1 Integrales de Camino de Feynman

R. P. Feynman, Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechan-ics, Rev. Mod. Phys. 20, 367-387 (1948)

1.1 Mecánica Clásica

Se define al operador Lagrangiano como la diferencia entre la energía cinéticay la energía potencial

L(x, x, t) = T (x, x, t)− V (x, x, t). (1)

A su vez, se define la acción o segunda función principal de Hamil-ton Sγ a lo largo de un camino dado por γ = x(t) como:

Sγ =

∫

γ

L(x, x, t)dt.

Para la trayectoria clásica se observa que la acción es un extremo (mín-imo). De esta forma se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange, equiva-lentes a la ecuación de movimiento de Newton:

{∂L∂x− d

dt

[∂L∂x

]}

γcl

= 0, t0 ≤ t ≤ tf (2)

es decir hemos obtenido una ecuación diferencial de segundo orden enel tiempo para el grado de libertad x. Esto se generaliza inmediatamentepara un sistema con N grados de libertad con N ecuaciones, eventualmenteacopladas.

Una alternativa, es la formulación de Hamilton-Jacobi, que busca solu-cionar el problema equivalente de 2N ecuaciones de 1er orden en eltiempo. Identificando al momento:

pn =∂L∂xn

,

se define el Hamiltoniano u operador de energía como:

H =∑

n

pnxn − L,

1

Trayectoria clásica

tft

0

x0

xf

Figure 1: Trayectorias en el plano espacio-temporal, la línea sólida corre-sponde a una trayectoria clásica mientras que la línea a trozos correspondea una posible trayectoria cuántica.

y se obtienen las ecuaciones de Hamilton

xn =∂H∂pn

pn = − ∂H∂xn

Sin embargo, no hay una justificación clara de este principio de extremoque se da en los sistemas clásicos.

Otras expresiones útiles, que damos sin demostración, son

p =

(∂S

∂x

)

x0,t0,t

and

(∂S

∂t

)

x0,t0,x

= −H

y similarmente:

p0 = −(∂S

∂x

)

x,t,t0

and

(∂S

∂t0

)

x,t,x0

= H

2

La propuesta de Feynman se basa en que la amplitud de probabilidadproviene de una suma de todas las posibles acciones debidas a las infinitastrayectorias posibles que parten inicialmente en x0 para terminar luego enxf .

ψ(x, t) = A(t)∑

γ

exp

[iSγ�

].

El término A(t) proviene de la condición de normalización:

∫|ψ(x, t)|2 dx = 1.

Puede resumirse el procedimiento realizado por Feynman como:

1. Dibuje "todos" los caminos en el plano espacio-temporal x, t tales queparten en x0, t0 y terminan en xf , tf .

2. Calcule la acción Sγ para cada camino y luego súmelas como factoresde peso estadístico exp [iSγ/�] .

3. Calcule el factor de normalización A(t).

Experimento de doble rendija:Podemos pensar ahora en un continuo de rendijas. En este caso, el La-

grangiano correspondiente a la n-ésima trayectoria presenta la siguiente ex-presión:

Ln(tI) =m

2

(xn − x0tI − t0

)2,

donde tI es el tiempo intermedio, éste corresponde al tiempo en que sellega a la rendija. Para este Lagrangiano se tiene que la acción vendrá dadapor:

Sn =m

2

y2n + x20(tI − t0)2

(tI − t0),

se tiene pues una dependencia cuadrática en la distancia respecto de laposición de la rendija n = 0, correspondiente a la trayectoria clásica.

Puede verse que para la rendija central ya hay un valor no nulo en laacción. Además, cuando el valor de la acción excede la cantidad 2π� los

3

ψ = φ1 + φ

2

Doble rendija:Interferencia entre dos caminos

φ2

φ1

xfx

0

Figure 2: Posibles trayectorias en un experimento de doble rendija. La am-plitud final resulta de la interferencia en ambos caminos.

pesos vuelven a repetirse. Podemos ver además cómo van variando estospesos o fases a medida que nos alejamos de la trayectoria clásica.

En este sentido se tiene que los caminos que están lejos del camino clásicono contribuyen demasiado pues la fase atribuida varía rápidamente y prome-dian a cero. Con esto se tiene que cuando las dimensiones del sistema sehacen cada vez más grandes, sólo sobrevive la fase del camino clásico.

Así pues, si tomamos la comparación entre la acción clásica y cuántica porun sistema caracterizado por un incremento espacial ∆x = 1 cm, incrementotemporal ∆t = 1 s y masa m = 1 g. La trayectoria clásicaγcl. sería una recta.Tambien consideramos una trayectoria no permitida clasicamente γ2

x = x0 +(xf − x0)

(tf − t0)(t− t0) → Scl. =

x = x0 +(xf − x0)

(tf − t0)2(t− t0)

2 → S2 =

En este caso, la variación entre la acción clásica y de un camino cuántico esδScl = 1 erg s ∼ 1027�.

En contraste, si ahora tomamos una masa dem = 10−27g, entonces δScl =

4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

h

Sn

n

Figure 3: Acción debida a cada trayectoria correspondiente a las distintasrendijas.

�/6. Es claro aquí que deben tenerse en cuenta todos los caminos entreambas trayectorias.

1.2 Partícula Libre

Aproximamos la amplitud de probabilidad tomando unicamente la trayec-toria clásica. De esta forma se tiene una función de Green (propagador dex0, t0 a xf , tf ) de la forma:

K(xf , tf ;x0, t0) = A′ exp

[iScl�

]

Tomamos aquí para esta trayectoria clásica:

x(t) = x0 +xf − x0tf − t0

(t− t0)

v(t) =xf − x0tf − t0

5

De esta forma, la acción sobre este recorrido viene dado por

Scl =

∫ tf

t0

L(t)dt = m

2

(xf − x0)2

tf − t0

Nos resta calcular entonces el término de normalización A′, para ellodebemos tener en cuenta el siguiente límite que en nuestro caso se da en laamplitud de probabilidad para tf → t0:

δ(xf − x0) = lim∆→0

1

(π∆2)1/2exp

[−(x− x0)

2

∆2

],

identificando entonces al término de normalización como A′ = ∆ se tiene:

A′ =

[m

2πi�(tf − t0)

]1/2.

Por lo tanto, se tiene la expresión exacta en la amplitud de probabilidad:

K(x, t; x0, t0) =

[m

2πi�(tf − t0)

]1/2exp

[im

2�

(x− x0)2

t− t0

]

Este tipo de resultados exactos a partir de la expresión de Feynman,también pueden obtenerse para potenciales de la forma:

V (x, x, t) = a+ bx+ cx2 + dx+ exx.

Veremos ahora en general a aquellos caminos que minimizan la acción.En este sentido, se tiene que la suma de caminos debe expresarse en términosde una integral funcional:

∑

γ

exp [iSγ/�] −→∫exp

[iS[x(t)]/�

]D[x(t)]

Una interesante opción que podemos tener en cuenta aquí es discretizarel tiempo. De esta forma se tiene que si el número de intervalos tem-porales desde t0 hasta tf es N , entonces el incremento temporal es δt =(tf − t0)/N −→ tn = t0 + nδt. Expresamos por xn a la coordenada x altiempo tn, es decir xn = x(tn).

6

Para el caso de la partícula libre, se tiene que la acción viene dada entoncescomo:

S =

∫ tf

t0

mx2

2dt,

por lo tanto, sobre un camino γ posible se tiene:

Sγ =N−1∑

n=0

m

2

(xn+1 − xn

δt

)2δt.

De esta forma, se observa que el propagador K vendrá dado por:

K(xN , tN ; x0, t0) = limN→∞δt→0

A

∞∫

−∞

dx1 . . .

∞∫

−∞

dxN−1 exp

[im

2�

N−1∑

n=0

(xn+1 − xn)2

δt

]

Haciendo el cambio:

yn =[ m

2�δt

]1/2xn,

reescribimos:

K = limN→∞δt→0

A′∞∫

−∞

dy1 . . .

∞∫

−∞

dyN−1 exp

[

−N−1∑

n=0

(yn+1 − yn)2

i

]

,

donde A′ =

[2�δt

m

](N−1)/2A. Veamos pues la primer integral:

∞∫

−∞

dy1 exp

[−(y2 − y1)

2 + (y1 − y0)2

i

]

=

(iπ

2

)1/2exp

[−(y2 − y0)

2

2i

]

Ahora integramos para y2, entonces debemos tenr en cuenta este términoy el siguiente, (y3 − y2)

2:

(iπ

2

)1/2 ∞∫

−∞

dy2 exp

[−(y3 − y2)

2

i

]exp

[−(y2 − y0)

2

2i

]

=

((iπ)2

3

)1/2exp

[−(y3 − y0)2

3i

].

7

Se tiene pues una recurrencia en las integrales de forma tal que podemosexpresar el término genérico de la forma:

(iπ)(N−1)/2

N1/2exp

[−(yN − y0)

2

N i

]

Por lo tanto, se tiene para el propagador:

K(xN , tN ; x0, t0) = A

[2π�iδt

m

](N−1)/2exp

[im(xN − x0)

2

2�Nδt

],

identificando en este caso:

A =1

B=

[2π�iδt

m

]1/2,

se tiene que integración en caminos viene dada por:

∫D[x(t)] = lim

N→∞δt→0

1

B

∞∫

−∞

dx1B

. . .

∞∫

−∞

dxN−1B

.

1.3 Versión diferencial

La integral de camino nos da, para un paso temporal δt, la siguiente expre-sión:

ψ(x, δt) =

∞∫

−∞

K(x, δt; x′, 0)ψ(x, 0)dx′

En esta expresión, el potencial asociado se calcula en el valor medio (x+x′)/2. Así:

ψ(x, δt) =[ m

2πi�δt

]1/2∞∫

−∞

exp

[im(x− x′)2

2�δt

]exp

[−iδt�V (

x+ x′

2, 0)

]ψ(x, 0)dx′

Para diferencias en la posición δx = x − x′ grandes, la fase varía rápi-damente y se promedia a cero, entonces podemos realizar una expansión enla amplitud de forma tal que sólo se consideren δx chicos. En este sentido,tomamos:

ψ(x+ δx, 0) = ψ(x, 0) + δx∂ψ

∂x+δx2

2

∂2ψ

∂x2+ . . .

8

En el término con energía potencial se tiene pues la expansión:

exp

[−iδt�V (x+

δx

2, 0)

]= 1− iδt

�V (x, 0)V (x+ δx, 0) +O(δxδt),

por lo tanto tenemos para la amplitud:

ψ(x, δt) =[ m

2πi�δt

]1/2∞∫

−∞

exp

[imδx2

2�δt

][1− iδt

�V (x, 0)+

+δx∂

∂x+δt2

2

∂2

∂x2

]ψ(x, 0)dδx.

Realizando esta integral se tiene la expresión:

ψ(x, δt) = ψ(x, 0) + iδt

�

[− �

2

2m

∂2

∂x2+ V (x, 0)

]ψ(x, 0),

es decir, hemos reobtenido la ecuación de Schrödinger a partir de la inte-gral de camino de Feynman.

1.4 Resolución Numérica por Trotter-Suzuki

Tomando el parámetro λ = (t− t0)/�, se tiene para el operador de evolución:

U = exp[−iλH

]=

(exp

[−i λN(T + V )

])N.

Nos preguntamos por el caso no trivial, donde los operadores de energíacinética y potencial no conmutan, es decir:

[T , V

]= T V − V T = 0,

y recordando las propiedades en el operador exponencial, se llega a la expre-sión usual del operador evolución o propagador:

exp

[−i λN(T + V )

]= exp

[

−iλTN

]

exp

[

−iλVN

]

exp

[

i 12

(λ

N

)2 [T , V

]]

,

= e−iλTN e−i

λVN

1 + i2

(λ

N

)2 [T , V

]

︸ ︷︷ ︸O( λN )

2

+ . . .

9

donde cada uno de los operadores de evolución, por separado, son operadores

unitarios. Al tirar terminos en(λN

)2y superiones estamos haciendo una

excelente aproximación para N grandes. Al multiplicar N de estos términos

la correccion será del orden N(λN

)2 [T , V

]−→N→∞

0, si el conmutador[T , V

]

no es demasiado raro.En este sentido, es posible quedarnos con solo los primeros dos térmi-

nos no solo con una buena aproximación sino que además, conservando launitariedad!. Entonces hallar una expresión para el propagador:

K(t, t0) = Θ(t− t0) limN→∞

[e−i

λTN e−i

λVN

]N

= Θ(t− t0) limN→∞

∞∫

−∞

dx1 . . .

∞∫

−∞

dxN−1

N−1∏

j=0

〈xj+1| e−iλTN e−i

λVN |xj〉 .

En este caso, la evolución entre cada slice temporal se obtiene a partir delas evoluciones debidas a los operadores de energía potencial y cinética porseparado.

Este constituye la base del método de Trotter-Suzuki, que consiste endividir el Hamiltoniano en componentes que sabemos resolver. En este casoenergía cinética (solución de partícula libre que hallamos la clase pasada) y laevolución conteniendo solo la enegía potencial y hacer su evolucion en slicestemporales. Suzuki demostró teoremas acotando el error. El método es muyefectivo para una evolución numérica. Ver la home-page:

www.lanais.famaf.unc.edu.ar/loschmidtpara ver películas de funciones de onda en sistemas caóticos realizadas

por este método.Muy importante, si uno usa intervalos temporales finitos la evolución

es solo una aproximación, sin embargo la evolución es siempre unitaria,lo cual nos asegura que abrá algún Hamiltoniano, quizas ficticio, que originadicha evolución.

1.5 Aproximación de fase estacionaria

Nos preguntamos entonces cómo afecta la trayectoria clásica a la amplitudde probabilidad. En este sentido veremos un modelo de aproximación enesta sección. Anteriormente hemos visto para la integral de la acción una

10

expresión de la forma:

F (λ) =

∞∫

−∞

dt exp [iλf(t)] ,

donde λ es grande pues tomamos que la unidad de acción � es pequeña.Consideramos entonces que esta función f (t) cumple con la condición deextremo, impuesta sobre la acción debida a trayectorias clásicas:

f ′(t) =∂f (t)

∂t= 0,

y realizamos una expansión hasta segundo orden en t de esta función:

F (λ) ≃∞∫

−∞

dt exp

[iλ

(f(t0) +

(t− t0)2

2f ′′(t0)

)].

A fin de evitar la divergencia en la integral anterior, puede introducirseun parámetro de regularización ǫ tal que:

F (λ) ≃ 1√λeiλf(t0) lim

ǫ→0

∞∫

−∞

dτ exp

− ǫ |τ |︸︷︷︸impone conv.

+ f ′′(t0)

=

(2πi

λf ′′(t0)

)1/2eiλf(t0),

donde τ =√λ(t − t0). Además, f(t0) corresponde (a menos de una con-

stante) a la acción mínima de acuerdo a una trayectoria clásica. En el casode que hayan dos o más trayectorias clásicas posibles, entonces éstas tam-bién deben participar en el propagador. Por otro lado, cuando no existe unatrayectoria clásica posible entonces la aproximación que estamos realizandono es adecuada para el cálculo del propagador.

En la discretización temporal, se tiene una acción clásica de la forma:

SN = SN (x, {xj}γ, x0).

Esta notación hace referencia a la acción debida a las trayectorias clásicasque parten inicialmente de x0 y finalizan en x a través de los puntos clásicos

11

{xj}γ de cada slice. Como esta acción es clásica, entonces debe cumplir conel principio de extremo:

∂SN∂xj

= 0 ∀j = 1, 2, . . . N − 1.

Recordando que la acción se expresa como

SN =N−1∑

j=0

m

2

[xj+1 − xj∆t

]2∆t+ V (xj)∆t

Se tienen entonces las ecuaciones:

mxj+1 − 2xj + xj−1

∆t2= −∂V (xj)

∂xjcon j = 1, 2, . . .N − 1.

Es decir son la versión discreta de la ley de Newton.Definiendo como yj = xj−xγj a la diferencia entre un punto arbitrario xj y

el punto xγj correspondiente al punto clásico del j-ésimo slice, expandimos laacción correspondiente a una trayectoria arbitraria en términos de la acciónclásica según:

SN(x, {xj}, x0) ≃ SN (x, {xj}γ , x0) +1

2

N−1∑

i,j=1

(∂2SN∂xi∂xj

)

γ

yiyj.

Por lo tanto, tenemos para el propagador:

KN(x, t;x0, t0) ≃ Θ(t− t0)∑

γ

[mN

2πi�

]N/2exp

[i

�SN (x, {xj}γ, x0)

]×

×∞∫

−∞

dy1 . . .

∞∫

−∞

dyN−1 exp

[i

2�

N−1∑

i,j=1

(∂2SN∂xi∂xj

)

γ

yiyj

]

.

Aquí, el término en la sumatoria puede interpretarse como una matrizque relaciona las posiciones y velocidades entre los “slices” i y j. En estesentido, escribimos:

MN−1i,j =

∆t

m

(∂2SN∂xi∂xj

)

γ

.

12

Sus elementos se encuentran derivando una vez más respecto de xi lasecuaciones en diferencias de arriba. Se tiene así para los elementos diagonales:

ai = 2−∆t2

m

(∂2V

∂x2i

)

γ

.

La matriz que se obtiene entonces es tridiagonal de la forma:

MN−1γ =

a1 −1 0−1 a2 −10 −1 a3

. . .

aN−1

,

de esta manera, podemos expresar lo anterior como:

∞∫

−∞

dy1 . . .

∞∫

−∞

dyN−1 exp

[− 1

2k−→yMN−1

γ−→y]=

(2πk

det(MN−1γ )

)1/2,

donde k es un factor de normalización. De acuerdo a esta expresión, elpropagador toma la forma:

KN(x, t;x0, t0) ≃ Θ(t− t0)∑

γ

[ m

2πi�∆t

]1/2(detMN−1

γ )−1/2.

Para el cálculo del determinante de MN−1γ aprovechamos su forma tridi-

agonal:detMN−1

γ = aN−1 detMN−2γ − detMN−3

γ ,

tal que podemos ir descomponiendo términos en forma sucesiva. De estamanera, para la discretización temporal tj = t0 + j∆t encontramos:

fγ(tj, t0) =∆t

mdetMj

γ,

así pues se tiene:

d2

dt2fγ(t, t0) = −

1

m

(∂2V

∂x2

)

γ

fγ(t, t0), (3)

13

que, en diferencias finitas se expresa según:

fγ(tj+1, t0)− 2fγ(tj, t0) + fγ(tj−1, t0)

∆t2= − 1

m

(∂2V

∂x2j

)

γ

fγ(tj, t0).

Vemos que tiene la forma de una ecuación de movimiento que nos in-teresará evaluar para tN = t. Sin embargo, aparece la derivada segunda delpotencial en lugar de la derivada primera. A qué magnitud física correspon-derá?

Apartémonos un momento de la función fγ(t, t0) y consideremos el La-grangiano del sistema:

L = mx2

2− V (x),

tal que satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange:

d

dt

(∂L∂x

)− ∂L

∂x= 0,

y llamemos Jacobiano J a la variación en la posición respecto del momentoinicial p0:

J =∂x(p0, t)

∂p0,

tal que para un cambio infinitesimal ǫ en el momento inicial se tiene:

Jǫ = x(p0 + ǫ, t) − x(p0, t).

Ahora, derivemos las ecuaciones de Euler-Lagrange respecto de este mo-mento inicial:

d

dt

[∂2L∂x2

dJ

dt

]− J

∂2L∂x2

= md2J

dt2+ J

(∂2V

∂x2

)= 0, (4)

con las condiciones iniciales en J como:

∂x(p0, 0)

∂p0=1

m−→ dJ(p0, 0)

dt=1

m.

Además

J =∂x(p0, t)

∂p0=

∂x(p0, t)

∂

(

−[∂

∂x0S(x, t; x0, t0)

]

γ

) =Legendre

−(

∂x∂x0∂2S(x, t; x0, t0)

)

γ

14

Si comparamos las ecuaciones (3) y (4) puede verse que son idénticas, locual nos dice que el Jacobiano es justamente el término de acción fγ(t, t0).Por lo tanto:

fγ(t, t0) = −(∂2S(x, t;x0, t0)

∂x∂x0

)−1

γ

=∂p0∂x

.

Podemos entonces reescribir al propagador como:

K(x, t;x0, t0) =∑

γ

(1

2πi�

)1/2(det

∣∣∣∣−∂2S(x, t; x0, t0)

∂x∂x0

∣∣∣∣

)1/2

γ

ei

�Sγ(x,t;x0,t0).

(5)Nótese que el prefactor es el determinante de una matriz compuesta por

la derivada segunda de S(x, t; x0, t0) respecto de cada una de las componentesde las posiciones inicial y final.

Por ejemplo en un caso bi-dimensional deberíamos tener.

−∂2S(x, t; x0, t0)

∂x∂x0=

− ∂2S

∂x1∂xo1− ∂2S

∂x1∂xo2

− ∂2S

∂x2∂xo1− ∂2S

∂x2∂xo2

El potencial problema práctico es que estas derivadas se pueden volver di-vergentes.

1.6 Densidad de caminos clásicos.

Si comparamos esta expresión con una función de onda (amplitud de proba-bilidad) tal que:

ψ = AeiS/�,

entonces A2 ∼ ∂2S(x,t;x0,t0)∂x∂x0

corresponde a una probabilidad y debería cumplircon la ecuación de continuidad:

dA2

dt+

∂

∂x

(pA2

m

)= 0,

donde:

p =∂S

∂x

p0 = −∂S

∂x0

15

A su vez teníamos que en la comparación con la ec.(5):

A2 = − ∂2

∂x∂x0S(x, t; x0, t0) =

(∂p0∂x

)

x0

,

por lo tanto:

d2

dt2A2 =

d

dt

(∂p0∂x

)

x0

= − ∂2

∂x∂x0

[d

dtS(x, t; x0, t0)

]=

∂2H∂x∂x0

=∂

∂x

[(∂H∂x0

)

x

]

x0

=∂

∂x

[(∂H∂p

)

x

(∂p

∂x0

)

x

]

x0

=∂

∂x

[p

m

(−∂p0∂x

)]

x0

= − ∂

∂x

(pA2

m

)

x0

.

Es decir que al interpretar al propagador en la aproximación semiclásicacomo una función de onda, el prefactor de la exponencial debería ser laamplitud de probabilidad. Verificamos que efectivamente su cuadrado(derivada de la acción respecto de las posiciones inicial y final), cumple laecuación de continuidad.

2 Puntos conjugados

Habíamos visto anteriormente la expresión para el propagador dada por VanVleck (1928):

K(x, t;x0, t0) =∑

γ

(1

2πi�

)1/2(− ∂2Sγ∂x∂x0

)1/2exp

[iSγ�

]

debe tenerse en cuenta que la derivada de la acción puede presentar divergen-cias en el caso de tener puntos conjugados. Esto es, distintas trayectoriasque se cruzan en un punto para un tiempo tc intermedio. Cuando se cruzanun número infinito de trayectorios este punto se llama foco. En este puntoaparece tal divergencia como consecuencia de la posibilidad de tomar la otratrayectoria en vez de proseguir con la inicial.

Una expresión alternativa que nos muestra nuevamente al propagadorviene dada según Gutzwiller como:

K(r, t; r0, t0) =∑

γ

(1

2πi�

)1/2√

det

∣∣∣∣−∂2Sγ∂r∂r0

∣∣∣∣ exp[iSγ�

]exp

[−iπκγ

2

]

16

donde tomamos matricialmete a la derivada de la acción. En la fase adicional,aparece un término κγ que corresponde al número de autovalores que se hacencero en la matriz o, equivalentemente, al número de divergencias.

Nos preguntamos ahora por la variación de la posición final δxj del j-ésimo slice como consecuencia de un cambio δp0i en el momento inicial deli-ésimo slice. Partimos de la ya conocida expresión:

p0 = −∂Sγ∂x0

de esta forma tenemos:

δp0i =∂2Sγ

∂x0i∂xjδxj = Dijδxj

con lo cual se tiene entonces:

δxj = Jjiδp0i, donde

Jji = D−1ij

En estos puntos conjugados se puede ver que Dij = ∞ y por lo tantoJij = 0.

Veamos ahora estos puntos conjugados en un ejemplo sencillo correspon-diente al oscilador armónico unidimensional. Para este caso tenemos que elHamiltoniano viene dado por:

H = 1

2m

(p2 + ω2oq

2)= E

donde p y q representan al momento y la posición respectivamente, en unidadesde energía. La evolución temporal de estas cantidades se obtienen simple-mente de las ecuaciones de Hamilton:

q(t) = q0 cos(ωot) +p0mωo

sin(ωot),

p(t) = p0 cos(ωot)−mωoq0 sin(ωot),

donde q0 y p0 son la posición y el momento inicial, respectivamente. Asípues, la acción viene dada entonces como:

S(q, t; q0, p0) =1

2 sin(ωot)

[(q2 − q20) cos(ωot)− 2q0q

].

17

0 1 2 3-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

Puntos conjugados

Pos

ició

n x(

t)

Tiempo

p0

p0 + δp

0

Figure 4: Trayectorias conjugadas para un incremento en el momento inicialde δp0.

Supongamos ahora que efectuamos una variación ε en el momento inicial.La variación en el tiempo de la posición ahora vendrá dada según:

q′(t) = q0 cos(ωot) + (p0 + ε) sin(ωot)

Esto nos dice que para los focos t = nπ las trayectorias se cruzan en lospuntos conjugados q′(nπ) = q(nπ) = ±q0. Y dado que la derivada en laacción viene dada por:

∂2S

∂q0∂q= − 1

sin(t),

entonces se ve simplemente que en los focos esta cantidad diverge mientrasque su inversa, J = − sin(tn), se anula.

Llamemos T a la matriz de estabilidad tal que

T =

∂p∂p0

∣∣∣x0

∂p∂x0

∣∣∣p0

∂x∂p0

∣∣∣x0

∂x∂x0

∣∣∣p0

18

Esta matriz, también llamada de Monodromía, hace referencia a la Teoríade Caos ya que nos da información de cuán inestable es el sistema ante loscambios en las condiciones iniciales. La norma de esta matriz resulta:

‖T‖ ∼ eλt,

donde λ es un parámetro propio del sistema conocido como exponente deLiapunov.

Antecedentes históricos en el estudio del Caos Cuántico

2.1 Representación de valores iniciales

W. H. Miller, J. Phys. Chem A 2001, 105, 2942-2955J. Vanicek and E. J. Heller, "Semiclassical evaluation of quantum fi-

delity", Phys. Rev. E, 68, 056208 (2003).Sea Cfi una función de correlación definida como:

Cfi =

∫dx

∫dx0ψ

∗

f (x)K(x, t; x0, t0)ψi(x0)

=

∫dx

∫dx0ψ

∗

f (x)

[2π�

∣∣∣∣∂x

∂p0

∣∣∣∣

]−1/2exp

[iS

�− iKα

π

2

]ψi(x0)

Pasamos de la coordenada x al momento inicial p0 como:

dx = dp0

∣∣∣∣∂x

∂p0

∣∣∣∣ si∂x

∂p0= 0,

por lo tanto tenemos:

Cfi =

∫dx0

∫dp0ψ(x(x0, p0))

[1

2π�

∣∣∣∣∂x(x0, p0)

∂p0

∣∣∣∣

]1/2×

× exp[iS(x0, p0)

�− iKα

π

2

]ψi(x0),

donde x(x0, p0) está definido mecánicamente. Cabe notar que como:

∂x(x0, p0)

∂p0= 0

en los puntos conjugados, entonces esta expresión para la correlación enla función de onda es numéricamente estable.

19

Supongamos entonces un paquete gaussiano de la forma:

ψ(r, 0) =

(1

πσ2

)d/4exp

[i(r− r0)−

1

2σ|r− r0|2

]

Cabe notar que la relación entre el propagador y la función de Greenviene dada simplemente por:

1

i�K(t) = G(t)

La transformada de Fourier es, para t0 = 0, entonces:

G(x, x0, ε) =1

i�

∫∞

0

dteiεt/�K(x, t; x0)

Entonces, para sistemas donde el Hamiltoniano es independiente del tiempose tiene:

G(x, x0, ε) =1

i�

∫∞

0

dt∑

γ

(1

2πi�

)1/2√

− ∂2Sγ∂x∂x0

exp

[iSγ + εt

�

]exp

[−iπKα

2

]

Llamamos acción reducida S0γ a la nueva fase que aparece en la expresiónanterior tal que:

S0γ = Sγ + εt

=∑

i

∫pidxi

donde la suma se realiza sobre las órbitas de Bohr.Podemos entonces representar en términos de esta acción reducida al

resultado semiclásico anterior como:

G(r, r0, ε) =1

i�

(1

2πi�

)(d−1)/2∑

β

A(d)β exp

[iS0γ�− iπηβ

2

],

donde

A(d)β =

√det

∣∣∣D(d)β

∣∣∣

y la matriz viene dada por:

D(d)β =

∂2S0β∂x0i∂xj

∂2S0β∂xj∂ε

∂2S0β∂x0i∂ε

∂2S0β∂ε2

20

3 Classical Stability

Esta sección no esta incluida en el curso QTS 2005The Newton’s law for a particle with mass m under the action of a force

F = −dVdx

described by a potential V is

md2x

dt2= −dV

dx.

Knowing the inital conditions of position xt0 and xt at intiatial time to, anumerical solution of such differential equation often involves an iteration ofthe form

[xt+δtxt+δt

]=

1 δt

− 1mdVdx

δt

xt1

[xtxt

].

Now assume that the inital conditions are known with certain error, whatwould be the error a small time afterward?

[δxt+δtδxt+δt

]=

[1 δt

− 1mdVdxδt 1

] [δxtδxt

].

one sees that if we are interested in the error at a later time t = to+Nδt onemust multiply N time by the matrix above wich has eigenvalues of the formν± = ± λδt. Therefore there are eigenvectors that will expand or contract at

the rate λ =[√

1mdVdx

] 1xof course this eigenvalue depends on the coordinate

x,

[xtxt

]=

N∏

n=1

1 δt

− 1mdV (xn)dx

δt

xtn1

[xtoxto

](6)

= exp

N∑

n=1

ln

∣∣∣∣∣∣

1 δt

− 1mdV (xn)dx

δt

xtn1

∣∣∣∣∣∣

[xtoxto

]

= exp

∫ x

x0

ln

∣∣∣∣∣∣

1 δt

− 1mdV (xn)dx

δt

xtn1

∣∣∣∣∣∣dx

[xtoxto

]

and we might not be easy to obtain the general behavior.

21

As an example let us consider the specific case of an harmonic oscillatorV − = Kx2or an inverted oscillator which potential maximumV + = −Kx2

from which λ± = ω2ox1

m

dV ±

dx= ±x

f ±(t) = limN→∞

(1 +t− toN

λ)Nf ±(to)

= exp [±λ (t− to)] f ±(to)

where

λ =

{iωo for K > 0; i.e.oscillatorωo for K ≤ 0; i.e.hill

This shows that the solution remains stable when the initial condition isaround a potential minimum but it is unstable around a potential maximum.In that case there are two initial conditions that correspond to eingenvectorof the linear transformation of eq.(6).

22