UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERÌA ELÈCTRICA Y ELECTRÓNICA

FISICA II

LABORATORIO N O 2

CICLO: 2012 – II

PROFESOR:

• WATERS TORRES, OSWALDO • RODRIGUEZ, ISABEL

INTEGRANTES:

• Domínguez Castillo, Inés 20122100D • Cormán Hijar, Jim Irvin 20122052J • Calero Remigio, Nelio Geraldo 20120071G

2012

II- TÍTULO: PÉNDULO FÍSICO Y TEOREMA DE STEINER

III- FUNDAMENTO TEÓRICO:

En cualquier cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un eje paralelo al eje que pasa por el centro de masa del sólido bajo la acción de gravedad se puede obtener el periodo de oscilación dela siguiente manera:

Analizamos el siguiente gráfico:

De él podemos formular ciertos conceptos vistos anteriormente.

��� = � ��� = −�� sin �

Donde � es el momento de inercia respecto al eje que pasa por O, � masa del sólido y la distancia de O a CM.

Pero cuando � es muy pequeño entonces se puede hacer la siguiente aproximación sin � ≈ � por lo tanto remplazando en la ecuación se tendría:

��� + ��� = 0

�� + ��� � = 0

Pudiendo comparar esta ecuación con la ecuación: �� + ��� = 0 que es la ecuación del MAS demostrando así que el movimiento angular oscilatorio es

armónico simple con �� = ���� . Por consiguiente el periodo � = 2�� �

��� que es

la ecuación con el que se va a realizar el análisis a partir de los T experimentales obtenidas en la sesión de laboratorio sólo que en este caso el cuerpo a analizar es una barra homogénea con huecos. Los momentos de inercia con respecto alos ejes perpendiculares se pueden determinar a partir de la ecuación del periodo líneas arriba, pero es imposible determinar el momento de inercia alrededor del eje que pasa por el C.G. por este método. Por lo tanto estamos forzados a utilizar un método indirecto el TEOREMA DE STEINER que s expresa de la siguiente forma:

� = �� +�� Donde �� es el momento de inercia respecto al centro de masa y � la masa de la barra.

IV- PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:

a) Materiales:

Una barra metálica de longitud 109,5cm

Un soporte de madera con cuchilla.

Dos mordazas simples

Un cronómetro digital

Una regla milimetrada

b) Procedimiento:

1-Sujetar sobre la mesa el soporte, y sobre él, suspender la barra de la

siguiente manera, con el fin de hallar el centro de gravedad de la barra.

2-Suspender la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y procedemos a hacerla oscilar separando su posición de equilibrio no más de 15°.tomamos nota los tiempos cada 20 oscilaciones y los tres últimos agujeros adyacentes al C.G sólo 10 oscilaciones; tomamos nota también la distancia del C.G a cada agujero del que hacemos oscilar la barra.

3- Tomar todas las dimensiones de la barra y su masa.

Centro de giro

Centro de

gravedad

L Centro de

gravedad

L

Centro

de giro

MESA

BARRA

SOPORTE

CENTRO DE GRAVEDAD

VI- DATOS EXPERIMENTALES:

# de Hueco

Longitud !(cm) "#$%& "'$%& "($%& # de oscilaciones

Periodo T

1 51.1 ± 0.05 33.78 33.56 33.53 20 1.681 2 45.9 ± 0.05 32.89 32.90 32.93 20 1.645 3 41.0 ± 0.05 32.26 32.21 32.23 20 1.612 4 35.9 ± 0.05 31.53 31.49 31.75 20 1.580 5 31.3 ± 0.05 31.83 32.08 32.03 20 1.599 6 26.0 ± 0.05 32.09 32.25 32.08 20 1.607 7 20.9 ± 0.05 33.31 33.33 33.32 20 1.667 8 15.9 ± 0.05 17.92 17.72 17.11 10 1.758 9 11.0 ± 0.05 20.29 20.16 20.39 10 2.028 10 5.9 ± 0.05 26.62 26.78 26.56 10 2.665

• M=masa de la barra con agujeros

• m= masa de un cilindro solido, cuyo volumen es igual al volumen de un agujero de la barra y cuya densidad es la misma que la de la barra.

• M+21m=masa de una barra solida sin agujeros.

• Z= distancia entre los centros de dos agujeros consecutivos.

• L= distancia entre el C.G. de la barra y el eje de giro “O”

VOLUMEN V1=VOLUMEN DE LA BARRA CON AGUJEROS

ArCBAV 221..1

π−=

Reemplazando los datos: V1=(0.7)(4.15)(109.5)-21(3.14)(0.752)(0.7) V1=292.13cm3 DENSIDAD(δ )

331

48.613.292

5.1894cm

grcm

gr

V

M ===δ cmz

cmr

grM

cmC

cmB

cmA

agujeros

5

75.0

5.1894

5.109

15.4

7.0

21#

==

====

=

II- CÁLCULOS Y RESULTADOS:

1.- Tabla realizada en el laboratorio.

# de Hueco

Longitud !(cm) "#$%& "'$%& "($%& # de oscilaciones

Periodo T

1 51.1 ± 0.05 33.78 33.56 33.53 20 1.681 2 45.9 ± 0.05 32.89 32.90 32.93 20 1.645 3 41.0 ± 0.05 32.26 32.21 32.23 20 1.612 4 35.9 ± 0.05 31.53 31.49 31.75 20 1.580 5 31.3 ± 0.05 31.83 32.08 32.03 20 1.599 6 26.0 ± 0.05 32.09 32.25 32.08 20 1.607 7 20.9 ± 0.05 33.31 33.33 33.32 20 1.667 8 15.9 ± 0.05 17.92 17.72 17.11 10 1.758 9 11.0 ± 0.05 20.29 20.16 20.39 10 2.028 10 5.9 ± 0.05 26.62 26.78 26.56 10 2.665

2.- a. Gráfica de T vs !,(T en el eje vertical y ! en el eje horizontal)

T vs ! (T eje vertical - eje horizontal)

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0

b. A partir de la ecuación ) = '*� +,-! con I dada por la ecuación + = +./ +

,!' encuentre el valor de ! para que el periodo sea mínimo.

CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia de la barra mostrada respecto al eje que pasa por “O” será(�0) igual al Momento de inercia de la barra solida ( sin agujeros “� ” ) respecto al eje que pasa por “O” menos el Momento de inercia del conjunto de cilindros solidos (agujeros de la barra “��”)respecto al eje que pasa por “O”.

Entonces la ecuación será:

210 III −= …….. (I)

Hallando 1I :

Usando el momento de inercia de un paralelepípedo y el teorema de Steiner, tenemos:

2221 )21()(

12

21LmMCB

mMI ++++= ………(II)

Donde “L” es igual a la distancia entre el centro de gravedad “C.G” y el eje de giro “o”

Ahora hallamos 2I .

Sea el siguiente grafico la representación de todos los cilindros solidos, faltantes en la barra con huecos.

Datos:

m= masa de cada cilindro

cilindrovm ×= δ

grm 01.87.0)75.0(14.348.6 2 =××=

Centro de gravedad del conjunto de

cilindros “C.G”

El cilindro “a” se encuentra de color rojo

para diferenciarlo por coincidir con el C.G

r=radio=0.75

Z=distancia entre los centros de dos cilindros consecutivos.

Z=5 cm

El momento de inercia del conjunto de cilindros sólidos respecto al centro de gravedad del conjunto, será igual a la suma de los momentos de cada uno de los cilindros respecto del centro de gravedad del conjunto de cilindros.

Las siguientes ecuaciones representan los momentos de inercia respecto del centro de gravedad “C.G” (utilizando momento de inercia de un cilindro y el teorema de Steiner).

2

2

2

2

2

)10(

)3(

)2(

)(2

zmII

zmII

zmII

zmII

rm

I

ak

ad

ac

ab

a

+=

+=

+=

+=

=

M

Sea ∑ GCI . =momento de inercia del conjunto de cilindros respecto su centro de

gravedad.

Entonces ∑ GCI . será la sumatoria de todos los momentos de inercia de todos

los cilindros respecto “C.G”:

22.

2.

2222.

222.

.

7702

21

77021

)1021(221

))10()2()(10(2

:

)(2

mzrm

I

mzII

mzII

zmzmzmIII

operando

IIIIII

GC

aGC

aGC

aaGC

kdcbaGC

+=

+=

++++=

+++++=

+++++=

∑

∑∑∑

∑

K

K

K

Por lo tanto:

22. 770

221 mzr

mI GC +=∑

Ahora mediante el teorema de Steiner hallamos el momento de inercia del conjunto de cilindros respecto de un centro de giro “o”( 2I ) paralela al “C.G”.

Se tendrán que duplicar, pues solo representan los

cilindros sólidos ubicados al lado derecho del

centro de gravedad y para tener en cuenta los del

lado izquierdo (por ser simétrica la barra) solo

tendremos que multiplicar por dos.

2222 21770

221I mLmzr

m ++= ………….(III)

Remplazando (II) y (III) en (I) tenemos:

210 III −=

0I = 222 )21()(12

21LmMCB

mM ++++-( 222 21770

221 mLmzr

m ++ )

Por lo tanto 0I representa el momento de inercia de la barra con agujeros

respecto un eje que pasa por “O”.

CALCULO DEL PERIODO MINIMO

A partir de la ecuación MgL

IT 02π=

Con 0I = 222 )21()(12

21LmMCB

mM ++++-( 222 21770

221 mLmzr

m ++ )

Encontramos un valor “L” para el cual el periodo sea mínimo.

Remplazando las ecuaciones tenemos:

MgL

mLmzrm

LmMCBmM

T)21770

221()21()(

12

21

2

222222 ++−++++

= π

Para que el periodo sea mínimo aplicamos el criterio de la primera derivada:

Derivando:

3222222

222222

)()217702

21()21()(12

21

))217702

21()21()(12

21()42)21(2(2

MgLmLmzrm

LmMCBmM

mLmzrm

LmMCBmM

MgMgLmLLmM

L

T

++−++++

++−++++−−+=

∂∂

π

Si 0=∂∂

⇒L

TTmínimo

Despejando “L” tenemos M

mzrm

CBmM

L)770

221()(

1221 2222 +−++

= ….(β)

Analizando la anterior relación: “L” es igual a la raíz cuadrada de la relación entre el momento de inercia ,del objeto en análisis respecto su centro de gravedad, y su masa.

Remplazando datos en (β):

cmLteorico 75.315.1894658.1909754 ==

Hallamos “T” en

MgL

mLmzrm

LmMCBmM

T)21770

221()21()(

12

21

2

222222 ++−++++

= π

Remplazando datos: sTteorico 58.1=

c. Compare el valor de ! obtenido en b. con el que obtiene de la gráfica en a

Del gráfico obtenido en a. se tiene a encontrar por proporcionalidad aproximadamente los datos que aparecen en el recuadro siguiente.

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0

Pe

rio

do

T

Longitud

Series1

Experimentalmente. Teóricamente

“T” mínimo =1.578s

“T” mínimo = 1.580s

“L”= 35.86 cm “L”=31.75 cm

d. ¿Cuál es el periodo para esta distancia?

La respuesta a esta pregunta yace en la respuesta de b.

Experimentalmente. Teóricamente “T” mínimo =1.578s

“T” mínimo = 1.580s

“L”=35.86 cm “L”=31.75 cm

e. De su gráfico, ¿Puede deducir dos puntos de osci lación con el mismo periodo? Indíquelos.

Las intersecciones de las rectas en color rojo nos indican dos longitudes en el cual el periodo es el mismo. Estas longitudes aproximadamente son: 26.78cm y 40.00cm donde el periodo en común es 1.608s.

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0

Pe

rio

do

T

Longitud

Series1

3.- Con el valor de T conocido experimentales, encu entre, utilizando la

relación ) = '*� +,-! , el valor de I y llene la tabla 2 con la siguient es

características.

Resol. TABLA 2

# de hueco eje de oscilación

L(cm) T2(s2)

Momento de

inercia

(kg.1023*m2)

L2 (cm2)

1 51.1 2.8258 67976.7203 2611.21

2 45.9 2.7060 58471.5166 2106.81

3 41.0 2.5985 49893.9956 1681.00

4 35.9 2.4964 42190.2893 1288.81

5 31.1 2.5568 37433.5511 967.21

6 26.0 2.5824 31608.2711 676.00

7 20.9 2.7789 27341.5471 436.81

8 15.9 3.0906 23133.6311 252.81

9 11.0 4.1128 21297.7712 121.00

10 5.9 7.1022 19726.4434 34.81

4.- HAGA EL GRAFICO 4# vs 5' Y AJUSTELO POR EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS CUANDO LOS PUNTOS OBTENIDOS ESTEN MUY DISPERSOS.

Grafico de I vs l�

y = 18.686x + 18888

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

0 1000 2000 3000

Tít

ulo

de

l e

je

Título del eje

Series1

Lineal (Series1)

Lineal (Series1)

5.-DEL GRAFICO ANTERIOR Y POR COMPARACION CON LA E CUACION (13.2). DETERMINE IG Y M

• Podemos deducir de la ecuación 14.2 que cuando la distancia es cero I = I8.: por lo que remplazando el valor de l por cero por lo tanto I8.: es igual a 0.18888 xkg.m�

6. COMPARE EL VALOR DE I G OBTENIDO EN EL PASO 5CON EL VALOR DE LA FORMULA ANALITICA PARA UNA BARRA DE LONGITUD L Y

ANCHO b, IG= ,$>'?@'&

#' .¿QUÉ ERROR EXPERIMENTAL OBTUVO? ¿QUE

`PUEDO DECIR ACERCA DE LA MASA?

IG= .ABC3$ .0B3D?0.0EB3D& �

IG = 0.1895

• Podemos decir que el error experimental es de 0.35%

7. HALLE LA LONGITUD DEL PENDULO SIMPLE EQUIVALENTE , PARA ESTE CALCULO SOLICITE AL PROFESOR QUE LE ASIGNE UN NUMERO DE HUECO.

• Utilizo la siguiente ecuación:

� = 2�� ��

Tomamos el punto 5 como referencia

Tenemos que para el péndulo equivalente o simple y como el periodo en I3 = 2.5568 entonces el péndulo equivalente tiene longitud a 0.635 m

Periodo (T) Longitud

(l)

1,681 0,70217

1,645 0,67242

1,612 0,64571

1,58 0,62033

1,599 0,63533

1,607 0,64171

1,667 0,69052

1,758 0,76797

2,028 1,02198

2,6653 1,76483

8.-DEMOSTAR EN FORMA ANALÍTICA LAS RELACIONES (13.1 ) Y (13.2)

El péndulo físico es un sistema con un sólo grado de libertad; el correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo ZZ′ (Figura 1). La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación (ZZ′) y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación.

Llamaremos “ ” a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de rotación ZZ′. Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo , actúan sobre él dos fuerzas ( y ) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ′ es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ′, en el sentido negativo del mismo; esto es:

Si es el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y

llamamos a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo:

Que podemos escribir en la forma:

Que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple.

En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner sen θ ≈ θ y la ecuación [3] adopta la forma

Que corresponde a un movimiento armónico simple.

El periodo de las oscilaciones es

(13.1)

(Fig.1)

Se asumirá, sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a través del centro de masas, es:

El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicular r a lo largo del eje x del centro de masas, es:

Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:

El primer término es Icm, el segundo término queda como mr2, y el último término se anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda como:

(13.2)

VIII- OBSERVACIONES Y DISCUSIONES:

A partir del experimento analizado se puede comprobar la validez de las ecuaciones estudiadas teniendo una aproximación muy buena. Claro está que dicho error ha sido por causas ambientales y por la velocidad de reacción del que controla el cronómetro.

IX- CONCLUSIONES:

El cálculo de momento de inercia para cuerpos que no presentan geometría conocida, es más fácil calcularlo utilizando el péndulo físico.

En un péndulo físico, cuanto mas se acerca el eje de oscilación al centro de gravedad, su periodo disminuye luego aumenta.

En un péndulo físico y simple el ángulo de giro debe ser mucho menor a 15 grados, para que sea un M.A.S (movimiento armónico simple) y si es mayor a esta se da un M.A.A (movimiento armónico amortiguado).

En el experimento se pudo hallar la longitud de un péndulo simple equivalente a la barra metálica, utilizando previamente el periodo experimental.

En el experimento se pudo poner a prueba las formulas de péndulo físico hechas en clases.

En el desarrollo del laboratorio nos dimos cuenta que existe fuerzas que no se consideran en los resultados como son la temperatura, la fuerza de fricción del aire.

X- REFERENCIAS:

• MARCELO ALONSO Y EDWARD J.FINN, Física Volumen I. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. Edición en español, 1986.

• BURBANO DE ERCILLA, BURBANO GARCÍA, CARLOS GRACIA. Física general editorial Tébar, 32ª edición.