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MATEMATICAS BASICAS

Autor: Lorenzo Acosta GempelerEdicion: Jeanneth Galeano Penaloza

Rafael Ballestas Rojano

Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas

Sede Bogota

Enero de 2015

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Relaciones y elipses 1 / 1

Parte I

Relaciones


Relaciones

Una relacion (real) es un subconjunto de R2.

Si S es una relacion entonces el dominio de S es el conjunto de lasprimeras componentes de las parejas en S ,

Dom(S) = {x : (∃y)((x , y) ∈ S)}.

La imagen de S es el conjunto de las segundas componentes de las parejasen S ,

Im(S) = {y : (∃x)((x , y) ∈ S)}.


Ejemplo 1

A = {(1, 2), (5,√

2), (−1, 0), (π, π)}

Dom(A) = {1, 5,−1, π}

Im(A) = {2,√

2, 0, π}

x

y

(−1, 0)

(1, 2)

(π, π)

(5,√

2)


Ejemplo 2

B = {(x , y) ∈ R2 : y = 2x ∧1 ≤ x ≤ 3}

Dom(B) = [1, 3]

Im(B) = [2, 6]

x

y

(1, 2)

(3, 6)


Ejemplo 3

C = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}

Dom(C ) = [−1, 1]

Im(C ) = [−1, 1] x

y

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Ejemplo 3

C = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}

Dom(C ) = [−1, 1]

Im(C ) = [−1, 1]

x

y

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Ejemplo 3

C = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}

Dom(C ) = [−1, 1]

Im(C ) = [−1, 1] x

y

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Relaciones

Cuando se define una relacion S por comprension se obtiene

S = {(x , y) ∈ R2 : p(x , y)},

donde p(x , y) es un predicado en las variables x e y .La relacion S queda completamente determinada por el predicado p(x , y).

Ejemplo: Si C = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}entonces p(x , y) es la conjuncion

−1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1.


Ejemplo 4

C1 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}

= {(x , y) ∈ R2 : p(x − 3, y)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y ≤ 1}

x

y

-2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2


Ejemplo 5

C2 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x+4 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}

= {(x , y) ∈ R2 : p(x + 4, y)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x+4 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −5 ≤ x ≤ −3;−1 ≤ y ≤ 1}

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Ejemplo 6

C3 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y−1 ≤ 1}

= {(x , y) ∈ R2 : p(x , y − 1)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y−1 ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2}

x

y

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Ejemplo 7

C4 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧−1 ≤ y+3 ≤ 1}

= {(x , y) ∈ R2 : p(x , y + 3)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y+3 ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−4 ≤ y ≤ −2}

x

y

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2


Ejemplo 8

C5 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y−4 ≤ 1}

= {(x , y) ∈ R2 : p(x − 3, y − 4)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y − 4 ≤ 1}

{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4; 3 ≤ y ≤ 5}

x

y

-1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5


Ejemplo 8

C5 = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y−4 ≤ 1}

= {(x , y) ∈ R2 : p(x − 3, y − 4)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x−3 ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4;−1 ≤ y − 4 ≤ 1}

{(x , y) : 2 ≤ x ≤ 4; 3 ≤ y ≤ 5}x

y

-1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5


Propiedades

1. Si S es la relacion definida por el predicado p(x , y) y

T = {(x , y) ∈ R2 : p(x − a, y)}

entonces la grafica de T se obtiene de la de S mediante una traslacionhorizontal de |a| unidades (hacia la derecha si a > 0 y hacia la izquierda sia < 0).


Propiedades

2. Si S es la relacion definida por el predicado p(x , y) y

U = {(x , y) ∈ R2 : p(x , y − b)}

entonces la grafica de U se obtiene de la de S mediante una traslacionvertical de |b| unidades (hacia arriba si b > 0 y hacia abajo si b < 0).


Relaciones

Realicemos otras variaciones a p(x , y) en el ejemplo

C = {(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}.


Ejemplo 9

D1 ={

(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x

2≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1

}={

(x , y) ∈ R2 : p(x

2, y)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x

2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1

}{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}

x

y

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3


Ejemplo 9

D1 ={

(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x

2≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1

}={

(x , y) ∈ R2 : p(x

2, y)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x

2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1

}

{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}

x

y

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3


Ejemplo 9

D1 ={

(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x

2≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1

}={

(x , y) ∈ R2 : p(x

2, y)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x

2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1

}{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}

x

y

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3


Ejemplo 10

D2 ={

(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ 2y ≤ 1}

={

(x , y) ∈ R2 : p (x , 2y)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ 2y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1

2≤ y ≤ 1

2

}

x

y

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Ejemplo 10

D2 ={

(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ 2y ≤ 1}

={

(x , y) ∈ R2 : p (x , 2y)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ 2y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1

2≤ y ≤ 1

2

}x

y

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Ejemplo 11

D3 ={

(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ 3x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}

={

(x , y) ∈ R2 : p (3x , y)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ 3x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1

3≤ x ≤ 1

3;−1 ≤ y ≤ 1

}

x

y

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Ejemplo 11

D3 ={

(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ 3x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}

={

(x , y) ∈ R2 : p (3x , y)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ 3x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1

3≤ x ≤ 1

3;−1 ≤ y ≤ 1

}x

y

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Ejemplo 12

D4 ={

(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y

3≤ 1}

={

(x , y) ∈ R2 : p(x ,

y

3

)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y

3≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−3 ≤ y ≤ 3}

x

y

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3


Ejemplo 12

D4 ={

(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y

3≤ 1}

={

(x , y) ∈ R2 : p(x ,

y

3

)}{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y

3≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−3 ≤ y ≤ 3}

x

y

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3


Ejemplo 13

D5 ={

(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x

2≤ 1 ∧ −1 ≤ 3y ≤ 1

}={

(x , y) ∈ R2 : p(x

2, 3y)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x

2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1

}{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1

3≤ y ≤ 1

3

}

x

y

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3


Ejemplo 13

D5 ={

(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x

2≤ 1 ∧ −1 ≤ 3y ≤ 1

}={

(x , y) ∈ R2 : p(x

2, 3y)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x

2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1

}

{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1

3≤ y ≤ 1

3

}

x

y

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3


Ejemplo 13

D5 ={

(x , y) ∈ R2 : −1 ≤ x

2≤ 1 ∧ −1 ≤ 3y ≤ 1

}={

(x , y) ∈ R2 : p(x

2, 3y)}

{(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −1 ≤ x

2≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1

}{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1 ≤ y ≤ 1}

{(x , y) : −2 ≤ x ≤ 2;−1

3≤ y ≤ 1

3

}

x

y

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3


Propiedades

1. Si S es la relacion definida por el predicado p(x , y),a es un numero mayor que 1 y

T ={

(x , y) ∈ R2 : p(xa, y)}

entonces la grafica de T se obtiene de la de Smediante una expansion horizontal por un factor de a unidades.


Propiedades

2. Si S es la relacion definida por el predicado p(x , y),a es un numero entre 0 y 1 y

T ={

(x , y) ∈ R2 : p(xa, y)}

entonces la grafica de T se obtiene de la de Smediante una compresion horizontal por un factor de a unidades.


Propiedades

3. Si S es la relacion definida por el predicado p(x , y),b es un numero mayor que 1 y

U ={

(x , y) ∈ R2 : p(x ,

y

b

)}entonces la grafica de U se obtiene de la de Smediante una expansion vertical por un factor de b unidades.


Propiedades

4. Si S es la relacion definida por el predicado p(x , y),b es un numero entre 0 y 1 y

U ={

(x , y) ∈ R2 : p(x ,

y

b

)}entonces la grafica de U se obtiene de la de Smediante una compresion vertical por un factor de b unidades.


Relaciones

Estudiemos ahora el efecto de estos cambios sobre una relacion particular:

S = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}


Ejemplo 14

S1 ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}

se obtiene de S mediante unacompresion vertical a la mitad

{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2

14

= 1

}La grafica de S1 es una elipse.

x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 14

S1 ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}

se obtiene de S mediante unacompresion vertical a la mitad{

(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

{(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2

14

= 1


x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 14

S1 ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}

{(x , y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2

14

= 1


x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 14

S1 ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1}

{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2

14

= 1


x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 14

S1 ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : x2 + y2

14

= 1

}

La grafica de S1 es una elipse.

x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 14

S1 ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : x2 + (2y)2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : x2 + y2

14

= 1


x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 15

S2 ={

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}

se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad

{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 : 4x2 + y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 :

x2

14

+ y2 = 1

}


x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 15

S2 ={

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}

se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad{

(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

{(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 : 4x2 + y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 :

x2

14

+ y2 = 1

}


x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 15

S2 ={

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}

{(x , y) ∈ R2 : 4x2 + y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 :

x2

14

+ y2 = 1

}


x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 15

S2 ={

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : 4x2 + y2 = 1}

{(x , y) ∈ R2 :

x2

14

+ y2 = 1

}


x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 15

S2 ={

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : 4x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 :x2

14

+ y2 = 1

}


x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 16

S3 ={

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}

se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad yuna compresion vertical a la terceraparte

{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 :

x2

14

+y2

19

= 1

}


x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 16

S3 ={

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}

se obtiene de S mediante unacompresion horizontal a la mitad yuna compresion vertical a la terceraparte{

(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

{(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 :

x2

14

+y2

19

= 1

}


x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 16

S3 ={

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}

{(x , y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 :

x2

14

+y2

19

= 1

}


x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 16

S3 ={

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 = 1}

{(x , y) ∈ R2 :

x2

14

+y2

19

= 1

}


x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 16

S3 ={

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : (2x)2 + (3y)2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 :x2

14

+y2

19

= 1

}


x

y

1

−1

1−1


Ejemplo 17

S4 =

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+ (3y)2 = 1

}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unacompresion vertical a la tercera parte

{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+ (3y)2 = 1

}{

(x , y) ∈ R2 :x2

4+ 9y2 = 1

}{

(x , y) ∈ R2 :x2

4+

y2

19

= 1


x

y

1

−1

1−1

2−2


Ejemplo 17

S4 =

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+ (3y)2 = 1

}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unacompresion vertical a la tercera parte{

(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+ (3y)2 = 1

}{

(x , y) ∈ R2 :x2

4+ 9y2 = 1

}{

(x , y) ∈ R2 :x2

4+

y2

19

= 1


x

y

1

−1

1−1

2−2


Ejemplo 17

S4 =

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+ (3y)2 = 1


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 :(x

2

)2+ (3y)2 = 1

}

{(x , y) ∈ R2 :

x2

4+ 9y2 = 1

}{

(x , y) ∈ R2 :x2

4+

y2

19

= 1


x

y

1

−1

1−1 2−2


Ejemplo 17

S4 =

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+ (3y)2 = 1


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 :(x

2

)2+ (3y)2 = 1

}{

(x , y) ∈ R2 :x2

4+ 9y2 = 1

}

{(x , y) ∈ R2 :

x2

4+

y2

19

= 1


x

y

1

−1

1−1 2−2


Ejemplo 17

S4 =

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+ (3y)2 = 1


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 :(x

2

)2+ (3y)2 = 1

}{

(x , y) ∈ R2 :x2

4+ 9y2 = 1

}{

(x , y) ∈ R2 :x2

4+

y2

19

= 1

}


x

y

1

−1

1−1 2−2


Ejemplo 17

S4 =

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+ (3y)2 = 1


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 :(x

2

)2+ (3y)2 = 1

}{

(x , y) ∈ R2 :x2

4+ 9y2 = 1

}{

(x , y) ∈ R2 :x2

4+

y2

19

= 1


x

y

1

−1

1−1 2−2


Ejemplo 18

S5 =

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+(y

3

)2= 1

}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unaexpansion vertical al triple

{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+(y

3

)2= 1

}{

(x , y) ∈ R2 :x2

4+

y2

9= 1


x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4


Ejemplo 18

S5 =

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+(y

3

)2= 1

}se obtiene de S mediante unaexpansion horizontal al doble y unaexpansion vertical al triple{

(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+(y

3

)2= 1

}{

(x , y) ∈ R2 :x2

4+

y2

9= 1


x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4


Ejemplo 18

S5 =

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+(y

3

)2= 1


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 :(x

2

)2+(y

3

)2= 1

}

{(x , y) ∈ R2 :

x2

4+

y2

9= 1


x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4


Ejemplo 18

S5 =

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+(y

3

)2= 1


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 :(x

2

)2+(y

3

)2= 1

}{

(x , y) ∈ R2 :x2

4+

y2

9= 1

}


x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4


Ejemplo 18

S5 =

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+(y

3

)2= 1


(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 :(x

2

)2+(y

3

)2= 1

}{

(x , y) ∈ R2 :x2

4+

y2

9= 1


x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4


S6 ={

(x , y) ∈ R2 : (x−2)2

4 + (y−3)2

9 = 1}

se obtiene de S5 mediante una traslacionhorizontal de dos unidades hacia la derecha y unatraslacion vertical de tres unidades hacia arriba

{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

}{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+(y

3

)2= 1}

{(x , y) ∈ R2 :

x2

4+

y2

9= 1}

{(x , y) ∈ R2 :

(x − 2)2

4+

(y − 3)2

9= 1}

La grafica de S6 es una elipse con centro en (2, 3).

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

(2, 3)


S6 ={

(x , y) ∈ R2 : (x−2)2

4 + (y−3)2

9 = 1}

se obtiene de S5 mediante una traslacionhorizontal de dos unidades hacia la derecha y unatraslacion vertical de tres unidades hacia arriba{

(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

{(x , y) ∈ R2 :

(x2

)2+(y

3

)2= 1}

{(x , y) ∈ R2 :

x2

4+

y2

9= 1}

{(x , y) ∈ R2 :

(x − 2)2

4+

(y − 3)2

9= 1}


x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

(2, 3)


S6 ={

(x , y) ∈ R2 : (x−2)2

4 + (y−3)2

9 = 1}

se obtiene de S5 mediante una traslacionhorizontal de dos unidades hacia la derecha y unatraslacion vertical de tres unidades hacia arriba{

(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}{

(x , y) ∈ R2 :(x

2

)2+(y

3

)2= 1}

{(x , y) ∈ R2 :

x2

4+

y2

9= 1}

{(x , y) ∈ R2 :

(x − 2)2

4+

(y − 3)2

9= 1}


x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

(2, 3)


Relaciones

Si se da la ecuacion

(x − h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1, a 6= b,

esta representa una elipse con centro en (h, k), eje horizontal de longitud2a y eje vertical de longitud 2b. Este tipo de ecuacion se llama ecuacioncanonica de la elipse.


Relaciones

Si a > b entonces la elipse tiene eje mayor horizontal y eje menor vertical.

x

y


Relaciones

Si a < b entonces la elipse tiene eje mayor vertical y eje menor horizontal.

x

y


Relaciones

Ejemplo

Hallar la ecuacion canonica de la elipse

4x2 + 9y2 − 8x + 54y + 49 = 0

Solucion.

4x2 − 8x + 9y2 + 54y = −49

4(x2 − 2x) + 9(y2 + 6y) = −49

4(x2 − 2x + 1) + 9(y2 + 6y + 9) = −49 + 4 + 81

4(x − 1)2 + 9(y + 3)2 = 36

(x − 1)2

9+

(y + 3)2

4= 1


Relaciones

Ejemplo


4x2 + 9y2 − 8x + 54y + 49 = 0

Solucion.

4x2 − 8x + 9y2 + 54y = −49

4(x2 − 2x) + 9(y2 + 6y) = −49

4(x2 − 2x

+ 1

) + 9(y2 + 6y

+ 9

) = −49

+ 4 + 81

4(x − 1)2 + 9(y + 3)2 = 36

(x − 1)2

9+

(y + 3)2

4= 1


Relaciones

Ejemplo


4x2 + 9y2 − 8x + 54y + 49 = 0

Solucion.

4x2 − 8x + 9y2 + 54y = −49

4(x2 − 2x) + 9(y2 + 6y) = −49

4(x2 − 2x + 1) + 9(y2 + 6y

+ 9

) = −49 + 4

+ 81

4(x − 1)2 + 9(y + 3)2 = 36

(x − 1)2

9+

(y + 3)2

4= 1


Relaciones

Ejemplo


4x2 + 9y2 − 8x + 54y + 49 = 0

Solucion.

4x2 − 8x + 9y2 + 54y = −49

4(x2 − 2x) + 9(y2 + 6y) = −49

4(x2 − 2x + 1) + 9(y2 + 6y + 9) = −49 + 4 + 81

4(x − 1)2 + 9(y + 3)2 = 36

(x − 1)2

9+

(y + 3)2

4= 1


Relaciones

(x − 1)2

9+

(y + 3)2

4= 1

x

y

-2 1 4-1

-3

-5

(1,−3)


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