Kriging revisitado

Applicaciones y limites

Sociedad Geologica del Peru7 Noviembre 2017, Lima

Ing. Daniel Guibal, FAusIMM (CP)Consultor – SRK Consulting

Daniel Guibal

• Geoestadistico

• MSc (Matematicas y Geoestadistica),Ecole Nationale Superieure des Mines de

Paris, 1973

• Ingenieur Civil des Mines (Ingeniero de Minas), Ecole Nationale Superieure des Mines de Nancy, 1971

• Centro de Geoestadistica (hasta 1982)

• Minero Peru (1974 – 1976)

• Consultor in Australia desde 1983 (Siromines, Geoval, SRK Consulting)

• Consultor en el Peru

• FAusIMM (CP), GAA

Introduccion

• Kriging como tecnica tiene mas de 50 años. Su uso ha ido creciendo.

• Sin embargo, no es una tecnicauniversal. Es importante entendersu dominio de aplicacion y sus limitaciones.

Plan

• Origen del kriging

• Lo que es

• Propiedades

• Limitaciones

• Que hacer?

Origen del Kriging

• Krige’s Master Thesis (1951)

Origen del Kriging (2)

• Witwatersrand Oro.

• Metodo polygonal de estimacion

lleva a sesgos.

• Se necesitar “compensar” datos

internos al bloque por datos

externos: regresion

Origen del Kriging (3)

Origen del Kriging (4)

• Tecnica de Krige generalisada por

Georges Matheron

• Nombrada “krigeage” en 1960

como homenage a Dannie Krige

Que es Kriging ?

• Interpolador lineal que minimisa

la varianza de estimacion (por

un soporte, una configuracion

de datos y un variograma

dados)

• No sesgado

• En ingles: “BLUE”

Que es Kriging ?

• Interpolador lineal que minimisa

la varianza de estimacion (por un

soporte, una configuracion de

datos y un variograma dados)

• Insesgado

• En ingles: “BLUE”

Que es Kriging ? (2)

Toma en cuenta:

• Calidad de datos

• Geometria de muestras (malla,

grupos..)

• Continuidad especial

• soporte

Que es Kriging ? (3)

Estimador lineal:

Insesgado

N

i

i

1

0.1

N

i

iiV xZZ

1

*

Que es Kriging ? (4)

Varianza de estimacion minima

Sistema de kriging ordinario (n+1

ecuaciones con n+1 desconocidas)

1

,...,2,1, ),(),(

1

11

N

i

i

iji

N

j

i

N

i

NjiVxxx

Propiedades del Kriging

• Sistema tiene solucion unica (si

modelo de variograma

autorizado)

• KO pesos NO dependen en los

datos (solo en el variograma),

Kriging puede ser usado como

herramienta de optimisacion de

malla.

• Interpolador exacto

Propiedades del Kriging (2)

Efecto de pantalla:

• Variogram erratico: efecto minimo

• Variograma continuo: efectoimportante

• Csq: busqueda mas larga encaso de poca continuidad(relacion tenua con el alcance del variograma).

Analisis del vecindaje

En ingles: QKNA (Quantitative

Kriging Neighbourhood Analisis)

• Objetivo: minimisar sesgo

condicional ( ≠ no sesgo global)

• Definicion del tamaño de bloque,

distancia de busqueda, numero

de datos que usar, condiciones…)

Analisis de Vecindaje

Ejamplo

General results of the estimation

=================================

Results for : Block Average

- For variable V1

Total sum of the weights = 1.000000

Lagrange parameters #1 = 0.226206

Estimated value = 61.389711

Estimation variance = 4.736313

Estimation standard deviation = 2.176307

Variance of Ze (Estimated Z) = 12.883972

Mean covariance over block = 18.072697

Covariance between Z and Ze = 13.110178

Correlation between Z and Ze = 0.859156

Slope of the regression Z | Ze = 1.017557

Slope of the regression Ze | Z = 0.725413

Change parameters and test again…and again...

Analisis del vecindaje (2)

Criterios que considerer;

• Ponderadores (negativos?, tendiendo

hacia 0.,….)

• Pendiente de regression (Zv|Z*v) approx.

= 1.0

• Eficiencia del kriging (mide alisamiento)

• Varianza de estimacion

• Kriging Simple (sin condicion en la suma

de los ponderadores): indicador de la

calidad de la estimacion local

Alisamiento

• Consequencia necesaria de la estimacionpor kriging

• Relacion de alisamiento

• Leyes estimadas presentan unavariabilidad menor que ley verdadera: efecto de informacion

• Peligroso tratar de limitar efecto al disminuir el numero de datos usados enkriging (or reducer dimesiones del vecindaje)

2]|)([]|)([ 22*2 OKVvZDVvZD

Limitaciones del KO

• Kriging primeramente una herramienta de

estimacion local in situ (bloques

vinculados a malla de datos)

• Planificacion a largo plazo

• A menudo no trabaja bien para corto plazo

(si no se tienen datos de control de leyes)

• No se pueden en general estimar

pequenos bloques! (con respect a la

densidad de datos) Sesgo condicional,

mucho alisamiento, lo que implica que la

curva tonelaje – ley es sesgada

Que hacer?

• Caso tipico: estudio de

factibilidad

• No sirve reducir el vecindaje

(estimador polygonal?)

• Varias soluciones– Estimacion no lineal: se estiman

bloques grandes (panels) y distribucion

de UMS dentro de cada panel.

– Simulaciones condicionales.

Estimacion no lineal

Dos tipos de metodos:• Kriging de Indicadores

– No se necesita software specifico

– Problemas de consistencia en los varios cut-offs

– Cambio de soporte (UMS) adhoc

• Metodo Gausiano: CondicionamientoUniforme (local)– Relativamente simple con software adecusdo

– Cambio de soporte integrado dentro del metodo

– Stacionaridad requerida en principio.

Estimacion no lineal

Todos estos metodos pueden ser

localisados.

Se necesita un estimador (alsado)

solamente usado para ordenar los

UMS

Simulaciones condicionales

• Reproducen variabilidad (histograma,

variogramas, correlaciones) y son

condicionales

• Aplicaciones:

– Analisis de riesgo, clasificacion de recursos

– Control de leyes en un tajo abierto

– Estudios de selectividad

– Estimacion de Recursos (particularmente for

minas subterraneo

Conclusion

• KO es una tecnica muy importante,

• Se deben entender las condiciones de

uso, en particular el analisis de vecindaje

• Limitaciones existen, vinculadas al

alisamiento de los estimadores. Cuidado

con el sesgo condicional

• Tecnicas existen que permitir resolver este

problema.

GRACIAS

Algunas Preguntas?