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iÁlgebra Geométrica e Electromagnetismo

“Whenever we define something by use of local coordinates, if we wish the definition to have

intrinsic significance we must check that is has the same meaning in all coordinate systems.”

Theodore Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction, Cambridge University Press,

Cambridge, 2nd ed., 2004, p. 24

“The principle that the product of two vectors ought to describe their relative direction presided

over the definition of the inner product. But the inner product falls short of a complete

fulfillment of that principle, because it fails to express the fundamental geometric fact that two

non-parallel lines determine a plane, or, better, that two non-collinear directed segments

determine a parallelogram. The possibility of giving this important feature of geometry a direct

algebraic expression becomes apparent when the parallelogram is regarded as a kind of

«geometric product» of its sides. But to make this possibility a reality, the notion of number

must again be generalized.”

David Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics, Kluwer Academic Publishers,

Dordrecht, 2nd ed., 1999, p. 21

“Adding together a scalar and a bivector doesn’t seem right at first – they are different types of

quantities. But it is exactly what you want an addition to do! The result of adding a scalar to a

bivector is an object that has both scalar and bivector parts, in exactly the same way that

addition of real and imaginary numbers yields an object with both real and imaginary parts. We

call this latter object a ‘complex number’ and, in the same way, we shall refer to a (scalar +

bivector) as a ‘multivector’, accepting throughout that we are combining objects of different

types.”

Stephen Gull, Anthony Lasenby and Chris Doran, “Imaginary Numbers are not Real – The

Geometric Algebra of Spacetime,” Foundations of Physics, Vol. 9, No. 9, pp. 1175-1201,

September 1993.

Carlos R. Paiva ii

“Geometric algebra provides us with an invertible product for vectors.”

Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, Cambridge University

Press, Cambridge, 2003, p. 167

“To the few mathematicians familiar with the term, «Clifford Algebra» refers to a minor

mathematical subspecialty concerned with quadratic forms, just one more algebra among many

other algebras. We should not bow to such a myopic view of our discipline. I invite you, instead,

to join me in proclaiming that Geometric Algebra is no less than a universal mathematical

language for precisely expressing and reasoning with geometric concepts. «Clifford Algebra»

may be a suitable term for the grammar of this language, but there is far more to the language

than the grammar, and this has been largely overlooked by the strictly formal approach to

Clifford Algebra.”

David Hestenes, “Differential Forms in Geometric Calculus,” in F. Brackx, R. Delanghe and H.

Serras, Eds., Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, Kluwer

Academic Publishers, Dordrecht, pp. 269-285, 1993

iiiÁlgebra Geométrica e Electromagnetismo

ÍNDICE

Bibliografia 6

Capítulo 1

Introdução 10

Capítulo 2

Álgebra geométrica do plano ?

2.1 Corpo ?

2.2 Espaço linear

2.3 Funções lineares

2.4 Álgebra e estruturas quadráticas

2.5 Álgebra geométrica do plano

2.6 Produto exterior

2.7 Números complexos e álgebra geométrica

2.8 Reflexões e rotações

Capítulo 3

Álgebra geométrica do espaço

3.1 Vectores e bivectores

3.2 Trivectores

3.3 Produto exterior e produto externo

3.4 Dual de Hodge

3.5 Álgebra exterior de Grassmann

3.6 Álgebra geométrica de Clifford

3.7 Produto geométrico

3.8 Involuções

3.9 Contracção à esquerda e contracção à direita

3.10 Reflexões

3.11 Rotações

3.12 Funções lineares, valores próprios e vectores próprios

3.13 Funções lineares de multivectores

Carlos R. Paiva iv

3.14 Determinante de uma função linear

3.15 Adjunta de uma função linear

3.16 Funções simétricas e anti-simétricas

3.17 Inversa de uma função linear

3.18 Funções lineares e matrizes

3.19 Os quaterniões de Hamilton

Capítulo 4

Electromagnetismo na álgebra geométrica do espaço

4.1 Equações de Maxwell

4.2 Isotropia, anisotropia e bianisotropia

4.3 Classificação dos meios bianisotrópicos

4.4 Cristais biaxiais e uniaxiais: relações constitutivas

4.5 Interpretação física da anisotropia: cristais biaxiais e uniaxiais

4.6 Magnetoplasma: relações constitutivas

4.7 Meios bianisotrópicos: propagação de ondas electromagnéticas

4.8 Cristais biaxiais e uniaxiais: ondas características

4.9 Magnetoplasma: ondas características

4.10 Rotação de Faraday

4.11 Actividade óptica em meios quirais

4.12 Dispersão espacial

4.13 É possível a existência de meios de Tellegen?

4.14 A equação de Maxwell na álgebra geométrica do espaço

4.15 O paravector potencial do campo electromagnético

Capítulo 5

Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski

5.1 Espaços quadráticos e métrica

5.2 Definição geral de álgebra geométrica do espaço-tempo

5.3 Transformação de Lorentz

5.4 Movimento hiperbólico

5.5 Mecânica relativista

5.6 Dualismo onda-corpúsculo

5.7 Diagramas de Lorentz e de Minkowski

vÁlgebra Geométrica e Electromagnetismo

5.8 Grupo de Lorentz

Carlos R. Paiva vi

Bibliografia principal (álgebra geométrica)

P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors (Cambridge, UK: Cambridge University

Press, 2nd ed., 2002)

C. Doran and A. Lasenby, Geometric Algebra for Physicists (Cambridge, UK: Cambridge

University Press, 2003)

Artigos (álgebra geométrica)

S. Gull, A. Lasenby and C. Doran, “Imaginary Numbers are not Real – The Geometric

Algebra of Spacetime,” Foundations of Physics, Vol. 9, No. 9, pp. 1175-1201, September

1993

J. Lasenby, A. N. Lasenby and C. J. L. Doran, “A Unified Mathematical Language for

Physics and Engineering in the 21st Century,” Philosophical Transactions of the Royal

Society of London, Series A, Vol. 358, No. 1765, pp. 21-39, January 2000

D. Hestenes, “Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of

Physics,” American Journal of Physics, Vol. 71, Issue 2, pp. 104-121, February 2003

D. Hestenes, “Spacetime Physics with Geometric Algebra,” American Journal of Physics,

Vol. 71, Issue 7, pp. 691-714, June 2003

P. Puska, “Covariant Isotropic Constitutive Relations in Clifford’s Geometric Algebra,”

Progress In Electromagnetics Research: PIER 32 – Geometric Methods in

Computational Electromagnetics, pp. 413-428, F. L. Teixeira and J. A. Kong, Eds., EMW

Publishing, Cambridge, MA, 2001

C. R. Paiva and M. A. Ribeiro, “Doppler Shift from a Composition of Boosts with

Thomas Rotation: A Spacetime Algebra Approach,” Journal of Electromagnetic Waves

and Applications, Vol. 20, No. 7, pp. 941-953, 2006

Bibliografia suplementar (álgebras de Clifford e aplicações)

D. Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics (Dordrecht, The Netherlands:

Kluwer Academic Publishers, 2nd ed., 1999)

D. Hestenes and G. Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified

Language for Mathematics and Physics (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1984)

W. E. Baylis, Ed., Clifford (Geometric) Algebras With Applications in Physics,

Mathematics, and Engineering (Boston: Birkhäuser, 1996)

viiÁlgebra Geométrica e Electromagnetismo

R. Abłamowicz and G. Sobczyk, Eds., Lectures on Clifford (Geometric) Algebras and

Applications (Boston: Birkhäuser, 2004)

I. R. Porteous, Clifford Algebras and the Classical Groups (Cambridge: Cambridge


W. E. Baylis, Electrodynamics: A Modern Geometric Approach (Boston: Birkhäuser,

2002)

B. Jancewicz, Multivectors and Clifford Algebra in Electrodynamics (Singapore: World

Scientific, 1988)

C. Chevalley, The Algebraic Theory of Spinors and Clifford Algebras (Berlin: Springer-

Verlag, 1997)

J. Snygg, Clifford Algebra: A Computational Tool for Physicists (New York: Oxford


Bibliografia sobre quaterniões

J. H. Conway and D. A. Smith, On Quaternions and Octonions – Their Geometry,

Arithmetic, and Symmetry (Wellesley, MA: A. K. Peters, Ltd., 2003)

S. L. Altmann, Rotations, Quaternions, and Double Groups (New York: Dover, 2005)

J. B. Kuipers, Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits,

Aerospace, and Virtual Reality (Princeton: Princeton University Press, 1999)

A. J. Hanson, Visualizing Quaternions (San Francisco, CA: Morgan Kaufmann – Elsevier,

2006)

Bibliografia sobre teoria electromagnética

A. B. Henriques e J. C. Romão, Electromagnetismo (Lisboa: IST Press, 2006)

R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics – Vol.

II: Mainly Electromagnetism and Matter (Reading, Massachusetts: Addison-Wesley,

1966)

P. Lorrain, D. Corson, e F. Lorrain, Campos e Ondas Electromagnéticas (Lisboa:

Fundação Calouste Gulbenkian, 2000)

J. A. Kong, Electromagnetic Wave Theory (Cambridge, Massachusetts: EMW Publishing,

2005)

H. J. W. Müller-Kirsten, Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects

(New Jersey: World Scientific, 2004)

J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (New York: Wiley, 3rd ed., 1999)

C. A. Brau, Modern Problems in Classical Electrodynamics (Oxford: Oxford University

Press, 2004)

Carlos R. Paiva viii

C. H. Papas, Theory of Electromagnetic Wave Propagation (New York: Dover, 1988)

L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields (Oxford: Butterworth-

Heinmann, 4th Revised English Ed., 2002)

E. G. Post, Formal Structure of Electromagnetics (Mineola, NY: Dover, 1997)

J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism – Vols. 1 and 2 (New York:

Dover, 1954)

E. J. Rothwell and M. J. Cloud, Electromagnetics (Boca Raton, FL: CRC Press, 2001)

H. F. Harmuth, T. W. Barrett, and B. Meffert, Modified Maxwell Equations in Quantum

Electrodynamics (New Jersey: World Scientific, 2001)

H. C. Chen, Theory of Electromagnetic Waves: A Coordinate-Free Approach (New York:

McGraw-Hill, 1985)

I. V. Lindell, Methods for Electromagnetic Field Analysis (New York: IEEE Press, 1992)

Bibliografia sobre electromagnetismo dos meios complexos

D. K. Kalluri, Electromagnetics of Complex Media: Frequency Shifting by a Transient

Magnetoplasma Medium (Boca Raton, FL: CRC Press, 1999)

J. T. Mendonça, Theory of Photon Acceleration (Bristol, UK: Institute of Physics

Publishing, 2001)

D. H. Werner and R. Mittra, Eds., Frontiers in Electromagnetics (New York: IEEE Press,

2000)

O. N. Singh and A. Lakhtakia, Eds., Electromagnetic Fields in Unconventional Materials

and Structures (New York: Wiley, 2000)

A. Serdyukov, I. Semchenko, S. Tretyakov, and A. Sihvola, Electromagnetics of Bi-

Anisotropic Materials: Theory and Applications (Amsterdam: Gordon and Breach

Science Publishers, 2001)

A. A. Barybin and V. A. Dmitriev, Modern Electrodynamics and Coupled-Mode Theory:

Application to Guided-Wave Optics (Princeton, NJ: Rinton Press, 2002)

S. Zouhdi, A. Sihvola, and M. Arsalane, Eds., Advances in Electromagnetics of Complex

Media and Metamaterials (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002)

W. S. Weiglhofer and A. Lakhtakia, Eds., Introduction to Complex Mediums for Optics

and Electromagnetics (Bellingham, Washington: SPIE Press, 2003)

K. Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals (Berlin: Springer, 2nd ed., 2005)

G. V. Eleftheriades and K. G. Balmain, Eds., Negative-Refraction Metamaterials:

Fundamental Principles and Applications (Hoboken, NJ: Wiley, 2005)

N. Engheta and R. W. Ziolkowski, Eds., Metamaterials: Physics and Engineering

Explorations (Piscataway, New Jersey: IEEE Press/Wiley, 2006)

ixÁlgebra Geométrica e Electromagnetismo

Bibliografia sobre electromagnetismo e formas diferenciais

F. W. Hehl and Yu. N. Obukhov, Foundations of Classical Electrodynamics: Charge,

Flux, and Metric (Boston: Birkhäuser, 2003)

I. V. Lindell, Differential Forms in Electromagnetics (Piscataway, NJ: IEEE Press, 2004)

P. W. Gross and P. R. Kotiuga, Electromagnetic Theory and Computation: A Topological

Approach (Cambridge: Cambridge University Press, 2004)

D. Baldomir and P. Hammond, Geometry of Electromagnetic Systems (Oxford: Oxford


P. Russer, Electromagnetics, Microwave Circuit and Antenna Design for

Communications Engineering (Norwood, MA: Artech House, 2nd ed., 2006)

Bibliografia sobre história da ciência

M. J. Crowe, A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial

System (New York: Dover, 1994)

O. Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein (Oxford: Oxford University Press,

2003)

R. Torretti, Relativity and Geometry (New York: Dover, 1996)

Bibliografia sobre teoria da relatividade

H. A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski, and H. Weyl, The Principle of Relativity (New

York: Dover, 1952)

G. F. R. Ellis and R. M. Williams, Flat and Curved Space-Times (Oxford: Oxford

University Press, 2nd ed., 2000)

J. B. Hartle, Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity (San Francisco:

Addison Wesley, 2003)

C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler, Gravitation (San Francisco: Freeman,

1973)

P. M. Schwarz and J. H. Schwarz, Special Relativity: From Einstein to Strings

(Cambridge: Cambridge University Press, 2004)

C. Semay et B. Silvestre-Brac, Relativité Restreintre: Bases et Applications (Paris: Dunod,

2005)

J. Hladik et M. Chrysos, Introduction à la Relativité Restreinte (Paris: Dunod, 2001)

S. M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (San

Francisco: Addison Wesley, 2004)

R. M. Wald, General Relativity (Chicago: The University of Chicago Press, 1984)

Carlos R. Paiva x

S. W. Hawking and G. F. R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time (Cambridge,

UK: Cambridge University Press, 1999)

S. Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General

Theory of Relativity (New York: Wiley, 1972)

N. M. J. Woodhouse, Special Relativity (London: Springer-Verlag, 2003)

J. W. Schutz, Independent Axioms for Minkowski Space-Time (Essex, England: Addison

Wesley Longman Limited, 1997)

M. P. Hobson, G. Efstathiou, and A. N. Lasenby, General Relativity: An Introduction for

Physicists (Cambridge: Cambridge University Press, 2006)

R. d’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity (Oxford: Clarendon Press, 1999)

W. Rindler, Relativity: Special, General and Cosmological (Oxford: Oxford University

Press, 2001)

B. F. Schutz, A First Course in General Relativity (Cambridge: Cambridge University

Press, 1985)

J. A. Wheeler, A Journey into Gravity and Spacetime (New York: Scientific American

Library, 1999)

E. F. Taylor and J. A. Wheeler, Exploring Black Holes: Introduction to General

Relativity (San Francisco: Addison Wesley Longman, 2000)

A. Ashtekar, Ed., 100 Years of Relativity – Space-Time Structure: Einstein and Beyond,

World Scientific, Singapore, 2005.

A. Einstein, The Meaning of Relativity (London: Chapman and Hall, 1980)

J. C. Boudenot, Électromagnétisme et Gravitation Relativistes (Paris: Ellipses, 1989)

P. O’Donnell, Introduction to 2-Spinors in General Relativity (New Jersey: World

Scientific, 2003)

R. Penrose and W. Rindler, Spinors and Space-Time – Vol. 1: Two-Spinor Calculus and

Relativistic Fields (Cambridge: Cambridge University Press, 1984)

R. Penrose and W. Rindler, Spinors and Space-Time – Vol. 2: Spinor and Twistor

Methods in Space-Time Geometry (Cambridge: Cambridge University Press, 1984)

J. Stewart, Advanced General Relativity (Cambridge, UK: Cambridge University Press,

2003)

F. de Felice and C. J. S. Clarke, Relativity on Curved Manifolds (Cambridge: Cambridge


xiÁlgebra Geométrica e Electromagnetismo

Artigos sobre a transformação de Lorentz

A. R. Lee and T. M. Kalotas, “Lorentz transformations from the first postulate,”

American Journal of Physics,” Vol. 43, No. 5, pp. 434-437, May 1975

J.-M. Lévy-Leblond, “One more derivation of the Lorentz transformation,” American

Journal of Physics, Vol. 44, No. 3, pp. 271-277, March 1976

N. D. Mermin, “Relativity without light,” American Journal of Physics, Vol. 52, No. 2,

pp. 119-124, February 1984

C. R. Paiva, “Passive Lorentz transformations with spacetime algebra,”

http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0508/0508225.pdf

C. R. Paiva and M. A. Ribeiro, “Generalized relativistic velocity addition with spacetime

algebra,” http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0511/0511247.pdf

“(...) I am skeptical of claims that [courses with names like «Conceptual Physics»] are

successful in teaching physics concepts without mathematics.”

David Hestenes, “Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of

Physics,” American Journal of Physics, Vol. 71, Issue 2, pp. 104-121, February 2003

1Álgebra Geométrica e Electromagnetismo

Estes apontamentos destinam-se a abordar, ao nível do segundo ciclo do ensino

universitário, a relação entre a álgebra geométrica e o electromagnetismo.

A parte da matéria aqui incluída cuja natureza é mais introdutória foi escrita tendo por

objectivo servir de texto de apoio à disciplina de Fotónica leccionada no âmbito do

MEEC do DEEC do IST (ver lista de acrónimos no fim). A restante parte destina-se à

disciplina de Fundamentos de Electrodinâmica Clássica do PDEEC do DEEC do IST.

Dado que a álgebra geométrica constitui uma abordagem matemática nova para os

alunos (e até, provavelmente, para muitos professores e investigadores da área do

electromagnetismo), uma parte considerável do que aqui se inclui tem uma natureza

essencialmente introdutória. Assim, parte-se do princípio que o leitor destes

apontamentos desconhece totalmente o que é a álgebra geométrica. A atitude tomada

em relação ao electromagnetismo é, porém, radicalmente diferente: parte-se do princípio

que o leitor conhece o essencial da teoria electromagnética – pelo menos ao nível do

que é ensinado no primeiro ciclo do ensino universitário (não só nas disciplinas de

Física, mas também nas disciplinas que tratam da Electrotecnia Teórica e da

Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas). Se bem que estes apontamentos

se destinem, em primeiro lugar, a alunos da área científica de Telecomunicações, eles

também podem ser usados como introdução à algebra geométrica por outros alunos do

Carlos R. Paiva 2

segundo ciclo universitário – desde que se omitam as partes centradas na teoria

electromagnética e, em particular, os aspectos relacionados com o electromagnetismo

dos meios materiais (relações constitutivas e ondas características).

Assim, antes de mais, devem colocar-se duas questões essenciais:

O que é a álgebra geométrica?

Qual é a importância da álgebra geométrica no ensino do electromagnetismo?

O que a seguir se escreve a este respeito pretende responder a estas duas importantes

questões. Mas também pretende, por outro lado, motivar o interesse do leitor.

É prática corrente no ensino típico do primeiro ciclo dos estudos universitários

enquadrar o electromagnetismo na abordagem matemática clássica da álgebra e análise

vectorial de Gibbs (1839-1903). Mais concretamente: os vectores são objectos que

pertencem a uma álgebra de Lie (1842-1899), radicada no espaço linear tridimensional 3 e centrada em dois produtos entre vectores – o produto interno (ou escalar) e o

produto externo (ou vectorial). A ligação entre o electromagnetismo e a teoria da

relatividade é abordada (quando tal ligação é analisada, o que nem sempre acontece)

sem sair do contexto da álgebra tridimensional de Gibbs. Quanto muito, recorre-se à

análise “diádica” ou ao cálculo tensorial, mas então tendo de deixar a linguagem dos

vectores e passar a introduzir o conceito novo de tensor. E, no entanto, este corte

pedagógico entre o electromagnetismo do espaço 3 e o electromagnetismo do espaço-

tempo de Minkowski (1864-1909) no contexto da relatividade restrita de Einstein

(1879-1955) não é, verdadeiramente, necessário. A razão porque tal acontece é,

essencialmente, histórica: deve-se à própria génese da álgebra vectorial de Gibbs que

cortou, indevidamente, com as suas raízes ao alienar não só os quaterniões de Hamilton

(1805-1865) mas também a álgebra exterior de Grassmann (1809-1877). Acrescente-se:

alienou, essencialmente, a nova síntese proposta por Clifford (1845-1879) que

introduziu o produto geométrico entre vectores. Provavelmente, se esta nova abordagem

proposta por Clifford tivesse tido a repercussão que os trabalhos de Gibbs tiveram,

talvez a história da matemática, da física e da engenharia (e do divócio entre elas)

tivesse sido muito diferente, i.e., mais esclarecedora e fecunda em todos os sentidos. E,

no entanto, este desvio introduzido por Gibbs foi feito, curiosa e ironicamente, em nome

da clareza física – nomeadamente, da divulgação da teoria electromagnética de Maxwell


(1831-1879), acção essa muito reforçada pelo trabalho isolado mas persistente de

Heaviside (1850-1925).

Mas voltemos à questão essencial: o que distingue a álgebra tradicional (de Gibbs) da

álgebra de Clifford ou, seguindo o próprio Clifford, da álgebra geométrica?

Para efeitos da discussão que se segue, consideremos o espaço linear 3 , definido sobre

o corpo , com uma base 1 2 3, ,e e e . Para dois vectores desse espaço, digamos

31 1 2 2 3 3a a a= + + ∈a e e e e 3

1 1 2 2 3 3b b b= + + ∈b e e e , definem-se os habituais produto

interno ( ), ⋅ ∈a b a b e produto externo ( ) 3, × ∈a b a b :

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3

a b a b a ba b a b a b a b a b a b

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅+ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅

a b e e e e e ee e e e e e

( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3a b a b a b a b a b a b× = − × + − × + − ×a b e e e e e e .

Por enquanto, não se introduziu qualquer métrica, i.e., apenas se considerou que o

produto interno é simétrico e que o produto externo é anti-simétrico. Introduzamos,

agora, uma métrica (neste caso, afirmando que a base é ortonormada)

1,0,i j i j

i ji j

δ=⎧

⋅ = = ⎨ ≠⎩e e

e ainda uma orientação

1 2 3

2 3 1

3 1 2

× =⎧⎪ × =⎨⎪ × =⎩

e e ee e ee e e

Nestas condições, vem simplesmente

2e

1e

3e

Carlos R. Paiva 4

1 1 2 2 3 3a b a b a b⋅ = + + ∈a b

( ) ( ) ( ) 32 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3a b a b a b a b a b a b× = − + − + − ∈a b e e e

ou, usando o “determinante” formal,

( ) ( ) ( )1 2 3

1 2 3 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3

1 2 3

a a a a b a b a b a b a b a bb b b

× = = − + − + −e e e

a b e e e .

O espaço linear 3 dotado do produto externo consitui uma álgebra de Lie: o produto

externo não é abeliano (ou comutativo), não é associativo, não tem elemento neutro e

obedece à identidade de Jacobi.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

anti-simetriaálgebra de Lie distributividade

identidade de Jacobi 0α β α β

× = − ×→ × + = × + ×

× × + × × + × × =

a b b aa b c a b a ca b c b c a c a b

A distributividade no primeiro argumento resulta da anti-simetria ( ),α β ∈ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )α β α β α β α β+ × = − × + = − × − × = × + ×a b c c a b c a c b a c b c .

Usando a conhecida propriedade ( ) ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅a b c a c b a b c , é fácil verificar quer a

não associatividade (no caso geral)

( ) ( ) ( )× × − × × = × ×a b c a b c b c a

quer a identidade de Jacobi


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

× × = ⋅ − ⋅⎧⎪

× × = ⋅ − ⋅ ⇒ × × + × × + × × =⎨⎪ × × = ⋅ − ⋅⎩

a b c a c b a b c

b c a a b c b c a a b c b c a c a b

c a b b c a a c b

.

A identidade de Jacobi é, de certa forma, a propriedade que substitui a associatividade

numa álgebra de Lie. Usando os símbolos de permutação i j kε de Levi-Civita (1873-

1941), é possível verificar quais são as constantes de estrutura ki jC desta álgebra de Lie:

0, se algum par de índices , , for igual1, se for uma permutação par de 123

1, se for uma permutação ímpar de 123

k ki j i j k i j i j k

i j kC C i jk

i jkε

⎧⎪× = → = = ⎨⎪ −⎩

e e e

O produto externo tem, numa reflexão especular, um comportamento peculiar

relacionado com o facto de um triedro orientado ser um objecto quiral: numa reflexão

face a um espelho, um objecto quiral não coincide com a sua imagem. Com efeito, um

triedro dextrorso (ou direito) tem, como imagem num espelho, um triedro sinistrorso

(ou esquerdo). Na figura anexa o triedro ( ), ,′ ′ ′a b c é a imagem especular do triedro

( ), ,a b c ; porém, enquanto que = ×c a b , tem-se ′ ′ ′= − ×c a b .

1X

2X

a ′a

= ×c a b

b′b

′ ′ ′= − ×c a b

c

′c

Carlos R. Paiva 6

Devido a este tipo de comportamento assimétrico do produto externo, há autores que

falam de “vectores polares” ou “verdadeiros” vectores e de “vectores axiais” ou

“pseudovectores”. Na realidade, tal distinção só é necessária devido à assimetria do

produto externo em reflexões. Ao eliminar o produto externo, tal ambiguidade

desaparece.

Mas o produto externo padece de uma dificuldade mais grave: só existe, como tal, em

três dimensões. Em duas dimensões não é possível sair do plano para introduzir um

vector perpendicular ao plano; em quatro dimensões a direccção ortogonal ao plano não

está univocamente determinada. E, no entanto, a electrodinâmica relativista tem de ser

entendida no espaço-tempo quadridimensional (seja no quadro da relatividade restrita,

seja no quadro da relatividade geral).

Todas estas dificuldades podem ser superadas se, em vez da álgebra de Lie associada ao

produto externo, se adoptar uma nova álgebra – a álgebra geométrica proposta por

Clifford. Não só a álgebra geométrica pode ser definida num espaço com uma dimensão

qualquer, como a distinção entre “vectores polares” e “vectores axiais” em 3 se torna

supérflua. Além disso, enquanto que a álgebra de Gibbs é uma álgebra de Lie não

associativa, a álgebra geométrica é associativa. Vamos explicar, de seguida, a

importância prática de ter uma álgebra de vectores que seja associativa.

Consideremos, para fixar ideias, que estamos a trabalhar em 3 . Define-se um produto

geométrico entre dois vectores 1 1 2 2 3 3a a a= + +a e e e e 1 1 2 2 3 3b b b= + +b e e e de 3 da

seguinte forma: ( ) 3, C∈a b ab é um produto que obedece a três axiomas (a , b e c

são vectores de 3 )

( ) ( )( ) ( )

220

associatividadeaxiomas da

distributividade ,álgebra geométrica

contracção .+→ + = + + = +

= = ⋅ = ∈

a bc = ab c

a b c ab ac a b c ac bc

a aa a a a


Nota: Por enquanto, é preferível não definir ainda o espaço 3C cuja designação quer

simplesmente dizer que se trata da álgebra (geométrica) de Clifford no espaço

tridimensional, i.e., definida no interior do espaço linear 3 .

Tal como no caso do produto externo, o produto geométrico não é – no caso geral – um

produto abeliano (ou comutativo): ≠ab ba . Vejamos, agora, que consequências é que

se inferem destes axiomas.

Comecemos por calcular o número real correspondente ao quadrado de +a b :

( ) ( )( )( )

2 2 2

2 2 2 .

+ = + + = + + + ∈

∴ + = + − − ∈

a b a b a b a b ab ba

ab ba a b a b

Em seguida, notemos que:

( ) ( )1 12 2

parte par parte ímpar

= + + −ab ab ba ab ba .

O caso particular em que =a b conduz, de acordo com o axioma da contracção, a

22 = = ⋅ =a aa a a a .

Introduz-se então o produto interno, que é simétrico, através da definição:

( )12

⋅ = + ∈a b ab ba .

Escreve-se, então,

Carlos R. Paiva 8

( ) ( )

( ) ( )2

3

1 12 21 12 2

⋅ = + = + = ⋅ ∈

∧ = − = − − = − ∧ ∈

a b ab ba ba ab b a

a b ab ba ba ab b a ∧

onde se introduziu o produto exterior, que é anti-simétrico, através da definição

( )2

312

∧ = − ∈a b ab ba ∧ .

Qual a natureza do produto exterior? Vejamos. Tem-se sucessivamente

= ⋅ + ∧ → ∧ = − ⋅= ⋅ − ∧ → ∧ = ⋅ −

ab a b a b a b ab a bba a b a b a b a b ba

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )

( )

2

2

22 2

2 2 2

2

.

∧ = − ⋅ ⋅ −

= ⋅ − − ⋅ + ⋅

= ⋅ + − − ⋅

⋅

= ⋅ −

a b ab a b a b ba

a b ab abba a b a b ba

a b ab ba a b a b

a b

a b a b

Como ( )cos θ⋅ =a b a b , infere-se que

θ

a

b

a

( )cos θb

( )sin θb ∧a b


( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2cos sin 0θ θ∧ = − = − ≤a b a b a b a b .

Como ( )2 0∧ ≤a b , é óbvio que ∧a b não é nem um escalar nem um vector – é aquilo

que designaremos por um bivector. Além disso, ( )sin θ∧ =a b a b dá a área do

paralelogramo da figura anterior. Podemos, portanto, interpretar o produto exterior

como uma área orientada: o sentido de ∧a b é o representado na figura; o sentido de

∧b a é o diametralmente oposto. O produto exterior substitui, na álgebra geométrica, o

produto externo da álgebra tradicional. Note-se, ainda, que este produto é associativo –

tal como o produto geométrico – ao contrário do produto externo. Além disso, não é

necessária a métrica para definir o produto exterior, embora ela seja indispensável na

definição do produto externo.

Conclusão:

00

→ ∧ = → = ⋅ = ⋅ =⊥ → ⋅ = → = ∧ = − ∧ = −

a b a b ab a b b a baa b a b ab a b b a ba

Vejamos, agora, uma importante consequência da associatividade do produto

geométrico: a possibilidade de calcular o vector inverso de um dado vector. Seja

3u C= = ⋅ + ∧ ∈ab a b a b . Então

( ) ( )

( ) ( )

2 11 2

1 2 2 1

u u

u u

−−

− −

= = = → ==⇒

= = = = → =

b ab b a bb ab a bb b ba a a a a ab aa b a b b a

Falta, porém, esclarecer uma questão importante: qual é exactamente a natureza de

3u C= = ⋅ + ∧ ∈ab a b a b ? Sendo 1 1 2 2 3 3a a a= + +a e e e e 1 1 2 2 3 3b b b= + +b e e e ,

verifica-se que

Carlos R. Paiva 10

( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3

2 3 3 1 1 2 23

1 2 3

1 2 3

a b a b a b a b a b a b

a a ab b b

∧ = − ∧ + − ∧ + − ∧

∧ ∧ ∧∴ ∧ = ∈

a b e e e e e e

e e e e e ea b ∧

em que ∧a b pertence ao subespaço dos bivectores, i.e., 2

3∧ ∈a b ∧ .

23

3

02

32

produto geométrico multivector

produto interno escalar

produto exterior bivector

C= ⋅ + ∧ ∈ ⊕ ⊂ →

⋅ = ∈ →

∧ = ∈ →

ab a b a b

a b ab

a b ab

∧

∧

A soma 0 2

= +ab ab ab deve ser entendida como uma soma graduada. Nela

aparecem objectos que, embora pertencendo todos a 3C , têm diferentes graus: a

operação r

u consiste em projectar o elemento 3u C∈ nos seus diferentes graus – o

grau 0 corresponde ao subespaço dos escalares e o grau 2 corresponde ao subespaço dos

bivectores. O grau 1 corresponde aos subespaço dos vectores, enquanto que o grau 3

corresponde ao subespaço dos trivectores (ou pseudoescalares). Ao elemento genérico

3u C∈ dá-se o nome de multivector.

2 3

3 3 33C = ⊕ ⊕ ⊕∧ ∧

De facto, um trivector resulta de ( )β ∈

( ) ( ) ( )

( )

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

a a a b b b c c c

a a ab b bc c c

∧ ∧ = + + ∧ + + ∧ + +

= ∧ ∧

a b c e e e e e e e e e

e e e


( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2 3 3 2 2 3 1 1 1 3 1 2 2 1 1 2 3

33

1 2 3 .

a b c b c a b c b c a b c b c

β

∧ ∧ = − + − + − ∧ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦

= ∧ ∧ ∈

a b c e e e

e e e ∧

( )3

31 2 3trivector β→ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∈a b c e e e ∧

Mas, obviamente, que

( ) ( ) ( )1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3 0∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∧ =e e e e e e e e e e e e .

Infere-se, portanto, que a álgebra geométrica 3C é gerada por uma base

31 2 3

3 23

1 2 1 3 2 33

31 2 3

escalares 1

vectores , ,base de

bivectores , ,

trivectores

C

→

→→

→

→

e e e

e e e e e e

e e e

∧

∧

de modo que

( ) 33dim 2 8C = = .

Qual é a razão pela qual aos trivectores também se chama pseudoescalares? Vejamos.

Calculemos o quadrado do trivector de base 1 2 3e e e :

( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1= = − = − = −e e e e e e e e e e e e e e e e e e .

Isto significa que entre o trivector de base 1 2 3e e e e o número imaginário 1i = − existe

uma certa analogia (embora, na verdade, se tenha o contrário: os números complexos é

que são, efectivamente, um subespaço da álgebra 3C , como adiante se verá). No caso

Carlos R. Paiva 12

geral, em que 1 1 2 2 3 3a a a= + +a e e e , 1 1 2 2 3 3b b b= + +b e e e e 1 1 2 2 3 3c c c= + +c e e e , vem

então

( )( )

33

1 2 3

2 2 0.

β

β

∧ ∧ = ∧ ∧ ∈

∴ ∧ ∧ = − ≤

a b c e e e

a b c

∧

Uma das grandes vantagens da álgebra geométrica é que, ao contrário da álgebra

vectorial de Gibbs, não se limita ao espaço linear 3 . Este aspecto da álgebra

geométrica é muito importante para a física em geral e, em particular, para o

electromagnetismo. Com efeito, a verdadeira natureza do electromagnetismo só se

revela totalmente quando este é estudado no âmbito do espaço-tempo

quadridimensional, nomeadamente no espaço-tempo de Minkowski da teoria da

relatividade restrita.

É a álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski, que se designará – como

adiante se verá – por 1,3C , que permite tratar a física relativista (e, em particular, o

electromagnetismo relativista) de uma forma que não é mais do que uma mera

generalização da álgebra geométrica 3C . Deixa, portanto, de haver aqui qualquer corte

pedagógico com a análise vectorial do espaço tridimensional: o conceito de vector-4,

frequentemente usado em relatividade restrita, deixa de fazer sentido. Com efeito,

quando se fala em vector-4, fala-se em algo que não está claro: como se manipulam

estes objectos, e.g., como se multiplicam? A resposta a esta pergunta só é possível se

um vector fizer parte integrante de uma álgebra que permite multiplicar vectores – como

é o caso da álgebra geométrica 1,3C . É aqui que todo o potencial da álgebra geométrica

se liberta e se revela uma poderosa arma para a física em geral e para o

electromagnetismo em particular.


2.1 Corpo Os números , , ,a b c … são elementos de um conjunto designado por corpo. Num corpo

F os números podem ser adicionados e multiplicados. Sejam , ,a b c∈F .

• Axiomas da adição:

( ) ( )

comutatitivadeassociatividade

0 elemento neutro 0( ) 0 oposto

a b b aa b c a b c

a aa a a

+ = ++ + = + ++ =+ − = −

• Axiomas da multiplicação:

( )( )

( ) ( )

distributividade

associatividade

a b c ac bc

a b c ab ac

ab c a bc

+ = +⎧⎪⎨

+ = +⎪⎩

=

Carlos R. Paiva 14

1 1

1 elemento neutro 11 inverso de 0

comutatividade

a aa a a aab ba

− −

== ≠

=

Os conjuntos e não são corpos. Já os conjuntos , e são corpos.

2.2 Espaço linear Comecemos por recordar aqui a definição de espaço linear (ou vectorial) V definido

sobre o corpo dos números reais. Aos elementos do espaço linear V dá-se o nome

de vectores. Num espaço linear os vectores podem ser somados mas não se define um

produto entre vectores. É apenas possível multiplicar vectores por números (reais, neste

caso). Designam-se os números reais por escalares neste contexto.

( )( )

, para ,, para , ,

V VV Vλ λ

+ ∈ ∈∈ ∈ ∈

a b a b a ba b a a b

• Axiomas da soma entre vectores ( , , V∈a b c ):

( ) ( )

comutatitivadeassociatividade

0 vector nulo 0( ) 0 vector oposto

+ = ++ + = + ++ =+ − = −

a b b aa b c a b c

a aa a a

• Axiomas da multiplicação por escalares ( ,λ µ∈ , , V∈a b ):

( )( )

( ) ( )

distributividade

associatividade

1 elemento neutro

λ λ λ

λ µ λ µ

λ µ λ µ

+ = +⎧⎪⎨

+ = +⎪⎩

=

=

a b a b

a a a

a a

a a


Estes dois conjuntos de axiomas estabelecem uma estrutura linear em V . Exemplo de

espaço linear: 3 é um espaço linear definido sobre o corpo .

( ) 3 , , | , ,x y z x y z= × × = ∈

2.3 Funções lineares Um subconjunto U de um espaço linear V diz-se um subespaço linear de V desde que

seja fechado em relação às duas operações previamente definidas.

para ,para ,

U UU Uλ λ

+ ∈ ∈∈ ∈ ∈

a b a ba a

Por exemplo, 2 é um subespaço de 3 .

Uma aplicação L :U V→ entre dois espaços lineares U e V diz-se uma função linear

desde que (λ ∈ e , U∈a b )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )L L L , L Lλ λ+ = + =a b a b a a .

• Uma função linear V V→ diz-se uma transfomação linear ou um endomorfismo.

• Uma função linear U V→ invertível diz-se um isomorfismo linear e escreve-se

então U V .

Um vector V∈b diz-se uma combinação linear dos vectores 1 2, , , k V∈a a a… se for

possível escrever

1 1 2 2 1 2, , , ,k k kλ λ λ λ λ λ= + + + ∈b a a a … .

Um conjunto de vectores 1 2, , , ka a a… diz-se linearmente independente se nenhum

deles puder ser escrito como combinação linear dos restantes. Ou seja,

Carlos R. Paiva 16

1 1 2 2 1 20 0k k kλ λ λ λ λ λ+ + + = ⇒ = = = =a a a .

Numa combinação linear 1 1 2 2 k kλ λ λ= + + +b a a a em que o conjunto 1 2, , , ka a a…

é linearmente independente, os números 1 2, , , kλ λ λ… são únicos e designam-se por

coordenadas do vector b . As combinações lineares de 1 2, , , k V⊂a a a… formam um

subespaço de V conhecido por subespaço gerado por 1 2, , , ka a a… . Um conjunto

linearmente independente 1 2, , , k V⊂a a a… que gera V diz-se uma base de V . Todas

as bases de V têm o mesmo número de elementos que se designa por dimensão de V .

2.4 Álgebra e estruturas quadráticas

Uma função B :U U V× → diz-se bilinear ( ) ( ), B , V= ∈a b a b a b desde que seja

uma função linear em relação aos dois argumentos, i.e., desde que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

B , B , B ,

B , B , B ,

λ λ λ λ

µ µ µ µ

+ = +⎧⎪⎨

+ = +⎪⎩

a a b a b a b

a b b a b a b

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2

λ λ µ µ

λ µ λ µ λ µ λ µ

∴ + +

= + + +

a a b b

a b a b a b a b

Definição: Uma álgebra definida sobre um corpo F é um espaço linear A sobre o corpo

F onde foi introduzida uma função bilinear ( ) ( )B : : , B ,A A A a b× → =a b a b .

Os conceitos de distância e de ângulo são estranhos ao conceito de espaço linear. Não

tem qualquer significado dizer que duas linhas no espaço linear 2 são ortogonais ou

que os vectores 21 2, ∈e e são unitários. A estrutura linear permite comparar

comprimentos de vectores paralelos, não permite comparar comprimentos de vectores

não paralelos.


A estrutura quadrática num espaço linear n implica a existência de uma álgebra que

permite o cálculo com objectos geométricos. A estrutura quadrática está associada ao

conceito de métrica que resulta da definição de um produto interno.

Define-se o produto interno ( ), ⋅a b a b no espaço linear V , com , V∈a b e ⋅ ∈a b ,

tal que

( )( ) ( )

linear no primeiro factor

simétrico

0 para 0 definido positivo

λ λ

+ ⋅ = ⋅ + ⋅⎧⎪⎨

⋅ = ⋅⎪⎩

⋅ = ⋅

⋅ > ≠

a b c a c b c

a b a b

a b b a

a a a

Consideremos, como exemplo, o espaço 3 com uma base 31 2 3, , ∈e e e onde se

define o produto interno habitual entre os vectores 1 1 2 2 3 3a a a= + +a e e e e

1 1 2 2 3 3b b b= + +b e e e

1 1 2 2 3 3 em coordenadascos geometricamente

a b a b a bθ

⋅ = + +⋅ =

a ba b a b

em que θ , com 0 180θ≤ ≤ , é o ângulo entre a e b . Da definição em coordenadas,

vem

2 2 21 2 3 , cosa a a θ ⋅

= ⋅ = + + =a ba a aa b

.

2.5 Produto geométrico no plano: bivectores

Consideremos no espaço linear 2 uma base ortonormada 1 2,e e , i.e., tal que

1,0,i j ij

i ji j

δ=⎧

⋅ = = ⎨ ≠⎩e e

Carlos R. Paiva 18

onde se considerou o delta de Kronecker. O comprimento de um vector 2∈r , tal que

1 2x y= +r e e , é dado por 2 2x y= +r .

Vamos então introduzir um produto que satisfaz o seguinte requisito: o produto de r

por si próprio, que designaremos por 2 =r r r , deve ser igual ao quadrado do seu

comprimento, i.e.,

22 =r r .

Em termos de coordenadas isto significa que deverá ter-se então

( ) 222 2 21 2x y x y= + = + =r e e r .

Se não se considerar que o produto em causa é comutativo, apenas distributivo, verifica-

se que deverá ser

( ) ( )22 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 1x y x y x y x y= + = + + + = +r e e e e e e e e .

Assim, infere-se que os vectores 1 2,e e além de serem ortogonais devem obedecer a

2 21 2

1 2 2 1

1= == −

e ee e e e

Por outro lado, se se considerar o produto associativo, vem ainda

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1= = = − = − = −e e e e e e e e e e e e e e e e .

Como o quadrado de 1 2e e é negativo, não pode ser nem um vector nem um escalar.

Será designado por bivector: trata-se, por definição, de uma área orientada no plano


correspondente ao quadrado de lados 1e e 2e e que iremos escrever na forma abreviada

12 1 2=e e e . Será portanto 21 12= −e e , com 21 2 1=e e e .

Definição: O produto geométrico (ou produto de Clifford) de dois vectores é, em geral,

a soma (graduada) de um escalar com um bivector, uma vez que

( ) 12

1 1 2 2 1 2 2 1

,,a b a b a b a bα β

α β= +

= + = −

a b ab e

com 1 1 2 2a a= +a e e e 1 1 2 2b b= +b e e .

2.6 Álgebra geométrica do plano Podemos agora definir a nossa primeira álgebra geométrica: a álgebra geométrica (de

Clifford) do plano, que designaremos por 2C . O produto geométrico atrás definido é o

correspondente produto bilinear 2 2 2C C C× → que estrutura a álgebra. A base desta

álgebra é constituída pelos quatro ( )22 4= elementos

12 1 2=e e e

X

Y

2e

1e

Carlos R. Paiva 20

1 2

12

1 escalar, vectores

bivectore ee

de forma que um elemento genérico, dito multivector 2u C∈ , é dado em geral por

0 1 1 2 2 12 12 2 0 1 2 12, , , ,u u u u u C u u u u= + + + ∈ ∈e e e .

Trata-se de uma álgebra graduada de dimensão ( )2dim 4C = , com

2

20 1 20

0 1 1 2 2 12 120 1 2, ,

rr

u u u u u C

u u u u u u u=

= = + + ∈

= = + =

∑e e e

em que r

u representa a projecção do multivector u no gau r . Sublinhe-se que se trata

de uma álgebra definida sobre o corpo (i.e., trata-se de uma álgebra real) e que

obedece à tabela multiplicativa:

1e 2e 12e

1e 1 12e 2e

2e 12−e 1 1−e

12e 2−e 1e 1−

2.7 Produto exterior

Assim, sendo 1 1 2 2a a= +a e e e 1 1 2 2b b= +b e e , o respectivo produto geométrico ab é

dado por

0 2,

= ⋅ + ∧

⋅ = ∧ =

ab a b a ba b ab a b ab


( )1 1 2 2

12 1 2 2 1 12

a b a ba b a b

αβ

⋅ = = +

∧ = = −

a ba b e e

onde se introduziu um novo tipo de produto entre vectores – o produto exterior:

( ) ( )1 2 2 1 12, a b a b∧ = −a b a b e .

O bivector 12e é o oposto de 21e (i.e., tem-se 12 21= −e e ). Infere-se, portanto, que o

produto exterior é – ao contrário do produto interno – anti-simétrico: ∧ = − ∧a b b a .

Logo

( )

( )

1212

⎧ ⋅ = +⎪= ⋅ + ∧⎧ ⎪⇒⎨ ⎨= ⋅ − ∧⎩ ⎪ ∧ = −⎪⎩

a b ab baab a b a bba a b a b a b ab ba

donde se infere que

00

= ⇔ ⇔ ∧ = ⇔ = ⋅= − ⇔ ⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ = ∧

ab ba a b a b ab a bab ba a b a b ab a b

12 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 21∴ = = ⋅ + ∧ = ∧ = − ∧ = − = −e e e e e e e e e e e e e e .

Facilmente se verifica que a área A do paralelogramo da figura anexa da página

seguinte é precisamente dada por 1 2 2 1A a b a b= − , i.e., tem-se A = ∧a b . Obviamente

que 0A = quando a b . Com efeito, ( )2 0 0∧ = − ∧ ⇒ ∧ = ⇒ ∧ =a a a a a a a a .

( )( )1 1 2 2 1 2 1 2 2 1

1 2 2 1

2A a b a b a a b b a b

A a b a b

= + + − − −

∴ = −

Carlos R. Paiva 22

2.8 Números complexos e álgebra geométrica

Existe uma relação íntima entre a álgebra geométrica 2C e o conjunto dos números

complexos – não enquanto corpo, mas enquanto uma álgebra sobre . Para construir

a partir de 2 , i.e., de forma a poder identificar ( ),z x i y x y= + = em que z∈ e

,x y∈ , basta definir as seguintes duas operações

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1

, , ,

, , ,

x y x y x x y y

x y x y x x y y x y x y

+ = + +

= − +

A título de exemplo, note-se que ( )0,1i = e que ( ) ( )22 0,1 1,0 1i = = − = − .

A álgebra 2C é a soma directa

2

2 22C = ⊕ ⊗∧

no sentido em que, se 0 1 1 2 2 12 12 2u u u u u C= + + + ∈e e e , então

X

Y

1a

1a

1b

2a

2a

2b

2b

1b

a

b 1 2 2 1A a b a b= −


2

2 20 0

0 0

1 1 2 2 1

12 12 2

, , ,escalar

vector

bivector

u u uu u

u u u

u u

= + + ∈ ∈ ∈

= →

= + = →

= = →

a B a B

a e e

B e

∧

É ainda possível escrever

2

22

2 2 22

2

parte par

parte ímpar

CC C C

C

++ −

−

⎧ = ⊕⎪= ⊕ → ⎨⎪ =⎩

∧

Note-se que a parte par não é apenas um subespaço: é também uma subálgebra. Dado

que 212 1= −e , existe um isomorfismo 2C + em que

( )

( )

12 2

22

12 12

número complexonúmero real

bivector

z x y Cx z

y z

+= + ∈ →

=ℜ ∈ →

= ℑ ∈ →

e

e e ∧

Definem-se, ainda, as seguintes operações em 2C : para 20 1 2u u u u C= + + ∈ ,

tem-se

0 1 2

0 1 2

0 1 2

ˆinvolução de graureversãoconjugação de Clifford

u u u uu u u uu u u u

= − += + −= − −

A norma de u é

2 2 2

0 0 1 2u u u u u u= = + −

que se reduz à norma do complexo 12z x y= + e : 2 212z x y z x y= − = +e .

Carlos R. Paiva 24

“The geometric view of complex numbers is connected with the structure of as a real

algebra , and not so much as a field.”

Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, Cambridge University Press, Cambridge, 2nd

ed., 2001, p. 22

Note-se, agora, que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1

0 0 0exp , cos 1 , sin 1

! 2 ! 2 1 !

k k kk k

k k kk k kζ ζ ζζ ζ ζ

+∞ ∞ ∞

= = =

= = − = −+∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )2 2 2 1 212 12 12 12 12 121 , 1

k k kk k k+= = − = = −e e e e e e

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 112 12 12

120 0 0

2 2 1

120 0

exp! 2 ! 2 1 !

1 12 ! 2 1 !

k k k

k k k

k kk k

k k

k k k

k k

θ θ θθ

θ θ

+∞ ∞ ∞

= = =

+∞ ∞

= =

= = ++

= − + −+

∑ ∑ ∑

∑ ∑

e e ee

e

( ) ( ) ( )12 12exp cos sinθ θ θ∴ = +e e .

1 2x y= +r e e

1e

2e

X

Y

22Plano dos vectores: C −=

z x i y= +

1 ℜ

ℑ

12 i=e

2Plano complexo: C +=


Obtém-se, deste modo, uma generalização da fórmula de Euler.

( )12 12expz x y r θ= + =e e

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 12 12fórmula de Euler em exp cos sin

cos , sin

C r r r

x r y r

θ θ θ

θ θ

→ = +

∴ = =

e e

Existe, porém, uma diferença assinalável entre o escalar 1i = − e o bivector 12e ,

apesar de se ter 212 1= −e : para um vector 1 2x y= +r e e , enquanto que i i=r r é

12 12= −r e e r . Com efeito

( ) ( )12 1 2 12 1 12 2 12 12 12 1 2 12 1 12 2

1 12 1 1 2 1 2 1 12 1 2 12 2 1 2 1 2 2 12 2

12 12

,,

x y x y x y x y= + = + = + = +

= = − = − = = − = −

∴ = −

r e e e e e e e e e r e e e e e e ee e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

r e e r

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

12 1 2 12 2 1

12 1 2 2 1

2 2 2 212 1 2 2 1 12 21 12

0

x y x y

x y x y

x y x y x y x y

= + = −

∴ ⋅ = + ⋅ − =

∴ ∧ = + ∧ − = − = +

r e e e e e e

r r e e e e e

r r e e e e e e e e

.

r

12re

12 12= −e r r e

Carlos R. Paiva 26

2.9 Reflexões e rotações

A estrutura algébrica de 2C permite tratar facilmente as reflexões e as rotações no

plano 2 . Comecemos por analisar a reflexão ′r do vector r em relação ao vector a .

Facilmente se verifica (ver figura anexa) que se tem

1−′ =r ar a

( )

( ) ( )

1 12

1 1

1,− −

− −⊥

⎧ = ⋅ =⎪⎨⎪ = − = − ⋅ = ∧⎩

r r a a a aa

r r r r a r a a r a a

( ) ( )1 1 1− − −⊥′∴ = − = ⋅ − ∧ = ⋅ + ∧ =r r r r a r a a a r a r a ar a

Nota importante: Uma rotação pode ser considerada como a composição de duas

reflexões (ver figura acima): o vector OP′′ ′′=r é a rotação de OP=r , com

( )cos 2 2α β′′ ′′⋅ = +r r r r .

a

b

O

P

P′

P′′

( ) ( ) ( )

1 1

11 1

− −

−− −

′ ′′ ′= =

′′∴ = =

r r ar a r br b

r b ar a b ba r ba

r

′′r

′r

r

′r

ar

⊥r


Note-se que ( )cos 2α′ ′⋅ =r r r r e ( )cos 2β′ ′′ ′ ′′⋅ =r r r r , com OP′ ′=r . Conclusão:

a composição de duas reflexões, primeiro em relação ao vector a e em seguida em

relação ao vector b , equivale a uma rotação de um ângulo que é o dobro do ângulo

entre os vectores a e b . Com efeito, verifica-se facilmente que ( )cos 2θ⋅ =a b a b e

( )cos θ′′ ′′⋅ =r r r r , com 2 2θ α β= + .

( )( ) ( )

1 1

11 1 1 1 1 1

,

1

− −

−− − − − − −

= ⇒ = =

∴ = ⇒ = ⇒ =

u ba a b u b ua

u ua b u ua b ba a b

No caso particular em que 2 2 1= =a b , tem-se 1− =a a e 1− =b b , ( ) 1 1 1− − −= =ba a b ab :

( )

12

2 2

12 121

1

12 121

2 2

12 12

cos , sin2 2

1 exp cos sin2 2 2

exp cos sin2 2 2

1

R

R

R R

R R

θ θ

θ θ θ

θ θ θ

−

−

−

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ∧ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪= = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = − ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⎪⇒ ⎨ ⎬⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎪= = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪=

⎪= = = ⎪⎪= − ⇒ = ⎭

a b a b e

a b ba e ea ab b ab e e

ba abbaab a b

r e e r r r

( )

2

212exp

R R RR θ

⎪⎪⎪

′′⎪⎪ ′′⇒ = =⎪ = −⎪⎪⎪⎪⎩

r r

r r re

Carlos R. Paiva 28

“The Clifford algebra 2C is a 4-dimensional algebra over the reals . It is isomorphic, as an

associative algebra, to the matrix algebra of real 2 2× matrices ( )Mat 2, , (…). However, in

the Clifford algebra 2C there is more structure than in the matrix algebra ( )Mat 2, . In the

Clifford algebra 2C we have singled out by definition a privileged subspace, namely the

subspace of vectors or 1-vectors 22C⊂ . No similar privileged subspace is incorporated in

the definition of the matrix algebra ( )Mat 2, .”

Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, Cambridge University Press, Cambridge, 2nd

ed., 2001, p. 14


3.1 Vectores e bivectores

Consideremos agora o espaço linear tridimensional 3 . Nele existem vectores e

bivectores.

Vector → segmento de recta orientado

• magnitude (comprimento de PQ )

• direccção

atitude (linha PQ )

orientação (sentido de P para Q )

Bivector → segmento planar orientado

• magnitude (área de OPQR )

• direcção

atitude (plano OPQ )

orientação (sentido de rotação)

P

Q

O P

R Q

Carlos R. Paiva 30

Designaremos os vectores por letras minúsculas a negrito e os bivectores por letras

maiúsculas a negrito. Dois bivectores são iguais se tiverem a mesma magnitude e a

mesma direcção:

e= ⇔ = ↑↑A B A B A B

Isto significa que a forma é irrelevante: o mesmo bivector pode ser representado quer

por um rectângulo quer por um círculo – desde que tenham a mesma área e a mesma

direcção (i.e., desde que se encontrem no mesmo plano e tenham o mesmo sentido de

rotação).

Um bivector pode ser expresso através do produto exterior de dois vectores: = ∧A a b .

O produto exterior é anti-simétrico: ∧ = − ∧a b b a . Em particular: 0∧ =a a .

Os bivectores podem ser adicionados e multiplicados por escalares: constituem,

portanto, um espaço linear designado por 2

3∧ . Seja 1 2 3, ,e e e uma base ortonormada

de 3 . Então, uma base para o espaço linear dos bivectores é constituída por

1 2 1 3 2 3, ,∧ ∧ ∧e e e e e e .

Um bivector pode ser decomposto nas suas componentes de base:

12 1 2 13 1 3 23 2 3B B B= ∧ + ∧ + ∧B e e e e e e .

A A −A

a

b= ∧A a b b − = ∧A b a

a


Definindo um produto bilinear simétrico em 2

3∧ tal que

1 1 1 21 2 1 2

2 1 2 2

,⋅ ⋅

∧ ∧ =⋅ ⋅

x y x yx x y y

x y x y

vem, com ( ),θ = a b ,

( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 22 2, cos

sin

θ

θ

⋅ ⋅∧ ∧ = = − ⋅ = −

⋅ ⋅

∴ ∧ =

a a a ba b a b a b a b a b a b

b a b b

a b a b

2 2 212 1 2 13 1 3 23 2 3 12 13 23B B B B B B= ∧ + ∧ + ∧ ⇒ = + +B e e e e e e B .

3.2 Trivectores O produto exterior de três vectores é um trivector.

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

a a ab b bc c c

= ∧ ∧ = ∧ ∧V a b c e e e

1e

2e

3e

2 3e e∧

1 2e e∧

Carlos R. Paiva 32

1 1 2 2 3 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3

1 2 31 1 2 2 3 3

1 2 3

a a a a a ab b b b b b

c c cc c c

β

= + +⎧⎪ = + + ⇒ = ∧ ∧ = ∧ ∧⎨⎪ = + +⎩

∴ = ∧ ∧

a e e eb e e e V a b c e e ec e e e

V e e e

O trivector V representa, deste modo, um volume orientado; o correspondente volume

é o do paralelepípedo de arestas a , b e c . O espaço linear dos trivectores tem

dimensão um

3

3dim 1⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∧

e a sua base é o trivector

1 2 3∧ ∧e e e .

Dado que o produto exterior é associativo e anti-simétrico, tem-se para 3, , ∈a b c

( ) ( )∧ ∧ = ∧ ∧

∧ ∧ = ∧ ∧ = ∧ ∧ = − ∧ ∧ = − ∧ ∧ = − ∧ ∧

a b c a b ca b c b c a c a b c b a a c b b a c

Define-se um produto bilinear simétrico em 3

3∧ tal que

1 1 1 2 1 3

1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

,⋅ ⋅ ⋅

∧ ∧ ∧ ∧ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

x y x y x yx x x y y y x y x y x y

x y x y x y.

Assim, vem

, ,⋅ ⋅ ⋅

= ∧ ∧ ∧ ∧ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

a a a b a cV V a b c a b c b a b b b c

c a c b c c.


Infere-se, então, que

123

, 0,

, 0β β

β ββ β

≥⎧= = = = ⎨− <⎩

V e V V .

3.3 Produto exterior e produto externo

Não se deve confundir o produto externo com o produto exterior. Para 3, ∈a b

3

23

vector

bivector

= × ∈ →

= ∧ ∈ →

c a b

B a b ∧

( ) ( ) ( )

2 3 3 1 1 2

1 2 3

1 2 3

2 3 3 2 2 3 3 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 2

a a ab b b

a b a b a b a b a b a b

∧ ∧ ∧∧ =

= − ∧ + − ∧ + − ∧

e e e e e ea b

e e e e e e

( ) ( ) ( )1 2 3

1 2 3 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3

1 2 3

a a a a b a b a b a b a b a bb b b

× = = − + − + −e e e

a b e e e

Tem-se, contudo, ( )sin θ∧ = × =a b a b a b em que ( ),θ = a b .

= ×c a b

b

a

= ∧B a b

Carlos R. Paiva 34

Comentário: Na definição do vector = ×c a b é necessária uma métrica para determinar

a direcção perpendicular ao bivector = ∧B a b . O bivector = ∧B a b , porém, é

independente de qualquer métrica.

3.4 Dual de Hodge Dois espaços de dimensão finita que tenham a mesma dimensão são isomórficos. Por

isso

( )2 2

3 3 3 3dim dim 3⎛ ⎞= = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠∧ ∧

o espaço linear dos vectores é isomórfico ao espaço dos bivectores. Podemos especificar

esse isomorfismo através do dual de Hodge em que

( ) ( )2

3 3 31 2 3, ,∈ = ∈ ∧ = ⋅ ∧ ∧ ∀ ∈a A a b a b a e e e b∧

1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2a a a a a a= + + = = ∧ + ∧ + ∧a e e e A a e e e e e e

uma vez que

1 2 3 2 3 1 3 1 2, ,= ∧ = ∧ = ∧e e e e e e e e e .

Analogamente, em sentido inverso, é possível estabelecer

( )2 2

3 3 31 2 3, , ,∈ = ∈ ∧ = ∧ ∧ ∀ ∈A a A B A B A e e e B∧ ∧

12 1 2 13 1 3 23 2 3 23 1 13 2 12 3A A A A A A= ∧ + ∧ + ∧ = = − +A e e e e e e a A e e e

a

=A a


( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 2 3 1, ,∧ = ∧ = − ∧ =e e e e e e e e e

Facilmente se verifica que

( )( )

∧ = ×⎧⎪⎨

× = ∧⎪⎩

a b a b

a b a b

3.5 Álgebra exterior de Grassmann A álgebra exterior (do espaço euclidiano tridimensional) de Grassmann (1844) designa-

se por 3∧ e é a soma directa

2 33 3 3 3= ⊕ ⊕ ⊕∧ ∧ ∧

subespaço base

escalares→ 1 3 vectores→ 1 2 3, ,e e e

23 bivectores→∧ 1 2 1 3 2 3, ,∧ ∧ ∧e e e e e e

33 trivectores→∧ 1 2 3∧ ∧e e e

( )( )

2 2

3 3

1dim 2 41 1

1 2 1 dim 2 81 3 3 1

⎧ = =⎪⇒ ⎨= =⎪⎩

∧∧

Para uma base 1 2 3, ,e e e de 3 tem-se

,

0i j j i

i i

i j∧ = − ∧ ≠

∧ =

e e e e

e e

Podemos fazer: 0

3=∧ , 1

3 3=∧ . Assim

Carlos R. Paiva 36

3

3 3

0

i

i==⊕∧ ∧

3 3 3,j i ji +

∈ ∈ ⇒ ∧ =a b a b∧ ∧ ∧

3.6 Álgebra geométrica de Clifford A álgebra geométrica (do espaço euclidiano tridimensional) de Clifford (1882) designa-

se por 3C e é – tal como a álgebra exterior – a soma directa

2 33 3 3

3C = ⊕ ⊕ ⊕∧ ∧ .

Porém, enquanto a álgebra exterior se baseia no produto exterior, a álgebra geométrica

baseia-se no produto geométrico. Sejam 3, ∈a b . Então

( )( )

,

,

∧a b a b

a b ab →→

produto exteriorproduto geométrico

Para motivar a definição de produto geométrico de dois vectores comecemos por

considerar um vector 31 2 3x y z= + + ∈r e e e . Adimitamos, então, que se define um

produto de vectores tal que

22 2 2 2 0x y z= = = + + ≥r r r r

admitindo que a base 1 2 3, ,e e e é ortonormada, i.e.,

1,0,i j i j

i ji j

δ=⎧

⋅ = = ⎨ ≠⎩e e

Admitamos, ainda, que não incluimos a propriedade de comutatividade para este novo

produto entre vectores.


( )( )( ) ( ) ( )

21 2 3 1 2 3

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2

22 2 2

x y z x y z

x y z x y xz yz

x y z

= = + + + +

= + + + + + + + +

= + + =

r r r e e e e e e

e e e e e e e e e e e e e e e

r

Devemos então considear que

2

,

1i j j i

i i i

i j= − ≠

= =

e e e e

e e e

3C 3∧

1 1

1 2 3, ,e e e 1 2 3, ,e e e

12 1 2 13 1 3 23 2 3, ,= = =e e e e e e e e e 1 2 1 3 2 3, ,∧ ∧ ∧e e e e e e

123 1 2 3=e e e e 1 2 3∧ ∧e e e

Consideremos, agora, dois vectores quaisquer 31 1 2 2 3 3a a a= + + ∈a e e e e

31 1 2 2 3 3b b b= + + ∈b e e e . De acordo com as regras estabelecidas, vem então

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 12 1 3 3 1 13 2 3 3 2 23

12 12 13 13 23 23

12 12 13 13 23 23

.,

a a a b b b

a b a b a b a b a b a b a b a b a bα β β βα β β β

= + + + +

= + + + − + − + −

= + + +∴ = + = + +

ab e e e e e e

e e ee e e

ab B B e e e

Note-se que

2

,

1i j

i j i j i j i j i j i ji

i jδ

∧ ≠⎧⎪= = ⋅ + ∧ = + ∧ = ⎨=⎪⎩

e ee e e e e e e e e

e

sendo, em geral,

Carlos R. Paiva 38

12 12 13 13 23 23,α β β β= ⋅ = ∧ = + +

∴ = ⋅ + ∧

a b B a b e e e

ab a b a b

O elemento 3u C= ∈ab não é um escalar nem é um bivector: é a soma graduada de

um escalar com um bivector – é aquilo que designaremos por um multivector.

3.7 Produto geométrico O produto geométrico de dois vectores dá um multivector, enquanto que o produto

exterior de dois vectores dá um bivector. Em geral, um elemeno qualquer 3u C∈ é

designado por multivector.

( )

( )3

12,12

⎧ ⋅ = +⎪= ⋅ + ∧⎧ ⎪∈ ⇒ ⇒⎨ ⎨= ⋅ − ∧⎩ ⎪ ∧ = −⎪⎩

a b ab baab a b a ba b

ba a b a b a b ab ba

00

= ⇔ ⇔ ∧ = ⇔ = ⋅= − ⇔ ⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ = ∧

ab ba a b a b ab a bab ba a b a b ab a b

3 1 3 12

1,− − ⎛ ⎞∈ ∈ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

a a a aa

( )( )

2 2 2 2

cos

sin

mais operações

θ

θ

⋅ =

∧ =

∴ ⋅ + ∧ =

∧ ≤

= →

a b a b

a b a b

a b a b a b

a b a b

ab a b

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 cos

sin 0

θ

θ

∧ = − ⋅ ⋅ − = ⋅ + − ⋅ −

= ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = −

∴ ∧ = ⋅ − = − ≤

a b ab a b a b ba a b ab ba a b abba

a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b

a

a

b

θ

( )cos θb

( )sin θb


( ) ( )( ) ( )( )1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 2 1

22 2 2 2123 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 1 2 3

2123 1

= − = = −

= = = − = −

∴ = −

e e e e e e e e e e e e

e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

e

2 2 21 2 3

2 2 212 13 232123

1

1

1

= = =

= = = −

= −

e e e

e e e

e

( ) ( )( ) ( )

1 123 23 12 123 3123

2 123 31 31 123 2123

3 123 12 23 123 1

= = −⎧ ⎧ ∧ = × = ×⎪ ⎪= = − ⇒⎨ ⎨× = ∧ = − ∧⎪ ⎪= = −⎩ ⎩

e e e e e ea b a b a b e

e e e e e ea b a b a b e

e e e e e e

2

3 3123 123

23 3

123 123

⎧ ∈ ⇒ = = ∈⎪⎨⎪ ∈ ⇒ = = ∈⎩

a A ae e a

A a Ae e A

∧

∧

( ) ( )3 33dim dim 2 8C = = =∧

30 1 2 3

3123 123

03

12

31232

33

1233

soma graduada

, , , ,escalar

vector

bivector

trivector ou pseudoescalar

u u u u u C

uu

u

u

u

α β α βα

β

= + + + ∈ →

= + + + ∈ ∈

= ∈ →

= ∈ →

= = ∈ →

= = ∈ →

a be e a b

a

B be

V e

∧

∧

2 2 2 2 21233

0u β β= = = − ≤V e

3.8 Involuções Consideremos um multivector genérico

30 1 2 3u u u u u Cα= + + + = + + + ∈u B V .

Carlos R. Paiva 40

Definem-se três involuções em 3C :

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1 2 3

ˆinvolução de graureversãoconjugação de Clifford

u u u u uu u u u uu u u u u

= − + −= + − −= − − +

3, u u∈ → = ⇒ =a b ab b a

Usando a reversão é possível introduzir a norma de qualquer multivector tal que

2

0

0 1 1 2 2 3 3 12 12 13 13 23 23 123 123

2 2 2 2 2 2 2 2 20 1 2 3 12 13 23 123

3, 2 .

u u u

u u u u u u u u u

u u u u u u u u u

u v C u v u v

=

= + + + + + + +

∴ = + + + + + + +

∈ ⇒ ≤

e e e e e e e

Usando a conjugação (de Clifford) é possível introduzir o inverso de qualquer

multivector tal que, se 3u C∈ e 0u u ≠ ,

1 uu u u u uu u

−= ⇒ = .

3.9 Contracção à esquerda e contracção à direita

Para 3∈a e 2

3∈B ∧ , define-se o trivector (basta fazer = ∧B b c e ter em

consideração a associatividade do produto exterior)

= ∧ = ∧V a B B a .

Trata-se aqui de uma operação que eleva o grau. Pelo contrário, define-se uma

contracção à esquerda que diminui o grau: se 3,u v C∈ , faz-se


( ) 1123 123u v u v −= ∧⎡ ⎤⎣ ⎦e e .

Analogamente, para a contracção à direita, vem

( )1123 123u v u v−= ∧⎡ ⎤⎣ ⎦e e .

No caso particular de 3∈a e 2

3∈B ∧ , tem-se = −a B B a .

( ) ( )1 1,− −⊥= = ∧a a B B a a B B

12, −

⊥= + =BaB a B a B BB

( )

( )

1212

⎧ = −⎪= + ∧⎧ ⎪⇒⎨ ⎨= − + ∧⎩ ⎪ ∧ = +⎪⎩

a B aB BaaB a B a BBa a B a B a B aB Ba

3

3, u C u u u∈ ∈ → = + ∧a a a a .

a ⊥a

a

= =b a B a B

12

− =a

aa

1 1− −= = ∧B a b a b

( )( )

1

1

−

−⊥

=

= ∧

a a B B

a a B B

Carlos R. Paiva 42

Quando 3r

u∈∧ , tem-se

( )

( )

13

13

1 121 12

rr

rr

u u u

u u u

−

+

⎧ ⎡ ⎤= − − ∈⎪ ⎣ ⎦⎪⎨⎪ ⎡ ⎤∧ = + − ∈⎣ ⎦⎪⎩

a a a

a a a

∧

∧

3.10 Reflexões Comecemos por considerar a reflexão ′r do vector r em relação ao vector a (figura

anexa).

( )( )

1

1

⊥

−

−⊥ ⊥

= ⋅ + ∧ = +⎧⎪⎪ = ⋅ → = ⋅⎨⎪

= ∧ → = ∧⎪⎩

ab a b a b a b a b

a b a b a a b b

a b a b a a b b

( ) ( ) ( )( )

1 1 1

1 1

,⊥ ⊥

− − −⊥

− −

′= + = −

= ⋅ = − = − ⋅ = ∧

′ ′∴ = ⋅ + ∧ ⇒ =

r r r r r r

r r a a r r r r a r a a r a a

r a r a r a r ar a

a

r1−′ =r ar a

1−′′ = −r ar a

123=A ae


Por sua vez, a reflexão do mesmo vector r mas agora em relação ao plano caracterizado

pelo bivector 123=A ae (dual do vector a ) permite obter um novo vector ′′r .

1−⊥′′ ′ ′′= − = − ∴ = −r r r r r ar a

2vector unitário, 1 ,′ ′′→ = ⇒ = = −a a r ar a r ar a

3.11 Rotações

Consideremos, agora, a rotação ′a do vector a em torno do eixo 123= −u Be e

determinada pelo bivector unitário B , i.e, com 2 1= −B : ′a a .

( ) ( )( ) ( )

11

2 1

−−

−⊥

⎧ = = −⎪= = − ⇒ ⎨= ∧ = − ∧⎪⎩

a a B B a B BBB BB a a B B a B B

( )

2 2

2

1, cos , sin2 2

cos sin2 2

exp , exp exp 12 2

R

R R R RR

θ θ

θ θ

θ θθ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ = ∧ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ + ∧ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − ⇒ = = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

m n m n m n B

nm n m n m B

B B mn B

B

a ′a

θa

′a

123= −u Be

Carlos R. Paiva 44

rotor : exp2

R RR R

R Rθ ⊥ ⊥⊥ ⊥ == ⎧⎧ ⎪⎛ ⎞= = = − → ⇒⎨ ⎨⎜ ⎟ = − =⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎩

a aa B Banm B

a B Ba a a

22 R

R

R R R R R R

⊥ ⊥

⊥ ⊥⊥

′ ′ ′= + = +

′ =⎧⎪ ′⇒ = +⎨ ′ =⎪⎩

′ ′∴ = + ⇒ =

a a a a a a

a aa a a

a a

a a a a a

3.12 Funções lineares, valores próprios e vectores próprios

Uma aplicação L :U V→ entre dois espaços lineares 3,U V ⊂ diz-se uma função

linear desde que (λ∈ e , U∈a b )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )L L L , L Lλ λ+ = + =a b a b a a .

Quando se verifica que

( )L λ=a a

diz-se que λ∈ é um valor próprio de L e que 3∈a é um vector próprio de L .

Supondo que os valores próprios 1 2 3, ,λ λ λ ∈ de L são todos distintos, com

1 2 3λ λ λ< < , os correspondentes vectores próprios 31 2 3, , ∈e e e constituem um base de

3 . Tem-se, portanto,

( )1, 2,3 L i ii λ= → =e e .

Os vectores próprios (todos distintos) formam uma base ortonormada de 3 :

1,0,i i i j

i ji j

δ=⎧

⋅ = = ⎨ ≠⎩e e

Nestas condições é possível decompor qualquer função linear na forma


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

L L L L

L Li i i

a a a a a a

a a aλ λ λ λ

= + + ⇒ = + +

∴ = ⇒ = + +

a e e e a e e e

e e a e e e

( )

1 3

21 1

1 2 3 22

3 3

2 22 1 1 3 2 3

3 22 13 1 2 2

1 3

sin , cos2 2

20

2

2 , 2

1 02 2 2

φ φγ γ

λ α β γλ λ λ λ α

λ α β γ

λ λ β γ λ λ β γ

λ λλ λβ λ λγ γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎧ = −⎪< < < ⇒ =⎨⎪ = +⎩

∴

− = − =

−−= − = = >

( )

( )

( )

( )

11

1 1 3 32 22 123

1 1 3 3

33

2 2 3 2 13 1

3 1

12

11

22cos

γγ γγ γ

γλ λ λφ γ γ

λ λ

⎧ = −⎪⎪= +⎧ ⎪= = → ⇒ = × = ∧⎨ ⎨= − +⎩ ⎪⎪ = +⎪⎩− +

⋅ = = − =−

e m nm e e

m n e n m m n en e e

e m n

m n

( ) ( )

( ) ( )

3 22 11 3

3 1 3 1

1 2 3

1 cos 1 cos,

2 2

1 , , 1

φ φ λ λλ λγ γλ λ λ λ

λ α β λ α λ α β

− + −−= = = =

− −

∴

= − − ⋅ = = + + ⋅m n m n

⊗

2X

3X

1X

2φ 2φ

3γ

1γ1γ−

1e

3e

mn

Carlos R. Paiva 46

( )

( )

11 1 3 3 1

1 1 2 2 3 31 1 3 3

33

2

2

aa a

a a aa a

a

γ γ γγ γ

γ

⎧ − ⋅=⎪⋅ = +⎧ ⎪= + + ⇒ ⇒⎨ ⎨⋅ = − + + ⋅⎩ ⎪ =⎪⎩

m n am a

a e e en a m n a

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 1 2 1 1 3 2 3 3

3 21 22 2 2

1 3

L

L4 4

1L2

a a a a aλ λ λ λ λ λ λ λλ λλ λλ

γ γ

α β

= + + = + − + −

−−= + − ⋅ − + + ⋅ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∴ = + + ⋅ + − − ⋅ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a e e e a e e

a a m n a m n m n a m n

a a m n a m n m n a m n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3 1

função biaxial L

1L2

α β

λ λ λ

− ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

∴

→ = + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

= + − ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

m n a m n m a m m a n n a m n a n

m n a m n m a m m a n n a m n a n

a a m a n n a m

a a m a n n a m

No caso particular em que 0φ = , vem 3= =m n e , 1 0γ = e 3 1γ = . Mas então

( ) ( )( )

1 2 3, 2

função uniaxial M

λ λ α λ λ α β λ

λ λ λ

⊥

⊥ ⊥

= = = = + =

∴

→ = + − ⋅a a m a m

3.13 Funções lineares de multivectores Uma das aplicações mais interessantes da álgebra geométrica é a que se relaciona com

as funções lineares de multivectores. Este tipo de aplicações permite dispensar a

utilização extensiva de matrizes, que dependem de cartas de coordenadas concretas, na

manipulação das funcões lineares. Antes, porém, vamos listar algumas propriedades das

operações em 3C que serão úteis neste contexto. Sejam 3, , , ∈a b c d .


( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

33

3

123 123

33

123 123

23

123 123 123

∧ = ⋅ − ∈

∧ ∧ = ∧ ∧ ∈

∧ = ⋅ − ⋅ ∈

⋅ ∧ = ∧ ∧ ∈⎡ ⎤⎣ ⎦

∧ = ⋅ ∈

∧ ∧ = ⋅ − ⋅ ∈⎡ ⎤⎣ ⎦

a b a b a b

a b c a b c

a b c a b c a c b

a b c e a b c e

a be a b e

a b c e a b ce a c be

∧

∧

∧

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33 3

3

3

3

33

22 3

12

12

C

C

∧ = ∧ + ∧ ∧ ∈ ⊕ ⊂

∧ = ∧ + ∧ ∧ = − ∧ + ∧ ∧ ∈

∧ = ∧ − ∧ ∈⎡ ⎤⎣ ⎦

∧ ∧ = ∧ + ∧ ∈⎡ ⎤⎣ ⎦

∧ ∧ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ∈

⎡ ⎤∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∈⎣ ⎦

a b c a b c a b c

b c a b c a b c a a b c a b c

a b c a b c b c a

a b c a b c b c a

a b c d a d b c a c b d

a b c d a b a b c d

∧

∧

∧

Já se definiu, anteriormente, uma função linear de vectores em 3C . Vamos, agora,

generalizar o conceito introduzindo uma função linear de multivectores. Comecemos

pelos bivectores. Com 3, ∈u v , vem por definição:

( ) ( ) ( )L L L∧ = ∧u v u v

Para concretizar, consideremos um exemplo.

( ) ( ) ( )

3 2 2, , , , , , 1

L

α β

α β

∈ ∈ = =

= + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

u v m n m n

u u m u n n u m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

221

22 2

L

L

L

α β α β

α αβ

αβ β

α αβ αβ β

∧ = + ⋅ + ⋅ ∧ + ⋅ + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤∧ = ∧ − ∧ ∧⎣ ⎦

⎡ ⎤− ∧ ∧ + ∧ ∧⎣ ⎦

∴

= ∧ → = − ∧ − ∧ + ∧

u v u m u n n u m v m v n n v m

u v u v m u v n

n u v c m n u v

B u v B B m B n n B m m n B

Carlos R. Paiva 48

Analogamente define-se uma função linear de um trivector. Sejam 3, , ∈u v w . Então:

( ) ( ) ( ) ( )L L L L∧ ∧ = ∧ ∧u v w u v w

Consideremos, ainda, o mesmo exemplo tratado anteriormente. Obtém-se:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

L

L

α α β β

α α β β

⎡ ⎤∧ ∧ = + ⋅ − ∧ ∧⎣ ⎦

⎡ ⎤∴ = ∧ ∧ ⇒ = + ⋅ −⎣ ⎦

u v w m n u v w

V u v w V m n V

3.14 Determinante de uma função linear A álgebra geométrica permite, também, uma manipulação fácil dos determinantes. Para

isso introduz-se um novo conceito: o determinante de uma função linear. Faz-se na

álgebra linear 3C , por definição,

( ) ( )3

3 3, , , L det L∈ = ∧ ∧ ∈ → =u v w V u v w V V∧ .

Continuando a considerar o mesmo exemplo que tem vindo a ser tratado, tem-se então:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2L det Lα α β β α α β β⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⋅ − ⇒ = + ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦V m n V m n .

1e

2e

3e

L ( )1L e

( )3L e

( ) ( )123 123L det L=e e

( )2L e


Este resultado poderia ter sido obtido de outra forma. Como o determinante é o produto

dos três valores próprios da função, viria:

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

2 21 3

1

2 1 2 3 2

3 2 2

1det L

1det L

λ λ α β βλ α βλ α λ λ λ λλ α β

α α β β

⎧ Λ = = + ⋅ −⎪= − − ⋅⎧ ⎪⎪ ⎪= ⇒ = = Λ⎨ ⎨⎪ ⎪= + + ⋅⎩ ⎪ ⎡ ⎤∴ = + ⋅ −⎪ ⎣ ⎦⎩

m nm n

m nm n

A definição de determinante permite deduzir, de forma muito económica, resultados

importantes. Vejamos o caso de uma função composta 2 1L L L= .

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

32 1 2 1

33

2 1 2 1

1 2 1 2

2 1 1 2

, L L L L L

, det L L L L L L

det L L det L det L

det L L det L det L

a∈ = = ⎡ ⎤⎣ ⎦

∈ = = = ⎡ ⎤⎣ ⎦= =

∴ =

a a a

V V V V V

V V

∧

3.15 Adjunta de uma função linear Todas as operações usuais da álgebra linear podem ser efectuadas através da álgebra

geométrica sem recorrer a componentes, i.e., de forma abstracta. Vejamos, agora, como

determinar a função adjunta F de uma dada função linear F : sendo F :U V→ , a sua

adjunta é a aplicação F :V U→ tal que

( ) ( )F F , ,U V⋅ = ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈a b a b a b .

Esta definição é extensível a bivectores e trivectores. Consideremos o seguinte caso:

( ) ( ) ( )F α= + ⋅ + ⋅a a u a m v a n .

Carlos R. Paiva 50

Para esta função, vem sucessivamente

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

F

F F

F F

α

α

α

⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅

∴ = + ⋅ + ⋅ ≠

a b a b u a m b v a n b

a b a b m b u n b v a b

a a m a u n a v a

Podemos facilmente demonstrar que o determinante de uma função é o mesmo que o da

sua adjunta:

( ) ( ) ( ) ( )3

3 1 1, det L L L det L− −∈ = = =V V V V V∧ .

Pode ainda demonstrar-se que

( ) ( )2 3

3 3, , L L L⎡ ⎤∈ ∈ = ⎣ ⎦B V V B V B∧ ∧ .

3.16 Funções simétricas e anti-simétricas Uma função linear F é simétrica quando é igual à sua adjunta e anti-simétrica quando a

sua adjunta for igual a F− . A função biaxial é simétrica:

( ) ( ) ( ) ( )função biaxial L L simétricaα β→ = + ⋅ + ⋅ = ←⎡ ⎤⎣ ⎦a a m a n n a m a .

Um endomorfismo F :U U→ (i.e., uma transformação linear) qualquer pode ser

sempre decomposto(a) na soma de uma função simétrica L com uma função anti-

simétrica M :


( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )F

L LL M L M

MF

⋅ = ⋅⎧⎪ ⇒ + ⋅ = ⋅ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⋅ = − ⋅⎪⎩

ba b a b

a a b a b ba b a M b

a

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1L F F simétricaF L M 2F L M 1M F F anti-simétrica

2

⎡ ⎤= + ←⎣ ⎦= +∴ ⇔

= −⎡ ⎤= − ←⎣ ⎦

a a aa a aa a a a a a

Consideremos um caso concreto para ilustrar esta situação.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

F

F

1 1L2 2

1 1M2 2

α

α

α

= + ⋅ + ⋅

↓

= + ⋅ + ⋅

↓

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a a u a m v a n

a a m a u n a v

a a a u m a m u a v n a n v

a a u m a m u a v n a n v

Note-se, ainda, que se pode escrever

( ) ( ) ( )

( )

( )

3

23

1M2

M12

⎡ ⎤= ∧ + ∧⎣ ⎦

∴

= ∈

= ∧ + ∧ ∈

a a u m a v n

a a M

M u m v n ∧

Em geral, se uma dada função linear F é anti-simétria, tem-se ( ) ( )F F= −a a . Logo

( ) ( ) ( ) ( )F F F F 0⋅ = ⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ =a a a a a a a a .

A forma mais natural de estudar uma função anti-simétrica é através do bivector

Carlos R. Paiva 52

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 31 1F F F F convenção da soma2 2 i i= ∧ + ∧ + ∧ = ∧ ←⎡ ⎤⎣ ⎦F e e e e e e e e .

Com efeito, vem sucessivamente

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2 F

F F

F F

2 F

i i

i i i i

i i i i

= ∧⎡ ⎤⎣ ⎦= ⋅ − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦= ⋅ + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

a F a e e

a e e a e e

a e e a e e

a

de modo que a acção da função anti-simétrica se reduz à contracção com o bivector

característico:

( )F é anti-simétrica F→ =a a F .

No exemplo tratado anteriormente, ( )( )1 2= ∧ + ∧M u m v n é o bivector característico

da função anti-simétrica ( ) ( ) ( ) ( )M 1 2 ⎡ ⎤= ∧ + ∧⎣ ⎦a a u m a v n .

Demonstremos, agora, a seguinte propriedade: os vectores próprios correspondentes a

valores próprios distintos de uma função linear simétrica são ortogonais.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

F , F

F0

F

0

i i i j j j

i j j i j

i j i j

i j i i j

i j i j

λ λ

λλ λ

λ

λ λ

= =

⎧ ⋅ = ⋅⎪ ⇒ − ⋅ =⎨⋅ = ⋅⎪⎩

∴

≠ ⇒ ⋅ =

e e e e

e e e ee e

e e e e

e e

No caso dos valores próprios poderem ser complexos, virá:


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )F F 0

0

λ λ λ λ

λ λ

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ =

∴ ⋅ ≠ ⇒ = ∈

e e e e e e e e e e

e e

3.17 Inversa de uma função linear

Define-se a inversa 1L− de uma função linear não nula L como sendo a função tal que

( )( ) ( )( )1 1L L L L ,− −= = ∀a a a a .

Mas então, introduzindo um bivector B e um trivector V tais que 1−=B V a , vem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 1

det L det L L L L L L

1L Ldet L

− −

− −

⎡ ⎤⎡ ⎤= → = = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∴ =

B V a a V B V B V B V V a

a V V a

Notando que, em geral, se tem 123β=V e com β ∈ , é ainda possível definir uma

função auxiliar †L tal que

( ) ( ) ( )† 1L det L L−=a a

e que representa uma função escalonada da inversa.

( ) ( )1 †123123 123 123 1232

123

L L− = = − ⇒ = −ee e a e aee

Consideremos novamente o caso em que

( ) ( ) ( )função biaxial L α β→ = + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦a a m a n n a m .

Para esta função linear vem

Carlos R. Paiva 54

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

† 2

2 21 2 3

L 2

det L

α α β β β β

α α β β α λ λ λ

= + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ∧ ∧ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤= + ⋅ − = Λ =⎣ ⎦

a m n a m a n n a m m n m n a

m n

( ) ( ) ( )

31 11

2 1 1 3 3

1 1 3 313 3 3

2

3

1

02 1

0 0

03 1

sinsin 22

cos cos2 2

tan tan2 2

1

L1 1 12

λ θφ τ γγ λ τ ττ τφ λ θγ τ γ

λ

λθ φλ

αλ

α ββ

λ λ

−

⎧ ⎛ ⎞⎧ ⎛ ⎞ = == ⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ′ = +⎝ ⎠ ⎧⎪ ⎝ ⎠ ⎪→ →⎨ ⎨ ⎨ ′ = − +⎛ ⎞ ⎩⎛ ⎞⎪ ⎪= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎝ ⎠⎩

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎧ =⎪⎪ ′ ′ ′ ′→ = + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎨ ⎣⎛ ⎞⎪ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

m e en e e

a a m a n n a m ⎦

3 1

2 2

3 1

2 2

3 1

3 1

12

12

1 0 velocidade da transformação

uboost

uu

u

λ λγλ λ γ γ

γ γλ λγλ λ

λ λλ λ

⎧ ⎛ ⎞= +⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ′ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎝ ⎠ → = ←⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ −⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ = −⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩

−∴ > = > ←

+

m mn n

( )( )

( )2

3

1

cosh1 tanhsinh1

1 1 1ln ln rapidez da transformação2 1 4

uuu

uu

γ ξγ ξ

γ ξ

λξλ

=⎧⎪= → → =⎨=− ⎪⎩

⎛ ⎞+⎛ ⎞∴ = = ←⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )3

1

1 exp 2 tan exp 2 tan1 2 2

uu

λ θ φξ ξλ

+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Na figura anexa da página seguinte representa-se graficamente esta transformação de

Lorentz (ou, mais precisamente, este boost).


3.18 Funções lineares e matrizes É sempre possível reduzir o formalismo abstracto da álgebra geométrica ao formalismo

concreto da álgebra matricial. Consideremos, novamente, uma função linear L e uma

base ortonormada 1 2 3, ,e e e de 3 . À função linear L corresponde, com efeito, uma

matriz L de 3 3× cujos elementos Li j são obtidos através da regra

( ) ( )L L , L Li j i j i j= = ⋅e eL .

Consideremos, novamente, como exemplo a função linear

( ) ( ) ( )função biaxial L α β→ = + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦a a m a n n a m .

Na base 1 2 3, ,e e e , em que 1 1 3 3γ γ= +m e e e 1 1 3 3γ γ= − +n e e , a matriz que representa

a função linear tem a forma diagonal cujos elementos diagonais são os valores próprios:

( ) ( )1

2 1 2 3

3

0 00 0 det L det0 0

λλ λ λ λ

λ

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⇒ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

L L .

De facto, trata-se do referencial dos eixos principais correspondentes aos três vectores

próprios. A forma quadrática associada a esta matrix é

⊗

2X

3X

1X

3γ

1γ1γ−

′m′n

mn

1τ1τ−

3τφ

θ

( )cos φ⋅ =m n ( )cos θ′ ′⋅ =m n

Carlos R. Paiva 56

( ) ( ) 2 2 21 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3Lx x x Q x x xλ λ λ= + + → = ⋅ = + +r e e e r r r .

A quádrica 1Q = será o elipsóide triaxial

22 2

31 2

1 2 3

11,2,3 1ii

xx xi aa a aλ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = → + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Define-se o traço da matriz como a soma dos seus elementos diagonais. O traço de uma

função linear é a soma dos seus valores próprios.

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 2

1 1 1 1 1 1

1 2 2

tr

tr L L L L L convenção da soma

tr tr L

i i

λ λ λ

λ λ λ

= + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ←

∴ = = + +

e e e e e e e e

L

L

A matriz adjunta de L é dada por

( ) ( )2 3

1 3 1 2 1 3 2 3

1 2

0 0adj 0 0 tr adj

0 0

λ λλ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⇒ = + +⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

L L .

( ) ( ) ( )†123 123tr adj tr L tr L⎡ ⎤= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦e aeL .

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2† 2 2

L

tr L 3 2

tr L 3 4

α β

α β

α αβ β

= + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦= + ⋅

= + ⋅ + ∧

a a m a n n a m

m n

m n m n

A equação característica que permite determinar os valores próprios de L será:


( )( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 3

3 21 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3

3 2

3 2 †

0

0

tr tr adj det 0

tr L tr L det L 0

λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

− − − =

− + + + + + − =

∴

− + − =⎡ ⎤⎣ ⎦

− + − =

L L L

Vejamos, agora, um outro exemplo. Consideremos a função linear

( ) ( )( ) ( )função uniaxial M Mi jλ λ λ⊥ ⊥→ = + − ⋅ =a a m a m M .

( ) ( )( ) ( )( )

1

1 1 2 2 3 3 2

3

sin cos

sin sin

cos

m

m m m m

m

= Θ Φ⎧⎪

= + + → = Θ Φ⎨⎪ = Θ⎩

m e e e

mΘ

Φ

2X

3X

1X

1e 2e

3e

Carlos R. Paiva 58

11 12 13

21 22 23

31 32 33

M M MM M MM M M

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

M

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 211

2 222

2 233

212 21

13 31

23 32

M sin cos

M sin sin

M sin cos

M M sin sin cos

M M sin cos cos

M M sin cos sin

λ λ λ

λ λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

⊥ ⊥

⊥ ⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⎧ = + − Θ Φ⎪⎪ = + − Θ Φ⎪⎪ = Θ + Θ⎪⎨

= = − Θ Φ Φ⎪⎪

= = − Θ Θ Φ⎪⎪

= = − Θ Θ Φ⎪⎩

A forma quadrática associada a esta matriz é

( ) ( ) 2 2 211 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3M M M M 2 M 2 M 2 MQ x x x x x x x x x= ⋅ = + + + + +r r r .

Neste caso, como se pode verificar, tem-se

( ) ( ) 2função uniaxial det M det λ λ⊥→ = =M .

A matriz M é simétrica porque a função linear M é simétrica. No referencial ( ), ,x y z

dos eixos principais, a matriz que representa a função linear M é (com o eixo c

alinhado com Z )

0 00 00 0

λλ

λ

⊥

⊥

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

′M .

A forma quadrática ( ) ( ) ( )2 2 2M 1Q x y zλ λ⊥= ⋅ = + + =r r r representa um elipsóide de

revolução:


2 2 2

1

11

a bx y za b cc

λ

λ

⊥

⎧ = =⎪⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ + + =⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ =⎪⎩

.

O mesmo elisóide de revolução corresponde à quádrica

2 2 2

11 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3M M M 2M 2M 2M 1x x x x x x x x x+ + + + + =

dado que se trata da mesma forma quadrática, mas agora vista num referencial

( )1 2 3, ,x x x que não é o referencial dos eixos principais – trata-se, antes, de um

referencial que sofreu uma rotação em relação ao referencial principal ( ), ,x y z .

As duas figuras seguintes representam este elipsóide de revolução para dois casos

distintos.

2 2 22 0.5

14 0.25

a b x y zc a b c

λλ⊥ = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ → + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Carlos R. Paiva 60

2 2 24 0.25

12 0.5

a b x y zc a b c

λλ⊥ = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ → + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.19 Os quaterniões de Hamilton Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) inventou os quaterniões em 1843. Os

quaterniões são números hipercomplexos da forma

( ) dim 4 1, , , baseq w ix j y zk i j k= + + + ∈ → = ← ←H H

em que , , ,w x y z∈ e as unidades imaginárias generalizadas i , j , k satisfazem as

relações

2 2 2 1

, ,i j ki j ji k jk k j i ki ik j

⎧ = = = −⎨

= − = = − = = − =⎩

A multiplicação é, por definição, não comutativa – embora seja associativa: H é um

anel de divisão mas não é um corpo (um corpo é um anel de divisão abeliano ou

comutativo). As regras de multiplicação anteriores podem ser sintetizadas na forma

2 2 2 1i j k i jk= = = = − .


Definição:

quaternião conjugadoq w ix j y zk q w ix j y zk= + + + ∈ = − − − ∈ ←H H

( ) ( )2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

12 2 2 2 2

22

2

1

2 0

q w x y z w ix j y k z

q qq w x y zq w ix j y k zq

w ix j y k z w x y zq

q wq q

−

= − − − + + +

= = + + +

− − −= = =

+ + + + + +

∴ − + =

Define-se a parte real ( )Re q w= ∈ e a parte pura ( ) 3Pu q ix j y k z= + + ∈ .

( ) ( ) 30 0notação , Re , Puq q q q q→ = + ∈ = = ∴ = ⊕q qH H

00 0 0 0

0

a aa b a b a b

b b= + ∈⎧

⇒ = − ⋅ + + + ×⎨ = + ∈⎩

aa b b a a b

bHH

( ) ( ) ( )

( )

1 2 30 0

1 2 3

1 1 2 2 3 3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

0 quaterniões puros

Pu produto externo de Gibbs

a a aa b

b b b

a b a b a ba b a b a b a b a b a b

= + + ⎫⎧ ⎪= = ⇒ ←⎨ ⎬= + + ⎪⎩ ⎭⋅ = + +⎧⎪

⎨ × = − + − + −⎪⎩∴

= − ⋅ + × ⇒ × = ←

a i j kb i j k

a ba b i j k

ab a b a b a b ab

Uma característica importante do produto externo (introduzido por Gibbs em 1901), que

é anti-simétrico (não é comutativo) pois × = − ×a b b a , é que se trata de um produto não

associativo. O produto geométrico é associativo. Note-se que a álgebra das matrizes,

apesar de não ser comutativa (em geral) é, contudo, associativa.

Carlos R. Paiva 62

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) não é associativo

× × = ⋅ − ⋅

× × = − × × = ⋅ − ⋅

∴ × × ≠ × × ←

a b c a c b a b c

a b c c a b c a b c b a

a b c a b c

1 1 2 2 3 333 123 1

1 1 2 2 3 3

,a a a

Cb b b

= + +⎧∈ ⊂ → ⇒ × = −⎨ = + +⎩

a e e ea b a b abe

b e e e

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )identidade de Jacobi 0

× × = ⋅ − ⋅⎧⎪ × × = ⋅ − ⋅⎨⎪ × × = ⋅ − ⋅⎩

∴ → × × + × × + × × =

a b c a c b a b cb c a b a c b c ac a b c b a c a b

a b c b c a c a b

Comentário: O espaço linear 3 dotado do produto externo entre vectores constitui o

que tecnicamente se designa por uma álgebra de Lie: o produto externo não é

comutativo nem associativo e observa a identidade de Jacobi. Note-se, ainda, que o

produto externo não possui elemento neutro.

A álgebra geométrica do espaço, 3C , compreende dois subespaços importantes: (i) o

subespaço par 3C + , cujos elementos resultam do produto geométrico de um número par

de vectores; (ii) o suespaço ímpar 3C − , cujos elementos resultam do produto

geométrico de um número ímpar de vectores.

3 3 3C C C+ −= ⊕

Chama-se o centro da álgebra e representa-se por ( )3Cen C , o subespaço constituído

pelos elementos de 3C que comutam com quaisquer elementos de 3C .


( )

33

3 1232

33 23 31 12

33 3

3 1 2 3 123

centro da álgebra Cen | ,

subespaço par | , , ,

subespaço ímpar | , , ,

C x y x y

C w x y z w x y z

C x y z w x y z w

+

−

→ = ⊕ = + ∈

→ = ⊕ = + + + ∈

→ = ⊕ = + + + ∈

e

e e e

e e e e

∧

∧

∧

Quer o centro da álgebra quer o seu subespaço par constituem, também, subálgebras.

Como é fácil de verificar o subespaço ímpar não constitui uma álgebra: por exemplo, o

produto geométrico de dois vectores dá, no caso geral, um multivector que contém um

escalar e um bivector e que pertencem à subálgebra par. O corpo (dos complexos) e

o anel de divisão H (dos quaterniões) são isomórficos a subálgebras específicas de 3C :

( )3Cen C e 3Cl+H .

H 3C +

1 1

i 23−e

j 31−e

k 12−e

( )3

33

23

3

Cen C

C +

= ⊕

= ⊕H

∧

∧

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3dim 2, dim 4, dim dim dim 8C= = = =H H .

A algebra geométrica do espaço 3C é gerada, enquanto álgebra definida sobre o corpo

, pelas álgebras (também reais) e H .

3C⊕H

Carlos R. Paiva 64

“Crossbreeding of mathematical systems is common, but the results are not always salutary. For

example, more than a century ago P. G. Tait opined that the vector calculus of Gibbs is a

«hermaphrodite monster» born of Hamilton’s quaternions and Grassmann’s algebra of

extension. Sometimes, however, the offspring of crossbreeding is superior to both parents in

versatility and adaptability. So it is with Clifford algebra, born of the same parents as vector

calculus.”

David Hestenes, “Mathematical Viruses,” in A. Micali, R. Boudet and J. Helmstetter, Eds.,

Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, Kluwer Academic Publishers,

Dordrecht, pp. 3-16, 1992.

Exercícios

1. Verifique que, em 3 , a área A do triângulo cujos vértices são os pontos

( )1, 4, 6− − , ( )5, 4, 2− − e ( )0,0,0 é 18A = .

2. Verifique que o volume V do paralelepípedo cujas arestas correspondem aos

vectores 1 2 32 3 4= − +a e e e , 1 2 32= + −b e e e e 1 2 33 2= − +c e e e é 7V = .

3. Mostre que, sendo 2

312 233= + ∈B e e ∧ , se tem ( )

21 3

12 233 10− = − + ∈B e e ∧ .

4. Considere 31 2 32 3 7= + + ∈a e e e e

23

12 13 234 5= + − ∈B e e e ∧ . Mostre que

33

12311∧ = ∈a B e ∧ e 31 2 347 15 7= − + + ∈a B e e e .

5. Considere 31 2 33 4 7= + + ∈a e e e e

23

12 137= + ∈B e e ∧ . Mostre que, em

relação ao bivector B , as componentes paralela e perpendicular do vector

considerado são 31 2 33 4.9 0.7= + + ∈a e e e e 3

2 30.9 6.3⊥ = − + ∈a e e .

6. Notando que, se 3, ∈a b , ( ) ( ) 2× × = ⋅ −a a b a b a a b , mostre que – desde que os

vectores a e b não sejam paralelos – se tem:


( )( )× × ∧⋅ =

∧

a a b ba b

a b.

7. Mostre que, para 3, , ∈a b c , se tem ( )( )1 2∧ ∧ = −a b c abc cba . Mostre, ainda,

que ( )( )1 6∧ ∧ = + + − − −a b c abc bca cab acb bac cba .

8. Para 3, ∈a b , mostre que ( ) ( )2 2 2123 1232+ = − + ⋅a be a b a b e .

9. Considere, em 3C , os paravectores (paravector é a soma de um escalar com um

vector) ( )11 12

p = + e e ( )11 12

q = − e . Verifique que estes paravectores são

idempotentes: 2p p= e 2q q= . Mostre, ainda, que ambos os paravectores são

divisores de zero: 0p q = , com 0p ≠ e 0q ≠ . Mostre, por fim, que se tem

( )223 1p q± =e e , ou seja, que em 3C existe a raiz quadrada de um vector:

1 23 3p q C= ± ∈e e .

10. Mostre que o multivector ( ) ( )12 3cos sinu Cθ θ= + ∈e admite quatro raízes

quadradas: 1 12cos sin2 2

v θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e , 2 1v v= − , 3 3 1v = e v e 4 3 2v v= e . Note que

3 12 3 12=e e e e .

11. Sejam 31 1 2 2 3 3a a a= + + ∈a e e e e 3

1 2 3x y z= + + ∈r e e e . Verifique, então,

que:

3 2

3 1

2 1

00

0

a a xA a a y

a a z

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − = ×⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

r a r .

Verifique, ainda, que:

( ) ( )

2 22 3 1 2 1 3

2 2 2 21 2 1 3 2 3

2 21 3 2 3 1 2

a a a a a a xA a a a a a a y

a a a a a a z

⎛ ⎞− − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − − = × × = ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎝ ⎠⎝ ⎠

r a a r a r a a r .

12. No contexto do exercício anterior, mostre que 23 0A A+ =a . Note que os

valores próprios λ da matriz A satisfazem a equação característica 3 2 0λ α λ+ = ,

em que 2 2 21 2 3a a aα = = + +a , e aplique então o teorema de Cayley-Hamilton.

13. Ainda no contexto dos dois problemas anteriores, mostre que:

Carlos R. Paiva 66

( ) ( ) ( )2

2exp sin 1 cosA AA I α αα α

= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Recorde que: ( ) ( ) ( )2 2 1

0 0 0exp

! 2 ! 2 1 !

k k k

k k k

A A AAk k k

+∞ ∞ ∞

= = =

= = ++∑ ∑ ∑ . Mostre, também, que o

vector ( )exp A′ =r r é tal que

( ) ( ) ( ) ( )2

sin 1 coscos

α αα

α α−

′ = + × + ⋅r r a r a r a .

Note que ( )2 2A = ⋅ −r a r a a r .

14.


4.1 Equações de Maxwell Comecemos por escrever as equações de Maxwell na linguagem vectorial comum no

espaço linear 3 usando o produto externo de vectores (Gibbs). Consideremos

coordenadas cartesianas rectangulares numa base ortonormada.

1 2 3 1 2 3, ,x y z∂ ∂ ∂

→ ∇ = + +∂ ∂ ∂

e e e e e e

Seja 31 1 2 2 3 3a a a= + + ∈a e e e um campo vectorial, i.e, em que ( )1 1 , ,a a x y z= ,

( )2 2 , ,a a x y z= e ( )3 3 , ,a a x y z= . Listam-se, a seguir, algumas identidades de uso

corrente envolvendo o operador nabla.

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

123

123 123

123 123

123

123 123 123 123 123 .

∇∧ = ∇×

∇× = − ∇∧ = −∇

∇∧ = ∇⋅

∇ = ∇⋅ +∇ ∧ = ∇⋅ + ∇×

∇ = ∇ +∇∧ = ∇ = ∇⋅ −∇×

a a e

a a e ae

ae a e

a a a a a e

ae ae ae a e a e a

Carlos R. Paiva 68

Sejam ( ) ( ), , , , ,x y z x y zΦ Ψ ∈ campos escalares e ( ) ( ) 3, , , , ,x y z x y z ∈a b campos

vectoriais.

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

123

2

2

123

12

00

0

0

∇∧∇∧ =

∇∧ ∇Φ =

∇× ∇Φ =

∇⋅ ∇× =

∧ ∇∧ = ⋅ ∇×⎡ ⎤⎣ ⎦∇ ∧ = − × ∇×

∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇

∇ ∇∧ = −∇× ∇× = ∇ −∇ ∇⋅

∇ ΦΨ = Φ ∇Ψ +Ψ ∇Φ

∇⋅ Φ = ⋅ ∇Φ +Φ ∇⋅

∇∧ Φ = ∇Φ × +Φ ∇∧

∇× Φ = ∇Φ × +Φ ∇×

∇⋅ × = ⋅ ∇× − ⋅ ∇× = ∧ ∇∧ − ∧ ∇∧⎡ ⎤⎣ ⎦∇ ∧ ∧ = ∇⋅ ×⎡ ⎤⎣ ⎦

a

a

a b a b e

a b a b

a a a

a a a a

a a a

a a a

a a a

a b b a a b a b b a e

a b a b e ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 = ∧ ∇∧ − ∧ ∇∧

∇ ⋅ = ⋅∇ + ⋅∇ − ∇∧ − ∇∧

∇ ⋅ = × ∇× + × ∇× + ⋅∇ + ⋅∇

∇× × = ∇⋅ − ∇ ⋅ + ⋅∇ − ⋅∇

∇ ∧ = −∇× × = ∇⋅ − ∇ ⋅ + ⋅∇ − ⋅∇

b a a b

a b a b b a a b b a

a b a b b a a b b a

a b b a a b b a a b

a b a b a b b a a b b a

Escrevem-se, agora, as equações de Maxwell na sua forma tradicional (3D).

EQUAÇÕES DE MAXWELL:

equação de Maxwell-Faradayconservação do fluxo magnético

0 inexistência de cargas magnéticas

equação de Maxwell-Ampèreconservação da carga eléctrica

t

t

∂⎧∇× = − →⎪ ∂→ ⎨⎪∇⋅ = →⎩

∂∇× = + →

∂→

BE

B

DH j

lei de Gaussρ

⎧⎪⎨⎪∇⋅ = →⎩ D

Vectores: 3, , , , ∈E B D H j ; formas-1: ,E H ; formas-2: , , , ,F G B D j ; formas-3: ,J ρ .


campo eléctricoforma-2

campo magnético

excitação eléctricaforma-2

excitação magnética

forma-3 densidade de corrente

F F E dt B

G G H dt D

J J j dt ρ

⎧= ∧ + → ⎨

⎩⎧

= − ∧ + → ⎨⎩

= − ∧ + →

EB

DH

j

A força de Lorentz sobre uma carga (eléctrica) pontual q animada de velocidade v é

dada por:

( )q= + ×f E v B .

Para escrever as equações de Maxwell em 3C há que fazer desaparecer o produto

externo substituindo-o pelo produto exterior.

1 2 3 23 31 122

3 3

x y z x y z

x y z x y zE E E E E E

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇× = ∈ ∇∧ = ∈

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

e e e e e e

E E ∧

( )( )

123

123

∇∧ = ∇×⎧⎪⎨∇× = − ∇∧⎪⎩

E E e

E E e

Isto implica a necessidade de substituir o vector campo magnético pelo seu dual, i.e.,

pelo bivector campo magnético na equação de Maxwell-Faraday. O mesmo se aplica à

equação de Maxwell-Ampère.

2

3 3123

23 3

23 3

1232

3 3123

∈ = ∈

∇× ∈ ∇∧ ∈

∈ = ∈

∈ = ∈

B Be

H H

D De

j je

B

D

J

∧

∧

∧

∧

Carlos R. Paiva 70

3

33

123

EQUAÇÕES magnetodinâmica em : 0DE 0

MAXWELLEM

electrodinâmica em :

tC d F

tC d G JCρ

⎧ ∂ ⎫⎧∇∧ = −⎪ ⎪⎪ ∂ ← ∧ =⎨ ⎬⎪⎪ ⎪⎪ ∇∧ =⎩ ⎭⎪→ ⎨

∂ ⎫⎧⎪ ∇∧ = +⎪ ⎪⎪ ∂ ← ∧ =⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪∇∧ =⎪ ⎩ ⎭⎩

E

H

e

B

B

DJ

D

Nota importante: 3

3∇∧ ∈∧B e 3

3∇∧ ∈∧D são trivectores (ou pseudoescalares).

A força de Lorentz terá agora de ser reescrita, também, em 3C .

( ) 33força de Lorentz em C q→ = + ∈f E v B

As relações constitutivas do vácuo são, quer no domínio do tempo quer no domínio da

frequência,

0 1233

0 123

vácuo em Cεµ

=⎧→ ⎨ =⎩

EeH e

D

B

Consideremos campos com uma variação temporal da forma ( )exp i tω− . Assim, no

domínio da frequência, as equações de Maxwell escrevem-se

3

3123

magnetodinâmica em :0


iC

iC

ω

ωρ

∇∧ =⎧⎨∇∧ =⎩∇∧ = −⎧⎨∇∧ =⎩

E

He

B

B

J D

D


4.2 Isotropia, anisotropia e bianisotropia Num meio linear, as relações constitutivas podem ser escritas, no domínio da frequência,

como segue:

( ) ( )

( ) ( )123 0 0 0

123 0 0 0

meio bianisotrópicoε ξ

µ ζ

ε ε µ

µ ε µ

⎧ ⎡ ⎤= ϑ + ϑ⎪ ⎣ ⎦→ ⎨⎡ ⎤= ϑ + ϑ⎪ ⎣ ⎦⎩

e E H

e H E

D

B

Um meio com estas relações constitutivas diz-se bianisotrópico. Está-se a admitir que

( )εϑ E , ( )ξϑ H , ( )µϑ H e ( )ζϑ E são funções lineares.

No caso particular em que as funções lineares obedecem às relações

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

,meio biisotrópico

,ε ξ

µ ζ

ε ω ξ ω

µ ω ζ ω

ϑ = ϑ =⎧⎪→ ⎨ϑ = ϑ =⎪⎩

E E E E

H H E E

o meio diz-se biisotrópico e pode escrever-se, sem perda de generalidade,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

meio biisotrópicoi

i

ξ ω κ ω χ ω

ζ ω κ ω χ ω

= + ∈→

= − ∈

onde o parâmetro κ ∈ caracteriza a não reciprocidade da biisotropia e o parâmetro

χ ∈ carateriza a quiralidade isotrópica. Existe alguma controvérsia na literatura sobre

a possibilidade de existência de meios biisotrópicos não recíprocos: alguns

investigadores afirmam que só os meios com anisotropia (ou bianisotropia) é que

podem ser não recíprocos. O caso paradigmático de um meio biisotrópico não recíproco

e aquiral corresponde a ter-se 0χ = e é conhecido na literatura por meio de Tellegen.

Carlos R. Paiva 72

( ) ( )

( ) ( )123 0 0 0

123 0 0 0

meio de Tellegenε ε ω ε µ κ ω

µ µ ω ε µ κ ω

⎧ ⎡ ⎤= +⎪ ⎣ ⎦→ ⎨⎡ ⎤= +⎪ ⎣ ⎦⎩

e E H

e H E

D

B

Não foi fabricado, até à data, qualquer exemplar de um meio de Tellegen. Um meio

biisotrópico recíproco (i.e., com 0κ = ) diz-se quiral isotrópico ou, mais simplesmente,

um meio quiral (ou opticamente activo):

( ) ( )

( ) ( )123 0 0 0

123 0 0 0

meio quirali

i

ε ε ω ε µ χ ω

µ µ ω ε µ χ ω

⎧ ⎡ ⎤= +⎪ ⎣ ⎦→ ⎨⎡ ⎤= −⎪ ⎣ ⎦⎩

e E H

e H E

D

B

Num meio simplesmente anisotrópico (com anisotropia eléctrica e/ou magnética), vem

mais simplesmente ( ) ( ) 0ξ ζϑ = ϑ =H E , pelo que:

( )( )

0 123

0 123

meio anisotrópico ε

µ

ε

µ

⎧ = ϑ⎪→ ⎨= ϑ⎪⎩

e E

e H

D

B

Um meio simplesmente isotrópico é o caso particular de um meio anisotrópico em que:

( ) ( )( ) ( )

meio isotrópico ε

µ

ε ω

µ ω

⎧ ϑ =⎪→ ⎨ϑ =⎪⎩

E E

H H

O caso de um plasma isotrópico frio sem colisões é um meio simplesmente negativo

(SNG) com

( )

( )

2

1 0plasma isotrópico sem colisões

1

pωε ω

ω

µ ω

⎧ ⎛ ⎞= − <⎪ ⎜ ⎟→ ⎨ ⎝ ⎠

⎪ =⎩


desde que operado para frequências pω ω< . É o caso, e.g., de um metal em fotónica

desde que se desprezem as perdas. Recentemente uma quantidade significativa de

investigadores tem-se interessado pelo estudo dos meios atificiais conhecidos na

literatura por metamateriais duplamente negativos (DNG), em que

( )( )

0metamaterial DNG

0

ε ω

µ ω

<⎧⎪→ ⎨<⎪⎩

num intervalo (em geral muito estreito) de frequências.

4.3 Classificação dos meios bianisotrópicos Voltemos a repetir aqui, para comodidade, as relações constitutivas de um meio

bianisotrópico.

( ) ( )

( ) ( )123 0 0 0

123 0 0 0


µ ζ

ε ε µ

µ ε µ

⎧ ⎡ ⎤= ϑ + ϑ⎪ ⎣ ⎦→ ⎨⎡ ⎤= ϑ + ϑ⎪ ⎣ ⎦⎩

e E H

e H E

D

B

função (permissividade) dieléctricafunção (permeabilidade) magnéticafunções magnetoeléctricas ,

ε

µ

ξ ζ

→ ϑ→ ϑ→ ϑ ϑ

Um meio é recíproco se, de acordo com o teorema da reciprocidade, se verificar:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

meios bianisotrópicos recíprocosε ε

µ µ

ζ ξ

ϑ = ϑ→ ϑ = ϑ

ϑ = −ϑ

a aa aa a

.

Assim, sem perda de generalidade, é possível definir:

Carlos R. Paiva 74

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

123 0 0 0

123 0 0 0

iii i

ε κ χξ κ χ

ζ κ χ µ κ χ

ε ε µ

µ ε µ

⎧ ⎡ ⎤= ϑ + ϑ + ϑϑ = ϑ + ϑ ⎣ ⎦⎪→ ⎨ϑ = ϑ − ϑ ⎡ ⎤= ϑ + ϑ − ϑ⎪ ⎣ ⎦⎩

e E H H

e H E E

D

B

função que caracteriza a não reciprocidade do meiofunção que caracteriza a quiralidade do meio

κ

χ

ϑ →ϑ →

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

M

M

N M M

M N J

J M M

J 123 1 1 2 2

01 2 0 J 0 123

1 2

MEIOS BIANISOTRÓPICOS RECÍPROCOS

1 tr3

tr 0

1212ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

i

i

χ

χ

χ

χ

= ϑ

ϑ =

ϑ = +ϑ

⎧ ⎡ ⎤ϑ = ϑ +ϑ⎣ ⎦⎪⎪ϑ = ϑ +ϑ → ⎨⎪ ⎡ ⎤ϑ = ϑ −ϑ⎣ ⎦⎪⎩

ϑ = ∧ → = Ω + Ω

⎧ = Ω⎪= = → → ϑ = Ω ∧⎨Ω = Ω + Ω⎪⎩

a a a

a a aa a a

a a a

a b a e b b b

b bb b b a b a e

( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P

P

Q P P

P Q S

S P P

MEIOS BIANISOTRÓPICOS NÃO RECÍPROCOS

1 tr3

tr 0

1212

κ

κ

κ

κ

= ϑ

ϑ =

ϑ = +ϑ

⎧ ⎡ ⎤ϑ = ϑ +ϑ⎣ ⎦⎪⎪ϑ = ϑ +ϑ → ⎨⎪ ⎡ ⎤ϑ = ϑ −ϑ⎣ ⎦⎪⎩

a a a

a a aa a a

a a a

N Q

J S

funções simétricas ,

funções anti-simétricas ,

→ ϑ ϑ

→ ϑ ϑ


N J

N J

N J

N J

N J

MEIOS BIANISOTRÓPICOS RECÍPROCOS

0 0 0 meio quiral isotrópico (meio de Pasteur)0 0 0 meio quiral anisotrópico0 0 0 meio pseudoquiral0 0 0 meio ómega0 0 0 meio ómega quir

χχχχχ

≠ ϑ = ϑ = →≠ ϑ ≠ ϑ = →= ϑ ≠ ϑ = →= ϑ = ϑ ≠ →≠ ϑ = ϑ ≠ →

N J

N J

al0 0 0 meio ómega pseudoquiral0 0 0 meio bianisotrópico recíproco geral

χχ= ϑ ≠ ϑ ≠ →≠ ϑ ≠ ϑ ≠ →

Q S

Q S

Q S

Q S

Q S

MEIOS BIANISOTRÓPICOS NÃO RECÍPROCOS

0 0 0 meio de Tellegen0 0 0 meio de Tellegen anisotrópico0 0 0 meio pseudo-Tellegen0 0 0 meio em movimento0 0 0 meio de Tellegen em

κκκκκ

≠ ϑ = ϑ = →≠ ϑ ≠ ϑ = →= ϑ ≠ ϑ = →= ϑ = ϑ ≠ →≠ ϑ = ϑ ≠ →

Q S

Q S

movimento0 0 0 meio pseudo-Tellegen em movimento0 0 0 meio bianisotrópico não recíproco (aquiral) geral

κκ= ϑ ≠ ϑ ≠ →≠ ϑ ≠ ϑ ≠ →

4.4 Cristais biaxiais e uniaxiais: relações constitutivas Um meio anisotrópico não magnético, sem perdas e recíproco é um cristal biaxial.

Assim, de acordo com a discussão das páginas 32-34, a função dieléctrica ( )εϑ E

deverá ter três valores próprios 1 1 0λ ε= > , 2 2 0λ ε= > e 3 3 0λ ε= > . Admitindo então

que se tem ε ε ε3 2 1> > e fazendo 1=m d e 2=n d , virá

( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 123

0 123

2 3 1 1 2 2 1

cristal biaxial

função dieléctrica 1de um cristal biaxial 2

ε

ε

εµ

ε ε ε

= ϑ⎧⎪→ ⎨=⎪⎩

→ ϑ = + − ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

e Ee H

E E d E d d E d

D

B

Do ponto de vista tradicional, é habitual introduzir – em vez da álgebra geométrica 3C

– uma álgebra tensorial baseada no produto tensorial (ou diádico)

Carlos R. Paiva 76

( )2

3 3, , ,∈ ⊗ ∈⊗a b a b a b

( )1 1 1 1 2 1 3

1 1 2 2 3 32 1 2 3 2 1 2 2 2 3

1 1 2 2 3 33 3 1 3 2 3 3

a a b a b a ba a a

a b b b a b a b a bb b b

a a b a b a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎧ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⊗ = =⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + +⎩ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a e e ea b

b e e e

( )

( )

( ) ( )

1 1 2 2 3 3

23

3

1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 3 3 1

1 3 1 3 3 1 2 1 1 2 2 3 3 2

3 1 1 3 3 2 2 32 3 2 3 3 2

tr

alt

tr alt

00

0

a b a b a b

C

a b a b a b a ba b a b a b a ba b a b a b a b

⎧ ⋅ = ⊗ = + + ∈⎪⎨

∧ = ⊗ = ⊗ − ⊗ ∈⎪⎩∴

= ⊗ + ⊗ ∈

∧ = ⊗ − ⊗ − −⎧ ⎛⎪ ⎜∧ = ⊗ − ⊗ ⇒ ⊗ − ⊗ = − −⎨ ⎜⎪ − −∧ = ⊗ − ⊗ ⎝⎩

a b a b

a b a b a b b a

ab a b a b

e e e e e ee e e e e e a b b ae e e e e e

∧

( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3a b a b a b a b a b a b

⎞⎟⎟

⎜ ⎟⎠

∴

∧ = − ∧ + − ∧ + − ∧a b e e e e e e

Nota: Como se usa uma base ortonormada não é necessária a distinção entre vectores e

formas ou, na linguagem mais antiquada, entre componentes covariantes e

contravariantes dos vectores; só se consideram, portanto, tensores cartesianos.

Na linguagem tensorial, é costume introduzir-se o chamado tensor dieléctrico ε tal que

( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )1 2 2 1 3

2 1 1 2ε

⊗ = ⋅⎧⎪ ⇒ = ϑ ∈⎨⊗ = ⋅⎪⎩

d d E d E dε E E

d d E d E d

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

32 3 1 1 2 2 1

23

2 3 1 2 1 1 2

ÁLGEBRA GEOMÉTRICA:1 função dieléctrica2

ÁLGEBRA TENSORIAL:1 tensor dieléctrico2

ε ε ε ε

ε ε ε

ϑ = + − ⋅ + ⋅ ∈ →⎡ ⎤⎣ ⎦

= + − ⊗ + ⊗ ∈ →⊗

E E d E d d E d

ε I d d d d

•

•


Note-se que, num cristal biaxial, existe uma distinção clara entre os eixos dieléctricos

principais e os eixos ( )1 2,d d que definem a função dieléctrica.

1 2 3

1 2

, , eixos dieléctricos principais, eixos que definem a função dieléctrica

→→

e e ed d

3 22 11 1 3

3 1 3 1

3 22 12 1 3

3 1 3 1

0

ε εε εε ε ε ε

ε ε εε εε ε

ε ε ε ε

3 2 1

⎧ −−= +⎪ − −⎪> > > → ⎨

−−⎪ = − +⎪ − −⎩

d e e

d e e

⊗

2X

3X

1X

2φ 2φ

3γ

1γ1γ−

1e

3e

1d2d

Carlos R. Paiva 78

( )

( ) ( )

3 2 11 2

3 1

32

1 2

2cos

2 11, 1 cos

1

ε ε εφε ε

ζ κεεζ κ φε ε κ ζ

− +⋅ = =

−

− += > = > ⇒ =

−

d d

Na figura anexa (da página anterior) representa-se o ângulo φ em função de ζ para

vários valores do parâmetro κ .

Quando 0φ = vem 1 2 3= = =d d c e e o cristal biaxial reduz-se a um cristal uniaxial, i.e.,

a um cristal com um único eixo óptico. Neste caso é 1 2ε ε ε⊥= = e 3ε ε= .

( ) ( )( )cristal uniaxial ε ε ε ε⊥ ⊥→ ϑ = + − ⋅E E c E c

Quando ε ε⊥> o cristal uniaxial é positivo; quando ε ε⊥> o cristal é negativo.

Finalmente, quando ε ε ε⊥= = , o cristal degenera num meio simplesmente isotrópico,

i.e, num cristal do sistema cúbico.

( )cristal isotrópico (sistema cúbico) ε ε→ ϑ =E E

4.5 Interpretação física da anisotropia: cristais biaxiais e uniaxiais Vejamos qual o significado físico da anisotropia no caso dos cristais biaxiais. Para o

efeito introduz-se a permissividade dieléctrica (relativa) do cristal segundo uma dada

direcção s (vector unitário) do espaço e que se representa por ( )ε s . Comecemos por

notar que, no referencial 1 2 3, ,e e e dos eixos dieléctricos principais, o vector ( )εϑ E

tem uma escrita simples:


( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3

1 2 31 1 1 2 2 2 3 3 3

eixos dieléctricos principais: , ,E E E E

E E Eε ε ε ε= + + =⎧⎪→ ⎨ ϑ = + +⎪⎩

E e e e se e e

E e e e

( ) ( )( ) ( )

2 1permissividade dieléctrica segundo E

Eε

ε ε

ε⎧ =⎪

= → = ⋅ϑ ←⎨⎪ϑ = ϑ⎩

sE s s s s s

E s

( ) ( )( ) ( )( )

1 1 2 2 3 3

2 2 2 21 2 3

1

2

3

1

sin cos

sin sin

cos

s s s

s s s

s

s

s

= + +

= + + =

= Θ Φ⎧⎪

= Θ Φ⎨⎪ = Θ⎩

s e e e

s

1 1 1 3 3

2 1 1 3 3

γ γγ γ

= +⎧⎨ = − +⎩

d e ed e e

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 22 11 1 1 3 3

3 1 3 1

3 22 12 1 1 3 3

3 1 3 1

sin cos cos

sin cos cos

s s

s s

ε εε εγ γε ε ε ε

ε εε εγ γε ε ε ε

⎧ −−⋅ = + = Θ Φ + Θ⎪ − −⎪

⎨−−⎪ ⋅ = − + = − Θ Φ + Θ⎪ − −⎩

d s

d s

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 1 1 2

2 1

3 2

2 2 2

2

, 1cristal biaxial , 1 1 cos 1 sin cos

ε ε ε ε

ε ζ εε κ ε

εκ

ε ζ

∴ = + − ⋅ ⋅

=⎧⎨ =⎩

Θ Φ ⎛ ⎞→ Θ Φ = = + − Θ − − Θ Φ⎜ ⎟

⎝ ⎠

s c s c s

Σ

Na figura anexa (da página seguinte) representa-se, para 90Θ = e considerando 2κ =

e 5ζ = , ( ),Θ ΦΣ num diagrama polar em função do ângulo Φ .

sΘ

Φ

2X

3X

1X

1e 2e

3e

Carlos R. Paiva 80

Na figura seguinte representa-se, para 0Φ = e considerando novamente 2κ = e 5ζ = ,

( ),Θ ΦΣ num diagrama polar em função do ângulo Θ .

( ) ( ) ( ) ( )2cristal uniaxial 1 1 cosε ε

κ κε ε⊥ ⊥

Θ→ = → Σ Θ = = + − Θ


Na figura anexa representa-se graficamente, para um cristal uniaxial, o quociente

ε ε⊥Σ = em função do ângulo Θ para vários valores do contraste κ .

Outro aspecto físico importante que caracteriza a anisotropia é a possibilidade de existir

um ângulo δ entre os vectores E e ( )εϑ E . Este ângulo é interpretado, no

electromagnetismo baseado na geometria euclidiana de Gibbs, como o ângulo existente

entre E e ( )0 εε= ϑD E . Recorde-se, aqui, que 123 123= =De e DD .

( )1 1 2 2 3 3

1, 2,3 i i

E E s s s

i E E s

= = + +

∴ = → =

E s e e e

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

E E EE E Eε ε ε ε

= + +⎧⎪⎨ ϑ = + +⎪⎩

E e e eE e e e

( )( ) ( )( ), ,ε εδ = ϑ = ϑE E s s

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 cosE E Eε ε εε δ⋅ϑ = ⋅ϑ = = ϑ⎡ ⎤⎣ ⎦E E s s s s

δ

E=E s

( )εϑ s

( )ε s

Carlos R. Paiva 82

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0 123

0

E E

D Eε εε ε

ε ε

= ϑ = ϑ

= ⋅ =

D s s e

s D s

D

( ) ( ) ( )cosεε δ= ϑs s

( )2 2 2

2 1 1 2 32 2 2 2 2 2

3 2 1 2 3

cristal biaxial cos s s ss s s

ε ζ ε ζ κζδε κ ε ζ κ ζ

= + +→ → =

= + +

Na figura anexa representa-se ( ),δ Θ Φ para duas situações distintas: para 90Θ = e

para 0Φ = . Considera-se sempre 2κ = e 5ζ = . Em ambos os casos o ângulo delta

passa por um valor máximo.

eixo dieléctrico principal 0δ→ =

Nota importante: Num cristal biaxial os eixos ópticos não coincidem com qualquer dos

eixos dieléctricos principais; num cristal uniaxial o eixo óptico coincide com um dos

eixos dieléctricos principais. Num meio isotrópico é sempre 0δ = , qualquer que seja a

direcção 3∈s considerada.


No caso uniaxial, em que 1 2ε ε ε⊥= = e 3ε ε= , obtém-se:

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2 2

sin coscristal uniaxial cos

sin cos

ε κκ δ

ε κ⊥

Θ + Θ→ = → =

Θ + Θ.

Na figura anexa representa-se graficamente o ângulo δ em função de Θ para vários

valores do quociente κ . Cada uma dessas curvas passa por um valor máximo. O valor

máximo do ângulo δ , maxδ , ocorre para um valor ( )1max tan κ−Θ = , tendo-se

1max

2cos

1κ

δκ

−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠.

4.6 Magnetoplasma: relações constitutivas Um exemplo importante de um meio anisotrópico é um plasma imerso num campo

magnético 0 0 0 123B= b eB a que corresponde um vector dual 0 0 123 0 0B= − =B e bB e

onde 20 1=b . A este tipo de plasma é costume chamar-se um magnetoplasma: é o caso

da ionosfera em que o campo magnético exterior 0B é o campo magnético da Terra. Em

Carlos R. Paiva 84

tudo o que se segue admite-se que este campo magnético exterior (aplicado) é constante

e uniforme. Num magnetoplasma definem-se as seguintes frequências

20 0

0 0

0 0

0

frequência do plasma:

girofrequência:

p p

g g

q Nm

q Bm

ω ωε

ω ω

→ =

→ =

em que 0 0q > é o módulo da carga do electrão e 0m a sua massa. Designa-se por 0N a

densidade volúmica de electrões livres do plasma. Quando se tem em consideração a

existência de perdas, devidas às colisões entre electrões, define-se ainda a

frequência de colisões: cω .

Para facilidade de escrita das relações constitutivas definem-se, também, as seguintes

grandezas adimensionais complexas (reais apenas no caso em que 0cω = ):

( )

22

2

11

1

1

p

gpp

p gcx

ggg

c p

XY

XX Yi

YY

i X

εω

ω ω ωε

ωω ω ε

⊥

⎧= −⎪ −⎧ ⎪=⎪ ⎪+⎪ ⎪→ = −⎨ ⎨ −⎪ ⎪=⎪ ⎪+ = −⎩ ⎪

⎪⎩

Nestas condições as relações constitutivas de um magnetoplasma assumem a forma

(com 0b um vector real unitário, i.e., com 20 1=b ):

( )

( ) ( )( ) ( )

0 123

0 123

0 0 0 123

magnetoplasma

função dieléctricado magnetoplasma xi

ε

ε

εµ

ε ε ε ε⊥ ⊥

= ϑ⎧⎪→ ⎨=⎪⎩

→ ϑ = + − ⋅ − ∧

e Ee H

E E b E b b E e

D

B


Existem dois casos-limites de interesse:

0

0

0 0, 1 plasma isotrópio0, 1, 1 plasma uniaxial

x p

x p

B XB X

ε ε εε ε ε

⊥

⊥

= ⇒ = = = − ←→∞ ⇒ = = = − ←

∴

( )( ) ( )( )

0

0 0 0

0 plasma isotrópio

1 plasma uniaxial

B

Bε

ε

ε

ε⊥= ⇒ ϑ = ←

→∞ ⇒ ϑ = + − ⋅ ←

E E

E E b E b

Notando que se tem ( ) ( )0 123 0 123∧ ⋅ = − ∧ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦b a e b b b e a , infere-se que:

( ) ( )( ) ( )0 0 0 123xiε ε ε ε ε⊥ ⊥ϑ = + − ⋅ + ∧E E b E b b E e .

Obtém-se, então, a chamada relação de Onsager-Casimir:

( ) ( )0 0relação de Onsager-Casimir ; ;ε ε→ ϑ − = ϑE b E b

No caso de se desprezarem as perdas ( )0cω = , é , , xε ε ε⊥ ∈ . Atendendo a que

( ) ( )ε ω ε ω− = , ( ) ( )ε ω ε ω⊥ ⊥− = e ( ) ( )x xε ω ε ω− = − , infere-se que:

( ) ( )( ) ( )

Re ; Re ;

Im ; Im ;ε ε

ε ε

ω ω

ω ω

ϑ − = ϑ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ϑ − = − ϑ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

E E

E E

Vamos agora calcular os valores próprios da função dieléctrica do magnetoplasma.

Estes valores próprios ε são tais que ( )ε εϑ =a a , ou seja,

Carlos R. Paiva 86

( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0 123F 0xiε ε ε ε ε⊥ ⊥= − + − ⋅ − ∧ =a a b a b b a e

o que implica ter-se

( )equação característica det F 0→ = .

Em geral, tem-se:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

123

3 2 2123

F

det F

α

α α α

= + ⋅ + ∧

= + ⋅ + + ⋅ ∧ + ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

a a u a v w a e

u v w w u v e u w v w

Fazendo então α ε ε⊥= − , ( ) 0ε ε⊥= −u b , 0=v b e 0xiε= −w b , obtém-se

sucessivamente:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )

3 2 2 2

2 2

det F

0

x x

x

x x

ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε ε ε ε

⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

⊥

⊥ ⊥ ⊥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − − − − + −⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

= + − − − − =

∴

( ) ( )1

2 22 1 2 3

3

valores própriosda função dieléctrica detdo magnetoplasma

x

x xε

ε ε εε ε ε ε ε ε ε ε εε ε

⊥

⊥ ⊥

⎧ = +⎪→ = − ⇒ ϑ = = −⎨⎪ =⎩

.

( )

( )

( )

1 1 1 2

2 2 1 2

0 3 3 3 3

1vectores próprios

2da

1função dieléctrica2do magnetoplasma

i j i j

i

i

ε

ε δ

ε

∗

⎫⎧→ = + ⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪→ → = − ← ⋅ =⎨ ⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪

= ⎪ ⎪→ =⎪ ⎪⎩ ⎭

v e e

v e e v v

b e v e

.


Tal como no caso dos cristais uniaxiais e biaxiais, é possível introduzir uma

permissividade dieléctrica (relativa) do magnetoplasma segundo uma dada direcção s .

( ) ( )2 1 permissividade dieléctrica segundo εε= → = ⋅ϑ ←s s s s s

Como neste caso ( ) ( )0 123 0 123 0⋅ ∧ = ∧ ∧ =⎡ ⎤⎣ ⎦s b s e s b s e , obtém-se uma valor ( )ε ∈s

que não depende de xε :

( ) ( )( )20

permissividade dieléctricado magnetoplasma segundo

ε ε ε ε⊥ ⊥→ = + − ⋅s b ss

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

02 2

cos1, cos sinε ω ε ωε

κ ωκε⊥

⋅ = Θ⎧⎡ ⎤⎪∴ ⇒ Θ = Θ + Θ⎨ ⎢ ⎥

= ⎣ ⎦⎪⎩

s b.

A título de exemplo considere-se que o vector unitário 0b está alinhado com o eixo 3X .

Neste caso a matriz associada à função linear ( )εϑ E é dada por

( ) ( )00

0 0

x

i j i j i j x

iiε

ε εε ε ε ε

ε

⊥

⊥

⎛ ⎞−⎜ ⎟= → = ⋅ϑ → = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ε e e ε .

Comentário: Só as matrizes simétricas são diagonalizáveis: a matriz ε do

magnetoplasma não pode ser, portanto, reduzida à forma diagonal.

Carlos R. Paiva 88

Nota: Se 3, , ∈a b c , vem sucessivamente:

( ) ( )123 123⋅ ∧ = ∧ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦a b c e a b c e

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

i j i j

a a ab b bc c c

δ= + +⎧

⎪⋅ = → = + +⎨⎪ = + +⎩

a e e ee e b e e e

c e e e

( )1 2 3

1 2 3 123 123

1 2 3

a a ab b bc c c

β β β= ⇒ = ∧ ∧ = ⇒ ⋅ ∧ = −⎡ ⎤⎣ ⎦V a b c e a b c e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 123β∴ ⋅ × = ⋅ × = ⋅ × = ⇒ ⋅ × = − ⋅ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦a b c b c a c a b a b c a b c e .

4.7 Meios bianisotrópicos: propagação de ondas electromagnéticas Vai-se, agora, analisar a propagação de ondas electromagnéticas em meios

bianisotrópicos ilimitados sem fontes do campo, i.e., com 0ρ = e 0=J . Então, para

ondas monocromátias da forma ( )exp i tω⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦k r , tem-se

vector de onda no meio → k

,

00 00

i it

t

t

ω

ωω

∂− ∇

∂

∂∇∧ = −

∂ ∧ =∂ ∧ = −

∇∧ =∴∂ ∧ =

∇∧ = ∧ =∇∧ =

k

Ek Ek HHkk

B

B

D D

D

D B

B

No caso dos meios bianisotrópicos, tem-se então (admitindo que todas as funções

lineares admitem inversa):


0 0 0

00

0 0

constante de propagação no vácuo

1impedância do vácuo

kc

ZY

ωω ε µ

µε

→ = =

→ = =

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

123 0 0 0 123 0 0

123 0 0123 0 0 0

k

k

ε ξ µ ζ

ε ξµ ζ

ε ε µ ω µ

ωεµ ε µ

⎧ ⎡ ⎤= ϑ + ϑ ∧ = − ϑ − ϑ⎧⎪ ⎣ ⎦ ⎪⇒⎨ ⎨∧ = ϑ + ϑ⎡ ⎤= ϑ + ϑ ⎪⎪ ⎩⎣ ⎦⎩

e E H k E e H E

k H e E He H E

D

B

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

1

123 0 0

1123 0

0

1

vectores auxiliares1

HE

HE

k

k

εζ

ξµ

ω ε

ω µ

−

−

= ϑ= ∧ + ϑ⎧⎪→ →⎨ = ∧ − ϑ⎪⎩ = − ϑ

E AA k E e E

A k H e H H A

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

20 123 0

20 123 0

equações de onda 0para

0meios bianisotrópicos

E E

H H

k k

k k

ε µ ξ µ

µ ε ζ ε

−1 −1

−1 −1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ϑ + ∧ϑ − ϑ ϑ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦→⎡ ⎤ ⎡ ⎤ϑ + ∧ϑ + ϑ ϑ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

E k A e A

H k A e A

As duas equações de onda são equivalentes: qualquer das duas equações serve para

determinar as ondas características do meio bianisotrópico.

4.8 Cristais biaxiais e uniaxiais: ondas características Vamos agora determinar as ondas características que se propagam num cristal biaxial.

Como o cristal é não magnétio, tem-se ( )µϑ =H H . Recorde-se, aqui, que:

( )( ) ( ) ( )1 2 2 1

3 1

função1 dieléctrica2

ε

α εα β

β ε ε

2=⎧⎪ → ϑ = + ⋅ + ⋅ ←⎡ ⎤⎨ ⎣ ⎦= −⎪⎩

a a d a d d a d

( ) ( ) ( )0

0 0 1 2 2 1

03 1

funçãoimpermissividade

1 1 1dieléctrica

2

ε

αε

α ββ

ε ε

2 −1

1⎧ =⎪⎪ → ϑ = + ⋅ + ⋅ ←⎡ ⎤⎨ ⎣ ⎦⎛ ⎞⎪ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

a a c a c c a c

Carlos R. Paiva 90

( )( )( )( )

( )

2 1 3 31 1

3 1 2 2 1 1 1 3 3

2 1 1 3 33 2 1 13 3

3 1 2 2

3 21 2

2 1

2 1, cos1

ε ε ε ετ γε ε ε ε τ τ

τ τε ε ε ετ γε ε ε ε

ε ε κ κ ζκ ζ θε ε κ ζ

⎧ −= =⎪

− = +⎪ ⎧→⎨ ⎨ = − +⎩−⎪

= =⎪ −⎩

− −= = → ⋅ = =

−

c e ec e e

c c

Nestas condições, vem sucessivamente:

( )

( )123

2 10 123equação de onda num cristal biaxial 0

H

Hk ε−

= ∧ = − ×

⎡ ⎤→ + ∧ϑ =⎣ ⎦

A k H e k H

H k A e

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2123 123 123

1 123 12

2 123 2

1 2 2 2123 0 0 0

ˆ ˆˆ ˆ, 1

ˆ ˆ

Hε α α β−

∧ ∧ = − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

= − ∧ = ×= = →

= − ∧ = ×

⎡ ⎤∴ ∧ϑ = ⋅ − − ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

k k H e k H e k H k e

u k c e k ck k k k

v k c e k c

k A e k H k k H k u H v v H u

( ) ( ) ( )2 2 20 0 0Fkλ α λ β= − → = − ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦k H H k u H v v H u

( ) ( ) ( )0função de onda de um meio biaxial W F 0α→ = + ⋅ =H H k H k

( ) ( ) ( )0det W det F Fα= + ∧ ⋅V V k V k

( ) ( )

( ) ( )

22 2 2 2 20 0

2 20 0

det F ,

equação característica det W 0 0k

λ λ β β

λ α

= Λ Λ = − ⋅ −

∴

→ = + Λ = Λ = ⇒ Λ =

k u v k u v

k

( )( )2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

1 1 2 2

0

ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,a a b b a a b b

λ β β λ β βΛ = − ⋅ + − ⋅ − =

= × = × = × = ×

k u v k u v k u v k u v

u k c u k c v k c v k c


( )( )

22 20

0 02 2

22 20

0 02 2

1onda ondas características

do cristal biaxial 1onda b

a a a aa a

b b b bb b

kan

kn

α β

α β

→ = = + ⋅ −

→→ = = + ⋅ +

u v u vk

u v u vk

( )

( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 21 1

1 1 2 2

2 21 2

3

,cosˆ ,

ˆ ˆcos , cosˆ , sin , sin,

θθ

δδ δ

δ δ δδ

=⋅ =⎧

= ⎪⎪→ ⋅ = ⋅ =⎨= ⎪ = =⎪⎩=

c cc c

k ck c k c

k c u vu v

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

3 1 2 3

1 2 1 2 1 2 1 2

1 23

1 2

cos sin sin cosˆ ˆ ˆ ˆ cos cos cos

cos cos coscos

sin sin

δ δ δ δ

θ δ δ

θ δ δδ

δ δ

⎧ ⋅ = =⎪⎨

⋅ = × ⋅ × = ⋅ − ⋅ ⋅ = −⎪⎩

−∴ =

u v u v

u v k c k c c c k c k c

( ) ( )

( ) ( )

2 30 0 1 22

2 30 0 1 22

ONDAS CARACTERÍSTICAS DO CRISTAL BIAXIAL

1onda do cristal biaxial 2 sin sin sin2

1onda do cristal biaxial 2 sin sin cos2

a

b

an

bn

δα β δ δ

δα β δ δ

⎛ ⎞→ = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞→ = + ⎜ ⎟⎝ ⎠

Nota importante: É fundamental fazer a distinção entre ( )1 2,φ = d d e ( )1 2,θ = c c ,

não só porque θ φ≠ no caso biaxial (o caso uniaxial corresponde a 0θ φ= = ) mas

também porque as direcções ( )1 2,c c é que correspondem aos eixos ópticos do cristal

biaxial. As direcções ( )1 2,d d , embora sendo os dois eixos que definem εϑ , não

coincidem com os eixos ópticos do cristal ( )1 2,c c e que definem ε−1ϑ .

Carlos R. Paiva 92

( ) ( ) ( ) ( )3 1 2ˆem coordenadas esféricas cos sin cos sin→ = Θ + Θ Φ + Φ⎡ ⎤⎣ ⎦k e e e

( )( )( )( )

2 1 3 21 1

3 1 21 1 1 3 3 1

2 1 1 3 3 33 2 13 3

23 1 2

1

3

0

sin2

1cos2

sin2

tan tan2 2

cos2

ε ε ε

ε ε εθ ετ κ γ ζε ε ετ τ ετ τ εε ε εθ κτ γ εε ε εζ

φγθ φκ ζ

φγ

3 2 1> > >

⎧ −⎛ ⎞ ⎧= = =⎪ =⎜ ⎟ ⎪−⎝ ⎠= + ⎪⎧ ⎪→ ←⎨ ⎨ ⎨= − +⎩ −⎪ ⎪⎛ ⎞ == = =⎜ ⎟⎪ ⎪⎩−⎝ ⎠⎩⎧ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ =⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎪ = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

c e ec e e

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 21 2 3 1

1 1

2 2

1 23

1 2

2 1cos1

ˆcos cos cos sin sin cos2 2

ˆcos cos cos sin sin cos2 2

cos cos coscos

sin sin

κ κ ζθ τ τκ ζ

θ θδ

θ θδ

θ δ δδ

δ δ

− −⋅ = = − =

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = Θ + Θ Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = Θ − Θ Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−=

c c

k c

k c

Quando 1 2 2δ δ θ= = vem ( )3cos 1δ = − e, portanto, 3 180δ = tal como se ilustra na

figura seguinte.

⊗

2X

3X

1X

2δ 1δ

3ˆ =k e

1c2c

1 2 32θδ δ δ π= = ⇒ =


Por outro lado, quando ( )1 2δ π θ= − e ( )2 2δ π θ= + , vem ( )3cos 1δ = e, portanto,

3 0δ = tal como se ilustra na figura seguinte.

Nas figuras anexas representam-se, para vários valores do ângulo Φ , os quocientes

2a anη ε= e 2b bnη ε= das duas ondas características de um cristal biaxial em

função do ângulo Θ . Considera-se, sempre, que 2 1 1.5ζ ε ε= = e que 3 2 2κ ε ε= =

( )90θ = .

⊗

2X

3X

1X

2δ

1δ

1ˆ =k e

1c2c

1 2 3, 02 2

π θ π θδ δ δ− += = ⇒ =

Carlos R. Paiva 94


Na figura seguinte representam-se, num diagrama polar para 0Φ = , os quocientes

2a anη ε= e 2b bnη ε= correspondentes às duas ondas características ( a e b ) de

um cristal biaxial em função do ângulo Θ . Considera-se, novamente, que

2 1 1.5ζ ε ε= = e 3 2 2κ ε ε= = ( )90θ = . Neste corte ( )0Φ = são visíveis os dois

eixos ópticos 1c e 2c do cristal biaxial.

Carlos R. Paiva 96

A figura anexa é uma representação 3D das duas ondas características nas mesmas

condições dos gráficos anteriores: 2 1 1.5ζ ε ε= = , 3 2 2κ ε ε= = . Neste caso as

superfícies correspondem a 2a anη ε= e 2b bnη ε= .

Vamos agora analisar o caso-limite do cristal uniaxial. Neste caso existe apenas um eixo

óptico dirigido ao longo do eixo 3X .

( ) ( ) ( )

1 2 3

1 2 3

1 2

1 2 3

CASO UNIAXIAL: 0

,

sin sin cos

, 0

φ θ

ε ε ε ε ε

δ δ δ

⊥

= =

= = =

= = =

= = Θ Φ + Φ⎡ ⎤⎣ ⎦= = Θ =

c c e c

u v e e


22

20 0

22

2 20 0 0

ONDAS CARACTERÍSTICAS DO CRISTAL UNIAXIAL

1onda ordinária

1onda extraordinária2

oo

ee

b

nk

nk

εα

α β

⊥→ = = =

→ = =+

k

ku

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

22 2

2

2

ONDA EXTRAORDINÁRIA

cos sin

1 1 cos

e

e

n

n

ε ε ε εε ε ε

ε κκε ε κ

⊥ ⊥

⊥

⊥ ⊥

Θ = =Θ + Θ Θ

Θ= → Ξ Θ = =

+ − Θ

Na primeira figura anexa representa-se Ξ em função de Θ para vários valores de κ .

Carlos R. Paiva 98

Na figura seguinte representa-se Ξ em função de κ para vários valores de Θ .

Conceito de eixo óptico: É agora possível entender a natureza física do conceito de eixo

óptico. Quando k é paralelo a 1c é 1ˆ 0= × =u k c ; quando k é paralelo a 2c é

2ˆ 0= × =v k c . Logo, em ambos os casos, é 0 21a bn n α ε= = = (cristais biaxiais) ou

01o en n α ε⊥= = = (cristais uniaxiais).

2 2 20

1 2 2

1 2

direccções em que as duas ondas característicasEIXOS ÓPTICOS

têm o mesmo valor de

cristais biaxiais dois eixos ópticos: ,

cristais uniaxiais um eixo óptico: a b

o e

n k

n n

n n

ε

ε⊥

⎡→ ⎢ =⎣

→ → = =

→ = = → = =

k

c c

c c c

Nas duas figuras anexas representam-se as duas superfícies do vector k (para a onda

ordinária e para a onda extraordinária) nos casos: (i) de um cristal uniaxial positivo

( )ε ε⊥> ; (ii) de um cristal uniaxial negativo ( )ε ε⊥< .


4.9 Magnetoplasma: ondas características Nesta secção vamos determinar as ondas características que se propagam num

magnetoplasma, i.e., num plasma imerso num campo magnético aplicado (exterior)

constante e uniforme. Como o meio é não magnétio, tem-se (tal como nos cristais não

magnéticos) ( )µϑ =a a . Recorde-se, aqui, que:

3X

1X

c ok

ek

0kε 0kε⊥

ε ε⊥<

onda ordinária

onda extraordinária

3X

1X

cek

ok

0kε0kε⊥

ε ε⊥> onda

ordinária

onda extraordinária

Carlos R. Paiva 100

( )

( ) ( )( ) ( )

0 123

0 123

0 0 0 123

magnetoplasma

função dieléctricado magnetoplasma xi

ε

ε

εµ

ε ε ε ε⊥ ⊥

= ϑ⎧⎪→ ⎨=⎪⎩

→ ϑ = + − ⋅ − ∧

e Ee H

E E b E b b E e

D

B

Neste caso é ( ) 123E = ∧A k E e , pelo que

( ) ( ) 2123E∧ = ⋅ −k A e k E k k E .

A equação das ondas características é agora

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )2 20

W F 0det W 0

F k ε

= + ⋅ =⎧⎪ → =⎨= ϑ −⎪⎩

E E k E k

E E k E

obtendo-se, com ( ) ( ) ( )† 1detε ε ε−ϑ = ϑ ϑa a ,

( )( ) ( )

( )

† † 4 2

0

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆtr 0

det

A

B A n B n C nk

C

ε

ε ε

ε

⎧ = ⋅ϑ⎪⎪ ⎡ ⎤= ⋅ ϑ − ϑ → + + = ← = =⎨ ⎣ ⎦⎪

= ϑ⎪⎩

k kkk k k n k .

Atendendo à forma específica da função dieléctrica do magnetoplasma, tem-se:

( ) ( )( )( )( )

2 2

0 0

2

0

2 2

ˆ ˆ

ˆ 2

x

A

B

C

ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε

⊥

⊥ ⊥

⊥

⎧ = ⋅ − ∧⎪⎪

= − − ∧ −⎨⎪

= −⎪⎩

k b k b

k b

ou, introduzindo ( )0ˆ ,θ = k b pelo que ( ) ( )

2 20

ˆ cos θ⋅ =k b e ( ) ( )2 2

0ˆ sin θ∧ = −k b ,


( ) ( )( ) ( )( )

2 2

2

2 2

cos sin

sin 2

x

A

B

C

ε θ ε θ

ε ε θ ε ε

ε ε ε

⊥

⊥ ⊥

⊥

⎧ = +⎪⎪ = − −⎨⎪

= −⎪⎩

Doravante apenas se vai considerar o caso do magnetoplasma sem perdas, i.e., em que a

frequência de colisões é desprezável ( )0cω = :

( )( )( )

22

2 222

22 2

11

11 1

1

p

gp

pp g p g

x xgg g

gp

XY

X X Y X YY YY

X

εωω ε ε ε ε εωω ε

⊥

⊥ ⊥

⎧= −⎪ −⎧ ⎪

=⎪ ⎪⎪ ⎪→ = − → = − − =⎨ ⎨ − −⎪ ⎪=⎪ ⎪⎩ = −⎪⎪⎩

.

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

cos sin

2 cos 2 sin

cos sin

x

x x

A

B

C

ε θ ε θ

ε ε θ ε ε ε ε θ

ε ε ε θ ε ε ε θ

⊥

⊥ ⊥ ⊥

⊥ ⊥

⎧ = +⎪⎪ = − + − −⎨⎪

= − + −⎪⎩

( ) ( )( )( )( )

2 22

2 2 2 2

ondas característicastan

num magnetoplasmax x

x

n n

n n

ε ε ε ε εθ

ε ε ε ε⊥ ⊥

⊥ ⊥ ⊥

− + − −→ = −

− − +.

Existe uma forma equivalente de apresentar esta última equação. Basta atender a que, se

se fizer 2 1n x= − , vem

( ) ( )( )

( )

24 2

2

2

0 1 1 0

224

2 2

21 1

2

A n B n C A x B x C

A B CA BB AC x

A A B

A B Cn x

A B

+ + = → − + − + =

+ ++ ∆∆ = − → = =

+ ± ∆

+ +∴ = − = −

+ ± ∆

∓

Note-se que, no caso do magnetoplasma, se tem

Carlos R. Paiva 102

( ) ( ) ( )22 2 4 2 2 2sin 4 cosx xε ε ε ε θ ε ε θ⊥ ⊥∆ = − − + .

Obtém-se, deste modo, a equação conhecida na literatura por equação de Appleton-

Hartree:

( )( )

( )( )

( )

2

2 2 4 42 2

2

equação de1

Appleton-Hartree sin sin1 cos

2 1 4 1

p

g gg

p p

Xn

Y YY

X X

θ θθ

→ = −

− ± +− −

.

Dois casos-limites importantes podem ser considerados: (i) propagação longitudinal,

quando 0θ = ; (ii) propagação transversal, quando 2θ π= .

( )

( ) ( )

22

2

22 2

Magnetoplasma (sem perdas): ONDAS CARACTERÍSTICAS

0 propagação longitudinal 1 11

propagação transversal 12

12 1 2 1

p p

g g

p

g g

p p

Xn

Y

Xn

Y YX X

ωθ

ω ω ω

πθ

= → → = − = −± ±

= → → = −− ±

− −

Assim, no caso da propagação transversal, as duas ondas características recebem – tal

como nos cristais uniaxiais – o nome de onda ordinária e onda extraordinária: a onda

ordinária não depende do campo aplicado; a onda extraordinária depende do campo

aplicado através de gY . Vem então:

( ) ( )( )

22

2 2 22

2 2 2 2 2

PROPAGAÇÃO TRANSVERSAL: 2

onda ordinária 1 1

1onda extraordinária 1 1

1

po p

p pp pe

p g p g

n X

X Xn

X Y

πθ

ωω

ω ω ω

ω ω ω ω

=

⎛ ⎞+ → → = − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

−−− → → = − = −

− − − −


Nas duas figuras que se seguem representam-se as duas soluções da equação de

Appleton-Hartree em função do ângulo θ . Na primeira figura considera-se 4pX = e

8gY = ; na segunda figura considera-se 8pX = e 4gY = .

Carlos R. Paiva 104

Na próxima figura anexa representa-se, para o caso da propagação longitudinal, 2n+ e 2n−

em função da frequência normalizada pω ωΩ = . Considera-se que 2g pω ω= (i.e.,

2gΩ = ).

Note-se que, nesta última figura, 2 0n+ = para ( )2

1 1 2 2g gΩ = + Ω −Ω e que, por sua

vez, 2 0n− = para ( )2

2 1 2 2g gΩ = + Ω +Ω : a onda n+ propaga-se para 1Ω > Ω e é

evanescente para 1Ω < Ω ; a onda n− propaga-se para 0 g< Ω < Ω e para 2Ω > Ω , sendo

evanescente para 2gΩ < Ω < Ω . Para gΩ < Ω o valor mínimo de 2n− é atingido para

2gΩ = Ω e vale 2 21 4 gn− = + Ω . Existe uma ressonância da onda n+ para gΩ = Ω : para

esta frequência esta onda tem uma velocidade de fase nula.

Na figura seguinte representa-se, para o caso da propagação transversal, 2on e 2

en em

função da frequência normalizada pω ωΩ = . Considera-se, novamente, 2gΩ = .


A onda ordinária propaga-se para 1Ω > . A onda extraordinária tem uma ressonância em

20 1 gΩ = +Ω e propaga-se em dois intervalos: para 1 0Ω < Ω < Ω e para 2Ω > Ω ,

tendo-se

( ) ( )1 2 1 2

2 21 21 4 , 1 4

2 2g g

g g g g

Ω Ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ω = + Ω − +Ω Ω = + Ω + +Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

4.10 Rotação de Faraday Na propagação longitudinal num magnetoplasma é possível observar um efeito não

recíproco conhecido por rotação de Faraday. Nesta secção vamos analisar este efeito.

Tal como se viu na secção anterior, as duas ondas características são, neste caso, dadas

por:

( )

( )

2 2

2 2

11propagação longitudinal

num magnetoplasma 11

Rg p

gL g

g p

n n

n n

ωω

ωω

−

+

⎫⎧ ⎧= = − Ω =⎪⎪ ⎪Ω Ω−Ω⎪ ⎪ ⎪→ ←⎨ ⎬ ⎨⎪ ⎪ ⎪= = − Ω =⎪ ⎪ ⎪Ω Ω+Ω ⎩⎩ ⎭

Carlos R. Paiva 106

As duas ondas características têm, neste caso, polarizações circulares ortogonais: a onda

0ˆ

R Rn k=k k , com Rn n−= , tem polarização circular direita; a onda 0ˆ

L Ln k=k k , com

Ln n+= , tem polarização circular esquerda. Uma onda com polarização linear pode ser

decomposta na soma de duas ondas com polarizações circulares ortogonais com a

mesma amplitude. Na propagação longitiudinal num magnetoplasma, porém, estas duas

ondas características têm diferentes velocidades de fase. Diz-se, por isso, que o meio se

comporta como tendo birrefringência circular. Consequentemente, como se demonstra a

seguir, verifica-se uma rotação da direcção da propagação linear ao longo da

propagação.

birrefringência circularda propagação longitudinal

num magnetoplasma

Rp

R

Lp

L

cvncvn

⎧ =⎪⎪→ ⎨⎪ =⎪⎩

( ) ( ) ( )

( ) ( )123

polarização linear , , ,

ˆ ˆ ˆ ˆ0, , ,

0 0, exp

R Lt t t

t i tω

→ = +

⋅ = = ∧ = = − = − =

= → = = −

E r E r E r

k a B k a k a ak b Be a b

r E r a

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1, exp polarização circular direita21, exp polarização circular esquerda2

R R

R L

t i i t

t i i t

ω

ω

⎧ = + ⋅ − ←⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎪⎨⎪ = − ⋅ − ←⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎩

E r a b k r

E r a b k r

ˆ= ∧B k a

k

a

123= −b Be


( ) ( )

( ) ( )

123

123

1ˆ ˆ ˆˆPCD2

1ˆ ˆ ˆˆPCE2

R R

L L

i i

i i

→ = + → = − ∧

→ = − → = ∧

R a b E k E e

L a b E k E e

( ) ( )( ) ( )

( )( )

00

0 0

ˆ ˆ2

ˆˆ2

R L R R

L LR L

kn n n k

k n kn n

⎧Φ = + ⋅ ⎧ Φ +Ψ = ⋅ = ⋅⎪⎪ ⎪⇒⎨ ⎨Φ −Ψ = ⋅ = ⋅⎪ ⎪Ψ = − ⋅ ⎩⎪⎩

k r k r k r

k r k rk r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1, exp21, exp2

R

L

t i i t

t i i t

ω

ω

⎧ = + Φ +Ψ −⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎪⎨⎪ = − Φ −Ψ −⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎩

E r a b

E r a b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

, exp

cos sin

t i tω= Φ −⎡ ⎤⎣ ⎦

= Ψ − Ψ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

E r E r r

E r a r b r

( ) 0

2ˆ

L Rkn nΓ = −

⇒ Ψ = −Γ= ⋅k r

Γ

Ψ

( )0 , tE r

b

ak

Carlos R. Paiva 108

Na figura anexa representa-se 02 L Rk n nγ λ π= Γ = Γ = − em função da frequência

normalizada pω ωΩ = no intervalo 1 gΩ < Ω < Ω . Considera-se 2g g pω ωΩ = = .

( ) ( )0

2 1 11 1L Rg g

n nk

γ Γ= = − = − − −

Ω Ω+Ω Ω Ω−Ω.

Como se verifica através da última figura, 0Γ < pelo que 0Ψ > . Assim, como o

campo exterior 0 0 0B=B b é paralelo a k (propagação longitudinal), a rotação de

Faraday efectua-se no sentido retrógrado (i.e., horário) para quem vê a onda a

aproximar-se. Porém, se esta onda sofrer uma reflexão e começar a propagar-se no

sentido contrário a 0b , a rotação passa agora a efectuar-se no sentido directo (i.e., anti-

horário) para um observador que, de novo, veja a onda a aproximar-se. Isto significa

que, num percurso de ida e volta, a rotação total observada será de 2Ψ , sendo Ψ a

rotação observada em cada percurso (de ida ou de volta). Esta duplicação do ângulo de

rotação é uma consequência directa da não reciprocidade do efeito de Faraday num

magnetoplasma.


Comentário: Na verdade, as ondas com polarização circular direita (PCD) e polarização

circular esquerda (PCE) têm um andamento da forma (com 0 ˆE=a a e 2ˆ 1=a )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

1ˆ ˆ ˆˆPCD , Re exp2 2

1ˆ ˆ ˆˆPCE , Re exp2 2

R R

L L

Ei t i t

Ei t i t

ω

ω

⎧ ⎫⎪ ⎪→ = + → = ⋅ −⎡ ⎤⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪→ = − → = ⋅ −⎡ ⎤⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

R a b E r R k r

L a b E r L k r

em que ( ) 123 123ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ= − ∧ = − = ×b k a e Be k a e 2 2ˆ ˆ 1= − = −B b . Mas

( )123 123 123

123

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ

∧ = = − = − = −

∴ ∧ =

k b k b k Be k k ae ae

k b e a

( )( )

123

123

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

i

i

= − ∧

= ∧

R k R e

L k R e

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

ˆˆPCD , cos sin cos2

ˆˆPCE , cos sin cos2 L

R R

L

Et t t t

Et t t t

ω ω ω

ω ω ω

⎡ ⎤→ = + ⋅ −⎣ ⎦

⎡ ⎤→ = − ⋅ −⎣ ⎦

E r a b k r

E r a b k r.

a

b

k

PCE

a

b

k

PCD

Carlos R. Paiva 110

4.11 Actividade óptica em meios quirais Comecemos por repetir aqui as relações constitutivas de um meio quiral (isotrópico) no

domínio da frequência. Admite-se, em tudo o que se segue, que o meio não tem perdas,

i.e., que 0ε > , 0µ > e 2 0χ > .

( )( )

123 0 0 0

123 0 0 0

meio quirali

i

ε ε ε µ χ

µ µ ε µ χ

⎧ = +⎪→ ⎨= −⎪⎩

e E H

e H E

D

B

Neste caso tem-se: ( )ε εϑ =a a ; ( )µ µϑ =a a ; ( ) ( ) iξ ζ χϑ = −ϑ =a a a . Note-se que

( ) ( )1µ µ−1ϑ =a a . Vem ainda

( ) ( ) ( )1123 0 123 0

1 1E E Ei k i kµ

χχµ µ µ

−= ∧ − ⇒ ϑ = = ∧ −A k E e E A A k E e E .

A equação geral de propagação num meio bianisotrópico

( ) ( ) ( )20 123 0 0E Ek kε µ ξ µ

−1 −1⎡ ⎤ ⎡ ⎤ϑ + ∧ϑ − ϑ ϑ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦E k A e A

reduz-se, deste modo, à forma

( ) ( )W 0 det W 0= → =E

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 20

123

0

23 2 2 2

W2

det W 0

k

i k

λ ε µ χλ

χ

λ λ λ

⎧ = − −⎪ → = + ⋅ − ∧⎨=⎪⎩

∴ = + + + ⋅ =

kE E k E k u E e

u k

k u k u

( )( )2 2 2 2 20

2 2 2 2 20

4 0

4 0

k

k

λ λ χ

λ λ χ

+ − =

∴ ≠ − ⇒ − =

k k

k k


Em conclusão: Desde que 2ε µ χ≠ , as duas ondas características observam a equação

( ) ( )( )

24 2 2 2 2 40 0

22 2

0

0

2 0.

ondas características de um meio quiral

k k

k

nk

ε µ χ ε µ χ

ε µ χ

ε µ χ±±

− + + − =

∴ = ±

→ = = ±

k k

k

k

Vai-se agora mostrar que a onda n+ tem PCD e que a onda n− tem PCE. Mas, antes,

vai-se provar que as ondas características são ondas TEM.

( ) ( )3

3 3123 123, ∈ → ∧ = ⋅ ∈a b a be a b e ∧

123

123

0 0

0 0

⎧ = → ∧ = ⇔ ⋅ =⎪⎨

= → ∧ = ⇔ ⋅ =⎪⎩

De k k D

Be k k B

D D

B B

0 0 0 0 0 0

0 0 00 0 0

00

0

i i

ii

ε ε ε µ χ ε ε ε µ χ

ε µ χ µ µµ µ ε µ χ

⎧ ⎛ ⎞∧ = ⋅ + ⋅ = ⋅⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⇒ =⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅−∧ = ⋅ − ⋅ = ⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠⎩

k k E k H k Ek Hk k H k E

D

B

2 0 ondas TEMε µ χ∴ ≠ ⇒ ⋅ = ⋅ = ←k E k H

( ) ( )

( ) ( )123

2 2 2 20 0 0 123

0 W 0

ˆ2 0k n k i n k

λ

ε µ χ χ± ± ± ±

⋅ = ⇒ = − ∧ =

⎡ ⎤∴ − − − ∧ =⎣ ⎦

k E E E u E e

E k E e

( )

( )

2 2 2 20 0 0

123

2

PCD0

PCE

k n k n k

i

λ ε µ χ χ± ± ±

± ±

= − − =

⎧ + →⎪∴ ± ∧ = ⇒ ⎨− →⎪⎩

E k E e

∓

Assim, tal como se viu no caso da rotação de Faraday associada à propagação

longitudinal num magnetoplasma, existe também uma rotação da polarização linear

devida à birrefringência circular dos meios quirais que é designada na literatura por

Carlos R. Paiva 112

actividade óptica. Porém, existe uma diferença essencial: enquanto a rotação de Faraday

é um efeito não recíproco (associado à não reciprocidade da anisotropia do

magnetoplasma), a actividade óptica é um efeito recíproco (associado à reciprocidade da

isotropia quiral). Isto significa que, se se verificar uma rotação da direcção de

polarização linear de um ângulo Ψ ao longo de uma certa distância, a rotação total será

nula se essa onda for reflectida e percorrer a mesma distância mas agora no sentido

diametralmente oposto (e não 2Ψ , como na rotação de Faraday).

4.12 Dispersão espacial Uma forma alternativa de descrever os meios bianisotrópicos é através da dispersão

espacial. Vejamos como.

( ) ( )

( ) ( )123 0 0 0

123 0 0 0


µ ζ

ε ε µ

µ ε µ

⎧ ⎡ ⎤= ϑ + ϑ⎪ ⎣ ⎦→ ⎨⎡ ⎤= ϑ + ϑ⎪ ⎣ ⎦⎩

e E H

e H E

D

B

ωω

∧ =⎧⎨ ∧ = −⎩

k Ek H

B

D

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

1

123 0 0

1123 0

0

1

vectores auxiliares1

HE

HE

k

k

εζ

ξµ

ω ε

ω µ

−

−

= ϑ= ∧ + ϑ⎧⎪→ →⎨ = ∧ − ϑ⎪⎩ = − ϑ

E AA k E e E

A k H e H H A

( ) ( )

( ) ( )

00 123 123

00 123 123

meio comdispersãoespacial

E

H

Y

Z

ε ξ µ

µ ζ ε

εω

µω

−1

−1

⎧ ⎡ ⎤= ϑ − ϑ ϑ⎣ ⎦⎪⎪→ ⎨⎪ ⎡ ⎤= ϑ + ϑ ϑ⎣ ⎦⎪⎩

E e A e

H e A e

D

B

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

00 123 0 123 123 123

00 123 0 123 123 123

Y

Z

ε ξ µ ζ ξ µ

µ ζ ε ξ ζ ε

ε εω

µ µω

−1 −1

−1 −1

⎧ ⎡ ⎤= ϑ − ϑ ϑ ϑ − ϑ ϑ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦⎪⎪∴ ⎨⎪ ⎡ ⎤= ϑ − ϑ ϑ ϑ + ϑ ϑ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦⎪⎩

E e E e k E e e

H e H e k H e e

D

B

Um meio cujas relações constitutivas dependem do vector de onda k é, com efeito, um

meio com dispersão espacial: no domínio de Fourier, o aparecimento dos termos com k

corresponde à existência de derivadas espaciais uma vez que i∇ k . Deve referir-se

que, ao descrever um meio através da dispersão espacial e não através das relações


constitutivas bianisotrópicas, as condições fronteira são diferentes das habituais na

teoria electromagnética – tal como o vector de Poynting também será diferente. Não se

recomenda, portanto, a utilização da formulação com dispersão espacial na resolução de

problemas de electromagnetismo.

Vamos analisar a dispersão espacial no caso particular de um meio quiral isotrópico.

( ) ( )

( ) ( )

20 0123

20 0123

meio quiralexibindo explicitamente

dispersão espacial

Yi

Zi

ε ε µ χ χµ ωµµ ε µ χ χε ωε

⎧ = − + ∧⎪⎪→ ⎨⎪ = − + ∧⎪⎩

Ee k E

H e k H

D

B

4.13 É possível a existência de meios de Tellegen? Vamos agora analisar a questão da não reciprocidade em meios isotrópicos. Mais

precisamente: a possibilidade de existirem meios de Tellegen. Antes, porém, discute-se

um problema também importante: o vector excitação magnética H e o bivector

excitação eléctrica D são únicos?

3

3123

magnetodinâmica em :0


iC

iC

ω

ωρ

∇∧ =⎧⎨∇∧ =⎩∇∧ = −⎧⎨∇∧ =⎩

E

He

B

B

J D

D

Vai-se então começar por mostrar que é possível introduzir um vector ( ),ωQ r que

permite redefinir as equações de Maxwell conservando, porém, a sua forma.

iω

ρ ρ ρ

′→ =′→′→ = −′→ = +∇∧′→ =′→ =

E E E

H H H QQ

B B =B

D D D

J J J

Carlos R. Paiva 114

Notando que o grupo da magnetodinâmica fica invariante ( ),′ ′= =E E B B , apenas

temos de analisar o que se passa com o grupo da electrodinâmica.

( )( )

( )

ii i

ii

i i

ωω ωωω

ω ω

′∇∧ = ∇∧ −= − − ∇∧= − +∇∧

′ ′= −

′ ′ ′∴ ∇∧ = − ∇∧ = −

H H QQ

Q

H H

J D

J D

J D

J D J D

Além disso, uma vez que 0∇∧∇∧ =Q , tem-se:

( )

123

123

123 123

ρρ

ρ ρ

′∇ ∧ = ∇∧ +∇∧= ∇∧

′

′ ′∴ ∇∧ ∇∧

Q

= e= e

= e = e

D D

D

D D

Fica, assim, demonstrado que as equações de Maxwell permanecem invariantes sob a

transformação considerada. Deve acrescentar-se, contudo, uma facto importante: as

condições fronteira não são as mesmas em ambos os casos.

Vai-se, agora, aplicar o resultado anterior ao problema central desta secção: é possível a

existência física de meios de Tellegen?

( )( )

0 0 0 123

0 0 0 123

meio de Tellegenε ε ε µ κ

µ µ ε µ κ

⎧ = +⎪→ ⎨= +⎪⎩

E H e

H E e

D

B

Para responder à nossa questão, comecemos por reescrever as relações constitutivas

numa forma alternativa.


( )

( )

2

0 123

1230

0

meio de Tellegen1

PP

P

PY

ε µ κεε ε ψµ

µ µψ

κ µ µψµ

⎧ −=⎪ = +⎧⎪⎪ ⎪= → ←⎨ ⎨ = − −⎪ ⎪

⎩⎪ =⎪⎩

Ee

H e E

D B

B

Supõe-se, no que se segue, que se trata de um meio homogéneo, i.e., que ψ não

depende do ponto considerado. Façamos então, por definição,

iψω

=Q E .

O campo Q é, portanto, uma versão escalonada do campo eléctrico E . Consideremos,

agora, a transformação deduzida no início desta secção. Vem sucessivamente:

( )

( )

0 123

0 123

P

P

i

ii

ψω

ψε ε ψω ω

ε ε

′ = + ∇∧

= + + ∇∧⎡ ⎤⎣ ⎦

′=

E

Ee E

E e

D D

BB

( )

( )

1230

1230

1

1P

P

ψ

ψ ψµ µ

µ µ

′ = +

⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

′= −

H H E

e E E

e

B

B

( )( )

0 123

0 123

meio de Tellegenreduzido a um meioisotrópico comum

P

P

ε ε

µ µ

′ ′=⎧⎪→ ⎨′ ′=⎪⎩

E e

H e

D

B

Carlos R. Paiva 116

Nota importante: Para um meio de Tellegen ilimitado e homogéneo é sempre possível

fazer desaparecer as suas características não recíprocas através da transformação

considerada.

Significa esta conclusão que, do ponto de vista físico, a não reciprocidade do meio de

Tellegen nunca se manifesta? Para responder a esta questão consideremos, a título de

exemplo, uma esfera de Tellegen imersa no vácuo. A transformação considerada

iψω

=Q E

só é legítima se ψ for constante, i.e., se não depender da posição: a tansformação

considerada só é matematicamente válida nestas circunstâncias.

( ) ( ) ( )0

0

i i iψψ ψ ψ ψω ω ω

ψ ψ

∇ = ⇒ ∇∧ = ∇∧ = ∇ ∧ + ∇∧ = ∇∧⎡ ⎤⎣ ⎦

∴ ∇ = ⇒ ∇∧ = −

Q E a E E

Q B

Mas então, ao aplicar a transformação à esfera de Tellegen tansforma-se a esfera num

meio isotrópico recíproco; o vácuo, porém, transforma-se num meio de Tellegen.

( )0 123

0 123

1230 1230

vácuo 1ε ψ

εψµ

µ

′ ′ ′= −⎧=⎧ ⎪

⎨ ⎨ ′ ′ ′= − +=⎩ ⎪⎩

E eEe

H e EH e

D BD

BB

Conclusão: A não reciprocidade não se manifesta fisicamente num meio de Tellegen

ilimitado e homogéneo (i.e., se todo o universo se reduzisse a um meio deste tipo). Não

obstante, ela manifesta-se em qualquer situação real: é possível demonstrar que o efeito

da não reciprocidade se evidencia, e.g., no coeficiente de reflexão medido na fronteira

que separa um meio de Tellegen do vácuo. Ou seja: os meios de Tellegen, se forem

construídos, manifestam fisicamente a sua não reciprocidade já que é possível detectar

experimentalmente esse efeito.


4.14 A equação de Maxwell na álgebra geométrica do espaço Vamos agora mostrar como as quatro equações de Maxwell se reduzem a uma única

equação de Maxwell em 3C . Recordemos que, num referencial 1 2 3, ,e e e , se tem

3 1 2 31 2 3

u u uu C ux x x∂ ∂ ∂

∈ → ∇ = + +∂ ∂ ∂

e e e .

3 30

31

31

1,

2,

1,

r

r

rr

r

r u u u

r u u u

r u u u

−

+

= ∇ ⋅ = ∇ ← ∈ =

≥ ∇ = ∇ ← ∈

≥ ∇∧ = ∇ ← ∈

∧

∧

∧

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

23 3

3

3

33

123

3

33 3

3

3

3 3

,

: :

C

C

C

C C

+

−

−

+ −

∈ = ⋅ + ∧ ∈ = ⊕

⎧∇ ∧ = −∇× × = ∇⋅ − ∇ ⋅ + ⋅∇ − ⋅∇ ∈⎪⎨∇∧ ∧ = ∇⋅ × = ∧ ∇∧ − ∧ ∇∧ ∈⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩

⎧ ∇ ⋅ = ⋅∇ + ⋅∇ − ∇∧ − ∇∧ ∈⎪⎨⎪∇ ∧ = ∇ ∧ +∇∧ ∧ ∈ = ⊕⎩

∴ ∇ =∇ ⋅ +∇ ∧ ∈

∇ →

a b ab a b a b

a b a b a b b a a b b a

a b a b e b a a b

a b a b b a a b b a

a b a b a b

ab a b a b

a

∧

∧

∧

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2

∇

∇ = ⋅∇ − ∇∧ − ∇∧ + ∇⋅ − ∇ ⋅

+ ∧ ∇∧ − ∧ ∇∧

b ab

ab a b a b b a a b b a

b a a b

0

0

magnetodinâmicaequações

0de

Maxwellelectrodinâmica

polarização relações constitutivasdos

1 magnetização meios materiais

t

tρ

ε

µ

⎧ ∂⎧∇× = −⎪⎪ ∂→ ⎨⎪⎪⎪ ∇ ⋅ =⎪ ⎩→ ⎨

∂⎧⎪ ∇× = +⎪⎪ ∂→ ⎨⎪ ⎪∇ ⋅ =⎪ ⎩⎩⎧ = + ←⎪⎪→ ⎨⎪ = − ←⎪⎩

BE

B

DH j

D

D E P P

H B M M

Carlos R. Paiva 118

Então, introduzindo quer a densidade volúmica de carga (eléctrica) total quer a

densidade de corrente (eléctrica) total J , tais que

p

m

p

tt

ρ ρ⎧⎪ = −∇⋅ = −∇ ⋅⎪⎪ = ∇× → ∂⎨ = +∇× +⎪ ∂∂⎪ =

∂⎪⎩

P Pj M PJ j M

Pj

é agora possível escrever as equações de Maxwell, no caso geral, estritamente em

função do campo eléctrico E e do campo magnético B . As equações de Maxwell

escritas exclusivamene em termos de E e B são conhecidas na literatura por equações

de Maxwell-Boffi. Por essa razão há autores que designam os campos ( ),E B por

campos principais e os campos de excitação material ( ),D H por campos secundários

ou induzidos (nos materiais).

0 0

1velocidade da luz no vácuo cε µ

→ =

Comentário: A relação 0 01c ε µ= , introduzida por Maxwell, é muito mais de que

uma mera definição: trata-se de uma das primeiras manifestações da unificação em

física. Com efeito, ao escrever esta relação, Maxwell dava um salto teórico

fundamental.

Inscrevia a óptica como um ramo do electromagnetismo.

Integrava, numa só equação, as constantes 0ε (permissividade eléctrica do vácuo),

0µ (permeabilidade magnética do vácuo) e c (velocidade da radiação

electromagnética no vácuo) que constituiam três realidades físicas aparentemente

desconexas: a electricidade, o magnetismo e a luz (ou, mais geralmente, a

radiação electromagética) que, doravante, iriam constituir uma única teoria física

– a electrodinâmica clássica.


0 2

0

EQUAÇÕES DE MAXWELL-BOFFI

grupo da magnetodinâmica0

1

grupo da electrodinâmica

t

c tµ

ε

∂⎧∇× = −⎪ ∂→ ⎨⎪∇ ⋅ =⎩

∂⎧∇× = +⎪ ∂⎪→ ⎨⎪∇ ⋅ =⎪⎩

BE

B

EB J

E

Nota histórica: Esta forma de escrever as equações de Maxwell deve-se a L. Boffi que

as formalizou para o caso dos meios em movimento.

L. Boffi, Electrodynamics of Moving Media, ScD Thesis, Massachusetts Institute

of Technology, Cambridge, 1957.

Por uma questão de homogeneização das unidades SI reescrevem-se estas equações

como segue

0

0

1

1 1

1 1 0

0.

Zc

c t c

c c t

µ

⎛ ⎞∇ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∂ ⎛ ⎞∇× − =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∂⎛ ⎞∇× + =⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

∇ ⋅ =

E

B E J

BE

B

Usam-se, agora, as seguintes identidades em 3C

( )( )

( ) ( )

123

123

123 123

vectorbivectortrivector .

→ ∇× = −∇→ ∇∧ = ∇×→ ∇⋅ = ∇∧

B BeE E eB e Be

Carlos R. Paiva 120

Com base nestas identidades é possível escrever as equações de Maxwell como segue:

os números que aparecem no lado esquerdo de cada equação referem-se à dimensão do

grau em 3C .

( )

( )

( )

0

123 0

123

123

10

1 11

1 12 0

3 0.

Zc

c t c

c c t

µ

⎛ ⎞∇ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∂ ⎛ ⎞ +∇ = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∂⎛ ⎞∇ ∧ + =⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

∇ ∧ =

E

E Be J

E Be

Be

Adicionando estas equações (soma graduada) vem então:

( ) ( ) ( )

( )

123 123 123

123 123

123 123 0

1 1 1

1 1

1 1 1 1

c c c

c c

Zc t c c c

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = ∇ ⋅ +∇∧⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪ ∇ = ∇ +∇∧⎨⎪

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ∇ + = ∇ +∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∴ + +∇ + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E E E

Be Be Be

E Be E Be

E Be E Be J

123 03

equação de Maxwell 1 1 1em

ZC c t c c

⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ +∇ + = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠E Be J .

A equação de Maxwell descreve como as fontes do campo (no lado direito da equação)

criam um campo electromagnético (no lado esquerdo da equação).

3

23 3

123

3

1fontes do campo (paravector)

1campo electromagnético

1operador diferencial (paravector)

c

c

c t

→ − ∈ ⊕

→ + ∈ ⊕

∂→ +∇∈ ⊕

∂

J

E Be ∧


Nota: Designa-se por paravector a soma de um escalar com um vector.

4.15 O paravector potencial do campo electromagnético Como é sabido, quer o campo eléctrico E quer o campo magnético B podem ser

determinados a partir de um potencial escalar Φ e de um potencial vector A . Na

álgebra geométrica 3C exite um paravector que desempenha o mesmo papel.

( )123 123

123

0∇⋅ = ⇒ =∇× ⇒ = = ∇×

∴ =∇∧

B B A Be A e

Be A

B

0t t t

t

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇× + = ∇× + = ⇒ + = −∇Φ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂∴ = −∇Φ−

∂

B A AE E E

AE

( ) ( )

( )

2

2

0 02 2 2 2

22

0 2 2 2

1 1 1

1 1

c t t c t c t

c t c t

µ µ

µ

⎧∇× = ∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇⎪⎨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂Φ ∂∇× = + −∇Φ − = − ∇ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

⎛ ⎞∂Φ ∂∴ ∇ ∇⋅ −∇ = − ∇ −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

B A A A

A AB J J

AA A J

2

22

02 2

22

2 20

1condição de Lorenz 0

1equação do potencial vector

1equação do potencial escalar

c t

c t

c t

µ

ε

∂Φ→ ∇⋅ + =

∂

∂→ ∇ − = −

∂

∂ Φ→ ∇ Φ− = −

∂

A

AA J

Nota: Estas equações diferenciais para Φ e A partem das equações de Maxwell-Boffi e

não das habituais equações de Maxwell. Por isso as fontes do campo que nelas

aparecem no lado direito são as fontes totais – não as referentes às cargas livres.

Carlos R. Paiva 122

Nota histórica: Muitas vezes designa-se, erradamente, a condição de Lorenz por

«condição de Lorentz». Trata-se de um erro histórico. Esta condição foi descoberta pelo

físico dinamarquês Ludwig Lorenz em 1867 e não pelo físico holandês H. A. Lorentz

que descobriu a covariância das equações de Maxwell em 1903 (através das célebres

transformações de Lorentz).

À semelhança do que se fez para chegar à equação de Maxwell em 3C , consideram-se,

agora, as seguintes equações:

2

123

10 0

1 1 11

2 .

c t

c t c c

∂Φ∇⋅ + =

∂∂

− − ∇Φ =∂

∇∧ =

A

A E

A Be

Então, adicionando estas três equações, obtém-se a equação para o paravector potencial

do campo electromagnético.

123

equação do paravector1 1 1potencial do campo

electromagnéticoc t c c

⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞→ −∇ Φ − = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠A E Be

3

23 3

123

3

1paravector potencial do campo electromagnético

1campo electromagnético

1operador diferencial (paravector)

c

c

c t

→ Φ− ∈ ⊕

→ + ∈ ⊕

∂→ −∇∈ ⊕

∂

A

E Be ∧


“It is now clear why the [cross] product only exists in three dimensions – this is the only space

for which the dual of a bivector is a vector. We will have little further use for the cross product

and will rarely employ it from now on. This means we can also do away with the awkward

distinction between polar and axial vectors.”

Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, Cambridge University

Press, Cambridge, 2003, p. 37


5.1 Espaços quadráticos e métrica Seja V um espaço linear definido sobre o corpo F . Uma aplicação :Q V → F diz-se

uma forma quadrática desde que, qualquer que seja λ∈F e V∈x ,

( ) ( )2Q Qλ λ=x x

e ainda desde que, simultaneamente, a aplicação

( ) ( ) ( ) ( ): ,V V Q Q Q× → + − −x y x y x yF

seja bilinear (i.e., linear em ambos os argumentos). Quando a característica é diferente

de 2, a forma quadrática pode ser obtida a partir da forma bilinear simétrica†

( ) ( ) ( ) ( )1,2

B Q Q Q= + − −⎡ ⎤⎣ ⎦x y x y x y

† P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors (Cambridge: Cambridge University Press, 2nd ed., 2001), p. 195.

Carlos R. Paiva 126

uma vez que, neste caso, se tem simplesmente

( ) ( ),Q B=x x x .

Com efeito

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 2 2 4 22 2

B Q Q Q Q Q= − = − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦x x x x x x x .

Nos anéis habituais (i.e., Z , Q , e H ) a característica é 0‡ pelo que, se estivermos a

trabalhar no corpo , este problema não se coloca.

Definição: Um espaço linear V onde se introduziu uma forma quadrática Q diz-se um

espaço quadrático e representa-se pelo par ordenado ( ),V Q .

Consideremos um espaço linear V onde foi definida uma forma bilinear simétrica

( ),B x y . Dois vectores , V∈x y tais que ( ), 0B =x y dizem-se ortogonais. Se um

espaço quadrático é a soma directa de dois subespaços, ( ) ( )1 1 2 2, ,V Q V Q⊕ , de tal modo

que ( )1 2, 0B =x x quaisquer que sejam 1 1V∈x e 2 2V∈x , então diz-se que esse espaço

quadrático é a soma ortogonal desses dois subespaços e escreve-se 1 2V V⊥ ou 1 2Q Q⊥ .

Uma forma quadrática observa a seguinte propriedade geral:

( ) ( ) ( ) ( )lei do paralelogramo 2 2Q Q Q Q→ + + − = −x y x y x y .

De facto, vem sucessivamente

‡ R. L. Fernandes e M. Ricou, Introdução à Álgebra (Lisboa: IST Press, 2004), p. 94.


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 ,

2 , 2 ,

2 2 .

Q B Q Q

Q B Q Q B Q Q

Q Q Q Q

+ = + +

− = − + + − = − + +

∴ + + − = +

x y x y x y

x y x y x y x y x y

x y x y x y

Um exemplo de importância histórica é o espaço linear 2V = definido sobre o corpo

e dotado da forma quadrática ( )Q u v=x onde ( ),u v=x . Neste caso basta fazer a

mudança de variáveis 1 2u x x= + e 1 2v x x= − para concluir que

( ) ( )( ) ( )( )( )

1 2 1 2

2 21 2 1 2 1 2

1 1 2 2

, ,

plano hiperbólico

,

u v x x x x

Q u v x x x x x x

B x y x y

= = + −

→ = = + − = −

= −

x

x

x y

Este exemplo é conhecido na literatura por plano hiperbólico. Trata-se de um espaço

quadrático que é designado por 1,1 e onde a um vector diferente de zero pode

corresponder ( ) 0Q =x : basta considerar 1 2x x= ± ou, alternativamente, 0u = ou 0v = .

Definições: Um vector V∈x , com 0≠x , diz-se um vector nulo ou isotrópico se

( ) 0Q =x . Uma forma quadrática diz-se anisotrópica quando ( ) 0Q =x implicar 0=x ;

diz-se isotrópica se existir um vector 0≠x ao qual corresponda ( ) 0Q =x . Uma forma

bilinear é não degenerada se ( ), 0B =x y para todo o V∈y implicar 0=x . Uma forma

quadrática anisotrópica é sempre não degenerada.

Note-se, portanto, que o plano hiperbólico é um espaço quadrático isotrópico (ou

indefinido).

Carlos R. Paiva 128

Definição: Dois espaços quadráticos ( )1 1,V Q e ( )2 2,V Q dizem-se isométricos desde que

exista um isomorfismo linear 1 2L :V V→ tal que ( ) ( )2 1LQ Q=x x ou, de forma

equivalente, se ( ) ( )2 1L , L ,B B=x y x y quaisquer que sejam , V∈x y .

A matriz ( ),i jB e e é diagonalizável uma vez que é simétrica. Isto significa que qualquer

forma quadrática é isométrica à forma diagonal.

( ) ( )( )

1 2

2 2 21 2 1 1 2 2

1 2

, diag , ,

, ,

notação : , ,

i j n

n n n

n

B d d d

d d d Q d x d x d x

d d d

=

∈ → = + + +

e e

x

…

…

…

F

O plano hiperbólico 1,1 tem uma forma quadrática 1, 1− :

( ) ( )2 21 1 2 2 1 2

1 0,

0 1i jQ x x x x B ⎛ ⎞= + = − → = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

x e e e e .

No caso do espaço linear nV = existem apenas duas formas quadráticas anisotrópicas:

a forma quadrática definida positiva 1,1, ,1… e a forma quadrática definida negativa

1, 1, , 1− − −… . Uma forma quadrática não degenerada em n é isométrica a

( ), 2 2 2 21 1

,

,

notação : 1 1assinatura de :

p qp p p q

p q

Q x x x x p q n

p qp q

+ +→ = + + − − − + =

⊥ −−

x

e designa-se por ,p q . A forma quadrática definida positiva corresponde a 1n

enquanto que a forma quadrática definida negativa corresponde a 1n − .

Definição: Ao espaço quadrático 1n definido no espaço linear n (que também se

representa por ,0n ) dá-se o nome de espaço euclidiano n .


Para fixar ideias consideremos o espaço linear 4 3V = = × que designaremos por

espaço-tempo:

( ) 4 30 1 2 3 0 1 2 3, , , | , , ,x c t x x x y x z x x x x= × = = = = = ∈ .

Neste caso a forma quadrática de interesse é uma aplicação 4:Q → . Do ponto de

vista físico, como adiante se verá, as formas quadráticas definidas 4 1 e 4 1− são

incompatíveis com a teoria da relatividade. As únicas formas quadráticas compatíveis

com o espaço-tempo de Minkowski são:

1,3

3,1

espaços quadráticos compatíveis 1 1 3 1com a relatividade restrita 3 1 1 1

→ ⊥ −→

→ ⊥ −

Nestes apontamentos adopta-se o espaço quadrático 1,3 , com uma assinatura negativa

2p q− = − , para representar o espaço-tempo de Minkowski.

( )1,3 2 2 2 3 40 1 2 3 0 0 1 1 2 2 3 3

espaço-tempode ,

MinkowskiQ x x x x x x x x→ → = − − − = + + + ∈x x e e e e

A forma ( )Q x do espaço quadrático ( ),V Q estabelece a métrica do espaço linear V . A

matriz ( ),i jBη = e e da métrica do espaço quadrático 1,3 é então dada por:

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

η

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎝ ⎠

.

Carlos R. Paiva 130

Com efeito, no espaço linear 4 define-se um produto interno entre dois vectores

quaisquer 4, ∈x y através da forma bilinear simétrica ( ),B x y , tal como se indica a

seguir.

( ) ( )( )

( )

( )

2 2 2 240 1 2 30 0 1 1 2 2 3 3

40 0 1 1 2 2 3 30 0 1 1 2 2 3 3

4

4 2

,

,

produto interno em : ,

norma em :

Q B x x x xx x x xB x y x y x y x yy y y y

B

Q

⎧ = = − − − ∈⎧ = + + + ∈⎪ ⎪→⎨ ⎨= − − − ∈= + + + ∈⎪ ⎪⎩ ⎩

⋅ =

= ⋅ =

x x xx e e e ex yy e e e e

x y x y

x x x x

5.2 Definição geral de álgebra geométrica do espaço-tempo Nesta secção vai-se definir, de forma independente de qualquer base, a álgebra

geométrica do espaço-tempo de Minkowski que designaremos por 1,3C . Comecemos,

então, por considerar o espaço linear quadridimensional 4 . Sobre este espaço linear

define-se a álgebra exterior de Grassmann correspondente.

( )

4 4

2 3 44 4 4 4 4

4 4

espaço linear: álgebra exterior:

dim 2 16

→

= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

∴ = =

ÁLGEBRA EXTERIOR∧

∧ ∧ ∧ ∧∧

.

40 1 2 3 4

grau :r

rr u u u u u u u∈ → = + + + +

SOMA GRADUADA

∧

0 1 2 3 44

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

ˆinvolução de grau:involuções em reversão:

conjugação de Clifford:

u u u u u uu u u u u uu u u u u u

= − + − +→ = + − − +

= − − + +

INVOLUÇÕES

∧


0123 0123

0123 0123

decomposição de um multivector em partes par e ímpar

ˆ ˆmultivector par

ˆ ˆmultivector ímpar

u u u

u u u u

u u u u

α β α β

+ −

+ + + +

− − − −

→ = +

→ = + + → = + + → =

→ = + → = − − → = −

MULTIVECTORES PARES E ÍMPARES

B e B e

a be a be

Nota: Enquanto que a involução de grau é um automorfismo, quer a reversão quer a

conjugação de Clifford são anti-automorfismos.

ˆ ˆautomorfismo

anti-automorfismo

anti-automorfismo

u v u v

u v v u

u v v u

=

=

=

Introduz-se, de seguida, a forma quadrática

( )4 2 2 2 20 1 2 3Q x x x x∈ → = − − −x x

associada à forma bilinear simétrica

( ) ( ) ( ) ( )1,2

B Q Q Q⋅ = = + − −⎡ ⎤⎣ ⎦x y x y x y x y .

Fica, assim, introduzido o espaço quadrático 1,3 .

Nota importante: Os vectores em 1,3 podem, portanto, ter um quadrado ( )2 Q=x x

positivo (vectores hiperbólicos ou do tipo tempo), negativo (vectores elípticos ou do

tipo espaço) ou nulo (vectores parabólicos ou do tipo luz).

( )( )( )

2 2 2 2 20 1 2 3

2 2 2 2 20 1 2 3

2 2 2 2 20 1 2 3

vector hiperbólico (tipo tempo) 0vector elíptico (tipo espaço) 0vector parabólico (tipo luz) 0

Q x x x xQ x x x xQ x x x x

= > → > + += < → < + += = → = + +

x xx xx x

Define-se, então, a operação de contracção (à esquerda)

Carlos R. Paiva 132

( ) 1,3,u v u v∈∧

que obedece às seguintes propriedades

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ

a

b u v u v u v

c u v w u v w

= ⋅

∧ = ∧ + ∧

∧ =

x y x y

x x x

para 1,3, ∈x y e 1,3, ,u v w∈∧ . Introduz-se, finalmente, o produto geométrico de

1,3∈x com 1,3u∈∧ :

produto geométrico: u u u= + ∧x x x .

Este produto geométrico é então generalizado a todos os elementos da álgebra exterior

usando a linearidade e a associatividade.

Vamos, agora, introduzir uma base no espaço 4 de modo a tornar a definição anterior

mais concreta. Os índices gregos são , 0,1,2,3µ ν = ; os índices latinos são , 1,2,3i j = .

40 1 2 3base de , , ,→ e e e e

20212223

1 0 0 0 10 1 0 0 1

matriz da métrica0 0 1 0 10 0 0 1 1

η

= +⎛ ⎞⎜ ⎟− = −⎜ ⎟→ = ←⎜ ⎟− = −⎜ ⎟

− = −⎝ ⎠

eeee

produto interno µ ν µνη→ ⋅ =e e


( )20 0

produto geométrico 2

, 1, 2,3 1, 0,

2i i j i ji j

µ ν µ ν µ νµ ν ν µ µ ν

ν µ µ ν µ ν

µ ν ν µ µν

δ

η

= ⋅ + ∧⎧⎪→ ⇒ + = ⋅⎨ = ⋅ − ∧⎪⎩= → = ⋅ = ⋅ = −

∴ + =

e e e e e ee e e e e e

e e e e e e

e e e e e

e e e e

1,3

0 1 2 3

01 02 03 12 13 23

012 013 023 123

0123

base de

escalares 1vectores , , ,bivectores , , , , ,trivectores , , ,quadrivectores

C

e e e ee e e e e ee e e ee

( ) 41,3

11 1

1 2 1 dim 2 161 3 3 1

1 4 6 4 1

C→ = = .

Nota: Definem-se, como de costume, 01 0 1 012 0 1 2 0123 0 1 2 3, , , ,= = =e e e e e e e e e e e e… … .

1,3 0 1 2 3 4vector bivector quadrivectorescalar trivector

multivector da álgebra: u C u u u u u u∈ → = + + + +

0123 0123 1,3

24 4

40 0 1 1 2 2 3 3

0

40 0 1 1 2 2 3 31

24

01 01 02 02 03 03 12 12 13 13 23 232

0123 0 123 1 023 23

, ,

escalar

vector

bivector

u C

b b b b

u

u a a a a

u B B B B B B

u b b b

α β

α β

α

= + + + + ∈

∈ ∈ ∈

= + + + ∈

= ∈

= = + + + ∈

= = + + + + + ∈

= = + −

a B be e

a b Bb e e e e

a e e e e

B e e e e e e

be e e e

∧

∧3

4013 3 012

44

01234

trivector

pseudoescalar

b

u β

+ ∈

= ∈

e

e

∧

∧

Carlos R. Paiva 134

( )( )( )

0123 0 1 2 3 3 2 1 0 0 1 2 3 0123

2 2 2 2 20123 0123 0123 0123 0123 0 1 2 3 3 2 1 0 3 2 1 0 1

= = = =

∴ = = = = = −

e e e e e e e e e e e e e e

e e e e e e e e e e e e e e e e e

∼

( ) ( )

0123 0123

0123 0123

0123 0123

0123 0123 0123 0123

β β=== −= − = −

e eBe e Bbe e b

be e e be b

( )

0123 0123 1,3 0123 0123 1,3

1,3,

u C u C

u v C u v v u

α β α β= + + + + ∈ = + − − + ∈→→∈ =

REVERSÃO

a B be e a B be e

∼

( ) ( )

( )

( )

( )

24

2 2

1,3

multivector homogéneo de grau

bivector1 122 2

12

12

1, comutador de dois multivectores2

k k k

k k k k k

k k k kk k

k k k k

k

k u u

k u u u u u

u u u u

u u u

u v C u v u v vu

u

− +

→ =

→ ∈

≥ → = + + −

+ = +

− =

∈ → → × = −

× =

MULTIVECTORES HOMOGÉNEOS

B

B B B B B

B B B B

B B B

B

∧

2 2

2

2

2

contracçãoproduto exterior

2

k k

k k k kk k k

k k k

k k k

k k k k

u

k u u u u

u uu u

k u u u u

− +

−

+

≥ → = + +

=∧ =

≥ → = + × + ∧

B

B B B B

B BB B

B B B B


( )

24

1 2

1 2 1 2 1 2 1 20 2 4

1 2 1 20

24

1 2 1 2 1 2 2 12

44

1 2 1 24

bivectores ,

produto geométrico de dois bivectores

12

→ ∈

→ = + +

= ∈

= × = − ∈

= ∧ ∈

PRODUTO GEOMÉTRICO DE BIVECTORES

B B

B B B B B B B B

B B B B

B B B B B B B B

B B B B

∧

∧

∧

( )

( )( )

( )( )

22 2 21 2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 1 0

21 1 0 1 0 4

1 2 1 0 2 0 1 22 2 0 2 0

41 1 0 1 0 4

1 2 1 0 2 3 01232 2 3 2 2

Exemplos

1º exemplo: 1

2º exemplo:

3º exemplo:

= = = ∧ → = = = − = ∈

= = ∧⎧→ = = − ∈⎨ = = ∧⎩

= = ∧⎧→ = = − ∈⎨ = = ∧⎩

B B e e e e B B B e e e e

B e e e eB B e e e e e e

B e e e e

B e e e eB B e e e e e

B e e e e

∧

∧

( )

( )

41 2 3 4

1 2

1 2 3

1 2 3 4

1 2 1 2 2 1

1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1

1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 2 3 1

, , ,lâmina de grau 2lâmina de grau 3lâmina de grau 4

12!

13!

14!

∈

∧∧ ∧∧ ∧ ∧

∧ = −

∧ ∧ = + + − − −

∧ ∧ ∧ = + +

LÂMINASa a a a

a aa a aa a a a

a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a(

)

3 4 2 1 2 4 3 1 4 3 2 1 3 2 4

2 1 4 3 2 4 3 1 2 3 1 4 2 1 3 4 2 4 1 3 2 3 4 1

3 1 2 4 3 2 4 1 3 4 1 2 3 2 1 4 3 4 2 1 3 1 4 2

4 1 3 2 4 3 2 1 4 2 1 3 4 1 2 3 4 3 1 2 4 2 3 1

− − −

+ + + − − +

+ + + − − +

+ + + − − −

a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a



Carlos R. Paiva 136

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

41 2 3

1 2 1 2 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 1 2 2 1

1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2

, , , ∈

∧ = ∧ + ∧ ∧

∧ ∧ = ∧ ∧ + ∧ ∧ ∧

∧ = ⋅ − ⋅

∧ ∧ = ⋅ ∧ − ⋅ ∧ + ⋅ ∧

CONTRACÇÃO

a a a aa a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a

Nota importante: Todos os bivectores de 3C são simples uma vez que representam,

sempre, um plano. Em 1,3C existem bivectores que não são simples, i.e., que não

representam um plano: por exemplo, o bivector 2

401 23 1,3C= + ∈ ⊂B e e ∧ não

representa um plano dado que 201232= ∉B e ( 2B é um quadrivector ou

pseudoescalar).

Por outras palavras: nem todos os multivectores homogéneos são lâminas. Exemplo: o

bivector ( ) ( )0 1 2 3α β= ∧ + ∧B e e e e é homogéneo, porque 2

=B B , mas não é uma

lâmina – é a soma de duas lâminas distintas. Isto acontece porque o bivector em causa

não é um bivector simples.

( ) ( )0 1 2 3

2 2 24

02 2 2 4

0 4 201234

Exemplo: um bivector que não é uma lâmina

bivector (multivector homogéneo de grau 2)

2

α β

α β

αβ

→ = ∧ + ∧

= −= + ∈ ⊕ →

=

B e e e e

BB B B

B e∧

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

2

24

2 2 2

, bivector simples

.

∧ = − ⋅ ⋅ −

∈ → = ⋅ − − ⋅ + ⋅ ←

= ⋅ − ∈

a b ab a b a b ba

a b a b ab abba a b a b ba

a b a b


Nota importante: Em 1,3C nem todos os bivectores simples têm, como no caso de 3C ,

um quadrado negativo. Se 4, ∈a b e 0⋅ =a b , tem-se ( )2 2 2∧ = −a b a b . Mas então,

existem duas possibilidades:

( )22 2 201 0 1 0 1 1= ∧ = − =e e e e e

( )22 2 212 1 2 1 2 1= ∧ = − = −e e e e e .

Ou seja: em 1,3C os bivectores simples podem ter um quadrado positivo (bivectores

hiperbólicos ou do tipo tempo) ou negativo (bivectores elípticos ou do tipo espaço).

( )( )

2 22 2 20 10 1 0 1

2 2 20 1 1 0 0 1 1 00 1

1 0

Exemplo: bivector hiperbólico

2020

2 1

ˆbivector hiperbólico (ou do tipo tempo) 2

ˆ4

+ −+ +

− + −−

+ − + − + −

+ −

⎧⎧ ⋅ = − == + = + =⎧ ⎪ ⎪→ →⎨ ⎨ ⎨= − ∧ = − = ∧= + =⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩∴ = ⋅ + ∧ = + ∧

→ ∧ =

n n e en e e n e en e e n n e e e e e en e e

n n n n n n e e

n n B

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22 2 2 2ˆ4 1

1 1ˆ ˆ2 2

0 2

1 1ˆ ˆ2 2

2 0ˆ

+ − + − + −

+ + + + − + + − + − + +

− − − + − − + − − − + −

± ±

= ∧ = ⋅ − = ⇒ =

⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − ∧ = − ⋅ − ⋅ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − ∧ = − ⋅ − ⋅ = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= ±

B n n n n n n B

B n n B n n n n n n n n n n

B n n B n n n n n n n n n n

B n n

1e

0e ˆ+ +=n B nˆ

− −=n n B

1ˆ2 + −= ∧B n n

Carlos R. Paiva 138

( )( )( ) ( )( )

( )

21 0 1 0

22 0 0123 1 3 1 3

1 0 1 3 0 3 1 3 1 0 3 0

24

22 2 2 2 2

Exemplo: bivector parabólico

ˆ ˆbivector hiperbólico 1ˆ ˆbivector elíptico 1

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,

ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ1 1

ζ θ

ζ θ ζ θ ζθ

= = ∧ =

= = = ∧ = −

= = = = = −

= + ∈

= + = + +−

B e e e e B

C e e e e e e e C

BC e e e e e e CB e e e e e e BC

F B C

F B C B C B

∧

( )

( )

2 2

2

ˆ ˆ ˆ

0ˆˆbivector parabólico (ou do tipo luz) 0

ζ θ

ζ θ α α

+ = − ∈

→ = = → = + → =

C CB

F B C F

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

20 10 0 1 0 0 1 1

21 10 1 1 0 1 0 0

2 2 1210 10 10

0 0

10 10

0 0 10 0 0

11 1 10 1

bivector1 exp

hiperbólico 2 ! 2 1 !

exp cosh sinh

exp coexp

k k

k kk k

boost

ζ ζζ

ζ ζ ζ

ζ

ζ

+∞ ∞

= =

⎧ = ∧ = − = −⎪⎨

= ∧ = = −⎪⎩

→ = → = ++

∴ = + ←

= ⎛ ⎞→ =⎜ ⎟= ⎝ ⎠

∑ ∑

BOOSTS

e e e e e e e e

e e e e e e e e

e e e

e e

e f e e ffe f e e

( ) ( )( ) ( )

0

1

sh sinhsinh cosh

ζ ζζ ζ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

ee

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

21 12 1 1 2 1 2 2

22 12 2 1 2 2 1 1

2 2 1212 12 12

0 0

12 12

1 1 12 1 1

22 2 12 2

bivector1 exp 1 1

elíptico 2 ! 2 1 !

exp cos sin rotação

exp

exp

k kk k

k kk kθ θθ

θ θ θ

θ

θ

+∞ ∞

= =

⎧ = ∧ = = −⎪⎨

= ∧ = − =⎪⎩

→ = − → = − + −+

∴ = + ←

= ⎛ ⎞→ ⎜= ⎝

∑ ∑

ROTAÇÕES

e e e e e e e e

e e e e e e e e

e e e

e e

e f e e ffe f e e

( ) ( )( ) ( )

1

2

cos sinsin cos

θ θθ θ

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟−⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

ee

Consideramos, de seguida, a decomposição invariante de um rotor R numa rotação e

num boost.


224

0123 2

20123 0123

42 2 2 4

0123

ˆ 1ˆ ˆˆ ˆ,ˆ 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ

ˆˆ 2

bivector

ˆ ˆ ˆˆ ˆ êxp exp exp2 2 2

R

ζ θ ζ θ ζθ

ζ θ

⎧ =⎪∈ → = → ⎨= −⎪⎩

= = =

= + → = − + ∈ ⊕

→ = −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

DECOMPOSIÇÃO INVARIANTE DE UM ROTOR

BB C C Be

C

BC CB B e e

F B C F e

F F

FBC CB B C

∧

∧

24

24

ˆ êxp exp rotor2 2

rotor reverso exp 12

ˆ êxp cosh sinh2 2 2

ˆ ˆrotação exp cos sin2 2 2

decomposição invariante

R RR

boost b

r

θ ζ

ζ ζ ζ

θ θ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞→ = − → =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + ∈ ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + ∈ ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

C B

F

B B

C C

∧

∧

do rotor R R b r r b→ = =

5.3 Transformação de Lorentz Nesta secção vai-se deduzir a transformação de Lorentz (mais precisamente, um boost)

na sua interpretação passiva. Usa-se o primeiro postulado de Einstein (o princípio da

relatividade) mas prescinde-se do seu segundo postulado (sobre a velocidade da luz).

No entanto, à partida, os vectores de 4 tanto podem pertencer ao espaço quadrático 4,0 como ao espaço quadrático 1,3 . Considera-se que, do ponto de vista físico, a

distinção entre 4,0 e 0,4 ou entre 1,3 e 3,1 é irrelevante. Ou seja: trabalha-se numa

álgebra geométrica que, à partida, tanto pode ser a álgebra 4C (do espaço euclidiano

4 ) como a álgebra 1,3C (que designaremos por álgebra do espaço-tempo de

Minkowski, com assinatura 1 3 2− = − ).

Princípio da relatividade (restrita): As leis da física são as mesmas (i.e., têm a mesma

forma) em todos os referenciais (de inércia).

A definição de referencial de inércia como classe de equivalêcia de todos os sistemas de

coordenadas não acelerados, torna impossível a detecção de um movimento absoluto,

Carlos R. Paiva 140

i.e., torna impossível a existência de um referencial de inércia privilegeado: todos os

referenciais de inércia são equivalentes no que respeita à descrição das leis da física.

Designaremos a base dos vectores em 4 (enquanto espaço linear) por 0 1 2 3, , ,e e e e .

No entanto, se se estiver no espaço quadrático 4,0 , deverá ter-se

4,0 1,, 0,1, 2,3

0,µ ν µν µν

µ νµ ν δ δ

µ ν=⎧

→ = → ⋅ = → = ⎨ ≠⎩e e

enquanto que, se se estiver no espaço quadrático 1,3 , será

20

1,30

0

1, 0,1, 2,3

0, 1,2,3 i

i i j

i j µ ν µν

µ νη

δ

==

→ → ⋅ = → ⋅ ==

⋅ = −

ee e e e

e e.

Um vector a do espaço linear 4 será designado por acontecimento e é descrito, num

referencial de inércia 1S (por referencial de inércia deve entender-se um referencial não

acelerado) como segue:

( ) 41 0 1 2 3em S t x y zκ→ = + + + ∈a e e e e .

A constante κ que aparece a multiplicar o tempo medido em 1S destina-se, apenas, a

transformar as medidas de tempo em medidas de espaço. Admite-se, no entanto, que é

uma constante universal, i.e., que pode ser usada com o mesmo valor numérico em

todos os referenciais de inércia. Assim, se se considerar um novo referencial de inércia

2S com uma nova base 0 1 2 3, , ,f f f f para o espaço linear 4 , o mesmo acontecimento

anteriormente descrito em 1S será agora descrito em 2S como segue:

( ) 42 0 1 2 3em S t x y zκ→ = + + + ∈a f f f f .


Consideremos, agora, um ponto fixo B do referencial 2S que designaremos por vector

31 2 3B B B Bx y z= + + ∈p f f f . Ao longo do tempo este ponto fixo B é descrito pelo

acontecimento ( ) ( ) 0B Bt tκ= +a f p . Admitiremos, ainda, que o referencial 2S se

desloca em relação a 1S em movimento relativo com uma velocidade (relativa)

constante (i.e., independente do tempo). A velocidade própria do ponto fixo B será

definida, então, como sendo

2 22 0 2

Bdd t

κ κ= = → =au f u .

Esta mesma velocidade própria, do ponto de vista de um observador em repouso no

referencial 1S , será

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 1 2 3 0

2 0 , ,

B B B B B

B B B

t t x t y t z t t td d ddt dtd t dt d t d t dt

κ κ

γ κ γ

= + + + = +

= = = + = =

a e e e e e pa a pu e v v

.

Notemos que, tanto na álgebra 4C como na álgebra 1,3C , se tem 20 1=e . Nestas

condições, é ainda possível escrever

( )( )2 0 0 0ˆ ˆ1 , ,κ γ β κ β β κκ

= = + = =v

u f ve e v v .

Notemos, ainda, que

2

42

1,3

ˆ 1ˆ 1

CC

→ =→ = −

vv

.

Consideremos, agora, um ponto fixo A do referencial 1S que designaremos por vector

31 2 3A A A Ax y z= + + ∈p e e e . Ao longo do tempo este ponto fixo A é descrito pelo

acontecimento ( ) ( ) 0A At tκ= +a e p . A velocidade própria do ponto fixo A será então

Carlos R. Paiva 142

2 21 0 1

Addt

κ κ= = → =au e u .

Consequentemente, pelo que se viu atrás, virá

( )( )

( )

2 0 0 1

22 1 1

20

ˆ1

ˆ1b

b

κ γ β

γγ β

= = +

= = +∴

= +

u f ve u

u u u vve

onde 2

2 4b ∈ ⊕∧ é um multivector (não homogéneo) da álgebra 4C ou da álgebra

1,3C . Podemos, até, introduzir um bivector simples B tal que

( ) ( )2 20 0 0 0

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1 1b bγ β γ β= = ∧ = − ∧ = − → = + → = −B ve v e v e ve B B .

Nota: Como sempre, na notação adoptada para as involuções, b representa o reverso do

multivector b uma vez que o reverso de B é ˆ−B .

Notemos, porém, que

( ) ( )2

2 2 42 2 2 20 0 0 2

1,3

ˆ 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 1

C

C

→ = −= = ∧ = − = − ⇒

→ =

BB v e v e v e v

B.

Vejamos qual é o significado físico deste bivector simples: trata-se, muito simplesmente,

do bivector unitário que caracteriza a velocidade relativa dos dois referenciais de inércia.

Esta constatação, resultante do princípio da relatividade, implica uma consequência

importante: 0 0ˆ ˆ ˆ= =B v e w f .


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 1 2 3 0

1 0 , ,

A A A A A

A A A

t t x t y t z t t td d dd t d t dtdt d t dt dt d t d t

κ κ

γ κ γ

= + + + = +

= = = + = = =

a f f f f f pa a pu f w w

( )( )1 0 0 0ˆ ˆ1 , ,κ γ β κ β β κκ

= = − = = −w

u e w f f w w

0 0 0 0ˆˆ ˆ ˆ ˆ∧ = ∧ → = =v e w f B v e w f

( )

( )

21 0 2 2

2 21 2 2

2 2

ˆ1

ˆ1

b

b b

b b

κ γ β

γ β

−

−

= = − =

= =∴

= = −

u e B u u

u u u

B

1 1

2 2

11ˆ1

bb b b γβ

− −= = ⇒ =− B

.

A escolha do sinal positivo, ao extrair a raiz quadrada em γ , tem a ver com o seguinte:

quando 0β = , deverá necessariamente ter-se 1γ = (transformação identidade) e não

1γ = − .

Para calcular o multivector b a partir do multivector 2b basta ter em consideração que

( )

( )( )

( ) ( )

( )

0 20

0 2

22

0

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 , 1

112

ˆ1ˆ1ˆ1

ˆ1 2 1

ˆ1 .2 1

b b bb b b bb

b b b

bb b b b bb

b b

b

γ γ βγ βγ γ β

γ γ β γ

γ γ βγ

= +⇒ + = =

= −

+∴ + = + ⇒ =

+ += + ⇒ =

+ −

+ − = +

+ +∴ =

+

BBB

B

B

Carlos R. Paiva 144

Porém, apesar de se saber que 2ˆ 1=B , nada se sabe ainda sobre o sinal de 2B . Outro

tipo de raciocínio físico tem de ser tido em consideração. A figura anexa pretende

sintetizar o conjunto de conhecimentos que foram obtidos até ao momento sobre a

transformação de Lorentz (ou boost) entre os dois referenciais de inércia 1S e 2S em

movimento relativo. Define-se, ainda, ˆβ=B B de modo que

2 2

42 2

1,3

00

CC

ββ

→ = − <→ = >

BB

.

Consideremos, agora, a composição de boosts colineares tal como se indica na figura

seguinte.

( )

1

1 0

2 1

0

ˆˆ ˆ

S

κ

γ

β κ

=

= +

=

=

u e

u u v

v v

B ve

( )

2

2 0

1 2

0

ˆˆ ˆ

S

κ

γ

β κ

=

= +

= −

=

u f

u u w

w w

B w f

b

b

0

1 0ˆ ˆ

Sκ=

=

u e

B v e

1

1 0

2 0ˆ ˆ

Sκ=

=

u f

B v f

2

2 0

0ˆ ˆ

Sκ=

=

u g

B w g

1b 2b

b


O referencial S tem uma velocidade própria u , o referencial 1S uma velocidade

própria 1u e o referencial 2S uma velocidade própria 2u . Do ponto de vista de um

observador (em repouso) em S o referencial 1S afasta-se com uma velocidade relativa

1 1 1ˆβ κ=v v enquanto que, do ponto de vista de um observador em 1S , o referencial 2S

se afasta com uma velocidade relativa 2 2 2ˆβ κ=v v . Um observador em S vê, também,

o referencial 2S a afastar-se com uma velocidade relativa ˆβ κ=v v . Como se supõe

que 1 2ˆ ˆ=v v , tem-se

1 0 2 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= = = =B v e v f v e w g .

Nestas circunstâncias, pode-se escrever

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

21 1 1 1 1 0 1 1

22 2 1 2 1 2 2 0 2 2 2 1

22 0

ˆ

ˆ

ˆ

b

b b b b

b

γ γ κ β κ

γ γ κ β κ

γ γ κ β κ

= = + = +

= = + = + ⇒ =

= = + = +

u u u v e v

u u u v f v

u u u v e v

em que

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

1 1 1

2 2 2 2 1 2 1

21 2 1 2

1 2 1 2

ˆ1

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1

ˆ1

ˆ1

b

b

b

γ β

γ β γ β γ γ β β

γ β

γ γ γ β β

γ β γ γ β β

= +

= + ⇒ + = + +

= +

⎧ = +⎪∴ ⎨= +⎪⎩

B

B B B B

B

B

donde se tira que

1 22

1 2ˆ1

β βββ β+

=+ B

.

Carlos R. Paiva 146

Consideremos, então, o caso particular em que 1 2β β= . Neste caso, vem:

14 2

112 2

111,3 2

1

212

ˆ 211

C

C

βββββββ ββ

→ =−

= →+ → =

+B

Na figura seguinte representa-se graficamente β em função de 1β para este caso (i.e.,

para 1 2β β= ) quer em 4C quer em 1,3C .

Verifica-se que o caso em que 2ˆ 1= −B (bivector elíptico) corresponde a situações

fisicamente inaceitáveis: para 1 1β > obtém-se 0β < , i.e., a composição de duas

velocidades numa dada direcção daria uma velocidade na direcção diametralmente

oposta. Já o caso em que 2ˆ 1= −B (bivector hiperbólico) corresponde a situações

fisicamente correctas. Isto significa que é a álgebra geométrica 1,3C que deverá

representar fisicamente o espaço-tempo de Minkowski da relatividade restrita – não a

álgebra geométrica 4C .


Conclusão: A álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (i.e., da relatividade

restrita) é a 1,3C . Nesta álgebra tem-se µ ν µνη⋅ =e e , com 20 1=e e 2 2 2

1 2 3 1= = = −e e e .

Portanto: 2 2ˆˆ 1= − = −v B .

2 1 2 1 2

1 21 22

2

2

ˆ 11 1

1ˆ 11

v vv v vc

β βββ β

γβ

+ += → = → =

+ +

= − → =−

B

v

22 2 2 2 12

ˆˆv v cv

β −= → = − = − = − → = = −v vv v v v vv

Mas então, não é possível ter-se 1β > . Com efeito, tal conduziria a valores complexos

para o parâmetro γ . Ou seja: em todas as circunstâncias, as velocidades relativas devem

ser inferiores ao limite universal κ . Do ponto de vista experimental e, atendendo às

equações de Maxwell, aceita-se actualmente que o valor numérico deste limite κ seja a

velocidade da radiação electromagnética no vácuo:

0 0

1 299 792 458 m/scκε µ

= = = .

Como 2ˆ 1= −B (bivector hiperbólico), tem-se

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

2

1

ˆ ˆ ˆ1 exp cosh sinh

ˆ ˆexp cosh sinh2 2 2

cosh 1 1tanh tanh ln2 1sinh

b

b

γ β ζ ζ ζ

ζ ζ ζ

γ ζ ββ ζ ζ ββγ β ζ

−

= + = = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=⎧ ⎛ ⎞+⎪∴ ⇒ = ⇒ = =⎨ ⎜ ⎟−= ⎝ ⎠⎪⎩

B B B

B B

e, daqui, é possível inferir-se a forma de uma transformação de Lorentz (ou, mais

precisamente, de um boost).

Carlos R. Paiva 148

( ) ( )

( )

21 2 12 2

1 0 1 2 20 0 0 0 0 2 122 2

2 0 2 2

0 0

22 2 20 0

2 2

2 2 21 2 3

2 2 21 2 3

1 ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 1 exp1

ˆ ˆ 1 ˆ1 êxp1 22 11

bc c

b bc cc

b

b

b

γ β ζ

γ γ β ζγ

== =

→ → = → = = − == =

=

= =

= + == = =

= = − → + + ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟= = = − ⎝ ⎠+= = = −

u u uu e u

e f e f e u u w vu f u

v w v

B ve w f

B BB e f

v w B Be e e

f f f

0 0 0 0

0 0

0 00

0

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

b b

b b

b b

b b

= − = =

= − = =→

== − =

== − =

Be e B v e e

Bf f B w v v

f fB v v B e

w wB w w B f

0 0 0 0ˆ êxp exp

2 2

ˆ ˆˆ ˆ ˆ êxp exp2 2

b bboost

b b

ζ ζ

ζ ζ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠→⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e f e B e B

v w v B v B.

Um vector 41,3C∈ ⊂a pode ser decomposto em componentes paralela e

perpendicular a B .

( ) ( )( )( )

2

0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

⊥

⊥

= → = = + ∧ = +

⎧ =⎪= ∧ → ⎨= ∧⎪⎩

B a aB B a B B a B B a a

a a B BB v e

a a B B

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0 0 0 0

0 0 0

00

ˆ ˆ ˆ ˆ,ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆˆ

rr c t

c t⊥

∧ = − ∧ = −

= ∧ = ⋅ − ⋅

⋅ = −⎧= + → = + → ⎨

⋅ =⎩

e v e v v v e e

a B a v e a v e a e v

a vr v r a e r

a e


( ) 0 ˆc t r

⊥ ⊥

⎧ = +⎪∴ ⎨=⎪⎩

a e va r

Consideremos, então, uma transformação passiva 1 2S S→ em que o mesmo vector

41,3C∈ ⊂a é decomposto em diferentes componentes nestes dois referenciais em

movimento uniforme relativo.

O vector ⊥ ⊥=a r é ortogonal não só a v mas também a 0e , uma vez que ˆ 0⊥ =a B .

Logo, o vector ⊥a comuta com B : ˆ ˆ ˆ⊥ ⊥= = ∧a B Ba a B . Já o vector a anti-comuta com

B : ˆ ˆ ˆ= − =a B Ba a B .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr c t⊥= + = ∧ = ⋅ − ⋅ = − −a B a a B a v e a v e a e v e v .

Num boost, como b b⊥ ⊥=r r , infere-se que

.

b b bb⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

⊥ ⊥

= = = = =

∴ =

a r a r r r r

a a

Assim, numa transformação passiva de Lorentz, virá sucessivamente

( )

1

1 0

0

ˆ

ˆ

Scc

c t r

β

⊥

=== +

= +

u ev v

a a aa e v

( )

2

2 0

0

ˆ

ˆ

Sc

c

c t r

β

⊥

== −= +

= +

u fw wa a a

a f w

b

b

Carlos R. Paiva 150

( )( )

1 0

2 0

ˆ

ˆ

S c t r

S c t r

⊥

⊥

→ = + +

→ = + +

a e v r

a f w r

( ) ( )( ) ( )2 20 0

0

ˆ ˆ

ˆ

c t r c t b r b+ = +e v e v

wf

( ) ( )

( ) ( )

20 0 0 0

20

ˆ ˆ1

ˆˆ ˆ ˆ ˆ1

b

b

γ β γ β

γ β γ β

⎧ = = + = +⎪⎨

= = + = +⎪⎩

f e B e e v

w v B v v e

( ) ( )( ) ( )

( )( )

0 0 0ˆ ˆ ˆ

00

0 0 1

c t r c t r

c t c tc t c t rr r

r r c t r r

γ γ β γ γ β

γ γ βγ βγ β γ

γ β⊥ ⊥

+ = + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎧ = +⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∴ → =⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤= +⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎣ ⎦⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

e v e v v e

Em termos da rapidez ζ esta transformação escreve-se

( ) ( )( ) ( )

cosh sinh 0sinh cosh 0

0 0 1

c t c tr rr r

ζ ζζ ζ

⊥ ⊥

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

e a sua inversa

( ) ( )( ) ( )

cosh sinh 0sinh cosh 0

0 0 1

c t c tr rr r

ζ ζζ ζ

⊥ ⊥

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

Na transformação (passiva) de Lorentz 1 2S S→ o vector a permanece um invariante; a

sua componente ( )ˆ ˆ=a a B B , porém, é um covariante. Da mesma forma, o quadrado

do vector 2 ∈a dá um número real (positivo, negativo ou nulo) que é, também, um

invariante.


( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

40 0

204

0 00

2 2 2 2 20 0 0

222 20 0 0

2 22 2 2 2 2

22 2 2

1

0

invariante

c t c t

c tc t

c t c t c t

c t c t

c t

= + = + ∈

= +⎧= = ∧ ∈ → ⎨ = −⎩

= → = = + − = − ∈

= = − = − = ≥

= − = −

→ = −

a e r f r

ae RR r e r e

e a R

e a ae e a R R R

R r e r e e r r r

a r r

a r

∧

22 2 2

22 2 2

22 2 2

é um vector do tipo luz 0

é um vector do tipo tempo 0

é um vector do tipo espaço 0

c t

c t

c t

→ = ⇒ =

→ > ⇒ >

→ < ⇒ <

a r a

a r a

a r a

Um vector a , no caso geral, não tem que descrever a linha de universo de uma partícula

no espaço-tempo de Minkowski. Em geral a trajectória no espaço-tempo correspondente

a ( )λa , em que λ é um parâmetro qualquer, tem um vector tangente associado:

( ) ( ) ( ) vector tangentedd

λ λ λλ

′= = →aa u a .

Assim como 2 = ⋅a a a é um invariante, que não depende do referencial escolhido para o

descrever, também a quantidade

2

1

1 2

invarianted d dd d

λ

λτ λ

λ λ⎛ ⎞

∆ = ⋅ →⎜ ⎟⎝ ⎠

∫a a

é um valor invariante que não depende do parâmetro λ particular usado para descrever

a trajectória ( )λa . Existe um significado especial que pode ser atribuído ao invariante

τ∆ : quando se escolhe ( ) ( ) 0t c t=a e , o parâmetro tλ = descreve o tempo próprio de

um observador em repouso no referencial 0e .

Carlos R. Paiva 152

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

0

2 22 2 2 2

2 2 2

2

10, 0, 1 .

1

d dt t c tdt d

tt t t c

c c tc

τ τ γτ

β γ τ

= → = = = +⎡ ⎤⎣ ⎦

< = = − > = > → =

+

r av u a e v

v vv u

v

Ou seja: τ é o parâmetro especial, que se designa por tempo próprio, tal que ( )2 2cτ =u .

O vector u caracteriza o referencial próprio instantâneo de uma partícula com massa,

i.e., a respectiva trajectória é caracterizada por um vector tangente u que é do tipo

tempo (um vector tangente sempre hiperbólico) e que se designa por velocidade própria

dessa partícula.

5.4 Movimento hiperbólico Uma partícula com massa (não nula) descreve no espaço-tempo uma linha de universo

( )τa , sendo τ o respectivo tempo próprio e onde o vector tangente ( ) ( )τ τ=u a , tal

que ( )2 2cτ =u , representa a sua velocidade própria. Note-se, porém, que o referencial

próprio caracterizado por ( ) ( )τ τ=u a não tem necessariamente que ser um referencial

de inércia. Por outras palavras: é possível estudar o movimento acelerado no contexto

da relatividade restrita.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 4 20

3 2

40

2

2

23 2 2

2

2

2

, 0, , 0

velocidade relativa , 0

velocidade própria

1

1

aceleração relativa , 0

t t t c t t tdt tdt

dt t t c td

dt td t

cd dt tdt dt

d dt td d

γτ

γ γτ

α

τ τ

∈ < = + ∈ >

→ = ∈ <

= = = + ∈ →⎡ ⎤⎣ ⎦

= → =

+

→ = = ∈ = − <

= = = ∈

r r a e r arv v

au a e v

v

v rg g

u au a 4 aceleração própria→

Note-se, desde já, que a velocidade própria é sempre ortogonal à aceleração própria:


( ) ( )2 2 2 0

0 .

dcdτ

= ⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ =

∴ ⋅ =

u u u u u u u

u u

Note-se, ainda, que se tem:

( ) ( ) ( ) ( )2aceleração própria dt t t tdtγγ→ = +u g u .

A combinação das duas relações anteriores permite então concluir que

( ) ( ) ( )2

2

c dt tt dt

γγ

⋅ = −u g .

No contexto da álgebra geométrica 1,3C podemos, portanto, introduzir o bivector

aceleração:

2

4

2 3

bivector aceleração

.γ γ

→ = = ⋅ + ∧ = ∧ ∈

∴ = ∧ = ∧ = ∧

Y uu u u u u u u

Y u u g u g v

∧

Nota importante: Em mecânica relativista designa-se por movimento hiperbólico o

processo cinemático em que a aceleração própria u é um vector constante, tendo-se

1γ = e 0c=u f no respectivo referencial próprio 0S , tal como 0⋅ =u g e =u g . Porém,

em qualquer referencial, 2 2α= −u onde α é o valor constante que representa a

aceleração própria: α=u .

Para entender melhor o que é o movimento hiperbólico vai-se considerar que é sempre

( ) ( ) 1t x t=r e (num dado referencial S ) para simplificar a análise.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

1 0 1

referencial próprio :referencial :

S cS t x t t c t x t

τ τ== → = +

a fr e a e e

Carlos R. Paiva 154

( )0 0 1 1 0 1

0 10 0 1 1 0 1

,

,

d d xu u c t u ud ddu duu u u ud d

τ τ

τ τ

= + → = =

= + → = =

u e e

u e e

2 2 2 2

0 12 2 2 2

0 1

0 0 1 1 0

u u cu u

u u u uα

= − == − = −⋅ = − =

uuu u

( )

( )

( )

2 22 2 2 2 20 0 0

1 0 0 12 21 1 1

0

1

2 2 2

1 0 20 1

20

1 0 1 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 1

cosh

sinh

u u uu u u u cu u u

u cu

d x c c d t c dtu uu u xd dc dudt d x d xu u u t

c d c d d

d x cx xd c cd t ct td c c

α

α

ατ α α τ α τ

ατ α α τ α τ

α ατ ττ α

α ατ ττ α

= ⇒ = − − = − = −

∴ =

= = == =⇒ ⇒

= = = = =

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠∴ ⇒

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

u

( ) ( )2

1 2

2

sinh ln 1 ln 1

ln 1

c t tx x xc c

c t t t tTT T T T

α ατα

τα

−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + + → = + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤− ⎛ ⎞⎢ ⎥= → = + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )

( )

( )

( )( )

2

22 2

cosh0

sinh0 0

cc x Xx X Xx c t X

X cttc X

ττα

ττ

⎛ ⎞== = ⎜ ⎟⎝ ⎠→ → − =⎛ ⎞== ⎜ ⎟⎝ ⎠

.


Na figura seguinte representa-se ( )t Tτ − em função do quociente t T (com T c α= ).

Através desta figura observa-se a dilatação do tempo: o tempo próprio é sempre inferior

ao tempo medido noutro referencial qualquer.

Na figura anexa representam-se as hipérboles descritas (linhas de universo) no plano de

Minkowski ( ),x c t , através do movimento hiperbólico, considerando diferentes valores

do parâmetro 2X c α= e para 0.2 nsτ ≤ .

Carlos R. Paiva 156

Note-se ainda que, no referencial S , se tem

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

1

2 23

12 2

tanh, tanh

, sech cosh

c tcd x d x d x d cv cX xdt dt dt d X

d x d x dv d c xcgdt dt dt d X X X

τττ τ β ττ τττ

τ τ τττ τ α γ ττ

⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = == = = = ⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎪→ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

v e

g e

A figura seguinte representa graficamente v cβ = e a aceleração relativa normalizada

g α em função do argumento adimensional c Xτ .

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

222 2

22

2

2

3 22

1

1

1

1

1

c tx c t X x t XX

c tx tc

t tv t tct

c

g tt

c

αα

α αγα

α αα

⎛ ⎞− = → = + ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞∴ = + ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= → = + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ≤⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦


Nota: Quando 1t cα , é razoável a aproximação

( )

( )

2 22 2

20

11 12

1cinemática newtoniana2

c t c tx tc c

x t x t

α αα α

α

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ≈ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

→ = +

que recupera o limite, bem conhecido, da mecânica clássica não relativista.

5.5 Mecânica relativista A teoria da relatividade restrita é a solução para a relação contraditória entre a mecânica

newtoniana e o electromagnetismo. Para a superação dessa contradição a teoria da

relatividade restrita teve de reformular a mecânica newtoniana. Dessa reformulação

nasce a mecânica relativista. Na base da mecânica relativista está a distinção entre

grandezas próprias e grandezas relativas. Do ponto de vista da cinemática esse tipo de

distinção surge no caso da velocidade: há que fazer, com toda a clareza, a separação

entre o conceito de velocidade própria de uma partícula e o conceito de velocidade

relativa. Na dinâmica relativista começa-se por dintinguir entre momento linear próprio

e momento linear relativo de uma partícula de massa (própria) m . Deste ponto de vista

a designação “teoria da relatividade” é, de certa forma, uma designação infeliz: na teoria

da relatividade, ao contrário de se dizer que “tudo é relativo”, faz-se a cuidadosa

distinção entre o que é relativo e o que é próprio (é preferível dizer “próprio” em vez de

“absoluto”).

Seja então ( )0 0c cγ= = +u f e v a velocidade própria de uma patícula de massa m .

Define-se o momento linear próprio q da partícula como sendo m=q u .

( ) ( ) 40 0

3 2 2 2 2 2 2 2

momento linear própriomomento linear relativo 0

m m c mcm m m v

γ γγ γ γ

→ = = + = + ∈→ = ∈ → = = − <

q u e v e pp v p v

Define-se, ainda, a energia total da partícula como sendo 2mcγ=E em que 20 mc=E é

a sua energia própria (ou intrínseca).

Carlos R. Paiva 158

( )( )

02

0

0

22 2 2 2 2 0

0

0 0

0

222 2 0

0 0

2

energia totalenergia própria

bivector momento linear (relativo)

mc

c

c m cc

c

c

c c c c

γ→ =→ =

∴ = +

⎛ ⎞= ⇒ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ = +⎪⎪→ = = ∧ → ⎨⎪ = −⎪⎩

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

q e p

u q

qe PP pe p e

e q P

q qe e q P P P

P

E E

E

E

E

E

E

EE E E

( )22 2 2 2 2 20p m v c pγ− = = ∴ = +p E E

A diferença entre a energia total 2mcγ=E e a energia própria 20 mc=E constitui a

energia cinética da partícula T .

( )( )

( )

( )

20

2 2 4 6

21

4 62

2 4

2

energia cinética 1

1 1 1 1 1 3 151 1! 2 2 8 481

1 3 152 8 48

1mecânica newtoniana 2

n

n

T mc

nn

v vT v mv m mc c

c T mv

γ

γ β β β βπβ

∞

=

→ = − = −

⎛ ⎞− = − = Γ + = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠−

= + + +

→∞ → =

∑

E E

ϕ

ϑ

0E

c p

T

0E

E ( )

( ) 2

sin1sin 1

ϑ β

ϕ βγ

=⎧⎪⎨

= = −⎪⎩


Para uma partícula de massa nula (como o fotão) é 0m = , 0 0=E e c p=E . Em geral a

velocidade relativa de uma partícula é dada por 2v c p= E , de modo que a velocidade

de uma partícula de massa nula é a velocidade limite do universo, i.e., v c= .

( )

0 0

2 2 2 2 2 2

2

2 222 2

0

bivector velocidade relativa

,,

0

v pv p

m d dd dmc

d d c c pc vd d

m c p v c

γ

γ

→ = = ∧

= − = = − =

= = = =

=⎧→ = → = −⎨

=⎩

⎡ ⎤⎡ ⎤ = + → = ∴ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⇒ = ⇒ =

V ve v e

V v P pV v P p

P VV v

P p

P V PP P

E E

E

E EE E

E

Nota importante: A equação

22

2 2 2 20 m cc c

⎛ ⎞⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

q P EE

introduz uma subvariedade invariante de dimensão 3D = na variedade de dimensão

4d = que é o espaço de Minkowski. Nesta subvariedade as coordenadas são

( ), , ,x y zc p p pE . Cada uma destas subvariedades constitui um hiperbolóide

caracterizado pelo valor da massa m . Por essa razão a geometria do espaço-tempo de

Minkowski é uma geometria hiperbólica. No limite fotónico, em que 0m → , o

hiperbolóide degenera num cone – o chamado cone de luz – com o seu vértice na

origem. Só na física quântica é que o ramo negativo do hiperbolóide

( )220 c p= − +E E

adquire uma interpretação física.

Carlos R. Paiva 160

Consideremos, então, o produto geométrico do momento linear próprio q de uma

partícula com o acontecimento (ou ponto no espaço-tempo) a que se designa por

momento angular próprio da partícula.

( )( )

( ) ( )( )

( )

( )

1,3

00 0

0

0 0

0 20 0 0

0

momento angular próprio C

c c tcc t

t c tc

t c tc

c tc

→ = ∈

⎧ = +⎪ ⎛ ⎞→ = + +⎡ ⎤⎨ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎪ = +⎩

= + + +

= ∧⎧→ = = − = −⎨ = ∧⎩

= − + −

⎛ ⎞∴ = = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

qa

q e pe p e r

a e r

e r pe pr

R r epr pr e pe r e P R

P p e

R P P R

qa P R

EE

EE

EE

E

( )

( )

0 2

0 2 4

0 00 0

24

0 02 2

0 0 04 4

0

24

02

momento angular próprio

12

0

escalar

bivector

c

t

c tc

→ = +

= + +

⎧= = = − ⋅ ∈⎪

⎪⎪ = × = − = = ∧ ∈⎨⎪⎪ = ∧ = = ∧ ∧ − =⎪⎩⎧ = + ⋅ ∈ →⎪⎪∴ ⎨⎪ = − − ∧ = ∧ − ∧ ∈ →⎪⎩

P R P R P R P R

P R P R pe r e p r

P R P R P R R P pe r e r p

P R P R pe r e p e r R

p r

P R r p m e r p

∧

∧

E

E

E

( )

( )( ) ( )0 0 02

vector elíptico (tipo espaço) c tc

c tc

→ = −

∴ = ∧ − ∧ − ∧ = ∧ − ∧

m p r

p e r e r p m e r p

E

E


A célebre equação de Einstein 2mcγ=E requer uma explicação física. Esta equação

exprime matematicamente a inércia da energia – algo que os habitantes de Hiroshima e

Nagasaki experimentaram de forma trágica.

Do ponto de vista físico há que fazer uma distinção importante: escrever que a energia

de repouso é 20 mc=E é, na realidade, trivial; já escrever a expressão da energia

cinética de uma partícula não é trivial. Introduzindo um coeficiente de inércia

( ) ( )I v v mγ= , a definição de energia cinética tem de ser ( ) ( ) 2 2T v I v c m c= − de

modo a que, no limite newtoniano c →∞ , seja possível recuperar a fórmula conhecida

da mecânica não relativista ( ) 2 2T v m v= . Com esta definição, o momento linear

próprio de uma partícula de massa m é 0 0m q= = +q u e p em que ( )20q c m c T v= + e

( ) ( )v v mγ=p v . Então, a conservação do momento linear implica a conservação não só

de p mas também de 0q c . Sejamos mais específicos: se numa colisão (elástica ou

inelástica) estão envolvidas várias partículas, consideram-se duas situações A e B .

situação antes da colisãosituação depois da colisão

AB

→→

A conservação de momento linear A B=q q implica que as suas componentes 0q e p

também se conservem, separadamente, no processo da colisão. Note-se que, no caso

geral, é possível que o número AN de partículas envolvidas na situação A seja

diferente do número BN de partículas envolvidas na situação B ou, até, que a massa im

seja diferente nessas duas situações.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

01 1

01 1

conservação do momento linear

A A

B B

N NA A A A A

A A A A A i i i i ii i i i i i

N NB B B BB B B B Bi i i i

B i i i i ii i

A B

I v c I vI v v m

I v v m I v c I v

γ

γ

= =

= =

⎧ ⎡ ⎤= +⎪ ⎢ ⎥⎧ =⎪ ⎪ ⎣ ⎦→⎨ ⎨⎡ ⎤=⎪ ⎪ = +⎩ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

→ =

∑ ∑

∑ ∑

q e v

q e v

q q

Carlos R. Paiva 162

( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 2

1 1

2

,

,

inércia da energia

A A

B B

N NA A

A i A ii i

A A B BN NB B

B i B ii i

A B

B A

m m T Tm c T m c T

m m T T

m m m TmT T T c

= =

= =

= =→ + = +

= =

∆ = −⎧ ∆∴ → ∆ = →⎨ ∆ = −⎩

∑ ∑

∑ ∑

Conclusão: É errado afirmar, do ponto de vista físico, que a inércia da energia é

traduzida pela equação 20 mc=E . O que a inércia da energia afirma é que

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 201I v c v mc mc v mc Tγ γ= = = + − = +⎡ ⎤⎣ ⎦E E .

A energia própria (em repouso) é apenas uma forma de energia potencial em que

( )0 0v= =E E . A célebre fórmula de Einstein sobre a inércia da energia é pois

( ) 2I v c=E e não 20 mc=E . Antigamente escrevia-se (como o próprio Einstein)

( )2

2

expressão (arcaica e a evitar) da massa (variável)1

vmm v m

vc

γ→ = =

−

em que vm seria a massa da partícula em movimento (diferente, portanto, da sua massa

em repouso 0m m= ). Para evitar introduzir este conceito equívoco de “massa em

movimento” é que se define o coeficiente de inércia ( ) ( )I v v mγ= . O conceito arcaico

de “massa em movimento” não faz sentido: só existe uma massa m , que é um

invariante uma vez que não depende do estado de repouso ou de movimento da

partícula. O invariante m é sempre medido no referencial próprio da partícula, i.e., no

referencial (instantâneo) onde a partícula se encontra (sempre) em repouso. Mas

efectivamente grave (i.e., erro crasso) é a introdução de uma “massa transversal” e de

uma “massa longitudinal” – conceitos totalmente vazios de qualquer conteúdo físico e

apenas usados, actualmente, por autores que nada entendem de mecânica relativista.


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

22

2 20 0 0

coeficiente de inércia ,

energia cinética 1 ,

I v v m I v I v cc

T v T I v c mc

γ

γ

= = = → =

= − → = − =⎡ ⎤⎣ ⎦

p vEE

E E E

( )( )

2 20 0

2 2 2

2 20

2 2 20 0

velocidade própria (em )ˆvelocidade relativa (em )

velocidade própria (em )momento linear próprio (em )momento linear próprio (em )

S c cS v v cS v c c

S m mc m cS m I

γ

= → == → = − ≤= + → == = → == =

u f uv v vu e v uq u f qq u ( )( ) 2 2 2

0v c m c+ → =e v q

Consideremos, a título de exemplo, uma colisão inelástica de duas partículas de massa

m que, no referencial S onde o momento linear total é nulo, têm velocidades iguais a

w embora com sentidos diametralmente opostos. Após a colisão as duas partículas

iguais fundem-se numa única partícula de massa M que, no referencial S , se encontra

em repouso. Num outro referencial S que se desloca, em relação a S , com velocidade

relativa w a partícula resultante de massa M tem, tal como se indica na figura anexa,

uma velocidade w .

Existem dois princípios de conservação a aplicar: (i) a conservação do momento linear;

(ii) a conservação da energia total. Partimos do princípio que o momento linear é o

produto do coeficiente de inércia pela velocidade enquanto que a energia total é

S

S

m m

m m

M

M

w

v w

w

Carlos R. Paiva 164

proporcional ao coeficiente de inércia. Mas desconhecemos, à partida, a expressão do

coeficiente de inércia: apenas sabemos que depende da velocidade da partícula. A

aplicação dos dois princípios de conservação permitirá determinar, então, a expressão

do coeficiente de inércia.

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

conservação do momento linear em : 0conservação da energia total em : 2

conservação do momento linear em :conservação da energia total em :

m m

m

m M

m M

S I v I vS I w M

S I v v I w wS I v m I w

− ==

=+ =

w w

Dividindo as duas equações de conservação em S , obtém-se

( )( )

( )m m

m

I v v I v wwI v m m v w

= ⇒ =+ −

.

Mas, pela composição de velocidades, vem

2

2 22

2

2 2

2

2 2 01

1 1 .

w cv w w cw vc

c vwv c

= → − + =+

⎛ ⎞∴ = ± −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

No limite das pequenas velocidades, virá então ( )v c

2 2

2

2

11 12

122

12

c vwv c

cw vv

w v

⎡ ⎤⎛ ⎞≈ ± −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

+ → ≈ −

− → ≈


o que mostra que se deve considerar a solução associada ao sinal − : basta pensar no

limite newtoniano desta experiência conceptual em que este limite deve resultar no caso

em que se faz 0v c → , i.e., 2w v= . Assim

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

1 1 1

1 1 1 .

c v c c vw v w vv c v v c

c v vv wv c c

⎛ ⎞= − − → − = − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

∴ − = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Mas então

( )

( ) ( )

2 2

2

22 2 2

22 2

1 11

11 1 1

.

m

m

c vv cI v w

m v w vc v vcv c c

I v v mγ

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠= = =− ⎛ ⎞

−− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∴ =

A equação obtida confirma a expressão geral do coeficiente de inércia. Por outro lado,

se se tiver em consideração a equação de conservação da energia total em S , obtém-se

ainda

( ) ( ) ( ) 22

22

2 2211

m Mm mM I w I w w M

wwcc

γ= = → = =−−

.

Vamos, agora, analisar o problema da absorção e emissão de fotões por uma partícula

de massa inicial 1M e massa final 2M . Comecemos pela absorção: uma partícula em

repouso, de massa 1M , absorve um fotão incidente de energia Q . Depois da absorção a

massa da partícula será 2 1M M> e encontra-se animada de velocidade v .

Carlos R. Paiva 166

2 21 2

2

conservação da energia

conservação do momento

M c Q M c

Qp M vc

→ = + =

→ = =

E

2 1 2

2 22 1

QM Mc

v Q Qc M c M c Q

β

⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = = =

+⎪⎩

Vejamos, então, o caso da emissão: uma partícula de massa 1M emite um fotão de

energia Q . A nova massa da partícula, em consequência da emissão, será 2 1M M< .

Simultaneamente, a partícula adquire uma velocidade v de recuo – tal como se indica

na figura seguinte.

( )

21 1 2

2 2

conservação da energia

conservação do momento 0

M c Q

Q Qv M v pc c

γ

→ = = +

→ = − = −

E E

2

2 1

2

M c Qc p Q

⎧ = −⎨

=⎩

E

1M 2M

Q v

1M 2MQ v


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 222 2 2 2 2 22 2 2 1 1 1

2 12 1 2

22

2 22 2 2 2 22 1 1

2

2

2

M c c p M c Q Q M c M Q c

M QM Mc

Q Qv M v v vc M c

v Q Qc M c Q M c M Q c Q

γ γ

β β

= − = − − = −

∴ = −

= ⇒ =

∴ = = ⇒ =+ − +

E

Note-se que, definindo a energia ( ) 20 1 2Q M M c= − , tem-se

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 22 2 22 1 1

2 2 22 2 2 2 22 1 0 2 0 1 0

00 2

1

2

2

12

M c M c M Q c

M c M c Q M c Q M Q c

QQ QM c

= −

= − = + −

⎛ ⎞∴ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

onde 0Q seria a energia do fotão se a partícula não sofresse um recuo.

Na mecânica relativista o conceito de força tem, obviamente, de ser revisto. É possível

introduzir uma força própria através do momento linear próprio e do tempo próprio.

( )força própria d m m mdτ

→ = = +q u u u

Recordemos, porém, que 0⋅ =u u e 2 2c=u . Assim

2 2invariante d mmc cdτ

→ ⋅ = =q u .

Define-se uma força pura como aquela que não altera a massa própria de uma partícula.

Carlos R. Paiva 168

força pura 0 0d mdτ

→ = → ⋅ =q u .

0 0 0

0

0

1 1referencial

1

potência

força relativa (ou ordinária)

força própria

d d d dt d dtSc c d d c dt d dt d

dt d dd c dt dt

ddt

ddt

c

τ τ τ τ

γ γτ

γ

→ = + → = + = +

⎛ ⎞= → = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

→ =

=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

p pq e p q e e

pq e

pf

q e f

E E E

E

EP

P

( )( )0

2

velocidade própria

força pura 0

cγ

γ

= +

⋅ = + ⋅ = ⇒ = − ⋅

u e v

q u f v f vP P

Podemos, ainda, introduzir um bivector força = ∧K q u no caso de uma força pura.

( )

( )

( )( )3 3

força pura

bivector aceleraçãobivector força

bivector forçaem função da

aceleração relativa

0movimento hiperbólico 0

0

m m

m m

mγ γ

→ = = ∧ = → =

→ = = ∧→ = = ∧

→ = ∧ → = ∧

=⎧→ ∧ = → ⎨ =⎩

K qu q u uu K Y

Y uu u uK Y u u

Y g v K g vg

Yg v

K


5.6 Dualismo onda-corpúsculo Viu-se anteriormente que, para uma partícula em movimento no referencial S , a

velocidade relativa é dada por

( )( )

22

velocidade relativa de uma partículav mccv m

γ

γ

⎧ =⎪→ = ← ⎨=⎪⎩

v pp v

E

E.

Admitindo que a radiação electromagnética é constituída por partículas elementares

denominadas fotões, a velocidade destas partículas será, em qualquer refrencial, dada

por v c= . Infere-se daqui que, para um fotão, c p=E .

energia de um fotão c p→ =E

O efeito fotoeléctrico, descoberto por Heinrich Hertz (1857-1894) em 1887, foi

interpretado por Albert Einstein em 1905. De acordo com esta interpretação, a energia

cinética dos electrões que são separados do metal através da radiação incidente e que

provocam, desta forma, uma corrente eléctrica é dada (classicamente) por 2 2T mv h f W= = − , onde a energia W não depende da frequência e é uma

característica do metal. Nesta expressão h é a constante de Planck e f a frequência da

radiação incidente. O efeito fotoeléctrico explica-se, de acordo com a interpretação de

Einstein, pelo facto da radiação incidente ser constituída por partículas – os fotões – em

que h f=E é a energia de um fotão ou quantum da radiação incidente que transporta

um momento linear p c=E , i.e., tem-se h f c p= =E , ou seja,

momento linear relativo do fotão h f hpc λ

→ = = .

Como o comprimento de onda da radiação electromagnética é c fλ = , infere-se ainda

que p h λ= . Sendo 2h π= a constante reduzida de Planck e 2 fω π= a frequência

angular, tem-se ainda ω=E e p k= , onde 2k π λ= é a constante de propagação

da radiação incidente. Para que o efeito fotoeléctrico tenha lugar é necessário, portanto,

que a frequência da radiação incidente seja superior a um limiar mínimo:

Carlos R. Paiva 170

minWf fh

≥ = .

Este limiar é, precisamente, o valor da energia de um fotão. A radiação

electromagnética não varia continuamente uma vez que se encontra discretizada em

quanta (os fotões): a sua variação é, consequentemente, discreta. A interpretação do

efeito fotoeléctrico de Einstein foi verificada experimentalmente por Robert Millikan

(1868-1953) no período 1912-1915.

( ) 34constante reduzida de Planck 1.05457266 63 10 Js2hπ

−→ = = ×

( )

2 2 20

2

20

momento liner própriodo fotão

fotão

2ˆvector de onda relativo

ˆ 1

vector de onda próprio ˆ 0 vector do tipo luzdo fotão

c

h fh

kck

c

ω

λω π

λ

ω

→ = + → = → =

= =⎧⎪→ ⎨

= =⎪⎩⎧ = =⎪→ = ← ⎨⎪ = −⎩

→ = + → = ←

q e p q l q l

p k

k kk

l e k l

E

E

O efeito Doppler é uma consequência do movimento relativo entre emissor e receptor.

Vejamos, agora, o efeito Doppler no contexto da radiação electromagnética e no âmbito

da teoria da relatividade restrita. Consideremos um emissor no referencial 1S (com

velocidade própria 1 0c=u e ) onde são emitidos fotões cujo vector de onda próprio é

( )11 0 1 1 1 1 0

ˆS ccω ω→ = + → = ⋅ ← =l e k l u u e .


No referencial 2S (com velocidade própria 2 0c=u f ) estes fotões são recebidos, tendo-

se agora

( )22 0 2 2 2 2 0

ˆS ccω ω→ = + → = ⋅ ← =l f k l u u f .

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

21 1 1 1 1 11 1 1 1

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 21 2

1 1 2 21 21 2

ˆ ˆcos sin expˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ cos sin exp

ˆ ˆˆ ˆcos sin cos sin,ˆ ˆsin cos sin cosˆ ˆ

r

r

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ θθ θ θ θ

⎧ = + =⎧ = =⎪ ⎪→⎨ ⎨= = = + =⎪ ⎪⎩ ⎩

⎛ ⎞ ⎛− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

C CC s k t v

C s k t w C C

v wk kt ts s

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 21 2

1 1 2 21 21 2

ˆ ˆˆ ˆcos sin cos sin,ˆ ˆsin cos sin cosˆ ˆ

θ θ θ θθ θ θ θ

⎞⎟⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v wk kt ts s

( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

0 0 0 0

0 00 02

0 02 1 0 1 2 02

2 1 0 1 2 0

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ1 expˆ ˆ ˆ ˆ

b

b

γ β γ β

γ β γ β

γ β γ βγ β ζ

γ β γ β

= + = −⎧ ⎧⎪ ⎪= =

= + = −⎪ ⎪= = − → ↔⎨ ⎨

= + = −⎪ ⎪= + = ⎪ ⎪= + = −⎩ ⎩

f e v e f wB ve wf w v e v w f

f e w vt t e t t f

B Bs s e s s f

1

1 0

1 1 0

1 1

ˆ ˆ

Sc

ω

=

== ⋅

u e

B k el u

2

2 0

0

2 2

ˆ ˆ

Sc

ω

=

== ⋅

u f

B wfl u

( )

1

1 0

0

1 1

ˆ ˆcos

Sc

θ

=

=⋅ = −

u e

B vev k

r b

1s

1k

1t

v

1θ

1θ

2s

2k

2t

w

2θ

2θ

Carlos R. Paiva 172

O movimento relativo entre 1S e 2S é descrito pelo bivector 0 0ˆ ˆ ˆ= =B ve wf . A

velocidade ordinária ˆv=v v (com 2ˆ 1= −v ) faz um ângulo 1θ com o vector de onda

relativo ( )1 1 1ˆcω=k k (com 2

1ˆ 1= −k ). Da mesma forma, a velocidade ordinária

ˆw= −w w (com 2ˆ 1= −w ) faz um angulo 2θ com o vector de onda relativo

( )2 2 2ˆcω=k k (com 2

2ˆ 1= −k ). A transformação 1 2

ˆ ˆk k compreende uma rotação 1r e

um boost b .

2 21 1 1 1 1

2 20 0 0 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ1

1

r

b

= − → = − ← = −

= → = ← =

k vk v vk k

e f e f f e e

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 20 0 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ1 cos sin exp

ˆ ˆ ˆ1 cosh sinh exp

r

b

θ θ θ

ζ ζ ζ

= − → = − = − ⋅ − ∧ = + =

= + → = = ⋅ + ∧ = + =

C v k v k v k C C

B f e f e f e B B

1 1 1 0 0ˆˆ ˆ ˆ, ,r r b b b b= = =v k f e w v

( )

( )

21 1 1

1 11 0 1

20 0

0 0 0

ˆˆ1 1ˆexp2 2 ˆˆ2 1

11ˆexp2 2 2 1

rrr

bbb

θ

ζ

+ −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⋅

++⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠ + ⋅

vkCv k

f eBf e

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

12 2 0 1 0 2 1 1

2 1 1

122

1

21

2 1

ˆ ˆ ˆ1

1 cos

1 cosefeito Doppler

1

1desvio Doppler 1 1

1 cos

cc

z z

ωω γ ω γ β ω

ω γ β θ ω

β θωω β

βωω β θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = + ⋅ + → = + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦∴ = −⎡ ⎤⎣ ⎦

−→ =

−

−→ = − → = −

−

l u e k e v k v


21

1

21 2

1

21

1

1efeito Doppler longitudinal (aproximação) 01

1efeito Doppler transversal2 1

1efeito Doppler longitudinal (afastamento)1

ω βθω β

ωπθω β

ω βθ πω β

−→ = → =

+

→ = → =−

+→ = → =

−

Nota importante: O efeito Doppler transversal é uma consequência indirecta da

dilatação do tempo.

Na figura anexa representa-se o desvio Doppler 1 2 1z ω ω= − em função do ângulo 1θ

para diferentes valores de β .

A aberração tem a ver com o facto de se ter 2 1θ θ≠ enquanto que o efeito Doppler tem a

ver com o facto de se ter 2 1ω ω≠ .

( )( )

1 1

2 2

ˆˆ cosaberração

ˆˆ cos

θ

θ

⋅ = −→

⋅ = −

v k

w k

Carlos R. Paiva 174

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

1 20 1 0 2 1 1 2 0 2

0

2 2 2

1 1 2 2

1 2 12

1

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆˆ ˆˆ ˆ cos

cos cos

cos 1aberração cos tan tan1 cos 2 1 2

c cω ω ω ω

γ β

γ γ θ

ω θ ω γ β γ θ

θ β θ θβθβ θ β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = + ⋅ = + ⋅ → ⋅ = ⋅ + ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⋅ = −

⋅ = ⋅ = −

∴ = +⎡ ⎤⎣ ⎦

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ = → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

l v e k v f k v k v f v k v

f v

k v k w

Na figura seguinte representa-se o ângulo 2θ em função do ângulo 1θ para diferentes

valores de β .

A validade da equação ω=E , no caso dos fotões, foi estabelecida (teórica e

experimentalmente) no âmbito do efeito fotoeléctrico – embora já estivesse, de certa

forma, subentendida no estudo da radiação do corpo negro levado a cabo por Max

Planck (1858-1947) em 1900. Vamos agora demonstrar como, no âmbito da teoria da

relatividade restrita, é possível prever a universalidade do quociente ωE (embora o

respectivo valor numérico tenha de ser obtido por via experimental).


Com efeito, uma vez que os fotões são partículas de massa nula, tem-se – tal como se

viu anteriormente – a equação c p=E . Considerando novamente os referenciais 1S e

2S , como no estudo do efeito Doppler, o momento linear próprio do fotão será

( ) ( )1 20 1 0 2

momento linear próprio ˆ ˆde um fotão c c

→ = + = +q e k f kE E .

Mas então, ao calcular o produto interno ˆ⋅q w , obtém-se a relação entre 2E e 1E , i.e.,

entre as energias de um fotão nos dois referenciais de inércia 1S e 2S .

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

1 20 1 2 2 2

0

1 1

2 2 1 1

12 2 1 1

1

122

1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos cos

ˆˆ ˆ cos

cos cos

coscos 1 cos

1 cos

1 cosrelação entre as energias do fotão

1

c cθ θ

γ β

γ θ

θ γ θ β

θ βθ γ β θ

β θ

β θ

β

⋅ = ⋅ + ⋅ = − ← ⋅ = −

⋅ =

⋅ = −

= −⎡ ⎤⎣ ⎦−

∴ = → = −⎡ ⎤⎣ ⎦−

−→ =

−

q w e w k w k w

e w

k w

E E

E E

E E

E

E

( )

( )

122

12 2

1 1122

1

1 cos

1invariante

1 cos

1

β θωω β ω

ωβ θ

β

−=

−⇒ = →

−=

−

E

EE

E

2 2

1 1

valor experimental ωω

→ = =E

E

( ) 20

ˆfotão 0

h ch f

h cp kc

ωωλ

λ

= = =→ → = + → =

= = =q e k q

E

E

Carlos R. Paiva 176

Nota: O raciocício desenvolvido para chegar a este invariante não é circular. Com

efeito, quer o efeito Doppler quer a aberração – necessários neste raciocínio – foram

deduzidos a partir da definição de vector de onda próprio de um fotão. Teve ainda de se

ter em consideração que a massa do fotão é nula, pelo que c p=E . Demonstrou-se,

portanto, que – para um fotão – deve haver uma relação universal entre o momento

linear próprio ( )( )0ˆc= +q e kE e o seu vector de onda próprio ( )( )0

ˆcω= +l e k . Só a

experiência permite determinar esse valor numérico: =q l .

O efeito Compton, que se vai analisar a seguir, é outra das experiências fundamentais

que veio permitir cimentar as ideias anteriores sobre o fotão. Esta experiência foi

conduzida por Arthur Compton (1892-1962) em 1922 e estabelece, de forma inequívoca,

a natureza corpuscular do fotão.

Um fotão de comprimento de onda 1λ colide com um electrão em repouso de massa m .

Após à colisão o fotão passa a ter um comprimento de onda 2λ e é desviado de um

ângulo θ . O electrão, por seu turno, inicia um movimento ao longo de uma direcção

que faz um ângulo φ com a direcção do fotão incidente.

1λ

2λ

m

v

θ

φ1k

2k

Efeito Compton


( )

( )

11 0 1

22 0 2

0

0

ˆantes da colisãomomento linear do fotão

ˆdepois da colisão

antes da colisãomomento linear do electrão

depois da colisão

c

c

c

c

ω

ω

→ = +→

→ = +

→ =→

′′ ′→ = +

q e k

q e k

q e

q e p

E

E

( )( )

( )( )

1 22 21 1

1

22

ˆ ˆ cosˆ ˆ 1,ˆ ˆ cos

,

v

v mcmc

v m

θ

φ

γ

γ

⎧ ⋅ = −⎪= = − ⎨⋅ = −⎪⎩

′⎧ =⎪= ⎨′ =⎪⎩

k kk k

k v

p v

EE

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

21 1

1 2 1 222 2

2 2

1 1

2 22 2 21 1

1 cos ,

1 cos

0,

mmc

v m c

v m

mc

ωω ω θ

ω

γ

γ ω β φ

⋅ =⎧⋅ = −⎡ ⎤ ⎨⎣ ⎦ ⋅ =⎩

′⎧ ⋅ =⎪⎨

′⋅ = −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩

′= = = =

q qq q

q q

q q

q q

q q q q

1 2conservação do momento linear ′→ + = +q q q q

( ) ( )

21 2 2 2 2 1 2 2 2

2 2 2 21 2 1

0

′ ′⋅ + ⋅ = + ⋅ → ⋅ = ⋅ − ⋅

′+ = + → +

q q q q q q q q q q q q q

q q q q q q ( ) ( )221 22

0′+ ⋅ = +q q q q ( )

( )

( )

2 2 1

2

1 2 1 2 1 2 1 22

2 12

2

2

1 cos

comprimento de onda de Compton

2sin1 cos 2sin 2

2

C

C

m mc

hmc

ω ω θ ω ω

λ

λ λ λλ θ

θθ λ

′ ′+ ⋅ → ⋅ = ⋅

∴ ⋅ = ⋅ − ⋅ → − = −⎡ ⎤⎣ ⎦

→ =

∆ = −⎧∆⎪ ⎛ ⎞→ =⎨ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− = ⎝ ⎠⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

q q q q q q

q q q q q q

Carlos R. Paiva 178

( ) ( )2energia cinética do electrão1

após a colisãoT v mcγ→ = −⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( )

1 21 2

1 21 2

1 2

21

1

2 21

1

1 22

1

ˆ ˆ

1

1 1

1 1

mc v mc Tc c

v mc c

T

T mc

mc

ω ω γ ω ω

ω ω γ

ωωω

ωγ ωω

ω ωγαα ω

⎧ + = + → = −⎪⎪′+ = + → ⎨⎪ = +⎪⎩

⎛ ⎞∴ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

−= → = −

q q q qk k v

A energia cinética adquirida pelo electrão, após a colisão, corresponde à diminuição de

energia retirada ao fotão: ( )1 2T ω ω= − .

2

1 1

1 1T ωγω α ω

−= = −


( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

21 1

1 2 1 22 22

1

2

22

1 21

1 cos 1 cos 1

1 1 cos

1 cos 2 tan 21

1 2 tan 2 11 1 cos

m mc mc

T

ω ωω ω θ ω ω θω

ω α θω

α θ α θω θ ωω α θα θ

− = − → − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− = −⎡ ⎤⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎣ ⎦∴ − = → =+ ++ −⎡ ⎤⎣ ⎦

É também possível exprimir a energia cinética exclusivamente em função do ângulo φ .

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 21 2 1 2 1 2

22 2 21 2 1 1

2

21 1

0

2 2 2 00 0 2

′ ′ ′+ = + → + − = → + − = =

′ ′ ′+ + + + ⋅ − ⋅ − ⋅ =

′ ′∴ + ⋅ = ⋅ + ⋅

q q q q q q q q q q q q

q q q q q q q q q q

q

q q q q q q q

( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 21 1 1 1

2 2 2

2 2 2

2

21 1

1

2

12 22 2 2

1 cos

1 cos1 1 cos

1 cos1

11

2 cos1 21 cos 1 2 1 tan

m c m m m c

T

T

ω γ ω β φ γ

α α φα γ γ β α φ γ

α α φγ

ω γω ωω α

α φγ αφ ωα α α φ α α φ

′ ′+ ⋅ = ⋅ + ⋅ → + = − +⎡ ⎤⎣ ⎦

+ ++ − = → =

+ −−

⎛ ⎞ −= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

−= → =

+ − + + +

q q q q q q q

Finalmente, igualando as duas expressões para a energia cinética (uma em função do

ângulo θ e a outra em função do ângulo φ ), obtém-se a relação entre estes dois ângulos.

( ) ( )efeito Compton cot 1 tan2θφ α ⎛ ⎞→ = + ⎜ ⎟⎝ ⎠

Na figura seguinte representa-se o ângulo φ em função do ângulo θ para diferentes

valores do parâmetro adimensional α .

Carlos R. Paiva 180

Para 0θ = a energia cinética é nula: o electrão permanece imóvel. O valor máximo da

energia cinética ocorre para θ π= (i.e., 0φ = ) e corresponde a um valor maxγ γ= .

2

1max max 2

1

211 2 11

2

Tmcωαγ

αω

= + → =+ ⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Através da lei da radiação do corpo negro, do efeito fotoeléctrico e do efeito Compton

chegou-se à conclusão inelutável que a radiação electromagnética – além da sua

natureza ondulatória evidenciada, por exemplo, em experiências de interferometria –

exibia, simultaneamente, uma natureza corpuscular: os fotões – enquanto “quanta” de

radiação electromagnética – apesar de terem massa nula (a sua velocidade é sempre

v c= ), têm uma energia ω=E e transportam um momento linear p c=E . Não

obstante a estranheza – do ponto de vista macroscópico – deste facto, a dualidade onda-

corpúsculo dos fotões é uma realidade inescapável da microfísica.

Em 1923 Louis de Broglie (1892-1987) propôs uma nova teoria que seria desenvolvida

na sua tese de doutoramento (1924): toda a matéria tem, além da sua natureza


corpuscular, uma natureza simultaneamente ondulatória; os fotões constituem, apenas,

um caso particular (e é até possível, de acordo com de Broglie, que a sua massa nem

seja exactamente nula). Mais precisamente: um pequeno feixe de electrões, por exemplo,

deverá sofre difracção ao atravessar uma rede cristalina – tal como se observa com os

raios X (o comprimento de onda associado a um electrão é aliás comparável ao dos

raios X). E, por mais bizarra que pareça esta teoria, surgiu a sua confirmação

experimental em 1927 por Clinton Davisson e Lester Germer. O dualismo onda-

corpúsculo de Louis de Broglie inicia um ramo científico conhecido por mecânica

ondulatória. Mais tarde a mecânica ondulatória daria lugar à moderna mecânica

quântica.

Seguindo de Broglie, qualquer partícula deverá ter – tal como o fotão – uma energia

ω=E . A única diferença é que a massa m não tem que ser necessariamente nula

(nem mesmo a massa dos fotões, de resto). A qualquer partícula é possível atibuir um

vector de onda próprio. A equação =q l passa, assim, a ser universal: aplica-se a

qualquer partícula da matéria.

222 2 0

0

0 0 0

vector de onda próprio

momento linear próprio

partícula onda

dualismo onda-corpúsculo

c c c

c c c

ωω ω

ω

ω

⎛ ⎞⎛ ⎞→ = + → = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞→ = + → + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

=⎧→ = → ⎨ =⎩

l e k l k

q e p e p e k

q lp k

E E

E

A uma partícula está associado um feixe de ondas planas. No referencial próprio da

partícula, em que 0=k , será ( )0 0cω=l e e, consequentemente, ( )220 cω=l .

2 2 2 2 20

2

2 2 0c c

c

ωω ω ω

ωω

∂+ = → + =

∂∂

∴ = −∂

k kk

kk

Carlos R. Paiva 182

22

2

2

velocidade relativa da partícula

ˆ ˆvelocidade de fase associada

velocidade de grupo do feixe

p B

g g

d c cd

cw w fk w

c

ω

ω λ

ωω

→ = − = → =

→ = → = = → =

∂→ = − = → =

∂

kv p vp

v k v k

kv v vk

E

E

( )

2

2

comprimento de onda de de Broglie

comprimento de onda (no vácuo)

p g

B

B B

v v v w c

wf

cf

cv f cv

λ

λ

λ λ λ

= =

→ =

→ =

∴ = → =

Como é sempre v c≤ , infere-se que Bλ λ≥ . Só no caso em que c v= (caso dos fotões)

é que se tem Bλ λ= . Para uma partícula em repouso, Bλ = ∞ .

( )

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 02 2

002

2

1 1

efeito Doppler transversal1

c cc

vvc

ω ω ω ω ω ωω

ωω ω γ ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = → + = → + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∴ = → = ←

−

k vk

( )0

fase da onda

t t

t

ω

ω

= + ⋅ = + ⋅ = Φ

→ Φ = + ⋅

p r k r

k r

E

( )

( )

0 0 0

22 2 2 2

2

ˆ ˆ ˆ

1

1 0 0

c vc w c c c

m cc

m

ω ω ω β

ω β

β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + → = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∴ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⇒ = ⇒ =

q e k e k q e k

q

q


5.7 Diagramas de Lorentz e de Minkowski A utilização da álgebra geométrica no âmbito da relatividade restrita tem um efeito

importante: ao apresentar todos os resultados em 1,3C não se restringe a uma economia

formal da estrutura matemática pois obriga a pensar a física em termos de invariantes de

Lorentz – ao contrário do que é habitual, onde a física é pensada em termos de

covariância. Por exemplo: um acontecimento é expresso pelo invariante 1,3∈a (um

vector de um espaço quadrático – o espaço-tempo de Minkowski) cujas componentes,

essas sim, são grandezas covariantes (i.e., obedecem a uma determinada lei de

transformação entre referenciais de inércia – a transformação de Lorentz).

( ) ( )

( )

( )

1,30 1 2 3 0 1 2 3

1,4 2

0 1 0 2 0 3 0

0 1 0 2 0 3 0

espaço deMinkowski

referencial referencial , invariantes

c t x y z c t x y z

S S

c t x y z

c t x y z

= + + + = + + + ∈ ←

∈ ∈ →

= + + +

= − + +

a e e e e f f f f

a a

ae e e e e e e

Re a e e e e e e

R

( )( )2 2 2 20 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

referencial referencial

c t

c t x y z c t x y zS S

⎧⎪⎪ ⇒ = = −⎨⎪⎪⎩

∴ = − − − = − − −

a ae e a R

a

Nesta perspectiva da relatividade restrita em termos da álgebra geométria 1,3C é então

dada pouca relevância aos aspectos “relativísticos” tradicionais – a saber: como é que

diferentes referenciais de inércia se apropriam das grandezas físicas que são invariantes

de Lorentz? Nesta secção vai-se tentar colmatar esse aspecto através da discussão da

dilatação do tempo e da contracção do espaço através de uma linguagem geométrica no

sentido mais tradicional desta palavra: usando diagramas – sejam os diagramas de

Lorentz ou sejam os diagramas de Minkowski.

Para simplificar a discussão, faz-se 1ˆ =v e e 1ˆ =w f , i.e., um boost S S→ reduz-se

agora ao bivector hiperbólico unitário 1 0 1 0ˆ = ∧ = ∧B e e f f (com 2ˆ 1=B ). O índice grego

é, como sempre, 0,1,2,3µ = .

Carlos R. Paiva 184

( )( )

ˆ êxp cosh sinhcosh2 2 2tanhˆ êxp cosh sinh

2 2 2

bb b

bµ µ µ

ζ ζ ζγ ζβ ζζ ζ ζ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → = ←=⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

B Be f e

B B

( ) ( ) ( ) ( )21 0 1 0

êxp cosh sinh 1b ζ ζ ζ γ β= = + = +B e e e e

( ) ( )( )

20 0 0 0 0 0 0 12

20 0 1 1 1 1 1 0

êxpb b b b b

bb b b b b

γ βζ

γ β

= ⇒ = = = += →

= ⇒ = = = +

e e e f e e e eB

e e e f e e e e

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

1b b b b

bb bbb b b b

= ⇒ = == = →

= ⇒ = =

e e e f e e

e e e f e e

Obtém-se, então, a transformação de Lorentz em que apenas os vectores ( )0 1,e e são

tranformados em ( )0 1,f f , uma vez que 2 2=f e e 3 3=f e :

0 0 0 00 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1

c t c t c t c tx x x xy y y yz z z z

γ γ β γ γ βγ β γ γ β γ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

O físico Hendrik Lorentz (1853-1828) apresentou a transformação, que hoje recebe o

seu nome, em 1904 – embora só com um artigo de Albert Einstein (1879-1955) em

1905 é que o pleno significado físico desta transformação tenha sido descoberto. Note-

se que outros investigadores andaram muito perto da estrutura formal desta

transformação – nomeadamente o matemático Jules Henri Poincaré (1854-1912).

Saliente-se, ainda, que já em 1887 o físico Woldemar Voigt (1850-1919) apresentara a

transformação de Lorentz – embora a transformação por ele considerada fosse:

2

2

2

1 transformação de Voigt (1887)1

vt t xc

x x v tyyv

c zz

γγ

γ

= −

= −= → ←=

−

=

.


Esta transformação reduz-se à verdadeira transformação de Lorentz após multiplicar

todos os membros do lado direito destas equações pelo factor γ .

Foi o matemático Hermann Minkowski (1864-1909) o primeiro investigador a tentar

obter, em 1907, o significado geométrico associado à transformação de Lorentz. Os

diagramas de Minkowski que iremos apresentar, porém, não são exactamente iguais aos

propostos originalmente por Minkowski: hoje em dia já não se usa, tal como este

matemático advogou, 4x i c t= (com 1i = − ). A visão de Minkowski, porém, é a

correcta:

“Henceforth space by itself, and time by itself, are doomed to fade away into mere shadows, and

only a kind of union of the two will preserve an independent reality.”

Hermann Minkowski, “Space and Time,” in H. A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski and H.

Weyl, The Principle of Relativity, Dover, New York, 1952, p. 75

A crítica moderna do uso da componente 4x i c t= encontra-se feita numa caixa

intitulada “FAREWELL TO « i c t »” em: C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A.

Wheeler, Gravitation, Freeman, San Francisco, 1973, p. 51.

Uma abordagem à teoria da relatividade restrita ao nível do primeiro ciclo universitário

– que não é a perspectiva que aqui se adopta – talvez deva começar por usar métodos

gráficos. Um método gráfico particularmente interessante é o apresentado em: Hermann

Bondi, Relativity and Common Sense: A New Approach to Einstein, Dover, New York,

1980. Este método é também adoptado em: G. F. R. Ellis and R. M. Williams, Flat and

Curved Space-Times, Oxford University Press, Oxford, 2nd ed., 2000.

Vamos começar por considerer o diagrama de Lorentz como representação gráfica da

transformação de Lorentz. Fazendo ( )sinv cβ α= = vem ( )cos 1α γ= e

( )tan α γ β= . O diagrama de Lorentz (página seguinte) obtém-se quase directamente.

Carlos R. Paiva 186

( ) ( )

( ) ( )

tancos 1

1tan

cos

OROP OU UP OSct c tx xOSOQ OV VQ OR

αα β

γβ

αα

= + = +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

→ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= + = +

Comentário: Note-se que as coordenadas do acontecimento ( ),E c t x ou ( ),E c t x são

as componentes covariantes do vector OE . Note-se, ainda, que existe uma rotação de

um ângulo α do eixos ( ),cT X em relação aos eixos ( ),cT X .

A desvantagem do diagrama de Lorentz é que apenas permite visualizar uma única

transformação S S→ . A sua principal vantagem é que não é necessário recorrer a

qualquer calibração especial dos eixos para analisar a dilatação do tempo ou a

contracção do espaço.

O

R

P

E

Q

S

X

cT

X

cTOP ct OR c t

OQ x OS x

= =

= =

α

α

Diagrama de Lorentz

U

V


Vamos, de seguida, estudar os diagramas de Minkowski. Neles é que analisaremos os

dois efeitos mais divulgados como consequência da transformação de Lorentz – a

dilatação do tempo e a contracção do espaço – que não são mais do que diferentes

manifestações da relatividade do conceito de simultaneidade.

Consideremos, então, a transformação de Lorentz tal que 1 0 1 0ˆ = =B e e f f .

1transformação de Lorentz considerada

1c t c tx x

βγ

β−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

→ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( )

2 2 2 20 0 1 1

0 0 10 0 1 1

1 1 00 1 1 0

1γ β

γγ β

γ β

= = − = − == +⎧⎪ → ⋅ = − ⋅ =⎨= +⎪⎩ ⋅ = − ⋅ =

e f e ff e e

e f e ff e e

e f e f

Cada acontecimento E do espaço-tempo de Minkowski é então representado: (i) por

( ),E c t x no referencial de inércia S ; (ii) por ( ),E c t x no referencial de inércia S .

( ) ( )0

eixo tan

x c txcT x

x x c tc t

β

θ βγ β

==

→ →= == −

( ) ( )0

eixo tan

c t xc tX c tc t c t x

x

β

γ β θ β

==→ →

= − = =

X

cT

x

c t

θ

cT

cT

X

c t

x

θ

X

Carlos R. Paiva 188

Comentário: Note-se que as coordenadas do acontecimento ( ),E c t x ou ( ),E c t x são

as componentes contravariantes do vector OE .

No diagrama seguinte ilustra-se a relatividade do conceito de simultaneidade: dois

acontecimentos A e B que são simultâneos no referencial S (com B At t= ) não são

simultâneos no referencial S (com B At t> ).

E

O X

X

cT cT

x

x

c t

c t

θ

θ

Diagrama de Minkowski

B

O X

X

cTcT

B Ac t c t=

Bc t

Ac t A


Usando então diagramas de Minkowski vai-se começar por analisar a dilatação do

tempo. Um relógio, colocado no ponto 0x = do referencial S , mede um intervalo de

tempo 0t . Do ponto de vista do diagrama de Minkowski (figura seguinte) trata-se,

portanto, de medir o intervalo (do tipo tempo) entre dois acontecimentos A e B . Em

ambos os referenciais S e S tem-se ( )0,0A . Porém, no referencial S , deverá ter-se

( )0 ,0B ct ; no referencial S , no entanto, tem-se ( ),B ct v t .

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0

1 0

dilatação do tempo

AC CB AB c t v t c t

c t v t c t

t t

γ

γ

+ = ∴ + =

⋅ + ⋅ = ⋅

→ =

e e f

e e e e f e

cT

X

X

cT

A

C B

vt

c t 0c t

Carlos R. Paiva 190

Consideremos, agora, um relógio colocado no ponto 0x = do referencial S que mede

um intervalo de tempo 0t . Do ponto de vista do diagrama de Minkowski (figura acima)

trata-se, novamente, de medir o intervalo do tipo tempo entre dois acontecimentos A e

B . Em ambos os referenciais S e S tem-se ( )0,0A . Porém, no referencial S , deverá

ter-se ( )0 ,0B ct ; no referencial S , por outro lado, tem-se ( ),B ct v t− . De facto, o

acontecimento B sobre o eixo cT ( )0x = deverá situar-se sobre a recta ( )x c tβ= − :

para T t= deverá ter-se, portanto, x v t= − .

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0

0

0 1


AB BC AC ct v t c t

c t v t c t

t t

γ

γ

+ = ∴ + =

⋅ + ⋅ = ⋅

→ =

e f f

e f f f f f

A dilataçao do tempo, tal como a contracção do espaço, são efeitos recíprocos.

cT

X

X

cT

0c t

c t

v t

B

A

C


Analisemos, agora, a contracção do espaço através de um diagrama de Minkowski.

Trata-se de medir o comprimento de uma régua colocada paralelamente ao eixo X (ou

ao eixo X ). Comecemos por considerar, em primeiro lugar, a situação da figura

seguinte em que a régua se encontra em repouso no referencial S .

Como a régua se encontra em repouso no referencial S é indiferente que as suas

extremidades sejam mediadas simultaneamente ou não neste referencial. Porém, o

mesmo não se aplica ao referencial S que vê a régua em movimento: no referencial S

as extremidades da régua têm de ser medidas no mesmo instante – caso contrário o

comprimento da régua não será medido correctamente. Em ambos os referenciais trata-

se, potanto, de medir um intervalo (do tipo espaço) entre dois acontecimentos A e B .

Em ambos os referenciais tem-se ( )0,0A . Quanto ao acontecimento B lê-se: (i)

( )0 0,B β no referencial S ; (ii) ( )0,B no referencial S .

( )( ) ( )( ) ( )

0 1 0 0 1

0 1 1 0 0 1 1 1

0

1 0

contracção do espaço

AC CB AB β

β

γ

γ

+ = ∴ + =

⋅ + ⋅ = ⋅

− −

→ =

e e f

e e e e f e

cT

X

X

cT

0

A

B

C

0β

0

Carlos R. Paiva 192

Consideremos, agora, a perspectiva recíproca: a régua de comprimento 0 encontra-se

em repouso no referencial S .

Os acontecimentos A e B têm de ser simultâneos em S onde a régua é vista em

movimento. Assim, para o acontecimento B , tem-se: (i) ( )0,B em S ; (ii)

( )0 0,B β− em S . Com efeito, o acontecimento B sobre o eixo X ( )0c t = deverá

situar-se sobre a recta c t xβ= − : para 0x = vem 0c t β= − .

( )( ) ( )( ) ( )

1 0 0 0 1

1 1 0 0 1 0 1 1

0

0 1

contracção do espaço

AB BC AC β

β

γ

γ

+ = ∴ + =

⋅ + ⋅ = ⋅

− −

→ =

e f f

e f f f f f

cT

X

X

cT

0

A

0

0β

C

B


No chamado “paradoxo” dos gémeos a reciprocidade é quebrada: uma das linhas de

universo refere-se a (pelo menos) dois referenciais de inércia; a outra linha de universo

refere-se, apenas, a um único referencial de inércia.

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

primeiro gémeo OA 2 2

segundo gémeo 2 2

1

OB BA OB OA cT T t

OA OC CA OC OA cT T t

cT cT cT cT T Tγ

γ

→ = + = → = → =

→ = + = → = → =

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

e

f

e f e e f e

Na realidade, a mudança de referencial de inércia pelo segundo gémeo (ao passar de

OC para CA ) implica uma aceleração pontual infinita. No exemplo que se segue usa-se

o movimento hiperbólico para evitar esta condição draconiana.

Exemplo: Uma nave espacial parte da Terra no ano 2100. Um de dois gémeos nascidos

em 2080 permanece na Terra enquanto que o outro viaja a bordo da nave espacial. A

nave movimenta-se sempre com uma aceleração própria 29.8 m/sα = : na primeira fase

acelera ao longo de uma linha recta durante 0τ anos (medidos no seu tempo próprio);

numa segunda fase desacelera durante mais 0τ anos; numa terceira fase, depois de

inverter a marcha, acelera durante 0τ anos; numa quarta (e última) fase desacelera

durante 0τ anos até que, por fim, aterra. O gémeo astronauta tem, portanto, 020 4τ+

anos de idade aquando do seu regresso à Terra.

X

cT

cT

0 0x v t=O

CB

A

( )( )

0 0

0 0

OB ct

OC c t

=

=

e

f

Carlos R. Paiva 194

Na figura anexa ilustra-se o exemplo anterior para três casos diferentes:

0 1 ano luzτ = ;

0 1.5 anos luzτ = ;

0 2 anos luzτ = .

Nestes três casos, as idades comparativas dos dois gémeos quando estes se voltam a

encontar, serão:

gémeo astronauta gémeo terrestre

0 1τ = 0 1.1868t = 1 0.9189x = 24 anos 24.75 anos

0 1.5τ = 0 2.1735t = 1 1.9848x = 26 anos 28.69 anos

0 2τ = 0 3.7505t = 1 3.6310x = 28 anos 35.00 anos

A idade do gémeo terrestre, aquando do regresso do seu gémeo, é de 020 4 t+ anos.

2 20 0

0 00

0 1 0 00 2

2 1 00

sinh

1

c c t ct xc v

t x v tvx x xt

c

ατα α

α

α

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

→ === −⎛ ⎞+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠


20

1 20

distância máxima da nave espacialno referencial

1

txS t

c

α

α→ =

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 22

0 2

2 22

0 1 0 0 0 0 02

2 22

1 2 0 1 12

2

2 3 0 2 0 2

primeira fase 0 , 1 1

segunda fase 2 , 1 1

terceira fase 3 , 1 1

quarta fase 4 , 1

ct t x t tc

ct t t t x t x v t t t tc

ct t t t x t x t tc

ct t t t x t x v t t

αα

αα

αα

α

⎛ ⎞≤ ≤ = + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

< ≤ = = + − + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞< ≤ = = + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

< ≤ = = − − + ( )2

222 1t t

cα⎛ ⎞

+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

“The straight line path is the longest distance between any two timelike separated points in flat

four-dimensional spacetime.”

James B. Hartle, Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity, Addison-Wesley,

San Francisco, 2003, p. 65

Para terminar esta secção de diagramas associadas à transformação de Lorentz vai-se,

agora, analisar o método gráfico – já anteriormente referido – que foi inicialmente

desenvolvido por Herman Bondi. Este método constitui, provavelmente, uma das

formas mais correctas – do ponto de vista pedagógico – para introduzir as ideias

essenciais da relatividade restrita a uma audiência não especializada de neófitos. Este

método gráfico de Bondi é, por vezes, também conhecido por método do radar: todas as

medidas efectuadas partem do princípio de que todos os observadores dispõem de um

radar. Note-se, porém, que este método parte do princípio de que os dois postulados de

Einstein se verificam: (i) o princípio da relatividade (restrita); (ii) a velocidade da luz é

a mesma para todos os obsevadores (inerciais).

Carlos R. Paiva 196

Um observador do referencial ( ),S cT X→ emite um sinal electromagnético no

instante aT t= . Este sinal (raio AD ) atinge um observador do referencial ( ),S cT X→

no instante 0T t= sendo por este reflectido de volta para o primeiro obervador (raio

DC ) que o volta a receber no instante cT t= . Os segmentos de recta AD e DC têm

inclinações (respectivamente, positiva e negativa) a 45 uma vez que se trata de sinais

electromagnéticos e, portanto, viajam com uma velocidade c . Devido ao tempo de

propagação do sinal emitido pelo radar (em S ), deverá ser 0 at t> (mesmo no âmbito da

transformação de Galileu). Façamos, por definição,

0constante do radar (em ) aS t tκ κ→ =

cT

cT

0c t

cc t

bc t

ac t

O

A

B

C

D

Diagrama de Bondi


onde a constante κ (a determinar) deverá depender da velocidade v cβ= a que o

observador S se afasta do referencial S ao longo do eixo X . Analogamente, o sinal

emitido de volta pelo observador em S , que percorre o segmento de recta DC , deverá

obedecer a uma regra análoga

0constante do radar (em ) cS t tκ κ→ = .

Mas agora, pelo princípio da relatividade, deverá ter-se

princípio da relatividade κ κ→ = .

Consequentemente, virá ( ) 20c a at t t tκ κ κ κ= = = . Logo ( )( )2 1c a aAC c t c t c tκ= − = − .

Por outro lado, tem-se 2 2AC AB BD= = ou, como bBD v t= , ( )2 bAC v t= . Acontece,

porém, que

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

2

2 2

1 1 1 12 2 2

2 1 1

b a c a c a a

b a a

t t t t t t t

AC v t v t c t

κ

κ β κ

= + − = + = +

∴ = = + = +

tendo-se, deste modo,

( )( ) ( )( )2

2 22

11 11

11

a aAC c t c t κκ β κ βκ

βκβ

−= − = + ⇒ =

+

+∴ =

−

onde a solução correspondente à raiz negativa tem de ser rejeitada porque, no limite em

que 0β = , deve recuperar-se a solução 1κ = e não 1κ = − . Finalmente, obtém-se a

expressão da dilatação do tempo.

Carlos R. Paiva 198

( )2

2 0 00 2

0

1 1 1 11 12 2 1 1 2 1


b a

b

t tt t t

t t

κ β βκκ β β β

γ

⎛ ⎞+ + −= + = = + =⎜ ⎟− + −⎝ ⎠

∴ = →

A transformação de Lorentz pode também obter-se, com relativa facilidade, através

deste método do radar usando a figura anexa e notando que DE EF= para o

observador em S , tal como AB BC= para o observador em S .

5.8 Grupo de Lorentz A definição de transformação de Lorentz feita anteriormente é demasiado restritiva. Na

realidade, o que se tem vindo a designar por transformação de Lorentz é, tecnicamente,

o que se designa por um boost. Nesta secção vai-se introduzir, com toda a generalidade,

o chamado grupo de Lorentz. Começemos, então, por recordar a definição de grupo.

Trata-se de um conceito não só fundamental em matemática mas também em física. O

cT

cT

O

A

B

C

P

Diagrama de Bondi:transformação de Lorentz

X

D

E

F

( )( )

,

,

S P c t x

S P c t x

→

→


conceito de grupo teve as suas origens nos trabalhos dos matemáticos Evariste Galois

(1811-1832) e Niels Henrik Abel (1802-1829).

Um grupo é um par ordenado ( ),G onde G é um conjunto e : G G G× → uma

operação de composição.

• Axiomas de grupo:

( ) ( )

1 1 1

associatividade, , elemento neutro

inverso

a b c a b ca b c G a e e a a

a a a a e a− − −

=∀ ∈ → = =

= =

Notação: Designa-se por ( )Mat ,d F a álgebra matricial das matrizes quadradas d d×

definidas sobre o corpo F .

Um exemplo importante de um grupo é o chamado grupo linear geral de ordem n e que

se representa por ( )GL ,n . Representa-se por I a matriz identidade de ordem n .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

grupo linear geral de ordem GL , Mat , | det 0

grupo linear especial de ordem SL , Mat , | det 1

grupo ortogonal de ordem O , Mat , |

grupo ortogonal especial d

T

n n A n A

n n A n A

n n A n A A I

= ∈ ≠

= ∈ =

= ∈ =

ALGUNS GRUPOS MATRICIAIS

( ) ( ) ( )e ordem SO , O , SL ,n n n n= ∩

Já se viu anteriormente a importância da métrica de Lorentz no espaço-tempo de

Minkowski.

( )

1 0 0 00 1 0 0

matriz da métrica det 10 0 1 00 0 0 1

η η

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟→ = → = −⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎝ ⎠

Carlos R. Paiva 200

A forma quadrática ( ) 2 2 2 20 1 2 3Q x x x x= − − −x pode ser escrita, em linguagem matricial,

como ( ) TQ X Xη=x . Através da álgebra geométrica 1,3C verificou-se que, numa

transformação de Lorentz (num boost), esta forma quadrática permanece invariante.

Representemos esse boost pela matriz Λ .

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 20 1 2 3 0 1 2 3

invariância daforma quadrática

num Q x x x x x x x x Q

boost→ Λ = − − − = − − − =x x

( )

( ) ( )

0

10 1 2 3

2

3

0

1 2 2 2 20 1 2 3 0 1 2 3

2

3

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

T

T

xx

X X x x x xxx

xx

Q X X x x x x x x x xxx

η

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= → =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟= = = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟

−⎝ ⎠⎝ ⎠

x

Mas, por outro lado, será também ( ) ( ) ( )TQ X XηΛ = Λ Λx .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T T

T

Q X X X X X X Qη η η

η η

Λ = Λ Λ = Λ Λ = =

∴ Λ Λ =

x x

Define-se, então, o grupo de Lorentz ( )O 1,3 e o grupo de Lorentz especial ( )SO 1,3 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

grupo de Lorentz O 1,3 Mat 4, |

grupo de Lorentz especial SO 1,3 O 1,3 SL 4,

T η η= Λ∈ Λ Λ =

= ∩

No grupo de Lorentz, ( )det 1Λ = ± :


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

det det 1

det det det det det

det 1 det 1 .

T

T T

η η

η η

Λ Λ = = −

Λ Λ = Λ Λ = − Λ

∴ Λ = ⇒ Λ = ±

( )( )

reflexões det 1classificação das transformaçõesrotações (subgrupo) det 1de Lorentz

→ Λ = −→

→ Λ = +

00 01 02 03

10 11 12 13

20 21 22 23

30 31 32 33

Λ Λ Λ Λ⎛ ⎞⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟Λ =⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ⎝ ⎠

( )

00 10 20 30 00 01 02 03

01 11 21 31 10 11 12 13

02 12 22 32 20 21 22 23

03 13 23 33 30 31 32 33

2 2 2 200 10 20 30

200

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

0 0 1

T η

Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ −Λ −Λ −Λ −Λ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Λ Λ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ −Λ −Λ −Λ −Λ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ −Λ −Λ −Λ −Λ −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

× → Λ − Λ +Λ +Λ =

∴ Λ = ( ) 002 2 2 210 20 30 00

00

11 1

1Λ ≥⎧

+ Λ +Λ +Λ ⇒ Λ ≥ ⇒ ⎨ Λ ≤ −⎩

00

00

ortócronas (subgrupo) L 1classificação das transformaçõesde Lorentz anti-ortócronas L 1

↑

↓

→ Λ ≥→

→ Λ ≤ −

Conclusão: Existem dois critérios para a classificação das tranformações de Lorentz:

( )det 1Λ = ± ;

00 1Λ ≥ ou 00 1Λ ≤ − .

( )

( )

( )

00

00

00

folha das rotações ortócronas (subgrupo) L det 1, 1

folha das reflexões ortócronas L det 1, 1

folha das rotações anti-ortócronas L det 1, 1

folha das reflex

↑+

↑−

↓+

→ Λ = Λ ≥

→ Λ = − Λ ≥

→ Λ = Λ ≤ −

FOLHAS DO GRUPO DE LORENTZ

( ) 00ões anti-ortócronas L det 1, 1↓− → Λ = − Λ ≤ −

Carlos R. Paiva 202

Nota: Os quatro subconjuntos do grupo de Lorentz são denominados folhas porque é

possível passar, de forma contínua, entre dois quaisquer elementos de cada subconjunto;

tal não é possível, porém, entre elementos de folhas distintas. Note-se que a matriz

identidade IΛ = pertence à folha L↑+ .

Nota importante: No conjunto das quatro folhas do grupo de Lorentz apenas a folha L↑+

das rotações ortócronas constitui um subgrupo: é o grupo das transformações de Lorentz

especiais ortócronas ( )SO 1,3 ↑ em que ( )det 1Λ = e 00 1Λ ≥ .

Uma matriz ( )SO 1,3 ↑Λ∈ que pertença ao subgrupo das transformações de Lorentz

especiais ortócronas pode sempre escrever-se na forma ( )expΛ = Γ .

( ) ( )

( )

1 2 3

1 3 2

2 3 1

3 2 1

31 1 2 2 3 3

31 1 2 2 3 3

2 2 21 2 3

2 2 21 2 3

00

SO 1,3 exp0

0

0,

rotação 0,

transformação de Lorentz simples

T

a a aa b ba b ba b b

a a a

b b b

boost a a a

b b b

I

η η

ζ

θ

↑

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟Λ∈ → Λ = Γ → Γ = → Γ = −Γ⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎝ ⎠⎧ = + + ∈⎪⎨

= + + ∈⎪⎩

→ = = = + +

→ = = = + +

Λ ≠

a e e e

b e e e

b a

a b

0→ ⋅ =a b

hiperbólicas0 elípticas

parabólicas

→ >⋅ = → → <

→ =

TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ SIMPLES

a ba b a b

a b

Consideremos, agora, a forma matricial mais geral de um boost.


( )

( )

( ) ( )

2 2 2 21 2 3

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

ˆvelocidade relativa

ˆ ˆ 1

ˆ ˆ,

x y z x x x

c

s s s s s s

x x x xx x x x

boostx x x xx x x x

β→ =

= + + → = − + + = −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟→ = Λ = Λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v v

v e e e v

v v

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

2

1 1 1 1ˆ

1 1 1 11 1 1 1

x y z

x x x y y z

y x y y y z

z x z y z z

s s ss s s s s s

S Ss s s s s ss s s s s s

γ γ β γ β γ βγ β γ γ γγ β γ γ γγ β γ γ γ

− − −⎛ ⎞⎜ ⎟− + − − −⎜ ⎟→ → Λ = ⎜ ⎟− − + − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − − + −⎝ ⎠

v

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

2

1 1 1 1ˆ

1 1 1 11 1 1 1

x y z

x x x y y z

y x y y y z

z x z y z z

s s ss s s s s s

S Ss s s s s ss s s s s s

γ γ β γ β γ βγ β γ γ γγ β γ γ γγ β γ γ γ

⎛ ⎞⎜ ⎟+ − − −⎜ ⎟→ → Λ − = ⎜ ⎟− + − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − + −⎝ ⎠

v

Por exemplo, quando apenas os eixos ( ) ( )0 1 0 1, ,e e f f estão envolvidos no boost, é

1xs = e 0y zs s= = .

Até aqui, nesta secção, apenas se considerou o grupo de Lorentz na sua forma matricial.

Vai-se, agora, considerar o grupo de Lorentz na perspectiva da álgebra geométrica 1,3C .

Porém, antes de o fazer, há que discutir de forma mais sistemática um conceito que, até

ao momento, apenas se considerou de forma acidental – o conceito de rotor.

Definição básica: Define-se um rotor como sendo o multivector 1,3R C∈ que obedece,

simultaneamente, às duas condições seguintes: (i) é o produto geométrico de um

número par de vectores unitários, i.e., é um multivector par; (ii) sendo 1,3R C∈ o

reverso de R , deverá ter-se 1RR = .

Carlos R. Paiva 204

Note-se que a condição (ii), segundo a qual deve ser 1RR = , é supérflua na álgebra

geométrica 3C . Com efeito, em 3C , o quadrado de um vector unitário é sempre 1+ .

Daí que, se R =mn com 2 2 1= =m n ( )33, C∈ ⊂m n , vem necessariamente

( )( ) 2 23 : 1C R R RR= → = → = = =mn nm mn nm n m .

Porém, em 1,3C , se 41,3, C∈ ⊂m n são vectores unitários então 2 1= ±m e 2 1= ±n .

Logo, a condição 1RR = é necessária: por exemplo, se 2 1=m e 2 1= −n , poderia

obter-se 1RR = − (o que se pretende evitar).

Nota: O pseudoescalar unitário 0123e não é um rotor. De facto, apesar de ser um

multivector par, não observa a propriedade 1RR = : 0123 0123 1= −e e .

Uma das primeiras características fundamentais de um rotor é que a transformação

linear

( )4 4R R R′∈ = = ∈a a a a

dá sempre um novo vector ′a quando, à partida, se tem também um vector a . Com

efeito, seja R = k l mn um rotor e o seu reverso R = nm l k . Então

( ) ( ) ( )( )( )R R

′ = =a a k l mn a nm l k k l m nan m l k .

Porém, como cada um dos factores do tipo =b nan é ainda um vector, infere-se que ′a

é também um novo vector. Com efeito, =b nan é uma reflexão do vector a , quer no

caso em que 2 1=n quer no caso em que 2 1= −n .


( )( )

( )( )

2222

20 00

1 0

1 0

⊥

⊥ ⊥

= ⋅

= ± ⇒ ∧ = = ⋅ = ± ⋅ =

= ∧

= ± ⇒ ⋅ = = ∧ = ± ∧ =

a n n a

n n a na nn n a n a

a n n a

n n a na nn n a n a

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0

0

∧ = ∧ + ∧ ∧ = ∧

⇒ ∧ = − ∧∧ = ∧ + ∧ ∧ = − ∧

n n a n n a n n a n n a

n n a n a nn a n n a n n a n n n a

( )

( )

( ) ( )

2

2

2

2

1

1

⊥⊥

⊥

= == = ⋅ + ∧

= −= +→ = ⋅ + ∧

= − = − == − = − ⋅ + ∧

= − −

a n a nnan n n a n a

b a aa an a n n a n

a n a nna nann n n a n a

a a

Uma segunda característica importante dos rotores é que a regra para rodar (lato sensu)

um vector (i.e., ( )R R R=a a ) se generaliza facilmente a qualquer multivector da

álgebra.

( )( )( ) ( )

( )1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 3

R

u u R R R R R R R R

u u u Ru R

′ ′ ′ ′= = = =

′∴ = =

a a a a a a a a a a a a

Uma terceira característica fundamental dos rotores é que o conjunto dos rotores dotado

da operação de composição constitui o grupo dos rotores.

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

1 1 12 1 1 2

2 12 2 2

2 1 1 2

R RR

1

R R R RR R R R

R R RR RR R

RR R R R R

′ = = ′′ = =′′→ = →

′ ′′ ′ ′ == =

∴ = =

a a a a a a aa a

a a a a

Carlos R. Paiva 206

Uma quarta característica fundamental dos rotores em 1,3C é que admitem uma

decomposição invariante em termos de um boost e de uma rotação (espacial). Com

efeito, qualquer rotor em 1,3C admite a forma

24

1,3rotor em exp ,2

C R ⎛ ⎞→ = ± ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

F F ∧e e = 1, .

Vejamos: um rotor é um multivector par que obedece à condição 1RR = (de acordo

com a definição). Como o bivector F não tem de ser simples no caso geral, infere-se

que

( )

( )

2 2 201230 4

1 21 20123

0123

1 2 2 1 20123 0123

exp

1ˆ exp ˆcos sin2 2 21 ˆ ˆexp exp 12

−

−

= + = Φ

⎧ ⎛ ⎞ ⎧ ⎡ Φ Φ ⎤= − Φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎪ = +⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠→ ⎣ ⎦⎨ ⎨⎛ ⎞⎪ ⎪= Φ = −Φ =⎜ ⎟ ⎩⎪ ⎝ ⎠⎩

F F F e

B e F F e B

F e B B e F

( )

1 2

1 2

0123

0123 0123 2 2 201232 2

2200

cos2

ˆˆsin2

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2

ˆˆ 1

ζ

θ ζ θ

ζ θ ζθ

⎧ Φ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ Φ⎛ ⎞∴ = → = +⎨ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪

=⎪⎩

⎧ = = =⎪ → = − +⎨= − =⎪⎩

F B C

C Be

BC CB B Be eF e

B CFF

ˆ ˆˆ ˆexp exp exp exp exp2 2 2 2 2

ˆˆcosh sinh cos sin2 2 2 2

ˆˆcosh cos sinh cos cosh2 2 2 2 2

R ζ θ θ ζ

ζ ζ θ θ

ζ θ ζ θ ζ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

F B C C B

B C

B C

e e e

e

e

0123

sin2

sinh sin2 2

θ

ζ θ

⎡ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎠ ⎝ ⎠⎣

⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦e


( )( )

2 44 4

0123 0123

multivector par

ˆ ˆ

ˆ ˆ 1

R

RR RR

→ ∈ ⊕ ⊕

= −

= − → = =

=

B B

C C

e e

∧ ∧∼

∼

( ) ( )ˆdecomposição invariante exp

2de um rotor

ˆrotação expnum e numa rotação2

boost bR b r r b

rboost

ζ

θ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠→ → = =⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

B

Ce e .

Nota: Em geral deve considerar-se o factor ±e = 1 na definição do rotor R . Porém, na

maioria dos casos práticos, basta considerar o caso e =1 . Por exemplo: na operação

( )R u RuR= , a informação sobre o sinal em ±e = 1 desaparece no resultado final.

Vamos agora, finalmente, tratar a transformação de Lorentz com toda a generalidade no

âmbito da álgebra geométrica 1,3C .

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