Lecture (04)Boolean Algebra and 

Logic GatesBy:

Dr. Ahmed ElShafee

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design١

Boolean algebra properties

basic assumptions and properties:

• Closure law

– A set S is closed with respect to a binary operator, for every pair of elements of S, 

– the binary operator specifies a rule for obtaining a unique element of S.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٢

• Commutative law. 

– A binary operator * on a set S is said to be commutative whenever

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٣

• Associative law.

– A binary operator * on a set S is said to be associative whenever

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٤

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٥

• Identity element.

– A set S is said to have an identity element with respect to a binary operation * on S 

– if there exists an element e  S with the property that

• Example: The element 0 is an identity element with respect to the binary operator + on the set of integers I = {…, ‐3, ‐2, ‐1, 0, 1, 2, 3,…}, since

• x + 0 = 0 + x = x for any x  I

• Example: The element 1 is an identity element with respect to the binary operator . on the set of integers I = {…, ‐3, ‐2, ‐1, 0, 1, 2, 3,…}, since

• x . 1 = 1 . x = x for any x  I

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٧

• Inverse. 

– A set S having the identity element e with respect to a binary operator * is said to have an inverse whenever, for every x  S, there exists an element y  S such that

• Example: In the set of integers, I, and the operator +, with e = 0, the inverse of an element a is (‐a), since a + (‐a) = 0.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٨

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٩

• Distributive law

– If * and . are two binary operators on a set S, * is said to be distributive over . Whenever

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design١٠

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design١١

Summery

• The binary operator + defines addition (OR).

• The additive identity is 0.

• The additive inverse defines subtraction.

• The binary operator . defines multiplication (AND).

• The multiplicative identity is 1.

• For a  0, the multiplicative inverse of a = 1/a defines division (i.e., a . 1/a = 1 ).

• The only distributive law applicable is that of . over +:

a . (b + c) = (a . b) + (a .. c)

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design١٢

Ordinary and Boolean Algebra 

• George Boole developed an algebraic system now called Boolean algebra.

• Claude E. Shannon introduced a two‐valued Boolean algebra called switching algebra that represented the properties of bistable electrical switching circuits.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design١٣

1. (a) The structure is closed with respect to the operator +.

(b) The structure is closed with respect to the operator . .

2. (a) The element 0 is an identity element with respect to +; that is, x + 0 = 0 + x = x.

(b) The element 1 is an identity element with respect to . ; that is, x . 1 = 1 . x = x.

3. (a) The structure is commutative with respect to +; that is, x + y = y + x.

(b) The structure is commutative with respect to . ; that is, x . y = y . x.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design١٤

4. (a) The operator . is distributive over +; that is, x . (y + z) = (x . y) + (x . z).

(b) The operator + is distributive over . ; that is, x + (y . z) = (x + y) . (x + z).

5. For every element x  B, there exists an element x B (called the complement of x) such that 

(a) x + x = 1 and 

(b) x . x = 0 , 

6. There exist at least two elements x, y  B such that x  y.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design١٥

Comparing Boolean algebra with arithmetic and ordinary algebra:

• The distributive law of + over . (i.e., x + (y . z) = (x + y) . (x + z) ) is valid for Boolean algebra, but not for ordinary algebra.

• Boolean algebra does not have additive or multiplicative inverses; therefore, there are no subtraction or division operations.

• defines an operator called the complement that is not available in ordinary algebra.

• Ordinary algebra deals with the real numbers, which constitute an infinite set of elements. Boolean algebra deals with the as yet undefined set of elements, B, but in the two‐valued Boolean algebra defined next (and of interest in our subsequent use of that algebra), B is defined as a set with only two elements, 0 and 1.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design١٧

Two‐Valued Boolean Algebra

• defined on a set of two elements, B = {0, 1}, with rules for the two binary operators + and .

• rules are exactly the same as the AND, OR, and NOT operations

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design١٨

Truth table

• the structure is closed with respect to the two operators, each operation is either 1 or 0 and 1, 0  B.

• From the tables, we see that

(a) 0 + 0 =0 0+ 1 = 1 + 0 = 1;

(b) 1 . 1 = 1 1. 0 = 0 . 1 = 0.

This establishes the two identity elements, 0 for + and 1 for . ,

• The commutative laws are obvious from the symmetry of the binary operator table (A+B = B+A) & (A.B = B.A)

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design١٩

• The distributive law x . (y + z) = (x . y) + (x . z) can be shown to hold from the operator tables

• The distributive law of + over . can be shown to hold by means of a truth table

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٢٠Truth table

• the complement table(a) x + x  = 1, since 0 + 0 = 0 + 1 = 1 and 1 + 1 = 1 + 0 = 1.

(b) x . x = 0, since 0 . 0 = 0 . 1 = 0 and 1 . 1 = 1 . 0 = 0.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٢١

Postulates and Basic theorem of Boolean algebraPostulates and Theorems of Boolean Algebra

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٢٢

Duality principle

• postulates were listed in pairs and designated by part (a) and part (b). 

• One part may be obtained from the other if the binary operators and the identity elements are interchanged

• we simply interchange OR and AND operators and replace 1’s by 0’s and 0’s by 1’s.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٢٣

Theorem 5.a

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٢٤

Truth table

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٢٥

Truth table

• Operator Precedence

– (1) parentheses,

– (2) NOT, 

– (3) AND, and 

– (4) OR.

• expressions inside parentheses must be evaluated before all other operations. The next operation that holds precedence is the complement, and then follows the AND and, finally, the OR.

• example: demorgan’s

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٢٦

Boolean functions

• Boolean function described by an algebraic expression consists of binary variables

• A Boolean function can be represented in a truth table. The number of rows in the truth table is 2n, where n is the number of variables in the function.

• The interconnection of gates will dictate the logic expression.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٢٧

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٢٨

Logic diagram

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٢٩

F1xy‘ zY'

0001

1011

0000

0000

1101

1111

1100

1100

zyx

000

100

010

110

001

101

011

111

• it is sometimes possible to obtain a simpler expression for the same function and thus reduce the number of gates in the circuit and the number of inputs to the gate.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٣٠

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٣١

Logic diagram

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٣٢

Logic diagram

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٣٣

zyx

000

100

010

110

001

101

011

111

f2X’zzX’Xy’Y’X

0001010

1111010

0001000

1111000

1000111

1010111

0000001

0010001

Truth table

Algebraic Manipulation

• When a Boolean expression is implemented with logic gates, each term requires a gate and each variable within the term designates an input to the gate. 

• We define a literal to be a single variable within a term, in complemented or un‐complemented form.

• By reducing the number of terms, the number of literals, or both in a Boolean expression, it is often possible to obtain a simpler circuit

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٣٤

Example 01

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٣٥

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٣٦

Complement of a Function

• The complement of a function may be derived algebraically through DeMorgan’s theorems

• DeMorgan’s theorems can be extended to three or more variables.

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٣٧

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٣٨

Example 02

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٣٩

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٤٠

Example 03

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٤١

•

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٤٢

Thanks,..

See you next week (ISA),…

Dr. Ahmed ElShafee, ACU : Spring 2016, Logic Design٤٣