Klinik und Poliklinik für Anästhesiologie und Spezielle Intensivmedizin A lumped parameter delay...
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KKlinik und Poliklinik für linik und Poliklinik für
AAnästhesiologie und nästhesiologie und
Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin
A lumped parameter delay differential equation
model of large arteries that captures reflection
phenomena and integrates with modular models of
the cardiovascular system.
Klinik und Poliklinik für Anästhesiologieund Spezielle Intensivmedizin
Sven Zenker
ESCTAIC Annual Meeting
Timisoara, October 2012
KKlinik und Poliklinik für linik und Poliklinik für
AAnästhesiologie und nästhesiologie und
Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin
Joint work with
Jonathan Rubin
Dept. of Mathematics
University of Pittsburgh
Gilles Clermont
Dept. of Critical Care Medicine
University of Pittsburgh Medical Center
KKlinik und Poliklinik für linik und Poliklinik für
AAnästhesiologie und nästhesiologie und
Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin
Increasing amounts of datawith high information content
Nonlinear interactions
Resonance phenomena
Morphology
KKlinik und Poliklinik für linik und Poliklinik für
AAnästhesiologie und nästhesiologie und
Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin
Motivation
• Model based data analysis may allow quantitative interpretation of monitoring data
• If the inverse problem of state and parameter estimation can be solved, and the model is mechanistic, the results may be directly interpretable in physiological terms
• Correct mechanistic models can achieve out-of-sample prediction (“extrapolation”)
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AAnästhesiologie und nästhesiologie und
Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin
“Prediction”
“Inference”
System states
Parameters
Quantitative
representation
of patient status
Measurement results
Diagnostic or
Therapeutic
Intervention
Mathematical model of
•Physiology
•Measurement
SingleStateVector
ProbabilityDensity functionon measurement
space
Measurement error and model stochasticity
(if present) introduce uncertainty
“Forward”
SingleMeasurement
vector
Probability densityFunction on state and
Parameter space
Measurement error, model stochasticity,
and ill-posedness introduce uncertainty
“Inverse”
“In
terp
reta
tio
n” “O
bservatio
n”
Role of forward and inverse problems
•Myocardial contractility
•Intravascular volumes
•Peripheral vasomotor tone
•….
•AP
•CVP
•HR
•….
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AAnästhesiologie und nästhesiologie und
Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin
Motivation
• Information contained in features of the data that the mechanistic model cannot reproduce cannot be extracted in this way…
• Ubiquitously measure pressures invasively in the ICU and (less ubiquitously) the OR
• Typically 125 – 250 Hz data with many interesting features
• This potential source of information about the patient’s physiological sate is mostly ignored in clinical practice
KKlinik und Poliklinik für linik und Poliklinik für
AAnästhesiologie und nästhesiologie und
Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin Arterial blood pressure and flow waveform
is dependent on location…
Source: http://ai.stanford.edu/~mitul/me382/web/spring_reportp7.htm
KKlinik und Poliklinik für linik und Poliklinik für
AAnästhesiologie und nästhesiologie und
Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin
…has many features that reflect physiological state…
Source: Liang et al., Clin Sci (1995) 669-679
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Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin
…with commercially available attempts to exploit them for monitoring
purposes in a more or less ad hoc way…
Source: http://www.pulsecor.com
…so algorithms were developed that detect these points and compute various indices…
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AAnästhesiologie und nästhesiologie und
Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin
Goal
• Use mechanistic model to infer determinants of these morphological features quantitatively
• Need: sufficiently simple model that – captures the phenomena of interest
– Is modular, i.e., embeds well into larger physiological models including other organs like heart, lungs, etc.
– Is formulated in the time domain, making it amenble to stepwise simulation, sequential assimilation, etc.
• Existing models:– Complicated, many (discretized) or infinitely many (distributed) parameters
(e.g., partial differential equations (PDEs), many examples in the bioengineering literature, in particular)
– Or designed to work only when fed realistic waveforms as forcing functions/input… (“t tubes”, e.g., Campbell, Burattini, Shroff: usually, assuming impedance matching)
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What goes on physiologically…
• Pressure and volume wave propagates through elastic tubes with (in reality) non-linear elastical and viscous behaviour, many branching points, inhomogeneity in viscoelastic properties, etc., etc.
• All this can be taken into account but– yields unwieldy models which make solving the inverse
problem unrealistically hard
• Will try the simplest possible approach…
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Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin
Starting point: Telegrapher’s Equation
Hyperbolic system of 2 coupled linear PDEs describing dynamic relationship of pressure and flow in a lossless elastic tube:
With
• RC characteristic impedance, v0 characteristic velocity
• Q(x,t) flow, P(x,t) pressure
Can be thought of as composed of infenitesimally small inductances and shunt capacitances…
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Simplifying assumptions
• Losslessness (negligible resistance terms, i.e., only capacitance and inductance (“inertia”) matter
• Homogeneity
• Linearity
• Primitive “topology” (for this component)
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Idea: Reduce this to delay differential equation (DDE)
Following the idea pursued by Shroff, Burattini, and others, we want to reduce this PDEs to DDEs, but without assuming matching terminal impedances
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First step: general solution
The linear system of PDEs admits a closed form d’Alembert type general solution:
As expected for a system of two PDEs, this is given in terms of two arbitrary functions ΨR and ΨL, these represent forward and backward travelling waves
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Boundary conditions
• To achieve the desired specific solution, we need to define boundary conditions
• We choose these to permit generic embedding into larger physiological models
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Boundary conditions: schematic
Rin(t) Rout(t)
Lossless transmission line with
•Length L
•Characteristic impedance Rc
•Propagation speed v0
•Reparametrize using delay time τ=L/v0
Pin(t) Pout(t)
x=0 x=L
P(x,t), Q(x,t)
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After some algebra we find…
…an expression for ΨR in terms of known things
ΨR analogous thanks to symmetry…
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Approximate…
So now we can actually compute everything we need to set up a DDE system with fixed delays, which are integer multiples of τ.
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To test, …
We embedded this new component into a simple model of the cardiovascular system:
Routt) Rin(t)
x=L x=0
P(x,t), Q(x,t)
Pv
Pa
Time varying elastance ventricular model
State dependent resistance valve modelsRcap
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Implementation issues
• DDE system, need adequate solver
• State dependent resistances introduce discontinuities, need careful event handling and detection
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Disclaimer before we look at results
No serious attempts were made to meaningfully parametrize this other than plugging in values from the literature to the extent available…
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Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin Results: transients, valve behaviour
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Rough explorations of what this can do…Changing outflow resistance (“arteriolar
resistance”)
Increasing arteriolar resistance, everything else unchanged
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Rough explorations of what this can do…Changing tube impedance
Increasing aortic stiffness, everything else unchanged
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Rough explorations of what this can do…Changing delay time
Increasing delay time (=increasing length of tube or decreasingwave velocity, everything else unchanged
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Summary
• DDE reduction of Telegrapher’s Equation using suitable boundary conditions can mimic many features of real arterial waveforms
• This is achieved at the “price” of only three additional parameters (inverse problem!)
• Time domain formulation allows straightforward embedding into more complicated lumped parameter models of physiology
• In particular, the effects of the closing aortic valve can now be modeled as a simple time-varying resistance
• While the math is simple, the numerics are not: care has to be taken to correctly handle delays, discontinuities, etc. to obtain meaningful results => performance is an issue, good solver with all required properties are non-existent at this point in time
KKlinik und Poliklinik für linik und Poliklinik für
AAnästhesiologie und nästhesiologie und
Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin
Future Work
• Parameter and state estimation from real data: computational challenges attributable to DDE model
• Query interpretability of results
• If unsatisfactory:– Smoother valve model (“Spikyness”)
– Non-lossless, possibly tapered tube
– More complex vessel “topologies” (branching…)
KKlinik und Poliklinik für linik und Poliklinik für
AAnästhesiologie und nästhesiologie und
Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin
Acknowledgement
This work was, in part, supported by
• The German Israeli Foundation (GIF, Young Investigator Grant No. 2249)
• the NIH
• the DFG (Sachbeihilfe ZE 904/2)
KKlinik und Poliklinik für linik und Poliklinik für
AAnästhesiologie und nästhesiologie und
Spezielle Spezielle IIntensivmedizinntensivmedizin
…and finally…
Thank you!
Contact: [email protected]