunoscând momentele de inerţie 122211 I ,I ,I ale figurii plane în raport cu un sistem ortogonal de axe OX1X2 din planul ei, se poate determina momentul de inerţie în raport cu orice axă care trece prin origine. Momentele de inerţie în raport cu un nou sistem de axe ortogonal 21XXO , rotit faţă de primul cu un unghi oarecare se calculează cu ajutorul relaţiilor:

2sinIsinIcosII 122

222

1111

2sinIcosIsinII 122

222

1122 (1.15.1)

2cosI2sin2

III 12

221112

Din relaţiile (1.15.1) rezultă că mărimea momentului de inerţie în raport cu o axă oarecare, depinde de unghiul de înclinare a acestei axe faţă de axă de referinţă. Pentru determinarea extremului momentului de inerţie vom anula prima derivata în raport cu . Astfel:

0I22cosI2sin2

II2

d

Id1212

221111

de unde: 1122

121 II

I22tg

(1.15.2)

Se observă că derivata momentului de inerţie axial reprezintă tocmai expresia momentului de inerţie centrifugal al figurii (dacă se

face derivata lui I22, se va obţine 1222 I2

d

dI

).

38

În acest fel se poate spune că momentul de inerţie axial este maxim sau minim faţă de sistemul de axe în raport cu care momentul de inerţie centrifugal este nul. Axele în raport cu care momentul de inerţie centrifugal este nul, iar momentele de inerţie axiale au valori extreme, se numesc axe principale de inerţie. Dacă aceste axe trec prin centrul de greutate al secţiunii se numesc axe centrale principale. Soluţia ecuaţiei (1.15.2) este: k22 01 , ( k-număr întreg), cu

valori distincte numai pentru k = 0 şi k = 1, având deci:

2

si 0101

. (1.15.3)

În acest fel există numai două axe principale de inerţie care trec prin origine, perpendiculare între ele. Sensul pozitiv pentru măsurarea unghiurilor a fost considerat cel trigonometric, urmând ca în cazul când din calculele ele rezultă negative, să se măsoare în sens invers celui trigonometric. Axelor principale de inerţie le corespund două valori pentru momentele de inerţie, una maximă Imax şi alta minimă Imin, care se numesc momente de inerţie principale. în general se notează Imax= I1 şi Imin = I2, iar axele principale corespunzătoare cu 1 şi 2. Expresiile celor două momente de inerţie principale, I1 şi I2, pot fi scrise într-o singură formula:

212

22211

22112,1 I4II

2

1

2

III

(1.15.4)

convenind ca semnul plus din faţa termenului al doilea din membrul drept să fie atribuit lui I1 iar semnul minus lui I2.

Fig. 1.15.1 în raport cu care momentul de inerţie axial are cea mai mare valoare. Aşa de exemplu dacă

12 xx II şi axele principale de inerţie

39

Pentru a stabili pentru care din direcţiile

01 şi 2

01

avem Imax

respectiv Imin. se foloseşte observaţie prac-tică: axa de maxim totdeauna face cel mai mic unghi cu aceea dintre axe ( x1 sau x2),

sunt dispuse ca în fig. 1.15.1, atunci axele 1 ţi 2 vor fi cele arătate în figura. În figura 1.15.2 sunt date unele exemple de notare a axelor principale.

Fig. 1.15.2

Fiecărui punct al figurii plane îi corespund două axe principale şi respectiv două momente de inerţie principale. În aplicaţii sunt im-portante momentele de inerţie centrale principale, corespunzătoare axelor principale care trec prin centrul de greutate al figurii.

a b Fig. 1.15.3

1.16. Module de rezistenţă ale secţiunii plane

a) Modulul de rezistenţă axial Raportul dintre momentul de inerţie al unei secţiuni faţă de o axă centrală şi distanţa celui mai depărtat punct de această axă se numeşte modul de rezistenţă.

40

La figurile cu două axe de simetrie acestea sunt şi axe principale (fig.1.15.3, a), la cele cu o singurã axă de simetrie această este axa principală, iar a doua axă principală este perpendiculară pe prima şi trece prin centrul de greutate (fig. 1.15.3, b).

Presupunând axa Ox1 şi distanţa max2x (fig. 1.15.3, b) vom

avea, notând modulul de rezistenţă cu W1:

max2

111 x

IW . (1.16.1)

Modulul de rezistenţă se măsoară în unităţi de lungime la puterea a treia. În cazul secţiunii dreptunghiulare vom avea de exemplu (fig. 1.12.1, a ):

6

bh

2/h

12/bh

2h

IW

2311

1 ; 6

hb

2/b

12/hb

2b

IW

2322

2 . (1.16.2)

În cazul secţiunii circulare (fig. 1.12.1, c):

32

d

2/d

64/d

2d

IW

3411

1

. (1.16.3)

Momentele de inerţie precum şi modulele de rezistenţă pentru diferite secţiuni fiind foarte des necesare în calcule de rezistenţă, sunt date sub forma de formule în tabele pentru secţiunile uzuale. b) Modulul de rezistenţă polar al secţiunilor cu forma circulară şi inelară Relativ la centrul secţiunii, O, prin definiţie, este numit modul de rezistenţă polar, al unei secţiuni cu forma circulară sau inelară,

raportul: 16

d

2/d

32/d

2/d

I

R

IW

34p

max

pp

, (1.16.4)

unde d este diametrul exterior al cercului.

Pentru secţiunea cu forma inelară D16

)dD(W

44

p

(1.16.5)

unde D este diametrul exterior al inelului iar d – diametrul interior al inelului.

1.17. Proprietăţile mecanice ale materialelor

Proprietăţile mecanice ale materialelor pot fi clasificate pe baza următoarelor criterii: 1. după comportarea în urma îndepărtării sarcinilor se deosebesc:

41

1.1 materiale elastice, la care deformaţiile dispar după înlăturarea sarcinilor; 1.2 materiale plastice, care se caracterizează prin deformaţii remanente; 1.3 materiale elasto-plastice, cu deformaţii parţial elastice respectiv parţial plastice. 2. după mărimea deformaţiilor produse înainte de rupere, se disting: 2.1 materiale tenace, care suferă deformaţii mari (plastice) înainte de a se rupe; 2.2 materiale fragile, caracterizează prin deformaţii foarte mici înainte de rupere; 3. după valorile constantelor elastice E şi G şi măsurate pe deferite direcţii, există: 3.1 materiale izotrope, la care constantele elastice au aceleaşi valori după toate direcţiile; 3.2 materiale anizotrope, care se comportă elastic diferit.

1.18. Relaţia între tensiuni şi deformaţii. Încercarea materialelor la întindere

În orice punct al unui corp solicitat de încărcări exterioare există o dependenţă între tensiuni şi deformaţii, care depinde de caracte-risticile materialului şi se determină experimental. Unor tensiuni normale ( sau iit ) le corespund deformaţii liniare ( sau iid ), iar

tensiunilor tangenţiale ( sau ijt ), deformaţii unghiulare ( sau ijd ).

Încercarea la întindere se caracterizează prin încărcarea unei epruvete cu o forţe progresivă, crescătoare până la epuizarea capacităţii de deformare (fig. 1.18.1, a). La încercarea la întindere, între reperele B şi B1 ale epruvetei (fig. 1.18.1,a), în orice secţiune normală pe axa piesei se pun în evidenţa tensiunea şi deformaţia ce se pot considera constante şi

egale cu 0A

F , respectiv

0

unde A0 este aria secţiunii

transversale a epruvetei nedeformate, iar 0 lungimea iniţială între

reperele epruvetei. 42

a b c

Fig. 1.18.1

Prin reprezentarea grafică a acestor valori se obţine curba caracteristică convenţională )(f a materialului la tracţiune (fig. 1.18.1, b), pe care se deosebesc următoarele caracteristici:

limita de proporţionalitate p , care este ordonata punctului A

până la care curba caracteristică este o linie dreaptă, care se exprimă prin relaţia:

Etg , numită legea lui Hooke pentru întindere simplă. Mărimea E este o caracteristică elastică a materialului, se exprimă în Pa (N/m2 ) şi poartă denumirea de modul de elasticitate longitudinal;

limita de elasticitate e , care corespunde valorii tensiunii

la care materialul se comportă perfect elastic. Deoarece în realitate materialele nu sunt perfect elastice, se defineşte limita de elasticitate tehnică 01,0 căreia îi corespunde o deformaţie

remanentă % 01,0e ;

limita de curgere c care este valoarea tensiunii la care

deformaţia epruvetei creşte la o sarcină constantă. Pentru materiale la care palierul CD de curgere nu există, se defineşte

43

limita de curgere tehnică 2,0 căreia îi corespunde o deformaţie

remanentă % 2,0e ;

rezistenţa la rupere r , care reprezintă valoarea maximă a

tensiunii 0

maxmaxr A

F .

Fig. 1.18.2 În final se pot determina următoarele caracteristici:

alungirea la rupere

,0

0uu

% 100

0

0u

;

în care u este lungimea ultimă între repere; alungirea la

rupere în procente; gâtuirea specifică la rupere

% 100A

AAZ

0

u0

unde uA este aria secţiunii de rupere.

Tabelul 1.18.1

Materialul Modulul de elasticitate, MPa Coeficientul

lui Poisson E G

Oţeluri carbon 510)1,20,2( 410)1,80,8( 28,024,0

Oţeluri aliate 510)2,21,2( 410)1,80,8( 30,025,0

Fontă cenuşie, albă

510)60,115,1( 4105,4 27,023,0

Cupru laminat 5101,1 4100,4 34,031,0

Beton cu rezis-tenţa de rupere 15 MPa

510)214,0164,0(

-- 18,016,0

Lemn paralel cu fibrele

510)12,01,0( 410055,0 --

44

După atingerea încărcării Fmax, epruveta se gâtuieşte (fig. 1.18.2) până când se produce ruperea

Curba de variaţie )(f se stabileşte utilizând epruvete solicitate la răsucire. În fig. 1.18.1, c este reprezentată o curbă caracteristică la răsucire, la care legea lui Hooke este valabilă pe porţiune liniară şi se exprimă sub forma Gtg în care G este modulul de elasticitate transversal al materialului şi se exprimă în Pa (N/m2). Câteva valori pentru caracteristicile elastice ale materialului sunt date în tabelul 1.18.1.

1.19. Rezistenţe admisibile. Coeficienţi de siguranţă

Se presupune cunoscută curba caracteristică la întindere a materialului unui element de rezistenţă. În calculele de rezistenţă a materialului trebuie precizată valoarea maximă a tensiunii numită rezistenţa admisibilă, ce poate apărea în elementul de rezistenţă considerat, astfel încât acesta să îndeplinească condiţiile de rezistenţă şi de rigiditate. Rezistenţa admisibilă este o mărime convenţional aleasă în calcul, pe baza experienţei practice, pentru tensiunea maximă ce poate apărea într-un element de rezistenţă în condiţii date de solicitare şi de material. Rezistenţele admisibile se notează cu a

respectiv a . Tensiunea efectivă din elementele de rezistenţă trebuie

limitată sub limita de elasticitate, deoarece: determinarea sarcinilor este în general aproximativă; schemele de calcul duc la diferenţă faţă de cazul real; caracteristicile mecanice ale materialelor nu se pot cunoaşte cu

certitudine. Rezistenţa admisibilă se raportează la una dintre tensiunile particulare de pe curba caracteristică şi anume c (pentru materiale

tenace), respectiv r (pentru materiale fragile):

c

ca c

,

r

ra c

(1.19.1)

Coeficienţii cc şi rc se numesc coeficienţi de siguranţă. Pe baza

datelor unei practici îndelungate de construcţie, de calcul şi de exploatare a maşinilor şi construcţiilor mărimea siguranţei la

45

rezistenţă cc pentru oţeluri la o sarcină statică se ia egală cu 1,4 – 1,6

iar mărimea siguranţei la rezistenţă rc – 2,5 – 3,0. Tensiunea tangenţială admisibilă în cazul materialelor omogene şi izotrope se recomandă a se lua astfel: aa )8,0...5,0( .

Tabelul 1.19.1 Valorile orientative ale rezistenţelor admisibile

Material Rezistenţa admisibilă

MPa Întindere Compresiune

Fontă cenuşie în piese turnate 28 - 80 120 - 150 Oţel Oţ2 140 Oţel Oţ3 160

Oţel carbon pentru construcţii de maşini 60 - 250 Cupru 30 - 120

Pin paralel cu fibrele 7 - 10 10 - 12 Beton 0,1 – 0,7 1,0 - 9

1.20. Întinderea şi compresiunea

O bară este solicitată la întindere sau compresiune, dacă în secţiunile normale pe axa ei apar numai forţe axiale. a) Tensiuni la întindere şi compresiune Se consideră o bară dreaptă de secţiune constantă, acţionată la capete de un sistem de forţe exterioare egale şi de sens contrar faţă de care greutatea proprie a barei este neglijabil de mică. În orice secţiune transversală forţa axială N este egală cu forţa F din capăt. Forţele F solicită bara la întindere (fig. 1.20.1, a) sau la compresiune (fig. 1.20.1, c).

Fig. 1.20.1

46

În secţiunea barei iau naştere tensiuni normale 33t (fig. 1.20.1,

b), iar forţa axială N este rezultanta forţelor dAt33 de pe toate

elementele secţiunii

A A 333333 AtdAtdAtN

de unde rezultă relaţia

A

Nt33 (1.20.1)

care reprezintă formula de bază în calculul de întindere sau

compresiune aA

N

b) Relaţii de calcul Calculul de dimensionare. Acest calcul constă în

determinarea ariei minime a secţiunii transversale care să satisfacă condiţia de rezistenţă cu relaţia:

anec NA , (1.20.2)

unde N este forţa axială maximă (în valoare absolută) luată din diagrama de forţe axiale, adm este rezistenţa admisibilă a

materialului. În funcţie de elementele standardizate sau pe considerente constructive se adoptă aria efectivă necef AA .

Calculul pentru verificare. Se determină valoarea tensiunii

normale efective şi se comparã cu valoarea admisibilă: admef AN (1.20.3)

Calculul efortului capabil. Pentru o anumită valoare a

rezistenţei admisibile adm şi cunoscând aria secţiunii A se

determină valoarea maximă a efortului axial care poate apărea într-o bară solicitată la întindere sau compresiune, adică

efacap AN (1.20.4)

47

1.21. Forfecarea

Într-o secţiune a barei se dezvoltă solicitarea de forfecare, dacă singurul efort care apare este forţa tăietoare T conţinută în planul secţiunii transversale. O bară se consideră solicitată la forfecare sau tăiere dacă perpendicular pe axa ei acţionează două forţe egale şi de sens contrar, cu o distanţă foarte mică între suporturile lor, care lucrează asemenea lamelor unei foarfeci (fig. 1.21.1). Forţa tăietoare care apare în secţiune creează tensiuni tangenţiale 32t în secţiunea transversală. În calculul la forfecare se

admite ipoteza simplificatoare a repartizării uniforme a tensiunilor tangenţiale 32t pe suprafaţa secţiunii de forfecare. Ţinând seama de

ipoteza făcută, formula cu care se determină tensiunea tangenţială se va scrie sub forma:

a32 A

Tt (1.21.1)

care reprezintă formula de bază în calculul convenţional la forfecare al pieselor cu secţiuni transversale mici. Cu formula de bază se pot

Fig. 18.1 În funcţie de elementele standardizate sau de considerente constructive se adoptă aria efectivă necef AA .

b) Calculul pentru verificare. Se presupun cunoscute încărcarea exterioară (pentru determinarea lui T), aria secţiunii de forfecare efA

şi caracteristica mecanică de material a . Verificarea constă în

48

rezolva următoarele tipuri de probleme: a) Calculul de dimensionare. În acest caz trebuie cunoscută încărcarea ( cu care se determină T) şi caracteristica de material a .

Aria minimă necesară a secţiunii de forfecare se determină cu relaţia:

a

necT

A

(1.21.2)

calculul tensiunii tangenţiale efective din secţiunea piesei şi compararea cu a . Condiţia de rezistenţă este îndeplinită dacă este

satisfăcută relaţia:

aef

ef32 A

Tt (1.21.3)

c) Calculul efortului capabil. În acest caz trebuie cunoscute efA şi

a . Efortul capabil se determină cu relaţia ef32efcap tAT . (1.21.4)

1.22. Încovoierea barelor drepte

Dacă în secţiunea unei bare apare efortul moment încovoietor

1M atunci bara este supusă la încovoiere. Încovoierea poate fi de două tipuri: încovoiere pură, respectiv încovoiere simplă (încovoiere cu forfecare). Încovoiere pură apare când în secţiunea barei există numai tensiuni normale 33t , produse de momentul încovoietor (fig.

1.22.1, a). Solicitarea barei este de încovoiere simplă dacă există simultan; în secţiunea barei, tensiunile 33t şi 32t produse de

momentul încovoietor M1, respectiv de forţa tăietoare T2 (fig. 1.22.1,b).

Fig. 1.22.1

La grinda simplu rezemata (fig. 1.22.2) tronsoanele A-B şi C-D sunt solicitate la încovoiere simplă, iar tronsonul B-C la încovoiere pură. Analiza modului în care s-a deformat elementul de bară de formă prismatică, solicitat la încovoiere pură dreaptă, fig. 1.22.3 arată că:

49

Fig. 1.22.2

generatoarele drepte înainte de deformare au devenit, după

deformare, arce de cerc;

Fig. 1.22.3

directoarele plane şi perpendiculare pe generatoare, înainte de deformare, au rămas, după deformare, plane şi perpendiculare pe generatoarele deformate;

nu există deformaţii unghiulare ,0 deci, nu există

tensiuni 32t ;

generatoarele (fibrele) situate de o parte a axei barei suferă scurtări, în timp ce generatoarele (fibrele) situate de cealaltă parte a axei barei suferă alungiri;

50

trecerea de la fibrele comprimate la cele întinse se face în mod continuu, fapt ce duce la concluzia că există fibre care nu s-au scurtat, nici nu s-au lungit, stratul format de aceste fibre constituind aşa numitul strat neutru care trece prin centrul de greutate al secţiunilor transversale;

intersecţia dintre stratul neutru şi planul de simetrie al grinzii este o curbă numită fibra medie deformată sau linie elastică;

intersecţia dintre stratul neutru şi planul secţiunii transversale este o dreaptă numită axă neutră a secţiunii care coincide cu axa centrală principală a secţiunii transversale. Tensiunile normale la încovoiere pură în orice punct al secţiunii transversale a barei se calculează după formula:

211

133 x

I

Mt (1.22.1)

unde M1 este momentul încovoietor care apare în secţiune transversală unde se calculează tensiune normală 33t ; 11I reprezintă momentul de

inerţie al secţiunii faţă de axa centrală principală x1; x2 – distanţa dintre punctul din secţiune unde se calculează tensiune 33t şi axa x1

(fig. 1.22.3). Tensiunile normale 33t pe secţiunea transversală a grinzii

variază pe înălţimea secţiunii direct proporţională cu distanţa x2 a fibrei de la axa neutră a secţiunii. În axa neutră ( x2 = 0 ) tensiunile normale t33 sunt nule, valorile maxime ale acestora atingându-se în punctele cele mai depărtate de axa neutră. În figura 1.22.3 se dau secţiunea transversală a barei şi reprezentarea grafică a variaţiei tensiunilor normale t33 pe înălţimea secţiunii, reprezentarea numită diagrama tensiunilor normale. Atât la verificarea secţiunilor grinzilor care lucrează la încovoiere cât şi la dimensionarea lor interesează în mod special tensiunile t33 maxime care se nasc în punctele cele mai depărtate de axa neutră în secţiune. Dacă secţiunea nu are axă de simetrie orizontală (fig. 1.23.3), linia neutră este deplasată în raport cu mijlocul înălţimii secţiunii şi tensiunile max33t în fibrele extreme de sus şi

max33t în cele extreme de jos nu vor fi identice:

51

max21

1max33 x

I

Mt max2

1

1max33 x

I

Mt (1.22.2 )

Tensiunea normală maximă în valoarea absolută va avea loc în fibra cea mai depărtată de axa neutră:

1

1

2max 1

1max2

1

1max33 W

M

xI

Mx

I

Mt (1.22.3)

unde 2max

1

x

IW este modul de rezistenţă al secţiunii transversale.

Calculul la încovoiere pură se face pe baza condiţiei de rezistenţă utilizând relaţia (1.22.3):

a1

1max33 W

Mt (1.22.4)

Calculul de dimensionare. Se determină caracteristica minimă de secţiune cu relaţia

a

1nec1

MW

. (1.22.5)

în care M1 este momentul de încovoiere in secţiune de calcul, iar a

rezistenţa admisibilă a materialului barei. Calculul pentru verificare. În funcţie de momentul

încovoietor maxim şi de caracteristica efectivă a secţiunii se calculează tensiunea efectivă şi se compară cu valoarea admisibilă

aef1

max1ef33 W

Mt . (1.22.6)

Calculul efortului capabil. Se determină valoarea maximă a momentului încovoietor ce poate fi preluat de o bară cunoscând caracteristica efectivă a secţiunii şi valoarea rezistenţei admisibile a1cap1 WM . (1.22.7)

Dacă încărcările exterioare ale unei bare au componente în planele X1OX3 şi X2OX3 atunci în secţiunea barei apar simultan momentele încovoietoare M1 şi M2 dirijate după axele Ox1 respectiv Ox2. Această solicitare poartă denumirea de încovoiere oblică.

52

Într-un punct al secţiunii transversale de coordonate x1 şi x2, tensiunea normală este egală cu suma algebrică a tensiunilor produse de cele două momente încovoietoare

2

12

1

21333333 I

xM

I

xMttt

. (1.22.8)

Tensiunea în punctele cele mai îndepărtate:

2

2

1

133 W

M

W

Mt . (1.22.9)

La grinzile solicitate la încovoiere simplă, în secţiunile transversale acţionează simultan momente de încovoietoare şi forţe tăietoare. Ca urmare, în secţiuni pe lângă tensiunile normale provocate de momentul încovoietor, vor apare şi tensiuni tangenţiale care se calculează după relaţia lui Juravski (fig. 1.22.10):

12

21232 I)x(b

)x(STt

(1.22.10)

unde T2 este mărimea absolută a forţei tăietoare în secţiunea, unde se calculează tensiunile tangenţiale; I1 – momentul de inerţie al acestei secţiuni faţă de linia ei neutră; b(x2) – lăţimea secţiunii la nivelul, unde se determină tensiunea tangenţială t32; S1(x2) – mărimea absolută a momentului static faţa de linia neutră a porţiunii de arie A(x2) cuprinse între linia, unde se determină t32, şi marginea secţiunii.

Fig. 1.22.4

Observăm din relaţia (1.22.10) că legea de variaţie a tensiunilor tangenţiale pe secţiunea transversală este dată de legea de variaţie a

53

raportului )x(b)x(S 221 . Expresia lui )x(S 21 şi )x(b 2 depind de forma secţiunii, astfel că variaţia tensiunilor tangenţiale diferă de la secţiune la secţiune. Vom studia această variaţie pentru secţiunea dreptunghiulară. Pentru secţiunea dreptunghiulară (fig. 1.22.5) momentul

Fig. 1.22.5

static )x(S 21 are expresia:

22221 x

2

h

2

1xx

2

hb)x(S ;

sau

2

2

2

21 x4

h

2

b)x(S .

Substituind în formula lui Juravski (1.22.10) valoarea aflată

pentru )x(S 21 , precum şi pentru 12

hbI

3

1

, obţinem

2

222

3

22

2

232h

x41

bh

T

2

3

12

hbb

x4

h

2

b

Tt .

Variabila x2 figurează la puterea a doua, adică tensiunile 32t variază

pe înălţimea secţiunii dreptunghiulare după o lege parabolică (fig 1.22.5). În punctele cele mai îndepărtate de linia neutră x2 2hx 2

54

şi 0t32 . Pentru punctele liniei neutre x2 = 0 şi tensiunea tangenţială

are valoare maximă

bh

T

2

3t

ymax32 . (1.22.11)

1.23. Răsucirea (torsiunea) barelor drepte cu secţiunea circulară şi inelară

Răsucirea este solicitarea simplă care apare datorită existenţei în secţiunile transversale ale piesei a unui moment de răsucire (torsiune) Mt, având vectorul dirijat în lungul axei longitudinale.

Fig. 1.23.1

Deformaţii la torsiune. Pe bara de secţiune circulară (fig. 1.23.1, a ) se trasează o reţea de generatoare (AB) şi de cercuri, apoi la capătul liber se aplică un moment de torsiune Mt. În urma deformaţiei barei se constată următoarele:

secţiunile plane şi normale pe axa longitudinală a barei nu îşi modifică poziţia;

secţiunile transversale se rotesc una faţă de cealaltă cu un unghi numit unghi de răsucire. Tensiuni la torsiune. În secţiunile transversale ale barei se nasc numai tensiuni tangenţiale. Tensiunea tangenţială totală

)ttt( 232

231

2 într-un punct curent al secţiunii transversale (fig.

1.23.1, b), situat pe cercul de rază r se calculează după formula

p

t

I

rMt

(1.23.1)

55

Tensiunea tangenţială maximă în punctele de pe conturul secţiunii circulare va fi:

p

t

p

tmax W

M

I

RMt

(1.23.2)

Mărimea R

IW

pp se numeşte modul de rezistenţă polar al

secţiunii circulare cu raza exterioară 2DR şi se calculează după formula:

16

D

2D

32D

R

IW

34p

p

. (1.23.3)

Pentru secţiunea inelară cu diametrul exterior D şi diametrul

interior d

43

p D

d1

16

DW (1.23.4)

Calculul practic al barelor. Considerând expresia care dă tensiunea tangenţială maximă la torsiune (1.23.2) se poate scrie condiţia de rezistenţă sub forma amaxt sau

ap

tmax W

Mt (1.23.5)

a) Calculul de dimensionare. Se determină caracteristica minimă de secţiune cu relaţia

a

tpnec

MW

, (1.23.6)

în care tM este momentul de răsucire maxim, a rezistenţa

admisibilă a materialului. b) Calculul pentru verificare. În funcţie de momentul de răsucire şi de caracteristicile efective ale secţiunii se calculează tensiunea tangenţială şi se compară cu valoare admisibilă

apef

tmax W

Mt . (1.23.7)

56

c) Calculul efortului capabil. Se determină valoarea maximă a momentului de torsiune ce poate fi preluat de o bară cunoscând caracteristicile efective ale secţiunii respectiv tensiunea tangenţială admisibilă apeftcap WM

1.24. Încovoiere oblică

Prin încovoiere oblică se înţelege un caz de încovoiere, când planul momentului încovoietor nu coincide cu axa principală a secţiunii. Mai comod e să considerăm încovoierea oblică ca o încovoiere concomitentă în două plane principale x3x1 şi x3x2 (fig. 1.24.1). În acest scop momentul încovoietor Mî se descompune în momente componente faţă de axele x1 şi x2:

cosMM ,sinMM î2î1

Fig. 1.24.1

Tensiunea normală în punctul cu coordonatele x1 şi x2 se determină prin suma tensiunilor condiţionate de momentele M1 şi M2 adică

22

12

11

2133 I

xM

I

xMt

22

1î

11

2î

I

xsinM

I

xcosM

,

sau

sin

I

xcos

I

xMt

22

1

11

2î33

57

Ecuaţia liniei neutre din secţiune o aflăm, considerând 0t33 :

tgI

Ixx

22

1112

Spre deosebire de încovoierea plană (dreaptă) la încovoierea oblică liniile neutră şi de forţă în cazul general ( 21 II ) nu sunt reciproc perpendiculare. Vorbind la figurat, bara “ preferă “ să se îcovoaie nu în planul momentului încovoietor, ci într-un oarecare alt plan cu rigiditatea la încovoiere mai mică. De aceea linia neutră nu este perpendiculară pe planul momentului , ci puţin rotită spre axa momentului de inerţie minim (fig. 1.24.1). Tensiunea maximă apare în punctul cel mai

îndepărtat de la linia neutră. Fie coordonatele acestui punct (1)2

)1(1 x,x .

Atunci din expresia (1.24.1) tensiunea maximă va fi:

22

)1(12

11

)1(21

max33 I

xM

I

xMt

1.25. Încovoiere cu torsiune barelor cu secţiune circulară şi inelară

La încovoierea şi răsucirea barelor toate forţele interioare în afarã de moment de torsiune şi moment de încovoiere se consideră egale cu zero. Tensiunile normale şi tangenţiale maxime care apar de la aceşti factori interiori se calculează cu ajutorul formulelor deja cunoscute:

p

t

1

22

21

1

î33 W

M t;

W

MM

W

Mt

. (1.25.1)

unde 1W şi pW sunt modulele de rezistenţă axial si polar respectiv;

232

231 ttt .

58

Condiţia de rezistenţă în cazul general de solicitare:

adm232

231

233 )t(3t

Luând în consideraţie că 2232

231 ttt obţinem:

adm22

33 t3t (1.25.2)

Relaţia dintre momentul polar de inerţie şi momentul axial de inerţie pentru secţiune circulară va fi:

11P22112211P I2III ;III

1max

11

max

PP W2

I2IW

Substituim valorile tensiunilor maximale (1.25.1) în formula (1.25.2)

2p

2t

21

2î

2

p

t2

1

î

W

M3

W

M

W

M3

W

M

adm1

ech

1

2t

22

21

1

2t

2î

W

M

W

M75,0MM

W

M75,0M

,

unde 2t

22

21ech M75,0MMM .

Pentru secţiunea circulară cu diametrul exterior D:

32

DW

3

1

.

Pentru secţiunea inelară cu diametrul exterior D şi diametrul interior d

43

1 D

d1

32

DW .

Dimensionarea arborelui se poate face ca şi când ar fi solicitat numai la încovoiere prin momentul încovoietor echivalent Mech

a

echnec

MW

. (1.25.3)

59

1.26. Calculul deplasărilor după regula lui Marina

a) Calculul deplasărilor în bare încărcate la întindere – compresiune.

Fig. 1.26.1 transversale a barei; E este modul de

elasticitate longitudinal al materialului barei; ABN este aria diagramei

forţelor axiale pe intervalul AB. Exemplul 1 . Să se traseze diagrama deplasărilor pentru bara încărcată ca în fig. 1.26.2, a, dacă F = qa; aria secţiunii transversale A; modulul de elasticitate longitudinal E. Diagrama forţei axiale este prezentată în fig. 1.26.2, b. Aplicând relaţia (1.26.1) şi ţinând cont că Au =0 obţinem:

Fig. 1.26.2

60

Deplasare axială a punctelor situate pe axa barei se calculează după relaţia lui Marina:

EA

uuABN

AB

(1.26.1)

unde uA şi uB sunt deplasările punctelor A şi B; A este aria secţiunii

deplasarea secţiunii B EA

qa6a2

2

qa4qa2

EA

1

EAu

2ABM

B

;

deplasarea secţiunii C EA

qa10

EA

qa4

EA

qa6

EAuu

222BCM

BC

.

Pentru efectuarea calculului automatizat alcătuim ecuaţiile deplasărilor: sectorul AB, ; a2;0x

)xax4(EA2

qx)qa)

a

x2(qa2(

2

1

EA

1

EA)x(u 2

AXN

sectorul BC, ; a3;a2x

)ax2(EA

qa2))a2x(qa4qa6(

EA

1

EAEAu(x) 2

BZN

ABN

AZN

Folosind relaţiile obţinute construim diagrama deplasărilor (fig. 1.26.2, c)

b) Calculul deplasărilor în bare, încărcate la răsucire.

Fig. 1.26.3

ABMt

este aria diagramei momentelor de torsiune pe intervalul AB; G

este modulul de elasticitate transversal al materialului barei; Ip este moment de inerţie polar al secţiunii transversale. Exemplul 2. Să se calculeze unghiurile de rotire în secţiunile B,C,D,E ale barei din fig. 1.26.4, a.

Diagrama momentelor de torsiune este prezentată în fig. 1.26.4, b.

61

Unghiul de răsucire al secţiunii transversale a barei se calculează după relaţia:

p

ABM

AB IGt

(1.26.2)

unde A şi B sunt unghiurile de rotire a secţiunilor A şi B;

Fig. 1.26.4

Aplicând relaţia (1.26.2) şi ţinând cont că 0A , obţinem

relaţia pentru calculul unghiurilor de rotire, după care vom calcula rotirea in secţiunile barei:

secţiunea B 0)ama2

1ama

2

1(

GI

1

GI pp

ABM

ABt

;

secţiunea C p

2

pp

BCM

BC GI

ma2a2ma2

2

1

GI

10

GIt

;

secţiunea D p

2

pp

2

p

CDM

CD GI

ma6

GI

a2ma2

GI

ma2

GIt

.

Diagrama de variaţie a unghiurilor de rotire în lungul axei este reprezentată în fig. 1.26.4, b.

c) Calculul deplasărilor la încovoiere barelor drepte. Unghiul de rotire la încovoiere barei drepte B (fig. 1.26.5) se calculează după relaţia lui Marina:

.EI

ABM

AB

(1.26.3)

unde B şi A sunt unghiurile de rotire ale secţiunilor A şi B; ABM

este aria diagramei momentelor de încovoiere pe intervalul AB; E este modulul de elasticitate longitudinal a materialului barei; I este momentul de inerţie al secţiunii transversale faţă de axa după care este dirijat vectorul momentului încovoietor.

62

Deplasare verticală uB a punctelor axei barei (fig. 1.26.5) se calculează după relaţia:

EI

S)xx(uu

BMAB

ABAAB (1.26.4)

unde ABM

BMABS este momentul static al ariei AB

M faţă de axa verticală dusă prin punctul B; este distanţa dintre centrul de

greutate al ariei ABM şi axa verticală dusă prin punctul B.

Fig. 1.26.5

Exemplul 3. Să se calculeze săgeata de încovoiere şi unghiul de rotire a capătului din dreapta a barei din fig. 1.26.6, a.

Fig. 1.26.6

63

În fig. 1.26.6, b şi c s-au trasat: diagrama )1(M - pentru cazul când asupra barei acţionează sarcina uniform distribuită; diagrama

)2(M – pentru cazul când asupra barei acţionează cuplul de forţe M. Aplicând relaţiile (1.26.3), (1.26.4) şi ţinând cont că 0A şi

0uA obţinem relaţiile pentru calculul unghiului de rotire şi săgeţii de încovoiere pentru capătul din dreapta:

;EIEI

ABM

ABM

AB

EI

S

EI

S)zz(uu

BMAB

BMAB

ABAAB .

EIEIEI21

ABM

ABM

ABM

B)2()1(

,

EI6

qa5)aqaa

2

qa

3

1(

EI

1 32

2

EI

SS

EI

Su

BABM

BABM

BMAB

B)2()1(

)(EI

12211

EI8

qa3)

2

aqa

4

a3

EI6

qa(

EI

1 43

3

.

1.27. Sisteme static nedeterminate

Se numesc sisteme static nedeterminate, sistemele de bare în care nu se pot determina toate reacţiunile şi eforturile interioare numai pe baza ecuaţiilor de echilibru ale corpului rigid. În asemenea sisteme există un număr mai mare de legături decât este necesar pentru realizarea echilibrului. În acest sens un număr de legături apare ca

a b

Fig. 1.27.1 64

suplimentar iar forţele de legătură (reacţiunile) corespunzătoare ca necunoscute suplimentare. Numărul legăturilor suplimentare sau al necunoscutelor suplimentare precizează gradul de nedeterminare statică al sistemului. Să consideră grinda din fig. 1.27.1, a, având un reazem articulat fix şi două reazeme articulat mobile (reazeme simple). Din punct de vedere al asigurării indeformabilităţii geometrice, unul din reazemele B sau C este suplimentar, iar din cele trei ecuaţii de echilibru nu se pot determina cele patru componente ale reacţiunilor ( CBAA R ,R ,H ,R ).

Din acest fel grinda din fig. 1.27.1, a este o singură dată static nedeterminată. În fig. 1.27.1, b este reprezentată o grindă de două ori static nedeterminată (cinci componente necunoscute ale reacţiunilor

CBAAA R ,R ,M ,H ,R şi trei ecuaţii de echilibru).

Un cadru este static nedeterminat exterior atunci când numărul de necunoscute din reazeme este superior numărului de ecuaţii de echilibru din mecanica. În asemenea cazuri, gradul de nedeterminare este diferenţa dintre numărul de necunoscute şi cel de ecuaţii de echilibru. Cadrul plan din fig. 1.27.2, a are cinci necunoscute în reazeme şi trei ecuaţii de echilibru, deci este de două ori static nedeterminat.

a b

Fig. 1.27.2

Cadrul din fig. 1.27.2, b este static determinat exterior, căci numărul reacţiunilor este egal cu numărul ecuaţiilor de echilibru. În schimb, el este static nedeterminat interior, căci are un contur închis, la care nu se pot determina eforturile N, T, M. Un contur închis este triplu static nedeterminat. Prin urmare, la un cadru plan, gradul de

65

nedeterminare este egal cu numărul necunoscutelor din reazeme plus de trei ori numărul contururilor închise minus trei (numărul de ecuaţii de echilibru). Pentru rezolvarea sistemelor static nedeterminate trebuie respectate două condiţii: una de echilibru static şi alta de continuitate a deformaţiei. Numărul de necunoscute ce se aleg, egal cu gradul de nedeterminare al structurii de rezistenţă, sunt parametrii independenţi şi pot fi forţele suplimentare de legătură. În metoda eforturilor se transformă sistemul static nedeterminat în unul static determinat – numit sistem de bază -, suprimând atâtea legături exterioare sau interioare (la contururi închise) cât este necesar.

a b

Fig. 1.27.3

În locul fiecărei legături suprimate se introduce un efort static nedeterminat, notat, de obicei, cu X1, X2, X3,...Aşa de exemplu (fig. 1.27.3), în locul unui reazem simplu se introduce o singură forţă X7; în locul unui reazem articulat fix suprimat se introduc două forţe X8 şi X9, în locul unei încastrări se introduc două forţe X2, X3 şi un cuplu X1; la o secţiune completă într-un contur se introduc două forţe X4, X5 şi un cuplu X6. Întroducerea unei articulaţii interioare fără tăiere barei cere introducerea unui cuplu necunoscut. Eforturile din legăturile suplimentare, odată puse în evidenţă, devin forţe exterioare de mărimi necunoscute, care împreună cu forţele date, alcătuiesc sistemul forţelor exterioare, ce acţionează asupra sistemului de bază static determinat. Condiţia unică a problemei este ca sistemul de bază, în aceste situaţii, să se comporte

66

identic cu sistemul dat, adică deplasările totale pe direcţiile tuturor necunoscutelor să fie egale cu zero, deoarece sistemul real nu permite deplasări. În cazul general al unui sistem de ”n” ori static nedeterminat condiţiile ce se impun sunt: 0.u..., 0,u ,0u n21 , (1.27.1) unde u1, u2,...,un reprezintă deplasările totale pe direcţiile necunoscutelor. Se obţine astfel un sistem de ”n” ecuaţii liniare care permite determinarea necunoscutelor static nedeterminate. Exemplu. Sã se determine reacţiunile în reazem articulat mobil

Fig. 1.27.4

Înlăturăm reazemul articulat mobil şi îl înlocuim cu reacţiunea

1X . În continuare vom examina cadrul asupra căruia acţionează 1X

şi F. În fig. 1.27.4 s-au trasat: diagrama )1(M - pentru cazul când asupra cadrului acţionează reacţiunea verticală 1X (fig. 1.27.4, b),

diagrama )2(M - pentru cazul când asupra cadrului acţionează forţa F (fig. 1.27.4, c). Sistemul este o singură dată static nedeterminat. Necunoscuta static nedeterminată este reacţiunea verticală 1X al reazemului articu-lat mobil. Alcătuim ecuaţia de deplasare: deplasarea verticală a punctului D este nulă. Aplicăm relaţia lui Marina (1.26.4). Luând în consideraţie că deplasarea Au şi unghiul de rotire A în punctul A sunt egale cu zero, obţinem:

67

0S0EI

S0

EI

S)xx(uu D

MAD

DMAD

DMADADAA

2D2

a3

2aaX

2

1S 144332211

DM

10

FX0a

3

1aFa

2

1aaaXa

3

2aaX

2

1111 .

1.28. Flambajul barei drepte comprimate

Bara din fig. 1.28.1, a este articulată la ambele capete şi supusă la o forţă de compresiune F. Cât timp forţa F are valori mici, bara este în echilibru stabil: dacă se aplică o forţă transversală perturbătoare P care produce o încovoiere, îndată după înlăturarea acesteia, bara reia forma dreaptă de echilibru (fig. 1.28.1, c).

Fig. 1.28.1

Mărind mereu valoarea forţei F, se ajunge la situaţia că, sub efectul forţei perturbătoare transversale P, bara părăseşte complet poziţia de echilibru, adică se încovoaie ca în figura 1.28.1, d, fără posibilitatea de a reveni. Rezultă că la atingerea unei anumite valori a forţei F, căreia i se dă numele de forţe critică de flambaj, bara trece din starea de echilibru stabil în cea de echilibru nestabil. Fenomenul de trecere a unei piese din starea de echilibru stabil în cea de echilibru nestabil, la o anumită valoare (critică) a sarcinilor aplicate, poartă numele de flambaj. Valoarea forţei critice de flambaj depinde de forma şi de dimensiunile piesei, de felul de rezemare şi aplicare a sarcinilor. Atingerea forţei critice de flambaj într-o piesă reprezintă a stare periculoasă, la care maşina sau construcţia în care se află această piesă poate fi distrusă. A calcula o piesă la flambaj înseamnă a determina

68

valoarea forţei critice şi a alege forţa reală de ”c” ori mai mică, numărul ”c” purtând numele de coeficient de siguranţă la flambaj. Tensiunea produsă de către forţa critică de flambaj, numită tensiunea critică de flambaj ( cr ), poate fi cu mult inferior valorilor critice din

rezistenţa materialelor, ca: limita de curgere, limita de proporţionalitate. Rezultă că, în astfel de probleme, calculul uzual din rezistenţa materialelor este de prisos şi că bara trebuie dimensionată pe baza calculului de flambaj. Problema flambajului elastic ( ecr ) pentru barele drepte a

fost rezolvată de către L. Euler. El a obţinut formula pentru calculul forţei critice de flambaj (formula lui Euler):

2

2

crEI

F

Din formula obţinută ajungem la concluzia că forţa critică depinde de modulul de elasticitate E a materialului, momentul de inerţie al secţiunii transversale I şi lungimea barei . Pentru barele cu momente de inerţie axiale 11I şi 22I diferite pierderea de stabilitate va avea loc în planul cu momentul de inerţie minimal. Cu această observaţie formula pentru forţa critica se scrie

sub forma:2

min2

crEI

F

. Formula obţinută poate fi generalizată şi

pentru alte structuri ale legăturilor aplicate asupra barei

Fig. 1.28.2

69

În cazul general expresia pentru forţa critică se scrie sub forma:

2min

2

cr)l(

EIF

, (1.28.1)

unde se numeşte coeficientul de reducere a lungimii barei şi

depinde de tipuri de legături aplicate asupra ei (fig. 1.28.2). Limitele de aplicare ale formulei lui Euler: Împărţind valoarea forţei critice de flambaj prin aria secţiunii se află tensiunea critică de flambaj:

2min

2

2min

2cr

crAIE

)(A

EI

A

F

2

2

2min

2

2

2min

2 E

i

EiE

; (1.28.2)

unde A

Ii minmin este raza de inerţie minimă,

mini

este

coeficientul de zvelteţe al barei. Relaţia între cr şi din (1.28.2) reprezintă o hiperbola,

porţiunea AB din fig. 1.28.3. Punctul B corespunde coordonatelor 0

Fig. 1.28.3

70

şi p (limita de proporţionalitate). Deoarece formula lui Euler s-a

stabilit pe baza unor relaţii ce admis legea lui Hooke, înseamnă că ea este valabilă atât timp cât pcr , respectiv 0 .

Pentru valoarea lui cr cuprins între limita de proporţionalitate

şi limita de curgere ( ccrp ), respectiv coeficientul de zvelteţe

)( 01 , nu mai este valabilă relaţia lui Euler. Materialul se

comportă elasto-plastic. Pentru acest domeniu elasto-plastic, marcat de punctele BC în fig. 1.28.3 a fost stabilită experimental formula lui Jasinski: bacr . (1.28.3)

Coeficienţii ”a” şi ”b” sunt obţinuţi experimental şi depind de natura materialului. Valorile 0 şi 1 se determină din relaţiile

(1.28.2) şi (1.28.3) înlocuind tensiunea critică cu valorile p şi

respectiv c . Câteva valori pentru coeficienţii 0 , 1 respectiv a şi b

sunt date în tabelul .1.28.1.. Tabelul 1.28.1....

Material a (MPa) b (MPa) 0 1

OL 37 ( MPa 240c ) 304 1,12 105 60

OL ( MPa 480r )

( MPa 310c ) 460 2,57 100 60

Valoarea forţei critice în acest caz este AF crcr (1.28.4)

Pentru valorile lui cr mai mari decât limita de curgere

( ccr ) domeniul fiind plastic )( 1 procesul nu se mai

consideră de flambaj ci de compresiune clasică, valoarea forţei critice fiind AF ccr (1.28.5)

71

Pentru analiza flambajului elementelor de construcţii se aplică metoda coeficientului de flambaj . La baza metodei stă coeficientul de flambaj care, prin definiţie, este:

ac

af

,

unde af este tensiunea admisibilă la flambaj, ac este tensiunea

admisibilă la solicitarea de compresiune statică. Întrucât coeficientul de siguranţă la flambaj este impus, se poate defini coeficientul astfel:

ac

f

ac

f

af

f

c

c/c

,

unde c este coeficient de siguranţă la flambaj, f este tensiunea critică de flambaj. Pentru uşurarea calculelor în procesul de proiectare a construcţiilor, coeficientul de flambaj este calculat şi tabelat (tabelul 3.17.1). Relaţia de dimensionare la flambaj devine

ac

necF

A

, (1.28.6)

respectiv relaţia de verificare

acef A

F

unde necA este aria necesară a secţiunii barei, F este forţa reală axială

din bara. Practic, în metoda coeficientului de flambaj , se alege o

valoare oarecare pentru 1 şi se aplică relaţia (1.28.6). După

dimensionare, se recalculează 1 , se reia calculul de câteva ori, până

se ajunge la dimensiuni ce nu mai variază de la un calcul i la altul

i ( vezi problema 17).

72

1.29. Solicitări dinamice

Sunt numeroase cazuri de acţiune a sarcinilor asupra construcţiilor, când sarcinile îşi modifică în timpul aplicării sensibil mărimea, semnul, direcţia sau poziţia lor, astfel încât sub acţiunea acestor sarcini construcţia se află în mişcare. În acest caz acceleraţiile imprimate diferitor puncte ale construcţiei nu sunt neglijabile, procesul de solicitare al construcţiei fiind caracterizat astfel şi de apariţia forţelor de inerţie. Asemenea sarcini aplicate asupra construcţiilor se numesc sarcini dinamice. Solicitări dinamice prin şoc. Se numeşte solicitare prin şoc solicitarea unui element de construcţie printr–o sarcină care se aplică acestuia intr-un interval de timp foarte scurt. În fig. 1.29.1, a este reprezentat un caz de solicitare prin şoc, forţa F căzând de la înălţimea h şi producând în bară articulată la ambele capete o forţă transversală. Ca urmare a vitezei mari de aplicare a sarcinii prin şoc, procesul deformaţiei barei va fi diferit de cel care se produce la o aplicare statică a sarcinii. La solicitarea prin şoc a barei dacă lungimea acestea nu este prea mică, în prima etapă a solicitării – perioada în care viteza corpului care cade scade până la zero – procesul de deformaţie nu reuşeşte să se propage în întreaga bară ci se concentrează pe o anumită porţiune a barei, conducând la deformaţii mai mari decât în cazul solicitării statice. După această prima etapă a şocului, deformaţia se propagă în restul barei, scăzând în zona unde se concentrase. Ne vom limita numai la cazul solicitării prin şoc care produce deformaţii elastice şi numai la prima etapa a solicitării, adică intervalul la care viteza corpului căzut scade de la valoarea sa maximă la valoarea zero. Să considerăm cazul când masa corpului elastic care suferă şocul este mică şi se poate neglija. Vom presupune o grinda supusă la încovoiere prin şoc vertical (fig. 1.29.1, a), dar rezultatele vor fi valabile şi pentru alte cazuri de solicitări.

73

a b

Fig. 1.29.1

Fie ud cea mai mare deplasare dinamică (din şoc) după direcţia forţei F (fig. 1.29.1, a ) şi ust deplasarea corespunzătoare aplicării statice a forţei Fst = F (fig. 1.29.1, b). Metoda aproximativă de calcul se bazează pe legea conservării energiei. Conform legii conservării energiei energia potenţială de poziţie a greutăţii date după ciocnire se transformă în energie potenţială de deformaţie a barei. Energia potenţială de poziţie va fi:

)uh(mg d . Energia potenţială de deformaţie a barei în cazul ciocnirii

elastice se determină din relaţia 2/uF dd , unde dF este forţa

dinamică, du este deplasarea dinamică. Egalând aceste două forme de

energie găsim: 2/uF)uh(mg dd

În calculul la şoc se foloseşte coeficientul dinamic:

stdstdd u/uF/Fk ,

unde stu este deplasarea statică, stF este forţa statică:

ddstdst mgkkFF ;mgF .

Cu ajutorul coeficientului dk ecuaţia de bilanţ a energiei poate

fi scrisă sub forma: 2/kukF2/uF)uh(F dstdstdddst

std2d

2dstdst u/h2k2kkukuh

std u/h211k

74

Deoarece k >0 este o mărime pozitivă:

std u/h211k (1.29.1)

Aşadar, calculul la şoc se efectuează în următoare ordine:

1) se determină forţele interioare în cazul aplicării statice a forţei date;

2) cunoscând forţele interioare se calculează tensiunile statice şi deplasările statice;

3) se calculează tensiunile reale: dstd k ;

4) se calculează deplasările reale: dstd kuu .

1.30. Solicitări variabile

După modul cum variază în timp solicitările variabile pot fi: aleatoare (adică nu există o lege de variaţie); periodice (solicitări ciclice) – la care tensiunile variază

periodic între o valoare maximă max şi o valoare minimă min (fig.

1.30.1)

Fig. 1.30.1

2minmax

a

Raportul dintre min şi max poartă denumirea de coeficient de

asimetrie al ciclului şi se notează cu R

max

minR

75

Dacă se cunoaşte max şi min , se

poate determina o valoare a tensiunii numită media ciclului m

2minmax

m

,

şi o valoare tensiunii numită ampli-tudinea ciclului a

Pentru cicluri simetrice 1R ; ;0 ; maxamminmax .

Rezistenţa la oboseală. Solicitările variabile, repetate de un număr mare de ori, au efect nefavorabil asupra capacităţii de rezistenţă al materialului, comparativ cu comportarea lui la solicitări statice. Acest fenomen a fost denumit oboseala materialelor. Caracteristica mecanică a materialului la solicitări variabile este rezistenţa la oboseală, ce se poate determina experimental. Rezistenţa la oboseală este cea mai mare valoare a tensiunii maxime a ciclurilor pe care epruveta le suportă un timp indefinit fără a se rupe. Simbolurile rezistenţelor la oboseală poartă ca indici valorile coeficientului de asimetrie R ( R respectiv R ). În practică s-au stabilit câteva relaţii empirice, care permit determinarea rezistenţelor la oboseală în funcţie de rezistenţa de rupere statică r : a) pentru oţeluri rezistenţa la oboseală prin ciclu simetric:

de încovoiere r1 )5,0...4,0( ;

de întindere – compresiune 1t1 )8,0...7,0(

de torsiune 11 )58,0...55,0( b) pentru oţeluri rezistenţa la oboseală prin ciclu pulsant:

de încovoiere 10 )6,1...5,1(

de întindere –compresiune t1t0 4,1

de torsiune 10 )2...8,1(

Factorii care influenţează rezistenţa la oboseală. a) Coeficientul efectiv de concentrare a tensiunilor este definit prin raportul:

Rk

R

Rk

R k ;k

,

unde: RR , reprezintă rezistenţa la oboseală a epruvetei netede, iar

RkRk , a celei cu concentrator. În fig.1.30.2 s-au reprezentat valorile

coeficientului efectiv de concentrare, k , pentru arbori de oţel, cu salt

76

de diametru prin racordare circulară, solicitaţi la încovoiere ( dDC0 ).

Fig. 1.30.2

b) Coeficientul dimensional. Experienţa a arătat că rezistenţei la oboseală a unei epruvete, executată din acelaşi material şi având aceeaşi stare a suprafeţei, scade odată cu creşterea diametrului său. Acest factor se poate exprima prin raportul:

0d1

d1

0d1

d1

în care d1 reprezintă rezistenţa la oboseală pentru ciclul alternat

simetric al epruvetei având un diametru oarecare d, iar 0d1 ,

reprezintă rezistenţa la oboseală pentru acelaşi tip de ciclu al epruvetei având diametrul d0 = 8 – 12 mm. În diagrama din fig. 1.30.3 se dau valorile lui determinate experimental, pentru:

oţel – carbon fără concentrări de tensiuni (curba 1); oţel aliat fără concentrări şi oţel – carbon cu concentrări

moderate (curba 2); oţel aliat cu concentrări moderate (curba 3); oţel aliat cu concentrări puternice (curba 4).

77

Fig. 1.30.3

c) Coeficientul de calitate a suprafeţei este definit prin raportul:

;1

p1

în care p1 reprezintă rezistenţa la oboseală pentru ciclul alternat

simetric al epruvetei având suprafaţa cu o prelucrare oarecare, 1 - rezistenţa la oboseală al epruvetei cu suprafaţă lustruită. În fig. 1.30.4 se dau valorile lui pentru piese din oţel solicitate la încovoiere: linia 1 – suprafaţă lustruită; curba 2 – şlefuire fină sau prelucrare fină cu cuţitul; curba 3 – şlefuire brută sau strunjire brută; curba 4 – suprafaţă laminată, cu crustă; curba 5 – piesa supusă coroziunii în apă dulce; curba 6 – piesa supusă coroziunii în apă sărată. Calculul de rezistenţă la solicitări variabile. Deoarece rezistenţa la solicitări variabile depinde de factori ce ţin de forma şi dimensiunile piesei (factori geometrici) de factori tehnologic calculul de rezistenţă la solicitări variabile este, în general, un calcul de verificare. Acest calcul constă în determinarea unui coeficient de siguranţă la solicitări variabile, care se compară cu un coeficient de siguranţă prescris pentru categoria de piese. Dimensionarea se face folosind rezistenţele admisibile la oboseală, stabilite pe baza calculului coeficienţilor de siguranţă.

78

Fig. 1.30.4

Pentru calculul coeficientului de siguranţă la solicitări simple produse de sarcini variabile ciclice, sunt necesare următoarele date:

caracteristicile mecanice ale materialului piesei, respectiv . , , , 01cr

caracteristicile ciclului real de solicitare a piesei, respectiv . , , , amminmax

coeficienţii care influenţează rezistenţa la oboseală a materialului piesei, respectiv , ,k ,k .

Pentru calculul coeficientului de siguranţă la oboseală se utilizează relaţia pentru materiale tenace:

ma

1

kc

,

79

unde: 0

012

este coeficientul influenţei asimetriei ciclului

asupra rezistenţei la oboseală; 1 şi 0 sunt rezistenţele la oboseală

în cazul ciclului alternat simetric )( minmax şi, respectiv,

pulsant )0 ,0( minmax ; k - coeficientul efectiv de

concentrare a tensiunilor normale; - coeficientul dimensional; Analog la torsiune

ma

1

kc

Pentru piesele supuse la solicitarea compusă de încovoiere şi răsucire se calculează coeficientul de siguranţă global, cu relaţia:

22 cc

ccc

unde c şi c sunt coeficienţii de siguranţă determinaţi separat pentru

solicitările de încovoiere şi de răsucire.

80

2. Lucrare de calcul 2.1. Indicaţii generale

Lucrare cuprinde două lucrări calculul grafice. Numărul şi tipul lor este indicat de profesor în funcţie de viitoarea specialitatea studentului. Datele problemelor se iau din tabelul 1 fie în corespundere cu cifrul personal al studentului (ultimele trei cifre a numărului carnetului de note) , fie la indicaţia profesorului. Cifrul reprezintă un număr din trei cifre. Sub acest cifru se aranjează primele trei litere ale alfabetului, de exemplu Cifrul 3 5 7 Literele a b c Din fiecare coloana verticală a tabelei 1 marcată în partea de jos cu o anumită literă, trebuie de luat acea mărime care se află în rândul orizontal, numărul căruia coincide cu numărul literei. De exemplu, pentru cifrul marcat mai sus din coloana ‘a’ se ia rândul al treilea, din coloana ‘b’- rândul al cincilea, iar din coloana ‘c’- rândul al şaptelea:

M1 M2 M3 F1 F2 F3 q1 q2 q3

M 2M M 2F F 3F q 2q 2q După ce au fost copiate condiţiile problemei şi alese datele ei se desenează, ţinând cont de scară, schema de calcul, pe care se indică valorile sarcinilor şi dimensiunilor. Rezolvarea problemei este însoţi-tă de explicaţii concise şi clare. Calculele se efectuează sub formă literară, valorile numerice fiind introduse în formulele finale. Foaia de titlu

Ministerul Educaţiei şi Tineretului al Republicii Moldova Universitatea Tehnică a Moldovei

Facultatea.................................................

Lucrarea de calcul la Rezistenţa materialelor

A efectuat student.......................... grupa............................

A verificat...........................................

Chişinău 200....

81

82

2.2 Condiţiile problemelor şi variante Problema 1 Pentru o bară solicitată de un sistem de forţe axiale (fig. 1) cu secţiune pătrată executată din oţel cu rezistenţa admisibilă a , se

cere: a) să se traseze diagrama de forţe axiale, dacă F = qa; b) să se dimensioneze bara, pentru q = 10 kN/m, a = 1 m. Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 2 O bară de secţiune circulară executată din oţel cu tensiunea admisibilă tangenţială a , încastrată într-un capăt este încărcată cu un

moment de torsiune distribuit cu intensitatea m şi cu momente concentrate cu sensurile indicate în fig.2. Se cere: a) să se traseze diagrama momentelor de torsiune Mt; b) să se dimensioneze bara, pentru M=10 kNm. Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 3 Pentru consola cu secţiune pătrată executată din oţel cu tensiunea admisibilă adm având schema statică şi încărcările din

fig. 3, se cere: a)să se traseze diagrama forţelor tăietoare T şi diagrama momentelor încovoietoare M; b) să se dimensioneze grinda, pentru F = 10 kN, a = 1 m; c) să se traseze diagrama unghiurilor de rotire ; d) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor).

Modulul de elasticitate MPa 101,2E 5 . Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 4 Pentru o grindă simplu rezemată, din oţel cu tensiunea admisibilă a , cu secţiunea transversală pătrată, încărcată ca în fig. 4,

se cere: a)să se traseze diagrama forţelor tăietoare T şi diagrama momentelor încovoietoare M; b) să se dimensioneze grinda, pentru F = 10 kN, a = 1 m; c) să se traseze diagrama unghiurilor de rotire ; d) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor); e) formulaţi concluziile care rezultă din compararea celor două

83

scheme de rezemare din probleme 3 şi 4. Modulul de elasticitate

MPa 101,2E 5 . Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 5 Pentru secţiunile reprezentate în fig. 5 este necesar: a) să se determine poziţia centrului de greutate; b) să se indice axele de inerţie centrale principale; c) să se calculeze valoarea momentelor de inerţie centrale principale şi a modulelor de rezistenţă. Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 6. Bara cotită plană (cadru) din profil I cu tensiunea admisibilă

adm este rezemată şi încărcată ca din fig. 6. Să se traseze diagramele

de eforturi (momente încovoietoare M, forţe tăietoare T, forţe axiale

N). Să se dimensioneze bara, ştiind că F=qa, 2qaM , q = 10 kN/m, a = 1 m. Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 7 În fig. 7 este prezentată în axonometrie axa unei bare cotite spaţiale ( toate bare drepte sunt reciproc perpendiculare între ele) de secţiune circulară executată din oţel cu tensiunea admisibilă a .

Se cere: a) să se traseze diagramele de momente încovoietoare şi de torsiune, dacă 2qaM ,qaF ; b) să se dimensioneze bara pentru q = 10 kN/m, a = 1 m. Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 8 Să se construiască diagramele de eforturi T şi M pentru grinda din fig. 3.8.1 cu secţiunea pătrată solicitată de forţa concentrată, forţa

distribuită uniform şi cuplul concentrat, dacă 2qaM ,qaF . Să se dimensioneze grinda pentru kN/m 10q . Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 9 Pentru o grindă încărcată conform fig. 9 cu secţiune pătrată executată din oţel cu tensiunea admisibilă adm , se cere: a) să se

ridice nedeterminarea statică; b) să se traseze diagrama forţelor 84

tăietoare T şi diagrama momentelor încovoietoare M, dacă FaM ; c) să se dimensioneze bara, pentru F = 10 kN, a = 1 m; d) să se traseze diagrama unghiurilor de rotire ; e) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor); f) formulaţi concluziile care rezultă din compararea celor trei scheme de rezemare

din probleme 3, 4 şi 9. Modulul de elasticitate MPa 101,2E 5 . Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 10 Pentru o bară din profil I cotită plană din fig.10 din oţel cu tensiunea admisibilă a , se cere: a) să se ridice nedeterminarea

statică; b) să se traseze diagrama momentelor încovoietoare dacă M=Fa; c) să se dimensioneze bara pentru F = 10 kN, a = 1 m. Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 11 Pentru o grindă din fig. 11 de secţiune circulară de oţel cu tensiunea admisibilă a , încărcată cu sarcină verticală şi orizontală se

cere: a) să se traseze diagramele momentelor încovoietoare vertical M1 şi orizontal M2 dacă 2qaM ,qaF ; b) să se dimensioneze bara pentru q = 10 kN/m, a = 1 m. Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2. Problema 12 Pe un arbore (fig. 12) sunt calate două roţi dinţate. Roţile sunt

solicitate de forţe P(1) şi P(2). )RPRP( 2)2(

1)1( Forţa P(2) este

verticală iar unghiul dintre forţa P(1) şi orizontala este . Razele roţilor dinţate şi distanţe sunt date pe desen în mm. Rezistenţa admisibilă a materialului arborelui a , forţa P(2), unghiul sunt

indicate în tabelul 2.1.1. Să se dimensioneze diametrul arborelui. Problema 13 O bară de oţel încastrată la ambele capete ( fig. 13) şi solicitată de forţe axiale are secţiunea transversală dreptunghiulară cu 2b/h . Se cere: a) să se ridice nedeterminarea statică a barei; b) să se traseze diagrama efortului axial N; c) să se dimensioneze bara din condiţia de rezistenţă dacă qaF , q = 10 kN/m, a = 1 m, tensiunea admisibilă a

85

materialului barei a ; d) să se traseze diagrama de variaţie a

deplasării axiale în lungul barei. Modulul de elasticitate

MPa 101,2E 5 . Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 14 O bară de oţel încastrată la ambele capete ( fig. 14) şi solicitată de cuplurile de forţă are secţiunea transversală în forma de cerc. Se cere: a) să se ridice nedeterminarea statică a barei; b) să se traseze diagrama momentelor de torsiune; c) să se dimensioneze bara din condiţia de rezistenţă dacă M = 10 kNm, a = 1 m, tensiunea admisibilă tangenţială a materialului barei a ; d) să se construiască diagrama

unghiurilor de rotire . Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 15 Pentru o grindă dublu încastrată din oţel cu secţiunea pătrată încărcată conform fig.15 se cere: a) să se ridice nedeterminarea statică a grinzii; b) să se traseze diagramele de eforturi: forţelor tăietoare T şi momentelor încovoietoare M; c) să se dimensioneze bara din condiţia de rezistenţă dacă F = 10 kN, a = 1 m, tensiunea admisibilă a d) să

se traseze diagrama unghiurilor de rotire ; e) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor); f) formulaţi concluziile care rezultă din compararea celor patru scheme de rezemare din probleme 3, 4, 9 şi 15. Modulul de elasticitate al

materialului MPa 101,2E 5 . Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 16 Pentru o grindă continuă cu două deschideri din oţel cu secţiunea pătrată încărcată conform fig.16 se cere: a) să se ridice nedeterminarea statică; b) să se traseze diagramele de eforturi: forţelor tăietoare T şi momentelor încovoietoare M; c) să se dimensioneze bara din condiţia de rezistenţă dacă F = 10 kN, a = 1 m, tensiunea admisibilă a d) să se traseze diagrama unghiurilor de rotire ; e) să

se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor); f) formulaţi concluziile care rezultă din compararea celor cinci scheme

86

de rezemare din probleme 3, 4, 9, 15 şi 16. Modulul de elasticitate al

materialului MPa 101,2E 5 . Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 17 Din condiţia de stabilitate, cu ajutorul tabelei valorilor coeficientului de reducere a rezistenţei admisibile să se dimensioneze secţiunea transversală (fig. 17) a unei bare de oţel din fig. 17 cu lungimea şi rezistenţa admisibilă la compresiune adm

care se află sub acţiunea sarcinii de compresiune centrale P. Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.2.1. Problema 18 Să se determine cum trebuie să fie aria secţiunii transversale a unei coloane din fontă (fig.18) pentru ca coborârea capătului de sus al coloanei să nu depăşească admu = 1 mm, dacă modulul de elasticitate

longitudinal al materialului dat E = 510 MPa, rezistenţa admisibilă la compresiune adm =130 MPa, a =1 m, F = 10 kN. Datele necesare

pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.2.1. Problema 19 Să se verifice la oboseală arborele în trepte (fig. 19) cu diamet-rele D = 60 mm, d şi raza de racordare r. Momentul de torsiune M variază în limitele: de la Mmin= 1 kNm până la Mmax. Arborele este supus strunjirii brute. Caracteristicile materialului sunt: rezistenţa la rupere - ,MPa 800r rezistenţa la oboseală prin ciclu simetric de

răsucire - ,MPa 220 1 coeficientul influenţei asimetriei ciclului

asupra rezistenţei la oboseală - 05,0 . Se impune un coeficient

de siguranţă la oboseală admisibil ca=1,3. Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Problema 20. Asupra unei grinzi de oţel cu secţiunea în I (fig. 20) cade de la înălţimea h greutatea G=600 N. Să se determine săgeata de încovoiere sub greutate şi tensiunea maximă în grindă. Masa grinzii se neglijează.

Modulul de elasticitate al materialului MPa101,2E 5 . Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1.

87

Varianta 1

88

Varianta 2

89

Varianta 3

90

Varianta 4

91

Varianta 5

92

Varianta 6

93

Varianta 7

94

Varianta 8

95

Varianta 9

96

Varianta 10

97

Varianta 1

98

Varianta 2

99

Varianta 3

100

Varianta 4

101

Varianta 5

102

Varianta 6

103

Varianta 7

104

Varianta 8

105

Varianta 9

106

Varianta 10

107

3. Probleme rezolvate

Problema 1.

Pentru o bară solicitată de un sistem de forţe axiale (fig.3.1.1,a) cu secţiune pătrată executată din oţel cu rezistenţa admisibilă a =160

MPa, se cere: a) să se traseze diagrama de forţe axiale, dacă F = qa; b) să se dimensioneze bara, pentru q = 10 kN/m, a = 1m. Rezolvare a) Trasarea diagramei de forţe axiale Bara se împarte în sectoare ( porţiunea de bară dintre punctele de aplicare ale forţelor) AB, BC, CD. Pentru a construi diagrama trebuie să scriem expresiile pentru forţele axiale într-o secţiune arbitrară a fiecărui sector. Alegem originea coordonatelor în punctul drept extrem al barei: orientăm axa X în lungul axei barei. Aflăm forţa axială într-o secţiune arbitrară cu coordonata x a oricărui sector ca suma proiecţiilor tuturor forţelor exterioare situate la dreapta de la secţiune considerată.

Fig. 3.1.1

Funcţiile de variaţie ale forţei axiale în cele trei regiuni sunt:

sectorul AB, ax0 N = -3F sectorul BC, a4xa

108

5qa.N(4a) 4a,x

-qaN(a) ,ax )ax(q2F2F3)x(N

sectorul CD, a5xa4 qa5a3q2F2F3)x(N .

Cu valorile determinate ale forţei axiale se trasează diagrama forţelor axiale pe toată lungimea barei (fig. 3.1.1, b). b) Dimensionarea barei Din diagrama forţelor axiale (fig. 3.1.1,b) se vede că secţiunile periculoase sunt cele de pe porţiunea CD unde forţa axială maximă este egală cu 5qa. Condiţia de rezistenţă la întindere

aA

N ,

de unde reiese

16010105qa5bNA 3aa 17,7mm,

unde b este latura pătratului. Se adoptă b = 18 mm. Problema 2 O bară de secţiune circulară executată din oţel cu tensiunea admisibilă tangenţială a =50 MPa, încastrată într-un capăt este

încărcată cu un moment de torsiune distribuit cu intensitatea m şi cu momente concentrate cu sensurile indicate în fig. 3.2.1, a. Se cere: a) să se traseze diagrama momentelor de torsiune; b) să se dimensioneze bara, pentru M = 10 kNm. Rezolvare a) Trasarea diagramei momentelor de torsiune Momentul de torsiune tM se exprimă prin momentele

exterioare: tM în secţiunea este egal cu suma momentelor exterioare

situate de o parte a secţiunii examinate ( la stânga sau la dreapta secţiunii). Împărţim bara în sectoarele AB, BC, CD, DE. Alegem originea coordonatelor în punctul stâng extrem al barei. Alcătuim funcţiile de variaţie ale momentului de torsiune în cele patru regiuni.

109

Fig. 3.2.1

Sectorul AB, ax0

M3)x(M t .

Sectorul BC, a3xa

.M5)a3(M ,a3x

M3)a(M ,ax)ax(

a

M4M3)ax(mM3)x(M

t

tt

Sectorul CD, a4xa3

M7M2a2a

M4M3)x(M t

Sectorul DE, a5xa4

M2M5M2a2a

M4M3)x(M t

Diagrama momentelor de torsiune este reprezentată în fig. 3.2.1, b. Din diagrama se vede că secţiunile periculoase sunt cele de pe porţiunea CD unde Mtmax = 7M. Această mărime trebuie folosită anume în calculul la rezistenţă.

110

b) Dimensionarea barei Cum se vede din diagrama momentelor de torsiune momentul maxim este egal cu 7M. Condiţia de rezistenţă la torsiune

a

tpa

p

t MW

W

M

Pentru secţiunea circulară modulul de rezistenţă polar este dat de relaţia 16/dW 3

p atunci

36

3

3

a

t

105014,3

101016M16d 0,1 m = 100 mm.

Problema 3 Pentru consola cu secţiune pătrată executată din oţel cu tensiunea admisibilă adm = 150 MPa având schema statică şi

încărcările din fig. 3.3.2, a se cere: a) să se traseze diagrama forţelor tăietoare T şi diagrama momentelor încovoietoare M; b) să se dimensioneze grinda, pentru F = 10 kN, a = 1 m; c) să se traseze diagrama unghiurilor de rotire ; d) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor). Modulul de

elasticitate al materialului MPa 101,2E 5 . Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Rezolvare a) Calculul reacţiunilor Suma momentelor tuturor forţelor faţă de punctul A

.Fa12M0a3F22a3F0RM ;0M AAA)A(i .

Suma momentelor tuturor forţelor faţă de punctul C a3/)Fa3Fa12(R0aF 3a3RM0M AA)C(i ,

Fa5R A . Ecuaţia pentru verificare ( suma proiecţiilor tuturor forţelor pe verticala) 0F5F5F2F3R A b) Trasarea diagramelor eforturilor T şi M. Împărţim grinda în sectoarele AB, BC, CD. Alegem originea

111

a) Fig.3.3.1 b)

coordonatelor în punctul stâng extrem A al grinzii, orientăm axa X în lungul axei grinzii spre dreapta. Calculăm forţa transversală (tăietoare) T şi momentul încovoietor M într-o secţiune arbitrară cu abscisa X. Forţa tăietoare T într-o secţiune este suma proiecţiilor pe normala la axa barei a forţelor

Fig.3.3.2

112

din stânga secţiunii (sau celor din dreapta). Momentul încovoietor M, într-o secţiune transversală , este suma momentelor forţelor din stânga secţiunii (inclusiv cupluri) , luate faţa de secţiune (sau a celor din dreapta). Cele două eforturi sunt pozitive când au sensurile indicate pe fig. 3.3.1, a (1-1 este secţiune unde se calculează eforturile). Alcătuim funcţiile de variaţie ale eforturilor T, M în cele trei regiuni.

Sectorul AB, a2x0 (fig. 3.3.1,a) F5R)x(T A .

Fx5Fa12xRM)x(M AA .

După cum se vede din aceste ecuaţii, forţa tăietoare este identică în toate secţiunile sectorului, de aceea diagrama T are forma unui dreptunghi; funcţia M(x) este funcţia liniară. Pentru a construi graficul ei e suficient să se obţinem două puncte - la începutul şi la finele sectorului: pentru x = 0 (secţiunea A) M(0) = 12Fa; pentru x = 2a (secţiunea B) M(2a) = Fa2 . Conform acestor date construim diagrama M pe sectorul AB. Ordonatele pozitive ale diagramelor T şi M se pun de la axa în jos (diagrama M se construieşte pe fibrele întinse). Sectorul BC, a3xa2 (fig. 3.3.3)

Fig.3.3.3

F2FF5F3R)x(T A .

)a2x(F3Fx5Fa12)a2x(F3xRM)x(M AA .

pentru Fa2)a2a2(F3a2F5Fa12M(2a) a2x ; pentru 0)a2a3(F3a3F5Fa12M(3a) a3x .

113

Sectorul CD, a4xa3 (fig. 3.3.4)

Fig. 3.3.4

0F2F3F5F2F3R)x(T A .

0Fx5Fa12Fx5Fa12)a3x(F2)a2x(F3

Fx5Fa12)a3x(F2)a2x(F3xRM)x(M AA

.

Diagramele de eforturi sunt reprezentate în fig. 3.3.2, b şi c. În secţiunea B se produce un salt egal cu forţa 3F, obţinând două valori ale forţei tăietoare, corespunzătoare secţiunii din stânga şi a secţiunii din dreapta punctului B, în care este aplicată forţa 3F. Bara este solicitată la încovoiere, secţiunea periculoasă fiind secţiunea (A), în care se dezvoltă moment maxim Fa12Mmax .

c) Dimensionarea grinzii În fig. 3.2.2, b şi c sunt reprezentate diagramele de eforturi. Se observă că secţiunea periculoasă este secţiunea (A), în care se dezvoltă momentul încovoietor maxim, în valoare absolută, M = 12Fa.

Condiţia de rezistenţă la încovoiere adm1

1

W

M ,

în care 1W reprezintă modulul de rezistenţă axial al suprafeţei secţiunii transversale.

Formula de dimensionare se scrie a

11

MW

3366

3

admadm

max1 cm 800m10800

10150

101012Fa12MW

114

Pentru secţiunea pătrată 33

1 cm 8006

bW

cm 16,87 8006b 3 . Momentul de inerţie axial al secţiunii transversale a grinzii va fi

444

11 cm 5,674712

87,16

12

bI

d) Trasarea diagramei unghiurilor de rotire Fie originea coordonatelor în punctul A. Orientăm axa X în lungul axei grinzii spre dreapta.

Fig. 3.3.5

Pentru calculul deplasărilor pe verticală notată u şi unghiurilor de rotire notată vom aplica relaţiile lui V. Marina:

EI

ABM

AB

,

EI

S)xx(uu

BMAB

ABAAB .

Din fig. 3.3.5 avem:

a3

2 FaaFa2

2

1

aa22

1 Fa4a2Fa2

a3

4a2

3

2 Fa10a2Fa10

2

1

32

3

22

2

12

1

115

unde i sunt ariile diagramei momentelor încovoietoare pe intervale

(din fig. 3.3.5), i sunt distanţele dintre centrele de greutate ale ariilor

i şi axa verticală dusă prin secţiune unde se calculează deplasarea pe verticală. Unghiul de rotire în secţiunea A este nulă deoarece ea aparţine şi reazemului, 0A . Unghiul de rotire în secţiunea B:

EI

Fa14Fa4Fa10

EI

1

EI0

EI

22221

ABM

AB

rad. 0,0099 )mm(105,6747)mm/N(101,2

)mm(10)N(10144425

264

unde 21ABM este aria diagramei momentelor încovoietoare

pe intervalul AB (fig. 3.3.5). Unghiul de rotire în secţiunea C:

EI

Fa15

EI

Fa

EI

Fa14

EIEI

Fa14

EI

2223

2BCM

BC

rad. 0106,0)mm(105,6747)mm/N(101,2

)mm(10)N(10154425

264

unde 3BCM este aria diagramei momentelor încovoietoare pe

intervalul BC (fig. 3.3.5). Unghiul de rotire în secţiunea D

EIEI

Fa14

EI3

2BDM

BD

.

Din comparaţia relaţiilor pentru unghiurile de rotire ale

secţiunilor C şi D rezultă rad0106,0EI

Fa15 2

CD .

Diagrama de variaţie a unghiului de rotire al secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.3.2, d.

116

f) Trasarea diagramei deplasărilor pe verticală Deplasarea pe verticală în secţiunea A 0u A (secţiunea este situată pe reazem). Deplasarea pe verticală în secţiunea B:

EI

S)xx(uu

BMAB

ABAAB ,

unde diferenţa coordonatelor AB xx prezintă distanţa dintre

punctele B şi A, egală cu 2a metri; BMABS este momentul static al ariei

diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul AB faţă de axa verticală dusă prin secţiunea B (fig. 3.3.5).

EIEI

a200u 2211ABM

B

EI3

Fa52aFa4a

3

4Fa10

EI

1 322

mm. 23,12)mm(105,6747)mm/N(101,23

)mm(10)N(10524425

394

Deplasarea pe verticală în secţiunea C:

EI

S)xx(uu

CMBC

BCBBC ,

unde diferenţa coordonatelor BC xx prezintă distanţa dintre

punctele B şi A, egală cu a metri; CMBCS este momentul static al ariei

diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul BC faţă de axa verticală dusă prin secţiunea C (fig. 3.3.5).

.

EI

auuBCM

BBC

EI

au 33BB

EI3

Fa96

3

a2Fa

EI

1a

EI

Fa14

EI3

Fa52 32

23

mm. 58,22)mm(105,6747)mm/N(101,23

)mm(10)N(10964425

394

117

Deplasarea pe verticală în secţiunea D:

EI

S)xx(uu

DMCD

CDCCD ,

unde diferenţa coordonatelor CD xx prezintă distanţa dintre

punctele D şi C, egală cu a metri; DMCDS este momentul static al ariei

diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul CD faţă de axa verticală dusă prin secţiunea D (fig. 3.3.5). Deoarece pe intervalul CD

M = 0 DMCDS = 0. Deci.

auu CCD EI3

Fa141a

EI

Fa15

EI3

Fa96 323

mm. 17,33)mm(105,6747)mm/N(101,23

)mm(10)N(101414425

394

Diagrama de variaţie a deplasării pe verticală a secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.3.5, e. Observaţii utile în construcţia diagramelor deplasărilor. 1) În secţiunea unde se anulează momentul încovoietor unghiul de rotire este maxim sau minim, 0M este max sau min .

2) Efortul 0M , unghiul de rotire este crescător. 3) Efortul 0M , unghiul de rotire este descrescător. 4) Când momentul încovoietor este crescător convexitatea curbei unghiurilor este îndreptată spre valorile ale diagramei unghiurilor de rotire iar când momentul este descrescător – spre valorile . 5) În secţiunea unde se anulează unghiul de rotire deplasarea pe verticală (săgeata) este maximă sau minimă, u0 este maxu sau

minu . 6) Unghiul de rotire 0 , deplasarea pe verticală este descrescătoare. 7) Unghiul de rotire 0 , deplasarea pe verticală este crescătoare. 8) Când unghiul de rotire este crescător convexitatea curbei deplasărilor pe verticală este îndreptată spre valorile u ale diagramei deplasărilor pe verticală iar când unghiul de rotire este descrescător – spre valorile u .

118

Problema 4 Pentru o grindă simplu rezemată, din oţel cu tensiunea admisibilă a = 150 MPa, cu secţiunea transversală pătrată, încărcată

ca în fig. 3.4.1,a se cere: a) să se traseze diagrama forţelor tăietoare T şi diagrama momentelor încovoietoare M; b) să se dimensioneze grinda, pentru F = 10 kN, a = 1 m; c) să se traseze diagrama unghiurilor de rotire ; d) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor); e) formulaţi concluziile care rezultă din compararea celor două scheme de rezemare din probleme 3 şi 4.

Modulul de elasticitate MPa 101,2E 5 , tensiunea admisibilă

MPa 150a . Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul

2.1.1. Rezolvare a) Calculul reacţiunilor Suma momentelor tuturor forţelor faţă de punctul A

F3R0a4Ra3F22a3F ;0M DD)A(i .

Suma momentelor tuturor forţelor faţă de punctul D

F2R0a4RaF22a3F ;0M AA)D(i .

Ecuaţia pentru verificare ( suma proiecţiilor tuturor forţelor pe verticala trebuie să fie egală cu zero)

0F3F2F3F2RF2F3R DA . b) Trasarea diagramelor eforturilor T, M Alcătuim funcţiile de variaţie ale momentului încovoietor şi ale forţei tăietoare în cele trei regiuni.

Sectorul AB, a2x0

Fa4M(2a) a,2x

0M(0) 0,x 2Fx xR)x(M

;F2R)x(T

A

A

Sectorul BC, a3xa2 FF3F2F3R)x(T A

Fa3M(3a) a,3x

Fa4M(2a) ,a2x )a2x(F32Fx )a2x(F3xR)x(M A

119

Sectorul CD, a4xa3 F3F2F3F2F2F3R)x(T A

0M(4a) a,4x

Fa3M(3a) ,a3x )a3x(F2)a2x(F32Fx

)a3x(F2)a2x(F3xR)x(M A

Diagramele de eforturi T şi M sunt reprezentate în fig. 3.4.1, b şi c Bara este solicitată la încovoiere, secţiunea periculoasă fiind secţiunea (B), în care se dezvoltă moment maxim Fa4Mmax .

Fig.3.4.1

120

c) Dimensionarea grinzii Pentru dimensionare se scrie:

3366

3

admadm

max1 cm 267m10267

10150

10104Fa4MW

unde 1W este modulul de rezistenţă axial ( caracteristica geometrică a secţiunii transversale)

Pentru secţiunea pătrată 6

bW

3

1 , unde b este latura pătratului.

Rezultă mc 7,112676W6b 331

Momentul de inerţie axial al secţiunii transversale a grinzii va fi 4

44

11 cm 156012

7,11

12

bI

d) Trasarea diagramei unghiurilor de rotire Fie originea coordonatelor în punctul A. Orientăm axa X în lungul axei grinzii spre dreapta. Unghiul de rotire în secţiunea A vom calcula din condiţia că deplasarea pe verticală în punctul D este nulă. Aplicăm relaţia lui Marina pentru calculul deplasărilor:

0EI

Sa4uu

DMAD

AAD

Luând în consideraţie că 0u si 0u DA obţinem:

0)(EI

1a4 44332211A

)(aEI4

144332211A ,

unde i este aria diagramei momentelor încovoietoare pe un interval,

i este distanţa dintre centrul de greutate al ariei i şi axa verticală dusă prin punctul D unde se calculează deplasare(fig. 3.4.2).

121

Fig. 3.4.2

Din fig. 3.4.2 avem:

a3

2a

3

2 Fa

2

3aFa3

2

1

a3

5aa

3

2 Fa

2

1aFa

2

1

a2

3aa

2

1 Fa3aFa3

a3

8a2a2

3

1 Fa4a2Fa4

2

1

42

4

32

3

22

2

12

1

Unghiul de rotire în secţiunea A va fi:

a

3

2Fa

2

3a

3

5Fa

2

1a

2

3Fa3a

3

8Fa4

aEI4

1 2222A

EI4

Fa17 2

rad, 013,0)mm(101560)mm/N(101,24

)mm(10)N(10174425

264

Unghiul de rotire în secţiunea B:

EI4

Fa

EI

Fa4

EI4

Fa17

EIEI4

Fa17

EI

2221

2ABM

AB

122

rad. 00076,0)mm(101560)mm/N(101,24

)mm(10)N(104425

264

unde 1ABM este aria diagramei momentelor încovoietoare pe

intervalul AB (fig. 3.4.2). Unghiul de rotire în secţiunea C

22

232

2BCM

BC Fa2

1Fa3

EI

1

EI4

Fa

EIEI4

Fa

EI

rad. 0099,0)mm(101560)mm/N(101,24

)mm(10)N(1013

EI4

Fa134425

2642

unde 21BCM este aria diagramei momentelor încovoietoare

pe intervalul BC (fig. 3.4.2). Unghiul de rotire în secţiunea D

EI4

Fa19

EI2

Fa3

EI4

Fa13

EIEI4

Fa13

EI

2224

2CDM

CD

rad. 0145,0)mm(101560)mm/N(101,24

)mm(10)N(10194425

264

Luând în consideraţie că unghiul de rotire în secţiunea B are semnul plus iar în secţiunea C are semnul minus vom determina pe sectorul BC secţiune (fie coordonata acestei secţiuni x*) unde unghiul de rotire se anulează. Pentru acesta alcătuim expresia generală a rotirii pentru sectorul BC. Unghiul de rotire în secţiunea cu coordonata x* va vi (fig. 3.4.3):

Fig. 3.4.3

123

EIEI4

Fa

EI32

2BxM

Bx

. (3.4.1)

Egalăm expresia (3.4.1) cu zero

04

Fa0

EIEI4

Fa32

232

2

x

(3.4.2)

Momentul în secţiunea cu coordonata x*: FxFa6Fa6Fx3Fx2)a2x(F3xR)x(M A .

Înălţimea triunghiului cu aria 3 :

Fa2Fx)FxFa6(Fa4)x(MFa4KLKNNL . Calculăm ariile:

)a2x)(FxFa6()a2x)(x(M *2

22 Fa12)x(FFax8 .

)a2x)(Fa2Fx(2

1)a2x(NL

2

13

)Fa4Fax4)x(F(2

1 22

Substituim 32 si în expresia (3.4.2) pentru x

:

)Fa12)x(FFax8(4

Fa

4

Fa 222

32

2

0a41ax24)x(20)Fa4Fax4)x(F(2

1 2222

a063,2x Deci, în secţiunea cu coordonata x = 2,063a = 2,063 m. unghiul de rotire se anulează. Diagrama de variaţie a unghiului de rotire al secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.4.1, d.

124

e) Trasarea diagramei deplasărilor pe verticală Pentru calcularea deplasărilor aplicăm relaţia lui Marina. Deplasarea pe verticală în secţiunea A = 0 (este situată pe reazem).

Fig. 3.4.4

Deplasarea pe verticală în secţiunea B:

EI

S)xx(uu

BMAB

ABAAB ,

unde diferenţa coordonatelor AB xx prezintă distanţa dintre

punctele B şi A, egală cu 2a metri; BMABS este momentul static al ariei

diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul AB faţă de axa verticală dusă prin secţiunea B (fig. 3.4.4).

EI

a20u 1ABM

AB

EI

a2u 11AB

EI6

Fa35a

3

2Fa4

EI

1a2

EI4

Fa17 32

2

mm. 81,17)mm(101560)mm/N(101,26

)mm(10)N(10354425

394

Deplasarea pe verticală în secţiunea C:

EI

S)xx(uu

CMBC

BCBBC ,

unde diferenţa coordonatelor BC xx prezintă distanţa dintre

punctele B şi C, egală cu a metri; CMBCS este momentul static al

125

ariei diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul BC faţă de axa verticală dusă prin secţiunea C (fig. 3.4.4).

EI

auuBCM

BBC 3322BB EI

1au

EI4

Fa17a

3

2Fa

2

1

2

aFa3

EI

1a

EI4

Fa

EI6

Fa35 322

23

mm. 97,12)mm(101560)mm/N(101,24

)mm(10)N(10174425

394

Calculăm valoarea extremă a deplasării pe verticală, care va fi în secţiunea unde unghiul de rotire se anulează (pentru x = 2,063a) (fig. 3.4.3).

EI

S)a2x(uu

xMBx

BBmax

EI

S)a2a063,2(u

xMBx

BB

EIa063,0u

*33

*22

BB

2

a2x)Fa12)x(FFax8((

EI

1

EI4

063,0Fa

EI6

Fa35 2223

)a2x(3

2)Fa4Fax4)x(F(

2

1 22

EI4

063,0Fa

EI6

Fa35 23

2

a2a063,2)Fa12a063,2Fa063,2Fa8((

EI

1 22

)a2a063,2(3

2)Fa4063,2Fa4a063,2F(

2

1 222

EI

Fa84,5)a2x(

3

2)Fa4Fax4)x(F(

2

1 322

126

mm. 83,17)mm(101560)mm/N(101,2

)mm(10)N(1084,54425

394

Diagrama de variaţie a deplasării pe verticală a secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.4.1, e. e) Concluziile. Tabelul 3.4.1

Problema 3

Problema 4

Mmax (kN) 120 40

umax (mm) 33,2 17,8

A (mm2) 285 137

Ai/A4 A3 /A4 =2,1 A4 /A4 =1

In tabelul 3.4.1 noi prezentam rezultatele generale ce permite să judecăm despre faptul care din schemele de rezemare sunt raţionale pentru grinda dată si care nu. În acest tabel Mmax este momentul maxim care apare în bara; umax este deplasarea pe verticala maximă a secţiunilor grinzii; Ai este aria necesară a secţiunii transversale. Valorile din ultimul rând arată de câte ori grinda cu schema de rezemare dată este mai grea decât grinda cu schema de rezemare din problema 4. După cum se vede din tabel, mai raţională este schema de rezemare din problema 4, care implica micşorarea de trei ori a momentului maxim, de două ori a deplasării maxime pe verticală şi de două ori a greutăţii grinzii (A3 /A4 =2,1) faţă de grinda rezemată ca în problema 3.

Problema 5

Pentru secţiunea reprezentată în fig. 3.5.1, a este necesar: a) să se determine poziţia centrului de greutate; b) să se indice axele de inerţie centrale principale; c) să se calculeze valoarea momentelor de inerţie centrale principale şi a modulelor de rezistenţă.

127

Rezolvare Împărţim secţiunea dată în trei figuri simple: două dreptunghiuri cu aria 1A şi dreptunghi cu aria 2A (fig. 3.5.1, b). Trasăm axe iniţiale

21 X,X (axa 1X trece prin limita de sus a secţiunii; axa 2X coincide cu axa de simetrie).

a) b)

Fig.3.5.1

Vom calcula coordonatele centrului de greutate ale

secţiunii. Din motive de simetrie 0xc1 .

14

a45

a2a62

2a9a2a3a62

AA2

xAxA2x

22

22

21

)c(22

)c(21c

2

21

.

Din centrul de greutate (punctul C) trasăm axa centrală principală X2, care coincide cu axa de simetrie, şi perpendicular pe ea axa principală centrală X1.

Vom calcula distanţele dintre axe centrale principale )2(1

)1(1 X ,X

ale figurilor simple şi axa centrală principală X1 a secţiunii. 14a3a314a45b1 ; 7a914a452a9b2 .

128

Momentele de inerţie ale figurilor simple cu ariile 21 A,A faţă

de axele )2(1

)1(1 X ,X : 4

3)1(

11 a1812

a)a6(I

;

6

a

12

a2aI

43)2(

11

.

Momentele de inerţie centrale principale la secţiune:

222

)2(111

21

)1(1111 AbI)AbI(2I

;a294

11767a2)a

7

9(

12

a2a)a6)a

14

3(a18(2 422

3224

43

23

)2(221

21

)1(2222 a

3

86

12

a)a2()a6)a

2

3(

12

a6a(2IAsI2I ,

unde )1(22

)1(11 I ,I sunt momente de inerţie axiale ale figurii 1 faţă de

sistemul local X ,X (1)2

)1(1 , (2)

11I , (2)22I sunt momentele de inerţie axiale

ale figurii 2 faţă de sistemul local (2)2

)2(1 X ,X .

Modulele de rezistenţă:

;3

a1681

14/a45294

a11767

x

IW

34

max2

111

34

max1

222 a

3

43

a23

a83

x

IW

.

Problema 6. Bara cotită plană (cadru) din profil I cu tensiunea admisibilă

MPa150adm este rezemată şi încărcată ca din fig. 3.6.1, a. Să se

traseze diagramele de eforturi (momente încovoietoare M, forţe tăietoare T, forţe axiale N) dacă F = qa, M = qa2. Să se dimensioneze bara (q = 10 kN/m, a = 1 m). Rezolvare a) Calculul recţiunilor Suma momentelor faţă de articulaţia K

0Fa2M2/aqaa2R- ;0M AK

129

qa4

3

a2

)212/1(qa

a2

Fa2M2/qaR

22

A

.

Fig.3.6.1

Suma momentelor faţă de punctul B

0a2R-2FaM-a/2qa ;0M KB

qa4

3

a2

)212/1(qa

a2

Fa2M2/qaR

22

K

.

Suma proiecţiilor tuturor forţelor pe orizontala qaH0F2Hqa KK .

Ecuaţia pentru verificare aH2a2FM-a/2qa- ;0M KA

0)4/31412/1(qa 2 130

b) Trasarea diagramelor eforturilor N, T şi M Împărţim bara cotită în sectoare: AB, BC, CD, DE, EK. Forţa axială N în secţiunea transversală arbitrară este egală cu suma proiecţiilor tuturor forţelor exterioare situate de la o parte de la secţiunea examinată pe normala la ei. Proiecţia forţei exterioare orientate de la secţiune se ia cu semnul plus, iar proiecţia forţei orientate spre secţiune se ia cu semnul minus. Forţa transversală în secţiunea transversală este egală cu suma proiecţiilor tuturor forţelor exterioare situate la o parte de la secţiune examinată pe planul secţiunii. În acesta suma forţa exterioară se ia cu semnul plus dacă ea tinde se rotească părţile barei secţionate în sensul acelor de ceasornic. Momentul încovoietor în secţiune transversală este egal cu suma momentelor tuturor forţelor şi cuplurilor situate la o parte de la secţiune examinată. Pentru momentul încovoietor semnul se ia plus dacă sarcina „deschide” cadru sau se ia din proprie iniţiativă un moment oarecare pozitiv. Pentru trasarea diagramelor de eforturi pe sectoare AB, BC, CD se parcurge grinda în sensul A-B-C-D. Eforturile pe fiecare din barele AB, BC şi CD se obţin prin evaluarea forţelor de la stânga secţiunii. Alcătuim funcţiile de variaţie ale eforturilor în cele cinci regiuni.

Sectorul AB, as0 4/qa3R)s(N A ;

qa.T(a) a,s

0;T(0) 0,s sq)s(T

.2/qa M(a) ,as

;8/qaM(a/2) a/2,s

0;M(0) 0,s

2/qs)s(M2

22

Sectorul BC, as0 4/qa3R)s(N A ;

qa)s(T ;

.2/qa3M(a) ,as

;2/qaM(0) 0,s )s2/a(qa)s(M

2

2

131

Sectorul CD, as0 ;qa)s(N

;4/qa3R)s(T A

.4/-3qaM(a) ,as

;2/-3qaM(0) 0,s 2/a3qasR)s(M

2

2

A

Pentru trasarea diagramelor de eforturi pe sectoare DE şi EK se parcurge grinda în sensul K-E-D. Eforturile pe fiecare din barele EK şi DE se obţin prin evaluarea forţelor de la dreapta secţiunii.

Sectorul EK, as0 ;4/qa3R)s(N K

;qaH)s(T K

.qaM(a) a,s

0;M(0) 0,s sqasH)s(M 2K

Sectorul DE, as0 ;qaqa2qaF2H)s(N K

;4/qa3R)s(T K

/4.qaM(a) ,as

;qaM(0) 0,s s)4/qa3(qasRaH)s(M

2

22

KK

Diagramele de eforturi sunt reprezentate în fig.3.6.1, b, c şi d. Cum se vede din diagrama momentelor încovoietoare secţiunea periculoasă este secţiunea (C) unde momentul este maxim şi este egal

Nmm 1015Nm10152

110103

2

qa3M 63

232

max

.

с) Dimensionarea barei

Dimensionarea se va face cu formula a

maxnec

MW

3332

33

a

2

nec cm 100mm10100)(N/mm 150

(Nmm) 2/10101032qa3W

După sortiment alegem profilul în I nr.16 cu 31 cm 117W .

132

Problema 7 În fig. 3.7.1, a este prezentată în axonometrie axa unei bare cotite spaţiale ( toate bare drepte sunt reciproc perpendiculare între ele) de secţiune circulară executată din oţel cu tensiunea admisibilă

MPa150a . Se cere: a) să se traseze diagramele de momente

încovoietoare şi de torsiune, dacă 2qaM ,qaF ; b) să se dimensioneze bara pentru q = 10 kN/m, a = 1 m. Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Rezolvare a) Trasarea diagramelor eforturilor M1, M2, M3 Momentul încovoietor în secţiunea arbitrară a barei cotite în spaţiu se determină ca suma algebrică a momentelor forţelor exterioare care acţionează de la o partea de la secţiunea examinată. Împărţim bara cotită în bare şi alcătuim funcţiile de variaţie ale eforturilor în cele patru regiuni.

Bara AB, as0 , (fig.3.7.1, a)

2ga)a(M ;as

8ga)2a(M ;2as

0)0(M ;0s

2

qs)s(M

21

21

12

1

Bara BC, 2as0 , (fig.3.7.1, b)

Pentru determinarea momentelor încovoietoare imaginar se mişcă rezultanta forţei distribuită qa paralel în punctul B şi se adaugă

momentul care acţionează în jurul axei x1 şi este egal cu 2ga 2 . Deoarece planul de acţiune acestui moment este perpendicular pe axa barei BC el produce răsucirea.

2ga)2a(M ,2as

0)0(M ,0s sga)s(M 2

2

22

Momentul de torsiune 2gaM 2t .

133

b) c) d)

e) Fig.3.7.1 f)

Bara CD; 2as0 (fig. 3.7.1, c)

.ga)2a(M ,2as

2ga(0)M , 0s )sa(ga)s(M

22

22

2

.2gaM ;ga)s(M 2t

23 .

134

Bara DE , as0 (fig. 3.7.1, d)

0)a(M ,as

ga)0(M ,0s sFga)s(M

2

222

2

2t

21 gaMM ;2gaM

Diagramele momentelor sunt reprezentate în fig. 3.7.1, e şi f b) Dimensionarea barei Condiţia de rezistenţă la barele cu secţiunea circulară solicitate la încovoiere de momenul M şi la răsucire de momentul tM :

a1

ech

W

M , unde echM este momentul echivalent, care este dat de

relaţia 2t

22

21ech M75,0MMM .

Momentul echivalen în secţiune D pe sectorul CD: 2222222

ech qa48,1)2/qa(75,0)qa()qa(M .

Momentul echivalen în ăn secţiunea D pe sectorul DE: 2222222

ech qa41,1)qa(75,0)2/qa()qa(M .

Momentul echivalnt maxim are loc în secţiune D şi este egal cu 2qa48,1 .

Pentru secţiunea circulară modulul de rezistenţă axial este dat de

relaţia 32/dW 31 , atunci

mm 11415014,3

101101048,1

14,3

32qa48,132Md 3

33

3

a

2

3

a

ech

Problema 8 Să se construiască diagramele de eforturi T şi M pentru grinda din fig. 3.8.1 cu secţiunea pătrată solicitată de forţa concentrată F, forţa distribuită uniform cu intensitatea ”q” şi cuplul concentrat M,

dacă 2qaM ,qaF . Să se dimensioneze grinda pentru

kN/m, 10q MPa 150adm .

135

Rezolvare a) Calculul reacţiunilor Suma momentelor tuturor forţelor faţă de punctul B:

4

qaR0a2RM

2

aqa-Fa ;0M DD)B(i .

Suma momentelor tuturor forţelor faţă de punctul D

Fig. 3.8.1

4

a7R0M

2

a3qaa2Ra3F 0M BB)D(i

Ecuaţia pentru verificare ( suma proiecţiilor tuturor forţelor pe verticala) 04qaqa4qa7qaRqaRF DB

b) Trasarea diagramelor eforturilor T şi M Alcătuim funcţiile de variaţie ale momentului încovoietor şi ale forţei tăietoare în cele trei regiuni.

Sectorul AB, ax0

2-qaM(a) a,x

0M(0) 0,x xF)x(M

qaF)x(T

136

Sectorul BC, a2xa )ax(q4qa7qa)ax(qRF)x(T B

4.qa-T(2a) 2a,z

4;3qaT(a) a,z )ax(q4qa3

2)ax(q)ax(RxF)x(M 2B

.43qa-M(2a) ,a2x

;4qa3)23aM( ,2a3x

;-qaM(a) a,x

2

a)-q(x-a)-qa(x

4

7xqa

2

2

22

Momentul încovoietor are valori extremale în secţiunile unde forţa transversală se anulează, adică

.a4

7x0)ax(qqa

4

7qa)ax(qRF B

Valoarea extremală a momentului

.qa32

23

2

)a4a7(q)aa

4

7(qa

4

7a

4

7qa)

a4

7(M 2

2

Sectorul CD, 3xa2 4/qaqa4qa7qaqaRF)x(T B

M)2/a3x(qa)ax(RxF)x(M B

0M(3a) ,a3x

4/qaM(2a) 2a, x qa3a/2)-qa(x-a)-qa(x

4

7xqa

22

Diagrama arată că secţiunea periculoasă este secţiunea B, unde

momentul maxim (după modulul) este .qa 2 Diagramele de eforturi sunt reprezentate în fig. 3.8.1, b şi c. c) Dimensionarea grinzii

Secţiunea periculoasă este în reazemul B unde 2max qaM

Modulul de rezistenţă axial necesar

343

adm

2

adm

maxx mm1067,6

150

10110qaMW

137

Pentru secţiunea pătrată 6

bW

3

x , unde b este latura

pătratului.

Rezultă mm 7,731067,66W6b 3 43x

Problema 9 Pentru o grindă încărcată conform fig. 3.9.1, a cu secţiune pătrată executată din oţel cu tensiunea admisibilă MPa150adm , se

cere: a) să se ridice nedeterminarea statică; b) să se traseze diagrama forţelor tăietoare T şi diagrama momentelor încovoietoare M, dacă

FaM ; c) să se dimensioneze bara, pentru F = 10 kN, a = 1 m; d) să se traseze diagrama unghiurilor de rotire ; e) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor); f) formulaţi concluziile care rezultă din compararea celor trei scheme de rezemare

din probleme 3, 4 şi 9. Modulul de elasticitate MPa 101,2E 5 . Datele necesare pentru rezolvare sunt date în tabelul 2.1.1. Rezolvare

În fig.3.9.1, b, c şi d s-au trasat: diagrama )1(M - pentru cazul

când asupra barei acţionează reacţiunea RD; diagrama )2(M - pentru cazul când asupra barei acţionează forţa concentrată 2F; diagrama

)3(M - pentru cazul când asupra barei acţionează forţa concentrată 3F; diagrama forţelor transversale T; diagrama momentelor încovoietoare M. a) Ridicarea nedeterminării statice Problema este o singură dată static nedeterminată. Alcătuim ecuaţia de deplasare. Din condiţia că săgeata în reazemul D este nulă folosind relaţia lui Marina obţinem ecuaţia:

EI

Sa4uu

DMAD

AAD .

Deoarece 0S avem 0u si 0= ,0u DMADDAA

0S 332211DMAD

138

Fig. 3.9.1

139

0a3

10Fa6a3Fa9a

3

8aR8S 222

DDMAD .

F64

141R D .

b) Trasarea diagramelor forţelor tăietoare şi ale momentelor încovoietoare Alcătuim funcţiile de variaţie ale eforturilor T, M în cele trei regiuni.

Sectorul CD: ax0 ;

F64

141RT D ;

xF64

141)x(M

Fa64

141=M(a) ;ax

0)0(M ;0x

Sectorul BC: a2xa ;

F64

13F2F

64

141F2R)x(T D ;

)ax(F2xF64

141)ax(F2xR)x(M D

. Fa32

77 =M(2a) ;a2x

;Fa64

141=M(a) ;ax

Sectorul AB, a4xa2

F64

179F3F2F

64

141F3F2R)x(T D ;

).a2x(F3)ax(F2xF64

141

)a2x(F3)ax(F2xR)x(M D

140

. Fa16

51 =M(4a) ;a4x

;Fa32

77=M(2a) ;a2x

Luând în consideraţie că momentul încovoietor în secţiunea B are semnul plus iar în secţiunea A are semnul minus vom determina pe sectorul AB secţiune (fie coordonata acestei secţiuni x ) unde momentul se anulează. Pentru acesta alcătuim expresia generală a momentului pentru sectorul AB şi egalăm cu zero. Momentul în secţiunea cu coordonata x va vi:

)a2x(F3)ax(F2xR)x(M D

a179

512x0)a2x(F3)ax(F2xF

64

141

Distanţa dintre secţiune unde momentul se anulează şi capătul

grinzii din stânga este: a179

204a

179

512a4xa4

Diagrame de eforturi sunt reprezentate în fig. 3.9.1, e şi f. c) Dimensionarea barei Momentul încovoietor are cea mai mare valoare în secţiunea din

încastrare unde .Fa16

51Mmax

Modulul de rezistenţă necesar, din condiţia de rezistenţă la încovoiere, (ţinând seama de momentul maxim şi tensiunea admisibilă): este:

333

2

33

admadm

maxnec

cm 5,212mm105,212

)(N/mm 150

)mmN( 16/1010105116Fa51MW

Latura b ce defineşte dimensiunile secţiunii transversale pătrate

va fi: 6

bW

3

x , mc 84,105,2126W6b 33x

141

Momentul de inerţie axial al secţiunii transversale a grinzii va fi 4

44

11 cm 115212

84,10

12

bI

d) Trasarea diagramei unghiurilor de rotire Aplicăm relaţia lui Marina. Unghiul de rotire în secţiunea D:

321AD

ADM

DA EI

1

EI

a2Fa6

2

1a3Fa6

2

1a4aR4

2

1

EI

10 D

EI8

Fa2169

64

1418

EI

Fa 22

rad. 011,0)mm(101152)mm/N(101,28

)mm(10)N(10214425

264

Unghiul de rotire în secţiunea C se exprimă prin unghiul de rotire în secţiunea D:

EI

CDM

DC

unde CDM este aria diagramei momentelor încovoietoare pe inter-

valul CD (fig. 3.9.1, b).

aaR

2

1

EI

1

EI8

Fa21D

2

C

EI128

Fa195

64

141

2

1

8

21

EI

Fa 22

rad. 0063,0)mm(101152)mm/N(101,2128

)mm(10)N(101954425

264

142

Analog vom determina unghiul de rotire în secţiunea B.

EI

BDM

DB

,

unde BDM este aria diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul

BD (fig. 3.9.1)

aFa2

2

1a2aR2

2

1

EI

1

EI8

Fa21D

2

B

EI32

Fa251

32

141

8

21

EI

Fa 22

rad. 0032,0)mm(101152)mm/N(101,232

)mm(10)N(10254425

264

În secţiune cu coordonata a179

512x unde momentul de

încovoiere se anulează unghiul de rotire are valoare extremă (se calculează aria diagramei din stânga):

EIEI0

EIEI

xAM

xAM

xAM

A

xAM

A

unde xAM

este aria diagramei momentelor pe intervalul xA (se calculează aria diagramei din stânga, fig. 3.9.2)

Fig. 3.9.2

EI1432

Fa2601a

179

204Fa

16

51

2

1

EI

1 2

rad. 0075,0)mm(101152)mm/N(101,21432

)mm(10)N(1026014425

264

143

Luând în consideraţie că unghiul de rotire în secţiunea B are semnul plus iar în secţiunea C are semnul minus vom determina pe sectorul BC secţiune (fie coordonata acestei secţiuni x*) unde unghiul de rotire se anulează. Pentru acesta alcătuim expresia generală a rotirii pentru sectorul BC şi egalăm cu zero. Unghiul de rotire în secţiunea cu coordonata x* va vi (fig. 3.9.3):

*Dx2

*Dx1D

*DxM

D*x EI

1

EI

Fig. 3.9.3

0)a*x()a*x(F22

1*x*xR

2

1

EI

1

EI8

Fa21D

2

.

0)a*x(F*)x(R2

1

8

Fa21 22D

2

0)a*x(F*)x(F128

141Fa

8

21 222

a67,1*x0a464*ax256)x(13 22 .

Deci, unghiul de rotire în secţiunea cu coordonata x* = 1,67a este zero (fig. 3.9.1, g). Diagrama de variaţie a unghiului de rotire al secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.9.1, g.

144

f) Trasarea diagramei deplasărilor Fie originea coordonatelor în punctul D. Orientăm axa X în lungul axei grinzii spre stânga. Aplicăm relaţia lui Marina. Deplasarea verticală a punctului D = 0 (este situat pe reazem). Deplasarea verticală a punctului C

EI

S)xx(uu

CMCD

DCDDC ,

unde diferenţa coordonatelor DC xx prezintă distanţa dintre

punctele D şi C, egală cu a metri; CMCDS este momentul static al ariei

diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul CD.

EI

a0uCDM

DC a3

1aR

2

1

EI

1a

EI8

Fa21 2D

2

EI128

Fa289Fa

64

141

6

1

EI

1

EI8

Fa21 33

3

mm. 33,9)mm(101152)mm/N(101,2128

)mm(10)N(102894425

394

Deplasarea verticală a punctului B

EI

S)xx(uu

BMBD

DBDDB ,

unde diferenţa coordonatelor DB xx prezintă distanţa dintre

punctele B şi D, egală cu 2a metri; BMBDS este momentul static al ariei

diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul BD.

Fig. 3.9.4

145

EI

a20u 2BD21

BD1

DB a3

1aR

2

1

EI

1a

EI8

Fa21 2D

2

EI128

Fa289Fa

64

141

6

1

EI

1

EI8

Fa21 33

3

mm. 33,9)mm(101152)mm/N(101,2128

)mm(10)N(102894425

394

Calculăm valoarea extremă a deplasării verticale, care va fi în secţiunea unde unghiul de rotire se anulează (pentru x* = 1,67a).

)aa67,1(3

1)aa67,1(F2

2

1a67,1

3

1)a67,1(R

2

1

EI

1

a67,1EI8

Fa21

EI

1

a67,1EI8

Fa210

EI

Sa67,1uu

22D

2*x

2*Dx

2*x

1*Dx

1

2*x*MDx

DD*x

EI

Fa77,2

3

167,067,1

3

167,1

128

14167,1

8

21

EI

Fa 332

3

mm. 45,11)mm(101152)mm/N(101,2

)mm(10)N(1077,24425

394

Diagrama de variaţie în lungul axei barei a deplasării pe verticală a secţiunilor este reprezentată în fig. 3.9.1, h. f) Concluziile. Tabelul 3.9.1

Problema 3

Problema 4

Problema 9

Mmax (kN) 120 40 32

umax (mm) 33,2 17,8 11,4

Ai (mm2) A3=285 A4=137 A9=117

Ai /A9 A3 /A9=2,4 A4 /A9=1,2 A9 /A9 =1

146

In tabelul 3.9.1 noi prezentam rezultatele generale ce permite să judecăm despre faptul care din schemele de rezemare sunt raţionale pentru grinda dată si care nu. În acest tabel Mmax este momentul maxim care apare în bara; umax este deplasarea pe verticala maximă a secţiunilor grinzii; Ai este aria necesară a secţiunii transversale. Valorile din ultimul rând arată de câte ori grinda cu schema de rezemare dată este mai grea decât grinda cu schema de rezemare din problema 9. După cum se vede din tabel, mai raţională este schema de rezemare din problema 9, care implica micşorarea de patru ori a momentului maxim, de trei ori a deplasării maxime pe verticală şi de 2,4 ori a greutăţii grinzii (A3 /A9 =2,4) faţă de grinda rezemată ca în problema 3. Problema 10 Pentru o bară din profil I cotită plană din fig. 3.10.1, a din oţel cu tensiunea admisibilă a =150 MPa, se cere: a) să se ridice

nedeterminarea statică; b) să se traseze diagrama momentelor încovoietoare dacă M=Fa; c) să se dimensioneze bara pentru F = 10 kN, a = 1 m. Rezolvare

În fig. 3.10.1 s-au trasat: diagrama )1(M - pentru cazul când

asupra barei acţionează forţa 2F ;diagrama )2(M - pentru cazul când asupra barei acţionează componenta reacţiunii BR ; diagrama momentelor încovoietoare M. a) Ridicarea nedeterminării statice Problema este o singură dată static nedeterminată. Alcătuim ecuaţia de deplasare. Din condiţia că deplasarea pe verticală în reazemul C este nulă folosind relaţia lui Marina obţinem ecuaţia de deplasare

EI

Sa2uu

BVMAB

AvA

vB ;

unde BVMABS este momentul static al ariei diagramei momentelor

încovoietoare faţă de axa verticală care trece prin reazemul B. 147

Fig. 3.10.1

Deoarece 0uu AvB

vA obţinem 0SBV

MAB

332211BVMABS

0a23

2a2aR2

2

1a2a2aR2a2a2Fa4

2

1BB ;

4/F3R B b) Trasarea diagramei momentelor încovoietoare Pentru trasarea diagramelor de eforturi se parcurge grinda în sensul B - A. Eforturile pe fiecare din barele se obţin prin evaluarea forţelor de la dreapta secţiunii. Diagrama momentelor încovoietoare este reprezentată în fig. 3.10.1, d. c) Dimensionarea barei Se observă că secţiunea periculoasă este secţiunea A, în care se dezvoltă momentul încovoietor maxim, în valoare absolută

2/Fa5Mmax .

148

Grinda fiind solicitată la încovoiere, pentru dimensionare se utilizează formula

a

1nec1

MW

Modulul de rezistenţă axial necesar (ţinând seama de momentul maxim ţi tensiunea admisibilă) este:

3332

33

aa

maxnec1

cm 167mm 10167)(N/mm 150

mm)(N /21010105

2/Fa5MW

După sortiment alegem profilul în I nr.20 cu Wx = 214 cm3. Problema 11 Pentru o grindă din fig. 3.11.1, a de secţiune circulară de oţel cu tensiunea admisibilă a =150 MPa, încărcată cu sarcină verticală şi

orizontală se cere: a) să se traseze diagramele momentelor încovoietoare vertical M1 şi orizontal M2 dacă 2qaM ,qaF ; b) să se dimensioneze bara pentru q = 10 kN/m, a = 1 m. Rezolvare a) Trasarea diagramei momentelor în plan vertical M1

Sectorul AB, ax0

2qaM(a) a, x

0M(0) 0,x qaxFx)x(M

Sectorul BD, a3xa

2

22

qa2M(3a) a,3 x

qaM(a) a,x qaqaxMFx)x(M

b) Trasarea diagramei momentelor în plan orizontal M2

Sectorul BC, ax0

2qa2M(a) a, x

0M(0) 0,x xqa2Fx2)x(M

149

Sectorul CD, a2xa

2

2

2

2

2qaM(2a) ,a2x

2/5qaM(3a/2) ,2/a3x

qa2M(a) ,ax

2/)ax(q4Fx2)x(M

Fig.3.11.1

Momentul încovoietor maxim are loc în secţiunea unde forţa tăietoare se anulează, deci pentru sectorul CD în plan orizontal avem

2/qa5MM(3a/2)

;2/a3x0)ax(q4F2)x(T2

max

c) Dimensionarea barei. Determinăm care din cele două secţiuni D sau secţiunea de abscisă x = 2,5a este periculoasă. Momentele încovoietoare totale în secţiunile cu coordonatele a5,2x şi a3x vor fi:

150

22

21tot MM)a5,2(M 22222 qa5,8)qa5,2()qa5,1(

22

21tot MM)a3(M 22222 qa8)qa2()qa2( .

Momentul încovoietor total este maxim în secţiunea cu coordonata

a5,2z şi are valoarea 2qa5,8 .

Pentru secţiunea circulară condiţia de rezistentă va fi a1

tot

W

M .

Pentru secţiunea circulară modulul de rezistenţă axial este dat de relaţia 32/dW 3

X , atunci

mm 6,12515014,3

101101092,232

qa5,832M32d

3

33

3

a

2

3

a

tot

Se adoptă d = 126 mm.

Problema 12

Pe un arbore (fig. 3.12.1) sunt calate două roţi dinţate. Roţile

sunt solicitate de forţe P(1) şi P(2) )RPRP( 2)2(

1)1( . Forţa P(2)

=10 kN este verticală iar unghiul dintre forţa P(1) şi orizontala este

o30 . Razele R roţilor dinţate şi distanţe sunt date pe desen. Rezistenţa admisibilă a materialului arborelui a =150 MPa. Să se

dimensioneze diametrul arborelui. Rezolvare a) Calculul forţei aplicate asupra roţii cu raza R1

Momentul transmis de arbore

Mt= P(1)R1 = P(2)R2 = Nm 1500101501010 33

Forţa circulară kN 15N10151,0

1500

R

MP 3

1

t1

151

Componenta verticală a forţei P(1)

kN 5,75,01530sinPP o)1()1(2

Componenta orizontală a forţei P(1)

kN 1385,01530cosPP o)1()1(1

Fig. 3.12.1

b) Calculul reacţiunilor Plan vertical

kN 16,9R0300R200101005,70M DDA

kN 33,8R0300R100102005,70M AAD

Plan orizontal kN 33,4H010013300H 0M DDA

kN 67,8H0300H200130M AAD

152

c) Trasarea diagramei momentelor încovoietoare Alcătuind expresiile generale a momentelor încovoietoare pentru sectoare se construieşte diagrame momentelor încovoietoare în plane vertical şi cel orizontal care sunt reprezentate în fig. 3.12.1. d) Dimensionarea Momentul încovoietor echivalent în secţiunea 1

2t

22

21ech M75,0MMM

Nm 1770150075,0867833 222

Momentul încovoietor echivalent în secţiunea 2

2t

22

21ech M75,0MMM

Nm 1647150075,0433916 222 .

Momentul încovoietor echivalent maxim se produc în secţiunea 1. Diametrul necesar al arborelui este:

mm 3,49150

10177032 M32 d 3

33

a

ech

Se adoptă d = 50 mm Problema 13 O bară de oţel încastrată la ambele capete ( fig. 3.13.1,a) şi solicitată de forţe axiale are secţiunea transversală dreptunghiulară cu

2b/h . Se cere: a) să se ridice nedeterminarea statică a barei; b) să se traseze diagrama efortului axial N; c) să se dimensioneze bara din condiţia de rezistenţă dacă qaF , q = 10 kN/m, a = 1 m; d) să se traseze diagrama de variaţie a deplasării axiale în lungul barei. Tensiunea admisibilă a materialului barei a =180 MPa. Modulul de

elasticitate MPa 101,2E 5 . Rezolvare a) Ridicarea nedeterminării statice Bara este static nedeterminată. Alcătuim ecuaţia de deplasare.

153

Ecuaţia deplasării trebuie să exprime, de fapt, că deplasarea în punctul D este nulă. Să scriem relaţia lui Marina:

EA

uuADN

AD

, (3.13.1)

unde )(u u DA este deplasarea axială a secţiunii A (D); ADN este aria

diagramei forţelor axiale pe intervalul AD, E este modul de elasticitate longitudinal al materialului barei; A este aria secţiunii transversale a barei (EA – rigiditatea la întindere sau compresiune). Întrucât deplasările 0uu DA (în reazeme A şi D) din relaţia (3.13.1) obţinem:

CD

NBCN

ABN

ADN

ADN

ADN ;00

EA

0EA

aR

EA

a)F4R(

EA

a)F2R( DDD

F3

2R D

Fig. 3.13.1

154

Suma proiecţiilor tuturor forţelor pe orizontala 3/F8R3/F2F2R0RF4F6R AADA .

Semnul minus arată că în realitate AR este orientată în direcţia opusă. b) Trasarea diagramei de variaţie a forţei axiale în lungul barei.

Sectorul AB ax0

.F3

8R)x(N A

Sectorul BC a2xa

.F3

10F6F

3

8F6R)x(N A

Sectorul CD a3xa2

.F3

2F4F6F

3

8F4F6R)x(N A

Cu valorile determinate ale forţei axiale se trasează diagrama forţelor axiale pe toată lungimea barei (fig. 3.13.1, c). Din diagrama se vede că secţiunile periculoase sunt cele de pe sectorul BC unde Nmax = 10F/3 c) Dimensionarea barei

Secţiunea periculoasă fiind pe porţiunea BC, 3

F10Nmax .

Condiţia de rezistenţă la întindere sau compresiune:

aA

N .

Aria necesară a secţiunii transversale dreptunghiulare cu 2b/h va fi

2nec b2b2bA .

;b2

3/F10

A

N adm2

max

155

mm 62,91806

1010

23

F10b

4

adm

Se adoptă b = 10 mm, 20h mm. d) Trasarea diagramei de variaţie a deplasării axiale în lungul axei barei Se calculează deplasările în secţiunile A, B, C, D.

;0u A

EA3

Fa8Fa

3

8

EA

10

EAuu

ABN

AB

.

.EA3

Fa2

3

Fa10

EA

1

EA3

Fa8

EAuu

BCN

BC

,03

Fa2

EA

1

EA3

Fa2

EAuu

CDN

CD

unde ABN

ABN

ABN , , sunt ariile diagramei forţelor axiale pe sectoare

AB, BC, CD. Diagrama de variaţie a deplasării în lungul axei este reprezentată în fig. 3.13.1, d. Problema 14 O bară de oţel încastrată la ambele capete ( fig. 3.14.1,a) şi solicitată de cuplurile de forţă are secţiunea transversală în forma de cerc. Se cere: a) să se ridice nedeterminarea statică a barei; b) să se traseze diagrama momentelor de torsiune; c) să se dimensioneze bara din condiţia de rezistenţă dacă M = 10 kNm, a = 1 m; d) să se construiască diagrama unghiurilor de rotire . Tensiunea admisibilă

tangenţială a materialului barei a = 45 MPa.

Rezolvare a) Ridicarea nedeterminării statice a barei Sistemul este o singură dată static nedeterminat. De aceea mai întâi ridicăm nedeterminarea statică. În acest scop înlăturăm

156

încastrarea din dreapta şi acţiunea ei asupra barei o înlocuim cu momentul DM . Acest moment se determină din condiţia că rotirea

secţiunii frontale din dreapta D este egală cu zero. Diagrama momentelor de torsiune în forma generală este reprezentată în fig.3.14.1, b. Alcătuim ecuaţia de deplasare 0D , folosind relaţia lui Marina.

0GIp

ADM

ADt

.

Ţinând seamă că CDM

BCM

ABM

ADM tttt

obţinem

0GJp

CDM

BCM

ABM

ADttt

(3.14.1)

Fig. 3.14.1

157

unde: )( DA este unghiul de rotire a secţiunii A (D); ABMt

,

CDM

BCM tt

, – ariile diagramei momentelor de torsiune pe sectoare AB,

BC şi CD. Ţinând seamă că constGIp , 0 si 0 AD din (3.14.1)

avem

0CDM

BCM

ABM ttt

0aMa)M6M(a)M2M( DDD

3/M8M0M8M3 DD . Mărimea momentului de torsiune MA în reazemul A se determină din ecuaţia de echilibru şi anume

3/M2M0MM4M6M ;0M AADx .

b) trasarea diagramei momentelor de torsiune; Expresiile momentelor de torsiune în cele trei sectoare AB, BC, CD sunt:

sectorul AB ;M3

2MM At

sectorul BC ;M3

10M4MM At

sectorul CD .M3

8M6M4MM At

Diagrama de momente de torsiune este reprezentată în fig. 3.14.1, c. Secţiunile periculoase se află pe porţiunea CD unde acţionează momentul de torsiune maxim Mtmax = 10M/3. c) Dimensionarea barei

Din relaţia adm

maxt3

pM

16

dW

rezultă relaţia de dimensionare

mm 15634514,3

10101016)3/M10(16M16d

6

admadm

maxt

158

d) trasarea diagramei de variaţie a unghiurilor de rotire în lungul axei bare; Se calculează unghiurile de rotire în secţiunile A, B, C, D.

;0A

EA3

Ma2Ma

3

2

GI

10

GI pp

ABN

AB

.

EA3

Ma8Ma

3

10

GI

1Ma

3

2

GI pp

BCM

BCt

0Ma3

8

GI

1Ma

3

8

GI pp

ABM

CDt

Diagrama de variaţie a unghiurilor de rotire în lungul axei este reprezentată în fig. 3.14.1, d. Problema 15 Pentru o grindă dublu încastrată din oţel cu secţiunea pătrată încărcată conform fig. 3.15.1,a se cere: a) să se ridice nedeterminarea statică a grinzii; b) să se traseze diagramele de eforturi: forţelor tăietoare T şi momentelor încovoietoare M; c) să se dimensioneze bara din condiţia de rezistenţă dacă F = 10 kN, a = 1 m, MPa150a . d)

să se traseze diagrama unghiurilor de rotire ; e) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor); f) formulaţi concluziile care rezultă din compararea celor patru scheme de rezemare din probleme 3, 4, 9 şi 15. Modulul de elasticitate al

materialului MPa 101,2E 5 . Rezolvare

În fig. 3.15.1, b, c, e şi d s-au trasat: diagrama )1(M - pentru

cazul când asupra barei acţionează cuplul MA ; diagrama )2(M - pentru cazul când asupra barei acţionează componenta reacţiunii RA ;

diagrama )3(M - pentru cazul când asupra barei acţionează forţa 3F;

diagrama )4(M - pentru cazul când asupra barei acţionează forţa 2F; 159

diagrama forţelor tăietoare T; diagrama momentelor de încovoiere M. a) Ridicarea nedeterminării statice Pentru alcătuirea ecuaţiilor de deplasare se exprimă faptul că unghiul de rotire şi deplasarea pe verticală (săgeata) în reazemul D sunt nule. Aplicăm relaţiile lui Marina:

0EI

Sauu ;0

EI

DMAD

AAD

ADM

AD

. (3.15.1)

unde ADM este aria diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul

AD; DMADS este momentul static al ariei diagramei momentelor

încovoietoare pe intervalul AD faţă de axa verticală dusă prin secţiunea D (fig. 3.15.1). Deoarece 0u ;0 ;0u ;0 DDAA , din (3.15.1) obţinem:

0EI

S ,0

EI

DMAD

ADM

, din care

0S

0DMAD

ADM

0S

0

44332211DMAD

4321ADM

0a3

1Fa2a2

3

1Fa6a4

3

1aR8a2aM4

0Fa22

1a2Fa6

2

1a4aR4

2

1a4M

222AA

AA

8/Fa15M

16/F29R

0Fa13aR32M24

0Fa7aR8M4

A

A

AA

AA

b) Trasarea diagramelor momentelor încovoietoare şi forţelor tăietoare Alcătuim funcţiile de variaţie ale forţei tăietoare şi ale momentului încovoietor M în cele trei regiuni.

160

Fig. 3.15.1

161

Sectorul AB, a2x0

;F16

29R)x(T A

4/Fa7M(2a) a,2 x

8/Fa15M(0) 0,x Fx

16

29Fa

8

15xRM)x(M AA

.

Sectorul BC, a3xa2

;F16

19F3F

16

29F3R)x(T A

)a2x(F3xRM)x(M AA

16/Fa9M(3a) a,3 x

4/Fa7M(2a) a,2x a)2(xF3xF

16

29Fa

8

15

.

Sectorul CD, a4xa3

;F16

51F2F3F

16

29F2F3R)x(T A

)a3x(F2)a2x(F3xRM)x(M AA

8/Fa21M(4a) a,4 x

16/Fa9M(3a) a,3x 3a)-2F(x-a)2(xF3Fx

16

29Fa

8

15

Luând în consideraţie că momentul încovoietor în secţiunea A are semnul minus iar în secţiunea B are semnul plus vom determina pe sectorul AB secţiune (fie coordonata acestei secţiuni x ) unde momentul se anulează. Pentru acesta alcătuim expresia generală a momentului pentru sectorul AB şi egalăm cu zero. Momentul în secţiunea cu coordonata x va vi (fig. 3.15.1, g):

1,034a a 29

30x0xF

16

29Fa

8

15xRM)x(M AA

Analog, determinăm secţiunea pe sectorul CD unde momentul se anulează (fie coordonata acestei secţiuni x ). Alcătuim expresia generală a momentului pentru sectorul CD şi egalăm cu zero.

)a3x(F2)a2x(F3xRM)x(M AA

0)a3x(F2)a2x(F3xF16

29Fa

8

15.

162

a176,3a51

162x

Cu aceste valori se trasează diagrama momentelor încovoietoare din fig.3.15.1, g. Momentul încovoietor are cea mai mare valoare în secţiunea din încastrare şi anume efort acţionează pe faţa părţii din stânga încastrării, unde Mmax = 21Fa/8. c) Dimensionarea grinzii

Condiţia de rezistenţă conduce la adm

maxnec1

MW

33333

anec1 cm 175mm10175

150

8/101010218Fa21W

Latura b ce defineşte dimensiunile secţiunii transversale pătrate

va fi: 6

bW

3

nec1 mc 16,101756W6b 331

Momentul de inerţie axial al secţiunii transversale a grinzii va fi 4

44

11 cm 88912

16,10

12

bI

d) Trasarea diagramei unghiurilor de rotire Fie originea coordonatelor în punctul A. Orientăm axa X în lungul axei grinzii spre dreapta. Aplicăm relaţia lui Marina pentru calculul unghiurilor. Unghiul de rotire în secţiunea A (în reazemul A) este nul. Unghiul de rotire in secţiunea B

AB2

AB1

ABM

AB EI

10

EI

2

AA )a2(R2

1a2M

EI

1

EI8

Fa)a2(

16

F29

2

1a2

8

Fa15

EI

1 22

163

rad. 00067,0)mm(10889)mm/N(101,28

)mm(10)N(104425

264

unde AB2

AB1

ABM este aria diagramei momentelor

încovoietoare pe intervalul AB, AB1 este aria diagramei momentelor

încovoietoare )1(M pe intervalul AB, ( AB2 este aria diagramei

momentelor încovoietoare )2(M pe intervalul AB fig. 3.15.1). Unghiul de rotire in secţiunea C:

AC3

AC2

AC1

ACM

AC EI

10

EI

22

AA aF32

1)a3(R

2

1a3M

EI

1

EI32

Fa33

2

Fa3)a3(

16

F29

2

1a3

8

Fa15

EI

1 222

rad. 00552,0)mm(10889)mm/N(101,232

)mm(10)N(10334425

264

unde AC3

AC2

AC1

ACM este aria diagramei momentelor

încovoietoare pe intervalul AC, AC1 este aria diagramei momentelor

încovoietoare )1(M pe intervalul AC, AC2 este aria diagramei

momentelor încovoietoare )2(M pe intervalul AC, AC3 este aria

diagramei momentelor încovoietoare )3(M pe intervalul AC (fig. 3.15.1). În secţiunile unde momentul încovoietor se anulează unghiul de rotire are valoare extremă. Calculăm valoarea extremă a unghiului de rotire în secţiunea cu coordonata a034,1x unde momentul se anulează:

xA2

xA1

xAM

A EI

10

EI

164

2

AA )a034,1(R2

1a034,1M

EI

1

EI

Fa969,0)a034,1(

16

F29

2

1a034,1

8

Fa15

EI

1 22

rad. 0052,0)mm(10889)mm/N(101,2

)mm(10)N(10969,04425

264

unde xA2

xA1

xAM

este aria diagramei momentelor

încovoietoare pe intervalul xA , xA1

este aria diagramei

momentelor încovoietoare )1(M pe intervalul xA , ( xA2

este aria

diagramei momentelor încovoietoare )2(M pe intervalul xA (fig. 3.15.1). Calculăm valoarea extremă a unghiului de rotire în secţiunea cu coordonata a176,3x unde momentul se anulează:

)(EI

10

EI"Ax

4"Ax

3"Ax

2"Ax

1

xAM

A

2AA )a176,3(R

2

1a176,3M(

EI

1

))3176,3(F2)2176,3(F32

1 22

2a176,316

F29

2

1a176,3

8

Fa15(

EI

1

EI

Fa0809,1)176,0F2176,1F3

2

1 222

rad. 8005,0)mm(10889)mm/N(101,2

)mm(10)N(100809,14425

264

unde "Ax4

"Ax3

"Ax2

"Ax1

"AxM este aria diagramei

momentelor încovoietoare pe intervalul "Ax ; "Ax1 este aria

165

diagramei momentelor încovoietoare )1(M pe intervalul "Ax ; "Ax2

este aria diagramei momentelor încovoietoare )2(M pe intervalul "Ax ; "Ax

3 este aria diagramei momentelor încovoietoare )3(M pe

intervalul "Ax ; "Ax4 este aria diagramei momentelor încovoietoare

)4(M pe intervalul "Ax (fig. 3.15.1). Luând în consideraţie că unghiul de rotire în secţiunea B are semnul plus iar în secţiunea C are semnul minus vom determina pe sectorul BC secţiune (fie coordonata acestei secţiuni x*) unde unghiul de rotire se anulează. Pentru acesta alcătuim expresia generală a

Fig. 3.15.2

rotirii pentru sectorul BC. Unghiul de rotire în secţiunea cu coordonata x* va vi (fig. 3.15.2):

EIEI8

Fa

EI2

*1

2BxM

Bx

. (3.15.2)

Egalăm expresia (3.15.2) cu zero

08

Fa0

EIEI8

Fa21

221

2

x

(3.15.3)

Momentul în secţiunea cu coordonata x*:

166

a

)a2*x(Fa

16

9Fa

4

7Fa

4

7)x(M )a2*x(F

16

19Fa

4

7 .

Din fig. 3.15.2 avem

*)x(MPLPNPLNL ,PN*)x(M

)a2*x(F16

19)a2*x(F

16

19Fa

4

7Fa

4

7

Calculăm ariile:

)a2*x))(a2*x(16

19Fa

4

7()a2*x)(x(M*

1

22 a

4

33*)x(

16

19*ax

2

13F

2*2 )a2*x(F

32

19)a2*x)(a2*x(F

16

19

2

1)a2*x(NL

2

1

Substituim 21 si în expresia (3.15.3) pentru x

:

22

2

21

2

a4

33*)x(

16

19*ax

2

13F

8

Fa

8

Fa

0)a2*x(F32

19 2

0192ax132*)x(190a6*ax8

33*)x(

32

19 222

a073,2x

Deci, în secţiunea cu coordonata x* = 2,073a = 2,073 m. unghiul de rotire se anulează. Diagrama de variaţie a unghiului de rotire al secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.15.3, b. e) Trasarea diagramei deplasărilor pe verticală Deplasarea pe verticală în secţiunea A (în reazem) este nulă. Deplasarea pe verticală în secţiunea B:

167

EI

S)xx(uu

BMAB

ABAAB ,

unde diferenţa coordonatelor AB xx prezintă distanţa dintre

punctele B şi A, egală cu 2a metri; BMABS este momentul static al ariei

diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul AB faţă de axa verticală dusă prin secţiunea B (fig.3.15.1). Luând în consideraţie că uA = 0 şi 0A obţinem

EIEI

a200uB2

AB2

B1

AB1

ABM

B

unde AB2

AB1 si sunt ariile diagramelor momentelor de încovoiere

)1(M şi )2(M pe intervalul AB; B2

B1 si sunt distanţele de la centrele

de greutate a ariilor AB2

AB1 si faţă de axa verticală prin punctul B.

3

a2a2

3

1 aR2a2aR2

2

1

aa22

1 Fa

4

15a2Fa

8

15

B2

2AA

AB2

B1

2AB1

3

a2aR2aFa

4

15

EI

1u 2

A2

B

EI3

Fa4

3

a2Fa

16

292Fa

4

15

EI

1 323

mm. 14,7)mm(10889)mm/N(101,23

)mm(10)N(1044425

394

Deplasarea pe verticală în secţiunea C:

EI

S)xx(uu

CMAC

ACAAC )(EI

100 AC

3AC2

AC1

unde uA = 0 şi 0A ; diferenţa coordonatelor AC xx prezintă

distanţa dintre punctele C şi A, egală cu 3a metri;

168

CMBCS AC

3AC2

AC1 este momentul static al ariei diagramei

momentelor încovoietoare pe intervalul AC faţă de axa verticală dusă

prin secţiunea C; AC3

AC2

AC1 si , sunt ariile diagramelor

momentelor de încovoiere )1(M , )2(M şi )3(M pe intervalul AC; C3

C2

C1 si , sunt distanţele de la centrele de greutate a ariilor

AC3

AC2

AC1 si , faţă de axa verticală prin punctul C (fig. 3.15.1).

.

3

aa

3

1 Fa

2

3aFa3

2

1

aa33

1 aR

2

9a3aR3

2

12

a3a3

2

1 Fa

8

45a3Fa

8

15

C2

2AC3

C2

2AA

AC2

C1

2AC1

3

aFa

2

3

2

3aaR

2

9

2

a3Fa

8

45

EI

1u 22

A2

C

EI32

Fa25Fa

2

1aFa

16

29

2

9Fa

16

135

EI

1 3323

mm. 18,4)mm(10889)mm/N(101,232

)mm(10)N(10254425

394

Calculăm valoarea extremă a deplasării pe verticală, care va fi în secţiunea unde unghiul de rotire se anulează (pentru x* = 2,073a) (fig. 3.15.2).

EI

S)x*x(uu

*x*MAx

AAA*x

)(EI

1

EI

S00u *Ax

3*Ax

2*Ax

1

*x*MAx

*x

169

a073,23

1a073,2a073,2R

2

1a073,2

2

1a073,2M(

EI

1AA

))a2a073,2)(a2a073,2(F32

1

Fig. 3.15.3

EI

Fa338,1Fa0002,0a485,1Fa

16

29a149,2Fa

8

15

EI

1 3322

mm. 17,7)mm(10889)mm/N(101,2

)mm(10)N(10338,14425

394

Diagrama de variaţie a deplasării pe verticală a secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.15.3, c.

170

f) Concluziile Tabelul 3.15.1

Problema 3

Problema 4

Problema

9

Problema

15

Mmax (kN) 120 40 32 26

umax (mm) 33,2 17,8 11,4 7

Ai (mm2) A3=285 A4=137 A9=117 A15=103

Ai /A15 A3 /A15=2.8 A4 /A15=1,3 A9 /A15 =1,1 A15 /A15 =1

In tabelul 3.15.1 noi prezentam rezultatele generale ce permite să judecăm despre faptul care din schemele de rezemare sunt raţionale pentru grinda dată si care nu. În acest tabel Mmax este momentul maxim care apare în bara; umax este deplasarea pe verticala maximă a secţiunilor grinzii; Ai este aria necesară a secţiunii transversale. Valorile din ultimul rând arată de câte ori grinda cu schema de rezemare dată este mai grea decât grinda cu schema de rezemare din problema 15. După cum se vede din tabel, mai raţională este schema de rezemare din problema 15, care implica micşorarea de 4,6 ori a momentului maxim, de 4,7 ori a deplasării maxime pe verticală şi de 2,8 ori a greutăţii grinzii (A3 /A15 =2,8) faţă de grinda rezemată ca în problema 3. Problema 16 Pentru o grindă continuă cu două deschideri din oţel cu secţiunea pătrată încărcată conform fig. 3.16,a se cere: a) să se ridice nedeterminarea statică; b) să se traseze diagramele de eforturi: forţelor tăietoare T şi momentelor încovoietoare M; c) să se dimensioneze bara din condiţia de rezistenţă dacă F = 10 kN, a = 1 m MPa 150adm ;

d) să se traseze diagrama unghiurilor de rotire ; e) să se traseze diagrama deplasărilor pe verticală u (diagrama săgeţilor); f) formulaţi concluziile care rezultă din compararea celor cinci scheme de

171

rezemare din probleme 3, 4, 9, 15 şi 16. Modulul de elasticitate al

materialului MPa 101,2E 5 . Rezolvare

În fig. 3.15.1, b, c, d, e s-au trasat: diagrama )1(M - pentru cazul când asupra barei acţionează componenta reacţiunii RA ; diagrama

)2(M - pentru cazul când asupra barei acţionează reacţiunea BR ;

diagrama )3(M - pentru cazul când asupra barei acţionează forţa 3F;

diagrama )4(M - pentru cazul când asupra barei acţionează forţa 2F; diagrama forţelor tăietoare T; diagrama momentelor de încovoiere M. a) Ridicarea nedeterminării statice Problema este o singură dată static nedeterminată. Alcătuim ecuaţiile de deplasare. Din condiţiile de rezemare avem: deplasările pe verticală în secţiunile A, B şi E sunt nule (săgeata în reazem este nulă). Pentru exprimarea deplasărilor în reazeme aplicăm relaţia lui Marina:

0EI

Sa4uu

0EI

Sauu

EMAE

AE

BMAB

AAB (3.16.1)

0EI

Sa4

0EI

Sa

EMAE

A

BMAB

A

0)(EI

1a4

0EI

a

44332211A

1ABM

A (3.16.2)

172

Fig. 3.16.1

173

Calculăm ariile diagramelor momentelor încovoietoare i şi

distanţele i dintre centrele de greutate ale acestora şi axa verticală dusă prin secţiunea B şi E

a3

1 aR

2

1aaR

2

11

2AA

ABM

a3

4a4

3

1 aR8a4aR4

2

11

2AA1

aa33

1 aR

2

9a3aR3

2

12

2BB2

a3

2a2

3

1 Fa6a2Fa6

2

13

23

a3

1a

3

1 FaaFa2

2

14

24

Substituim valorile obţinute în sistem de ecuaţii (3.16.2).

0a3

1Faa

3

2Fa6aaR

2

9a

3

4aR8

EI

1a4

0EI

a)3/1(aR)2/1(a

222B

2AA

2A

A

0Fa3

1Fa4aR

2

9aR

3

32

EI

1a4

EI6

aR

;EI6

aR

333B

3A

2A

2A

A (3.16.3)

Din a doua ecuaţia a sistemului (3.16.3) avem

0F3

1F4R

2

9R

3

32

3

R2BA

A

0F26R27R60 BA (3.16.4)

174

Alcătuim ecuaţia de echilibru

0aF2a2F3a3Ra4R0M BAE

0F8R3R4 BA (3.16.5) Înmulţind ecuaţia (3.16.5) cu (-9) şi adunând cu ecuaţia (3.16.4)

obţinem: F.12

23F

24

46R 0F46R24 AA

Din ecuaţia (3.16.5) avem

.F9

47

3

F8F)12/23(4

3

F8R4R A

B

Suma proiecţiilor tuturor forţelor pe verticală:

F36

61F

9

47)F

12

23(F5R0RF2F3RR EEBA

b) Trasarea diagramelor de eforturi T şi M Alcătuim funcţiile de variaţie ale forţei tăietoare şi ale momentului încovoietor în cele patru regiuni.

Sectorul AB, ax0

F12

23R)x(T A ;

.Fa12

23M(a) a, x

0;M(0) 0,x xR)x(M A

Sectorul BC, a2xa

;F36

119F

9

47F

12

23RR)x(T BA

.Fa18

25Fa

9

49a2F

12

23M(a) a, x

Fa;12

23M(a) a,x

a)-(xR xR)x(M BA

175

Sectorul CD, a3xa2

;F36

11F3F

9

47F

12

23F3RR)x(T BA

)a2x(F3)ax(F9

47Fx

12

23

2a)-3F(x-a)-(xR xR)x(M BA

.Fa36

61Fa3a2F

9

49a3F

12

23M(a) a, x

Fa;18

25aF

9

472aF

12

23M(2a) a,2x

Sectorul DE, a4xa3

;F36

61F2F3F

9

47F

12

23F2F3RR)x(T BA

)a3x(F2)a2x(F3)ax(F9

47Fx

12

23

)a3x(F22a)-3F(xa)-(xR xR)x(M BA

.0aF2a2F3a3F9

49a4F

12

23M(a) ,a4 x

;Fa36

61Fa3a2F

9

49a3F

12

23M(3a) a,3 x

Luând în consideraţie că momentul încovoietor în secţiunea B are semnul minus iar în secţiunea C are semnul plus vom determina pe sectorul AB secţiune (fie coordonata acestei secţiuni x ) unde momentul se anulează. Pentru acesta alcătuim expresia generală a momentului pentru sectorul BC şi egalăm cu zero. Momentul în secţiunea cu coordonata x va vi (fig. 3.16.1):

a58,1x0)ax(F9

47xF

12

23 a)-x(R xR)x(M BA

176

Diagrame de eforturi sunt reprezentate în fig.3.16.1, f g. Secţiunea periculoasă se găseşte în dreptul reazemului B unde

eforturile cele mai mari F36

119Tmax şi Fa

12

23Mmax acţionează pe

faţa din dreaptă punctului de rezemare. c) Dimensionarea grinzii Condiţia de rezistenţă la încovoiere conduce la

admadm

maxnec1

Fa)12/23(MW

.cm 8,127mm 108,127)(N/mm 15012

(Nmm) 10101023 3332

33

Modulul de rezistenţă nec1

32

1 W6

b

6

bbW

unde b este

latura pătratului.

cm 15,98,1276W6b 33nec1

Momentul de inerţie axial al secţiunii transversale a grinzii va fi 4

44

11 cm 58512

19,9

12

bI

d) Trasarea diagramei unghiurilor de rotire Fie originea coordonatelor în punctul A. Orientăm axa X în lungul axei grinzii spre dreapta. Unghiul de rotire în secţiunea A determinăm din sistem de ecuaţii (3.16.2)

EI72

Fa23

EI612

Fa23

EI6

aR 222A

A

rad. 0026,0)mm(10585)mm/N(101,272

)mm(10)N(10234425

264

Aplicăm relaţia lui Marina pentru calculul unghiurilor de rotire în alte secţiuni transversale.

177

Unghiul de rotire in secţiunea B

EIEI72

Fa23

EI

ABM

2ABM

AB

EI36

Fa23a

12

F23

2

1

EI

1

EI72

Fa23aaR

2

1

EI

1

EI72

Fa23 22

2

A

2

rad. 0052,0)mm(10585)mm/N(101,236

)mm(10)N(10234425

264

unde ABM este aria diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul

AB (fig. 3.16.1, b). Luând în consideraţie că unghiul de rotire în secţiunea A are semnul minus iar în secţiunea B are semnul plus vom determina pe sectorul AB secţiune (fie coordonata acestei secţiuni x*) unde unghiul de rotire se anulează. Pentru acesta alcătuim expresia generală a rotirii pentru sectorul AB şi egalăm cu zero. Unghiul de rotire în secţiunea cu coordonata x* va vi (fig. 3.16.1):

*x*xR

2

1

EI

1

EI72

Fa23

EI A

2*AxM

A*x

0EI24

F23

EI72

Fa23*)x(

12

F23

2

1

EI

1

EI72

Fa23 22

2

a577,0*x0*)x(3

a0*)x(

EI24

F23

EI72

Fa23 22

22

Unghiul de rotire în secţiunea C:

)(EI

1

EI72

Fa23

EIAC2

AC1

2ACM

AC

aaR

2

1a2aR2

2

1

EI

1

EI72

Fa23BA

2

EI9

Fa11

EI72

Fa23

2

a

9

F47a2

12

F23

EI

1

EI72

Fa23 2222

2

178

rad. 00735,0)mm(10585)mm/N(101,272

)mm(10)N(1065

EI72

Fa654425

2642

unde AC2

AC1

ACM este aria diagramei momentelor

încovoietoare pe intervalul AC, AC1 este aria diagramei momentelor

încovoietoare )1(M pe intervalul AC, AC2 este aria diagramei

momentelor încovoietoare )2(M pe intervalul AC (fig. ). Unghiul de rotire în secţiunea D:

)(EI

1

EI72

Fa23

EIAD3

AD2

AD1

2ADM

AD

aFa3

2

1a2aR2

2

1a3aR3

2

1

EI

1

EI72

Fa23BA

2

222

2

Fa2

3a2

9

F47a

2

9

12

F23

EI

1

EI72

Fa23

rad. 0052,0)mm(10585)mm/N(101,236

)mm(10)N(1023

EI36

Fa234425

2642

unde AD3

AD2

AD1

ADM este aria diagramei momentelor

încovoietoare pe intervalul AD; AD3

AD2

AD1 si , sunt ariile

diagramelor momentelor de încovoiere )1(M , )2(M şi )3(M pe intervalul AD (fig. 3.16.1). Luând în consideraţie că unghiul de rotire în secţiunea C are semnul plus iar în secţiunea D are semnul minus vom determina pe sectorul CD secţiune (fie coordonata acestei secţiuni x**) unde unghiul de rotire se anulează. Pentru acesta alcătuim expresia generală a rotirii pentru sectorul CD şi egalăm cu zero. Unghiul de rotire în secţiunea cu coordonata x** va vi (fig. 3.16.1):

0)(EI

1

EI72

Fa23

EI**Ax

3**Ax

2**Ax

1

2**AxM

Ax **

179

2A

2

**x *)*x(R2

1(

EI

1

EI72

Fa23

0))a2**x(F32

1)a**x(R

2

1 22B

0))a2**x(F2

3)a**x(

2

1

9

F47*)*x(

2

1

12

F23

72

Fa23 2222

a609,2**x0a221**ax56*)*x(11 22 Unghiul de rotire în secţiunea E:

)(EI

1

EI72

Fa23

EIAE4

AE3

AE2

AE1

2AEM

AE

22

BA

2

Fa2

1Fa6a3aR3

2

1a4aR4

2

1

EI

1

EI72

Fa23

2222

2

FaFa6a2

9

9

F47a8

12

F23

EI

1

EI72

Fa23

rad. 0121,0)mm(10585)mm/N(101,26

)mm(10)N(107

EI6

Fa74425

2642

unde AE4

AE3

AE2

AE1

AEM este aria diagramei momen-

telor încovoietoare pe intervalul AE; AE4

AE3

AE2

AE1 si , , sunt

ariile diagramelor momentelor de încovoiere )1(M , )2(M , )3(M şi )4(M pe intervalul AE (fig. 3.16.1).

În secţiunile unde momentul încovoietor se anulează unghiul de rotire are valoare extremă. Calculăm valoarea extremă a unghiului de rotire în secţiunea cu coordonata a58,1x unde momentul se anulează:

)(EI

1

EI72

Fa23

EI'Ax

2'Ax

1

2'AxM

A'x

180

2

B2

A

2

)a'x(R2

1'xR

2

1

EI

1

EI72

Fa23

22

2

)aa58,1(2

1

9

F47)a58,1(

2

1

12

F23

EI

1

EI72

Fa23

EI

Fa195,1)Fa514,1(

EI

1

EI72

Fa23 22

2

rad. 00972,0)mm(10585)mm/N(101,2

)mm(10)N(10195,14425

264

unde 'Ax2

'Ax1

'AxM este aria diagramei momentelor

încovoietoare pe intervalul xA ; xA1

este aria diagramei

momentelor încovoietoare )1(M pe intervalul xA ; xA2

este aria

diagramei momentelor încovoietoare )2(M pe intervalul xA (fig.3.16.1). Diagrama de variaţie a unghiului de rotire al secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.16.2, b. e) Trasarea diagramei deplasărilor pe verticală Deplasarea pe verticală în secţiunea A este nulă (săgeata în reazemul A este nulă). Deplasarea pe verticală în secţiunea cu coordonata a577,0*x unde unghiul de rotite se anulează şi deplasarea pe verticală are valoare extremă:

EI

S)x*x(uu

*x*MAx

AAA*x ,

unde diferenţa coordonatelor Ax*x prezintă distanţa dintre punctul

A şi secţiunea cu coordonata *x , egală cu 0,577a; *x*MAxS este

momentul static al ariei diagramei momentelor încovoietoare pe

181

Fig. 3.16.2

intervalul *Ax faţă de axa verticală dusă prin secţiunea cu coordonata

*x (fig. 3.16.2). Luând în consideraţie că uA = 0 obţinem

EI

*xEI

**x0u

*1

*Ax1

A

*AxM

A*x

*x3

1*)x(R

2

1

EI

1*x

EI72

Fa23u 2

A

2

*x

a577,03

1)a577,0(

12

23

2

1

EI

1a577,0

EI72

Fa23 22

182

mm. 0,1)mm(10585)mm/N(101,2

)mm(10)N(101229,0

EI

Fa1229,04425

3943

unde *Ax

1*Ax

M este aria diagramei momentelor încovoietoare )1(M pe intervalul *Ax ; *

1 este distanţa dintre centrul de greutate al

ariei *Ax1 şi axa verticală dusă prin secţiunea cu coordonata x* (fig.

3.16.1, b). Deplasarea pe verticală în secţiunea B este nulă (săgeata în reazemul B este nulă). Deplasarea pe verticală în secţiunea C.

EI

S)xx(uu

CMAC

ACAAC

)(EI

1a20u C

2AC2

C1

AC1AC

unde ;0u A diferenţa coordonatelor AC xx prezintă distanţa

dintre punctele C şi A, egală cu 2a metri;

)(S C2

AC2

C1

AC1

CMAC este momentul static al ariei diagramei

momentelor încovoietoare pe intervalul AC faţă de axa verticală dusă

prin secţiunea C (fig. 3.16.1); AC1 şi AC

2 sunt ariile diagramelor

momentelor încovoietoare )1(M şi )2(M pe intervalul AC; C1 şi C

2

sunt distanţe dintre centrele de greutate a ariilor AC1 , AC

2 şi axa verticală dusă prin secţiunea C (fig. 3.16.1).

)a3

1aaR

2

1a2

3

1a2a2R

2

1(

EI

1a2

EI72

Fa23u BA

2

C

EI108

Fa113)a

6

1

9

F47a

3

4

12

23(

EI

1

EI36

Fa23 33

3

183

mm. 517,8)mm(10585)mm/N(101,2108

)mm(10)N(101134425

394

Deplasarea pe verticală în secţiunea cu coordonata

a609,2**x unde unghiul de rotite se anulează şi deplasarea pe verticală are extrem.

EI

S)x**x(uu

**x**MAx

AAA**x

EI

****x0u

**AxM

A*x

)(EI

1**x **

3**Ax

3**

2**Ax

2**

1**Ax

1A ,

unde diferenţa coordonatelor Ax**x prezintă distanţa dintre punctele A şi secţiunea cu coordonata **x , egală cu 2,609a;

)(S **3

**Ax3

**2

**Ax2

**1

**Ax1

**x**MAx este momentul static al

ariei diagramei momentelor încovoietoare pe intervalul **Ax faţă de

axa verticală dusă prin secţiunea cu coordonata **x ; **Axi este aria

diagramei momentelor încovoietoare )i(M pe intervalul Ax**; **i

este distanţa dintre centrul de greutate al ariei **Axi şi axa verticală

dusă prin secţiunea cu coordonata x** (fig. 3.16.1).

**x3

1*)*x(R

2

1(

EI

1**x

EI72

Fa23u 2

A

2

**x

)a2**x(3

1)a2**x(F3

2

1)a**x(

3

1)a**x(R

2

1 2B

a609,23

1)a609,2(R

2

1(

EI

1a609,2

EI72

Fa23u 2

A

2

**x

a3

1)a2a609,2(F3

2

1)aa609,2(

3

1)aa609,2(R

2

1 2B

184

333

)a609,1(6

1

9

F47)a609.2(

6

1

12

F23(

EI

1

EI24

Fa23

EI

Fa327,1))a609,0(F

2

1 33

mm. 8,10)mm(10585)mm/N(101,2

)mm(10)N(10327,14425

394

Deplasarea pe verticală în secţiunea D.

EI

S)xx(uu

DMAD

ADAAD

)(EI

1a30u D

3AD3

D2

AD2

D1

AD1AD

unde diferenţa coordonatelor AD xx prezintă distanţa dintre puncte-

le D şi A, egală cu 3a metri; D2

AD2

D1

AD1

DMAD (S

)D3

AD3 este momentul static al ariei diagramei momentelor

încovoietoare pe intervalul AD faţă de axa verticală dusă prin

secţiunea D; AD3

AD2

AD1 si , sunt ariile diagramelor momentelor

de încovoiere )1(M , )2(M şi )3(M pe intervalul AD; D1 , D

2 şi D3 sunt distanţe dintre centrele de greutate a ariilor AD

1 , AD2 şi

AD3 şi axa verticală dusă prin secţiunea D (fig. 3.16.1).

a23

1a2a2R

2

1a3

3

1a3a3R

2

1(

EI

1a3

EI72

Fa23u BA

2

D

)Fa2

1a

3

4

9

F47a

2

9

12

F23(

EI

1

EI24

Fa23a

3

1aaF3

2

1 3333

mm. 8,9)mm(10585)mm/N(101,254

)mm(10)N(1065

EI54

Fa654425

3943

185

Diagrama de variaţie a deplasării pe verticală a secţiunilor în lungul axei barei este reprezentată în fig. 3.16.2, c. f) Concluziile Tabelul 3.16.1

Problema 3 Problema

4 Problema

9

Problema

15 Problema

16 Mmax (kN)

120 40 32 26 19

umax (mm) 33,2 17,8 11,4 7 10

Ai (mm2) A3=285 A4=137 A9=117 A15=103 A16= 84

Ai /A16 A3 /A16=

=3,4 A4 /A16=

=1,6 A9 /A16 =

=1,4 A15 /A16 =

=1,2 A15 /A16 =

=1

In tabelul 3.16.1 noi prezentam rezultatele generale ce permite să judecăm despre faptul care din schemele de rezemare sunt raţionale pentru grinda dată si care nu. În acest tabel Mmax este momentul maxim care apare în bara; umax este deplasarea pe verticala maximă a secţiunilor grinzii; Ai este aria necesară a secţiunii transversale. Valorile din ultimul rând arată de câte ori grinda cu schema de rezemare dată este mai grea decât grinda cu schema de rezemare din problema 9. După cum se vede din tabel, mai raţională este schema de rezemare din problema 16, care implica micşorarea de 6,3 ori a momentului maxim, de 3,3 ori a deplasării maxime pe verticală şi de 3,4 ori a greutăţii grinzii (A3 /A16 =3,4) faţă de grinda rezemată ca în problema 3. Problema 17 Din condiţia de stabilitate, cu ajutorul tabelei valorilor coeficientului de reducere a rezistenţei admisibile (tabelul 3.17.1) să se dimensioneze secţiunea transversală (fig. 3.17.1,b) a unei bare de oţel din fig. 3.17.1,a cu lungimea = 300 cm şi rezistenţa admisibilă a materialului barei la compresiune adm =150 MPa care se află sub

acţiunea sarcinii de compresiune centrale P = 320 kN. 186

Rezolvare Determinăm următoarele mărimi: aria secţiunii transversale

)(cm7,22d4

d d2d4

4

dhbA 22

22

;

(cm) 22,7

Ad (3.17.1)

a) b)

Fig. 3.17.1 momentul de inerţie minim al secţiunii barei

)(cm d618,264

d

12

)d2(d4

64

d

12

bhII 44

4343

min11

;

raza de inerţie minimă

(cm) d602,0d22,7

d618,2

A

Ii

2

4min

min ;

lungimea de flambaj cm 2103007,0f ;

coeficientul de zvelteţă

d

349

d602,0

210

imin

f

. (3.17.2)

Dimensionăm secţiunea transversală pe calea aproximaţiilor succesive.

187

Prima încercare: admitem 5,01 . Aria necesară a secţiunii transversale

2233

admcm

3,21mm10

13,2

150

10320PA

(3.17.3)

22

1

cm 6,425,0

3,21cm

3,21A

.

Parametrul d (din relaţia 3.17.1)

cm 43,222,7

6,42

22,7

Ad .

Coeficientul de zvelteţă a barei (din relaţia 3.17.2)

14443,2

349

d

349 .

După tabelul 3.17.1 aflăm coeficientul 1 : 29,01 .

Comparăm cu 1 : 5,029,0 11 . Trecem la a doua aproximaţie luând

395,02

29,05,0*2

.

Aria necesară a secţiunii transversale 22

2

cm 92,53395,0

3,21cm

3,21A

.

Parametrul d

cm 73,222,7

92,53

22,7

Ad .

Coeficientul de zvelteţă a barei

12873,2

349

d

349 .

După tabelul 3.17.1 aflăm coeficientul 2 : 367,02 .

188

Tabelul 3.17.1

Comparăm cu 2 :

%5%7%100395,0

367,0395,0%100

2

22

.

Trecem la aproximaţie a treia luând

381,02

367,0395,0*3

Aria necesară a secţiunii transversale 22

3

cm 9,55381,0

3,21cm

3,21A

.

189

Parametrul d

cm 78,222,7

9,55

22,7

Ad .

Coeficientul de zvelteţă a barei

12578,2

349

d

349 .

După tabelul 3.17.1 aflăm coeficientul 3 : 384,03 .

Comparăm cu 3 :

%5%8,0%100381,0

381,0384,0%100

2

33

.

Condiţia de stabilitate are forma

asA

N ,

unde N este forţa de compresiune; A – aria secţiunii transversale; as -

rezistenţa admisibilă la stabilitate. Rezistenţa admisibilă la stabilitate se calculează cu relaţia

admas ,

în care adm este rezistenţa admisibilă la compresiune, este

coeficientul de flambaj (coeficientul de reducere a rezistenţei

admisibile de bază adm ).

Calculăm rezistenţa admisibilă la stabilitate

MPa 6,57150384,0admas .

Tensiunea normală provocată de forţa de compresiune N = P va fi

MPa 6,57MPa 2,57109,55

10320

A

Pas2

3

.

Deoarece MPa 6,57MPa 2,57 as , stabilitatea barei va

fi asigurată. Definitiv admitem pentru bara parametrul d = 2,78 cm.

190

Problema 18

Să se determine cum trebuie să fie aria secţiunii transversale a unei coloane din fontă din fig. 3.18.1 pentru ca coborârea capătului de sus al coloanei să nu depăşească admu = 0,5 mm, dacă modulul de

elasticitate longitudinal al materialului dat E = 510 MPa, rezistenţa admisibilă la compresiune adm =130 MPa, a =1 m, F = 10 kN.

Rezolvare a) Trasarea diagramei de forţe axiale Funcţiile de variaţie ale forţei axiale în cele trei regiuni sunt:

sectorul CD, FN ; sectorul BC, F4F3FN

sectorul AB, F6F2F3FN Cu valorile determinate ale forţei axiale se trasează diagrama forţelor axiale pe toată lungimea barei (fig. 3.18.1). b) Calculul la rigiditate Pentru determinarea deplasării capătului de sus aplicăm relaţia

lui Marina. EA

uuADN

AD

,

unde )(u u DA este deplasarea axială a secţiunii A (D); ADN este aria

diagramei forţelor axiale pe intervalul AD, E este modul de elasticitate longitudinal al materialului barei; A este aria secţiunii transversale a barei. Luând în consideraţie că deplasare 0u A (în reazemul A) şi

321CDN

BCN

ABN

ADN (fig. 3.18.1) obţinem

)(EA

1

EAu 321

ADN

B

EA2

Fa11)

2

aF6

2

aF4

2

aF(

EA

1 .

191

Fig. 3.18.1

Condiţia de rigiditate

admadmD uEA2

Fa11uu

Aria secţiunii transversale necesară

225

33

admnec mm 550

(mm) 5,0)(N/mm1022

(mm) 10(N) 101011

uE2

Fa11A

Verificăm condiţia de rezistenţă. Rezistenţa admisibilă la compresiune adm =130 MPa. Din diagrama forţelor axiale (fig.

3.18.1) se vede că secţiunile periculoase sunt cele de pe porţiunea AB unde forţa axială maximă este egală cu 6F. Condiţia de rezistenţă la întindere adm

Tensiunea provocată de forţa axială maximă maxN

MPa 130MPa 109)mm(550

)N(10106

A

F6

A

Nadm

3max

Condiţia de rezistenţă este satisfăcută.

Problema 19. Să se verifice la oboseală arborele în trepte (fig. 3.19.1) cu diametrele D = 60 mm, d = 50 mm şi raza de racordare r = 2 mm. Mo-mentul de torsiune variază în limitele: Mmin =1,2 kNm, Mmax = 4kNm.

192

Arborele este supus strunjirii brute. Caracteristicile materialului sunt: rezistenţa la rupere - ,MPa 800r rezistenţa la oboseală prin ciclu

simetric de răsucire - ,MPa 220 1 coeficien-tul influenţei

asimetriei ciclului asupra rezistenţei la oboseală – 05,0 Se impune un coeficient de siguranţă la oboseală admisibil ca=1,3.

. Fig. 3.19.1

Rezolvare. Tensiunile ciclului: valoarea maximă a tensiunii (limita superioară a tensiunii)

3max

p

maxmax

d

M16

W

M

MPa 163mm

N 163

)(mm 503,14

(Nmm) 1010416233

33

;

valoarea minimă a tensiunii (limita inferioară a tensiunii)

3max

p

minmin

d

M16

W

M

MPa 49 mm

N 49

)(mm 503,14

(Nmm) 10102,116233

33

,

tensiunea medie

2minmax

m

= MPa 1062

MPa 49MPa 163

,

amplitudinea tensiunilor

2minmax

a

= MPa 572

MPa 49MPa 163

.

Luând în consideraţie că MPa 800r şi 04,0mm50

mm 2

d

r ,

din figurile 3.19.2, 3.19.3, 3.19.4 aflăm coeficientul efectiv de 193

concentrare a tensiunilor k = 1,7, coeficientul dimensional 76,0

şi coeficientul de calitate a suprafeţei 82,0 (curba 3 – şlefuire brută sau strunjire brută).

Fig. 3.19.2

Fig. 3.19.3

Siguranţa la rezistenţă:

37,110605,057

82,076,0

7,1220

kc

ma

1

194

Întrucât c>ca =1,3, piesa prezintă siguranţa în exploatare, adică rezistă la oboseală.

Fig. 3.19.4

Problema 20. Asupra unei grinzi de oţel cu secţiunea în I nr. 22 la distanţa b1= 2 m cade de la înălţimea h=25 cm greutatea G = 500 N. Să se determine săgeata de încovoiere sub greutate şi tensiunea maximă în grindă. Lungimea deschiderii (b1+b2). Masa grinzii se

neglijează; b2 = 1 m, MPa101,2E 5

Fig. 3.20.1

195

Rezolvare. Pentru Oţel I nr. 22 411 cm 3060I 3

1 cm 278W . Alcătuim schema de calcul (fig. 3.20.2)

Fig. 3.20.2

Vom calcula reacţiunile în reazeme. Alcătuim ecuaţiile de echilibru. Suma momentelor faţă de articulaţia A:

N 3,333F3

2

bb

bFR0bF)bb(R

21

1B121B

.

Suma momentelor faţă de articulaţia B:

N 7,166F3

1

bb

bFR0bF)bb(R

21

2B221A

.

Momentul încovoietor maxim:

Nm 3,33312

12500

bb

bbFM

21

21max

Tensiunea statică maximă la încovoiere:

MPa 1,2Pa 102,1m

N 102,1

10278

3,333

W

M 62

66

1

maxst

Pentru calculul deplasărilor aplicăm regula lui Marina. Determinăm unghiul de rotire în secţiunea A, folosind condiţia că deplasarea pe verticală în secţiunile A şi B este nulă:

x

BMAB

21AAB EI

S)bb(uu = 0

196

)bb(EI)bb(EI

S

2111

2211

2111

BMAB

A

6565

1067,34)12(1006,310101,2

67,07,16667,13,333

unde ariile i şi distanţele dintre centrele de greutate ale ariilor i şi axa verticală prin punctul B sunt:

;Nm 3,33323,1332

1b

bb

bbF

2

1 21

21

211

m 67,1123

1bb

3

1211

;Nm 7,16613,1332

1b

bb

bbF

2

1 22

21

212

m 67,013

2b

3

2 22

Săgeata de încovoiere statică în secţiunea C:

m 1046,31006,310101,2

67,03,33321067,34

EIb

EI

Sbuu

5565

6

11

311A

11

CMAC

1AAC

Coeficientul dinamic:

2,1211046,3

1025211

u

h211k

5

2

std

Tensiunile dinamice în bara de oţel se determină după formula

dstd k , unde st este tensiunea statică, dk - coeficientul

dinamic. MPa 4,1452,1212,1kdstd .

Deplasările dinamice în bara se determină după formula

dstd kuu , unde stu este deplasarea statică.

Săgeata de încovoiere dinamică sub greutatea G va fi:

mm 4,19m 1019,42,1211046,3kuu 35dstd .

197

Tabele anexe Tabelul 1

198

Tabelul 2

199

Tabelul 3

200

Cuprins 1. Definiţii şi relaţii de calcul 1

1.1. Sistem de referinţă 1 1.2. Regula de transformare a coordonatelor la rotire a sistemului de referinţă. Scrieri indiciale 3 1.3. Forţe exterioare şi legături 6 1.4. Reazeme şi reacţiuni. Determinarea reacţiunilir 8 1.5. Principiul tensiunilor Caushy. Forţe interioare: tensiuni şi eforturi 11 1.6. Tipuri simple de solicitări 14 1.7. Diagrame de eforturi 16 1.8. Relaţiile diferenţiale dintre eforturile secţionale 20 1.9. Construcţia analitică a diagramelor de eforturi 24 1.10. Exemple pentru construirea diagramelor 25 1.11. Caracteristicile geometrice ale figurilor plane 31 1.12.Momente de inerţie pentru figuri simple 32 1.13. Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe paralele 33 1.14. Momente de inerţie pentru figuri compuse 35 1.15. Momente de inerţie principale 36 1.16. Module de rezistenţă ale secţiunii plane 38 1.17. Proprietăţile mecanice ale materialelor 39 1.18. Relaţia între tensiuni şi deformaţii. Încercare a materialelor la întindere 40 1.19. Rezistenţe admisibile. Coeficienţi de siguranţă 43 1.20. Întinderea şi compresiunea 44 1.21. Forfecarea 46 1.22. Încovoierea barelor drepte 47 1.23. Răsucirea (torsiunea) barelor drepte cu secţiunea circulară şi inelară 53 1.24. Încovoiere oblică 55 1.25. Încovoiere cu torsiune barelor cu secţiune circulară şi inelară 56 1.26. Calculul deplasărilor după regula lui Marina 58 1.27. Sisteme static nedeterminate 62

201

1.28. Flambajul barei drepte comprimate 66 1.29. Solicitări dinamice 71 1.30. Solicitări variabile 73

2. Variante lucrărilor de calcul 79 2.1. Indicaţii generale 79 2.2 Condiţiile problemelor şi variante 81

3. Probleme rezolvate 106 4. Anexa 196

Bibliografie

1. Marina V. Calculul tensorial. Vol I. Editura „Tehnica-Info”,

Chişinău, 2006. 2. Marina V., Savcenco E. O nouă metodă de calcul al

deplasărilor. UTM, Chişinău,1998. 3. Volmir I. Culegere de probleme la rezistenţa materialelor.

Lumina, Chishinău, 1990.

202