LITERATUR

M. Beckmann, H. KUnzi: Mathematik fUr Ukonomen I, 2. Auflage Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1973

M. Beckmann, H. KUnzi: Mathematik fUr Ukonomen II, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1973

M. Braun:

R. Courant:

J. Horn, H. Wittich:

W. I. Smi rnow:

K.H. Weise:

Differential Equations and Their Applications, 2. Auflage, Springer, New York, Heidelberg, Berlin, 1978

Vorlesungen Uber Differential- und Integral­rechnung, zweiter Band, 3. Auflage, Neudruck, Springer, Berlin, Gottingen, Heidelberg, 1963

Gewohnliche Differentialgleichungen, Goschens LehrbUcherei, Bd. 10, 6. vollst. neubearb. Auflage, de Gruyter, Berlin. 1960

Lehrgang der Hoheren Mathematik. 3. verb. Auflage, BEV. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin', 1960

Differentialgleichungen, Vandenhoeck & Ruprecht, Gottingen, 1966

For mel sam m 1 u n g

Inhalt

1. Trigonometrische und hyperbolische Funktionen

2. Differentialrechnung

2.1 Ableitungen einfacher Funktionen

2.2 Ableitungsregeln fUr zusammengesetzte Funktionen

3. Integralrechnung

3.1 Unbestimmte Integrale elementarer Funktionen

3.2 Integrationsregeln

3.3 Unbestimmte Integrale spezieller Funktionen

3.4 Bestimmte und uneigentliche Integrale spezieller

Funktionen

4. Reihen

197

1. Trigonometrische und Byperbolische Funktionen

e ix = cos(x)+i·sin(x)

sin (x)

cos (x)

...L(eix_e-ix 2i

1 (eix+e-ix ) 2

t (x) = sin (x) 9 cos (x)

ct (x) = c~s(x) 1 9 s1n(x) tg(x)

+ tg2 (x) = cos 2 (x)

1 + ctg2 (x) = sin2 (x)

Additionstheoreme:

sin(x±y)=sin(x)cos(y)±sin(y)cos(x)

cos(x±y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)

tg(x) ± tg(y) tg(x±y) = -----

1+tg(x)tg(y)

eX = cosh(x)+sinh(x)

sinh(x)

cosh(x)

1 X -x i(e -e )

1 x -x i(e +e )

t h(x) = sinh(x) 9 cosh(x)

ct h(x) = C~Sh(x) 9 s1nh (x)

1 tgh(x)

2 1 - tgh (x) = ---',,...--

cosh2 (x)

ctgh2 (x) _ 1 = 1 sinh2 (x)

sinh(x±y)=sinh(x)cosh(y)±sinh(y)cosh(x)

cosh(x±y)=cosh(x)cosh(y)±sinh(x)sinh(y)

tgh(x) ± tgh(y) tgh(x±y) = -----

l±tgh(x)tgh(y)

198

2. Differentia1rechnung

2.1 Ab1eitungen einfacher Funktionen

c' = 0

(1nx) , = 1 x

(sinx)' = cosx

(tgx) , 1 --2-cos x

(arcsinx)' = 1

A_x2

1 --2 (arctgx) ,

(sinhx) ,

(tghx) ,

1+x

coshx

1 --2-cosh x

n-1 =nx (n e JR.)

(cosx) ,

(ctgx) ,

(arccosx) ,

(arcctgx) ,

(coshx) ,

(ctghx),

- sinx

1

- sin2x

1

a 10ge x

----A_x2

1 --'-2

1+x

sinhx

1

- sinh2x

199

2.2 Ableitungsregeln fUr zusammengesetzte Funktionen

Linearitat der Ableitung:

(c f(x»' = c·f' (x) (f(x) ±g(x»' f'(x) ±g'(x)

Produktregel:

(f(x)g(x» , f' (x)g(x) + f(x)g' (x)

allgemeiner:

(f(x)g(x)h(x) .")' f' (x)g(x)h(x)··· + f(x)g' (x)h(x)··· +

f(x)g(x)h'(x)··· +

Quotientenregel:

Kettenregel:

fIx) )' g(x)

f' (x)g(x) - f(x)g' (x)

(g(x»2

(f (g (x) )' = f' (g (x» • g' (x)

allgemeiner:

(f(g1 (x), g2(x), ".»'

Inverse Funktion: ( f- 1 (x) ) , f' (f-1 (x»

(d.m Leibnizschen Formalismus: dx dy

Parameterdarstellung:

x = f(t), y = g(t)

Implizite Funktionen: F (x , y)

dx dy

o dy =*­

dx

a ax F(x , y)

- a ay F (x, y)

1 ""(iy)

dx

200

3. Integralrechnung

3.1 Unbestimrnte Integrale elementarer Funktionen (Integrationskonstanten werden weggelassen)

m+1 x m+1

(m E: IR , {-1 } )

JInx dx x·ln(x) - x

JSinx dx = - cosx

Jtgx dx = - In Icosxl

Jarcsinx dx = x'arcsin(x)+/1-x 2

J arctgx dx = xoarctg (x) -~In (1 +x 2)

fsinhx dx coshx

ftghx dx In I coshx I

1 Ix dx = In Ix I

x In(a) (In(x) - 1)

Jcosx dx sinx

Jctgx dx In Isinxl

Jarccosx dx x'arccos(x)-~

Jarcctgx dx = x.arcctg(x)+~ In (1+X2)

fcoshx dx sinhx

fctghx dx In I sinhx I

201

3.2 Integrationsregeln

Linearit~t des Integrierens:

f c f (x) dx = c f f (x) dx f(f(x) +g(x))dx =ff(x)dx +fg(x)dx

Partielle Integration: f f (x) g' (x) dx f (x) g (x) - f f' (x) g (x) dx

Substitutionsmethode: f f (x) dx I = f f (lj) (t)) 1j)' (t) dt Ix=lj)(t)

speziell gilt z.B.: f .t:..i.& dx .p (x)

f .t:..i.& dx ITiXT

lnllj) (xli

2flj)(x)

f (lj)(x))m lj)' (x) dx m:l (lj)(x))m+l , (m .. -1)

202

1m folgenden wird angegeben, wie gewisse Typen von Funktionen

durch eine Substitution integriert werden konnen. Dabei steht R

fUr eine beliebige (rationale) Funktion.

(a) f R (sin (x), cos (x), tg (x), ctg (x» dx

Substitution: t = tg~

sin (x) 2t = 1 +t2

x = 1/!(t) = 2arctg(t);

1_t2 cos(x) =--

1 +t2 tg(x) 2t

= 1_t2

1/!'(t) =_2_; 1+t2

__ 1_t2 ctg(x)

2t

Falls Reine gerade Funktion ist in Sinus und Kosinus, so

fuhrt die folgende Substitution auf eine einfachere Integra­

tion:

(b) f R (sin2 (x), sin (x) cos (x), cos 2 (x), tg (x), ctg (x» dx

Substitution: t = tg(x) x = oj) (t) = arctg (t); oj) , (t) 1 = 1 +t 2

cos 2 (x) 1 = 1 +t 2

sin(x)cos(x) =_t_ 1+t2

1 ctg(x) = t'

(c) f R (sinh(x), cosh(x), tgh(x), ctgh(x» dx

Substitution: t = tgh~ ; x = oj) (t) = 2 ar tgh (t); oj) , (t) =_2_ 1_t2

sinh (x) 2t. = 1_t2 '

Substitution: t =e rnx

Substitution: t = arnx

1 +t 2 • cosh (x) = -- , 1_t2

tgh(x) - 2t • - 1 +t 2 '

1+t2 ctgh (x) = """"it

X=oj)(t) =l ln (t) m

1 oj) , (t) = mt

1 1 1 x = oj)(t) = iiiIiii In(t); oj) , (t) = mlna't

203

./f=i Substitution: t = 1fi"+x '

(g) f R (x, y·Q-1) dx

tx=i Substitution: t =YX+T ' 1+t2

x= .p(t) =--1_t2

(h) J R (x, ;, +x2) dx

/'2 t 2_1 Substitution: t=x+,I'1 +x-, x = .p (t) = 2t

(i) f R (x, Iax2+2bx+e) dx

Substitution: t.= ax+b

/iae-b2 1

/iae-b2 1

x = .p (t) = a t - ~

fUhrt zu einem Integral der Typen (f) - (h).

(j) f R (x, lax+b, lex+d) dx

Substitution: t = lex+d , x = .p (t) = 1 (t2_d) e

.pI (t) = 2t e

flihrt zu einem Integral der Typen (f) - (i).

(k) f R ( lJax+b ) dx ex+d

1ax+b Substitution: t = ex+d' .p I (t) = ad-be • ntn- 1 (etn-a) 2

I

II

204

Integration der rationalen Funktionen

Eine rationale Funktion muss zuerst in PartialbrUche zerlegt werden (s. Band 1 S. 168). Diese werden wie folgt integriert:

J _1_ dx = (x_a)n

{ _In(X-a)

_1_. __ ~-,­n-1 (x-a) n-1

(n=1 )

(n>1 )

J Ax+B dx (x2+2bx+C)K+1

~ J 2 (x+b) dx + (B-Ab) J 2 1 K+1 dx (x2+2bx+C)K+1 (x -2bx+c)

wobei II':

II":

.... II'

J 2 (x+b) dx (x2+2bx+c) K+1

J dx (x2+2bx+C)K+1

• II"

(00) K (x +2bx+c) {

_1. 2 K I

In(x2+2bx+c) I (K=O)

wobei t= x·+b IC-b'

Das letzte Integral l~Bt sich durch eine Rekursion aufl6sen:

J 1 dt 1+t2

arctg t

..l.. 2K

205

3.3 Unbestimmte Integrale spezieIIer Funktionen

1 c+ex

dx

f _x_ dx c+ex

f ~ dx c+ex

1 f 22 dx a -x

f~dX x -a

f __ 1-2- dx a+bx

.1 In( Ic+exl) e

: - ~2 In ( I c+ex I)

b ae-bc e x + -eo In( Ic+exl)

I arctg(~) a a

, 2a In(

a+x a-x

, In ( x-a) 2a x+a

f -' arctg ( J:e x) lab Va _1_ In ( a+/-ab x

I-ab a-I-ab x

f ,

---'--""2 dx (a+bx) b(a+bx)

f x dx (a+bx) 2

~2 (In(a+bx) + a:bx)

x 1 2 f --2 dx = ± 2 In ( I a±x I) a±x

= ~ 2 n-1 2 (n-' ) (a±x )

, 1 (1 (~+X)3

f--3 dx In ( 3) a+bx 3Va 2 b

2 a+bx

-'- (1 3

f~dx '" In ( a+bx )

a+bx 31ab2 2

(ift,+X) 3

(ab>O)

(ab<O)

(n'" )

+ /3 arctg ( 2~X-'

/3

+ /3 arctg ( 2~X-1

/3

»

»

f la+bx dx

f x/a+bx dx

f _1_ dx la+bx

f _x_dx la+bx

_1 __ dx f x/a+bx

f MdX 1-x

f Iax2+b dx

206

32b (a+bx) 3/2

2 (2a-3bx) (a+bx) 3/2

- 1Sb2

2 (8a2-12abx+1Sb2x2) (a+bx) 3/2

10Sb3

2/a+bx

b

2 (2a-bx) la+bx

3b2

..1... In( la+bx - ia)

ia la+bx + ia

1_2 arctgMx M a

arcsin (x) - j{_x2

....£... In(iax+lax2 +c) 2ia

c ra -- arcsin ( I-::x) 2M c

(a>O)

(a<O)

(a>O)

(a<O)

207

f x1x2±a2 dx

f x1a2_x2 dx

x 2 2 3/2 _ a 2 122 a 4 122 '4 (x ±a) + Txfx-±a- - SIn (x+fx-±a- )

f x 21a2_x2 dx x( 2 2) 3/2 a 2 122 a 4 . ( x ) - '4 a -x + axfa--x - + Tarcs~n lal

~ ~ lal+1a2+x2 f ~dx a ±x - lal In(

x x

;;}:;} 1x2_a2 _ f x -a lal arccos(~) ---dx

x x

1x2+a2 !xV + In (x+1x2±a2 ) f dx x _a

2 ----x x

~ ~ f a -x a -x x --2- dx - ---- arcsin ( I a I ) x x

~ /a2+b 2 x/a2+b2 f a -x arcsin ( ) -arcsin(I~I) -2--2- dx

b +x Ibl lal/x 2 +b 2

f

f

f

f

f

f

1 dx

,,(2±a2

1 dx

~ a -x

dx

Iax2+c

x dx

/ax2+c

x 2 dx

!x2+a2

2 x dx

~ a -x

208

In(x + /x2 ±a2

{ arc"n' , , lal oder

arccos( ~ ) lal

1

{

/a In (/ax + Iax2 +c ,

~ arCSin~)

(a>O)

(a<O)

- Iax2+c a

x IxV a 2 "2 x +a - !x2+a 2 "2 In(x +

x~ a 2 - 2 a -x + Tarcsin( ~ )

la I

f

f

f

f

f

f

f

f

f

209

~ dx = -lln(a+ a ±x 1 a x

~ x a ±x

dx 1 (~I ,a\ arccos

fx2=:2 x x x -a

dx = - Iax2+c

2~ cx

x ax +c

fx2=:2 dx x -a a(a;xl

~ (x±al x -a

---!...--- dx 2 2 122 (b -x 1 {a--x-

2 2~ (b +x 1 a -x

hax-x2 dx =

dx

hax-x2

dx

hax+x2

1 xA)2_a2 arctg( 1

bA)2_a2 b1a2_x2

~ dx arctg(x a +b 1

b1a2+b2 ~ b a -x

1 &7 2 x-a -«x-al 2ax-x + a arcsin ("f;I'1 2

{ arcco"a-x, \a\

oder

a-x arcsin (-\-1

a\

In(x+a+hax+x2,

210

I ( 1 ) dx = 1 In ( 1 + tg (ax) ) cos (ax) a cos (ax)

1 In(tg(:!! + !.!» a 4 2

I (sin2 (ax) ) dx = - 2~ cos (ax) sin (ax) + ~ x = ~ x - 4~ sin (2ax)

I(cos2 (ax» dx= 21a sin(ax)cos(ax) + ~x= ~x+ 4~ sin(2ax)

I dx _1 ctg(ax) sin2 (ax) a

I dx 1 tg(ax)

cos 2 (ax) a

sin( (m-n)x) sin( (m+n)x) I (sin (mx» (sin (nx) ) dx = 2(m-n) 2(m+n)

I (cos (mx) ) (cos(nx» dx = sin2:~~~~) x) + sin2:~~~~) x)

1 2 I (sin (ax) ) (cos (ax» dx = 2a sin (ax)

cos ( (m-n) x) I (sin (mx) ) (cos (nx» dx = - 2(m-n)

I (sin2 (ax» (cos 2 (ax» dx = - 3~a sin (4ax) + ~

cosm+ 1 (ax) I(sin(ax» (cosm(ax» dx = - (m+1) a

sinm+1 (ax) J(sinm(ax»(cos(ax»dx= (m+1)a

I cos (ax) sin (ax) + m-1 I( m-2( »( i n ( » dx (m+n) a m+n cos ax s n ax

J(cosm(ax))(sinn(ax)) dx = oder

. n-1 m+ 1 _ Sl.n <'::~)c~s (ax) + ~:: I(cos~ax))(sinn-2(ax)) dx

m-1 n+1

f sin (ax) cos2 {ax)

dx

2 f sin (ax) dx cos (ax)

f cos (ax) dx sin2 (ax)

211

acos(ax)

_1 sin (ax) + 1 In(tg(i + a a

asin(ax)

f (sin (ax»\cos (ax» dx ~ In (tg (ax»

~» 2

f dx (sin (ax» (cos 2 (ax»

1 ( 1 ax a cos (ax) + In(tg(:r)))

f 1 _1 1 + 1 2 dx In(tg(i + a2x»

(sin (ax» (cos (ax» a sin (ax) a

f 1 -~ (sin2 (ax» (cos 2 (ax»

dx ctg(2ax) a

f 1 dx :;: 1 11 :;:~) 1±sin(ax) a tgl4 2

f 1 +co! (ax) dx ~ tg (a:)

f sin2 (x) 1 ./a+b -.Ia a+b'cos 2 (x) dx = b ¥~ arctg( V~ tg(x» - 6' (ab>O, oder lal>lbl)

212

I sin (ax) dx 1 71 - ax ± x + tg(ii + T) 1±sin(ax) a

I cos (ax) dx x - 1 tg(~)

1+cos(ax) a 2

I cos (ax) dx - x - 1 ctg(a2x)

1-cos(ax) a

I sin (ax) dx - 1 In (1 ± cos (ax» 1±cos(ax)

+-a

I cos (ax) dx ±! In (1 ± sin(ax» 1±sin(ax) a

I sin(ax)±cos(ax) dx 1 In (tg (a2x

an ± !.»

8

I x (sin (ax» dx = -;. sin (ax) - : cos (ax) a

I x (cos (ax) ) dx = -;. cos (ax) + i sin (ax) a

I (tg2 (ax) ) dx = 1 tg (ax) - x a

2 x2 I x(ln(x» dx = x2 In(x) - T

2 x 3 x 3 I x (In (x» dx = T In(x) - ""9

n+1 n+1 I xn(ln(ax» dx = xn+1 In(ax) __ x __

(n+1) 2

I (In (x) ) 2 dx = x (In (x) ) 2 - 2x In (x) + 2x

I (In(x))n ..:.=::...>.::..<..!- dx

x

213

n~ I (In (x)) n+1

1 I xIn(x) dx In(ln(x))

I dx x(ln(x))n n-1

(n-1) (In (x) )

I (In (~)) dx = (x+a) In (x+a) - (x-a) In (x-a) x-a

2 2 2 2 x I (In(x +a )) dx = x In(x + a ) - 2x + 2a arctg(a)

I

-x -e

I ax dx

eax (ax - 1) xe -2

a

m m!x

m-r

I m ax dx

ax L (-1) r x e e r+1

r=O (m-r)! a

_1_ dx x

J x - In (1 + eX) In _e_

1+ex 1+eX

I __ 1_ dx ~ _...L In(a + bePx ) a+bePx a ap

2 1

2

I -x

dx -x

xe -'2 e

ax eax(asin(bx) - bcos(bx)) I e (sin (bx) ) dx = a 2 + b 2

ax J eax (cos (bx) ) dx = _e __ (acos (bx) + bsin (bx) )

a 2+b2

f

f

f 0

11

214

3.4 Bestimmte und uneigentliche Integrale spezieller Funktionen

fin) (n-1) !

1 II n m=1

(1 + l,n m n

+ -m

r(n) (Gammafunktion) I

n~O,-1,-2,-3,···

(n-1) (n-2) (n-3)··· ·2·1 , fUr ganzzahlige n

n! (n=O,1 , 2 , 3 , ••• und p>O)

(lnp)n+1 I

t n- 1e-(a+1)t dt = .J:..!!L (n>O I a>-1 )

xm(lnl)n dx x

a dx = 22 a +x

(a+1)n

r(n+1) (m>-1 I n>-1) (m+1) n+1

r (n) (n-1) ! falls n ganzzahlig und n>O

m-1 f x dx o (1+x)m+n

B(m,n) = B(n,m)

{-l I fUr a>O

fUr a=O I

fUr a<O

11

r(m)r(n) (m+n)

r(m)r(n) r(m+n)

B(m,n) (Betafunktion) I

fUr m,n bel. pos. reelle Zahlen

f sin ax sin bx dx f cos ax cos bx dx o (a;o!b a,b ganzzahlig)

II/a 11

f (sin(ax)) (cos(ax)) dx f (sin(ax)) (cos(ax)) dx o

f -ax dx 1

e a

f n -ax dx x e

f xnexp(-axp ) dx

2 2 1 f -a x

dx e 2a

2 -x 2 rrr f x e dx T

2n -ax 2

f x e dx

2n+1 2 f x

-ax dx e

J -ax e (cosmx )dx

(a>O)

r(n+1) ----n+1

a

oder

n! n+1

a

r(k) -k-pa

rrr

11

'2

215

(n>-1 , a>O)

(a>O , n positive ganze Zahl)

(n>-1 , p>O , a>O , k=~) P

(a>O)

1·3·S· ••• (2n-1) fa 2n+1an

n! (a>O) 2an +1

a (a>O) 2"2 a +rn

f -ax dx rn (a>O) e (sinrnx) 2"2 a +rn

216

4. Reihen

Taylorsche Entwicklung:

f I (x) f "(x) 2 fIn) (x) f (x+h) = f (x) + -1-!- h + --rr- h + ••• + ---n:- hn + Rn

wobei Rn f(n+1 )(X+0h) hn+1

(n+1) ! 0<0<1

x e

sin (x)

sinh (x)

cos (x)

cosh(x)

tg(x)

tgh(x)

x·ctg(x)

x

x·ctgh(x)

arcsin (x)

arccos (x)

x -

x

1 -

1

+

x -

1

11

4 arctg(1)

xn + - + •••

n!

3 5 7 2n+1 x x x (-1 )n x 3! + 5! - 7T+ ... +

(2n+1) ! + . .. 3 5 7 2n+1 x x x x

+ 3! + 5! + 7! + ... + (2n+1) ! + . ..

2 4 x 6 2n x

+ x ... (-1 )n x 2! 4T - 6! + + (2n) ! + . ..

2 4 x 6 2n x x

+ ... x . .. + 2! + 4T + 6:

+ (2n) ! +

1 3 2 5 17 7 62 9 :3 x +15 x +m x + 2835 x + ...

1 x 3 2 x 5 17 7 62 9 :3 +15 - m

x + 2835 x

1 2 1 x4 2 6 1 8 - :3 x - 45 - 945 x - 4725 x

1 1 2 1 4 2 6 1 8

+ ... + :3 x - 45 x + 945 x -ms x

3 1·3 x 5

1·3·5 x 7

x + l.!!. + 2=4·5 + 2="476.'7 + 2 3

11 2 - arcsin(x)

(Leibnizsche Reihel

IIX

\i'x

Vx

\(x

\(X

Ixl<~

Ixl <~

Ixl <1

-1 <x::> 1

In(1+x)

In(z)

(1±x) -1

(1±x)-2

,Ii""±i

217

2 3 x4 n-1 n x x ?! + x - 2 + 3' - '4+ ••• +(-1) n

3 5 7 2n+1 2(x + !. + x !. + ... +

x ... ) '5 + --+ 3 7 2n+1

m(m-1) (m-2)··· (m-n+1) n!

:;: x + x 2 + x 3 + x 4

:;: 2x + 3x 2 :;: 4x 3 +

+ 1 1 2 + 1·3 - 2 x - 274 x -~x

:;: 5 x + ...

5x5 + 6x 5 + ... 3 1·3·5 4

2·4·6·8 x

-1 <x::i1

wobei z-1 x=--z+1

,z>O

±

mE:IR

Ix 1<1

m(m+1) (m+2) (m+3) x4 + ••• 4!

Ix I <1

Ix 1<1

Ix 1<1

Ixl~1

4.Sununenformeln

n 1: i

i=1

n 1: i

i=1

n-l 1: a i

i=o

wobei

n(n+1) 2

n(n+l) (2n+l) 2

1 -,::a

i 1: a J,

j=1

i 1: b J,

j=1

218

Arithmetische Reihen

(a t 1)

geometrische Reihe

( I a I < 1)

Partielle Summation

ist

REG 1ST E R

Ableitung einer Funktion - logarithmische 20 - partielle 19ff, 24ff, 28, 31, 135

gemischte 24f - - hoherer Ordnung 24ff - - homogener Funktionen 36 - totale 27-31, 41 - zusammengesetzter Funktionen 30f, 114, 135 Alien, R.G.V. 161 Anfangsbedingung lOS, 107, 118 Anfangswertproblem 143

Bedingungen erster Ordnung 98 Bedingungen zweiter Ordnung 98 BWtgeIL, E. 18

CES Produktionsfunktion, s.u. Produktionsfunktion charakteristische Gleichung 161f Cobb-Douglas Produktionsfunktion, s.u. Produktionsfunktion Cournot - Bedingung 189

Oifferentialgleichungen 101ff - Bernoullische Ogl 131ff - Clairautsche Ogl 140f - exakte Ogl 134ff - Existenz und Eindeutigkeit der Losungen 143-146, 148 - gewohnliche Ogl.

1. Ordnung 103-109, 122-130, 152 lineare 131, 134, 148

- - - lineare, homogene 103ff, 114, 120ff, lSI, 154 lineare, inhomogene 104, 106ff, 127, 131, 152

- - 2. Ordnung 147ff, ISO, 152f, 155f - - - lineare 147ff - - n-ter Ordnung - Losung 102

220

- LBsungsmethoden - - fUr exakte Ogl 137ff - - integrierender Faktor 108f, 113, 131, 133, 139 - - Reduktion der Ordnung 152ff - - Trennung der Variablen 114ff, 121, 129, 153, 177, 182 - - Variation der Konstanten 159f - Ordnung 102, 153 - partielle 102, 140 - - lineare 176-184 Oifferentialgleichungssysteme 154ff - lineare 154, 156ff - - homogene 157ff - - inhomogene 157, 159f - - mit konstanten Koeffizienten 160-165 Oifferentialquotient 31

Eigenvektor 161 Eigenvektorsystem, vollst. 161 Eigenwert 161, 175 Elastizitat 20, 22f, 29, 39 - Einkommens- 23 - Faktorsubstitution 62f - konstante 14, 23f, 111 - Kreuz- 23 - Nachfrage- 22 - Output- 20, 60f, 63, 84 - - der Arbeit 22, 61 - - des Kapitals 22 - partielle 20f, 11 - Substitutions- 62, 133, 150f - Entropiefunktion 4, 87 Euler'sche Gleichung 185-187, 189f, 193 Euler'sche Relation 35, 39 Exponentialfunktion 4 Extrema, siehe Maxima, Minima - unter Nebenbedingungen, siehe Lagrangemultiplikatoren

Faktorpreisverhaltnis 84 Fixpunktsatz 17f - Brouwer 18 - Kakutani 18f Fundamentalsystem von Lsgen 159ff Funktion - algebraische 3, 15, 19 - differenzierbare 19ff

partiell 19ff - - - stetig 28f - - total 27ff - graphische Darstellung 5f - homogene 34ff, 38 - homothetische 38f - implizit definierte 32 - konkave 41-45, 47ff, 75ff - - differenzierbare 50ff - - streng 45ff - konvexe 41-51, 75ff, 92 - - differenzierbare 50ff - - streng 45ff, 53, 76 - lineare I, 10, 19, 78 - mehrerer Veranderlicher Iff - quadratische 2, 10 - quasikonkave 50f - quasikonvexe 48ff, 77 - rationale 3, 10, 19 - stetige 10ff - transzendente 4, 19 - unstetige 10

Gau.6. C.F. 93

GiffengUter 101 Gleichgewichtspunkt - stabiler 168f - unstabiler 168f

221

222

Goldene Regel der Kapitalakkumulation 192ff Gradient 19, 69 Gradientenmethode 174-176 Graphische Darstellung von Fkt. 5 Gravitationsformel 15 Grenzkosten 85 Grenznutzen 181, 193f Grenzprodukt 21, 41, 61, 98 - der Arbeit 38, 57f, 60-63, 121 - des Kapitals 37, 57, 60, 63, 121, 193f Grenzproduktivitaten 119 Grenzproduktivitatsprinzip 98, 179 Grenzrate der Substitution 33, 58ff, 63, 119, 150, 176ff

Hesse'sche Matrix 42, 53f, 71ff, 87, 98

Implizite Funktionen 80, 121 instabil 170 Integrabilitatsbedingung 136, 138, 179f integrierender Faktor 108f, 113, 131, 133 Interaktionsformel 16 Isoquante 33, 56, 58ff, 176-180 - der CES Funktion 178

Kettenregel 31, 114, 135 Keynu, 1.M. 192

komparative Statik 99 Komplemente 12, 23f Kontrolltheorie 184 Konvexe Optimierun9 88ff - Programme 88f Kriterium fUr Negativ - Definitheit 72 Kronecker'sche Deltafunktion 17 Kuhn - Tucker Theorem 88, 91

223

Lagrangefunktion 81-84, 90f, 174 Lagrangemultiplikatoren 79, 88ff, 174 Lagrangemultiplikatorenregel 81-90 Lege~e. A.M. 93 Leontieff Produktionsfunktion, siehe Prod. Fkt. mit konst. Koeff. Liapunovfunktion 171ff, 175 Liapunov-Satze, 1. und 2.171-176 Liapunov - Stabilitat 169-174 Liapunovs zweite Methode: siehe Liapunov-Satze lineares Ausgabensystem 14, 181ff Lipschi tz - Bedingung 144f Logarithmusfunktion 4 Lohnquote 22

Malthus'sches Gesetz des Bevolkerungswachstums 123 Maxima 65-96 - Existenz 67f - - hinreichende Bedfngungen fUr 2 mal diffbare Fkt. 71ff - - - fUr konkave Fkt. 75f - - - - bei Nebenbedingungen 86f - - notwendige Bedingungen f. diffbare Fkt. 68f - - notwendige und hinreichende Bedingungen fUr konkave Fkt. 76 - globales 66, 69f, 75ff, 88 - lokales 66, 71, 76, 86, 88 - strenges 66, 100 Methode der kleinsten Quadrate 93ff Methode der Lagrange Multiplikatoren, siehe Lagrange Multfplikatoren Minima 65-96 - Existenz 67 - - hinreichende Bedingungen 90 - globales 66, 69f, 75, 89f - lokales 66, 74 - strenges 66 Mittel - arithmetisches 71 - geometrisches 71 Mittelwertsatz 40

224

Nachfragefunktionen 12ff, 20, 22 - konstanter Elastizitat 14, 24, IlIff N-i.k.a..i.do, H. 1 8

Niveaulinien 8f, 33 Norm - absolute 27 - euklidische 27 - Tschebyschev 28 Nutzenfunktion 181-184 - additive 183f

Optimaler Konsum 90ff

partielle Differentialgleichungen 102, 140 - lineare 176-184 Phasendiagramm 167ff Phetpl>, E.S. 194

Phillips Modell 163, 165-167 Polynome 2, 19 Potenzfunktion 21, 24, 111 Produktionsfunktion 4, 13, IS, 20f, 33, 38, 41, 55, 65, 85, 97, Ill, 116ff,

121, 142, 176-180 - CES 55-65, 132f, lSI, 178 - - Differentialgleichung 132f, 149ff - - Effizienzparameter 55, 151 - - Substitutionsparameter 55, 58 - - Verteilungsparameter 55, 58, 151 - Cobb-Douglas IS, 20f, 24, 33, 63, 84,111, 118ff,143 - mit fixen koeffizienten 64 - homogene 37, 39 - homothetische 39 - linear homogene 38 - und technischer Fortschritt siehe technischer Forschritt Profi tquote 22

quadratische Approximation 41, 71 quadratische Form 2, 44f

225

- negativ definit 45, 53f, 71f, 100, 174 - negativ semidefinit 45, 53f, 98ff - positiv definit 44f, 53f, 72ff - positiv semidefinit 44f, 53f, 73 quadratische Programme 176 Quasikonkavit~t 50f, 76 Quasikonvexit~t 48ff

Raml.e.y, F.P. 192 Randbedingung 185-191 Reduktion der Ordnung einer Ogl. 152ff Regression 92ff Regressionslinie 95 Regulari~tsbedingung 81, 88, 91

Sattelpunkt 67, 74, 89 Satz von Kuhn - Tucker 88, 91 Schwingungsgleichung 163ff Skalenertr~ge 38, 84 Slaterbedingung 89 stabil 170f - asymptotisch 170-174 Stabilit~t der U:isungen von Oglen, siehe Liapunov - Stabilitat station~rer Punkt 68-71, 74f, 82f Stetigkeit 10ff Substitute 12, 23f Superpositionsprinzip 1, 148, 157

technischer Fortschritt - arbeitsvermehrender 117f - Ausbreitung des 129ff - Harrod - neutraler 116f - Hicks - neutraler 119ff - kapitalvermehrender 122 - produktvermehrender 118 - Solow - neutraler 121f Trennung der Variablen 114ff, 121, 129, 153, 177, 182

Variation der Konstanten 159f Variationsrechnung 184-194

Wachs tum - allometrisches 128 - konstanter Rate 122f - logistisches 124ff, 130 - organisches 127f Wachstumsrate - der Arbei t 29 - des Kapitals 29 - des Sozialprodukts 29 Wei bull - Funktion 129 Winkelfunktionen 4 Wronski - Determinante 158f

226

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo

M.J.Beekmann, H.P.KIiDzi

Mathematik fUr Okonomen I Differentialreclmung und Integralrechnung von Funktionen einer Veriinderlichen U nter Mitwirkung von R. Landtwing 2. Aufiage. 1973. 103 Abbildungen. XIV, 230 Seiten (Heidelberger Taschenbiicher, Band 56) DM26,-ISBN 3-540-06252-1

Inhaltsflbersicht: Zahlen, Mengen und Funktionen. -Differentialrechnung. - Diskussion von Funktionen. -Die Integralrechnung. - Reihen

Die vorliegende Darstellung der Grundlagen der Analy­sis - soweit sie zur Behandlung wirtschaftswissenschaft­licher Fragen benotigt wird - zeichnet sich durch eine engeVerbindung der mathematischen Theorie mit wirt­schaftswissenschaftlichen BegrifTen und Anwendungs­beispielen aus. Die damit erzielte Motivation erleichtert das Verstiindnis und die Ubertragung der mathemati­sehen Methoden auf die Uisung praktischer Probleme.

M.J.Beckmann, H.P.KIiDzi

Mathematik fUr Okonomen II Lineare Algebra Uoter Mitwirkung von R. Landtwing 1973.8 Abbildungen. XII, 160 Seiten (Heidelberger Taschenbiicher, Band 117) DM24,-ISBN 3-540-06052-9

Inhaltsflbersicht: Lineare Riiume. - Lineare Abbildun­gen und Matrizen. - Determinanten. - Quadratische Matrizen. - Lineare Gleichungssysteme. - Eigenwert­probleme. - Lineare Differenzengleichungen - Input­Output-Theorie. - LineaJ'P. Optimierung.

In diesem Band werden die fUr Wirtschaftswissenschaft und Untemehmungsforschung wichtigen Teile der linearen Algebra unter Hinzuziehung zahlreicher ~ei­spiele entwickelt und ausfiihrlich diskutiert. Der Band weist dieselben didaktisehen Vorziige wie der iiberaus gut aufgenommene Band 1 (Differential- und Integral­rechnung einer Veriinderlichen) auf.

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo

Mathematik fiir ~Drtscbafts~ssensc~erI Lineare Algebra Von T.GaI, H.-J.Kruse, B. Vogeler, H. Wolf 1983. 59 Abbildungen. XIII, 298 Seiten DM36,-ISBN 3-540-12450-0 Inhaltsflbersicht: Einleitung. - Vektorrechnung. - Geo­metrie im RD. - Matrizemechnung. - Lineare Glei­chungssysteme. - Lineare Ung1eichung~systeme und konvexe Polyeder. - Losungen zu den Ubungsaufga­ben. - Algorithrnen mit FluBdiagrammen. - Literatur­verzeichnis. - Sachverzeichnis.

Mathematik fiir ~Drtschafts~ssenschaftler n Analysis Von T.GaI, H.-J.Kruse, G.Piehler, H. Wolf, B. Vogeler 1983. 103 Abbildungen. XX, 383 Seiten DM45,-ISBN 3-540-12566-3 InhaItsilbersicht: Einleitung. - Funktionen einer Varia­bIen. - Differentialrechnung fdr Funktionen einer Variablen. - Differentialrechung fdr Funktionen mehre­rer Variablen. - Extrema bei Funktionen mehrerer Variablen. - Integralrec~ung. - Differentialgleichun­gen. - Losungen zu den Ubungsaufgaben. - Algorith­mus zur Bestimmung von lokalen Extrema und Sattel­punkten. - Literaturverzeichnis. - Sachverzeichnis.

Mathematik fiir ~Drtschafts~ssensc~er m T.GaI Lineare Optimiemng 1983. 12 Abbildungen. XVI, 106 Seiten DM 18,80 ISBN 3-540-12662-7 Inhaltsilbersicht: Einleitung. - Lineare Programmie­rung Teill. ~ Lineare Prograrnmierung Teil2. - Losun­gen zu den Ubungsaufgaben. - Algorithmen und FluB­diagramme. - Literaturverzeichnis. - Sachverzeichnis. Die vorliegenden Bande tiber Mathematik fdr WJrt­schaftswissenschaftler basieren auf langjiihrigen Erfah­rungen mit dem gleichnarnigen Kurs der Femuniversi­tiitHagen.