Laberinto Fractal 10

8/17/2019 Laberinto Fractal 10

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El laberinto fractal


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Contenidos

Art€culos

Fractal 1

Beno•t Mandelbrot 8

Conjunto de Julia 12

Algoritmo recursivo 14

Conjunto de Mandelbrot 15

Conjunto conexo 20

Espacio topol‚gico 22

Topolog€a 24

Problema de los puentes de Kƒnigsberg 34

Teor€a de grafos 38

Referencias

Fuentes y contribuyentes del art€culo 48

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 49

Licencias de art€culos

Licencia 51


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Fractal 1

Fractal

En la naturaleza tambi•n aparece la geometr‚a fractal, como en esta

romanescu.

Un fractal es un objeto semigeom•trico cuya estructura

bƒsica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes

escalas.[1] El t•rmino fue propuesto por el matemƒtico

Beno„t Mandelbrot en 1975 y deriva del Lat‚n fractus,

que significa quebrado o fracturado. Muchas

estructuras naturales son de tipo fractal.

A un objeto geom•trico fractal se le atribuyen las

siguientes caracter‚sticas:[2]

… Es demasiado irregular para ser descrito en t•rminos

geom•tricos tradicionales.

… Es autosimilar.- Su forma es hecha de copias mƒs

peque†as de la misma figura. Las copias son

similares al todo: misma forma pero diferentetama†o. Ejemplos de autosimilaridad:

… Fractales naturalistas

… Set de Mandelbrot.- Es una transformaci€n no-linear

… Fractales de paisajes.- Este tipo de fractales pueden producir paisajes real‚sticos convincentes.

… Fractales naturales.- Los fractales encontrados en la naturaleza se diferenc‚an de los fractales matemƒticos

porque los naturales son aproximados o estad‚sticos y su autosimiliralidad se extiende s€lo a un rango de

escalas.

… Fractales de pinturas.-Se utilizan para realizar el proceso de decalcomania.

… Su dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensi€n topol€gica.… Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

No basta con una sola de estas caracter‚sticas para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un

fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de caracter‚sticas exigidas.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometr‚a fractal. Las nubes,

las monta†as, el sistema circulatorio, las l‚neas costeras[3] o los copos de nieve son fractales naturales. Esta

representaci€n es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito,

tienen l‚mites en el mundo natural.

Introducci€nLa definici€n de fractal en los a†os 1970, dio unidad a una serie de ejemplos, algunos de los cuales se remontaban a

un siglo atrƒs:

Los ejemplos cl•sicos

Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareci€ la

funci€n de Weierstrass, cuyo grafo hoy en d‚a considerar‚amos fractal, como ejemplo de funci€n continua pero no

diferenciable en ning‡n punto.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_Weierstrasshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1872http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Siglo_XIXhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1970http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometr%C3%ADa_fractalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3n_topol%C3%B3gicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3n%23Dimensi%C3%B3n_fractal_de_Hausdorff-Besicovitchhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Autosimilaridadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1975http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AFractal_Broccoli.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Romanescu


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Fractal 2

sucesivos pasos de la construcci€n de la curva de Koch

Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades

similares pero una definici€n mƒs geom•trica. Dichos

ejemplos pod‚an construirse partiendo de una figura

inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de

construcciones geom•tricas sencillas. La serie de figuras

obtenidas se aproximaba a una figura l‚mite quecorrespond‚a al que hoy llamamos conjunto fractal. As‚,

en 1904, Helge von Koch defini€ una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch.

En 1915, Waclaw Sierpinski construy€ su triƒngulo y, un a†o despu•s, su alfombra.

Construcci€n de la alfombra de Sierpinski:

Paso 1 (semilla) Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5

Estos conjuntos mostraban las limitaciones del anƒlisis clƒsico, pero eran vistos como objetos artificiales, una

"galer‚a de monstruos", como los denomin€ Poincar•. Pocos matemƒticos vieron la necesidad de estudiar estos

objetos en s‚ mismos.[4]

En 1919 surge una herramienta bƒsica en la descripci€n y medida de estos conjuntos: la dimensi€n de

Hausdorff-Besicovitch.

Los conjuntos de Julia

Estos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los a†os 1920, surgen como resultado de la

aplicaci€n reiterada de funciones holomorfas .

Analicemos el caso particular de funciones polin€micas de grado mayor que uno. Al aplicar sucesivas veces una

funci€n polin€mica es muy posible que el resultado tienda a . Al conjunto de valores de que no escapan

al infinito mediante esta operaci€n se le denomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto

de Julia.

Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea seg‡n el

n‡mero de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar

los puntos que no han escapado tras un n‡mero grande y prefijado de iteraciones.

Ejemplos de conjuntos de Julia para

En negro, conjunto de Julia

relleno asociado a f c, c=ˆ-2,

donde ̂ es el n‡mero ƒureo

Conjunto de Julia relleno

asociado a f c, c=(ˆ€2)+(ˆ€1)i

=-0.4+0.6i

Conjunto de Julia relleno asociado a f c,

c=-0.835-0.2321i

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AJulia_set_camp2.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ATime_escape_Julia_set_from_coordinate_%28phi-2%2C_phi-1%29.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ATime_escape_Julia_set_from_coordinate_%28phi-2%2C_0%29.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_holomorfahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=A%C3%B1os_1920http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Gaston_Juliahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pierre_Fatouhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3n%23dimensi%C3%B3n_de_Hausdorff-Besicovitchhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3n%23dimensi%C3%B3n_de_Hausdorff-Besicovitchhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1919http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Henri_Poincar%C3%A9http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Menger_4.PNGhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Menger_3.PNGhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Menger_2.PNGhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Menger_1.PNGhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Menger_0.PNGhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Alfombra_de_Sierpinskihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Alfombra_de_Sierpinskihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tri%C3%A1ngulo_de_Sierpinskihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Waclaw_Sierpinskihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1915http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Copo_de_nieve_de_Kochhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Helge_von_Kochhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1904http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AKoch_anime.gif


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Fractal 3

En negro, imagen del conjunto de Mandelbrot

superpuesto con los conjuntos de Julia rellenos

representados por algunos de sus puntos (en rojo losconjuntos de Julia conexos y en azul los no conexos).

Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot

La familia de conjuntos de Julia , asociadas a la reiteraci€n

de funciones de la forma presenta conjuntos de

una variedad sorprendente.

Dicha familia tendrƒ especial relevancia al quedar parametrizada en un mapa de fractales, popularizado en los a†os

1980. llamado conjunto de Mandelbrot. Este conjunto M representa un mapa en que cada pixel, correspondiente a un

valor del parƒmetro , se colorea de modo que refleje una propiedad bƒsica del conjunto de Julia asociado a

. En concreto, si el conjunto de Julia asociado a es conexo.

Caracter‚sticas de un fractal

Autosimilitud

Seg‡n B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura

que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.[5]

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

… Autosimilitud exacta. este es el tipo mƒs restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca id•ntico a

diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).

Cuasiautosimilitud en el conjunto de Mandelbrot: al variar la escala obtenemos copias del

conjunto con peque†as diferencias.

… Cuasiautosimilitud: exige que el

fractal parezca aproximadamente

id•ntico a diferentes escalas. Los

fractales de este tipo contienen

copias menores y distorsionadas de

s‚ mismos. Matemƒticamente

D.Sullivan defini€ el concepto de

conjunto cuasiauto-similar a partir

del concepto de cuasi-isometr‚a. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este

tipo.

… Autosimilitud estad‚stica. Es el tipo mƒs d•bil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas num•ricas

o estad‚sticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este

tipo.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandelzoom.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_de_funciones_iteradashttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1980http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandelbrot_and_Julia.png


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Fractal 4

Dimensi€n fractal y dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch

Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensi€n

topol€gica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo

general, podr‚amos preguntarnos c€mo densamente un conjunto ocupa el espacio m•trico que lo contiene. Los

n‡meros que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:

… La dimensi€n fractal. Las f€rmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias pararecubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadr‚cula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones

de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensi€n fractal de objetos reales: l‚neas de la costa (1.2),

nubes, ƒrboles, etc, Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por

algoritmos matemƒticos.

… La dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definici€n mƒs compleja que la de dimensi€n fractal. Su

definici€n no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real.

Autosimilitud estad€stica de un fractal generado por el

proceso de agregaci€n por difusi€n limitada.

Definici€n por algoritmos recursivos

Podemos destacar tres t•cnicas comunes para generar fractales:… Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se

reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de

aplicaciones: el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski,

el triƒngulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del

drag€n, el copo de nieve de Koch o la Esponja de Menger, son

algunos ejemplos.

… Fractales de algoritmos de Escape, definidos por una relaci€n

de recurrencia en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano

complejo): el conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia, y el

fractal de Lyapunov.

… Fractales aleatorios, generados por procesos estocƒsticos, no

deterministas: el movimiento browniano,el vuelo de L•vy, los

paisajes fractales o los ƒrboles brownianos. ‰stos ‡ltimos son producidos por procesos de agregaci€n por difusi€n

limitada..

Aspectos matem•ticos

Intentos de definici€n rigurosa

El concepto de fractal no dispone en el a†o 2008 de una definici€n matemƒtica precisa y de aceptaci€n general.Intentos parciales de dar una definici€n fueron realizados por:

… B. Mandelbrot, que en 1982 defini€ fractal como un conjunto cuya dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch es

estrictamente mayor que su dimensi€n topol€gica. ‰l mismo reconoci€ que su definici€n no era lo

suficientemente general.

… D. Sullivan, que defini€ matemƒticamente una de las categor‚as de fractales con su definici€n de conjunto

cuasiautosimilar que hac‚a uso del concepto de cuasi-isometr‚a.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3n_topol%C3%B3gicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3n_de_Hausdorff-Besicovitchhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1982http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=2008http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Agregaci%C3%B3n_por_difusi%C3%B3n_limitadahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Agregaci%C3%B3n_por_difusi%C3%B3n_limitadahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Paisaje_fractalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vuelo_de_L%C3%A9vyhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Movimiento_brownianohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Fractal_de_Lyapunovhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Esponja_de_Mengerhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Copo_de_nieve_de_Kochhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_del_drag%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_del_drag%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_de_Peanohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tri%C3%A1ngulo_de_Sierpinskihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Alfombra_de_Sierpinskihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_de_Cantorhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_de_funciones_iteradashttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ADlasim.PNGhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Agregaci%C3%B3n_por_difusi%C3%B3n_limitada


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Fractal 5

Dimensi€n fractal

Puede definirse en t•rminos del m‚nimo n‡mero de bolas de radio necesarias para recubrir el conjunto,

como el l‚mite:

O en funci€n del recuento del n‡mero de cajas de una cuadr‚cula de anchura que intersecan al conjunto:

Se demuestra que ambas definiciones son equivalentes, y que son invariantes bajo isometr‚as.[6]

Dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch

De una definici€n mƒs compleja, la dimensi€n de Hausdorff-Besicovitch nos proporciona un n‡mero ,

tambi•n invariante bajo isometr‚as, cuya relaci€n con la dimensi€n fractal es la siguiente:

Esto permite distinguir en algunos casos entre conjuntos con la misma dimensi€n fractal.

Dimensi€n de fractales producidos por un IFS

En ese caso, cuando no haya solapamiento, se demuestra que y que ambas pueden calcularse como

soluci€n de la ecuaci€n:

donde cidesigna el factor de contracci€n de cada aplicaci€n contractiva del IFS.

AplicacionesSe han utilizado t•cnicas de fractales en la compresi€n de datos y en diversas disciplinas cient‚ficas.

Compresi€n de im•genes

Comprimir la imagen de un objeto autosemejante como el helecho de la

figura no es dif‚cil: haciendo uso del teorema del collage, debemos encontrar

un IFS, conjunto de transformaciones que lleva la figura completa (en negro)

en cada una de sus partes autosemejantes (rojo, azul celeste y azul marino).

La informaci€n sobre la imagen quedarƒ codificada en el IFS, y la aplicaci€n

reiterada de dichas transformaciones permite obtener la imagen procesada en

cuesti€n.

Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchas imƒgenes reales: no

esperamos, por ejemplo, que la imagen de un gato presente peque†os gatitos

distorsionados sobre s‚ mismo. Para solventarlo, en 1989 Arnaud Jacquin cre€

el esquema de sistemas de funciones iteradas particionadas: en •l se

subdivide la imagen mediante una partici€n y para cada regi€n resultante se

busca otra regi€n similar a la primera bajo las transformaciones apropiadas.[7]

El esquema resultante es un sistema de compresi€n con p•rdidas, de tiempo

asim•trico. Lamentablemente a‡n se tarda mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No

obstante, una vez encontradas, la descodificaci€n es muy rƒpida. La compresi€n, aunque dependa de muchos

factores, suele ser equiparable a la compresi€n JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=JPEGhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Partici%C3%B3n_%28matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=IFShttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_de_funciones_iteradas%23El_problema_inverso:_Teorema_del_collagehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AFractal_fern_explained.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Compresi%C3%B3n_de_datoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_de_funciones_iteradashttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3n%23dimensi%C3%B3n_de_Hausdorff-Besicovitch


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Fractal 6

decantarse por uno u otro sistema.

Modelado de formas naturales

Fracci€n de un fractal Mandelbrot.

Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al

todo, estƒn presentes en la materia biol€gica, junto con las

simetr‚as (las formas bƒsicas que solo necesitan la mitad deinformaci€n gen•tica) y las espirales (Las formas de crecimiento y

desarrollo de la forma bƒsica hacia la ocupaci€n de un mayor

espacio), como las formas mƒs sofisticadas en el desarrollo

evolutivo de la materia biol€gica en cuanto que se presentan en

procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas

biol€gicas, es decir posibilitan catƒstrofes (hechos extraordinarios)

que dan lugar a nuevas realidades mƒs complejas, como las hojas

que presentan una morfolog‚a similar a la peque†a rama de la que

forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama,

que a su vez es similar a la forma del ƒrbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (formabiol€gica simple), que una rama o un ƒrbol (forma biol€gica compleja).

Sistemas din•micos

Un atractor extra†o: el Atractor de Lorenz.

Pero ademƒs las formas fractales no s€lo se presentan en las

formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia

dinƒmica evolutiva de los sistemas complejos (ver teor‚a del caos).

Dinƒmica que consta de ciclos (en los que partiendo de una

realidad establecida simple acaban en la creaci€n de una nueva

realidad mƒs compleja) que a su vez forman parte de ciclos mƒscomplejos los cuales forman parte del desarrollo de la dinƒmica de

otro gran ciclo. Las evoluciones dinƒmicas de todos estos ciclos

presentan las similitudes propias de los sistemas ca€ticos.

En manifestaciones art‚sticas

Imagen generada con el programa Apophysis.

Se usan tanto en la composici€n arm€nica y r‚tmica de una

melod‚a como en la s‚ntesis de sonidos. Esto se debe al uso de lo

que en composici€n se llaman "micromodos", o peque†os grupos

de 3 notas, a partir de los cuales uno puede trabajarlos de manera

horizontal (mel€dica), o vertical (arm€nica). A su vez, el ritmo

puede ser trabajado en sucesiones temporales espec‚ficas, que son

determinadas por sucesiones de fractales.

Con programas informƒticos como Apophysis o Ultra Fractal se

pueden hacer imƒgenes con t•cnicas diversas; cambiando

parƒmetros, geometr‚a de triƒngulos o con transformaciones

aleatorias (a veces llamadas "mutaciones").

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ultra_Fractalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Apophysishttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ASandstorm.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_del_caoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ALorenzAttractor.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Atractor_de_Lorenzhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AFractal471763.jpg


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Fractal 7

Vƒase tambiƒn… Anexo:Fractales por dimensi€n de Hausdorff

… Caos y fractales

… ŠCuƒnto mide la costa de Gran Breta†a?

… Dimensi€n

… Paisaje fractal… Recursividad

… Sistema de funciones iteradas

… Sistema-L

Referencias[1] Beno„t Mandelbrot, La Geometr€a Fractal de la Naturaleza, Tusquets, ISBN 84-8310-549-7

[2] Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd.. pp. XXV. ISBN

0-470-84862-6.

[3] ŠCuƒnto mide la costa de Gran Breta†a?

[4] Stewart, Ian. De aqu€ al infinito. Cr‚tica, Grijalbo Mondadori, S.A., 1998. ISBN 84-7423-853-6.[5] B. Mandelbrot. Los objetos fractales. Forma, azar y dimensi•n. Tusquets Editores, S.A., 1993. ISBN 978-84-7223-458-1

[6] Barnsley, M. Fractals everywhere.Academic Press Inc, 1988. ISBN 0-12-079062-9. (Cap 5)

[7] Jacquin, A.E.; Image coding based on a fractal theory of iterated contractive image transformations. Image Processing, IEEE Transactions on

Volume 1, Issue 1, Jan. 1992 Page(s):18 - 30

Enlaces externos… Fractov‚a (http:/ / www. fractovia.org/ art/ es/ what_es1. shtml) Informaci€n sobre fractales.

… Armonia fractal de Do†ana y las marismas (http:/ / www.armoniafractal. com) Bellas imƒgenes a•reas de

fractales naturales en las zonas h‡medas del sur de Espa†a, Casa de la Ciencia, CSIC.

… Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre fractalesCommons.Arte fractal

… Galer‚as de arte fractal en el Open directory Project (http:/ / www.dmoz.org/ Science/ Math/

Chaos_and_Fractals/ Fractal_Art/ )

… M‡sica fractal en el Open Directory Project (http:/ / www. dmoz.org/ Arts/ Music/ Styles/ E/ Experimental/

Fractal_Music/ )

… Museo de Arte Fractal de Argentina (http:/ / www. fractalia. com.ar)

Libros con licencia CC

… M‡sica fractal: el sonido del caos (http:/ / www.dlsi. ua. es/ ~japerez/ pub/ pdf/ mfsc2000. pdf) Introducci€n

general sobre fractales y aplicaci€n a la composici€n automƒtica de m‡sica

… Codificaci€n fractal de imƒgenes (http:/ / www. dlsi. ua.es/ ~japerez/ pub/ pdf/ mastertesi1998. pdf) Analiza la

aplicaci€n de t•cnicas fractales a la compresi€n con p•rdidas de imƒgenes

Software

… Explorador FF (http:/ / www. fractfinder. es/ explorador/ index.php) Explorador interactivo de fractales freeware,

para Windows

… Borlandia (http:/ / www. borlandia. net/ fractals) Applets en java que generan Fractales interactivos

… Apophysis (http:/ / www. apophysis.org/ index. html) Programa de c€digo abierto para la creaci€n de fractales

(en ingl•s)

… IFS Illusions (http:/ / illusions. hu/ index.php?task=16& lang=3& sort=3) generador IFS freeware, para Windows

… FractInt (http:/ / spanky. triumf. ca/ www/ fractint/ fractint. html) generador fractal freeware, para DOS, Windowsy existe un porte a Linux (http:/ / www. sdboyd56. com/ xfractint/ index.html) disponible. (en ingl•s)

http://www.sdboyd56.com/xfractint/index.htmlhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Windowshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=DOShttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Freewarehttp://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.htmlhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Windowshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Freewarehttp://illusions.hu/index.php?task=16&lang=3&sort=3http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=C%C3%B3digo_abiertohttp://www.apophysis.org/index.htmlhttp://www.borlandia.net/fractalshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Windowshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Freewarehttp://www.fractfinder.es/explorador/index.phphttp://www.dlsi.ua.es/~japerez/pub/pdf/mastertesi1998.pdfhttp://www.dlsi.ua.es/~japerez/pub/pdf/mfsc2000.pdfhttp://www.fractalia.com.ar/http://www.dmoz.org/Arts/Music/Styles/E/Experimental/Fractal_Music/http://www.dmoz.org/Arts/Music/Styles/E/Experimental/Fractal_Music/http://www.dmoz.org/Science/Math/Chaos_and_Fractals/Fractal_Art/http://www.dmoz.org/Science/Math/Chaos_and_Fractals/Fractal_Art/http://commons.wikimedia.org/wiki/Fractalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikimedia_Commonshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svghttp://www.armoniafractal.com/http://www.fractovia.org/art/es/what_es1.shtmlhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C2%BFCu%C3%A1nto_mide_la_costa_de_Gran_Breta%C3%B1a%3Fhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Beno%C3%AEt_Mandelbrothttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema-Lhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_de_funciones_iteradashttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Recursividadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Paisaje_fractalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C2%BFCu%C3%A1nto_mide_la_costa_de_Gran_Breta%C3%B1a%3Fhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Caos_y_fractaleshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Anexo:Fractales_por_dimensi%C3%B3n_de_Hausdorff


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Fractal 8

… XaoS (http:/ / xaos. sourceforge. net/ ) zoomer interactivo de fractales para linux.

… Incendia (http:/ / www. incendia. net/ ) programa de dise†o de fractales 3D donationware.

… WMANJUL v2 (http:/ / www.ray. masmcode. com/ complex. html) Fractal de Mandelbrot (en ingl•s).

V‚deos

… Documental reportaje "Armon‚a Fractal" del Programa Tesis, Canal Sur 2 Andaluc‚a (http:/ / www. cedecom. es/

cedecom-ext/

noticia.

asp?id=765)

Beno„t Mandelbrot

Beno„t Mandelbrot

Mandelbrot en 2007

Nacimiento 20 de noviembre de 1924

Varsovia, Polonia

Fallecimiento 14 de octubre de 2010 (85 a†os)

Cambridge, Massachusetts

Nacionalidad francesa - estadounidense

Campo Matemƒticas

Instituciones Universidad de Yale

IBM

Pacific Northwest National Laboratory

Alma m•ter ‰cole Polytechnique

California Institute of Technology

Universidad de Par‚s

Estudiantes

destacados

F. Kenton Musgrave

Eugene F. Fama

Conocido por Conjunto de Mandelbrot

Premios

destacados

Premio Wolf (1993)

Premio Jap€n (2003)

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Premio_Jap%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Premio_Wolfhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Eugene_F._Famahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=F._Kenton_Musgravehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Universidad_de_Par%C3%ADshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=California_Institute_of_Technologyhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%89cole_Polytechniquehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Alma_m%C3%A1terhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pacific_Northwest_National_Laboratoryhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=IBMhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Universidad_de_Yalehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estados_Unidoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Franciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Massachusettshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cambridge_%28Massachusetts%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Flag_of_the_United_States.svghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=2010http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=14_de_octubrehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Poloniahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varsoviahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Flag_of_Poland.svghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1924http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=20_de_noviembrehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Benoit_Mandelbrot_mg_1804-d.jpghttp://www.cedecom.es/cedecom-ext/noticia.asp?id=765http://www.cedecom.es/cedecom-ext/noticia.asp?id=765http://www.ray.masmcode.com/complex.htmlhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Donationwarehttp://www.incendia.net/http://xaos.sourceforge.net/


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Beno„t Mandelbrot 9

Beno„t Mandelbrot fue uno de los primeros cient‚ficos en

utilizar los ordenadores para estudiar la fractalidad como en

este ejemplo de conjunto de Mandelbrot.

Beno„t Mandelbrot durante su nombramiento como miembro de

la legi€n de Honor.

Beno„t Mandelbrot (Varsovia, Polonia, 20 de noviembre

de 1924 • Cambridge, Estados Unidos, 14 de octubre de

2010[1] ) fue un matemƒtico conocido por sus trabajos sobre

los fractales. Es considerado el principal responsable del

auge de este dominio de las matemƒticas desde el inicio de

los a†os setenta, y del inter•s creciente del p‡blico. Enefecto, supo utilizar la herramienta que se estaba

popularizando en •sta •poca - el ordenador - para trazar los

mƒs conocidos ejemplos de geometr‚a fractal: el conjunto

de Mandelbrot por supuesto, as‚ como los conjuntos de Julia

descubiertos por Gaston Julia quien invent€ las matemƒticas

de los fractales, desarrollados luego por Mandelbrot.

Biograf‚a

Naci€ el 20 de noviembre de 1924 en Varsovia, Poloniadentro de una familia jud‚a culta de origen lituano. Fue

introducido al mundo de las matemƒticas desde peque†o

gracias a sus dos t‚os. Cuando su familia emigra a Francia

en 1936 su t‚o Szolem Mandelbrot, profesor de matemƒticas

en el CollŒge de France y sucesor de Hadamar en este

puesto, toma responsabilidad de su educaci€n. Despu•s de

realizar sus estudios en la Universidad de Lyon ingres€ a la

‰cole polytechnique, a temprana edad, en 1944 bajo la

direcci€n de Paul L•vy quien tambi•n lo influy€

fuertemente. Se doctor€ en matemƒticas por la Universidadde Par‚s en el a†o 1952. Posteriormente se fue al MIT y

Luego al Instituto de Estudios Avanzados de Pricenton,

donde fue el ‡ltimo estudiante de postdoctorado a cargo de

John von Neumann. Despu•s de diversas estancias en Ginebra y Par‚s acab€ trabajando en IBM Research.

En 1967 public€ en Science ŠCuƒnto mide la costa de Gran Breta†a?Ž, donde se exponen sus ideas tempranas sobre

los fractales.

Fue profesor de econom‚a en la Universidad Harvard, ingenier‚a en Yale, fisiolog‚a en el Colegio Albert Einstein de

Medicina, y matemƒticas en Par‚s y Ginebra. Desde 1958 trabaj€ en IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B.

Watson en Nueva York.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=IBMhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1958http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Universidad_Yalehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Universidad_Harvardhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C2%BFCu%C3%A1nto_mide_la_costa_de_Gran_Breta%C3%B1a%3Fhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sciencehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1967http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=John_von_Neumannhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1952http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Universidad_de_Par%C3%ADshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Universidad_de_Par%C3%ADshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1944http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%89cole_polytechniquehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Universidad_de_Lyonhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Hadamarhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coll%C3%A8ge_de_Francehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1936http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Franciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Lituanohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pueblo_jud%C3%ADohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Poloniahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varsoviahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1924http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=20_de_noviembrehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Gaston_Juliahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Computadorahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=2010http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=14_de_octubrehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estados_Unidoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cambridge_%28Massachusetts%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1924http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=20_de_noviembrehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Poloniahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varsoviahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandelbrot_p1130861.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Legi%C3%B3n_de_Honorhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandelpart2.jpg


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Logros cient‚ficosPrincipal creador de la Geometr‚a Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepci€n e interpretaci€n

de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En 1982 public€ su libro Fractal Geometry of Nature en el que

explicaba sus investigaciones en este campo. La geometr‚a fractal se distingue por una aproximaci€n mƒs abstracta a

la dimensi€n de la que caracteriza a la geometr‚a convencional.

El profesor Mandelbrot se interes€ por cuestiones que nunca antes hab‚an preocupado a los cient‚ficos, como lospatrones por los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza.

Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son mƒs naturales, y por tanto mejor comprendidos

intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometr‚a euclidiana, que han sido suavizados

artificialmente.

Las nubes no son esferas, las monta†as no son conos, las costas no son c‚rculos, y las cortezas de los ƒrboles no son

lisas, ni los relƒmpagos viajan en una l‚nea recta.

Mandelbrot, de su libro Introduction to The Fractal Geometry of Nature

ControversiasMandelbrot indic€ la sobrevaloraci€n de las matemƒticas basadas en anƒlisis algebraico desde el siglo XIX y otorg€

igual importancia a la geometr‚a y al anƒlisis matemƒtico visual, anƒlisis para el que •l estaba especialmente dotado,

sobre la que mantuvo se han hecho logros igual o mƒs importantes como los de los antiguos griegos o Da Vinci. Esta

visi€n poco ortodoxa, le cost€ duras cr‚ticas por parte de los matemƒticos mƒs 'puros', especialmente al inicio de su

carrera.

Honores y premiosEn 1985 recibi€ el premio " Barnard Medal for Meritorious Service to Science". En los a†os siguientes recibi€ la

" Franklin Medal". En 1987 fue galardonado con el premio " Alexander von Humboldt "; tambi•n recibi€ la " MedallaSteindal" en 1988 y muchos otros premios, incluyendo la "Medalla Nevada" en 1991.

Conjunto de MandelbrotEl conjunto de Mandelbrot es un conjunto matemƒtico de puntos en el plano complejo, cuyo borde forma un fractal.

Este conjunto se define as‚, en el plano complejo:

Sea c un n‡mero complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesi€n por inducci€n:

Si esta sucesi€n queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido

del mismo.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1991http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1988http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1987http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1985http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Leonardo_da_Vincihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometr%C3%ADa_euclidianahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1982


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Vistas del [[conjunto de Mandelbrot]]. Cada sucesiva imagen es una ampliaci€n de una secci€nde la imagen previa.

Referencias[1] Jascha Hoffman (16 de octubre de 2010). Benoit Mandelbrot, Mathematician, Dies at 85 (http:/ / www. nytimes. com/ 2010/ 10/ 17/ us/

17mandelbrot. html?_r=1)Ž (en ingl•s). The New York Times. Consultado el 16 de octubre de 2010. Benoit B. Mandelbrot, a maverick

mathematician who developed an innovative theory of roughness and applied it to physics, biology, finance and many other fields, died on

Thursday in Cambridge, Mass. He was 85.Ž.

Vƒase tambiƒn… Fractal

… Conjunto de Mandelbrot

… ŠCuƒnto mide la costa de Gran Breta†a?

… La geometr‚a fractal de la naturaleza

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=La_geometr%C3%ADa_fractal_de_la_naturalezahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C2%BFCu%C3%A1nto_mide_la_costa_de_Gran_Breta%C3%B1a%3Fhttp://www.nytimes.com/2010/10/17/us/17mandelbrot.html?_r=1http://www.nytimes.com/2010/10/17/us/17mandelbrot.html?_r=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_14_satellite_julia_island.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_13_satellite_seehorse_tail_with_julia_island.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_12_satellite_spirally_wheel_with_julia_islands.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_11_satellite_double_spiral.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_10_satellite_seehorse_valley.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_09_satellite_head_and_shoulder.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_08_satellite_antenna.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_07_satellite.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_06_double_hook.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_05_tail_part.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_04_seehorse_tail.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_03_seehorse.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_02_seehorse_valley.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_01_head_and_shoulder.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg


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Enlaces externos

… Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Beno„t MandelbrotCommons.

… Wikiquote alberga frases c•lebres de o sobre Beno„t Mandelbrot. Wikiquote

… Entrevista (http:/ / www. eduardpunset. es/ charlascon_detalle.php?id=22) de Eduard Punset a Beno„t

Mandelbrot.

… Pƒgina web B.Mandelbrot en Yale. (http:/ / www.math. yale. edu/ mandelbrot/ ) (en ingl•s)… Ted talk: "Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness" (http:/ / www. ted. com/ talks/

benoit_mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness. html)

… Museo de Arte Fractal Argentina (http:/ / www. fractalia. com. ar/ )

… Fractales en la naturaleza a•rea de Do†ana. Armon‚a fractal de Do†ana y las marismas (http:/ / www.

armoniafractal. com/ )

… Obituario de Beno„t Mandelbrot (The Economist) (http:/ / www. economist.com/ node/ 17305197)

Conjunto de Julia

Conjunto de Julia, un fractal. C = [0.285, 0.01].

Los conjuntos de Julia, as‚ llamados por el matemƒtico Gaston Julia,

son una familia de conjuntos fractales que se obtienen al estudiar el

comportamiento de los n‡meros complejos al ser iterados por una

funci€n holomorfa.

El conjunto de Julia de una funci€n holomorfa estƒ constituido por

aquellos puntos que bajo la iteraci€n de tienen un comportamiento

'ca€tico'. El conjunto se denota .

En el otro extremo se encuentra el conjunto de Fatou (en honor del

matemƒtico Pierre Fatou), que consiste de los puntos que tienen uncomportamiento 'estable' al ser iterados. El conjunto de Fatou de una

funci€n holomorfa se denota y es el complemento de

.

Polinomios cuadr•ticosUna familia muy notable de conjuntos de Julia se obtienen a partir de funciones cuadrƒticas simples:

, donde es un n‡mero complejo. El conjunto de Julia que se obtiene a partir de esta funci€n se

denota .Un algoritmo para obtener el conjunto de Julia de es el siguiente:

Para todo complejo se construye por la siguiente sucesi€n:

Si esta sucesi€n queda acotada, entonces se dice que pertenece al conjunto de Julia de parƒmetro , denotado por

; de lo contrario, queda excluido de •ste.

En las imƒgenes anteriores, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una

indicaci€n de la velocidad con la que diverge la sucesi€n (su m€dulo tiende a infinito): en rojo oscuro, al cabo de

pocos cƒlculos se sabe que el punto no estƒ en el conjunto; y en blanco, se ha tardado mucho mƒs en comprobarlo.Como no se pueden calcular infinitos valores, es preciso poner un l‚mite, y decidir que si los primeros t•rminos de

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pierre_Fatouhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_holomorfahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmeros_complejoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Gaston_Juliahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AJulia_set_%28C_=_0.285%2C_0.01%29.jpghttp://www.economist.com/node/17305197http://www.armoniafractal.com/http://www.armoniafractal.com/http://www.fractalia.com.ar/http://www.ted.com/talks/benoit_mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness.htmlhttp://www.ted.com/talks/benoit_mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness.htmlhttp://www.math.yale.edu/mandelbrot/http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Eduard_Punsethttp://www.eduardpunset.es/charlascon_detalle.php?id=22http://es.wikiquote.org/wiki/:Beno%EE%B4%9FMandelbrothttp://es.wikiquote.org/wiki/:Beno%EE%B4%9FMandelbrothttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikiquotehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Spanish_Wikiquote.SVGhttp://commons.wikimedia.org/wiki/Beno%EE%B4%9FMandelbrothttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikimedia_Commonshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg


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Conjunto de Julia 13

la sucesi€n estƒn acotados, el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de se mejora la precisi€n de la

imagen.

Conjunto de Julia en 3D.

Se puede demostrar que si entonces la sucesi€n diverge y el

punto no pertenece al conjunto de Julia. Por lo tanto, basta encontrar

un solo t•rmino de la sucesi€n que verifique para tener la

certeza de que no estƒ en el conjunto.Existe una relaci€n muy fuerte entre los conjuntos de Julia y el

conjunto de Mandelbrot denotado por , debido a la similitud de sus

definiciones:

Se dice que pertenece a si y s€lo si es conexo.

Los resultados mƒs vistosos se obtienen al tomar el parƒmetro en la

frontera de , pues si esta en el interior de resulta que

toma el aspecto de un objeto redondo, poco fractal, y s€lo el borde

tiene la apariencia de fractal. Por ejemplo si resulta que el

conjunto de Julia es la circunferencia unitaria, con centro en el origende coordenadas.

En las imƒgenes, se han tomado como valores de c: -1,3 + 0,00525i; -0,72 • 0,196i; -0,1 + 0,87i y -0,51 • 0,601i,

por razones est•ticas.

Se pueden generalizar estos conjuntos tomando otras relaciones de inducci€n: con cualquier

funci€n compleja . Se puede tambi•n generalizar a cualquier dimensi€n, y emplear varias funciones en lugar de

una sola.

Enlaces externos

… Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Conjunto de JuliaCommons.

http://commons.wikimedia.org/wiki/Julia_sethttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikimedia_Commonshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AJulia_set_%28reversed_formula_3D%29.jpg


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Algoritmo recursivoUn algoritmo recursivo es un algoritmo que expresa la soluci€n de un problema en t•rminos de una llamada a s‚

mismo. La llamada a s‚ mismo se conoce como llamada recursiva o recurrente.

FUNCI€N Factorial(n)

VAR resultado: Entero

SI (n


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Enlaces externos… Recursividad en programaci€n (C/C++) [1]

… Programa de Recursividad de Java con c€digo fuente [2]

Referencias[1] http:/ / picandocodigo.net/ 2008/ recursividad-en-programacion/

[2] http:/ / torturo. com/ programas-hechos-en-java/

Conjunto de Mandelbrot

Representaci€n matemƒtica del conjunto de Mandelbrot como

subconjunto del plano complejo. Los puntos del conjunto se

muestran en negro. Obs•rvese c€mo -1 pertenece al conjunto

mientras que 1 no.

Representaci€n del conjunto de Mandelbrot mediante el algoritmo de

tiempo de escape.

El conjunto de Mandelbrot es el mƒs conocido de los

conjuntos fractales y el mƒs estudiado. Se conoce as‚ en

honor al matemƒtico Beno„t Mandelbrot, que investig€

sobre •l en la d•cada de los setenta del siglo XX.

Este conjunto se define as‚, en el plano complejo:

Sea c un n‡mero complejo cualquiera. A partir de c, se

construye una sucesi€n por inducci€n:

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Siglo_XXhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandelbrot0.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandelset_hires.pnghttp://torturo.com/programas-hechos-en-java/http://picandocodigo.net/2008/recursividad-en-programacion/http://torturo.com/programas-hechos-en-java/http://picandocodigo.net/2008/recursividad-en-programacion/


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Si esta sucesi€n queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido

del mismo.

Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesi€n 0, 1, 2, 5, 26ƒ que diverge. Como no estƒ acotada, 1 no es un elemento

del conjunto de Mandelbrot.En cambio, si c = -1 obtenemos la sucesi€n 0, -1, 0, -1,ƒ que s‚ es acotada, y por tanto, -1 s‚ pertenece al conjunto

de Mandelbrot.

A menudo se representa el conjunto mediante el algoritmo de tiempo de escape. En ese caso, los colores de los

puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en m€dulo) la

sucesi€n correspondiente a dicho punto. En la imagen de ejemplo, observamos el rojo oscuro indica que al cabo de

pocos cƒlculos se sabe que el punto no estƒ en el conjunto mientras que el blanco informa de que se ha tardado

mucho mƒs en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinf‚n de valores, es preciso poner un l‚mite y decidir que

si los p primeros t•rminos de la sucesi€n estƒn acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto. Al

aumentar el valor de p se mejora la precisi€n de la imagen.

Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2, es decir, no pertenecen

al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un solo t•rmino de la sucesi€n que verifique |zn| > 2 para estar seguro que c

no estƒ en el conjunto.

Introducci€n: explorando la autosimilitud

Plano sobre el que exploraremos la autosimilitud.

Una propiedad fundamental de los fractales es la

autosimilitud o autosemejanza, que se refiere a una

cierta invariabilidad con relaci€n a la escala, o dicho de

otro modo, al acercarse a ciertas partes de la imagen

reaparece en miniatura la imagen total. Un mismo

motivo aparece a distintas escalas, a un n‡mero infinito

de escalas.

Veƒmoslo mƒs en detalle, a partir del plano siguiente

(derecha):

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandelbrot_plano.jpg


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Cuadro verde ampliado.

Al agrandar el cuadro verde, se obtiene la imagen de la izquierda,

donde:

… Salta a la vista que la bola negra a es una reducci€n exacta de la

bola A. La protuberancia a la izquierda de a tambi•n es una

reducci€n exacta de a, y el proceso sigue indefinidamente.

… Tambi•n se puede observar que la bola b es una reducci€n de A

(una reducci€n combinada con una rotaci€n, es decir que b se

obtiene de A mediante una semejanza). Mirando mejor, se nota

un sinf‚n de protuberencias semejantes a A.

Cuadro azul ampliado.

Volviendo al plano, escojamos esta vez el cuadro azul oscurosituado en el extremo izquierdo del plano. Al agrandarlo,

obtenemos (derecha):

Su parecido a la imagen inicial es obvio. El proceso se puede

repetir un sinf‚n de veces, empezando por agrandar la peque†a

mancha negra a la izquierda del cuadro.

Cuadro violeta ampliado.

Ahora, ampliemos el cuadro violeta del plano (imagen izquierda):

En esta imagen aparece una mancha arriba a la izquierda que tiene

la misma forma que la imagen inicial. Al mirar mƒs de cerca, se

obtiene (derecha):

Y una vez mƒs, el parecido salta a la vista.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandelbrot3a.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandelbrot2.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Semejanza_%28propiedad_matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandelbrot1.jpg


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Ampliaci€n de la mancha que aparece en el cuadro

violeta.

Cuadro azul claro ampliado.

Ahora, agrandemos el cuadro azul claro de la derecha del plano:

Ampliaci€n del detalle del cuadro blanco.

Acerqu•monos al cuadro blanco de la ‡ltima imagen:

Aqu‚ se nota una ligera deformaci€n de la figura inicial. Sin

embargo, esta imagen sigue siendo isomorfa a la inicial. Y claro,

alrededor de cada clon de la forma inicial existen otros clones

min‡sculos, en las mismas posiciones relativas que en la figuraglobal. El proceso no tiene fin.

Otra representaci€n

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandelbrot4b.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandelbrot4a.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandelbrot3b.jpg


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En esta imagen, el conjunto es, naturalmente, el mismo, pero las

l€neas de nivel (que separan los colores, fuera del conjunto) no son

id•nticas. Esto se debe a que no se ha empleado el mismo criterio

de divergencia: en esta imagen es realmente |zn| > 2, mientras que

en las anteriores era |zn| > 10, por razones est•ticas, ya que as‚ se

obtiene una imagen inicial menos oscura.

Historia

La teor‚a bƒsica sobre la iteraci€n de funciones complejas fue

desarrollada por Julia y Fatou en la d•cada de los a†os 1910. La

forma extraordinariamente intrincada de conjuntos relacionados

con estas iteraciones se revel€ en el momento en que los grƒficos

por ordenador fueron lo suficientemente avanzados. Las primeras imƒgenes del conjunto, algo burdas, de Robert

Brooks y Peter Matelski, datan de 1978.[1]

Mandelbrot estudi€ el espacio de parƒmetros de polinomios cuadrƒticos en un art‚culo aparecido en 1980 y despert€el inter•s global por el mismo.[2]

El estudio matemƒtico riguroso de este conjunto realmente comenz€ con el trabajo de los matemƒticos Adrien

Douady y John H. Hubbard,[3] quienes demostraron muchas de sus propiedades fundamentales y nombraron el

conjunto en honor de Mandelbrot. Entre otras propiedades, probaron que es un conjunto conexo y formularon la

conjetura MLC, que formula la creencia de que el conjunto de Mandelbrot es localmente conexo.

Relaci€n con los conjuntos de JuliaExiste otra manera de definir este conjunto: es el conjunto de los complejos c para los que el conjunto de Julia

asociado a f c(z) = z + c es conexo.

Propiedades

Propiedades topol€gicas

El conjunto de Mandelbrot es compacto, conexo y su complemento tambi•n es conexo. Su interior consta de un

conjunto numerable de componentes.

Su frontera tiene dimensi€n topol€gica 1 pero dimensi€n de Hausdorff 2, la mƒxima posible al ser subconjunto del

plano.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Frontera_%28topolog%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Interior_de_un_conjuntohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Compactohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=John_H._Hubbardhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Adrien_Douadyhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Adrien_Douadyhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1980http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1978http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=A%C3%B1os_1910http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pierre_Fatouhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Gaston_Juliahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMandelbrot.png


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Referencias[1] Robert Brooks and Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in "Riemann Surfaces and Related Topics", ed. Kra

and Maskit, Ann. Math. Stud. 97, 65 • 71, ISBN 0-691-08264-2

[2] Beno„t Mandelbrot, Fractal aspects of the iteration of for complex , Annals NY Acad. Sci. 357, 249/259[3] Adrien Douady and John H. Hubbard, Etude dynamique des polyn‚mes complexes, Pr•publications math•mathiques d'Orsay 2/4 (1984 /

1985)

Vƒase tambiƒn… Beno„t Mandelbrot

… Fractal

… Conjunto de Julia

Enlaces externos

… Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Conjunto de MandelbrotCommons.

… El contenido de este art‚culo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal (http:/ /

enciclopedia.us.es/ index.php/ Conjunto_de_Mandelbrot), publicada en espa†ol bajo la licencia Creative

Commons Compartir-Igual 3.0 (http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ deed. es).

Conjunto conexo

Un conjunto conexo es un subconjunto de un espacio topol€gico (donde es la colecci€n de

conjuntos abiertos del espacio topol€gico) que no puede ser descrito como uni€n disjunta de dos conjuntos abiertos

de la topolog‚a.

Intuitivamente, un conjunto conexo es aquel formado por una sola 'pieza', que no se puede 'dividir'. Cuando unconjunto no sea conexo, diremos que es inconexo.

Formalmente, es un conjunto conexo si y s€lo si

implica

Notar que si , entonces tendremos que es conexo si y s€lo si

implica . En este caso, se llama espacio

topol€gico conexo,

Bajo estas definiciones, se tiene que es conexo si y solamente si es un espacio topol€gico conexo para la

topolog‚a traza.

Ejemplos

Conjuntos conexos

… Las esferas son conexas

… Un punto en es conexo

… Un nudo es un conjunto conexo en

… Un toro es un conjunto conexo en

… En , un conjunto es conexo si y solamente si es un intervalo (matemƒtica)

… El complementario de un punto en es conexo

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Intervalo_%28matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_trazahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Si_y_s%C3%B3lo_sihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_abiertohttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.eshttp://enciclopedia.us.es/index.php/Conjunto_de_Mandelbrothttp://enciclopedia.us.es/index.php/Conjunto_de_Mandelbrothttp://commons.wikimedia.org/wiki/Mandelbrot_sethttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikimedia_Commonshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg


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Conjunto conexo 21

Conjuntos inconexos

… El complementario de un punto en

… El conjunto formado por la uni€n de dos esferas disjuntas en

… Un enlace de componentes (nudos)

Propiedades de los conjuntos conexosSe cumple que si es un espacio topol€gico conexo, cualquier espacio homeomorfo a •l tambi•n lo serƒ.

Esta propiedad nos da una caracterizaci€n muy ‡til de los conjuntos conexos: es un conjunto conexo si y

solamente si para toda funci€n continua, se cumple que es una funci€n constante, donde a

se le dota de la topolog‚a discreta.Otra propiedad interesante de los conjuntos conexos es la siguiente: Si es una familia de espacios

top€logicos conexos (con un conjunto de ‚ndices de cualquier cardinalidad), entonces tambi•n es

conexo, donde es la topolog‚a producto.

Por ‡ltimo, si no es conexo, es decir, si existen abiertos disjuntos no vac‚os tales que su uni€n es , esfƒcil ver que cada abierto serƒ el complemento del otro, luego serƒn complementos de un abierto, y por ende, serƒn

cerrados. Es decir, serƒn conjuntos clopen. Por esto, otra manera de caracterizar la conexidad es decir: serƒ

conexo si y s€lo si los ‡nicos clopen son y el vac‚o (donde ambos conjuntos son siempre clopen).

Conexidad por caminosVƒase tambiƒn: Espacio conexo por caminos

Diremos que un conjunto es conexo por caminos o arco conexo si dados existe un camino

continuo tal que y .

La conexidad por caminos implica conexidad, pero el rec‚proco no es cierto en general. Un contraejemplo muy t‚pico

es el llamado peine del top€logo, , donde y

. es conexo, pero no conexo por caminos.

Ser conexo por caminos no es una propiedad hereditaria (esto es, si un conjunto es conexo por caminos, cualquiersubconjunto de •ste no es necesariamente conexo por caminos). Sin embargo, ser conexo por caminos es una

propiedad topol€gica (es decir, la imagen mediante una aplicaci€n continua de un conjunto conexo por caminos es

conexa por caminos).

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Propiedad_topol%C3%B3gicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Peine_del_top%C3%B3logohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3APeine2.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_conexo_por_caminoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_clopenhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Complemento_de_un_conjuntohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_productohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cardinalidadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_discretahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Continuidad_%28matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Homeomorfismo


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Conjunto conexo 22

Componentes conexas

Dado un espacio topol€gico inconexo se llama componente conexa, a cada uno de los conjuntos

maximales conexos. Es decir un subconjunto es un componente conexa si se cumplen estas dos

condiciones:1. es conexo.

2. Cualquier conjunto que contiene propiamente a es inconexo.

Se cumple que las componentes conexas de forman una partici€n de .

Espacio topol€gico

Cuatro ejemplos y dos anti-ejemplos de topolog‚as en el conjunto de tres puntos

{1,2,3}.

El ejemplo inferior izquierdo no es una topolog‚a porque la uni€n {2} y {3}, igual

a {2,3}, no es parte de la colecci€n.

El ejemplo inferior derecho tampoco es una topolog‚a porque la intersecci€n de

{1,2} y {2,3}, igual a {2}, no es parte de la colecci€n.

Un espacio topol€gico es una estructura

matemƒtica que permite la definici€n formal

de conceptos como convergencia,

conectividad, y continuidad. La rama de lasmatemƒticas que estudia los espacios

topol€gicos se llama topolog‚a.

Definici€n

Un espacio topol€gico es un conjunto E de

elementos junto con T, una colecci€n de

subconjuntos de E que satisfacen las

siguientes propiedades:

1. El conjunto vac‚o y E estƒn en T .

2. La intersecci€n de cualquier colecci€n finita de conjuntos de T estƒ tambi•n en T .

3. La uni€n de toda colecci€n de conjuntos de T estƒ tambi•n en T .

Esta condici€n tambi•n se puede escribir:

Los conjuntos en T son los conjuntos abiertos, y sus complementos en E son llamados conjuntos cerrados.

La colecci€n T es llamada "topolog‚a" en E. Los elementos de E suelen llamarse puntos, aunque pueden sercualquiera de los objetos matemƒticos. Un espacio topol€gico en el cual los puntos son funciones es llamado un

espacio funcional.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_funcionalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Uni%C3%B3n_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Intersecci%C3%B3n_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_vac%C3%ADohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Continuidad_%28matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_conexohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Convergencia_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ATopological_space_examples.svghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Partici%C3%B3n_%28matem%C3%A1tica%29


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Espacio topol€gico 23

Al conjunto E se le llama substrato del espacio topol€gico.

Ejemplos… Topolog‚a trivial o indiscreta: es la formada por y .

… Topolog‚a discreta: es la formada por el conjunto de las partes de .

… Topolog‚a de los complementos finitos: es la formada por y los conjuntos de , cuyos complementariosson finitos.

… Topolog‚a de los complementos numerables: es la formada por y los conjuntos de , cuyos

complementarios son numerables.

… R, conjunto de los reales, y T el conjunto de los intervalos abiertos en el sentido usual, y de las reuniones

(cualesquiera) de intervalos abiertos.

… Recta de Sorgenfrey: la recta real junto con la topolog‚a del l‚mite inferior

Espacios metrizables

Toda m•trica permite definir de manera natural en un espacio la topolog‚a formada por las uniones arbitrarias de

bolas de centro y radio :

Esta topolog‚a se aproxima a la noci€n intuitiva de conjunto abierto, permitiendo una aproximaci€n de carƒcter local

a la topolog‚a.

En vez de considerar todo el conjunto, el punto de vista local consiste en preguntarse: Šqu• relaci€n tiene que haber

entre un punto a cualquiera de A, y A para que A sea un abierto?

Si se considera el ejemplo mƒs conocido, el de los intervalos, uno se da

cuenta de que los intervalos abiertos son los que no contienen puntos

en su frontera o borde, que son puntos en contacto al la vez con A y

con su complementario R - A.

En otras palabras, un punto de un abierto no estƒ directamente en

contacto con el "exterior".

No estar en contacto significa intuitivamente que hay una cierta

distancia entre el punto y el exterior; llam•mosla d . Entonces la bola B

(a, d/2), de radio d/2 y de centro a estƒ incluida en A y no toca el

complementario. En la figura, a estƒ en el interior de A, mientras que b estƒ en su frontera, porque cualquier

vecindad de b encuentra R - A.

Al hablar de distancia, utilizamos un concepto de los espacios m•tricos, que son mƒs intuitivos pues corresponden al

mundo real (asimilable a R‘). En topolog‚a, tenemos que cambiar el concepto de bola por el, mƒs general, devecindad o entorno. Una vecindad de un punto x es este punto con algo de su alrededor. Tenemos entera libertad para

definir el significado de "alrededor" y "vecindad" con tal de satisfacer los axiomas siguientes:

1. x pertenece a todas sus vecindades.

2. Un conjunto que contiene una vecindad de x es una vecindad de x.

3. La intersecci€n de dos vecindades de x es tambi•n una vecindad de x.

4. En toda vecindad V de x existe otra vecindad U de x tal que V es una vecindad de todos los puntos de U.

Llamamos abierto un conjunto que es una vecindad para todos sus puntos.

Los axiomas expuestos en el punto de vista global estƒn verificados:

1. E es obviamente una vecindad para todos sus puntos, y „ tambi•n porque no contiene punto. (Una propiedaduniversal: para todo x ... es forzosamente cierta en el conjunto vac‚o.)

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Entorno_%28topolog%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Bola_%28matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Intervalo_%28matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ATopolog%C3%ADa_abierto_1.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_del_l%C3%ADmite_inferiorhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_numerablehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_de_los_complementos_numerableshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_de_los_complementos_finitoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_discretahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_trivial


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Espacio topol€gico 24

2. Una uni€n de abiertos Oies un superconjunto de cada O

i, y O

ies una vecindad de todos sus puntos, por lo tanto,

la uni€n es una vecindad de todos sus puntos, gracias a la propiedad (2).

3. Sea x un punto de la intersecci€n de los abiertos O1

y O2. O

1y O

2son abiertos que contienen x y por lo tanto

vecindades de •l. Una intersecci€n de vecindades de x es una vecindad de x (propiedad 3), lo que implica que O1

O2

es una vecindad de todos sus puntos, y por lo tanto un abierto.

Propiedades de un espacio topol€gico… Compacidad

… Conectividad

… Axiomas de separaci€n

Vƒase tambiƒn… Glosario de topolog‚a

… Topolog‚a

Bibliograf‚a… Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.

Topolog‚a

Ilustraci€n del Teorema de los cuatro colores.

La Topolog‚a (del griego ’“”–, …lugar†, y —“˜–, …estudio†) es la

rama de las matemƒticas dedicada al estudio de aquellas

propiedades de los cuerpos geom•tricos que permanecen

inalteradas por transformaciones continuas.[1] Es una disciplina

que estudia las propiedades de los espacios topol€gicos y las

funciones continuas. La Topolog‚a se interesa por conceptos como

proximidad , n„mero de agujeros, el tipo de consistencia (o

textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar,

entre otros m‡ltiples atributos donde destacan conectividad,

compacidad, metricidad o metrizabilidad, etc•tera.

Los matemƒticos usan la palabra topolog€a con dos sentidos:

informalmente es el sentido arriba especificado, y de manera

formal se refieren a una cierta familia de subconjuntos de unconjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la uni€n y la

intersecci€n. Este segundo sentido puede verse desarrollado en el

art‚culo espacio topol€gico.

Idea intuitiva

Particularmente se presenta a la Topolog‚a como la "Geometr‚a de la pƒgina de goma (chicle)". Esto hace referencia

a que en la Geometr‚a eucl‚dea dos objetos serƒn equivalentes mientras podamos transformar uno en otro mediante

isometr‚as (rotaciones, traslaciones, reflexiones, etc), es decir, mediante transformaciones que conservan las medidas

de ƒngulo, longitud, ƒrea, volumen y otras.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Volumen_%28f%C3%ADsica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81reahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Longitud_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Eje_de_simetr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Traslaci%C3%B3n_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Rotaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Isometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometr%C3%ADa_eucl%C3%ADdeahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjuntohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Subconjuntohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Compactohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Continuidad_%28matem%C3%A1tica%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Idioma_griegohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AFour_Colour_Map_Example.svghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_los_cuatro_coloreshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Glosario_de_topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Axiomas_de_separaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_compacto


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Topolog‚a 25

En topolog‚a, dos objetos son equivalentes en un sentido mucho mƒs amplio. Han de tener el mismo n‡mero de

trozos, huecos, intersecciones, etc. En topolog‚a estƒ permitido doblar, estirar, encoger, retorcer, etc., los objetos,

pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unido, ni pegar lo que estaba separado. Por ejemplo, un

triƒngulo es topol€gicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma

continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento, ya que habr‚a que partirla (o

pegarla) por alg‡n punto.

‰sta es la raz€n de que se la llame la "Geometr‚a de la pƒgina de goma", porque es como si estuvi•ramos estudiando

Geometr‚a sobre un papel de goma que pudiera contraerse, estirarse, etc.

Una taza transformƒndose en una rosquilla (toro).

Un chiste habitual entre los top€logos (los matemƒticos que se dedican

a la topolog‚a) es que un top€logo es una persona incapaz de

distinguir una taza de una rosquillaŽ. Pero esta visi€n, aunque muy

intuitiva e ingeniosa, es sesgada y parcial. Por un lado, puede llevar a

pensar que la topolog‚a trata s€lo de objetos y conceptos geom•tricos,

siendo mƒs bien al contrario, es la geometr‚a la que trata con un cierto

tipo de objetos topol€gicos. Por otro lado, en muchos casos es

imposible dar una imagen o interpretaci€n intuitiva de problemastopol€gicos o incluso de algunos conceptos. El intentar visualizar los

conceptos es un error frecuente entre los principiantes en la topolog‚a,

que les hace avanzar muy lentamente cuando no pueden encontrar un

ejemplo grƒfico, tener una visi€n parcial de algunos conceptos, e

incluso incurrir en errores. Es frecuente entre los estudiantes

primerizos escuchar que "no entienden la topolog‚a" y que no les gusta esa rama; generalmente se debe a que se

mantienen en esta actitud grƒfica. Por ‡ltimo, la topolog‚a se nutre tambi•n en buena medida de conceptos cuya

inspiraci€n se encuentra en el Anƒlisis matemƒtico. Se puede decir que casi la totalidad de los conceptos e ideas de

esta rama son conceptos e ideas topol€gicos.

Un ejemplo clarificador

Plano del metro de Madrid.

Observemos un antiguo plano del metro de Madrid. En •l estƒn

representadas las estaciones y las l‚neas de metro que las unen, pero no

es geomƒtricamente exacto. La curvatura de las l‚neas de metro no

coincide, ni su longitud a escala, ni la posici€n relativa de las

estaciones... Pero a‡n as‚ es un plano perfectamente ‡til. Sin embargo,

este plano es exacto en cierto sentido pues representa fielmente cierto

tipo de informaci€n, la ‡nica que necesitamos para decidir nuestro

camino por la red de metro: informaci•n topol•gica.

Historia de la Topolog‚a

Hist€ricamente, las primeras ideas topol€gicas conciernen al concepto

de l‚mite y al de completitud de un espacio m•trico, y se manifestaron

principalmente en la crisis de los inconmesurables de los pitag€ricos,

ante la aparici€n de n‡meros reales no racionales. El primer

acercamiento concreto al concepto de l‚mite y tambi•n al de integral

aparece en el m•todo de exhauci€n de Arqu‚medes. La aparici€n del

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Arqu%C3%ADmedeshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_exhauci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Integralhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmeros_racionaleshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmeros_realeshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pitag%C3%B3ricoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Inconmensurabilidadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMadrid-metro-map.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AMug_and_Torus_morph.gifhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Toro_%28matem%C3%A1ticas%29


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Topolog‚a 26

Anƒlisis Matemƒtico en el siglo XVII puso en evidencia la necesidad de formalizar el concepto de proximidad y

continuidad, y la incapacidad de la Geometr‚a para tratar este tema. Fue precisamente la fundamentaci€n del Cƒlculo

Infinitesimal, as‚ como los intentos de formalizar el concepto de variedad en Geometr‚a lo que llev€ a la aparici€n de

la Topolog‚a, a finales del siglo XIX y principios del XX.

Se suele fechar el origen de la Topolog‚a con la resoluci€n por parte de Euler del problema de los puentes de

K™nigsberg, en 1735. Ciertamente, la resoluci€n de Euler del problema utiliza una forma de pensar totalmentetopol€gica, y la soluci€n del problema nos lleva a la caracter‚stica de Euler, el primer invariante de la Topolog‚a

Algebraica, pero ser‚a muy arriesgado y arbitrario fechar en ese momento la aparici€n de la Topolog‚a. La situaci€n

es exactamente anƒloga a la del cƒlculo del ƒrea de la elipse por Arqu‚medes.

El t•rmino topolog€a fue usado por primera vez por J. B. Listing, en 1836 en una carta a su antiguo profesor de la

escuela primaria, Mšller, y posteriormente en su libro Vorstudien zur Topologie (Estudios previos a la topolog‚a),

publicado en 1847. Anteriormente se la denominaba analysis situs. Maurice Fr•chet introdujo el concepto de espacio

m•trico en 1906.

Cronolog‚a[2]

A†o Acontecimiento

300 a.C. Euclides define las secciones c€nicas y estudia los poliedros regulares, una de las formas mƒs bƒsicas estudiadas por los

top€logos.

250 a.C. Arqu‚medes investiga las curvas espirales y los poliedros truncados.

1735 d.C. Leonhard Euler resuelve el problema de los puentes de K™nigsberg.

1858 Los alemanes August M™bius y Johann Benedict Listing descubren en forma independiente la hoy llamada banda de M™bius.

1890 Giuseppe Peano aplicando la definici€n de Jordƒn,

demuestra que un cuadrado relleno tambi•n es una curva.

D•cada de

1920

Pƒvel Urys€n y Karl Menger definen el concepto de curva a partir de la topolog‚a.

Algo de desarrollo formalEn el art‚culo Glosario de topolog‚a se encuentra una colecci€n de t•rminos topol€gicos con su significado. Aqu‚ y

ahora nos limitaremos a dar algunas nociones bƒsicas.

Como hemos dicho, el concepto fundamental de la Topolog‚a es la "relaci€n de proximidad", que puede parecer

ambigua y subjetiva. El gran logro de la Topolog‚a es dar una formulaci€n precisa, objetiva y ‡til de este concepto.

Para ello tomamos un conjunto de referencia , que serƒ el ambiente en el que nos moveremos, y al que

llamaremos espacio. Tomaremos un elemento cualquiera de . A los elementos del espacio se les llama puntos,

as‚ que serƒ llamado punto, independientemente de que sea una funci€n, un vector, un conjunto, un ideal

maximal en un anillo conmutativo y unitario... Un subconjunto de serƒ un entorno de si es elemento de

y existe un conjunto abierto de manera que est• incluido en . ŠQu• entenderemos por conjunto abierto?

Aqu‚ estƒ el quid de la cuesti€n: una colecci€n de subconjuntos de se dirƒ que es una topolog‚a sobre si

es uno de los elementos de esa colecci€n, si es un elemento de la colecci€n, si la uni€n de elementos de la

colecci€n da como resultado un elemento de la colecci€n y si la intersecci€n finita de elementos de la colecci€n

tambi•n es un elemento de la colecci€n. A los elementos de la colecci€n se les denomina abiertos de la topolog‚a

, y al par se le denomina espacio topol€gico.

Las condiciones para que sea topolog‚a sobre son entonces estas:

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Anillo_unitariohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Anillo_conmutativohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ideal_maximalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ideal_maximalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjuntohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_%28espacio_eucl%C3%ADdeo%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Glosario_de_topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Karl_Mengerhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=P%C3%A1vel_Urys%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Giuseppe_Peanohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1890http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Banda_de_M%C3%B6biushttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Johann_Benedict_Listinghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=August_M%C3%B6biushttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1858http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=1735http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espiralhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Arqu%C3%ADmedeshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Poliedrohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Secci%C3%B3n_c%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Euclideshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=A.C.http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Listing_%28Johann_Benedict%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Elipsehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_algebraicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_algebraicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Caracter%C3%ADstica_de_Eulerhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Eulerhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Variedad_%28matem%C3%A1tica%29


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Topolog‚a 27

Puede parecer extra†o que de una definici€n tan altamente formal y conjuntista se obtenga una formulaci€n precisa

del concepto de proximidad. Lo primero que se observa es que sobre un mismo espacio se pueden definir

distintas topolog‚as, generando entonces distintos espacios topol€gicos. Por otra parte, precisamente la manera en

que quede determinada una topolog‚a sobre un conjunto (es decir, la elecci€n del criterio que nos permita decidir si

un conjunto dado es o no abierto) es lo que va a dar carƒcter "visualizable" o no a ese espacio topol€gico.Una de las maneras mƒs sencillas de determinar una topolog‚a es mediante una distancia o mƒtrica, m•todo que s€lo

es aplicable en algunos casos (si bien es cierto que muchos de los casos mƒs intersantes de topolog‚as en la

Geometr‚a y del Anƒlisis Matemƒtico pueden determinarse mediante alguna distancia). Una distancia sobre un

conjunto es una aplicaci€n que verifica las siguientes propiedades:

;

si y s€lo si ;

cualesquiera que sean .Si tenemos definida una distancia sobre , diremos que la pareja

es un espacio m•trico. Dado un espacio m•trico , queda determinada una topolog‚a sobre en la que los

conjuntos abiertos son los subconjuntos de tales que cualquiera que sea el punto de existe un n‡mero

de tal manera que el conjunto estƒ totalmente incluido en . Al conjunto

se le denomina bola abierta de centro y radio , y serƒ precisamente un entorno del

punto .Como se ha apuntado antes, por desgracia no toda topolog‚a proviene de una distancia, es decir, existen espacios

topol€gicos que no son espacios m•tricos. Cuando un espacio topol€gico es ademƒs espacio m•trico (esto es, cuandodada una topolog‚a sobre un conjunto, puede definirse en ese conjunto una distancia de manera que la topolog‚a

generada por la distancia coincida con la topolog‚a dada) se dice que el espacio topol€gico es metrizable. Un

problema clƒsico en Topolog‚a es el de determinar qu• condiciones debe satisfacer un espacio topol€gico para que

sea metrizable.

Ramas de la Topolog‚aSe suelen considerar principalmente tres ramas:

… la Topolog‚a General o Conjuntista,

… la Topolog‚a Algebraica y… la Topolog‚a Diferencial.

Ademƒs de estas tres ramas, que podr‚amos decir propiamente topol€gicas, la implicaci€n en mayor o menor medida

en otras disciplinas matemƒticas hacen que muchos consideren parte de la Topolog‚a al Anƒlisis Funcional, la Teor‚a

de la Medida, la Teor‚a de Nudos (parte de la Topolog‚a de dimensiones baja), la Teor‚a de Grupos Topol€gicos, etc.

Es fundamental su contribuci€n a la Teor‚a de Grafos, Anƒlisis Matemƒtico, Ecuaciones Diferenciales, Ecuaciones

Funcionales, Variable Compleja, Geometr‚a Diferencial, Geometr‚a Algebraica, ›lgebra Conmutativa, Estad‚stica,

Teor‚a del Caos, Geometr‚a Fractal... Incluso tiene aplicaciones directas en Biolog‚a, Sociolog‚a, etc.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sociolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Biolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometr%C3%ADa_fractalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_del_Caoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81lgebra_conmutativahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometr%C3%ADa_algebraicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometr%C3%ADa_diferencialhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=An%C3%A1lisis_complejohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaciones_Funcionaleshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaciones_Funcionaleshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_Grafoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupo_topol%C3%B3gicohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_geom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_nudoshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_la_medidahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_la_medidahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=An%C3%A1lisis_funcionalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_diferencialhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_algebraicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_generalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_abiertohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Distancia


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Topolog‚a 28

Topolog‚a General o ConjuntistaConstituye la base de los estudios en Topolog‚a. En ella se desarrollan t€picos como lo que es un espacio topol€gico

o los entornos de un punto.

Conceptos fundamentales referidos a la topolog‚a de un conjunto

Topolog‚a, espacio topol€gico, abiertos, cerrados, subespacios

Sea un conjunto cualquiera y el conjunto de sus partes. Una topolog‚a sobre es un conjunto

que cumpla que , , si entonces , y que si

entonces . A los elementos de se les denomina conjuntos abiertos. Al par se le

denomina espacio topol€gico. A los elementos de se les suele denominar puntos.N€tese que desde un primer momento hemos especificado que el conjunto es cualquiera, no necesariamente u

Laberinto Fractal 10

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