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Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 1/23

Matemáticas DiscretasTC1003

Relaciones entre Conjuntos: PropiedadesDepartamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

RepresentacionEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetrıaEjemplo 3AntisimetrıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticionEjemplo 12


Representación Alternativa para Relaciones

Sea A un conjunto y R una relación de A en A. Eneste caso diremos que R es una relación sobre A ouna relación en A. Alternativamente al diagramade flechas del conjunto hacia si mismo:

a

b

c

a

b

c

a

b

c



EjemploSi A = {1,2,3,4} yR = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (3,3), (4,1)} dibuje eldiagrama de flechas de las relación.Solucion

1 2

34



Relación Reflexiva

DefinicionSean A un conjunto y R una relación. Se dice que■ R es reflexiva si :

∀x, (x ∈ A→ (x, x) ∈ R).

Es decir, toda relación que sea reflexiva debe teneral menosn flechas (suponiendo que n es el númerode elementos de A): deben estar todas las parejas(a, a) donde a barre todos los elementos de A.



Ejemplos

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Relación no Reflexiva

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Relación Reflexiva

Cada nodo debe tener un cíclo.



EjemplosDe acuerdo a la mtriz de adyacencia de unarelación:

1 · · ·.

.

.

...

0...

1 · · ·.

.

. 1...

1

Relación No reflexiva Relación Reflexiva

En la diagonal principal debe haber sólo unospara relaciones reflexivas. En las no reflexivas hayal menos un cero.



Relación Simétrica

DefinicionSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es simétrica si

∀x, y, ((x, y) ∈ R→ (y, x) ∈ R).

Que no nos engañe la implicación: no dice quetengamos flechas de x a y para todo x y y: Diceque en caso de haber una flecha de x a y debemosde tener una de y a x en las relaciones simétricas.



Ejemplos

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Relación no simétrica

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Relación Simétrica



Relación Antisimétrica

DefinicionSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es antisimétrica si

∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R→ x = y).

Cuando están las parejas (x, y) y (y, x) en larelación, es porque las parejas son (x, x).



Ejemplos

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Relación no Antisimétrica

1 2

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Relación Antisimétrica



Relación Transitiva

DefinicionSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es transitiva si

∀x, y, z, ((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R→ (x, z) ∈ R).



Ejemplos

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Relación no Transitiva

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34

Relación Transitiva



Relación de Equivalencia

DefinicionSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es una relación de equivalencia si R es reflexiva,simétrica y transitiva.



Ejemplos

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Relación no de Equivalencia

1 2

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Relación de Equivalencia



Relación de Orden Parcial

DefinicionSean A un conjunto y R una relación. Se dice queR es una relación de orden parcial si R esreflexiva, antisimétrica y transitiva.



Ejemplos

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Relación que no es Orden Parcial

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Relación de Orden Parcial



EjemploConsidere el conjunto

A = {1,2,3}

y la relación:

R =

(2,2) , (2,3) , (1,2) ,

(1,1) , (3,3)

Indique cuáles propiedades tiene la relación.



EjemploIndica cuáles de las siguientes son relaciones deequivalencia:1. mod5 en los enteros2. La relación vecinosen los paises3. Primos en una familia4. ≥ en los enteros



Cerradura Transitiva de una Relación

DefinicionSean A un conjunto y R una relación. La cerraduratransitiva de R es una relación R′que cumple:■ R′ es transitiva,■ R ⊆ R′ (R′ contiene a R), y■ Cualquier otra relación transitiva que contiene a

R también contiene a R′.Es decir, la cerradura transitiva de una relación Res la más pequeña relación transitiva que contienea R.



Ejemplos

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Relación

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Cerradura Transitiva

Cuidado: A veces hace falta una segunda pasadapara revisar si ya es transitiva.



Considere el conjunto

A = {1,2,3}

y la relación sobre A:

R =

(1,1) , (1,2) , (1,3) ,

(2,1) , (2,2) , (3,3)

Sólo de la siguiente lista indique cuáles parejasdeben aãdirse a R en la cerradura transitiva:1. (2,3)

2. (3,1)

3. (3,2)



Partición de un Conjunto

DefinicionSea A un conjunto no vacío. Una partición para Aes una colección de subconjuntos de A, A1,A2,. . . ,Am tal que■ Ningún subconjunto Ai es vacío:

∀i, Ai , ∅

■ Los conjuntos no tienen elemento en común:

∀i, j, (i , j→ Ai ∩ A j = ∅)

■ La unión de los conjuntos es igual a A:

A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am = A



EjemploIndica cuáles de las siguientes son particiones delconjunto:

{1,3, {5,2},4}

1. {∅, {1,3, {5,2},4}}2. {{1}, {3, {5,2},4}}3. {{{1,3}}, {5,2}, {4}}4. {{1}, {3}, {{5,2}}, {4}}

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