Center for Applied Mathematics and Theoretical PhysicsUniversity of Maribor • Maribor • Slovenia

Center za uporabno matematiko in teoreticno fizikoUniverza v Mariboru

www.camtp.uni-mb.si

Kaos in revolucije v znanosti20. stoletja

Marko Robnik

Seminar idej izven skatle

Univerza v Mariboru, 23. februar 2011

VSEBINA

1. Uvod: algoritmicna kompleksnost v logiki, matematiki in fiziki

2. Deterministicni kaos: eksponentna divergenca/nestabilnost ternenapovedljivost

3. Primeri v fiziki: regularno in kaoticno gibanje v dinamicnih sistemih

4. Pristnost deterministicnega kaosa ter smiselnost numericnih integracij

5. KAM teorija in uporaba: problem stabilnosti Soncevega (planetnega)sistema

6. Kaos in samo-organizacija

7. Zakljucek

1. Uvod: algoritmicna kompleksnost v logiki, matematiki in fiziki

Trojna revolucija v (klasicni) znanosti 20. stoletja:

MATEMATIKA IN MATEMATICNA LOGIKA: PARADOKSI INALGORITMICNA KOMPLEKSNOST:

Obstajajo neizracunljiva stevila in nedokazljivi izreki (Turing 1936, Godel1930). Kompleksnost neizracunljivih stevil ni patoloska ali izjemna, temvectipicna in skoraj povsod prisotna. Tesno je povezana z nakljucnostjo.

NELINEARNA DINAMIKA V FIZIKI: KAOS OBSTAJA:

Ta kompleksnost in nenapovedljivost je tesno povezana s kaosom: manifestirajo prav kaos v deterministicnih sistemih (Poincare, Kolmogorov, Arnold,Moser, Smale in Chirikov, Lorenz, Feigenbaum, Grossmann, itd.)

SINERGETIKA OZIROMA SAMO-UREJENOST: STRUKTURA IZ KAOSA:

(Samodejna) urejenost je mozna v deterministicnih in v splosnem odprtihdisipativnih sistemih (Haken, Prigogine). To vkljucuje moznost zivljenja, kiima sposobnost reprodukcije.

Eno najglobljih filozofskih in znanstvenih vprasanj od zacetkov civilizacije je:

ZAKAJ IN KAKO JE ZIVLJENJE SPLOH MOZNO?

Zivljenje je visoko organiziran fenomen, ki obstaja v termodinamicnih odprtihsistemih, ki crpajo energijo iz okolja in odvajajo entropijo v okolje. Je torejsamo-organiziran fenomen v pravem nasprotju s termodinamicno zaprtimisistemi, ki vselej vodijo v popoln kaos (maksimalni nered). Torej, zivljenje jemozno s pomocjo obvladanja kaosa. Nadalje, bistveno za zive organizme jenjihova sposobnost samo-reprodukcije. Kako je to mogoce?

John von Neumann, 1948: Pri obravnavi produkcije in samo-reprodukcijelahko locimo software in hardware. Obstoj samo-reproduktivnih avtomatov nevodi do logicnih protislovij.

Zivi organizem: hardware = proteini, software = DNA in RNA

Predpostavka: samo-reproduktivni avtomat ima in uporablja Turingov stroj(univerzalni racunalnik) kot svoj osrednji computer za procesiranje informacij.

TURINGOV STROJ: namisljeni univerzalni racunalnik

Univerzalni computer obstaja in ima koncno kompleksnost. Z izvajanjemkoncnih programov lahko seveda Turingov stroj reproducira tudi neskoncnestevilcne konfiguracije kot n.pr. nekatera realna stevila:

√2, π, e,... bodisi v

desetiskem ali v binarnem sistemu itd.

1 = 1, 00000000000000000000000000000000000000000 . . .

2 = 2, 00000000000000000000000000000000000000000 . . .

7/13 = 0, 538461 538461 538461 538461 . . .

17/12 = 1, 416666 666666 666666 666666 666666 . . .

577/408 = 1, 414213 5686274509803921 5686274509803921 . . .

√2 = 1, 414213 562373 095048 801688 724209 . . .

π = 3, 14159265358979323846 . . .

e = 2, 7182818284590452353602874 . . .

TODA vsako stevilo ni izracunljivo na ta nacin! SKORAJ VSA REALNASTEVILA SO NEIZRACUNLJIVA!

SKLEP: Potrebujemo neskoncne programe, ce zelimo izracunati dano realnostevilo do poljubne natancnosti. Z drugimi besedami: dolzina programapresega vsako mejo z narascajocimi zahtevami po natancnosti. V tem jebistvena razlika med izracunljivimi in neizracunljivimi stevili. (angl.:computable and incomputable numbers).

TOREJ: Ne obstaja tak algoritem ali racunalniski program za napovedkoncnega stevila binarnih mest, ki bi bil krajsi kot binarna sekvenca sameganeizracunljivega stevila:

Vsako binarno mesto dobimo kot ”presenecenje”: informacija je nestisljiva, instevilo je nenapovedljivo (torej nakljucno).

LOGICNI PROBLEMI V MATEMATIKI IN LOGIKI V ZACETKU 20.STOLETJA:

Veliko logicnih antinomij. Ogrozajo konsistenco celotne matematike.

Poskus resitve problema: B.Russell in A.Whitehead: Principia Mathematica:Teorija tipov: izogib logicnim izjavam, ki se nanasajo same nase.

Kurt Godel (1930): V vsaki zadosti bogati matematicni strukturi kot je n.pr.teorija stevil, obstajajo teoremi (sintakticno dovoljeni) ki jih ni mogoce nitidokazati niti ovreci!

Genialna metoda: stevilcno kodiranje aksiomov, teoremov, itd.

Nedokazljivi izreki so v natancni korespondenci z neizracunljivimi steviliTuringa.

Turingova in Godelova odkritja so prav gotovo revolucionarna v matematiki inmatematicni logiki.

NOVO: Kompleksnost neizracunljivih stevil in nedokazljivih izrekov se pojavitudi v fiziki, namrec v kaosu: informacijska inkompresibilnost.

REVOLUCIONARNO ODKRITJE V NELINEARNI DINAMIKI (V FIZIKI) JE:

Kaos (kaoticno vedenje) v deterministicnih sistemih obstaja!

V naravi obstajajo pojavi, ki jih ni mogoce opisati in opazovati drugace kot znjihovo lastno casovno evolucijo, tako da njihove manifestacije ni mogocemodelirati s preprostejsimi fenomeni.

Bistvo kaosa: nestabilnost (zaradi nelinearnosti) ter nenapovedljivost, sajnajmanjsa napaka v zacetnem stanju popolnoma spremeni rezultat pokoncnem casu, t.i. Ljapunovem casu, ki je casovni horizont. Obcutljivaodvisnost od zacetnih pogojev (Ruelle).

NOVA FILOZOFIJA V NELINEARNI ZNANOSTI KOMPLEKSNIHNELINEARNIH SISTEMOV:

Uporaba racunalnikov ni le koristna in zanimiva, temvec neizogibna inbistvena.

ZIVLJENJE IN CIVILIZACIJA STA MOGOCA SAMO NA OSNOVI POJAVASAMO-ORGANIZACIJE, t.j. s pomocjo obvladovanja in kontroliranja kaosa,kjer je v disipativnih sistemih spet bistvena nelinearnost.

2. Deterministicni kaos: eksponentna divergenca/nestabilnost ternenapovedljivost

3. Primeri v fiziki: regularno in kaoticno gibanje v dinamicnih sistemih

4. Pristnost deterministicnega kaosa ter smiselnost numericnih integracij

5. KAM teorija in uporaba: problem stabilnosti Soncevega (planetnega)sistema

6. Kaos in samo-organizacija

7. Zakljucek

Pristni kaos je prisoten povsod v naravi in njegova kompleksnost nampreprecuje, da ga v podrobnosti opisemo s se tako rafinirano a preprostoformulo. Za studij kaosa ni boljse metode za njegovo analizo in simulacijo kotje njegov lastni razvoj v casu in prostoru: kaos je sam sebi najboljsi computer.

Kaos obvladuje vesolje, zivljenje pa je mogoce zgolj s pojavi samo-organizacijev naravi. Inteligentno zivljenje in civilizacija sta lahko uspesni samo zobvladovanjem kaosa, za kar je neizogiben studij kaosa, in to je mordanajpomembnejsa motivacija nelinearne dinamike in nelinearne znanosti.