“Learning)is)notchild's)play,)we)cannotlearn)withoutpain...

Agi Putra Kharisma, ST., MT.

Teori Himpunan

“Learning is not child's play, we cannot learn without pain.” -‐Aristotle

1 Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan


Kilas Balik Negasi (1)


Semua mobil di kota Malang memiliki plat nomor N.

Ada mobil di bukan kota Malang memiliki plat nomor bukan N.

Ada mobil di kota Malang memiliki plat nomor bukan N. ✓

NEGASINYA:

~(∀x ∈ C, P(x)) ≡ ∃x ∈ C dimana ~P(x)


Kilas Balik Negasi (2)

negasinya:


Wati adalah anggota kelas C.

Wati bukan anggota kelas C.

~ (x ∈ C) ≡ x ∉ C


Teori himpunan

•  Elemen dan himpunan sebenarnya Edak memiliki definisi khusus

•  “Imajinasikan, misalkan M adalah koleksi yang berisi sekumpulan objek tertentu yang saling terpisah, maka objek -‐ objek tersebut adalah elemen M.” – Georg Cantor (pencetus teori himpunan)

•  Hint: Himpunan adalah sekumpulan elemen unik, terpisah, dan tanpa urutan tertentu.



Notasi

∅ = {} adalah himpunan kosong ∅ ≠ {∅} himpunan kosong berbeda dengan himpunan yang berisi himpunan kosong x ∈ D arEnya “x adalah elemen himpunan D” x ∉ D arEnya “x bukan elemen himpunan D”



Notasi

arEnya “C adalah himpunan bagian (subset) dari D”, syaratnya: ∀x ((x ∈ C) → (x ∈ D))


C ⊆ D


Notasi arEnya “himpunan C sama dengan himpunan D”, syaratnya: C ⊆ D ∧ D ⊆ C ∀x (((x ∈ C) → (x ∈ D)) ∧ ((x ∈ D) → (x ∈ C))) ∀x ((x ∈ C) ↔ (x ∈ D))


Ingat… p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

C = D


Notasi

arEnya “C adalah tepat himpunan bagian (proper subset) dari D”, syaratnya: (C ⊆ D) ∧ (C ≠ D) ∀x ((x ∈ C) → (x ∈ D)) ∧ ~∀x ((x ∈ C) ↔ (x ∈ D)) ∀x ((x ∈ C) → (x ∈ D)) ∧ ∃x ((x ∈ D) ∧ (x ∉ C))


C ⊂ D


Notasi

arEnya himpunan A dan himpunan B Edak memiliki elemen yang sama (atau dengan kata lain A dan B saling lepas), syaratnya: ∀x((x ∈ A) → (x ∉ B)) ∀x((x ∈ B) → (x ∉ A)) A ∩ B = ∅


A // B


LaEhan

∅ ⊆ {1,2,3} ? ∅ ∈ {1,2,3} ? ∅ ⊆ {∅,1,2,3} ? ∅ ∈ {∅,1,2,3} ?


x ∈ {x} ? {x} ∈ {x} ? {x} ∈ {x, {x}} ? {x} ⊆ {x, {x}} ? {x} ⊂ {x, {x}} ? {x} ⊂ {x}


Cara Pendefinisian Himpunan Enumerasi/Eksplisit Contoh: {“CS”,”IS”,”CE”} Implisit Contoh: {1,2,3,4,…} Simbol baku Contoh: Z = himpunan bilangan bulat Notasi pembentuk himpunan Contoh: D = {x | x ∈ Z, 0 < x < 10} Diagram Venn


1 2

3 A U

Contoh diagram Venn


Kardinalitas Jika himpunan S memiliki elemen berhingga, maka kardinalitas himpunan S dinyatakan dengan |S| Contoh: S = {1,2,3,4}, maka |S| = 4 S = {x | x ∈ Z, 0 < x < 10}, maka |S| = 9 S = {9,9,9,9,9,9,9,9,9,9}, maka |S| = 1 S= {}, maka |S| = 0 S= {{},{{}},{{{}}}}, maka |S| = 3



Himpunan Kuasa Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A. Notasi: P(A) atau 2A A = {1}, maka P(A) = {∅,{1}} A = {1,2}, maka P(A) = {∅,{1},{2},{1,2}} A = {∅,{∅}}, maka P(A) = {∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}}} Jika |A| berhingga, maka |P(A)| = 2|A|



n-‐tuples berurutan Karena himpunan Edak merepresentasikan suatu urutan, maka kita membutuhkan sesuatu yang merepresentasikan koleksi berurutan. Notasi n-‐tuples berurutan menggunakan tanda kurung, sedangkan notasi himpunan menggunakan tanda kurung kurawal. (1,2) berbeda dengan (2,1) (a,b) berbeda dengan (b,a) kecuali a = b. (a,b,c) berbeda dengan (c,b,a) kecuali a = b = c. (a,b) sama dengan (c,d) jika a = c dan b = d. 14 Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan


Perkalian Kartesian

Perkalian Kartesian antara dua himpunan A dan B adalah : A x B = { (a,b) | a ∈ A ∧ b ∈ B } Contoh: A = {a, b} B = {1,2,3} A x B = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)} B x A = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}



Operasi Himpunan


Gabungan (union): A ∪ B A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B}

Irisan (intersecEon): A ∩ B A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B}


Operasi Himpunan


Selisih (difference): B – A B − A = { x ∈ U | x ∈ B ∧ x ∉ A }

Komplemen: Ac

Ac = { x ∈ U | x ∉ A }


Operasi Himpunan


Beda setangkup (symmetric difference): A ⊕ B A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)

Agi Putra Kharisma, ST., MT. 19 Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan

Hukum komuta(f: A∪B = B∪A A ∩ B = B ∩ A

Hukum idempotent: A∪A = A A ∩ A = A

Hukum asosia(f: (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Hukum dominasi: A ∪ U =U A ∩ ∅ = ∅

Hukum distribu(f: A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)

Hukum DeMorgan: (A∪B)c = Ac ∩ Bc (A∩B)c = Ac ∪Bc

Hukum iden(tas: A∪∅ = A A ∩ U = A

Hukum penyerapan: A∪(A∩B) = A A∩(A∪B) = A

Hukum komplemen: A∪Ac = U A∩Ac = ∅

Komplemen U dan ∅: Uc = ∅ ∅c = U

Hukum dobel komplemen: (Ac)c = A

Hukum selisih himpunan: A − B = A ∩ Bc


PembukEan Proposisi Himpunan

•  PembukEan dengan diagram Venn •  PembukEan dengan tabel keanggotaan •  PembukEan dengan aljabar himpunan •  PembukEan dengan definisi



PembukEan dengan diagram Venn

Tunjukkan A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∩ (B ∪ C) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 21 Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan


PembukEan dengan tabel keanggotaan


Tunjukkan bahwa A ∩ (B∪C) = (A ∩ B)∪(A ∩ C)


PembukEan dengan aljabar himpunan

Tunjukkan bahwa: (A ∪ (B ∩ C))c = (Cc ∪ Bc) ∩ Ac

Jawab: (A∪(B ∩ C))c = Ac ∩ (B ∩ C)c hukum De Morgan

= Ac ∩ (Bc ∪ Cc) hukum De Morgan = (Bc ∪ Cc) ∩ Ac hukum komutaEf

= (Cc ∪ Bc) ∩ Ac hukum komutaEf



PembukEan dengan definisi Diketahui A dan B adalah himpunan. Jika A ∩ B = ∅ dan A ⊆ (B ∪ C) maka A ⊆ C. BukEkan. Jawab: i.  Karena A ⊆ (B ∪ C), maka jika x ∈ A, maka x ∈ (B ∪

C). Jika x ∈ (B ∪ C), maka x ∈ B atau x ∈ C. ii.  Jika x ∈ A dan A ∩ B = ∅, maka x ∉ B. Dari (i) dan (ii), x ∈ C harus benar (karena x ∉ B). Karena ∀x ∈ A juga berlaku x ∈ C, maka disimpulkan A ⊆ C.



Referensi Cinda Heeren. CS 173: Discrete MathemaFcs Structure. Kenneth H. Rosen. Discrete MathemaFcs and Its ApplicaFons 7th Ed. Rinaldi Munir. MatemaFka Diskrit edisi keFga. Susanna S .Epp. Discrete MathemaFcs with ApplicaFons 4th Ed. EmoEcons by Kaskus (hjp://kaskus.co.id)


“Learning)is)notchild's)play,)we)cannotlearn)withoutpain...

Documents

Transcript of “Learning)is)notchild's)play,)we)cannotlearn)withoutpain...