Laboratorijske Sau

8/18/2019 Laboratorijske Sau

1/17

Osnove automatskog upravljanja

DRUGA LABORATORIJSKA VEŽBA IZ OSNOVA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

Za sistem automatse regulacije date jednačinom ponašanja otvorenog kola:

)()()()()()(..

2

.

100

.

1

..

2 t ebt ebt ebt xat xat xa iii ++=++

Potrebno je odrediti:a) Prenosnu unkciju otvorenog kola

b) !rekventnu karakteristiku otvorenog kolac) Za 1=ω analitički i gra ički odrediti )()"()"(#m)"($e ω ϕ ω ω ω OK Aok Fok Fok i

nacrtati:a) %mplitudno rekventnu karakteristiku otvorenog kola

b) &odogra rekventne karakteristike otvorenog kolac) 'ogaritamsko rekventnu karakteristiku otvorenog kola

a2 a1 a0 b0 b1 b22 1 1 2 0

)()()()()()(..

2

.

100

.

1

..

2 t ebt ebt ebt xat xat xa iii ++=++

)(2)(1)()(2)(....

t et et xt xt x iii +=++

)(2)()()(2)( 2 seS se s x s xS s xS iii +=++

1221

)()(

2 +++=

S S S

se s xi

a) Prenosna unkcija:12

21)( 2 ++

+=S S S

sWok

b) !rekventna karakteristika: ! * (jω) + , * (s) (s+j ω)

ω ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω ω

j j

j Fok

2)-(12)-(1

2)-(1 j21

1 j2)(j2j1) j( 2

2

22 −−⋅++=+++=

222

22

)-(1/221

) j(ω ω

ω ω ω ω ω ω ++−+−−= j j j Fok

222

2

)-(1)/()1(

) j(ω ω

ω ω ω +−+= j Fok

222

2

)-(11

)($eω ω

ω ω ++= Fok " 222 )-(1

/)(#m

ω ω ω ω +

−= Fok 22 )(#m)($e)( ω ω ω Fok Fok Aok +=

2

222

2

222

2

)-(1/

)-(11)(

+−+

++=

ω ω ω

ω ω ω ω Aok

Jakovljević Vladimir 26/031


2/17


222

/2

)-(1/12

)(ω ω

ω ω ω ω ++++= Aok

( )( )

+

−=

++

+−== 2222

2

222

1/

)-(11

)-(1 /

$e#m

)(ω ω

ω ω ω

ω ω ω

ω ω

ω ϕ arctg arctg Fok Fok

arctg Ok

c) Za 1=ω 2.0

32

)-(111

)1($e 2 ==++==ω Fok

4.03

/)1(#m −=−===ω Fok

45.03

03

121/)1( ==+++==ω Aok

( ) rad arctg arctg Ok 2.1/.412/

)1( −=−=−=−== ω ϕ

)()()()( )(

s x sWok x sWok s x

xuS i

u

i ⋅=⇒=

11

1221

22 +⋅+++=

S S S S

xi "=)( t x i

' -1 ++++

)2)(1(1

22 S S S S

=)( t x i

' -1( ) +

++

+⋅

521

1

21

2

22 S S

S

=)( t x i 2

' -1( ) +

+⋅+

+

521

1

21

22 S S

S

"

( ) ( )[ ]2222 β α ω δ

++⋅++S S

S

( ) rad arctg arctg arctg arctg 35.114.0.0

.02

2112

222221 =−+⋅−=−+−= ω β α

αω δ ω θ

( ) ( ) ( ) 35.0152

.0.0222

2222222 =

−++⋅=−++= ω β α αω γ

( ) rad arctg arctg arctg arctg 0.114.0.04.0.02

.035.04.02

222222 =+−⋅⋅+−=+−+−= ω β α

αβ α γ

β θ



3/17


( ) ( ) ( ) ( ) ( )t ht et t x t i +

+−++

+= − 2

21

22

1

21

22

sin1

sin12 θ β

γ β α δ

β θ ω

γ ω δ

ω α

( ) ( ) ( ) ( )t ht et t x t i +

+

−

++

+

= − 0.14.0sin35.0

4.0((.02

1

4.0

135.1sin

35.0

12

1

(

2 ((.0

2

1

2

22

12

( ) ( ) ( ) ( )t ht et t x t i +++= − 0.14.0sin12.135.1sin15.12 .02

1

( ) ( ) ( )[ ]( )t het t t x t i .043.0.0sin/.2sin0 052/.1 −⋅−++=

/ 2 3 / 2 2

1

-1

Xi(t)

tXi(t)

ok ( =1)

a) %mplitudno rekventna karakteristika

222

/2

1/)2(

11//

ω ω ω ω ω

+−+++

= Aok



4/17

Osnove automatskog upravljanjaω 2.. 2 1. 1 0. 0.2 0 -0.2 -0. -1 -1. -2 -2. -

)(ω Aok 0.2 0. 0. 0. 0.4 0.3 0./ 0. 0./ 0.3 0.4 0. 0. 0. 0.2

b) &odogra rekventne karakteristike otvorenog kola

222

2

1/)2(32

)($eω ω

ω ω +−

+= Fok " 222 1/)2(122

)(#mω ω

ω ω ω +−

−= Fok

ω 0 0.2 0. 0.4 1 1.2 1. 2)($e ω Fok 1 0./ 0.3 0.4 0. 0. 0.2 0.1 0

(#m ω Fok 0 0 -0.1 -0. 5 -0. -0. -0. -0. -0.2


ω


5/17


ω

ω

c) 'ogaritamsko rekventna karakteristika:

21

)( 2 +++=

S S S

sWok "( )

122

11

21

)( 2++

+=S

S S sWok

21 Wok Wok Wok Wok ⋅⋅=

1) 21

)(1 = sWok

0)(#m"21

)($e21

)( 111 ==⇒= ω ω ω Fok Fok j Fok

0$e#m

00

020/./21

log20

#m$e"21)(

1

1

221

==

==

−==

+==

arctg

arctg

Lok

A Aok

OK

ϕ

ϕ

ω

2) 1

1)(1 22S

sWok S Wok +=⇒+=



6/17


2

2

22

2

11)(

)(#m"1)($e

11)(

+=

==

+=

ω ω

ω ω ω

ω ω

Aok

Fok Fok

j j Fok

ω ω ϕ

ω ω

ω

ω ω

)(

1"

1log20

1"01log20

)(log20)(

2

22

21

22

arctg

Lok

Lok

Aok Lok

OK =

>>=


7/17


( )

( )

−−∈>>

−−−

−∈


8/17


TREĆA LABORATORIJSKA VEŽBA IZ OSNOVAAUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

Za sistem dat prenosnom unkcijom kola:

212 ++

+=S S S Wok

a) %nalitički odrediti i gra ički prika7ati jedinični od7iv pri svim početnim uslovima jednakim nuli.

b) drediti jednačinu stanja i jednačinu i7la7a.c) drediti kretanje u slobodnom radnom re8imu.d) #spitati stabilnost primenom:

• 9eoreme stabilnosti• &urvicovog kriterijuma

• ajkvistovog kriterijuma• ;odeovog kriterijumae) drediti pojačanja i statičke greške

) %ko regulator pripada sistemima nultog reda P < dejstva sa jediničnim pojačanjem ispitati• =pravljivost objekta• #7la7nu upravljivost objekta• smotrivost objekta

g) #7abrati regulator koji >e obe7bediti nultu vrednost po7icione statičke greške.

a) 21)( 2 +++= S S S sWok



9/17


−+⋅

+⋅=

++⋅

+⋅=

=++⋅

+=⋅=

+++=

++++

+++

=+=

222

2

2

2

2

)31

()34

(

1

)4(

)1

()(

1)("

)4(

1)()()(

41

21

1

21

)(1)(

)(

S S

S

S S S

S s x

S

s x

S S S

S s x sW s x

S S S

S S S

S S S

sWok sWok

sW

uui

⋅== )()( t g t xi ' -1

−+⋅

+

)31

()34

(

1

22S S

S

"

)( 22 β α γ

++⋅+

S S S

( ) ( ) )(sin1 2222

22 t ht e t

⋅+⋅⋅⋅+

+−⋅+

+− θ β

β α β α γ

β β α γ α

rad arctg arctg 1.0=−⋅−

−⋅=

α β

α γ β

θ

=⋅

+⋅−⋅⋅

−

−

−

⋅

−+

−

−)(1.0

31

sin

31

34

31

341

31

1

31

34

1

3

4

22

22

22 t ht et

)(1.031

sin5..0 34

t ht et

⋅

+−⋅⋅−=

−

)(1.031sin5..0)( 3

4t ht et x

t

i ⋅

+−⋅⋅−⋅= −

)(1.031

sin/4..0)( 34

t ht et xt

i ⋅

+−⋅⋅−=

−

t .

π

2

π

.

π π .

π

)( t x i 0. 0. 0.2 0.2 0.2


π/4 π/2 π3π/4 5π/4


10/17


b) 41

)()(

)( 2 +++==

S S S

s x s x

sW u

i

1""0

"4

"1

)(1

)()()(4

)(

:?)()()()(4)(

012

012

....

2

===

===

+=++

+=++

bbb

aaa

t xt xt xt xt x

sSx sSx s x sSx s xS

uuiii

uuiii

+−

−=

1)(0

14

)( @

.

@ t xt xi jednačina stanja

[ ] )(0)(01)( @

t xt xt x ui ⋅+⋅= jednačina i7la7a

c) ( ) 11 −− =− P ASI

( )

adjP P

P

S

S

S

S ASI

det1

14

0

14

0

0

1 =

−+=−

−−=−

−

414

det 2 ++=−+

= S S S

S P

" ( )

+−⋅

++=− − 4

141

2

1

S

S

S S ASI

4"

1"

2212

2111

+==

−==

S A A

AS A



11/17


A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

++

+

++−

++++=Φ

4

4

41

44

)(

22

22

S S

S

S S

S S S S

S

t

A A A A =Φ )(11 t ' -1=

++ 42 S S S

' -1222

2 )(

31

)34

(

0β α

γ ++

+⇒

−+

+S

S

S

S

( ) ( ) ( ) +−⋅⋅⋅−=+⋅⋅⋅⋅+−=Φ −− 1.0

31sin)(4.1sin)( 3

422

11 t t het t het t t θ β

β β α γ α

A rad arctg arctg 1.0

34

0

31

=−

−=−= α γ

β θ

=Φ )(12 t ' -1

=

++42

S S ' -1

2222 )(

31

)34

(

β γ α

++⇒

−+ S

S

A A A A( ) ( ) ( )

−⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅=Φ

−− t t het t het t t

31

sin/sin 34

12 β β α γ

A A A =Φ )(21 t ' -1=

++−4

12 S S

' -1222

2 )(

31

)34

(

1β γ

α ++⇒

−+

−S

S

A A A A( ) ( ) ( )

−⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅=Φ

−− t t het t het t

t

31

sin1.0sin 34

21 β β α γ

A A A A =Φ )(22 t ' -1

=++

+4

4

2 S S

S

' -1

2222 )(

31

)34

(

4

β α γ ++

+⇒

−+

+

S S

S

S

rad arctg arctg 1.0

344

31

−=−

−=−= α γ

β θ

A A A A ( )( )

( )

−−⋅⋅⋅−=+⋅⋅⋅⋅+−

=Φ −−

1.03

1

sin)(4sin)( 3

422

22 t t het t het

t t

θ β β

β α γ α



12/17


⋅ΦΦΦΦ=

2221

1211

20

100 )()(

)()()6(

X

X

t t

t t xt x

=Φ+ΦΦ+Φ=

2221

1211

)(

)(

)()(

)()()6(

2

1

2010

20100

@ t X

t X

X t X t

X t X t xt x

20102

20101

)()()()()()(

X t X t t X X t X t t X

2221

1211

Φ+Φ=Φ+Φ=

d) 9eorema stabilnosti 0det ≠

1o $eBi ≤ 0- 7a sistem :

212 ++

+=S S S

W

- karakterističan polinom: 02 2 =++ S S

stabilan jeSistem R

iS

e ⇒−=

±−=−±−=

21

21

321/

2?1

• &urvicov kriterijum

2""

2)(

012

2

===++=aaa

S S s f " 02.

0. >

0/

0

2

1

>=∆>=∆

Crugi uslov je 7adovoljen6 pa je sistem i prema ovom kriterijumu stabilan.• ajkvistov kriterijum

02 2 =++ S S

21

321/

2?1i

S ±−=−±−=

- tvoreno kolo sistema je stabilno pa se primenjuje poseban ajkvistov kriterijum.



13/17


ω

ω

ω

Ca bi sistem bio stabilan potrebno je i dovoljno da Dodogra rekventne karakteristike7a )60( +∞∈ω otvorenog kola sistema ni jedan put ne obuDvata kritičnu tačku (-16 j 0) niti

prola7i kro7 nju.Bistem je stabilan po ovom kriterijumu.

• ;odeov kriterijumPošto je otvoreno kolo sistema stabilno6 primenjuje se poseban ;odeov kriterijum.

- =slov:a7no < rekventna karakteristika )( Eω ϕ OK otvorenog kola regulisanja nema ni jednu

7ajedničku tačku sa pravama π ω ϕ )12( + 6 7a sve vrednosti Eω 7a koje je 0)( E >ω Lok .



14/17


−π/2

−π 3

ω

π

π/2

[ ]

2

ω

e) Pojačanje i statičke greške

412 ++

+= S S

S W



15/17


04 2 =++ S S "1

314

3354

2?1

−=

±−=−±−=

e R

S

$ealni delovi su manji od nule ($eF0) pa se mo8e primeniti druga granična teorema laplasa:

0"2

0"1

1"0

4.1lim

)(lim

20)$e(

0

0

==

==

==

++

+⋅=

=

>

→

→

k r

k r

k r

S S S S k

sW S k

r

S S

r

S

Btatičke greške:• Po7iciona statička greška

( )

211

4.1

1lim

4.

111lim)()(lim)(lim

20

200)$e(

00)$e(

0

=−=

+++−=

+++

⋅−⋅=−=⋅=

→

→≥→≥→

S S

S

S S

S

S S S s X s X s S

S SP

S ii!

S S

S S

SP

ε

ε

• ;r7inska statička greška

∞=

++

++⋅=⋅=

≥→

2..1

1

11)(

1lim

2

20)$e(

0

S S

S S s

S S

S Sbε

• %ciklometrijska statička greška

∞=

++++

⋅=⋅=≥

→

2..11

11)(

1lim

2

20)$e(

0

S S S S

s S S S

Saε

) =pravljivost objekta


ž


16/17


1""

1"1"1

)(1

)(2

11

:?)()(2

01012

....

....

=====+=++

+=++

bbaaa

t "t " x x x

t "t " x x x

iii

iii

=pravljivost

31

31

0

03110

21

11

211

1

=−=+−

+−=⋅−

−=⋅

=−==

# A

#

( )−

=311

06 A# # 2)6( == n A# #rang bjekat je upravljiv

• #7la7na upravljivost

[ ] 101 =⋅=⋅ #$ %

⇒= 0)6( #$ rang %

bjekat je i7la7no upravljiv

• smotrivost objekta

g)

21

)( 2 +++=

S S S

sW O " S S %

sW R1

)( +⋅=


[ ] )(01)(

1)(021

11)(

21

)(

)()()(

@ @

@

.

@

2

t X t X

t X t X

S S S

sWo

Wos sWo sWk sWok

i

ii

⋅=

+⋅−−

=

+++=

=⋅=

ž

( )

[ ]

osmotri& jeobjekat A$ $ rang

$ A

A A$ $

$ A$

%

%

% %

%

⇒≠=

−=⋅−−=⋅

−−=−−

==⇒=

≠

02)6(

11

01

01211

012

11"0

2

111

"0

101

06


17/17


( )

( )0

1

1)(

1)(lim)(lim

1)(1)(

211

1

11

)()(1)()(

)(

200

2

2

2

−>⇒>+

=++++⋅+

+++⋅==

++++⋅++++⋅=

+++

⋅+⋅+

+++

⋅+⋅

=⋅+⋅=

→→

% % % S % S S

% %S S sW k

% S % S S % %S S

S S S

S S %

S S S

S S %

sW sW sW sW

sW

S S

O R

O R

S sW % R

1)(0 =⇒=

01

111lim))()((lim)(lim

11

211

1

211

)(

2000

2

2

2

=

++++

⋅−=−=⋅=

++++=

+++

⋅+++

+⋅=

→→→ S S S S

S S s X s X s S

S S S S

S S S

S

S S S

S sW

S ii! S S Sr ε


Laboratorijske Sau

Documents

Transcript of Laboratorijske Sau