Laplace

Pierre Simon Marquéz de Laplace

• Laplace(1749-1827), astrónomo y matemático francés, "el Newton de Francia”.• Conocido por haber aplicado con éxito la teoría de la gravitación de Newton a los

movimientos planetarios en el Sistema Solar. En 1767 fue profesor de matemáticas en la Escuela Militar de París y en 1785 fue elegido miembro de la Academia de Ciencias Francesa.

• Laplace realizó su trabajo más importante al desarrollar el análisis matemático del sistema de astronomía gravitacional elaborado por el matemático, físico y astrónomo británico Isaac Newton.

• Demostró que los movimientos planetarios son estables y que las perturbaciones producidas por la influencia mutua de los planetas o por cuerpos externos, como los cometas, solamente son temporales.

• En Mecánica celeste (5 volúmenes, 1799-1825) Laplace sistematizó toda la obra matemática que se había realizado sobre la gravitación.

• Exposición del sistema del mundo (1796) contiene un resumen de la historia de la astronomía.

• Trabajó sobre la teoría de la probabilidad en su Teoría analítica de las probabilidades (1812)

• Ensayo filosófico sobre la probabilidad. (1814).

Transformada de Laplace

Proporciona una alternativa mas sistemática para la investigación de ecuaciones diferenciales que el método propuesto por heaviside

l{ f (t)} = F(s)

l{ f (t)} =-st

e f (t)dt0

¥

ò

La propiedad de linealidad

Si f(t) y g(t) son funciones que tienen transformadas de Laplace si a y b son constantes cualesquiera entonces

L af (t)+bg(t){ } = aL f (t){ }+bL g(t){ }

Ejemplo L 3t + 2

3t

e{ }

= L 3t{ }+ L 23t

e{ }

= 3L t{ }+ 2L3t

e{ }

=3

2

s+

3

s-3

Primer teorema de traslación

Lat

e f (t){ } = F(s-a)

Lat

e f (t){ } = Ls®s-a

f (t){ }

L f (t){ } =-st

e f (t)dt = F(s)0

¥

ò

Lat

e f (t){ } = F(s- a)

Lat

e f (t){ } =-st

eat

e f (t)dt0

¥

ò

=(-s+a)t

e f (t)dt0

¥

ò

=-(s-a)t

e f (t)dt0

¥

ò

Ejemplos

L2 t

e3

t{ }

= Ls®s-a

3t{ }

=3!

s®s-a

4s

=3!

4

s-2( )

L-3t

e sen2t{ }

=2

s®(s+3)

2s +

2

2

=2

2

s+3( ) + 4

Derivada de la transformada

Ln

t f (t){ } =n

(-1)n

d F(s)n

ds

Ejemplo

L2

tt

e{ }

Lt

e{ } = F(s) =1

s-1

= L2

tt

e{ } =2

(-1)2

d F(S)2

ds=

2

(-1)2

d2

ds

1

s-1

æ

èç

ö

ø÷

= (-1)d

ds

12

(s-1)

æ

è

çç

ö

ø

÷÷=

23

(s-1)

Escogemos cual será nuestra f(t)

Así, por el teorema de derivada

Ejemplo

L-t

te cos t{ } = -1( )d

dsL

-t

e cost{ }

= (-1)d

dss®(s+1)

s2s +1

æ

èç

ö

ø÷

= -d

ds

s+12

s+1( ) +1

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

= -1-

2

(s+1)2

2(s+1) +1éë

ùû

Transformada de una derivada

Hasta una unidad menos de la función menos que estoy derivado

Ln

t (t){ } =n

s F(s)-n-1

s f (0)-n-2

s f '(0)-n-3

s f ''(0)

k =k

s

t n = n!/ s(n+1)

eaat =1

s - a

coskt =s

s2 + k2

senkt =k

s2 + k2

senhkt =k

s2 - k2

coshkt =s

s2 - k2

Uso de Tabla para encontrar la transformada de Laplace

L etsenh2t{ } =

senht =et - e- t

2

L{et (e2t - e-2t

2)} = L{

e3t

2-e- t

2}

=1

2L{e3t} -

1

2L{e-t}

=1

2(

1

s - 3)-

1

2(

1

s +1)

=1

2

1

s - 3-

1

s +1

æ

èçö

ø÷

Ejemplo 1

L cos2 t{ }

cos2 x =cos2x +1

2

= L{cos2t

2+

1

2} =

1

2L{cos2t} + L{

1

2}

1

2(

s

s2 + 22)+

1

2s

=1

2

s

s2 + 4+

1

s

æ

èçö

ø÷

Ejemplo 2

L{(t +1)2}

L{t 2 + 2t +1}

= L{t 2} + L{2t} + L{1} =2

s3+

2

s2+

1

s

=2 + 2s + s2

s3

Ejemplo 3

Transformada Inversa de Laplace

L-1(1

(s - 3)2) = e3t ×L-1 1

s2

æ

èçö

ø÷

= t n =n!

s(n+1)® L-1 n!

s(n+1)

æ

èçö

ø÷= t n

1

2!L-1 2!

s2+1= t 2

= e3t ×t 2

2

Primer Teorema de Traslación

Ejemplo 1

L eat × f (t){ } = F(s - a)® L-1F(s - a) = eatL-1F(s)

L-1 1

s2 + s +1

ìíî

üýþ

=

s2 + s +1 = s2 + s +1+1

4-

1

4

= L-1 1

(s + 12)2 + 3

4

ì

íï

îï

ü

ýï

þï= e

-1

2t

L-1 1

s2 + 34

ì

íï

îï

ü

ýï

þï

L-1 k

s2 + k2

æ

èçö

ø÷= senkt

= e-

1

2t

×1

32

L-1

32

s2 + 34

æ

è

çç

ö

ø

÷÷

= e-1

2t 2

3sen

3

2t

Ejemplo 2

Transformada Inversa de Laplace

Fracciones Parciales

Ejemplo 1

L-1 1

s2 + 3s

ìíî

üýþ

= L-1 1

s(s + 3)

ìíî

üýþ

A

s+B

s + 3=

1

s(s + 3)

A(s + 3)+ Bs = 1

(A + B)s + 3A = 1

A + B = 0

3A = 1

A = 13

1

3+ B = 0

B = -1

3

1

s(s + 3)=

13s

-1

3s + 3

L-1

13s

-1

3s + 3

ì

íï

îï

ü

ýï

þï= L-1

13s

ì

íï

îï

ü

ýï

þï-

1

3L-1 1

s + 3

ìíî

üýþ

= 13

- 13e-3t

El método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. El grado del polinomio del denominador debe ser estrictamente mayor que el del numerador.

L-1 s

(s2 + 4)(s + 2)

ìíî

üýþ

=

s

(s2 + 4)(s + 2)=As + B

s2 + 4+C

s + 2

s = (As + B)(s + 2)+C(s2 + 4)

s = As2 + 2As + Bs + 2B +Cs2 + 4C

s = (A +C)s2 + (2A + B)s + (2B + 4C)

A +C = 0

2A + B = 1

2B + 4C = 0

-4A + 2B = 0

2A + B = 1

B = 2A

2A + 2A = 1

4A = 1

A = 14

B = 12

C = - 14

= L-1

14s

s2 + 4+

12

s2 + 4-

14

s + 2

ì

íï

îï

ü

ýï

þï

=1

4L-1 s

s2 + 4

ìíî

üýþ

+1

2×1

2L-1 2

s2 + 4

ìíî

üýþ

-1

4

1

s + 2

ìíî

üýþ

=1

4cos2t +

1

4sen2t -

1

4e-2t

=1

4cos2t + sen2t - e-2t( )

Ejemplo 2

Transformada de Laplace de una Integral

L-1 1

s(s2 +1)

ìíî

üýþ

F(s) =1

s2 +1

L-1 F(s)

s

æ

èçö

ø÷= f (t )dt

0

t

ò = L-1(F(s)dt t®t

= (L-1 1

s2 +10

t

ò )dt t®t = sent[ ]0

t

òt®t

dt

= -cost 0

t = -cos t - (-1)

= -cos t +1

L-1 1

s(s -1)

ìíî

üýþ

F(s) =1

s -1

= (L-1 1

s -1)

0

t

ò dt t®t = etéë ùû0

t

òt®t

dt

= et = et - e0

= et -1

L f t( )dt0

t

òìíî

üýþ

=F(s)

s

L-1 F(s)

s

æ

èçö

ø÷= f (t )dt

0

t

ò Ejemplo 2Ejemplo 1

Teorema de ConvoluciónL f *g{ } = L f (t){ } ×L g(t)( ) = F(s) ×G(s)

L-1 F(s) ×G(s){ } = f *g

f *g = g* f

f (t) = et

g(t) = t

= et (t -t )dt0

t

ò

= (et t -tet

0

t

ò )dt

= t et

0

t

ò dt - tet dt0

t

ò

= tet - (ett - et )0

t

= tet - te0éë ùû - (ett - et + e0 )

= tet - t - ett - et -1

= et - t -1

Ejemplo 1: convolucion de dos funciones

f *g = f (t )g(t -t )dt0

t

ò

L et sen(t -t )dt0

t

òìíî

üýþ

f (t) = et

g(t) = sent

L et * sent{ } = L et{ } ×L sent{ }

=1

s -1×

1

s2 +1

Ejemplo 2: Transformada de una convolucion

Ejemplo 3: Inversa de productos de dos funciones en s, usando la convolucion.

L-1 1

(s -1)(s + 4)

ìíî

üýþ

= L-1 1

s -1×

1

s + 4

ìíî

üýþ

L-1 F(s) ×G(s){ } = f (t)*g(t)

F(s) =1

s -1® f (t) = et

G(s) =1

s + 4® g(t) = e-4 t

ete-4(t-t ) dt = ete-4 te4t

0

t

ò0

t

ò dt

= e-4 t e5t dt0

t

ò = e-4 t e5t

5

é

ëê

ù

ûú

0

t

= e-4 t e5t

5-

1

5

é

ëê

ù

ûú

=et

5-e-4 t

5=

1

5(et - e-4 t )

Segundo teorema de translación

• Segundo teorema de traslación para encontrar la transformada de laplace de una función escalón unitario multiplicada por f(t-a).

El teorema nos dice que la transforma de laplace del producto de f(t-a) por la función escalón unitario en a es igual a e^-as por la transformada de f(t)Nótese que f(t) resulta de sustituir a t-a por t en f(t-a)

Adicionalmente se desprende de esta propiedad que la transformada de la función escalón unitario en a es igual a e^-as / s siendo f(t-a) = 1

Ejemplo

Transformada de una función periodica

• Teorema que permite encontrar la transformada de laplace de una función periódica.

Las funciones con período T tales que f(t) = f(t+T) se pueden transformar al espacio s a través de una fórmula que simplifica su cálculo. Esta fórmula o propiedad se demuestra en este video y se ilustra con ejemplo su forma de uso.

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