Matemática: Unidad II
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Unidad II
Prof.: Christiam Huertas
www.mathesm.blogspot.com
27/02/2012
Inecuaciones y funciones reales I
Las matemáticas son fáciles
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1
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2
Inecuaciones lineales
y funciones reales I
Capítulo 1
Inecuación lineal
Las expresiones “a lo menos”, “cuando mucho”, “como mínimo”, “como
máximo”, “sobrepasa”, “no alcanza” y otras, están presentes en nuestro
lenguaje diario y en general se refieren a situaciones en las cuales se establecen
comparaciones entre dos magnitudes. Por ejemplo, que la máxima velocidad
permitida en carretera es de 100 km/h, quiere decir que el rango de velocidades
permitidas se encuentra entre 0 y 100 km/h, y expresado en términos
matemáticos, se escribe . O bien, “el doctor indico que debe bajar
por lo menos 6 kg”, quiere decir que el peso ideal ( ) es menor o igual que el
peso actual ( ) menos 6 kg, y expresado matemáticamente se escribe
. Se ve, entonces, que las inecuaciones permiten modelar o representar
algunas situaciones de comparación. En este capítulo precisamente
aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones.
1.1 Inecuación
Una inecuación en una variable es una proposición que involucra dos
expresiones, de las que al menos una contiene a la variable, separadas por uno
de los símbolos de desigualdad: , , o .
Ejemplo 1 Ejemplos de inecuaciones
a)
b)
c)
d)
e)
UNIDAD
II
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3
1.1.1 Solución de una inecuación
Una solución de una inecuación en es un valor de para el que la inecuación
es verdadera.
Ejemplo 2 Solución de una inecuación
Consideremos la inecuación .
Buscamos valores de para el cual se verifique la inecuación:
Si : ( )
(F) Entonces no es solución.
Si : ( )
(V) Entonces es solución.
Si : ( )
(V) Entonces es solución.
Si √ : (√ ) √
√ √ (V) Entonces √ es solución.
Así, podemos encontrar más soluciones, pero no es la forma correcta. Lo que
tenemos que hacer es resolver la inecuación y hallar todas las soluciones.
1.1.2 Conjunto solución de una inecuación
El conjunto solución de una inecuación es el conjunto formado por todas las
soluciones de la inecuación y se denota por .
Ejemplo 3 Ejemplo de conjunto solución
En la inecuación , vemos que se verifica si es cualquier número menor
que 3; es decir, las soluciones son todos los números que pertenecen al
intervalo ⟨ ⟩. Por lo tanto, ⟨ ⟩.
Gráficamente:
1.1.3 Resolución de una inecuación
Resolver una inecuación en significa determinar todos los valores de para
los que la inecuación es verdadera; es decir, tenemos que hallar su conjunto
solución.
𝑥
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4
Un método para resolver una inecuación es sustituirla por una serie de
desigualdades equivalentes hasta obtener una desigualdad con una solución
obvia, como . Se obtienen desigualdades equivalentes aplicando las
propiedades de desigualdades estudiadas anteriormente.
Ejemplo 4 Ejemplo de resolución de una inecuación
Resuelva la inecuación .
Solución
Aplicaremos las propiedades de desigualdades para resolver la inecuación:
Restamos x
Sumamos 1
Es decir; las soluciones son todos los números mayores que 4. Por lo tanto,
⟨ ⟩ .
1.2 Inecuación lineal
Una inecuación lineal o de primer grado es una desigualdad que se verifica para
uno o más valores reales de su variable.
Una inecuación lineal es una inecuación de la forma:
donde y es la variable.
1.2.1 Resolución de una inecuación lineal
Una inecuación de primer grado se resuelve empleando las leyes de orden dadas
anteriormente.
Ejemplo 5
Resuelva la inecuación .
Solución
Se tiene la inecuación:
Restamos
Dividimos entre
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5
El conjunto solución es el intervalo ⟨ ⟩.
Ejemplo 6
Resuelva la inecuación .
Solución
Se tiene la inecuación:
Restamos 7
Restamos
Dividimos entre
El conjunto solución es el intervalo , ⟩.
Ejemplo 7
Resuelva la inecuación .
Solución
Se tiene la inecuación:
Sumamos
Dividimos entre 3
El conjunto solución es el intervalo ⟨ ⟩.
Ejemplo 8
Resuelva la inecuación
.
Solución
Se tiene la inecuación:
Multiplicamos por ( ) .
/ ( )
Restamos
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6
Dividimos entre
Que es equivalente a
El conjunto solución es el intervalo , -.
Ejemplo 9
Lucero S.A.C., una firma de confecciones, determina que sus ingresos totales,
en dólares, a partir de la venta de prendas, están dados por .
Determine el número de vestidos que debe vender Lucero para asegurar que
sus ingresos totales sean superiores a $ 70 050.
Solución
Se sabe que si vende prendas, el ingreso total es de dolares.
Se quiere que los ingresos sean superiores a $ 70 050, entonces de debe tener
la siguiente condición:
Ingreso
Resto 50
Multiplico por
Así, los ingresos totales de la compañía excederán $ 70 050 cuando venda más
de 350 prendas.
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Capítulo 2
Producto cartesiano
El nombre de producto cartesiano de dos conjuntos fue dado
en honor al gran matemático francés Descartes (1596-1650),
quien al considerar el plano como un conjunto de pares de
números inició una nueva rama de las Matemáticas llamada
Geometría Analítica.
2.1 Par ordenado
Los pares ordenados aparecen con naturalidad con bastante frecuencia. Obser-
vemos los siguientes cuadros: el primero muestra una lista de objetos con sus
respectivas cantidades y precios; y el segundo, una lista de nombres con sus
respectivos números telefónicos.
Concepto Cantidad Precio (S/.) Apellidos y nombres Teléfono
Lápices 2 cajas 12 Pérez Soto Abel 5326487
Lapiceros 5 cajas 20 Torres Castro Ana 4366612
Plumones 12 cajas 84 Suarez Quispe Luana 3451278
Es notorio que a cada objeto de la primera lista está asociada una pareja de
números en el orden cantidad – precio, estas parejas son:
( ) ( ) ( )
donde el primer número de cada pareja corresponde a la cantidad y el segundo
número, al precio.
Igualmente se puede observar en la segunda lista, que cada número telefónico está
asociado al nombre completo de una persona, formando parejas de nombres y
número telefónico, en ese orden. Estos ejemplos nos ilustran la idea de par
ordenado.
Dados dos conjuntos (no vacíos), un par ordenado está formado por dos
elementos, uno por cada conjunto, guardando un orden estricto.
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Notación
El par ordenado se escribe entre paréntesis, separado por una coma:
( )
Primera componente Segunda componente
Se lee: Par ordenado coma .
Ejemplo 1 Ejemplos de pares ordenados
( )
(√ )
( )
( ) ( )
( )
( )
La definición formal de par ordenado: ( ) {* + * +}, se debe a
Kuratowski, quien la introdujo en 1921.
2.1.1 Igualdad de pares ordenados
Dos pares ordenados son iguales si y solamente si sus primeros componentes
son iguales y sus segundos componentes también son iguales.
Simbólicamente se expresa así:
( ) ( )
Ejemplo 2
Determine el valor de e si se sabe que los pares ordenados ( ) y
( ) son iguales.
Solución
Como los pares ordenados son iguales: ( ) ( )
se debe cumplir que
y
y
Es decir, e .
2.1.2 Plano cartesiano
El plano cartesiano se forma con dos rectas reales que se interceptan
perpendicularmente, donde el punto de intersección es en cero ( ), llamado
centro u origen de coordenadas.
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Plano cartesiano
A la recta horizontal se le llama eje o eje de las abscisas. A la derecha del
cero se ubican convencionalmente valores positivos y a la izquierda valores
negativos.
A la recta vertical se le llama eje o eje de las ordenadas. Sobre el cero,
convencionalmente se ubican los valores positivos y bajo este los valores
negativos.
2.1.2 Representación geométrica de un par ordenado
La representación de un par ordenado en el plano cartesiano se realiza de la
siguiente manera: la primera componente va siempre en el eje y la segunda en
el eje .
Representación geométrica del par ordenado (a,b)
La representación de un par ordenado queda determinada mediante un punto
que se ubica con respecto a cada una de sus componentes en la intersección de
las paralelas al eje de las y de las respectivamente.
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑎
𝑏 (𝑎 𝑏)
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Ejemplo 3
Represente geométricamente los siguientes pares ordenados:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Solución
Lo ubicamos en el plano cartesiano.
2.2 Cálculo del producto cartesiano
Dados dos conjuntos y no vacios, se llama producto cartesiano al conjunto
de pares ordenados, formado por todos los elementos de , como primeros
componentes, asociados a los elementos de , como segundos componentes.
Notación Definición
*( ) +
Ejemplo 4
Dados los conjuntos * + y * +. Halle el producto cartesiano
de y (es decir, ) y el producto cartesiano de y (es decir, ).
Solución
Por definición, *( ) +
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
𝑋
𝑌
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También, *( ) +
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
Notamos que es diferente que .
Otros métodos útiles para obtener el producto cartesiano de dos conjuntos, es el
diagrama del árbol y la tabla de doble entrada; las cuales se muestran a
continuación:
a) Diagrama del árbol
( )
( )
( )
( )
( )
( )
b) Tabla de doble entrada
1 2 4
3 ( ) ( ) ( )
5 ( ) ( ) ( )
2.2.1 Representación gráfica del producto cartesiano
El producto cartesiano de y se puede representar mediante las siguientes
graficas:
a) Diagrama sagital de
𝐴 𝐵
∙
∙
∙
∙
∙
𝐴 𝐵
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b) Representación de en el plano cartesiano
También se puede representar en el plano cartesiano: en el eje , los elementos
del conjunto ; y en el eje , los elementos del conjunto .
Ejemplo 5
Dados los conjuntos
* +
* +
Halle el producto cartesiano .
Solución
Expresamos los conjuntos por extensión:
* + * +
* + * +
Por definición, *( ) +
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )+
Tenga en cuenta que: ( ) .
2.1.1 Propiedades del producto cartesiano
1. El producto cartesiano no es conmutativo. En general
si y son 2 conjuntos no vacíos:
Salvo en el caso en que . A
𝐴 𝐵
𝑿
𝒀
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Notación
Si , entonces:
Ejemplo 6
Dado el conjunto * +. Halle .
Solución
Se tiene el conjunto * +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Es decir;
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
2. El producto cartesiano es nulo o vacío, si y solo si
es vacío o es vacío.
A
3. El cardinal de es igual al cardinal de
multiplicado por el cardinal de .
( ) ( ) ( )
A
( ): número de elementos del conjunto .
Ejemplo 7
Si * + y * +, entonces:
( ) ( ) ( )
Es decir; tiene exactamente 12 elementos (12 pares ordenados).
𝐴 𝐴
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Capítulo 3
Relaciones
Las cosas del mundo real se encuentran, unas con otras en estrecha vinculación,
en particular emparentadas por algún criterio de vinculación: “María es hija de
Arturo”, “Vanessa estudia en la UCH”, “Nazca es una provincia de Ica”, “el
ascensor tiene capacidad para 11 personas”, son ejemplos donde los objetos
están vinculados, respectivamente, por los criterios: “…es hija de…”,
“…estudia en la UCH…”, “…es una provincia de…”, “…tiene capacidad
para…”.
Este apareamiento de elementos de conjuntos de acuerdo a algún criterio es lo
que se llama relación. El concepto de relación es sumamente poderoso, útil y
sencillo, es por ello que el estudio de las relaciones matemáticas es básico y
fundamental en la Matemática en general.
3.1 Relación
Sean y dos conjuntos. Una relación de en , es cualquier subconjunto
del producto cartesiano de y .
Simbólicamente,
es una relación de en
Ejemplo 1
Dados los conjuntos * + y * +; hallemos :
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
Algunos subconjuntos de son:
*( )+
*( ) ( )+
*( ) ( ) ( )+
Por definición, , y son relaciones de en .
En total, podemos encontrar ( ) relaciones de en
incluyendo al conjunto vacio.
Notación
Si es una relación de y , también se denota por
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Ejemplo 2 Ejemplos de relaciones
Dados los conjuntos * + y * +.
El producto cartesiano de estos conjuntos es
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
Establezcamos condiciones para relacionar pares de este conjunto. Se formaran
subconjuntos con las características precisas siguientes:
Caso 1:
Que los primeros elementos sean iguales a los segundos:
( ) ( ) son los pares ordenados que cumplen la relación, y forman un
subconjunto de . Luego,
*( ) ( )+ es una relación de en .
Caso 2:
Que los primeros elementos sean mayores que los segundos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) son los pares que cumplen la relación, y
forman un subconjunto de . Luego,
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ es otra relación de en .
Caso 3:
Que los primeros elementos sean menores que los segundos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) son los pares ordenados que cumplen la
relación, y forman un subconjunto de . Luego,
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ es otra relación de en .
Ejemplo 3 Ejemplo de relación
Un estudiante de biología, a fin de investigar la RELACIÓN entre el aumento
de peso y la edad de los pavos, pesa un pavo cada mes, desde el momento en
que nace hasta que adquiere un máximo desarrollo.
La tabla que sigue indica las edades, en meses, y los pesos aproximados co-
rrespondientes a esas edades, expresado en kilogramos.
Edad en
meses
Recién
nacido 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Peso en
kg. 0,1 0,6 2,1 4,0 6,2 8,4 10,6 12,7 14,6 14,8
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La tabla indica un conjunto de “parejas ordenadas” de números, el primero de
los cuales es la edad y el segundo el peso; habiéndose formado una relación
ordenada entre los dos números de cada pareja.
Notación
Dados dos conjuntos y , la relación de un elemento del conjunto con
un elemento del conjunto , se denota así:
ó ( )
Que se lee: “ esta relacionada con ”
Ejemplo 4
Dados los conjuntos * + y * +. Se define la relación de
en como:
si y solo si
Halle por extensión.
Solución
Primero hallemos el producto cartesiano de y .
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
Escojamos los pares ordenados ( ) que cumplan con la condición :
( ) ( ) ( ) ( )
Es decir; *( ) ( ) ( ) ( )+.
Ejemplo 5
Dados los conjuntos * + y * +. Se define la relación de
en como:
*( ) +
Halle por extensión.
Solución
Primero hallemos el producto cartesiano de y .
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )+
Escojamos los pares ordenados ( ) que cumplan con la condición es
un número par:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Es decir; *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+.
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Ejemplo 6
Dados los conjuntos * + y * +; y la relación de
en . Halle por extensión en cada caso:
a) ( ) si y solo si .
b) ( ) si y solo si .
c) ( ) si y solo si .
d) ( ) si y solo si divide a .
e) ( ) si y solo si .
f) ( ) si y solo si es múltiplo de 3.
Solución
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Tipos de relación
Hay cuatro tipos de relación entre los elementos de un mismo conjunto:
Reflexiva, Simétrica, Transitiva y de Equivalencia (esta última engloba a las
anteriores).
Relación reflexiva
es una relación reflexiva si todos los elementos del conjunto están
relacionados consigo mismo, a través de .
Simbólicamente, se denota así:
es reflexiva ( )
Ejemplo 7 Ejemplo de relación reflexiva
Sea el conjunto * + y la relación de dada por
*( ) ( ) ( ) ( )+
es una relación reflexiva ya que ( ) .
Relación simétrica
es una relación simétrica si siempre que un elemento del conjunto está
relacionado con otro del mismo conjunto a través de , este último, a su vez,
está relacionado con el primero a través de .
Simbólicamente, se denota así:
es simétrica ( ) ( )
Ejemplo 8 Ejemplo de relación simétrica
Sea el conjunto * + y la relación de dada por
*( ) ( ) ( ) ( )+
es una relación simétrica ya que ( ) ( ) .
Relación antisimétrica
es una relación antimétrica si siempre que un elemento del conjunto está
relacionado con otro del mismo conjunto a través de , este último, a su vez,
no está relacionado con el primero a través de .
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Simbólicamente, se denota así:
es antisimétrica ( ) ( )
Ejemplo 9 Ejemplo de relación antisimétrica
Sea el conjunto * + y la relación de dada por
*( ) ( ) ( ) ( )+
es una relación antisimétrica ya que ( ) ( ) .
Relación transitiva
es una relación transitiva cuando siempre que un elemento del conjunto
está a su vez relacionado con otro, y este está relacionado con un tercero,
entonces el primero está relacionado con el tercero, a través de .
Simbólicamente, se denota así:
Si ( ) ( ) ( )
Ejemplo 10 Ejemplo de relación transitiva
Sea el conjunto * + y una relación en definida como: “es mayor
que”. Entonces
*( ) ( ) ( )+
es una relación transitiva.
Ejemplo 11 Ejemplo de relación transitiva
Sea el conjunto * + y una relación transitiva en
definida como: “juega por el mismo equipo que”. Entonces
*( ) ( ) ( )+
es una relación transitiva.
Relación de equivalencia
de en es una relación de equivalencia cuando es reflexiva, simétrica y
transitiva simultáneamente.
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Ejemplo 11 Ejemplo de relación de equivalencia
Sea * +; pasajeros de un avión. Se cumple que :
1. Es reflexiva porque cada uno paga su pasaje.
2. Es simétrica porque Pedro viaja en el mismo avión que Juan y Juan
viaja en el mismo avión que Pedro.
3. Es transitiva, porque si Pedro viaja con Juan y Juan viaja con Andrés;
entonces, Pedro viaja con Andrés.
Relación de orden
de en es una relación de orden cuando es reflexiva, antisimétrica y
transitiva simultáneamente.
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Capítulo 4
Funciones
Las funciones son realmente fundamentales para las matemáticas. De manera
usual decimos: “el funcionamiento del mercado de valores es una función de la
confianza de los consumidores”, o bien “la
presión sanguínea del paciente es una función de
los medicamentos prescritos”. En cada caso, la
palabra función expresa la idea de que el
conocimiento de cierta información nos lleva al
conocimiento de otra. En matemáticas, las
funciones más importantes son aquellas en las
que el conocimiento de un número nos indica
otro número. Si conocemos la longitud del lado de un cuadrado, podemos
determinar su área. Si conocemos la circunferencia de un círculo, podemos
determinar su radio.
Es la idea matemática más útil para modelar el mundo real.
4.1 Funciones en nuestro entorno
En casi todo fenómeno físico se observa que una cantidad depende de otra. Por
ejemplo, la estatura depende de la edad, la temperatura depende de la fecha, el
costo de enviar una encomienda depende de su peso. Se usa el término función
para describir esta dependencia de una cantidad sobre otra. Es decir, se expresa
lo siguiente:
La altura es una función de la edad.
La temperatura es una función de la fecha.
El costo de enviar encomienda es una función del peso.
4.2 Definición de función
Dados dos conjuntos no vacíos y y una relación , entonces se
define: es una función de en si y solo si para cada elemento existe
un solo elemento .
𝐴 𝐵
∙ 𝑥 ∙ 𝑦
𝑓
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Notación
o →
Y, se lee: “ es una función de en ”.
Donde:
es el conjunto de partida.
es el conjunto de llegada.
Ejemplo 1
El conjunto *( ) ( ) ( ) ( )+ representa a una función,
porque a cada elemento de le corresponde un único elemento de .
Ejemplo 2
El conjunto *( ) ( ) ( ) ( )+ no representa a una función,
porque a un mismo elemento de , el , le corresponde dos elementos de ,
que son y , incumpliendo con la definición de función.
Condición de unicidad
Sea una función.
Si ( ) ( )
Es decir; no deben existir dos o más pares ordenados diferentes con el mismo
primer elemento.
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
𝑓
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
𝑔
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Ejemplo 3
Si el conjunto *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ representa una
función, halle el valor de y .
Solución
De la función
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
notamos que:
A le corresponde dos valores: y 6.
A le corresponde dos valores: y .
Como es una función, por la condición de unicidad se debe cumplir que:
y
y
4.3 Dominio y rango de una función
4.3.1 Dominio de una función
Llamado también conjunto de preimágenes y está formado por todas las
primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función.
Notación
Sea una función.
( ) * ( ) +
4.4.1 Rango de una función
Llamado también conjunto de imágenes y está dado por todas las segundas
componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función.
Notación
Sea una función.
( ) * ( ) +
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Ejemplo 4 Dominio y rango de una función
Dada la función *( ) ( ) ( ) ( )+, entonces
( ) * +
( ) * +
4.4.1 Regla de correspondencia
Es la relación que existe entre los elementos del dominio y los del rango.
Notación
Sea una función, entonces
( ) ( )
denota la dependencia entre e .
Además:
es la variable independiente.
es la variable dependiente
Ejemplo 5
Dada la función *( ) ( ) ( ) ( )+. Entonces, tenemos que
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Es decir, si ( ) ( ) * +
Luego, la regla de correspondencia para la función es: o ( ) .
4.4 Función real de variable real
Sea una función. Diremos que es una función real en variable real,
si y son subconjuntos de los reales; es decir, y .
Ejemplo 6 Función real de variable real
Dada la función ⟨ - , - tal que ( ) .
Vemos que ⟨ - y , - ; es decir, es una función real de
variable real.
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Observación
Si decidimos llamar a una función y es una de las entradas en el dominio
de , entonces ( ) (que se lee “ de ”) representara el número de salida en
el rango de que corresponde a la entrada .
Así:
( )
4.5 Evaluación de una función
En la definición de una función la variable independiente desempeña el papel
de “marcador de posición”. Por ejemplo la función ( ) se
puede considerar como
( )
Para evaluar en un número, se sustituye el número para el marcador de
posición.
Ejemplo 7 Evaluación de una función
Dada la función ( ) . Evalúe la función en el valor indicado.
a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) .
/
Solución
Evaluamos la función en cada caso:
a) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ( )
c) ( ) ( )
d) .
/ .
/
Ejemplo 8 Una función definida por partes
Un teléfono celular cuesta S/. 39 al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y
cada minuto adicional de uso cuesta S/. 0,2. El costo mensual es una función
Entrada
Nombre de
la función
Salida
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de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como
( ) { ( )
Determine el valor de ( ), ( ) y ( ).
Solución
Analicemos el valor de entrada :
Si , entonces el valor de ( ) es 39.
Si , entonces el valor de ( ) es ( ).
Puesto que , se tiene ( )
Puesto que , se tiene ( )
Puesto que , se tiene ( ) ( )
Por lo tanto, el plan carga S/. 39 por 100 minutos, S/. 39 por 400 minutos y S/.
55 por 480 minutos.
Ejemplo 9 Evaluar una función
Dada la función ( ) . Halle
) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( )
Solución
Evaluamos la función en cada caso:
) ( )
) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( )
( )
) ( ) ( )
( )
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4.6 Dominio y rango de una función ( ( ))
4.6.1 Dominio de una función
Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de las entradas para la
función. El dominio de una función se puede expresar de forma explícita.
Ejemplo 10 Dominio explícito
Si se escribe
( )
Entonces, el dominio es el conjunto de los números reales para los cuales
.
Si la función está dada por una expresión matemática y el dominio no se
enuncia de manera explícita, entonces el dominio de la función es el conjunto
de los números reales para los que la expresión se define como un número real.
Ejemplo 11
Determine el dominio de la función ( )
Solución
Vemos que la función tiene sentido para todos los valores de excepto 3, el
dominio es todos los valores reales de con .
Por lo tanto, ( ) * +.
Ejemplo 12
Halle el dominio de la función ( ) √ .
Solución
La función tiene sentido si es no negativo; es decir, debe ser mayor o
igual a cero ( ).
Por lo tanto, ( ) , ⟩ .
Ejemplo 13 Determinación de dominios de funciones
Halle el dominio de cada función.
) ( )
) ( ) √ ) ( )
√ ) ( )
√
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Solución
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4.4.2 Rango de una función
Recuerde que el rango de una función es el conjunto de las salidas para la
función, y se calcula a partir del dominio.
Ejemplo 14
Halle el rango de la función ( ) si ⟨ -.
Solución
Se tiene la función
( ) ⟨ -
Vemos que su dominio es ⟨ -; es decir .
Para hallar su rango, tenemos que hallar la variación de ( ).
Como
Multiplicamos por 2
Sumamos 5 ⏟
Luego, ⟨ -. Por lo tanto, ( ) ⟨ -.
Ejemplo 15
Halle el rango de la función ( ) .
Solución
Se tiene la función ( ) , y notamos que esta definida para cualquier
valor real de ; es decir, ( ) .
Como
Sumamos 3 ⏟
Luego, , ⟩. Por lo tanto, ( ) , ⟩.
Ejemplo 16
Halle el rango de la función ( ) .
Solución
Se tiene la función ( ) , y notamos que esta definida para
cualquier valor real de ; es decir, ( ) .
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La función lo podemos expresar como
( ) ( )
Como
( )
( )
Sumamos 1 ( ) ⏟
Luego, , ⟩. Por lo tanto, ( ) , ⟩.
Ejemplo 17
Halle el rango de la función ( ) √ .
Solución
Se tiene la función ( ) √ .
Primero hallemos su dominio:
La función esta bien definida si , entonces . Es decir,
( ) , ⟩
Hallemos su rango:
Como ( ) , ⟩, entonces
Resto 3
Tomo √ √
Resto 1 √ ⏟
Luego, , ⟩. Por lo tanto, ( ) , ⟩.
Ejemplo 18
Halle el rango de la siguiente función.
⟨ -
Solución
Vemos que el dominio es el intervalo ⟨ -, y la función esta dada por:
( ) ( )
Como
Resto 1
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Al cuadrado ( )
Resto 2 ( ) ⏟
Luego, ⟨ -. Por lo tanto, ( ) ⟨ -.
Ejemplo 19
Halle el rango de las siguientes funciones:
) ( ) ) ( )
) ( ) ) ( )
, ⟩
Solución
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3.2 Formas para representar una función
Se puede describir una función específica en las cuatro formas siguientes:
Verbal (mediante una descripción en palabras)
Algebraica (mediante una fórmula explícita)
Visual (por medio de una gráfica)
Numérica (por medio de una tabla de valores)
Cuatro formas de representar una función
Verbal
Con palabras:
( ) es la “población del mundo en el
instante ”
Relación de la población y el tiempo .
Algebraica
Por medio de una fórmula:
( )
Área de un círculo.
Visual
Por medio de una gráfica:
Registro del terremoto de Japón (2011)
Numérica
Por medio de una tabla de valores:
(onzas) ( ) (dólares)
Costo de enviar una carta por correo
de primera clase.
3.3 Gráficas de funciones
La forma más importante de representar una función es por medio de su gráfica.
3.3.1 La gráfica de una función
Si es una función con dominio , entonces la gráfica de es el conjunto de
pares ordenados
{( ( )) }
En otras palabras, la gráfica de es el conjunto de los puntos ( ) tales que
( ), es decir, la gráfica de es la gráfica de la ecuación ( ).
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Ejemplo 13 Gráfica de una función
Halle la gráfica de la función *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+.
Solución
Representamos cada par ordenado en el plano cartesiano:
Ejemplo 13 Graficación de funciones
Trace las gráficas de las siguientes funciones.
a) ( ) b) ( ) c) ( ) √
Solución
Primero se construye una tabla de valores. Luego se grafican los puntos
expresados en la tabla y se unen mediante una curva lisa para obtener la
gráfica.
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√
3.3.2 Obtención de información de la gráfica de una función
Los valores de una función se representan por la altura de su gráfica arriba del
eje . Asi, los valores de una función se pueden leer de su gráfica.
Ejemplo 13 Hallar valores de una función a partir de su gráfica
La función mostrada en la figura da la temperatura entre el medio día y las 6
p.m. en cierta estación meteorológica.
a) Determine ( ), ( ) y ( ).
b) ¿Qué es más grande, ( ) o ( )?
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Solución
a) ( ) es la temperatura a la 1 p.m. Está representada por la altura de la
gráfica sobre el eje . Por lo tanto, ( ) . De manera similar,
( ) y ( ) .
b) Puesto que la gráfica es mayor en que en , se deduce que
( ) es más grande que ( ).
Observación
La gráfica de una función ayuda a ilustrar el dominio y el rango de la función
en el eje y el eje como se muestra en la figura:
𝑻( 𝑭⬚𝟎 )
𝐇𝐨𝐫𝐚𝐬
𝑌
𝑋 𝐃𝐨𝐦𝐢𝐧𝐢𝐨
Ran
go
𝑦 𝑓(𝑥)
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Ejemplo 13 Dominio y rango de una función a partir de su gráfica
Halle el dominio y rango de la función ( ) √ cuya gráfica se
muestra.
Solución
De la gráfica de la figura se ve que el dominio es , - y el rango es , -.
2.1.1 Prueba de la línea vertical
La gráfica de una función es una curva en el plano . Pero surge la pregunta.
¿Qué curvas en el plano son gráficas de funciones? Esto se contesta
mediante la prueba siguiente.
Prueba de la línea vertical
Una curva en el plano coordenado es la gráfica de una función si y solo si
ninguna línea vertical corta la curva más de una vez.
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Ejemplo 11 Prueba de la línea vertical
Analicemos las siguientes gráficas.
Gráfica de una función
No es la gráfica de una función
Ejemplo 11 Uso de la prueba de la línea vertical
Indique cuál de las siguientes gráficas representa a una función.
Solución
a) ___
b) ___
c) ___
d) ___
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