Relasi• Relasi dari A ke B disebut fungsi apabila setiap• elemen himpunan A dipasangkan hanya satu kali pada• elemen himpunan B• y= f(x) ; artinya y merupakan fungsi x• A = daerah asal (Domain)• B = daerah jelajah (Kodomain)• Relation from A to B is called a function if every

elements of set A is paired only once in theelements of set By = f (x), meaning that y is a function of xA = area of origin (Domain)B = the home range (Kodomain)

A B A BA x A xB y B yC z C z

FUNGSI Bukan Fungsi

Komposisi Fungsi

• Jika fungsi f: A B dilanjutkan fungsi g: B C maka dapat dinyatakan dengan (g o f) : A C

• Rumus : f g• (i) (fog)(x) = f(g(x)) A B C• (ii) (gof)(x) = g(f(x)) X g(x) g(f(x))

gof

• Contoh:• f(x – 1) = x2 + 5x

Tentukan : a. f(g(x))• b. f(-3)a. Misal f(x) = x – 1 maka g(x) = y + 1• karena f(x – 1) = x2 + 5x• maka f(g(x)) = (y + 1)2 + 5(y + 1)• f(g(x)) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5• f(g(x)) = y2 + 7y + 6

• Example:f (x - 1) = x2 + 5x Define: a. f (g (x)) b. f (-3)Suppose f (x) = x - 1 then g (x) = y + 1 because f (x - 1) = x2 + 5x then f (g (x)) = (y + 1) 2 + 5 (y + 1) f (g (x)) = y2 + 2y + 1 + 5Y + 5 f (g (x)) = y2 + 7y + 6

• a. fog = x2 + 7x + 6

• b. fog(-1) = (-3)2 + 7(-3) + 6

• = 9 – 21 + 6

• = -6

Komposisi Fungsi• Penggabungan operasi dua fungsi

• secara berurutan akan• menghasilkan sebuah fungsi baru.• Penggabungan tersebut disebut• komposisi fungsi dan hasilnya

• disebut fungsi komposisi.

• Merging the two functions operatingwill sequentiallyproduce a new function.The merger has been calledcomposition and function resultscalled the composition function.

x A dipetakan oleh f ke y Bditulis f : x → y atau y = f(x)

y B dipetakan oleh g ke z Cditulis g : y → z atau z = g(y)

atau z = g(f(x))

A

x

C

z

B

yf g

x A mapped byf to y B

written f : x → y or y = f(x)y B mapped by g to z Cwritten g : y → z or z = g(y)

or z = g(f(x))

A

x

C

z

B

yf g

maka fungsi yang memetakanx A ke z C

adalah komposisi fungsi f dan gditulis (g o f)(x) = g(f(x))

A B C

x zyf g

maka fungsi yang memetakanx A ke z C

adalah komposisi fungsi f dan gditulis (g o f)(x) = g(f(x))

then the function which mapsx A to z C

is the composition of functions f and gwritten g o f)(x) = g(f(x))

A B C

x zyf g

14

Jawab:

A B Ca

b

p

q

123

f g

f(a) = 1 dan g(1) = q

Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q

(g o f)(a) = ?

A B Ca

b

p

q

123

f g

f(b) = 3 dan g(3) = p

Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p

(g o f)(b) = ?

contoh 2

Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).

Jika f(x) = 2x + p dan

g(x) = 3x + 120

maka nilai p = … .

Jawab:f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120

g(f(x)) = f(g(x))

g(2x+ p) = f(3x + 120)

3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p

6x + 3p + 120 = 6x + 360 + p

3p – p = 360 – 120

2p = 240 p = 120

Sifat Komposisi Fungsi1.Tidak komutatif:

f o g ≠ g o f2. Bersifat assosiatif:

f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h3. Memiliki fungsi identitas: I(x) = x

f o I = I o f = f

contoh 1f : R → R dan g : R → R

f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5

Tentukan: a. (g o f)(x)

b. (f o g)(x)

Jawab:f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5

a. (g o f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1)

= 2(3x – 1)2 + 5

= 2(9x2 – 6x + 1) + 5

= 18x2 – 12x + 2 + 5

= 18x2 – 12x + 7

f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5)

= 3(2x2 + 5) – 1

= 6x2 + 15 – 1

(f o g)(x) = 6x2 + 14 (g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7 (g o f)(x) ≠ (f o g )(x) tidak bersifat komutatif

contoh 2f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan

h(x) = 1/x

Tentukan: a. (f o g) o h

b. f o (g o h)

Jawab:f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1

dan h(x) = 1/x((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x))

(f o g)(x) = (x2 – 1) – 1 = x2 – 2

(f o g(h(x))) = (f o g)(1/x) = (1/x)2 – 2

f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1dan h(x) = 1/x

(f o (g o h))(x) = (f(g oh)(x))(g o h)(x)= g(1/x)

= (1/x)2 – 1 = 1/x2 - 1

f(g o h)(x)= f(1/x2 – 1) = (1/x2 – 1) – 1

=(1/x)2 – 2

Contoh 4

Diketahui f(x) = 2x + 1dan (f o g)(x + 1)= -2x2 – 4x + 1

Nilai g(-2) =….

Jawaban:f(g(x + 1))= -2x2 – 4x + 1

f(x) = 2x + 1 → f(g(x))= 2g(x) + 1f(g(x + 1)) = 2g (x + 1) + 1

2g(x + 1) + 1 = -2x2 – 4x – 12g(x + 1) = -2x2 – 4x – 2

g(x + 1) = -x2 – 2x – 1

g(x + 1) = -x2 – 2x – 1 g(x) = -(x – 1)2 – 2(x – 1) – 1 g(2) = -(2 – 1)2 – 2(2 – 1) – 1 = -1 – 2 – 1 = -4Jadi g(2) = - 4

f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1dan h(x) = 1/x

(f o (g o h))(x) = (f(g oh)(x))(g o h)(x)= g(1/x)

= (1/x)2 – 1 = 1/x2 - 1

f(g o h)(x)= f(1/x2 – 1) = (1/x2 – 1) – 1

=(1/x)2 – 2

Fungsi invers• Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara• berikut ini.• a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.• b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi

dalam• y dan nyatakanlah x = f(y).• c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).• Untuk lebih memahami tentang fungsi invers, pelajarilah contoh soal berikut ini.

• To determine the function of the inverse of a function can be done byfollowing.a. Make permisalan f (x) = y in the equation.b. This equation is adjusted to f (x) = y, so that is found in functionsy and state x = f (y).c. Replace y with x, so f (y) = f -1 (x).To better understand the inverse function, learn about the following examples.

• Jika diketahui f(x) = x x ≠ –2, tentukan inversnya X+2

• Misal f(x) = y, maka soalnya menjadi:• F(x)= x

X+2

• y= xX+2 X= -2y

• y(x + 2) = x y-1• yx + 2y = x f1(x)= -2x• yx – x = –2y x-1• (y – 1)x = –2y

• If known f(x) = x x ≠ –2, determine the inverse X+2

• Example f(x) = y, then the question becomes :• F(x)= x

X+2

• y= xX+2 X= -2y

• y(x + 2) = x y-1• yx + 2y = x f1(x)= -2x• yx – x = –2y x-1• (y – 1)x = –2y