8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 116

Pertemuan ke-3Persamaan Non-Linier Metode frac12 Interval

AnalisaAnalisa TerapanTerapan MetodeMetode NumerikNumerik

sect on

27 September 2012

1DrEng Agus S Muntohar -

Department of Civil Engineering

MetodeMetode BisectionBisection ndash ndash Dasar Dasar

TeoremaTeorema Suatu persamaan f(x)=0 dimana f(x) adalah fungsi kontinyureal memiliki akar-akar antara xl dan xu bila f(xl) f(xu) lt 0

f(x)

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

2

Gambar 1 Setidaknya satu akar persamaan berada diantara dua titik bilafungsi real kontinyu dan berbeda tanda

xxu

x l

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 216

MetodeMetode BisectionBisection ndash ndash Dasar Dasar

f(x)

GambarGambar 22 JikaJika fungsifungsi f(x)f(x) tidaktidak berubahberubah tandatanda antaraantara duadua titiktitik akarakar--akarakarpersamaanpersamaan f(x) = 0f(x) = 0 masihmasih beradaberada diantaradiantara duadua titiktitik

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

3

xxux l

MetodeMetode BisectionBisection ndash ndash Dasar Dasar

f(x) f(x)

GambarGambar 33 BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) tidaktidak berubahberubah tandatanda diantaradiantara duadua titiktitik akarakar--akarakar persamaanpersamaan f(x) = 0f(x) = 0 tidaktidak beradaberada diantaradiantara duadua titiktitik

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

4

( ) x f ( ) 0= x f

xxux l x

xux l

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 316

MetodeMetode BisectionBisection ndash ndash Dasar Dasar

f(x)

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

5

Gambar 4 Bila fungsi f(x) berubah tanda diantara dua titik lebih darisatu akar persamaan f(x) = 0 berada diantara dua titik

x

xu

x l

Algoritma Algoritma metodemetode BisectionBisection

PersamaanPersamaan NonNon--LinierLinier MetodeMetode BisectionBisection

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 416

LangkahLangkah 11

f(x)

PilihPilih xxℓℓ

dandan xxuu sebagaisebagai duadua akarakar perkiraanperkiraan sehinggasehingga f(xf(xℓℓ))

f(f(xxuu) lt 0) lt 0 atauatau f(x)f(x) tandatanda yangyang berbedaberbeda antaraantara xxℓℓ dandan xxuuSepertiSeperti padapada GambarGambar 11--11

xℓ

xu x

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

7

Gambar 1-1

f(x)

LangkahLangkah 22

PerkirakanPerkirakan akarakar xxmm daridari persamaanpersamaan f(x)f(x) == 00 sebagaisebagai titiktitiktengahtengah (mid(mid point)point) antaraantara xx

ℓℓandand xxuu yaituyaitu

x

xuℓ +

xℓ

xu x

xm

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

8

m 2

Gambar 5 Perkiraan xm

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 516

LangkahLangkah 33

PeriksaPeriksa kondisikondisi berikutberikut

a)a) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) lt 0) lt 0 makamaka akarakar beradaberada diantaradiantara xxℓℓ

dandan mm

ℓℓ==

ℓℓ uu == mm

b)b) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) gt 0) gt 0 makamaka akarakar persamaanpersamaan beradaberadadiantaradiantara xxmm dandan xxuu dandan xx

ℓℓ== xxmm xxuu == xxuu

c)c) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) = 0) = 0 makamaka akarakar persamaanpersamaan adalahadalah xxmm

HentikanHentikan algoritmaalgoritma bilabila benarbenar

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

9

LangkahLangkah 44

xx

m =x

uℓ +

2

Hitung nilai perkiraan baru untuk akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

10

100timesminus

=isinnew

m

old

m

new

a x

x xm

nilai perkiraan baru akarnew

m x =

nilai perkiraan akar sebelumnyaold

m x =

Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif

dimana

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 616

LangkahLangkah 55

Ke Langkah 2 gunakam

Bandingkan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif

|εa| dengan toleransi kesalahan yang ditetapkan |εs|

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

11

Is

No

atas dan bawah

ldquoStopldquo algoritma

sa gtisinisin

Jumlah iterasi perlu dicek bila melebihi jumlah iterasimaksimum yang diijinkan Bila kondisi ini tercapaialgoritma perlu dihentikan penghitungannya

Contoh1Contoh1

SuatuSuatu bolabola terapungterapung sepertiseperti GambarGambar 66 memilikimemiliki beratberat jenis jenis 0606 dandan jari jari--jari jari 55 cm55 cm TentukanTentukan kedalamankedalaman bolabolayangyang terendamterendam dalamdalam airair

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

12

Gambar 6 Diagram bola terapung

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 716

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont)

KedalamanKedalaman bola yangbola yang terendamterendam airair x x dinyatakandinyatakan dengandenganpersamaanpersamaan berikutberikut

01099331650 423=times+minus

minus x x

a)a) GunakanGunakan metodemetode bisectionbisection untukuntuk menentukanmenentukan akarakar--akarakarpersamaanpersamaan kedalamankedalaman bola yangbola yang terendamterendam airair x x LakukanLakukan tigatiga kalikali iterasiiterasi untukuntuk memperkirakanmemperkirakan akarakar--akarakar

persamaanpersamaan terebutterebutb)b) TentukanTentukan nilainilai absolutabsolut daridari kesalahankesalahan perkiraanperkiraan relatifrelatif

padapada masingmasing--masingmasing iterasiiterasi dandan jumlah jumlah digitdigit pentingnyapentingnya

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

13

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont)

SecaraSecara fisikfisik bagianbagian bola yangbola yang terendamterendam airair memilikimemilikikedalamankedalaman antaraantara x x = 0= 0 dandan x x = 2= 2R R

dengandengan R R == jari jari--jari jari bolabola

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

14

( )

1100

055020

20

lele

lele

lele

x

x

R x

Gambar 6 Diagram bola terapung

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 816

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

Untuk membantupemahaman tentang

Contoh1 (Cont )Contoh1 (Cont ) ndash ndash SolusiSolusi

Penyelesaian

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081

aga mana me o e ndigunakan untuk mencariakar-akar persamaanditampilkan grafik fungsi

f(x) dimana

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

15

( ) 4231099331650 - x x x f times+minus= Gambar 7 Grafik dari fungsi f(x)

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Asumsikan nilai awal terendah dan teratas

110

000

=

=

u x

xℓ

Cek bila fungsi f(x) berubah tanda antara xℓand xu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

16

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 4423

4423

1066221099331101650110110

1099331099330165000

minusminus

minusminus

timesminus=times+minus==

times=times+minus==

f x f

f x f

u

l

Maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01066221099331100 44lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ul

Jadi terdapat sediikitnya satu akar persamaan berada diantara xℓand xu

yaitu antara 0 dan 011

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 916

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983157 983150 983143 983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

17

Gambar 8 Grafik yang menunjukkan fungsi beribah tandadiantara batas awal xl dan xu

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

05502

1100

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1065561099330550165005500550 5423times=times+minus==

minusminus

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 1

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

18

gttimestimes== x x ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 011 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

Pada titik ini nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| belumbisa dihitung karena belum diperoleh nilai perkiraan sebelumnya

110 0550 == ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1016

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

19

Gambar 9 Perkiraan akar persamaan Iterasi 1

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983089

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

082502

1100550

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

1062211099330825016500825008250 4423timesminus=times+minus==

minusminus x

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 2

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

20

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0106556106221)08250(0550 54lttimestimesminus==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 00825 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

08250 0550 ==

ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1116

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

21

Gambar 10 Perkiraan akar persamaan Iterasi 2

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983090

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-2

( ) ( )2 1100

m m

a

x x

x

minusisin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

22

00825 0055100

00825

33333

minus= times

=

Jumlah digit penting akar persamaan xm = 00825 belum memberikan

hasil yang tepat karena nilai |εa| gt 5

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1216

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

0687502

0825005502

=+=+= u

m x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1056351099330687501650068750068750 5423timesminus=times+minus==

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 3

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01056351065560687500550 55lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 and 006875 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar

persamaan

068750 0550 == ul x x

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

24

Gambar 11 Perkiraan akar persamaan Iterasi 3

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983091

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1316

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3

( ) ( )3 2

3

100m m

a

m

x x

x

minus

isin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

25

006875 00825100

006875

20

minus= times

=

Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|masih gt 5Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1

Iteration xℓ xu xm isina f(xm)

1 000000 011 0055 ---------- 6655times10minus5

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0055

0055

0055

006188

006188

006188

006188

00623

00623

011

00825

006875

006875

006531

006359

006273

006273

006252

00825

006875

006188

006531

006359

006273

00623

006252

006241

3333

2000

1111

5263

2702

1370

06897

03436

01721

minus1622times10minus

minus5563times10minus5

4484times10minus6

minus2593times10minus5

minus10804times10minus5

minus3176times10minus6

6497times10minus7

minus1265times10minus6

minus30768times10minus7

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

26

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1416

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983092

983088983086983088983093

983088983086983088983094

983088983086983088983095

983088983086983088983096

983088983086983088983097

983141 983154 983155 983137 983149 983137 983137 983150 983084 983128 983149

983089983088

983089983088983088

983141 983154 983147 983145 983154 983137 983137 983150 983154 983141 983148 983137 983156 983145 983142 983080 983077 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

27

983088

983088983086983088983089

983088983086983088983090

983088983086983088983091

983088 983090 983092 983094 983096 983089 983088

983105 983147 983137 983154 983152

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

983088983086983089

983089

983088 983090 983092 983094 983096 983089983088

983115 983141 983155 983137 983148 983137 983144 983137 983150

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu

1050

2

2timesleisin

minus

minus

m

m

a

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

28

( )

( ) 463234420log2

234420log

1034420

2

=minusle

minusle

le minus

m

m

m

Jadi m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 006241 pada iterasi ke-10adalah 2

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 216

MetodeMetode BisectionBisection ndash ndash Dasar Dasar

f(x)

GambarGambar 22 JikaJika fungsifungsi f(x)f(x) tidaktidak berubahberubah tandatanda antaraantara duadua titiktitik akarakar--akarakarpersamaanpersamaan f(x) = 0f(x) = 0 masihmasih beradaberada diantaradiantara duadua titiktitik

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

3

xxux l

MetodeMetode BisectionBisection ndash ndash Dasar Dasar

f(x) f(x)

GambarGambar 33 BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) tidaktidak berubahberubah tandatanda diantaradiantara duadua titiktitik akarakar--akarakar persamaanpersamaan f(x) = 0f(x) = 0 tidaktidak beradaberada diantaradiantara duadua titiktitik

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

4

( ) x f ( ) 0= x f

xxux l x

xux l

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 316

MetodeMetode BisectionBisection ndash ndash Dasar Dasar

f(x)

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

5

Gambar 4 Bila fungsi f(x) berubah tanda diantara dua titik lebih darisatu akar persamaan f(x) = 0 berada diantara dua titik

x

xu

x l

Algoritma Algoritma metodemetode BisectionBisection

PersamaanPersamaan NonNon--LinierLinier MetodeMetode BisectionBisection

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 416

LangkahLangkah 11

f(x)

PilihPilih xxℓℓ

dandan xxuu sebagaisebagai duadua akarakar perkiraanperkiraan sehinggasehingga f(xf(xℓℓ))

f(f(xxuu) lt 0) lt 0 atauatau f(x)f(x) tandatanda yangyang berbedaberbeda antaraantara xxℓℓ dandan xxuuSepertiSeperti padapada GambarGambar 11--11

xℓ

xu x

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

7

Gambar 1-1

f(x)

LangkahLangkah 22

PerkirakanPerkirakan akarakar xxmm daridari persamaanpersamaan f(x)f(x) == 00 sebagaisebagai titiktitiktengahtengah (mid(mid point)point) antaraantara xx

ℓℓandand xxuu yaituyaitu

x

xuℓ +

xℓ

xu x

xm

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

8

m 2

Gambar 5 Perkiraan xm

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 516

LangkahLangkah 33

PeriksaPeriksa kondisikondisi berikutberikut

a)a) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) lt 0) lt 0 makamaka akarakar beradaberada diantaradiantara xxℓℓ

dandan mm

ℓℓ==

ℓℓ uu == mm

b)b) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) gt 0) gt 0 makamaka akarakar persamaanpersamaan beradaberadadiantaradiantara xxmm dandan xxuu dandan xx

ℓℓ== xxmm xxuu == xxuu

c)c) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) = 0) = 0 makamaka akarakar persamaanpersamaan adalahadalah xxmm

HentikanHentikan algoritmaalgoritma bilabila benarbenar

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

9

LangkahLangkah 44

xx

m =x

uℓ +

2

Hitung nilai perkiraan baru untuk akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

10

100timesminus

=isinnew

m

old

m

new

a x

x xm

nilai perkiraan baru akarnew

m x =

nilai perkiraan akar sebelumnyaold

m x =

Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif

dimana

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 616

LangkahLangkah 55

Ke Langkah 2 gunakam

Bandingkan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif

|εa| dengan toleransi kesalahan yang ditetapkan |εs|

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

11

Is

No

atas dan bawah

ldquoStopldquo algoritma

sa gtisinisin

Jumlah iterasi perlu dicek bila melebihi jumlah iterasimaksimum yang diijinkan Bila kondisi ini tercapaialgoritma perlu dihentikan penghitungannya

Contoh1Contoh1

SuatuSuatu bolabola terapungterapung sepertiseperti GambarGambar 66 memilikimemiliki beratberat jenis jenis 0606 dandan jari jari--jari jari 55 cm55 cm TentukanTentukan kedalamankedalaman bolabolayangyang terendamterendam dalamdalam airair

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

12

Gambar 6 Diagram bola terapung

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 716

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont)

KedalamanKedalaman bola yangbola yang terendamterendam airair x x dinyatakandinyatakan dengandenganpersamaanpersamaan berikutberikut

01099331650 423=times+minus

minus x x

a)a) GunakanGunakan metodemetode bisectionbisection untukuntuk menentukanmenentukan akarakar--akarakarpersamaanpersamaan kedalamankedalaman bola yangbola yang terendamterendam airair x x LakukanLakukan tigatiga kalikali iterasiiterasi untukuntuk memperkirakanmemperkirakan akarakar--akarakar

persamaanpersamaan terebutterebutb)b) TentukanTentukan nilainilai absolutabsolut daridari kesalahankesalahan perkiraanperkiraan relatifrelatif

padapada masingmasing--masingmasing iterasiiterasi dandan jumlah jumlah digitdigit pentingnyapentingnya

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

13

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont)

SecaraSecara fisikfisik bagianbagian bola yangbola yang terendamterendam airair memilikimemilikikedalamankedalaman antaraantara x x = 0= 0 dandan x x = 2= 2R R

dengandengan R R == jari jari--jari jari bolabola

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

14

( )

1100

055020

20

lele

lele

lele

x

x

R x

Gambar 6 Diagram bola terapung

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 816

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

Untuk membantupemahaman tentang

Contoh1 (Cont )Contoh1 (Cont ) ndash ndash SolusiSolusi

Penyelesaian

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081

aga mana me o e ndigunakan untuk mencariakar-akar persamaanditampilkan grafik fungsi

f(x) dimana

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

15

( ) 4231099331650 - x x x f times+minus= Gambar 7 Grafik dari fungsi f(x)

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Asumsikan nilai awal terendah dan teratas

110

000

=

=

u x

xℓ

Cek bila fungsi f(x) berubah tanda antara xℓand xu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

16

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 4423

4423

1066221099331101650110110

1099331099330165000

minusminus

minusminus

timesminus=times+minus==

times=times+minus==

f x f

f x f

u

l

Maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01066221099331100 44lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ul

Jadi terdapat sediikitnya satu akar persamaan berada diantara xℓand xu

yaitu antara 0 dan 011

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 916

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983157 983150 983143 983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

17

Gambar 8 Grafik yang menunjukkan fungsi beribah tandadiantara batas awal xl dan xu

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

05502

1100

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1065561099330550165005500550 5423times=times+minus==

minusminus

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 1

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

18

gttimestimes== x x ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 011 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

Pada titik ini nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| belumbisa dihitung karena belum diperoleh nilai perkiraan sebelumnya

110 0550 == ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1016

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

19

Gambar 9 Perkiraan akar persamaan Iterasi 1

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983089

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

082502

1100550

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

1062211099330825016500825008250 4423timesminus=times+minus==

minusminus x

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 2

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

20

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0106556106221)08250(0550 54lttimestimesminus==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 00825 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

08250 0550 ==

ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1116

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

21

Gambar 10 Perkiraan akar persamaan Iterasi 2

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983090

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-2

( ) ( )2 1100

m m

a

x x

x

minusisin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

22

00825 0055100

00825

33333

minus= times

=

Jumlah digit penting akar persamaan xm = 00825 belum memberikan

hasil yang tepat karena nilai |εa| gt 5

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1216

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

0687502

0825005502

=+=+= u

m x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1056351099330687501650068750068750 5423timesminus=times+minus==

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 3

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01056351065560687500550 55lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 and 006875 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar

persamaan

068750 0550 == ul x x

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

24

Gambar 11 Perkiraan akar persamaan Iterasi 3

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983091

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1316

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3

( ) ( )3 2

3

100m m

a

m

x x

x

minus

isin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

25

006875 00825100

006875

20

minus= times

=

Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|masih gt 5Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1

Iteration xℓ xu xm isina f(xm)

1 000000 011 0055 ---------- 6655times10minus5

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0055

0055

0055

006188

006188

006188

006188

00623

00623

011

00825

006875

006875

006531

006359

006273

006273

006252

00825

006875

006188

006531

006359

006273

00623

006252

006241

3333

2000

1111

5263

2702

1370

06897

03436

01721

minus1622times10minus

minus5563times10minus5

4484times10minus6

minus2593times10minus5

minus10804times10minus5

minus3176times10minus6

6497times10minus7

minus1265times10minus6

minus30768times10minus7

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

26

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1416

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983092

983088983086983088983093

983088983086983088983094

983088983086983088983095

983088983086983088983096

983088983086983088983097

983141 983154 983155 983137 983149 983137 983137 983150 983084 983128 983149

983089983088

983089983088983088

983141 983154 983147 983145 983154 983137 983137 983150 983154 983141 983148 983137 983156 983145 983142 983080 983077 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

27

983088

983088983086983088983089

983088983086983088983090

983088983086983088983091

983088 983090 983092 983094 983096 983089 983088

983105 983147 983137 983154 983152

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

983088983086983089

983089

983088 983090 983092 983094 983096 983089983088

983115 983141 983155 983137 983148 983137 983144 983137 983150

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu

1050

2

2timesleisin

minus

minus

m

m

a

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

28

( )

( ) 463234420log2

234420log

1034420

2

=minusle

minusle

le minus

m

m

m

Jadi m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 006241 pada iterasi ke-10adalah 2

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 316

MetodeMetode BisectionBisection ndash ndash Dasar Dasar

f(x)

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

5

Gambar 4 Bila fungsi f(x) berubah tanda diantara dua titik lebih darisatu akar persamaan f(x) = 0 berada diantara dua titik

x

xu

x l

Algoritma Algoritma metodemetode BisectionBisection

PersamaanPersamaan NonNon--LinierLinier MetodeMetode BisectionBisection

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 416

LangkahLangkah 11

f(x)

PilihPilih xxℓℓ

dandan xxuu sebagaisebagai duadua akarakar perkiraanperkiraan sehinggasehingga f(xf(xℓℓ))

f(f(xxuu) lt 0) lt 0 atauatau f(x)f(x) tandatanda yangyang berbedaberbeda antaraantara xxℓℓ dandan xxuuSepertiSeperti padapada GambarGambar 11--11

xℓ

xu x

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

7

Gambar 1-1

f(x)

LangkahLangkah 22

PerkirakanPerkirakan akarakar xxmm daridari persamaanpersamaan f(x)f(x) == 00 sebagaisebagai titiktitiktengahtengah (mid(mid point)point) antaraantara xx

ℓℓandand xxuu yaituyaitu

x

xuℓ +

xℓ

xu x

xm

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

8

m 2

Gambar 5 Perkiraan xm

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 516

LangkahLangkah 33

PeriksaPeriksa kondisikondisi berikutberikut

a)a) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) lt 0) lt 0 makamaka akarakar beradaberada diantaradiantara xxℓℓ

dandan mm

ℓℓ==

ℓℓ uu == mm

b)b) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) gt 0) gt 0 makamaka akarakar persamaanpersamaan beradaberadadiantaradiantara xxmm dandan xxuu dandan xx

ℓℓ== xxmm xxuu == xxuu

c)c) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) = 0) = 0 makamaka akarakar persamaanpersamaan adalahadalah xxmm

HentikanHentikan algoritmaalgoritma bilabila benarbenar

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

9

LangkahLangkah 44

xx

m =x

uℓ +

2

Hitung nilai perkiraan baru untuk akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

10

100timesminus

=isinnew

m

old

m

new

a x

x xm

nilai perkiraan baru akarnew

m x =

nilai perkiraan akar sebelumnyaold

m x =

Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif

dimana

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 616

LangkahLangkah 55

Ke Langkah 2 gunakam

Bandingkan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif

|εa| dengan toleransi kesalahan yang ditetapkan |εs|

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

11

Is

No

atas dan bawah

ldquoStopldquo algoritma

sa gtisinisin

Jumlah iterasi perlu dicek bila melebihi jumlah iterasimaksimum yang diijinkan Bila kondisi ini tercapaialgoritma perlu dihentikan penghitungannya

Contoh1Contoh1

SuatuSuatu bolabola terapungterapung sepertiseperti GambarGambar 66 memilikimemiliki beratberat jenis jenis 0606 dandan jari jari--jari jari 55 cm55 cm TentukanTentukan kedalamankedalaman bolabolayangyang terendamterendam dalamdalam airair

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

12

Gambar 6 Diagram bola terapung

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 716

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont)

KedalamanKedalaman bola yangbola yang terendamterendam airair x x dinyatakandinyatakan dengandenganpersamaanpersamaan berikutberikut

01099331650 423=times+minus

minus x x

a)a) GunakanGunakan metodemetode bisectionbisection untukuntuk menentukanmenentukan akarakar--akarakarpersamaanpersamaan kedalamankedalaman bola yangbola yang terendamterendam airair x x LakukanLakukan tigatiga kalikali iterasiiterasi untukuntuk memperkirakanmemperkirakan akarakar--akarakar

persamaanpersamaan terebutterebutb)b) TentukanTentukan nilainilai absolutabsolut daridari kesalahankesalahan perkiraanperkiraan relatifrelatif

padapada masingmasing--masingmasing iterasiiterasi dandan jumlah jumlah digitdigit pentingnyapentingnya

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

13

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont)

SecaraSecara fisikfisik bagianbagian bola yangbola yang terendamterendam airair memilikimemilikikedalamankedalaman antaraantara x x = 0= 0 dandan x x = 2= 2R R

dengandengan R R == jari jari--jari jari bolabola

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

14

( )

1100

055020

20

lele

lele

lele

x

x

R x

Gambar 6 Diagram bola terapung

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 816

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

Untuk membantupemahaman tentang

Contoh1 (Cont )Contoh1 (Cont ) ndash ndash SolusiSolusi

Penyelesaian

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081

aga mana me o e ndigunakan untuk mencariakar-akar persamaanditampilkan grafik fungsi

f(x) dimana

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

15

( ) 4231099331650 - x x x f times+minus= Gambar 7 Grafik dari fungsi f(x)

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Asumsikan nilai awal terendah dan teratas

110

000

=

=

u x

xℓ

Cek bila fungsi f(x) berubah tanda antara xℓand xu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

16

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 4423

4423

1066221099331101650110110

1099331099330165000

minusminus

minusminus

timesminus=times+minus==

times=times+minus==

f x f

f x f

u

l

Maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01066221099331100 44lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ul

Jadi terdapat sediikitnya satu akar persamaan berada diantara xℓand xu

yaitu antara 0 dan 011

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 916

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983157 983150 983143 983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

17

Gambar 8 Grafik yang menunjukkan fungsi beribah tandadiantara batas awal xl dan xu

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

05502

1100

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1065561099330550165005500550 5423times=times+minus==

minusminus

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 1

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

18

gttimestimes== x x ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 011 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

Pada titik ini nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| belumbisa dihitung karena belum diperoleh nilai perkiraan sebelumnya

110 0550 == ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1016

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

19

Gambar 9 Perkiraan akar persamaan Iterasi 1

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983089

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

082502

1100550

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

1062211099330825016500825008250 4423timesminus=times+minus==

minusminus x

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 2

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

20

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0106556106221)08250(0550 54lttimestimesminus==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 00825 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

08250 0550 ==

ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1116

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

21

Gambar 10 Perkiraan akar persamaan Iterasi 2

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983090

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-2

( ) ( )2 1100

m m

a

x x

x

minusisin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

22

00825 0055100

00825

33333

minus= times

=

Jumlah digit penting akar persamaan xm = 00825 belum memberikan

hasil yang tepat karena nilai |εa| gt 5

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1216

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

0687502

0825005502

=+=+= u

m x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1056351099330687501650068750068750 5423timesminus=times+minus==

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 3

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01056351065560687500550 55lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 and 006875 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar

persamaan

068750 0550 == ul x x

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

24

Gambar 11 Perkiraan akar persamaan Iterasi 3

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983091

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1316

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3

( ) ( )3 2

3

100m m

a

m

x x

x

minus

isin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

25

006875 00825100

006875

20

minus= times

=

Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|masih gt 5Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1

Iteration xℓ xu xm isina f(xm)

1 000000 011 0055 ---------- 6655times10minus5

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0055

0055

0055

006188

006188

006188

006188

00623

00623

011

00825

006875

006875

006531

006359

006273

006273

006252

00825

006875

006188

006531

006359

006273

00623

006252

006241

3333

2000

1111

5263

2702

1370

06897

03436

01721

minus1622times10minus

minus5563times10minus5

4484times10minus6

minus2593times10minus5

minus10804times10minus5

minus3176times10minus6

6497times10minus7

minus1265times10minus6

minus30768times10minus7

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

26

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1416

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983092

983088983086983088983093

983088983086983088983094

983088983086983088983095

983088983086983088983096

983088983086983088983097

983141 983154 983155 983137 983149 983137 983137 983150 983084 983128 983149

983089983088

983089983088983088

983141 983154 983147 983145 983154 983137 983137 983150 983154 983141 983148 983137 983156 983145 983142 983080 983077 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

27

983088

983088983086983088983089

983088983086983088983090

983088983086983088983091

983088 983090 983092 983094 983096 983089 983088

983105 983147 983137 983154 983152

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

983088983086983089

983089

983088 983090 983092 983094 983096 983089983088

983115 983141 983155 983137 983148 983137 983144 983137 983150

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu

1050

2

2timesleisin

minus

minus

m

m

a

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

28

( )

( ) 463234420log2

234420log

1034420

2

=minusle

minusle

le minus

m

m

m

Jadi m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 006241 pada iterasi ke-10adalah 2

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 416

LangkahLangkah 11

f(x)

PilihPilih xxℓℓ

dandan xxuu sebagaisebagai duadua akarakar perkiraanperkiraan sehinggasehingga f(xf(xℓℓ))

f(f(xxuu) lt 0) lt 0 atauatau f(x)f(x) tandatanda yangyang berbedaberbeda antaraantara xxℓℓ dandan xxuuSepertiSeperti padapada GambarGambar 11--11

xℓ

xu x

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

7

Gambar 1-1

f(x)

LangkahLangkah 22

PerkirakanPerkirakan akarakar xxmm daridari persamaanpersamaan f(x)f(x) == 00 sebagaisebagai titiktitiktengahtengah (mid(mid point)point) antaraantara xx

ℓℓandand xxuu yaituyaitu

x

xuℓ +

xℓ

xu x

xm

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

8

m 2

Gambar 5 Perkiraan xm

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 516

LangkahLangkah 33

PeriksaPeriksa kondisikondisi berikutberikut

a)a) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) lt 0) lt 0 makamaka akarakar beradaberada diantaradiantara xxℓℓ

dandan mm

ℓℓ==

ℓℓ uu == mm

b)b) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) gt 0) gt 0 makamaka akarakar persamaanpersamaan beradaberadadiantaradiantara xxmm dandan xxuu dandan xx

ℓℓ== xxmm xxuu == xxuu

c)c) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) = 0) = 0 makamaka akarakar persamaanpersamaan adalahadalah xxmm

HentikanHentikan algoritmaalgoritma bilabila benarbenar

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

9

LangkahLangkah 44

xx

m =x

uℓ +

2

Hitung nilai perkiraan baru untuk akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

10

100timesminus

=isinnew

m

old

m

new

a x

x xm

nilai perkiraan baru akarnew

m x =

nilai perkiraan akar sebelumnyaold

m x =

Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif

dimana

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 616

LangkahLangkah 55

Ke Langkah 2 gunakam

Bandingkan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif

|εa| dengan toleransi kesalahan yang ditetapkan |εs|

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

11

Is

No

atas dan bawah

ldquoStopldquo algoritma

sa gtisinisin

Jumlah iterasi perlu dicek bila melebihi jumlah iterasimaksimum yang diijinkan Bila kondisi ini tercapaialgoritma perlu dihentikan penghitungannya

Contoh1Contoh1

SuatuSuatu bolabola terapungterapung sepertiseperti GambarGambar 66 memilikimemiliki beratberat jenis jenis 0606 dandan jari jari--jari jari 55 cm55 cm TentukanTentukan kedalamankedalaman bolabolayangyang terendamterendam dalamdalam airair

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

12

Gambar 6 Diagram bola terapung

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 716

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont)

KedalamanKedalaman bola yangbola yang terendamterendam airair x x dinyatakandinyatakan dengandenganpersamaanpersamaan berikutberikut

01099331650 423=times+minus

minus x x

a)a) GunakanGunakan metodemetode bisectionbisection untukuntuk menentukanmenentukan akarakar--akarakarpersamaanpersamaan kedalamankedalaman bola yangbola yang terendamterendam airair x x LakukanLakukan tigatiga kalikali iterasiiterasi untukuntuk memperkirakanmemperkirakan akarakar--akarakar

persamaanpersamaan terebutterebutb)b) TentukanTentukan nilainilai absolutabsolut daridari kesalahankesalahan perkiraanperkiraan relatifrelatif

padapada masingmasing--masingmasing iterasiiterasi dandan jumlah jumlah digitdigit pentingnyapentingnya

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

13

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont)

SecaraSecara fisikfisik bagianbagian bola yangbola yang terendamterendam airair memilikimemilikikedalamankedalaman antaraantara x x = 0= 0 dandan x x = 2= 2R R

dengandengan R R == jari jari--jari jari bolabola

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

14

( )

1100

055020

20

lele

lele

lele

x

x

R x

Gambar 6 Diagram bola terapung

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 816

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

Untuk membantupemahaman tentang

Contoh1 (Cont )Contoh1 (Cont ) ndash ndash SolusiSolusi

Penyelesaian

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081

aga mana me o e ndigunakan untuk mencariakar-akar persamaanditampilkan grafik fungsi

f(x) dimana

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

15

( ) 4231099331650 - x x x f times+minus= Gambar 7 Grafik dari fungsi f(x)

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Asumsikan nilai awal terendah dan teratas

110

000

=

=

u x

xℓ

Cek bila fungsi f(x) berubah tanda antara xℓand xu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

16

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 4423

4423

1066221099331101650110110

1099331099330165000

minusminus

minusminus

timesminus=times+minus==

times=times+minus==

f x f

f x f

u

l

Maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01066221099331100 44lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ul

Jadi terdapat sediikitnya satu akar persamaan berada diantara xℓand xu

yaitu antara 0 dan 011

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 916

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983157 983150 983143 983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

17

Gambar 8 Grafik yang menunjukkan fungsi beribah tandadiantara batas awal xl dan xu

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

05502

1100

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1065561099330550165005500550 5423times=times+minus==

minusminus

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 1

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

18

gttimestimes== x x ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 011 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

Pada titik ini nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| belumbisa dihitung karena belum diperoleh nilai perkiraan sebelumnya

110 0550 == ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1016

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

19

Gambar 9 Perkiraan akar persamaan Iterasi 1

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983089

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

082502

1100550

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

1062211099330825016500825008250 4423timesminus=times+minus==

minusminus x

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 2

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

20

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0106556106221)08250(0550 54lttimestimesminus==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 00825 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

08250 0550 ==

ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1116

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

21

Gambar 10 Perkiraan akar persamaan Iterasi 2

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983090

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-2

( ) ( )2 1100

m m

a

x x

x

minusisin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

22

00825 0055100

00825

33333

minus= times

=

Jumlah digit penting akar persamaan xm = 00825 belum memberikan

hasil yang tepat karena nilai |εa| gt 5

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1216

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

0687502

0825005502

=+=+= u

m x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1056351099330687501650068750068750 5423timesminus=times+minus==

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 3

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01056351065560687500550 55lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 and 006875 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar

persamaan

068750 0550 == ul x x

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

24

Gambar 11 Perkiraan akar persamaan Iterasi 3

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983091

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1316

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3

( ) ( )3 2

3

100m m

a

m

x x

x

minus

isin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

25

006875 00825100

006875

20

minus= times

=

Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|masih gt 5Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1

Iteration xℓ xu xm isina f(xm)

1 000000 011 0055 ---------- 6655times10minus5

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0055

0055

0055

006188

006188

006188

006188

00623

00623

011

00825

006875

006875

006531

006359

006273

006273

006252

00825

006875

006188

006531

006359

006273

00623

006252

006241

3333

2000

1111

5263

2702

1370

06897

03436

01721

minus1622times10minus

minus5563times10minus5

4484times10minus6

minus2593times10minus5

minus10804times10minus5

minus3176times10minus6

6497times10minus7

minus1265times10minus6

minus30768times10minus7

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

26

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1416

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983092

983088983086983088983093

983088983086983088983094

983088983086983088983095

983088983086983088983096

983088983086983088983097

983141 983154 983155 983137 983149 983137 983137 983150 983084 983128 983149

983089983088

983089983088983088

983141 983154 983147 983145 983154 983137 983137 983150 983154 983141 983148 983137 983156 983145 983142 983080 983077 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

27

983088

983088983086983088983089

983088983086983088983090

983088983086983088983091

983088 983090 983092 983094 983096 983089 983088

983105 983147 983137 983154 983152

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

983088983086983089

983089

983088 983090 983092 983094 983096 983089983088

983115 983141 983155 983137 983148 983137 983144 983137 983150

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu

1050

2

2timesleisin

minus

minus

m

m

a

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

28

( )

( ) 463234420log2

234420log

1034420

2

=minusle

minusle

le minus

m

m

m

Jadi m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 006241 pada iterasi ke-10adalah 2

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 516

LangkahLangkah 33

PeriksaPeriksa kondisikondisi berikutberikut

a)a) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) lt 0) lt 0 makamaka akarakar beradaberada diantaradiantara xxℓℓ

dandan mm

ℓℓ==

ℓℓ uu == mm

b)b) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) gt 0) gt 0 makamaka akarakar persamaanpersamaan beradaberadadiantaradiantara xxmm dandan xxuu dandan xx

ℓℓ== xxmm xxuu == xxuu

c)c) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) = 0) = 0 makamaka akarakar persamaanpersamaan adalahadalah xxmm

HentikanHentikan algoritmaalgoritma bilabila benarbenar

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

9

LangkahLangkah 44

xx

m =x

uℓ +

2

Hitung nilai perkiraan baru untuk akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

10

100timesminus

=isinnew

m

old

m

new

a x

x xm

nilai perkiraan baru akarnew

m x =

nilai perkiraan akar sebelumnyaold

m x =

Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif

dimana

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 616

LangkahLangkah 55

Ke Langkah 2 gunakam

Bandingkan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif

|εa| dengan toleransi kesalahan yang ditetapkan |εs|

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

11

Is

No

atas dan bawah

ldquoStopldquo algoritma

sa gtisinisin

Jumlah iterasi perlu dicek bila melebihi jumlah iterasimaksimum yang diijinkan Bila kondisi ini tercapaialgoritma perlu dihentikan penghitungannya

Contoh1Contoh1

SuatuSuatu bolabola terapungterapung sepertiseperti GambarGambar 66 memilikimemiliki beratberat jenis jenis 0606 dandan jari jari--jari jari 55 cm55 cm TentukanTentukan kedalamankedalaman bolabolayangyang terendamterendam dalamdalam airair

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

12

Gambar 6 Diagram bola terapung

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 716

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont)

KedalamanKedalaman bola yangbola yang terendamterendam airair x x dinyatakandinyatakan dengandenganpersamaanpersamaan berikutberikut

01099331650 423=times+minus

minus x x

a)a) GunakanGunakan metodemetode bisectionbisection untukuntuk menentukanmenentukan akarakar--akarakarpersamaanpersamaan kedalamankedalaman bola yangbola yang terendamterendam airair x x LakukanLakukan tigatiga kalikali iterasiiterasi untukuntuk memperkirakanmemperkirakan akarakar--akarakar

persamaanpersamaan terebutterebutb)b) TentukanTentukan nilainilai absolutabsolut daridari kesalahankesalahan perkiraanperkiraan relatifrelatif

padapada masingmasing--masingmasing iterasiiterasi dandan jumlah jumlah digitdigit pentingnyapentingnya

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

13

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont)

SecaraSecara fisikfisik bagianbagian bola yangbola yang terendamterendam airair memilikimemilikikedalamankedalaman antaraantara x x = 0= 0 dandan x x = 2= 2R R

dengandengan R R == jari jari--jari jari bolabola

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

14

( )

1100

055020

20

lele

lele

lele

x

x

R x

Gambar 6 Diagram bola terapung

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 816

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

Untuk membantupemahaman tentang

Contoh1 (Cont )Contoh1 (Cont ) ndash ndash SolusiSolusi

Penyelesaian

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081

aga mana me o e ndigunakan untuk mencariakar-akar persamaanditampilkan grafik fungsi

f(x) dimana

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

15

( ) 4231099331650 - x x x f times+minus= Gambar 7 Grafik dari fungsi f(x)

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Asumsikan nilai awal terendah dan teratas

110

000

=

=

u x

xℓ

Cek bila fungsi f(x) berubah tanda antara xℓand xu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

16

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 4423

4423

1066221099331101650110110

1099331099330165000

minusminus

minusminus

timesminus=times+minus==

times=times+minus==

f x f

f x f

u

l

Maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01066221099331100 44lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ul

Jadi terdapat sediikitnya satu akar persamaan berada diantara xℓand xu

yaitu antara 0 dan 011

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 916

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983157 983150 983143 983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

17

Gambar 8 Grafik yang menunjukkan fungsi beribah tandadiantara batas awal xl dan xu

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

05502

1100

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1065561099330550165005500550 5423times=times+minus==

minusminus

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 1

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

18

gttimestimes== x x ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 011 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

Pada titik ini nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| belumbisa dihitung karena belum diperoleh nilai perkiraan sebelumnya

110 0550 == ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1016

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

19

Gambar 9 Perkiraan akar persamaan Iterasi 1

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983089

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

082502

1100550

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

1062211099330825016500825008250 4423timesminus=times+minus==

minusminus x

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 2

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

20

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0106556106221)08250(0550 54lttimestimesminus==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 00825 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

08250 0550 ==

ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1116

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

21

Gambar 10 Perkiraan akar persamaan Iterasi 2

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983090

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-2

( ) ( )2 1100

m m

a

x x

x

minusisin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

22

00825 0055100

00825

33333

minus= times

=

Jumlah digit penting akar persamaan xm = 00825 belum memberikan

hasil yang tepat karena nilai |εa| gt 5

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1216

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

0687502

0825005502

=+=+= u

m x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1056351099330687501650068750068750 5423timesminus=times+minus==

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 3

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01056351065560687500550 55lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 and 006875 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar

persamaan

068750 0550 == ul x x

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

24

Gambar 11 Perkiraan akar persamaan Iterasi 3

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983091

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1316

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3

( ) ( )3 2

3

100m m

a

m

x x

x

minus

isin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

25

006875 00825100

006875

20

minus= times

=

Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|masih gt 5Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1

Iteration xℓ xu xm isina f(xm)

1 000000 011 0055 ---------- 6655times10minus5

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0055

0055

0055

006188

006188

006188

006188

00623

00623

011

00825

006875

006875

006531

006359

006273

006273

006252

00825

006875

006188

006531

006359

006273

00623

006252

006241

3333

2000

1111

5263

2702

1370

06897

03436

01721

minus1622times10minus

minus5563times10minus5

4484times10minus6

minus2593times10minus5

minus10804times10minus5

minus3176times10minus6

6497times10minus7

minus1265times10minus6

minus30768times10minus7

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

26

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1416

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983092

983088983086983088983093

983088983086983088983094

983088983086983088983095

983088983086983088983096

983088983086983088983097

983141 983154 983155 983137 983149 983137 983137 983150 983084 983128 983149

983089983088

983089983088983088

983141 983154 983147 983145 983154 983137 983137 983150 983154 983141 983148 983137 983156 983145 983142 983080 983077 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

27

983088

983088983086983088983089

983088983086983088983090

983088983086983088983091

983088 983090 983092 983094 983096 983089 983088

983105 983147 983137 983154 983152

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

983088983086983089

983089

983088 983090 983092 983094 983096 983089983088

983115 983141 983155 983137 983148 983137 983144 983137 983150

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu

1050

2

2timesleisin

minus

minus

m

m

a

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

28

( )

( ) 463234420log2

234420log

1034420

2

=minusle

minusle

le minus

m

m

m

Jadi m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 006241 pada iterasi ke-10adalah 2

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 616

LangkahLangkah 55

Ke Langkah 2 gunakam

Bandingkan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif

|εa| dengan toleransi kesalahan yang ditetapkan |εs|

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

11

Is

No

atas dan bawah

ldquoStopldquo algoritma

sa gtisinisin

Jumlah iterasi perlu dicek bila melebihi jumlah iterasimaksimum yang diijinkan Bila kondisi ini tercapaialgoritma perlu dihentikan penghitungannya

Contoh1Contoh1

SuatuSuatu bolabola terapungterapung sepertiseperti GambarGambar 66 memilikimemiliki beratberat jenis jenis 0606 dandan jari jari--jari jari 55 cm55 cm TentukanTentukan kedalamankedalaman bolabolayangyang terendamterendam dalamdalam airair

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

12

Gambar 6 Diagram bola terapung

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 716

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont)

KedalamanKedalaman bola yangbola yang terendamterendam airair x x dinyatakandinyatakan dengandenganpersamaanpersamaan berikutberikut

01099331650 423=times+minus

minus x x

a)a) GunakanGunakan metodemetode bisectionbisection untukuntuk menentukanmenentukan akarakar--akarakarpersamaanpersamaan kedalamankedalaman bola yangbola yang terendamterendam airair x x LakukanLakukan tigatiga kalikali iterasiiterasi untukuntuk memperkirakanmemperkirakan akarakar--akarakar

persamaanpersamaan terebutterebutb)b) TentukanTentukan nilainilai absolutabsolut daridari kesalahankesalahan perkiraanperkiraan relatifrelatif

padapada masingmasing--masingmasing iterasiiterasi dandan jumlah jumlah digitdigit pentingnyapentingnya

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

13

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont)

SecaraSecara fisikfisik bagianbagian bola yangbola yang terendamterendam airair memilikimemilikikedalamankedalaman antaraantara x x = 0= 0 dandan x x = 2= 2R R

dengandengan R R == jari jari--jari jari bolabola

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

14

( )

1100

055020

20

lele

lele

lele

x

x

R x

Gambar 6 Diagram bola terapung

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 816

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

Untuk membantupemahaman tentang

Contoh1 (Cont )Contoh1 (Cont ) ndash ndash SolusiSolusi

Penyelesaian

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081

aga mana me o e ndigunakan untuk mencariakar-akar persamaanditampilkan grafik fungsi

f(x) dimana

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

15

( ) 4231099331650 - x x x f times+minus= Gambar 7 Grafik dari fungsi f(x)

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Asumsikan nilai awal terendah dan teratas

110

000

=

=

u x

xℓ

Cek bila fungsi f(x) berubah tanda antara xℓand xu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

16

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 4423

4423

1066221099331101650110110

1099331099330165000

minusminus

minusminus

timesminus=times+minus==

times=times+minus==

f x f

f x f

u

l

Maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01066221099331100 44lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ul

Jadi terdapat sediikitnya satu akar persamaan berada diantara xℓand xu

yaitu antara 0 dan 011

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 916

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983157 983150 983143 983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

17

Gambar 8 Grafik yang menunjukkan fungsi beribah tandadiantara batas awal xl dan xu

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

05502

1100

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1065561099330550165005500550 5423times=times+minus==

minusminus

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 1

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

18

gttimestimes== x x ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 011 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

Pada titik ini nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| belumbisa dihitung karena belum diperoleh nilai perkiraan sebelumnya

110 0550 == ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1016

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

19

Gambar 9 Perkiraan akar persamaan Iterasi 1

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983089

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

082502

1100550

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

1062211099330825016500825008250 4423timesminus=times+minus==

minusminus x

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 2

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

20

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0106556106221)08250(0550 54lttimestimesminus==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 00825 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

08250 0550 ==

ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1116

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

21

Gambar 10 Perkiraan akar persamaan Iterasi 2

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983090

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-2

( ) ( )2 1100

m m

a

x x

x

minusisin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

22

00825 0055100

00825

33333

minus= times

=

Jumlah digit penting akar persamaan xm = 00825 belum memberikan

hasil yang tepat karena nilai |εa| gt 5

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1216

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

0687502

0825005502

=+=+= u

m x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1056351099330687501650068750068750 5423timesminus=times+minus==

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 3

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01056351065560687500550 55lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 and 006875 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar

persamaan

068750 0550 == ul x x

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

24

Gambar 11 Perkiraan akar persamaan Iterasi 3

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983091

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1316

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3

( ) ( )3 2

3

100m m

a

m

x x

x

minus

isin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

25

006875 00825100

006875

20

minus= times

=

Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|masih gt 5Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1

Iteration xℓ xu xm isina f(xm)

1 000000 011 0055 ---------- 6655times10minus5

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0055

0055

0055

006188

006188

006188

006188

00623

00623

011

00825

006875

006875

006531

006359

006273

006273

006252

00825

006875

006188

006531

006359

006273

00623

006252

006241

3333

2000

1111

5263

2702

1370

06897

03436

01721

minus1622times10minus

minus5563times10minus5

4484times10minus6

minus2593times10minus5

minus10804times10minus5

minus3176times10minus6

6497times10minus7

minus1265times10minus6

minus30768times10minus7

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

26

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1416

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983092

983088983086983088983093

983088983086983088983094

983088983086983088983095

983088983086983088983096

983088983086983088983097

983141 983154 983155 983137 983149 983137 983137 983150 983084 983128 983149

983089983088

983089983088983088

983141 983154 983147 983145 983154 983137 983137 983150 983154 983141 983148 983137 983156 983145 983142 983080 983077 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

27

983088

983088983086983088983089

983088983086983088983090

983088983086983088983091

983088 983090 983092 983094 983096 983089 983088

983105 983147 983137 983154 983152

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

983088983086983089

983089

983088 983090 983092 983094 983096 983089983088

983115 983141 983155 983137 983148 983137 983144 983137 983150

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu

1050

2

2timesleisin

minus

minus

m

m

a

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

28

( )

( ) 463234420log2

234420log

1034420

2

=minusle

minusle

le minus

m

m

m

Jadi m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 006241 pada iterasi ke-10adalah 2

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 716

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont)

KedalamanKedalaman bola yangbola yang terendamterendam airair x x dinyatakandinyatakan dengandenganpersamaanpersamaan berikutberikut

01099331650 423=times+minus

minus x x

a)a) GunakanGunakan metodemetode bisectionbisection untukuntuk menentukanmenentukan akarakar--akarakarpersamaanpersamaan kedalamankedalaman bola yangbola yang terendamterendam airair x x LakukanLakukan tigatiga kalikali iterasiiterasi untukuntuk memperkirakanmemperkirakan akarakar--akarakar

persamaanpersamaan terebutterebutb)b) TentukanTentukan nilainilai absolutabsolut daridari kesalahankesalahan perkiraanperkiraan relatifrelatif

padapada masingmasing--masingmasing iterasiiterasi dandan jumlah jumlah digitdigit pentingnyapentingnya

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

13

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont)

SecaraSecara fisikfisik bagianbagian bola yangbola yang terendamterendam airair memilikimemilikikedalamankedalaman antaraantara x x = 0= 0 dandan x x = 2= 2R R

dengandengan R R == jari jari--jari jari bolabola

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

14

( )

1100

055020

20

lele

lele

lele

x

x

R x

Gambar 6 Diagram bola terapung

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 816

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

Untuk membantupemahaman tentang

Contoh1 (Cont )Contoh1 (Cont ) ndash ndash SolusiSolusi

Penyelesaian

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081

aga mana me o e ndigunakan untuk mencariakar-akar persamaanditampilkan grafik fungsi

f(x) dimana

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

15

( ) 4231099331650 - x x x f times+minus= Gambar 7 Grafik dari fungsi f(x)

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Asumsikan nilai awal terendah dan teratas

110

000

=

=

u x

xℓ

Cek bila fungsi f(x) berubah tanda antara xℓand xu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

16

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 4423

4423

1066221099331101650110110

1099331099330165000

minusminus

minusminus

timesminus=times+minus==

times=times+minus==

f x f

f x f

u

l

Maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01066221099331100 44lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ul

Jadi terdapat sediikitnya satu akar persamaan berada diantara xℓand xu

yaitu antara 0 dan 011

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 916

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983157 983150 983143 983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

17

Gambar 8 Grafik yang menunjukkan fungsi beribah tandadiantara batas awal xl dan xu

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

05502

1100

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1065561099330550165005500550 5423times=times+minus==

minusminus

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 1

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

18

gttimestimes== x x ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 011 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

Pada titik ini nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| belumbisa dihitung karena belum diperoleh nilai perkiraan sebelumnya

110 0550 == ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1016

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

19

Gambar 9 Perkiraan akar persamaan Iterasi 1

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983089

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

082502

1100550

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

1062211099330825016500825008250 4423timesminus=times+minus==

minusminus x

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 2

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

20

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0106556106221)08250(0550 54lttimestimesminus==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 00825 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

08250 0550 ==

ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1116

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

21

Gambar 10 Perkiraan akar persamaan Iterasi 2

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983090

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-2

( ) ( )2 1100

m m

a

x x

x

minusisin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

22

00825 0055100

00825

33333

minus= times

=

Jumlah digit penting akar persamaan xm = 00825 belum memberikan

hasil yang tepat karena nilai |εa| gt 5

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1216

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

0687502

0825005502

=+=+= u

m x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1056351099330687501650068750068750 5423timesminus=times+minus==

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 3

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01056351065560687500550 55lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 and 006875 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar

persamaan

068750 0550 == ul x x

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

24

Gambar 11 Perkiraan akar persamaan Iterasi 3

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983091

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1316

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3

( ) ( )3 2

3

100m m

a

m

x x

x

minus

isin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

25

006875 00825100

006875

20

minus= times

=

Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|masih gt 5Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1

Iteration xℓ xu xm isina f(xm)

1 000000 011 0055 ---------- 6655times10minus5

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0055

0055

0055

006188

006188

006188

006188

00623

00623

011

00825

006875

006875

006531

006359

006273

006273

006252

00825

006875

006188

006531

006359

006273

00623

006252

006241

3333

2000

1111

5263

2702

1370

06897

03436

01721

minus1622times10minus

minus5563times10minus5

4484times10minus6

minus2593times10minus5

minus10804times10minus5

minus3176times10minus6

6497times10minus7

minus1265times10minus6

minus30768times10minus7

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

26

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1416

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983092

983088983086983088983093

983088983086983088983094

983088983086983088983095

983088983086983088983096

983088983086983088983097

983141 983154 983155 983137 983149 983137 983137 983150 983084 983128 983149

983089983088

983089983088983088

983141 983154 983147 983145 983154 983137 983137 983150 983154 983141 983148 983137 983156 983145 983142 983080 983077 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

27

983088

983088983086983088983089

983088983086983088983090

983088983086983088983091

983088 983090 983092 983094 983096 983089 983088

983105 983147 983137 983154 983152

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

983088983086983089

983089

983088 983090 983092 983094 983096 983089983088

983115 983141 983155 983137 983148 983137 983144 983137 983150

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu

1050

2

2timesleisin

minus

minus

m

m

a

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

28

( )

( ) 463234420log2

234420log

1034420

2

=minusle

minusle

le minus

m

m

m

Jadi m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 006241 pada iterasi ke-10adalah 2

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 816

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

Untuk membantupemahaman tentang

Contoh1 (Cont )Contoh1 (Cont ) ndash ndash SolusiSolusi

Penyelesaian

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081

aga mana me o e ndigunakan untuk mencariakar-akar persamaanditampilkan grafik fungsi

f(x) dimana

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

15

( ) 4231099331650 - x x x f times+minus= Gambar 7 Grafik dari fungsi f(x)

Contoh1 (Cont)Contoh1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Asumsikan nilai awal terendah dan teratas

110

000

=

=

u x

xℓ

Cek bila fungsi f(x) berubah tanda antara xℓand xu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

16

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 4423

4423

1066221099331101650110110

1099331099330165000

minusminus

minusminus

timesminus=times+minus==

times=times+minus==

f x f

f x f

u

l

Maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01066221099331100 44lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ul

Jadi terdapat sediikitnya satu akar persamaan berada diantara xℓand xu

yaitu antara 0 dan 011

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 916

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983157 983150 983143 983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

17

Gambar 8 Grafik yang menunjukkan fungsi beribah tandadiantara batas awal xl dan xu

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

05502

1100

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1065561099330550165005500550 5423times=times+minus==

minusminus

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 1

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

18

gttimestimes== x x ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 011 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

Pada titik ini nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| belumbisa dihitung karena belum diperoleh nilai perkiraan sebelumnya

110 0550 == ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1016

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

19

Gambar 9 Perkiraan akar persamaan Iterasi 1

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983089

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

082502

1100550

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

1062211099330825016500825008250 4423timesminus=times+minus==

minusminus x

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 2

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

20

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0106556106221)08250(0550 54lttimestimesminus==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 00825 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

08250 0550 ==

ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1116

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

21

Gambar 10 Perkiraan akar persamaan Iterasi 2

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983090

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-2

( ) ( )2 1100

m m

a

x x

x

minusisin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

22

00825 0055100

00825

33333

minus= times

=

Jumlah digit penting akar persamaan xm = 00825 belum memberikan

hasil yang tepat karena nilai |εa| gt 5

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1216

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

0687502

0825005502

=+=+= u

m x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1056351099330687501650068750068750 5423timesminus=times+minus==

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 3

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01056351065560687500550 55lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 and 006875 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar

persamaan

068750 0550 == ul x x

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

24

Gambar 11 Perkiraan akar persamaan Iterasi 3

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983091

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1316

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3

( ) ( )3 2

3

100m m

a

m

x x

x

minus

isin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

25

006875 00825100

006875

20

minus= times

=

Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|masih gt 5Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1

Iteration xℓ xu xm isina f(xm)

1 000000 011 0055 ---------- 6655times10minus5

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0055

0055

0055

006188

006188

006188

006188

00623

00623

011

00825

006875

006875

006531

006359

006273

006273

006252

00825

006875

006188

006531

006359

006273

00623

006252

006241

3333

2000

1111

5263

2702

1370

06897

03436

01721

minus1622times10minus

minus5563times10minus5

4484times10minus6

minus2593times10minus5

minus10804times10minus5

minus3176times10minus6

6497times10minus7

minus1265times10minus6

minus30768times10minus7

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

26

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1416

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983092

983088983086983088983093

983088983086983088983094

983088983086983088983095

983088983086983088983096

983088983086983088983097

983141 983154 983155 983137 983149 983137 983137 983150 983084 983128 983149

983089983088

983089983088983088

983141 983154 983147 983145 983154 983137 983137 983150 983154 983141 983148 983137 983156 983145 983142 983080 983077 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

27

983088

983088983086983088983089

983088983086983088983090

983088983086983088983091

983088 983090 983092 983094 983096 983089 983088

983105 983147 983137 983154 983152

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

983088983086983089

983089

983088 983090 983092 983094 983096 983089983088

983115 983141 983155 983137 983148 983137 983144 983137 983150

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu

1050

2

2timesleisin

minus

minus

m

m

a

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

28

( )

( ) 463234420log2

234420log

1034420

2

=minusle

minusle

le minus

m

m

m

Jadi m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 006241 pada iterasi ke-10adalah 2

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 916

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983157 983150 983143 983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

17

Gambar 8 Grafik yang menunjukkan fungsi beribah tandadiantara batas awal xl dan xu

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

05502

1100

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1065561099330550165005500550 5423times=times+minus==

minusminus

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 1

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

18

gttimestimes== x x ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 011 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

Pada titik ini nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| belumbisa dihitung karena belum diperoleh nilai perkiraan sebelumnya

110 0550 == ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1016

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

19

Gambar 9 Perkiraan akar persamaan Iterasi 1

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983089

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

082502

1100550

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

1062211099330825016500825008250 4423timesminus=times+minus==

minusminus x

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 2

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

20

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0106556106221)08250(0550 54lttimestimesminus==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 00825 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

08250 0550 ==

ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1116

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

21

Gambar 10 Perkiraan akar persamaan Iterasi 2

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983090

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-2

( ) ( )2 1100

m m

a

x x

x

minusisin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

22

00825 0055100

00825

33333

minus= times

=

Jumlah digit penting akar persamaan xm = 00825 belum memberikan

hasil yang tepat karena nilai |εa| gt 5

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1216

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

0687502

0825005502

=+=+= u

m x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1056351099330687501650068750068750 5423timesminus=times+minus==

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 3

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01056351065560687500550 55lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 and 006875 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar

persamaan

068750 0550 == ul x x

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

24

Gambar 11 Perkiraan akar persamaan Iterasi 3

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983091

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1316

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3

( ) ( )3 2

3

100m m

a

m

x x

x

minus

isin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

25

006875 00825100

006875

20

minus= times

=

Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|masih gt 5Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1

Iteration xℓ xu xm isina f(xm)

1 000000 011 0055 ---------- 6655times10minus5

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0055

0055

0055

006188

006188

006188

006188

00623

00623

011

00825

006875

006875

006531

006359

006273

006273

006252

00825

006875

006188

006531

006359

006273

00623

006252

006241

3333

2000

1111

5263

2702

1370

06897

03436

01721

minus1622times10minus

minus5563times10minus5

4484times10minus6

minus2593times10minus5

minus10804times10minus5

minus3176times10minus6

6497times10minus7

minus1265times10minus6

minus30768times10minus7

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

26

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1416

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983092

983088983086983088983093

983088983086983088983094

983088983086983088983095

983088983086983088983096

983088983086983088983097

983141 983154 983155 983137 983149 983137 983137 983150 983084 983128 983149

983089983088

983089983088983088

983141 983154 983147 983145 983154 983137 983137 983150 983154 983141 983148 983137 983156 983145 983142 983080 983077 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

27

983088

983088983086983088983089

983088983086983088983090

983088983086983088983091

983088 983090 983092 983094 983096 983089 983088

983105 983147 983137 983154 983152

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

983088983086983089

983089

983088 983090 983092 983094 983096 983089983088

983115 983141 983155 983137 983148 983137 983144 983137 983150

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu

1050

2

2timesleisin

minus

minus

m

m

a

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

28

( )

( ) 463234420log2

234420log

1034420

2

=minusle

minusle

le minus

m

m

m

Jadi m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 006241 pada iterasi ke-10adalah 2

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1016

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

19

Gambar 9 Perkiraan akar persamaan Iterasi 1

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983089

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

082502

1100550

2=

+=

+=

um

x x x ℓ

1062211099330825016500825008250 4423timesminus=times+minus==

minusminus x

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 2

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

20

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0106556106221)08250(0550 54lttimestimesminus==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 dan 00825 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

08250 0550 ==

ul x x

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1116

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

21

Gambar 10 Perkiraan akar persamaan Iterasi 2

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983090

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-2

( ) ( )2 1100

m m

a

x x

x

minusisin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

22

00825 0055100

00825

33333

minus= times

=

Jumlah digit penting akar persamaan xm = 00825 belum memberikan

hasil yang tepat karena nilai |εa| gt 5

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1216

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

0687502

0825005502

=+=+= u

m x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1056351099330687501650068750068750 5423timesminus=times+minus==

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 3

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01056351065560687500550 55lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 and 006875 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar

persamaan

068750 0550 == ul x x

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

24

Gambar 11 Perkiraan akar persamaan Iterasi 3

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983091

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1316

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3

( ) ( )3 2

3

100m m

a

m

x x

x

minus

isin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

25

006875 00825100

006875

20

minus= times

=

Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|masih gt 5Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1

Iteration xℓ xu xm isina f(xm)

1 000000 011 0055 ---------- 6655times10minus5

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0055

0055

0055

006188

006188

006188

006188

00623

00623

011

00825

006875

006875

006531

006359

006273

006273

006252

00825

006875

006188

006531

006359

006273

00623

006252

006241

3333

2000

1111

5263

2702

1370

06897

03436

01721

minus1622times10minus

minus5563times10minus5

4484times10minus6

minus2593times10minus5

minus10804times10minus5

minus3176times10minus6

6497times10minus7

minus1265times10minus6

minus30768times10minus7

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

26

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1416

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983092

983088983086983088983093

983088983086983088983094

983088983086983088983095

983088983086983088983096

983088983086983088983097

983141 983154 983155 983137 983149 983137 983137 983150 983084 983128 983149

983089983088

983089983088983088

983141 983154 983147 983145 983154 983137 983137 983150 983154 983141 983148 983137 983156 983145 983142 983080 983077 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

27

983088

983088983086983088983089

983088983086983088983090

983088983086983088983091

983088 983090 983092 983094 983096 983089 983088

983105 983147 983137 983154 983152

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

983088983086983089

983089

983088 983090 983092 983094 983096 983089983088

983115 983141 983155 983137 983148 983137 983144 983137 983150

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu

1050

2

2timesleisin

minus

minus

m

m

a

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

28

( )

( ) 463234420log2

234420log

1034420

2

=minusle

minusle

le minus

m

m

m

Jadi m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 006241 pada iterasi ke-10adalah 2

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1116

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

21

Gambar 10 Perkiraan akar persamaan Iterasi 2

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983086

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150 983143

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983090

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-2

( ) ( )2 1100

m m

a

x x

x

minusisin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

22

00825 0055100

00825

33333

minus= times

=

Jumlah digit penting akar persamaan xm = 00825 belum memberikan

hasil yang tepat karena nilai |εa| gt 5

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1216

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

0687502

0825005502

=+=+= u

m x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1056351099330687501650068750068750 5423timesminus=times+minus==

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 3

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01056351065560687500550 55lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 and 006875 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar

persamaan

068750 0550 == ul x x

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

24

Gambar 11 Perkiraan akar persamaan Iterasi 3

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983091

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1316

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3

( ) ( )3 2

3

100m m

a

m

x x

x

minus

isin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

25

006875 00825100

006875

20

minus= times

=

Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|masih gt 5Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1

Iteration xℓ xu xm isina f(xm)

1 000000 011 0055 ---------- 6655times10minus5

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0055

0055

0055

006188

006188

006188

006188

00623

00623

011

00825

006875

006875

006531

006359

006273

006273

006252

00825

006875

006188

006531

006359

006273

00623

006252

006241

3333

2000

1111

5263

2702

1370

06897

03436

01721

minus1622times10minus

minus5563times10minus5

4484times10minus6

minus2593times10minus5

minus10804times10minus5

minus3176times10minus6

6497times10minus7

minus1265times10minus6

minus30768times10minus7

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

26

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1416

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983092

983088983086983088983093

983088983086983088983094

983088983086983088983095

983088983086983088983096

983088983086983088983097

983141 983154 983155 983137 983149 983137 983137 983150 983084 983128 983149

983089983088

983089983088983088

983141 983154 983147 983145 983154 983137 983137 983150 983154 983141 983148 983137 983156 983145 983142 983080 983077 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

27

983088

983088983086983088983089

983088983086983088983090

983088983086983088983091

983088 983090 983092 983094 983096 983089 983088

983105 983147 983137 983154 983152

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

983088983086983089

983089

983088 983090 983092 983094 983096 983089983088

983115 983141 983155 983137 983148 983137 983144 983137 983150

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu

1050

2

2timesleisin

minus

minus

m

m

a

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

28

( )

( ) 463234420log2

234420log

1034420

2

=minusle

minusle

le minus

m

m

m

Jadi m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 006241 pada iterasi ke-10adalah 2

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1216

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

0687502

0825005502

=+=+= u

m x x x ℓ

( ) ( ) ( ) ( ) 1056351099330687501650068750068750 5423timesminus=times+minus==

minusminus f x f m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 3

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01056351065560687500550 55lttimesminustimes==

minusminus f f x f x f ml

Maka akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu yaitu antara0055 and 006875 Jadi nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar

persamaan

068750 0550 == ul x x

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983088983088983089

983088983086983088983088983088983090

983088983086983088983088983088983091

983088983086983088983088983088983092

983088983086983088983088983088983093

983155 983145 983142 983080 983160 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

24

Gambar 11 Perkiraan akar persamaan Iterasi 3

983085983088983086983088983088983088983091

983085983088983086983088983088983088983090

983085983088983086983088983088983088983089

983088

983085983088983086983088983090 983088 983088983086983088983090 983088983086983088983092 983088983086983088983094 983088983086983088983096 983088983086983089 983088983086983089983090

983110 983157 983150

983160 983080983149983081

983142983080983160983081 983160983148 983160983157 983160983149983084983091

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1316

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3

( ) ( )3 2

3

100m m

a

m

x x

x

minus

isin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

25

006875 00825100

006875

20

minus= times

=

Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|masih gt 5Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1

Iteration xℓ xu xm isina f(xm)

1 000000 011 0055 ---------- 6655times10minus5

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0055

0055

0055

006188

006188

006188

006188

00623

00623

011

00825

006875

006875

006531

006359

006273

006273

006252

00825

006875

006188

006531

006359

006273

00623

006252

006241

3333

2000

1111

5263

2702

1370

06897

03436

01721

minus1622times10minus

minus5563times10minus5

4484times10minus6

minus2593times10minus5

minus10804times10minus5

minus3176times10minus6

6497times10minus7

minus1265times10minus6

minus30768times10minus7

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

26

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1416

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983092

983088983086983088983093

983088983086983088983094

983088983086983088983095

983088983086983088983096

983088983086983088983097

983141 983154 983155 983137 983149 983137 983137 983150 983084 983128 983149

983089983088

983089983088983088

983141 983154 983147 983145 983154 983137 983137 983150 983154 983141 983148 983137 983156 983145 983142 983080 983077 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

27

983088

983088983086983088983089

983088983086983088983090

983088983086983088983091

983088 983090 983092 983094 983096 983089 983088

983105 983147 983137 983154 983152

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

983088983086983089

983089

983088 983090 983092 983094 983096 983089983088

983115 983141 983155 983137 983148 983137 983144 983137 983150

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu

1050

2

2timesleisin

minus

minus

m

m

a

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

28

( )

( ) 463234420log2

234420log

1034420

2

=minusle

minusle

le minus

m

m

m

Jadi m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 006241 pada iterasi ke-10adalah 2

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1316

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3

( ) ( )3 2

3

100m m

a

m

x x

x

minus

isin = times

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

25

006875 00825100

006875

20

minus= times

=

Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|masih gt 5Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1

Iteration xℓ xu xm isina f(xm)

1 000000 011 0055 ---------- 6655times10minus5

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0055

0055

0055

006188

006188

006188

006188

00623

00623

011

00825

006875

006875

006531

006359

006273

006273

006252

00825

006875

006188

006531

006359

006273

00623

006252

006241

3333

2000

1111

5263

2702

1370

06897

03436

01721

minus1622times10minus

minus5563times10minus5

4484times10minus6

minus2593times10minus5

minus10804times10minus5

minus3176times10minus6

6497times10minus7

minus1265times10minus6

minus30768times10minus7

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

26

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1416

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983092

983088983086983088983093

983088983086983088983094

983088983086983088983095

983088983086983088983096

983088983086983088983097

983141 983154 983155 983137 983149 983137 983137 983150 983084 983128 983149

983089983088

983089983088983088

983141 983154 983147 983145 983154 983137 983137 983150 983154 983141 983148 983137 983156 983145 983142 983080 983077 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

27

983088

983088983086983088983089

983088983086983088983090

983088983086983088983091

983088 983090 983092 983094 983096 983089 983088

983105 983147 983137 983154 983152

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

983088983086983089

983089

983088 983090 983092 983094 983096 983089983088

983115 983141 983155 983137 983148 983137 983144 983137 983150

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu

1050

2

2timesleisin

minus

minus

m

m

a

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

28

( )

( ) 463234420log2

234420log

1034420

2

=minusle

minusle

le minus

m

m

m

Jadi m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 006241 pada iterasi ke-10adalah 2

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1416

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

983088983086983088983092

983088983086983088983093

983088983086983088983094

983088983086983088983095

983088983086983088983096

983088983086983088983097

983141 983154 983155 983137 983149 983137 983137 983150 983084 983128 983149

983089983088

983089983088983088

983141 983154 983147 983145 983154 983137 983137 983150 983154 983141 983148 983137 983156 983145 983142 983080 983077 983081

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

27

983088

983088983086983088983089

983088983086983088983090

983088983086983088983091

983088 983090 983092 983094 983096 983089 983088

983105 983147 983137 983154 983152

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

983088983086983089

983089

983088 983090 983092 983094 983096 983089983088

983115 983141 983155 983137 983148 983137 983144 983137 983150

983113983156983141983154983137983155983145 983147983141983085983150

ContohContoh 1 (Cont)1 (Cont) ndash ndash SolusiSolusi

Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu

1050

2

2timesleisin

minus

minus

m

m

a

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

28

( )

( ) 463234420log2

234420log

1034420

2

=minusle

minusle

le minus

m

m

m

Jadi m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 006241 pada iterasi ke-10adalah 2

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1516

bullbull SelaluSelalu konvergenkonvergen

bullbull AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Mencapai konvergen relatif lama

Bila nilai perkiraan akar awal terlalu

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

30

r y v rdicapai lebih lama

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=

8182019 Lect 3 Metode Analisa

httpslidepdfcomreaderfulllect-3-metode-analisa 1616

bullbull BilaBila fungsifungsi f(x)f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu xx makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

DrEng Agus S Muntohar -Department of Civil Engineering

31

f(x)

x

( ) 2 x x f =

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

Fungsi berubah tanda tetapi tidak

memiliki akar-akar persamaan

DrEng Agus S Muntohar -D t t f Ci il E i i

32

f(x)

x

( ) x

x f 1

=