Matematica Elementar Versao Final27072011

8/12/2019 Matematica Elementar Versao Final27072011

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Licenciatura em Matemtica

Matemtica Elementar

Marco Antonio Claret de Castro

Flvia Borges Arantes

Patrcia Oliveira Costa.

UFSJ

MEC SEE! UAB

"#$#


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Sumrio

PRA COMEO DE CONVERSA.........................................................................................................................5UNIDADE I - POTENCIAO E RADICIAO.............................................................................................7

1.1. POTENCIAO...............................................................................................................................................81.1.1. Propriedades da potenciao..............................................................................................................10

1.1.2. Aplicaes de Potncias......................................................................................................................13

1.2. RADICIAO................................................................................................................................................151.2.1. PROPRIEDADESDASPOTNCIASFRACIONRIAS.......................................................................................191.2.2. PROPRIEDADESDARADICIAO...............................................................................................................201.2.3. RACIONALIZAO.....................................................................................................................................22

UNIDADE II - MMC(MNIMO MLTIPLO COMUM) E MDC(MXIMO DIVISOR COMUM............25

2.1. DEFINIES..................................................................................................................................................26

2.1.1. Mltiplos e Divisores................................................................................................................ .........262.1.2. Nmeros primos........................................................................................................................... ......30

2. 1.3. Decomposio de m nmero natral em !atores primos.................................................................31

2.1.". #eorema $ndamental da Aritm%tica.................................................................................................36

2.2. MNIMOMLTIPLOCOM!M" M.M.C........................................................................................................3#2.3 $ M%IMODI&ISORCOM!M" M.D.C..........................................................................................................39

UNIDADE III - PRODUTOS NOTVEIS.........................................................................................................44

3.1. INTROD!O................................................................................................................................................'53.2. RE&ISODEE%PRESSESAL()*RICAS........................................................................................................'53.3. PROD!TOSNOT&EISMAISCOM!NS...........................................................................................................'#

3.3.1. &adrado da soma.............................................................................................................................."'

3.3.2. &adrado da di!erena......................................................................................................................."(

3.3.3. Prodto da soma pela di!erena.........................................................................................................)23.3.". *+o da soma......................................................................................................................................)3

3.3.5. C!*ODADIFERENA................................................................................................................................553.3.6. +!ADRADODASOMADEPOLIN,MIOSEM(ERAL....................................................................................5#3.3.#. TRIN,MIO+!ADRADOPERFEITO..............................................................................................................58

3.3.'. *ompletar ,adrados..........................................................................................................................60

3.3.(. Aplicaes de prodtos not-veis.........................................................................................................62

UNIDADE IV - EQUAES DO !" E 2" #RAUS.............................................................................................$4

'.1. INTROD!O................................................................................................................................................65'.2. E+!AESDOPRIMEIRO(RA!....................................................................................................................#2

".2.1. De!inio.............................................................................................................................................2

".2.2. /esolo de e,aes do primeiro ra...........................................................................................2

".2.3. Aplicaes das e,aes do primeiro ra........................................................................................6

'.3. E+!AESDOSE(!NDO(RA!....................................................................................................................#9".3.1. De!inio.............................................................................................................................................(

".3.2. #ipos de e,aes...............................................................................................................................'0

".3.". /aes de ,aes incompletas da !orma a42 5 +4 0............................................................ ......'3

".3.). /aes de ,aes completas da !orma a42 5 +4 5 c 0................................................................'"

".3.6. /elaes entre os coe!icientes e as raes...........................................................................................'('.3.6.1. S-/ / /4 S7................. ............... ............... ............... ................ ............... ............... ...... ..... ...... ..... ..89'.3.6..2. P-- / /4 P7................ ............... ............... ................ ............... ............... ............... ........... ...... .... 90

'.3.8. APLICAESDASE+!AESDO2:(RA!.................................................................................................96'.3.8.1. R-;-?;/ - 2: @/.............................................................................................................96'.3.8.2. S/ - 2: @/....................................................................................................................................100


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UNIDADE V - OPERAES COM %RAO............................................................................................ ..!&2

INTRODUO...................................................................................................................................................!&'

5.1. DEFINIES................................................................................................................................................103).1.1. $raes..............................................................................................................................................103

).1.2. 7eitra de !raes..............................................................................................................................10)

).1.3. *lassi!icao das !raes..................................................................................................................106

).1.". ,ivalncia de !raes....................................................................................................................10'

).1.). 8impli!icao de !raes...................................................................................................................110

5.2 OPERAESCOMFRAO...........................................................................................................................111).2.1. Adio e s+trao !raes...............................................................................................................111

).2.2. Mltiplicao de !raes...................................................................................................................11"

).2.3. Diviso de !raes.............................................................................................................................11)

).2.". Potenciao 9o e4ponenciao: de !raes.....................................................................................116

).2.). /adiciao de !raes.......................................................................................................................11

).2.6. #rans!ormaes de !raes...............................................................................................................11'5.2.6.1. R// />/...............................................................................118

5.2.$.2. REDUO DE NMERO MISTO PARA %RAO IMPRPRIA...............................................!!

5.2.6.3. C-BG=- />/ >// B- -....................................................................................1205.3. NMEROSDECIMAIS..................................................................................................................................121

).3.1. 7eitra de m nmero decimal..........................................................................................................121

).3.2. *onverso de !rao decimal para nmero decimal........................................................................123

).3.3. *onverso de !rao no decimal para nmero decimal.................................................................12"

).3.". *onverso de nmero decimal para !rao decimal........................................................................12"

).3.). Propriedades dos nmeros decimais.................................................................................................126

5.'. OPERAESEN&OL&ENDONMEROSDECIMAIS........................................................................................12#).".1. Adio e s+trao de nmeros decimais.........................................................................................12

).".2. Mltiplicao de nmeros decimais..................................................................................................12().".3. Diviso de nmeros decimais............................................................................................................131

5.'.'. POTENCIAODENMEROSDECIMAIS...................................................................................................132).".). /adiciao de nmeros decimais......................................................................................................133

5.'.6. A>;H/


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#.1. RAZOENTREDOISNMEROS...................................................................................................................16'#.2. PROPORO..............................................................................................................................................168#.2.1 " PROPRIEDADEF!NDAMENTALDASPROPORES................................................................................1#0

.2.2. =randeas Proporcionais.................................................................................................................11

#.3. RE(RADETRSSIMPLESECOMPOSTA....................................................................................................1#3.3.1. /era de #rs 8imples......................................................................................................................1"

#.3.2. RE(RADETRSCOMPOSTA..................................................................................................................1#6

PRA %INAL DE CONVERSA...........................................................................................................................!7

RE%ER,NCIAS..................................................................................................................................................!&

Pra come%o de conversa...


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Ol aluno (a)! Bem-vindo ao mdulo da disciplina Matemtica Elementar!

A finalidade do oferecimento dessa disciplina preencher uma lacuna que tem existido nos

cursos presenciais de Licenciatura em atemtica pois muitos formam nesses cursos e v"o

em se#uida lecionar para alunos do ensino fundamental onde existem tpicos que n"o s"o

a$ordados na #radua%"o& 'ssa disciplina tem a car#a horria de horas e composta de sete

unidades*

+& ,otencia%"o e adicia%"o

& &&.& e &/&.&

0& ,rodutos notveis

1& 'qua%2es do +3 e 3 #raus

4& Opera%2es com fra%2es

5& ela%2es mtricas no tri6n#ulo ret6n#ulo

& e#ra de 0 (simples e composta)

As aulas compreender"o a parte terica confec%"o de exerc7cios e avalia%2es&

8s nos preocupamos em tra$alhar com voc9 os tpicos a$ordados nessa disciplina numa

lin#ua#em $em acess7vel usando as defini%2es acompanhadas de exemplos e exerc7cios para

voc9 fixar melhor os o$:etivos pretendidos&

'speramos que voc9 inicie o curso com #arra vontade e persist9ncia& 8unca desista diante

das adversidades& ;a%a dessas um desafio e ver que uma das melhores coisas da vida ser

ultrapassar as $arreiras com determina%"o


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Matemtica Elementar Unidadeual o

valor de l em cm=

.omo sa$emos a rea do quadrado l& l l

l

01 l 230' 1

&0 1F'nt"o o valor de l 1F cm

-amos resolver/

+) Jm terreno quadrado tem Hmde rea&

a) >uantos metros medem o seu per7metro= (r* + m) $) >ual ser a rea em m de um terreno com o triplo da medida do lado deste

quadrado= (r* F&+ m)

) .erto ou errado= Wustifique di@endo a propriedade ou opera%"o usada&

a) 5 521 + (r* c) $)27'.3 3 (r* e) c) 286 = (r* c)

d) 2010=

(r* e) e)2'10 102'

575 ?4?4 =

(r* c) f) 268.9 =

(r* c)0) Ce a 0N0 + escreva na sua forma mais simples poss7vel o se#uinte produto*

' 3 63 3 . +a (r* a$)

1) Damos simplificar cada um dos radicais*

a) 5 352 (r* 5 11 ) $) 3 250 (r* 4 3 2 )

4)


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a) ' 10 (r* ' 160 ) $) 4T0 3 ? (r* 3 10125? )

c) ( x I T ) ?4 (r*'22'

yxyyxx )

5) Cimplifique as fra%2es*

a)8

32' + (r*2

21 +) $)

4

?44 22

(r* x - ? )

) Ce M 0 52#+ e X 0 52#

/etermine*

a) 2@+

(r* #3 ) $) M N X (r* 5' )

c) (M I X) (M N X) (r* 10)

F) /adas as i#ualdades 2'6 1010 =4 e 2010 22 =? determine o valor de x I T (r* 5)

' a7= .ompreenderam=

'speramos ter conse#uido neste cap7tulo alcan%ar nossos o$:etivos&

Damos ent"o para a prxima unidade&&&


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Matemtica Elementar Unidade ''

Unidade '' D M.M.C. 9Mnimo M3ltilo Comum: e M.!.C. 9M8imo !ivisor Comum:

Pro*lemati+ando

+) .omo calcular o &&.& de dois ou mais n?meros=


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) .omo determinar o &/&.& de dois ou mais n?meros=

0) >uais as aplica%2es do &&.& e do &/&.&=

1) O que s"o n?meros primos=

4) .omo decompor um n?mero em fatores primos=

".$. !e1ini%=es

".$.$. M3ltilos e !ivisores/

O*,etivo

/efinir e determinar m?ltiplos e divisores de n?meros naturais&

Doc9 sa$e o que m?ltiplo de um n?mero= A palavra mltiplavem de multiplica%"o&

O$serve*

x F +5

'm uma multiplica%"o o produto (resultado da multiplica%"o) sempre m?ltiplo de cada um

dos fatores&

Assim

i) x F +5

Lo#o +5 m?ltiplo de e de F&

ii) 0 x 14 +04

Lo#o +04 m?ltiplo de 0 e de 14&

,ara encontrarmos o con:unto dos m?ltiplos de um n?mero $asta multiplic-lo pela sucess"o

de n?meros naturais&

/esta forma quais s"o os m?ltiplos de +=

+ x + x 5

+ x + + + x F1

+ x 1 + x F H5

+ x 0 05 + x H +F

+ x 1 1F + x + +

+ x 4 5 + x n +n


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'nt"o o con:unto dos m?ltiplos de + pode ser representado por

(+) Y + 1 05 1F 5 F1 H5 +F + +0&&&Z

'ste con:unto infinito= A resposta sim& .omo o con:unto dos n?meros naturais infinito

se voc9 continuar multiplicando o n?mero + por todos os elementos deste con:unto o$ter

um con:unto tam$m infinito&

A#ora encontre o con:unto de todos os m?ltiplos de F& 8ote que o con:unto dos m?ltiplos de

+ e F infinito&

' a7= O que podemos concluir= odos os n?meros naturais possuem o con:unto dos m?ltiplos

infinito=

A resposta n"o! O$serve o con:unto dos m?ltiplos de @ero&

x x 5

x + x

x x F

x 0 x H

x 1 x +

x 4 x n

O con:unto dos m?ltiplos de @ero unitrio e pode ser representado por

() YZ

,ortanto

A#ora o$serve e analise*

5 + x 5

5 x 0

O con,unto dos m3ltilos de um n3mero n&o D nulo 5in1inito.


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5 0 x

5 1 x +4

5 4 x +

5 5 x +

Os n?meros + 0 1 4 5 + + +4 0 e 5 s"o fatoresdo n?mero natural 5& ' se voc9

dividi-lo por todos estes fatores a divis"o dar resto @ero ou se:a ser exata&

Assim podemos afirmar que*

O + divisor de 5 e 5 divis7vel por +&

as como encontraro con:unto de todos os divisores de um n?mero=

/aremos uma su#est"o para a resolu%"o desta situa%"o&

/ivida um n?mero n por + por por 0 por 1 e v dividindo at che#ar em n& .onsidere

como resposta adequada a per#unta acima apenas as divis2es exatas& Lo#o todos os n?meros

em que o resto da divis"o foi @ero s"o divisores de n&

;a%a este exemplo utili@ando situa%2es reais como por exemplo sua sala de aula tem

alunos& /ese:amos distri$u7-los em #rupos menores de forma que nenhum de voc9s fique sem

#rupo& >uais as possi$ilidades de formar #rupos em que todos tenham o mesmo n?mero de

elementos=

O$serve a ta$ela*

8?mero de #rupos 8?mero de alunos+ +1 44 1

+ +

Os divisores de um n3mero natural a s&o todos os n3meros naturais 2ue ao dividirem a4resultar&o em uma divis&o e8ata.


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8este caso poderemos formar + #rupo de vinte alunos #rupos de + alunos 1 #rupos de 4

alunos 4 #rupos de 1 alunos + #rupos de alunos e #rupos de um aluno de forma que

n"o so$re nenhum aluno sem #rupo ou se:a que o resto da divis"o entre alunos e #rupos se:a

@ero& >uando isto acontecer di@emos que ser divis7vel por todos os n?meros que a

divis"o for exata isto por + 1 4 + e &

.oncluindo teremos que*

/ados dois n?meros naturais a e $ di@emos que a divisor de bse existir um n?mero natural

ctal que a.c = b. 8estas condi%2es podemos di@er ainda que a divide be que b mltiplo de

aou que b divisvel por a& Jsando a lin#ua#em matemtica*

a $ c 8 [ a&c $

-amos raticar*

+) 'screva os seis primeiros m?ltiplos de +4& (r* +4 0 14 5 4)

) >uais s"o os divisores de +4 que tam$m s"o divisores de 4= (r* + e 4)

0) >uantos m?ltiplos comuns de 0 e 4 h de a 0= (r* 0 n?meros)

1) /etermine*

a) os divisores de +1 que n"o s"o divisores de 04& (r* e +1)

$) os divisores de 04 que n"o s"o divisores de +1& (r* 4 e 04)

c) os divisores de +1 que s"o tam$m divisores de 04& (r* + e )

4) A idade de ,aulo corresponde ao maior divisor par de 5 sem ser o n?mero 5& >ual a

idade de ,aulo= (r* 0 anos)

5) Os n?meros +10 e H+ s"o m?ltiplos de +0& Derifique se a soma desses n?meros $em

como a diferen%a entre eles tam$m s"o m?ltiplos de +0& (r* anto a soma como a

diferen%a entre eles m?ltipla de +0)

) \ fcil sa$er quando um ano $issexto& \ s verificar se o n?mero que representa esse

ano divis7vel por 1 ou no caso dos anos terminados em se divis7vel por 1&

a) /i#a se foi ano $issexto

- o ano do desco$rimento do Brasil (+4) (r* 8"o pois +4 n"o divis7vel por 1)


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- o ano da ,roclama%"o da ual o primeiro ano $issexto do sculo MM< (iniciado em +)= (r* 1)

".$.". 3meros rimos

O*,etivos

/efinir n?meros primos&

/ecompor um n?mero natural em fatores primos&

Antes de iniciarmos o estudo dos al#oritmos de &&.& e &/&.& faremos uma $reve

recorda%"o so$re os n?meros primos&

O que voc9s entendem por n?meros primos=

Um ouco de 6ist?ria/

Ce#undo (OL


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".$.. !ecomosi%&o de um n3mero natural em 1atores rimos/

Damos decompor os n?meros 5 + e +4&

5 x 0 ( e 0 s"o n?meros primos e 5 o produto de fatores primos)

+ x 4 ( e 4 s"o n?meros primos e + o produto de fatores primos)

+4 0 x 4 (0 e 4 s"o n?meros primos e +4 o produto de fatores primos)

A#ora vamos decompor o n?mero 05&

05 x +F (+F um n?mero composto)

+F x H (H um n?mero composto)

H 0 x 0

Assim perce$emos que 05 x x 0 x 0 e podemos afirmar que 05 composto por n?meros

primos& .alculando o produto destes n?meros primos teremos x x 0 x 0 05&

De:amos outros exemplos*

4 4 x 4 (4 um n?mero primo)

0H 0 x +0 (0 e +0 s"o n?meros primos)

1 x +

+ 0 x ( 0 e s"o n?meros primos)

'nt"o 1 x 0 x &

'xiste uma maneira mais prtica para decompor um n?mero natural mas para isso

importante recordarmos os principais critrios de divisi$ilidade& De:a*


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/ivisi$ilidade por *

Jm numero natural divis7vel por quando ele par ou se:a quando termina em 1 5 F&-e,aa divis"o do n?mero + por & 8ote que + termina em @ero e o resto da divis"o por

@ero*

Lo#o + divis7vel por & 'sta re#ra vale para todos os m?ltiplos de &

/ivisi$ilidade por 0*

Jm n?mero natural divis7vel por 0 quando a soma de seus al#arismos divis7vel por 0&

'xamine a divis"o do n?mero 5+ por 0&

.omo o resto da divis"o @ero temos que 5+ divis7vel por 0& A#ora o$serve que

somando os al#arismos do n?mero 5+ o$temos I 5 I + H que um n?mero divis7vel

por 0& 'sta re#ra vale para todos os m?ltiplos de 0&


Jm n?mero natural divis7vel por 1 quando seus dois ?ltimos al#arismos formam um n?mero

divis7vel por 1&

De:a a divis"o do n?mero 41F por 1 e a divis"o do n?mero 1F por 1&

Os dois ?ltimos al#arismos do n?mero 41F formam 1F que um n?mero divis7vel por 1&


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Jm n?mero natural divis7vel por 4 quando termina em @ero ou 4&

O$serve a divis"o do n?mero 4 por 4 e a divis"o do n?mero F04 por 4*

O n?mero 4 termina em @ero e divis7vel por 4 e o n?mero F04 termina em 4 e

divis7vel por 4& 'ste fato terminar em @ero ou 4 acontece com todos os m?ltiplos de 4&


Jm n?mero natural divis7vel por 5 quando for divis7vel por e por 0 simultaneamente&

De:a a divis"o do n?mero 51 por 5*

8ote que o n?mero 51 divis7vel por pois ele par e 51 tam$m divis7vel por 0

pois 5 I I 1 + e + divis7vel por 0& 'sta re#ra vlida para todos os m?ltiplos de 5&

/ivisi$ilidade por F*

Jm n?mero natural divis7vel por F quando seus tr9s ?ltimos al#arismos formam um n?mero

divis7vel por F&

O$serve a divis"o do n?mero + 0 por F e a divis"o do n?mero 0 por F&

H# #H $$

#"#

835 5 # 167

035 0

I" I

#" $##"

320 8 00 40

0

1320 8 052 165

040 0


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Os tr9s ?ltimos al#arismos do n?mero +0 formam 0 que um n?mero divis7vel por

F&


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c) F (r* 5F 1 1F 1 0 +5 551)

& O n?mero 4FM tem tr9s al#arismos mas o al#arismo das unidades est escondido&

Ca$endo-se que este n?mero m?ltiplo de H qual o al#arismo escondido= (r* 4)

0& >ual o menor natural de quatro al#arismos que divis7vel por 0 e por 1 ao mesmo

tempo= (r* +&F)

A#ora que : sa$emos os critrios de divisi$ilidade mais utili@ados retornaremos aos nossos

estudos da decomposi%"o em fatores primos&&& Damos decompor o n?mero +04&

+04 0

14 0

+4 0

4 4

+

0x0x0x4 00x4

Lo#o +04 00x4

'screvemos* +04 0 x 0 x 0 x 4 ou se:a o n?mero +04 composto pelos fatores primos 0 e

4& ,odemos ainda represent-lo utili@ando pot9ncias +04 00x4&

Analisando o que fi@emos acima podemos di@er que decompomos o n?mero +04 em fatores

primos ou se:a que ele foi dividido sucessivamente pelos seus fatores primos& Os divisores

foram colocados S direita do tra%o vertical e os quocientes o$tidos S esquerda& O processo

terminou quando encontramos o quociente +&


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Aplicar o teorema fundamental da aritmtica&

/eterminar n?meros primos pelo mtodo crivo de 'ratstenesP&

Fi2ue or dentro...

Ce#undo (Ol


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'le primeiramente eliminou o + depois eliminou os m?ltiplos de exceto o & 'm se#uida

riscou os m?ltiplos de 0 exceto o 0& ' assim continuou com o 4 o o ++&&& at que n"o

existissem n?meros compostos neste quadro& Os n?meros em a@ul s"o os n?meros primos

menores que +&P

".". Mnimo M3ltilo Comum D M.M.C.

O*,etivos

.onstruir o conceito de m7nimo m?ltiplo comum de dois ou mais n?meros naturais&

/eterminar o &&.& de dois ou mais n?meros naturais atravs de al#oritmos

Damos escrever os m?ltiplos de 1 e 5&

(1) Y 1 1F H5 + +11 +5F +H +5&&&Z

(5) Y 5 + +F 1 0 05 1 1F 41 5 55 F &&&Z

Os m?ltiplos que s"o comuns que se repetem em 1 e 5 s"o respectivamente Y 1 &&&Z&

O$servando este con:unto verificamos com exce%"o do @ero que o menor m?ltiplo comum

o 1& O 8


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Kenerali+ando...

/ados dois ou mais n?meros naturais n"o nulos denomina-se 8


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,odemos determinar o &&.& de +04 e 1 por decomposi%"o simult6nea isto podemos

encontrar os fatores primos dos dois n?meros +04 e 1 de uma s ve@& De:a*

+04 1 jjjjjjjjj apenas o 1 divis7vel por

+04 + 0 jjjjjjjjj +04 e + s"o divis7veis por 0

14 0 jjjjjjjjj apenas o 14 divis7vel por 0

+4 0 jjjjjjjjj apenas o +4 divis7vel por 0

4 4 jjjjjjjjj apenas o 4 divis7vel por 4

+ jjjjjjjjj apenas o divis7vel por

+ +

x 0 x 0 x 0 x 4 x +FH

&&.& (+04 1) +FH

/e modo anlo#o ao anterior encontraremos o &&.& de tr9s n?meros&

Acompanhe o racioc7nio

04 4 4 0 jjjjjjjjj apenas o 04 divis7vel por 0

4 4 4 jjjjjjjjj apenas o 4 divis7vel por 4

4 4 4 jjjjjjjjj apenas o 4 divis7vel por 4

+ + jjjjjjjjj apenas o divis7vel por

+ + +

0 x 4 x 4 x 44 &&.& (04 4 4) 44

". ( M8imo !ivisor Comum D M.!.C.

O*,etivos

.onstruir o conceito de mximo divisor comum de dois ou mais n?meros naturais&

/eterminar o &/&.& de dois ou mais n?meros naturais atravs de al#oritmos&


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Jtili@ar o &/&.& na resolu%"o de pro$lemas do cotidiano

O maior dos divisores comuns de dois ou mais n?meros chama N se mximo divisor comum&,or exemplo analise a decomposi%"o de fatores do n?mero + e 41*

+ + x + 41 + x 41

+ x 5 41 x

+ 0 x 1 41 0 x +F

41 5 x H

/a7 temos que o con:unto dos divisores de + e 41 respectivamente*

/(+) Y+ 0 1 5 +Z

/(41) Y+ 0 5 H +F 41Z

Celecionando os divisores em comum entre + e 41 teremos + 0 e 5&

O maior destes divisores comuns o n?mero 5& 'nt"o podemos concluir que o maior divisor

comum de + e 41 o n?mero 5 isto 5 o mximo divisor comum&

O que podemos indicar por &/&.& (+ 41) 5&

Kenerali+ando...

'stamos caminhando&&& Doc9 compreendeu o processo que utili@amos para encontrar o

&/&.&= as ser que n"o existe outro mtodo para facilitar o seu clculo ual o comprimento de cada peda%o de t$ua= (r* 4 cent7metros)

'speramos ter conse#uido neste cap7tulo alcan%ar nossos o$:etivos&

Damos ent"o para a prxima unidade&&&


44/180

Matemtica Elementar Unidade '''

Unidade ''' ( Produtosnotveis

,ro$lemati@ando

+& .omo relacionar o clculo de rea de quadrados e ret6n#ulos com os produtos

notveis=

& >ual a maneira mais fcil de expressar os clculos* (a I $)&(a N $) (a I

$)(a N $) (a I $)0e (a N $)0=

0& >uais as aplica%2es dos produtos notveis=

.$. 'ntrodu%&o


45/180

O*,etivos

/efinir produtos notveis&

ever conceitos $sicos so$re express2es al#$ricas

!e1ini%&o

,rodutos notveis s"o produtos de express2es al#$ricas que possuem uma forma #eral para

sua resolu%"o& 'les s"o usados para simplificar clculos al#$ricos sem que se:a necessria a

utili@a%"o de todas as etapas da multiplica%"o usando a propriedade distri$utiva& O termoroduto usado porque a solu%"o de uma multiplica%"o e a palavra notvelquer di@er que

ele importante que se destaca o seu uso&

.". )evis&o de e8ress=es alg5*ricas

.onceito/

As letras (parte literal) das express2es al#$ricas s"o chamadas de variveis (pois o

valor de cada letra pode ser su$stitu7do por um valor numrico)&

E8emlos

4 N a xI T +a + 1a$xT

Os termos semelhantes s"o aqueles que t9m a parte literal id9ntica&

E8emlos

Os termos 0axT e -4axT s"o semelhantes

Os termos a$ e -0$a s"o semelhantes (pois a$ $a)&

Os termos $xTe $xTn"o s"o semelhantes&

E8ress=es alg5*ricas s&o a2uelas 2ue aresentam n3meros e letras.


46/180

.hama-se olinNmioa toda express"o al#$rica racional e inteira (onde n"o aparecem

variveis so$ radical nem no denominador)&E8emlos

C"o polinGmios* x0- x I+ a I $ - c a - a 5axT0

8"o s"o polinGmios* 222

33

4?4

?4?4a4

+

++

MonNmios s"o os polinGmios que t9m um s termo&

E8emlo

C"o monGmios* 0x x0T -4a e

A parte inteira de um monGmio chamada de coe1icientee a parte literal composta

das letras& 8o exemplo acima respectivamente s"o coeficientes* 0 -4 e o e s"o

literais x0 x0Te a&

C podemos somar ou su$trair termos semelhantes&

E8emlo

Ce:a efetuar a opera%"o* x I xI 4x N 0x

.omo os termos em 8 s"o semelhantes e os termos em 8" tam$m s"o podemos

associ-los (fa@er a redu%&o de termos semel6antes) e efetuar as opera%2es entre

eles*

(x I 4x) I (x- 0x) x N x

8a multiplica%"o de monGmios multiplicamos os coeficientes desses monGmios e

tam$m suas partes literais&

E8emlos

(4a$)(-0a$) 4&(-0)&a&a&$&$ -+4a$1

3

2xT4&

5

'ax0T1

3

2&

5

'&a&x&x0&T4&T1

15

8 ax1TH

8a divis"o de monGmios dividimos os coeficientes e as partes literais&

E8emlos

5x0* x (5 * 0)&(x0* x) x


47/180

32

2

'3

.3

1I

3

22

3

1I

'3

3

2a+

+a

+a+a+a =

=

A potencia%"o de monGmios envolve diretamente a multiplica%"o&

E8emlo

( ) 9362#3

3.

3.

32

.3

3

332

3 ?+a?+a+?a =

=

8a multiplica%"o de polinGmios utili@amos a propriedade distri$utiva da

multiplica%"o&

E8emlo

xI x N +

.. Produtos notveis mais comuns

O*,etivos

/esenvolver al#e$ricamente o quadrado da soma de dois termos& /esenvolver #eometricamente o quadrado da soma de dois termos&

Os ,rodutos 8otveis podem ser desenvolvidos de duas maneiras*

Jtili@ando a propriedade distri$utiva da multiplica%"o que consiste no

desenvolvimento mais detalhado optando pelo empre#o exa#erado de clculos&

A utili@a%"o da re#ra prtica que vem a ser o uso de uma defini%"o #eral para cada

caso simplificando os clculos&k de se ressaltar que os dois mtodos s"o o$:etivos e precisos&

Os principais produtos notveis s"o*

>uadrado da Coma

>uadrado da diferen%a

,roduto da soma pela diferen%a

(x + 3).(2x 4) = x.2x + x.(-4) + 3.2x + 3.(-4) = 2x2- 4x + 6x -12 =


48/180

.u$o da Coma

.u$o da diferen%a >uadrado de polinGmios

..$. uadrado da soma

Damos determinar al#e$ricamente o produto (a I $)&

Jtili@ando a propriedade distri$utiva da multiplica%"o teremos*

(a I $)

(a I $)&(a I $) a&a I a&$ I $&a I $&$ a

I a$ I $

Ou se:a*

A re#ra prtica (A) pode ser escrita como*

Eeometricamente podemos determinar a rela%"o (A)*

O 2uadrado da soma de dois termos 5 igual ao 2uadrado do

rimeiro termo4 mais o do*ro do roduto do rimeiro elo

segundo termo4 mais o 2uadrado do segundo termo.

(a + b)2= a2+ 2ab + b2 (A)


49/180

/eterminando a rea do quadrado maior de lado (a I $) da primeira fi#ura acima como o

produto dos seus lados teremos*

/eterminando a rea do quadrado maior da se#unda fi#ura acima como a soma dos dois

quadrados menores e os dois ret6n#ulos que o compreendem o$temos*

.omo os dois quadrados maiores t9m os mesmo lados as reas s"o i#uais a express"o (B)

i#ual S (.) ou se:a A+ A lo#o*

E8emlos

Aplicando a re#ra prtica podemos calcular os se#uintes produtos*

a) (0x I T) (0x)I &0x&TI (T) HxI 5xTI T1

$) 2'16

22722.

'.2

2

'

22

'aa4

4aa

44a

4++=+

+

=

+

E8erccios

+& .alcule os se#uintes produtos notveis aplicando a re#ra prtica*

a) (am0I n) (r* am5I am0n I n)

$)

++

+ 2''

2

2I

22 ?4

?

4r?

?

4

& 'fetue as opera%2es*

a) 0x N (x I +) (r* -xI x N +)

$) (x I +)- (0 I x) (r* -1x- F)

..". uadrado da di1eren%a

A2= a2+ ab + ab + b2= a2+ 2ab + b2 (C)

1= (a + b).(a + b) = (a + b)2inalmene ad!ados meno!es mais a soma dos dois !eo do "!imei!o "elo se

(a + b)2= a2+ 2ab + b2


50/180

O*,etivos

/esenvolver al#e$ricamente e #eometricamente o quadrado da diferen%a de doistermos

/esenvolver al#e$ricamente e #eometricamente o produto da soma pela diferen%a de

dois termos

/esenvolver al#e$ricamente e #eometricamente o cu$o da soma de dois termos&

Damos determinar al#e$ricamente o produto (a - $)&

Jtili@ando a propriedade distri$utiva da multiplica%"o teremos*

(a - $) (a - $)&(a - $) a&a - a&$ - $&a I (-$)&(-$) a - a$ I $

Ou se:a*

A re#ra prtica (/) pode ser escrita como*

Eeometricamente podemos determinar a rela%"o (/)*

O 2uadrado da di1eren%a de dois termos 5 igual ao 2uadrado do

rimeiro termo4 menos o do*ro do roduto do rimeiro elo

segundo termo4 mais o 2uadrado do segundo termo.

(a % b)2= a2% 2ab + b2 (D)


51/180

A rea do quadrado maior i#ual S soma dos dois quadrados menores mais a soma dos

dois ret6n#ulos ou se:a*

a (a N $)I $(a N $) I $(a N $) I $ ent"o*

(a N $) aN $(a N $) I $(a N $) I $

(a N $) aN $a N $I $a N $I $

(a N $)

a

N a$ - $

.he#amos finalmente S express"o*

E8emlo

(x N 0T) (x)I &(x)&(-0T) I (-0T) 1x-+xT I HT

E8erccios

'fetuar as opera%2es

+) (0xN a) (r* Hx1N 5axI a)

) (mn0- mn$) (r* mn5N $m0n1I m1n$)

(a % b)2= a2% 2ab + b2


52/180

... Produto da soma ela di1eren%a

/eterminando-se al#e$ricamente o produto (a I $)&(a N $) utili@ando a propriedade

distri$utiva da multiplica%"o teremos*

(a I $)&(a - $) a&a I a&(-$) I $&a I $&(-$) a- a$ I a$ N $

Ou se:a*

A re#ra prtica (') pode ser escrita como*

Eeometricamente podemos determinar a rela%"o (')*

8a primeira fi#ura acima a rea do quadrado maior a"e a rea do quadrado menor *".

Lo#o a rea da re#i"o hachurada dessa fi#ura ser*

O roduto da soma ela di1eren%a de dois termos 5 igual ao2uadrado do rimeiro termo4 menos o 2uadrado do segundotermo.

(a + b).(a % b) = a2% b2 (E)

A1= a2& b2 (F)


53/180

8a se#unda fi#ura o ret6n#ulo hachurado que estava na hori@ontal foi transposto para a

vertical ou se:a as reas hachuradas das duas fi#uras s"o i#uais&

/eterminando a rea da se#unda fi#ura teremos*

.omo as duas reas s"o i#uais A+ A i#ualamos (E) a (;) e o$temos*

E8emlo

(x N 0T1)&(x I 0T) (x)N (0T1) 1xN HTF

E8erccios

esolver os produtos*

+) (-m0I x)&(-m0N x) (r* 1m5N x1)

) (3

2a1N a$4)&(

3

2a1I a$4) (r*

9

'aFN a$+)

... Cu*o da soma

/eterminando-se al#e$ricamente o produto (a I $)0 utili@ando a propriedade distri$utiva da

multiplica%"o teremos*

(a I $)0 (a I $)&(a I $)&(a I $) (a I $)&(a I $) (aI a$ I $)&(a I $)

a&&a I a&$ I a$&a I a$&$ I $&a I $&$ a0I a$ I a$ I a$I a$I $0

a0

I 0a

$ I 0a$

I $0

Ou se:a*

A re#ra prtica (k) pode ser escrita como*

A2= (a + b)(a & b) (G)

(a + b).(a % b) = a2% b2

O cu*o da soma de dois termos 5 igual ao cu*o do rimeiro

termo4 mais tr0s ve+es o 2uadrado do rimeiro termo

multilicado elo segundo4 mais tr0s ve+es o rimeiro termo

multilicado elo 2uadrado do segundo4 mais o cu*o do segundo

termo.

(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3 (H)


54/180

Eeometricamente podemos determinar a rela%"o (k)*

.omo mostrado nas fi#uras acima o volume do cu$o maior i#ual S soma dos volumes dos

dois cu$os menores mais a soma dos seis prismas que o comp2e&

Assim*(a I $)0 a&a&a I a&a&$ I a&a&$ I a&a&$ I a&$&$ I a&$&$ I I a&$&$ I $&$&$

(a I $)0 a0I a$ I a$ I a$ I a$I a$I a$I $0

'ncontrando-se o mesmo valor da equa%"o (k)*

(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3

2 '2/ '/2 /'

/


55/180

E8emlos

(x1I x)0 (x1)0I 0&(x1)&(x) I 0&(x1)

(aI a+2

1)0 (a)0I 0&(a)& ( a+

2

1) I 0&a&( a+

2

1)I ( a+

2

1)0

(aI a+2

1)0 a5I

2

3a4$ I

'

3a1$I

8

1a0$0

E8erccios

esolver pela maneira mais fcil*

+) (0xT I 4x0T)0 (r* x0T0I +04x4T0I 4xT0I +4xHT0)

) (32 a1I a$4)0 (r*

2#8 a+I

3' aH$4I a5$+I a0$+4)

... Cu*o da di1eren%a

O*,etivo

/esenvolver al#e$ricamente e #eometricamente o cu$o da diferen%a de dois termos&

/eterminando-se al#e$ricamente o produto (a - $)0 utili@ando a propriedade distri$utiva da

multiplica%"o teremos*

(a - $)0 (a - $)&(a - $)&(a - $) (a - $)&(a - $) (a- a$ I $)&(a - $)

a&&a I a&(-$) I (-a$)&a I (-a$)&(-$) I $&a I $&(-$)

a0- a$ - a$ I a$I a$- $0 a0I 0a$ I 0a$I $0

Ou se:a*

A re#ra prtica (


56/180

Eeometricamente podemos determinar a rela%"o (


57/180

0&(aN a$ I $)&$ I 0&(a$N $0) I (aN a$ N $)&(a N $)

0a$ N 5a$I 0$0I 0a$N 0$0I a0N 0a$ I 0a$N $0

a0N $0

.omprovando ent"o a re#ra prtica*

E8emlo

(1xN xT0)0 (1x)0N 0&(1x)&(xT0) I 0&(1x)&(xT0)I (xT0)0

(1xN xT0)0 51x5N H5x4T0I 1Fx0T5I Fx0TH

E8erccios

esolver usando produto notvel*

+) (1x4T0N xT1)0 (r* 51x+4THN H5x+T+I 1FxHTHI Fx5T+)

) (3

2a1- a$4)0 (r*

2#

8a+-

3

'aH$4I a5$+- a0$+4)

..I. uadrado da soma de olinNmios em geral

O*,etivo

/esenvolver al#e$ricamente o quadrado da soma de polinGmios&

As re#ras prticas de produtos notveis podem ser entendidas para polinGmios $astando paraisso* a#rupar os termos dos polinGmios formando uma soma impl7cita de dois termos e aplicar

a re#ra do quadrado da soma vista nessa unidade&

E8emlo*

a: uadrado de um trinNmio

(a I $ I c) ((a I $) I c) (a I $)I &(a I $)&c I c

/esenvolvendo as opera%2es teremos*

(a % b)3= a3% 3a2b + 3ab2% b3


58/180

aI a$ I $I ac I $c I c

Ordenando os termos o$temos*

*: uadrado de um olinNmio de 2uatro termos

(a I $ I c I d) ((a I $) I (c I d)) (a I $)I &(a I $)&(c I d) I (c I d)

/esmem$rando as opera%2es teremos*

(a I $ I c I d) aI a$ I $I ac I ad I $c I $d I cI cd I d

Ordenando os termos o$temos*

c:

uadrado de um olinNmio de n termos

Eenerali@ando a re#ra prtica para ntermos podemos usar a defini%"o*

E8erccios

.alcule as express2es pelo modo mais fcil*

+) (x I 4T I 0xT) (r* 1xI 4TI HxTI xT I +xT I 0xT)

) (x I T I 4xT I 0xT0)

(r* xI 1TI 4x1TI HxT5I 1xT I +x0T I 5xT0I xTI +xT1I 0x0T1)

0) (a I $ I c I d I x)

(r* aI $I cI dI xI a$ I ac I ad I ax I $c I $d I $x I cd I I cx I dx)

..H. rinNmio 2uadrado er1eito

O*,etivos

;atorar o trinGmio quadrado perfeito&

/esenvolver a tcnica de completar quadrados&

( 0 / 0 1)2 20 /2 0 120 2/ 0 21 0 2/1

(a + b + ' + d)2= a2+ b2+ '2+ d2+ 2ab + 2a' + 2ad + 2b' + 2bd + 2'd

O 2uadrado da soma de um olinNmio de n termos 5 igual

Q soma dos 2uadrados desses n termos mais a soma do

dulo roduto desses n termos tomados dois a dois.


59/180

/i@emos que 4 um quadrado perfeito pois 4 pode ser o$tido elevando-se 4 ao quadrado&

/o mesmo modo a express"o 0 I &(&0) I pois o$tido elevando-se (0 I ) ao quadrado

ou se:a* 4 (0 I ) aquela express"o o desenvolvimento do produto notvel do 2uadrado

da soma de dois termos&

O trinGmio x I xT I T tam$m um quadrado perfeito pois o$tido a partir do

desenvolvimento de (x I T)&

,odemos ent"o definir o trinGmio quadrado perfeito para dois termos 8 e >quaisquer da

se#uinte forma*

E8emlos/

a) Derificar se o trinGmio xI xT I T um quadrado perfeito

Lo#o esse trinGmio quadrado perfeito

c) Derificar se o trinGmio +5aI +a$ I H$ quadrado perfeito*

Um trinNmio ser um 2uadrado er1eito se veri1icar as duas condi%=es/

!ois termos dos seus termos s&o 2uadrados/ 8"e >".

O terceiro termo 5 o dulo roduto das ra+es desses 2uadrados/ ".8.>.

8"R "8> R >"

8>

".8.>

$Ia"R$#a* R *"

2)

2!$ ba

a *

"a*

".a.*


60/180

,ara ser quadrado perfeito o se#undo termo teria que ser "a* como $#a* ele n"o

quadrado perfeito&

E8erccios

Derificar quais dos trinGmios a$aixo s"o quadrados perfeitos*

a) 1xN FxT I T (r* n"o quadrado perfeito)

$) HxI 5x I + (r* quadrado perfeito)

c) aI H$ I 5a$ (r* quadrado perfeito)

d) xN 1$x I 1$ (r* quadrado perfeito)

..G. Comletar 2uadrados

O mtodo de completar quadrados usa a representa%"o #eomtrica dos termos de uma equa%"o

do 3 #raus utili@ando reas de ret6n#ulos e de quadrados&

E8emlo

esolver utili@ando o mtodo de completar quadrados a equa%"o* xI Fx +5 (da forma ax

I $x c)&

& ,ara construir a representa%"o si#a os passos*

$: /esenhe um quadrado de lado 8 para representar o termo x& /epois represente o

termo Fx por quatro ret6n#ulos de lados "e 8 como mostra a fi#ura a$aixo*


61/180

emos um quadrado de rea* 8.8 ; 8"e tam$m quatro ret6n#ulos cada um com rea* ".8 ;

"8 a rea total dos ret6n#ulos ser* ."8 ; G8.

": Damos acrescentar quatro quadrados de lado i#ual a um em cada extremidade da

fi#ura acima completando o quadrado maior&


62/180

'sse quadrado maior ser a rea anterior 8"R G8 adicionada da rea dos quatro quadrados

que foram acrescentados .9".":4 ou se:a*

as da equa%"o dada temos que* (


63/180

Os valores do $inGmio de 8eton para n e para n 0 podem ser resolvidos usando as

re#ras : definidas nessa unidade ou se:a*

,ara n teremos* (a I $) aI a$ I $

,ara n 0 teremos* (a I $)0 a0I 0a $ I 0a$I $0

A partir do termo de ordem 1 para desenvolver o $inGmio de 8eton $asta fatorar os termos

em produtos notveis conhecidos e em se#uida s aplicar as re#ras prticas que aprendemos

e efetuar as opera%2es usando a propriedade distri$utiva da multiplica%"o&

E8emlo

(a I $)1 (a I $)& (a I $) (aI a$ I $)&( aI a$ I $) &&&

(a I $) (a I $)& (a I $)& (a I $)0

(aI a$ I $)&( aI a$ I $)&(a0I0a$ I 0a$I $0) &&&

''. )esolu%&o de ro*lemas

E8emlo*

'm um loteamento cada quadra de terreno um quadrado com 4F metros de lado& O autor do

pro:eto resolveu ent"o aumentar a lar#ura da cal%ada e com isso cada quadra passou a ser um

quadrado de 45 metros de lado& >ue rea os terrenos perderam=

,ense um pouco antes de ver a solu%"o&

Jma maneira simples de responder a esta quest"o calcular a rea anti#a e diminuir o valor

encontrado da rea nova&


64/180

Damos a#ora transpor mais uma Jnidade!

Matemtica Elementar Unidade '-

Unidade '- ( E2ua%=es do $ e " graus


65/180

Pro*lemati+ando

+) >ual a diferen%a entre equa%"o e identidade=

) >ual a diferen%a entre con:unto universo e con:unto verdade=

0) O que equa%"o=

1) .omo determinar o con:unto verdade de equa%2es do primeiro e se#undo #raus=

4) .omo transformar uma lin#ua#em escrita para uma lin#ua#em matemtica ao resolver

pro$lemas de primeiro e se#undo #raus=

5) >ue aplica%2es temos das equa%2es do +3 e do 3 #raus=&

.$. 'ntrodu%&o

O*,etivos

/efinir* identidade con:unto verdade e con:unto universo&

.onstruir o conceito de equa%"o&

Aplicar as re#ras de equival9ncia&

,rimeiro vamos dar al#umas defini%2es $sicas para voc9 se ha$ituar a termos que iremos

usar nessa Jnidade&

Con,untos num5ricosOs con:untos numricos que iremos tra$alhar ser"o*

o aturais epresentado pela e composto pelo @ero e dos n?meros

inteiros positivos&

; V#4 $4 "4 4 . . .W


66/180

o 'nteiros epresentado pela letra X composto do @ero e dos inteiros

ne#ativos e positivos&X ; V. . . 4 (4 ("4 ($4 #4 $4 "4 4 . . .W

o )acionais Cim$oli@ado pelaletracompreendem os n?meros que podem

ser escritos na forma de fra%"o&

; V8 ;b

a4 a X e * X YW

XY representa os n?meros inteiros exceto o @ero&

o 'rracionais epresentam as d7@imas infinitas n"o peridicas&

'xemplo de al#uns elementos desse con:unto* # -514& & & 3

+0& & & 0+1+5& & & etc&

o )eais epresentado pela a uni"o dos con:untos dos racionais e dos

irracionais ou se:a* ) ; '&O*serva%=es/ todos esses con:untos supracitados s"o compostos de infinitos elementos&

'xistem al#umas sim$olo#ias adotadas que valem para os con:untos que contm os elementos

citados& A$aixo vai ser exemplificado s para o con:unto dos reais*).on:unto dos reais excluindo o n?mero &

)( .on:unto dos reais excluindo os n?meros positivos (@ero incluso)&

)R .on:unto dos reais excluindo os n?meros ne#ativos(@ero incluso)&

)YR .on:unto dos reais excluindo os n?meros ne#ativos e o @ero&

)Y( .on:unto dos reais excluindo os n?meros positivos e o @ero&

/evemos o$servar tam$m que* X )&

Senten%a declarativa \ aquela que exprimi uma certe@a que pode ser uma

afirma%"o ou uma ne#a%"o& Jma senten%a n"o pode ser simultaneamente falsa (;) e

verdadeira (D)&

E8emlos


67/180

O tri6n#ulo um pol7#ono de tr9s lados!

A equa%"o* x1N x0I + n"o $iquadrada!

Senten%a a*erta\ aquela que usa proposi%"o cu:o su:eito uma varivel&

E8emlos

a) x I + 5

$) 'le foi presidente do Brasil!

c) 8o primeiro exemplo acima x 4 torna a senten%a verdadeira (D) qualquer outro valor a

torna falsa (;)&

d) 8o se#undo exemplo se eleP Acio 8eves torna a senten%a falsa (;) e se eleP Lula

torna a senten%a verdadeira (D)&

Con,unto universo\ o con:unto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos

em um determinado assunto ou estudo e sim$oli@ado pela letra J (contm todos os

valores poss7veis para as inc#nitas na resolu%"o de um pro$lema)& /i@emos tam$m

que quando uma senten%a a$erta se transforma numa senten%a declarativa o su:eito

da senten%a elemento desse con:unto-universo& O con:unto universo #eralmente

sim$oli@ado pela letra mai?scula U&

E8emlos

a) 8a senten%a a$erta x N 1 5P o con:unto universo i#ual ao con:unto dos n?meros

inteiros relativos ou se:aU X&

$) 8a senten%a a$erta O dia da semana 8 o mais cansativoP o con:unto universo

formado pelos dias da semana ou se:a*

U ; Yse#unda ter%a quarta quinta sexta s$ado domin#oZ

Con,unto verdadeO con:unto verdade (-) tam$m denominado con:unto solu%"o (S)

formado de elementos que convertem uma senten%a a$erta numa senten%a declarativa& Os


68/180

elementos do con:unto verdade tam$m s"o chamados de ra+es da equa%"o& O con:unto

verdade sempre um su$con:unto do con:unto universo&

E8emlos

a) 8a senten%a a$erta*

a) 8o dia 8do m9s de de@em$ro comemora-se o 8atalP

$) O con:unto universo ser* U Y+ 0 1 & & & H 0 0+Z e o con:unto verdade ser* -

Y4Z&

c) 8a senten%a a$erta*

x sendo x um n?mero naturalP

O con:unto universo ser* U o con:unto verdade ser* - Y0 1 4 5Z&

'dentidade\ uma senten%a a$erta que exprime uma rela%"o de i#ualdade so$re

con:untos numricos e o seu con:unto verdade coincide com o prprio con:unto

universo&

E8emlo

Ce:a a senten%a a$erta*

(a I $) aI a$ I $

omando qualquer valor no con:unto para su$stituir ae *teremos sempre uma rela%"o de

i#ualdade lo#o U como tam$m - lo#o* U -.

!e1ini%&o de e2ua%&o

.om os conceitos dados anteriormente podemos a#ora definir e2ua%&o*

E2ua%&o 5 uma senten%a a*erta 2ue e8rime uma rela%&o de igualdade so*re con,untos

num5ricos4 envolvendo e8ress=es matemticas e o seu con,unto verdade 5 um

su*con,unto do con,unto universo.


69/180

'qua%2es al#$ricas s"o aquelas nas quais a inc#nita x est su:eita Ss opera%2es al#$ricas

como* adi%"o su$tra%"o multiplica%"o divis"o e radicia%"o&

A forma canNnicade uma equa%"o al#$rica escrita da se#uinte forma*

Onden um n?mero inteiro positivo&

.omo vamos tra$alhar com equa%2es do +3 e 3 #raus vamos definir o que vem a ser #rau de

uma equa%"o&

E8emlos/

a) 0x - x I 4 uma equa%"o do 3 #rau 8" o termo dominante&

$) x -0 uma equa%"o do +3 #rau o termo dominante "8&

O*serva%&o* nesse exemplo o expoente i#ual a +& A equa%"o poderia at ser escrita como*

x+N 0 mas como um n?mero elevado a + d ele mesmo n"o se costuma colocar o

expoente $&

d) ax4I $x0I+ uma equa%"o do 43 #rau o termo a8 o dominante&

Mem*ros de uma e2ua%&o

.omo toda equa%"o tem expl7cito o sinal de i#ualdade P os termos que est"o S esquerda

desse sinal constituem o primeiro mem$ro (ou mem$ro da esquerda) e os que est"o do lado

direito da i#ualdade constituem o se#undo mem$ro (ou mem$ro da direita)& A inc#nitarepresenta um numero que n"o sa$emos qual #eralmente ela representada pela letra 8& A

palavra inc#nita quer di@er desconhecida&

E8emlos

8a equa%"o* xI x x N + os termos 8"R "8constituem o primeiro mem$ro e os termos 8

D $formam o se#undo mem$ro& A inc#nita o 8&

aoxn+ a1x

n%1+ ... + an%1x1+ an= 0

Krau de uma e2ua%&o 5 o maior e8oente da inc?gnita em uma e2ua%&o alg5*rica e o

termo 2ue tem o maior grau 5 c6amado de termo dominante.


70/180

8a equa%"o* x I T I 0x N os termos 8 R "constituem o primeiro mem$ro e os termos >

R 8 D "formam o se#undo mem$ro& As inc#nitas s"o 8e >&

)a+es de uma e2ua%&o

ai@ de uma equa%"o todo elemento que pertence ao seu con:unto verdade&

E8emlo

8a equa%"o* x - 0 a rai@ pois su$stituindo esse valor para a inc#nita 8 o$temos*

& - 0 + N 0

Lo#o seu con:unto verdade * D YZ

E2ua%=es e2uivalentes

C"o aquelas que admitem o mesmo con:unto verdade&

E8emlo

/eterminar o con:unto verdade das equa%2es*

0x - + F (


71/180

E8emlo

x N 0 +0 (


72/180

O*serva%&o* >uando multiplicamos am$os os mem$ros da equa%"o (


73/180

E8emlos

a) Derificar se 1 rai@ da equa%"o* x N 0 x I &

Cu$stituindo o valor de 8por 1 na equa%"o dada teremos*

&1 N 0 1 I

F N 0 5

4 5=

.omo a senten%a n"o verdadeira ent"o 1 n"o rai@ da equa%"o&

$) Derificar se 4 rai@ da equa%"o* I 0x 4x N F

Cu$stituindo o valor de 8por 4 na equa%"o dada o$temos*

I 0&4 4&4 N F

I +4 4 N F

+ +!

.omo a senten%a verdadeira ent"o rai@ da equa%"o dada&

A resolu%"o de uma equa%"o do +3 #rau $aseada nas re#ras de equival9ncia citadas no in7cio

dessa Jnidade&

E8emlos

a) esolver a equa%"o* x N

8esse caso aplicamos a re#ra da adi%"o (princ7pio aditivo) transpondo o (-) para o se#undo

mem$ro lem$rando-se que o sinal ser trocado ficando*

x I

'fetuamos ent"o a soma al#$rica o$tendo-se*

x H

A rai@ da equa%"o (ou o con:unto verdade) ser D YHZ&

$) esolver a equa%"o* 0x N 1 4

,rimeiramente aplicamos a re#ra da adi%"o e efetuamos a soma al#$rica onde teremos*

0x 4 I 1 0x H


74/180

Aplicamos a re#ra da multiplica%"o o elemento que est multiplicando o primeiro termo

passar dividindo o se#undo termo ou se:a*

x 3

9 x 0

Assim a rai@ (con:unto verdade) da equa%"o dada * D Y0Z&

c) /eterminar o con:unto verdade da equa%"o* 0&(1x N ) (x -+) I

Aplicando a propriedade distri$utiva da multiplica%"o teremos*

0&1x I 0&(-) x I &(-+) I

+x N 5 x N I

Aplicando a re#ra aditiva isolamos as inc#nitas no primeiro mem$ro e as constantes no

se#undo mem$ro o$tendo-se*

+x N x - I I 5

+ x 5 x 5

3

10

6=

O con:unto verdade ser* D

5

3&

d) esolver a equa%"o* 1315

2

12

'

3

+

=

xxx

,rimeiramente devemos determinar o m&m&c& dos denominadores*

m&m&c& (1 0) +

/ividimos + por cada denominador e multiplicamos o resultado por cada numerador

o$tendo-se*

12

71.12

12

715.'

12

712.6

12

3.3 += xxx

ultiplicando am$os os mem$ros por + e efetuando as opera%2es teremos*Hx N +x I 5 +x N 1 I +

ranspondo as inc#nitas para o primeiro mem$ro e as constantes para o se#undo mem$ro

o$temos*

Hx N +x -1 I + - 5

-x

Jsando o princ7pio multiplicativo teremos*


75/180

11

2 =

= xx

A rai@ (con:unto verdade) ser* D Y-+Z&

e) esolver a equa%"o*6

5

3

1

2

xxx =+

O m&m&c& ( 0 5) + redu@indo ao mesmo denominador e aplicando o princ7pio aditivo e o

multiplicativo teremos*

5x I 1(x N +) +x 5x I 1x - 1 +x +x N +x 1 x 1

8"o existe nenhum n?mero que multiplicado por cu:o resultado 1& .onclu7mos que essa

equa%"o n"o tem solu%"o lo#o seu con:unto verdade ser* D .

1: !eterminar con,unto verdade da e2ua%&o/6

2'

3

12 = xx

O m&m&c& (05) 5 aplicando o princ7pio aditivo e multiplicativo e efetuando as opera%2es

teremos*

5&(x N +) 0&(1x - ) +x - 5 +x N 5 +x N +x 5 N 5

#.8 ; #esse caso4 n?s vamos ter in1initos valores de 8que satisfa@em a equa%"o dada di@emos

ent"o que a equa%"o tem infinitas solu%2es& O con:unto verdade ser o con:unto dos n?meros

reais ou se,a/ - ; V)Z

O*serva%&o

E8erccios

esolver as equa%2es*

E2ua%=es em 2ue 2ual2uer valor atri*udo Q varivel

torna a e2ua%&o verdadeira4 s&o denominadas identidades.


76/180

+) 25

'

3

2

2

3 = xxx (r* D Y5Z)

) 4&(x-+) I &(x-0) I x 4 (r* D YZ)

0) 12

32

6

' =++ xx (r* D

#

11)

1) 26

13

2

'2 +=++ xxx (r* D

9

1)

4)10

9

5

32

2

1 xxxx =

+ (r* D W

I:10

2'

5

2 xx = 9r/ - ; V)Z)

O*serva%&o

.".. Alica%=es das e2ua%=es do rimeiro grau

O*,etivo

esolver pro$lemas do primeiro #rau com a utili@a%"o de equa%2es&

Pro*lemas do rimeiro grau,ara facilitar a resolu%"o de certos pro$lemas devemos tradu@i-los da lin#ua#em escrita para a

lin#ua#em matemtica& 8esses tipos de pro$lemas para simplificar os passos podemos se#uir

quatro itens $sicos*

+) 'xpressar o pro$lema corretamente numa lin#ua#em matemtica (que sua equa%"o)&

) Ca$er identificar o con:unto universo do seu pro$lema&

0) esolver a equa%"o&

Ao resolver uma e2ua%&o do $ grau odemos ac6ar uma

rai+ 9con,unto verdade unitrio:4 nen6uma rai+ 9con,unto

verdade va+io: ou in1initas ra+es 9con,unto verdade igualao con,unto dos reais:.


77/180

1) Derificar se o resultado encontrado pertence ao con:unto universo do pro$lema&

E8emlo

a) /eterminar um n?mero real que somado com 4 i#ual S sua ter%a parte&

.omo determinado no pro$lema o con:unto universo ) (reais)&

Cendo 8o n?mero procurado a express"o matemtica ser*

3

5 x

x =+

Aplicando o princ7pio multiplicativo e o aditivo e efetuando as opera%2es teremos*

0(x I 4) x 0x I +4 x x -+4 5N#2

15 ==x

.omo a rai@ encontrada pertence ao con:unto universo dado ent"o o con:unto verdade ser*

D Y-4Z

$) Achar o n?mero inteiroque somado com sua quarta parte i#ual a +F&

,rimeiro sa$emos que o con:unto universo X(inteiros)&

Cendo 8o n?mero procurado a express"o matemtica ser* 18

3=+ xx

Aplicando o princ7pio multiplicativo e efetuando as opera%2es teremos*

0x I x 41 1x 41 5N13'

5'==x

A rai@ encontrada um n?mero fracionrio lo#o n"o pertence ao con:unto dos n?meros

inteiros lo#o o con:unto verdade ser* D &

c) W?lia foi ao supermercado e pa#ou por um mam"o e um a$acaxi a quantia de 4&

Ca$endo-se que o a$acaxi 1 mais caro que o mam"o quanto custou cada fruta=


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Aqui n"o est explicitado o con:unto universo mas como o pro$lema est tratando de

dinheiro e esse tem os centavos que uma parte fracionria ent"o consideramos )(reais) o

con:unto universo&

.onsiderando 8como o pre%o do mam"o& .omo o a$acaxi 1 mais caro que o mam"o

o seu pre%o ser 8 R #4#& ontamos ent"o a equa%"o*

x I x I 1 4

esolvendo a equa%"o teremos*

x 4 N 1 x 1F x 1

Lo#o o pre%o do mam"o ser 1 e o pre%o do a$acaxi ser* 1 I 1 F&

esposta* o mam"o custou 1 e o a$acaxi custou F&

d) Wo"o@inho per#untou S professora qual era sua idade e ela respondeu*

- Ce ao triplo da minha idade eu acrescentar 1 anos ainda faltar"o 5 anos para eu

completar um sculo de idade& >ual a idade da professora=

Ca$emos que n"o existe idade ne#ativa e nem pessoas com +eroano de idade mas uma

pessoa pode ter 5 anos e meio de idade lo#o podemos considerar como )YR o con:unto

universo desse pro$lema&

.onsiderando como 8a idade da professora a express"o matemtica ser*

0x I 1 + - 5

Jsando o princ7pio aditivo e o multiplicativo teremos*

0x I 1 H1 0x H x 0

.omo a rai@ pertence ao con:unto universo a resposta * a idade da professora 0 anos&

E8erccios

+) O Cr& Wos rece$eu seu salrio e foi no supermercado #astando l um ter%o do seu salrio&

'm se#uida ele pa#ou todas suas contas do m9s #astando a metade do seu salrio e so$rou

1& >ual era o salrio do Cr& Wos= (r* 1)


79/180

) Jma heran%a de H& deve ser repartida para tr9s pessoas& ar#arida rece$er

certa quantiaw Wo"o rece$er o do$ro da quantia de ar#arida e Dicente rece$er o triplo da

quantia de Wo"o mais && >uanto rece$er cada pessoa=

(r* ar#arida rece$er 0& Wo"o rece$er 5& e Dicente rece$er

&)&

0) r9s #arotos ,edro Lui@ e Lo possuem :untos 1 fi#urinhas& Lui@ tem o triplo de

fi#urinhas que ,edro e 0 a menos que a quantidade de fi#urinhas de Lo& .alcular o n?mero

de fi#urinhas de cada #aroto&

(r* ,edro tem 0 fi#urinhas Lui@ tem H fi#urinhas e Lo tem + fi#urinhas)&

4) Lucas pa#ou uma conta de 4H com +5 moedasw umas de 4 e outras de

& .alcular a quantidade de moedas de cada espcie&

(r* Cete moedas de e nove moedas de 4)&

.. E2ua%=es do segundo grau

O*,etivos

/efinir equa%2es do se#undo #rau&

esolver equa%2es do se#undo #rau&

..$. !e1ini%&o

.hama-se equa%"o do 3 #rau na inc#nita (ou varivel) 8 a toda equa%"o da forma*

Onde* a4 *4 c ea #.

A rela%"o (A) denomina-se forma #eral ou normal e as letras a4 *ecs"o os par6metros ou

coeficientes (esses podem ser n?meros ou letras)&

a8"R *8 R c ; # (A)


80/180

E8emlos*

8a equa%"o 8"( 8 R H ; # temos* a * ; (e c ; H&

8a equa%"o 9m D n:8"R m8 R 9"n R : ; # temos* a (m D n: * ; me c ; 9"n R :&

O$serva%2es*

..". ios de

e2ua%=es/

E2ua%=es comletas* s"o aquelas que na forma #eral t9m todos os coeficientes

diferentes de @ero&

E8emlo

4xN 1x -+ a *e c

E2ua%=es incomletas* s"o aquelas que t9m pelo menos um dos coeficientes (exceto

o coeficiente a) i#uais a @ero&

E8emlos

xN 5x com c

-xI + com *

5x onde temos * ec

... !etermina%&o de ra+es

Se o coe1iciente de 8" da e2ua%&o 9A: 1or negativo

multilica(se toda a e2ua%&o or 9($: e os seus termos

mudar&o de sinal. O termo c 5 denominado termo indeendente ou

constante.

Se os coe1icientes s&o n3meros a e2ua%&o di+(se

num5rica4 se a2ueles 1orem letras ela di+(se literal.


81/180

O*,etivo

/eterminar as ra7@es de uma equa%"o do se#undo #rau da forma a8

"

R c ; #&/eterminar as ra7@es (ou resolver uma equa%"o do 3 #rau) consiste em achar o con:unto

verdade (ou con:unto solu%"o)& 8o con:unto dos n?meros reais o con:unto verdade pode ter

um elemento dois elementos ou ent"o nenhum elemento (con:unto va@io)& 'sse ?ltimo

acontece quando ao resolver uma equa%"o o resultado envolver a extra%"o da rai@ quadrada

de um n?mero ne#ativo&

8a resolu%"o de al#umas equa%2es do 3 #rau usamos tcnicas de fatora%"o e duas

propriedades dos n?meros reais*

Podem ocorrer tr0s casos de determina%&o de ra+es/

$. )a+es de E2ua%=es incomletas da 1orma a8"R c ; #

ranspomos a constante para o se#undo mem$ro que o mesmo que somar (D c:a am$os os

mem$ros ou se:a*

axI c N c N c ax - c a

c4 =

2

8essa ?ltima equa%"o como o termo do primeiro mem$ro est elevado ao quadrado esse ser

sempre positivo& 'nt"o se o termo do se#undo mem$ro for ne#ativo n"o temos solu%"o no

con:unto dos reais e o con:unto verdade ser va@io&

Coloca%&o de termos em evid0ncia.

E8emlo/ a8"R *8 ; 89a8 R *:

Proriedade $/ Se 8 e > e 8.> ; # ent&o 8 ; # ou > ; # 9ouse,a4 se o roduto de dois 1atores 5 +ero ent&o um dos dois 1atores 5

igual a +ero:.

Proriedade "/ Se 8

e >

e 8"

; > ent&o?4o?4 =+=


82/180

Ce o se#undo mem$ro for positivo o con:unto verdade ter dois elementos (duas ra7@es

simtricas)*

a

c4 = ou de outra maneira* x+

a

' e x a

c+ e o con:unto

verdade ser*

+=a

c

a

cB N

E8emlos


a) 0xN +

ranspondo a constante para o se#undo mem$ro (com mudan%a de sinal) temos*

0x +

/ividindo am$os os mem$ros pelo coeficiente de x o$temos*

x 1

'xtraindo as ra7@es fica*

= '4 x+ - e x

O con:unto verdade ser* D Y- Z

$) 1xN 4

/e maneira anlo#a ao item (a) fa@emos*

1x 4

x'

5

x '5 25N1 x+ -+++ e x +++

O$s&* como a rai@ calculada n"o exata usamos o s7m$olo (aproximadamente i#ual)

O con:unto verdade ser* D Y-+++4+++)

c) N5xI 1

.omo o coeficiente de x ne#ativo multiplicamos a equa%"o por (-+) ficando*


83/180

5xN 1

5x 1

x 1 ' x+ - e x

eremos o con:unto verdade* D Y- Z

d) 4xI

4x -

x -1

.omo o se#undo mem$ro ne#ativo n"o temos ra7@es no corpo dos reais&

O con:unto verdade ser* D Y Z ou D

E8erccios

/etermine as ra7@es das equa%2es*

a) HxN + (r* D

3

1N

3

1)

$) 1x

N 4 x

- 29

(r* D

21

N2

1

)

H7 0x- 1 xN 4 (r* D )

d) 23

#

1

1 =+

++ 44

(r* D 2N2 + )

... )a+es de E2ua%=es incomletas da 1orma a8"

R *8 ; #

O*,etivos

/eterminar as ra7@es de uma equa%"o do se#undo #rau da forma a8"R *8

; #&

/eterminar as ra7@es de uma equa%"o do se#undo #rau da forma a8"R *8

Rc ; #&


84/180

,ara resolver equa%2es desse tipo a primeira coisa a fa@er colocar 8em evid9ncia o$tendo

um produto de dois fatores& emos ent"o*

axI $x x (ax I $)

'm se#uida usamos a propriedade supracitada do produto de n?meros reais que di@* se o

produto de dois fatores @ero ent"o um dos dois fatores i#ual a @eroP&

x (ax I $) x ou ax I $ encontrando ent"o a solu%"o*

x e

ax I $ x a+ o con:unto verdade ser*

D

a

+N0

E8emlo

esolver as equa%2es* 4x-x

;atorando a express"o do primeiro mem$ro (colocando 8em evid9ncia) teremos*

4x (x N 1)


85/180

,ara achar o con:unto verdade usamos a dedu%"o da frmula de BhasRara que se $aseia no

o$:etivo de transformar essa ?ltima equa%"o noutra equivalente de modo que o primeiro termo

se:a um quadrado perfeito&

Ce#uem os passos para essa transforma%"o*

+) ultiplicaremos am$os os mem$ros por 1a*

(axI $x I c)&1a &1a

1axI 1a$x I 1ac

) ,assando 1ac para o se#undo mem$ro*

1axI 1a$x - 1ac

,ara o primeiro mem$ro ser um trinGmio quadrado perfeito vamos recorrer a um esquema

aprendido a partir dos produtos notveis*

Assim dedu@imos que* m $ m $

0) Lo#o somaremos $a am$os os mem$ros ficando*

1axI 1a$x I $ $- 1ac

O primeiro mem$ro a#ora um trinGmio quadrado perfeito&

1) ;atorando o primeiro mem$ro teremos*

(ax I $) $N 1ac

4) .omo o o$:etivo determinar o valor de 8 extra7mos a rai@ quadrada dos dois mem$ros*

( ) =+ ac++a4 '2 22

a"8" R a*8 R

m

ma2

4

"a

"."a*

a*


86/180

ac++a4 '2 2 =+

5) ,ara explicitar o termo em 8no primeiro mem$ro passamos *para o se#undo mem$roo$tendo*

ac++a4 '2 2 =

,ara ficar somente 8no primeiro mem$ro dividimos am$os os mem$ros por "a o$tendo-se*

'ssa a chamada 1?rmula resolutiva da e2ua%&o do " grau ou1?rmula de B6as@ara&

,odemos expressar a equa%"o (B) explicitando as ra7@es da se#uinte forma*

O termo dentro do radical chamado de discriminante ou delta e indicado por essa letra

#re#a ou se:a*

/ependendo dos coeficientes de uma equa%"o do 3 #rau o discriminante pode ser positivo

i#ual a @ero ou ne#ativo&

Damos determinar as ra7@es analisando ent"o esses tr9s casos que acontecem&

': O discriminante 5 ositivo 9Z #:8esse caso ns teremos duas ra7@es distintas e podemos represent-las por 8[e 8[[ou por 8$e

8"&

O con:unto verdade ser dado por*

a

ac++4

2

'2

=(B)

= *"D ac (C)

8$;a

ac++

2

'2

e 8";a

ac++

2

'2 +


87/180

D

+

a

ac++

a

ac++

2

'N

2

' 22

E8emlos


a) xN x I +

8esse caso* a + $ - e c +

/eterminando o discriminante*

$N 1ac (-)N 1&+&+ 1H N 1F +

Achando as ra7@es*

xy 32

1#

1.2

17#=

=

xyy '2

1#

1.2

17# =+=+

O con:unto verdade ser* D Y0 1Z

$) 4xI ++x I

8esse caso* a 4 $ ++ e c


$N 1ac (++)N 1&4& ++ N 1 F+

Achando as ra7@es*

x+ 210

20

10

911

5.2

8111==

=

x5

1

10

2

10

911

5.2

8111==

+=

+

O con:unto verdade ser* D

5

1N2


88/180

'': O discriminante 5 nulo 9

; #: Cu$stituindo o valor do discriminante na equa%"o (B) teremos*

a

+4

a

+4

22

0=

=

8esse caso di@emos que temos uma rai+ dula&

E8emlo

esolver a equa%"o* xN 5x I H

8esse caso* a + $ -5 e c H


$N 1ac (-5)N 1&+&H 05 N 05

Achando as ra7@es*

x+ 32

6

1.2

076==

x 32

6

1.2

076==+

Lo#o temos x+ x x 0 uma rai@ dupla&

O con:unto verdade ser* D Y0Z

''': O discriminante 5 negativo 9\ #:Ao su$stituir o valor desse discriminante na equa%"o (B) n"o podemos extrair a rai@ quadrada

de um n?mero ne#ativo& Assim conclu7mos que toda equa%"o do se#undo #rau com \ #n"oadmite nenhuma rai@ real e por conse#uinte o seu con:unto verdade ser va@io&

E8emlo

esolver a equa%"o* xI 0x I

8esse caso* a + $ 0 e c



89/180

$N 1ac (0)N 1&+& H N F -+H

Achando as ra7@es*

x+1.2

93 x1.2

93 +

.omo no clculo das ra7@es est envolvida a rai@ quadrada de um n?mero ne#ativo

conclu7mos que essa equa%"o n"o tem ra7@es reais&

O con:unto verdade ser ent"o* D z

E8erccios


+) NxI 0x N (r* D Y+ Z

) 0xN x N 1 (r* D z)

0) 1xN 1x -+ (r* D

2

1)

1) xN x I0 (r* D

2

3N1 )

4) 212

52

=+ 44

(r* D Y 0Z)

..I. )ela%=es entre os coe1icientes e as ra+es

O*,etivo

'sta$elecer as rela%2es entre os coeficientes e as ra7@es&

..I.$. Soma das ra+es 9S:

Dimos anteriormente que as ra7@es de uma equa%"o do 3 #rau s"o*

x1=a

ac++

2

'2

e x2=

a

ac++

2

'2 +


90/180

Comando os termos mem$ro a mem$ro teremos*

x+I xa

ac++

2

'2 R

a

ac++

2

'2 +

x+I xa

+

a

ac++ac++

2

2

2

'' 22 =

+

;a@endo a simplifica%"o resultar*

,odemos definir ent"o a rela%"o das somas das ra7@es*

..I.". Produto das ra+es 9P:

Analo#amente ao que foi feito na soma de ra7@es a#ora reali@aremos o produto das ra7@es x +e

x ou se:a*ultiplicando os termos mem$ro a mem$ro teremos*

x+& x

+

a

ac++

a

ac++

2

'.

2

' 22

A soma das ra+es de uma e2ua%&o

do segundo grau 5 igual a/.

8$R 8

";

()


91/180

A multiplica%"o dos numeradores ir envolver o produto da soma pela diferen%a de dois

termos um produto notvel cu:o resultado o quadrado do primeiro termo menos o

quadrado do se#undo termo& O$temos ent"o*

x+& x22

22222

'

'

'

'

'

7'7

a

ac

a

ac++

a

ac++=

+=

;a@endo a simplifica%"o resultar*

,odemos definir ent"o a rela%"o do produto das ra7@es*

/as rela%2es (/) e (') determinadas fa@emos*

C x+I x e , x+& x

Cu$stituindo os valores das rela%2es (/) e (') teremos*

C 8a

+

a

+ = 9F:

, Pa

c

a

c = 9K:

Ce da equa%"o completa* axI $x I c dividirmos am$os os mem$ros por a teremos*

00 2 =++=++

a

c4

a

+4

aa

c

a

+4

a

a4 9]:

Cu$stituindo os valores de (;) e (E) em (k) o$temos*

O roduto das ra+es de uma e2ua%&o

do segundo grau 5 igual a/a

c.

x1. x

2=

()

8"D S8 R P ; # (


92/180

'ssas rela%2es estudadas nos a:udam a relacionar as ra7@es e tam$m a fa@er o caminho

inverso ou se:a determinar uma equa%"o do 3 #rau dadas as ra7@es&

E8emlos

a) Cem resolver a equa%"o xN 1x I F calcular a soma e o produto das ra7@es&

A soma das ra7@es dada por*

x+I x 22

7'=

=

a

+

O produto das ra7@es dado por*

x+& x '2

8==

a

c

$) /adas as ra7@es x+ - 1 e x formar a equa%"o do se#undo #rau&

A soma C -1 I 0

O produto , (-1)&() -F

Cu$stituindo esses valores na equa%"o (


93/180

E8erccios

a) /eterminar a equa%"o do 3 #rau cu:as ra7@es s"o* x+ -4 e x2

1 &

(r* xI ++x I 4)

$) .alcular o valor de @na equa%"o xI @x - +4 sa$endo-se que a soma das ra7@es

i#ual a &

(r* @ -)

..H. E2ua%&o *i2uadrada

O*,etivos

'specificar o conceito de equa%"o $iquadrada&

/eterminar as ra7@es de uma equa%"o $iquadrada&

!e1ini%&o

O$serva%"o*

,or exemplo as equa%2es* x1I 1x0I 0 e 4x1I 5xI 0x I 1 n&os"o $iquadradas&

)a+es de uma e2ua%&o *i2uadrada

emos a equa%"o $iquadrada*

Uma e2ua%&o 5 dita *i2uadrada se ela 5 do 2uarto grau4 com uma s? inc?gnita e odeser e8ressa na 1orma/

a8R *8"R c ; #4 com a4 *4 c e a ^ #.

a8R *8"R c ; # 9_)

Uma e2ua%&o *i2uadrada n&o cont5m ot0ncias

mares da inc?gnita.


94/180

;a@endo-se 8"; >e su$stituindo na equa%"o (Q) o$temos*

A equa%"o (L) do se#undo #rau que : aprendemos a resolver e cu:a solu%"o *

.omo fi@emos 8"; >e queremos determinar 8 explicitamos 8em fun%"o de > ou se:a*

Ce 8"; > ent"o ?4 = levando esse valor em () teremos*

.ada valor positivo de >corresponde a duas ra7@es reais e

simtricas& Ce >for ne#ativo n"o poss7vel determinar ra7@es reais&

E8emlos

esolver*

a) x1N +xI H

;a@endo 8"; > e su$stituindo na equa%"o dada teremos*

TN +T I H

/eterminando as ra7@es pela frmula de BhasRara*

T+ 12

2

2

810

2

6'10

1.2

9.1.'1010 2 ====

T 92

18

2

810

2

6'10

1.2

9.1.'1010 2==

+=

+=

+

O$temos ent"o duas ra7@es positivas para > vamos determinar ent"o os valores de 8*

9M:a

ac++?

2

'2

=

a

ac++4

2

'2 =

a>"R *> R c ; # 9L:


95/180

x+ 111 == ?

x 111 =+=+ ?

x0 392 == ?

x1 392 =+=+ ?

O con:unto verdade ser ent"o* D Y-0 -+ + 0Z

.onclu7mos que a equa%"o $iquadrada o resultado do produto*

(x - +)&(x I +)&(x - 0)&(x I 0)

$) 0x1I x I +

;a@endo 8"; >e su$stituindo na equa%"o dada teremos*

0TI T I +


T+

6

82

6

12'2

3.2

.1.3.'22 2 =

=

T6

82

6

12'2

3.2

.1.3.'22 2 +=

+=

+

8os dois casos acima ter7amos que determinar a rai@ quadrada de um n?mero negativo

lo#o podemos concluir que n"o existem ra7@es reais&

O con:unto verdade ser ent"o* D z

c) x1N 1xI 1

;a@endo 8"; > e su$stituindo na equa%"o dada teremos*

T- 1T I 1


T+ 22

0'

2

1616'

1.2

.'.1.'7'7' 2===


96/180

T 22

0'

2

1616'

1.2

.'.1.'7'7' 2==+=

+

.omo >$; >"4teremos o caso de rai@ dupla ent"o*

x+ x 21 = ?

x0 x1 21 =+ ?

O con:unto verdade ser* D { }2N2

.onclu7mos que a equa%"o $iquadrada dada resultado do produto*

727.27.27.2 ++ 4444

E8erccios

esolver as equa%2es $iquadradas*

+) x1N 4xI 1 (r* D Y- -+ + Z

) x1N +xI + (r* D 3N2N2N3 )

0) x1N x0N 1 (r* n"o equa%"o $iquadrada)

1) x1

N x

I 4 (r* D z)4) x1N FxI (r* D { }#N#N1N1 )

..G. Alica%=es das e2ua%=es do " grau

O*,etivo

esolver pro$lemas do se#undo #rau com o uso de equa%2es&

Deremos a se#uir al#umas das aplica%2es da equa%"o do 3 #raus&

..G.$. )esolu%&o de ro*lemas do " grau

8a resolu%"o de pro$lemas desse tipo devemos se#uir al#uns passos*


97/180

Ca$er montar a equa%"o tradu@indo a lin#ua#em escrita para a lin#ua#em matemticaw

/eterminar as ra7@es da equa%"ow Analisar o resultado para determinar a solu%"o&

O*serva%&o* {s ve@es podem ser encontradas duas ra7@es mas nem sempre as duas

satisfa@em o o$:etivo do pro$lema em quest"o (principalmente quando tratamos com*

unidades de medidas pessoas n?meros inteiros etc&)& am$m tem al#umas dicas que podem

ser adotadas ao se tra$alhar com variveis*

+) 'scolha de um n?mero ou uma inc#nita* normalmente usa-se 8 (mas podemos usarqualquer letra)&

) .onsecutivo de um n?mero* usa-se 8 R $e antecessor usa-se* 8 D $&

0)


98/180

'sta uma equa%"o do 3 #rau incompleta que : estudamos e onde a 1 $ e c

-55& esolvendo-a*

x+ !'!$)4

$7$ ===a

c

x !'!$)4

$7$===

a

c

.onferindo os resultados*

(-+0)&1&(-+0) (-+0)&(-4) 55

(+0)&1&(+0) +0&4 55

Lo#o o con:unto verdade ser* D Y-+0 +0Z

$) 8uma lanchonete a conta de uma turma de :ovens deu F e ela iria ser

dividida em partes i#uais& as na hora de pa#ar 0 :ovens disseram que tinham s

cart"o de crdito e aquele esta$elecimento n"o aceitava aquela forma de pa#amento&

'nt"o a cota de cada um dos que iriam pa#ar ficou aumentada de +& >uantos

:ovens haviam na lanchonete=

Ce chamarmos a quantidade total de :ovens de 8 cada um deles ia pa#ar a quantia dex

2-&

(cota inicial)& .om a n"o contri$ui%"o de 0 pessoas a quantia a ser pa#a por cada um dos

outros ser de'

2-&

x(cota final)&

Lo#o cota final N cota inicial + ou se:a*

'

2-&

x-

x

2-& +


99/180

irando o m&m&c& e simplificando teremos*

=+=

7

7.

7.'!2-4&2-&2-&!2

'

'2-&2-&xxxx

xx

xx

F1 +x- 05 x

/ividindo am$os os mem$ros por $" o$temos*

x - 0x x - 0x -

esolvendo a equa%"o do se#undo #rau encontrada fica*

x+ 72

!4

2

!7'

2

2-)'

!2

7&!4'' 2

=

=

=

=

.

7..77

x !&2

2&

2

!7'

2

2-)'

!2

7&!4'' 2

==+=+=+

.

7..77

.omo a quantidade de pessoas n"o pode ser um n?mero ne#ativo nossa solu%"o ser* $#

,ovens&

c) /eterminar tr9s n?meros consecutivos cu:a soma deles acrescida de + unidades

i#ual ao produto dos dois menores&

Ceum n?mero 8os consecutivos ser"o*98 R $: e 98 R ")& Armando a senten%a matemtica

que atende ao pro$lema em quest"o fica*

x I (x I +) I (x I ) I + (x)&(x I +)

'fetuando as opera%2es o$temos*0x I 0 I + xI x

,assando os termos para o se#undo mem$ro fica*

0x I +4 xI x x- x -+4

esolvendo a equa%"o do se#undo #rau acima o$temos*


100/180

x+ '2

$

2

-2

2

$42

!2

!5!422 2

=

=

=

=

.

7..77

x 52

!&

2

-2

2

$42

!2

!5!422 2

==+=+=+

.

7..77

Lo#o temos duas respostas* os n?meros s"o (4 ("e ($ou ent"o s"o os n?meros 4 Ie H&

E8erccios

+) 9CEFE$ ( " FASE: Jm peda%o de arame de 11 cm de comprimento cortado em duas

partes e cada parte do$rada em forma de um quadrado& A soma das reas dos dois quadrados

5+cm& .alcule as medidas dos lados dos quadrados&

(r* 4 cm e 5 cm)

) 9U. E. Londrina $H) Jm comerciante comprou um lote de camisas por 5& Ce

ele tivesse feito ne#cio com outro fa$ricante com a mesma quantia teria comprado

camisas a mais cada uma delas custando +4 a menos& >uanto custou cada camisa do lote

comprado=

(r* 4)

..G.". Sistemas do " grau

O*,etivo

esolver s

Matematica Elementar Versao Final27072011

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