< Sections used for Columns

< Critical Load (Euler’s Formula)

< Allowable Stress

< Effective Length

Timber and Steel DesignTimber and Steel Design

Lecture Lecture 55 -- Analysis of Compression Members

Mongkol JIRAVACHARADETS U R A N A R E E INSTITUTE OF ENGINEERINGUNIVERSITY OF TECHNOLOGY SCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

Tall BuildingsTall Buildings

World Trade Center, WTCNew York

WTC on September 11, 2001

Frame Buckling MechanismFrame Buckling Mechanism

How can column fail?How can column fail?

<< CompressionCompression

<< Flexural or Lateral BucklingFlexural or Lateral Buckling

<< Local BucklingLocal Buckling

<< TorsionalTorsional BucklingBuckling

Buckling Buckling TypesTypes

Sections used for ColumnsSections used for Columns

Double angleWide flange Tube Pipe

Built-up sections

Critical LoadCritical Load

P

L

B

A

P

L

B

A

Buckling of column due toaxial compressive load P

Buckling = Type of failure which occurs when column is slender

ShortYielding

LongBuckling

IntermediateYielding & Buckling

รูปแบบการวิบัติของเสาที่มีความชะลูดตางกันรูปแบบการวิบัติของเสาที่มีความชะลูดตางกัน

Columns with Pinned EndsColumns with Pinned Ends

P

L

B

A

Ideal column: - perfectly straight- linearly elastic material- no imperfections

P

L/2

B

A

yx υ

υmax

P

P

M = -Pυ

By

x

υ P

2

2

dEIdx

υ=

Bending-momentequation

2

2 0d PEIdx

υυ+ =Differential equation

of deflected curve

Critical load:π

=2

2crEIP

LEuler’s formula

Buckling about the Weakest AxisBuckling about the Weakest Axis π=

2

2From crEIP

L

I = least moment of inertia

Which axis give the least moment of inertia?a

a

b

b

Pcr

For symmetry section,

use minimum of Ix and Iyx

y

Angle sectionequal legs

45oIx

IminImax

Iy

Angle sectionUnequal legs

θ Ix

IminImax

Iy

Critical StressCritical StressDividing critical load by cross-sectional area

2

2

ALEI

APcr

crπ

σ ==

L/r

σcr

Euler’s curve

σpl Proportional limit

0

AIr /=Radius of gyration

2

2

)/( rLE

crπ

σ =Critical stress

rL / Slenderness ratio

ตัวอยางท่ี 5-1 (a) W250x175 เปนเสาปลายจุดหมุนยาว 5.0 เมตร จงพิจารณาแรงอัดท่ียอมใหโดยใช F.S. = 2 สมมุติใหเหล็กมี Proportional Limit = 2,500 ก.ก./ซม.2 และ (b) ทําขอ (a) ซ้ําโดยใชความยาว 2.5 เมตร วิธีทํา (a) W250×175 (A = 56.24 ซม.2, rx = 10.4 ซม., ry = 4.18 ซม.)

คา r นอยท่ีสุดคือ ry = 4.18 ซม.L/r = 5.0(100)/4.18 = 119.6

คาวิกฤตของ ( )( )

2 6

2

2.1 101,448

119.6PA

π ×= = ก.ก./ซม.2 < 2,500 ก.ก./ซม.2 OK

เสาอยูในชวงอีลาสติก (b) L/r = 2.5(100)/4.18 = 59.81

( )( )

2 6

2

2.1 105,791

59.81PA

π ×= =คาวิกฤตของ ก.ก./ซม.2 < 2,500 ก.ก./ซม.2 NG

เสาไมอยูในชวงอีลาสติกไมสามารถใชสูตรของออยเลอรได

ชนิดของจุดรองรับเสาชนิดของจุดรองรับเสา

Pipe or tubecolumn Base plate

welded to column

Welded or boltedconnection

Stiffening plateswelded to flange

ความยาวประสิทธิผลความยาวประสิทธิผลคือระยะระหวาง จุดดัดกลับ (Inflection Point) ซึ่งมีโมเมนตเปนศูนย มีคาเทากับ KL

KL=L

K = 1.0(a)

K = 0.5(b)

KL = 0.5L LKL = 0.7L

K = 0.7(c)

L

รูปแบบการโกงเดาะ

คา K ทางทฤษฎี 0.5 0.7 1.0 1.0 2.0 2.0

คา K ออกแบบี 0.65 0.8 1.2 1.0 2.1 2.0

สัญลักษณการยึดปลาย

ไมมีการหมุน และ ไมมีการเคล่ือนท่ี

มีการหมุน และ ไมมีการเคล่ือนท่ี

ไมมีการหมุน และ มีการเคล่ือนท่ี

มีการหมุน และ มีการเคล่ือนท่ี

Effective Length Factor Effective Length Factor ((K K ))

Buckling AxisBuckling Axis

P

yy

x

x

x x

y

y

Deflectedpositions

Buckling about y-y axisin the x-x plane

Buckling about x-x axis in the y-y plane

Columns normally buckle laterally (the cross-section moves sideways).

This is usually the y-y axis, but both must be considered.It occurs about the axis which has the highest value of L / r.

Usually, rx > ry

x-x = strong axis

y-y = weak axis

But . . .But . . .

การโกงเดาะในเสาที่มีการยึดร้ังแตกตางกันในสองทิศทางการโกงเดาะในเสาที่มีการยึดร้ังแตกตางกันในสองทิศทาง

x - x = Strong axis (แกนหลัก)

y - y = Weak axis (แกนรอง)

= Lateral support against

buckling about weak axis

x x

y

y

การโกงเดาะรอบแกนรอง การโกงเดาะรอบแกนรองการโกงเดาะรอบแกนรอง

2 m

2 m

KL = 2 m

การโกงเดาะรอบแกนหลกั การโกงเดาะรอบแกนหลกัการโกงเดาะรอบแกนหลัก

2 m

2 m

KL = 4 m

Column Buckling Strength from ExperimentColumn Buckling Strength from Experiment

Weight

a b

Euler’s formula

Fy

L/r

Pu/A

Short Column fails by Yielding, Long Column fails by Buckling

So, What happen to Intermediate Column ? Fails by ???

Buckling Buckling strength strength vs. slendernessvs. slenderness

หนวยแรงที่ยอมใหขององคอาคารรับแรงอัด หนวยแรงที่ยอมใหขององคอาคารรับแรงอัดหนวยแรงที่ยอมใหขององคอาคารรับแรงอัด

MAX 200MAX 200

A

A

KLr

Elasticbuckling

Inelasticbuckling

Failu

re s

tress Band of

test data

Euler’sformulaσ = cr

crPA Where is section AWhere is section A--AA

Cc

KL/r

P/A

π=

2

2( / )crP EA KL r

Euler’s formula:

ElasticElastic vs. vs. InelasticInelastic BucklingBuckling

= −

2

2

( / )12

cry

c

P KL rFA C

Elastic Buckling = 0.50Fy ( )

2 2

2 2/ c

E ECL r

π π= =

Fy

0.50Fy

yc F

EC22π

=

( )

( ) ( )

−

=

+ −

2

2

3

3

/1

2

3 / /53 8 8

yc

a

c c

KL rF

CF

KL r KL rC C

< cKL Cr

( )π

=2

212

23 /a

EFKL r> c

KL Cr

Inelastic Buckling:

Elastic Buckling:

π=

22c

y

ECF

0.60FyFa

/ 223/12

yF

AISCAISC FormulasFormulasAllowable Compressive StressAllowable Compressive Stress

F.S. Variable

Cc

KL/r

P/A

π=

2

2( / )crP EA KL r

= −

2

2

( / )12

cry

c

P KL rFA CFy

F.S. = 23/12

ตัวอยางท่ี 5-2 จงพิจารณาแรงอัดท่ียอมให P ของเสา W300 × 94 มีจุดรองรับดังในรูป

P

P

5 mW300x106

วิธีทํา หนาตัด W300×94 ก.ก./ม.(A = 119.8 ซม.2, ry = 7.51 ซม.)

จุดรองรับเปนแบบยึดแนน-จุดหมุน จากตาราง 5.1 ใช K = 0.82 62 (2.1 10 ) 128.82,500cC π ×

= =

0.8(500) 537.51

KLr

= =

เน่ืองจาก KL/r < Cc การโกงเดาะแบบอินอิลาสติกใชสมการ (5.8)3

35 3(53) (53)F.S. 1.813 8(128.8) 8(128.8)

= + − =

2

22

(53)1 2,5002(128.8)

1,264 kg/cm1.81aF

−

= =

แรงอัดท่ียอมให P = FaAg = (1.26)(119.8) = 151 ตัน n

30 cm

PL1.2 × 50 cmy

39.2 cmMC380 × 100

67.3 kg/m

ตัวอยางที่ 5-3 ใชคาหนวยแรงออกแบบดังแสดงในตารางที ่ข.1 พิจารณาแรงอัดที่ยอมให P ของเสาหนาตัดประกอบ โดยคา KL = 6.0 เมตร

จากผิวบน = ซม.12.1542.231

)2.20)(71.85(2)6.0)(50(2.1=

+y

วิธีทํา MC380ด100 หนัก 67.3 กก./ม.

(A=85.71 ซม.2, Ix=17,600 ซม.4,

Iy = 671 ซม.4, cy = 2.50 ซม.)

พื้นที่หนาตัดทั้งหมด A = 1.2(50) + 2(85.71) = 231.42 ซม.2

Ix = 2(17,600) + 2(85.71)(20.2-15.12)2 + (1/12)(50)(1.2)3

+ (1.2)(50)(15.12-0.6)2

= 52,281 ซม.4

Iy = 2(671) + 2(85.71)(15+2.5)2 + (1/12)(1.2)(50)3 = 66,339 ซม.4

คานอยสุดของ ซม.03.1542.231

281,52==r

600 4015.03

KLr

= =

จากตารางที่ ข.1 Fa = 1,337 ก.ก./ซม.2

P = Fa Ag = 1.337(231.42) = 309.4 ตัน

ตัวอยางท่ี 5-4 พิจารณากําลังของเสา W250×66.5 ซึ่งมีการยึดรั้งท่ีแตกตางกันในแตละแกน คือมีความยาว 7.2 เมตรในแนวแกน x-x และมีความยาว 3.6 เมตรในแนวแกน y-y เหล็กท่ีใชเปน A36 จุดรองรับแบบจุดหมุนท่ีปลายบนและแบบยึดแนนท่ีปลายลาง

วิธีทํา หนาตัด W250×66.5 (A = 84.7 ซม.2, rx = 10.8 ซม., ry = 6.29 ซม.)1(360) 576.29

y

y

KLr

= = (เสาสวนบน)

(ควบคุม)0.8(720) 5310.8

x

x

KLr

= =

จากตารางท่ี ข.1 Fa = 1,263 ก.ก./ซม.2

P = (1.263)(84.7) = 107 ตัน n