UNIVESIDAD MILITAR NUEVA GRANADA

DANIEL GUZMAN - 5800070

EDWIN VALLEJO ESPINOSA - 5800088

FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA INDUSTRIAL

EDGAR RODRIGUEZ

LABORATORIO # 9

PENDULO SIMPLE

27 DE MARZO DEL 2015

CAJICA, CUNDINAMRCA

OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL

Determinar experimentalmente la dependencia del periodo de oscilación de un péndulo simple con la masa oscilante, la amplitud y su longitud, y hallar la aceleración de la gravedad (en el laboratorio) de manera indirecta a partir de las mediciones efectuadas.

MARCO TEORICO ¿Qué es un oscilador y cuáles son sus características?

El oscilador armónico es uno de los sistemas más estudiados en la física, ya que todo

sistema que oscila alrededor de un punto de equilibrio estable se puede estudiar en

primera aproximación como si fuera un oscilador.

La característica principal de un oscilador armónico es que está sometido a una fuerza

recuperadora, que tiende a devolverlo al punto de equilibrio estable, con una intensidad

proporcional a la separación respecto de dicho punto,

Donde k es la constante de recuperación, y es la posición de equilibrio, que sin pérdida

de generalidad podemos tomar .

La fuerza recuperadora es conservativa, por lo que tiene asociado una energía potencial,

¿Qué es un péndulo y en particular, qué es un péndulo simple? ¿Qué lo

caracteriza?

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por

un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y

luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una

circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la

dirección tangencial y en la dirección normal.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son

dos

el peso mg

La tensión T del hilo

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq en la

dirección tangencial y mg·cosq en la dirección radial.

Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su

trayectoria circular.

La segunda ley de Newton se escribe

man=T-mg·cosq

Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q podemos determinar la

tensión T del hilo.

La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de

equilibrio, T=mg+mv2/l

Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq0

Principio de conservación de la energía

En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en

energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.

Comparemos dos posiciones del péndulo:

En la posición extrema θ=θ0, la energía es

solamente potencial.

E=mg(l-l·cosθ0)

En la posición θ, la energía del péndulo es parte

cinética y la otra parte potencial

La energía se conserva

v2=2gl(cosθ-cosθ0)

La tensión de la cuerda es

T=mg(3cosθ-2cosθ0)

La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor

máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad

es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).

Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es at=dv/dt.

La segunda ley de Newton se escribe

mat=-mg·senq

La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a ·l. La

ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial

(1)

¿Bajo qué condiciones a un péndulo simple se le puede considerar como un

oscilador armónico simple?

El oscilador armónico simple es el caso más sencillo, donde únicamente se considera la

fuerza recuperadora. Teniendo en cuenta que , la ecuación (1) nos da la siguiente

ecuación diferencial

Donde los puntos indican derivación respecto del tiempo, y es la frecuencia natural de

vibración.

La solución general a esta ecuación se puede escribir de la forma

Donde A y se obtienen imponiendo las condiciones iniciales.

Energía cinética; la energía cinética de una masa m con un MAS es:

Ec = ½.m.v².

Como v = -w.A.sen (w.t + δ)

Ec = ½.m.w².A².sen² (w.t + δ).

Como w² = K/m

Ec = ½.K.A².sen² (w.t + δ) La energía cinética de un oscilador armónico varía periódicamente

entre un valor mínimo en los extremos (Ec = 0) y máximo en la

posición de equilibrio:

Ec = ½.K.A²

Energía potencial; Sabemos que W = -A.Ep. Si tenemos un cuerpo unido a un resorte que

oscila horizontalmente sin fricción. El W al desplazar el cuerpo desde x hasta una posición

de equilibrio es:

w = -A.Ep = -(Ep.C0) - Ep(x) = Ep(x)

Ep(x) = ½.K.x²

Como x = A.cos (w.t + δ)

Ep = ½.K.A².cos² (w.t + δ) La energía potencial de un oscilador armónico varia desde un valor

mínimo en la posición de equilibrio (Ep = 0) a un valor máximo en

los extremos:

Ep = ½.K.A²

Energía mecánica total:

E = Ep + Ec

E = ½.K.A².cos² (w.t + δ) + ½.K.A².sen² (w.t + δ)

E = ½.K.A².[cos² (w.t + δ) + sen² (w.t + δ)]

E = ½.K.A²

La energía mecánica de un oscilador armónico

permanece constante si no actúan fuerzas

disipativas y su valor es directamente

proporcional al cuadrado de la amplitud:

E = ½.K.A²

¿Qué predicciones teóricas soportan el comportamiento de un péndulo simple?

El péndulo es un sistema masa-hilo: una masa suspendida por un hilo desde un punto fijo.

Cuando se desplaza de su posición de equilibrio un ángulo

Periodo de movimiento:

Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa. Para

determinar el período se utiliza la siguiente expresión T/ N° de Oscilaciones. (Tiempo

empleado dividido por el número de oscilaciones).

Frecuencia de movimiento:

Se define como el número de oscilaciones que se generan en un segundo. Para

determinar la frecuencia se utiliza la siguiente ecuación N° de Oscilaciones. / T (número

de oscilaciones dividido del tiempo)

Amplitud:

Se define como la máxima distancia que existe entre la posición de equilibrio y la máxima

altura.

Ciclo:

Se define como la vibración completa del cuerpo que se da cuando el cuerpo parte de una

posición y retorna al mismo punto.

Oscilación:

Se define como el movimiento que se realiza siempre al mismo punto fijo. Pasemos ahora

al análisis del péndulo simple, un modelo abstracto estrechamente relacionado con el

anterior. Un péndulo es un sistema formado por un cuerpo suspendido de un hilo y que

puede realizar oscilaciones alrededor de una posición de equilibrio estable.

¿Qué montaje experimental se puede utilizar para relacionar el periodo de

oscilación del péndulo simple con su masa, longitud y amplitud?

PÉNDULO SIMPLE

Es un modelo teórico que consiste en la implementación de un objeto de masa m, unido a

un hilo de longitud l y cuya masa sea insignificante con respecto al objeto que está

colgado de uno de sus extremos. En sistemas esféricos, cuando el radio de la esfera es

despreciable con respecto a l y que puede considerarse, por tanto, la esfera como un

punto material, se tiene el caso ideal del péndulo simple, cuyo periodo se convierte en:

Un péndulo simple es un punto pesante, suspendido en un punto fijo por un hilo

inextensible, rígido y sin peso. Es, por consiguiente, imposible de realizarlo, pero casi se

consigue con un cuerpo pesante de pequeñas dimensiones suspendido en un hilo fino.

Algunas condiciones son necesarias que se evalúen, para poder justificar las

características del péndulo simple.

Variaciones del periodo con la amplitud: El periodo de un péndulo varía con respecto a

la amplitud, cuando se trabaja con ángulos muy pequeños, el periodo varía muy poco,

esto físicamente es conocido como la ley del isocronismo.

Variaciones del periodo con la masa del péndulo: Utilizando péndulos de la misma

longitud y de diferentes masas en un mismo lugar se demuestra que el periodo de un

péndulo simple es independiente de su masa, igual ocurre con la naturaleza de la masa

que conforma al péndulo.

Variaciones del periodo con la longitud del péndulo: Si se miden los periodos de un

mismo péndulo simple, haciendo variar únicamente su longitud, se comprueba que, el

periodo de un péndulo simple es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.

Variaciones del periodo con la aceleración de la gravedad: El estudio matemático

indica que el periodo varía con razón inversa de la raíz cuadrada de la gravedad.

El movimiento oscilatorio resultante queda caracterizado por los siguientes parámetros:

Oscilación completa o ciclo: es el desplazamiento de la esfera desde uno de sus

extremos más alejados de la posición de equilibrio hasta su punto simétrico (pasando por

la posición de equilibrio) y desde este punto de nuevo hasta la posición inicial, es decir,

dos oscilaciones sencillas.

Periodo: es el tiempo empleado por la esfera en realizar un ciclo u oscilación completa.

Frecuencia: es el número de ciclos realizados en la unidad de tiempo.

Amplitud: es el máximo valor de la elongación o distancia hasta el punto de equilibrio,

que depende del ángulo entre la vertical y el hilo.

¿Qué gráficas se pueden y se deben realizar?

Se debe graficar la longitud de la cuerda vs el periodo para hallar la relación de estas

variables.

¿Qué análisis y qué resultados se obtienen a partir de las gráficas?

La longitud de la cuerda de nuestro péndulo deberá ser proporcional al cuadrado del

periodo del péndulo.

DESCRIPCION D E LA PRÁCTICA

Cuelgue en el soporte universal un péndulo simple de una longitud de 1 m.

Elegimos un ángulo de desviación para el péndulo menor a 200 desde la posición de equilibrio y déjelo oscilar unas 10 veces. Luego calculamos el valor promedio del periodo de oscilación.

Se repitió la operación para unas diez longitudes diferentes, y representamos en una tabla las parejas periodo – longitud.

Realizamos una gráfica en papel milimetrado de periodo (T) en función de la longitud (L). Y como no es una línea recta se procedió a realizar una gráfica en papel logarítmico.

DATOS PARA EXPERIMENTO La tabla a continuación nos muestra 8 longitudes diferentes y el tiempo promedio de 10 oscilaciones.

L(M) t1(S) t2(S) t3(S) t4(S) t5(S) Promedio t(S)

0,15 7,55 7,53 7,56 7,51 7,51 7,532

0,25 9,78 9,88 9,92 9,77 9,8 9,83

0,34 11,22 11,52 11,51 11,57 11,52 11,468

0,46 13,27 13,04 13,12 13,26 13,16 13,17

0,52 13,78 13,8 13,74 13,67 13,7 13,738

0,585 14,83 14,74 14,76 14,7 14,66 14,738

0,665 15,57 15,79 15,71 15,8 15,72 15,718

0,72 16,34 16,48 16,49 16,59 16,42 16,464

En esta tabla encontramos el periodo experimental y el periodo teórico calculado con la ecuación:

𝑇 = 2𝜋√𝐿

g=

2𝜋

√𝑔𝐿

1

2 = 𝐴𝐿1

2

L(M) T(EXP) T(CUADRADO) T(TEORICO)

0,15 0,7532 0,56731024 0,7773

0,25 0,983 0,966289 1,003

0,34 1,1468 1,31515024 1,17

0,46 1,317 1,734489 1,361

0,52 1,3738 1,88732644 1,447

0,585 1,4738 2,17208644 1,535

0,665 1,5718 2,47055524 1,636

0,72 1,6464 2,71063296 1,703 Graficas: Gráfica del periodo experimental contra la longitud de cada uno de los experimentos.

Grafica del periodo al cuadrado contra las longitudes de cada uno de los experimentos.

COMPARANDO:

𝑇 = 2𝜋√𝐿

g=

2𝜋

√𝑔𝐿

12 = 𝐴𝐿

12

𝑇² = 𝐴²𝐿 𝑇² = 𝐵𝐿 𝑌 = 𝐵𝑋 Grafica de T vs L evaluando (x) con el valor de cada una de las longitudes

y = 1.922(𝑥)0.4896

y1 = 1.922(0.15)0.4896 = 0.7592

y2 = 1.922(0.25)0.4896 = 0.9749

y3 = 1.922(0.34)0.4896 = 1.1333

y4 = 1.922(0.46)0.4896 = 1.3141

y5 = 1.922(0.52)0.4896 = 1.3954

y = 1,922x0,4896

R² = 0,9988

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

T vs L

y = 3,6766x + 0,0321R² = 0,9984

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

T² vs L

y6 = 1.922(0.585)0.4896 = 1.4782

y7 = 1.922(0.665)0.4896 = 1.5740

y8 = 1.922(0.72)0.4896 = 1.6364 Grafica de T² vs L evaluando (x) con el valor de cada una de las longitudes

y = 3.6766(𝑥) + 0.0321

y1 = 3.6766(0.15) + 0.0321 = 0.5835

y2 = 3.6766(0.25) + 0.0321 = 0.9512

y3 = 3.6766(0.34) + 0.0321 = 1.2821

y4 = 3.6766(0.46) + 0.0321 = 1.7233

y5 = 3.6766(0.52) + 0.0321 = 1.9439

y6 = 3.6766(0.585) + 0.0321 = 2.1829

y7 = 3.6766(0.665) + 0.0321 = 2.4770

y8 = 3.6766(0.72) + 0.0321 = 2.6792 CALCULO DE ERRORES

ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO ERROR PORCENTUAL (%)

0,0241 0,031 3,1

0,02 0,020 2,0

0,0232 0,020 2,0

0,044 0,032 3,2

0,0732 0,051 5,1

0,0612 0,040 4,0

0,0642 0,039 3,9

0,0566 0,033 3,3

ANALISIS DE RESULTADOS

El periodo varia cuando modificamos la longitud ya que a medida que

aumentamos la longitud, aumentaba el periodo, y por el contrarío si se disminuía

L, el periodo también disminuía.

El periodo varia cuando modificamos la aceleración de la gravedad el periodo

disminuye, y si la gravedad disminuye, el periodo aumenta.

Comencemos con la primera tabla, en esta vemos muy bien que el periodo y la

longitud son directamente proporcionales, esto quiere decir que a apenas aumenta

la longitud el periodo también aumenta. Lo anterior mirando la tabla ahora

coloquemos una definición más adecuada; el periodo de un péndulo es

directamente proporcional a la raíz cuadrad de la longitud, esto viendo la formula.

Ahora vemos que para el péndulo en pequeñas oscilaciones hay un cambio

muy pequeño, esto se debe más a los errores de las tomas de medidas en la

práctica, ya que, la verdadera definición es que a pequeñas oscilaciones el periodo

es igual.

CONCLUCIONES

Experimentalmente es un poco complicado tener valores exactos, pero lo mejor es tener valores lomas cercano posibles.

La aceleración de la gravedad es fácil obtenerla, si tenemos un péndulo simple en cualquier parte, eso si debemos ser muy cuidadosos con las medidas para no tener un porcentaje de error muy grandes.

La naturaleza no afecta el periodo, lo que afecta es si se cambia la masa.

Las pequeñas oscilaciones no deben afectar el periodo de un péndulo.

BIBLIOGRAFIA

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/

http://aplicaciones.colombiaaprende.edu.co/

http://www.monografias.com/