Mapping the history of triangulationOne of my interests as a historian of practical mathematics is the history of the

invention of triangulation and its applications in both cartography and geodesy, a

subject on which I have, in the meantime, read a small library of academic books

and papers. Now, at first glance, it would seem that the measuring of large

triangles across the landscape is not the sort of exciting scientific endeavour that

would inspire an author to put pen to paper or fingers to keyboard to produce a

work of popular science history, however appearances can be deceptive. I possess

five popular historical volumes on the application of triangulation to the solution of

geodetic and cartographic problems, of which I have read the first three They are

John Keay, The Great Arc: The Dramatic Tale of How India was Mapped and Everest

was Named, HarperCollins, 2000, Ken Alder, The Measure of All Things: The Seven

Year Odyssey and Hidden Error That Transformed the World, Free Press, 2002,

Rachel Hewitt, Map of a Nation: A Biography of the Ordnance Survey, Granta

Books, 2010, Larrie D. Ferreiro,Measure of the Earth: The Enlightenment

Expedition that Reshaped the World, Basic Books, 2011 and Paul Murdin, Full

Meridian of Glory: Perilous Adventures in the Competition to Measure the Earth,

Copernicus Books, 2009. The first, as the title says, deals with the measurement of

the meridian arc in India in the 19th century and the resulting mapping of this sub-

continent. The second deals with the re-measurement of the meridian arc in France

to determine the basic unit of the metre for the metric system in the late

18thcentury. The third is self-explanatory but also includes the measurement of a

meridian arc in Britain. The last two deal with the history of the measurement,

mostly by the French, of meridian arcs in France, Peru and Lapland to determine

whether the earth is a prolate or an oblate spheroid, a story that I have already

blogged about.

Given the fact that triangulation is a very major, or even the major, player in all of

these books one could as reader expect the authors to have researched and in their

respective books to explain the historical origins of this technique or methodology.

This expectation is not really fulfilled. Let us examine what each of them has to say

on the subject.

Paul Murdin writes the following:

[Willebrod] Snell (sic)[1] had proposed the technique of triangulation as a way to

measure the relative locations of points on the surface of the Earth (Smith 1986).

The method, which is still the standard one, starts by the surveyors measuring a

reference line between two stakes on a flat plain using standard sized sticks or

chains (Fig. 7). A third stake is placed somewhere else on the plain at a significant

location. From each end of the line, a surveyor sights the stake at the other end as

well as the third stake, measuring the angle between with a theodolite. [emphasis

in original] The third stake is located relative to the other two by trigonometry of

the triangle. From the reference points the surveyor can also sight natural vertical

features in the landscape.  […]  All these features can be located relative to the

others building a chain of triangles across the country – hence the term

triangulation (Murdin, p. 15)

Snell’s techniques were demonstrated by relatively small-scale projects by him and

other Dutch cartographers. The first survey by triangulation is regarded to be

Snell’s survey prior to 1615 of the Netherlands from Alkmaar via Amsterdam,

Leiden, Utrecht, Dordrecht and Breda to Bergen-op-Zoom, accumulating an overall

distance of 120 km. (Murdin p. 17)

Although he doesn’t actually directly say so Murdin implies that the technique of

triangulation was invented by Snel; it wasn’t. Although Snel was almost certainly

the first to measure a meridian arc using triangulation he certainly wasn’t the first

to carry out a triangulation survey. I have included so much of the first quote

because it saves me the bother of explaining the basic principles of triangulation.

Let see whether Ferreiro does any better.

Writing about The Academy of Science’s proposal to extend Picard’s first

triangulation survey in the late 17th century he writes:

The method for carrying out long-distance surveys had been around for several

centuries and used a basic Euclidean premise: Given two angles of a triangle and

the length of one side, the remaining sides and angles can be computed. This

principle can be employed to measure over long distances by establishing a

geodesic chain of triangles between two fixed points.

 Here nobody in credited with the invention and the couple of lines quoted contain a

number of serious errors. The method had not been around for several centuries

but was, as we will see, invented in the first half of the 16th century. It does not use

a basic Euclidean premise. Given two angles and one side of a triangle one can

construct the triangle using Euclidean geometry but if you wish to compute the rest

of the triangle, and the subsequent chain of triangles, which is indeed what is done

in triangulation, you need trigonometry, which you will search for in vain in

the Elements of Euclid. The oldest surviving source for trigonometry is

Ptolemaeus’ Syntaxis Mathematiké from the middle of the 2ndcentury CE more than

400 years later than Euclid. The trigonometry used in the Early Modern Period for

triangulation came into Europe from India via the Islamic Empire during the High

Middle Ages.

How do our other authors fair fare? Alder like Murdin plumps incorrectly for Snel,

also misspelling his name:

The modern technique for using triangles to measure earthly distances, however,

was introduced in 1617 by Willebrod Snell, “The Dutch Eratosthenes,” on the frozen

fields outside Leyden, and his [my emphasis]method persisted for the next 360

years.

To be fair to both Murdin and Alder many academic sources, that should know

better, attribute the invention of triangulation to Snel.

Keay ignores the subject completely giving a brief description of the principles of

the technique but wasting no thoughts on its origins. Of our five authors only

Hewitt gets the attribution right, she writes:

Triangulation had first emerged as a map-making method in the mid sixteenth

century when the Flemish mathematician Gemma Frisius set out the idea in

hisLibellus de locorum describendum ratione (Booklet concerning a way of

describing places),…

So who was Gemma Frisius?

Gemma Frisius 17th C woodcut

E. de Boulonois

He was born Jemma Reinierzoon or Jemma son of Reinier to poor parents in

Dokkum in Friesland on 9th Dec 1508. His nom de plume Gemma Frisius is a

Latinised onomatopoeic version of his birth name plus the toponym Frisius for

Friesland. His parents died whilst he was still very young and he moved to relatives

in Groningen, where he was educated in a cloister school. On

26thFebruary 1926 1526 he matriculated as a poor scholar at the University of

Louvain where he graduated Master of Arts in 1528. In 1529 there followed one of

the strange unexplained episodes in the history of science. In 1924 1524 the then

young German graduate of the University of Vienna Peter Apian published

his Cosmographia, a textbook on astronomy, astrology, surveying, cartography and

other aspects of applied astronomy. Apian not only wrote this book but printed and

published himself, as part of his efforts to establish himself as a scientific publisher.

In 1529 a second improved edition of Apian’sCosmographia was published but not

by Apian, the second and all the subsequent highly successful extended and

improved thirty-two editions of this book, in many different languages, were edited

by Gemma Frisius. This was one of the most successful mathematical textbooks

published in the sixteenth century and it is not known why Gemma and not Apian

edited and published all but the original edition.

Following up on his edition of Apian’s Cosmographia Gemma Frisius began to make

printed terrestrial and celestial globes moving the tradition of their manufacture

from Nürnberg to the northern Germanic area and through his pupil Gerard

Mercator into Holland, where the Dutch would dominate the European globe

making industry for most of the seventeenth century. He also set up as an

instrument maker and through his own efforts and those of his nephews, the

Arsenius brothers, Louvain became a major centre for high quality mathematical

instruments.

In 1934 1534 he married and started to study medicine, graduating MA in 1536,

which allowed him to practice medicine, going on to obtain his MD in 1541. At some

point he became Professor of Medicine at the University of Louvain. During his

medical studies he famously helped his fellow medical student Andreas Vesalius to

steal a corpse from the gallows to conduct a bit of illicit dissection. Vesalius would

of course go on to publish the most famous anatomy book of all times, his De

fabrica, in 1543, in which he praises Gemma as a doctor and a mathematician.

Teaching medicine at the university, Gemma only taught mathematics privately

producing in his time several famous pupils. I have already mentioned Gerard

Mercator possibly the most well know of Gemma’s students but amongst other

names known only to historians of mathematics and astronomy can be found the

name of John Dee who came to Louvain after graduating at Cambridge to study at

the feet of the master.

Gemma published nothing on medicine but lots of works on mathematics including,

alongside the Cosmographia, the most successful arithmetic textbook of the

sixteenth century. His Radio astronomico, a handbook on a new form of cross-staff

of his own invention, published in 1545, contains the earliest printed, largely

positive, discussion of Copernicus’ De revolutionibus.

Gemma was very successful and highly respected in his own lifetime and was one of

the leading mathematical practitioners of Europe when he died of kidney stones on

25th May 1555 not yet 47 years old.

Many of his innovations in the mathematical sciences were published as appendices

to his various editions of the Cosmographia and it is here attached to the 1533 third

edition (Gemma’s second) that we find the Libellus de locorum describendum

ratione, his pamphlet outlining completely and in detail the technique of

triangulation.

Gemma himself did not enjoy good health and was a thinker and not a doer so he

almost certainly didn’t carry out any surveying work himself. We do know that

Mercator used Gemma’s method when he surveyed the Duchy of Lorraine later in

the century. Tycho Brahe who knew Gemma’s work well being a customer of his

instrument workshop also conducted a survey of his island of Hven using Gemma’s

triangulation, which was never actually finished. Willebrod Snel would also have

been well acquainted with Gemma’s work and it is almost certainly theLibellus that

was the source of his knowledge of triangulation.

Some sources claim rather vaguely that triangulation was acquired by the

Europeans from the Arab mathematicians during the Renaissance but fail to give

any source for these claims or to reference any Arabic works on the subject. More

directly some sources claim that the great Islamic scholar al-Biruni, who wrote

extensively on geography and geodesy, used triangulation. This claim is simply

false. He used geometrical methods to determine the longitude and latitude of

various cities but his calculations did not just use triangles and he had no measured

base line and made no sightings. He merely constructed geometrical models of the

positions of the towns respective to each other based on travellers’ tales of the

scale of their separations.

Historically there is very little doubt that the technique of triangulation emerged

once and once only in a pamphlet written and published by Gemma Frisius in 1533.

It is a strange fact that relatively insignificant scientific discoveries and inventions

proudly carry the names of their discoverers and inventors but most people,

including the people who write books about it, never stop to consider who invented

triangulation, which until the invention of GPS, was the only tool, and a very

powerful one, capable of producing accurate maps with their incredible economic,

political, military and scientific significance. Gemma Frisius belongs in the

pantheon of great modern scholars for his invention and not forgotten and ignored

even by those who earn money writing about the incredible applications that this

invention made possible.

 

[1] Snel is written with only one ‘l’, a common mistake in English texts. In his Latin

publications Snel Latinised his name, as had his father also an academic

mathematician, as Snellius. English authors translating back into the vernacular

made the mistake of retaining the second ‘l’.

Pemetaan sejarah triangulasi

Salah satu minat saya sebagai sejarawan matematika praktis adalah sejarah penemuan triangulasi dan aplikasi, baik dalam kartografi dan geodesi, subjek yang saya miliki, sementara itu, membaca sebuah perpustakaan kecil buku-buku akademis dan kertas. Sekarang, pada pandangan pertama, akan terlihat bahwa pengukuran segitiga besar di seluruh lanskap bukanlah semacam menarik usaha ilmiah yang akan mengilhami penulis untuk menggoreskan pena di atas kertas atau jari untuk keyboard untuk menghasilkan sebuah karya sejarah ilmiah populer, namun penampilan bisa menipu. Saya memiliki lima volume sejarah populer pada penerapan triangulasi untuk solusi dari geodesi dan kartografi masalah, yang saya telah membaca tiga pertama Mereka adalah John Keay, The Great Arc: The Tale of Drama Bagaimana India Dipetakan dan Everest Bernama, HarperCollins, 2000, Ken Alder, The Ukur Semua Hal: Tujuh Tahun Odyssey dan Kesalahan Tersembunyi Yang Berubah Dunia, Free Press, 2002, Rachel Hewitt, Peta Bangsa: Sebuah Biografi Ordnance Survey, Granta Books, 2010, Larrie D. Ferreiro, Ukur Bumi: Pencerahan Ekspedisi yang dibentuk kembali Dunia, Buku Dasar, 2011 dan Paul Murdin, Full Meridian Kemuliaan: Adventures Berbahaya di Kompetisi Mengukur Bumi, Copernicus Books, 2009. Yang pertama, sebagai judul mengatakan, berkaitan dengan pengukuran busur meridian di India pada abad ke-19 dan pemetaan yang dihasilkan dari sub-benua. Yang kedua berkaitan dengan pengukuran kembali dari busur meridian di Perancis untuk menentukan unit dasar dari meteran untuk sistem metrik pada akhir abad ke-18. Yang ketiga adalah cukup jelas tetapi juga mencakup pengukuran busur meridian di Inggris. Dua yang terakhir berhubungan dengan sejarah pengukuran, terutama oleh Perancis, dari meridian busur di Perancis, Peru dan Lapland untuk menentukan apakah bumi adalah yg tersebar luas atau oblate bulat, cerita bahwa saya telah membuat blog tentang.

Mengingat fakta bahwa triangulasi adalah sangat besar, atau bahkan utama, pemain dalam semua buku-buku yang bisa sebagai pembaca berharap penulis telah diteliti dan dalam buku-buku mereka masing-masing untuk menjelaskan asal-usul historis dari teknik ini atau metodologi. Harapan ini tidak benar-benar terpenuhi. Mari kita periksa apa yang masing-masing memiliki mengatakan pada subjek.

Paul Murdin menulis sebagai berikut:

[Willebrod] Snell (sic) [1] telah mengusulkan teknik triangulasi sebagai cara untuk mengukur lokasi relatif dari titik-titik pada permukaan bumi (Smith 1986). Metode, yang masih satu standar, dimulai oleh surveyor mengukur garis referensi antara dua saham di dataran datar dengan menggunakan tongkat berukuran standar atau rantai (Gambar 7). Sebuah saham ketiga ditempatkan di tempat lain di dataran di lokasi yang signifikan. Dari setiap akhir baris, surveyor pemandangan saham di ujung lain serta sepertiga saham, mengukur sudut antara dengan teodolit. [Penekanan dalam aslinya] ketiga saham terletak relatif terhadap dua lainnya oleh trigonometri dari segitiga. Dari titik acuan surveyor juga dapat melihat fitur vertikal alam dalam lanskap. [...] Semua fitur tersebut dapat ditemukan relatif terhadap orang lain membangun jaringan segitiga di seluruh negeri - maka istilah triangulasi (Murdin, hal 15.)

Teknik Snell yang ditunjukkan oleh relatif proyek skala kecil oleh dia dan kartografer Belanda lainnya. Survei pertama dengan triangulasi, dianggap survei Snell sebelum 1615 dari Belanda dari Alkmaar melalui Amsterdam, Leiden, Utrecht, Dordrecht dan Breda ke Bergen-op-Zoom, mengumpulkan jarak keseluruhan 120 km. (Murdin p. 17)

Meskipun ia tidak benar-benar langsung berkata begitu Murdin menyiratkan bahwa teknik triangulasi diciptakan oleh Snel, itu tidak. Meskipun Snel hampir pasti yang pertama untuk mengukur busur meridian menggunakan triangulasi dia pasti bukan orang pertama yang melakukan survei triangulasi. Saya telah menyertakan begitu banyak kutipan pertama karena saya menghemat repot-repot menjelaskan prinsip-prinsip dasar triangulasi. Mari kita lihat apakah Ferreiro tidak lebih baik.

Menulis tentang Akademi Ilmu usulan untuk memperpanjang survei triangulasi pertama Picard pada akhir abad ke-17 ia menulis:

Metode untuk melaksanakan survei jarak jauh telah ada selama beberapa abad dan menggunakan premis Euclidean dasar: Mengingat dua sudut segitiga dan panjang satu sisi, sisi yang tersisa dan sudut dapat dihitung. Prinsip ini dapat digunakan untuk mengukur jarak jauh dengan membentuk rantai geodesik segitiga antara dua titik tetap.

Di sini tak seorang pun di dikreditkan dengan penemuan dan beberapa baris dikutip mengandung sejumlah kesalahan serius. Metode ini belum pernah ada selama beberapa abad tetapi, seperti akan kita lihat, ditemukan pada paruh pertama abad ke-16. Ini tidak menggunakan premis Euclidean dasar. Mengingat dua sudut dan satu sisi segitiga seseorang dapat membangun segitiga menggunakan geometri Euclid tetapi jika Anda ingin menghitung sisa segitiga, dan rantai berikutnya

segitiga, yang memang apa yang dilakukan dalam triangulasi, Anda perlu trigonometri, yang Anda akan mencari sia-sia dalam Elemen Euclid. Sumber tertua untuk trigonometri adalah Ptolemaeus 'sintaks Mathematiké dari pertengahan abad ke-2 Masehi lebih dari 400 tahun kemudian dari Euclid. Trigonometri digunakan dalam Periode Modern Awal untuk triangulasi datang ke Eropa dari India melalui Kekaisaran Islam selama Abad Pertengahan Tinggi.

Bagaimana penulis kami yang lain tarif yang adil? Alder seperti Murdin plumps tidak benar untuk Snel, juga salah mengeja namanya:

Teknik modern menggunakan segitiga untuk mengukur jarak duniawi, namun, diperkenalkan pada tahun 1617 oleh Willebrod Snell, "Belanda Eratosthenes," pada bidang beku luar Leyden, dan gelar [penekanan saya] metode bertahan selama 360 tahun ke depan.

Untuk bersikap adil untuk kedua Murdin dan Alder banyak sumber akademis, yang seharusnya tahu lebih baik, atribut penemuan triangulasi untuk Snel.

Keay mengabaikan subjek benar-benar memberikan penjelasan singkat tentang prinsip-prinsip teknik tapi membuang-buang ada pemikiran tentang asal-usulnya. Dari lima penulis hanya Hewitt mendapat atribusi kanan, ia menulis:

Triangulasi pertama kali muncul sebagai metode pembuatan peta pada pertengahan abad keenam belas ketika Flemish matematikawan Gemma Frisius ditetapkan ide dalam bukunya Libellus de locorum describendum ratione (Booklet tentang cara menggambarkan tempat), ...

Jadi siapa Gemma Frisius?

Gemma Frisius 17th C ukiran kayu

E. de Boulonois

Ia lahir Jemma Jemma Reinierzoon atau anak Reinier kepada orang tua miskin di Dokkum di Friesland pada 9 Desember 1508. Nom de plume nya Gemma Frisius adalah versi onomatope Latinised nama lahirnya ditambah Frisius toponim untuk Friesland. Orangtuanya meninggal sementara dia masih sangat muda dan dia pindah ke kerabat di Groningen, di mana ia dididik di sekolah biara. Pada 26 Februari 1926 1526 ia lulus sebagai sarjana miskin di University of Louvain di mana dia lulus Master of Arts pada tahun 1528. Pada 1529 terjadilah salah satu episode dijelaskan aneh dalam sejarah ilmu pengetahuan. Pada 1924 1524 maka lulusan muda Jerman dari University of Vienna Peter yg berhubungan dgn lebah diterbitkan Cosmographia, sebuah buku tentang astronomi, astrologi, survei, kartografi dan aspek lain dari astronomi diterapkan. Yg berhubungan dgn lebah tidak hanya menulis buku ini, tetapi dicetak dan diterbitkan sendiri, sebagai bagian dari upaya untuk membangun dirinya sebagai penerbit ilmiah. Pada 1529 sebuah peningkatan edisi kedua Cosmographia yg berhubungan dgn lebah itu diterbitkan tetapi tidak oleh yg berhubungan dgn lebah, kedua dan semua berikutnya sangat sukses diperpanjang dan ditingkatkan tiga puluh dua edisi buku ini, dalam berbagai bahasa, yang diedit oleh Gemma Frisius. Ini adalah salah satu buku pelajaran matematika yang paling sukses diterbitkan pada abad keenam belas dan tidak diketahui mengapa Gemma dan tidak yg berhubungan dgn lebah diedit dan dipublikasikan semua tapi edisi asli.

Menindaklanjuti edisi nya yg berhubungan dgn lebah itu Cosmographia Gemma Frisius mulai membuat dicetak bola bumi dan langit bergerak tradisi pembuatan mereka dari Nürnberg ke daerah Jermanik utara dan melalui muridnya Gerard Mercator ke Belanda, di mana Belanda akan mendominasi industri pembuatan dunia Eropa untuk sebagian besar abad ketujuh belas. Ia juga mendirikan sebagai pembuat instrumen dan melalui upaya dan orang-orang dari keponakannya sendiri, saudara-saudara Arsenius, Louvain menjadi pusat utama untuk kualitas instrumen matematika tinggi.

Pada 1934 1534 dia menikah dan mulai belajar kedokteran, lulus MA pada tahun 1536, yang memungkinkan dia untuk praktek kedokteran, terjadi untuk memperoleh MD nya tahun 1541. Pada titik tertentu ia menjadi Profesor Kedokteran di University of Louvain. Selama penelitian medis, ia terkenal membantu sesama mahasiswa kedokteran Andreas Vesalius untuk mencuri mayat dari tiang gantungan untuk melakukan sedikit diseksi terlarang. Vesalius tentu saja pergi untuk menerbitkan buku yang paling terkenal anatomi setiap saat, nya De fabrica, pada tahun 1543, di mana ia memuji Gemma sebagai dokter dan ahli matematika.

Mengajar kedokteran di universitas, Gemma hanya diajarkan matematika swasta memproduksi dalam waktu beberapa murid yang terkenal. Saya telah menyebutkan Gerard Mercator mungkin yang paling baik tahu siswa Gemma tetapi di antara nama-nama lain yang hanya diketahui oleh sejarawan matematika dan astronomi dapat menemukan nama John Dee yang datang ke Louvain setelah lulus di Cambridge untuk belajar di kaki master .

Gemma tidak dipublikasikan pada obat tetapi banyak bekerja pada matematika termasuk, di samping Cosmographia, buku pelajaran aritmatika paling sukses abad keenam belas. Nya Radio astronomico, buku pedoman tentang bentuk baru lintas-staf dari penemuan sendiri, yang diterbitkan pada tahun 1545, berisi awal dicetak, sebagian besar positif, diskusi Copernicus 'De revolutionibus.

Gemma sangat sukses dan sangat dihormati di masa hidupnya dan merupakan salah satu praktisi matematika terkemuka Eropa ketika ia meninggal batu ginjal pada 25 Mei 1555 belum berusia 47 tahun.

History[edit]

Liu Hui (c. 263), How to measure the height of a sea island. Illustration from an edition of 1726

Gemma Frisius's 1533 proposal to use triangulation for mapmaking

Nineteenth-century triangulation network for the triangulation of Rhineland-Hesse

Triangulation today is used for many purposes,

including surveying, navigation, metrology,astrometry, binocular vision, model rocketry and gun

direction of weapons.

The use of triangles to estimate distances goes back to antiquity. In the 6th century BC the Greek

philosopher Thales is recorded as using similar triangles to estimate the height of thepyramids by

measuring the length of their shadows and that of his own at the same moment, and comparing the

ratios to his height (intercept theorem);[1] and to have estimated the distances to ships at sea as seen

from a clifftop, by measuring the horizontal distance traversed by the line-of-sight for a known fall, and

scaling up to the height of the whole cliff.[2]Such techniques would have been familiar to the ancient

Egyptians. Problem 57 of the Rhind papyrus, a thousand years earlier, defines the seqt or seked as

the ratio of the run to the rise of a slope, i.e. the reciprocal of gradients as measured today. The

slopes and angles were measured using a sighting rod that the Greeks called a dioptra, the

forerunner of the Arabic alidade. A detailed contemporary collection of constructions for the

determination of lengths from a distance using this instrument is known, the Dioptra of Hero of

Alexandria (c. 10–70 AD), which survived in Arabic translation; but the knowledge became lost in

Europe. In China, Pei Xiu (224–271) identified "measuring right angles and acute angles" as the fifth

of his six principles for accurate map-making, necessary to accurately establish distances;[3] while Liu

Hui (c. 263) gives a version of the calculation above, for measuring perpendicular distances to

inaccessible places.[4][5]

In the field, triangulation methods were apparently not used by the Roman specialist land surveyors,

the agromensores; but were introduced into medieval Spain through Arabic treatises on the astrolabe,

such as that by Ibn al-Saffar (d. 1035).[6] Abu Rayhan Biruni (d. 1048) also introduced triangulation

techniques to measure the size of the Earth and the distances between various places.[7] Simplified

Roman techniques then seem to have co-existed with more sophisticated techniques used by

professional surveyors. But it was rare for such methods to be translated into Latin (a manual on

Geometry, the eleventh centuryGeomatria incerti auctoris is a rare exception), and such techniques

appear to have percolated only slowly into the rest of Europe.[6] Increased awareness and use of such

techniques in Spain may be attested by the medieval Jacob's staff, used specifically for measuring

angles, which dates from about 1300; and the appearance of accurately surveyed coastlines in

the Portolan charts, the earliest of which that survives is dated 1296.

Gemma Frisius and triangulation for mapmaking[edit]

On land, the Flemish cartographer Gemma Frisius proposed using triangulation to accurately position

far-away places for map-making in his 1533 pamphlet Libellus de Locorum describendorum

ratione (Booklet concerning a way of describing places), which he bound in as an appendix in a new

edition of Peter Apian's best-selling 1524 Cosmographica. This became very influential, and the

technique spread across Germany, Austria and the Netherlands. The astronomer Tycho

Brahe applied the method in Scandinavia, completing a detailed triangulation in 1579 of the island

of Hven, where his observatory was based, with reference to key landmarks on both sides of

the Øresund, producing an estate plan of the island in 1584.[8] In England Frisius's method was

included in the growing number of books on surveying which appeared from the middle of the century

onwards, including William Cunningham's Cosmographical Glasse (1559), Valentine Leigh's Treatise

of Measuring All Kinds of Lands (1562), William Bourne's Rules of Navigation (1571), Thomas

Digges'sGeometrical Practise named Pantometria (1571), and John Norden's Surveyor's

Dialogue(1607). It has been suggested that Christopher Saxton may have used rough-and-ready

triangulation to place features in his county maps of the 1570s; but others suppose that, having

obtained rough bearings to features from key vantage points, he may have estimated the distances to

them simply by guesswork.[9]

Willebrord Snell and modern triangulation networks[edit]

The modern systematic use of triangulation networks stems from the work of the Dutch

mathematician Willebrord Snell, who in 1615 surveyed the distance from Alkmaar to Bergen op Zoom,

approximately 70 miles (110 kilometres), using a chain of quadrangles containing 33 triangles in all.

The two towns were separated by one degree on the meridian, so from his measurement he was able

to calculate a value for the circumference of the earth – a feat celebrated in the title of his

book Eratosthenes Batavus (The Dutch Eratosthenes), published in 1617. Snell calculated how the

planar formulae could be corrected to allow for the curvature of the earth. He also showed how

to resection, or calculate, the position of a point inside a triangle using the angles cast between the

vertices at the unknown point. These could be measured much more accurately than bearings of the

vertices, which depended on a compass. This established the key idea of surveying a large-scale

primary network of control points first, and then locating secondary subsidiary points later, within that

primary network.

Snell's methods were taken up by Jean Picard who in 1669–70 surveyed one degree of latitude along

the Paris Meridian using a chain of thirteen triangles stretching north from Paris to the clocktower

of Sourdon, near Amiens. Thanks to improvements in instruments and accuracy, Picard's is rated as

the first reasonably accurate measurement of the radius of the earth. Over the next century this work

was extended most notably by the Cassini family: between 1683 and 1718 Jean-Dominique

Cassini and his son Jacques Cassini surveyed the whole of the Paris meridian

from Dunkirk to Perpignan; and between 1733 and 1740 Jacques and his son César

Cassini undertook the first triangulation of the whole country, including a re-surveying of the meridian

arc, leading to the publication in 1745 of the first map of France constructed on rigorous principles.

Triangulation methods were by now well established for local mapmaking, but it was only towards the

end of the 18th century that other countries began to establish detailed triangulation network surveys

to map whole countries. The Principal Triangulation of Great Britainwas begun by the Ordnance

Survey in 1783, though not completed until 1853; and the Great Trigonometric Survey of India, which

ultimately named and mapped Mount Everest and the other Himalayan peaks, was begun in 1801.

For the Napoleonic French state, the French triangulation was extended by Jean Joseph

Tranchot into the German Rhineland from 1801, subsequently completed after 1815 by the Prussian

general Karl von Müffling. Meanwhile, the famous mathematician Carl Friedrich Gauss was entrusted

from 1821 to 1825 with the triangulation of the kingdom of Hanover, for which he developed

the method of least squares to find the best fit solution for problems of large systems of simultaneous

equations given more real-world measurements than unknowns.

Today, large-scale triangulation networks for positioning have largely been superseded by the Global

navigation satellite systemsestablished since the 1980s. But many of the control points for the earlier

surveys still survive as valued historical features in the landscape, such as the concrete triangulation

pillars set up for retriangulation of Great Britain (1936–1962), or the triangulation points set up for

the Struve Geodetic Arc (1816–1855), now scheduled as a UNESCO World Heritage Site.

Liu Hui (c. 263), Cara mengukur tinggi sebuah pulau laut. Ilustrasi dari edisi 1726

Gemma Frisius ini 1.533 proposal untuk menggunakan triangulasi untuk pembuatan peta

Triangulasi jaringan abad kesembilan belas untuk triangulasi Rhineland-Hesse

Triangulasi saat ini digunakan untuk berbagai tujuan, termasuk survei, navigasi, metrologi, astrometri,

visi teropong, model yang peroketan dan arah senjata senjata.

Penggunaan segitiga untuk memperkirakan jarak kembali ke jaman dahulu. Pada abad ke-6 SM filsuf

Yunani Thales dicatat sebagai menggunakan segitiga yang mirip dengan memperkirakan tinggi

piramida dengan mengukur panjang bayangan mereka dan bahwa sendiri pada saat yang sama, dan

membandingkan rasio tinggi badannya (Teorema intercept) ;. [1] dan telah memperkirakan jarak ke

kapal di laut seperti yang terlihat dari puncak tebing, dengan mengukur jarak horizontal dilalui oleh

garis-of-sight untuk jatuh diketahui, dan scaling up dengan tinggi seluruh tebing [ 2] Teknik-teknik

tersebut tentu sudah tidak asing ke Mesir kuno. Soal 57 dari Rhind papirus, seribu tahun sebelumnya,

mendefinisikan seqt atau seked sebagai rasio jalankan untuk munculnya lereng, yaitu kebalikan dari

gradien yang diukur saat ini. Lereng dan sudut diukur menggunakan batang penampakan bahwa

Yunani disebut dioptra, cikal bakal alidade Arab. Sebuah koleksi kontemporer rinci konstruksi untuk

penentuan panjang dari jarak jauh menggunakan instrumen ini diketahui, dioptra Hero of Alexandria

(c. 10-70 AD), yang selamat dalam terjemahan bahasa Arab, tetapi pengetahuan menjadi hilang di

Eropa. Di Cina, Pei Xiu (224-271) diidentifikasi "mengukur sudut kanan dan sudut akut" sebagai

kelima dari enam prinsip akurat pembuatan peta, yang diperlukan untuk secara akurat menentukan

jarak, [3] sementara Liu Hui (c. 263) memberikan versi perhitungan di atas, untuk mengukur jarak

tegak lurus ke tempat-tempat tidak dapat diakses [4] [5].

Di lapangan, metode triangulasi ternyata tidak digunakan oleh spesialis surveyor tanah Romawi,

agromensores, tetapi diperkenalkan ke abad pertengahan Spanyol melalui risalah Arab di astrolabe,

seperti yang oleh Ibn al-Saffar (w. 1035) [6]. Abu Rayhan Biruni (w. 1048) juga memperkenalkan

teknik triangulasi untuk mengukur ukuran Bumi dan jarak antara berbagai tempat. [7] Sederhana

teknik Romawi kemudian tampaknya memiliki co-ada dengan teknik yang lebih canggih yang

digunakan oleh surveyor profesional. Tapi itu jarang terjadi untuk metode tersebut harus

diterjemahkan ke dalam bahasa Latin (manual pada Geometri, abad kesebelas Geomatria Incerti

auctoris merupakan perkecualian yang langka), dan teknik seperti tampaknya telah percolated hanya

perlahan ke seluruh Eropa [6] Peningkatan kesadaran. dan penggunaan teknik seperti di Spanyol

dapat dibuktikan oleh staf Yakub abad pertengahan, digunakan khusus untuk mengukur sudut, yang

berasal dari sekitar 1300, dan munculnya garis pantai akurat disurvei dalam grafik portolan, awal

yang yang bertahan adalah tanggal 1296.

Gemma Frisius dan triangulasi untuk pembuatan peta [sunting]

Di darat, Flemish kartografer Gemma Frisius mengusulkan menggunakan triangulasi untuk secara

akurat posisi jauh-jauh tempat untuk pembuatan peta tahun 1533 nya pamflet Libellus de Locorum

describendorum ratione (Booklet tentang cara menggambarkan tempat), yang terikat dalam sebagai

lampiran dalam edisi baru terlaris 1524 Cosmographica Peter yg berhubungan dgn lebah itu. Hal ini

menjadi sangat berpengaruh, dan teknik tersebar di Jerman, Austria dan Belanda. Tycho Brahe

astronom menerapkan metode di Skandinavia, menyelesaikan triangulasi rinci pada tahun 1579 dari

pulau Hven, di mana pengamatan itu didasarkan, dengan mengacu pada landmark tombol pada

kedua sisi Øresund, menghasilkan rencana real dari pulau tahun 1584. [8] Dalam metode Inggris

Frisius yang termasuk dalam meningkatnya jumlah buku tentang survei yang muncul dari tengah dan

seterusnya abad, termasuk William Cunningham Cosmographical Glasse (1559), Risalah Valentine

Leigh Pengukuran Semua Jenis Tanah (1562), William Aturan Bourne Navigasi (1571), geometris

Berlatih Thomas Digges bernama Pantometria (1571), dan John Norden Surveyor Dialogue (1607). Ia

telah mengemukakan bahwa Christopher Saxton mungkin telah menggunakan kasar-dan-siap

triangulasi untuk menempatkan fitur dalam peta kabupaten nya dari 1570-an, tetapi yang lain

menganggap bahwa, setelah memperoleh bantalan kasar untuk fitur dari titik pandang utama, ia

mungkin telah memperkirakan jarak ke mereka hanya dengan menebak [9].

Willebrord Snell dan jaringan triangulasi yang modern [sunting]

Penggunaan sistematis modern jaringan triangulasi berasal dari karya Belanda matematikawan

Willebrord Snell, yang pada tahun 1615 mengamati jarak dari Alkmaar ke Bergen op Zoom, sekitar 70

mil (110 kilometer), menggunakan rantai quadrangles mengandung 33 segitiga dalam semua. Dua

kota yang dipisahkan oleh satu derajat pada meridian, sehingga dari pengukuran ia mampu untuk

menghitung nilai keliling bumi - suatu prestasi dirayakan dalam judul bukunya Eratosthenes Batavus

(Belanda Eratosthenes), yang diterbitkan pada 1617 . Snell menghitung bagaimana planar rumus

dapat diperbaiki untuk memungkinkan kelengkungan bumi. Dia juga menunjukkan bagaimana

reseksi, atau menghitung, posisi titik di dalam segitiga dengan menggunakan sudut melemparkan

antara simpul pada titik yang tidak diketahui. Hal ini bisa diukur lebih akurat daripada bantalan dari

simpul, yang tergantung pada kompas. Ini didirikan gagasan kunci dari survei jaringan primer skala

besar titik kontrol pertama, dan kemudian menemukan titik anak sekunder kemudian, dalam bahwa

jaringan primer.

Metode Snell diambil oleh Jean Picard yang pada 1669-1670 disurvei satu derajat lintang sepanjang

Paris Meridian menggunakan rantai tiga belas segitiga membentang utara dari Paris ke menara jam

dari Sourdon, dekat Amiens. Berkat perbaikan dalam instrumen dan akurasi, Picard dinilai sebagai

yang pertama pengukuran yang cukup akurat dari jari-jari bumi. Selama abad berikutnya karya ini

diperpanjang terutama oleh keluarga Cassini: antara 1683 dan 1718 Jean-Dominique Cassini dan

putranya Jacques Cassini mengamati seluruh Paris meridian dari Dunkirk ke Perpignan, dan antara

1733 dan 1740 Jacques dan putranya César Cassini melakukan triangulasi pertama dari seluruh

negeri, termasuk re-survei dari busur meridian, yang mengarah ke publikasi tahun 1745 dari peta

pertama Prancis dibangun di atas prinsip-prinsip yang ketat.

Triangulasi metode yang sekarang mapan untuk pembuatan peta lokal, tapi itu hanya menjelang akhir

abad ke-18 bahwa negara-negara lain mulai membangun jaringan triangulasi survei rinci untuk

memetakan seluruh negara. Kepala Triangulasi Inggris dimulai oleh Ordnance Survey pada tahun

1783, meskipun tidak selesai sampai 1853, dan Besar trigonometri Survey of India, yang akhirnya

diberi nama dan dipetakan Gunung Everest dan puncak Himalaya lainnya, dimulai pada tahun 1801.

Untuk negara Napoleon Perancis, Perancis triangulasi diperpanjang oleh Jean Joseph Tranchot ke

Rhineland Jerman dari tahun 1801, kemudian selesai setelah 1815 oleh Prusia umum Karl von

meredam. Sementara itu, ahli matematika terkenal Carl Friedrich Gauss dipercayakan 1821-1825

dengan triangulasi kerajaan Hanover, di mana dia mengembangkan metode kuadrat terkecil untuk

menemukan solusi terbaik cocok untuk masalah sistem besar persamaan simultan yang diberikan

lebih nyata- pengukuran dunia daripada tidak diketahui.

Saat ini, jaringan triangulasi berskala besar untuk posisi sebagian besar telah digantikan oleh Global

sistem satelit navigasi yang didirikan sejak tahun 1980-an. Tapi banyak dari titik kontrol untuk survei

sebelumnya masih bertahan sebagai dihargai sejarah fitur dalam lanskap, seperti triangulasi pilar

beton diatur untuk retriangulation Britania Besar (1936-1962), atau titik-titik triangulasi diatur untuk

Struve Geodetic Arc (1816-1855), sekarang dijadwalkan sebagai Situs Warisan Dunia UNESCO.

Banyak dari inovasi dalam ilmu matematika diterbitkan sebagai lampiran untuk berbagai edisi nya Cosmographia dan sudah di sini melekat pada 1533 edisi ketiga (Gemma kedua) bahwa kita menemukan Libellus de locorum describendum ratione, pamflet nya menguraikan sepenuhnya dan secara rinci teknik triangulasi.

Gemma sendiri tidak menikmati kesehatan yang baik dan adalah seorang pemikir dan bukan pelaku sehingga ia hampir pasti tidak melakukan pekerjaan survei sendiri. Kami tahu bahwa Mercator menggunakan metode Gemma ketika ia mengamati Kadipaten Lorraine kemudian dalam abad. Tycho Brahe yang tahu pekerjaan Gemma juga menjadi pelanggan bengkel alat musiknya juga melakukan survei terhadap pulaunya Hven menggunakan triangulasi Gemma, yang tidak pernah benar-benar selesai. Willebrod Snel juga pasti akrab dengan pekerjaan Gemma dan itu hampir pasti Libellus yang merupakan sumber pengetahuan triangulasi.

Beberapa sumber mengklaim agak samar-samar bahwa triangulasi diakuisisi oleh orang Eropa dari matematikawan Arab selama Renaissance tetapi gagal untuk memberikan sumber manapun untuk klaim ini atau untuk referensi setiap karya Arab pada subjek. Lebih langsung beberapa sumber mengklaim bahwa ulama besar Islam al-Biruni, yang banyak menulis tentang geografi dan geodesi, digunakan triangulasi. Klaim ini hanya palsu. Dia menggunakan metode geometris untuk menentukan bujur dan lintang dari berbagai kota tapi perhitungannya tidak hanya menggunakan segitiga dan ia tidak memiliki garis dasar terukur dan membuat tidak ada penampakan. Dia hanya dibangun model geometris posisi kota-kota masing-masing untuk satu sama lain berdasarkan kisah travellers 'dari skala perpisahan mereka.

Secara historis ada sedikit keraguan bahwa teknik triangulasi muncul sekali dan sekali saja dalam sebuah pamflet yang ditulis dan diterbitkan oleh Gemma Frisius tahun 1533. Ini adalah fakta yang aneh bahwa penemuan ilmiah yang relatif tidak signifikan dan penemuan bangga membawa nama-nama penemu dan penemu mereka, tetapi kebanyakan orang, termasuk orang-orang yang menulis buku tentang hal itu, tidak pernah berhenti untuk mempertimbangkan yang menemukan triangulasi, yang sampai penemuan GPS, adalah satu-satunya alat, dan sangat kuat, mampu menghasilkan peta yang akurat dengan ekonomi, signifikansi politik, militer dan ilmiah yang luar biasa mereka. Gemma Frisius termasuk dalam jajaran ulama modern yang besar untuk penemuan dan tidak dilupakan dan diabaikan bahkan oleh mereka yang mendapatkan uang menulis tentang aplikasi yang luar biasa bahwa penemuan ini dimungkinkan.

[1] Snel ditulis dengan hanya satu 'l', kesalahan umum dalam teks-teks bahasa Inggris. Dalam publikasi Latin Snel Latinised namanya, seperti yang telah ayahnya juga seorang matematikawan akademik, Snellius. Bahasa Inggris penulis menerjemahkan kembali ke dalam bahasa sehari membuat kesalahan mempertahankan kedua 'l'.