Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de...
Transcript of Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de...
![Page 1: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/1.jpg)
Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y laTeoría de Matrices Aleatorias
Nathan Ryan
Department of MathematicsBucknell University
Comisión de Fulbright Uruguay
18 Noviembre, 2009
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 2: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/2.jpg)
¿Por qué nos reunimos hoy?
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 3: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/3.jpg)
¿Para qué se usa?
La applicación más importante es a la cultura popular:hay libros populares de Rockmore, Derbyshire, etc que setratan de RH.es más probable que Wayne Rooney demostraría RHantes de ponerse un sarong (comparar con DavidBeckham).en el programa de televisión NUMB3RS alguien secuestróla hija de un matemático que estaba por demostrar RH (letomó 15 años, según el programa – tanto tiempo!).hay por lo menos un chiste en Futurama sobre RH.
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 4: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/4.jpg)
Una carta a Encke
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 5: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/5.jpg)
Contando Primos
Definimos una función:
π(x) := #{p ≤ x : p primo}
Conjetura (Gauss,a los 15 años)
La densidad de los primos cerca de x es 1/ log x; en otraspalabras,
π(x) ∼ Li(x) :=
∫ x
2
dtlog t
.
Asimptóticamente: Li(x) = xlog x + x
(log x)2 + · · ·
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 6: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/6.jpg)
Comparasión entre π(x) y Li(x)
x π(x) π(x)− Li(x)
10 4 1.1108 5761455 753.31010 455052511 3101.41012 37607912018 38187.5
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 7: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/7.jpg)
El Teorema de Números Primos
Teorema (Hadamard, de la Vallee Poisson)
π(x) = Li(x) + O
(x
exp(√
log x)
)
Conjetura (Versión 1 de RH)
π(x)− Li(x)� x “1/2”
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 8: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/8.jpg)
Función Zeta antes de Riemann
Para s ∈ Z>1,
ζ(s) =∑n≥1
1ns .
Proposición (Euler)
ζ(s) =∏
p primo
(1− 1
ps
)−1
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 9: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/9.jpg)
El Producto de Euler
LemaEl teorema fundamental de aritmética.
Ahora,1
1− 1ps
= 1 +1ps +
1p2s + · · · .
Tenemos ∏p
11− p−s =
∏(1 +
1ps + · · ·
)
=∑
pi
∞∑k1,...,kr =0
1
(pk11 · · · p
krr )s
= ζ(s)
por el lema.
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 10: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/10.jpg)
Función Zeta después de Riemann
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 11: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/11.jpg)
Continuación Analítica
El “insight” de Riemann era pensar del s como un númerocomplejo en vez de un entero más grande que uno.
ζ(s) tiene una continuación analítica (que tambiéndenotamos con ζ(s)) a todo el plano complejo menoss = 1 donde la serie diverge.ζ(s) tiene una ecuación funcional; para
ζ∗(s) := π−s/2Γ(s
2
)ζ(s)
tenemos ζ∗(s) = ζ∗(1− s) salvo los polos en s = 0,1.
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 12: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/12.jpg)
Dibujos, I
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 13: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/13.jpg)
Dibujos, II
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 14: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/14.jpg)
Dibujos, III
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 15: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/15.jpg)
Dibujos,IV
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 16: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/16.jpg)
Dibujos,V
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 17: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/17.jpg)
¿Dónde Están los Ceros de Zeta?
cuando Res > 1,tenemos ζ(s) 6= 0 por el producto deEuler.cuando Res < 0, tenemos ζ∗(s) = ζ∗(1− s) dondeRe(1− s) > 0, entonces ζ∗(s) 6= 0. Pero, los s ∈ 2Z sonpolos de Γ(s/2) y entonces ζ(s) tiene que tener ceros paratales s.la franja 0 ≤ Re(s) ≤ 1 es la franja crítica.hay muchos ceros en la línea crítica Res = 1/2.
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 18: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/18.jpg)
Un Millón de Dolares
Conjetura (Versión 2 de RH)
Todos los ceros de ζ(s) en la franja crítica, están en la líneacritica.
Maneras más probables de ganar un millón de dolares:ganar la loteríarobar oro del banco en Fort Knox en los Estados Unidosencontrar petroleo en tu casa
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 19: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/19.jpg)
Hilbert se equivocó
En anunciar sus problemas dijo lo siguienteRH se resolucionaría en unos añosalgunos viendo su presentación verían la resolución delúltimo tereoma de Fermatno verían la resolución si 2
√2 para miles de años
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 20: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/20.jpg)
La fórmula explícita de Riemann
Si
Λ(n) :=
{log p si x = pk
0 si no,
tenemos
ψ(x) :=∑n≤x
Λ(n) = x −∑ρ
xρ
ρ− log 2π − 1
2log(1− x−2)
ψ(x) ∼ x ⇔ π(x) ∼ Li(x)
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 21: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/21.jpg)
¿ Por qué son equivalentes las dos versiones?
Una dirección (Versión 2→ versión 1):π(x)− Li(x)� x“1/2′′
por lo de antes, ψ(x)− x ∼ π(x)− Li(x)
por la fórmula explícita, si Reρ = 1/2,
|ψ(x)− x | =
∣∣∣∣∑ xρ
ρ
∣∣∣∣ ≤∑ xReρ
|ρ|≤ x1/2
∑ 1|ρ|.
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 22: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/22.jpg)
Razones para creer en RH
muchas computaciones.Conrey: más de 40% de los ceros están en la línea crítica.Weil: RH en el caso de cuerpos de funciones ha sidodemostrado.
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 23: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/23.jpg)
Los primeros ceros
14.1347251421.0220396325.0108575830.4248761232.9350615837.5861781540.9187190143.3270732848.0051508849.7738324752.97032147
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 24: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/24.jpg)
De los Ceros a los Primos
∑cos(γn log x)
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 25: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/25.jpg)
Contando los Ceros
N(T ) = #{ρ = β + iγ : 0 < γ ≤ T}
=T2π
logT
2πe+
78
+ S(T ) + O(1/T )
donde
S(T ) =1π
argζ(1/2 + iT )
= O(Log(T ))
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 26: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/26.jpg)
¿ De dónde vienen los ceros?
Conjetura (Hilbert-Polya)Las partes imaginarias de los ceros en la línea crítica son losautovalores de alguna operadora no acotizada.
Evidencia:no había evidencia cuando fue propuestaLa fórmula de traza de SelbergLa Conjetura de 2-Correlación de Montgomery
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 27: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/27.jpg)
Conjetura de Montgomery
Conjetura (Montgomery Pair Correlation Conjecture)∑2παlog T <γ−γ′< 2πβ
log T
1 ∼ N(T )
∫ β
α
(1−
(sinπuπu
))2
du
La suma es sobre pares γ, γ′ de partes imaginarias de cerosentre dos números α, β ∈ R.
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 28: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/28.jpg)
Té en Princeton
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 29: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/29.jpg)
La Teoría de Matrices Aleatorias
Un ensemble de matrices es un conjunto de matrices con unadistribución de probabilidad.Por ejemplo, el GUE (el ensemble gausiano-unitario) que es elconjunto de matrices Hermitianas (N × N tal que t A = A) concada entrada eligida indpendientemente según algún gausiano.
Gran IdeaLos autovalores de matrices aleatorias tienen las mismasestadísticas que los ceros de ζ(s).
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 30: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/30.jpg)
Teoría de Números y TMA
Conjetura (Conjetura GUE)En el límite (los ceros con partes imaginarias más y más altas,las matrices más y más grandes) los espacios entre los cerosde ζ(s) son los mismos que los espacios entre los autovaloresde matrices Hermitianas.
Conjetura (Keating-Snaith)
Fórmulas para los momentos de ζ(s)
Ik (T ) =1T
∫ T
0|ζ(1/2 + it)|2k dt
son predecidas por TMA.
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 31: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/31.jpg)
Autovalores y Ceros
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 32: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/32.jpg)
Odlyzko – Espacios entre ceros
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 33: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/33.jpg)
Odlyzko – 2-Correlación
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias
![Page 34: Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de ...ncr006/talks/rh_150.pdf · Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias Nathan Ryan Department](https://reader033.fdocuments.in/reader033/viewer/2022051310/5ffe04ee5b413172d04e14cc/html5/thumbnails/34.jpg)
Un resumen
TMA probablemente no nos va dar un demostración de RHTMA es útil para describir la distribución de datosaritméticosTMA se puede usar para generar conjeturas sobre objetosartiméticas (e.g., momentos, Sato-Tate, etc.)ζ(s) es la última función elemental que no entendemosζ(s) nos dice algo de la interacción entre sumar ymultiplicar, un algo que no entedemosprobablemente RH no se va resolucionar usando análisis,solamenteojalá que no tomará los miles de años que sugiere Hilbert
Nathan Ryan Los Ceros de la Función Zeta de Riemann y la Teoría de Matrices Aleatorias