Liceo Scientifico “G. Salvemini” · Insiemi numerici e potenze ... Liceo Scientifico “G....

Liceo Scientifico “G. Salvemini” Corso di preparazione per i test di ammissione universitari

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MATEMATICA - LEZIONE 1 ALGEBRA

Relatore prof. re CATELLO INGENITO


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Sommario della lezione

Insiemi numerici e potenze Espressioni algebriche Scomposizione e frazioni algebriche

Equazioni e disequazioni Valori assoluti e radici


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INSIEMI NUMERICI


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CLASSIFICAZIONE DEI NUMERI REALI


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RETTA REALE

ESISTE ANCHE UNA EQUIVALENZA TRA LA RELAZIONE D’ORDINE STRETTO DEI NUMERI REALI E DEI PUNTI DELLA RETTA


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PROPRIETA’ DELLE 4 OPERAZIONI


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Numeri primi e numeri composti

• Un numero naturale >1 si dice primo se è divisibile soltanto per se stesso e per 1.

• Un numero naturale >1 che non è primo si dice composto.

• Teorema fondamentale dell’aritmetica: Ogni numero composto ammette un’unica rappresentazione come prodotto di fattori primi, a meno dell’ordine di fattori


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M.C.D

• Massimo comune divisore. Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri interi è il più grande numero naturale tra i divisori comuni a tutti i numeri dati.

• Algoritmo per il calcolo del MCD. Per calcolare il massimo comune divisore tra due o più numeri, non eccessivamente grandi, si scompongono in fattori primi i numeri e si moltiplicano i fattori comuni, una sola volta, con il minimo esponente.

• Esempio: MCD(150,120) = 30. Infatti, 150 = 2⋅3⋅52 ; 120 = 23⋅3⋅5. I fattori comuni con il minimo esponente sono 2, 3, 5.


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M.C.D

• Algoritmo di Euclide per il calcolo del MCD. Per il calcolare il massimo comune divisore tra due numeri naturali a e b, si controlla se b è zero. Se lo è, il MCD è a. Se non lo è, si divide a : b. Indicato con r il resto della divisione si ha: se r = 0, il MCD è b, altrimenti si ripete il procedimento con i numeri b ed r.

• Esempio: Per calcolare MCD(150,120) si divide 150:120, si ha quoziente 1, resto 30. Si divide 120:30 si ha quoziente 4 resto 0. Il MCD è 30.

• Numeri coprimi. Due numeri si dicono primi tra di loro o coprimi se non hanno nessun divisore comune eccetto 1 o equivalentemente se il loro MCD = 1.


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m.c.m

• Il minimo comune multiplo tra due o più numeri interi è il più piccolo tra i multipli comuni a tutti i numeri dati.

• Algoritmo per il calcolo del mcm. Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri non eccessivamente grandi, si scompongono in fattori primi i numeri e si moltiplicano i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con il massimo esponente.

• Esempio: mcm(18,20) = 180 Infatti, 18 = 2⋅32 e 20 = 22⋅5 Il mcm è dato da 22⋅32⋅5 =180


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Proprietà delle potenze


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Proprietà delle potenze

00 è una forma

indeterminata!


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Una derivata:

Una buona palestra per il calcolo algebrico: le derivate (e gli integrali!)

Calcoliamo la seguente:


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Esempio:

Architettura 2008


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Esempio:

Odontoiatria 2002

Ricorda che 00 è forma indeterminata!


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Potenze di 10


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Esempio:

Medicina 2003


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x = 3 × 10m and y = 5 × 10n where m and n are integers. Which of the following is an expression, in scientific notation, for xy? A) 1.5 × 10mn+1

B) 1.5 × 10m+n+1

C) 8 × 10m+n

D) 15 × 10m+n1

E) 1.5 × 10 mn

Esempio:

Medicina in Inglese 2016


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Somma algebrica di potenze

• Due o più potenze si possono sommare algebricamente solo se sono simili, cioé se hanno la stessa base e lo stesso esponente:

2·3-7 + 3·3-7 = 5·3-7

• Per sommare algebricamente potenze non simili ma con la stessa base, trasformarle prima in potenze simili:

5·315 - 3·314 = 5·3·314 - 3·314 = 15·314 - 3·314 = 12·314

• Potenze con base diversa non si possono sommare:

172 + 72 = invariato


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Esempio:

Veterinaria 2011

3130 333


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Proporzioni

Una proporzione è un’uguaglianza di

rapporti.

Esempio di proporzione geometrica


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Proporzionalità diretta

• la formula che le lega ha la forma: y = k x

• il grafico è una retta che passa per l’origine.

Due variabili y e x sono direttamente

proporzionali se il loro rapporto è costante:


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Proporzionalità inversa

• la formula che le lega ha la forma: y = k / x

• il grafico è una ramo di iperbole equilatera.

Due variabili y e x sono inversamente

proporzionali se il loro prodotto è costante:

xy = k


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Percentuali

La percentuale è un rapporto che ha come denominatore 100.

In una classe di 25 persone 20 hanno il telefonino. Quanti ragazzi in percentuale hanno il telefonino?

La variazione percentuale :


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Monomi e Polinomi

Con le proprietà delle potenze si svolgono anche le operazioni con monomi e polinomi:

Stesse regole dei numeri


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Prodotti notevoli


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Potenza del binomio

Triangolo di TARTAGLIA

n! = 1·2· … ·n


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Esempio


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Scomposizione di polinomi


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Frazioni algebriche

Semplificazione

divisori primi di x4- 8x2y2+ y4

divisori primi di x6-y6


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Frazioni algebriche

Somma algebrica

mcm


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E(o)rrori da evitare!

2

3

x2 + y2 = (x + y)(x - y) x2 +2x +4 = (x + y)2


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Regola del resto

Consideriamo un polinomio P(x) di grado > 1

Se P(x) ammette come divisore il binomio (x-a) ..

Es. P(x) = 3x3 + 8x2 - 1

.. il valore razionale a appartiene necessariamente alle frazioni formate dai divisori del termine noto e dai divisori del primo

coefficiente. Tale valore detto zero o radice del polinomio, sostituito alla x, annulla il polinomio

Es. 1 - 1/3 P(1) = 3 + 8 – 1=10 0 P(-1) = -3 + 8 – 1 = 4 0

P(1/3) = 1/9 + 8/9 – 1 = 0

Il polinomio 3x3 + 8x2 – 1 è divisibile per il binomio (x-1/3) o (3x-1)

RESTI DELLA DIVISIONE TRA P(x) e (x-a)


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Regola di Ruffini

Scomponiamo il polinomio con la REGOLA DI RUFFINI

3 8 0 - 1

1/3

3

1

9

3

3

1

0

3x3 + 8x2 – 1 = (x - 1/3)(3x2 + 9x + 3) = (3x - 1)(x2 + 3x + 1)

Trinomio irriducibile perché non esistono due numeri relativi la cui somma sia 3 e il cui prodotto sia 1.

Oppure, usando la regola del resto, perché P(-1) e P(1) 0


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IDENTITA’ E DISUGUAGLIANZE

Esiste un’identità tra due espressioni algebriche:

A = B

se esse sono riconducibili alla stessa espressione

Una disuguaglianza tra due espressioni ha significato se esiste una relazione d’ordine tra le espressioni:

A < B A B A > B A B

Identità e disuguaglianze hanno un valore di verità: VERO (VERIFICATA)

FALSO (NON VERIFICATA)


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PROPRIETA’ DI IDENTITA’ E DISUGUAGLIANZE

1) I membri di una IDENTITA’ (DISUGUAGLIANZA) possono essere moltiplicati o divisi per un numero positivo senza cambiare valore

Es. 2x2 – 4x + 2 = (<) 0 4x2 – 8x + 4 =(<) 0 x2 – 2x + 1 =(<) 0

2) I membri di una IDENTITA’ possono essere moltiplicati o divisi per un numero negativo senza cambiare valore

Es. 2x2 – 4x + 2 = 0 -4x2 + 8x - 4 = 0 – x2 + 2x - 1 = 0

3) Se si moltiplicano i membri di una DISUGUAGLIANZA per un numero negativo il segno cambia verso (il valore di inverte)

Es. 2x2 – 4x + 2 < 0 -4x2 + 8x - 4 > 0

4) In una IDENTITA’ (DISUGUAGLIANZA) al primo e al secondo membro si possono sommare o sottrarre gli stessi numeri reali

senza che essa cambi il proprio valore

Es. x + 1 =(<) 0 x + 1 - 1 =(<) -1 x =(<) -1


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EQUAZIONI DI 1° GRADO

Applicando le precedenti proprietà risolviamo le equazioni di 1° grado:

ax + b =0 x = con a 0 a

b

Risolvere un’equazione significa trovare uno o più valori reali che verificano l’identità. Verifica:

a + b =0 -b +b = 0 0 = 0

a

b


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DISEQUAZIONI DI 1° GRADO

ax + b >0 x > con a >0 a

b

Analogo procedimento per , < ,

ax + b >0 x < con a <0 a

b

Analogo procedimento per , < ,


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FORME NON DETERMINATE

I metodi precedenti non si applicano se a = 0

Per le equazioni abbiamo due casi:

0x = 0 EQUAZIONE INDETERMINATA ( SOLUZIONI)

0x = b EQUAZIONE IMPOSSIBILE (0 SOLUZIONI)

Per le disequazioni valutare il valore di verità della disuguaglianza:

0x < 0 impossibile indeterminata 0x 0

0x < 3 indeterminata impossibile 0x -1

0x > 5 impossibile indeterminata 0x 10


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SISTEMI LINEARI (EQU. DI 1° GRADO)

0

0

111 cybxa

cbyax Equazioni di due rette sul piano

cartesiano

Il sistema è determinato se le due

rette sono incidenti (m m’)

1

1

b

a

b

a

11 b

b

a

a

Il sistema è impossibile se le due rette sono parallele (m = m’)

1

1

b

a

b

a

111 c

c

b

b

a

a

Il sistema è indeterminato se le due rette sono

coincidenti

111 c

c

b

b

a

a


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Esempio:

Odontoiatria 2007


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METODO DI SOSTITUZIONE

Forma canonica


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METODO DEL CONFRONTO


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METODO DI RIDUZIONE

Proprietà: una combinazione lineare di identità è ancora una identità vera.


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MATRICE DEL SISTEMA LINEARE

Il sistema è determinato se la matrice del sistema è 0

011

ba

ba

11 b

b

a

a

0

0

111 cybxa

cbyax


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METODO DI CRAMER


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Esempio

Ingegneria 2002

Impostiamo un sistema lineare: x = anni di Matteo oggi y = anni di Sara oggi

yx

yx

54

)3(23

054

092

yx

yx

Il sistema è determinato ma potrebbe avere soluzioni non accettabili (negative). Tuttavia

nessuna delle risposte è compatibile con questa ipotesi, quindi la risposta è sicuramente:

05)92(4

92

yy

yxRisolviamo comunque il sistema con uno dei 4

metodi:

12

15

y

x


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SISTEMI LINEARI A TRE INCOGNITE

terzo


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VALORE ASSOLUTO

Sia a R

Si definisce valore assoluto (o modulo) di a:

0

0

a

a

sea

seaa


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RADICALI ALGEBRICI

Si definisce RADICE n-esima di un numero reale a, se esiste, il/i valore/i b:

abab nn

indice radicando

pari

dispari

n

nR

a

a

sean

0

NON HA SIGNIFICATO

0 a aa 1 aa 2


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OPERAZIONI CON I RADICALI


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OPERAZIONI CON I RADICALI

NB - Anche per i radicali, come per potenze e monomi, la somma algebrica è possibile solo se sono

SIMILI !


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Esempio:

Farmacia 2013

2552

10

64

1000000

1000000

64 23

63

1

3

1


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SEMPLIFICAZIONE DELLA RADICE QUADRATA

Sia n = 2 (o pari) La semplificazione della radice n-esima è:

x

x

x

1lim

2

xxn n

Esempio: calcoliamo il seguente limite:

x

xx

x

x

xx

2

2

2

11

lim1

lim

11

1lim

11

lim

11

lim2

22

xx

xx

x

xx

xxx


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RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI

Razionalizzare un DENOMINATORE significa renderlo RAZIONALE

Caso 1 a

ab

a

a

a

b

a

b

Caso 2 a

ab

a

a

a

b

a

b n mn

n mn

n mn

n mn m

5

5 2

5 2

5 2

5 325

5

55

5

5

5

5

5 125

5


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RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI


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RADICALI DOPPI


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Esempio

Architettura 2012

5

10

10

10

10

2

10

2

10

44,0


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Esempio

Architettura 2007

55)12(5 a


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EQUAZIONI DI 2° GRADO

ax2 + bx + c = 0

Formula risolutiva completa: a

acbb

a

bx

2

4

2

2

Discriminante

Formula risolutiva ridotta:

a

acbb

a

b

x

2

2242

0

0

0 2 soluzioni reali distinte

1 soluzione reale doppia

nessuna soluzione reale


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EQUAZIONI DI 2° GRADO INCOMPLETE

ax2 + bx = 0 Spuria:

a

bx

x

baxxbxax

2

12

0

0)(Ammette sempre due radici reali di cui una

nulla ( > 0)

ax2 + c = 0 Pura:

a

cx 2

0

0

0

a

ca

ca

c 2 soluzioni reali opposte ( > 0) a

cx

1 soluzione reale doppia ( = 0) 0x

nessuna soluzione reale ( < 0)


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RELAZIONE TRA COEFFICIENTI E RADICI - SCOMPOSIZIONE

ax2 + bx + c = 0

>0

2 radici reali e distinte x1 e x2

a

bxxs 21

a

cxxp 21 x2 – sx + p = 0

ax2 + bx + c = a(x – x1)·(x – x2)

=0

2 radici reali e coincidenti o una soluzione doppia x1

ax2 + bx + c = a(x – x1)2

<0 Nessuna radice reale

ax2 + bx + c irriducibile


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Esempio

Veterinaria 2017

Risolviamo:

Quali sono i due numeri tali che la loro somma è uguale a 17/4 e il loro prodotto è uguale a 1? A) 3/4; 4/3 B) 6; 1/6 C) 4; 1/4 D) 3/8; 8/3 E) 16/4; 1

2 2171 0 4 17 4 0

4

17 289 64 17 15 14

8 8 4

x x x x

x


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EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2°

Scomponiamo con il metodo di Ruffini:


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EQUAZIONI BINOMIE e TRINOMIE

axn + c = 0 soluznoa

ca

cx

a

cn

0

0

n pari

n

a

cx

n dispari

ax2n + bxn + c = 0 si riconducono alle

binomie:

t = xn at2 + bt + c = 0

Applicare le formule risolutive delle equazioni di secondo grado


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Esempio

Medicina 2004

Il metodo più semplice è quello di provare le tre risposte con

gli zeri (radici):

a - 3 + 1 = 0 a = 2 !

Sconsigliabile provare a discutere l’equazione letterale !


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SISTEMI DI GRADO SUPERIORE AL 1°

Il sistema è di 2° grado. Il grado di un sistema si calcola moltiplicando i gradi delle equazioni


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Esempio

Medicina 2004

Metodo 1 Risolviamo il sistema:

02832130369)816(4

42

22

yy

yyy

yx0364256

4

Metodo 2 Tracciamo retta ed ellisse:

3 -3

-2

2 4

-4


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< 0 -

SEGNO DEL TRINOMIO DI 2° GRADO

a > 0

caso radici p(x)>0 p(x)≥0 p(x)<0 p(x)≤0

> 0 x1 , x2 x < x1 v x > x2 x ≤ x1 v x ≥ x2 x1 < x < x2 x1 ≤ x ≤ x2

p(x) = ax2 + bx + c

= 0 x1 x ≠ x1 x = x1

Rx Rx Rx Rx

Rx Rx

Sostituendo dei valori alla x p(x) assume un segno

Per studiare tale segno risolviamo l’equazione associata:

ax2 + bx + c = 0


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Segno del trinomio con la parabola

Le tabelle per lo studio del segno del trinomio si possono anche dimostrare utilizzando l’equazione della parabola y = ax2 + bx + c

a > 0 – la parabola è rivolta verso l’alto

> 0

x1 x2

= 0

x1

+ -

+ + +

< 0

+

a < 0 – la parabola è rivolta verso il basso

> 0 = 0

- +

-

- -

< 0

- x1 x2


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Esempio

Risolviamo insieme la disequazione: 2x2 + x – 1 > 0

1) Risolviamo prima l’equazione associata: 2x2 + x – 1 = 0

1

21

4

31

4

91

4

811

x

2) Applichiamo la tabella del segno del trinomio con a > 0:



= 0 x1 x ≠ x1 X = X1

< 0 - Rx

Rx

Rx

Rx

Rx Rx

3) Soluzione: x < -1 V x > 1/2

R -1 1/2


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Esempio

Risolviamo insieme la disequazione: - x2 – 3 ≤ 0

1) Risolviamo prima l’equazione associata: x2 + 3 = 0




= 0 x1 x ≠ x1 X = X1

< 0 - Rx

Rx

Rx

Rx

Rx Rx

Cambiamo i segni, invertendo il verso della disuguaglianza : x2 + 3 ≥ 0

x2 = -3 impossibile ( < 0)

3) Soluzione: indeterminata ( x R)


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Esempio

Risolviamo insieme la disequazione: x2 + 6x + 9 > 0

1) Risolviamo prima l’equazione associata: x2 + 6x + 9 = 0

)0(3039622 xxxx




= 0 x1 x ≠ x1 X = X1

< 0 - Rx

Rx

Rx

Rx

Rx Rx

3) Soluzione: x ≠ -3

-3 R


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Esempio

Medicina 2017

Sostituiamo 1 nell’equazione:

L'equazione di secondo grado kx2 – 3kx + (k + 1) = 0, con k ≠ 0, ha una soluzione uguale a –1 per: A) k = –1/5 B) nessun valore di k C) k = –1 D) k = 1 E) k = 3


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Disequazioni di grado > 2

Una disequazione Pn(x) <> 0 con n > 2 deve essere scomposta in fattori:

Pn(x) = Am(x)·Bp(x).. <> 0 di grado massimo 2.

Il segno del polinomio Pn(x) è il prodotto dei segni dei suoi fattori.


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Esempio

Scomponiamo:

2x3 - x2 - x < 0

x(2x2 - x - 1) < 0

Studiamo i due fattori > 0 012

02

xx

x

12

10

xx

x

Riportiamo sulla retta reale i segni dei 2 fattori:

R -1/2 0 1

x

2x2 - x - 1

+ +

+ +

- -

- -

- 2x3 - x2 - x - + +

Soluzione: 102

1 xx


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Esempio

Scomponiamo la biquadratica come trinomio caratteristico :

x4 - 5x2 + 4 0

(x2 – 4)(x2 - 1) 0

Studiamo i due fattori 0 01

042

2

x

x

11

22

xx

xx


Soluzione: 2112 xxx

R -1 -2 1

x2 - 4

x2 - 1

2

- x4 - 5x2 + 4 - + + +


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Esempio

(x +1)(x2-x+1)(4 – 3x2) 0 Scomponiamo:

4x3 - 3x5 + 4 - 3x2 0

(x3 + 1)(4 – 3x2) 0

Studiamo i tre fattori 0

034

01

01

2

2

x

xx

x

33

23

3

2

1

x

Rx

x


Soluzione:

- 4x3-3x5+4-3x2 - + +

R -1

x+1

x2 - x + 1

33

23

3

2

4-3x2

33

213

3

2 xx


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Le soluzioni della disequazione (2 – x)(x + 1)x < 0 sono: A) –1 < x < 0 B) x < –1 oppure 0 < x < 2 C)–1 < x < 0 oppure x > 2 D) x > 2 E) 0 < x < 1 oppure x > 2

Esempio Architettura 2016

- P(x) - + +

R 0

x

2-x

21

x+1


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Disequazioni algebriche fratte

Per risolvere una disequazione fratta

scomporre eventualmente Numeratore e Denominatore

impostare uno studio dei segni di numeratore e denominatore:

La soluzione, come per quelle di grado superiore,

0)(

)(

xQ

xPm

n

0)(

)0(0)(

xQ

xPm

n

è data dagli intervalli concordi col segno richiesto


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Esempio

Studiamo i due fattori > 0 023

01

x

x

2

31

x

x


R -1 3/2

N

D

+ +

+ +

-

+

N/D - + -

Soluzione: 2

31 xx

023

1

x

x


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Esempio

Studiamo N 0 e D > 0 044

09162

2

xx

x

24

3

4

3

x

xx

Riportiamo sulla retta reale i segni di N e D:

Soluzione: 24

3

4

3 xxx

044

9162

2

xx

x

R -3/4 3/4 2

N

D

N/D - + + +


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Esempio

Studiamo N1 e N2 0 e D1 e D2 > 0

01

01

04

012

2

2

2

x

x

x

x

Riportiamo sulla retta reale i segni di N1, N2, D1 e D2:

Soluzione: 212

112 xxx

01

4824

23

x

xxx0

)1)(1(

)4)(12(22

2

xx

xx

11

222

1

xx

Rx

xx

x

R -2 1/2 1

N2

D1

-1 -2

D2

N1

N/D - + + + - -


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Esempio dai test di ammissione

03

6272

x

xx

Architettura 2007

03

13

x03x


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La disequazione (x + 3)/(1 – 2x) > 0 è soddisfatta per: A) x > –3 B) x < –1/2 o x > 3 C) –1/2 < x < 3 D) x < –3 o x > 1/2 E) –3 < x < 1/2


Architettura 2017


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Architettura 2006


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Sistemi di disequazioni

La soluzione è data dall’intersezione delle soluzioni del sistema:

...

0)(

0)(

xB

xA


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Esempio

Risolviamo le due disequazioni:

02

1

x

x

Riportiamo sulla retta reale le due soluzioni:

Soluzione: 12 x

02

012 xx

x

R -2 -1 0

1

2


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Esempio Risolviamo le tre disequazioni:

20

33

11

xx

x

xx

Riportiamo sulla retta reale le tre soluzioni:

Soluzione: 3213 xx

02

09

01

2

2

2

xx

x

x

R -3 0 3

1

2

-1 2 1

3


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Esempio

Verificato che la prima disequazione è impossibile …

02

034

01

32

24

2

xx

xx

x

tutto il sistema è impossibile!

In generale se le soluzioni delle disequazioni di un sistema non si intersecano il sistema è impossibile!


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Esempio Risolviamo separatamente le due disequazioni:

Riportiamo sulla retta reale le due soluzioni:

Soluzione: 031 xx

01

7203 23

x

xxx 0)3(2 xx1

Soluzione: 03 xx03

02

x

x

R 0 3

x2

x-3

2 01

072

x

x R -1 7/2

N

D

Soluzione:

2

71 x

R 0 -1 3

1

2

7/2


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Equazioni e disequazioni irrazionali

n xA )(esiste se A(x) ≥ 0

è sempre ≥ 0 n pari

n xA )(esiste se A(x) esiste

assume il segno di A(x) n dispari

213 2 x 33

3 2 21 x 812 x 33 x

In questi casi equazioni e disequazioni si risolvono senza imporre alcuna

Condizione di Esistenza alla RADICE


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Esempi

Siano: n – un numero positivo A(x) e B(x) – polinomi in x

Nei seguenti metodi, implicitamente o esplicitamente, abbiamo la Condizione di Esistenza: A(x) 0

)( nxA 0)()( xAnxA nxA )(

012 x 12 x

31 x 01x 1x

212 x


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2)()( nxAnxA 2)()( nxAnxA

2)(

0)()(

nxA

xAnxA

Esempi

21 x 41x 5x

132 x 132 x 3

1x

212 x

41

012

2

x

x

52

25

x

x


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)()(

0)(

0)(

)()(2 xBxA

xB

xA

xBxA

Esempio: 11 xx

121

01

01

2 xxx

x

x

0x

3003

1

1

2 xxxx

x

x

non accettabile


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)()(

0)(

0)(

)()(2 xBxA

xB

xA

xBxA

Esempio: xx

x

23

23

3

20

02

xx

xxx

x

3 2x

02

0

023

x

xx

x

0

0

20 3

x

x

xx


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Unione di disequazioni

La soluzione è data dall’unione delle soluzioni:

0)(0)( xBxA

NB – Nei metodi risolutivi delle disequazioni algebriche le soluzioni da unire sono disgiunte!

(Hanno intersezione nulla!)


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)()(

0)(

0)(

0)()()(

2 xBxA

xB

xA

xBxBxA

Esempio: xx 24

xxx

x

x

x

444

02

04

022

0x

50

2

4

2

x

x

x

x

202 xx


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)()(

0)(

0)(

)()(

xBxA

xB

xA

xBxA

Disequazioni più complesse vanno ricondotte ai casi

precedenti


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Equazioni e disequazioni con modulo

Per i metodi successivi siano: n – un numero positivo

A(x) e B(x) – polinomi in x

0

0

NseN

NseNN

è sempre ≥ 0 )(xA

Ripetiamo la definizione di modulo

(valore assoluto)


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Esempi

nxA )(

RxnxA )(

nxA )(

12 2 x

152 x

122 xx

Impossibile

Sempre verificata

Impossibile


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nxAnxA )()(

nxAnxAnxA )()()(

nxA

nxAnxA

)(

)()(

12 2 x 12 2 x 13 xx

152 x 132132 xx 13

1 xx

122 xx

12

122

2

xx

xx2121 x

Esempi


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)....(

0)(

)....(

0)(....)(

xA

xA

xA

xAxA

Esempio: 12 xxx

1

0

1

02

2

2

2

xxx

xx

xxx

xx

10 x

Equazione o disequazione con un valore assoluto:

Risolvere l’unione di 2 disequazioni con le ipotesi del segno dell’espressione in valore assoluto:

1

01

11

01

x

x

x

xx

0110 xx


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Esempio: 22 xxx0

02

x

xx

Equazione o disequazione con più valori assoluti:

Studiare i segni delle espressioni in valore assoluto e poi risolvere tanti sistemi quanti sono gli intervalli di segno che si

determinano (seguire l’esempio)

2

1

2

10

2

0222 xxx

x

xxx

x

xxx

x

3111002 xxx

R 0 1

x

x2 - x


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023 x

Architettura 2012

32 x

32

32

x

x

5

1

x

x


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Fine lezione

Grazie per l’attenzione !

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